Dimostrazioue delle condizioni caratteristiche pcrch~ uua curw~, sia di divamazione di un piano quadruplo.

Memoria di OSCAR CHISIINI (a Milano).

Snnto.- Le relazioni funz ionat i , relative a nodi e cuspidi~ ovviamente neeessarie affinch~

una eurva p i n n a ¢¢m sin di d iramazione per un p iano quadrup~o proveniente dal la

proiezione di una superficie d'ordine 4:-t-v dotata di un punto v-plo, vengono qui dimo.

strafe essere sufficienti, e cib in modo sernplice e per qualunque valore di v. S i completa tale r isul tato con la dimostrazione ehe tut t i i p i a n i mul t ip l i d i ramat i

da u n a ~m del tipo indicato sono birazionalmente identiei.

1. I n t r o d u z i o n e . La e f fe t t iva ca ra t t e r i zzaz ione del le cu rve di d i r amaz ione dei p iani mul t ip l i

cominc ia col l avoro di B. SEcuRE (~} ded ica to ai p ian i n - p l i re la t iv i a super f ic i genera l i dell ' o rd ine n : base ne ~ il T e o r e m a di HALPItE~ t h e p e r m e t t e di r i conosce re q u a n d o una curva gobba d~ordine m . n ~ in te r sez ione comple t a di due supe r f i e i degli ord in i m e d n. Seguono i lavor i di C~ISI~I e MANARA (~} sui p iani t r ip l i ~lel cosi det to caso sempl ice (superf ic i d' o rd ine 3 - f - v do ,a te

di un pun to v-plo e del res to gcneral i ) e in un u l t e r io re caso poco pifi ampio. Indi r izzo diverso hanno i lavor i del la s ignora MASOT~I-BIOGIOGERO (3) i

qual i t e n d o , o a ca ra t t e r i zza re le c , r v e di d i r amaz ione come inv i lupp i di con- ven ien t i s i s temi di cu rve p l a n e p |u r i~angent i , co l legandos i cosi ad una fon- d a m e n t a l e osse rvaz ione ~ii O. C~ISI~I (~) e a success iv i lavor i di G. POMPILJ (~). Nei suoi lavori la MASO~TI si p r e o c c u p a e s senz ia lmen te di mo s t r a r e le pos- sibil i t~ del metodo, saggian(lol~e le d i f f ico l th e s u p e r a n d o l e nei p r imi casi. Essa, dopo ave r r ip reso i p iani t r ipl i nel caso semplice , t r a t t a i p r imi due esempi di piani q u a d r u p l i ( sempre del caso semplice).

(~) B. S~GI~E, Sul la earat terizzazione delle curve di d iramazione dei p i a n i mul t ip l i ge. nerati~ ~ Mem. ~ce. d'Italia ,,~ Vol. I°~ N. 4, (1930), pp. 1-31.

(2) O. CHISIb~'I e O. ~t. L~[ANARA; Sul la caratterizzazione delle curve di d iramazione dei p i a n i tripli, ,, Annali di Mat. ,, Serie [V~ Tomo X X V (1996), pp. 255.266 e ,, Boll. U.)[.I. ,~. Serie IiI~ anno III~ (1948)~ pp. 6-8-

(3~ G. ~ASOTTI BLG(~IOGERO, L a carat terizzazione delta curva di d iramazione dei p i a n i tr ipt i o t tenuta mediante sistemi di curve pturitangenti~ ~ Rend. Ist, it. Lombardo,, Vol. 80, (1947), pp. 151.160; Sut la caratterizzazione della c~trva di diramazio~,e dei p i a n i quadrupl i

ge~,erali, ,, Rend. ][sti . Lombardo ~,, Vol, 81~ (19~:7), pp. 269-280; Sul la ca.ratterizzazione delle curve di d iramazione dei p ian i q~adrupli , ~ Rend, Istit. Lombardo ,~, Vol. 81, (1948).

(4} O. C~ISI~I, S~dla ident i t~ bivazio~cde delle funz ion i algebriche di due variabiIi dotate di una medesima curva di diramazione~ , Rend. istit. Lombardo ,, VoI, 77, (19~3-4~), pp. 339-356.

~) G. PO~PILj, Su una ctasse di p i a n i mult~pli rigati~ ,, Rend. di Mat. e delle sue annlieazioni ,~ Serie ~ Vol 5 (19~:6) nn 57-74

16 O. CmSIN~: Di,mosl.r',~.io.~w (lclle comtizion,i c(t~'a.tlcrisliche,

0ra qui dimostro in generale la eondizione perch6 una eurva ? sia. di dinunazione per un piano quadruple de] case sempliee (superficie d' ordine 4 + v dotata di punto v-plo} e cib r iconducendomi a dimostr'~re ehe la ~ b proiezione da un pun~o 0 della intersezione (eompleta) di una superfieie di ordine 4 4 - v dotata di 0 v-pie e della pob~re di 0 r ispet to ad essa.: tale via, piit diretta, si aceosta, per questo p~trticolare, alia tra.ttazione di IL SECURE. Penso e h e l a dimostrazione si possa estendere ai piani n-pli , sempre del case semplice.

I1 risultato da dimostrare 6 il seguente TEORE)rA.- Um~ curva piamr ~m b d i diramazione per un piano qtm-

druplo del ripe semplice, relative ad tma superficie di ordine 4 - i ~ v qmmdo il sue ordine m ed i humeri ~ e k dei suoi nodi e delle sue cuspidi soddi- sfino le relazioni ar i tmetiche

I m ~ 6 v + 1 2

(1) ~ = 4 ( v + l ) ( v + 3 )

k = ( , + 4 - 2 t m

ed inoltre siano s,oddisfatte le seguenti relazioni funzionali di equivalenza

K ~ (v 4- 2)R

(2} N' -t- 4T -:- 2(v 1- 1)R R + T . = ~ Z

dove K indica il gruppo delle cuspidi, N ' il gruppo N dei nodi considerati cia- scuno su entrambi i rami di q0,~, che vi passano, /~ tin grul,po di punti di %, allineati, T u n gruppo di punti non virtuale, Z an gruppo di punti tutti di-

versi dai punti T. bi noti che la , seeonda delle (2) imp|lea che il gruppo N ' sia contenuto

nella serie 2(v-4- 1)R e la terza delle (2) perta ehe la serie ] R 4- T I abbia dimensione Mmeno 3 e sia sprovvista di punti fissi.

II teorema era enunciate, anehe so non espresso in questa [orma, deve considerarsi appar tenere Mla signora 3[ASOTTI, in quanto la generalizzazione dei casi da t(~i indicati a,! case generMe 6 det tu~to ovvia. Qui, per semplicith, effettuo la dimostrazione nel case: che pub e~msiderarsi caratterislico,

v - - 5 , +n - -42 , ~ 1 9 2 , k=--294;

mettendo a,i gruppi ehe interessano un indiee ehe ne fissi l'ovdine si ha :

Si po~ranno tralasciare questi indiei quando essi non giovino. Indieheremo con una sola let tera tnnte una eurva quanto il polinomio

primo m embro delle~ equ~zione; il fagtore di proporzionMith di questo poli- nomio sarh scelto in mode da sempIifiea.re h' formule, senza bisogno di ovvie

pe,ch() ~¢.na e~tt~a sia di di,'a,~acionc dg nn ~)iano q~utdrnpto 17

¢,d inutili preeisazioni. Le cuvve indicate con q) si intendono seml)re essere aggiunte alla curva %

Infine. a coronamento della trattaaione, faremo vedere che tutti i piani multipli tnon importa fissure che siano quadrupli) diramati da una q~ del ripe indicate sono tra lore birazionahnente identici.

2. Preiiminari. Come abbiamo detto voglian'lo dimostrare il TEORE~tA.- Una eurva pinna %2 ~ di diramazione per un piano qua-

druple (proiezione di una super[icie F 9 del none ordine da un sue punto qtdntupto, e del resto geuerale) quando abl)ia un gruppo N,92 di i92 nodi e un gruppo K~9 a di 294 (.uspidi ed esista ua gruppo Tao di 30 punti tali che sin

i K~ -~ 7R~., R~ -t- T~o ~ ZT, 2

dove, ripetiamo, N' ~ il gruppo dei nodi considerati, ciaseun% su entrambi i rami di q0 ehe lo eontengono e Z non ha pun~i in eomune con T.

0SSE~'VAZm~E. - Come di consuetudine in queste questioni ta %~ /~ in- tesa irr idaeibile e generica entre la famiglia (cui appartiene) delle curve con uguali carat teri pltickeriani.

Per giungere alla dimost, 'azione del teorema, in questo paragrafo espo- niamo anzitutto, con qualche variante di dimostrazion% aleune proposizioni preliminari dovute anch' esse alia Signora 3J[ASO:eTI (6).

Ln~tsrLV 1 . - Esiste una curvn Pea (d'ordine 26) ehe passa per i nodi e le cuspidi di q~e e t.occa, quest& con iatersezione quadripunta, nei 30 punti del gruppo Z'~0.

[nfa t t i : la %, ha il genere 334; sin G6~ 6 un sue gruppo eanonieo segato da una {parlicolare) aggiunta ~a~" II gruppo

2 K + N ' + 4 T

per le prime due relazioni (3) 6 ~ega~o {fuori di K~.~4 ed 2V~9~) da una curva aggiunta d' ordino 39 F 26 passan~e ulteriormente per il detto G6a a. Questa aggiunta dovrh passare doppiamente per le cuspidi e per i punt i doppi (K ed Nl eio(? essere una biaggiunta. Poich~ il Gala appartiene ad una agginnta ~:~, segue ehe iI gruppo 4T apparterr~t ad una aggiunga d' ordine 26 (e la indi- ehiamo con p.~) come afferma I' enunciate.

[ . , ~ : ~ 2 . - La serie eomple~a t R * T I ~'~ segata dalle aggiunte ~ :~venti (con la %0 eontatto tr ipunto nei punti di T.

Cib 5 ovvio; inoltre, per le ipotesi ammesse, la detta serie ha almeno la dim(.nsione 3 e [e ,.~=,~ suddette non hanno conga~to maggiore (al tripunto) fisso ia aleun punto T.

('~) Cf r . 1++ t e r z a d e l l e n o t e ~ o p r a e i t a t e .

,b+~,di d+ a'L+to+.,~t,,+t. :+z, oeh+ I:V, 'ram<+ X X I * . 3

lS O. (/mstx~: l)/mos/raz/o~r dci/(, co~,//~h~;ti c(~,a/h'rid/ch~,

LE~L~[A 3. - Le sudde~te ~ segano ht p~ (oltre che nei punti N e K) in uu gruppo P ~ the 6 eli contatto (con la p.~a) per una eurva ~,s tangente anche nel gruppo 1'.

Si osservi infatti cite su ~ tutti i gruppi equivalenti a 2R + 2 T sono segati dalle aggiunte ~8 passanti per 2T; quindi, considerate una ,,~ tper 3T) e it gruppo G~ che essa sega sa q~, esiste una : ~ ehe sega tale gruppo centare due volte, onde risulta che si pub scr ivere:

dove, ovviamente, la ~,~ soddisfa alle condizioni enunciate.

3. Relazioni essenziali. Veniamo era a stabiIire le proposizioni essenziali che conducono al risul-

taro prefisso. L E ~ [ A 4. - Le ~:~,, per 3/', ehe segano su ~4~ la serie I 4R + T j tagliano

la P2s toltre che in 3T) nel gruppo fisso P~:~ e pertanto si scrivono nella forma

d?30 ~ x~ct~ 4- X4p~

dove cG~ indica ana particolare {me generica) ~7 pass~mte per 3T mentre ~c:~ ed x 4 indicano due geuerici polinomi in x e y d'ordine uguale al lore indice.

Osserviamo infatti che sul la /~a le '0:~o (per 3T) segano la serie P ~ 4- 3R'2s 1, dove R'~ indica un gruppo di 2(3 punti di p~¢ ~dlineati. Questa, serie (speciale) si ottiene ampliando la serie 3/~'2¢ con l 'addizione del gruppo Ft~ il quale, e oecorre dimostrarlo, r imane fisso. Per dimos~rare questo fatto basra (per il cosi detto lemma di riduzione) r iconoscere che il F ~ impone proprio 126 condizioni alle curve %:~, d'ordine 23, the segano su P~s la serie canonica, gig passanti per un gruppo 3R'~, cio6 alle curve %° d' ordine 20. A tale scope si osservi che il F,~ s appart iene ad una .3.,~ di genere p = 5 5 . Su questa le %0 segano una serie ovviametlte non speeiale (d' ordine 240) di dimensione r - - 2 4 0 - 5 5 ; si- milmente le z~o passanti per il P~.26 segano una aerie d'ordine 114 e d id imen- sione s =: 114-55, aneora non speciale. Segue r - - s =: 126, e quindi il fatto t h e i 126 punti di l'~2 s impongono 126 eondizieni alle %0 e quindi ehe la dimensione delta serie i I~,,s-t-3fi'a~ [ 6 ugua!e a, quella della serie 1314'~o ! wde a dire the le ~ , per it 3T passano tutl~o per il P~,6"

OSSERVAZfONE. - I1 ragionamen~o 6 valido a¢~x-},e sc la, Pc6 o la .i}~.~ non fossero generic.he ma presentassero delie complicazioni, ad esempio an punt() det I ' ~ fosse doppio per la P.~s (e quindi am;he per la, 5~) ; i~ tall casi ,~ono ovvie le varianti da apportarsi al ragiom~meuto.

TEORESIA 5. - La s~rie I R d- T i 6 una g~,. La dimostrazione 6 un facile e(~roli~)xio de[ I~emma pceeedente. Notiamo

e h e l a serie suddetta 6 tagliata dal si:-:tema delle ~:~ per 3T. Sia ~_,~ una di esse. Si consideri la ~a0 formata da qaesta ~ : e d~ una generica cubica 7s-

perch~ u n a clo'v~t, si(~ di dir~tmttzio~(' ~": u,~ pi~tno q~t¢t.dru,plo t9

Si ha allora

i| che 'nostra c h e l a .+7 passa per i punti eomuni a a.~ e P,26 e quindi si scrive

~ = a~7 i- ~P.26 (x~ polinomio del pr im'ordine) ;

qu(~sto esprime essere c~ ~ il sistema delle ~ {per 3T) ehe segano la serie ]R + T I cio~, appunto essere 3 la dimensione di questa.

0SSERVAZIO~NE. - Notiamo che b~ nostra curva q~ si pub considerare proiezione, dal punto improprio delt '~sse z, di una curva gobba ~'2 sulla quale i piani segano la serie (che si proietta nella) [ B + T I ; questa, ~ *

data dalla rappresentazione monoidale :

[ punti T della ~ : sono le proiezioni del punto Z~, improprio del l ' asse z, eonsiderato su ciascuno dei 30 rami di ~* the vi passano. Port iamo ora la noStra attenzione a questa eurva gobba ~* e alte serie segate su di questa. Dobbiamo stabilire due teo,.emi essenziali, di cui il primo b il

TEORE~A 6. - Entro it sistema delle superfici F 9 del nono ordine dotate del punto Z~ come quintuplo, superfici date dalle equazioni

F~ = XsZ 4 -~- X,6Z ~ + X~Z ~ -F- ~sZ %- ~9 - - O,

ne esistono almeno 5 l inearmente indipendenti le quali tutte contengono la ~*" Qui, come innanzi~ ciascuna xs indiea an polinomio - - variabile - -

d 'ordine s helle coordinate x e y. Osserviamo intanto che queste superfici F~ staccano 5 volte il punto Zoo

su ci~(scuno dei rami di q~* che vi passano e pertanto staccano~ sulla ~ * , gruppi della serie S--- I 9R + 4 T [ .

Ci importa valutare la dimensione r di questa serie, e a tal fine ne de- terminiamo l'indiee ,li speeialW~, i, sulla base del teorema di R~EMA~-RocH.

La serie c~mo~dca C ~ la serie I 13R +-4T I , quindi la serie residua la serie

I C - S ! = 1 4 R }

la quale b segata (su ¢~4~) dalie '4~0 per 3T eui si imponga un ul~eriore pas- saggio per ;/\ Ora ogni ~0 per 3T si scrive nell~ forma

e quindi - - ammesso per il momen~o che nessuna cubica passi per i 30 punti dei T -- ]e +~0 per 4T si scrivono nella forma

e la serie I 4 R I risrtlta avere la dim~,nsione 14, cio~ otteniamo

i = 1 5 .

2 0

Se inveee per il 1":,, passa~m le eubiehe 7:~ di un s is tema l ineare ~ a ' - ~ ~dlora le ~:~,, pet' 4T si serivono

e l ' i nd i ce di speeia l i tg r isul ta i--= 15-~-s.

In def in i t iva si ha cite Is, , t imensione della seth, 1(.)1¢-~-4T 6

r - - 498 -- 334 + t5 +. s --= t79 +

dove s - = 0 quando maneassero le suddegte eubiehe Ya" D ' a l t r a par te le superf ie i F~) fo rmano nn s is tema di d imens ione 184 (so

ne eontano subito i eo~ ftl,lent~). Nessuna di esse, ehe holt eon~enga la qo* , 7 2

pub tagl iare su ques t s lo s~esso gruppo staeeat, o da una sup~,rfieie T:~x,zS--=0 ehe pure {tolto a: ,eora il pnnt() Z,~ centare 5 volte su e iaseune dei rami del la ~*.) appar t i ene al la se t ie I9R ~ 4T[ .

Infatt.i, qua l e r a ta superf ie ie

t ] ' 9 ~ a s z ~ + a ~ z :~ ~ ~- a ~ z ~ - t - c~sz q - a o =-= 0

tagl iasse su ~* lo stesso gruppo cite la q)9'--03m, z~ =--0 ehe eonfiene, con- 72

[ate 5 volte, il gruppo s~aeeato dal piano z ~ O, qNesto dovrebbe appartem~re ai cent a m - - 0 {,m = 9 . . . 5 ) ; e poieh~ z--=0 5 un generieo piano dello spazio, la ?* segata da quoste pi'~no gener ieo seeondo 72 punt i appareenent i ad

7 2 ~

una qu in t i ea a.~, dow'ebbe appa r t ene re ad una superf ie ie del qu in t ' o rd ine S~. Cosa assurdn perell6 la polare di Z, , rispegte S~ devrebbe eon~enere i pungi

' 9 di ,~* ehe hanno per proiezieni le 2~4 easpidi . Si conclude ehe In serie sega~a dall~ /~, ha, al massilnO, la d imens ione

r --'s= 179, e qu ind i 5 a~meno di ease, l inenrmengo indipendent i , eon~engono In ,~* • 0 S S E t t V A Z I O N E . - L o superf ie i F~ eont enen~i la ?* eoMituiseono un

' 72

sis~ema l iueare Y di d imens iom ~ s 2> 4. -2,~ s . . . .

P r i m d di venire al s , eondo ~eorema ,ssenziaIe dobbinmo p reme~ore

a.neora~ nleuni lemmi. L~:NS~A 7. Entre o.t'ni siste.:~a (lineare} " - .,~ di d ime~sione 4 eon~;el~ulo

in Z, esiste talmeno) uua saper f ie ie F'~ spezza~a in an generieo piano c~ (ed

in u n a res ida~ F~). Pet' dimos~rare questo f a t t o s i osservi ehe le [~':~ passanf i per In ~ * ta-

gliano sopra un gener ieo piano cz un s is tema (li carve Cu passaut i per 72 punt i fissi, appar tenen~i ad una, quals ias i ([ ~,s~e, e per tanto su (laesta, esse seg~ulo una g'~ la cut d ime~s ione si vede f:~,,.ihm,~oto esseve ~1 m~ssiino r.== 3. Sogue che in 5Z 4 esis~e ~,l_meno t i n s F u ohe eont ieno ii piano ~.

LESt~IA 8. En t re i[ s i r loins v g,mel'ieo htseio V t di snporf ici ]~',, ha tttla ct trva bane eompes~a della p* e di u , a part~, r - s idu~ 4),* (del none or-

7 2 9

dine} ehe non passa per Z ~ . Cib r i su l t a evidente eve si eouaid~,~'i uu ~',~;~h~ (~}lfl, cnente unn F~ spoz-

zata in e e in una F~.

pe~eh~ t~a curwt, sia di di+'a/mazione (hi ~o~ ?)ia,no qt,a,d¢'up~o 21.

L E ~ r ~ 9. - I coni 1t, osculatori alle varie t7' 9 di ~8 nel punto quintuplo Z~ , coincidono o, almeuo, cib aecade, per le F 9 di un sistema (lineare} Z4 di dimensione 4, eontenu~o in ~s.

La cosa sembra evidente, in quanto i suddetti coni H, che sono del quinto ordine, devono contenere le :,'.0 rette che dal punto Z~ proie~tano i punt i det T.~0 (appartenenti a ~,~); ma vi ~ a temere che i detti coni siano spezzati con una parte in comune, sicchi~ l 'osservazione pub costituire una efficace pre- sunzione ma non una dimostrazione.

Questa si ottiene osservando che: t) Le superficie F9 aventi in Z~ la molteplicitk 6, e perb del tipo

Fg -~- O~6Z :~ -{- (~Z ~ +- asz -t ~9 ~ 0

formano un sistema lineare ,63, e segano sulla '~4~* gruppi della serie l ineare S ' - ~ 19R + 3T I , la quale ha una eerta dimensione r'.

2) L ' ind iee di speeialith dellu S' si calco!a osservando c h e l a serie residua di essa rispetto alla serie canonica C:

I C - - S ' I - - _ _ t 4 R + T [

segata sulla ~4~ dalle +3o per 3T che si scrivono (lemma 4) nella forma

e perci6 ha la dimensione 24, siceh~

i ---- 25, r' ~ 9.42 + 3.30 ~- $34 + 25 ~ 159.

3) Segue l 'esistenza almeno di un sistema ~,~3 di E9 contenenti la ~* 42~

e quindi - ampliando questo mediante una generica F~ del sistema E~ - - l 'esist~nza del sistema Z4 di /~ col cono osculalore H fisso.

LE~t~[~ 1 0 . - I 30 punti de1 T:,, sono le intersezioni (li uua quintica c~:, ~ 0 e di una scstica b~ := 0 non. aventi parti in eomune.

Si eonsideriuo iufatti due Fg, una generica uel sistema E~ e l 'al tra appar- tenente al sistema E~, rispettivame~te di equazione

Ot~Z ~ -F- O~Z "~ + Ct~Z ~ -+- 6tsZ -4- O~ 9 ~- 0

b~z ~ + b~z ~ + b~z + b~ =-= 0.

[ punti T risultano comuni alle curve (quintiea e sestiea)

c ~ : 0 e b~ ~-0.

D" altra parte queste due curve non possono aver(, patt i in comune, giacch~ altora avrebbero u~a parte in comuue i coni osculatori, allc due F~ sopra scritte, nel punto Z~ e qaesto avrebbe allora per la ~* mol~eplicith superiore

72 a '30.

22 O. C~tslxI: Dimostraz ion ,e del~e condiz ion i c(~ra~tteristiche

Siamo era in grade di dimostrare come secondo teorema essenziale il TEORE~r~_ 11. - Le superfici q)s polari, rispetto al!e F 9 del sistema E4,

del lore punto quintuple Z ~ segano sulla q~* (come ilttersezioni variabilit 7 2

gruppi della gaT. 2 = [R + T 1. Pe r dimostrare il teorema osserviamo ~nzitutto ehe queste polari pas-

sane per i punti K * che hanno come proiezioni le cuspidi di %~, i quali formano tin gruppo equivt~h.mte, pec ipotcsi, a 715 Inoltre per una qualuuque delle nostre F 9 contenenti la ~ * si consideri la equazione

-F 9 ~ xsz* + ~6z a --F al~Z ~ 4- a~sz -1- a~ ~ 0 :

aceade e h e l a quint ica x 5 - - 0 contenga il gruppo dei pun~i T (the sono le proiezigni dei punti infini tamente vicini a Z £ i sui vari rami di q~* che pas- sane per Z~); quindi la relat iva polare

rO~ - - ~F9 --. 4x~z a -4- ... - - 0 az

ha come quintuple il punto improprio dell' asse z ed 6 quivi tangente a cia- scuno dei 30 rami di q~w

Per questi due fatti succede intanto che le (Ps segano gruppi della serie

I sx¢ t -aTI - -TR- - T = I R + 2 T t .

Pet" giungere al nostro assunto oecorre r iconoseere the la serie I R t- 2TI contiene come fisso il gruppo T e quindi, come parti variabili, si r iduce alla

tR TI. Infatti , se sommando alia I R + T[ il gruppo T questa aerie si ampliasse,

per il lemma di riduzione il g~'uppo dei 30 punti T dow'ebbe imporre meno di 30 eondizioni alle aggitmte qJa9 che contengono un gruppo della I R + T! e quindi il gruppo 2' devrebbe imporre meno di 50 condizioni atle ~:~s per 2/'.

3fa le ~as per T segano (sa %~) la serie i 1 2 R + 3T i cui appartengono i gruppi segagi (su q)*) dalle superfici F~. di equazioni

(qui, al solito, a~, indica un polinomio variabile d' ordine i nelle due varia-

bill oo e y). D' al tra par~e perch(? i gruppi segati da queste F ~ vengano a contenere

(utteriormente) il grnppo T oecorre the la cucva x~, :.= 0 contenga il gruppo T. e r a le x~ passanti per il T sono oc e~- in quanto si scrivono nella forma

tie0 i punt, i del T impongono esat.tamvn~e 30 eondizioni alle x~ e quindi alle /~'~= e (a maggior ragione) alle +:~s gih passanti per il Tao.

perch~ u,m¢ c~¢rv(t si(~ d i dira,mazio~c di ~tn pi¢¢~,w qttadrltpIo 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Conclusione. Tut ta l ' anal is i fin() ad ora svolta pub essere conclusa col seguente TEOt~E~tA 12. - La curva ~* ~ t ' intersezione completa di una superficie

F 9 ~ C~Z 4 -t- a~z :3 -t- ot~z ~ "4- asZ -I- a~ 9 ~ 0

(dove ciascuna al indica un polinomio in a: ~c y d 'ordine i) e della relativa polare

cp s _-- 3F~ = 4a~z 3 + 3a~z 2 + 2aTz + aa = O. 3z

0sserviamo infat t i che nessuna delle F 9 del sistema )2 4 pub essere nn cono col vertice in Z~. quindi nessuna delle relative polari (rispetto al polo Z~) pub essere identicamente nulla. Le polari costituiscono quindi un sistema E' di dimensione 4 e poich~ tagliano su ? * gruppi della serie i R + T I che ha la dimensione 3, una di queste polari, e sia essa la polare della F 9 indicata nell' enunciato, dove contenere la " *

~72 " 0SSERVAZIO~E.- Quantunque quasi inutile, si pub osservare esplicita-

mente the il teorema 12 esprime appunto che la ~4~, proiezione della ~'2' ~ curva di diramazione del piano quadruplo definito dalla F~.

A complemento di tut ta la trattazione enunciamo e dimostriamo l'uniciti~ del piano quadruplo diramato dalla %~ :

TEOREMA 13. - Tutti i pi,~ni muttipli diram~ti datla ~ (per i quali le singolarit~ della ¢~2 sono essenziali) sono birazionalmente identici.

Iufatt i , dal teorema precedente r isul ta (~) che la -.p~ ammette come forma limite una curva spezz, ta helle curve a6, a~, a s , ciascnna contata due volte, in modo ehe ciascun punto comune ad a 6 ed a s sin limite di quattro nodi e ogni punto comune ad a 7 con a~ e con a s sia limite di tre cuspidi, Segue che atle componenti a~ ed a s devono essere collegati scambi del tipo (1, 2) e (3, 5), mentre alla a, deve, essere collegato uno scambio del tipo (2, 3}. E questo significa l'unicit~t del piano mnltiplo.

0SSE:RVAZIONE. - Ii ragionamento precedente pub prestarsi a qualehe dubbio critico. ]~ infatti bensi evidente che le curve doppie a 6 ed a s conten- gono di neeessith qualche punto di diramazione che ne collega le due parti, onde ad esse compete un unico scambio; ma i 98 punti di diramazione della a,~ doppia (eio~ di colIegamento fra le due pa t t i di essa) potrebbero andare tutti a coafluire uelle cuspidi. Qui tat tavia basla osservare c h e l a degenerazione della ~4~ si ottiene anunllando successivamente i polinomi a~, a6, a~ (cib che porta lo staccamen~o delle a~, %, c~ s confute due volte): dopo lo staceamento di a~ (eontata due voitel appare chiaro che le curve doppie a~ ed a~ hanno aneora dei punti di diramazione che collegano le loro pat t i doppie. Pertanto anche alla c~ doppi'~ compete un uni te seambio.

(z) Cfr. CHISINI-~tANARA, Seconda delle note citate in (3),