Digital Terrain Modeling

第５章　不规则三角网 TIN 的产生

Contents

5.1 Triangulated irregular network formation:Principles

5.2 Vector-based static Delaunay triangulation

5.3 Vector-based dynamic Delaunay triangulation

5.4 Constrained Delaunay triangulation

5.5 Triangulation from contour data

5.6 Delaunay triangulations via Voronoi diagrams

5.1 Triangulated irregular network formation:Principles

建立 TIN 的算法多种多样 Delaunay 三角网或其他三角网 静态或动态方法 无约束或有约束的方法 直接或间接方法

删格法

静态式

矢量法

动态式

TIN

Voronoi 图

Delaunay 三角网 The most widely used method for the constru

ction of triangles is the Delaunay triangulation 狄洛尼三角网为相互邻接且互不重叠的三角形的集合，每一个三角形的外接圆内不包含其它的点

空圆法则

(a) A set of data (b) Result 1 (c) Result 2 (d) Result 3

同样的点集可能生成不同的 TIN

A

B

C

D

A

C

B D

(a) Circumcircle containing point D; (b) Point D used to form the triangle

Delaunay 三角网的 “ empty circumcircle” principle

“ 局部等角” 法则

由两相邻三角形构成的凸四边形中，交换此四边形的两条对角线，不会增加这两个三角形六个内角总和的最小值 最小角将最大化而最大角将最小化，因此又称 MAX-

MIN angle principle

局部最优方法 LOP （ Local Optimization Procedure ），交换凸四边形的对角线，可获得等角性最好的三角网

LOP process for local equiangularity

Maximum

Minimum

D

C

A

B

Maximum

Minimum

D

C

A

B

(a) Before swapping the diagonal

(b) After swapping the diagonal

Local Optimization Procedure

5.2 Vector-based static Delaunay triangulation

考虑所有点，在构网过程中没有点的增加或删除递归生长法 凸闭包收缩法

数据区域的最小凸多边形（凸壳）

AAB

B

C

D

EF

G

H A

在凸闭包中，连接任意两点的线段必须完全位于多边形内凸闭包是数据点的自然极限边界，相当于包围数据点的最短路径显然，凸闭包是数据集标准 Delaunay 三角网的一部分

The process of Delaunay triangulation

(a) First triangle starting from the boundary

(b) Subsequent triangles formed near the boundary

一旦提取出数据区域的凸闭包，就可以从其中的一条边开始逐层构建三角网

Delaunay triangulation starting from an imaginary boundary

随着数据点分布密度的不同，边界收缩后一个完整的区域可能会分解成若干个相互独立的子区域当数据量较大时如何提高顶点选择的效率是该方法的关键

5.3 Vector-based dynamic Delaunay triangulation

数据逐点插入法 保证相邻的数据点渐次插入，并通过搜寻加入点的影响三角网（ Influence Triangulation ），现存的三角网在局部范围内得到动态更新

Dynamic Delaunay triangulation by the insertion of points into the initial coarse triangles

(a) A set of random points (b) Minimum

bounding rectangle (c) Imaginary boundary box

Delaunay 三角形连网可以从任意虚拟边界点开始凸多边形意味着任意线段上的所有点都将落入其中

Boundary definition

p

(C)

C

p

(A)

A

B

p

(B)

A

B

C

D

插入法生成 Delaunay 三角网

(a) Initial triangulation (b) Splitting the enclosing triangle

(c) The “swap” operation

快速定位插入点所在的三角形三角形分裂三角形优化

For a point P inside or outside a triangle (123) to be checked, three equations can be established

111

33

221

yxyxyx

app

111

33

11

2

yxyxyx

a pp111

22

11

3

pp yxyxyx

a

AB line of sideright on the P i.e. order, clockwisein are points Three :0line; ain are points Three :0

AB line of sideleft on the P i.e. order, iseanticlockwin are points Three :0),,( PBAD

根据面积的正负来判定方向关系Local “ 面积坐标” to determine whether a point

is inside a triangle

如果三个面积坐标均为正，则点 p 落在三角形里面

穿行算法：三角形快速定位

p

S

1

2

31) 从任意三角形出发，计算该点与三角形三边对应的齐次座标2) 如果所有的坐标均为正，则该点就落入此三角形3) 如果不是，则穿过坐标为负的边，并以此邻接三角形为新的重复前面的处理4) 穿 行 算 法 的 计 算 效 率 为

Sqrt(n) ， n 是总的点数5) 可以预先存储若干种子点的三角形信息

边交换的数字准则 After a triangle is split into three triangles by a

inserted point, the three exterior triangle edges need to be tested, to see if they conform to the Delaunay ( 空圆 ) condition

.

1111

),,,(

22

22

22

22

DDDD

CCCC

BBBB

AAAA

yxyxyxyxyxyxyxyx

DCBAH

circular-co 0, triangle theoutside is Dpoint 0,

ABC of lecircumcirc theinside is Dpoint ,0),,,( DCBAH

如果发现另外一个点落在分裂三角形的外接圆内，则要用另外一条对角线来替换这条公共边新的三角形外边还要记入堆栈供后续检测使用

A

CB

D

(a)

A

CB

D

(b)

边交换的数字准则

边 AC被 BD 替换 三角形 ABC 保持不变

5.4 约束 Delaunay 三角网Ridge lines are the connected lines of local

maxima (points) and the valley lines are the local minima

These lines are so special that they should not be broken by any triangle edges

不考虑地形特征的后果 628

677

453

531

481

490

461

B

A

C

A

B

C

628

677

453

531

481

490

461

B

A

C

628

677

453

531

481

490

461

A

C

(a) 具有山谷线的点集 (b) A possible profile across ACB

(c) 不考虑山谷的三角网 (d) 考虑山谷后的等高线

Special process to lines 最简单的处理方法是所谓的“加密法”，即通过加密约束线段上的数据点，将约束数据转换为普通数据 唯一的问题在于如何恰当地确定特征线上加密数据点之间的距离，一般取平均数据点间距的一半或更小即可

Special process to lines

尽管加大了数据量并改变了原始数据集，但简单易行、稳定可靠，在许多情况下可以很好地满足需要

(a) Data with a feature line (b) Point densification (c) Triangulation result

To treat each feature line as a constraint means the predefined lines are not to be crossed by any triangle edges

这是最严密的解带约束条件的三角网仍然满足 Delaunay 法则，但其局部等角特性有较小的改变

将特征线作为约束

Inter-visibility of nine points and two constrained line segments

构建 CDT 的两步法 将所有数据包括约束线段上的数据点，建立标准的 Del

aunay 三角网 嵌入线段约束，根据对角线交换法 LOP调整每条线段影响区域内的所有三角形

(a) 插入约束线段 ab(b) 提取 ab 的影响多边形并把所有顶点都与 a 相连(c)进行 LOP 交换优化三角形(d)带约束的三角网

CDT 生成

5.5 从等高线生成三角网

Three approaches to form triangulation from contour data : 等高线离散点直接生成 TIN 方法 将等高线作为特征线的方法 自动增加特征点及优化 TIN 的方法

简单处理的问题 出现平三角形：三角形的三个顶点落在同一等高线上 三角形的边与等高线交叉 要彻底消除以上问题，即使将等高线都作为约束处理，还要提取骨架点 - 线并估计高程，然后加入 TIN

骨架线提取与高程估计

(a) A branch of skeleton for the valley

(b) Skeleton point height estimation using circle ratios

增加骨架线后的 TIN

(a) 原始数据建立的 TIN (b) 增加骨架线后建立的 TIN

数字化地形图获得高程数据，内插生成 1:5 万和 1 ： 1万DEM数据，是国家重要的基础地理信息

应用精度模型 ,制定了生产规范

应用 DEM数据生产软件 TI

NModel ，提高了生产效率，保证了数据成果质量

自主知识产权的 DEM 生产软件： TINModel

5.6 通过 Voronoi 图间接生成 Delaunay 三角网

(a) A set of data point (b) Voronoi diagram of the set

(d) Triangulation of the set(c) Dual relationship

泰森多边形（ Voronoi 分区）的边是 Delaunay 三角形边的垂直平分线

平面点集的 Voronoi图 Voronoi 图最早由俄罗斯数学家 Voronoi 于 1908年提出，平面上一个点集 P 的 Voronoi 图是对平面的一个划分，每个分区表示一些点的轨迹，这些点到 P 的一个元素比到其它元素更近

每个点都有一个 Thiessen 多边形或 Voronoi 区域（凸多边形） 所有这些 Thiessen 多边形的集合（没有缝隙和重叠）完整覆盖整个区域

生成 Voronoi 图的简单方法分治算法 Divided-Conquer增长法 Incremental

1

2

3

4

56 6

5

4

3

1

2

7

Insertion of a point into an existing Voronoi diagram

生成 Voronoi 图的删格方法 为了确定相邻点间的拓扑关系，因而只与点之间的相对距离有关，而与点之间的实际距离无直接关系 用整数形式的删格象素的行列号来定义坐标 并在此基础上计算 Euclidean距离

D P P f i j m n i m j n( , ) ( , , , ) ( ) ( )1 22 2

距离变换生成 Voronoi 图

7654444444444447654333333333337654322222222227654321112211127654321D1221E127654321112211127654322222222227654321112222117654321C111121F7654321111G12117654322221112227654322222222227654321112332117654321B123321A765432111233211

7654444444444447654333333333337654322222222227654321112211127654321D1221E127654321112211127654322222222227654321112222117654321C111121F7654321111G12117654322221112227654322222222227654321112332117654321B123321A765432111233211

DDDDDDDDEEEEEEEDDDDDDDDDEEEEEEDDDDDDDDDEEEEEEDDDDDDDDDDEEEEEDDDDDDDDDDEEEEEDDDDDDDDDDEEEEEDDDDDDDDDDEEEEFCCCCCCCCCCGGFFFCCCCCCCCCGGGGFFCCCCCCCCCGGGGFFCCCCCCCCCGGGGFFBBBBBBBBBGGGGAABBBBBBBBBGGGAAABBBBBBBBBBBAAAABBBBBBBBBBBAAAA

DDDDDDDDEEEEEEEDDDDDDDDDEEEEEEDDDDDDDDDEEEEEEDDDDDDDDDDEEEEEDDDDDDDDDDEEEEEDDDDDDDDDDEEEEEDDDDDDDDDDEEEEFCCCCCCCCCCGGFFFCCCCCCCCCGGGGFFCCCCCCCCCGGGGFFCCCCCCCCCGGGGFFBBBBBBBBBGGGGAABBBBBBBBBGGGAAABBBBBBBBBBBAAAABBBBBBBBBBBAAAA

距离变换还可以通过数学形态学（ mathematical morphology ）实现

膨胀 Dilation 与腐蚀 Erosion 二值形态学（函数值域定义在 0 或 1 ）是将图形视作集合，通

过集合逻辑运算（交、并和补）与集合形态变换（平移、膨胀和腐蚀），在结构元作用下转换到新的形态结构

(a) Original image A (b) 结构元 (c) A dilated by B (d) A eroded by B

形态变换：膨胀和腐蚀

Example

离散点集的三维 TIN 算法 表面拓扑的不确定性问题：点群与表面形态联系的内在机理，必要的约束条件及其实现

第６章　地形表面模拟中的内插技术第７章　地形数据获取的质量控制