perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.aceprints.uns.ac.id/21127/1/COVER.pdfperpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user ii ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGIPOTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI

Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan

IHTIARI PRASTYANINGRUM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI

TESIS

Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan

untuk Mencapai Derajat Magister

Program Studi Ilmu Fisika

Oleh

IHTIARI PRASTYANINGRUM

S911208001

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2014

PERSAMAAN DIRAC UNTUKSENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI


commit to user


commit to user

ii

ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK

POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI

TESIS

Oleh

Ihtiari Prastyaningrum

S911208001

Komisi Nama Tanda Tangan Tanggal

Pembimbing

Pembimbing I. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D ......................... 10 Januari 2014

NIP. 19610306 198503 1 002

Pembimbing II. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D ......................... 10 Januari 2014

NIP : 19520915 197603 2 001

Telah dinyatakan memenuhi syarat

Pada tanggal 10 Januari 2014

Ketua Program Studi Ilmu Fisika

Program Pascasarjana UNS

Drs.Cari, M.Sc., M.A., Ph.D

NIP : 19610306 198503 1 002


commit to user

iii

ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK

POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI

TESIS

Oleh


S911208001

Tim Penguji

Jabatan Nama Tanda

Tangan

Tanggal

Ketua Dr. Agus Supriyanto, S.Si.,M.Si

NIP. 19690826 199903 1 001

...................... Januari 2014

Sekretaris Dr. Yofentina Iriani, S.Si.,M.Si

NIP. 197112271997022001

..................... Januari 2014

Anggota

Penguji

Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D

NIP. 19610306 198503 1 002

..................... Januari 2014

Dra. Suparmi, M.A., Ph.D

NIP . 19520915 197603 2 001

..................... Januari 2014

Telah dipertahankan di depan penguji

Dinyatakan memenuhi syarat

Pada tanggal 23 Januari 2014

Direktur Program Pascasarjana UNS Ketua Program Studi Ilmu Fisika

Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S

NIP. 19610717 198601 1 001

Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D

NIP : 19610306 198503 1 002


commit to user

iv

PERNYATAAN ORISINALITAS DAN PUBLIKASI ISI TESIS

Saya menyatakan dengan sebenarnya bahwa:

1. Tesis yang berjudul “ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI

PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL

DENGAN POLINOMIAL ROMANOVSKI” ini adalah karya penelitian

saya sendiri, tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain

untuk memperoleh gelar akademik, serta tidak terdapat karya atau pendapat

yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis

digunakan sebagai acuan dalam naskah dan disebutkan dalam sumber acuan

serta daftar pustaka. Apabila dikemudian hari terbukti pernyataan saya ini

tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan

perundang-undangan (Permendiknas No. 17, Tahun 2010).

2. Publikasi sebagian atau keseluruhan dari isi tesis ini pada jurnal atau forum

ilmiah lain harus seijin dan menyertakan tim pembimbing sebagai author dan

PPs-UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu

semester (enam bulan sejak pengesahan tesis) saya tidak melakukan publikasi

dari sebagian atau keseluruhan tesis ini, maka PPs-UNS berhak

mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu

Fisika PPs-UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran dari ketentuan

publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang

berlaku.

Surakarta, 23 Januari 2014

Mahasiswa


S911208001


commit to user

v

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

Kesabaran, keikhlasan, dan ketenangan memberikan kebahagiaan yang tak ternilai

harganya,

Langkah pertama adalah awal dari segalanya.

Dengan segala kerendahan hati, torehan tinta ini aku persembahkan kepada:

1. Allah SWT yang telah memberikan semua yang terbaik untukku;

2. Ayahku H. Sinto Ahmadi dan ibuku Hj. Titik Sulasmi tercinta, yang

senantiasa menyebutku dalam setiap doa dan sujudnya;

3. Suamiku tercinta M. Hadi Purnomo dan malaikat kecilku Arka Prameswara

yang telah menemaniku dalam setiap detik waktuku;


commit to user

vi

Ihtiari Prastyaningrum. S911208001. 2014. “Analisis Fungsi Gelombang dan

Energi Persamaan Dirac untuk Potensial Non Sentral Menggunakan

Polinomial Romanovski”. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas

Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing: (1). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D (2). Dra.

Suparmi, M.A., Ph.D

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai energi dan fungsi

gelombang dari persamaan Dirac untuk potensial non sentral Rosen Morse dengan

faktor sentrifugal plus Rosen Morse dan potensial Poschl Teller termodifikasi

dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf.

Potensial non sentral Rosen Morse dengan faktor sentrifugal plus Rosen

Morse dan potensial Poschl Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus

Trigonometric Scarf merupakan potensial yang variabelnya terpisahkan. Potensial

tersebut diselesaikan menggunakan metode polinomial Romanovski. Persamaan

energi yang diperoleh tidak dapat diselesaikan secara analitik ataupun nilai

pendekatan sehingga dipilih penyelesaian dengan metode numerik. Penyelesaian

persamaan Dirac dengan polinomial Romanovski dilakukan dengan cara

mereduksi persamaan differensial orde dua menjadi persamaan differensial tipe

hipergeometri perantara melalui substitusi variabel yang sesuai dengan parameter

Romanovski. Penentuan persamaan tingkat energi dan fungsi gelombang

ditentukan dengan mensubstitusi permisalan fungsi gelombang Romanovski

kedalam persamaan hipergeometri perantara dan menjabarkannya sehingga

diperoleh persamaan differensial Romanovski.

Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi

gelombang baik radial maupun polar dinyatakan dalam bentuk persamaan

polinomial Romanovski. Spektrum energi dan fungsi gelombang bagian radial

dan polar serta grafik probabilitas divisualisasikan dengan pemrograman

komputer yang berbasis Matlab 2011. Visualisasi fungsi gelombang radial yang

terbentuk mendiskripsikan nilai probabilitas ditemukannya partikel, sedangkan

visualisasi fungsi gelombang polar yang terbentuk mendiskripsikan momentum

sudut spin suatu elektron yang berada dalam pengaruh potensial sistem.

Kata kunci: Persamaan Dirac, potensial non sentral, polinomial Romanovski.


commit to user

vii

Ihtiari Prastyaningrum. S911208001. 2014. “ Analitical Solution Energy Eigen

Function and Wave Function of Non Central Potential With Romanovski

Polynomial”. Thesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas

Maret Surakarta. Advisor: (1). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D (2). Dra. Suparmi,

M.A., Ph.D

ABSTRACT

This research is aimed to determine energy levels and wave functions from

Dirac equation for non central potential Rosen Morse with centrifugal term plus

Rosen Morse and Modified Poschl Teller potential with centrifugal term plus

Trigonometric Scarf.

Non central potential Rosen Morse with centrifugal term plus Rosen Morse

and Modified Poschl Teller potential with centrifugal term plus Trigonometric

Scarf are the potensial which separated variable. The potential are solved by

Romanovski polynomials method. Eigen function that be found can’t be solved by

analytical method or approximation value, so that must be solved by numerical

method. To solve Dirac equation with Romanovski polynomials we must reduce

the two order differential equation to be intermediatery hypergeometry

differential equation with substituting of suitable variable with the Romanovski

parameters. To find energy eigen and wave function can be found by subtituting

Romanovski’s wave function like into the intermediatery hypergeometry

differential equation and derivating until be obtained the Romanovski’s

differensial equation. From its Romanovski’s hypergeometry equation would

determine the energy levels and wave function.

Energy levels which obtained make up closed function and the wave

functions, consist of radial and angular part, have showed by Romanovski

polinomial form. Energy spectrum, wave functions and probability graph have

visualized by Matlab 2011. Visualization of radial wave functions which obtained

are descripting the probability value to found a particle, whereas, visualization of

angular wave functions which obtained are descripting the spin-angular

momentum of electron which under system potential effect.

Key word: Dirac equation, non central potential, Romanovski polinomial.


commit to user

viii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan

hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan tesis dengan judul, “Analisis

Fngsi Gelombang dan Energi Persamaan Dirac untuk Potensial Non Sentral

Menggunakan Polinomial Romanovski”. Penyusunan tesis ini bertujuan untuk

memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Magister pada Program

Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.

Kami menyadari bahwa tanpa bantuan dari berbagai pihak, tesis ini tidak

dapat terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu kami mengucapkan terima kasih

yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Program

Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta,

2. Bapak Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika

Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta, sekaligus sebagai

Pembimbing I yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan, dan

motivasi kepada kami,

3. Ibu Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, selaku pembimbing II yang telah dengan sabar

membimbing dan mengajari kami, serta memberikan semangat kepada kami

untuk dapat menyelesaikan tesis ini,

4. Bapak/Ibu Dosen Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas

Sebelas Maret Surakarta yang telah memberikan berbagai ilmu tentang fisika,


commit to user

ix

5. Teman-teman Pascasarjana Program Studi Ilmu Fisika angkatan September

2012 yang telah bersama-sama menghabiskan waktu untuk belajar dan

berdiskusi,

6. Semua pihak yang telah membantu kami dalam menyelesaikan tesis ini.

Penelitian ini didanai oleh Program Hibah Penelitian Tim Pascasarjana

(HPTP) Universitas Sebelas Maret tahun 2013 dengan nomer kontrak

165/UN27.11/PG/2013.

Surakarta, 2014

Penulis


commit to user

x

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ............................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN .............................................................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... iii

SURAT PERNYATAAN...................................................................................... iv

MOTTO DAN PERSEMBAHAN .......................................................................... v

ABSTRAK ........................................................................................................... vi

KATA PENGANTAR ....................................................................................... viii

DAFTAR ISI .......................................................................................................... x

DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... xiii

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xv

DAFTAR SIMBOL ............................................................................................ xvi

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah .................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................................. 3

C. Tujuan Penelitian ............................................................................................... 3

D. Batasan Masalah ................................................................................................ 4

E. Manfaat Penelitian ............................................................................................. 5


commit to user

xi

BAB II KAJIAN TEORI

A. Persamaan Dirac ................................................................................................ 6

B. Persamaan Dirac untuk Koordinat Bola .......................................................... 11

C. Metode Polinomial Romanovski ..................................................................... 15

D. Potensial Rosen Morse .................................................................................... 17

E. Potensial Poschl Teller Termodifikasi ............................................................ 19

F. Potensial Scarf ................................................................................................. 20

BAB III METODE PENELITIAN

A. Waktu dan Tempat Penelitian ......................................................................... 23

B. Objek Penelitian ............................................................................................... 23

C. Instrumen Penelitian ........................................................................................ 23

D. Prosedur Penelitian

1. Bagan Alir Penelitian ................................................................................. 24

2. Langkah Kerja ........................................................................................... 25

BAB IV HASIL DAN ANALISA

A. Pendahuluan .................................................................................................... 27

B. Penyelesaian Persamaan Gelombang Radial Potensial Rosen Morse dengan

Faktor Sentrifugal plus Rosen Morse .............................................................. 27

C. Penyelesaian Persamaan Gelombang Polar Potensial Rosen Morse dengan

Faktor Sentrifugal plus Rosen Morse .............................................................. 49


commit to user

xii

D. Penyelesaian Persamaan Gelombang Radial untuk Potensial Poschl Teller

termodifikasi dengan Faktor Sentrifugal plus Trigonometric Scarf ................ 65

E. Penyelesaian Persamaan Gelombang Polar untuk Potensial Poschl Teller

Termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf ................ 84

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan ..................................................................................................... 106

B. Saran ............................................................................................................... 107

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 108

LAMPIRAN ...................................................................................................... 109


commit to user

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Polinomial Romanovski untuk dan ........................ 17

Gambar 2.2. Potensial Rosen Morse dan Spektrumnya ....................................... 18

Gambar 2.3. Potensial Scarf dalam bentuk trigonometri. Garis horisontal

menunjukkan level diskrit ............................................................... 21

Gambar 2.4. Potensial Scarf dalam fungsi hiperbolik ......................................... 21

Gambar 4.1. Grafik tingkat-tingkat energi. Energi dinyatakan dalam eV ............ 39

Gambar 4.2. Grafik perubahan nilai energi terhadap perubahan nilai n dengan

variasi konstanta ........................................................................... 41


variasi konstanta .......................................................................... 43


variasi konstanta dan ............................................................................. 45

Gambar 4.5. Grafik fungsi gelombang radial potensial Rosen Morse dengan faktor

sentrifugal plus Rosen Morse untuk keadaan energi tingkat dasar

......................................................................................................... 49

Gambar 4.6. Grafik fungsi gelombang radial potensial Rosen Morse dengan faktor

sentrifugal plus Rosen Morse untuk keadaan energi tingkat pertama

........................................................................................................ 49

Gambar 4.7.Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse

dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dengan variasi nilai

konstanta ...................................................................................... 61


commit to user

xiv

Gambar 4.8. Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse


konstanta ...................................................................................... 62

Gambar 4.9. Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse


konstanta dan ............................................................................ 63

Gambar 4.10. Grafik hubungan nilai energi terhadap n dengan variasi konstanta

......................................................................................................... 79

Gambar 4.11. Grafik hubungan nilai energi terhadap n dengan variasi konstanta

......................................................................................................... 81

Gambar 4.12. Fungsi gelombang radial tingkat dasar untuk potensial Poschl Teller

termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf

dengan variasi nilai konstanta t ........................................................ 85

Gambar 4.13. Fungsi gelombang radial tingkat pertama untuk potensial Poschl

Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric

Scarf dengan variasi nilai konstanta t .............................................. 86

Gambar 4.14. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl

Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometric

Scarf dengan variasi nilai konstanta b dan nilai a=0 ........................ 99



Scarf dengan variasi nilai konstanta a dan nilai b=0 ...................... 100


commit to user

xv



Scarf dengan variasi nilai konstanta a dan b ................................... 101


Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometrik

Scarf dengan variasi nilan n .......................................................... 106


commit to user

xvi

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1. Nilai energi eigen dengan variasi dan n ........................................... 38

Tabel 4.2. Nilai energi eigen dengan variasi nilai ............................................. 40

Tabel 4.3. Nilai energi eigen dengan variasi nilai ............................................ 42

Tabel 4.4. Nilai energi eigen dengan variasi nilai dan .................................. 44

Tabel 4.5. Polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang

polar potensial non sentral Rosen Morse dengan faktor sentrifugal

plus Rosen Morse .............................................................................. 60

Tabel 4.6. Nilai energi eigen dengan variasi nilai konstanta .......................... 78

Tabel 4.7. Nilai energi eigen dengan variasi nilai konstanta .......................... 80

Tabel 4.8. Polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang

polar potensial Poschl Teller termodifikasi plus trigonometric Scarf

untuk beberapa variasi nilai bilangan kuantum utama ...................... 97


commit to user

xvii

DAFTAR SIMBOL

= fungsi gelombang

= fungsi gelombang upper

= fungsi gelombang lower

M = massa partikel

= matriks pauli

= energi (fm-1

)

= potensial vector

= potensial skalar

ENR = energi non relativistik

= kecepatan cahaya di ruang hampa ( m/s)

= operator momentum tiga dimensi

= kecepatan sudut

= bilangan gelombang

= parameter kedalaman untuk potensial Rosen Morse bagian radial

= parameter kedalaman untuk potensial Rosen Morse bagian polar

= parameter kedalaman untuk potensial Poschl Teller

= parameter kedalaman untuk potensial trigonometric Scarf

= momentum

= panjang gelombang

= sudut putar

R = fungsi gelombang radial


commit to user

xviii

P = fungsi gelombang polar

= fungsi gelombang azhimutal

= fungsi gelombang Romanovski

= energi potensial

= bilangan kuantum utama

= bilangan kuantum orbital

= bilangan kuantum magnetik

= rentang potensial

= faktor sentrifugal

= faktor bobot

= fungsi gelombang Romanovski

Documents

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.aceprints.uns.ac.id/21127/1/COVER.pdfperpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user ii ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC