Diffszam Nagyobb

7/25/2019 Diffszam Nagyobb

1/24

Differencilszmts 1

ANALZIS

5. ELADSDIFFERENCILSZMTS


2/24

Differencilszmts 2

B


3/24

Differencilszmts 3

A1

B

B

szel


4/24

Differencilszmts 4

A2B

1B

A

B

szel

szel


5/24

Differencilszmts 5

a x

A

P


6/24

0x x} ( )0xf

( )xf


7/24

( ) ( )0xfxf

{

0xx

0x x


8/24

Differencilszmts 8

A fggvnyrtk vltozst az f(x)-f(x0)

klnbsg, mg a vltozs mrtkt, gyorsasgt

a hnyados adja meg.

Ez a szm ppen a fggvny (x, f(x)) s

(x0, f(x0)) pontjain thalad

szeljnek meredeksgt adja.

0

0 )()()(

xx

xfxf

x

xf

=

A fggvny vltozsi sebessgevalamely pontban

( ) ( )0xfxf

0xx

0x x


9/24

Differencilszmts 9

Fogalmak, definck

( ) ( )

0

0)(xx

xfxfxd

=

Differenciahnyados fggvny fogalma:Legyen az az f fggvny rtelmezsitartomnynak egy pontja, s a fggvny legyenrtelmezve legalbb egy -tl klnbzpontban.

0x

0x

0x

== szelszel tgm

A d(x) fggvnyt az ffggvny ponthoz tartozdifferenciahnyados (klnbsgi hnyados)fggvnynek nevezzk.


10/24

Differencilszmts 10

Differencilhnyados fggvny,differencilhatsg

( ) ( )

0

0intint

0

limxx

xfxftgm

xxrr

==

)( 0xf

=

Definci: az f fggvny differencilhat azrtelmezsi tartomnynak egy belspontjban, ha differenciahnyados fggvnynekaz pontban van vges hatrrtke.

0

x

0x


11/24

Differencilszmts 11

Pldk

a) Differencilhat-e az fggvnyaz =2 helyen?

b) Differencilhat-e az fggvny

a tetszleges helyen?c) Differencilhat-e az

az helyen?

3

)( xxf =

Ra

=)(xfhax ,3 [ ]2,1x

hax ,122 +

] ]5,2x20 =x

3)( xxf =0x


12/24

Differencilszmts 12

d) Differencilhat-e az

az helyen?

xxf =)(

00 =x

( )

==

=

0101

00

, ha x-, ha x

xx

xxxd

Folytonos-e c) s d) eset fggvnye a 2, ill. 0helyen?


13/24

Differencilszmts 13

Intervallumon differencilhatfggvnyek

Nylt intervallumon differencilhat fggvnyfogalma;

Derivltfggvny fogalma;

(differencilhnyados fggvny, derivlt)

Jobb- s baloldali differencilhnyadosok;

Zrt intervallumon differencilhat fggvnyek; f fggvny grafikonjhoz hzhat rint.


14/24

Differencilszmts 14

A folytonossg s

differencilhatsg kapcsolata

5.2 Ttel:

Ha az f fggvny differencilhat azpontban, akkor folytonos is ebben a

pontban.Bizonyts

A ttel nem megfordthat!!!

A differencilhatsgnak a folytonossgszksges, de nem elgsges felttele.

0x


15/24

Differencilszmts 15

Elemi fggvnyek derivltjaiKonstans fggvny

5.3 Ttel bizonytsHatvny fggvny

5.4 Ttel

( ) 0=

c

( ) =8x =

5

1

x ( ) =

4 7x

=

3 5

1

x

1)( = xx 1

+= Nnxnx

nn ,)( 1


16/24

Differencilszmts 16

Exponencilis fggvny

( )xx ee =

( ) +

=

Raaaaxx

ln

( ) =x4 =

x

5

3

Elemi fggvnyek derivltjai 2.

5.9 Ttel bizonytsaaz sszetett fv. utn


17/24

Differencilszmts 17

Logaritmus fggvny

( ) xx1

ln =

( ) axxa ln

1log =

( ) =x4log

Elemi fggvnyek derivltjai 3.

{ } ++ RxRa ,1\

5.11 Ttel bizonytsaaz sszetett fv. utn


18/24

18

Differencilsi szablyok

Felttel: fs g fggvnyek legyenek differencilhatkvalamely pontban.

a) brmely esetnRc cf is differencilhat 0x pontban,

)00 (xcf)(x(cf)''

=

b) f +g is differencilhat az 0x pontban, s

)(xg)(xf)(xg)(f

'''

000+=+

c) gf is differencilhat az 0x pontban, s

( ) ( ) 00000 )(xgxfx)g(xf)(xg)(f'''

+=

d) ha , )g(x 00 ,gf is differencilhat az 0x pontban, s

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )020000

0 xg

xgxfxgxfx

g

f

'''

=

0x


19/24

Differencilszmts 19

Differencilsi szablyok

Fggvny szmszorosnak differencilsa

( )( ) ( )xfcxfc =

( ) =83x =

5

10

x( ) =xe4

0x

Felttel:fs g fggvnyek legyenek

differencilhatk valamely pontban.5.7 Ttel bizonytssal

Pldk:


20/24

Differencilszmts 20

Differencilsi szablyok 2.

Felttel:fs g fggvnyek legyenek differencilhatkvalamely pontban.

sszeg-, klnbsg fggvny differencilsa

( ) ( )( ) ( ) ( )xgxfxgxf =

( ) =

+ xxx x ln87210 3 45Plda:

0x


21/24

Differencilszmts 21


Szorzat fggvny derivltja

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxf +=

( ) = xx ln4 5 ( ) = 4 72 xexPldk:


differencilhatk valamely pontban.0x


22/24

Differencilszmts 22

Hnyados fggvny derivltja

rtelmezsi tartomny!( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )xg

xgxfxgxf

xg

xf

2

=

=

+

3

4

42

5

xe

xx


Plda:


differencilhatk valamely pontban.0x


23/24

Differencilszmts 23


( )( ) =+ 423ln 2 xx

( )( )( ) ( )( ) ( )xgxgfxgf =

( ) =+ 824 37 xxe

( )( ) =+ 73 34 xex

( ) = 483 252 xx

sszetett fggvny derivltja:


24/24

Differencilszmts 24

Vge!

Documents

Diffszam Nagyobb