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COORDENADAS CILÍNDRICAS, ESFÉRICAS Y RECTANGULARES
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Introducción:
El presente trabajo tiene el fin de familiarizarnos con los diferentes sistemas de
coordenadas existentes, las cuales son:
- Las rectangulares, también denominadas coordenadas cartesianas en
honor a su inventor, el matemático francés Rene Descartes, la posición de
un punto se encuentra determinada por tres números independientes que
definen las distancias a los llamados planos coordenados.
- El sistema de coordenadas cilíndricas utiliza como base el sistema de
coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la
coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas.
En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector
dirigido a la proyección del punto sobre el plano XY cuya magnitud es igual
a la distancia del punto al eje z, la cual es la primera coordenada del
sistema. El ángulo de dirección de dicho vector medido con respecto al
semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y la
tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano.
- En el sistema de coordenadas esféricas se utilizan también tres
coordenadas para notar la posición de un punto o un vector en un espacio
tridimensional, dos de estas coordenadas son angulares y una de ellas es
métrica.
Esto con el fin de ser capaces de establecer las diferencias esenciales entre cada
una de ellas para poder comparar sus diferentes características y saber elegir
acertadamente, con cual deberemos de trabajar según sea la situación que
debamos resolver aplicando estas coordenadas.
Se citan y detallan además las variadas aplicaciones que cada uno de los
sistemas de coordenadas anteriormente mencionados poseen a la hora de
resolver situaciones a las que debamos darles solución.
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Objetivo general:
Comparar y analizar los sistemas de coordenadas rectangulares,
Cilíndricas y Esféricas.
Objetivos específicos:
Diferenciar cada uno de los sistemas de coordenadas para la aplicación
adecuada de cada uno de ellos.
Comprender la importancia de cada uno de los sistemas en su aplicación.
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Sistemas de coordenadas:
Cualquier vector de posición ⃗ de un punto P se puede expresar en función de los
tres vectores directores ̌ ̌ ̌ como ⃗=x ̌ +y ̌+z ̌.se dice que el vector ⃗ se
descompone en los tres vectores o coordenadas, y los resultados de la
proyección o descomposición son las tres cantidades(x,y,z) que se conoce como
coordenadas del vector o del punto P en el sistema de coordenadas cartesiano.
Sin embargo, esta descomposición no es la única, es decir, se pueden utilizar
otros tres vectores para descomponer el vector ⃗ .en esto consiste los distintos
sistemas de coordenadas, en un conjunto de tres vectores, generalmente
perpendiculares, que permiten expresar cualquier vector. Que son las
coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas.
Coordenadas Rectangulares.
En el sistema de coordenadas rectangulares, también denominadas coordenadas
cartesianas en honor a su inventor, el matemático francés Rene Descartes, la
posición de un punto se encuentra determinada por tres números independientes
que definen las distancias a los llamados planos coordenados.
En la Figura 4, se pueden observar los tres planos coordenados que forman
ángulos rectos entre si y cuyas intersecciones son los llamados ejes coordenados.
Las distancias perpendiculares medidas a los planos coordenados constituyen las
coordenadas de la posición del punto dado.
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Figura 4. Sistema de coordenadas cartesianas.
Un vector en coordenadas cartesianas se puede notar usando las proyecciones
del vector sobre los ejes coordenados y un conjunto de tres vectores directores
que apuntan en dirección de dichos ejes.
En la Figura 5, se muestran los vectores unitarios directores del sistema de
coordenadas rectangulares.
Figura 5. Vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas.
De acuerdo con las propiedades del producto escalar, un vector cualquiera se nota
en el sistema de coordenadas cartesianas como:
5
Donde, son las proyecciones del vector A sobre los ejes coordenados x,
y, z respectivamente y son los vectores unitarios directores del sistema
de coordenadas cartesianas.
El vector posición de cualquier punto en coordenadas cartesianas por tanto viene
dado por:
Ecuación 9 Vector posición en coordenadas cartesianas.
Los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas
cartesianas siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 10 .
Ecuación 10 Rotación en los productos vectoriales del sistema cartesiano.
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Ejemplos:
Coordenadas cilíndricas.
En este sistema de coordenadas las tres cantidades que caracterizan el vector de
posición o al punto P son (P, ⱷ, Z) que se conocen como coordenadas cilíndricas
donde P es la distancia del punto P al eje z, ⱷ es el ángulo que sostiene la
proyección del vector ⃗ sobre el plano xy con el eje x.
Se expresa como: p √ ⱷ
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En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a
la proyección del punto sobre el plano XY cuya magnitud es igual a la distancia del
punto al eje z, la cual es la primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección
de dicho vector medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda
coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del
sistema cartesiano.
En la Figura 6 , pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en
el sistema cilíndrico de coordenadas.
Figura 6. Sistema de Coordenadas cilíndricas
En este sistema de coordenadas al igual que en el sistema cartesiano, existen tres
vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector. La Figura 7 ,
ilustra los tres vectores directores del sistema.
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Figura 7. Vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas.
Un vector en coordenadas cilíndricas queda definido por:
Donde es la proyección radial del vector con respecto al eje z sobre el
plano XY, es la componente angular medida con respecto al semieje x positivo
y coincide con la componente cartesiana del mismo nombre.
Al igual que en el sistema cartesiano, los productos vectoriales de los vectores
directores del sistema de coordenadas cilíndricas siguen una regla de rotación, la
cual se ilustra en la Ecuación 11.
Ecuación11: Rotación en los productos vectoriales del sistema de coordenadas
cilíndricas.
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El vector posición de cualquier punto en coordenadas cilíndricas queda definido
por:
Los vectores del sistema de coordenadas cilíndricas, cambian de
dirección de acuerdo con la coordenada ; a diferencia de los vectores del sistema
cartesiano que son constantes e independientes de las coordenadas.
Esta característica que se ilustra en el Ejemplo 7, debe ser tomada en cuenta para
la derivación o integración directa cuando se involucra la coordenada .
Para estos casos, resulta muy conveniente usar las identidades de los vectores
unitarios que permiten convertir un vector de un sistema de coordenadas a otros.
En la Ecuación 12 se muestra la matriz de transformación de coordenadas
cilíndricas a cartesianas y en la Ecuación 13 la matriz de transformación inversa.
Estas matrices fueron obtenidas por el método de suma de proyecciones de un
sistema de coordenadas sobre otro, por lo que los productos escalares entre
vectores de diferentes sistemas de coordenadas pueden obtenerse de forma
directa por el cruce de filas y columnas de la matriz directa o inversa.
Ecuación 12 Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.
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Ecuación 13 Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas.
Ejemplo: coordenadas cartesianas a cilíndricas.
Dado un punto en cartesianas (-3,-4,5), hallar las coordinas cilíndricas que
corresponde al punto dado.
Solución:
De la ecuación 13: √ (
) z=5
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Ejemplo: transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.
12
Ejemplo: Transformación de funciones vectoriales de coordenadas cilíndricas a
cartesianas.
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Coordenadas esféricas.
En el sistema de coordenadas esféricas se utilizan también tres coordenadas para
notar la posición de un punto o un vector en un espacio tridimensional, dos de
estas coordenadas son angulares y una de ellas es métrica.
Se utiliza la longitud de un vector (R) que une el origen de coordenadas con punto
dado, el ángulo que este vector forma con el semieje z positivo y el ángulo que
su proyección sobre el plano XY forma con el semieje X positivo , tal como se
muestra en la Figura 8.
Los ángulos y toman los nombres de ángulo polar y ángulo azimutal
Respectivamente.
Sistema de coordenadas esféricas.
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En este sistema de coordenadas al igual que en los anteriores, existen tres
vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector
Un vector en coordenadas esféricas queda definido por:
Donde es la proyección radial del vector con respecto al origen de
coordenadas, es la componente angular medida con respecto al
semieje x positivo proyectada sobre el plano XY y es la proyección en
dirección de incremento del ángulo .
Figura 9. Vectores directores del sistema de coordenadas esféricas.
En el sistema de coordenadas esféricas, los productos vectoriales de los vectores
directores también siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación
14.
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Ecuación14 Rotación en los productos vectoriales del sistema de coordenadas
esféricas.
El vector posición de cualquier punto en coordenadas esféricas queda definido
por:
En este sistema de coordenadas, la dirección de los tres vectores directores
cambia de acuerdo con las coordenadas y , por lo que no se pueden asumir
como constantes en operaciones de derivación, integración o transformación de
coordenadas que las involucren.
Para estos casos conviene también usar una matriz de transformación a
coordenadas cartesianas como la ilustrada en la Ecuación 15. En la Ecuación 16,
se muestra la matriz de transformación inversa.
Ecuación 15 Matriz de transformación directa de coordenadas esféricas.
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Ecuación 16 Matriz de transformación inversa de coordenadas esféricas.
Ejemplo: transformación de coordenadas cartesianas a esféricas.
Dado el punto en cartesianas (-5,3-4).hallar las coordenadas esféricas que
corresponden al punto dado.
Ejemplo: transformación de coordenadas esféricas a cartesianas.
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Mediante la combinación de la Ecuación 13 y la Ecuación 15 se puede obtener
una matriz de transformación directa y otra de transformación inversa entre los dos
sistemas de coordenadas curvilíneas lo cual completa la totalidad de las
transformaciones posibles entre los tres sistemas.
Ecuación 17 Transformación de coordenadas esféricas a cilíndricas
Ecuación 18 Matriz de transformación inversa de coordenadas cilíndricas a
esféricas.
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Ejemplos de aplicación de comparación de sistema de coordenadas.
Cilíndricas:
Discos duros.
La ubicación de los datos en los discos duros mediante el sistema CHS se realiza
indicando tres cantidades: el cilindro (C), la cabeza (H) y el sector (S). Para ver
qué tiene que ver esto con las coordenadas cilíndricas conviene describir cómo
son los discos duros.
Un disco duro en realidad es una pila de discos (por ejemplo, 4 discos) separados
una distancia fija y grabados por sus dos caras. A cada lado de cada disco hay
una cabeza lectora/escritora identificado por el número H, que equivale a la
coordenada cilíndrica .
La distancia al eje de cada disco la da el número C, ya que un cilindro lo
constituyen los puntos a la misma distancia del eje, en los distintos discos. Por
tanto, C equivale a la coordenada radial .
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Por último, dados la cabeza y el cilindro, la posición a lo largo de una
circunferencia (lo que se denomina una pista) se indica mediante el sector S, que
corresponde a la coordenada cilíndrica .
Ejemplo: Grúas
Uno de los ejemplos más sencillos de uso de las coordenadas cilíndricas lo
proporcionan las grúas. Para controlar la posición de la carga, es preciso indicar el
ángulo de giro de la flecha (el brazo de la grúa), dado por , la altura a la que se
sube la carga ( ), y cuanto hay que desplazarla a lo largo de la flecha ( ).
Las coordenadas se utilizan para realizar vuelos en los aviones y para trazar áreas
de búsqueda cuando se accidentan al igual que los barcos.
para poder ubicar, los huracanes, tormentas tropicales, terremotos, sismos entre
otros, los climatólogos se basan en la coordenadas de ellos mismos, y así mismo
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con las coordenadas pueden ver a qué velocidad se dirigen, cual es la trayectoria
que llevan o llevaran en determinado tiempo, la fuerza del viento ya sea que
disminuya o aumente y la ubicación exacta del fenómeno natural, ya sea al oeste,
norte etc., y la altitud o la longitud todo eso lo saben por qué tienen un mapa de
trayectoria, del mismo fenómeno natural el cual les marca las coordenadas.
La directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en
función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas
polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el más común de los
micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5 + 0,5 sen θ.13
Sistema de coordenadas esféricas
Para el método de latitud / longitud de
medición de coordenadas geográficas.
r: Distancia del centro de la Tierra
θ: Longitud
φ: Latitud
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sistema de coordenadas Cartesianas
Es la base para el plan de la red utilizada en la planificación de la ciudad.
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Ejemplo de aplicación de coordenadas cilíndricas en un campo eléctrico:
Un campo eléctrico con simetría cilíndrica está definido por la siguiente expresión,
expresada en coordenadas cilíndricas:
Determine las distribuciones de carga que producen este campo eléctrico, así
como la carga eléctrica total.
Solución:
Distribuciones de carga
En este sistema podemos tener distribuciones de carga de volumen y de
superficie.
Distribución volumétrica:
La densidad de carga de volumen, ρ, la podemos calcular aplicando la ley de
Gauss en forma diferencial
Tenemos tres regiones, en cada una de las cuales la densidad tiene una expresión
diferente
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Para 0 < ρ < a, calculamos la divergencia empleando coordenadas
cilíndricas
Para a < ρ < b, empleando el mismo procedimiento
Para b < ρ el campo es nulo, y su divergencia, también
Distribución superficial
Además de las cargas en el volumen, podemos tener densidades superficiales de
carga en las superficies en que el campo sea discontinuo. Esta densidad la da el
salto en las componentes normales del campo eléctrico
Tenemos dos posibilidades
En ρ = a, el vector normal es , y la densidad de carga
En ρ = b, operando del mismo modo,
Reuniendo todos los resultados, tenemos las densidades de carga
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Carga total
La carga total de la distribución es nula, ya que lo es el campo exterior a la
distribución. Por aplicación de la ley de Gauss a una superficie exterior al cilindro
Podemos obtener también este resultado integrando las densidades de carga
calculadas en el apartado anterior (lo que, en esencia, consiste en re obtener el
campo que derivamos para hallarlas).
Puesto que la longitud de la distribución es infinita, la cantidad de carga
almacenada en cada región también lo es. Lo que se anula es la carga neta. Para
evitar singularidades, hallaremos la carga por unidad de longitud, considerando la
porción de cilindro contenida entre dos planos paralelos z = 0 y z= h.
Calculando cada una de las contribuciones
En
En ρ = a
En a < ρ < b
En ρ = b
En b < ρ
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Sumando las cinco contribuciones
en completo acuerdo con el resultado anterior. De hecho, este segundo método
sirve como test para ver que las densidades de carga no fueran calculadas
incorrectamente.
Potencial eléctrico
Este segundo apartado es completamente independiente del anterior, ya que no
se trata de hallar el potencial eléctrico por integración directa a partir de las
densidades de carga obtenidas (lo que sería una tarea hercúlea), sino a partir del
campo eléctrico, mediante la integral de camino
Tomamos como origen de potencial el infinito y como camino de integración uno
radial horizontal, de forma que
Al hacer la integral debemos distinguir tres regiones,
Para ρ > b, debemos integrar un campo que es nulo en todos los puntos del
camino de integración
Para b > ρ > a, la integral se compone de dos tramos: uno por el exterior del
cilindro, en el que el campo es nulo, y uno en la corona cilíndrica
Para , debemos incluir tres tramos: uno por el exterior del cilindro,
en el que el campo es nulo; uno en la corona cilíndrica; y otro en el cilindro
interior
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Reuniendo los tres resultados
Otros ejemplos coordenadas cilíndricas:
Encuentre el campo eléctrico de un plano infinito de densidad de carga infinita
Solución
Tomemos coordenadas cilíndricas para analizar el campo que produce el plano cargado
Vemos que por simetría la componente radial se elimina y solo contribuye la
componente en z
Por lo que el vector unitario queda expresado como:
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Donde ar y az son los vectores unitarios en de las coordenadas cilíndricas.
El elemento diferencial de superficie a utilizar es:
Por lo que:
Nótese que el campo fue calculado por arriba del plano por simetría lo único que tiene que cambiarse, para el lado de abajo, es az por -az . Aunque también es común expresar el resultado por la siguiente expresión:
Donde aN representa un vector normal al plano. La importancia física de este resultado radica en el hecho de que la magnitud del campo no depende de la distancia al plano, un hecho realmente notable.
Ejemplo 1 coordenadas esféricas
En Geografía...
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El uso más evidente de las coordenadas esféricas lo constituye la geografía. Para identificar un punto de la superficie terrestre indicamos su latitud y su longitud.
La latitud es la altura respecto al ecuador. Este ángulo es el complementario de la
coordenada polar (por lo cual a ésta se la llama también colatitud). La latitud, en
lugar de variar de (en el Polo Norte) a (en el Polo Sur) lo hace
desde a .
La longitud es la distancia angular respecto a un meridiano fijo (el de Greenwich).
Equivale a la coordenada acimutal .
La coordenada radial corresponde a la distancia al centro de la Tierra. La
altitud de un punto de la superficie equivale al valor de con el
radio de la Tierra (suponiendo ésta una esfera, lo que es solo una aproximación).
Ejemplo 2 coordenadas esféricas.
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En astronomía
Para situar las estrellas en el firmamento también es preciso emplear coordenadas esféricas. Existen varias posibilidades, siendo la más usada la formada por
la ascensión recta y la declinación.
La declinación es el equivalente de la latitud, medida en este caso respecto al
ecuador celeste y la ascensión recta corresponde a la longitud, medida desde un
punto de referencia conocido como punto vernal (o punto Aries).
La coordenada radial sería la distancia a la cual se encuentran las estrellas
respecto de la Tierra.
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Bibliografía:
Internet:
http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA04/Sistemas%20de%20coordenadas.h
tm
https://www.quora.com/What-are-the-real-life-applications-of-each-coordinate-system
Apuntes:
Archivo PDF
http://fisica.ciencias.uchile.cl/~jrogan/cursos/mfm1o02/mfm1.pdf
http://www.aliat.org.mx/BibliotecasDigitales/sistemas/Geometria_analitica.pdf
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