7/26/2019 Diferensial Eksak.pdf
2/4
Persamaan Diferensial Eksak
A. Bentuk Umum
Persamaan diferensial orde pertama berbentuk :
M(x,y)dy + N(x,y)dy = 0 .........................(1)disebut
persamaan diferensial excat jika ruas kiri merupakan diferensial
total, yaitu
.........................(2)
dari suatu fungsi f(x,y). Sehingga pers (1) dapat ditulis :
du = 0 .........................(3)
Jika diintegralkan, diperoleh :
u(x,y) = c
Dengan membandingkan pers (1) dan (2), pers (1) bersifat eksak
jika ada fungsi f(x,y)
yang bersifat :
.........................(4)
Jika fungsi-fungsi M dan N terdefinisikan di semua titik pada
bidang xy dalam kurva tertutup
dan tidak memotong, maka pers (4) diperoleh :
Turunan kedua diatas adalah sama, yaitu :
Sehingga :
adalah syarat perlu dan syarat cukup agarMdx + Ndy = 0merupakan
Persamaan Diferesial
Exact.
7/26/2019 Diferensial Eksak.pdf
3/4
B. Langkah Penyelesaian
Fungsi u(x,y)sebagai fungsi penyelesaian persamaan diferensial
eksak diperoleh
melalui operasi pengintegralan berikut :
1. Integralkan terhadap variabel x, sehingga diperoleh :
k(y) : konstanta pengitegralan dan nilainya dapat ditentukan
dengan
2.
Integralkan terhadap variabel y, sehingga diperoleh :
l(x) : konstanta pengitegralan dan nilainya dapat ditentukan
dengan
C. Contoh Soal
1. Tentukan penyelesaian persamaan diferensial + + 4 =
0Penyelesaian :
+ + 4 = 0 + = ( + 4 )
= ( + 4 )
0 = + ( + 4)0 = ( + 4)+
(, ) = + 4 = 1
(, ) = = 1
Karena
=
, maka + + 4 = 0adalah Persamaan Diferesial Eksak
Fungsi Penyelesaian :
(, ) = + ( )
= + ( )= + ( )
