INTRODUCCIÓN 

Las coordenadas han sido utilizadas a lo largo del tiempo en varias ramas de las ciencias 

como por ejemplo la física, la arquitectura, el dibujo técnico etc… 

Están  inmersas en casi todo  lo que observamos en nuestro alrededor, en cada rincón 

tenemos un plano  tridimensional con puntos que se podrían ordenar en  ternas para 

señalar con mayor exactitud coordenadas exactas  en el espacio. 

A  continuación  se pretende hacer uso de  los  conocimientos previamente adquiridos 

para estudiar la geometría en el espacio también conocido como R3 que no es otra cosa 

que agregar un plano adicional al R2 hasta ahora conocido y con esto dar  inicio a un 

conjunto de nuevas propuestas. 

La presencia de este nuevo plano Z o eje de las cotas crea un mayor nivel de dificultad 

en  la apreciación gráfica por parte del estudiante ya que  la clase  se  imparte en una 

pizarra (2D), razón por la que surge la necesidad de abstraerse para conseguir imaginar 

la propuesta en 3D. 

Las  coordenadas cartesianas son apenas uno de las tantos métodos que existen para 

representar puntos en el espacio o en el plano cuando hablamos de dos dimensiones, 

estaríamos hablando de la forma más básica de  donde nacen otras coordenadas que 

estudiaremos en  el desarrollo del curso. 

 

 

   

 

El espacio cartesiano 

Sea R 3 el conjunto de ternas ordenadas de números reales, esto es,  

R 3 = R × R × R = {(x, y, z); x ∈ R, y ∈ R, y z ∈ R}. 

 

Dadas dos ternas ordenadas (x, y, z), (x’ , y’ , z’ ) ∈ R³ son iguales si, y sólo si x = x’ , y = y’ y z = z’ . 

Como veremos, cada terna ordenada (x, y, z) ∈ R 3 se puede asociar de manera única 

con un punto del espacio, y cada punto del espacio se puede asociar en forma única con 

una  terna  ordenada  de  números  reales  mediante  un  sistema  de  coordenadas 

cartesianas rectangular en tres dimensiones. 

Consideremos  tres  planos mutuamente  perpendiculares  que  se  cortan  en  el  punto 

común 0, tal como se indica en la siguiente figura: 

   

Como el punto en el espacio va a localizarse con referencia a estos elementos, los planos se llaman planos coordenados, las rectas de intersección de estos planos se llaman ejes coordenados. El punto de intersección de los tres planos ~0 = (0; 0; 0) es el origen del sistema de coordenadas rectangulares.  Teniendo  lo  anterior  estamos  en  libertad  de  designar  los  ejes  coordenados  como queramos.  Un  convenio  es  el  indicado  en  la  figura  anterior;  se  dice  entonces  que elsistema de coordenadas es un sistema de mano derecha. Los ejes coordenados son:  

1 El eje x es la recta determinada por 0 y x. 2 El eje y es la recta determinada por 0 y y. 3 El eje z es la recta determinada por 0 y z.  Su dirección positiva está indicada en cada uno de los ejespor una flecha.  Cada plano coordenado se designa por los dos ejes coordenados que contiene. Así, el plano coordenado que contiene al eje x y al eje y  se  llama plano xy; análogamente, tenemos los planos xz y yz. Los tres planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. El octante determinado por las partes positivas de los ejes coordenados se llama primer octante; no se acostumbra asignar ningún número a  los siete octantes  restantes, sin embargo  se  identifican  mediante  los  signos  de  las  componentes  de  las  ternas coordenadas a las que están asociados, como (+;‐; +).  En  la  práctica,  no  es  necesario  representar  el  sistema  de  coordenadas  trazando  los planos  coordenados  como  aparecen  en  la  figura  anterior;  será  suficiente  trazar solamente los ejes coordenados,  En Resumen: Un punto P en el espacio  tiene una y  solamente una  terna de  coordenadas  (x; y;  z) relativa a un sistema coordenado rectangular especificado. Recíprocamente, una terna de  coordenadas  (x;  y;  z)  determina  uno  y  solamente  un  punto  P  en  el  espacio  con respecto a un sistema coordenado fijo. 

DIFRENCIALES DE COERDENADAS CARTESIANAS

Una de las operaciones que más a menudo se efectúan sobre los campos es la integración:

sobre una longitud, una superficie o un volumen y tanto integrales escalares como

vectoriales.

Lo que nunca hay que perder de vista es que una integral es una suma de cosas muy

pequeñitas. No tiene más misterio. Por ejemplo, si nos encontramos la integral

No hay que quebrarse la cabeza meditando si es un flujo o una circulación, si hay que poner

tal o cual jacobiano, o si podemos hallar una primitiva. Solo hay que sumar.

Eso sí, para poder sumar, primero debemos poder expresar correctamente los diferenciales

de longitud, de superficie o de volumen. Y su expresión dependerá del sistema de

coordenadas que estemos empleando.

DEFINICION.

En geometría diferencial, la forma diferencial es un objeto matemático perteneciente a

un espacio vectorial que aparece en el cálculo multivariable, cálculo tensorial o en física.

Comúnmente una forma diferencial puede ser entendida como un operador multilineal

antisimétrico definido sobre el espacio vectorial tangente a una variedad diferenciable. En

un espacio o variedad de dimensión n, pueden definirse 0-formas, 1-formas,... y n-formas.

La forma diferencial es una generalización sobre ideas previas como el gradiente, la

divergencia, el rotacional, etc. Esa generalización y la moderna notación usada en el estudio

de las formas difenciales se debe a Élie Cartan.

 

 

Diferencial de Longitud.

El diferencial de longitud expresa la distancia diferencial entre puntos localizados en la misma vecindad y permite por integración directa obtener la distancia entre puntos que no se encuentren en la vecindad. De forma semejante, se pueden obtener integrales de línea sobre curvas parametrizadas.

Diferencial de longitud en coordenadas cartesianas.

En coordenadas cartesianas, la obtención de un diferencial de longitud es sencilla usando desplazamientos diferenciales en cada una de las direcciones de los ejes coordenados.

Vectorial

Escalar

Diferencial de Volumen.

El diferencial de volumen se utiliza para análisis que involucran distribuciones volumétricas de alguna cantidad física, en coordenadas cartesianas, se obtiene de una forma muy simple, multiplicando los desplazamientos diferenciales en los tres ejes.

El diferencial de volumen, se determina del volumen del paralelepípedo, lado, lado, lado, un elemento de volumen, es una pequeña porción del espacio. En principio, su forma es arbitraria. De hecho, a menudo es útil pensar en elementos esféricos. Sin embargo, por su simplicidad, consideraremos elementos en forma de paralelepípedo. Si tenemos tres diferenciales de camino no coplanarios, el volumen del prisma que determinan es

En coordenadas:

Considerando de nuevo diferenciales a lo largo de las líneas coordenadas y aplicando el orto normalidad de las bases.

Para cualquier otro sistema de coordenadas, basta con multiplicar los desplazamientos diferenciales de cada coordenada por los respectivos coeficientes métricos obteniendo de nuevo un diferencial de volumen.

 

Diferencial de superficie. 

El diferencial de superficie escalar, dS es el área de un pequeño trocito de una superficie.

Sin embargo, de bastante más interés es el diferencial vectorial, que se define como el

producto de dicha área por el vector normal a la superficie  

Para obtener el vector consideramos dos vectores tangentes a la superficie. El producto

vectorial de estos dos vectores es otro vector...

Perpendicular a ambos vectores, esto es, perpendicular a la superficie.

De módulo igual al área del paralelogramo definido por ambos vectores.

Pero estas dos propiedades son justamente las que definen el vector . Por tanto,

Esta construcción se puede hacer de forma general para cualquier superficie. Sin embargo,

aquí nos limitaremos a considerar superficies coordenadas. ¿Por qué? Porque es más fácil

y porque casi siempre trabajaremos con este tipo de superficies (ya que precisamente las

superficies son las que nos inclinan a elegir un sistema de coordenadas u otro).

 

 

 

 

 Historia del Operador Nabla 

El  nombre  del  símbolo    proviene  de  la  palabra griega equivalente  a  la  palabra 

hebrea arpa,  instrumento que  tiene una  forma similar. Hay palabras  relacionadas en  los 

lenguajes  arameo  y  hebreo.  En  el  griego  actual  se  la  llama  ανάδελτα  (anádelta),  que 

significa "delta invertida". 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

El arpa, el instrumento que da nombre al símbolo nabla. 

 

En HTML se escribe ∇  y en LaTeX como  \nabla . En Unicode, es el carácter U+2207, 

o 8711 en notación decimal. 

El gradiente fue denotado Δ por William Rowan Hamilton en 1846, hacia 1870 se denoto   

la  letra  delta  

invertida, que se llamó “atled”. En 1871 Maxwell escribió “la cantidad  P es un vector”. El  

nombre de “pendiente” como se conocía en un principio pasó de uso y se reemplazó por 

la de “gradiente”; se refiere a la palabra grado, el peralte de un camino o una superficie. El 

nombre  de  

(nabla apareció impreso por vez primera en 1901 en Vector Analysis, un libro para uso de 

estudiantes  de  matemáticas  y  física. 

Ahora bien en cuanto al operador nabla   ≡ para el caso de una superficie en coordenadas 

cartesianas,    no  es  un  vector,  sino  un  operador,  puede  considerarse  como  un  vector 

simbólico;  así  si  ϕ  es  un  campo  escalar,  entonces  ϕ   es  un  operador,  por  tanto  

 

 

colocando   a  la  izquierda da operadores, mientras que aplicado a  la derecha  ϕ da  la 

importante  función  vectorial  llamada  gradiente,  por  lo  tanto  a  la  derecha  entrega 

funciones vectoriales o escalares, en el caso de  tener ϕ una  función  real definida en un 

conjunto  abierto  S  ,  el  gradiente  de  ϕ  designado  por  ϕ  o  por  gradϕ,  es  una  función 

vectorial  definida  por  

ϕ =(D1 ϕ(x),…,Dn ϕ(x)) donde D1 ,D2,… Dn son las derivadas parciales; a lo anterior 

se le conoce como campo gradiente de ϕ, pero entonces surge un nuevo concepto a tratar 

aunque  de  manera  

algo  vaga,  el  de  campo  vectorial,  para  conocer  algo  acerca  de  éste  remitámonos 

nuevamente  a  un  poco  de  historia,  el  concepto  de  campo,  entendido  como  campo  de 

vectores,  tuvo  un  gran  tres 

impacto en el desarrollo de las bases conceptuales de la física y la ingeniería, es realmente 

una de  las  ideas que  supusieron un  avance  significativo en  la historia del pensamiento 

humano.  

Es  la noción que permite describir de modo  sistemático  las  influencias  sobre objetos  y 

entre  objetos  que  están  separados  espacialmente.  La  idea  de  campo  comenzó  con  el 

concepto  de  

Newton de  campo gravitacional en este  caso, dicho  campo describe  la atracción de un 

cuerpo o grupo de cuerpos sobre otro. Análogamente el campo eléctrico producido por un 

objeto  o  grupo  

de objetos cargados crea una fuerza sobre otro objeto cargado eléctricamente. El uso de 

campos  vectoriales  para  describir  este  tipo  de  fuerzas  ha  conducido  a  una  misma 

comprensión  más  

profunda  de  las  fuerzas  atractivas  y  repulsivas  en  la  naturaleza.  Sin  embargo  fue  el 

monumental  descubrimiento  de  las  ecuaciones  de  Maxwell  que  describen  “La 

propagación  electromagnética”,  

las que consolidaron el concepto de campo en el pensamiento científico. 

    

 

 

 Definición Matemática   Para el operador nabla en coordenadas cartesianas se puede definir este operador de  la siguiente  forma:          Los vectores   Son  los  vectores  unitarios  en  cada  uno  de  los  ejes  coordenados  ortogonales. En  la misma página vemos que  también aparece  la manera en que se debe  transformar dicho  operador  en  otros  sistemas  de  coordenadas.  La  vamos  a  reproducir  aquí  por completitud, pero vamos a llegar a la expresión de dicho operador de otra manera.          En  la expresión anterior aparecen  los  llamados factores de escala que no son más que la forma  en  que  el  tensor  métrico  de  un  determinado  sistema  de  coordenadas  está expresado con referencia precisamente a dicho sistema de coordenadas. Quizás y por su importancia,  le dedicaremos  otro post  a  este  tema,  ya  que  el  cálculo  tensorial  es muy importante en física y como comprobaremos en este viaje, es omnipresente, ya que hasta los escalares son tensores…sí, de un orden determinado  (concretamente de orden nulo) pero  tensores  al  fin  y  al  cabo. Para  centrar  ideas, de  forma muy breve diremos que un  tensor es una entidad que  se transforma  de  una forma  determinada cuando  se  realizan  cambios  en  los  ejes  de coordenadas. Usualmente se utiliza la notación matricial para expresarlos y los cambios de un  sistema  de  coordenadas  a  otro  vienen  dados  por  productos  de  matrices. Que me perdonen  los puristas si no soy muy puntilloso (o riguroso) con  las definiciones, pero creo que debemos primero centrar ideas, que yo también soy nuevo en esto y estoy aprendiendo. 

 

 

Bien,  una  vez  dicho  esto,  vamos  a  ver  cómo  podemos  deducir  la  expresión  del operador   en otros sistemas de coordenadas. 

Relación con la diferencial exterior 

Todas  las  expresiones  que  involucran  el  operador  nabla  del  cálculo  vectorial  en   puede  ser 

expresadas en términos de diferencial exterior de una n‐forma n < 3 sobre  : 

 

El gradiente de una función se asocia con la diferencial exterior de una 0‐forma. 

El rotacional de un campo vectorial se asocia con la diferencial exterior de una 1‐forma. 

La divergencia de un campo vectorial se asocia con la diferencial exterior de una 2‐forma. 

Una función es una 0‐forma sobre el espacio euclidiano, su gradiente es: 

 

 

Donde   son las componentes del inverso del tensor métrico en las coordenadas , obviamente 

en coordenadas cartesianas. 

El rotacional de un campo vectorial puede asociarse con la diferencial exterior de una 1‐forma. 

 

Donde   es  el operador  dual  de  Hodge y      son  las  componentes  del  tensor  métrico  en  las 

coordenadas . 

La divergencia de un campo vectorial puede asociarse con la diferencial exterior de una 2‐forma. 

 

 

 

Introducción   El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física. En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución física de una determinada magnitud o propiedad.  

 

En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, representando valores 

bajos o altos respectivamente, y el gradiente correspondiente se aprecia por flechas 

azules. 

   

Definición             El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como: 

 

siendo   un vector unitario y   la derivada direccional de   en la dirección de  , que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección: 

 

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar: 

 

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca.  El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla: 

   

  

Interpretación del Gradiente        De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, 

llamese  ,  ,   etcétera. Algunos ejemplos son:   

Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un 

campo escalar, de tal manera que en cualquier punto  , la temperatura 

es  . Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección. 

Considere una montaña en la cual su altura en el punto   se define 

como  . El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente. 

    

  

Aproximación lineal de una función   El gradiente de una función f definida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular x0 en Rn. Se expresa así: 

 

Donde   es el gradiente evaluado en x0.  

            

 

Propiedades 

A partir de la definición, pueden demostrarse varias propiedades generales que no 

requieren el uso de ningún sistema de coordenadas: 

El gradiente es ortogonal a las superficies equiescalares 

Sea un punto   en el que está definido el campo   y consideremos una 

dirección tangente a una superficie equiescalar. La derivada direccional en 

dicha dirección es nula pues el valor del campo no cambia si nos movemos 

sobre una superficie equiescalar 

 Pero, por otro lado, 

 Por tanto 

         

para todas las direcciones tangentes a la superficie equiescalar. Si el gradiente 

es perpendicular a todas las direcciones tangentes a la superficie equiescalar, 

se deduce que es un vector perpendicular a la superficie equiescalar en dicho 

punto. 

De esta propiedad se deduce que el plano tangente a una superficie equiescalar 

en un punto   tiene la ecuación vectorial 

  

El gradiente apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima 

Consideremos un campo escalar en un punto   y evaluemos los posibles 

valores de las derivadas direccionales en dicho punto. De acuerdo con las 

definciones de gradiente y de producto escalar 

 siendo α el ángulo que forman el vector gradiente y el vector  . Ahora bien, el 

módulo del gradiente será el que sea, pero en cualquier caso es independiente 

de la dirección de   que tomemos. El módulo de   es la unidad. Por tanto los 

posibles valores de la derivada direccional, como función de la dirección, 

cumplen 

 

alcanzándose el valor máximo cuando   esto es, cuando la dirección 

de   coincide con la del gradiente en ese punto. 

Por tanto, 

la dirección del gradiente es aquella en que la derivada direccional es 

máxima. 

su sentido es aquél en que   crece (ya que la derivada direccional es 

positiva). 

su módulo es el valor de la derivada direccional máxima. 

El gradiente es nulo en los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de silla) 

Supongamos un campo escalar derivable que alcanza su valor máximo en un 

punto  . En este punto, sea cual sea la dirección que tomemos, el valor de la 

función es máximo, por lo que la derivada direccional debe anularse (del mismo 

modo que la derivada de una función de una sola variable se anula en un 

máximo). Por tanto, para todo  , 

 y puesto que el único vector cuyo producto por cualquier otro es nulo es el 

vector nulo, se deduce que 

     en un máximo 

Por la misma razón 

     en un mínimo 

Esto es, el gradiente se anula en los extremos de la función (donde ésta sea 

derivable en todas direcciones). Inversamente, si el gradiente de un campo 

escalar se anula en un punto, podemos concluir que en dicho punto el campo 

posee un punto crítico, que puede ser: 

Un máximo 

Un mínimo 

Un punto de silla 

Para determinar de qué clase de punto crítico se trata, es preciso considerar las 

derivadas de orden superior. Si estas también se anulan, puede haber algún 

caso más, como que sea un punto de inflexión. 

   El gradiente verifica que: 

Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por   =cte..  Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.  Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.  Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla)  El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto 

es, 

     

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas   A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente   

  En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión 

 Para coordenadas cilíndricas (hρ = hz = 1,  ) resulta 

 

y para coordenadas esféricas (hr = 1, hθ = r,  ) 

        

Gradiente de un campo vectorial   En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de 

un campo vectorial, siendo el gradiente de   un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento 

 Este tensor podrá representarse por una matriz  , que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.   Ejemplo  Dada la función f(x,y,z) = 2x + 3y2 − sin(z) su vector gradiente es: 

       

   

Aplicaciones en física            El Gradiente posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar. Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico 

 Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como 

 Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es proporcional al gradiente de temperaturas 

 siendo k la conductividad térmica.    

Divergencia

La divergencia, calculada en cartesianas, del vector de posición, es

Rotacional

Para el rotacional de este mismo campo, empleando coordenadas cartesianas

Ejercicio:

Dado el campo vectorial F= x2 i – 2xy j + yz2 k Hallar:

a) Div F b) Rot F

 

                                                                                     

 

BIBLIOGRAFIAS. 

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_cartesianas._Diferenciales 

http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA04/Contenido%20Calculo.htm  

http://es.scribd.com/doc/27967053/Diferenciales‐de‐longitud‐de‐linea‐superficie‐y‐

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https://es.wikipedia.org/wiki/Nabla 

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Gradiente http://hyperphysics.phy‐astr.gsu.edu/hbasees/gradi.html http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548734/Operadores%20Diferenciales%3AGradiente,%20divergencia%20y%20rotacional