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8/16/2019 diferenciacao_numerica

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Diferenciação Numérica

Profa. Thaís Gama

Unifal-Abril/2010



Conceito de Derivada

Seja uma função f(x) e um dado ponto P fixo sobre esta

curva. Considere um segundo ponto Q próximo de P. A reta

tangente em P pode ser representada pela reta PQ na

medida em que Q se aproxima de P.



O coeficiente da reta PQ quando Q está o mais

próximo possível de P é chamado de derivada dafunção no ponto P ou, sendo , a

derivada pode ser representada por

O coeficiente da reta PQ, m, pode ser calculado

pela fórmula:

Pela figura, podemos perceber que quanto menor h,

mais próximo Q estará de P, daí podemos concluir

que

)(a f ′ f ))(,( a f aP =

h

a f ha f m

)()( −+=

h

a f ha f a f

h

)()(lim)(

0

−+=′

→







Na medida em que h diminui, o valor da derivada

numérica se aproxima do valor real. Porém, por menorque seja h, este método ainda apresentará um erro de

arredondamento grande. Uma maneira de reduzir este

erro é utilizar vários pontos. A idéia é, a partir de um conjunto de pontos, que

definem um intervalo [a,b], determinar a função f que

representa tais pontos, ou seja, interpolar este conjuntode pontos. Em seguida, podemos calcular a derivada da

função f e aplicá-la a qualquer ponto pertencente ao

intervalo [a,b].

Quanto maior o número de pontos melhor será o

resultado. Porém, por praticidade, utiliza-se fórmulas de

3 a 5 pontos



Fórmula geral

Iremos utilizar um conjunto de 3 pontos e o

polinômio interpolador de Lagrange para

interpolar tais pontos.

A partir do polinômio interpolador de Lagrange,

sua derivada é dada por:

onde:

)(.)(' '

0

x pb x f i

n

i

i∑=

≅

∏≠=

−=n

i j j

ji x x x p,0

)()()(

)(

ii

ii

x p

x f b =



Para 3 pontos teremos:

O que nos leva a fórmula:



Sendo os pontos x0,x1,...,xn separados por uma distância

h, pode-se determinar a derivada da função em umdeterminado ponto xk, através de 3 possibilidades:

Podemos escolher xk-2h, xk-h e xk – diferenças finitas retroativas

Podemos escolher xk-h, xk e xk+h – diferenças finitas centrais

Podemos escolher xk,xk+h e xk+2h – diferenças finitas progressivas

xkxk+h xk+2hxk-h

xk-2h

h



Substituindo os valores para os pontos na derivada

da equação de interpolação de Lagrange obtemosas seguintes fórmulas:

diferenças finitas retroativas

diferenças finitas centrais

diferenças finitas progressivas )2,,( 210 h x xh x x x x k k k +=+==

),,2( 210 k k k x xh x xh x x =−=−=

),,( 210 h x x x xh x x k k k +==−=



Ex:Determinar os valores de utilizando os 3

métodos (retroativo, central e progressivo) dada a

tabela a seguir:

Sabendo que compare os 3 métodos

com o valor real da derivada

Obs. Pela tabela temos o incremento h=0.1.

)2( f ′

x

e x x f ⋅=)(



Se então, pela regra da cadeia, temos:

Retroativa

Central

Progressiva

xe x x f ⋅=)(

xe x x f ⋅+= )1()('

167168,22)12()2(' 2=⋅+= e f



Atividade em classe Calcule as derivadas para cada ponto na tabela e

calcule os erros absolutos associados.

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