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DIELECTRICOS
Si el aislador puede ser polarizado por la aplicación de un campo eléctrico externo, es llamado un dieléctrico.
Carga Constante
Dieléctrico
Potencial Constante
En ambos casos si el dieléctrico llena completamente el espacio entre las placas, la capacitancia aumenta en un factor de K, que llamamos
constante dieléctrica
C = KC0
C0 : Capacitancia en el vacío
QkQ
Carga aumenta
Caso de carga constante:
V0 = E0 d
V = E d
Q = C0V0
Q = C VVV
CC 0
0 K
KEE
VV
00
KE
E 0
H
OH
DieléctricosUn examen atómico
Dieléctricos polares: Poseen momentos dipolares permanentes.(Ejm. Molécula de agua)
pagua= 6.2 x 10-30 Cm
Dieléctricos PolaresUn examen atómico
+-
+-
+- +- +-+-
+-
+-+-
+-+-+-
+-+-
+-
+-+-
+-
+-+-
+-
+-+-
+-Dipolos eléctricos orientados alazar en ausencia de un campoeléctrico externo.
Dipolos eléctricos ORIENTANDOSEEN PRESENCIA de un campo eléctricoexterno.
E
Dipolos eléctricos ORIENTADOS PORLA PRESENCIA de un campo eléctricoexterno.
+-
+-
+ -
+-
+-
Resumen
Dieléctricos polares
E
a) Dipolos eléctricos orientados al azar en ausencia de un campo eléctricoexterno.
b) En presencia de un campo eléctrico externo los dipolos se alinean. Laagitación térmica impide un alineamiento completo.
(a) (b)
• En cualquier caso, la alineación de los dipolos moleculares producenun campo eléctrico adicional debido a los dipolos cuyo sentido esopuesto al del original
Dieléctricos no polares:
• Las moléculas carecen de momentos dipolares eléctricospermanentes, pero pueden ser inducidos cuando se coloca en uncampo eléctrico.
• Las moléculas como H2, N2, O2, etc. son no polares. Las moléculas sonsimétricas y el centro de distribución de las cargas positivas coincidecon el de las negativas. Por el contrario, las moléculas N2O y H2O noson simétricas y los centros de distribución de carga no coinciden.
La unidad de momento dipolar es el debye; 1 D = 3,34 x 10-30 Culombio x m.
http://sebbm.es/BioROM/contenido/JCorzo/temascompletos/InteraccionesNC/dipolares/dipolar1.htm
E0 E0
Ei
i i
E
Si el campo eléctrico disminuye entonces el flujo disminuye, por lo tanto lascargas netas dentro de la superficie gaussiana debe disminuir.
VacíoDieléctrico entre
las placas
Vector Polarización
• El multipolo dominante cuando se aplica el campo eléctrico es el dipolo.
• Al aplicar un campo eléctrico externo inducimos un dipolo:
• Por lo tanto se produce en el medio una polarización eléctrica media(momento dipolar por unidad de volumen), definida por:mP
+-q-q
p
dqp
V
pP i
i
m
• Si hay N atomos por unidad de volumen:
dVpdPlimP
Vm
0
dNqpNP
Nota:
NA = 6,02 x 1023 átomos por molM = Masa molecular = Masa / mol = Masa /volumen
volumenátomos
molmasa
volumenmasax
molátomos
M
NA N
Las cargas negativas y positivas se desplazan unas respecto de las otras, el hechoque se desplazan no producen ninguna carga neta dentro del volumen.
Dato:volumendipolos#N
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
-QQ-Q’ Q’
ANAqd
AQ
P
P
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
-LibLib
-Pol Pol
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
0 PolLibE
00
PolLibE
00 PLib
Como suponemos que el medio es isotrópico:
EP E
0
: Suceptibilidad eléctrica
E
LibE
1
1
0 KE0
Dieléctrico Constante dieléctrica
Ámbar 2.7-2.9Agua 80.08Aire 1.00059Alcohol 25.00Baquelita 4-4.6Cera de abejas 2.8-2.9Glicerina 56.2Helio 1.00007Mica moscovita 4.8-8Parafina 2.2-2.3Plástico vinílico 4.1Plexiglás 3-3.6Porcelana electrotécnica 6.5
Seda natural 4-5
La carga que se mueve a través de cualquier elemento de superficie esproporcional a la componente de P perpendicular a la superficie:
n P
n.PPol
S
dAn.PqEn general:
Ejemplo: Densidad de carga superficial
Suponer que el efecto de un campo eléctrico es inducir un momento de dipoloeléctrico de 10-30 C.m. por molécula. ¿Cuál es la densidad de carga superficial depolarización sobre una superficie haciendo un ángulo de 450 con el campoeléctrico si hay 1021 moléculas/cm3?
Datos:p = 10-30 C.m.N = 1021 moléculas/cm3 = 1027 moléculas/m3
E
n
p
n.PP
24230270 1005722101045 m/Cx,m/CcosNpP
De una polarización no uniforme puede resultar una carga neta en el cuerpodel dieléctrico:
+
+ +
+
+
+
+
++
+
V -ΔQ
n
P
S
dAn.PQ
Carga neta que sale
Carga neta que queda
-ΔQ
dVdVP.dAn.PV V
PolS
P.Pol
E
Campo fuera de un medio dieléctrico
Recuerden que el potencial de un dipolo es: 30
20
2
41
41
rr.p
ri.p r)(
V
r r
P
rr
S0
V0
3
04 rr
rrpdd
Vd
rrrrP 3
04
.
3
1rrrr
rr
rrP
rrrrP
1.. 3
fFFfFf ... rr
f
1
PF
V
P
S
P
rrdV
rrdA)r(
00 41
41
0
rrPP
rrrrP
1..1.
Prrrr
Prr
P
.1.1.
dVPrr
dArrnPr
VS
.1
41ˆ.
41
00 00
dVPrr
dVrr
Prr
PrVVV
.
14
1.
411
.4
1
000 000
Recordar:
z
0
z
0
z
z
02/
zE
z
1
-1
z
ziza
zzz
E
2202
zaz 22
02
Plano infinito
Disco cargado uniformemente
Un cilindro dieléctrico. Encuentre el campo en cualquier eje de un cilindro, si estecampo es debido a una polarización uniforme axial, como se muestra en la figura:
x
L P
y
z.P (0;0;z)
Tapa 2
Tapa 1
z220
z220i
za
z12Pi
Lza
Lz12PE
Z > L
z220
z220i
az
z12Pi
zLa
zL12PE
Z < L
Tapa 2Tapa 1
Ecuaciones Electrostáticas en presencia de un dieléctrico
La ecuación fundamental es :
0 E
.
0
LibrePolE
.
: densidad de todas las cargas eléctricas
POL Libre+
LibreD . PED
0donde
Vector desplazamiento
00
.
PLibre
00
.
LibrePE
EP E
0 EED E
10
K
TRES VECTORES DIELÉCTRICOS
P = 0
E0
-Q
Q
D
P = 0D-Q’
+Q’
P
E0
DE
PED
0
E0
E0
E
Ejemplo:
Se tiene una distribución esférica de carga eléctrica libre uniformementedistribuida (L = constante) en una región de radio a y permitividad tal como semuestra en la figura:
a 0
Determine el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio.
rirDD
LibreD .
DLibre
S
dVdAn.D
ddrdsenrdV 2
2
0 0
r
or
2Libre
2 ddrdsenrr4D L3r
34
rL i3
rD
ED
Se halló anteriormente:
rL i
3rE
r<a
Solución:
2
0 0
a
or
2Libre
2 ddrdsenrr4D L3a
34
r2
3L ir3aD
0
DE
r2
0
3L i
r3a
r > a
44
r20
ir4
QE
D
r
E
ra
3aL
3
aL
0
L
3a
a
Continuo
Discontinuo
Ejemplo:
Se tiene una carga puntual q dentro de una esfera dieléctrica de radio R ypermitividad Determine todos los campos y cargas en el espacio.
0R
D
LibreS
dVdAn.D
q
r2 ir4
qD
ED
r<Rr2 i
r4qDE
PED
0 EDP 0
r20r2 i
r4qi
r4q
r0
2 i1r4
qP
P.Pol
r2
2 Prrr
1 0
RrPol n.P
rrr i.iP RrrP
0
2P 1R4q
0
P 1qq
r>R
r200
ir4
qDE
PED
0 EDP 0
r2
00r2 i
r4qi
r4q
0P
ESFERA DIELÉCTRICA
Una esfera dieléctrica uniformemente polarizada:
ziPP
--
--
--
-
-
++++
++
+
+
P
Encontrar el campo eléctrico en el centro de la esfera.E
z
Solución:
P
--
--
--
-
-
++++
++
+
+
n
cosPPol
--
--
--
-
-
++++
+++
+
E
EE
E
z
zP i
RdAE ˆcos
44
20
Coordenadas esféricas
r
d
rsen
rd
rsend
dA = r2sen d d
y
x
z
2/
0 02
2
0
ˆcos4
4 z
P iR
ddsenRE
2/
00
ˆcos1
zP idsenE
cosPPol
2/
0
2
0
ˆcos
zidsenPE
031PE
UNA ESFERA DIELÉCTRICA EN UN CAMPO UNIFORME
ziEE ˆ
--
--
--
-
-
+++
++
++
+E
z
¿Cuál es el campo eléctrico en el centro de la esfera?E
Solución:
EsferaExtTotal EEE
TotalE)k(P
01
PEEsfera
031
TotalEsfera EkE
3)1(
ExtTotal Ek
E
23
ExtEk
)k(P
0213
Ext3r3
0
3
Fuera Eir
senircos2
3PRE
• Demostrar que:
PED
0
2kE1k3
2kE3 Ext
0
Ext
0
Ext0 E2k
k3
ir
senircos2
4pE 3r3
0Dipolo
Para un dipolo se halló:
que es el mismo comportamiento que tiene la esfera en el exterior.
3R
34PPVp
i
rseni
rcos2
4
R34P
E 3r30
3
Dipolo
ir
senircos2
3PRE 3r3
0
3
Dipolo
Solución:
--
-
--
-
-
++
++
++
+
ExtTotal EE
LÍNEAS DE D EN LA VECINDAD DE LA ESFERA
ExtEk
kD
23 0
ENERGÍA ELECTROSTÁTICA EN TÉRMINOS DE CANTIDADES DE CAMPO
dVrrUE
21
Todo el espacio
D
.
dVrD
.21
Todo el espacio
Utilizando la identidad vectorial: DDD
...
oTodoespaci oTodoespaci
E dVDdVDU
.21.
21
oTodoespaciS
E dVDdAnDU
.21ˆ.
21
E
oTodoespaci
dVED
.21
Se construye un capacitor con dos placas planas conductoras cuadradas con ladosde longitud L, separadas por una distancia d. Después se introduce entre lasplacas un dieléctrico de permitividad que llena todo la cavidad, como se muestraen la figura.
d V
Si jalamos el dieléctrico hasta una distancia x, calcule la fuerza que haceregresar al bloque.
V
x
Problema:
oTodoespaci
E dVE.D21U
V
x
dvE.E21dvE.E
21U 0E
xbdwEdwxE21U 2
02
E xbxdwdV
21
0
2
V
ex dx
dUF
0
2
dwdV
21
Observaciones:
Esta ecuación no es en realidad correcta. Si es muy grandeentonces y no son proporcionales.
ED
E
D
E
Si es escalar y también independiente de la posición dentro del material,entonces se trata de un dieléctrico ideal (isotrópico lineal homogéneo )
D
E
y son en general no colineales, de manera que es un tensor:
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
EEE
DDD
0 /. E
0 Ex
Las expresiones: y ,representan el conocimiento
más completo y profundo de la electrostática.