Die Vermessung der Milchstraße:Hipparcos, Gaia, SIM

Vorlesung von Ulrich Bastian

ARI, Heidelberg

Sommersemester 2004

Gliederung

1. Populäre Einführung I: Astrometrie2. Populäre Einführung II: Hipparcos und Gaia3. Wissenschaft aus Hipparcos-Daten I 4. Wissenschaft aus Hipparcos-Daten II5. Hipparcos: Technik und Mission6. Astrometrische Grundlagen 7. Hipparcos Datenreduktion Hauptinstrument8. Hipparcos Datenreduktion Tycho9. Gaia: Technik und Mission10. Gaia Global Iterative Solution11. Wissenschaft aus Gaia-Daten12. Sternklassifikation mit Gaia13. SIM und andere Missionen

Astrometrie:

Einigemathematische und astronomische

Grundlagen

1) Messgenauigkeit Unterschied Winkelauflösung / Messgenauigkeit Cramer-Rao-Limit

2) Modellierung der Objekte (Sternbewegung im Raum)

3) Modellierung der Messung (proper direction) Relativistische Sichtweise

Heute drei Themen:

1) Astrometrische Messgenauigkeit

Alle wesentlichen astrometrischen Effekte sind sehr klein, deshalb istAstrometrie stets ein Kampf um die höchstmögliche Genauigkeit. Ein Faktor 2 in der Messgenauigkeit bringt einen Faktor 2 in der erreichbarenEntfernung, das bedeutet einen Faktor 8 im erreichbaren Volumen.

1a) Unterschied zwischen Winkelauflösung und Messgenauigkeit

Diese beiden Größen (beide in Bogensekunden auszudrücken!) werdensehr oft verwechselt. Die Winkelauflösung ist ein Maß für den Durchmessereines registrierten Sternbilds, die astrometrische Messgenauigkeit ist einMaß für die Genauigkeit, mit der ich seine geometrische Mitte bestimmenkann.

1b) Cramer-Rao Limit Wie genau kann man überhauptmessen? Siehe separate pdf-Datei‚cramer-rao-limit.pdf‘

2) Modellierung der Objekte (Sternbewegung im Raum)

Ein astrometrisches Instrument misst an sich nur Positionen (oder sogar nurEinzelkoordinaten) von Objekten zu bestimmten Zeitpunkten. Das ist abernicht das, was den Astronomen interessiert. Er will zusammengefasste Ergebnisse, die sog. astrometrischen Parameter: Eigenbewegung, Parallaxe, Ausgangsposition zu einem festen Zeitpunkt, evtl. Bahnparameter bei Doppelsternen.

Im Folgenden wollen wir uns mit der Definition dieser Größen und ihrerAnwendung etwas näher beschäftigen. Und dabei die vektorielle Darstellungastrometrischer Größen und Sachverhalte einführen.

Jargon: Die Berechnung der Position eines Sterns für einen beliebigenZeitpunkt t aus den astrometrischen Parametern, die für einen festen Zeitpunkt t0 gelten, heißt Epochentransformation. Die beteiligten Zeitpunkte werden auch als Epochen bezeichnet (speziell Beobachtungsepoche und Bezugsepoche oder Katalogepoche).

Definition:Gar zu einfache Umkehrung führt zu Unsinn:a) Über lange Zeiten generellb) In der Nähe des Pols

Gebräuchliche Modelle für Epochentransformation:

1) Konstante Zeitableitungen der Koordinaten

2) Konstante Bewegung auf einem Großkreis

3) Konstante Bewegung im dreidimensionalen Raum

- Bewegung auf Großkreis

- perspektivische Beschleunigung bzw. Verlangsamung

- Radialgeschwindigkeit notwendig

- Entfernung notwendig

- Messung im Prinzip auch rein astro- metrisch möglich, aber Trennung von Doppelsternbahn i.a. unmöglich

4) Konstante Bewegung plus Doppelsternbahn

Definition 1: Astrometrische Parameter, Bedeutung

Die 5 astrometrischen Parameter (2 Koordinaten, 2 Eigenbew.-Komponenten,Parallaxe) eines Sterns im Hipparcos-Katalog beschreiben seine Bewegungrelativ zum Massenzentrum (Baryzentrum) des Sonnensystems - in einer Ebene, die senkrecht zur Blickrichtung liegt.

Bei konstanter Bewegung im Raum sind diese Parameter zeitlich variabel.Die im Katalog gegebenen Werte beziehen sich deshalb auf einen festenZeitpunkt („Katalogepoche“, bei Hipparcos J1991.25) und werden mit dem Index „0“ versehen.

Die sechste Komponente, die zur vollständigen Beschreibung der Raum-bewegung benötigt ist - nämlich die Radialgeschwindigkeit - wird imallgemeinen spektroskopisch bestimmt. Trotzdem wird sie manchmal auch als der sechste astrometrische Parameter bezeichnet.

Zusammenhang zwischen Richtungsvektor (Einheitsvektor vom Baryzentrum zum Stern)und sphärischen Koordinaten eines Sterns:

Einheitsvektoren werden im englischen Jargon kurz als ‚directions‘ bezeichnet

Definition 2: Astrometrische Parameter, Darstellung

Koordinaten: einfache Winkel in radians oder in Grad, Bogenminuten, Bogensekunden, bzw. in Stunden, Minuten, Sekunden

Parallaxe: einfacher Winkel in Millibogensekunden (mas); Halbachse der Parallaxen-Ellipse

Eigenbewegung: Winkel pro Zeiteinheit

(mas/a) (unpraktisch)

(Betrag)

(Positionswinkel)

Achtung 1: Die IAU hat das Julianische Jahr als Zeiteinheit für Eigenbewegungenfestgesetzt, exakt 365.25 Tage. Früher war das tropische Jahr 1900 die Einheit,das etwa 365.2422 Tage lang ist. Das Gregorianische Jahr ist 365.2425 Tage lang.

Achtung 2: In den nachfolgenden Formeln sind Winkel im Bogenmaß, nicht in dengerade genannten praktischen Einheiten eizusetzen.

(besser)

Zwischenbemerkung:

Die in der praktischen Arbeit benutzten Größen:

Differenzen zu vorbekannten Näherungswerten

Dazu mittlere Fehler bzw. Varianzen, sowie Kovarianzen:

(eventuell auch diese als Differenzen)

(5*5-Matrix, ij= Korrelationskoeffizienten)

Definition 3: barycentric coordinate direction

Ortsvektor des Sterns:

wobei

Einheitsvektor:

Rechnerisch sehr unpraktisch (im Nenner),

deshalb besser:

(A ist die astronomische Einheit)

(Spitzklammer = Normierung)

Problem:

Die Gleichungen

für den Richtungsvektor zur Zeit t enthalten nicht die eigentlich messbareEigenbewegung, sondern die Raumgeschwindigkeit.

Wir wollen insbesondere die zweite Gleichung so umschreiben, dass sienur noch die gemessen Größen (Position, Eigenbewegung, Parallaxe und eventuell Radialgeschwindigkeit) enthält. Dazu müssen wir die Raum-geschwindigkeit durch die Komponenten der Eigenbewegung ausdrücken.

Definition 4: Lokales Vektordreibein und Tangentialkoordinaten

Kartesischer EB-Vektor:

wobei

(normal vector triad and tangential coordinates)

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun die Raumgeschwindigkeitso schreiben:

Dies können wir dann in unsere problematische Gleichung

einsetzen und erhalten:

wobei

die relative Entfernungsänderung pro Zeiteinheit ist (Radialgeschwindigkeitgeteilt durch Entfernung).

Beachte: 1) Dies ist die exakte Formel für konstante Raumgeschwindigkeit.2) In keiner der vorkommenden Formeln erscheint die Parallaxe im Nenner.

Definition 5: topocentric coordinate direction

Definition 6: Tangentialgeschwindigkeit (transverse velocity)

(Betrag der Eigenbewegung mal Entfernung)

wobei Av wieder die astronomische Einheit ist, allerdings in „Geschwindigkeit“ausgedrückt: Av = 4.740 470 446 km yr s-1 (Übungsaufgabe)

Einschub : Benutzung von Tangentialkoordinaten

(nicht in der Vorlesung zu behandeln)

Normalerweise ist díe vorstehende exakte Vektoralgebra für alle praktischenAnwendungen zu empfehlen. Es gibt jedoch Fälle, in denen kleine Richtungs-änderungen oder –unterschiede besser durch Relativkoordinaten ausgedrücktwerden, z.B. bei der Beschreibung von Doppelsternbewegungen.

Traditionell hat man dafür direkt die Koordinatendifferenzen und cosbenutzt. Diese führen aber zu unerfreulichen Effekten nahe der Pole. Deshalbist es sinnvoll, strenger definierte Größen zu verwenden.

Die beste Wahl sind die schon unter „Definition 4“ vorgekommenen Tangential-koordinaten. Sie sind vollständig definiert durch die Wahl einer festen Bezugs-richtung r0 (Einheitsvektor zum Ausgangspunkt am Himmel).

Im Folgenden werden ohne weitere Kommentare die relevanten Formeln für die Umrechnung einer beliebigen Richtung u (Einheitsvektor) in die zugehörigen Tangentialkoordinaten, ausserdem in eine den (kartesischen)Tangentialkoor-dinaten entsprechende Polarkoordinatendarstellung in der Tangentialebene,und schließlich die Epochentransformation in Tangentialkoordinaten gegeben.

Die Umrechnung in Tangentialkoordinaten lautet:

Wobei die Vektoren mit dem Suffix „0“ das lokale Dreibein sind und der Apostroph das Skalarprodukt bedeutet. - Die Umkehrung lautet:

Statt der kartesischen Koordinaten und kann man in der Tangentialebene auch Polarkoordinaten (Abstand vom Bezugspunkt) und (Positionswinkel, gezählt von Nord über Ost usw.) verwenden.Diese sind definiert durch:

Sie werden bei der Beschreibung von Doppelsternen sehr häufig benutzt.

Die baryzentrische Epochentransformation nimmt in Tangential-koordinaten eine besonders einfache Form an:

Der Stern bewegt sich auf einer geraden Linie in der Tangentialebene!So lange die relative Entfernungsänderung (zweiter Term im Nenner) klein ist, ist diese Bewegung sogar linear in der Zeit.

Die topozentrische Epochentransformation lautet:

3) Modellierung der Messung (proper direction)

Wir haben uns bisher nur mit ‚coordinate directions‘ beschäftigt. Das ist aber nicht das, was ein im Sonnensystem stationiertes Messinstrument (‚Beobachter‘) sieht. Gaia oder Hipparcos sehen die Lichtstrahlen nicht aus der Richtung kommen, die der momentanen ‚coordinate direction‘ zu einem Stern entsprechen.

Aus der Katalogposition (= barycentric coordinate direction) zur Beobachtungs-epoche erhält man die tatsächlich beobachtete Richtung der Lichtstrahlen durch drei Transformationen:

3.1 Translation der Raumzeitkoordinaten vom Bezugspunkt (Baryzentrum) zum Ort der Beobachtung (=Parallaxe; haben wir bereits in Kap. 2 bearbeitet). Ergebnis: topocentric coordinate direction3.2 Berechnung des Lichtwegs durch das Sonnensystem unter Berücksichtigung der Gravitationsfelder (= relativistische Lichtablenkung). Ergebnis: natural direction3.3 Lorentz-Transformation auf die momentane baryzentrische Geschwindigkeit des Beobachters (=Aberration des Lichts) Ergebnis: proper direction (früher auch ungenau als ‚scheinbare Position‘ bzw. ‚apparent position‘ bezeichnet)

3.1 Coordinate directions; relativistische Sichtweise

Die Koordinaten, die wir in Kapitel 2 dieser Vorlesung behandelt haben, könnenals rein Newtonsche, ebene Koordinaten oder aber als allgemeinere Koordinaten in einer allgemein-relativistischen Raumzeit aufgefasst werden. Das ändert anden Formeln in Kapitel 2 nichts.

In allgemein-relativistischer Betrachtung sind Koordinaten rein mathematischeKonstrukte ohne direkte physikalische Bedeutung. Sie hängen vollständig vonder gewählten Metrik ab.

Vor Hipparcos waren relativistische Effekte in der optischen Astrometrie nicht vonBedeutung. Hipparcos musste die Lichtablenkung an der Sonne berücksichtigen(nur die Sonne!) und die Lorentz-Transformation richtig machen. Hipparcos konntedeshalb das sogenannte isotropic coordinate system benutzen, das eine auf die Sonne zentrierte, sphärisch symmetrische Metrik beschreibt, und in dem der Lichtweg eines Photons im Sonnensystem eine Hyperbel ist.

Gaia wird zusätzlich die Lichtablenkung aller Planeten und die Lichtlaufzeiteffekte innerhalb des Sonnensystems berücksichtigen müssen. Darüber später mehr.

3.2 Relativistische Lichtablenkung

Linke Seite: natural direction Rechte Seite: isotropic coordinate direction u, heliozentrischer Ort des Beobachters hO, Betrag hO, Gravitationskonstante G, Sonnenmasse S, Lichtgeschw. c, q=1 für Sterne

u

Zwischenbemerkung:

Die Gleichung 12.10 auf der vorigen Seite (Original aus Band 3 des gedruckten Hipparcos-Katalogs) erscheint zunächst sehr fremd.

Eine Herleitung findet sich in Murray 1983. Es ist eine nette Übungsaufgabe, die Gleichung 12.10 so umzuformen, dass das aus der Kursvorlesung zur Relativitätstheorie bzw. aus der Einführungs-vorlesung in die Astronomie bekannte Gesetz herauskommt, nach dem díe Ablenkung des Lichts von einem Objekt, das unter dem kleinen Winkel ne-ben der Sonne gesehen wird, näherungsweise proportional zu 1/sin ist.

Eine Fortsetzung der Aufgabe besteht darin, die Lichtablenkung für ein Objektzu berechnen, das genau am Sonnenrand steht (Grad). Das ist derWinkel, der bei der Sonnenfinsternis 1919 gemessen wurde und damit Einsteins Weltruhm begründete.

Ein Zahlenwert dafür: GS = 1.327 1020 m3s -2

Eine handliche und exakte Formel für die Lichtablenkung

deflection Grazing4

/1 f

2tan2

1..

4.

2

1

2

2

Rc

GMrRi

r

R

Rc

GM

g

r

2R

Grazing

(mas)

Gaia min (mas)

Gaia = 45 deg

Sun 1750 13 10 mas

Earth 0.5 0.003 2.5 as

Jupiter 16 16 2 as

Saturn 6 6 0.3 as

d

3.3 Aberration; Lorentz-Transformation

Ohne weitere Herleitung soll hier nur die vektorielle Form der Lorentz-Transformation einer Richtung zitiert werden:

Linke Seite: proper dírectionRechte Seite: natural direction, baryzentrische Geschwindigkeit des Beobachters V, Lichtgeschwindigkeit c, Abkürzung e für

Eine Herleitung der Gleichung 12.7 findet sich in Murray 1983.

3.4 Ausblick, Gaia

Die maximale Lichtablenkung durch die Sonne, die Gaia und Hipparcos beobachten können, liegt bei ca. 4 mas = 4000 as (bei 40 Grad Winkelabstand).

Die maximale Lichtablenkung durch andere Planeten (jeweils am Rand der Planeten-scheibe) ist auf der nächsten Folie gezeigt, ebenso der Winkelabstand, bei dem die Lichtablenkung 1 as unterschreitet.

Gaia muss also die Lichtablenkung an einer größeren Anzahl von Körpern berück-sichtigen. Will man das streng machen, dann ist die isotrope Metrik bzw. das isotropic coordinate system nicht mehr geeignet.

Deshalb muss ein vollständig relativistisches Sonnensystemmodell mit einem geeig-neten Koordinatensystem benutzt werden: Dies ist das von der IAU als Standard definierte Barycentric Reference System (BCRS), mit einer festgelegten Metrik, die durch barycentric coordinates und die barycentric coordinate time dargestellt wird.

Schlimmer noch: Viele Effekte höherer Ordnung müssen bei der Berechnung des Licht-wegs durch das Sonnensystem berücksichtigt werden, z.B. die Bewegung der Körperin den paar Stunden, die das Licht im Sonnensystem unterwegs ist.

Das relativistische Modell für Gaia-Messungen ist noch in Arbeit!

IAU 1991, extended in 2000:

222

222

22 /

21

21 cdl

c

Udt

c

U

c

dsd

Definition of BCRS and TCB

origin : Barycentre of the solar system

orientation : ICRS

)(),(2

1;)(;)(),(2

1 42

30

4200

2

cOc

tUgcOgcO

c

tUg

dxdxgds

ijiji

xx

U : gravitational potential of the masses of the solar system

t : barycentric coordinate time : TCB

Value of t at the origin :

On 1 Jan 0h 0m 0s TAI (JD : 2443144.5 TAI)

t = 1 Jan 0h 0m 32.s184 ( JD 2443144.5003725 TCB)

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