Die trigonometrisehe Approximation von verallgemeinerten fastperiodisehen

Von

Robert Schmidt in Kiel.

fiir eine Klasse Funktionen.

Einleitung und Definitionen. Auf der Dfisseldorfer Tagung habe ich fiber eine Klasse yon Funktionen

vorgetragen, die folgendermaSen erldErt sind:

Definition1). Eine Funktion f(x), die sam~ dem Betrage ihres Quadrats in ]edem endlichen Intervall im Lebesgueschen Sinne integrier- bar ist, soll W e l l e n / u n k t i o n hei[3en, wenn /olgendes zutri//t:

1. Zu ]edem Paar e ~ O, ~ ~ 0 gibt es ein L(e,~9) ~ O, ein 1 (e, ~) > 0 und reelle Zahlen �9 (e, ~) derart, daft

i f ( ~ + ~ ) - - f(~)t s

wesentlich iiberall er/is ist, d. h. in ~edem Intervall x ~ ~ ~ x -~-L der Ldnge L hSchstens bis au/ eine Menge ?~ (e, ~, ~, x, L) vom Marl

die Zahlen �9 in jedem IntervaU der iSnge l mindestens und zwar sind einmal vertreten.

2. Zu jedem e > 0 gibt es ein # (e ) > 0 und ein L (e) > 0, so da~, wenn ~ eine beliebige Teilmenge eines beliebigen Intervalls x < ~ < x + L vom Marl

isl, stets

erl~llt ist.

,__f /., t

l~l___<~D

l f ( ~ ) l~d,~:__< ~ ~

t) VgL Jahresbericht dex D.M.V. 36, Heft 1]4, S. 2--3. Die dor~ vorausgesetz~ Stei~keit v o n f (x) ist im Rahmen tier vorliegenden Untersuchung be.~_nglos.

R. Sehmldt. Trigonomekrische Approximation. 335

Unter den Wellenfunktionen sind die fastperiodischen Funktionen yon Her~n H. Boh~ s), ferner die yon den Herren W. Stepanoff s) und N. Wiener 4) angegebenen und untersuchten Funktionenkla~sen enthaltenS).

In der vorliegenden Abhandlung werde ich den Probleml~eis des Fischer-Rieszschen Satzes, aus dem heraus ich auf die Wellenfunktionen gefiihrt wurde, ganz beiseite lassen. Das Ziel ist vielmehr die Aufstellung und der Beweis eines Analogons des Satzes yon Herrn Bohr fiber die gleich- mdfiige Approximierbarkeit der /astperiodischen Funktionen dutch tri- gonometrische Polynome 6). Mit diesem Analogon ist die Analyse der Wellen- funktionen in genau dem Umfange geleistet, wie es in der Theorie der fastperiodischen Fu~ktionen durch den Bohrschen Approximationssatz der Fall ist.

Was die Formulierung eines solchen Analogons anbetrifft, so wird es sich zun~chst darum handeln, dem Begriff der gleichm~iiligen Konvergenz einer Funktionenfolge in passender, d. h. der Natttr der WeUenfunlrtionen ange- messener Weise einen neuen Begriff zu~ Seite zu stellen. Die ,,ira Mittel schade Konvergenz" einer Funktionenfolge erweist sich als geeignet:

~) H. Bohr, Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I, H, HI, Aeta Mathe- matica 45, S. 29--121; 46, S. 101--214; 47, S. 237--281 (1924--26), and eine Reihe weiterer Abhandlungen.

a) W. Stepanoff, Uber einige Verallgemeinerungen der fastperiodisehen Funktionen, Math. Annalen 95 (1926), S. 473--498.

4) N. Wiener, On the representation of functions by trigonometrical in~grals, Math. Zeitsehr. 2t (1925), S. 575--616.

~) Uber den Bereioh der Wellenfunktionen hinaus gehen unter U m ~ n d e n die- jenigen Funktionen, die Herr O. Toeplitz: Ein Beispiel zur Theorie der fastperiodischen Fuaktionen, Math. Annalen 98 (1927), S. 281-295, als ,Belegungen vom Typus A" bezeiehnet. Diese erfiillen u~nmittclbar die Forderung 1 der Wellenfmnk~onen, die Forderung 2 jedoeh dann und nut dann, wenn die dort auf~etenden Integrale

1

rig,, (4)!~ ds beschr~nkt sind, wfihrend Herr Toepli~z allgemeiner - - hierin ist eine 0

Bemerkung, die Herr Toeplitz auf Grund einer miindlichen Mitteilung yon mir am Schlusse seiner Arbeit angefiigt hat, zu berichtigen - - solehe Belegungen yore Typus A

1

fiir jede Wellenfunktion der Grenzwert lira 1 f t~ T-~| ~-~ ,~ 1 f (~) d$ gleicbm_~i3ig in x existiert

(w 4), w~hrend Herr Toeplit~ yon seinen Bele~mgen nut das Vorhandensein yon +T

~.~| I f (~) <t~ fordert.

6) Acta M a ~ . e m a ~ i6, S. 184.

336 R. Schmidt.

Def in i t ion . Die ~'unktionen f~(x), f~ ( x ) , . . . seien samt den Betrd- gen ihrer Quadrate in ]edem endlichen I~tervall im Lebesguasehen Sinne integrierbar. Eine solche Funktionen/olge soll im Mit te l schar/ ]conver- gent heifien, wenn as zu jedem e > 0 ein L(e) > 0 und einen Index n(~) gibt derart, daft

X

er/i~llt ist ]i~r alle Indexpaare p ~ n, q ~ n und aUe x. Es ist klar, was tinter ,,schar]er Konvergenz im Mittel gegen eine

G r e n z / u n k t i o n " zu verstehen ist. -- Eine Funktionenfolge, die im Mittel schaxf gegen eine Grenzfunktion konvergiert, ist offenbar im Mittel schaff konvergent.

Der Begriff der schaffen Konvergenz im Mittel ist nicht weiter als der in der Theorie der fasi~eriodischen Funktionen gebr~uchliche Begriff der Konvergenz im Mittel, bei dem nut

+ T

- T

fiir alle Indexpaare p ~ n, q ~ n geforde~t wiM; dal~ jener Begriff wirk- lich enger ist als dieser, leta~t die Funktionenfolge

1 fiir

f . (x) = 0 sons/ ,

oder die Folge von fastperiodischen (stetigen reinperiodischen) Funktionen

f,~ ( x ) ~-- I oSin ~ Xsonstn fiir k n ~ ~ x ~ k n ~ --~-

( k = 0 , ___ 1, • 2 , . . . ) .

Beide Funlctionenfolgen konvergieren im Mittel gegen f ( x ) ~ O, sie sind abet nicht im Mittel schaff konvergent.

Wean andererseits die Funlctionen f~ (x), f~ (x ) , . . . reinperiodi_sch mit gemeinsamer Periode co and im Mittel konvergent sind, dann sind sie auch im Mittel schaxf konvergent (L ~ co). Die schaHe Konvergenz im Mittel ist also eine Verallgemeinerung der Konvergenz im M_ittel ~ ein endliches Intervall, jedoch eine nicht so weitgehende wie die Konvergenz im Mittel im Sirme der Bohrschen Theorie.

Trotz ihres Charak~rs als Verallgemeinerung der Konvergenz im Mittel fiix ein endliches IntervaU ist,, wie sich zeigen wi~d, die schaxfe Konver-

Trigonometrische Approximation. 337

genz im Mittel als Analogon der gleichmgfligen Konvergenz anzusehen; es gilt n~imlich -- und das ist das Ziel dieser Untersuchung -- der folgende A ppr oximationssatz "

Zu jeder Wellen/unlction

gibt es eine Folge yon trigonometrischen Polynomen der Form

Q.(x)=2Jo e , v------1

die im Mittel s c h a r / gegen f (x ) lr D .h . also, zu jedem ~ ~ 0 gibt es d n L(e ) > 0 und einen Index n(e) derart, da f

]iir al le ~, ~ n und alle x er]i~llt ist.

Der erste Abschnitt bringt die Existenz der effoMerlichen Integral- mittelwerte, insbesondere die Existenz der Fourierkoeffizienten der Wellen- funktionen. Hierbei stellt sich die Identit~t der Wellenfunktionen mit einer Funktionesklasse heraus, die sich aus der wichtigen Untersuchung von Herrn H. WeyI 7)- zur Theorie der fastperiodischen Funktionen als die allgemeinste ergibt, auf die sich die Methode yon Weyl direlrb anwendea l~Bt. Diese Feststellung gestattet es, den Beweis der Pamevalschen Gleichung flit Wellenfunktionen dutch den Hinweis auf die Entwicklungen von Weyl zu erledigen.

Im zweiten Abschnitt beweise ich den oben formulierten Approxima- tionssatz. ~ Es darf wolff schon bier kurz beleuchtet werden, waram sich der Beweis des Approximationssatzes wesentlich von den bekannten Be- weisen analoger S~tze unterscheidet. Der Grund liegt darin, dal~ die Defini- tion der scharfen Konvergenz im Mittel nicht an einen Entfernungsbegrifi ha Funktionenraume ankniipft. W~hrend man zum Beweise yon Approxi- mationss~tzen hiusicht!ich gleAchm~i~iger Konvergenz oder Konvergenz im i~Iittel nut eine approximierende Funktion (Polynom) nachzuweisen hat, deren Entfernung von der zugrunde gelegten Funktion vorgegeben klein ist, kann eine solche Vereinfachung bei Approximationss~tzen hinsichtlich scharfer Konvergenz im Mittel der Natur der Sache nach nicht eintreten.

~) H. Weyl. Int, eg~glei~nungen ~und fas~period~sehe Funktionen, Math. Anna~n 97 (t9~7), S. 388--~6.

Mathe~atische ~ l e n , I00. ~

338 R. Schmidt.

I. AbschnitL

w

Vorbereitende Betraehtungen fiber die Delinition tier Wellenfunktionen.

Der Zweck der Forderung 2 in der Definition der Wellenfunktionen wird im folgenden der sein, an solchen Stellen ~ absch~itzend einzugreifen, wo die Forderung 1 keine Anspriiche an die Differenzen f ( ~ - ] - z ) - f ($) stellt, also in den Mengen ~ . Da~ die Forderung 2 diesen Zweck zu erfiillen wirklich geeignet ist, ist nicht ohne weiteres erkennbar, da das L (e) aus 2 zun/ichst in keiner Beziehung zum L (e, O) aus 1 steht. Tat- s$chtich daft j edoch angenommen werden, dal~ die LSngen L(e ) und L (e, O) iibereinstimmen; genauer:

Zu jedem e > 0 9ibt es ein 0 (e) > 0 und ein L (e) > 0 derart, daft L sowohl als L (e ) in 2 als auch -- mit diesem ~ -- als L ( e , O ) in 1 geeignet ist.

Das ergibt sich sofort daraus, dab man die Forderungen 1 und 2 ohne sachliche Xnderung dutch die folgenden Forderungen l a und 2 a ersetzen l~ann:

l a. Zu ]edem Paar e > O , ~ > 0 gibt es ein L ~ ( e , O ) > O , ein l (e, O ) > 0 und reelle Zahlen z (e, O) derart, daft

wesentlivh iiberall er]iillt ist, d. h. in jedem Intervalt x < ~ < x -~- L einer be l ieb igen Ldnge L ~ L 1 hSchstens his au/ eine Menge ?~ (e, O, z, x, L) vom Maft

I I OL; und zwar sind die Zahlen z in jedem lntervall der Ldnge 1 mindestens einmat vertreten.

2a. Zu jedem e > O gibt es ein O ( e ) > O und ein L ~ ( ~ ) > 0 , so daft, wenn ~ eine beliebige Teilmenge eines Intervalls x < $ < x -~ I, der be l ieb igen Ldnge L >~ L~ yore Maft

ist, stets t l<OZ

i f i s lf( ) 0"

er,#~/h/st. Beweis fiir die G l e i c h w e r t i g k e i t yon 1 mi t l a und 2 mi t 2a.

Wenn die Fordenmgen l a mid 2a erfiillt sind, d~nn sind es oitenbar auch 1 und 2. -- Das Umgekehrte ist, soweit es die Forderungen 1 und l a

T r i g o n o ~ h e A p p r o x i m a t i o n . 339

betrkfft, fast selbstverstgndliciL Nimmt man ngm!ich 1 als erfiillt an, and schreibt dort flit den Angenblick L o (e, #) und 1 o (e, v~) s tat t L (e, 0) and 1 (e, v~), so sind, behaupte ich,

ats L~ und 1 in l a geeignet. Denn ist L ~ L~ beliebig, und die natiixliche Zahl n gem~l~ nL o ~ L < (n ~ 1 ) L o bestimmt, so gilt fiir ein beliebiges,

Ungleichung

ist erfiillt in jedem Intervall x < ~ < x + (n + 1) L o hSchstens bis auf v ~ n q - 1 '~

eine Menge yore MaB- (n -~ - I ) -2 -Lo- - .--.nLo'~v~L, und das um n 2 ~--

so mehr in j edem Intervall x < ~ < x @ L. Es bleibt noch zu zeigen: Wenn die Forderung 2 erfiiUt ist, dann

ist es auch 2a. Zungchst ergibt sich aus 2, wenn man etwa e = 1 ws flit L ~ - L (1) die Beschrgnktheit yon

x+~5

daraus die Beschrgnktheit yon X + I

f ] f(~) !~ d~,

und weiter bei j edem festen A o :> 0 die Existenz einer Zahl K > 0 der- art, da~

x + A

, =

ist flit alle A ~ A o und able x. Endlich ergibt die Schwarzsche Ungleichung

x + A

(2) X lf( )ld# K

f'~ alle A ~ A o tmd aUe x. In 2 werde flit den Augenblick 0 o (e) und L o (e) start ,$ (e) und L (e)

geschrieben, und K sei so bestlmmt, dab (1) fiir A o ~---L o erfiillt ist. Ich behaupte nun: Wenn die natiirliche Zahl m o so gew~ihlt wit(t, dab

K* 2 . ~

m o ~ - 3

geeignet. - - Z~_m Beweise sei das Intervall J = (x, x ~- L) mit Z ~ L~ be- rg'z*

340 R. Sehmidt.

liebig gews und n bezeichne eine beliebige Teilmenge dieses Intervalls vom MaB I n t ~ v aL. Es sei ferner

m L o ~ L < (m q- 1) Lo

so daft also m ~ m o ist.

und seine Teilintervalle

Ich betrachte das Intervall

Jo = (~, ~ + ~ o )

zerlegen derar~, dab

[ iS~,~ I s O Lo, . . . ,

ist, n~

also 7c

Z v n , ~ 2 m . ~'=-1

Andererseits kann man, wenn ein bestimmtes/~ ins Auge gefaBt wird und

in z + 1 Teilmengen

= a , . +...

erfiillt ist. Dann wird, da jede der Mengen ~ 1 , ..., ~ . ~ + z im Inter- vaU J~ ~s Menge n in 2 geeignet ist,

< 1 +. . . + ~ <=(~ + 1)-~.

J l = ( x , x + Lo), J ~ = ( x + Lo, x + 2Lo), . . . , J~=(x-{--(m--1) Lo,x+mLo)"

Es bezeichne go den Durchschnitt yon Jo und n ; es ist

[nol ~ In! ~ O i ~ 2 0 m L o.

Ferner bezeichne ~v den Dnrchschnitt yon J, und ~ (# ~- 1, 2 , . . . , m). Die MaBe I~ , i sollen in der Form

(3) ln~,! =v~,'Lo (/~= 1, 2, ..., m)

geschrieben werden. Es bedeute allgemein % die Anzahl derjenigen Inter- valle Jr (# = 1 , . . . , m), fiir die

(4) ~ v ~ < ( v + l ) ~ (v -~ 0,1, 2, ...)

ist. Von einem gewissen v, etwa v = k + 1 an sind alle diese h~zahlen 0," and es ist dann

n . § n~ § § nk = m.

Ferner ist wegen (3) und (4)

n~'vqLo -~ n~'2vqLo+ ... q- n~,.kvqLo~[nzl + ... q-[ n ~ [--= [go[ ~ 20mLo,

Trigonometrisehe Approximation. 341

Nunmehr erhglt man k i f =d =l(lf if) 1 e ' mLo If(~)~ m Lo - ] - ' " + E = m < - - ~ n ' ( ' + l ) - ~

~ o ~1 ~ m v-~ 0

schlid]lich

1 s ~ 1 ~ s ~ m 0 un, q- n, ~ m . g ( 2 m + m ) = - 3 - ;

x + ( m ~- 1) Zo

f§ f L I f(~) I"~ d$ < mLo. 1 Lo 1 , = -L ~L--~ ~ ' L o

~o x + m Z o

daraus wegen mLLO =~ 1, -L-~ L~ ------ L.L*' -- 1 m o

1 f s ~ K ~ _ '2. ~ 8

w

Ubereinstimmung der Wellenfunktionen mit einer Funktionenklasse yon Weyl.

Nach diesen Vorbereitungen beweise ich nunmehr die Identitgt der Klasse der Wellenfunktionen mit der Yunktionen-~asse, die yon Herrn Weyl in der zitierten ALbeit eingefiihrt wurde, und zwar zuerst in der Form der Definition, die Herr Weyl mit (Y) bezeictmetS):

Satz 1.. Eine Funktion f ( x ) , die saint dem Betrage ihres Quadrats in ]edem endlichen Intervalt integrierbar ist, ist dann und nut dann eine Wellen/unktion, wenn es zu ]edem e > 0 ein Lo(e ) > O, ein t(e) > 0 und reelle Zahlen ~ (~) gibt derart, daft

~ +.L

I f le (5) z i f ( $ § d$__<~'-

]fir a lle L ~ L o und alle x er]iillt ist; und zwar sind die Zahlen �9 in ~edem Intervall der IAnge, 1 mindestens einmat vertreten.

1. f(x) sei eine Wellenfunktion. Zu gegebenem e :> 0 kSnnen dann L~ > 0 mad v q > 0 so bestimmt werden, daJ]

1 f s~

s) M~h. Ammlen 97 (1927), S. 354.

342 R. Sohmldt.

im Sinne der Forderung 2a erfiillt ist. Nachdem insbesondere ~ so fixiert ist, lassen sich l und L~ so w/ihlen, dal~

(7) 8

l f (~§ f(~)! ~ im Sinne der Forderung l a erfiillt ist. Wenn L o die grSl~ere der Zahlen Lt and L~ ist, so treffen (6) und (7) im angegebenen Sinne j edenfalls fiir alle L ~ L o zu. Wegen (7) ist

x + Z

Z [f(~+~)--f(~)l~d~-~V2~-Z- If(~+~)--f(~)l~d~'

wo 1%1 < oL, ~o a~a ~ o

L

ferner

L

daher

als ~ in (6) genommen werden kann"

8 ~

8 2

lf(~+~)l~d~< ~,

1 y 8 ~ 8 ~ 8 2 Z l f ( ~ + T ) - - f ( ~ ) l ~ " d ~ v + 2 ~ 9 - + 2 9 -< 8 2

2. f(x) mSge die Eigenschaft (5) haben. Zu gegebenem Paar ~ > 0, > 0 kann man dann L und 1 so bestimmen, dag

(8) $ + L

~- l f ( ~ + ~) - f (~ ) I ~ a~ < ~'-~

erfiillt ist fii~ alle x, und zwar fiir ZaMen ~, die in jedem IntervaU L~nge ~ miudestens einmal vertreten sin& Mit diesem /~ = L (e, 0)

menge des Intervatls (x, x ~ -L) ist, auf der

ise, so folgt aus (8 ) :

1 g i f

d e r

und Denn wenn ~ die Teil-

z + L

I$I__<~L. Dag f(x) auch der Forderung 2 geniigt, folgt so: Zmn~chst bestimme

man L u n d 1 so, da~

Trigonometrische Approximation. 343

x+L

1 f s ~

flit alle x und geeignete ~ zutrifft. Nachdem x beliebig gew~hlt ist, nehme man ein �9 aus dem Intervall ( - - x , - x + / ) , so dal~ also flit y ~ x @ das Intervall (y, y @ L) ganz dem von x unabh~ingigen Intervall (0, L § l) angehSrt. Es bedeute nun ~ eine vorl~ufig beliebige mellibare Teilmenge yon (x, x @ L), und ~ ' die zu ~ kongruente Teilmenge von (y, y @ L). Dann ist

x+Z

]f(~) d ~ z If(~+~)]~d~+z [f(~+~)--f(~)l~d~ G G x

s~L Das zuletzt auftretende Integral liegt unterhalb -4--, wenn nut I ~ I unter

einer geniigend kleinen, yon x unabhgngigen positiven Schranke gelegen ist. Zu gegebenem s > 0 l~igt sich also in der Tat ein v ~ > 0 so bestimmen, wie es behauptet wird.

Man kann j etzt nach dem Vorgange yon Herrn Weyl weitersehliel]en, also yon der Definition (u zuriickgehen auf die ttrspr'tingliche Definition der Weylschen Funktionenklasse (dort S. 16, Nr. 3), dann den AnscMtt~ an die Eigenwerttheorie der linearen Integralgleichungen herstellen und so die Parsevalsche Gleiehung gewirmen ( d o r t w 4 und w 6 SchluB). Bei der Durch/fihrung dieses Weges in allen Einzelheiten, insbesondere beim Nach- weis der Existenz der Fourierkoefflzienten, stellen sich j edoch Wieder- holungen in den "Beweisen ein. Aus diesem Grunde erscheint es mir zweckmgBig, yon vornherein die Existenz aller in Betracht kommenden Mittelwerte sicherzustellen; dabei wird auch der eben erwghnte direkte Ubergang yon der einen zur anderen Definition der Weylschen Funktionen- klasse eingespart. - - Dann /indert sich jedoch die Anordnung des Stoffes his zur Parsevalschen Gleiehung flit Wellenfunktionen gegenfiber der yon Herrn Weyl skizzierten so erheblich, da~ es wohl ~ mindestens aus Griinden der Bequemlichkeit fiir den Leser - - angebracht ist, die S~tze und Be- weise mit einiger Ausfiihrliehkeit zu behandeln. Das geschieht in den n~chsten beiden Paragraphen. Der entscheidende Tell der Untersuchung von Herin Weyl, der Beweis der Parsevalschen Gleiehung, bleibt natiirlich unberii_hrt.

344 R. Schmidt.

Satz 2. e > 0 ein L 8 (e) > 0 derart, daft

X" +.L

er/i~llt ist /i~r alle L > L8 und alle Paare x', . F, Zum Beweise m6ge des e des Satzes 1 dutch ~

w

Der Mittelwert fill { f ( x ) } .

Wenn f(x) eine Wellen/unktion ist, dann gibt es zu jedem

x ' + Z I

ersetzt werden, und es kann und soil dort l ~ L o angenommen werden. beliebige oberhalb 1 gelegene Zahl �9 des Satzes 1 ist, �9 ~> l,

(9) 1 f(~)d~ l f(~)d$ < -~ i .g .g

fii~ alle Paare x', effiillt. Nachdem niimlich x werde unter den Za~en �9 des Satzes 1 eine solche, y = x -- ~' in das Intervall (0, l) fgllt,

0 < y < / . Dann ist

Es folgt" Wenn �9 eine dann ist

beliebig gewghlt ist, etwa z', gewghlt, d'as

T

1

<

x y

2

<1

x Y

§

y + v y + v

l f f ( $ + z , ) d ~ i f T - - T f ( ~ ) d ~ Y Y

Y

l f l y 0

2

11i Y/* loSl ~= 1 f+~ 1/lu 1 / l

o

Wegen �9 ~_ 1 ~__ L o kann sowohl attf J~ angewendet werden,

g2"

als auch auf J~ die Abschi~tzung (5)

Trigonometrisohe Approximation. 345 Es ist daher

, i l l I f i ] 1 ; ~ I f 1 e (10) i-7 - - 7 =<17 - - + 7 - - -4 =<-~" [ ~- ~' ! i ." . '

Um den geweis des Satzes 2 zu Ende zu fiihren, werde nunmehr das obige �9 ~ t lest gewghlt; die Schranke K geniige den Anforderungen yon

8K t/2) mit A o = Lo, und es sei n o => ~ Dann ist

3 : no'~ ein L~, dessen Existenz zu beweisen ist. Es sei n~mlich L >__ Ls beliebig, und

nz<=L<(n+l)z,

also n ~ n o. Man erhglt mit Riicksicht auf z ~ 1 :> Lo:

X - - L x + n r '

f ; ' Z f(~)d~-- 77

il s

x+Z n ~ " i f (~ ) l d ~ §

x+/_ . , x + n v

i

l

Weiter ist

: z + Z , x + n z + v

1 d~.i_l_ 1 f(~)ld~< K+TK< L i f ( ~ ) , ~ ' 7 = = x + z n

�9 , " + . L x ' 4 . L I

x' I I x"fz5 x";nT: 1 1 +

~' +Z, X" + ~ t

.~, nr ~' X r

~ , ' t + ~ v X,'+tl,~ t

,f i f , +t 1

2 K < * ~'t 0 = 4 "

e Yon diesen drei Summanden sind die ersten beiden unter u geleg~n. Setzt man (10) fiir die Paare

�9 ' , ~ " ; x ' + ~ , x " + ~ ; . . . ; x'+(~-l )~,x"+(n-1)~ an und bildet das arithmetische Mi~el, so erkennt man, dag der dritte

Summand tmter 2 ' die ganze Summe also unter e gelegen ist. Damit ist

der Satz 2 bewiese~ Der Satz 2 involviert offenbar die Existenz des Mittelwertes

,f M{[(x)}=hm ~ f($)d~ ,T .-> -T

346 R. Sehmidt.

flit j ede WeUenfunktion, ist j edoch damit nicht ausgeschSpf~. -- Wenn eine Funktion F (x) diese Eigenschaft hat" Zu j edem e > 0 gibt es ein L s (e) > 0 derart, dal~

x " + L x ' § i

~pr 2: ' I

_ x", dann will ich sagen, erfiiltt ist flit alle L __~ L a und alle Paare x',

~)~ { F ( x ) } existiert ;

zugleich soll ~)~ { F (x )} zur Bezeichnung des dann vorhandenen Mittel- wertes i { F (x) } dienen. - - Mit ~ { F~ (x) } , . . . , ~ { F (x) } existiert auch

+... + & = {5 +-.. + {&

Der genaue Inhalt des Satzes 2 l~[6t sich nun wiedergeben dutch den

Satz 2a. Fiir ]ede Wellen/unktion f (x ) existiert ~ { f ( x ) } .

Wenn ~ {2' (x) } existiert, und $'(x) in der Weise yon earametern abh~ngt, dal~ sich die ZaMen L 3 (e) unabhiingig yon den Parametern be- stimmen lassen, so mSge das dutch , , ~ {F(x )} existiert gleichmdflig in den Parametern" zum Ausdruck gebracht werden. -- Insbesondere existiert dann ~ { 2' (x + s) } gleichm~i~ig in s.

w

Der Mittelwert ~ { I f (x ) I ~} und die Fourierkoeffizienten.

Man iiberzeugt sich ohne Miihe, da~ sich der Beweis flit die Existenz von ~)~{f(x)} ohne wesentliche _~nderungen durchfiihren l~il~t, wenn von f (x) nut folgendes vorausgesetzt wird:

a) f ( x ) und l f(x')I sind in jedem endlichen Intervall integrierbar.

fl) f ( x ) geniigt der Forderung 1 in der De/inition der Wellen/unk- tionen.

7) Zu ]edem e ~ 0 gibt es ein O ~ 0 und ein L > O, so daft, wenn eine beliebige Teilmenge eines beliebigen Intervalls x < ~ < x ~- L yore

Marl I ~ I ~ ~ L ist, stets

if er/iillt ist.

Wean f ( x ) eine Wetlenfunktion ist, dann haben, behaupte ich, die Ftmktionen f( x -{- s ) - f ( x ) und f( x -{- s )- f( x ) die Eigenschaften a) b is ?). Beim Beweise kann ich reich auf f ( x + s ) . f ( x ) beschr~inken; fiir f ( x + s ) . f ( x ) ergibt sich das Entsprechende~ wenn man liberal1 den Querstrich fortl~t.

Trigonometrische Approximation. 347

Die Eigenschaft r kommt der Ftmktion f(x + s ) f ( x ) offenbar zu. Hinsichtfich 7) folgt das gleiche aus der Sehw~rzschen Ungleiehtmg:

f(~+s)f(~)]d ~Z f ( ~ + s ) t "-L , =

unabh~ngig yon s. Endlich mSge K so gew~ihlt sein, da~

ftir alle A >_ 1

z+A

i f l -A if(~)! ~ d ~ K "

und alle x zutrifft (1). Zu gegebenem Paar e > 0 , ~ > 0 kann nunmehr nach Satz 1 ein L ~ 1 und ein l > 0 so bestimmt werden, da]

x+Z

1 f ~ 0 "~

im Sinne j enes Satzes erfiillt ist. Es ist

f ( x + s + ~) f ( x + ~) -- f ( x + s) f ( x )

= f ( x -1- s + ~ ) [ f ( x + ~) -- f (x ) ] + f ( x ) [ f ( x + s -{- ~) -- f ( x + s)] ,

und do.her mit I-Iilfe der Schwarzschen Ungleichung

{�88 {Ir(s f(e+ )r(e)ie - ;

~+.g, x+L

<=2.~ lf(~+s+,)t~'d~.x ~f(~+,)--f(~)i~d~

�9 +L x+Z

if f f(~ s d~ + 2 . ~ tf(~)! ! + + ~ ) - f ( ~ + s ) l ~

82 ~2

- - 4 K ~ '

x + L 'I X

Iiir alle x, und zwar Iiir Werte v, die in jedem Intervall der Liimge l mindestens einmal vertreten shad; auSerdem sind L und l unabhiiaagig yon s.

Wenn nun ~ die Menge der Stellen ~ des Interv_alts (x , x + L) ist, fiir die

t f(~ + s + ~) f (~ + ~) -- f(~ + s) f (~) t > ~

348 R. Schmidt.

ist, so erh~lt man 1

Damit ist gezeigt, dab f(x + s) f (x) fiir jeden Wert s die nigen- schaft fl) hat; und zwar sind die Zahlen L(~,v ~) und l (e ,v ~) unabh~ngig v o n 8 .

Atff Grund der Bemerkungen zu Beginn dieses Paragraphen ist dem- nach bewiesen:

Satz 3. Far ]ede Wellen/unktion f(x) existieren

~ { f ( z 4 - s ) f ( z ) } und ~2~{f(zq-s)f(z)}

gleichmd/3ig in s. Fiir j ede Wellenfunktion existiert insbesondere

~{ I f(x)-'~}., Ferner. existiert

f(x 4- s ) - f(x) } gleichm~igig in s, und nach Satz 1 folgt fiir jedes ~ > 0 die Existenz einer Zahl 1 (e) > 0 derart, daf~

(11) m(s)s in jedem Intervall der L~inge 1 flit mindestens ein s erfiillt ist. Die Zahlen s = ~-~ �9 (e), die der Ungleichung (11 ) geniigen, sind den ,zu ~ gehSrigen VerschiebungszaMen" der fast-periodischen Funktionen genau analog, und kommen mit diesen iiberein, wenn f(x) fastperiodisch ist. Weyl nennt diese Zahlen z ,Fastperioden vom Ann~herungsgrad e". Es steht nichts im Wege, diese Bezeichnungen auf die dutch (11) erld~irten Zahlen � 9 Wellenfunktionen zu iibertragen. Die Verschiebungszahlen oder Fastperioden der WeUenfunktionen sind jedoch, weil zu ihrer Definition die Existenz gewisser Mittelwerte vorausgesetzt werden mul~ oder das doch nut miihsam zu umgehen ist, nicht geeignet, die prim~ire Rolle zu spielen wie die Ver- schiebungszahlen in der Bohrschen Theorie. - - Wenn v l , - - ' , ~n Verschie- bungszattlen der Wellenfunktion f(x) sind, die zu e geh6ren, so is$ ~1 4 - . - - 4 - v, eine Verschiebungszahl yon f(x), die zu n e gehSrt, denn man hat

m(~, + . . . + ~n) < n(m(~,) + .. . + m (~)) =< (n~) ~.

Herr Weyl hat bemerkt, da6 fiir jede Ftmktion f(x) seiner Klasse - - also flit jede Weltenfunktion -- die z~ugeordnete l~unktion

g(8)

Trigonometr.ische Approximation.

fastperiodisch ist; in der Tat erh~lt man bei beliebigem t Schwarzschen Ungleichung

lg(s ~- t) -- g(s) I ~ ~ - J ~ {[f(x ~- s + t) -- f ( x + s ) ] . f ( x ) } j~"

?)~ {l f ( x -~- s -~- t) -- f ( x -~- s)le}-~J~ {I f (x ) ! ~ } --~ m(t).~f~ {j f (x) '~},

und (1I) liefert jetzt ifir ale s und fiir geniigend dicht gelegene

Die Stetigkeit von g(s) folgt aus der Stetigkeit Stele t ~ 0, die ihrerseits aus

L

if l i m z ] f ( ~ - ~ t ) - f ( ~ ) l ~ " d ~ - ~ { t f ( x + t ) - f (x) i~} 0

gleichmBl~ig in t, und bei festem L nach Lebesgue

55

t-).O o

abzulesen ist. Wegen

r e ( s ) = ~ { f ( x - - ~ s) f ( x -~ - s ) } - - ~ { f ( x - ] - s) ? ( x ) } - - ~ { f (x + s) r(x)}

-~- ~ { f (x ) f (x )} ~-~ 2g(0) - g(s) - ~(s)

ist auch m (s) iastperiodisch im Bohrschen Sinne. Die Existenz des Fourierkoeffizienten der Wellenfunktionen h~ngt nun

wesentlich vonder Giiltigkeit des Summensatzes flit Wellenfunktionen ub:

Satz 4. Wenn f~ (x) und f~ (x) Wellen/unktionen sind, dann ist auch die Summe f (x) = f~ (x) -~- f~ (x) eine Wellen/unktion.

Denn well die Funktionen m~ (s) und m~ (s), die den Wetlen/unktionen f~ (x) und f~ (x) zugeordnet sind, fastperiodisch sind, so ist es auch ihre Summe m ~ ( s ) + m ~ ( s ) . Zu jedem ~ 0 gibt es also ein l > 0 , und nunmehr in jedem Interval der L~nge l mindestens ein v derart, dab

e 2

i ~ (= + ~) + ~ ( = + ~) - ~ , (=) - ~ (s)l < - ~

flit ale s erfiillt ist. Daxaus f i i r s - - 0 : 8 2 ~ (~) + ~ ( ~ ) < -~.

Andererseits gibt es ein L o, so da~ flit a le L ~ L o, a le x und a le s

349

mit 14ilfe der

yon re(t) an der

350 R. Scbmidt.

zutrifft, daher

x + Z

,f -L lr(~-F~)--f(~)l'~d~g2 gg

x + dL 1; z t ~ (#- t - *) - r~ (~:) t~" d~: - - m, (~) '

+ 2 (m~ (~) + m: (~)) < ~'.

Nach Satz 1 ist also f (x ) eine Wellenfunktion.

Aus den Ss 3 und 4 folgt, wenn f~ (x) und ~ (x) Wellenfunktionen sind, die axistenz yon ~J~ {(5 ( x ) + s ~"} und ~J~{(f~ ( x ) - fz (x)) :} , daraus weiter wegen 4 f g ~-- ( f + g) ~ -- ( f - - g ) ~ der

Sa t z 5. Wenn f~ (x) und f+ (x) Wellen]unktionen sind, dann existieren

~)~{f~(x). f .(x)} und ~ { i f ~ ( x ) . f ~ ( z ) ! } .

Fiir jede Wetlen~unktion f (x ) existiert insbesondere

a(2) = ~)~ { f ( x ) e -ix~} (2 reeli).

Aus der fiir beliebige b~, . . . , b~ und reelle paarweise verschiedene 1~, . . . , #~ giiltigen Identitgt

t?, I I l~,

{; f(x) - - 2 b~ e~,",'= i ~} = ~ {! f(x)t ~} - - 2 i a ~ + 2 ! b,,-- a (,u,,)i e'

erschliel~t man in bekannter Weise die Abziitflbarkeit der Werte 2, fiir die a (+l)+ 0 ausfiillt, und nennt diese Werte 2~, 2~,. . . die Fourierexponent~, die Konstanten a~ = a (2~), % ----- a (2~), . . . die Fourierkoelfizienten, die

Reihe 2 a , e ~a,~ die Fourierreihe von f (x) ,

f (x ) ,'~ 2 a, e i;-*: .

Aus der obigen Identits folgt ferner die Konvergenz

2 t a~ t ~", und die sog. Be&~elsche Ungleichung t#~-. l

X l a , , ] ~ g ~{t f(z)1~}. i , =1

der Reihe

Damit ist aUes zusammengestellt, was erforderlich ist, nm daxan den Beweis yon Herrn Weyl ~ die Parsevalsche Gleichung anz~t_~oiipfen:

S a t z 6. le~r jede Wellen]unktion

f(~/) ~ Z a . e ~ ' :

Trigonometrisehe ApproximA.tion. 351

ist

r~---1

und -- d~mit gleichbedeutend ~

lira 9)~ {I f (x) -- .Za,,e~;', '~l"}-=O.

II. Abschnitt.

w

Vorbereitungen.

Hi l fssa tz . Wenn f ( x ) eine Wellen/unktion ist, so gibt es zu ]edem e > O ein L o(e) > O, und weiterhin zu jedem Paar Q > O, (~ > 0 ein

: ~ (e, e, (~) von/olgender Bescha//enheit:.Aus ]eder Wellen/unktion F (x), die f ( x ) im Mittel mit der Genauigkeit ~ approximiert,

{i - t ~ <

ld/3t sich mit Hil]e yon Verschiebungszahlen %, . . . , ~,~_ ~ der Funktion f ( x ), die zu e gehSren, eine Wellen/unlction G (x) yon der Form

G(x) = ~ ( ~ + ~ ~ F(~ + ~=_,)

gewinnen, ]iir die

und z u g l e i c h ~ { l G(x) -- f (x ) l :} ~_~ ~

if I G ( ~ ) - f(~) ]~ d~ _ _ ~

/iir alle x z u t @ t . A uflerdem ist

x + I,o

i f ] f ( ~ ' q - ~ ) - - f (~)] ~d~ ~-2e~ 3;

]iir alle x und alle zu e gehSrigen Verschiebungszahlen yon f ( x ) er/iillt.

Beweis. Fiir ]edes ~ ~ 0 mSge l(s) so beschaffen sein, daft in jedem Intervall der L~nge 1 mindestens eine zu e gehSrige Verschiebungszahl von f ( x ) gelegen ist. Wegen get gleichm~i~igen Existenz yon ~ {I f ( x + s) - - f (x )]~} karm man A_ o = Ao(e ) so w~ihlen, dal~

x + A

352 R. Sc~mldt.

fiir alle x, aUe A ~ A o und aide zu e gehSrigen Versehiebungszahlen von f(x) erfiillt ist. -- Nunmekr sei ein e > 0 gegeben. Die Zahl

wird sich als geeignet erweisen. Zun/ichst ist die letzte Behauptung des Hilfssatzes offenbar erfiillt.

- - Es seien 0 und e zwei weitere positive Zahlen. 01me Verlust an All- gemeinheit daft 0 unterhalb einer vorgegebenen Schranke angenommen werden; es sei

6 8

Die r~tiirliche Zahl /c ~ k(s , ~, s) werde so gew~hlt, da]~

ausfgllt. Endlich sei k L o ~ l(~o)

und F ( x ) eine Wellenfunktion, die f (x ) mit der Genauigkeit ~ approxi- miert. Fiir ein passendes L, das oberhatb 2 k L o angenommen werden kalm, und alle x ist dann

I 2 '(~) -- f(~) I~ d~ _--- ~2~~

Die natiirliche Zahl m werde gemS]

2mkLo<=L< 2 ( m + 1 ) k L o 8

bestimmt, und nunmehr seien ~0,--., ~ - ~ zu 0, also gewi~ auch zu $ gehSrige Verschiebungszahlen von f(x) aus den Intervallen

2/alcLo <=~),<2#kLo+l(e ) ( # = 0 , . . . , m - - l ) ,

i nsbesondere % = 0, und es werde ~ = L gesetztg). Es ist dann

und 4mkLo> L.

Ich behaupte: Die WeUenfunk~ion

1

# = 0

leistet das Verlangte. In der Tat erh~lt man

(re = O, . . . , m - - 1)

9) N~tfirIieh b~uoht ~m keine Ve~ehiebun~za~l zu sein.

Trigonometrische Approximation. 353

x+ Lo

-L7 I G (~) -- f (~ ) d~ g~

m--1 x + Z o m--1 X+Lo

- ' ! i f

o~ 81:

Ft=O x

d# t t--O x + L a

x + L

8 k f =4(-})~+T lF(e)-l(e)t~ae__<~(~)+16k~~ o.

Ferner ist

1 _:~(F(x + f(x)) ~ { l G ( x ) - f ( x ) l ~ } - - m ~ ~ %)-- , I juno

1 < ~ ~ Z I~'(~ + ~.) - f(~)I 't ----- / ~ 0 ~'

m--1 m--1 2 m--2 Z~rJ~{tF(x -~- ~#,)--f(x -Jr- 7:~,) I ) + ~ ~ ( 1 f(~§ t<,)- f(~)~ ~

/~=0 ,~=0

=<2~+ 2~=<~+ ~ �9

Damit ist der Hi]fssatz bewiesen. Der ApproximationssaSz des n~ichsten Paragraphen wird sich nun als Folge aus dem Satze 7 ergeben.

s a t z 7. Wen~ die _~oZge ~,on W~e~/un~tion~n /1 (x ) , f~ (x), . . . i m Mit te l gegen die Wellen/unktion f (x) konvergiert, dann kann man daraus eine Folge yon Wellen/unktionen g~ ( x ) , g~ (x ) , . . . gewinnen, die i m M i t t e l schar/ gegen f (x ) konvergiert. Dies 9elingt mit Funktionen g,, (x) yon der Form

m~,

~r,,,, (x + -(">' - - . % )-

Zum Beweise seien allgemein fiir jedes Tripe-1 e > 0, ~ > 0, a > 0 die Zahlen L o = L o (e) und ~ = 6 (e, ~, a) so bestimmt, da~ die Aussage des F51fssatzes ffir f (x ) giiltig ist. Nachdem ei, %, . . . als positive monotone Nullfolge gew~hlt ist,

el > % > . . . - + 0 , Mathemaiische h..alen. ZOO.

354 1L Sohmld~.

seien L1, L~, . . . erkl/irt dutch

Fiir j edes v werde ferner der Reihe naeh gesetzt

~ ' ) ~ - ~ , 4 r , r

(12) . . . . . . . . . . .

-< (-t " Ein beliebiges r werde j etzt festgehalten. Die

(12) k5nnen dann vorl~ufig fortgelassen werden. Fiir Index n is\ voraussetzungsgem/i$

{1 fn i x) - - f (x) l ~} d ~:- Anwendung des Hilfssatzes auf F (x) = f: (x)

funk\ion G (x) = f~ (x), die den Bedingungen x +.L~,

-i-, Ir,,,,(8)--f(~)l~d~<@} flit alle x, und zugleich

oberen Indizes v in einen passenden

liefert eine Wellen-

geniigt. Auf F ( x ) = f~. (x) 1/~l~t sich tier Hilfssatz erneut anwenden.

L,_: !f~,,-:(Q-r(Ql~d$~(~-~ -~) X,

Beim vorletzten Schritt hat man f~o, (x) mit x +L.~

L f _ 1~

und zugteich

Und so fort.

und zugleieh

{l r:~. (~) - r (~ ) l ~'} ___< ~; schlieBlich f: l (x) mit

x +L~

,f = t l ] �9

Es

Trigonometrisehe Approximation. 355

Die Wellenfunktion g ( x ) = f ~ (x)

hat folgende Eigenschaft: Es ist x+L:r

o

/iir alle x und /is ~eden Index u-~-1, ..., v er/iiltt. stimmt das mit dem Ergebnis des letzten Schrittes kann man so schliei~en: g (x) ist yon der Form

WO "gO~ " ' ' ~ . g i n - 1

g~ 8 9 g~ T~ < ~ auch zu ~ gehSren.

Hilfssatzes erh~lt man

Denn flit z - ~ l iiberein. Ffir x ~ 2

i f. H=0

Versetfieblmgszahlen yon f (x) sind, die ~a ~-7' also wegen

Unter Benutzung der letzten Aussage des

x+Z~ m - 1 x+Z~

i f ~ 1 i f l g ( ~ ) - - f ( ~ ) l d ~ m ~ ~ I f ~ ( ~ § ~d~ x /.~=0 X

m--i ~+.Lz m--1 fl;+~2

< 2 ..,~ ~ ' ~ d e + ~ ~ l f , ,~ (e+%)-f (e+%)f~de =v~ L lf(r § f(~)~ 3' =0 x =

o < 4 2 <e~.

Eine ~ihnliche Erw~igung wie im Falle x = 2 fiihrt aueh allgemein (2 < ~ s v) zum Ziele: g(x) ist yon der Form

1 f. ,u=O

wo iede tier Zahlen %, . . . , z ~ - i eine Summe yon Vemchiebungszahlen yon

8~ gehSrenlO); die Anzahl der Snmmanden ist x - 1, die f(x) ist, die zu

Zahl~n ~o, ~,_~ ~i=d al~o W~o~i~bung~a~r ~on f(x) di~ = (~,--1) 8. ***~ ~ 4 " ~

also wegen ( x - 1 ) 8, 8. 8 . G < ~ - a u c h zu T gehSren. Alles weitere verl~uft

genau analog zum Falle x - - 2 .

,o) Z. B. e r h ~ t man ffir ~ = 3:

ma--1

K /z=O

I

Z r:, ~=0 i'=O

23*

356 R. Sebmidt. Trigonometrische Approximation.

Ferner hat g(x) , wie sich nach dem letzten Schritt, z = ~, ergibt, die Form

~b

1 Z r . g ( x ) = ~ p = l

Fiir j edes u = 1, 2 , . . . erh~lt man eine solche Funktion mr

1 Z =m--~ fn~(x -~v:, ). f~=l

Ich behaupte: Die so entstehende Folge von Wellenfunlctionen g~ (x), g~ (x), ... konvergiert im Mittel scharf gegen f ( x ) . Bestimmt man n~imlich zu ge- gebenem s ~ 0 den Index n so, dab s~ =_~ e ist, so sind L~ und dieses n solche Werte von L (,) und n(e) , wie sie in der Definition der schaffen Konvergenz im Mittel gegen ~ine Wellenfunktion gefordert werden. Denn in bezug au] ]eden Index v ~ n spielt n selbst die Rolle eines z in (13).

w

Die trigonometrische Approximation flit Wellenfunktionen.

Sat z 8. Zu jeder Wellen/un]ction QD

f ( x ) N . ~ a e ~'~ v = l

gibt es eine Folge yon trigonometrischen Polynomen der Form

Q,~ (x ) -~ ~b(~ ~) e i~'~ (n = 1, 2 , . . . ) , ~ ' ~ 1

die i m Mi t t e l s char / gegen f ( x ) konvergiert.

Dieser Satz folgt unmittelbar aus den S~itzen 6 und 7. Bedeuten n~mlich P~(x) die Abscb,itte der Fourierreihe yon f ( x ) ,

k

P~(x) --= 2 a , e i~*~ ( / r 1, 2, . . .) ,

s o konver~en die Folge yon WeHen~,,~ionen f, (x) = P, (x), f~ (x)= P,~ (x),. . . im Mittel gegen f ( x ) (Satz 6), und der Satz 7 liefert die ~ml~ionenfolge

ka / m~ \

g , ( x ) = Q.(x! " 1 ~ P ~ , ( x +c~ '*)) -=~-" lm,~-~ * 7s /~=i ~=I ~ /~=I "

~x

= ~ b ( ~ e '~'~ ( n = 1, 2 , . . . ) ,

die im MitCel schaff gegen f (x) konvergiert.

(FAngegangen am 15. 1. 1928.)