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DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM MATEMÁTICA FUNDAMENTADO NA TEORIA DA ATIVIDADE DE ESTUDO.
Prof. Dr. Héctor José García MendozaUniversidade Federal de Roraima - UFRR
https://w3.dmat.ufrr.br/hector
Grupo de Pesquisa: Didática da Resolução de Problemas em Ciências e Matemática
O grupo propõe explicar a relação dialética entre o processo de ensino
aprendizagem de conceitos, procedimentos, e atitudes na formação
das ações mentais e a criatividade dos estudantes através de um ensino
problematizador para construção de um sistema de ações mentais
adequado ao Ensino de Ciências e Matemática na Amazônia.
https://w3.dmat.ufrr.br/hector
A través das seguintes publicações explicarei a evolução teoria de nossas pesquisas.
TINTORER, O.; MENDOZA, H. J. G. EVOLUÇÃO DA TEORIA HISTÓRICO-CULTURAL DE VIGOTSKI À TEORIA DEFORMAÇÃO POR ETAPAS DAS AÇÕES MENTAIS DE GALPERIN. In: Ghedin, Evandro; Peternella, Alessandra.(Org.). Teorias Psicológicas e suas implicações à educação em ciências. 1ed.Boa Vista: Editora UFRR, 2016,v. 1, p. 157-170.
Comentário: No artigo explicamos os fundamentos teóricos assumido dentro da teoria Histórico – Cultural,ou seja, o sistema Vigotsky - Leóntiev - Galperin - Talízina
MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, Oscar. A ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA EM MATEMÁTICA. In:LONGAREZI, Andréa Maturano; PUENTES, Roberto Valdés. (Org.). Ensino, aprendizagem edesenvolvimento: fundamentos psicológicos e didáticos para o ensino desenvolvimental. 1ed.Uberlândia,MG: EDUFU, 2017, v. 1, p. 373-403.
Comentário: Os princípios de resolução de problema de Polya é convertido numa Atividade de Estudo paraa resolução de Problema Matemático fundamentado em Vigotsky – Leóntiev – Galperin – Talízina que foidenominado Atividade de Situações Problema em Matemática. É resultado de minha tese de doutorado
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MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, O. A DIDÁTICA DA MATEMÁTICA FUNDAMENTADA NA TEORIA DEFORMAÇÃO POR ETAPAS DAS AÇÕES MENTAIS DE GALPERIN. In: Isauro Beltrán Núnez; Betânia LeiteRamalho. (Org.). P. Ya. Galperin e a teoria da assimilação mental por etapas: Pesquisa e experiências paraum ensino inovador. 1ed.Campina - SP: Mercado de Letras, 2018, v. 1, p. 125-153.
Comentário: Propor-se um sistema de ações para desenvolver a Didática da Matemática fundamentada nateoria de Galperin, centrada na resolução de problemas e guiada pela teoria geral de direção do processode estudo, com o fim de melhorar a preparação dos professores de Matemática na elaboração dasdisciplinas específicas ao que se denominou A Atividade de Situações Problema da Didática. Fundamenta-se a proposta em desenvolver três momentos: identificar o problema, planejar e construir a atividade desituações problema em Matemática.
MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, O. A CONTRIBUIÇÃO DO ENSINO PROBLEMATIZADOR DE MAJMUTOV NAFORMAÇÃO POR ETAPAS DAS AÇÕES MENTAIS DE GALPERIN. Revista Obutchénie, v. 2, p. 166-192, 2018.
Comentário: Considero a contribuição teórica mais importante do grupo. Majmutov fundamenta aresolução de problema a partir do materialismo dialético, psicológico (teoria histórica – cultural) e didáticoenfatizando que o ensino deve estar orientado para a criatividade. A partir da teoria das contribuições deMajmutov foi modificada e enriquecida a Atividade de Situações Problema em Matemática e criada aAtividade de Situações Problema Docente.
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Nosso conhecimento da realidade objetiva dá início com as sensações e
as percepções, mas não acaba com elas e daí passa para o pensamento. O
descobrimento das relações e conexões entre os objetos é uma tarefa
essencial do pensamento (RUBINSTEIN, 1967, p. 378).
As leis do materialismo dialético fornecem os
fundamentos filosóficos para o estudo do
processo de ensino aprendizagem, podem
revelar-se através da lógica dialética como
método do conhecimento da realidade
(MAJMUTOV, 1980, p. 32-34)
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Tarefas
Situação Problema Docente
Elementos Conhecidos Elementos Desconhecidos
Analises da Situação Problema Docente
Formulação do Problema Docente
Solução do Problema Docente
A contradição objetiva de umatarefa, entre os dados e ascondições, pode converter-se naforça motriz do pensamentosomente em caso de que setransforme na consciência doestudante, na contradição entreo conhecido e desconhecido.
Por conhecido se tem em consideração osdados da tarefa, os conhecimentos anteriorese a experiência pessoal do estudante; pordesconhecido, não só aquilo que não se dá nascondições e nos objetivos, senão na incógnita,e no procedimento para alcançar o objetivo,ou seja, o método de resolver o problema.
Isto significa que a tarefa, despois dereceber na consciência do estudante umconteúdo novo, se transforma em umfenômeno totalmente novo,, o ProblemaDocente .
Posteriormente é realizado um plano desolução do problema que inclui a seleção devariante de solução que pode ser através demétodos analíticos ou heurísticos.
O problema docente comocategoria psicológica é acausa primária dopensamento, o inicio daatividade mental.
Como categoria lógica é arelação entre o conhecidoe o desconhecido
As contradições doconhecimento noprocesso de ensinoaprendizagem
Um caminhão sobe uma rampa inclinada emrelação ao plano horizontal. Se a rampa tem30 m de comprimento e seu ponto mais altoestá 5m de altura, qual é a distância do inicioda rampa até da base da altura?
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∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐵𝐴~∆𝐷𝐴𝐶Da semelhança entre ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐷𝐵𝐴𝐴𝐵
𝐵𝐶=
𝐷𝐵
𝐵𝐴⇒
𝑐
𝑎=
𝑚
𝑐⇒𝑐2 = 𝑎𝑚 (I)
Da semelhança entre ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆DAC𝐴𝐵
𝐵𝐶=
𝐷𝐴
𝐴𝐶⇒
𝑐
𝑎=
ℎ
𝑏⇒𝑎ℎ = 𝑏𝑐 (𝐼𝐼)
𝐴𝐶
𝐵𝐶=
𝐷𝐶
𝐴𝐶⇒𝑏
𝑎=
𝑛
𝑏⇒𝑏2 = 𝑎𝑛 𝐼𝐼𝐼
Da semelhança ∆𝐷𝐵𝐴 𝑒 ∆𝐷𝐴𝐶𝐷𝐴
𝐷𝐵=
𝐷𝐶
𝐷𝐴⇒
ℎ
𝑚=
𝑛
ℎ⇒ℎ2 = 𝑚𝑛 𝐼𝑉
De I e III obtemos 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 (V)As igualdades I até V são chamadasrelações métricas no triângulo retângulo.
Relações Métrica no Triângulo Retângulo
Tarefa n°1: Um caminhão sobe uma rampa inclinada emrelação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m decomprimento e seu ponto mais alto está 5m de altura,qual é a distância da rampa até inicio da base da altura?
Tarefa n°2: Calcule a altura relativa à hipotenusa e asprojeções dos catetos sobre a hipotenusa no trianguloretângulo de catetos 8 cm e 12 cm
Tarefa n° 3: Em um triângulo retângulo a medida de um cateto é 12 cm e a medida da hipotenusa é 20 cm. Determine as medidas do outro cateto, a altura em relação à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Tarefa nº4 Uma torre é sustentada por três cabos de açode mesma medida. Calcule a altura da torre , sabendoque a medida da cada cabo é de 30 m e os ganchos queprendem os cabos estão a 15 m do centro da base datorre
Tarefas
.
.
.N - Tarefas
Objetivo de ensino:Aplicar as relações métricas notriângulo retângulo na resoluçãode problemas
• Análises e sínteses
• Comparação
• Generalização e classificação
• Abstração e concretização
• Os conceitos, os juízos e
conclusões
• Assimilação dos conceitos
• Compreensão
• Solução de Problemas Racionais
• Qualidades do pensamento
Operações racionais do pensamento
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A partir da contradição objetiva das tarefas deve-se formar o pensamento abstrato em matemática e posteriormente a transferência
Relação Objeto e Estudante
Elementos da Atividade
Motivação -----> Objetivo
Leóntiev
1. Sistema de ações
2. Operações para realizar as ações
3. Motivação dos alunos
4. Alcançar um objetivo
ATIVIDADE DE ESTUDO
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Compreender o Problema
• ler o problema e extrair todos os elementos desconhecidos; • Estudar os dados e suas condições• Determinar o(s) objetivo(s) do problema.
Construir o Modelo Matemático
• Determinar as variáveis e incógnitas.• Nominar as variáveis e incógnitas com suas unidades de medidas.• Construir o modelo matemático a partir das variáveis, incógnitas e condições.• Realizar a análise das unidades de medidas do modelo matemático.
Solucionar o Modelo Matemático
• Selecionar o(s) método(s) matemático(s) para solucionar o modelo• Selecionar um programa informático que contenha os recursos necessários do(s) método(s) matemático(s) para solucionar o
modelo• Solucionar o modelo matemático.
Interpretar a Solução
• Interpretar o resultado;.• Extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s) objetivo(s) do problema.• dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema.• Realizar uma reflexão baseado no(s) objetivo(s) do problema.• Analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com o(s) objetivo(s) do problema existindo a
possibilidade de reformular o problema e assim construir novamente o modelo matemático, solucioná-lo e interpretar sua solução.
Atividade de Situações Problema em Matemática
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Formular o problema docente.
• analisar a situação problema para determinar os elementos conhecidos e desconhecidos; estudar osdados e as condições da situação problema,
• reconhecer o buscado a partir de problema fechado (objetivo definido) ou aberto (objetivo nãopreciso).
Construir o núcleo conceitual
• determinar o nível de partida dos estudantes relacionado com os conhecimentos sobre oelemento conhecido e sua atualização se for necessário
• encontrar nexos entre os conhecidos e desconhecido desde os pontos de vista conceitual eprocedimental através de novas tarefas mais simples como realização de experimentos, analogia,intuição e suposição de hipóteses.
Solucionar o problema docente
• aplicar o método lógico – analítico ou heurístico ou combinação de ambos para determinar osnexos entre o conhecido e desconhecidos e
• determinar o buscado.
Interpretar a solução
• verificar se a solução corresponde com o buscado e as condições do problema
• analisar os resultados obtidos para encontrar possíveis novas relações conceitual e/ouprocedimental com elementos anteriormente conhecidos.
Atividade de Situações Problema Docente
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Tarefa nº1
R
E
A
L
P
O
T
E
N
C
I
A
L
Tarefa nº2
R
E
A
L
P
O
T
E
N
C
I
A
L
Tarefa nº3
R
E
A
L
P
O
T
E
N
C
I
A
L
Zona Proximal nº1
Zona Proximal nº2
Zona Proximal nº3
Zona de Desenvolvimento Proximal – Vigotsky
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Tarefa nº1
C
O
N
H
E
C
I
D
O
D
E
S
C
O
N
H
E
C
I
D
O
Tarefa nº2
C
O
N
H
E
C
I
D
O
D
E
S
C
O
N
H
E
C
I
D
O
Tarefa nº3
C
O
N
H
E
C
I
D
O
D
E
S
C
O
N
H
E
C
I
D
O
Problema Docente nº1 Problema Docente nº2 Problema Docente nº3
Solução do Problema Docente nº1
Situação Problema Docente
Análises da Situação Problema Docente
Zona de Desenvolvimento Proximal – Vigotsky - Majmutov
Solução do Problema Docente nº2
Solução do Problema Docente nº3
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Interação OBJETO e SUJEITO no PROCESSO DE ASSIMILAÇÃO
A través de uma atividade que é formada por um sistema de ações através de operações para alcançar um objetivo de ensino
ETAPAS DO PROCESSO DE ASSIMILAÇÃO
1ª Motivacional (Resolução de Problema)
2ª Formação da Base Orientadora da Ação (Professor Orienta e o estudante compreende,
mas compreender não significa saber fazer)
3ª Formação da ação em forma material ou materializada (saber fazer)
4ª Formação da ação em forma verbal (saber explicar)
5ª Formação da ação em verbal externa para si (transferir para novas situações)
6ª Formação da ação mental (modelos mentais, esquema, etc.)https://w3.dmat.ufrr.br/hector
Características das ações
Primárias
A forma
Caráter generalizado
Caráter assimilado
Caráter explanado
Material ou materializado
Perceptiva
Verbal externa
Interna
Secundárias
Caráter razoável
Caráter consciente
Caráter abstrato
Caráter de solidez
CARATERÍSTICAS DAS AÇÕES
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Didática de Resolução Problema
O professor tem função de dirigir o processo de assimilação,deve ser cíclica e transparente (Talízina)
D1: “Objetivo de Ensino”D2: “Nível de Partida”D3: “Processo de Assimilação”D4: “Retroalimentação”D5: “Correção”
D3
D4
D5
ASPD
BOA E1
D3
D4
D5
ASPD
Interna E5. . .D1 D2
Formação por etapas das ações mentais (Galperin)
E0: “Motivacional”E1: “Elaboração da Base Orientadora da Ação (BOA)”E2: “Formação da ação em forma material ou materializada”E3: “Formação da ação verbal externa”E4: “Formação da ação na linguagem externa para si”E5: “Formação da ação na linguagem interna”.
Atividade de Situações Problema Docente (ASPD) (Mendoza eTintorer)
Formular o Problema Docente Construir o núcleo conceitual Solucionar o Problema Docente Interpretar a solução
Situação Problema, Formulação do Problema e Solução doproblema (Majmutov)
A contradição como a força motriz do processo de ensinoaprendizagem (Materialismo Dialético)
O pensamento criador (Rubinstein e Majmutov)Zona de Desenvolvimento Proximal (Vigotsky)Teoria da Atividade (Leóntiev)
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∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐵𝐴~∆𝐷𝐴𝐶Da semelhança entre ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐷𝐵𝐴𝐴𝐵
𝐵𝐶=
𝐷𝐵
𝐵𝐴⇒
𝑐
𝑎=
𝑚
𝑐⇒𝑐2 = 𝑎𝑚 (I)
Da semelhança entre ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆DAC𝐴𝐵
𝐵𝐶=
𝐷𝐴
𝐴𝐶⇒
𝑐
𝑎=
ℎ
𝑏⇒𝑎ℎ = 𝑏𝑐 (𝐼𝐼)
𝐴𝐶
𝐵𝐶=
𝐷𝐶
𝐴𝐶⇒𝑏
𝑎=
𝑛
𝑏⇒𝑏2 = 𝑎𝑛 𝐼𝐼𝐼
Da semelhança ∆𝐷𝐵𝐴 𝑒 ∆𝐷𝐴𝐶𝐷𝐴
𝐷𝐵=
𝐷𝐶
𝐷𝐴⇒
ℎ
𝑚=
𝑛
ℎ⇒ℎ2 = 𝑚𝑛 𝐼𝑉
De I e III obtemos 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 (V)As igualdades I até V são chamadasrelações métricas no triângulo retângulo.
Relações Métrica no triangulo retângulo
Tarefa n°1: Um caminhão sobe uma rampa inclinada emrelação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m decomprimento e seu ponto mais alto está 5m de altura,qual é a distância da rampa até inicio da base da altura?
Tarefa n°2: Calcule a altura relativa à hipotenusa e asprojeções dos catetos sobre a hipotenusa no trianguloretângulo de catetos 8 cm e 12 cm
Tarefa n° 3: Em um triângulo retângulo a medida de um cateto é 12 cm e a medida da hipotenusa é 20 cm. Determine as medidas do outro cateto, a altura em relação à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Tarefa nº4 Uma torre é sustentada por três cabos de açode mesma medida. Calcule a altura da torre , sabendoque a medida da cada cabo é de 30 m e os ganchos queprendem os cabos estão a 15 m do centro da base datorre
Tarefas
.
.
.N - Tarefas
Objetivo de ensino:Aplicar as relações métricas notriângulo retângulo na resoluçãode problemas
Como organizar o processo deensino aprendizagem para aformação do pensamentoteórico matemático naresolução de problemas econceitos matemáticos ?
ASP em Relações Métrica notriangulo retângulo
•Formular o problema docente.•Construir o núcleo conceitual•Solucionar o problema docente•Interpretar a solução
D3
D4
D5
ASPD
BOA E1
D3
D4
D5
ASPD
Interna E5. . .D1 D2
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Procedimentos Metodológicos Mistos (Qualitativa – Quantitativa)
Base Teórica
Qualitativa Quantitativa
Coleta de dados das
categorias
Coleta de dados das
variáveis
Análises dos
resultados
Análises dos
resultados
Conclusões
Considerar:
Resolução de Problema
Formação das ações
mentais
Validade da Pesquisa
Produto Educacional
como retroalimentação
Atividade de situações problema docenteFormular o problema docente.
analisar a situação problema para determinar os elementos conhecidos e desconhecidos; estudar os dados e as condições dasituação problema,reconhecer o buscado a partir de problema fechado (objetivo definido) ou aberto (objetivo não preciso).
Construir o núcleo conceitualdeterminar o nível de partida dos estudantes relacionado com os conhecimentos sobre o elemento conhecido e sua atualização sefor necessárioencontrar nexos entre os conhecidos e desconhecido desde os pontos de vista conceitual e procedimental através de novas tarefasmais simples como realização de experimentos, analogia, intuição e suposição de hipóteses.
Solucionar o problema docenteaplicar o método lógico – analítico ou heurístico ou combinação de ambos para determinar os nexos entre o conhecido edesconhecidos edeterminar o buscado.
Interpretar a soluçãoverificar se a solução corresponde com o buscado e as condições do problemaanalisar os resultados obtidos para encontrar possíveis novas relações conceitual e/ou procedimental com elementos anteriormenteconhecidos.
A pesquisa quantitativa direciona a pesquisa qualitativa
Na pesquisa quantitativa as ações da ASP sãoconvertidas em variáveis e suas operações emseus indicadores
Na pesquisa qualitativa as ações são ASP são convertidas em categorias e suas operaçõesem subcategorias
Categoria de análises da formaçãodas ações mentais são: a forma(material verbal externa e formainterna), generalizado, explanado eassimilado.
Categorias de análises das qualidades de formação das ações mentais são: a solidez, consciente, abstrato e razoável.
Qualitativa
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Objetivo de Ensino
Qualitativa Quantitativa
Instrumento de
diagnostico
Instrumento de
diagnostico
Planejamento do sistema
didático
Execução do planejamento por
etapas
Avaliação formativas e
final
Construção dos
Instrumentos
Construção dos
Instrumentos
Execução do planejamento por
etapas
Avaliação formativas e
final
Produto Educacional
Momento nº1
Momento nº2
Momento nº3
Validade da Pesquisa Validade da Pesquisa
Triangulação
Momento nº4
Momentos da Pesquisa
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Conclusões
A partir da teoria Histórico-Cultural o ensino problematizador é uma alternativa didática que
mobiliza uma quantidade considerável de processos cognitivos para a formação do
pensamento teórico, contribuindo para a melhoria na qualidade da aprendizagem.
A Atividade de Situações Problema Docente (ASPD) como a Atividade de Estudo está
orientada pelo objetivo de resolver problemas docentes, na zona de desenvolvimento
proximal, em um contexto de ensino aprendizagem, no qual exista uma interação entre o
professor, o estudante e a tarefa com caráter problematizador; com o uso da tecnologia
disponível e de outros recursos didáticos, para transitar pelos diferentes estados do processo
de assimilação.
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Referências Bibliográficas
DANTES, L. R. Matemática: contextos e aplicações. São Paulo: Atica, 2009
MAJMUTOV, M. J. La Enseñanza Problémica . Habana: Pueblo y Revolución,1983.
MENCHINSKAIA, N. A. El Pensamento. In: A. A. Smirnov; A. N. Leontiev; S. L.Rubinstein; B. M. Tieplov. Psicologia. Habana: Ediciones Pedagogica, 1961.
MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, O. A contribuição do ensino problematizadorde Majmutov na formação por etapas das ações mentais de Galperin. RevistaObutchénie, v. 2, p. 166-192, 2018
RUBINSTEIN, J. L. Princípios de Psicologia General . Habana: Revolucionaria,1967.
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