didactica_matematicii_2

2006

Program postuniversitar de conversie profesionalăpentru cadrele didactice din mediul rural

MATEMATICĂ III

Mihail ROŞU

Forma de învăţământ ID - semestrul III

Ministerul Educaţiei şi Cercetării Proiectul pentru Învăţământul Rural

PEDAGOGIA ÎNVĂŢĂMÂNTULUI PRIMAR ŞI PREŞCOLAR

Matematică III

Mihail ROŞU

2006

© 2006 Ministerul Educaţiei şi Cercetării Proiectul pentru Învăţământul Rural Nici o parte a acestei lucrări nu poate fi reprodusă fără acordul scris al Ministerului Educaţiei şi Cercetării ISBN 10 973-0-04561-5; ISBN 13 978-973-0-04561-1.

Cuprins

Proiectul pentru Învăţământul rural 1

CUPRINS Introducere ......................................................................................................... 3 I. Metoda figurativă .................................................................................... 5

1.1. Obiectivele unităţii de învăţare .......................................................... 5 1.2. Aflarea a două necunoscute când se dau suma şi diferenţa lor ........ 5 1.3. Aflarea a două necunoscute când se dau suma şi raportul lor.......... 9 1.4. Aflarea a două necunoscute când se dau diferenţa şi raportul lor .. 11 1.5. Alte categorii de probleme rezolvabile cu metoda figurativă ........... 14 1.6. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ....................... 18 1.7. Lucrare de verificare 1..................................................................... 18 1.8. Bibliografie....................................................................................... 18

II. Metoda comparaţiei............................................................................... 19

2.1. Obiectivele unităţii de învăţare ...................................................... 19 2.2. Metoda comparaţiei....................................................................... 19

2.2.1. Eliminarea unei necunoscute prin scădere......................... 20 2.2.2. Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei .................. 26

2.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare..................... 28 2.4. Bibliografie .................................................................................... 29

III. Metoda falsei ipoteze ............................................................................ 30

3.1. Obiectivele unităţii de învăţare ...................................................... 30 3.2. Metoda falsei ipoteze .................................................................... 30 3.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare..................... 37 3.4. Bibliografie .................................................................................... 37

. IV. Metoda mersului invers ....................................................................... 38

4.1. Obiectivele unităţii de învăţare ...................................................... 38 4.2. Metoda mersului invers ................................................................ 38 4.3. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare....................... 43 4.4. Lucrare de verificare 2 ................................................................. 44 4.5. Bibliografie .................................................................................... 44

V. Probleme de mişcare ........................................................................... 45

5.1. Obiectivele unităţii de învăţare ...................................................... 45 5.2. Probleme de mişcare ................................................................... 45

5.2.1. Distanţă, viteză, timp .......................................................... 46 5.2.2. Mobile care se deplasează în acelaşi sens ........................ 50 5.2.3. Mobile care se deplasează în sens contrar ........................ 53

5.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare .................... 56 5.4. Bibliografie .................................................................................... 57

Cuprins

2 Proiectul pentru Învăţământul rural

VI. Probleme de logică ............................................................................... 58

6.1. Obiectivele unităţii de învăţare ...................................................... 58 6.2. Probleme de logică ....................................................................... 58 6.3. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare....................... 68 6.4. Lucrare de verificare 3 .................................................................. 68 6.5. Bibliografie .................................................................................... 69

VII. Probleme ce conţin tabele, diagrame, grafice ................................... 70

7.1. Obiectivele unităţii de învăţare ...................................................... 70 7.2. Probleme ce conţin tabele, diagrame, grafice .............................. 70

7.2.1. Probleme ce conţin tabele .................................................. 71 7.2.2. Probleme ce conţin diagrame ............................................ 73 7.2.3. Probleme ce conţin grafice ................................................. 74

7.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare..................... 80 7.4. Bibliografie .................................................................................... 81

VIII. Elemente de teoria probabilităţilor ...................................................... 82

8.1. Obiectivele unităţii de învăţare ...................................................... 82 8.2. Elemente de teoria probabilităţilor ................................................ 82

8.2.1. Evenimente ........................................................................ 83 8.2.2. Probabilitate ....................................................................... 88

8.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare .................... 94 8.4. Lucrare de verificare 4 .................................................................. 94 8.5. Bibliografie .................................................................................... 95

. IX. Probleme nonstandard ........................................................................ 96

9.1. Obiectivele unităţii de învăţare ...................................................... 96 9.2. Probleme nonstandard .................................................................. 96 9.3. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare..................... 103 9.4. Bibliografie .................................................................................. 103

Bibliografie minimală ......................................................................... 104

Introducere


INTRODUCERE

Cursul de faţă îşi propune formarea şi dezvoltarea capacităţii de a rezolva probleme de matematică cu metode aritmetice, exersarea priceperii de a recunoaşte clasa căreia îi aparţine o problema tipică dată, precum şi familiarizarea cu tipologia problemelor de matematică ale ciclului primar.

Concepţia care a stat la baza structurării modulului a constat în prezentarea gradată a categoriilor de probleme, în ordinea descrescătoare a frecvenţei utilizării acestora în matematica şcolară a claselor I – IV şi a perspectivelor previzibile de abordare a unor noi tipuri de probleme ce pot fi întâlnite de şcolarii mici.

S-a urmărit ca cititorul să-şi formeze capacitatea de a stabili metoda de rezolvare adecvată unei probleme date, ca şi priceperea de a aplica algoritmul corespunzător, conştientizând şi argumentând fiecare pas al acestuia, în perspectiva activităţii directe cu elevii, în lecţiile de matematică.

Conţinutul său este structurat pe probleme tipice clasice (rezolvabile prin metoda figurativă, metoda comparaţiei, metoda falsei ipoteze, metoda mersului invers şi probleme de mişcare), probleme ce tind să devină clasice prin includerea în matematica şcolară a unor noi zone (logică, tabele,diagrame şi grafice, probabilităţi şi probleme nonstandard).

Parcurgerea cursului de faţă presupune o învăţare activă accentuată, ce urmăreşte cultivarea capacităţii de a gândi logic, de a construi raţionamente corecte, adecvate contextului oferit de probleme şi de exersare a calităţilor necesare unui rezolvitor de probleme matematice.

După parcurgerea şi asimilarea cursului, aşteptăm, la cititor, apariţia următoarelor competenţe specifice:

• identificarea raţionamentelor şi algoritmilor necesari în rezolvarea aritmetică a unor tipuri de probleme matematice;

• operarea cu strategii rezolutive adecvate în contextul rezolvării problemelor;

• manifestarea unor atitudini pozitive faţă de activitatea de rezolvare a problemelor.

Cursul reprezintă o apropiere de activitatea matematică specifică institutorului sau profesorului pentru învăţământul primar, care, pentru a-i conduce pe elevi în rezolvarea problemelor, trebuie să dispună el însuşi de capacităţile, aptitudinile şi atitudinile corespunzătoare.

Finalizarea cursului presupune şi rezolvarea a 4 lucrări de verificare, ce se află la sfârşitul unitaţilor de învăţare 1 (Metoda figurativă), 4 (Metoda mersului invers), 6 (Probleme de logică) şi 8 (Elemente de teoria probabilităţilor).

Introducere


Lucrările de verificare, rezolvate, vor fi transmise tutorelui într-o modalitate stabilită de comun acord (e-mail, probă scrisă etc).

Punctajul propus pentru rezolvarea fiecărei lucrări se află menţionat după enunţul subiectelor.

Ponderea acestor lucrări de verificare, ce reprezintă evaluarea continuă, este de 50% din evaluarea de bilanţ.

Metoda figurativă


UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 1 Metoda figurativă

Cuprins

1.1. Obiectivele unităţii de învăţare ............................................................................ 5 1.2. Aflarea a două necunoscute când se dau suma şi diferenţa lor .......................... 6 1.3. Aflarea a două necunoscute când se dau suma şi raportul lor ............................ 9 1.4. Aflarea a două numere când se dau diferenţa şi raportul lor ............................. 11 1.5. Alte categorii de probleme rezolvabile cu metoda figurativă.............................. 14 1.6. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ......................................... 18 1.7. Lucrare de verificare 1....................................................................................... 18 1.8. Bibliografie......................................................................................................... 18

1.1. Obiectivele unităţii de învăţare

La sfârşitul acestei de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să discrimineze problemele rezolvabile cu metoda figurativă; - să aplice, în rezolvarea problemelor, algoritmul corespunzător; - să descopere mai multe căi de rezolvare (diferite total sau parţial) pentru

problemele de acest tip.

Metoda figurativă


1.2. Aflarea a două necunoscute când se dau suma şi diferenţa lor

Dacă în problemă se dau suma (cât au împreună) şi diferenţa (cu cât este mai mare una decât cealaltă) a două mărimi şi se cere aflarea acestora, atunci problema este rezolvabilă prin metoda figurativă.

• Se reprezintă convenabil (de cele mai multe ori, prin segmente) cele două mărimi.

• Se urmăreşte ca cele două mărimi să devină egale. Acest fapt este realizabil pe două căi: presupunând că ambele devin egale cu cea mare. Dacă alegem prima variantă, atunci paşii următori ai algoritmului sunt:

• Observă că luând „ceva” de la cea mare, suma lor se micşorează cu acel „ceva” (care este difernţa celor două). Deci, scade din sumă, diferenţa (S - D).

• Observă că au diferit două mărimi egale (cu cea mică) şi atunci suma lor (atemţie: S – D!) se împarte la 2 pentru a găsi una dintre ele (cea mică!). deci, (S - D) : 2.

• Cealaltă mărimese poate afla sau prin adăugarea diferenţei la valoarea mărimii aflate (cea mică) sau scăzând din suma iniţială valoarea mărimii aflate.

Stabileşte paşii algoritmului în situaţia că ambele mărimi au devenit egale cu cea mare.

Dacă S şi D reprezintă suma, respectiv diferenţa a două necunoscute n şi N, atunci aceste necunoscute se determină astfel: n = (S - D) : 2 şi N = (S + D) : 2 O pamblică lungă de 10 m trebuie tăiată în două părţi, astfel încât una dintre ele să aibă cu 2 m mai mult decât cealaltă. Câţi metri va avea fiecare parte? Rezolvare

recunoaşterea tipului

de problemă

algoritmul rezolvării

temă instant

generalizare

problemă rezolvată

Metoda figurativă


Să figurăm datele problemei, reprezentând cele două segmente (ambele aşezate cu câte un capăt pe o aceeaşi verticală). 10 2 Pentru a obţine părţi egale cu cea mică, ar trebui „scoşi” de la cea mare, 2m. Situaţie în care suma s-ar micşora şi ea cu 2, iar imaginea ar deveni: -2 10-2 Ar rămâne două părţi egale, care au împreună 10 – 2 = 8 (m). Deci, una dintre ele (cea mai mică!) are 8 : 2 = 4 (m). Lungimea celei mari este 4 + 2 = 6 (m) sau 10 – 4 = 6 (m). R: 4m; 6m. Rezolvă problema, presupunând că ambele părţi devin egale cu cea mare.

• Atunci când problema se referă la mărimi discrete (mulţimi de obiecte concrete) se pot folosi, pentru figurare, altceva decât segmente: cerculeţe, ovale, simboluri diverse, inclusiv literale. • Este posibilca problema să conţină mai mult de două mărimi: tipul de raţionament rămâne acelaşi. • Uneori, enunţul problemei nu conduce direct la algoritmul prezentat, ci este necesară efectuarea unor paşi, care fac problema reductibilă la tipul analizat.

temă instant

observaţii

Metoda figurativă


Test de autoevaluare 1

Rezolvă problemele: 1. Trei copii au cules împreună 100 de ciuperci. Ştiind că al doilea a cules cu

15 ciuperci mai multe decât primul, dar cu 10 mai puţine decât al treilea, să se afle câte ciuperci a cules fiecare copil.

2. Soţul şi soţia au câştigat împreună, într-o lună, 1550 RON. După ce soţul contribuie cu 350 RON la cheltuielile comune, iar soţia cu 200RON, ambii rămân cu aceeaşi sumă. Ce venit a avut fiecare în acea lună?

Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.

Metoda figurativă


1.3. Aflarea a două necunoscute când se cunosc suma şi raportul lor

Atenţie ! Nu se

simplifică!

Dacă în problemă se dau suma (cât au împreună) şi raportul (de câte ori este mai mare una decât cealaltă) a două mărimi şi se cere aflarea acestora, atunci problema este rezolvabilă prin metoda figurativă.

- Se reprezintă convenabil (de cele mai multe ori, prin segmente) cele două mărimi.

- Se pune în evidenţă raportul dat (a părţii egale pentru una dintre mărimi b părţi egale pentru cealaltă).

De multe ori, când se precizează de câte ori este mai mare una dintre mărimi decât cealaltă, se consideră că cea mai mică reprezintă o parte şi se determină numărul de părţi egale de pe cealaltă.

- Se calculează numărul total de părţi egale ce formează cele două mărimi (a + b).

- Se află valoarea uneia dintre părţile egale, împărţind suma la numărul total de părţi egale (S : (a + b)).

- Se află valorile necunoscute ale mărimilor, ţinând seama de numărul părţilor egale ce le compun (S : (a + b) x a, respectiv (S : (a + b)x b).

Am aflat una dintre cele două necunoscute. Găseşte o cale, diferită de cea prezentată mai sus, pentru determinarea celei de a doua necunoscute.

Dacă S reprezintă suma, iar a/b (cu a<b) raportul a două necunoscute n. şi N, atunci aceste necunoscute se determină astfel:

n = aba

S ⋅+

şi N = bba

S ⋅+

.

Doi copii au împreună 140 de timbre. Unul dintre ei are ¾ din cât are celălalt. Câte timbre are fiecare copil? Rezolvare Să figurăm datele problemei, reprezentând cele două necunoscute (numărul de timbre ale fiecărui copil) prin segmente.

recunoaşterea tipului de problemă

temă instant


generalizare

Metoda figurativă


Întrucât una dintre necunoscute reprezintă 3 pătrimi din cealaltă, segmentul corespunzător acesteia va avea 3 părţi egale, în segmentul corespunzător celelalte necunoscute, 4 părţi egale.

140 Numărul părţilor egale este 3 + 4 = 7. Cele 7 părţi egale reprezintă 140 de timbre. Deci, valoarea uneia dintre părţile egale este 140 : 7 = 20 (timbre). Primul copil are 3 x 20 = 60 (timbre), iar cel de al doilea 4 x 20 = 80 (timbre). R: 60 timbre, 80 timbre. Am aflat că primul copil are 60 de timbre. Află numărul de timbre al celui de al doilea copil, pe o altă cale decât cea prezentată mai sus.

Test de autoevaluare 2 Rezolvă problemele: 1. Trei copii au strâns împreună 140 de nuci. Ştiind că al doilea a strâns de 4 ori mai

multe decât primul şi de două ori mai multe decât al treilea, să se afle câte nuci a strâns fiecare copil.

2. La un chioşc sunt 230 reviste şi ziare. După ce s-au vândut 120 ziare şi 50 de reviste, ziare au rămas de două ori mai multe decât reviste. Câte ziare şi câte reviste erau la început?

temă instant

Metoda figurativă



1.4. Aflarea a două necunoscute când se cunosc diferenţa şi raportul lor

Dacă în problemă se dau diferenţa şi raportul a două mărimi şi se cere aflarea acestora, atunci problema este rezolvabilă prin metoda figurativă.

- Se reprezintă convenabil cele două mărimi. - Se pune în evidenţă raportul dat a/b(a<b), figurând pe

unul dintre segmente a părţii egale, iar pe cealaltă, b părţi egale.

- Se calculează diferenţa dintre numărul de părţi egale ale fiecărei necunoscute (b - a).

- Se află valoarea uneia dintre părţile egale, împărţind diferenţa necunoscutelor la diferenţa părţilor (D : (b - a)).

- Se află valorile necunoscute ale mărimilor, ţinând seama de numărul părţilor egale ce le compun (D . (b - a) x a, respectiv D : (b -a) x b).

Am aflat că una dintre cele două necunoscute. Găseşte o cale, diferită de cea prezentată mai sus, pentru determinarea celei de a doua necunoscute.



temă instant

Metoda figurativă


Dacă D reprezintă diferenţa, ba (cu a<b) raportul a două

necunoscute se determină astfel:

n = aab

D ⋅−

şi N = bab

D ⋅−

Mama a cumpărat cu 6 kg mai multe prune decât gutui. Gutuile cântăresc de 4 ori mai puţin decât prunele cumpărate. Ce cantitate de prune şi ce cantitate de gutui a cumpărat?

Rezolvare Să figurăm datele problemei, reprezentând printr-un segment de lungime arbitrară cantitatea de gutui (cea mică). Atunci, segmentul ce reprezintă cantitatea de prune va avea lungimea de 4 ori mai mare şi va fi cu 6 mai mult decât celălalt I_____I I_____I_____I_____I_____I

6 Constatăm că diferenţa părţilor egale din cele două mărimi este 4 – 1 = 3. Cum aceste 3 părţi egale reprezintă 6 kg, rezultă că valoarea unei părţi egale este 6(kg) : 3 = 2 (kg). Prima mărime (cantităţi de gutui) are o singură parte egale, deci chiar 2 Kg. A doua mărime (cantitatea de prune), este de 4 ori mai mare, deci 4 x 2 kg = 8 kg. R: 8kg; 2kg. Am aflat cantitatea de gutui. Găseşte o cale, diferită de cea prezentată mai sus, pentru determinarea cantităţii de prune.

temă instant

generalizare


Metoda figurativă


Test de autoevaluare 3 Rezolvă problemele: 1. Vârsta tatălui este de 5 ori mai mare de cât a fiului. Dacă tatpl avea 24 de ani la

naşterea fiului, să se afle câţi ani are acum, fiecare dintre ei. 2. Într-o cutie sunt bile roşii şi bile albastre. Dacă se scot 10 bile roşii şi 2 bile albastre,

numărul celor albastre este de 2/3 din numărul celor roşii, acestea fiind cu 12 mai multe decât cele albastre. Câte bile de fiecare culoare au fost, la început, în cutie?


Metoda figurativă


1.5. Alte categorii de probleme rezolvabile cu metoda figurativă

Metoda figurativă conţine în ea o întreagă strategie necesară rezolvitorului de probleme matematice. După cunoaşterea enunţului unei probleme, în majoritatea cazurilor, rezolvatorul are tendinţa să-şi figureze datele acesteia, pentru a intui mai bine contextul şi relaţiile dintre date, dintre acestea şi întrebarea problemei. Este nevoia justificată de apelare la intuiţie pentru familiarizarea cu problema. Din acest motiv, în afara celor trei tipuri clasice, prezentate anterior, există şi alte clase de probleme rezolvabile cu această metodă. Să exemplificăm! Dacă se aşează câte un elev întro bancă, rămân 9 elevi în picioare; dacă se aşează câte doi elevi într-o bancă, rămân 3 bănci libere. Câţi elevi şi câte bănci erau? Rezolvare Să încercăm să ne imaginăm „filmul” indus de enunţul problemei,

figurând informaţiile oferite. Vom reprezenta o bancă prin şi un elev prin O. Prima imagine reprezintă băncile din clasă, câte un elev în fiecare bancă şi 9 elevi în picioare.

O O O ..... O

O O O……..O 9 elevi

Pentru a ajunge la informaţia finală (câte 2 elevi într-o bancă şi 3 bănci libere), să ne conturăm următoarea imagine, în care 3 bănci sunt libere. Cei 3 elevi ce se aflau în aceste bănci vor fi „trimişi” lângă ceilalţi 9, aflaţi deja în picioare.

O O O O O În ultima imagine, apar cele 3 bănci libere, iar în fiecare dintre celelalte trebuie să se mai aşeze 2 (elevi ce ar trebui să fie în fiecare bancă) – 1 (elev ce se află deja în fiecare dintre aceste bănci) = 1 (elev). În câte bănci se pot aşeza cei 9 + 3 = 12 elevi aflaţi în picioare? În 12 : 1 = 12 bănci. Deci, vor fi 12 bănci ocupate cu 2 elevi şi 3 bănci libere. Adică, în clasă erau 12 x 2 = 24 elevi şi 12 + 3 = 15 bănci. R: 24 elevi; 15 bănci Într-o curte sunt raţe şi purcei, în total 13 capete şi 32 picioare.

„forţa” metodei

figurative

exemplul 1

Metoda figurativă


Câte raţe şi câţi purcei sunt? Rezolvare Să figurăm cele 13 animale, prin nişte ovale.

………. Să reprezentăm apoi picioarele. Oricum, fiecare animal are cel puţin două picioare.

………. S-au „folosit” în felul acesta 13 x 2 = 26 picioare. Au rămas „disponibile”, 32 – 26 = 6 picioare. Deoarece un purcel are cu 4 – 2 = 2 picioare mai mult decât o raţă, adăugăm câte două picioare la un număr de animale.

………. ...........

Se mai pot adăuga încă două picioare la un număr de 6 : 2 = 3 animale, deci sunt 3 animale cu 4 picioare (purcei) şi atunci, 13 – 3 = 10 sunt animale cu două picioare (raţe). R: 10 raţe; 3 purcei. Într-un vas cu fructe sunt de 3 ori mai multe prune decât mere. Doi copii au fiecare câte un măr şi o prună. Rămân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere. Câte prune şi câte mere erau la început în vas? Rezolvare Să figurăm un măr prin litera M şi o prună , prin litera P (dacă aptitudinile pentru desen ne permit, putem reprezenta imaginile pentru măr şi prună). Prima informaţie din enunţ: sunt de 3 ori mai multe prune decât mere. Aceasta înseamnă că fiecărui măr îi corespund 3 prune, deci am putea forma grupe conţinând fiecare 1 măr şi 3 prune. P P P P P P ----- P P M M M ------M P P P P Câte astfel de grupe se por forma?

exemplul 2

exemplul 3

Metoda figurativă


Nu ştim! (Dacă am ştii, ar însemna că ştim numărul de mere, iar numărul prunelor prunelor de trei ori mai mare). Ce se întâmplă în continuare? Doi copii iau fiecare câte un măr. P P P P P P ----- P P M ------M P P P P şi o prună: P P P P P P ----- P P M ------M P P. Rămân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere. Aceasta înseamnă că fiecărui măr ar trebui să-i corespundă căte 4 prune. Ce avem acum? Grupe formate din câte 1 măr şi 3 prune (nu ştim câte!) şi 2 x (3 - 1) prune (din cele 2 grupe „destrămate”). Ce trebiue să facem pentru ca în fiecare grupă să avem 1 măr şi 4 prune? Să aşezăm în fiecare grupă rămasă 4 – 3 = 1 prună. Câte prune disponibile avem? 4. La câte grupe se aşează, câte una, cele 4 prune? Evident, la 4 : 1 = 4 grupe. Deci, numărul grupelor rămase este 4. Căte grupe au fost la început? 4 + 2 = 6 grupe. Deci, erau 6 mere şi 3 x 6 = 18 prune. R: 6 mere; 18 prune

Test de autoevaluare 4 Rezolvă problemele: 1. Elevii unei clase stau câte 2 în bancă şi o bancă este liberă. Pentru a se fotografia

cu învăţătoarea, se aşează cu toţii câte trei într-o bancă. Au rămas 4 bănci libere. Câţi elevi şi câte bănci erau în clasă?

2. Câţi elevi sunt într-o clasă, ştiind că, dacă se formează grupe din câte o fată şi un băiat, rămân 4 fete, iar dacă se formează grupe din câte două fete şi un băiat, rămân 3 băieţi?


Metoda figurativă


Metoda figurativă


1.6. Răspunsuri şi comentarii la testele de evaluare

Testul 1 1. 20 ciuperci, 35 ciuperci, 45 ciuperci. 2. 850 RON, 700 RON.

Testul 2 1. 20 nuci, 80 nuci, 40 nuci. 2. 70 reviste, 160 ziare.

Testul 3

1. 30 ani, 6 ani. 2. 30 bile roşii, 10 bile albastre.

Testul 4

1. 20 elevi, 11 bănci. 2. 14 fete, 10 băieţi.

1.7. Lucrare de verificare 1

Rezolvă problemele. 1. Doi fraţi au acum împreună 17 ani. Când cel mare va avea 17 ani, cel mic va avea

14 ani. Câţi ani are fiecare, acum? 2. Numărul băieţilor care participă la un concurs sportiv este de 3 ori mai mare decât

numărul fetelor participante. 3 fete şi 3 băieţi abandonează şi astfel numărul fetelor devine de 5 ori mai mic decât cel al băieţilor. Câţi băieţi şi câte fete au fost la început?

3. Tata, mama şi fiul au împreună 85 ani. Câţi ani are fiecare, dacă vârsta mamei reprezintă 7/8 din vârsta tatălui şi este cu 25 de ani mai mare decât vârsta fiului?

1.8. Bibliografie 1) Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, EDP, 1977; 2) Cherata v., Voicilă J., Mîndruleanu L., Metode şi tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetică, Editura SIBILA, 1954; 3) Roşu M., Matematica pentru formarea profesorilor din învăţământul primar Editura METEOR PRESS, 2005.

Metoda comparaţiei


UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 2 Metoda comparaţiei

Cuprins

2.1. Obiectivele unităţii de învăţare......................................................................... 19 2.2. Metoda comparaţiei ......................................................................................... 19 2.2.1. Eliminarea unei necunoscute prin scădere......................................................... 20 2.2.2. Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei .................................................. 25 2.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare........................................ 28 2.4. Bibliografie....................................................................................................... 29


La sfârşitul acestei de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să discrimineze problemele rezolvabile cu metoda comparaţiei; - să aleagă strategia rezolutivă convenabilă; - să aplice, în rezolvarea problemelor, algoritmul corespunzător; - să descopere mai multe căi de rezolvare (parţial diferite) pentru problemele de

acest tip.

2.2. Metoda comparaţiei

Dacă într-o problemă apar 3 mărimi fiecare dintre ele cu câte două valori numerice date, atunci aceasta este rezolvabilă prin metoda comparaţiei. Denumirea metodei sugerează modul de abordare a problemei: se compară primul şir de valori numerice ale mărimilor, cu cel de al doilea şir. Metoda comparaţiei se utilizează şi pentru rezolvarea problemelor în care se dau câte o valoare numerică pentru 3 mărimi şi o relaţie între două dintre ele. În rezolvare, se porneşte acum de la relaţia dintre cele două mărimi, explicitând-o pe una în funcţie de cealaltă şi apoi revenind în şirul valorilor numerice ale celor 3 mărimi. În consecinţă, vom întâlni două variante ale acestei metode, în care se urmăreşte eliminarea unei necunoscute prin scăderea sau prin înlocuirea ei.


Metoda comparaţiei


2.2.1. Eliminarea unei necunoscute prin scădere

Au fost cumpărate 3 creioane şi 4 pixuri, plătindu-se 11 RON. Cu 7 RON se puteau cumpăra două pixuri şi 3 creioane. Cât costă un creion? Dar un pix? Rezolvare Constatăm că enunţul problemei face referire la 3 mărimi (număr de creioane, număr de pixuri, suma plătită), pentru care oferă două şiruri de valori. Se aşează convenabil datele problemei (valorile unei mărimi plasate una sub cealaltă, indiferent de ordinea în care apar în text), pe două rânduri, corespunzătoare celor două situaţii: 3 creioane............4 pixuri..............11 RON 3 creioane 2 pixuri................7 RON. Să comparăm cele două şiruri de date: numărul creioanelor este acelaşi diferă doar numărul de pixuri şi suma plătită. Cele două valori numerice ale sumei plătite diferă doar pentru că diferă numărul pixurilor (numărul creioanelor fiind acelaşi). Ideea rezolvării este eliminarea uneia dintre mărimi, prin scădere. Diferenţa 4 – 2 = 2 (pixuri) induce o diferenţă de 11 – 7 = 4 (RON). Adică, două pixuri costă 4 RON. În continuare, problema nu mai prezintă dificultăţi. Se află preţul unui pix, 4 : 2 = 2 (RON) şi se introduce această valoare în unul (oricare!) dintre şirurile de date Să introducem preţul (aflat!) al unui pix în primul şir de date. Dacă 1 pix costă 2 RON, atunci 4 pixuri vor costa 4 x 2 = 8 (RON). Cum creioanele şi pixurile costă împreună, în acest caz, 11 RON şi am aflat costul pixurilor, rezultă că cele 3 creioane vor costa 11 – 8 = 3 (RON) şi atunci 1 creion va costa 3 : 3 = 1 (RON). R: 1 RON; 2 RON. Ştiind că un pix costă 2 RON, introdu această valoare în cel de al doilea şir de date şi (re)găseşte preţul unui creion.

prima problemă rezolvată

temă instant

Metoda comparaţiei


Au fost cumpărate 3 creioane şi 4 pixuri plătindu-se 11 RON. Cu 9 RON se puteau cumpăra 2 pixuri şi 5 creioane. Cât costă un creion? Dar un pix? Rezolvare „Dar, nu este aceeaşi problemă, ca mai sus?!” – ar putea întreba cineva. Să vedem! Scriem datele problemei, observăm ce elemente de noutate aduce şi care este strategia rezolvării în acest caz. 3 creioane..................4 pixuri....................11 RON 5 creioane..................2 pixuri......................9 RON Asta era! La niciuna dintre mărimi nu mai există o aceeaşi valoare. Nu se mai poate rezolva ca problema anterioară! Încă. Dar dacă am încerca să avem, la una dintre primele mărimi, o aceeaşi valoare numerică? Ar fi bine, dar unde? Valorile numerice de la prima mărime (3 şi 5 creioane) nu-mi spune încă nimic. Dar cele de la numărul pixurilor (4 şi 2)? Parcă e mai bine, deoarece 4 este un multiplu al lui 2 (4 = 2 x 2) şi de la 2 aş putea ajunge la 4. Cum? Prin înmulţire cu 2, fireşte. Dar dacă se cumpără de două ori mai multe pixuri, atunci ar trebuie să se cumpere tot de două ori mai multe creioane, iar cumpărătura ar costa de două ori mai mult. Aha! Deci, dacă aş înmulţi cu 2 al doilea şir de date, înseamnă că se cumpără de două ori mai multe creioane şi de două ori mai multe pixuri, plătindu-se de două ori mai mult. Este corect! Dar util! Sigur, pentru că de aici pornisem: să obţin aceeaşi valoare numerică la pixuri, în ambele situaţii. Să rescriem: 3 creioane………..4 pixuri…………11 RON 5 creioane……… 2 pixuri ………….9 RON / x2 adică, 3 creioane………..4 pixuri…………11 RON 10 creioane……… 4 pixuri …………18 RON Am redus problema la cea anterioară (numărul de pixuri fiind acelaşi în ambele şiruri de valori). Se elimină această mărime prin scăderea valorilor aflate în primul rând, din valorile aflate în al doilea rând. Finalizează rezolvarea problemei, aplicând algoritmul prezentat la problema anterioară.

a doua problemă rezolvată

Metoda comparaţiei


Au fost cumpărate 3 creioane şi 4 pixuri plătindu-se 11 RON. Tot 11 RON au costat 3 pixuri şi 5 creioane. Cât costă un creion? Dar un pix? Rezolvare „De data aceasta, nu mă mai înşel! Există valori comune, ba chiar două: 3 şi 11. deci, trebuie să se rezolve ca prima problemă”. Aşa ar putea gândi cineva care nu conştientizează enunţul problemei (sigur, nu tu!). Să scriem datele problemei: 3 creioane………..4 pixuri…………11 RON 5 creioane……… 3 pixuri ………..11 RON. Constatăm că, la nici una dintre primele două mărimi, mu există o aceeaşi valoare numerică, iar existenţa unei aceleiaşi valori la cea de a treia mărime este irelevantă pentru rezolvarea problemei. Ce să facem? Deocamdată nu se poate folosi niciuna dintre strategiile prezentate anterior. Rămâne de urmat ideea de a reduce problema dată la una care se încadrează în situaţiile cunoscute. Să focalizăm, de exemplu, pe prima mărime. Valorile numerice corespunzătoare ei sunt 3 şi 5. Caut o valoare la care se poate ajunge şi pornind de la 3 şi de la 5, adică un multiplu comun al acestora. Şi cel mai simplu ar fi să găsesc cel mai mic multiplu comun, adică 15. Cum pot ajunge la această valoare numerică? Înmulţind primul şir de date cu 5 (adică: cumpărând de 5 ori mai multe creioane şi de 5 ori mai multe pixuri, trebuie să plătim de 5 ori mai mult), iar al doilea şir cu 3 (pe baza unui raţionament analog). Adică: 3 creioane………..4 pixuri…………11 RON / x5 5 creioane……… 3 pixuri ………….9 RON / x3 sau 15 creioane………..20 pixuri…………55 RON 15 creioane………..9 pixuri …………33 RON. Am rerus problema la cazul cunoscut (numărul de creioane fiind acelaşi la ambele şiruri de valori). Finalizează rezolvarea problemei, aplicând algoritmul prezentat la început.

a treia problemă rezolvată

Metoda comparaţiei


Priveşte din nou rezolvarea acestei probleme! Am ales (arbitrar) să obţinem aceeaşi valoare numerică la numărul creioanelor. Dar există şi o a doua opţine: obţinerea aceleiaşi valori la numărul pixurilor. Pe această cale, trebuie găsit, la început, cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 şi 3, apoi rezolvarea se face pe modelul celei prezentate. Rezolvă problema şi pe această a doua cale. Compară rezultatele obţinute, efortul depus pe fiecare cale şi precizează care dintre ele ţi se pare mai convenabil, şi de ce.

• Asigură-te că problema dată este rezolvabilă prin metoda

comparaţiei! • Dacă una dintre primele două mărimi are o aceeaşi valoare

numerică, atunci elimină mărimea respectivă prin scădere! • Dacă nu, alege una dintre primele două mărimi şi caută

c.m.m.m.c. al celor două valori date ale acesteia! • Înmulţeşte convenabil şirul/şirurile de date pentru obţinerea

valorii numerice comune (c.m.m.m.c) şi elimină mărimea respectivă prin scădere!

• Găseşte răspunsul la problema simplă de împărţire ce se obţine, pentru mărimea rămasă!

• Introdu această valoare în oricine dintre şirurile de date! • Rezolvă problema simplă de scădere la care se ajunge! • Găseşte răspunsul la problema simplă de împărţire ce se

obţine, pentru mărimea eliminată!

temă instant

observaţie

temă instant


Metoda comparaţiei


Test de autoevaluare 1. Rezolvă problemele: 1. 13 saci cu făină şi 15 saci cu cartofi cântăresc1850 kg, iar 13 saci cu cartofi şi

15 saci cu făină cântăresc 1902 kg. Cât cântăreşte un sac cu făină? Dar un sac cu cartofi?

2. 12 pahare şi 10 farfurii au costat 156 RON; 8 farfurii şi 10 pahare au costat 126 RON. Cât ar costa 6 pahare şi 6 farfurii?


Metoda comparaţiei


2.2.2.Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei

20 găini şi 7 raţe au consumat 34 kg de grăunţe. Ştiind că o raţă consumă cât două găini, să se afle câte kg de grăunţe a consumat o găină şi câte o raţă. Rezolvare Constatăm că enunţul problemei face referire la 3 mărimi (numărul de găini, numărul de raţe şi cantitatea de hrană consumată), pentru care oferă un singur şir de valori şi o relaţie pentru primele două (o raţă consumă de 3 ori mai mult decât o găină). 20 găini...............7 raţe..............3 kg grăunţe 1 raţă → 2 găini. Ideea rezolvării constă în eliminarea uneia dintre mărimi („raţele”) prin înlocuirea ei (cu „găini”). Ţinând seama de relaţia dată în enunţ, o raţă poate fi „înlocuită” (din punct de vedere al hranei consumate) cu două găini. Dar, în şirul de valori numerice, se face referire la 7 raţe. Acesta va putea fi „înlocuite” cu 7 x 2 = 14 găini. Să reformulăm acum problema, oprindu-ne la şirul de valori numerice şi „înlocuind” raţele. 20 găini..........14 găini................34 kg grăunţe. Adică, 20 + 14 = 34 găini consumă 34 kg grăunţe. Deci, o găină consumă 34 kg : 34 = 1 kg de grăunţe. Cum o raţă consumă cât două găini, înseamnă că are nevoie de 2 x 1 = 2 kg de grăunţe. R: 1kg; 2kg. După aflarea cantităţii de grăunţe consumată de o găină, se poate înlocui în şirul de date, ca şi în tipul de problemă anterior prezentată. Rezolvă problema şi pe această a doua cale. Compară rezultatele obţinute, efortul depus pe fiecare cale şi precizează care dintre ele ţi se pare mai convenabilă şi de ce.


observaţie

temă instant

Metoda comparaţiei


• Asigură-te că problema dată este rezolvabilă prim

metoda comparaţiei! • Sesizează care dintre mărimi se poate elimina prin

înlocuirea ei şi elimin-o! • Rezolvă problema simplă de înmulţire la care ne

conduce înlocuirea în şirul de valori numerice! • Rezolvă problema simplă de adunare pentru valorile

numerice ale primelor două mărimi! • Găseşte răspunsul la problema simplă de împărţire ce

se obţine, pentru mărimea rămasă! • Înlocuieşte această valoare găsită relaţia de legătură

dintre primele două mărimi şi rezolvă problema simplă obţinută.

Test de autoevaluare 2 1. S-au cumpărat 3 m stofă de calitatea I şi 4 m stofă de calitatea a doua şi s-a

plătit în total suma de 975 RON. 1 m stofă de calitatea a doua este de 3 ori mai ieftin decât 1 m stofă de calitatea I. Cât costă 1 m din fiecare fel de stofă?

2. Un elev a cumpărat două cărţi de acelaşi fel şi 5 caiete, plătind în total 26 RON. Cât costă 5 cărţi şi 2 caiete, dacă preţul unui caiet reprezintă un sfert din preţul unei cărţi?



Metoda comparaţiei


Test de autoevaluare 3 1. Un elev a cumpărat 5 caiete şi două pixuri, plătind 22 RON. Cât costă două

caiete şi 5 pixuri, dacă 10 caiete şi 5 pixuri costă 45 RON? 2. Pentru o bibliotecă s-au cumpărat 9 dulapuri, 6 mese şi 64 scaune. O masă, un

scaun şi un dulap costă195 RON. Ştiind că o masă costă cât 3 scaune, iar un dulap costă cât 3 mese, aflaţi valoarea mobilierului cumpărat.


Metoda comparaţiei



Testul 1

1. 80 kg; 54 kg. 2. 90 RON

Testul 2

1. 225 RON; 75 RON 2. 44 RON

Testul 3

1. Se elimină una dintre necunoscute (număr de caiete, număr de pixuri) prin

scădere. R: 13 RON. 2. Se elimină, pe rând, câte una dintre mărimi (număr de dulapuri, apoi număr de

mese) prin înlocuire cu număr de scaune şi se obţine preţul unui scaun (15 RON), apoi pretul unei mese, respectiv al unui dulap. R:2445 RON.

Metoda comparaţiei


2.4. Bibliografie

1) Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, EDP, 1977; 2) Cherată v., Voicilă J., Mîndruleanu L., Metode şi tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetică, Editura SIBILA, 1994; 3) Roşu M., Matematica pentru formarea profesorilor din învăţământul primar Editura METEOR PRESS, 2005.

Metoda falsei ipoteze


UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 3 Metoda falsei ipoteze

Cuprins

3.1. Obiectivele unităţii de învăţare ............................................................................... 3.2. Metoda falsei ipoteze ............................................................................................. 3.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare.............................................. 3.4. Lucrare de verificare 3 ........................................................................................... 3.5. Bibliografie .............................................................................................................


La sfârşitul acestei de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să discrimineze problemele rezolvabile cu metoda falsei ipoteze; - să aleagă strategia rezolutivă convenabilă; - să aplice, în rezolvarea problemelor, algoritmul corespunzător; - să descopere mai multe căi de rezolvare pentru problemele de acest tip.



3.2. Metoda falsei ipoteze

O problemă este rezolvabilă prin metoda falsei ipoteze dacă în ea apar: o mărime cu două calităţi precizate, pentru care se caută două valori numerice, cunoscând suma acestora şi o a doua mărime, ce reprezintă suma produselor dintre cele două valori numerice necunoscute şi calităţile lor. Pare aiuritor, nu?! Să sistematizăm şi să formalizăm informaţiile de mai sus! Deci, într-o astfel de problemă se cere aflarea a două necunoscute (x şi y), atunci când se cunoaşte suma lor (a), adică x + y = a şi suma (b) a produselor acestor necunoscute cu valori numerice date (c1şi c2), adică xc1+yc2 = b. Să exemplificăm, limpezind lucrurile, prin prezentarea şi rezolvarea unor specifice acestei categorii. Suma de 650 RON s-a plătit cu ajutorul a 8 bancnote de 100 RON şi 50 RON. Câte bancnote au fost din fiecare fel? Rezolvare Să observăm, în primul rând, că suma de 650 RON se compune din valoarea bancnotelor de 100 RON (adică, produsul dintre numărul lor şi valoarea bancnotelor de 100) şi din valoarea de 50 RON (adică, produsul dintre numărul lor şi valoarea de 50). Întrucât se cere aflarea a două necunoscute (numărul bancnotelor de 100 RON, respectiv de 50 RON), cunoscând suma lor (8) şi suma (650 RON) dintre produsele acestor necunoscute cu valori numerice date (100 şi 50), problema este rezolvabilă prin metoda falsei ipoteze. Ideea esenţială pentru rezolvarea acestei probleme este să presupunem că toate bancnotele sunt de un acelaşi fel (de fapt, metoda a mai fost numită şi „a presupunerii”). Desigur, ştim de la început că această ipoteză este falsă, dar vrem să vedem diferenţa dintre rezultatul pe care îl vom obţine astfel şi informaţiile din enunţul problemei, precum şi cauzele şi implicaţiile ce decurg. Încercăm o ipoteză arbitrară, de exemplu că toate bancnotele ar fi fost de 100 RON. În acest caz, valoarea celor 8 bancnote ar fi fost de 8 x 100 = 800 (RON). Dar, conform enunţului problemei, ar fi trebuit să fie de 650 RON. Apare o diferenţă totală (pentru toată suma) de 800 – 650 = 150 (RON), în plus. De ce apare acest „surplus”? Evident, deoarece nu toate bancnotele au fost de 100 RON! Să scoatem o bancnotă de 100 RON şi să o înlocuim cu una de 50 RON. „Surplusul” valoric se micşorează cu 100 – 50 = 50 (RON). Şi acest fapt se întâmplă la fiecare acest tip de înlocuire. Câte asemenea înlocuire se pot face, pentru dispariţia „surplusului” de 150 RON? Atâtea de câte ori se cuprinde 50 în





„surplusului” de 150 RON? Atâtea de câte ori se cuprinde 50 în 150, adică diferenţa unitară (a valorilor câte unei bancnote) în diferenţa totală. Câtul obţinut, 3, arată că trebuie să facem 3 astfel de înlocuiri ale unei bancnote de 100 RON cu o bancnotă de 50 RON. Deci, sunt 3 bancnote de 50 RON, iar restul bancnotelor, adică 8 – 3 = 5, sunt de 100 RON. R: 5 bancnote de 100 RON, 3 bancnote de 50 RON

• Pornind de la presupunerea că toate bancnotele sunt de 100 RON, am aflat mai întâi numărul bancnotelor de 50 RON.

• Rezolvarea de mai sus a pornit de la presupunerea (arbitrară) că toate bancnotele sunt de 100 RON. Desigur, există şi o a doua cale de rezolvare, în care presupunerea iniţială este că toate bancnotele sunt de 50 RON.

Rezolvă problema de mai sus, pornind de la presupunerea că toate bancnotele sunt de 50 RON.

• Ai obţinut acelaşi rezultat ca şi în prima rezolvare? • Conform ipotezei din acest demers, ai obţinut o valoare

mai mică a sumei totale? • Ai găsit mai întâi, numărul bancnotelor de 100 RON?

Dacă răspunsurile sunt afirmative, atunci ai înţeles esenţa metodei şi o vei putea aplica. Dacă nu, reciteşte prima rezolvare şi încearcă din nou. La unitatea 1, subcapitolul 1.5 din acest curs, ai întâlnit, în exemplu 2, problema (rezolvată prin metoda figurativă): Într-o curte sunt raţe şi purcei, în total 13 capete şi 32 picioare. Câte raţe şi câţi purcei sunt? Priveşte din nou, cu atenţie, enunţul aceste probleme. Ai acum şi o altă cale de rezolvare a ei? Rezolvă problema de mai sus, utilizând metoda falsei ipoteze.

temă instant

problemă propusă pentru

rezolvare

temă instant

observaţii



• Presupune că există o singură necunoscută, egală cu

suma dată a celor două necunoscute! • Determină produsul dintre aceasta şi calitatea

presupusă! • Constată ce diferenţă a apărut la cealaltă mărime

(diferenţa totală)! • Află diferenţa celor două calităţi (diferenţa unitară)! • Calculează câtul împărţirii celor două diferenţe! • Numărul obţinut este valoarea celeilalte necunoscute. • Ală valoarea necunoscutei asupra căreia ai făcut

presupunerea iniţială, prin scădere (din sumă se scade valoarea găsită pentru cealaltă necunoscută).

Un biciclist urcă o pantă cu viteza de 6 km/oră şi coboară aceeaşi pantă cu viteza de 18 km/oră. Ştiind că drumul, urcat şi coborât a durat două ore, să se găsească lungimea drumului. Rezolvare La prima vedere, nu are ce căuta aici (la metoda falsei) – pare doar o problemă de mişcare. Deruta poate spori dacă observăm că sunt date două viteze (urcare/coborâre) şi un timp (total) şi se cere să aflăm o distanţă. Nu prea se leagă! Să exemplificăm problema, complicând-o (?!). dacă în locul necunoscutei „lungimea drumului” vom putea găsi alte două necunoscute (timp urcare şi timp coborâre), putem considera problema ca şi rezolvată. De ce? Cunoscând relaţia dintre timp, viteză şi distanţă parcursă în mişcare rectilinie uniformă, aflarea unui „timp”, cuplată cu viteza respectivă, conduce la determinarea lungimii drumului. Să reanalizăm problema! Se cere aflarea a două necunoscute (timp urcare şi timp coborâre) cunoscând suma lor (2 ore) şi că produsul dintre una din necunoscute şi o valoare dată (timp urcare x viteză urcare) este egal cu produsul dintre cealaltă necunoscută şi o altă valoare dată (timp urcare x viteză coborâre). Recunoaştem acum o problemă din categoria celor realizabile cu metoda falsei ipoteze. Se diferenţiază, totuşi, de problema anterior prezentată, prin apariţia relaţiei xv1 = yv2, în locul celei „clasice”, xc1 + yc2 = b. Această particularitate induce un alt tip de presupunere, legată nu de timp (urcare/coborâre), ci de lungimea drumului. Să presupunem (arbitrar) că lungimea drumului ar fi de 36 km. (De ce tocmai 36? Se poate împărţi, cu rest 0, la 6 şi 18, atunci când vom determina timpul. Se poate alege orice alt multiplu al lui 6 şi 18, iar dacă nu ne temem să lucrăm cu fracţii,





putem alege orice valoare). În această ipoteză, timpul la urcare este câtul dintre 36 (distanţa) adică 6 ore, iar timpul la coborâre este câtul dintre 36 şi 18, adică 2 ore. Deci, timpul la urcare şi coborâre ar fi 6 + 2 = 8 ore(!), faţă de cele 2 ore precizate în enunţ. S-ar obţine un timp total mai mare decât cel dat în enunţul problemei, deci lungimea presupusă este prea mare şi, în consecinţă, trebuie micşorată. De câte ori? De atâtea de câte ori este mai mare timpul total găsit, decât cel dat, adică de 8 : 2 = 4 ori. Aceasta înseamnă că lungimea drumului este 36 : 4 = 9 (km). R: 9 km. Încearcă să rezolvi problema de mai sus pornind de la presupunerea că lungimea drumului ar fi 3 km.

• Ai obţinut acelaşi rezultat ca şi în rezolvarea dată? • Conform ipotezei din acest demers, ai obţinut o valoare

a timpului total mai mică decât cea din enunţul problemei?

• Ai fost nevoit să lucrezi cu fracţii? Dacă răspunsurile sunt afirmative, atunci poţi aplica algoritmul rezolvării prin metoda falsei ipoteze, în situaţii noi. Dacă nu, reciteşte prima rezolvare şi încearcă din nou.

temă instant

puncte de autocontrol



Test de autoevaluare Rezolvă problemele:

1. Câte caiete a 3 RON şi 5 RON se pot cumpăra cu 62 RON, astfel încât, în total, să fie 16 caiete?

2. Într-un bloc sunt, în total, 40 apartamente cu două şi cu 4 camere. Ştiind că blocul are 100 de camere, să se afle câte apartamente sunt cu două camere şi câte cu 4 camere?



Rezolvă problemele: 1. 300 grinzi, unele de brad şi altele de stejar, cântăreşte 10,524 t. O grindă de

brad cântăreşte 28 kg, iar una de stejar 46 kg. Câte grinzi de brad erau? Dar de stejar?

2. Două echipe având în total 18 tractoare au arat în 6 zile o suprafaţă de 492 ha. Un tractor din prima echipă are 4 ha pe zi, iar unul din echipa a doua, 5 ha pe zi. Câte tractoare sunt în fiecare echipă?




3.3 Răspunsuri şi comentarii la testele de evaluare

Test 1

1. 9 caiete a 3 RON şi 7 caiete a 5 RON 2. 30 apartamente cu 2 camere şi 10 apartamente cu 4 camere.

Test 2

1. Se aplică metoda falsei ipoteze. R: 182 grinzi de brad; 118 grinzi de stejar. 2. Se află câte hectare sunt arate de cele două echipe într-o zi şi apoi se aplică

metoda falsei ipoteze. R: 8 tractoare în echipa care ară 4 ha/ zi şi 10 tractoare în echipa care ară 5 ha/ zi.

3.4. Bibliografie 1) Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, EDP, 1977; 2) Cherata V., Voicilă J., Mîndruleanu L., Metode şi tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetică, Editura SIBILA, 1994; 3) Roşu M., Matematica pentru formarea profesorilor din învăţământul primar Editura METEOR PRESS, 2005; 4) Rusu E., Aritmetica. Manual pentru liceele pedagogice, EDP, 1974.

Metoda mersului invers


UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 4 Metoda mersului invers

Cuprins

4.1. Obiectivele unităţii de învăţare .......................................................................... 37 4.2. Metoda mersului invers ..................................................................................... 37 4.3. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare ........................................... 42 4.4. Lucrare de verificare 2....................................................................................... 42 4.5. Bibliografie......................................................................................................... 42


La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să discrimineze problemele rezolvabile cu metoda mersului invers; - să aleagă strategia rezolutivă convenabilă; - să aplice, în rezolvarea problemelor, algoritmul corespunzător.

4.2. Metoda mersului invers

Dacă o problemă solicită aflarea unei necunoscute asupra căreia se realizează, în mai multe etape, diverse acţiuni, ajungându-se la un rezultat dat, atunci problema este rezolvabilă prin metoda mersului invers. În „clasicismul” acestei metode, găsim probleme în care:

- se cere aflarea unui număr, cu care s-au efectuat, pas cu pas, diferite operaţii, ajungându-se la un rezultat dat;

- se cere aflarea unei mărimi, ştiind că, în mai multe etape, se „consumă” părţi din ea, ajungându-se la o valoare dată.

Să exemplificăm, prezentând rezolvările a două astfel de probleme. Am ales un număr; din el am scăzut 2, rezultatul l-am împărţit la 5, la câtul obţinut am adunat 4 şi apoi suma am împărţit-o cu 3, obţinând 15. Ce număr am ales? Rezolvare În primul rând, recunoaştem că problema prezintă caracteristicile necesare pentru a fi rezolvabilă prin metoda mersului invers. Ideea rezolvării este sugerată şi în denumirea metodei, constând într-o abordare de la sfârşitul spre începutul problemei.





Pentru o mai bună vizualizare, să notăm numărul căutat cu (de exemplu) a şi să scriem formalizat enunţul problemei: [(a - 2) : 5 + 4] x 3 = 15. Desigur, cei care ştiu puţin mai multă matematică decât în clasele primare, vor recunoaşte o ecuaţie de gradul I cu o necunoscută şi vor fi înclinaţi spre o rezolvare algebrică. Cum această cale nu este accesibilă în învăţământul primar, iar rezolvarea ecuaţiei mai sus este o banală problemă de rutină, ne oprim asupra raţionamentului aritmetic specific acestei metode. Privim relaţia de mai sus, de la sfârşit şi observăm că ultima operaţie efectuată este o înmulţire, în care unul dintre factori (al doilea) este 5, şi produsul este 15, iar celălalt factor (rezultatul operaţiilor dintre parantezele drepte) este necunoscut. Cum se află un factor necunoscut? Împărţind produsul (15) la factorul cunoscut (3), deci (a - 2) : 5 + 4 = 15 : 3, adică (a - 2) : 5 + 4 = 5. Acum, ultima operaţie efectuată este o adunare în care unul dintre termeni (al doilea) este 4, iar suma este 5. Cum se află termenul necunoscut? Prin scăderea din sumă (5) a termenului necunoscut (4), deci: (a – 2) : 5 = 5 – 4, adică (a – 2) : 5 = 1. Ultima operaţie fiind acum o împărţire, în care se cunoaşte împărţitorul (5) şi câtul (1), se află deîmpărţitul (a - 2) prin înmulţire: (a - 2) = 1 x 5, adică a – 2 = 5 Am ajuns la o scădere, în care scăzătorul este 2, iar diferenţa 5. descăzutul se află prin adunare: a = 5 + 2, adică a = 7. Deci, numărul ales a fost 7. R: 7 Un călător parcurge un drum în 3 zile. În prima zi parcurge o treime din drum, în a doua zi, un sfert din drumul rămas, iar în a treia zi, ultimii 18 km. Care este lungimea drumului? Rezolvare Să figurăm datele problemei (iată un context în care metoda figurativă devine un procedeu de reprezentare şi accesibilizare a enunţului!) cu ajutorul segmentelor:




I I______I______I______I II I___I___I___I__I I_________I Primul segment (de lungime arbitrară), ce reprezintă întregul drum, trebuie împărţit în trei părţi egale. Una dintre ele (să o considerăm pe prima), reprezintă drumul parcurs în prima zi, iar celelalte 3 – 1 = 2 (părţi egale), drumul rămas de parcurs după prima zi. Acest drum rămas de parcurs după prima zi este reprezentat de cel de al doilea segment. Întrucât în ziua a doua se parcurge un sfert din drumul rămas după prima zi, acest segment trebuie împărţit în 4 părţi egale. Una dintre ele (să o considerăm pe prima) reprezintă drumul parcurs în ziua a doua, iar celelalte 4 – 1 = 3 (părţi egale), drumul rămas după ziua a doua. Să observăm că cei 18 km rămaşi de parcurs după ziua a doua (şi parcurşi în ziua a treia) sunt reprezentaţi de 3 dintre 4 părţi egale ce ilustrează drumul rămas de parcurs după prima zi. Dacă 3 părţi egale reprezintă 18 km, atunci o singură (o pătrime din drumul rămas de parcurs după prima zi) reprezintă 18 : 3 = 6 (km). Dar drumul rămas de parcurs după prima zi are 4 astfel de părţi deci lungimea sa este de 4 x 6 = 24 (km). Aceşti 24 km reprezintă două dintre cele 3 părţi egale ale drumului, deci o singură treime are 24 : 2 = 12 (km). Deci, întregul drum, care conţine 3 părţi egale, are 3 x 12 = 36 (km). R: 36 km

- Întregul raţionament trebuie urmărit previn figura.

- Începând cu clasa a IV-a, se pot face referirile de mai sus cu ajutorul fracţiilor.

- Uneori, înainte de aplicarea raţionamentului specific metodei, este necesar un raţionament auxiliar, ca în problema următoare.

Ce sumă a avut un elev dacă, după ce a cheltuit 3/7 din ea, a mai cheltuit 3/5 din cât îi rămăsese, iar după ce a mai cheltuit 16 RON a constatat că i-au rămas 24 RON? Rezolvare (parţială) Cea de a treia sumă cheltuită (16 RON) împreună cu suma rămasă (24 RON) reprezintă suma rămasă după cea de a doua cheltuială: 16 + 24 = 40 (RON). Acum problema poate fi reformulată astfel: „Ce sumă a

observaţii

exemplificare



avut un elev dacă, după ce a cheltuit 3/7 din ea, a mai cheltuit 3/5 din cât îi rămăseseşi i-au rămas 40 RON”, iar rezolvarea ei intră pe algoritmul descris mai sus. Află ce sumă a avut elevul! (Nu trebuie să afli şi cine i-a dat de cheltuială).

• Precizează-ţi valoarea finală (ultimul rest) dată în problemă!

• Stabileşte ce parte din întregul anterior (penultimul rest) reprezintă această valoare!

• Află întregul anterior(determinarea întregului când se cunoaşte valoarea unei fracţii din el)!

• Repetă procedura până ce ultimul întreg aflat este chiar întregul iniţial!

• Valoarea întregului iniţial este chiar necunoscuta problemei!

Test de autoevaluare Rezolvă următoarele probleme:

1. Dintr-o sumă de bani, un elev cheltuieşte o treime pentru cărţi, un sfert din rest pentru caiete şi un sfert din noul rest pentru un stilou. I-au rămas 45 RON. Ce sumă a avut?

2. La un concurs de matematică s-au susţinut 3 baraje: după primul baraj au fost eliminaţi 1/3 din participanţi şi un elev a renunţat; după al doilea au fost eliminaţi 1/5 din cei rămaşi şi 4 au renunţat, iar după al treilea baraj au fost eliminaţi ¼ din cei rămaşi şi încă 8 au renunţat. Ştiind că după cele 3 baraje au rămas 40 de elevi, află câţi elevi au fost înscrişi iniţial la concurs.

3. Am ales un număr. Dacă la dublul acestuia se adună 4, suma obţinută se împarte la 6 şi apoi, din cât se scade 8, rezultatul este 164. ce număr am ales?


temă instant






4.3. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare

1. 120 RON 2. 129 elevi 3. 514.


1. La un magazin de fructe s-a adus o cantitate de mere, din care, în prima zi s-au

vândut jumătate şi a doua zi 2/3 din rest. Au rămas 242 kg de mare. Ce cantitate de mere a fost adusă?

2. Am ales un număr, l-am împărţit la 3 câtului i-am aduna t 5, suma obţinută am înmulţit-o cu 6, iar din produs am scăzut 42. am obţinut cel mai mic număr natural de 3 cifre distincte. Ce număr am ales?

3. O caravană ciclistă parcurge un în 4 etape. În prima etapă parcurge jumătate din traseu plus 5 km, în a doua etapă jumătate din restul traseului plus 5 km, în a treia etapă jumătate din noul rest plus 5 km, iar în a patra etapă 5 km. Câţi km are traseul?

După rezolvare, lucrarea de verificare trebuie trimisă tutorelui întro modalitate pe care o veţi stabili împreună (e-mail, probă scrisă etc). Sugestii pentru acordarea punctajului: oficiu: 10 puncte subiectul 1: 40 puncte subiectul 2: 30 puncte subiectul 3: 20 puncte

4.5. Bibliografie 1) Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, EDP, 1977; 2) Cherata v., Voicilă J., Mîndruleanu L., Metode şi tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetică, Editura SIBILA, 1994; 3) Roşu M., Matematica pentru formarea profesorilor din învăţământul primar Editura METEOR PRESS, 2005; 4) Rusu E., Aritmetica. Manual pentru liceele pedagogice, EDP, 1974.

Probleme de mişcare


UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 5 Probleme de mişcare

Cuprins

5.1. Obiectivele unităţii de învăţare........................................................................ 43 5.2. Probleme de mişcare...................................................................................... 43 5.2.1. Distanţă, viteză, timp ...................................................................................... 44 5.2.2. Mobile care se deplasează în acelaşi sens .................................................... 47 5.2.3. Mobile care se deplasează în sens contrat..................................................... 50 5.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare....................................... 54 5.4. Bibliografie ...................................................................................................... 54

5.1. Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili :

- să discrimineze problemele de mişcare; - să aleagă strategia rezolutivă convenabilă; - să aplice, în rezolvarea de probleme, algoritmul corespunzător; - să descopere mai multe căi de rezolvare (parţial diferite) pentru problemele de

acest tip.

5.2. Probleme de mişcare

Problemele de acest tip nu sunt greu de recunoscut, fiind „dotate” cu autoturisme, trenuri, autobuze, biciclete ş.a. care se deplasează în diverse direcţii, dar oricum, în linie dreaptă, cu viteze constante sau cu o anumită viteza medie, într-un timp dat sau ce trebuie aflat. Reţinem că problemele din această categorie vizează mişcarea rectilinie uniformă a unui mobil, caracterizată prin 3 parametri (distanţă, viteză, timp) ce variază legic după formula: d = vt. Problemele de mişcare pot fi de 3 tipuri:

- distantă, viteză, timp (în care se dau valori pentru două dintre ele şi se cere cea de-a treia);

- mobile care se deplasează în acelaşi sens (probleme de „urmărire”);

- mobile care se deplasează în sens contrar (probleme de „întâlnire”);




5.2.1. Distantă, viteză, timp

Dată fiind relaţia care leagă cele 3 mărimi (d = vt), sunt posibile 3 tipuri de probleme simple, una de înmulţire şi cele două probleme de împărţire ce rezultă din aceasta:

a) se dau v şi t şi se cere d (d = vt) b) se dau d şi t şi se cere v (v = d/t) c) se dau d şi v şi se cere t (t = d/t)

Menţionăm că majoritatea problemelor din aceasta categorie sunt reductibile la una dintre cele 3 scheme de mai sus doar după raţionamente posibile.

Să exemplificăm:

Un tractor pleacă de la garaj, mergând cu aceeaşi viteză, pe un drum forestier. După două ore de mers, nu ajunsese la cantonul silvic, mai avea până acolo 14 km. După 5 ore de mers, trecuse de acel canton şi era la 25 km de el. Care este distanţa dintre garaj şi canton?

Rezolvare:

„Cheia” rezolvării constă în aflarea vitezei tractorului. (Încercă să vezi” de ce!) Pentru fixarea ideilor, să figurăm situaţia prezentată în enunţ:

A BI____________I_____I_______I G 14km C 25km

Tractorul pleacă din G (garaj), iar după două ore ajunge în punctul A, situat la 14 km de C (canton). După 5 ore de mers a trecut de C, ajungând într-un punct B, aflat la 25 km de C.

Să observăm că lungimea drumului AB este uşor de aflat: 14 km + 24 km = 39 km.

Pentru a determina viteza tractorului, ar trebui aflat timpul în care este parcursă această distanţă. Ştim că, pentru a ajunge în punctul A, tractorul a mers două ore, iar până în punctul B, 5 ore. Deci, pentru parcurgerea distanţei AB a avut nevoie de 5 – 2 = 3 ore. Dacă distanţa este de 39 km şi timpul de 3 ore, atunci viteza este de

39 : 3 = 13 km/oră. Cunoscând viteza tractorului, distanţa cerută se poate determina în două moduri:

- la distanţa GA se adaugă 14 km, sau - din distanţa GB se scad 25 km.

Distanţa GA se află, cunoscând viteza (13 km/oră) şi timpul de 2 ore parcurs: 2 x 13 = 26 ( km). Atunci, distanţa cerută este: 26 km + 14 km = 40 km.

R: 40 km

Află distanţa cerută, determinând distanţa GB.


temă instant



Să reluăm a doua problemă rezolvată de la metoda falsei ipoteze (3.2 ): Un biciclist urcă o pantă cu viteza de 6 km/oră şi coboară aceeaşi panta cu viteza de 18 km/oră. Ştiind că drumul, urcat şi coborât, a durat două ore, să se găsească lungimea drumului. Rezolvare: La începutul rezolvării prin metoda falsei ipoteze, afirmam că problema pare doar o problema de mişcare. Aceasta nu înseamnă că este o problemă de mişcare. Vom prezenta în continuare o rezolvare specifică problemelor de mişcare de acest tip. Având în vedere ca relaţia dintre cele 3 mărimi ce caracterizează mişcarea (distanţă, viteză, timp) este d = v x t, iar distanţa parcursă este aceeaşi la urcat ca şi la coborât, rezultă că: vu x tu = vc x tc unde vu , tu reprezintă viteza şi timpul la urcare, iar vc, tc, la coborâre. Relaţia de mai sus poate fi scrisă sub forma unei proporţii:

tutu

vcvu = .

(Verifică !) Formăm o proporţie derivată din acesta, păstrând numărătorii neschimbaţi, iar la numitori construim suma dintre numărător şi numitor. Adică:

tctu

tcvcvu

vu+

=+

.

Să observăm că în această relaţie cunoaştem: vu = 6 (km/oră), vc = 18 (km/oră) şi tu + tc = 2 (ore), astfel încât proporţia devine:

2186

6 tc=+

, adică

224

6 tc= sau 24

1 tc=




De aici, se află termenul necunoscut

tc = 21

421 =•

Dacă timpul la coborâre este 21 ore, iar viteza este 18 km/oră,

atunci distanţa parcursă este 18 · 21 = 9 (km)

R: 9 km După determinarea timpului la coborâre, află din proporţia iniţială timpul la urcare şi apoi, folosind viteza la urcare, (re) găseşte lungimea drumului.


Rezolvă următoarele probleme: 1. Un tren, mergând uniform, fără oprire, parcurge distanţa Bucureşti – Ploieşti de 60

km, în 50 minute. Într-o zi, a fost oprit 5 minute la jumătatea drumului. Cu ce viteză trebuie să meargă în continuare, pentru a ajunge la Ploieşti la ora obişnuită?

2. Un autoturism pleacă din localitatea A spre localitatea B, mergând cu o viteza medie de 40 km/oră. Ajungând în B, se întoarce, fără oprire şi, mergând cu o viteza medie de 60 km/oră, ajunge în A după 5 ore de la plecare. Să se afle distanţa dintre cele două localităţi.


temă instant



5.2.2. Mobile care se deplasează în acelaşi sens

În problemele de acest tip sunt date valori pentru doi dintre parametrii mişcării in acelaşi sens a două mobile şi se cer valori pentru cel de-al treilea parametru, astfel încât rezolvarea este reductibilă, în final, la probleme de tipul anterior. De exemplu, două mobile care se deplasează în acelaşi sens, cu viteze date, se află iniţial la o distantă dat (sau care se poate afla) şi se cere timpul necesar „urmăritorului” (cel cu viteza mai mare) pentru a-l ajunge pe „urmărit” (cel cu viteza mai mică). Pentru rezolvare, trebuie observat că, după ce au pornit ( în acelaşi moment), „urmăritorul” se apropie de „urmărit”, într-o oră, cu o distanţă



egală cu diferenţele vitezelor. Cum faptul acesta se întâmpla în fiecare oră de mers, distanţa ce-i separă va fi „recuperată” de „urmăritor” într-un timp egal cu câtul dintre această distanţă şi diferenţa vitezelor. Acesta este timpul cerut, necesar „urmăritorului” pentru a-l ajunge pe „urmărit”. Iată cum poate arată o astfel de problemă: Doua localităţi A si B sunt situate pe o aceeaşi sosea, distanţa dintre ele fiind de 72 km. La aceeaşi oră, mergând în acelaşi sens ( de la A spre B ), din A pleacă un motociclist cu viteza medie de 45 km/oră, iar din B un biciclist, cu viteza medie de 9 km/ora. După cât timp îl ajunge motociclistul pe biciclist? Rezolvare La momentul iniţial, între cele două mobile este o distanţă de 72 km. În fiecare oră, motociclistul se apropie de biciclist cu 45 – 9 = 36 km. După câte ore, distanţa dintre ei dispare (motociclistul îl ajunge pe biciclist)? În atâtea ore, de câte ori se cuprind cei 36 km în distanţa ce-i separă (72km), adică 72:36=2 (ore). R: 2 (ore) Din aceeaşi categorie fac parte problemele în care două mobile, mergând în acelaşi sens, străbat un acelaşi drum, cunoscându-se timpul de parcurs al fiecăruia şi diferenţa de viteză şi cerându-se lungimea drumului. Iată cum poate arata o astfel de problema: Acceleratul face distanţa Bucureşti-Oradea în 12 ore, iar personalul în 15 ore. Ştiind ca viteza acceleratului este cu 10 km/oră mai mare decât cea a personalului, să se afle distanta Bucureşti-Oradea. Rezolvare Să ne imaginăm că, plecând în acelaşi moment din Bucuresti (evident, pe linii ferate diferite), acceleratul a ajuns la destinaţie, în Oradea. p a I______________________I__________I B A O Au trecut 12 ore de la plecarea din Bucureşti. În acest moment, personalul se afla undeva pe drum (în punctul A) şi mai are de mers 15 – 12 = 3 ore. Să analizăm ce s-a întâmplat în timpul celor 12 ore de mers. În fiecare oră, acceleratul a luat un avans de 10 km faţă de trenul personal, deci în cele 12 ore, avansul a fost de 12 x 10 = 120 km. Cei 120 km reprezintă chiar distanţa AO pe care o mai are de parcurs trenul personal, până la Oradea.





Deci, personalul are de parcurs in cele 3 ore, 120 km. Ceea ce înseamnă că viteza sa este de 120 : 3 = 40 km/oră. Cum el are nevoie de 15 ore pentru a parcurge distanţa Bucureşti – Oradea, înseamnă că aceasta este de 15 x 40 = 600 km. R: 600 km După aflarea vitezei personalului, află viteza acceleratului si lungimea drumului parcurs de acesta. Ai obţinut acelaşi rezultat?

Din aceeaşi categorie fac parte şi problemele în care două mobile se deplasează în acelaşi sens, astfel încât primul (a cărui viteză este cunoscută), plecând cu un timp dat înaintea celui de-al doilea, este ajuns de cel de-al doilea după un alt timp dat şi se cere viteza celui de-al doilea. Iată cum poate arata o astfel de problemă. La 4 ore de la plecarea dintr-un port a unui vapor care se deplasează cu viteza de 25 km/oră, porneşte o şalupă care ajunge vaporul după 5 ore. Care este viteza şalupei? Rezolvare În cele 4 ore de la plecare, vaporul parcurge 4 x 25 = 100km, acesta fiind avansul faţă de şalupă. Întrucât şalupa ajunge vaporul după 5 ore, înseamnă că, în fiecare oră de mers, acesta a recuperat 100 : 5 = 20 km, adică viteza sa este cu 20 km/oră mai mare decât viteza vaporului. Cum viteza vaporului este de 25 km/oră rezultă că viteza şalupei este 25 + 20 = 45 km/oră. R: 45 km/oră


Rezolvă următoarele probleme: 1. Un tren pleacă din oraşul A la ora 12, cu viteza de 35 km/oră, iar altul pleacă tot

din A, la ora 12 şi 30 min, cu viteza de 70km/oră. Când va ajunge trenul al doilea pe primul şi la ce distanţa de oraşul A?

2. De pe un aeroport a decolat un avion ce se deplasează cu viteza de 240 km/oră. După două ore, decolează un alt avion, care-l ajunge pe primul după 4 ore. Care este viteza de zbor a celui de-al doilea avion?

temă instant





5.2.3. Mobile care se deplasează în sens contrar

Şi în problemele de acest tip sunt date valori pentru doi dintre parametrii deplasării în sens contrar a două mobile şi se cer valori pentru cel de-al treilea parametru. Pentru rezolvare, trebuie observat că, după ce au pornit (în acelaşi moment), cele două mobile, mergând în sens contrar, se apropie unul de altul, într-o oră, cu o distanţă egală cu suma vitezelor. Cum faptul acesta se întâmplă în fiecare oră de mers, distanta ce-i separa va fi „acoperită” într-un timp egal cu câtul dintre acestă distanţă şi suma vitezelor. Iată cum pot arata astfel de probleme şi rezolvările lor: Distanţa dintre două localităţi A si B este de 160 km. Din A si B pleacă, în acelaşi timp, unul spre celalalt, un motociclist, care merge cu viteza medie de 30 km/oră şi respective un automobilist, care se deplasează cu viteza medie de 50 km/oră. După cât timp se întâlnesc cei doi? Rezolvare:




La momentul iniţial, între cele două mobile este o distanţă de 160 km. După fiecare oră, distanţa dintre ei se micşorează cu 30km + 5km = 80km, până când, la întâlnire, distanţa va fi 0. Deci, după fiecare oră, din cei 160 km se scad 80 km. De câte ori se poate realiza scăderea repetată? De câte ori se cuprind cei 80 km în 160 km ( 160 : 80 = 2 ), adică, cei doi se întâlnesc după două ore. R: 2 ore La ora 12 si 35 minute pleacă trenul personal care se deplasează din A spre B cu viteza de 40 km/oră. La ora 17 si 45 minute pleacă un tren accelerat, din B spre A, cu viteza de 72 km/oră. La ora 18 si 35 minute, ele se încrucişează. La ce oră ajunge personalul în B? La ce oră ajunge acceleratul în A? Rezolvare: Pentru fixarea ideilor, să figurăm situaţia prezentată în problemă:

p a I__________________I________I A I B

Iniţial, personalul se afla în A, iar acceleratul în B, I fiind viitorul punct de întâlnire. În momentul întâlnirii, personalul mai are de străbătut distanţa IB parcursă de accelerat. Se poate afla această distanţă? Da, pentru că se cunoaşte viteza acceleratului şi se poate determina timpul de parcurs, ştiind ora plecării sale din B şi a sosirii în I. Deplasarea sa a durat de la ora 17 şi 45 minute pană la ora 18 şi 35 minute, adică

18 ore 35 min – 17 ore 45 min = 50 min =65

6050 =ore ore.

Deci, distanţa parcursă de accelerat, până la punctul de întâlnire, a

fost de 72 ·65 = 60 km.

Să revenim la trenul personal. Acesta mai are de străbătut pană în B, o distanţă de 60 km, cu viteza de 40 km/oră. Deci, timpul necesar

este 60 : 40 = 23 ore, adică 1 oră si 30 min.

Din punctul de întâlnire I, unde se afla la ora 18 si 35 minute, personalul mai are de mers 1 oră şi 30 minute, deci ora la care ajunge în B este: 18 ore şi 35 minute + 1 oră şi 30 minute = 20 ore 5 minute. Desemnează, după modelul de mai sus ora la care ajunge acceleratul în A. Determină, după modelul de mai sus, ora la care ajunge acceleratul în A.


temă instant




Rezolvă următoarele probleme: 1. La ora 12 şi 35 minute, pleacă un tren din A spre B, cu viteza de 60 km/oră, iar la

ora 14 si 5 minute pleacă din B spre A un alt tren, cu viteza de 80 km/oră. Distanţa dintre gările A si B este de 398 km. La ce oră şi la ce distanţă de A se întâlnesc cele două trenuri?

2. Pe autostrada dintre două oraşe, la aceeaşi oră, pornesc unul către altul doi

motociclişti. După 2 ore si 40 minute de la plecare, primul motociclist a parcurs 7/10 din drum, al doilea 3/5, iar distanţa dintre ei era de 60 km. Se cere:

a) distanţa dintre cele două oraşe; b) distanţa parcurs de fiecare motociclist; c) viteza fiecărui motociclist. Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.




1. Un tren având lungimea de 200 m traversează un pod lung de 1,3 km în după minute. Cu ce viteză se deplasează trenul pe pod?

2. De pe aeroport a decolat, la ora 10, un avion zburând cu o viteză de 235 km/oră. După 3 ore, a decolat de pe acelaşi aeroport şi pe aceeaşi rută un alt avion, cu viteza de 376 km/ora. La ce oră va ajunge al doilea avion pe primul si la ce distanţa de aeroport?

3. Distanţa pe calea ferată între două oraşe A şi B este de 480 km. La ora 8, pleacă din A spre B un tren cu viteza medie de 40 km/oră. La ora 11, pleacă din B spre A un tren, care merge cu viteza medie de 50 km/oră. La ce distanţă de A se întâlnesc cele două trenuri?




5.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare

Testul 1 1. 90 km/oră 2. 120 km.

Testul 2

1. După o ora; la 70 km de A 2. 360 km/oră

Testul 3

1. Ora 16 si 17 min.; la 222 km de A 2. a) 200 km; b) 140 km, 120 km; c) 52, 5 km/oră, 45 km/oră.

Testul 4 În cele două minute de traversare a podului, locomotiva parcurge 1,3 km + 200m = 1,5 km. R: 45 km/ oră. 1. Mobile care se daplasează în acelaşi sens.La ora decolării celui de al doilea

avion (ora 13), distanţa dintre avioane este de 705 km. R: La ora 18; la 1880 km de aeroport.

5.4. Bibliografie 1) Aron I., Herescu Gh., Aritmetica pentru învăţători, EDP, 1977 2) Cherata V., Voicilă J., Mîndruleanu S., Metode şi tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetica, Editura SIBILA, 1997 3) Roşu M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar, Editura METEOR PRESS, 2005 4) Rusu E., Aritmetica. Manual pentru liceele pedagogice, EDP, 1974

Probleme de logică


UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 6 Probleme de logică

Cuprins

6.1. Obiectivele unităţii de învăţare .......................................................................... 55 6.2. Probleme de logică............................................................................................ 55 6.3. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare ........................................... 63 6.4. Lucrare de verificare 3....................................................................................... 63 6.5. Bibliografie......................................................................................................... 64


La sfârşitul acestei de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să discrimineze problemele de logică; - să aleagă strategia rezolutivă convenabilă; - să descopere un şir de raţionamente care conduc la rezolvarea unei

probleme de logică; - să recepteze cu interes problemele din această categorie.

6.2. Probleme de logică

Problemele de acest tip, relativ recent introduse în matematica şcolară, nu sunt greu de recunoscut. Cu date numerice foarte puţine sau inexistente, acestea nu pot fi rezolvate printr-un algoritm numeric prestabilit, tipizat, raţionamentele fiind dominant calitative, din zona logicii matematice,dar fără a fi formalizate ca acolo. Sunt implicate în rezolvare operaţii logice (negaţia, disjuncţia, conjuncţia, implicaţia, echivalenţa) şi legile cărora li se supun acestea. Reactualizează-ţi cunoştinţele tematice prin revederea capitolului Elemente de logică matematică, din Matematică I. Fără a încerca o clasificare a problemelor de logică, vom prezenta câteva tipuri mai frecvent întâlnite în matematica şcolară. Să menţionăm că, pentru rezolvarea acestora, de multe ori, este utilă crearea unor „instrumente”, care să permită o mai bună vizualizare a afirmaţiilor din enunţ şi să se constituie într-un suport pentru derularea raţionamentelor. Pot fi folosite, în acest sens, tabele, scheme, diagrame ş.a., care nu sunt unice, prestabilite şi a căror alegere depinde de experienţa rezolvatorului.

exemplificări

temă

Probleme de logică


Iată, de pildă, problemele în care un număr de personaje şi un număr de calităţi trebuie puse în corespondenţă, prin deducţii logice, în care implicaţia este din plin folosită pentru valorizarea afirmaţiilor din enunţ. Trei persoane, care se numesc Dulgheru, Fieraru, Zidaru, sunt de meserie dulgher, fierar, zidar. Numele niciunuia nu coincide cu meseria pe care o practică. Cel care se numeşte Dulgheru a lucrat pe un acelaşi şantier cu cel care este fierar. Ce meserie are fiecare? Rezolvare Este utilă realizarea unui tabel (o matrice pătratică cu trei linii/coloane la care se mai adaugă o linie/coloană pentru precizări de titluri) de tipul următor:

Meserie Nume

d f z

D F Z

(unde majusculele reprezintă numele personajelor, literele mici, profesiile lor, iar la intersecţia unei linii cu o coloană se menţionează compatibilităţile/incompatibilităţile nume/profesie). Prima informaţie ce trebuie folosită este că numele niciunuia nu corespunde cu meseria (Dulgheru nu este dulgher, Fierarul nu este fierar, Zidaru nu este zidar). Completăm corespunzător rubricile tabelului:

Meserie Nume

d f z

D Nu F Nu Z Nu

Au mai rămas, pentru fiecare personaj câte două posibilităţi privind meseria. Din afirmaţia „..... Dulgheru a lucrat pe acelaşi şantier cu cel care este fierar.”, deducem că cei doi sunt persoane distincte, deci, Dulgheru nu este fierar.

Meserie Nume

d f Z

D Nu Nu F Nu Z Nu

Cum Dulgheru nu este nici dulgher, nici fierar rezultă că meseria lui este zidar.


Probleme de logică


MeserieNume

d f Z

D Nu Nu Da F Nu Z Nu

Dacă el este zidar ceilalţi nu mai pot avea aceeaşi meserie, nici Fieraru nu este zidar.

MeserieNume

d f Z

D Nu Nu Da F Nu Nu Z Nu

Nefiind nici fierar, nici zidar, Fieraru este dulgher.

MeserieNume

d f Z

D Nu Nu Da F Da Nu Nu Z Nu

Atunci Zidaru (care nu era zidar) nu este nici dulgher, deci meseria lui este fierar.

MeserieNume

d f Z

D Nu Nu Da F Da Nu Nu Z Nu Da Nu

R: Dulgheru este zidar, Fieraru este dulgher, Zidaru este fierar. Într-un alt tip de probleme de logică personajele trebuie aşezate în diverse poziţii relative, induse de afirmaţiile din enunţ. Un melc, o scoică şi o piatră colorată se află fiecare în câte o cutiuţă. Cutia galbenă se află în stânga celei albastre. Piatra este în dreapta cutii roşi. Melcul este în dreapta pietrei. În care cutie se găseşte scoica? Rezolvare Să „inventariem” obiectele precizate în enunţ: un melc, o scoică şi o piatră, aflate fiecare în cutiuţe de culoare roşie, galbenă sau albastră, despre care se cunosc poziţii relative. Este utilă realizarea unei scheme ce reprezintă cutiile şi poziţiile acestora:


Probleme de logică


Vom preciza (pe măsură ce vom afla) obiectul aflat în cutie şi culoarea acesteia (sub simbolul care o reprezintă). Prima informaţie ce trebuie folosită este: „Cutia galbenă se află în stânga celei albastre”. Aceasta înseamnă că sunt posibile două situaţii:

galbenă albastră sau

galbenă albastră (fireşte, cutia nemarcată este cea roşie). Din informaţia: „Piatra este în dreapta cutii roşii.”, rezultă că în dreapta cutiei roşii există ceva, o altă cutie. Prima schemă este incompatibilă cu aceasta informaţie (aici cutia roşie nu mai are nimic la dreapta ei), deci avem:

roşie galbenă albastră informaţia de mai sus ne conduce şi la concluzia că piatra se află în cutia galbenă (aflată la dreapta celei roşii). Deci: piatra

roşie galbenă albastră Folosim acum informaţia rămasă: „Melcul este în dreapta pietrei” şi avem: piatra melcul

roşie galbenă albastră În consecinţă, în cutia roşie, nu poate fi decât scoica. R: scoica se găseşte în cutia roşie. Într-un alt grup de probleme de logică sunt prezentate seturi de informaţii, ordonate aleator cerându-se descoperirea concluziilor induse de acestea. Ce concluzie rezultă din următoarele informaţii:

a) Nimeni nu este primit într-un club de înot dacă nu ştie să cânte la piculină.

b) Nici o broască ţestoasă nu ştie să cânte la piculină. c) Nimeni nu are voie să poarte în bazinul clubului slip în


Probleme de logică


dungi, dacă nu este membru al clubului. d) Eu port întodeauna slip în dungi în bazinul clubului.

(După Edwin Moise şi Floyd Downs) Rezolvare

„Cheia” rezolvării constă în selectarea şi ordonarea informaţiilor, care, legate printr-un şir de raţionamente, pot conduce la o concluzie validă. Un şir de astfel de raţionamente, în această problemă este: Eu (d) sunt membru al clubului de înot (c), deci ştiu să cânt la piculină (a). Folosind premisele b) şi c), avem că: Broasca ţestoasă (b) nu este membră a clubului de înot (c). Forţând lucrurile, am putea concluziona şi că „Eu nu sunt broască ţestoasă”. R: Eu cânt la piculină; broasca ţestoasă nu este membră a clubului de înot. Într-o altă categorie de probleme de logică, un grup de persoane, referindu-se la un eveniment precizat, fac mai multe afirmaţii, unele adevărate, altele false şi se cere să descoperim adevărul. Patru copii au cumpărat un cadou pentru mama lor. Unul dintre ei l-a ascuns. Adrian: „Nu l-am ascuns eu!” Brânduşa: „Nu l-am ascuns eu!” Camelia: „Daniel l-a ascuns!” Daniel: „Brânduşa l-a ascuns!” Dacă ştim că numai unul dintre ei minte, cine a ascuns cadoul? Rezolvare Ştiind că numai unul dintre copii minte, să observăm că ultimii doi fac afirmaţii contradictorii, deci unul dintre ei minte. Presupunând că minte Camelia, adică nu Daniel a ascuns cadoul, afirmaţiile Brânduşei şi a lui Daniel sunt contradictorii, deci unul minte. Şi avem deja un mincinos (Camelia), în condiţiile în care doar un copil munte. Deci, Camelia spune adevărul, adică cel care a ascuns cadoul este Daniel. R: Daniel Consideră un copil oarecare şi stabileşte valoarea de adevăr a afirmaţiilor celorlalţi dacă acesta spune adevărul/minte. Regăseşte răspunsul de mai sus.

a patra problemă rezolvată

temă instant

Probleme de logică


Problemele de logică au pătruns şi în matematica ciclului primar, având avantajul că pot contribui într-o mare măsură la dezvoltarea gândirii elevilor. Iată o astfel de problemă. Deşeurile din sticlă , metal şi plastic dintr-o gospodărie sunt colectate şi depuse fiecare într-o cutie : verde, galbenă sau albastră. Cutia verde nu conţine deşeuri metalice, iar deşeurile din plastic sunt în cutia galbenă În care cutie sunt puse sticlele? Rezolvare Afirmaţia din enunţ „deşeurile din plastic sunt în cutia galbenă” simplifică problema, în sensul că mai rămân de cercetat două cutii (verde şi albastră) şi două tipuri de deşeuri (metalice şi din sticlă). Din afirmaţia „cutia verde nu conţine deşeuri metalic” rezultă, acum, că în ea se află deşeuri din sticlă. Am putea preciza acum (deşi nu se cere) şi că în cutia albastră sunt deşeuri metalice. R: sticlele sunt în cutia verde.

a cincea problemă rezolvată

Probleme de logică


Test de autoevaluare

Rezolvă următoarele probleme: 1. Sandu, Vasile şi Marin sunt prenumele a trei băieţi. Şi numele lor de familie sunt tot

Sandu, Vasile şi Marin, dar nici un băiat nu are prenumele identic cu numele. Dacă numele de familie al lui Vasile nu este Marin, să se afle numele şi prenumele fiecărui băiat.

2. Fetiţa, mama şi bunica stau pe o bancă. Bunica stă lângă nepoată, dar nu lângă păpuşă. Păpuşa nu stă lângă mamă. Cine stă lângă mamă?

3. Ce concluzie rezultă din următoarele afirmaţi:i a) Oricine studiază geometria este bine educat. b) Nici o maimuţă nu ştie să citească. c) Cine nu ştie să citească nu este bine educat. d) Eu studiez geometria. 4. În clasă s-a spart un geam. Iată ce au declarat Ana, Dan, Emil, Olga. Ina: - Emil a spart geamul. Dan: - Nu eu! Emil: - Nu eu! Olga: - Ina. Numai unul dintre copii spune adevărul. Cine este făptaşul? 5. Andei, Bogdan, Cristian, şi Dan au împreună: o pisică, un câine, un peşte şi un

canar. Bogdan are un animal cu blană, Dan un animal cu patru picioare, Cristian are o pasăre, iar Andrei şi Bogdan nu iubesc pisicile. Ce animal are fiecare copil? Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.

Probleme de logică


Probleme de logică



1. Sandu Vasile, Vasile Marin, Marin Sandu (nume prenume). 2. Bunica 3. Eu sunt bine educat; maimuţele nu sunt bine educate 4. Dan 5. Andrei, peşte; Bogdan, câine; Cristian, canar; Dan, pisică.


1. S-au întâlnit trei prietene, care se numesc Albu, Negru, Roşu. Ele erau îmbrăcate în bluze de culoare albă, neagră, roşie. Fata îmbrăcată cu bluză albă îi spune celei care se numeşte Negru: „Ar trebui să facem schimb de bluze, deoarece, pentru niciuna dintre noi, culoarea nu corespunde numelui”. Ce culoare avea bluza fiecărei fete?

2. a) Mara stă alături de Ana, dar nu la capăt. b) Irina stă la un capăt, dar nu alături de Ana. c) Ana este la stânga Marei, dar nu la capăt. d) Corina este la un capăt, dar nu alături de Mara. Stabileşte locul fiecăreia.

3. a) Toţi inginerii mănâncă cu doctorul. b) Nici un pletos nu se poate abţine de a face versuri. c) Vasile nu a fost niciodată amendat pentru nerespectarea regulilor de circulaţie. d) Tuturor verilor doctorului le place sala de fructe. e) Nimeni care este inginer nu face versuri. f) Nimeni care nu este văr cu doctorul nu ia masa cu doctorul. g) Toţi cei tunşi scurt au fost amendaţi. Îi place oare lui Vasile sala de fructe?

4. Iepurele alb spine că pisica minte. Pisica spune că Alice Minte. Alice spune că iepurele alb şi pisica mint. Cine minte şi cine spune adevărul?

5. Un căţel, un purcel şi un ied s-au întrecut la alergat. Purcelul nu a terminat primul, dar nici ultimul. Nici iedul nu a fost codaş. Cine a câştigat întrecerea?

După rezolvare, lucrarea de verificare trebuie trimisă tutorelui, într-o modalitate pe care o veţi stabili împreună (e-mail, probă scrisă etc.).

Sugestii pentru acordare punctajului oficiu: 10 puncte subiectul 1: 20 puncte subiectul 2: 20 puncte subiectul 3: 20 puncte subiectul 4: 20 puncte

subiectul 5: 10 puncte.

Probleme de logică


6.5. Bibliografie

1) Dumitru V. G., Dumitru A., Fătu A., Matematică pentru ciclul primar. Teste. Logică.

Perspicacitate. Joc”, Editura ALL, 1997 2) Popescu T., „Matematica de vacanţă”, Editura SPORT – TURISM, 1986 3) Roşu M., „111 probleme rezolvate pentru clasele III-IV”, Editura METEOR PRES,

2003 4) **** Jocul – concurs Cangurul, Matematică distractivă pentru clasele II-VII, Editura

SIGMA, 2002.

Probleme ce conţin tabele, diagrame, grafice


UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 7 Probleme ce conţin tabele, diagrame, grafice Cuprins 7.1. Obiectivele unităţii de învăţare............................................................................... 65 7.2. Probleme ce conţin tabele, diagrame, grafice........................................................ 65 7.2.1. Probleme ce conţin tabele ..................................................................................... 66 7.2.2. Probleme ce conţin diagrame ................................................................................ 68 7.2.3. Probleme ce conţin grafice .................................................................................... 68 7.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare.............................................. 73 7.4. Bibliografie .............................................................................................................. 74


La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să descifreze informaţiile prezentate în tabele, diagrame, grafice; - să aplice o strategie rezolutivă convenabilă; - să creeze situaţii problematice ilustrate prin tabele, diagrame, grafice; - să recepteze cu interes problemele din această categorie.

7.2. Probleme ce conţin tabele, diagrame, grafice

Necesitate

Omul modern este „bombardat” zilnic de către mass-media, cu mesaje prezentate prin intermediul unor tabele, diagrame, grafice pe care trebiue să le recepteze şi imterpreteze corect. Această realitate a impus şi o extensie a „alfabetizării” copiilor în domeniul cititului, dar şi în cel al matematicii, şcoala fiind chemată să le formeze capacităţi noi, legate de descifrarea unor texte neconvenţionale, care conţin tabele, diagrame, grafice. Este o direcţie evidenţiată şi de programul PISA/OCDE, implicând o evaluare standardizată la scară internaţională(desfăşurată între anii 2000 şi 2006), ce ia în considerare 3 domenii: competenţe în lectură – înţelegerea scrisului, matematică şi ştiinţe. Chiar în primul domeniu se face referire la necesitatea utilizării de către elevi a unor „texte necontinue”, prezentând informaţia sub alte forme (liste, formulare, diagrame, grafice). Această preocupare se reflectă şi în programele şi manualele de matematică ale claselor primare, ceea ce impune ca profesorul pentru învăţământul primar să fie abilitat în utilizarea şi crearea unor probleme ce conţin tabele, diagrame, grafice. Tabele, diagramele, graficele au avantajul că pot constitui suportul intuitiv,dar şi informaţional pentru compunerea şi

realizare în practică şcolară



rezolvarea unui număr mare de probleme, antrenând elevi în descoperirea şi rezolvarea unor astfel de probleme. Sunt activate astfel mai multe obiective – cadru ale învăţării matematicii în clasele I-IV: dezvoltatrea capacităţilor de explorare/investigare şi rezolvare de probleme, formarea şi dezvoltatrea capacităţii de a comunica utilizând limbajul matematic, dezvoltarea interesului şi a motivaţiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate.

7.2.1. Probleme ce conţin tabele

Într-o definiţie de dicţionar, tabele reprezintă o serie de valori numerice aranjate într-o anumită ordine în şiruri şi coloane, folosite pentru a uşura anumite calcule sau pentru a face anumite clasificări. În matematica şcolară, o frecvenţă mare o au problemele ce valorifică tabelele de variaţie ale unor funcţii numerice. Sunt posibile cazurile:

• se dau elemente ale domeniului de definiţie şi expresia funcţiei, cerându-se determinarea valorilor funcţiei pentru elementele date;

• se dau elemente ale codomeniului şi expresia funcţiei, cerându-se determinarea elementelor corespunzătoare din domeniul de definiţie;

• se dau elemente ale domeniului de definiţie şi valorile funcţiei pentru aceste elemente cerându-se determinarea expresiei funcţiei.

a 3 ...... b ...... c 1 2 3 a+5

20-b 5

2 4 6

Evident, adăugarea în aceste tabele a unui nou element, conduce la o altă problemă, astfel încât tabelul poate conţine mai multe probleme.

Mai mult, dificultăţile pot spori prin comasarea a două astfel de tabele:

a 3 a+5 6

Utile sunt şi tabelele care invită, într-o formă atractivă,

interesată, la efectuarea unor calcule.

x = 6 7

exemplul 1

exemplul 2



Alteori, aceste tabele îi ajută pe elevi în sesizarea diferenţelor de limbaj matematic (......cu ....mai mult decât; ....... de ori mai mult decât ......; ....cu ..... mai puţin decât ......; ..... de ..... ori mai puţin decât .....).

a b a+b axb 5 6

a b a-b a:b

Folosirea tabelelor poate ajuta şi la formarea unor

generalizări privind proprietăţile operaţiilor sau echivalenţa unor procedee de calcul.

a b c (axb)xc ax(bxc) 2 3 4

a 32 a :2

(a:2):2 a:4

sau

a:4 a a:2 (a:2):2 32

Gama problemelor ce conţin tabele este largă. Aceste

probleme pot valoriza tabele ce conţin, de exemplu: • specificaţii de obiecte, cantitate, preţ unitar, cost total; • distanţe dintre localităţi şi trasee a căror lungime trebuie

aflată; • temperatura aerului într-un interval de timp dat, în

diverse locaţii; • distanţa parcursă, viteza, ora plecării, ora sosirii, timpul.

x : = 4 3 2

exemplul 3

exemplul 4

alte exemple



7.2.2. Probleme ce conţin diagrame

Într-o definiţie de dicţionar, diagrama este o reprezentare grafică ce facilitează o demonstraţie, care face să se înţeleagă un fenomen, care înfăţişează corelaţii dintre două mărimi. Pe străzile A şi B au fost plantaţi tei, iar pe străzile C şi D au fost plantaţi castani. Priveşte diagrama, completează şi rezolvă. A B C D ___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sunt .......... tei plantaţi pe strada A. Sunt .......... tei plantaţi pe strada B. Sunt .......... castani plantaţi pe strada C. În total, au fost plantaţi ...... tei. S-au plantat cu ...... mai mulţi ...... decât ..... Inventează alte probleme şi rezolvă-le. Imaginează-ţi că eşti la grădina zoologică şi compune probleme folosind datele mai jos ilustrate

30 25 20 15 10 5

lei maimuţe vulturi şerpi

7.2.3. Probleme ce conţin grafice

Într-o definiţie de dicţionar, prin grafic se înţelege reprezentarea prin desen a raportului a două sau mai multe mărimi variabile. De multe ori, grafic este sinonim cu diagramă. Repartizarea pe clase a elevilor ciclului primar dintr-un oraş este reprezentată în graficul de mai jos.

exemplul 1

exemplul 2

exemplul 1



mii de elevi

5045403530252015105

I II III IV clasa Compune 3 probleme, pornind de la enunţul de mai sus.

Graficul de mai jos reprezintă numărul de fete şi de băieţi dintr-un cartier bucureştean, reprezentaţi pe vârste. număr

30002500200015001000 500

Ani 10 9 8 7 0 0 7 8 9 10 ani Băieţi Fete Formulează cel puţin 5 probleme, pornind de la enunţul de mai sus.

temă instant

exemplul 2

temă instant




1. Alcătuieşte un tabel care să evidenţieze: numărul natural, succesorul şi

predecesorul său. 2. Rezolvă problema: Andrei, Bogdan, Corina, şi Dan colecţionează timbre. Numărul timbrelor fiecăruia

este reprezentat astfel:

0

50

100

150

200

250

300

350

400Timbre

A B C D



Compune şi rezolvă cel puţin 3 probleme, implicând operaţii diferite, pornind de la enunţul de mai sus.

3. Un concurent la un concurs de tir cu arcul a tras 10 săgeţi şi a obţinut 21 puncte.

Unde a nimerit ultima săgeată, dacă celelalte au atins tinta după cum arată diagrama:


2 punct în

cercul

3 puncte în cercul de 2 puncte

4 puncte lovite în cercul de 3




1. Alcătuieşte un tabel în care să se evidenţieze proprietatea unui număr natural nenul

a : (a x 10) x 10 = a x 100. 2. Formulează 8 probleme diferite, pornind de la un tabel cu rubricile: distanţa

parcursă, viteza, ora plecării, ora sosirii, timpul, în care să completezi 3 dintre valorile mărimilor date. Află apoi valorile celorlalte două mărimi.

3. Din cei 300 de elevi ai unei şcoli, o treime sunt la ciclul primar, o şesime în clasa a V-a şi tot atâţia în clasa a VI-a, o pătrime sunt în clasa a VII-a. Observă diagrama şi completează într-un tabel asemănător celui de mai jos, datele lipsă.

Clasa Elevi

I - IV V VI VII VIII

Partea din întreg 31

Număr de elevi 1000 Litera corespunzătoare din diagramă

b

e a d c b




7.3. Răspunsuri la testele de evaluare Testul 1

1.

n - 1 n n + 1 2

3 7

2. a) Câte timbre au împreună băieţii? b) Cu câte timbre are mai mult Dan decât Andrei? c) De câte ori are mai puţine timbre Corina decât Andrei.



3. În cercul de două puncte.

Notă. Primele două probleme admit şi alte răspunsuri corecte.

Testul 2

1. Tabelul poate fi de tipul:

a x 1oo a a x 10 (a x 10) x 10

Se completează coloana lui a cu valori numerice arbitrare, se efectuează, în celelalte coloane, calculele indicate şi se constată egalitatea valorilor din prima şi ultima coloană.

2. Tabelul poate fi de tipul:

distanţa 180 180 180 180 180 viteza 60 60 60 60 60 h plecare 10 10 10 10 10 h sosire 13 13 13 13 13 timpul 3 3 3 3

Se calculează, pentru fiecarecaz, valorile celorlalte două mărimi.

Elevi

I - IV V VI VII VIII

Partea din întreg 1/3 1/6 1/6 1/4 1/12 Număr de elevi 1000 500 500 750 250 Litera corespunzătoare din diagramă

a c d b e

7.4. Bibliografie

1) Atanasiu M., Ordine în complicaţie, Editura Albatros, 1971; 2) Rucker W., Dilley C., Lowry D., Heath Mathematcs. Teacher's Edition, D.C. Heath

and Company, 1985; 3) Sawyer W.W., Privire în matematica elementară, Editura ALBATROS, 1967; 4) **** Manuale de matematică pentru clasele I-IV.

Elemente de teoria probabilităţilor


UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 8

Elemente de teoria probabilităţilor Cuprins 8.1. Obiectivele unităţii de învăţare............................................................................... 75 8.2. Elemente de teoria probabilităţilor ......................................................................... 75 8.2.1. Evenimente............................................................................................................ 76 8.2.2. Probabilitate........................................................................................................... 81 8.3. Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare.............................................. 86 8.4. Lucrare de verificare 4 ........................................................................................... 87 8.5. Bibliografie ............................................................................................................. 88

8.1. Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili:

- să discrimineze problemele de probabilităţi; - să aplice o strategie rezolutivă convenabilă; - să adopte un mod de gândire probabilistic; - să recepteze cu interes problemele din această categorie.

8.2. Elemente de teoria probabilităţilor Trăim într-o lume a cărui mod de exprimare este dominant

probabilistic. Realitatea înconjurătoare este mai bine explicată într-un model probabilistic, deoarece puţine fenomene, fapte, evenimente sunt sigure sau imposibile: cele mai multe au un anumit grad de probabilitate. Apariţia noţiunilor de teoria probabilităţilor este legată de practica jocurilor de noroc. Jucătorii îşi propuneau să evalueze şansele lor de câştig într-un anumit moment al jocului sau şansele de realizare a unei combinaţii favorabile. Bazele teoriei probabilităţilor au fost puse în secolul al XVII-lea, de matematicienii B. Pascal şi P. Fermat. Conceptele fundamentale ale teoriei, asociate modului de gândire probabilistică, au pătruns şi în matematica şcolară a claselor primare.



8.2.1. Evenimente

Prin experienţă (experiment) se înţelege realizarea unui complex de condiţii ce determină producerea unui fenomen sau a unei întâmplări. În cadrul fiecărei experienţe, ne putem fixa atenţia asupra unui anumit fapt, a obţinerii unui anumit rezultat, a realizării unui anumit eveniment. Evenimentul apare ca un fenomen care, în cadrul unei experienţe, se poate produce sau nu şi despre care putem afirma cu certitudine dacă s-a produs sau nu, după efectuarea experienţei. În teoria probabilităţilor interesează numai experienţele aleatoare (cele în care intervine întâmplarea). Proba este rezultatul unei experienţe aleatoare (naturală sau provocată). Fiecare repetare a experienţei reprezintă o probă, deci orice probă determină fie realizarea, fie nerealizarea oricărui eveniment legat de experienţa respectivă. Dacă experienţa este aruncarea unui zar, atunci proba este rezultatul care se obţine la sfârşitul experienţei, iar un eveniment poate fi apariţia unei feţe cu un număr impar de puncte. Dacă experienţa este extragerea unei bile (albă/neagră) dintr-o urnă, precizează proba şi evenimentele posibile.

Evenimentul sigur este acela care se realizează, cu certitudine, la orice probă. Evenimentul imposibil nu se poate realiza la nici o efectuare a experienţei. Evenimentul imposibil este opusul evenimentului sigur, în sensul că evenimentul imposibil constă în nerealizarea evenimentului sigur Dacă experienţa este aruncarea unui zar atunci evenimentul sigur este apariţia uneia dintre feţele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6, iar evenimentul imposibil poate fi apariţia lui 7. Precizează evenimentele sigur şi imposibil la extragerea unei bile (albă/neagră) dintr-o urnă.

evenimente sigur

experienţă

eveniment

probă

exemplu

temă instant

eveniment imposibil

exemplu

temă instant



Fiecărui eveniment îi corespunde unui eveniment contrar, a cărui realizare constă în nerealizarea primului. Dacă un eveniment B este contrar unui eveniment A, atunci şi A este evenimentul contrar lui B. Evenimentele sigur şi imposibil sunt contrare unul altuia. Dacă experienţa este aruncarea unui zar şi A este evenimentul apariţiei uneia dintre feţele 1, 2 sau 3, atunci evenimentul contrar, B, este apariţia uneia dintre feţele 4,5 sau 6. Precizează două evenimente contrare la extragerea unei bile (albă/neagră) dintr-o urnă.

Două evenimente ale unei experienţe sunt compatibile dacă se pot realiza simultan, adică, dacă există probe care realizează atât A, cât şi pe B. Evenimentele contrare sunt incompatibile. În general, un număr finit de evenimente A1, A2, ……, An sunt compatibile dacă se pot realiza simultan, adică există cel puţin o probă care realizează fiecare dintre aceste evenimente. În caz contrar, evenimentele (în totalitatea lor) sunt incompatibile. Dacă evenimentele A1, A2, ……, An sunt compatibile două câte două, nu înseamnă că sunt compatibile în totalitatea lor. Fie experienţa aruncării unui zar. Dacă A este evenimentul apariţiei uneia dintre feţele 1, 2 sau 3, B este evenimentul apariţiei uneia dintre feţele 2, 3 sau 4, iar C este evenimentul apariţiei uneia dintre feţele 4, 5 sau 6, atunci A şi B sunt compatibile, A şi C incompatibile, B şi C compatibile, A,B şi C incompatibile.

eveniment contrar

exemplu

temă instant

evenimente compatibile/ incompatibile



Analizează, din acest punct de vedere, experienţa extragerii unei bile (albă/neagră) dintr-o urnă.

Evenimentul A implică evenimentul B dacă realizarea lui A atrage după sine realizarea lui B (A →B). Relaţia astfel definită are proprietăţile:

• A→A, pentru orice eveniment A (reflexivitate); • dacă A→A şi B→C atunci A→C (tranzitivitate); • A→E (orice eveniment implică evenimentul sigur); • ø→A (evenimentul imposibil implică orice eveniment).

Precizează orice eveniment implicat de un alt eveniment pentru experienţa aruncării unui zar.

Un eveniment care nu este implicat de nici un eveniment diferit de el însuşi şi de evenimentul imposibil este evenimentul elementar. Celelalte evenimente (care nu sunt elementare) se numesc evenimente compuse. Un element elementar este realizat de o singură probă. El este perfect determinat de proba care îl realizează şi invers, ceea ce face ca orice eveniment elementar să să poată fi identificat cu proba care îl realizează. Un eveniment compus este identificat cu mulţimea probelor care îl realizează, deci cu o mulţime de evenimente elemntare. Pentru experienţa aruncării unui zar, un eveniment elementar poate fi apariţia feţei 6 a zarului, iar un eveniment compus, apariţia unei feţe cu soţ.

temă instant

eveniment implicat de

un alt eveniment

temă instant

elemente elementare

elemente compuse



Fiind date două evenimente A, B legate de o experienţă, „A sau B” este evenimentul a cărui realizare înseamnă realizarea a cel puţin unuia dintre ele şi se numeşte reuniunea elementelor A, B (A U B). Pentru experienţa aruncării unui zar, dacă evenimentul A este apariţia feţelor 1, 2, 3 şi B apariţia feţelor 2, 3, 4 atunci reuniunea lor este apariţia feţelor 1, 2, 3, 4. „A şi B” este evenimentul a cărui realizare înseamnă realizarea simultană a ambelor evenimente şi se numeşte intersecţia evenimentelor A, B (A ∩ B). Pentru evenimentele din exemplul anterior, intersecţia este apariţia feţelor 2, 3. „Non A” este evenimentul a cărui realizare constă în realizarea evenimentului A şi este evenimentul contrar lui A (CA). Pentru evenimentele anterioare prezentate, evenimentul contrar lui A este apariţia feţelor 4, 5, 6. Orice eveniment, legat de experienţă cu un număr finit de cazuri posibile, poate fi interpretat ca o submulţime a unei mulţimi E (mulţimea cazurilor posibile ale experienţei). De aici decurge următoarea dualitate de limbaj Limbajul evenimentelor Limbajul mulţimilor Eveniment Submulţime a lui E Eveniment sigur Mulţimea totală E Eveniment imposibil Mulţimea vidă ø A implică B A ⊂ B A sau B A U B A şi B A ∩ B Non A CA A, B incompatibile A ∩ B = ø Eveniment elementar { e }, e є E.

eveniment contrar

exemple

reuniunea evenimentelor

exemplu

intersecţia evenimentelor

exemplu

exemplu

analizate în limbaj:

evenimente/ mulţimi




1. Fie experienţa aruncării unui zar, în care A este evenimentul apariţiei uneia dintre feţele cu un număr impar de puncte şi B evenimentul apariţiei uneia dintre feţe cu un număr par de puncte. Care dintre afirmaţiile următoare este corectă? Evenimentele A şi B sunt:

a) compatibile; b) contrare; c) elementare; d) imposibile; e) incompatibile.

2. Determină reuniunea şi intersecţia celor două evenimente de la exerciţiul 1 3. O urnă conţine bile albe şi negre. Se extrag succesiv două bile.

Cu ajutorul evenimentelor: A = prima bilă extrasă este albă; B = a doua bilă extrasă este neagră, să se scrie evenimentele: a) prima bilă extrasă este neagră; b) ambele bile sunt negre; c) ambele bile sunt albe.

Răspunsul va potea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.



8.2.2. Probabilitate

Fie o experienţă caracterizată prin aceea că are un număr finit de cazuri posibile (evenimente elementare) şi toate aceste cazuri sunt egal posibile (evenimente elementare echiprobabile. Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul cazurilor egal posibile care realizează evenimentul (favorabile) şi numărul cazurilor egal posibile.

Deci, probabilitatea evenimentului A este P(A) = nm ,

unde m este numărul cazurilor favorabile şi n este numărul cazurilor egal posibile. În multele dintre aplicaţii, se consideră satisfăcută condiţia de echiprobabilitate a cazurilor posibile ale experienţei. Astfel:

- aruncarea unui zar este o experienţă cu 6 cazuri posibile echiprobabile;

- extragerea unei bile dintr-o urnă conţinând n bile este o experienţă cu n cazuri posibile echiprobabile;

- aruncarea a două zaruri este o experienţă cu 36 cazuri posibile echiprobabile;

- aruncarea de n ori a unei monede este o experienţă cu 2n cazuri posibile echiprobabile.

O urnă conţine 20 bile identice, numerotate 1, 2, ......, 20. Care este probabilitatea ca printr-o extracţie, să obţinem o bilă numerotată cu un pătrat perfect? Rezolvare Cum, la o extracţie, poate fi scoasă oricare dintre bile, numărul cazurilor egal posibile este 20. Pătratele perfecte între 1 şi 20 sunt1, 4, 9, 16, deci numărul cazurilor favorabile este 4.

Probabilitatea cerută este P(A) = 51

204 = , unde A este

evenimentul extragerii unei bile numerotate cu un pătrat perfect. Care este probabilitatea ca aruncând două zaruri să obţinem o „dublă” (la fiecare zar, acelaşi număr de puncte)? Rezolvare Numărul cazurilor egal posibile la aruncarea a două zaruri este 6 x 6 = 36. „Dublele” sunt (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), deci numărul cazurilor favorabile este 6. Dacă A este evenimentul obţinerii unei „duble”, atunci

probabilitatea cerută este P(A) = 61

366 = .

• Probabilitatea evenimentului imposibil este 0, iar probabilitatea evenimentului sigur este 1:

definiţie

exemple





P(ø) = 0 , P(E) = 1. • Dacă A şi B sunt două evenimente incompatibile, atunci

probabilitatea reuniunii este egală cu suma probabilităţilor evenimentelor:

• P(AUB) = P(A) + P(B), cu A∩B = ø. Proprietatea poate fi generalizată pentru un număr finit de

evenimente incompatibile. • Suma dintre probabilitatea unui eveniment şi

probabilitatea evenimentului contrar este 1: P(A) + P(CA) = 1, de unde rezultă că P(CA) = 1 – P(A) şi P(A) = 1 – P(CA) • Probabilitatea reuniuniia două evenimente este egală cu

suma probabilităţilor, din care se scade probabilitatea intersecţiei lor:

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B). (Pentru evenimente incompatibile, probabilitatea intersecţiei este 0 şi se regăseşte proprietatea a doua).

Ne putem imagina experienţe în care să ştim cu certitudine că un eveniment B s-a realizat, fără să ştim dacă un alt eveniment A din cadrul experienţei s-a realizat sau nu. Probabilitatea evenimentului A, ştiind că s-a realizat evenimentul

B, se numeşte probabilitatea evenimentului A condiţionată de realizarea evenimentului B şi se notează: PB(A). Fie experienţa aruncării unui zar.

• Dacă A este evenimentul apariţiei uneia dintre feţele 3 sau 4 (A = {3, 4}), iar B este evenimentul apariţiei uneia dintre feţele 2, 3, 4 sau 5 (B = {2, 3, 4, 5}), atunci

P(A) = 31

62 = , iar P(B) =

32

64 = (verifică!).

Dacă s-a realizat evenimentul B, pentru evenimentul A sunt 4

cazuri egale posibile şi două favorabile PB(A) = 21

42 = (compară cu

P(A)!).

• Dacă A = {3, 4} şi B = {4, 5, 6}, atunci P(A) = 31 ,

P(B) = 21 , iar PB(A) =

31

(verifică!). În acest caz, PB(A) = P(A), iar evenimentele A şi B se numesc independente. Fie A şi B două evenimente respectiv corespunzătoare experienţelor E1 şi E2 care nu se condiţionează reciproc. Probabilitatea ca evenimentele A şi B să se producă simultan (P(A∩B)) este produsul probabilităţilor: P(A∩B) = P(A) x P(B). Dacă evenimentul B condiţionează realizarea evenimentului A,

proprietăţi ale probabilităţilor

probabilitiăţi condiţionate

exemple

înmulţire evenimentelor

fără legătură cu

biologia



atunci: P(A∩B) = PB(A) x P(B). Avem 10 cărţi de joc identice, purtând numerele 1, 2, 3, ...., 10. Care este probabilitatea ca primele două cărţi să fie un as (1) şi un 2, în această ordine? Rezolvare Dacă A este evenimentul „prima carte este 1” şi B este evenimentul „a doua carte este 2”, atunci realizarea simultană a acestora este intersecţia evenimentelor A şi B. Pentru evenimentul A, numărul cazurilor egal posibile este 10, iar

numărul cazurilor favorabile este 1, deci P(A) =101 .

Evenimentul B este condiţionat de realizarea evenimentului A, în sensul reducerii cu 1 a numărului cazurilor egal posibile (s-a realizat A, deci a fost scoasă cartea 1, din cele 10 cărţi). Deci,

probabilitatea sa este PA(B) =51 .

În consecinţă, avem:

P(A∩B) = P(A) x PA(B)= 501

51

101 =x

O urnă conţine 6 bile albe şi 5 bile negre. Se extrag succesiv 3 bile (fără întoarcerea bilei extrase). Care este probabilitatea ca prima bilă să fie albă, iar celelalte două, negre? Rezolvare Dacă A este evenimentul „ prima bilă extrasă este albă”, B, „a doua bilă extrasă este neagră” şi C, „a treia bilă esxrasă este neagră”, atunci realizarea simultană a acestora este intersecţia evenimentelor A , B şi C. Pentru evenimentul A, numărul cazurilor egal posibile este 6 + 5 = 11 (numărul total de bile din urnă), iar numărul cazurilor favorabile este 6 (sunt 6 bile albe în urnă). Evenimentul B este condiţionat de realizarea evenimentului A, în sensul reducerii cu 1 a numărului cazurilor egale posibile (s-a realizat A, deci a fost scoasă o bilă albă din urnă, fără întoarcerea acesteia). Pentru evenimentul B, numărul cazurilor egal posibile este 5 + 5 = 10, iar numărul cazurilor favorabile este 5 (sunt 5 bile negre în urnă). Evenimentul C este condiţionat de realizarea simultană a evenimentelor A şi B. Aceasta înseamnă că numărul cazurilor egal posibile va fi 9 (au fost scoase două bile), iar numărul cazurilor favorabile va fi 4 (cele 4 bile rămase în urnă). Calculează probabilităţile celor 3 evenimente şi află probabilitatea intersecţiei (produsul probabilităţilor).



temă instant



O urnă conţine 3 bile albe şi 4 bile negre, iar o altă urnă conţine 4 bile albe şi 5 bile negre. Din fiecare urnă se extrage câte o bilă. Dacă A este evenimentul „bila extrasă din prima urnă este albă”, iar B, „bila extrasă din a doua urnă este albă”, să se precizeze ce reprezintă reuniunea şi intersecţia celor două evenimente, precum şi evenimentele contrare pentru fiecare şi să se calculeze probabilităţile acestora. Rezolvare Reuniunea evenimentelor reprezintă realizarea a cel puţin uneia dintre ele, deci „bila extrasă din prima urnă este albă” sau „bila extrasă din a doua urnă este albă”. Intersecţia evenimentelor reprezintă realizarea simultană a ambelor evenimente, deci „bila extrasă din prima urnă este albă” şi „bila extrasă din a doua urnă este albă”. Contrarul unui eveniment constă în nerealizarea evenimentului, deci evenimentul contrar al lui A este „bila extrasă din prima urnă este neagră”, respectiv evenimentul contrar al lul B este „bila extrasă din a doua urnă este neagră”. Pentru evenimentul A, numărul cazurilor egal posibile este 3 + 4 = 7, iar numărul cazurilor favorabile este 3. Pentru evenimentul B, numărul cazurilor egal posibile este 4 + 5 = 9, iar cazurile favorabile sunt 4. Pentru calcului probabilităţilor celorlalte evenimente, avem: P(A∩B) = P(A) x PA(B) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) P (CA) = 1 – P(A) şi P(CB) = 1 – P(B). Calculează probabilităţile cerute în problemă.


temă instant




1. Care este probabilitatea ca, aruncând două zaruri, să obţinem două feţe însumând 7 puncte?

2. Să presupunem că avem două urne, prima conţinând 8 bile numerotate cu 1, 2, .... , 8, iar a doua 7 bile, numerotate cu 1, 2, ...., 7.

a) Care este probabilitatea ca, făcând câte o extracţie din fiecare urnă, să obţinem din prima urnă un număr impar, iar din a doua urnă un număr par?

b) Dar probabilitatea de a obţine două numere de parităţi diferite? 3. O urnă conţine 10 bile albe şi 6 bile negre. Din această urnă se extrag

două bile, nepunându-se înapoi bila extrasă. Se cere: a) probabilitatea ca cele două bile să fie albe; b) probabilitatea ca cele două bile să fie negre; c) probabilitatea ca prima să bilă să fie albă şi a doua, neagră; d) probabilitatea ca prima să bilă să fie neagră şi a doua, albă; e) probabilitatea ca bilele să fie de aceeaşi culoare; f) probabilitatea ca bilele să fie de culări diferite.

Răspunsul va potea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.




Testul 1

1. b) şi e) 2. Reuniunea este evenimentul sigur, iar intersecţia, evenimentul imposibil. 3. a) CA; b) CA ∩ B; c) A ∩ CB.

Testul 2

1. Cazuri egal posibile: 36, cazuri favorabile: 6.

P(A) = 61

366 = .



2. a) Cazuri egal posibile: 8 x 7 = 56, cazuri favorabile, 12, P(A) = 143

5612 = .

b) Cazuri egal posibile: 56, cazuri favorabile: 28, P(B) = 21

5628 = .

3. a) 83

159

1610 =x

b) 81

155

166 =x

c) 41

156

1610 =x

d) 41

1510

166 =x

e) şi f) 21

211 =x


1. Doi trăgători execută câte un foc asupra unei ţinte. Primul nimereşte ţinta cu

probabilitate de 97 , iar al doilea cu probabilitatea

119 . Care este probabilitatea ca

ţinta să fie atinsă? 2. O urnă conţine 3 bile albe şi 4 bile negre. Din acestă urnă se extrage o bilă. În locul

ei se introduce o bilă cealaltă culoare şi se face o nouă extragere. a) Care este probabilitatea ca a doua bilă extrasă să fie neagră, ştiind că prima bilă a

fost albă? Dar ştiind că prima a fost neagră? b) Care este probabilitatea ca cea de a doua bilă să fie neagră? c) Care este probabilitatea să obţinem bile de culori diferite în cele două extrageri? 3) Se aruncă de 3 ori o pereche de zaruri. Care este probabilitatea să obţinem un total

de 6 puncte la prima aruncare, 7 puncte la a doua aruncare şi 8 puncte la a treia aruncare?

După rezolvare lucrarea de verificare trebuie transmisă tutorelui, într-o modalitate pe care o veţi stabili împreună (e-mail, probă scrisă etc.). Sugestii pentru acordarea punctajului Oficiu: 10 puncte Subiectul 1 : 30 puncte Subiectul 2 : 30 puncte Subiectul 3 : 30 puncte.



8.5. Bibliografie

1. Georgecsu – Buzău E., Drăghicescu I., Matei N., Probleme actuale de matematică

în liceu, structuri algebrice, probabilităţi, Editura ALBATROS, 1975 2. Ghiciu N., Turcitu Gh., Elemente de statistică şi probabilităţi, Editura RADICAL,

1994 3. Mihai G., MincuN., Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică, EDP, 1966 4. **** Manuale şcolare pentru clasel IX-XII.

Probleme nonstandard


UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 9 Probleme nonstandard

Cuprins 9.1. Obiectivele unităţii de învăţare................................................................................ 89 9.2. Problemele nonstandard......................................................................................... 89 9.3. Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare............................................... 96 9.4. Bibliografie .............................................................................................................. 96


La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să realizeze că există probleme ce nu pot fi cuprinse într-o clasificare dată; - să construiască strategii proprii de abordare şi rezolvare a unor probleme

nonstandard; - să demonstreze interes şi perseverenţă în rezolvare a unor probleme nonstandard.

9.2. Probleme nonstandard

Încercarea de a realiza o taxonomie autocuprinzătoare pentru problemele de matematică este irealizabil sau inutilă. Pentru o clasificare dată, poate exista întodeauna o problemă care nu-i aparţine. Dacă am construi şi alte probleme de tipul celei amintite (ceea ce este realizabil!) nu am face decât să apară o nouă clasă de probleme, o nouă ramură în clasificarea iniţială. Dar şi acum poate să apară o nouă problemă, care nu intră în noua clasificare ş.a.m.d. Nu este posibil să extindem permanent clasificarea. Şi atunci, ca să facem cu astfel de probleme care nu se regăsesc în tipare? ar putea să se întrebe cititorul. Răspunsul nu poate fi decât: cercetează, explorează, investighează cu ajutorul capacităţilor proprii, creative şi descoperă singur calea de rezolvare a problemei nonstandard. Până acum, noi ţi-am oferit o „trusă” de algoritmi pentru rezolvarea problemelor tipice, dar, în acelaşi timp, am încercat să-ţi exersezi acele calităţi ale gândirii ce pot conduce la formarea capacităţilor de a-ţi construi singur o strategie rezolutivă pentru probleme noi. Aceasta înseamnă că va trebui să încerci sa-ţi alegi din „trusă”, unul sau mai mulţi algoritmi, pentru a-i folosi în rezolvarea problemei, iar în situaţia (frecventă) că niciunul dintre aceste instrumente nu îţi este de folos, să inventezi tu însuţi pe cel necesar. În felul acesta eşti un autentic rezolvitor de probleme!



Fără intenţia unei (imposibile) tratări exhaumative a zonei problemelor nonstandard, vom prezenta câteva exemple, cu evidenţierea modului de abordare şi demersul gândirii în rezolvare. Doi foşti colegi se întâlnesc, după mult timp, pe stradă şi unul dintre ei îl întreabă pe celălalt câţi copii are. Cel întrebat răspunde: 3.

- Ce vârste au? - Ghiceşte? - Nu pot. Dă-mi câteva informaţii. - Suma vârstelor este cât numărul casei în dreptul căreia ne

aflăm. După ce s-a gândit puţin, cel care întrebase despre copii, spune:

- Tot nu pot răspunde. Mai dă-mi o informaţie. - De, cel mai mic are ochii albaştri.

După această informaţie, el reuşeşte să răspundă. Cum a procedat, ştiind că vârstele copiilor erau exprimate prin numere naturale. Rezolvare La prima vedere (poate şi la a doua!) totul pare ciudat. Doi oameni care ne-şi vorbesc „normal”, direct, ci problematic, ceva cu produsul şi suma vârstelor, cu numărul casei în dreptul căreia discutau (?!), ba chiar şi culoarea ochilor unuia dintre copii. Ce legătură pot avea toate acestea cu stabilirea vârstei celor 3 copii?! Dacă atracţia către problematic este suficient de puternică şi există o motivaţie pentru rezolvarea problemei, trebuie să trecem peste aspectul aparent şocant al enunţului şi să înţelegem fondul acesteia. Să „inventariem” ce cunoaştem şi să descifrăm ce se află în spatele unor informaţii „ciudate”. Ştim că sunt 3 copii, că vârstele lor sunt exprimate în numere naturale (nu are niciunul 3, 5 ani!), că produsul vârstelor este 36, că suma lor este un număr necunoscut de mine, rezolvitor (îl ştiu doar cei doi prieteni, care văd numărul casei în dreptul căreia se află). Şi mai ştim că cel mic are ochi albaştri. Ce interpretare să dau acestei informaţii? Desigur, nu culoarea ochilor are importanţă, ci faptul că, dintre cei trei copii, unul este cel mai mic. ( Ar putea fi şi altfel?! Da , dacă doi dintre ei ar fi gemeni şi al treilea, mai mare decât aceştia.). Reţin că există UN cel mai mic copil. Să ne transpunem în postura celui care încearcă să ghicească, având toate informaţiile de mai sus şi, în plus, ştiind numărul casei în dreptul căreia se află. Să încercăm să refacem raţionamentele lui. Prima informaţie nu-i este suficientă.(Nici nouă). Pentru că există mai multe triplete de numere naturale care au produsul 36: (1, 1, 36), (1, 2, 18), (1, 3, 12), (1, 4, 9), (2, 2, 9), (1, 6, 6), (2, 3, 6), (3, 3, 4). Aparent, afirmaţia care urmează (suma vârstelor este cât numărul casei în dreptul căreia se află şi pe care el îl vede) ar trebui să-i fie suficientă. De ce nu-i este suficientă? Să refacem şi noi calculul sumelor efectuate de cel care ghiceşte:

exemplu 1



1 + 1 + 36 = 36 1 + 2 + 18 = 21 1 + 3 + 12 = 16 1 + 4 + 9 = 14 1 + 6 + 6 = 13 2 + 2 + 9 = 13 2 + 3 + 6 = 11 3 + 3 +4 = 10

În acest moment, se pare că ar avea toate informaţiile necesare, deoarece cunoaşte şi numărul casei şi sumele vârstelor. De ce nu poate preciza? Să observăm că, orice sumă, cu excepţia celor a cincea şi a şasea, conduc la o determinare unică, ce ar fi de permis precizarea vârstelor. (De exemplu, dacă numărul casei ar fi fost 38 şi suma obţinută tot 38, ar fi însemnat că vârstele să fie 1, 1 şi 36 ani). De ce nu a fost suficientă informaţia ultimă? Pentru că se afla în faţa unei case cu numărul 13, iar aceasta este singurul număr care a fost obţinut pe două căi; (1, 6, 6), (2, 2, 9). Care dintre aceste variante este cea corectă? Să ne reamintim că există UN cel mai mic copil. Doar prima variantă este convenabilă, adică cel mai mic are un an, iar ceilalţi doi sunt gemeni, având câte 6 ani. (În cealaltă variantă, ar exista doi „cei mai mici”, nu unul singur). R: 1 an, 6 ani, 6 ani. Reformulează una dintre informaţiile enunţului astfel încât soluţia să fie cea de a doua variantă găsită mai sus.

Fănică, Ionică, Jenică, Năică şi Petrică sunt 5 prieteni. Aflaţi ordinea vârstelor celor 5, ştiind că: Ionică este mai mic decât Jenică, Năică este mai mare decât Petrică, Fănică este mai mic decât Ionică, Jenică este mai mare decât Năică, Petrică este mai mic decât Ionică, Fănică este mai mic decât Jenică, Năică este mai mare decât Fănică, Petrică este mai mare decât Fănică, Petrică este mai mic decât jenică. Năica este mai mare decât Ionică.

temă instant



Rezolvare Şi aici anunţul pare ameninţător: 5 de „...ică” şi o mulţime de afirmaţii privitoare la vârstele lor. Vom încerca să punem ordine în această complicaţie, reprezentând prin 5 puncte, pe cei 5 prieteni şi apoi să vizualizăm relaţiile dintre vârstele acestora, prin câte o săgeată ce porneşte de la cel cu vârstă mică către cel cu vârstă mai mare. Dacă în enunţ informaţia este formulată „x este mai mare decât y” (fireşte, este vorba despre vârstele lor), atunci săgeata are orientarea yx. Consideră 5 puncte, ca vârfurile unui pentagon FIJNP (de la numele celor 5) şi materializează fiecare relaţie din enunţ printr-o săgeată, orientată aşa cum sugeram mai sus

Ce constaţi? Că din punctul F pornesc 4 săgeţi, îndreptate către celelalte puncte. Ce înseamnă? Că Fănică este „cel mai mic” dintre ei (vârsta sa este cea mai mică). Din punctul P pornesc 3 săgeţi, deci Petrică este „mai mic” decât cei 3 (fiind „mai mare” doar decât Fănică). Din punctul I pornesc două săgeţi, deci Ionică este „mai mic” decât cei 2 (fiind „mai mare” doar decât Fănică şi Petrică). Din punctul N porneşte o săgeată, deci Năică este „mai mic” doar decât Jenică (fiind „mai mare” decât Fănică, Petrică, Ionică). Din punctul J nu porneşte nici o săgeată, deci Jenică nu este „mai mic” decât niciunul (adică este „mai mare” decât oricare). R: ordinea crescătoare a vârstelor este Fănică,

Petrică, Ionică, Jenică. Într-un prun sunt prune. Scutur prunul şi privesc din nou. În pom nu sunt prune. Jos nu sun prune.

Câte prune au fost în prun? Rezolvare Încă un enunţ uimitor: erau prune în pom, este scutrat pomul şi nu mai sunt prune nici în pom, nici pe jos. Că doar nu s-au evaporat?!

Să revedem şi să analizăm cu atenţie enunţul, inclusiv din punct

exemplul 2

temă instant

exemplul 3



de vedere al limbii române. Prima afirmaţie este că în pom sunt prune. Aceasta înseamnă că numărul prunelor este mai mare decât 1 (astfel, ar fi trebuit să se spună că în pom nu este nicio prună sau este o prună). Următoarea afirmaţie: după scuturare, în pom nu sunt prune. Aceasta înseamnă că numărul prunelor este 0 sau 1 (nici o prună sau o prună acoperă sfera expresiei „nu sunt prune”). Ultima afirmaţie conduce la aceeaşi concluzie: numărul prunelor căzute este 0 sau 1. Dacă în oricare dintre aceste cazuri, numărul prunelor ar fi 0, ar rezulta că în pom a fost cel mult o prună. Contradicţie cu enunţul. Deci în pom rămas o prună, jos este o prună, adică în pom au fost două prune. R: 2 prune.


1. Bunicul lui Gigel şi-a sărbătorit ziua de naştere exact de 18 ori. Câţi ani poate avea bunicul lui Gigel?

2. La un concurs, cei 37 de candidaţi au obţinut următoarele note: • 14 elevi au obţinut nota 9 sau 10 • 19 elevi au obţinut nota 8 sau 9; • 17 elevi au obţinut nota 7 sau 8; • 11 elevi au obţinut nota 6 sau 7; • 2 elevi au obţinut nota 5. Câţi elevi au obţinut nota 10 , 9, 8, 7, 6?

3. Mama are o mică tigaie în care poate prăji deodată numai două chiftele. Ştiind că prăjitul fiecărei chiftele durează 5 minute pe fiecare parte, deci în total 10 minute, în cât timp va putea ea prăji 3 chiftele? Care este cel mai scurt timp în care pot fi prăjite toate cele 3 chiftele? Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.




1. Un grup de 100 turişti români au plecat în străinătate. 10 dintre aceştia nu ştiau nici limba engleză, nici limba franceză. 75 ştiau limba franceză, iar 83 limba engleză. Câţi turişti ştiau şi engleza şi franceza?

2. Într-un săculeţ sunt 15 bile. Sunt mai multe galbene decât portocalii, mai multe verzi decât galbene, mai multe bleu decât verzi, mai multe roşii decât bleu. Câte bile sunt de fiecare culoare?

3. Andrei a fost solicitat de tatăl său să aşeze în camere pentru primirea unor musafiri, 10 scaune, astfel încât în dreptul fiecărui perete să se afle un acelaşi număr de scaune. Cum trebuie să procedeze Andrei?






9.3.Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare

Testul 1

1. Poate avea 72, 73, 74 sau 75 de ani. 2. 8 note de 10, 6 note de 9, 10 note de 8, 7 note de 7, 4 note de 6. 3. 15 minute.

Testul 2

1. Reprezentaţi mulţimile turiştilor prin diagrame Euler – Venn şi determinaţi numărul elementelor din intersecţie.

R: 68 turişti. 2. Ordonând in ordine crescătoare numărul bilelor colorate, enunţul conduce la

şirul de inegalitaţi: P<G<V<B<R. R: 1 bilă portocalie, 2 bile galbene, 3 bile verzi, 4 bile bleu, 5 bile roşii. 3. Se aşează câte un scaun in două colturi opuse ale camerei, iar celelalte 8 se distribuie în mod egal, dealungul pereţilor. În acest fel, în dreptul fiecărui perete se află 3 scaune.

9.4. Bibliografie

1)Atanasiu M., Ordine în complicaţie, Editura ALBATROS , 1971; 2)Neacşu I. (coord.) , Metodica predării matematicii la clasele I-IV. Manual pentru liceele pedagogice, clasele XI-XII, EDP, 1988; 3)Polya G., Cum rezolvăm o problemă?, Editura Ştiinţifică, 1968; 4)Rusu E., Psihologia activităţii matematice, Editura Ştiinţifică, 1969.

Bibliografie minimală


BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ

1) Cherata V., Voicilă J., Mîndruleanu L., Metode şi tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetică, Editura SIBILA, 1994

2) Ghiciu N., Turcitu Gh., Elemente de statistică şi probabilităţi, Editura RADICAL, 1994

3) Roşu M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar, Editura METEOR PRESS, 2005

4) Roşu M., 111 probleme rezolvate pentru clasele III – IV, Editura METEOR PRESS, 2003.

Documents

didactica_matematicii_2