Didáctica de Las Matemáticas y Evaluación i

8/16/2019 Didáctica de Las Matemáticas y Evaluación i

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ“DIEGO LUÍS CÓRDOBA”

FACULTAD DE EDUCACIÓN

PROGRAMA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

MODALIDAD DISTANCIA

MODULO I

DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Y EVALUACIÓN I

PREPARADO POR:

GUILLERMO GÓMEZ PEREA

ESPECIALISTA EN MATEMÁTICAS AVANZADAS

QUIBDÓ 2009


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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÒN

CAPÍTULO I

GENERALIDADES PEDAGÓGICAS

PANORAMA DE LA EDUCACIÓN EN COLOMBIA

HACIA LA NECESIDAD DE CAMBIAR

CONCEPCIONES CLAVEZ EN LA DOCENCIA

LA EDUCACIÓN

FORMACIÒN

PEDAGOGÌA Y DIDÀCTICA

ENSEÑANZA

ESTANDARES DE COMPETENCIASLAS COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE LOGROS

ENFOQUES

PROPUESTA PEDAGÓGICA CONSTRUCTIVISTA

CAPITULO II

ORIENTACIONES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

DIFICULTADES EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

Págs.5

8

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19

2021

22

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2426

272833

37

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CAPITULO III

TENDENCIA DE LA CLASE EN LA ACTUALIDAD

PLAN DE CLASE

FASE DE DIAGNÓSTICO

FASE DE DESARROLLO CONCEPTUAL

FASE DE APLICACIÓN Y FASE FINALCOMO INTEGRAR LOS DIFERENTES PENSAMIENTOSMATEMÁTICOS MEDIANTE LA COHERENCIA DE LOS ESTANDARES

COHERENCIA HORIZONTAL

SITUACIONES SIGNIFICATIVAS Y COMPRENSIVAS QUE PERMITEN

RELACIONAR LOS CITADOS ESTANDARES

ESTÁNDARES Y COHERENCIA VERTICAL

SITUACIONES SIGINIFICATIVAS Y COMPRENSIVAS QUE PERMITEN

RELACIONES DE LOS CITADOS ESTANDARES.

SITUACIONES SIGNIFICATIVAS Y COMPRENSIVAS QUE PERMITENRELACIONAR LOS CITADOS ESTANDARES.

CAPITULO IV

TRATAMIENTO METODOLOGICO DE ALGUNAS TEMATICAS

CLAVES

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN POSICIONAL Y LAS OPERACIONES

BASICAS

SUGERENCIAS

4748

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55

56

57

57

68

70

81

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LA CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL

GENERALIZACIÓN DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

ORIENTACIONES PARA LA SUMA

ORIENTACIONES PARA LA RESTA

ORIENTACIONES PARA LA MULTIPLICACIÒN

ORIENTACIONES PARA LA DIVISIÓN

CONSTRUCCIÓN DE OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

CONVERSIÓN DE CANTIDADES DE OTROS ORDENES EN

UNIDADES

EQUIVALENCIA ENTRE DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN

OPERACIONES EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACION

LA SUMA EN DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACION

POSICIONAL

RESTA EN DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACION POSICIONALLA MULTIPLICACIÓN EN DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACION

POSICIONAL

PRODUCTOS FORMALES EN DIVERSOS SISTEMAS DE

NUMERACIÓN

LA DIVISIÓN EN DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACION

POSICIONAL

OTRAS UTILIDADES ACADÉMICAS DEL ÁBACO

CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE TIEMPO A TRAVÉS DEL ÁBACO

ORIENTACIONES PARA AYUDAR A LOS NIÑOS A DESARROLLAR

9093

97

101103

107109

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163

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LAS COMPETENCIAS RELATIVAS A LOS FRACCIONARIOS.

LA FRACCIÓN COMO PARTE DE LA UNIDAD O DE UN TODO.

LA FRACCIÓN COMO RAZÓN.

RELACIONANDO FRACCIONES, DECIMALES Y PORCENTAJES

HACIA LA OPERATIVIDAD CON FRACCIONES

EN LA SUMA

EN LA RESTA

EN LA MULTIPLICACIÓN

EXPERIENCIA CONCRETA QUE RELACIONA LA POTENCIACIÓN LA

RADICACIÓN Y LA LOGARITMACIÓN

GENERALIZACIÓN

LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

El Método de Cuatro Pasos de Polya.

BIBLIOGRAFIA

174

176

183

186192

193

198

202

204

209


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INTRODUCCIÓN

Los resultados de las pruebas ICFES y saber muestran bajos niveles de

competencias de los estudiantes en el área de las matemáticas.

Algunos sectores sociales y estamentos educativos consideran que en gran

parte esto se debe a que de un lado; se está evaluando por igual a estudiantes

conformaciones diversas y de otro lado los procesos de formación en

educación matemática en las clase menos favorecidas en Colombia no son las

mejores.

En la actualidad una de las estrategias utilizadas por el MEN para mejorar

calidad de la educación en las diferentes áreas del saber y el desarrollo

humano es el trabajo a través de estándares básicos de competencias, como

soporte metodológico y didáctico fundamental para la búsqueda de tales

propósitos.

Estas competencias han sido vistas, como lo que se espera que todos los

estudiantes aprendan en su paso por educación básica y media. No en el


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sentido tradicional que privilegiaba la transmisión y memorización de

contenidos, si no bajo la concepción de que los estudiantes “utilicen lossaberes, habilidades y actitudes en situaciones diversas para solucionar

creativamente diferentes tipos de problemas y comprendan mejor su entorno”.

El trabajo con los estándares requiere suficiente preparación por parte de los

docentes; de allí que en este trabajo se explicita importante fundamentación

conceptual, metodológica y didáctica para guiar con bastante éxito el proceso

de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Aquí se describen con lujo de detalles como abordar la propuesta que

encarnan los estándares, de matemáticas, consistente en enseñar los 5

pensamientos matemáticos básicos de manera integrada, relacionándolos a

través del establecimiento de coherencia vertical y horizontal, para luego

matematizar la cotidianidad mediante situaciones problemas significativos y

comprensivos.

En este modulo de didáctica de las matemáticas uno, que es un documento de

trabajo; a demás de las características antes descritas se plantean variadas

alternativas teórico practicas para mejorar la comunicación de los saberes

matemáticos en los niveles de educación básica y media; dirigido

principalmente a estudiantes de la licenciatura de matemáticas y física, a los dela educación básica y a los docentes en ejercicios que de una u otra forma se

desempeñan en esta área.


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CAPITULO I

GENERALIDADES PEDAGÓGICAS

PANORAMA DE LA EDUCACIÓN EN COLOMBIA

Tradicionalmente se había entendido la enseñanza como el proceso mediante el

cual, quien sabía (el docente) transmitía información a quien no sabía (el

estudiante); en la actualidad hay consenso teórico al menos entre la gran mayoría

del personal docente, de que más allá de vaciar información como si se trata de

cambiar el contenido de un recipiente a otro, la enseñanza de la que se debe

ocupar la escuela a través de los docentes en la época actual, es un proceso

intencional y planeado mediante el cual quien enseña propicia las condiciones

para que quien aprenda desarrolle las potencialidades intelectuales y

competencias básicas para hacer uso de lo aprendido en cualquier contexto;

aunque en la práctica muy pocos docentes o tal vez ninguno actúa enconcordancia con este concepto ya que los procesos de enseñanza están

caracterizados por un alto nivel de reproduccionismo y compilación de

información, desarticuladas de la cotidianidad y con muy pocas posibilidades de


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que el estudiante pueda hacer uso creativo de esa información en contextos

diferentes al aprendido.

De allí que en la actualidad exista insatisfacción con la calidad de los aprendizajes

obtenidos por los estudiantes. Este hecho se verifica fácilmente exigiéndoles a

niños de primaria que: sumen, resten o multipliquen ciertas cantidades y se notará

que lo logran sin mayores tropiezos, pero cuando se les plantea un problema

donde ellos tengan que decidir las operaciones a realizar, generalmente tienen

muchas dificultades y en la mayoría de los casos resultan rajados como ha

sucedido en algunas investigaciones, pruebas saber e Icfes entre otras.

Para ningún docente es un secreto que cuando ocurre el encuentro docente –

discente cada parte realiza lo que cree es suficiente para el logro de sus objetivos

acorde con sus respectivos niveles de motivación, esto es, el docente hace lo

suyo y cree que lo demás es cosa del estudiante y este a su vez haciendo un gran

esfuerzo logra memorizar al menos parte de lo que le han presentado con el

objeto de responder cuando se le exija para poder ser promovido de un grado a

otro, hasta terminar el respectivo nivel de educación.

Así vistas las cosas es claro que le enseñanza y el aprendizaje en Colombia y

especialmente en la región chocoana siguen siendo necesidades intelectuales

básicas no satisfechas; si se entiende que la verdadera enseñanza es la que

asegura el aprendizaje y el aprendizaje ideal es el que sirve para la vida y se

adquiere en la vida misma.

Por esto y por muchos otros aspectos relacionados es que consideramos que

aunque indudablemente se ha avanzado mucho en la cualificación de los procesos

pedagógicos y didácticos aún se está lejos de ubicar estos procesos en un nivel

aceptable para la época, de allí que se esté proponiendo acciones


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Para que el docente interesado en mejorar sus prácticas cualifique sus saberes y

desempeños.

La problemática de los procesos de aprendizaje es similar en la gran mayoría

de las instituciones educativas del país y en especial en las de educación básica

y media; salvo las de vanguardia y sectores elitistas.

Pues el profesorado en la práctica comparte el dogma fundamental de la docencia.

“Para enseñar muy bien mí disciplina, es necesario y suficiente saberla muybien”1.

Solo un grupo minoritario de docentes estamos convencidos de que para enseñar

bien, es necesario el dominio de la disciplina pero no es suficiente. Y es mucho

menor el grupo que conociendo tal situación se esfuerza por mejorar la

comunicación de los saberes; mediante la pedagogía y la didáctica de su

disciplina.

Es claro que la diferencia más notoria entre una institución y otra en los procesos

de enseñanza y aprendizaje radica en el avance que se haya logrado en la

socio – cultura institucional de cada una.

El fracaso de los estudiantes en las instituciones, generalmente se debe a

diversas y complejas razones comunes que entre ellas se citan y que coinciden en

parte con los planteamientos del doctor Carlos Eduardo Vasco Uribe.

Hay estudiantes perezosos; desmotivados; incomprendidos; faltos de ayuda,

dirección, orientación, autoridad; bases conceptuales, métodos de estudio y de

aprendizaje entre otros.

A los docentes nos falta dominio disciplinar, pedagógico, y didáctico;

motivación, estímulos; conocimiento histórico y epistemológico de la disciplina.

1 Vasco, U. Carlos E. Pedagogía para la comprensión uni-pluri/versidad; vol.4, Nº 1, 2004


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Por lo que no existe colaboración eficaz para ayudar a enseñar a prender a los

estudiantes.

Las reglas institucionales y en general la socio – cultura institucional

desfavorece el avance de los estudiantes en su formación y las malas notas o

valoraciones insuficientes solo son señales que indican el estado del proceso.

Hoy no existe una propuesta convincente soportada en estudios serios sobre

cómo mejorar la situación académica actual en nuestra región.

Para Carlos Eduardo Vasco; avanzar en este proceso implica: ir más allá de

los buenos ejemplos; ya que son los malos ejemplos los que hunden.

Más allá de los discursos rimbombantes vacíos y floridos que usan los

directivos y que plantean los pedagogos en sus libros y conferencias, por

cuanto una vez el docente las detecta y observa la incongruencia entre la

teoría y la práctica, los subvalora restándoles importancia, vengan de donde

vengan.

Para él tampoco bastan los cursos de pedagogía y didáctica, y mucho

menos si estas son de carácter obligatorio por ser contraproducentes.

HACIA LA NECESIDAD DE CAMBIAR

Es claro que en la actualidad no existe satisfacción con los niveles de

competencias alcanzado por los estudiantes como resultado del proceso educativo


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docente; por lo que surge el interrogante ¿Qué hay que cambiar?, Bien se podría

responder con múltiples interrogantes nuevamente, ¿Cambiar el sistema de

gobierno?, ¿Cambiar la educación?,¿ Cambiar la escuela?,¿ Cambiar al docente?,

entre otros.

Si se analiza bien, cambiar uno de los anteriores aspectos implica

automáticamente cambiar otros, pero en esta obra estamos asumiendo tratar un

poco sobre la necesidad de cambiar la escuela, por cuanto este integra lo

general que es el sistema y la educación con lo especifico que es el desempeño

docente ; quien es en ultimas el motor del cambio educativo

CAMBIAR LA ESCUELA

La escuela en la que nos hemos educado no ha sido una institución de

convivencia armónica y placentera, se ha visto más bien, como un lugar de

enajenamiento y represión; en el que sin arte, ni gracia el encanto de la

niñez y la juventud, Sucumben bajo el peso de rigurosa disciplina, el

autoritarismo y extensos e incoherentes programas con los que se

pretende formar intelectuales enciclopédicos.

Pues, de los primeras 20 años de vida de una persona, el 75% de ese

tiempo transcurre en las instituciones escolar supuestamente aprendiendo de

quienes saben; donde la verticalidad del sistema hacen de este, un centro

de reclusión donde los estudiantes pagan penas de formación Para el

futuro, siendo el aula un tipo de celda de la que los niños sueñan con

evadirse.

La escuela debe convertirse en espacio de práctica de la democracia, de la

libertad, la recreación, de la apropiación del saber, de la defensa y

desarrollo armónico de la vida y el aula, a su vez debe ser un “taller del


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conocimiento” y de las expresiones de la cultura en relación armónica con

la realidad que la circunda.

Tradicionalmente se han utilizado técnicas y métodos, con los que se piensa

se está entregando conocimiento y se está adquiriendo el saber; sin

embargo en la mayoría de los casos al evaluar a los estudiantes, estos

parecen desconocer lo que ha ocurrido en la clase en relación con el

conocimiento.

Por todo lo anterior, renovar la práctica pedagógica resulta una necesidad y

representa un problema que resolver. Aunque estos procesos se han venido

mejorando, en la medida que se ha ido entendiendo que:

El maestro no tiene la verdad revelada, que tiene vacíos, errores,

deficiencias, necesidades y que está en proceso de formación

permanente.

El alumno no es una vasija para ser llenada, si no, que posee

conocimientos, criterios, puntos de vista, experiencia que aportan y quepor ello, debe devolvérsele el don de la palabra ; para que se

comunique.

Se debe cambiar de actitud frente al alumno en los procesos de

apropiación del conocimiento, poniéndose a su altura, sostener con el

una relación fraterna, eliminar el enfrenamiento que se deriva de la

concepción enseñanza - aprendizaje, comprometiéndose conjuntamente en

su formación cualitativa.

La actividad educativa es un proceso de creación y recreación de

conocimientos.


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Cuando los procesos de conocimiento, se dan en los contextos de las

necesidades e intereses del individuo y la comunidad; el aprendizaje se

construye más rápido y resulta más fácil.

A pesar de todos la intentos por mejorar la práctica pedagógica estamos

lejos de una escuela, donde los estudiantes no se quieran ir, porque

disfrutan desarrollando competencias ( saber, saber hacer, ser ) en la vida

para la vida ; aprendiendo a: pensar, actuar, analizar , aprender, investigar,

deducir, participar, soñar, jugar y enternecerse.

Hoy se propone renovar la práctica pedagógica mediante el proceso denominado

“TALLER” que dialécticamente consiste en partir de la práctica, teorizar y regresar

a la práctica con una visión enriquecida de la misma.

Implicando esto:

Partir del conocimiento que tiene el alumno, denominado saber social; después dehaberlo escuchado, se reflexiona sobre lo expuesto por él; luego se profundiza a

partir de su conocimiento, hacia una sistematización de los mismos; en un saber

que denominados: saber académico, motivándolo a que se comprometa a

ampliarlo y avanzar en el.

Como se ha dicho en muchas y diferentes formas, transformar la escuela en un

espacio maravilloso donde los individuos y la sociedad avancen hacia lo que

articula integralmente; a un filosofo, un científico y un artista, es una

necesidad real y sentida en la actualidad.

Para lo cual existen también múltiples propuestas, eso si que en teoría.


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A nuestra manera de ver y de pensar, uno de los mayores obstáculos y

reto a la vez, radica en que nadie se quiere comprometer a pagar el

precio del cambio.

“Hacer práctica, teorizar y volver a la práctica”

Ya que desde la teoría , se hacen planteamientos muy hermosos, pero los

expertos no están dispuestos a darse la pela; realizando un acompañamiento

durante un buen tiempo a los docentes, como se realiza en el mundo

médico, que durante un año los aspirantes a médicos, son acompañados

por especialistas del ramo, durante el internado; ni los docentes estamos

dispuestos a vivir la teoría producida por los expertos, re- teorizar y volver ala práctica .

Estamos inclinado a pensar, que tal vez la pedagogía “cuyo eje principal es

la formación humana” (Flores R, 2005) no ha respondido, mostrando en la

práctica, como se pueden desarrollar las citadas competencias; en un

ambiente de felicidad, gozo y disfrute.

Ya que hoy, donde se logran desarrollar estas competencias; es a costa de

sacrificio, responsabilidad, estrés, afanes, angustias, disciplina, esfuerzo y

compromiso con el deber ser, etc., situaciones todas estas, que sacan al individuo

de su estado natural, de tranquilidad y gozo.

Es claro también, que uno se mantiene allí, no por lo rico del proceso como se

espera en la teoría, sino tal vez por la motivación que genera la recompensa

que se obtendrá al final del proceso.

Pareciera que pensar en lo nuevo, hacer creatividad fuerte y cumplir con algunas

responsabilidades asumidas; estuvieran relacionadas con alguna clase de

ANGUSTIA y ese sería el precio que habría que pagar por los logros a obtener.

Es bueno asumir el reto, de incursionar mediante la investigación en procesos de

aprendizajes placenteros; que iniciándose en edades tempranas permanezcan

durante toda la vida.


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Hoy en la generación actual, es bien difícil la tarea, por cuanto los hábitos forman

el carácter y en ocasiones los buenos hábitos cuestan mucho más que los otros,

ya que vivimos en una sociedad que anhela el facilismo, que confunde la libertad

con el libertinaje, la autoridad con el autoritarismo y la exigencia con la imposición

entre otros, por lo que exigir el cumplimiento del deber ser; generan

enfrentamientos entre los estudiantes con sus padres y docentes, por lo que ello

implica salirse de la armonía y la paz que se trae de la niñez y que no todos

estamos dispuestos a abandonar.

Aunque la propuesta del doctor Carlos Eduardo Vasco hace mayor énfasis Al caso de la docencia universitaria, también aplica muy bien para todos los

niveles educativos, ya que el citado docente investigador es conocedor tanto de la

teoría como de la práctica en los diferentes niveles.

De su afirmación: “es necesario el cambio de las condiciones socio-culturales de

las instituciones”2.

Se debe generar una serie de cambios en la vida de las instituciones educativas

que contemplen entre otras las acciones siguientes:

Incentivar las labores docentes bien preparadas y exitosas.

Evitar en lo posible descargar de la labor docente a los que posean mejores

competencias pedagógicas.

Asignar tiempos razonables para preparación de clases, talleres y revisión de

trabajos de los alumnos.

2 Ibid, pag. 8


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Fomentar la formación continua y voluntaria de los docentes, desde cursos de

participación hasta doctorados tanto en las disciplinas como en la pedagogía,

didáctica y la historia de la epistemología de las disciplinas.

Extender y perfeccionar la evaluación, exaltación y critica pública y de los

estudiantes en torno a los docentes.

Reglamentar exigencias académicas y procesos de seguimiento tanto a

estudiantes como a docentes que garanticen la comprensión profunda de los

conceptos tratados por parte de los estudiantes.

Pero en claro que en las situaciones actuales del sistema educativo en Colombia;

obtener estas condiciones que realmente son necesarios aunque no suficientes.

Es una causa tal vez no perdida pero si lejana, parafraseando así el planteamiento

del autor.

Ya en cuanto al quehacer estrictamente del docente, en el sentido del cambio que

se debe generar; la propuesta plantea:

“cultivar una visión de la enseñanza de las disciplinas que tenga por meta la

comprensión profunda de las practicas, métodos, modelos, teorías y conceptos de

la disciplina por parte de los estudiantes” (Vasco U, 2004).

Desde una visión que pone “[la información precisa al servicio del entendimiento a

fondo de lo que se aprende” y “el deseo de comprender en profundidad como la


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principal motivación intrínseca para buscar evaluar, relacionar, y memorizar la

información]”3.

La pedagogía para la comprensión, acorde con los planteamientos del vasco

exige:

Desarrollar conceptos específicos de lo que significa comprensión.

Abordar la comprensión de lo educativo desde diferentes perspectivas o

dimensiones por ejemplo desde:

El aprendizaje de los conceptos dentro de una teoría en relación con otras

afines y contrastes.

La capacidad de expresar lo aprendido en diferentes formas, medios y

dispositivos y distintos públicos.

El saber hacer que se comunica mas por el trabajo conjunto con experto que

por clases y conferencias.

La relación que se establece entre lo que se aprende en cada disciplina con los

problemas de la vida practica; ya sean activos, políticos, técnicos económicos y

sociales.

Trascender las fronteras de las disciplinas para comprender los problemas

reales de la vida, abordándoles desde los diferentes ramas del saber.

3 Ibid, pag. 11


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19

Ayudar a profundizar a los estudiantes en la comprensión; conociendo con

relativa solvencia la historia de la disciplina y en particular la historia de los

temas que enseña en sus cursos, a demás de la epistemología social, los

signos lingüísticos y culturales.

Conocer los aspectos psicosocial de los jóvenes entre ellos la manera de

estudiar, aprender, sus conflictos, preocupaciones, sus modos de comunicarse;

sus intereses, necesidades, e inquietudes entre otros.

En síntesis la propuesta del autor plantea un cambio sociocultural de las

instituciones que contemple la conformación de una cultura de la comprensión

de los asuntos tratados en la escuela.

CONCEPCIONES CLAVEZ EN LA DOCENCIA

LA EDUCACIÓN

Para Rafael Flores Ochoa, “La educación se refiere a la interacción cultural, al

proceso social mediante el cual una sociedad asimila a sus nuevos miembros

incorporándolos a sus valores, reglas, pautas de comportamiento, saberes,

prácticas, ritos y costumbres que la caracterizan; además de actuar en ellos

sembrando inquietudes, generando espíritu crítico y creativo, que les permitarescatar de sí lo más valioso, sus talentos y capacidades innovadoras, su

potencial como persona, su comprensión y solidaridad. (R. Flórez).4

4 Flórez O. Rafael, Evaluación Pedagógica y Cognoción Mc Graw-Hill, Bogotá, 1999


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Para Lucio (1990) la educación es entendida como el proceso a través del cual

una sociedad, de manera intencional o difusa promueve el crecimiento de sus

individuos”5

De lo que se deduce que la función de la educación se centra en la socialización

y en el desarrollo de los talentos o potencialidades de los individuos. Implicando

esto que la escuela no debe limitarse a la adaptación social como ocurre con

frecuencia, sino ser promotora de desarrollo y avance en las personas.

LA FORMACIÓN

“La formación es el proceso de humanización, cualificación o avance que logran

las personas, sobre todo en sensibilidad, inteligencia, autonomía y solidaridad.

Para Humbold (2000) la formación se refiere a algo más interior que el

conocimiento producto de un aprendizaje, desde su óptica la formación es no solo

el resultado espiritual sino también el proceso interior en permanente desarrolloque abarca mucho más que el cultivo de las actitudes y talentos naturales del

individuo; Lo esencial de la formación, es convertir al ser humano en un ser

espiritual capaz de asumir sus propios deseos, necesidades e intereses privados a

través del trabajo y la reflexión hasta reconciliarse consigo mismo.

Así, la formación a diferencia del aprendizaje que surte efectos inmediatos es

un proceso a largo plazo, que toca lo más profundo e integro del ser; de allí que

algunos la definan como lo que queda cuando la información se olvida.Obsérvese que uno no puede ni enseñar ni aprender a ser creativo, responsable,

honrado, justo, solidario, inteligente, entre otros mediante un proceso de

5 Lucio A. Ricardo. La constitución del saber, aportes No. 41, 1990


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enseñanza puntual de momento sino , mediante un proceso integral a largo plazo;

en esto radica la diferencia entre formación y aprendizaje.

LA PEDAGOGÍA

Para (R. Flórez) “La pedagogía como disciplina en construcción está referida a

un conjunto de proposiciones que se configuran alrededor del concepto de

formación como principio de teorías, conceptos, métodos, modelos, estrategias y

cursos de acción pedagógica que pretenden entender y cualificar la enseñanza, el

aprendizaje, el currículo, las sesiones de clases y en las gestiones educativas”, en

síntesis dice también que la reflexión sobre los asuntos de la educación y lamanera de concebirla son los que constituyen la pedagogía (1990)”

La pedagogía es la encargada del estudio y el diseño de experiencias culturales

que conduzcan al progreso de la formación humana, de allí que ese sea su

principio, su fin y su eje fundamental. Como lo señala (Lyotare 19)

LA DIDÁCTICA


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Para R Flóres “la didáctica es un capítulo de la pedagogía el más instrumental y

operativo, pues se refiere a la metodología de enseñanza, al conjunto de métodos

y técnicas que permiten enseñar con eficiencia”

La didáctica no se entiende ni se aplica como un conjunto de técnicas

comunicativas aisladas de los principios y de la red conceptual que caracteriza a

cada teoría pedagógica, cada modelo pedagógico propone una didáctica diferente,

pero además de las directrices generales de la didáctica necesitan acoplarse y

asimilarse a las condiciones de cada ciencia específica.

Para Pedro Alejandro Suárez (2004)6 La didáctica responde al como de la

enseñanza, al quien del aprendizaje, al porque de la enseñanza y a los resultados

que van produciéndose en el proceso de aprender. La didáctica se constituye en

un puente entre la educabilidad y la enseñabilidad; dado que se apoya en la

primera para tener en cuenta las características del estudiante que va a aprender

y así disponer estrategias y medios acordes con su zona de desarrollo próximo; en

forma paralela recurre a la enseñabilidad para apoyarse en métodos y técnicas

propias del saber mismo para hacer las transposiciones didácticas necesarias; al

respecto Zambrano L (2001)7 plantea “el concepto de enseñabilidad hace

referencia a los que los didactas franceses denominan la didáctica de las

disciplinas”

En pleno acuerdo con las ponencias anteriores, en síntesis, entendemos la

didáctica como la estrategia operacional de la pedagogía que se despliega en la

ejecución de la enseñanza real y en este sentido su fin es el aprendizaje o en su

efecto la enseñanza que asegura el aprendizaje

6 Suárez Pedro Alejandro. Una Didáctica pertinente a estándares y competencias, CONACED, Bogotá, 2004

7 Zambrano Leal, Armando. Pedagogía, Educabilidad y Educabilidad de docentes. Antes gráficas del Valle,

Cali, 2001


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LA ENSEÑANZA

La enseñanza es una actividad educativa específica, intencional y planeada para

facilitar que determinados individuos se apropien y elaboren con creatividad cierta

porción del saber o alternativa de solución a algún problema en aras a su

formación personal (Suárez Pedro 2004)8 y en este sentido la calidad de la

enseñanza exige dominio del tema y competencia para enseñarlo, sapiencia parta

propiciar que el aprendizaje en un área particular del saber repercuta en la

estructura global del sujeto y produzca mayor nivel de formación humana.

Para R. Flórez también la enseñanza es un proceso que no se opone ni excluye el

aprendizaje, sino que la verdadera enseñanza es la que asegura el aprendizaje,

pero no el aprendizaje fijo de datos y de informaciones puntuales, sino cambios de

conceptos para orientarse y hacer camino para diseñar procedimientos para

solucionar problemas, y para secuenciar los pasos claves para alcanzar nuevosconocimientos explícitos, complejos producto de la reflexión. En fin la enseñanza

que forma no es la que acumula conocimiento en la memoria del aprendiz; sino la

que proporciona nuevos esquemas de acción lógica, crítica o real, la que abre

nueva perspectiva sobre el mundo o facilita la construcción de nuevas estrategias

y habilidades de pensamiento en algún campo de la vida, de la ciencia, de la

cultura o del trabajo profesional.

ESTANDARES BASICOS DE COMPETENCIAS.

8 Suárez Pedro Alejandro, Una Didáctica pertinente a estándares y competencias, CONACED, Bogotá, 2004


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En sentido general, se entiende por estándares básicos de competencias

matemáticas a los “criterios claros y de dominio público que permite valorar si la

formación de un estudiante en un área determinada cumple con las expectativas

sociales y nacionales de calidad” (MEN; 2006).

A demás constituyen uno de los parámetros de lo que todo niño, niña y joven

debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado.

Estos estándares son básicos en el sentido de que se refieren a “lo central,

Necesario y fundamental en relación con la enseñanza y el aprendizaje del área yde competencias en cuanto se refieren: al saber hacer reflexible que puede

actualizarse en distintos contextos y a la capacidad de usar los conocimientos en

situaciones distintas a aquella en la que se aprendieron.

Los estándares de matemáticas en su estructura presentan: procesos generales;

conceptos y procedimientos y contexto.

Los estándares relacionan las matemáticas con el desarrollo del pensamiento

racional (razonamiento lógico, abstracción, rigor y precisión) de los estudiantes,

esencial para el aprendizaje en ciencia y tecnología, pero además, para contribuir

a la formación de ciudadanos responsables y diligentes frente a las situaciones y

decisiones de orden local y nacional, por tanto, al sostenimiento o consolidación

de estructuras sociales democráticas

LAS COMPETENCIAS

Son un conjunto de conocimientos, actitudes, disposiciones y habilidades

(cognitivas, socio-afectivas y comunicativas), relacionadas entre sí para facilitar el


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desempeño flexible, y con sentido de una actividad en contextos relativamente

nuevos y retadores. (Tomado de Vasco, pp. 4-5 Documento de trabajo)

Los estándares en matemáticas buscan que a partir de la interacción permanente

entre el maestro y sus alumnos y entre éstos y sus compañeros, sean capaces, a

través de la exploración, de la abstracción, de clasificaciones, mediciones y

estimaciones, de llegar a resultados que les permitan comunicarse, hacer

interpretaciones y representaciones; en fin, descubrir que las matemáticas están

íntimamente relacionadas con la realidad y con las situaciones que los rodean, nosolamente en su institución educativa, sino también en la vida y fuera de ella.

De la concepción del doctor vasco, se deduce que ser competente exíge tres

elementos básicos: El saber que está relacionado Con los contenidos, el saber

hacer que se relaciona con las habilidades y el ser relacionado con las actitudes.

De allí que cuando se redactan logros por competencias se deben tener en

cuenta esos tres elementos. Pues los contenidos y las habilidades en matemáticas

son fáciles de explicitar, pero las actitudes no siempre lo son; por lo que se

recomienda que deben ser extraídas de las competencias ciudadanas para ser

trabajadas desde todas las áreas y que vienen dados en los lineamientos del

ministerio; Por lo que a continuación se tratan de manera breve.

COMPETENCIAS CIUDADANAS


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26

Las competencias ciudadanas son el conjunto de conocimientos y de habilidades

cognitivas, emocionales y comunicativas que, articulados entre sí, hacen posible

que el ciudadano actúe de manera constructiva en la cotidianidad. Retomando el

concepto de competencia como saber hacer, se trata de ofrecer a los niños y

niñas las herramientas necesarias para relacionarse con otros de una manera

cada vez más comprensiva y justa y para que sean capaces de resolver

problemas cotidianos. Las competencias ciudadanas permiten que cada persona

contribuya a la convivencia pacífica, participe responsable y constructivamente en

los procesos democráticos y respete y valore diferencias, tanto en su entorno

cercano, como en su comunidad, en su país o en otros países.

LOS LOGROS

Un logro es aquello que se desea potenciar y que se espera obtener mediante el

desarrollo de los procesos de formación del educando*. En este sentido un logro

es algo previsto, esperado, buscado, hacia lo cual se orienta la acción pedagógica,

también hace referencia al nivel en el cual los estudiantes alcanzan un

determinado estándar.

Se puede hablar de logros en dos momentos: Antes del proceso y después del

proceso, en el primer caso se habla de logros esperados y en el segundo de

logros alcanzados que no necesariamente están explícitos o previstos en laplaneación del proceso, como también se pueden detectar logros no alcanzados

previstos o no en el proceso.


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Hoy que se trabaja en busca del desarrollo de competencias, necesariamente los

logros deben contar con los tres elementos básicos del ser competente: el saber

(los contenidos), el saber hacer (las habilidades), el ser (las actitudes)

De allí que para la redacción de los logros basados en las competencias se

deben describir nítidamente; los saberes, las habilidades, y los valores.

Para la redacción de dichos logros existen tres propuestas más comúnmente

aceptadas en cuanto al manejo del verbo que son: expresar el verbo en futuro

“reconocerá”, expresarlo en infinitivo “reconocer” o anteponiéndole la palabra “que”

a la que indica la acción o proceso a desarrollar ejemplo: “que reconozca”

LOS INDICADORES DE LOGROS

Los indicadores “son comportamientos manifiestos, evidencias pistas o

conjugación de rasgos observables del desempeño humano que gracias a una

argumentación teórica bien fundamentada, permiten afirmar que aquello previsto

se ha alcanzado” Resolución 2343 (MEN 1998)

Los indicadores son los que permiten operacionalizar los logros, comparar estados

de un proceso, emitir juicios acerca de la pertinencia, la equidad y calidad de la

oferta educativa que hace una institución, una región o el país son también

referentes para la evaluación, ya que son señales del nivel al que se ha llegado

dentro del proceso deseable, dicha información debe ser usada para

retroalimentar los procesos y reorientar el trabajo pedagógico.


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“Así como se espera que un médico interprete los signos vitales y los síntomas de

una enfermedad para determinar el estado de una persona, se espera que el

educador en el contacto con los estudiantes detecte las señales de lo que está

sucediendo con sus procesos de aprendizaje y de formación integral”, de allí que

es importante establecer cortes especiales para indagar cómo va el proceso para

tomar decisiones adecuadas y oportunas

ENFOQUES PEDAGÓGICOS

La historia de la humanidad registra muchos cambios en torno a la manera deconcebir lo educativo, los modelos, corrientes o enfoques pedagógicos son los que

mejor describen esa realidad histórica.

Existen diversos formas de abordar el estudio de estos enfoques, de allí que

muchos autores realizan una clasificación inmensa. Pero los hermanos Miguel y

Julian de Zubiría, solo establecen tres grandes modelos según si la pedagogía

base es la tradicional o conductista, la pedagogía activa o la pedagogía cognitiva.

ENFOQUES INSTRUCCIONALES

Los hermanos de Zubiría llaman enfoques tradicionales a aquellas tendencias

pedagógicas que se fundamentan en la pedagogía tradicional. Cuya función es la


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transmisión de información de quien sabe (el docente), a quien no sabe (el

estudiante).

Para Miguel y Julian de Zubiria las características más relevantes de los enfoques

institucionales son los siguientes:

La función de la escuela es la de transmitir los saberes específicos y las

valoraciones aceptadas socialmente. inversos paradigmas pedagógicos el

conocimiento puede ser transmitido, construido o reconstruido en la escuela, la

corriente instruccional escoge entre estas opciones la primera ya que presupone

que los saberes son elaborados por fuera de la institución educativa y que llegan aella mediante la lección que dicta el docente, el estudiante es identificado como un

receptor que gracias a la imaginación y reiteración logrará reproducir los saberes

que le fueron transmitidos.

Podría pensarse que la pedagogía tradicional fue la práctica docente del pasado,

pero realmente esto es en teoría porque aunque ya nadie se cree tradicionalista

pedagógicamente hablando, la práctica muestra que las acciones pedagógicas de

la gran mayoría de los docentes incluyéndonos contienen altas dosis de

pedagogía tradicional.

Los contenidos curriculares están constituidos por las normas y las informaciones

socialmente aceptadas.

Acorde con este postulado, siendo la finalidad de la educación instruccional dotar

a sus estudiantes de los saberes enciclopédicos acumulados por los siglos, los

hechos, nombres, definiciones y operaciones específicas constituyen el arsenal de

los conocimientos que serían aprendidos.


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El aprendizaje tiene carácter acumulativo, sucesivo y continuo, por ello el

conocimiento debe secuenciarse instruccional o cronológicamente.

La pedagogía tradicional no atiende a la psicología genética para ello no importa si

se enseña a un niño, a un preadolescente, a un adolescente o a un adulto.

Los alumnos aprenden igual, el maestro debe enseñar igual y solo se debe enseñar

un contenido cuando la información previa ya haya sido aprendida e impartirlo

teniendo en cuenta el orden de aparición de los fenómenos en la realidad.

La exposición oral y visual del maestro, hecha de manera reiterada y severa, garantiza

el aprendizaje.

En este sentido el aprendizaje será efectivo en la medida en que repose en la

atención y en la reiteración pero para lograrlo el maestro debería repetir, corregir y

hacer corregir en tanto que el alumno deberá limitarse a imitar, atender y corregir.

La disciplina creará el ambiente para el aprendizaje, garantizarlo es asunto de

castigos severos a los infractores, los pellizcos, humillaciones y reglazos siguen

siendo armas esgrimidas por algunos docentes para imponer su autoridad y crear

las condiciones de aprendizaje

Las ayudas educativas deben ser lo más parecidas a lo real para facilitar la percepción

de manera que su presentación reiterada conduzca a la formación de imágenes

mentales que garanticen el aprendizaje

La finalidad de la evaluación será la de determinar hasta qué punto han quedado

impreso los conocimientos transmitidos.


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“Es decir, determinar la presencia de los contenidos transmitidos”

De allí que se piense actualmente que este proceder pedagógico apagó las

preguntas y motivaciones propias de la niñez generando el desinterés y la

incomprensión de la ciencia común entre los jóvenes y adultos de esta época.

ENFOQUES ACTIVOS

Los enfoques pedagógicos activos, surgen cuando se empezó a considerar el niño

como el sujeto y no como el objeto de la práctica educativa que había reinado en

los enfoques conductistas donde la autoridad y el maltrato eran elementos básicos

del proceso.

La teoría de Gestalt brindó un marco psicológico que condujo a resaltar la niñez

como un periodo evolutivo, diferenciando el pensamiento adulto del niño.

Al ser el niño el centro y el responsable en gran parte de su aprendizaje, de la

teoría de Darwin se trajo a la educación “la acción como fuente de aprendizaje” al

considerar que en los procesos de selección natural enunciados por Darwin lasespecies que sobrevivían, serían las que gracias a la acción se adaptan

generando mutaciones genéticas en sus descendientes, la pasividad de la especie

sería castigada con la desaparición y en el campo pedagógico la inactividad

conllevaría a la no aprensión del conocimiento.

La diferencia principal que se establece entre el tradicionalismo y los enfoques

activos consiste en que estos últimos identifican el aprendizaje con la acción, de

allí el planteamiento de Decroly “se aprende haciendo”. Las hermanos de Zubiría señalan como postulados los siguientes:

El fin de la escuela no puede estar limitado al aprendizaje; La escuela debe preparar

para la vida.


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Así la escuela debe permitirle al niño pensar y actuar a su manera, garantizando la

experiencia con libertad y autonomía que se requiere en la vida, dejando de ser

así la escuela, el medio artificial separado de la vida para convertir en un pequeño

mundo real y práctico que se pone a los niños en contacto con la naturaleza y la

realidad.

Si la escuela debe preparar para la vida, la naturaleza y la vida misma deben ser

estudiadas

Según Comenius lo que le hacía falta a la escuela era el conocimiento directo de

las cosas en vez de los libros muertos ¿por qué no abrir el libro vivo de la

naturaleza?

Los contenidos educativos deben organizarse partiendo de lo simple y concreto hacia

lo complejo y abstracto

Considerando la experiencia como la madre del saber, el activismo adapta una

secuenciación empirista, donde la manipulación y el contacto directo con los

objetos se presuponen garantizarán la formación de los conceptos.

Al considerar al niño como artesano de su propio conocimiento el activismo da

primacía al sujeto y a su experimentación.

Si el aprendizaje proviene de la experimentación y no de la recepción, el maestro,

el alumno y el saber deben cumplir funciones diferentes a las que el modelo

tradicional les asignaba.


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Los recursos didácticos serán entendidos como útiles de la infancia que al permitir

la manipulación y experimentación contribuirán a educar a los sentidos,

garantizando el aprendizaje y el desarrollo de las capacidades del individuo.

ENFOQUES CONTEMPORANEOS

Los llamados enfoques contemporáneos son todos aquellos enfoques basados en

la psicología y en la genética que han dado lugar a las actuales tendencias en

educación fundamentadas en la pedagogía cognitiva y conceptual.

PROPUESTA PEDAGÓGICA CONSTRUCTIVISTA

Desde los planteamientos de PIAGET se establece que la meta educativa es que

cada individuo acceda progresiva y secuencialmente a la etapa superior de su

desarrollo intelectual. De acuerdo con las necesidades y condiciones particulares,

el maestro debe crear un ambiente estimulante de experiencias que faciliten en el

niño su acceso a las estructuras cognitivas de la etapa inmediatamente superior.

Para Piaget el aprendizaje sigue siempre al desarrollo y la escuela en

consecuencia debe adecuarse al nivel de desarrollo de sus estudiante.

La tesis fundamental de Piaget está centrada en la tendencia al mayor equilibrio

porque según él, el desarrollo conceptual se da mediante un paso progresivo de

estado de Asimilación – Acomodación.

El soviético Liev Vygotski desarrolló una teoría llamada la integración Vygostkimaconsistente en reconocer parte de sus explicaciones tanto al asocianismo como al

maduracionismo.


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La teoría asociacionista considera al individuo como una tábula raza sobre la cual

se realizan las impresiones provenientes del exterior, es este sentido el

aprendizaje es igual al desarrollo ya que el niño estaría más o menos desarrollado

según se hayan incorporado a el mas o menos impresiones del exterior.

Para la tesis maduracionista el desarrollo es independiente del aprendizaje y es el

propio individuo que gracias a su proceso de maduración obtiene el desarrollo.

Vygotski en su teoría reconoce del asociacionismo la existencia de las ideas en el

mundo exterior al tiempo que se distancia de su consideración de que estasexistan en los objetos y que por consiguiente puedan obtenerse inductivamente de

los mismos y al maduracionismo le reconoce el que el individuo sea quien realiza

el proceso de aprendizaje pero se distancia de este en cuanto estos

conocimientos ya han sido construidos previamente por la cultura y por

consiguiente provienen del mundo exterior.

Por tanto para Vygotski el niño no construye sino que reconstruye los

conocimientos ya elaborados por la ciencia y la cultura y en dicho proceso el

lenguaje hace las veces de mediador (Zubiría Miguel 1998).

Para Vygotski el aprendizaje y el desarrollo son interdependientes, exaltando así

el papel de generador de desarrollo que cumple el aprendizaje.

La tesis pedagógica fundamental de Vygotski dice “ en la medida que un niño

puede hacer hoy con la ayuda de los adultos lo que podría hacer mañana por sí

solo estaría ascendiendo a una zona de desarrollo próximo” y en este sentido la

escuela podría contribuir así a la promoción de las capacidades intelectuales de

los estudiantes.

El concepto de “zona de desarrollo próximo entendido como “aquellas acciones

que el individuo solo puede realizar individualmente con la colaboración de otras

personas por lo general adultas, pero que gracias a esta interacción aprende a


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desarrollar de manera autónoma y voluntaria” le permitió formular a Vygotski su

conocida tesis sobre el doble desarrollo “En el desarrollo psíquico del niño toda

función aparece en escena dos veces, en dos planos, primero en el social y luego

en el psícológico; primero entre las personas como una categoría interpsíquica y

luego dentro del niño como una categoría intrapsíquica”

Los discípulos de vigostki evolucionaron su propuesta histórico cultural, con

aportes de la teoría de piaget, hasta obtener lo que llamaron social

constructivismo en la que se propone el desarrollo máximo y multifacético de las

capacidades e intereses del alumno; tal desarrollo está influido por la sociedad,

por la colectividad donde el trabajo productivo y la educación están íntimamenteunidos para garantizar a los alumnos no solo el espíritu colectivo, sino el

conocimiento científico – técnico y el fundamento de la práctica para la formación

científica de las nuevas generaciones. El desarrollo intelectual para esta

perspectiva no se identifica con el aprendizaje como creen los tradicionalistas, ni

se produce independiente del aprendizaje como lo creen algunos constructivistas y

basa los éxitos de la enseñanza en la interacción y la comunicación de los

alumnos y en el debate y la crítica argumentativa del grupo para lograr resultados

cognitivos y éticos colectivos y solución de problemas reales comunitario mediante

la interacción teórico práctica.

Desde el constructivismo se hace especial énfasis en la construcción de

aprendizajes significativos que Según Ausbel (citado por los Zubiría) el

aprendizaje puede ser: Significativo, en la medida que los nuevos conocimientos

se vinculen de una manera clara y estable con los conocimientos previos de los

cuales disponía el individuo. En cambio el aprendizaje repetitivo será aquel en el

cual no se logra establecer esta relación con los conceptos previos o si se hace,

es de una forma mecánica y por lo tanto poco duradera porque lo aprendido se

relaciona de manera arbitraria con la estructura cognitiva.

Desde el punto de vista de método existen también dos grandes posibilidades, el

aprendizaje receptivo que se da cuando se presenta de manera totalmente


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acabada el contenido final que va a ser aprendido y el aprendizaje por

descubrimiento que se da cuando no se le entrega al alumno el contenido en su

versión final, sino que este tiene que ser descubierto integrado antes de ser

asimila


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CAPITULO II

ORIENTACIONES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

RETOS DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

La disciplina en formación hoy llamada educación matemática, afronta el reto de

comprometer a la comunidad de educadores matemáticos con el dominio eficiente

de los saberes pedagógicos y didácticos que permitan la educabilidad y la

enseñabilidad de las matemáticas.

A nuestro criterio esto exige del docente, a demás del manejo eficiente de los

conceptos de la disciplina, comprensión profunda de los aspectos que a

continuación se explicitan:

Desde la perspectiva de la comunicación de los saberes y acorde con la propuesta

del ciclo de calidad del MEN descrito en el documento de los estándares básicosde competencias; se debe reconocer que:

Existen dos tipos básicos de conocimientos matemáticos; El conceptual que

“es un conocimiento teórico, producido por la actividad cognitiva, que tienen un

carácter declarativo y se asocia con el saber qué y el saber por qué, es sobre todo

reflexivo” y el conocimiento procedimental “es vinculado a la acción y está

relacionada con las técnicas y las estrategias para representar conceptos y para

aplicar o transformar dichas representaciones, con las habilidades y destrezas para

elaborar, comparar y ejercitar algoritmos. Este conocimiento ayuda a la construcción

y refinamiento del conocimiento conceptual y permite el uso eficaz, flexible y


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En contexto de los conceptos, proposiciones, teorías y métodos matemáticos, portanto está relacionado con el saber cómo” (MEN, 2005).

Una situación problema, se atiende como “el conjunto de problemas, proyectos,

investigaciones, construcciones, instrucciones y relatos que se elaboran en contextos

cotidianos y que en su tratamiento generan el aprendizaje de las matemáticas por

parte de los estudiantes”(MEN,2006)

Las actividades se refieren “al trabajo intelectual, personal y grupal de los estudiantes

tales como definir estrategias para interpretar, analizar, modelar y reformular

situaciones, formular preguntas y problemas, conjeturas o elaborar hipótesis, explicar

y justificar, refutar conjeturas e hipótesis, utilizar materiales manipulativos, producir,

interpretar y transformar representaciones verbales, graficas, algebraicas, tabulares,

etc.) calcular con lápiz o papel, emplear calculadoras y hojas de cálculos o programa

de computadores, comparar y discutir resultados; redactar y presentar informes etc.

El aprendizaje, “es un proceso activo que emerge de las interacciones entre

estudiantes y contextos, estudiantes y estudiantes, estudiantes y profesores en

el tratamiento de las situaciones matemáticas a través de múltiples actividades.

Por ello se enfatiza en el diseño de situaciones matemáticas que posibilitan a

los estudiantes tomar decisiones, exponer sus opiniones y ser receptivos a los

demás, generar discusión y desarrollar la capacidad de justificar las

afirmaciones con argumentos.

Cinco procesos generales de la actividad matemática que a continuación

se relacionan:


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Formular y resolver problemas .que proporcionan el contexto inmediato

donde el quehacer matemático cobra sentido, en la medida en que las

situaciones que se aborden estén ligados a experiencias cotidianas y por ende

sean significativas para los alumnos”. Además el tratamiento de pr oblemas

permite y exige el desarrollo de actitudes y habilidades de alto nivel porque

implica: el diseño de estrategias, cálculos, interpretar, analizar, verificar

modificar y originar otros problemas, entre otros.

Modelar procesos y fenómenos de la realidad. “Que es un sistema

figurativo mental, que reproduce o representa la realidad en forma

esquemática para hacerla más comprensible, en una imagen análoga que

permite volver cercana y concreta una idea o un concepto para su apropiación

y manejo” (MEN; 2006).

La comunicación. “Las matemáticas pueden construirse, refinarse y

comunicarse a través de diferentes lenguajes, con los que se expresan y

representan; se leen y se escriben, se hablan y se escuchan los conceptos,sentidos y pensamientos matemáticos”. (MEN; 2006).

Razonamiento. El razonamiento lógico que se evidencia inicialmente cuando

se perciben regularidades y relaciones, predicciones y conjeturas,

justificaciones y refutaciones, proposiciones e interpretaciones apoyándose en

contextos materiales y físicos, que más tarde serán abandonados para

trabajar con proposiciones, teorías argumentos y modelos gráficos.

Formular, comparar y ejercitación de procedimientos y algoritmos


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Para el MEN este proceso exige comprometer a los estudiantes en la

construcción y ejecución segura y rápida de procedimientos mecánicos de rutina,

también llamada algoritmos sin que se consideren rígidos hasta el punto que

inmovilicen la reflexión.

Existen tres contextos en el aprendizaje de las matemáticas .Para el MEN, el

contexto “es el lugar no solo físico, sino ante todo socio cultural; desde donde se

construye sentido y significado para las actividades y los contenidos matemáticos y

por tanto desde donde se establecen vínculos con la vida cotidiana de los estudiantesy su familia, con las demás de las instituciones educativas y en particular con las

demás ciencias y con otros ámbitos de las matemáticas mismas”.

El contexto inmediato, que es el generado por las paredes, ventanas,

muebles y materiales del aula y por la situación problema preparada por el

docente o demás aspectos de la clase.

El contexto institucional, que es llamado también contexto escolar

“conformado por las distintas actividades diarias, la arquitectura escolar, lastradiciones y saberes de los estudiantes docentes así como los demás

procesos institucionales”

Contexto extra escolar , también llamado sociocultural que es el “conformado

por todo lo que pasa fuera de la institución, en el ambiente de la comunidad

local, de región, el país y el mundo”.

Existen cinco tipos de pensamientos matemáticos básicos, que

recomienda tratar de manera independiente.

El pensamiento numérico y sistemas numéricos. Este abarca “la

comprensión y el uso de los significados de los números y la numeración, la

comprensión del sentido y significado de las operaciones y de las relaciones


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entre los números y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación”

(MEN, 2005).

El pensamiento espacial y los sistemas geométricos. Entendido este como

“el conjunto de los procesos cognitivos mediante las cuales se construyen y se

manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio en todas

sus dimensiones, las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus diversas

traducciones o representaciones materiales”. (MEN, 2005).

Pensamiento aleatorio y los sistemas de datos. “Es el que ayuda a tomardecisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o ambigüedad

por falta de información confiable, en los que no es posible predecir lo que va a

pasar. Este pensamiento se apoya directamente en conceptos y procedimientos

de la teoría de probabilidades y de la estadística descriptiva y combinatoria”

(MEN, 2005).

Pensamiento variacional y los sistemas algebraicas y analíticos. Está

relacionado con “el reconocimiento, la percepción, la identificación y lacaracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con

su descripción, modelación y representación en diferentes sistemas o registros

simbólicos ya sean verbales, iconos, gráficos o algebraicos” (MEN, 2005).

Incluye también la comprensión y uso de las funciones, el aprendizaje del

cálculo diferencial e integral, variación, cambio y modelación de procesos de la

vida cotidiana.


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DIFICULTADES EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

El uso de la exposición como medio principal de la enseñanza y laequiparación de la inteligencia con la memoria; donde se ubica el profesorcomo eje principal del proceso educativo relegando al aluno a una posiciónpasiva.

Considerar las matemáticas como una asignatura impopular, muy exigente,importante pero difícil.

Mantener el divorcio entre las matemáticas y la realidad.

Desconexión entre la génesis y la comunicación de los saberes.

Falta de motivación y dificultad para explicar con claridad los conceptos.

La diferencia entre el ritmo de enseñanza del docente y el de aprendizaje delos estudiantes.

Enseñar sin atender las bases conceptuales y esquemas mentales de quien

aprende.

PRINCIPIOS DIDÁCTICOS


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Las orientaciones que se presentan a continuación no tienen el carácter de

reglas de aplicación absoluta sino que deben ser consideradas como guías que elprofesor deberá analizar y utilizar según su criterio.

Adquirir máximo dominio sobre las temáticas a desarrollar

Evitar al máximo la improvisación preparando los detalles básicos de la clase a

desarrollar

Quien enseña debe saber con claridad como aprendemos los seres humanos y

que la experiencia y la razón son básicos en ese proceso.

Los procesos cognitivos generalmente inician en la percepción, pero debe ser

seguidos de la experiencia para luego ser sometidos a juicio mediante la

socialización o proceso discursivo.

Reconocer que el interés de los estudiantes es el motor del aprendizaje por lo que

se hace necesario convertir las necesidades académicas de estos en sus intereses

para adelantar con éxito estos procesos.

Partir siempre de lo que los estudiantes ya conocen al respecto para enseñar de

acorde a eso

desarrollar actividades individuales y grupales que permitan conocer las

individualidades de los estudiantes y confrontar sus distintos puntos de vista en

busca de consensos

contextualizar los saberes de modo que los estudiantes le encuentren sentido a lo

que aprenden y además puedan aplicarlo en la solución de situaciones de susvidas

explorar distintas estrategias de enseñanza y conceder distintos tiempos para que

los estudiantes elabores sus construcciones


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impulsar distintos estilos de aprendizaje (reflexivo, activo, por descubrimiento,

etc.)

Asegurarse de que se diseñen talleres que privilegien aprendizaje autónomo

Diseñar y ejecutar proyectos de aula que den sentido a lo que los estudiantes

aprenden a través la contextualización y el aprendizaje por descubrimiento

Reconocer que la evaluación ante todo permite identificar las competencias

desarrolladas por los estudiantes a demás de las dificultades, con el objeto de

afianzarlos y superarlos respectivamente.

Crear situaciones que relacionen los saberes a enseñar y a aprender con el

mundo de la vida de quien aprende; de modo que el desenvolvimiento de dicha

situación, garantice la motivación y la comprensión del conocimiento subyacente.

“Iniciar explorando los sistemas concretos (bien conocidos) que ya utilizan los

niños para que a partir de allí construyan los sistemas conceptuales respectivos,

que luego serán expresados a través de sistemas simbólicos” (Vasco U. Carlos

E.).

Garantizar que los estudiantes vivan experiencias matemáticas concretas, de

modo que al identificar las regularidades pueden realizar generalizaciones yabstracciones.

Enfrentar a los niños a abundantes y diversas experiencias que exigen análisis,

interpretación, socialización y conclusión entre otros.

Acudir a la historia para hacer conocer el origen y circunstancia que generó la

necesidad de la construcción de dicho conocimiento.

Hacer del planteamiento y la resolución de problemas matemáticos un método y

un objeto.

“desarrollar de manera integrada los distintos pensamientos (numérico,

espacial, métrico, aleatorio y variacional) mediante el trabajo en el aula desde


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situaciones problemas incluyendo el desarrollo de múltiples actividades. (MEN,

2006).

No al método expositivo, recurriendo a la enseñanza viva; empleando situacionessencillas y familiares para luego marchar hacia la abstracción.

Promover el aprendizaje de las matemáticas como se aprende a hacer mesa,sillas, u objeto de madera .

Buscar situaciones motivadoras de la actividad creadora.

Hacer de la actividad matemática una acción forjadora de pensamiento y la

fundamentación científica vendrá después como añadidura.

La construcción rigurosa de las proposiciones matemáticas debe seguir aldescubrimiento intuitivo surgido de la observación y manipulación de loshechos concretos.

Concebir más la matemática como actividad que como acopio deconocimiento.

Dar más importancia a los procedimientos que contribuyen a desarrollarcapacidades en contra posición a los procedimientos de memorización yaplicación mecánica.

Privilegiar el método heurístico entendiéndolo como la búsqueda desituaciones de dinámicas motivadoras de la actividad creadora y descubridorade cuestiones matemáticas por los propios alumnos.

Los estudiantes deben aprender a materializar situaciones reales, matematizarsituaciones matemáticas debe ser al final pero no al comienzo.

El profesor debe verse como un vendedor; querer venderle matemáticas a los jóvenes .

Participación del alumno y el papel de guía del profesor.


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Ningún profesor enseña bien si sus alumnos no le aprenden.

Nadie aprende lo que no quiere aprender de verdad. “ no sé aprende más que

aquello que elabora uno mismo,” por ello, se necesita elaborar métodos

activos que agraden, en los que los alumnos participen del proceso.

No considerar la existencia de métodos de enseñanza infalibles.

La solución al problema metodológico es una combinación pertinente de los

distintos métodos con todas las adaptaciones que se consideren oportunasrealizar para la aplicación de la realidad viva en la clase.


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CAPITULO III

TENDENCIA DE LA CLASE EN LA ACTUALIDAD

Nunca ha existido, mi existirá una única propuesta para el desarrollo de las clases.

Lo cierto si es que fuese cual fue el enfoque o perspectiva en la que se base el

docente, la clase debe ser planeada; no hacerlo sería acto responsable.

En esta obra estamos presentando una alternativa que sin ser una formula

milagrosa, constituye una herramienta valiosa para avanzar en los procesos de

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

La propuesta está fundamentada en una visión constructivista del aprendizaje, los

lineamientos curriculares del área y las estrategias para el desarrollo de

competencias matemáticas planteadas en la plan de mejoramiento de la calidadde la educación formulado por MEN; en la cual el trabajo por estándares básicos

de competencias es una de sus fortalezas curriculares y pedagógicas.


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PLAN DE CLASE

Desde nuestra visión proponemos:

Preámbulo

Definir el estándar principal que se va a trabajar.

Establecerle la coherencia vertical y horizontal a ese estándar y ese

resultado que bien puede ser una matriz o un documento corto escrito de

manera regular debe anexarse al plan general de clase.

A partir del estándar principal se determina el tema principal sobre el cual va

a recaer la mayor atención de la clase.

De los estándares relacionados mediante la coherencia horizontal se

determinan los temas con los cuales se va a integrar el tema principal

mediante una situación problema; los que aquí llamamos “Temas de

coherencia”.

Definido el estándar principal, realizada la coherencia horizontal y vertical,

definidos los temas principales y los de la coherencia, se procede a adquirirla fundamentación conceptual suficiente para enseñar dichos temáticas. Es

de aclarar que esto implica adquirir dominio amplio de las temáticas objetos

de enseñanza.


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Cuando ya el docente maneja hábilmente las temáticas, debe realizar un

análisis que le permita determinar qué deben saber anticipadamente los

estudiantes para poder comprender las temáticas que van a hacer objetos

de enseñanza.

Definido claramente lo anterior procede a realizar la sistematización de su

plan de clase que dará como resultado un documento guía para la clase.

Se pude iniciar así:

FASE INICIAL

Encabezamiento

Institución educativa _____________________________________________ Asignatura _____________________

Grado _________________________ Curso _____________________Tiempo probable ________________Nombre del profesor ______________________________________________Nombre del alumno (si es practicante) ________________________________

Competencias

Estándar principal: __________________________________________

_________________________________________________________ _________________________________________________________


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Temas:

Principal: _________________________________________________________

De la coherencia:____________________________________________________ __________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Habilidades en los temas (lo que los estudiantes deben saber hacer con loqueaprendan)_______________________________________________________

_______________________________________________________________ ______________________________________________________________

Actitudes: Que tienen que ver con lo aportes del área y los valores queestán inmersos en las competencias ciudadanas que se refieren a la formade ser que se forjará en la persona en proceso de formación_________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

Logros:_________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Al redactar estos logros se sugiere escribir el verbo en futuro y en tercera persona

plural. Ejm: resolverán, reconocerán, identificarán, etc. El logro debe poseer los

tres elementos fundamentales de la competencia a saber: el saber que se

materializa en los contenidos, el hacer que se expresa en las habilidades que se

quiere que los estudiantes desarrollen el ser, que se evidencia en los valores

expresaos en las competencias ciudadanas, de allí que estas deben trabajarse al

interior de todas las áreas.


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Los indicadores de logros se redactan, para ser usados como una herramienta útil

de la evaluación, los cuales indicarán hasta donde se van con siguiendo los logros

que el docente se propuso.

Metodología

Aquí se describen los métodos, estrategias, actividades generales y recursos

didácticos a utilizar.

FASE DE DIAGNÓSTICO

En esta segunda fase de la planeación de la clase, se sugiere pensarla como si ya

estuviésemos en ella, se realizan aquí las actividades de evaluación que permitan

conocer los saberes y las habilidades que los estudiantes poseen respecto de lo

que se considera pre-requisito para comprender el nuevo tema a tratar, además

de revisar que saben estos sobre ese nuevo tema.

No se trata aquí de hacer múltiples preguntas de manera generalizada como se

acostumbraba, donde unos pocos responden y renglón seguido se continua con el

plan trazado sino más bien, diseñar y aplicar una evaluación diagnóstica que dé

cuenta de cuánto saben hacer con lo que saben, cómo lo saben y hasta donde lo

saben. Así pues entonces deben plantearse situaciones que les permita actuar

más allá de recitar definiciones o pareceres que en muchos casos no saben de

qué se trata lo que dicen.

Aplicada y analizada la evaluación diagnostica, de acuerdo si los resultados

evidencias deficiencias en los contenidos y habilidades que son prerrequisitos

para la comprensión del nuevo conocimiento, se procede a efectuar un proceso de


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nivelación, consistente en desarrollar actividades tendientes a superar las

deficiencias detectadas respeto a los pre requisitos.

Esta actividad nunca debe incluir lo correspondiente al nuevo tema. La información

que proporcione el diagnostico sobre el nuevo tema, solo servirá de soporte para

el proceso metodológico a desarrollar en la fase siguiente.

FASE DE DESARROLLO CONCEPTUAL

Esta fase de la planeación se organiza pensando en detalle cómo se va a

desarrollar la clase. Aquí es donde se organiza y se plasman una a una los pasos

a seguir, mediante la metodología que se considere conducirá a los estudiantes a

la construcción de los conceptos y el desarrollo de las habilidades propuestas.

Como es lógico el docente aquí debe obrar con la libertad que le permita asegurar

el aprendizaje por parte de los estudiantes y con el compromiso de guiarse por las

orientaciones pedagógicas y didácticas de esta disciplina.

En este sentido, en el documento No 3 de los estándares básicos de

competencias, en la página 16, se plantea que “el diseño curricular de cada

institución debe desarrollar de manera integrada los distintos pensamientos y no

de manera aislada. Esto se logra, si el trabajo en el aula se piensa desdesituaciones problemas, más que desde los contenidos. De esta forma es posible

aprovechar en cada situación las posibilidades de interrelacionar los estándares

correspondientes a los diferentes pensamientos”.


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De lo anterior se destaca como uno de los pilares metodológicos para el trabajo

con estándares de competencias básicas en matemáticas. Generar situaciones

problemas, significativos que garanticen el vinculo entre el conocimiento y

la cotidianidad (Contextualizar la temática) de modo que se despierte la

curiosidad y el interés del estudiante por conocer el concepto matemático a

tratar.

Este principio vale la pena articularlo con una recomendación hecha por el doctor

Carlos Eduardo Vasco a los docentes en el sentido; de que al enseñar

matemáticas, en cuanto sea posible se debe “partir de lo bien conocido para elestudiante, para que a partir de las regularidades que ellos detecten valla

construyendo el sistema conceptual respectivo para que después expresen

sus construcciones, ideas, conceptos, pareceres a través del sistema

simbólico”.

Estos planteamientos son coherentes con otro de Jean Piaget en el que sostiene

que según el origen del conocimiento, existen tres tipos: El conocimiento

físico, que son los que proceden de los sentidos, o la percepción. El

conocimiento lógico matemático, que es el que se establece mediante

relaciones y que es llamado conocimiento reflectivo; y por último el

conocimiento social, que es el convencional o determinado por convención

o acuerdo entre ciertos individuos.

La importancia de este concepto radica en que según él, se debe iniciar con el

conocimiento físico, a partir de ello trabajar el conocimiento conceptual y por

último el convencional.

Significa esto por ejemplo ,que si en el pre-escolar se van a enseñar los colores

utilizando unos bloques lógicos, se les debe entregar este material para que


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exploren mediante los sentidos (conocimiento físico).Cuando los niños son

capaces de establecer diferencias y semejanzas mediante la abstracción( allí se

está involucrando el conocimiento lógico) y solo cuando en virtud de las

diferencias y semejanzas se hace necesario clasificarlos, llamándolos de un

modo o de otro, se deben enseñar los nombres de los colores, formas o el

tamaño de acuerdo al caso; y es allí donde se involucra el conocimiento social

elaborado bajo acuerdo.

Sea cual sea, el enfoque asumido se recomienda de manera muy especial;

nunca iniciar el desarrollo de la clase con definiciones, esto se debeformalizar después de haber trabajado suficientemente los conceptos y

procedimientos y si es posible guiar a los niños para que los deduzcan.

Se recomienda también que durante el proceso se mantenga la evaluación,

mediante permanente control de aprendizaje al igual que la motivación.

FASE DE APLICACIÓN

En esta fase es donde los estudiantes ponen en práctica o afianzas lo aprendido

en la fase anterior. Para tal fin se plantean problemas y ejercicios que serán

resueltos por los estudiantes orientados por el docente.

En esta fase de aplicación se debe trabar iniciando por lo elemental, pero debeprofundizarse con situaciones contextuales y creativas.


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FASE FINAL

En la fase final el docente debe tener claro el nivel en que se hayan logrado las

competencias propuestas, es decir, saber dónde va el proceso para con base a

eso determinar compromisos de los estudiantes y definir las próximas acciones a

emprender en materia pedagógica y temática. Lógicamente esto se obtiene a

través de balances evaluativos y tareas de los estudiantes y del docente

COMO INTEGRAR LOS DIFERENTES PENSAMIENTOS MATEMÁTICOSMEDIANTE LA COHERENCIA DE LOS ESTANDARES

ACTIVIDAD Nº 1

A continuación se muestra de manera práctica como se integran coherentementelos diferentes estándares de un determinado grupo de grados mediante lacoherencia horizontal.

Tomemos un estándar del área y del grupo de grado de 1º a 3º del

pensamiento numérico.

Estándar:

Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición,conteo, comparación, localización, entre otros).

COHERENCIAVERTICAL

De 4º a 5º:Identifico el uso de medidas relativas en diferentescontextos.

De 6º a 7º:Resuelvo y formulo problemas en diferentescontextos de medidas relativas y variación en lasmedidas.


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De 8º a 9º:Utilizo números reales en sus diferentes

representaciones y diversos contextos.

De 10º a 11º Analizo representaciones decimales de los númerosreales para diferenciar entre racionales eirracionales.

COHERENCIA HORIZONTAL

Pensamiento espacial:

Diferencio propiedades y atributos de objetos tridimensionales.

Dibujo y describo cuerpos y figuras tridimensionales en distintasposiciones.

Reconozco nociones de horizontalidad y verticalidad, paralelismo,perpendicularidad en distintos contextos.

Reconozco congruencia y semejanza entre figuras (ampliar y deducir).

Construyo y descompongo figuras a partir de condiciones dadas.

Pensamiento métrico:

Reconozco en los objetos propiedades que se pueden medir (longitud, área,volumen, capacidad, peso, masa).

Reconozco el uso de las magnitudes y sus unidades de medidas en

situaciones aditivas y multiplicativas.

Pensamiento aleatorio:

Clasifico y organizo datos de acuerdo a cualidades y atributos y lospresento en tablas.


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Represento datos relativos a mi entorno, usando objetos concretos,pictogramas o diagramas de barros.

Pensamiento variacional:

Construyo secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades delos números y de las figuras geométricas.

Reconozco y genero equivalencias entre expresiones numéricas y describocomo cambian los símbolos aunque el valor siga igual.

TEMA PRINCIPAL: Uso de los números del cero al nueve en distintos contextos.

TEMA DE LA COHERENCIA: Figuras y objetos tridimensionales, largo, ancho,

alto, posiciones de objetos, horizontalidad, verticalidad, paralelismo,

perpendicularidad, congruencia, semejanza, longitud, área, tabla de datos,

diagramas de barras, secuencias numéricas y geométricas, equivalencia entre

expresiones numéricas.

SITUACIONES SIGNIFICATIVAS Y COMPRENSIVAS QUE PERMITENRELACIONAR LOS CITADOS ESTANDARES

Cada tres niños adquieren una caja de cartón rectangular y un kid de bloques

lógicos que se muestra a continuación.


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La segunda acción consiste en familiarizarse con el material, además decuantificarlo, caracterizarlo y reconocer todos sus atributos.

Todo niño debe cuantificar el material

7 8 6 4

Reconocerán que la caja de cartón tiene largo – ancho – alto.

Alto

Ancho

Tiene 6 caras, 8 vértices o esquinas, 12 aristas.

Uso de números para contar

Largo


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Cualidades y atributos de cuerpos tridimensionales.

Usando una regla de miden las longitudes de todos los lados y se fija unaescala con un determinado número de centímetros por ejemplo:

Se bautizan las caras de la caja así:

Se acondiciona la caja para realizar operaciones de suma y resta. Dicha cajacon las condiciones que se ilustra a continuación se le llama cajatransformadora.

6

3

4

4 6

3 3

2

3

1

Uso del número como código


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Las actividades de suma y resta se realizan como se muestra a continuación:

2 se suman3

Entran Salen 5

Un niño introduce la primera cantidad otro pone, otra cantidad y el otro a los doscuentan el resultado.

Para el caso de la resta funciona como aparece a continuación:

Salen 2

Se pueden combinar suma y resta así:+7

-5

+

Se introducen 5-

uedan 3


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61

75 12

Después

Se dibujan figuras tridimensionales en diferentes posiciones y tamaños y sedescriben todas sus características y atributos:

se descomponen las figuras en sus diferentes caras.

se describen las relaciones de paralelismo, perpendicularidad, horizontalidad,

verticalidad, entre otras de una figura como la siguiente:

fg

a

d

h

bc


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se relacionan las aristas así:

allb, fllc, cllc, gllh, elld, illn,

a l f, b l

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Didáctica de Las Matemáticas y Evaluación i