Diario metacognitivo

RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL

DE LA CLASE #1: 2do”C”

PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012

Clase No. 1:

Tema discutido: Unidad I:

Análisis de funciones

Producto cartesiano

Definición: Representación gráfica

Relaciones:

Definición, dominio y recorrido de una relación.

Funciones:

Definición, notación

Dominio, recorrido o rango de una función

Variables: dependiente e independiente

Constante

Representación gráfica de una función

Criterio de recta vertical.

Objetivos de desempeño:

Definir y reconocer: producto cartesiano, relaciones y funciones

Definir y reconocer: dominio e imagen de una función

Definir y graficar funciones, identificación de las misma aplicando criterios.

Competencia general:

Definiciones, identificación y trazos de gráficas.

PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS

FECHA: Martes, 17 de abril-jueves, 19 de Abril del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

-4 -3 -2 -1 0 1 2

3 4

1

0

4

25

16

9

INTRODUCCIÓN

En el siguiente resumen se da a conocer información sobre la clase#1 de cálculo diferencial en

la cual se ha iniciado con una breve explicación sobre el capítulo respectivo.

En la primera clase se tomaron en cuenta varios factores acerca de las funciones como:

1. Dominio.

2. Co-dominio.

3. Imagen.

RESUMEN

Se comenzó con la presentación del profesor, con la forma de trabajar de él, nos mostró un

video titulado “Oración a mismo”, uno de cada miembros de estudiante dio su reflexión acerca

del video, se eligió el asiste, nos presentó el portafolio del docente del semestre anterior y el

portafolio del docente actual, también vimos el portafolio estudiantil.

En la primera clase del “Capitulo #1” se dio la explicación correspondiente sobre el tema

relacionado a “Funciones” correspondiente al capítulo antes mencionado, tomando como

principio de la clase el siguiente tema:

“Relaciones, Funciones - Variables, Producto Cartesiano”

Las relaciones de funciones se basa en una relación entre dos conjuntos en el cual el conjunto A

será el Dominio y el conjunto B el Co-dominio. La relación entre el dominio y el Co-dominio se

denomina imagen, recorrido o rango.

Datos interesantes discutidos:

Después comenzamos con la presentación del tema, nos explicó que:

La función relaciona los elementos de 2 conjuntos, que siempre será relación pero una

relación nunca será función.

La relación es comparar los elementos.

Dominio es el conjunto de elementos que tienen imágenes

Condominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable

La imagen (I) o rango (Ra), recorrido (R), es un conjunto de llegada que se conecta con

el dominio respectivo. Imagen (I) Recorrido (R) Rango (Ra)

A B

Dominio Condominio

A B

Imagen

Dominio Co-dominio

Una imagen es la agrupación entre el dominio y el Co-dominio que da como resultado un par.

La relación entre el dominio y el Co-dominio produce un conjunto de pares.

A B= {(2,14) ;(1,7)…}

En una función podemos encontrar dos tipos de variables: Dependientes e Independientes, y a

esto se agregan las constantes. Las variables independientes son aquellas que no dependen de

ningún otro valor, en cambio las dependientes dependen de la otra variable. Las constantes son

valores que no cambian durante la función por lo tanto no se alteran ni cambian sus valores.

Variable dependiente Y = X² + 2X – 1 constante

Variable independiente

Las funciones son representadas por el símbolo “f(x)”, en el que la f no es indispensable, ya que

puede ser reemplazado por cualquier otra letra (esto denota que se habla de una función

matemática).

Dependiendo de lo dicho anteriormente referente a las funciones podemos encontrar dos tipos

de funciones:

Funciones Explicitas.

Funciones Implícitas.

Las funciones Explicitas se refieren a una función definida en su totalidad.

Y = X² + 2X – 1

Las funciones Implícitas son contrarias a las explicitas, por lo consiguiente no se encuentran

definidas.

Y + 5 = 2X + 3 – X

2

5

7

-1

5

14

Variable dependiente, no depende de otra variable mediante el proceso matemático,

ejemplo: f(x)=x,y o f(x)es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que se

subministra a x.

Variables Independiente, depende de otra variable, ejemplo: x ya que la y es la que

depende de los valores de x.

Función implícita, no está definida con ninguna de las variables, ejemplo:

y2+x-1=x

2-6

Función explicita, está definida con las variables, ejemplo:

Y=x2-2x+1

Función creciente, al medida que aumenta el dominio aumento la imagen

Función decreciente, a medida que aumenta su dominio disminuye su imagen

Función constante, a medida que aumenta su dominio igual será su imagen

Par, de estar formado por un dominio y un condominio

Plano cartesiano, está formando por dos rectas, una horizontal y otra vertical que se

corta en un punto.

También nos vimos como poder reconocer una función mediante

el criterio de recta vertical, en un plano cartesiano, esto se realiza

pasando una recta perpendicular paralela a la ordenada (y) si

corta un punto es función, si corta 2 o más no es función.

Producto cartesiano._ El producto cartesiano nos permite

representar de manera gráfica cualquier función, siempre y

cuando sea de forma explícita y se realice la comprobación

correspondiente aplicando el “Criterio de la recta”.

Función No función

El criterio de la recta._ El criterio de la recta nos indica, al trazar una recta vertical se

forma una paralela a la ordenada porque corta un punto de la gráfica y su dominio A se conecta

una y solamente una vez con su imagen B.

Realizamos ejercicios donde podemos verificar si hay funciones en las relaciones

y=2x+1

Esta es una función por que la y tiene un resultado.

y2=4-x2

Si resolvemos este ejercicio nos quedaría así:

y2=2-x2

y= √

Esta no es una función porque y tiene como dos resultado con signo diferentes.

Otros detalles que analizamos fueron:

Resultado

f(x)

Ordenar

Galare, es la tabla de resumen de datos ejemplo:

x y

-4 25

-3 16

-2 9

-1 4

0 1

¿Qué cosas fueron difíciles?

La clase se me complico un poco por motivo de no estar acostumbrado a la metodología del

profesor pero si logre entender gracias a las explicaciones del docente.

¿Cuáles fueron fáciles?

Se me hizo fácil reconocer en el plano cartesiano cuales eran funciones gracias al método que el

profesor nos enseñó y como se forman las imágenes saber reconocer una imagen.

¿Qué aprendí hoy?

En esta clase aprendí a poder diferenciar en el plano cartesiano cuales de las figuras son

funciones y cuales no son.

RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL

DE LA CLASE #1: 2do”C”

PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012

Clase No. 2

Tema discutido: Unidad I:

Funciones:

Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función

Función en los Reales: función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Gráfica, criterio de recta horizontal

Tipos de Funciones:

Función Constante

Función de Potencia: función de Identidad, cuadrática, cúbica, hipérbola y

función raíz

Objetivos de desempeño:

Definir modelos matemáticos donde se involucra el concepto de función

Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.

Competencia general:

Definir de modelos matemáticos, trazar graficas de diferentes tipos de funciones.

Datos interesantes discutidos hoy:

Comenzamos con el video de reflexión con el nombre “Lluvia de Ideas”, este se tratada

de decir en pocas palabras como había uno amanecido con sus alegrías y sus

preocupaciones. Abrimos el programa de MATLAB, para verificar el manejo de dicho

programa, realizando algunos ejercicios como:

>>figure (4)

y=(x-1)/(x)

y= (x-1)/x

>>ezplot(4)



FECHA: Martes, 24 de abril-jueves, 26 de Abril del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

FUNCION INYECTIVA

FUNCION SOBREYECTIVA

Función: ( )

>>syms x

>> y=x^3

y =

x^3

>>ezplot(y);gridon

>>title('\it{Función cúbica f(x)=x^3}','FontSize',16)


Las cosas que fueron un poco difícil fue hallar imagen y dominio. Con las funciones dadas en la

clase


Se me hizo fácil reconocer las función inyectiva,. sobreyectiva y biyectiva.

fue trabajar en el software matemático Matlab en el cual empezamos a graficar

funciones


En esta clase aprendí a poder diferenciar los tipos de funciones y le crierio de las recta vertical

empleada en la funciones dadas

Hoy aprendí muchas cosas que me van a servir mucho en mi etapa de estudiante

PORQUE no solo aprendí a resolver ejercicios sino que también aclare mis dudas de

unos comandos que se me hacían difíciles al momento de graficar un función el

software matemático Matlab. Entre los temas que aprendí están:

1. Que la reflexión con la que empezamos la clase me lleno de gran emoción y me

pude dar cuenta uno debe tomar sus propias opiniones y no dejarse llevar por las

demás personas.

2. Hallar dominio e imagen.

3. A graficar funciones por medio del software matemático Matlab.

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE

CIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 3

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA

CONTENIDOS:

TIPOS DE FUNCIONES:

Función polinomio,

Función racional,

Funciones seccionadas,

Función algebraica.

Funciones trigonométricas.

Función exponencial

Función inversa,

Función logarítmica: definición y propiedades,

Funciones trigonométricas inversa,

Transformación de funciones: técnica de graficacion rápida de funciones,

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:

Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.

COMPETENCIA GENERAL:

Trazar graficas de diferentes tipos de funciones

Datos interesantes discutidos hoy:

En el día de hoy en los temas discutidos empezamos con el video de reflexión

sobre AQUÍ ESTOY YO el cual nos mostró que dios esta con todos para

ayudarnos en todo los problemas, el cual aprendemos hacer todas las clases de

funciones.


TIEMPO: 2 HORAS FECHA: Jueves, 3 de mayo del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

FUNCIÓN POLINOMIO

TIPOS DE FUNCIONES

Funciones Seccionadas


Las cosas que se me hicieron muy difícil fueron las funciones trigonometrías


En los temas que vimos el día de hoy fueron la trasformación de funciones con la técnica rapica

de graficacion


En la reflexión aprendí que dios nunca nos abandona ni en nuestros peores momento aunque

parezca algo imposible siempre le va estar p ara ayudarnos



CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA

CONTENIDOS:

COMBINACIÓN DE FUNCIONES:

Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de funciones,

Silva Laso, 994

Composición de funciones: definición de función compuesta, Silva Laso, 999

APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Concepto de límite: Propiedades de límites, Silva Laso, 1029, 1069, Smith, 68,

Larson, 46

Límites indeterminados, Silva Laso, 1090

LIMITES UNILATERALES

Límite lateral derecho, Silva Laso, 1041

Límite lateral izquierdo

Límite bilateral


Definir operaciones con funciones.

Definir y calcular límites.


Definición de operaciones y cálculo de límite de funciones aplicando criterios



FECHA: Martes, 8 de mayo-jueves, 10 de mayo del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

Algebra De Funciones

Concepto de limites


La clase se me complico un poco por motivo de no estar acostumbrado a la metodología del

profesor pero si logre entender gracias a las explicaciones del docente.


Se me hizo fácil aplicar las propiedades de límites y saber desarrollarla pero gracias al docente

las logre entender


En esta clase aprendí a poder aplicar límites de funciones y su manejo en todas la áreas



CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA

CONTENIDOS: CONTENIDOS:

LIMITE INFINITO:

Definición, teoremas,

LIMTE AL INFINITO:

Definición, teoremas.

Limite infinito y al infinito,

ASÍNTOTAS:

Asíntotas verticales, definición, gráficas,

Asíntotas horizontales, definición, gráficas.

Asíntotas oblicuas, definición, gráficas.

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

Definir y calcular límite infinito, al infinito e infinito y al infinito.

Definir y graficar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.


Definición y cálculo de límites aplicando criterios, aplicación en trazado de asíntotas.





La clase se me complico un las asíntotas y su aplicaciones en las diferentes recta .


Se me hizo fácil aplicar los límite infinitos ya que había visto un poco de esta clase

anteriormente


En esta clase aprendí a desarrollar otras funciones de las rectas y saberlas aplicar




CONTENIDOS:

LÍMITES TRIGONOMETRICOS:

Límite trigonométrico fundamental,

Teoremas.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO:

Definición,

Criterios de continuidad.

Discontinuidad removible y esencial.


Definir y calcular límites trigonométricos.

Definir y demostrar la continuidad o discontinuidad de una función.


Definición y cálculo de límites trigonométricos, demostración de continuidad y

discontinuidad de funciones aplicando criterios.




Límite trigonométrico fundamental

CONTINUIDAD

Criterios de continuidad

Para que una función sea continua en un punto debe cumplir los siguientes criterios:

El límite en ese punto debe existir

La función evaluada en ese punto debe existir

El resultado de los dos criterios anteriores deben ser iguales

Discontinuidad removible y esencial


La clase se me hizo difícil fue aprender los teoremas y los límites de las funciones

trigonométricas por la cual le pide al docente que me las explicar nuevamente


Se me hizo fácil reconocer loos criterios de continuidad en los ejercicios dados .


En esta clase aprendí a desarrollar teoremas de limites y sus funciones trigonométricas




CONTENIDOS:

CALCULO DIFERENCIAL.

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE:

Definiciones,

DERIVADA:

Definición de la derivada en un punto,

Interpretación geométrica de la derivada.

La derivada de una función

Gráfica de la derivada de una función,

Diferenciabilidad y continuidad.


Definir y demostrar la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva.

Definir la derivada de una función.


Aplicación de la definición de la pendiente de la recta tangente y derivada en diferentes

tipos de funciones

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE




EJEMPLO:

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy

próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a

cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la

figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento

de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca

a la línea azul por lo que: tg ah tiende a tg a, es decir,

a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

Esto se expresa matemáticamente así:

NOTA: Es importante que entiendas esto, pues es el núcleo por

el que después entenderás otros conceptos,

si no es así, dímelo

La derivada de una función

En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una

curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se obtuvo

como resultado dos límites:

Gráfica de la derivada

Aquí está la gráfica de una función continua

y diferenciable f (x).

CIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No9


CONTENIDOS:

CONTENIDOS:

CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO ALGEBRAICO.

Derivada de la función Constante,

Derivada de la función Idéntica.

Derivada de la función potencia.

Derivada de una constante por una función.

Derivada de la suma de funciones.

Derivada del producto de funciones.

Derivada del cociente de dos funciones.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.

Regla de la cadena,

Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.


Definir y calcular la derivada de algunas funciones de tipo algebraico.

Definir y calcular derivadas de funciones compuestas.

Definir y aplicar la regla de la cadena abierta.


Aplicación directa de modelos matemáticos de la variación de diferentes tipos de funciones.

Derivada de la función Constante



FECHA: Martes, 19 de junio-jueves, 21 de junio del 2012.

DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de una suma

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas

funciones.

Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Ejemplos

Derivada de un producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del

segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de un cociente La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el

denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el

cuadrado del denominador.

Apliquemos ln a: y = u/v lny = ln u - ln v; derivemos en forma implícita, recordando que tanto y, u como v son f(x): (1/y)*(dy/dx) = (1/u)*(du/dx) - (1/v)*(dv/dx); restamos a la derecha, sacando uv como factor común: (1/y)*(dy/dx) = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)] / uv; dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* y / uv; pero como y= u/v: dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* u / uv*v; dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* / v^2 Esto explica: y' = (u'v - v'u) / v^2

Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.


La clase se me hizo un poco difícil porque no podía entender las DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

COMPUESTA. Ya que son temas que no he visto


Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos matemático


En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funcione

trigonométricas .




CONTENIDOS:

DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIA PARA EXPONENTES RACIONALES.,

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

DERIVADA IMPLICITA:

Método de diferenciación implícita.

DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS:

Derivada de funciones exponenciales.

Derivada de funciones exponenciales de base e.

Derivada de funciones logarítmicas.

Derivada de función logaritmo natural.

Diferenciación logarítmica.


Definir y calcular derivadas de funciones con exponentes racionales.

Definir y calcular derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

Definir y calcular derivadas de función implícita.


Aplicación de modelos matemáticos directos para derivada en diferentes tipos de funciones



FECHA: Martes, 26 de junio-jueves, 28 de junio del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

Derivación de Funciones Exponenciales

Sabemos que e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).

La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda.

Como e > 1, la función f(x) = ex es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = ex. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,ex) es igual a la coordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex en el punto (0,1) la pendiente es 1.

El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano,

aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo

neperiano.

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano

al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es

2,7182807066232140698591273860753 El logaritmo natural se le suele denominar

como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de

que el logaritmo vale 1.

El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado

el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que

e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e

1=e.

Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número

real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta

definición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con esta

base concreta. Esta definición puede extenderse a los números complejos.

El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los

números reales positivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:


En esta clase no se me hizo difícil nada. PORQUE esta clase fue más de refuerzo de lo aprendido y sobretodo de

entrega de varias cosas solicitado por el docente. ¿Cuáles fueron fáciles?

Prácticamente en esta clase se me hizo fácil todo. PORQUE fue más de fortalecimiento de lo ya aprendido y como hemos

practicado bastante se me hizo fácil. ¿Qué aprendí hoy?

Aprendí todo lo que se me hizo complicado durante todo el parcial y gracias a la explicación y fortalecimiento del docente pude comprender.

Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lo

pude hacer de una forma muy rápida




http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_neperiano

http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_neperiano

CONTENIDOS:

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. Smith, 459, Larson, 432

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.

Notaciones comunes para derivadas de orden superior. Silva Laso, 1163, Smith, 149

APLICACIÓN DE LA DERIVADA. Silva Laso, 1173

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO.

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Silva Laso, 1178, Smith,, 216, Larson, 176

Máximos y mínimos absolutos de un a función.

Máximos y mínimos locales de una función.

Teorema del valor extremo.

Puntos críticos.


Definir y calcular derivadas de orden superior

Aplicar la derivada en ecuación de la recta tangente, valores máximos y mínimos.


Aplicación de la derivada.

Notaciones comunes para derivadas de orden superior.



FECHA: Martes, 3 de julio-jueves, 5 de julio del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas

parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y

superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de

orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas

de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).

1. Derivar dos veces respecto de x:

2. Derivar dos veces respecto de y:

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se

debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial

Orden de derecha a izquierda

indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial

(fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha

indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas

notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f.

Máximos y mínimos

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de

derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Qué cosas fueron difíciles?

Se me hizo difícil la derivación de orden superior. PORQUE era algo nuevo que aprendía en esta clase.

¿Cuáles fueron fáciles? Prácticamente en esta clase se me hizo fácil la derivación de la función

implícita, y el cálculo para sacar máximos y mínimos. PORQUE es el mismo procedimiento de una derivada normal pero solo

tenemos que tener en cuenta que la y prima no se deriva y al final se la deja en uno de sus miembros.

¿Qué aprendí hoy? Aprendí a derivar la función implícita, también las funciones de orden

superior y a calcular máximos y mínimos.

Porque en mi casa me puse a practicar




CONTENIDOS:

FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA. DERIVADA:

Función creciente y función decreciente: definición. Silva Laso, 1179, Smith, 225,

Larson, 176

Pruebas de las funciones monótonas.

Prueba de la primera derivada para extremos locales.

CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN:

Concavidades hacia arriba y concavidades hacia abajo: definición. Silva Laso, 1184,

Smith, 232

Prueba de concavidades.

Punto de inflexión: definición.

Prueba de la 2da. Derivada para extremos locales.

TRAZOS DE CURVAS:

Información requerida para el trazado de curvas: dominio, coordenadas al origen,

punto de corte con los ejes, simetría y asíntotas.

Información de la 1ra. y 2da. Derivada.


Aplicar la información de la 1ra. y 2da derivada en el trazo de graficas. COMPETENCIA GENERAL: Aplicación de la derivada.

PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS

FECHA: Martes, 10 de julio-jueves, 12 de julio del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

Función creciente y decreciente

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores

cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Es creciente cuando los valores de Y van incrementándose o manteniéndose conforme se

incrementa X.

Es creciente cuando los valores de Y van decreciendo o manteniéndose conforme se

incrementa X.

Si una función tiene el valor de Y constante, entonces es constante, pero también entra en la

definición tanto de creciente como de decreciente.

Si la función sólo crece o sólo decrece (no tiene ningún tramo en que esté estable, sin crecer ni

decrecer), entonces se dice que es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, según

el caso.

Definición:

Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ((x) también se incrementa, se

dice que la gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor x

aumenta disminuye ((x), decimos que la función decrece.

Simbólicamente podríamos definir:

( es creciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1 ( x 2 ((x1) ( ((x2)

( es decreciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1( x 2 ((x1) ( ((x2)

[pic]

Criterios para Crecimiento y Decrecimiento

Sea f una función de variable real continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en

el intervalo abierto (a, b).

i. Si [pic]para todo [pic]entonces f es creciente en [a, b].

ii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es decreciente en [a, b].

iii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es constante en [a, b].

Observación:

El crecimiento y el decrecimiento de una curva coincide con el signo de la primera

derivada. Así:

Donde [pic](derivada positiva), f(x) es creciente.

[pic](derivada negativa), f(x) es decreciente.

El teorema del subtema 5.1.2, permite clasificar los extremos relativos (máximos y

mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera

derivada.

Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en

los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos

de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio

en la concavidad de la curva.

Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones

de tipo intuitivo.

Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la

curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos

Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se

encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es

cóncava hacia abajo en el punto x1.

Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2, la

curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva

es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la

concavidad “cambia” se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva.

Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:

Definiciones:

Sea f una función derivable en un punto c.

i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un

intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x

≠ c se cumple que:

f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un

intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x

≠ c se cumple que:

'

Z x = f x − f c x−c − f c <

iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de

I. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo

abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los su

intervalos: (a, c) y (c, b).

Se usará el símbolo: ∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava

positiva. Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva es cóncava

hacia abajo o cóncava negativa.

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición

suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.


Se me hizo difícil cuando la función es cóncava y hacia qué dirección va. PORQUE era algo nuevo que aprendía en esta clase.

¿Cuáles fueron fáciles? Prácticamente en esta clase se me hizo fácil el cálculo para sacar máximos

y mínimos. PORQUE fue un refuerzo de la clase pasada.

¿Qué aprendí hoy? Aprendí a ver cuándo hay punto de inflexión, cuando es cóncava y a

calcular máximos y mínimos. Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lo

pude hacer de una forma muy rápida.




CONTENIDOS:

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.

Problema de máximos y mínimos.


Aplicar la información de la derivada en problemas de máximos y mínimos.


Definición de problemas de optimización.


FECHA: Martes, 17 de julio-jueves, 19 de julio del 2012. . DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

Problema de máximos y mínimos.

Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa

recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la

longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea

máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?.

Solución:

Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (fig.

4.25 (a)), donde 20ax≤≤.

Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la

fig. 4.25 (b).

Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,

Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo

entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho

intervalo.

Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:

Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda derivada. lo cual indica que x=a\2 corresponde a un mínimo relativo. (Interprete geométricamente el resultado).

máximo relativo.

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la cartulina

cuadrados de lado 6a y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene dado por:

El volumen V del cono es:

V = (⅓)πr²h

1.1) del triángulo rectángulo ABC en la figura se puede deducir que:

r² = R² - (R-h)² =>

r² = R² - (R² - 2Rh + h²) =>

r² = R² - R² + 2Rh - h² =>

r² = h(2R - h)

1.2) sustituimos la expresión anterior en la fórmula del volumen del cono:

V = (⅓)πr²h =>

V = (⅓)πhh(2R - h) =>

V = (⅓)πh²(2R - h) =>

V = (⅔)πRh² - (⅓)πh³

1.3) derivamos la expresión

anterior con respecto a h:

dv/dh = (4/3)πRh - πh²

1.4) como el volumen tiene que ser máximo, hacemos dV/dh = 0:

dv/dh = (4/3)πRh - πh² = 0 =>

h[(4/3)πR - πh] = 0 =>

(4/3)πR - πh = 0 =>

h = -(4/3)πR/-π =>

1.5) h = (4/3)R => para este valor de h, el volumen del cono es máximo. Sustituimos

este valor de h para obtener el volumen máximo V Max:

V Max = (⅔)πRh² - (⅓)πh³ =>

V Max = (⅔)πR((4/3)R)² - (⅓)π((4/3)R)³ =>

V Max = (⅔)(16/9)πR³ - (⅓)(64/27)πR³ =>

V Max = (32/27)πR³ - (64/81)πR³ =>

V Max = πR³(32/27 - 64/81) =>

V Max = πR³(96/81 - 64/81) =>

V Max = πR³(32/81) SOLUCION

Qué cosas fueron difíciles?

Se me hizo difícil cuando la función es cóncava y hacia qué dirección va. PORQUE era algo nuevo que aprendía en esta clase.

¿Cuáles fueron fáciles? Prácticamente en esta clase se me hizo fácil el cálculo para sacar máximos

y mínimos. PORQUE fue un refuerzo de la clase pasada.

¿Qué aprendí hoy? Aprendí a ver cuándo hay punto de inflexión, cuando es cóncava y a

calcular máximos y mínimos. Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lo





CONTENIDOS

INTRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTOS:

Cálculo integral: definición.

Diferenciales: definición.

Integral indefinida: definición

Modelos matemáticos de apoyo para integración inmediata.


Definir y calcular anti derivadas.


Definición y aplicación de modelos matemáticos de integración indefinida.


FECHA: Martes, 24 de julio-jueves, 26 de julio del 2012.

DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

Cálculo integral: definición.

Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del cálculo infinitesimal que denominan

como “Cálculo Diferencial”. Ahora nos centraremos en otra parte de este, que

denominan “Cálculo Integral”.

Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda una

familia de funciones cuya derivada puede ser f; estas funciones reciben el nombre de

antiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario al de

la derivación y este proceso se llama “integración”. En forma análoga podemos concluir

que el problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto móvil, podemos

hallar su trayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se sus puntos,

podemos calcular dicha curva. Esto es a groso modo la una pequeña definición de

integración, pero esta es indefinida, es decir, que mediante este proceso, podemos

encontrar toda la familia de funciones cuya derivada es nuestra función dada; ahora,

veremos de que se trata la integración definida y sus aplicaciones, que es el motivo real

de este trabajo

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL

Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos

estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de

funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor

aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la

variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la

mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia,

aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que

llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.

DEFINICION Y EJEMPLOS

Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta

tangente.

Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las

cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la variación de f

cuando x varía de xo a xo + h y a la variación de la recta tangente en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones

son muy parecidas, es decir, f RT

Integral indefinida: definición

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,

especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una

integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.El cálculo

integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el

proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la

matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes

de regiones y sólidos de revolución.

Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más

importante para nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas

matemáticos que no pueden resolverse en términos de funciones elementales (potencias,

raíces, funciones trigonométricas y sus inversas, logaritmos y exponenciales y

combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy complicado

trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y

usamos los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones

diferenciales son resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una

integral definida,

0.1

por ejemplo,

∫ e − x

0

dx , para la cual no hay solución en términos de funciones

elementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando

término a

término dicha serie.


En esta clase no se me hizo difícil nada. PORQUE pude comprender todo lo explicado por el docente facilitador.

¿Cuáles fueron fáciles? Prácticamente en esta clase se me hizo fácil todo.

PORQUE fue una clase muy interesante ya que aprendimos varios modelos de integrales.

¿Qué aprendí hoy? Aprendí a calcular lo que fue integrales y con sus diferentes modelos los

cuales se me hicieron fáciles. Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lo


http://es.wikipedia.org/wiki/Suma

http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas




CONTENIDOS:


Modelos matemáticos de apoyo para integración inmediata.


Definir y calcular antiderivadas.


Definición y aplicación de modelos matemáticos de integración indefinida.


FECHA: Martes, 31 de julio-jueves, 2 de agosto del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

Definir y calcular antiderivadas.

Definición :

Se llama antiderivada de una función f definida en un conjunto D de números reales a otra función

g derivable en D tal que se cumpla que:

Teorema :

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números

reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces

cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como ,

c constante real.

Técnica para resolver antiderivada basada en la regla de derivación de funciones compuestas.

Propiedades de las antiderivadas: se basa en las propiedades de las derivadas ya que cualquier

propiedad de las derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivadas.

Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D de números reales y sean :

antiderivadas

Si es un número real, entonces se cumple :

1)

2)

¿Qué cosas fueron difíciles? En esta clase no se me hizo difícil nada.

PORQUE pude comprender todo lo explicado por el docente facilitador. ¿Cuáles fueron fáciles?

Prácticamente en esta clase se me hizo fácil todo. PORQUE fue una clase muy interesante ya que aprendimos varios modelos

de integrales. ¿Qué aprendí hoy?

Aprendí a calcular lo que fue integrales y anti derivadas y con sus diferentes modelos los cuales se me hicieron fáciles. Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lo

pude hacer de una forma muy rápida

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS

CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS

DIARIO METACOGNITIVO

TEMA DISCUTIDO:

CONTENIDOS:


OBJETIVOS DE DESEMPEÑO: rivadas.



FECHA: Martes, 31 de julio-jueves, 2 de agosto del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar


En esta clase no se me hizo difícil nada. PORQUE pude comprender todo lo explicado por el docente facilitador.

¿Cuáles fueron fáciles? Prácticamente en esta clase se me hizo fácil todo.

PORQUE fue una clase muy interesante ya que aprendimos varios modelos de integrales.

¿Qué aprendí hoy? Aprendí a calcular lo que fue integrales y anti derivadas y con sus

diferentes modelos los cuales se me hicieron fáciles. Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lo


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