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8/16/2019 Dialnet-DisenoYParametrizacionDeInductoresConNucleoDeHierr-4727779

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Scientia et Technica Año XV, No 41, Mayo de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira.20

Figura 2. Núcleo de hierro

)1( P k S ×=

donde:k : coeficiente de la calidad de chapas, varía entre

(0,7-1), para el caso k = 0,8S : Sección del núcleo [cm2]

P : Potencia [W ]

Reemplazando los valores y despejando P .

W P 16,92=

2) Determinación del número de espiras

El flujo magnético en el núcleo varía senoidalmente, larelación del flujo y la tensión inducida se expresamediante la ecuación de la ley de Faraday [3,4].

[ ] )2(4,4

810Gauss

N S f

V B

×××

×=

donde: f : Frecuencia [ Hz ]V : Voltaje eficaz [V ]S : Sección del núcleo [cm2]

B: Inducción magnética [Gauss]108: Constante que ajusta las variables al sistema MKS

N : Número de espiras

Para determinar el número de espiras, se utiliza unainducción magnética B = µ H = 8000 Gauss, que esun valor típico para cálculo de pequeñostransformadores. Reemplazando para N , se tiene:

espiras N 7408104,4800068,760

120≈

−××××

=

3) Tipo de alambre para el bobinado

La sección del alambre depende directamente de la corriente que circula por él. Para este caso es de1 amperio máximo.

4) Densidad de corriente eléctrica

El valor de la densidad de corriente se obtiene, haciendo

El valor de la densidad de corriente se obtiene, haciendoel cociente entre la capacidad máxima de corriente delalambre y la sección del mismo.

)3( s I D =

Donde: D: Densidad de corriente eléctrica entre 2,5- 3 [ A/mm2]

para pequeños transformadores. I : Intensidad de corriente eléctrica que circula por un

conductor en amperios [ A] s: sección transversal del conductor en [mm2]

Reemplazando y despejando para s:

2

3072,0

25,2

][768,0

mm

mm

A

A

D

I

s ===

En la tabla 1 y buscando la sección en mm2, se tiene queel calibre del conductor es un número AWG 22.

Tabla 1. Características para el Cálculo de pequeñosTransformadores

5) Espiras por capa y número de capas

Con el diámetro del conductor (0,6438mm), se calculanlas espiras por capa y el número de capas, teniendo encuenta el espesor de los aislamientos, el ancho (70mm) yla altura de la ventana (7mm).

1086438,0

25,0270/ ≈

×−=

mm

mmmmcapa Esp


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/740/ ≈=

capaesp

totalesesp

capas Núm

Altura bobina=(0,6438mm+0,15mm)× 7capas+0,25mm=5,81 mm

Se usan papeles aislantes de 0,25mm para aislar la bobinadel núcleo y de 0,15mm entre capas.

3. MODELO MATEMÁTICO UTLIZADO POR ELMEDIDIOR DE PARÁMETROS RLC FLUKE YCOMPROBACIÓN DE RESULTADOS

El protocolo de pruebas, se obtuvo con el Medidor deParámetros RLC FLUKE una vez calibrada lainductancia. Para el ejemplo, se muestra en la figura 3un protocolo de pruebas real [5]. El método es elsiguiente:

Figura 3. Protocolo de pruebas real

Términos utilizados:

Q: Factor de calidadQ =tanφ =1/D

D: Factor de discipación D =tanδ =1/Q

Rp: Resistencia paralelo Rs: Resistencia serie Z : ImpedanciaCp o Lp: Capacitancia e inductancia en paralelo

Cs o Ls: Capacitancia e inductancia en serieφ : Ángulo de fase f : Frecuencia 1kHz

Los modelos serie y paralelo de la figura 4, sonequivalentes y los valores de las inductancias Lp y Ls son comparativamente iguales.

Figura 4. Modelo serie y modelo paralelo

El factor de calidad de un inductor (Q), es la relaciónentre la reactancia de un inductor y su resistencia enserie, se conoce como factor de calidad, y es una medidade la calidad del inductor, entre más grande más calidad.

El siguiente diagrama de fase y las fórmulas, muestran elfundamento matemático para el cálculo interno queutiliza el Medidor de Parámetros RLC referencia

PM6303 FLUKE [3]. Ver figura 5.

Figura 5. Diagrama fasorial

donde:V : Voltaje

I : Corrienteº01∠V

º902∠V Ø : Ángulo de fase entre I y V α: Ángulo de fase entre I y V

La relación en el diagrama de fase entre la corriente I yel voltaje V es la pérdida de la inductancia. En cada ciclode medición, se determinan las componentes Vp, Vq, Ip e

Iq. Ver figiura 5. La resistencia serie Rs y la reactancia

serie Xs son calculadas por las siguientes componentes.

)5(22

)4(22

Iq Ip

VpIqVqIp Xs

Iq Ip

VqIqVpIp Rs

+

+=

+

+=

En la figura 6, el diagrama fasorial equivalente es válido para el modelo serie.

Figura 6. Diagrama fasorial modelo serie

)6(/1tan Rs

Xs DQ === φ

)7(/1tan Xs

RsQ D === δ


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La magnitud de Q y el signo de Xs, determinan que parámetro es el que domina en la componente. Asi:

capacitivonegativo Xs

inductuvo positivo Xs

⇒

⇒

)(

)(

Las fórmulas para calcular varios parámetros son lassiguientes:

( )( )

( )

)13(0

)12(01

)11(21

)10(02/11

)9(02/11

1

)8(22

〉=

〈=

+=

〉+

=

〈+

=

+=

Xs si Xs

Ls

Xs si Xs

Cs

RsQ Rp

Xs si XsQ

Lp

Xs si

XsQ

Cp

Xs Rs Z

ω

ω

ω

ω

En resumen, para los dos modelos se tiene:

Figura 7. Diagrama fasorial modelo serie

( )

)17(2

21

)16(21

)15(

)14(

Rs D

D Rp

Ls D Lp

Ls

Rs D

Ls j Rs Z

+=

+=

=

+=

ω

Figura 8. Diagrama fasorial modelo paralelo

)18(11

Lp j

RpY

ω −=

( )

( )

)22(21

2

)21(21

1

)20(

)19(2/1

/1

Rp D

D Rs

Lp D

Ls

Rp

Lp

D

Lp Rp

Lp jRp Rp Z

+

=

+

=

=

+

+=

ω

ω

ω

3.1 COMPROBACIÓN DE RESULTADOS ENDATOS DE PLACA

El protocolo de pruebas real de la figura 3, muestra losresultados obtenidos a una frecuencia de 1kHz . Haciendocálculos con las ecuaciones anteriores se comprueba quelos valores son muy cercanos a los datos de placa.

Del diagrama fasorial de la figura 6, y tomado el ánguloφ y Rs de los datos de placa se obtienen:

mH KHz

K Xs Ls L

Q D

K Xs

Rs

Xs

DQ

K Cos

Z

7,2810,12

770,1

310607,941

tan

770,157,104,167

57,101

6,84tan

778,16,84

4,167

=×

Ω===

−×===

Ω=×Ω=

===°=

Ω=°

Ω=

π ω

δ

( )( )

( )( )

Ω=Ω×

−×

−×+

=

+=

=×−

×+=

+=

K

Rs

D

D Rp

mH mH

Ls D Lp

881,184,1672310607,94

2310607,941

2

21

21,2847,2812310607,941

21

4. MODELO EQUIVALENTE DE UN INDUCTOR

En el modelo equivalente del inductor ver figura 9, sedebe considerar la dependencia con la frecuencia delinductor.


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Cuando se acercan dos conductores y se separan por undieléctrico, al aplicarle una diferencia de potencial,formamos un condensador. Así entre las espiras de la bobina, se forman pequeñas capacidades. Este efecto seconoce como capacidad distribuida Cd .

Figura 9. Modelo equivalente de un inductor

La impedancia de una bobina varía también con lafrecuencia. En la figura 10, se muestra elcomportamiento de dicha variación.

Figura 10. Variación de la impedancia con respecto a lafrecuencia

Inicialmente, a frecuencias bajas, la bobina se comportacomo lo haría un inductor ideal, sin embargo se observa,

a medida que aumenta la frecuencia, como se va alejandode la característica ideal, aumentando rápidamente hastaque alcanza el máximo a la frecuencia de resonancia delinductor Fr . A dicha frecuencia se debe tener unareactancia infinita, pero debido a la resistencia en serie dela bobina Rs, se tiene una impedancia finita. A partir del pico de resonancia la impedancia del inductor empieza adisminuir, y se empieza a ver su efecto capacitivo a altasfrecuencias [6].

El factor de calidad Q, también varía con la frecuencia. A bajas frecuencias el factor de calidad de una bobina esmejor ya que solo se tiene la resistencia en continua del

hilo que es muy pequeña; pero a medida que seincrementa la frecuencia se degrada el factor de calidad,debido a la relación entre la reactancia del inductor y suresistencia en serie Xs/Rs y la capacidad del inductor.

5. OBTENCIÓN DE PARÁMETROSEXPERIMENTALES

Las prácticas consisten en hallar los parámetros internosde una bobina como son: la resistencia interna Rs y lainductancia Ls, conectada a un voltaje de 120 V y 60Hz [3,6,7].

A esta frecuencia de servicio, se hacen tres prácticas,aplicando el modelo matemático del Medidor deParámetros RLC FLUKE , aplicando circuitos eléctricos yaplicando la ley de Ohm. Las pruebas son las siguientes:

1) Aplicando el modelo matemático del Medidor deParámetros RLC FLUKE al siguiente circuitoeléctrico.

Figura 11. Esquema para el ejercicio 1

Ω=Ω×=×=

−×==

=°=

Ω=°×=

Ω===

42,6398,15121,4

31053,2371

21,464,76tan

8,15164,76

3,657178,0

117

RsQ Xs

Q D

Q

Cos Z Rs

I

LV Z

H

Xs

Ls L 69,1602

42,639=

××

Ω

=== π ω

2) Aplicando circuitos eléctricos utilizando un triángulode impedancias.

Figura 12. Esquema para el ejercicio 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Ω===

+=⇒+=

++=⇒++=

5,740158,0

117

22222

22222

A

V

I

T V

T Z

XLs Rs Z XLs Rs Z

XLs Rs RT Z XLs Rs RT Z

Ω=== 87,689158,0

109

A

V

I

LV Z


6/6


Ω=

×

−−=

−−=

Ω==

44,170

1,1482

287,68921,14825,740

2

222

:

1,148158,0

4,23

R

L Z RT Z Rs

luego

A

V

I

RV R

( ) ( )

( ) ( ) °=Ω+Ω

×××−

=+

−

=

°=Ω

×××−=

−=

=

−=−=

48,6444,1701,148

77,16021

tan

1

tan

67,7544,170

77,16021tan1tan

77,1

244,170287,689120

1221

H

Rs R

Ls

H

Rs

Ls

H

Rs L

Z Ls

π ω

θ

π ω φ

π ω

3) Aplicando la ley de Ohm.

Para este caso, asumiendo que Rs es pequeña sedesprecia. Rs=0 asumido.

H Ls

XLs Ls Z

A

V

I

LV Z

74,1

602

5,657

3,657

3,657178,0

117

=

××

Ω=

Ω===

Ω===

π

ω

6. TABLA DE RESULTADOS

El error se calcula con la siguiente ecuación:

)23(%100exp

×−

=teoricovalor

erimental valor teoricovalor e

Métodoutilizado

Resultadosteóricos

ResultadosExpe/les

f

Hz e

% 1- Datos de placa Ls=280,1m

H Rs=167,4Ω

Φ =84,6°

1000 0

00

2- ComprobaciónModelo matemático

Ls=280,1m

H

Rs=167,4Ω

Φ =84,6°

Ls=281,7mH

Rs=167,4Ω

Φ =84,6°

1000 0,57

0

0

3-Modelo matemá-tico aplicado alcircuito eléctrico

Ls=1,69 H

Rs=151,8Ω

Φ =76,64°

60 0

0

0

4- Aplicando cir-cuitos eléctricos

Ls=1,69 H

Rs=151,8Ω

Φ =76,64°

Ls=1,77H

Rs=170,44Ω

Φ =75,67°

60 4,7

12,2

1,3

3- Aplicando Leyde Ohm

Ls=1,69 H

Rs=151,8Ω

Φ =76,64°

Ls=1,74H

Rs= 0

Φ =90° ideal

60 2,9

Tabla 2. Tabla de resultados

Los resultados de la tabla 2, permite diseñar inductoresde núcleo de hierro con parámetros Rs y Ls constantes yque dependen de las condiciones de trabajo tanto decorriente como de frecuencia. La comprobación de los

resultados se muestra a través de los métodos utilizadosen cada ítem.

7. CONCLUSIONES

En este documento, se presenta un procedimientosimplificado de diseño de inductores con núcleo dehierro, donde se pueden obtener parámetros Rs y Ls constantes a pesar de la no linealidad del materialferromagnético y que dependen de las condiciones detrabajo tanto de corriente como de frecuencia.

Comparando los datos de placa de la figura 3, con elmétodo que utiliza el medidor de parámetros RLC

FLUKE se observa que los resultados obtenidoscoinciden. Hay que destacar que el medidor hace loscálculos a una frecuencia de 1 kHz .

Aplicando el mismo método a la frecuencia de 60Hz , losvalores de los parámetros variaron y se comprobó queutilizando circuitos eléctricos, estos parámetros erancoincidentes. Algunas variaciones de los resultados en loscircuitos reales L(inductivo) o RL(resistivo inductivo) sedeben a las pérdidas que de ellos se derivan como: calordisipado por resistencia, ángulo de fase y pérdidas en el

hierro y cobre.

8. BIBLIOGRAFÍA

[1] J. Corrales, "Teoría, Cálculo y Construcción deTransformadores," Barcelona: Editorial LABOR S.A.,587 p.[2] Giraldo M. Orlando: Conferencia sobretransformadores.[3]Harold W. Gingrich, " Máquinas Eléctricas,Transformadores y Controles" Prentice-hall,Internacional, 1980 capítulos 1 y 4[4] S. J. Chapman, " Máquinas Eléctricas," (2 ed.)México: Mc GRAW-Hill, 1997. Pp. 29-44, pp. 76-87 y pp 8-25.[5] users manual, " Automatic RLC Meter PM6303A,"Fluke Corporation, Box 9090, Everett, WA 98206, November 1995, Rev. 2, 02/99. Chapter 3.[6]R. M. Kerchner y G. F. Corcoran, "Circuitos decorriente alterna," (13 ed.) México: Compañía EditorialContinental, pp. 63-109 y pp.184-217.[7] W. H. Hayt, jr y J. E. Kemmerly, " Análisis deCircuitos en Ingeniería," (4 ed.) México: Mc GRAW-Hill, 1990.

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