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Diagrammi di Bode e polari• Problema della rappresentazione grafica di funzioni complesse di variabile reale
del tipo:
Tre possibili rappresentazioni!
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40
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80
Mag
nitu
de (d
B)
10-2 10-1 100 101 102 103 104 105-90
-45
0
45
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
|F()|
arg{F()}
Re{F()}
-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000 Nyquist Diagram
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Im{F()}
|F()|
arg{F()}
-80 -60 -40 -20 0 20 4045
50
55
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75
80 Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)arg{F()}
|F()|
()
|F()|
Diagrammi di Bode• La rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica viene effettuata con speciali
diagrammi, che costituiscono la base dei procedimenti grafici per la sintesi delle reti correttricinel dominio delle frequenze.
• Fra questi sono di largo impiego i diagrammi di Bode.
• Poiché la funzione di risposta armonica ha valori complessi, si hanno due diversi diagrammi:
• diagramma delle ampiezze o dei moduli, che riporta il logaritmo del modulo dellarisposta armonica;
• diagramma delle fasi o degli argomenti, che riporta l'argomento della risposta armonica.
• Entrambi I diagrammi sono in funzione del logaritmo della pulsazione .
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Diagrammi di Bode• Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo):
• Funzione di risposta armonica associata:
• 4 fattori elementari:• Guadagno statico
• Poli/zeri origine
BodeCA 2017‐2018 Prof. Laura Giarré
• Poli/zeri reali
• Poli/zeri complessi coniugati
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Diagrammi di Bode• Il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) potrà essere
eseguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo è possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare il valore dell’ampiezza in scala logaritmica.
• Dati quindi (a, b, c, … q) complessi e (k, …, q) interi si ha che
Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi
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Diagrammi di BodeI vantaggi che si hanno impiegando la scala logaritmica sono:
• Possibilità di rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi notevolmente estesi;
• Possibilità di sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere ildiagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva siottiene eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioèeseguendo il prodotto delle ampiezze (che, impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la somma delle fasi;
• Possibilità di costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonicadata in forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari, di un numerolimitato di tipi fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore.
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Diagrammi di Bode
Frequenze (rad/sec)
Fase (gradi)Am
piezza (db)
Ampiezza espressa in decibel:
Diagramma logaritmico
Diagramma semi‐logaritmico
Scala logaritmica(possibilità di rappresentare con il dovuto dettagliograndezze che variano in campi molto estesi)
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Diagrammi di Bode
BodeCA 2017‐2018 Prof. Laura Giarré
Termini elementari
Termini elementari
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Termini elementari
• I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri semplicemente cambiando segno (ribaltamento attorno all’asse delle ascisse)
• I contributi di poli/zeri multipli si ottengono semplicemente da quelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità
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guadagno statico
zero origine
zero reale
zeri c.c.
Ampiezza Fase
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Guadagno statico
BodeCA 2017‐2018 Prof. Laura Giarré
sesese
se
se
Ampiezza Fase
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Zero nell’origineAmpiezza Fase
Pendenza 20 db/decade
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Polo nell’origine• Polo nell’origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
Pendenza -20 db/decade
Ampiezza Fase
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Zero reale
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Ampiezza Fase
Pendenza 20 db/decade
se
se
(valore assoluto dello zero)
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Zero reale: fase
BodeCA 2017‐2018 Prof. Laura Giarré
Caso se
se
Punto di flesso
Pendenza al punto di flesso
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Zero reale: fase
BodeCA 2017‐2018 Prof. Laura Giarré
Caso NB: il diagramma delle fasi è speculare rispetto all’asse
se
se
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Polo reale• Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
Ampiezza Fase
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Il comportamentoper frequenzeprossime apuò discostarsimolto daldiagrammaasintoticodipendentementedal valore di
Zeri complessi coniugati: ampiezzaAmpiezza
Pendenza 40 db/decade
(pulsazione naturale della coppia di zeri cc)
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• Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione
• Il valore minimo è alla frequenza e vale
Zeri complessi coniugati: ampiezza
Al calare di la frequenza dipicco tende versoe il valore del picco tende a
Il diagramma non dipendedal segno di
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Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Zeri complessi coniugati: ampiezzaIl diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:
• Per la curva presenta un minimo;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto • Per la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto
tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica.
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Zeri complessi coniugati: fase
Tangente al punto di flesso
Casose
se
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Zeri complessi coniugati: faseCaso
se
se
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• Poli complessi coniugati: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
Poli complessi coniugati
Ampiezza Fase
Il valore massimo è alla
frequenza
e vale
Tracciamento dei diagrammiasintotici analogo al casoprecedente
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• Poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delle ampiezze e ribaltamento rispetto l’asse delle frequenze per il diagramma delle fasi
Poli complessi coniugati
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-20
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Mag
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de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Poli complessi coniugati: ampiezzaIl diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:
• Per la curva presenta un massimo;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto
• Per la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al disotto della sua approssimazione asintotica.
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Poli complessi coniugati: risonanzaIl valore di picco
alla frequenza viene detto picco di risonanza
Fisicamente rappresenta il fattore di amplificazione massima della coppia di poli a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza
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Zeri complessi coniugati: risonanzaIl valore di minimoalla frequenza viene detto picco di attenuazione
Fisicamente rappresenta il fattore di attenuazione massima della coppia di zeri a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza
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Frequenza (rad/sec)
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Frequenza (rad/sec)
Fase
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Frequenza (rad/sec)
Fase
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Am
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Frequenza (rad/sec)
Fase
Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
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Frequenza (rad/sec)
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Am
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Frequenza (rad/sec)
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Am
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za
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Frequenza (rad/sec)
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Am
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za
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-50
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Frequenza (rad/sec)
Fase
Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
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Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
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Frequenza (rad/sec)
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Frequenza (rad/sec)
Fase
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Frequenza (rad/sec)
Fase
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Frequenza (rad/sec)
Fase
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Ritardo temporaleModulo
Argomento
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