Texto 1: Vectores

A lo largo de su paso por los distintos niveles académicos, el estudiante ha

adquirido una noción de lo que es una magnitud física, es posible diferenciar

magnitudes que son vectoriales de magnitudes que son escalares. Muchas

magnitudes físicas no necesitan más que un escalar para ser definidas

completamente, este es el caso por ejemplo de la masa, que queda definida

simplemente mediante un número específico de kilogramos, otros ejemplos de

magnitudes que son escalares son el tiempo, la longitud, la temperatura, la

densidad o el volumen, entre otros. Existen en cambio otras magnitudes físicas,

como la velocidad, que no pueden ser definidas a cabalidad mediante el uso un

escalar, en estos casos se hace necesario incluir en su definición, además de

su valor modular o intensidad, esto es, su parte escalar, una dirección y un

sentido.

En su representación gráfica un vector es un segmento de recta que posee un

sentido, indicado por una cabeza de flecha en uno de sus extremos. La

dirección del vector está dada por el ángulo que forma este con una dirección

de referencia, en forma general, para el caso de un vector en dos dimensiones,

se toma esta como la horizontal, medido en sentido contrario a las manecillas

del reloj; y su magnitud es una proporción de la longitud del segmento de

recta.

La representación gráfica nos ayuda a tener una idea espacial de un vector, sin

embargo no es muy útil para muchas aplicaciones, debido principalmente a su

operabilidad; en estos casos es de gran utilidad una representación que

permita realizar operaciones entre vectores sin la necesidad de graficarlos.

Esta representación es la algebraica. No quiere esto decir que no se puedan

operar vectores gráficamente, en un momento veremos que es posible.

En escrito representamos un vector como una letra coronada por una flecha,

así: V ; siendo la letra sola, V, la magnitud del mismo, en ocasiones es

conveniente utilizar |V| para designar su magnitud, esto se lee el módulo de V .

Cuando un vector tiene una magnitud igual a uno decimos que es un vector

unitario denotado u. Este tipo de vectores es de especial importancia ya que al

ser multiplicado por un escalar generará un vector cuya magnitud es el escalar

y cuya dirección está dada por la dirección del vector unitario. Un vector

unitario en la dirección de V será: u = V /|V|

Figura 1. Representación en el plano cartesiano del vector u→

La cuestión que nos atañe ahora es la de la representación algebraica de un

vector, pero para esto necesitamos aprender a sumar vectores.

Gráficamente tenemos que la suma de dos, o más vectores da como resultado

un vector, cuya magnitud, contrario a lo que pueda pensar el estudiante, no

necesariamente es la suma de las magnitudes de los vectores que se están

sumando, sino que dependerá además de su dirección. En forma general el

resultado de sumar dos o más vectores será un nuevo vector que irá del origen

del primero de los sumandos al extremo del último de los sumandos,

posicionando cada vector sumado con el origen en el extremo del vector

anterior.

Ahora consideremos el caso particular del plano rectangular, tenemos dos

dimensiones, utilizando rectas reales ortogonales que se cruzan exactamente

en el cero, llamaremos a la recta horizontal eje de las x y a la recta vertical eje

de las y. Por conveniencia utilizaremos este sistema para operar con vectores,

ubicándolos con su origen en el origen de coordenadas. Haciendo un breve

análisis notaremos que con este sistema podemos expresar cualquier vector

como la suma de dos vectores, uno en dirección al de las X y otro en el de las

Y.

Figura 2. Eje X y eje Y

Ahora, recordando la definición y utilidad de un vector unitario, escogeremos

dos vectores unitarios uno, en el sentido de las X y otro en sentido de las Y,

llamaremos a estos vectores i y j. Estos dos nuevos vectores, i y j, nos servirán

para crear cualquier vector que imaginemos, o, con mayor frecuencia, para

descomponer cualquier vector dado.

Figura 3. Vectores unitarios i y j en el plano cartesiano.

Muy bien. Hemos llegado a la representación algebraica de un vector que

estará dada por la suma de sus componentes, así:

V=A i+B j

Donde A y B son magnitudes escalares, los módulos de las componentes del

vector V en la dirección de los vectores unitarios i y j.

Para operar vectores escritos en su forma algebraica basta con operar

selectivamente los módulos de las i y los módulos de las j. Así:

Sean U= 2i + 2j y E= 2i + 0.5j, vectores, U+E= (2+2)i +(2+0.5)j = W= 4i + 2.5j

como se observa en la gráfica.

Figura 4. Representación gráfica de la suma de dos vectores (W = U + E)

Para determinar la magnitud de un vector notado algebraicamente solo hace

falta aplicar el teorema de Pitágoras, notando que cada componente del vector

se corresponde con uno de los catetos de un triángulo rectángulo, siendo

entonces la hipotenusa el vector. Por tanto tenemos que la magnitud o módulo

de un vector notado algebraicamente está dada por la raíz de la suma de sus

componentes elevadas al cuadrado.

|V|=√Ai2+Bj2

El ángulo direccional del vector podemos hallarlo utilizando relaciones

trigonométricas. Sabemos que, para un triángulo rectángulo, la tangente de uno

de sus ángulos está dada por la relación del cateto opuesto sobre el cateto

adyacente, por tanto, para un vector V=A i+B j:

tanα=¿ BA

¿ α=tan−1 BA

Y finalmente tenemos que su sentido estará dado por el cuadrante del plano

cartesiano en el que se encuentre.

Figura 5. Representación de la determinación del módulo de un vector

Para concluir cabe señalar que dos vectores son iguales si tanto su módulo

como su dirección y su sentido son iguales.