DI_03

7/29/2019 DI_03

1/16

1

2012/13 6 T.Bai DI03 1

Dravnaizmjera 2012/13. 03TomislavBai

2. OsnovneformuleiodnosinaplohiZemljinarotacijskogelipsoida

2.1 Osnovniparametrirotacijskogelipsoida

2.2 Koordinatnisustavirotacijskogelipsoida

2.3 Veznerelacijeizmeukoordinatnihsustava

2.4 Glavnipolumjerizakrivljenosti

2.5 Odreivanjeduinelukameridijanaiparalele

2012/13 6 T.Bai DI03 2

2.1Osnovniparametrirotacijskogelipsoida(1)

Elipsoid kojim se aproksimira Zemlja nastaje

rotacijom elipse (izvodnice) oko njene male osi

(rotacijski elipsoid).

U svakoj toki na plohi elipsoida postojipotpuno odreen samo jedan smjer: normalana plohu, ijim je smjerom (i iznosom)

kompletno odreen poloaj toke na elipsoidu.Ravnina koja sadri normalu i okretnu os

elipsoida zove se ravnina meridijana. Ravnina

koja sadri normalu i prolazi okomito na ravninu

meridijana naziva se ravnina prvog vertikala.

Bilo koja ravnina, poloena normalom u

proizvoljnom smjeru (ima ih ), zove senormalna ili vertikalna ravnina. Svaka takva

ravnina sjee plohu elipsoida u krivulji luku,koji nazivamo normalni ili vertikalni presjek.

a velikapoluoselipse,b malapoluoselipse,F1 iF2 sufokusielipse,=(a

2b2) linearnaudaljenostfokusaodsreditaelipse(OF1).

O

7/29/2019 DI_03

2/16

2

2012/13 6 T.Bai DI03 3

Osnovniparametrirotacijskogelipsoida(2)

Postavi li se ishodite koordinatnog sustava u O

elipse, tada za svaku toku A te elipse vrijedipoznata jednadba elipse:

(2.1)

Veliine a (velika poluos) i b (mala poluos) suosnovni parametri elipsoida, koji u potpunostiodreuju njegov oblik i dimenzije.

12

2

2

2

b

y

a

x

Radi lakeg raunanja i izvoenja formula uvedeni su i drugi parametri, kao npr.:

... spljotenost elipsoida (razlika velike i male poluosi, izraena ujedinicama velike poluosi),

... prvi numeriki ekscentricitet (linearna udaljenost fokusa od sreditaelipse izraena u jedinicama velike poluosi),

... drugi numeriki ekscentricitet (linearna udaljenost fokusa od sreditaelipse izraena u jedinicama male poluosi).

a

ba

2

22

a

bae

2

22

b

bae

2012/13 6 T.Bai DI03 4


Ponekad sekoriste i sljedei parametri:

... linearna udaljenost fokusa od sredita elipse,

... druga spljotenost elipsoida (razlika velike i male poluosi,izraena u jedinicama male poluosi),

... trea spljotenost elipsoida (razlika velike i male poluosipodijeljena sa zbrojem velike i male poluosi),

... polumjer zakrivljenosti meridijanske elipse na polovima

(sjevernom i junom),

... mala poluos elipsoida iskazana preko velike poluosi i prve

numerike ekscentrinosti.

b

ba

ba

ban

b

ac

2

Ostale vanije formule mogu se nai u ubrani (1974): Via geodezija II, str. 3334.

21 eab

22baebae

7/29/2019 DI_03

3/16

3

2012/13 6 T.Bai DI03 5


Konstanteiizraunaniparametrizanamainteresantneelipsoide:

1/

1/

2012/13 6 T.Bai DI03 6

2.2Koordinatnisustavirotacijskogelipsoida(1)

Sustavpravokutnihkoordinata(X,Y,Z)

Ishodite ovog koordinatnog sustava jesmjeteno u centar elipsoida O, dok se Zos podudara s rotacijskom osi elipsoida, Xos je presjenica ravnine poetnogmeridijana i ravnine ekvatora, a Y os senalazi u ravnini ekvatora i prolazi okomitona X os. Za bilo koju toku na povrinielipsoida vrijedi jednadba:

(2.2)

Translatira li se ovaj koordinatni sustav(paralelni pomak) iz O u tok u T n apovrini, dobije se topocentrikipravokutni koordinatni sustav (,,)

12

2

2

22

b

Z

a

YX

hT'

7/29/2019 DI_03

4/16

4

2012/13 6 T.Bai DI03 7

Koordinatnisustavirotacijskogelipsoida(2)

Sustavelipsoidnihgeodetskihkoordinata(,,h)

Sustav elipsoidnih koordinata je definirangeodetskom irinom (kut u ravninimeridijana, izmeu elipsoidne ravnineekvatora i normale na elipsoid u toki T) igeodetskom duinom (kut u ravniniekvatora izmeu ravnine nultogmeridijana i meridijanske ravnine kroztoku T). Pri tome je geodetska irinapozitivna od ekvatora prema sjeveru, anegativna od ekvatora prema jugu, dok jegeodetska duina pozitivna od nultogmeridijana prema istoku. Kao trea

koordinata ovog sustava javlja segeodetska (elipsoidna) visina h, kojapredstavlja udaljenost toke na fizikojpovrini Zemlje od plohe elipsoida ponormali.

hT'

2012/13 6 T.Bai DI03 8

Koordinatnisustavirotacijskogelipsoida(3)

Sustavpolarnihkoordinata(s,)

Ishodite je smjeteno u centar elipse, a x i y osi senalaze u ravnini meridijana (ravnina koja sadri normalu iokretnu os elipsoida). Pri tome je xos identina svelikom poluosi, dok se yos podudara s malom poluosielipse. Ovaj koordinatni sustav se ne koristi za praktinaraunanja ve za izvode formula, budui su matematikidokazi u tom sustavu jednostavniji.

Sustav polarnih koordinata na elipsoidu vezan je uzduinu geodetske linije s i azimut geodetske linije .Geodetska linija s sadri u svakoj svojoj toki normalu naelipsoid i lei u oskulacionoj ravnini te ima dvostrukuzakrivljenost. Ona je najkraa spojnica izmeu dvijutoaka T1 i T2 na elipsoidu, a u ravnini prelazi u pravac.

Ovaj se sustav koordinata koristi za rjeavanje glavnihgeodetskih zadataka na elipsoidu.

Sustavpravokutnihkoordinataumeridijanskojravninipromatranetoke(x,y)

7/29/2019 DI_03

5/16

5

Razlika izmeu i u je najvea upravo na naim irinama (=450) i dana je priblino kao:

(2.4)

2012/13 6 T.Bai DI03 9

Koordinatnisustavirotacijskogelipsoida(4)Sustavgeocentrikihkoordinata(',)

U ravnini elipse kroz toku T definiran je u odnosu nanormalu u toj toki kut geodetska irina. Spojimo litoku T s centrom elipse, dobiti emo s obzirom na xosgeocentriku irinu , kojoj se pridodaje geodetska(geocentrika) duina .Razlika izmeu i moe dosei maksimalno 11.8, arauna se kao:

(2.3) 2sin2sin2

)'(2

" e

Nacrtamo li oko centra elipse krunicu polumjera a, teproduimo okomicu na os x kroz toku T do te krunice,dobiti emo toku T. Spojimo li tu toku s centrom elipse

dobivamo s obzirom na xos reduciranu irinu u. Kaodruga koordinata pridodaje se geodetska duina .

2sin2

u

Sustavreduciranairina,geodetskaduina (u,)

2012/13 6 T.Bai DI03 10

2.3Veznerelacijeizmeukoordinatnihsustava(1)

Geodetskairina(x,y)Prema izrazu (2.1) glasi jednadba meridijanskeelipse kroz toku A:

(2.5)

Uoimo sa slike da je tangens kuta koji initangenta u toki A s osi +x, ustvari prva derivacijady/dx, tj.:

(2.6)

Naemo li totalni diferencijal izraza (2.5), nakonsreivanja dobivamo:

(2.7)

12

2

2

2

b

y

a

x

ctgtgdx

dy 90

y

x

a

b

dx

dydy

b

ydx

a

x2

2

220

22

Uvrstimo li to rjeenje u (2.6) slijedi izraz koji prikazuje geodetsku irinu kao funkcijupravokutnih koordinata (x,y) u ravnini meridijana promatrane toke A:

(2.8)x

y

b

atg

2

2

7/29/2019 DI_03

6/16

6

2012/13 6 T.Bai DI03 11

(x,y)...

Da se pronae obrnuta zavisnost, tj. izraze za x i y kao funkcije irine , polazimo odpoznatog izraza za malu poluos:, (2.9)

koji uvrstimo u (2.8), pa sljedi: (2.10)

Uvrstimo li (2.10), zajedno s (2.9), u izraz (2.5) sljedi: (2.11)

21 eab

11

122

2222

2

2

ea

tgex

a

x

tgexy

x

y

ex

y

ea

atg )1(

1

1

1

2

222

2

Rjeenje (2.11) po x daje: ;

; (2.12)

Iz (2.12) direktno proizlazi (2.13) za x, odnosno preko (2.10) za y:

(2.13) (2.14)

Primjetimo jo (slika) da je apscisa OA1 toke A ujedno jednaka r = CA krunice, tj.polumjeru paralele r kroz toku A na irini , dakle vrijedi:

(2.15)

111 222

2

tgea

x

22

2

222

cos

sin1 aetgx

22

22

2

2222

2

2

2

2

2

2

2

2

sin1

cos

cos

sinsincos

cos

sin

cos

sin1

e

a

e

a

e

ax

22

sin1

cos

e

ax

22

2

sin1

sin1

e

eay

22sin1

cos

e

axr

2012/13 6 T.Bai DI03 12

Veznerelacijeizmeukoordinatnihsustava(2)

Geocentrikairina (x,y)

Radijus vektor , koji spaja toku A i centarmeridijanske elipse O, je prema slici:

(2.16)

gdje je:

(2.16a)

Nadalje vrijedi: (2.17)

Uvrste li se ovi izrazi u jednadbu zameridijansku elipsu (2.5):

(2.18a)

22yx

sin,cos yx

x

ytg

1sincos

2

22

2

22

ba

ijim rjeenjem ...

1cos11

;1sin1cos1

22

22

2222

22

2

eea

eea

7/29/2019 DI_03

7/16

7

2012/13 6 T.Bai DI03 13

(x,y)...

se prvo za dobije:

, (2.18)

odnosno konano temeljem izraza (2.16a) za x i y:

(2.19)

Radijusvektor moemo izraziti i uz pomo geodetske irine , kada koristimo izraze(2.13), (2.14) i (2.16), u kojima umjesto geocentrike irine dolazi geodetska irina .Ovo moemo uiniti, jer je razlika () mala i ne prelazi 11.8, pa e i pogreka bitimala veliina, tek reda veliine e4. Tada vrijedi:

(2.20)

odakle rjeenjem po , uz zadravanje lanova sa e4, sljedi

(2.21)

22

2

cos1

1

e

ea

22

2

22

2

cos1

sin1;

cos1

cos1

e

eay

e

eax

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 x y a e a e ecos / sin sin / sin

...sin

8

5sin

2sin

21 442

42

2

eee

a

2012/13 6 T.Bai DI03 14


Geodetskairina reduciranairinau

Iz trokuta OA1D proizlazi:

(2.22)

Koordinate promatrane toke A1 zadovoljavajuujedno i jednadbu (2.5):

(2.23)

odakle sljedi:

(2.24)

2'122 DAODa

12

212

2 b

DA

a

OD

22

22

12

ab

aDAOD

Spajanjem (2.24) i (2.22) proizlazi: (2.25)

Iz slike vrijedi: (2.26), kao i: (2.27)

pa se radi (2.25) dobiva: (2.28)

a

bDAyDAodnosno

b

aDADA

111'

1

a

xuodnosnouax coscos uaDA sin1

b

yuodnosnoub

a

buay sinsinsin

7/29/2019 DI_03

8/16

8

2012/13 6 T.Bai DI03 15

u...Izrazi (2.26) i (2.28) predstavljaju jednadbe elipse u parametarskom obliku. Uvrsti li se

desni oblik tih jednadbi u (2.13) i (2.14), proizlazi:

(2.29)

Nadalje, meusobnim dijeljenjem (2.28) i (2.26), uz primjenu izraza (2.9), proizlazi jojedna vezna relacija izmeu reducirane irine u i pravokutnih koordinata x,y:

(2.30)

Podijeli li se jo izraz (2.10) sa x, dobije se: , (2.31)

a iz (2.30):

(2.32) , tj. (2.33)

Ova se veza moe proiriti inverznim izrazima (2.29):

(2.34)

Konano dajmo i izraz za polumjer paralele uz pomo u: (2.35)

x

y

etgutguetgu

a

b

y

x

2

2

1

11

tgex

y 21

tgeetgu 22 1121 e

tgutg

ue

u

ue

ue

2222

2

cos1

sinsin;

cos1

cos1cos

uaxr cos

tgetgu 21

22

2

22sin1

sin1sin;

sin1

coscos

e

eu

eu

tgexy )1( 2

2012/13 6 T.Bai DI03 16


Geodetskairina geocentrikairina

Geocentrika irina , kao funkcija pravokutnih koordinata (x,y) dana jeizrazom (2.17)

, koji uz izraz (2.10)

prelazi u: (2.36)

Isto se dobije ako se u (2.17) uvrste izrazi za x i y (2.13) i (2.14). Naravno da iz(2.36) vrijedi i obratna relacija:

(2.37)

xytg /

tgexy

2

1

tgetg 21

tg

etg

21

1

7/29/2019 DI_03

9/16

9

2012/13 6 T.Bai DI03 17

Veznerelacijeizmeukoordinatnihsustava(5)Prostornepravokutnekoordinate (X,Y,Z) elipsoidnekoordinate(,,h)

Na slici predstavlja PNF1PSF2 meridijansku

elipsu u ijoj se ravnini nalazi Greenwich (G).U toj ravnini lei os X, a na nju je okomita os

Y. Druga elipsa PNEWPSEE je meridijanska

elipsa toke A. U toj ravnini nalaze se osi x iy. Uoi m o d a s yosi zajedno pada Zospravokutnog prostornog sustava. Kut izmeuove dvije meridijanske elipse je geodetska

duina . Sa slike slijedi:

(2.38)

kao i: . (2.39)

Na temelju relacija (2.26) i (2.28) proizlazi:

yZxYxX ,sin,cos

22 YXx

(2.40)

Uz pomo izraza (2.13) i (2.14) za x i y sljedi iz (2.38):

(2.41)

ueaubZuaYuaX sin1sin,sincos,coscos 2

22

2

2222 sin1

sin1,sin

sin1

cos,cos

sin1

cos

e

eaZ

e

aY

e

aX

Y

X

Z=z

2012/13 6 T.Bai DI03 18

(X,Y,Z) (,,h)...

Neka je toka P na povrini Zemlje, a Qnjoj odgovarajua na elipsoidu.Koordinate toke Q dane su kao:

(2.42)

gdje je N polumjer zakrivljenosti prvog

vertikala. Budui da je rP=rQ+hn, to je:

(2.43)

sin)1(

sincos

coscos

2e

N

Z

Y

X

Q

Q

Q

Qr

sin1

sincos

coscos

2 hNe

hN

hN

Z

Y

X

P

P

P

Pr

N

h

7/29/2019 DI_03

10/16

10

2012/13 6 T.Bai DI03 19

(X,Y,Z) (,,h)...

Pri tome su jedinini vektor normale na elipsoid u toki Q i radijuszakrivljenosti prvog vertikala (izvod dolazi kasnije) dani kao:

(2.44) (2.45)

Obrnuti zadatak: (X,Y,Z ) ==> (,,h) se najee rjeava iterativno, gdje zbogh

7/29/2019 DI_03

11/16

11

2012/13 6 T.Bai DI03 21

Glavnipolumjerizakrivljenosti (2)

Kvadriramo li izraz (2.56), a izraz (2.55) preuredimo tako da ga pomnoimo sa2b2, dobiti emo dvije jednadbe s dvije nepoznanice:

(2.57)

Pomnoimo li drugu jednadbu sa pa pribrojimo prvoj, te potompomnoimo drugu jednadbu sa i opet pribrojimo prvoj, dobije se:

odnosno konano parametarski prikaz meridijanske elipse, koji smo u neto

drugaijem obliku ve ranije dali (izrazi 2.13 i 2.14) :

(2.58)

0sinsincos

0coscossin

242222242

224222242

babaay

bababx

2222

2

2222

2

sincos

sin;

sincos

cos

ba

by

ba

ax

0

0cossin

222222

224224

bayaxb

yaxb

2222 sin/cos/ ba

22

cosa

22 sinb

2012/13 6 T.Bai DI03 22

PolumjerzakrivljenostimeridijanaM(1)

Polumjer zakrivljenosti meridijanske elipse M u tokiA dobiti emo iz poznatog izraza za polumjer krivuljeu ravnini y = y(x):

(2.59)

Predznak minus se javlja zbog toga to je (d2y/dx2)

7/29/2019 DI_03

12/16

12

2012/13 6 T.Bai DI03 23

PolumjerzakrivljenostimeridijanaM(2)

Uvrstimo li (2.61) u (2.60) sljedi:

(2.62)

Ako sada (2.56) i (2.62) uvrstimo u (2.59), proizlazi (uz (1+ctg 2)=1/sin2):

(2.63a)

odnosno konano i poznati izraz za polumjer zakrivljenosti po meridijanu M:

(2.63)

Uoimo da M raste s porastom od 00900.

2/322

2

sin1

1

e

eaM

2/32222

2

2/3

2

2

2223

222

2/32

2

222/32

322

3

2/32222

3222/32

sinsincos

1

sin1

cos

1

)sin(cos)(

sinsin

1

)sincos(

sin)1(

e

ea

a

eaa

eaa

a

ba

ba

ba

bactgM

1

322

2/32222

2222

2/32222

22

2

sin

sincos

cossinsin

sincos

sin

1

ba

ba

ba

ba

dx

yd

1

2012/13 6 T.Bai DI03 24

PolumjerzakrivljenostiprvogvertikalaN (1)

Na slici se vidi da je kut izmeu ravnine paralele(krunica AQF), koja predstavlja zapravo kosipresjek, i ravnine prvog vertikala (elipsa HAG),jednak geodetskoj irini . Stoga se uz pomoradijusa zakrivljenosti prvog vertikala N moeodrediti radijus paralele r u toki A Zemljinogrotacionog elipsoida.

Polumjer paralele glasi, sukladno poznatom izrazuMeusniera:

(2.64)

odakle je N: (2.65)

cosNNr qn

cos

rN

Budui dajer=x,tou(2.65)treba uvrstiti izraz (2.58)za x:

(2.66a)

papolumjer zakrivljenosti prvog vertikala Nglasi: (2.66)

2/122 sin1 ea

N

2/122222/1

2

2

22

22/12

2

2222

2

sinsincossin

1cos

sincoscos

cos

e

a

a

eaa

a

ba

aN

1

7/29/2019 DI_03

13/16

13

2012/13 6 T.Bai DI03 25

OdnosizmeuNiM

Recimo odmah da vrijedi: N M ! To slijedi iz omjera N/M, u koji uvrstimoizraze (2.66) i (2.63) , , naime

(2.67)

Pri tome znak jednakosti vrijedi samo na polu (=900):

(2.68)

kada su obadva radijusa jednaka polumjeru zakrivljenosti na polu. Naekvatoru (=00) vrijedi:

(2.69)

11

cos1

1

cos1

1

)cos1(1

1

sin12

22

2

222

2

22

2

22

e

e

e

ee

e

e

e

e

M

N

cb

a

e

aNM oo

2

290901

aNodnosno

a

beaM oo

0

22

0 1

1

2/322

2

sin1

1

e

eaM

2/122 sin1 ea

N

2012/13 6 T.Bai DI03 26

Radijus zakrivljenosti bilo kojeg normalnog presjeka R

u promatranoj toki(postoji beskonano puno normalnih presjeka!), moe se izraunati prekopoznate formule Eulera za zakrivljenost bilo kojeg normalnog presjeka:

(2.70)

pri emu je

azimut normalnog presjeka, tj. kut pod kojim stoji ravninapromatranog normalnog presjeka naspram ravnine meridijana. M i N su pritome poznati.

Radijus zakrivljenosti kosog presjeka RK dan je ve prethodno u formuli(2.64), koja predstavlja poznatu formulu Meusniera:

(2.71)

Ako u nekoj toki na povrini elipsoida postoji jedan normalni i jedan kosipresjek, ali tako da pri tome ta dva presjeka imaju zajedni ku tangentu t, tadase radijus zakrivljenosti kosog presjeka RK dobiva mnoenjem radijusazakrivljenosti normalnog presjeka R

s kosinusom kuta , koji ta dva presjeka

meusobno zatvaraju.

22

22

sincos

cossin1

MN

MNR

MNR

cosRRRK qn

Drugipolumjerizakrivljenosti (1)

7/29/2019 DI_03

14/16

14

2012/13 6 T.Bai DI03 27

Drugipolumjerizakrivljenosti (2)

Srednji radijus zakrivljenosti RS u promatranoj toki na plohi elipsoida nazivase granina vrijednost kojoj tei aritmetika sredina radijusa zakrivljenostinormalnih presjeka, i to ako njihov broj tei beskonanosti, a izraen je

jednostavnom formulom Grunerta:

(2.72)

Dakle, srednji radijus zakrivljenosti RS jednak je u nekoj toki Zemljinaelipsoida geometrijskoj sredini radijusa zakrivljenosti po meridijanu i radijusazakrivljenosti po prvom vertikalu u toj istoj toki. Primjena RSa j e uelipsoidnoj geodeziji viestruka, npr. u prikazu i tretmanu dijelova ploheelipsoida na sferi i dr.

Spomenimo na koncu da M i N imaju vrlo vanu ulogu u elipsoidnojgeodeziji. Tako se uz pomo polumjera zakrivljenosti meridijanske elipse Mraunaju duine lukova meridijana, razlike irina toaka na rotacijskomelipsoidu, dok se polumjer zakrivljenosti prvog vertikala N koristi zaodreivanje duine luka paralela, razlike duina i azimuta, itd.

MNRS

2012/13 6 T.Bai DI03 28

2.5Odreivanjeduinelukameridijanaiparalele

Duinalukameridijana(1)

Neka toka A sa irinom lei na meridijanskojelipsi, dok se na beskonano maloj udaljenosti dGnalazi toka A1 sa irinom (+d). Promatramo lielementarni luk dG kao dio luka krunice polumjeraM, tada vrijedi:

(2.73)

pri emu je W = (1e2 sin2)1/2 pomona veliina.Duina luka meridijana izmeu toaka T1 i T2, sairinama 1 i 2, se tada dobije kao:

(2.74)

d

Wead

eeaMddG

3

2

2/322

2

1sin1

1

2

1

2

1

3

2

2/322

2

1sin1

1

W

dead

e

eaG

Na taj nain svodi se odreivanje duine luka meridijana na rjeavanje eliptikogintegrala (2.74).

7/29/2019 DI_03

15/16

15

2012/13 6 T.Bai DI03 29


Razlaganje1/W3 uNewtonovbinomnired

Razvijemo li podintegralnu funkciju u izrazu (2.74) u Newtonov binomni red:

(2.75)

Ograniimo li se u ovom razvoju na lanove do e4, a potencije sinusa zamijenimokosinusima viekratnika od ( tj. sin2=1/2(1/2)(cos2), ...), tada (2.75) prelazi u:

, tj. nakon sreivanja:

(2.76)

Oznaimo vrijednost prve zagrade s A, druge s B i tree s C, te uvrstimo u (2.74), sljedinajprije (2.77), odnosno nakon integracije izraz (2.78), koji se primjenjuje za proizvoljne

duine luka meridijana (vidi formulu 3.45 u ubrani, Via geodezija II):(2.77)

(2.78)

...4cos64

152cos

16

15

64

452cos

4

3

4

31

1 444223

eeeeeW

4cos...64

152cos...

16

15

4

3...

64

45

4

31

1 442423

eeeee

W

...sin256

693sin

128

315sin

16

35sin

8

15sin

2

31sin1

1 1010886644222/3223

eeeeeeW

2

1

...4cos2cos1 2

dCBAeaG

...4sin4sin

42sin2sin

21 121212

2 CB

AeaG

2012/13 6 T.Bai DI03 30


Razvoj1/W3 uMacLaurinovred

U skladu sa slikom uvedimo najprije dvije pomoneveliine: =21 i m=(1+2)/2. Razviju li se sada uMacLaurinov red duine luka meridijana na sljedeinain:

(2.79)

Odbijemo li meusobno gornje jednadbe, proizlaziza razliku G:

(2.80)

odnosno nakon uvoenja derivacija u odnosu natoku sa srednjom irinom Am:

(2.81)

...24

1 33

3

1212

mm

d

Gd

d

dGGGG

...8

2cos3

"

2

2

"

12

mmmM

a

eMGG

Ovaj se nain obino koristio utriangulaciji, jer za duine luka

meridijana do G=400 km daje

pogreku do maksimalno 1 mm!

...86

1

42

1

2

...86

1

42

1

2

3

3

32

2

2

1

3

3

32

2

2

2

mmm

m

mmm

m

d

Gd

d

Gd

d

dGGG

d

Gd

d

Gd

d

dGGG

7/29/2019 DI_03

16/16

2012/13 6 T.Bai DI03 31

Duinalukameridijana(4)Metodanumerikeintegracije

Kod ove metode duina luka meridijana se najprije razdijeli na proizvoljanbroj n manjih duina, a potom se primjeni Simpsonovo pravilo za integraciju.

(2.82)

pri emu je: fj = f (j).

Ovoj se metodi danas daje prednost pred drugim metodama, jer je prikladnaza programiranje na PCu i osigurava zadovoljavajuu tonost za sve duineluka meridijana.

nnn

Onn

o

fffffffh

dfG

nh

212223210

0

212210

42...4243

2;,...,,,;0

2012/13 6 T.Bai DI03 32

Duinalukaparalele

Odreivanje duine luka paralele svodi se,zbog toga to je paralela na rotacijskom

elipsoidu uvijek krunica, na odreivanjeduine luka krunice s centralnim kutom,

jednakim razlici elipsoidnih duina krajnjih

toaka luka; prema slici (21)== l.Diferencijalno mali iznos duine luka

paralele biti e jednak:

, (2.83)

gdje je N polumjer zakrivljenosti prvog

vertikala. Integracijom se konano dobiva

dlNdlrd cos

2

1

"

"coscos

lNdlNL

N

duina luka paralele: (2.84)

Documents

DI_03