DEVELOPPEMENT ET IMPLEMENTATION D’UN MODELE DE … AIT-ALI Takfarinas.pdf · 1 DEVELOPPEMENT ET IMPLEMENTATION D’UN MODELE DE CAVITATION HOMOGENE AVEC PRISE EN COMPTE DES EFFETS

CFD & Tech 2016 02 – 03 Mai 2016, CRND-Draria, Alger

1

DEVELOPPEMENT ET IMPLEMENTATION D’UN MODELE DE

CAVITATION HOMOGENE AVEC PRISE EN COMPTE DES EFFETS

THERMODYNAMIQUES

T. Ait-Ali1, S. Khelladi, F. Bakir

2 et A. Beniaiche

3

1 Laboratoire Mécanique des Fluides, Ecole Militaire Polytechnique, Bordj El Bahri, Alger

2 Laboratoire DynFluid Arts & Métiers Paris-Tech, 151 Bd de l’Hôpital Paris, France

3 Laboratoire Systèmes Energétiques, Ecole Militaire Polytechnique, Bordj El Bahri, Alger

[email protected]

Résumé : Dans ce travail, nous utilisons une nouvelle méthode numérique pour le calcul des

écoulements cavitants visqueux sur un maillage non structuré. Un modèle d’équilibre

homogène développé par Saurel (1999) pour la cavitation est utilisé dans les équations de

Navier-Stokes compressibles. Ce modèle considère séparément les trois phases suivantes : le

liquide, la vapeur et le mélange. Chacune de ces phases étant associée à une équation

d’état.Le système d’équation ainsi obtenu est résolu en utilisant un schéma de volumes finis

basé sur une approximation par moindres carrés mobiles (MLS) initialement développée par

Lancaster(1981) pour la génération des surfaces puis par Cueto(2007) &Khelladi(2011) pour

la résolution des équations de conservation. Pour la discrétisation des flux numériques, on

utilise le schéma SLAU comme l’a défini Nogueira (2012) dans (Simple Law Dissipation

AUSM) qui permet de résoudre aussi bien les hauts que les bas nombre de Mach. En plus

d’implémenter ces schémas en utilisant la méthode MLS. L’apport de ce travail est le

développement d’un algorithme récursif pour modéliser la transition de phase se basant sur la

méthode de Newton qui permet une convergence plus rapide. Il est important de signaler que

cet algorithme prend en compte la perte de chaleur durant le passage du liquide vers la vapeur

en soustrayant la chaleur latente de vaporisation dans la détermination de la température. Au

final, on obtient un modèle de cavitation robuste qui permet de simuler la formation, la

convection et le collapse d’un nuage de cavitation. Comme validation nous avons reproduit le

cas test de Sauer(2000). A travers ce cas test, nous avons pu simuler la formation d’une poche

de cavitation (mélange de vapeur et de liquide), son détachement et son implosion sur

l’extrados d’un profil d’aile immergé et nous avons mis en évidence l’onde de surpression

générée par le collapse et cela est rendu possible grâce à la prise en compte de la

compressibilité de la phase liquide.

Mots clés : Cavitation, Modèle homogène d’équilibre, Nuage de cavitation, Méthode des

moindres carré mobile, équation d’état de Tait.

I. INTRODUCTION

La cavitation est un phénomène récurrent dans les systèmes hydrauliques. Elle apparait

lorsque la pression du liquide descend sous sa pression de saturation, on voit ainsi se former

des bulles de vapeurs qu’on nomme bulle de cavitation. En plus de prendre en compte les

effets de la compressibilité de la phase vapeur, il est nécessaire de considérer les effets

mailto:[email protected]


2

thermodynamiques qui surviennent lors du changement de phase. La chaleur nécessaire pour

l’évaporation du liquide étant comptabilisé dans le bilan énergétique, la température aux

alentours de la bulle de cavitation diminue et cela se traduit par une modification locale des

propriétés thermodynamiques du fluide. Cela a pour résultat de changer le comportement

global de l’écoulement, en particulier l’apparition d’un retard à la cavitation ce qui modifie la

forme des courbes de performances des inducteurs, des pompes et autres (Compos (2010)).

II. MODELE D’EQUILIBRE HOMOGENE D’après Koop(2008) La théorie des écoulements homogènes fournit la description la plus

simple pour l'analyse des écoulements poly phasiques. Par définition, une phase est tout

simplement l'un des états de la matière, qui peut être soit un gaz, un liquide ou un solide. Le

modèle de cavitation adopté dans cette étude est le modèle d'équilibredéveloppé par Wondroff

(1984) et Schmidt (2006). Ce modèle physique est basé sur l'hypothèse que le régime

d'écoulement à deux phases peut être décrit comme un mélange homogène de vapeur et de

liquide qui se trouve dans un équilibre thermodynamique et mécanique. Ceci implique que

dans le mélange, localement, la température, la pression et la vitesse des deux phases (liquides

et vapeurs sont les mêmes. Cette hypothèse est fondée sur le fait que les différences de ces

trois variables potentielles vont permettre un transfert rapide de la quantité de mouvement, de

l'énergie, et de la masse entre les phases, de sorte que l'équilibre soit atteint quasi-

instantanément.

Dans tout le domaine de calcul, un seul système d'équations de conservation est utilisé pour

décrire l’écoulement qui est considéré comme compressible. Pour fermer le système,

différentes équations d'état sont utilisées, une pour chaque état (liquide, vapeur et mélange).

La fraction volumique de vapeur α est utilisée pour déterminer l'état du fluide selon sa

densité. Elle est définie par l'équation(1). Ce paramètre sans dimension est très important car

il permet de connaître la proportion de vapeur dans le mélange.

𝛼 =𝑉𝑣𝑉

=𝜌 − 𝜌𝑙 ,𝑠𝑎𝑡 (𝑇)

𝜌𝑣,𝑠𝑎𝑡 𝑇 − 𝜌𝑙 ,𝑠𝑎𝑡 (𝑇) (1)

II.1 Formulation des équations de Navier Stokes Les équations de Navier-Stokes 2d compressibles sont présentées ci-dessous sous leur forme

conservative en coordonnéescartésiennes : 𝜕𝑈

𝜕𝑡+𝜕𝐹𝑥(𝑈)

𝜕𝑥+𝜕𝐹𝑦(𝑈)

𝜕𝑦= 0 (2)

La forme intégrale de l’équation (2) est utilisée. En appliquant les théorème de la divergence

sur une cellule du maillage on obtient : 𝜕

𝜕𝑡 𝑈 𝑑𝑠

𝐴

+ (𝐹𝑥 ∙ 𝑛𝑥 + 𝐹𝑦 ∙ 𝑛𝑦) 𝑑𝑙

𝜕𝐴

= 0 (3)

Où

𝑈 = (𝜌,𝜌𝑢,𝜌𝑣,𝜌𝐸)𝑇 : est le vecteur des variables conservatives.

𝐴 : La surface de la cellule du maillage, et 𝜕𝐴 : la frontière de la maille de calcul.

(𝐹𝑥 ,𝐹𝑦)sont les composantes du vecteur flux qui peuvent être divisé en deux parties : les flux

convectifs et les flux diffusifs. Ils sont détaillés dans les équations suivantes :

𝐹𝑥 = 𝐹𝑥𝐶 + 𝐹𝑥

𝑉 (4)

𝐹𝑦 = 𝐹𝑦𝐶 + 𝐹𝑦

𝑉 (5)


3

𝐹𝑥𝐶 =

𝜌𝑢

𝜌𝑢2 + 𝑝𝜌𝑢𝑣

(𝜌𝐸 + 𝑝)𝑢

,𝐹𝑥𝑉 =

0

𝜏𝑥𝑥𝜏𝑥𝑦

𝑢𝜏𝑥𝑥 + 𝑣𝜏𝑥𝑦 − 𝑞𝑥

(6)

𝐹𝑦𝐶 =

𝜌𝑣

𝜌𝑢𝑣

𝜌𝑣² + 𝑝(𝜌𝐸 + 𝑝)𝑣

, 𝐹𝑦𝑉 =

0

𝜏𝑥𝑦𝜏𝑦𝑦

𝑢𝜏𝑥𝑦 + 𝑣𝜏𝑦𝑦 − 𝑞𝑦

(7)

Les contraintes visqueuses sont définies comme suit :

𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇 𝜕𝑢

𝜕𝑥−

2

3 𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦 (8)

𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇 𝜕𝑣

𝜕𝑦−

2

3 𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦 (9)

𝜏𝑥𝑦 = 𝜇 𝜕𝑢

𝜕𝑦+𝜕𝑣

𝜕𝑥 (10)

II.2 Les équations d’état :

Pour la fermeture du système d’équations de Navier-Stokes, il est nécessaire d’opter pour des

équations d’états qui décrivent chacune des trois phases : le liquide, la vapeur et le mélange.

Dans ce qui suit, on fait référence au liquide en utilisant l’indice l , à la vapeur avec l’indice v

et au mélange en utilisant l’indice m. L’indice satquant à lui fait référence aux conditions de

saturation. La vitesse du son c (m/s) et la viscosité dynamique μ (kg/ms) sont déterminées

pour chacune des trois phases.

II.2.1 La phase vapeur :

Pour la phase vapeur, on utilise l’équation des gaz parfait suivante :

𝑝𝑣 = 𝛾𝑣 − 1 𝜌𝑣𝑒𝑣 (11)

Pour la vapeur d’eau 𝛾𝑣 = 1.32. L’expression de l’énergie interne est donnée par :

𝑒𝑣 = 𝐶𝑣𝑣 𝑇𝑣 − 𝑇0 + 𝐿𝑣 𝑇0 + 𝑒𝑙0 (12)

Où: 𝐿𝑣 𝑇0 = 2.753 106 𝐽

𝑘𝑔 𝐾 représente la chaleur latente de vaporisation à la température

de référence 𝑇0 = 273.15 𝐾 . 𝑒𝑙0 = 617 𝑗/𝑘𝑔 est l’énergie interne à la température de

référence. 𝐶𝑣𝑣 = 1410.8𝑗

𝑘𝑔 𝐾est la chaleur spécifique à volume constant pour la vapeur d’eau.

La variation de la viscosité basée sur la température est donnée par la loi de Sutherland

(1893):

𝜇𝑣 = 𝜇0 𝑇𝑣𝑇0

3

2 𝑇0 + 𝑠

𝑇𝑣 + 𝑠 (13)

Où 𝜇0 est la viscosité à la température de référence 𝑇0.

La vitesse du son pour un gaz parfait est donnée par la formule suivante :

𝑐𝑣 = 𝛾𝑣𝑟𝑣𝑇𝑣 (14)

Avec 𝑟𝑣 = 461.6𝑗

𝑘𝑔 𝐾 est la constante spécifique pour la vapeur d’eau.

II.2.2 La phase liquide :


4

L’équation de Tait modifiée est utilisée pour déterminer la pression dans la phase liquide en

fonction de la masse volumique et de la température.

𝑝𝑙 = 𝐾0 𝜌𝑙

𝜌𝑙 ,𝑠𝑎𝑡

𝑁

− 1 + 𝑝𝑠𝑎𝑡 (𝑇𝑙) (15)

𝐾0 𝑒𝑡 𝑁sont des constantes qui dépendent du fluide. Pour l’eau liquide 𝐾0 = 3.3 108 𝑃𝑎et

𝑁 = 7.15. L’expression de l’énergie interne est donnée par :

𝑒𝑙 = 𝐶𝑣𝑙 𝑇𝑙 − 𝑇0 + 𝑒𝑙0 (16)

Où𝐶𝑣𝑙 = 4180𝑗

𝑘𝑔 𝐾 est la chaleur spécifique à volume constant pour l’eau liquide.

Pour modéliser la viscosité dynamique de la phase liquide on utilise la relation de Vogel :

𝜇𝑙 = 𝐴 ∙ 10𝐵𝑇𝑙−𝐶 (17)

Pour l’eau,𝐴 = 2.414 10−5𝑃𝑎, 𝐵 = 247.8 𝐾et 𝐶 = 140 𝐾.

Suivant Koop (2008) la vitesse du son de la phase liquide est donnée par la relation suivante :

𝑐𝑙2 =

𝑁(𝑝 − 𝑝𝑠𝑎𝑡 𝑇 + 𝐾0)

𝜌+

𝑝

𝜌2𝐶𝑣𝑙 𝜕𝑝𝑠𝑎𝑡 (𝑇)

𝜕𝑇−𝑁(𝑝 − 𝑝𝑠𝑎𝑡 𝑇 + 𝐾0)

𝜌𝑙 ,𝑠𝑎𝑡 (𝑇)

𝜕𝜌𝑙 ,𝑠𝑎𝑡 (𝑇)

𝜕𝑇 (18)

II.2.3 La phase mélange :

Dans la phase mélange la pression est égale à la pression de saturation.

𝑝𝑚 = 𝑝𝑠𝑎𝑡 (𝑇𝑚) (19) L’énergie interne dans la phase mélange est obtenue grâce à une pondération entre l’énergie

du liquide et celle de la vapeur en utilisant la fraction volumique α :

𝜌𝑒𝑚 = 𝛼𝜌𝑣,𝑠𝑎𝑡 𝑇 𝑒𝑣 + (1 − 𝛼)𝜌𝑙 ,𝑠𝑎𝑡 𝑇 𝑒𝑙 (20)

De la même manière que pour l’énergie on obtient la viscosité du mélange avec l’expression :

𝜇𝑚 = 𝛼𝜇𝑣 + (1 − 𝛼)𝜇𝑙 (21)

L’expression de la vitesse du son dans le mélange est donnée en utilisant la relation de Wallis

(1969). 1

𝜌𝑐𝑚2=

𝛼

𝜌𝑣,𝑠𝑎𝑡 (𝑇)𝑐𝑣2 +

1 − 𝛼

𝜌𝑙 ,𝑠𝑎𝑡 (𝑇)𝑐𝑙2 (22)

Figure 1. Variation de la vitesse du son en fonction de la fraction volumique de vapeur

II.3. Les paramètres de la transition de phase :


5

Les relations entre la température, la pression et les masses volumiques de saturation liquides

est vapeurs sont données par les expressions suivantes tirées de la référence (Schmidt (1979)):

𝑙𝑛 𝑝𝑠𝑎𝑡 (𝑇)

𝑝𝑐 =

𝑇𝑐𝑇 𝑎𝑖 1 −

𝑇

𝑇𝑐 𝑎 𝑖

7

𝑖

(23)

𝜌𝑙 ,𝑠𝑎𝑡 (𝑇)

𝜌𝑐= 𝑏𝑖 1 −

𝑇

𝑇𝑐 𝑏 𝑖

7

𝑖

(24)

𝜌𝑣,𝑠𝑎𝑡 (𝑇)

𝜌𝑐= 𝑐𝑖 1 −

𝑇

𝑇𝑐 𝑐 𝑖

7

𝑖

(25)

Où 𝜌𝑐 ,𝑇𝑐 ,𝑝𝑐 sont les : masse volumique, température et pression critiques. Pour l’eau on a :

𝑇𝑐 =8ab

27k= 647.096 , 𝑝𝑐 =

ab²

27= 22.064 ∙ 106 𝑃𝑎 , 𝜌𝑐 =

𝑏

3= 322 𝑘𝑔/𝑚3

III. METHODE NUMERIQUE : Le système d’équation (3) est discrétisé dans un maillage non-structuré et est résolu en

utilisant la méthode des Volumes Finis basée sur une approximation par moindres carrés

mobiles (MLS) initialement développée par Nogueira (2010). En divisant le domaine

physique en volumes (des surfaces en 2d) de contrôles 𝐴𝑖dont la frontière est notée 𝜕𝐴𝑖 . L’équation (3) peut être considérée pour chaque volume de contrôle et le terme transitoire

peut être réécrit comme suit :

𝜕

𝜕𝑡 𝑈 𝑑𝐴𝑖𝐴𝑖

= 𝐴𝑖𝜕𝑈 𝑖𝜕𝑡

(26)

Où𝑈 𝑖 = 𝑈(𝑥,𝑦) 𝑑𝐴𝑖𝐴𝑖 représente la valeur moyenne des variables de l’écoulement dans le

volume de contrôle 𝐴𝑖 . L’équation (3) devient :

𝜕𝑈 𝑖𝜕𝑡

=−1

𝐴𝑖 𝐹𝐶 𝑈 − 𝐹𝐷 𝑈 ∙ 𝑛𝑘𝑠𝑘

𝑛

𝑘=1

= −1

𝐴𝑖𝑅 (27)

𝐹𝐶est le flux convectif est 𝐹𝐷 le flux diffusif. n est le nombre d’arêtes d’une cellule. 𝑠𝑘est la

longueur de la kième

arête et 𝑅 le résidu.

III.1 Reconstruction des variables par la méthode MLS : La méthode FV-MLS se base sur une représentation lissée de la solution obtenue par une

approximation par moindres carrés mobiles. L’idée principale est d’approximer la

solution 𝑈(𝑥), en un point donné x par une pondération lissée combinant les valeurs de la

solution dans le voisinage de x. On appelle l’ensemble des points qui participent à la

reconstruction de la variable au point x, un stencil. L’équation ci-après donne l’approximation

de la solution en un point x en utilisant les valeurs discrètes de la solution dans les points du

stencil et cela sous une forme matricielle car elle est plus adaptée au code de calcul.

𝑈 𝑥𝑖 𝑋 = 𝑁𝑇 𝑥𝑖 𝑋 𝑈Ω𝑥𝑖 (28)

Où 𝑈Ω𝑥𝑖 est le vecteur des variables U au centre de chaque élément du stencil.

𝑁𝑇 𝑥𝑖 𝑋 représente le vecteur des valeurs des fonctions de formes 𝑁 𝑥𝑖 aux centres des

éléments du stencil. Les fonctions de formes sont données par la relation suivante (pour plus

de détails voir la référence Chassaing (2013)) :

𝑁𝑇 𝑥𝑖 𝑋 = 𝑝

𝑥 − 𝑥𝑖𝑕

𝑇

∙ 𝑃𝑥𝑖 ∙ 𝑊 𝑥𝑖 𝑋 ∙ 𝑃𝑥𝑖𝑇

−1∙ 𝑃𝑥𝑖 ∙ 𝑊 𝑥𝑖 𝑋 (29)


6

Où p(x) est une base polynomiale dont l’ordre définie l’ordre de la méthode MLS. 𝑊 𝑥𝑖 𝑋

est la fonction kernel au point X=(x,y). Nous utilisons une fonction kernel de type

exponentielle défini par la formule suivante :

𝑊 𝑥𝑖 𝑋, 𝜅 =𝑒− 𝑠𝑥𝜅𝑥/𝑕𝑥

2− 𝑒−𝜅𝑥

2

1 − 𝑒−𝜅𝑥2

𝑒− 𝑠𝑦𝜅𝑦 /𝑕𝑦 2

− 𝑒−𝜅𝑦2

1 − 𝑒−𝜅𝑦2 (30)

avec : 𝑠𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑖 et 𝑠𝑦 = 𝑦 − 𝑦𝑖 . 𝑕𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 𝑥 − 𝑥𝑖 et 𝑕𝑦 = 𝑚𝑎𝑥 𝑦 − 𝑦𝑖 . Avec

𝑖 = 1 → 𝑁𝑓 (𝑁𝑓 est le nombre d’éléments du stencil). 𝜅𝑥et𝜅𝑦 sont les paramètres de forme

respectivement dans la direction x et y.

III.2 Estimation des Dérivées Spatiales :

Les dérivées spatiales du vecteur variables U sont obtenue en fonction des dérivées des

fonctions de formes Npar la formule suivante :

𝜕𝛼𝑈

𝜕𝑥𝛼−𝛽𝜕𝑦𝛽(𝑋𝐼) =

𝜕𝑁𝑗𝑇

𝑥𝑖

𝜕𝑥𝛼−𝛽𝜕𝑦𝛽𝑗

𝑋 ∙ 𝑈𝑗 (31)

Les dérivées des fonctions de formes N ne dépendent que du maillage. Donc, pour un

maillage fixe il suffit de les calculer une seule et unique fois.

III.2 Discrétisation des flux :

Les flux numériques doivent être estimés à l'interface des volumes de contrôle, ce qui revient

en 2d aux arêtes des éléments du maillage. Sachant qu’une arête est commune à deux

éléments, quand on extrapole les valeurs des variable à partir du centre de l’élément de

gauche (+) et de l’élément de droite (-), on obtient une discontinuité au niveau de l’interface.

Un solveur de Riemann est donc utilisé pour lisser la solution. Pour le flux convectif le

schéma SLAU décrit parKitamura(2010) est utilisé. Le flux convectif est divisé en deux

parties : le terme de pression noté 𝐻𝑃 et le terme de convection noté𝐻𝐶 . Suivant la

formulation décrite parKitamura(2010)on a :

𝐻𝑃 =

0𝑝 𝑛𝑥𝑝 𝑛𝑦

0

(32)

𝐻𝐶 =𝑚 + 𝑚

2𝜓+ +

𝑚 − 𝑚

2𝜓− (33)

Où 𝜓 = 1, 𝑢, 𝑣,𝐻 𝑇 et l’expression du flux massique𝑚 ainsi que ces paramettres sont

définis par Lancaster(1981). La pression au niveau des arêtes est définie comme pour tout les

schéma de la famille AUSM (Liou(1993)).

𝑝 =𝑝𝐿 + 𝑝𝑅

2+𝛽𝐿 − 𝛽𝑅

2 𝑝𝐿 − 𝑝𝑅 + 1 − 𝜉

𝛽𝐿 + 𝛽𝑅2

𝑝𝐿 + 𝑝𝑅 (34)

Où 𝛽𝐿 et 𝛽𝑅 sont basés sur le nombre de Mach et leurs expressions sont donnéespar

Kitamura(2010).Pour les faibles nombres de Mach (M tend vers 0), la formule précédentetend

vers une discrétisation spatiale centrée de la pression (équation (35)) quiaboutit au problème

dit du "damier". Le fait de remplacer la pression sur les arêtesdes volumes de contrôle par une

interpolation linéaire de sa valeur aux centresdes volumes de contrôle voisins fait que la

pression n'est prise en considérationque dans un point sur deux. Le risque vient du fait qu'un

champ de pression trèsperturbé ne peut pas être capté par cette formulation.

𝑝 =𝑝𝐿 + 𝑝𝑅

2 (35)


7

Alors il est nécessaire de modifier le schéma numérique. La solution proposée est d'utiliser

une reconstruction MLS de la pression sur les points d'intégration des flux (points appartenant

aux arêtes) voir AIT-ALI (2015). On obtient l'expression suivante :

𝑝 = 𝜉 𝑝𝑀𝐿𝑆 + 1 − 𝜉 (𝛽𝐿 + 𝛽𝑅) (36)

IV. RESULTATS:

IV.1 Validation du schéma numérique pour les bas nombres de Mach:

Dans le but d’évaluer l’apport apporté par le schéma employé dans la discrétisation des flux

numériques, on considère un écoulement visqueux autour d’un cylindre de rayon R=0.5m, il y

a 66 mailles autour du cylindre. On utilise un maillage triangulaire de 6888 éléments. Le

domaine de calcul est un cercle dont le rayon est égale à 40xR. Le nombre de Mach à l’infini

est égal à 6.5 10−3 la vitesse : 𝑉∞ = 10 𝑚/𝑠 . La pression 𝑝∞ = 105𝑃𝑎 et la température

𝑇∞ = 293 𝐾.

On peut voir sur la figure 3 une symétrie parfaite pour le nombre de Mach. Pour une

comparaison quantitative, on a utilisé l’expression analytique du coefficient de pression 𝑐𝑝

tirée de la référenceAnderson (2001). On voit que la courbe du 𝑐𝑝 est quasiment identique à

celle calculée analytiquement.

Figure 2. Variation du coefficient de pression sur le long de la surface du cylindre

Figure 3. Distribution du nombre de Mach au voisinage du cylindre

IV.1 Ecoulement avec cavitation:

On considère le cas test de Sauer (2000) qui décrit un écoulement turbulent cavitant autour

d’un profil d’aile immergé NACA0015 à une incidence 𝜃 = 6° . On utilise un maillage

triangulaire contenant 9578 éléments. La figure 4 montre la région proche du profil d’aile. Le


8

nombre de Mach à l’infini est égal à 2.810−3 la vitesse : 𝑉∞ = 12𝑚/𝑠. La pression 𝑝∞ =50000 𝑃𝑎 et la température 𝑇∞ = 293 𝐾. On utilise un pas de temps de 5 10−7𝑠. Pour suivre

le lâché de bulle de cavitation, il suffit de suivre la proportion de la fraction volumique vapeur

α (intégrée sur tout le domaine de calcul) au cours du temps. Une transformée de Fourier de

ce signale nous permet de connaitre la fréquence de cavitation. La courbe 5 montre que le

premier cycle correspondant au cycle transitoire, possède une période plus grande que les

suivants. La fréquence de cavitation obtenue pour cet écoulement est de 11.09 Hz. En

comparaison Sauer obtient une fréquence de 11 Hz en utilisant une approche incompressible.

Figure 4. Vue rapprochée du maillage au voisinage du profil NACA0015

Figure 5. Pourcentage de la fraction volumique de vapeur dans tout le domaine de de calcul.

La figure 6 montre la formation et l’évolution d’un nuage de cavitation. Ce dernier est

convecté vers le bord de fuite où il implose. L’amplitude du collapse (voir figure 7) obtenu

dans cette étude atteint 1.4 107𝑃𝑎. Dans cette étude nous avons considéré la compressibilité

de toutes les phases, cela a permis de reproduire l’expansion de l’onde de surpression généré

par l’implosion (figure 8).


9

Figure 6. L’évolution du nuage de cavitation de sa formation jusqu'à son implosion

Figure 7. La distribution de la pression correspondante au début de l'implosion du nuage de

cavitation

Figure 8 la distribution de la pression après l'implosion du nuage de cavitation.

La figure 9 au centre, montre la distribution de la pression autour du profil immergée. On

remarque que la zone où est généré le nuage de cavitation correspond au minimum du champ


10

de pression. Cela a pour effet d’attirer l’écoulement vers cette zone. Sur la figure 10 on peut

voir le jet entrant qui initie le détachement de la bulle de cavitation.

Figure 9. La fraction volumique de vapeur à gauche, la distribution de pression au centre et la

variation du coefficient de pression sur la paroi du profil à droite.

Figure 10. Mise en évidence du phénomène du jet rentrant et le début du détachement de la

poche de cavitation.

V. CONCLUSION:

Dans cet article, les résultats numériques pour un écoulement cavitant autours d’un profil

d’aile immergé sont présentés. Les calculs sont réalisés avec un code utilisant un modèle

d’équilibre homogène associé aux équations de Navier-Stokes compressibles. La méthode

numérique utilisée est de type Volumes Finis basée sur approximation par moindres carrés

mobiles permettant des calculs sur des maillages non structurés. Une reconstruction MLS est

utilisée pour la discrétisation spatiale des variables ainsi que de leurs dérivées. L’une des

principales difficultés rencontrées dans ce type d’écoulement est de développer un solveur de

Riemann qui permette à la fois de prendre en compte les bas et hauts nombres de Mach. Car

ce type d’écoulement (Cavitation) la vitesse du son varie entre 1500 m/s dans le liquide à 400

m/s dans la vapeur en passant par des valeurs atteignant 5 m/s dans le mélange. Le modèle

HEM adopté dans cet étude a permis de simuler les principaux mécanismes de la cavitation.

On a réussi à capturer le phénomène du collapse du nuage de cavitation ainsi que le

phénomène du jet entrant. La prise en compte de la compressibilité des différentes phases a

permis d’observer la propagation des ondes de surpression générées par l’implosion du nuage

de cavitation.

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