Development of Human Body Model for the Dynamic Analysis of Footbridges Under Pedestrian Induced Excitation

7/28/2019 Development of Human Body Model for the Dynamic Analysis of Footbridges Under Pedestrian Induced Excitation

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S t e e l S t r u c t u r e s 8 ( 2 0 0 8 ) 3 3 3 - 3 4 5

w w w . i j o s s . o r g

D e v e l o p m e n t o f H u m a n B o d y M o d e l f o r t h e D y n a m i c A n a l y s i s o f

F o o t b r i d g e s u n d e r P e d e s t r i a n I n d u c e d E x c i t a t i o n

S a n g - H y o K i m

1

, K w a n g - I l C h o

2 ,

*

, M o o n - S e o c k C h o i

3

, a n d J i - Y o u n g L i m

4

1

P r o f e s s o r , S c h o o l o f C i v i l & E n v i r o n m e n t a l E n g i n e e r i n g , Y o n s e i U n i v e r s i t y ,

A 2 7 2 G o n g - H a k K w a n A , Y o n s e i U n i v e r s i t y , 2 6 2 S e o n g s a n - n o , S e o d a e m u n - g u , S e o u l , K o r e a

2

P h . D . C a n d i d a t e , S c h o o l o f C i v i l & E n v i r o n m e n t a l E n g i n e e r i n g , Y o n s e i U n i v e r s i t y ,

A 3 6 5 G o n g - H a k K w a n A , Y o n s e i U n i v e r s i t y , 2 6 2 S e o n g s a n - n o , S e o d a e m u n - g u , S e o d a e m o o n G u , S e o u l , K o r e a

3

D o c t o r a l c o u r s e s t u d e n t , S c h o o l o f C i v i l & E n v i r o n m e n t a l E n g i n e e r i n g , Y o n s e i U n i v e r s i t y ,


4

M a s t e r c o u r s e s t u d e n t , S c h o o l o f C i v i l & E n v i r o n m e n t a l E n g i n e e r i n g , Y o n s e i U n i v e r s i t y ,


A b s t r a c t

H u m a n - i n d u c e d e x c i t a t i o n s a r e t h e m o s t d o m i n a n t s o u r c e i n v i b r a t i o n o f f o o t b r i d g e s . S u c h v i b r a t i o n e f f e c t s a r e m o d e l e d a s

a m a t h e m a t i c a l t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l s i n c u r r e n t l y u s i n g s o f t w a r e s . H o w e v e r , s u c h m o d e l s a r e n o t c a p a b l e o f c o n s i d e r i n g

t h e d y n a m i c e f f e c t s o f f o o t b r i d g e s a s t h e y e x c l u d e t h e e f f e c t s f r o m p r e c i s e h u m a n b o d y m o d e l a n d h u m a n - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n .

A l s o , i t i s s o c o m p l i c a t e d t o a n a l y z e t h e d y n a m i c e f f e c t s f r o m c r o w d e d w a l k i n g l o a d . I n t h i s s t u d y , a h u m a n b o d y m o d e l f o r

g e n e r a t i n g p e d e s t r i a n e x c i t a t i o n i s d e v e l o p e d w h i c h i s a d e q u a t e f o r c o n s i d e r i n g t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n b r i d g e a n d p e d e s t r i a n s

o n t h e f o o t b r i d g e . B y u s i n g t h i s m o d e l , t h e d y n a m i c b e h a v i o r s o f f o o t b r i d g e a r e a n a l y z e d . I t i s a l s o c o m p a r e d w i t h t h e d y n a m i c

r e s p o n s e s f r o m t h e a n a l y s i s u s i n g t h e t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l a n d a n e x p e r i m e n t a l d a t a . T h e d y n a m i c r e s p o n s e s f r o m t h e

a n a l y s e s u s i n g t h e h u m a n b o d y m o d e l a r e l a r g e r t h a n t h e t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l b e c a u s e o f t h e h u m a n - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n

e f f e c t s . A l s o , t h e p r o p o s e d m o d e l s h o w s g o o d a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t a l r e s u l t . T h r o u g h a d y n a m i c a n a l y s i s f o r t h e

f o o t b r i d g e u n d e r c r o w d - i n d u c e d e x c i t a t i o n , t h e d e v e l o p e d n u m e r i c a l h u m a n b o d y m o d e l i s f o u n d t o s i m u l a t e t h e p e o p l e

w a l k i n g i n c r o w d s e f f e c t i v e l y . F r o m t h e a n a l y s i s r e s u l t s , i t i s f o u n d t h a t t h e p a r t i a l l y g r o u p e d r a n d o m l y w a l k i n g s t r e a m c o u l d

m a k e e v e n l a r g e r r e s p o n s e t h a n t h e s y n c h r o n i z e d c r o w d e d l o a d s .

K e y w o r d s : f o o t b r i d g e , c r o w d e d p e d e s t r i a n l o a d , h u m a n b o d y m o d e l , b r i d g e - h u m a n i n t e r a c t i o n

1 . I n t r o d u c t i o n

I n r e c e n t d e c a d e s t h e r e h a s b e e n a t r e n d t o w a r d s t o

i m p r o v e m e c h a n i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t e r i a l s u s e d i n

f o o t b r i d g e c o n s t r u c t i o n . E n g i n e e r s a r e n o w d e s i g n i n g

l i g h t e r , m o r e s l e n d e r a n d m o r e a e s t h e t i c s t r u c t u r e s . A s a

r e s u l t o f t h e s e c o n s t r u c t i o n t r e n d s , m a n y o f t h e s e

f o o t b r i d g e s a r e b e c o m i n g m o r e s u s c e p t i b l e t o v i b r a t i o n

w h e n s u b j e c t e d t o d y n a m i c l o a d s . I n m o s t c a s e s t h e

v i b r a t i o n s o f f o o t b r i d g e s l e a d t o s e r v i c e a b i l i t y p r o b l e m s ,

i . e . t h e i n c o n v e n i e n c e o f t h e p e d e s t r i a n s o r i n s o m e

e x t r e m e c a s e s a b r i d g e m a y n o l o n g e r b e u s e d a n d h a s t o

b e c l o s e d . I n r a r e c a s e s , s a f e t y p r o b l e m s m a y a l s o a r i s e

d u e t o o v e r s t r e s s i n g a n d / o r f a t i g u e ( B a c h m a n n , 2 0 0 2 ) .

T h e r e h a v e b e e n m a n y c a s e s r e p o r t e d t o h a v e t h e s e

p r o b l e m s , a n d t h e y w e r e e s p e c i a l l y e m p h a s i z e d t o b o t h

p u b l i c a n d p r o f e s s i o n a l r e s e a r c h e r s a f t e r t h e i n f a m o u s

s w a y i n g o f t h e n e w a n d a t t r a c t i v e M i l l e n n i u m B r i d g e i n

L o n d o n d u r i n g i t s o p e n i n g d a y o n J u n e 1 0 , 2 0 0 0 ( D a l l a r d

e t a l . , 2 0 0 1 ) .

T h e h u m a n - i n d u c e d d y n a m i c l o a d i n g o c c u r s f r e q u e n t l y

a n d i t i s o f t e n r e g a r d e d a s d o m i n a n t l o a d f o r f o o t b r i d g e s

b e c a u s e i t s o m e t i m e s o b s t r u c t s p e d e s t r i a n s t o w a l k

c o n v e n i e n t l y . T h e r e a r e t w o m e a n s o f i n v e s t i g a t i n g

f o o t b r i d g e v i b r a t i o n p r o b l e m , n a m e l y e x p e r i m e n t a l a n d

n u m e r i c a l a p p r o a c h e s . A n e x p e r i m e n t a l m e t h o d r e q u i r e s

c o n s i d e r a b l e t i m e a n d c o s t w h i l e t h e n u m e r i c a l a p p r o a c h

r e p r e s e n t s a n e c o n o m i c a l w a y t o e x a m i n e t h e d y n a m i c

b e h a v i o r o f a f o o t b r i d g e . T o a p p l y t h e a p p r o p r i a t e f o r c e

f o r t h e d y n a m i c a n a l y s i s o f f o o t b r i d g e s , v a r i o u s m a t h e m a t i c a l

m o d e l s o f h u m a n - i n d u c e d d y n a m i c w a l k i n g l o a d s a r e

p r o p o s e d ( Z i v a n o v i c e t a l . , 2 0 0 5 ) , s u c h a s t i m e a n d

f r e q u e n c y d o m a i n f o r c e m o d e l s . A l t h o u g h m a t h e m a t i c a l

t i m e a n d f r e q u e n c y d o m a i n f o r c e m o d e l s a r e u s e d i n

c o n t e m p o r a r y f o o t b r i d g e d e s i g n , t h e d y n a m i c a n a l y s i s

N o t e . - D i s c u s s i o n o p e n u n t i l M a y 1 , 2 0 0 9 . T h i s m a n u s c r i p t f o r t h i s

p a p e r w a s s u b m i t t e d f o r r e v i e w a n d p o s s i b l e p u b l i c a t i o n o n O c t o b e r

2 0 , 2 0 0 8 ; a p p r o v e d o n D e c e m b e r 1 5 , 2 0 0 8

* C o r r e s p o n d i n g a u t h o r

T e l : + 8 2 - 2 - 2 1 2 3 - 2 8 0 4 ; F a x : + 8 2 - 2 - 3 1 3 - 2 8 0 4

E - m a i l : c k y 2 2 2 @ y o n s e i . a c . k r



3 3 4 S a n g - H y o K i m e t a l .

u s i n g t h e s e m o d e l s i s i n c a p a b l e o f c o n s i d e r i n g d y n a m i c

e f f e c t s f r o m t h e h u m a n - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n . T h i s i s

b e c a u s e t h e s e m o d e l s a r e b a s e d o n t h e d a t a m e a s u r e d o n

a r i g i d s u r f a c e . A l s o , i t i s s o h a r d t o a p p l y t i m e a n d

f r e q u e n c y d o m a i n f o r c e m o d e l i n a n a l y z i n g d y n a m i c

r e s p o n s e s f r o m w a l k i n g c r o w d s . T h e r e f o r e , a t h r e e

d i m e n s i o n a l a n a l y s i s p r o g r a m i s d e v e l o p e d i n t h i s s t u d y

u s i n g t h e h u m a n b o d y m o d e l . T h i s p r o g r a m c a n

e f f e c t i v e l y g e n e r a t e p e d e s t r i a n e x c i t a t i o n f o r t h e d y n a m i c

b e h a v i o r o f a f o o t b r i d g e u n d e r h u m a n - i n d u c e d l a t e r a l a n d

g r a v i t a t i o n a l l o a d .

2 . D y n a m i c A n a l y s i s M e t h o d s f o r

F o o t b r i d g e s u n d e r H u m a n - i n d u c e d L o a d

A t i m e h i s t o r y d y n a m i c a n a l y s i s m e t h o d u s i n g a

c o m m e r c i a l F E ( f i n i t e e l e m e n t ) a n a l y s i s p r o g r a m w i t h t h e

a p p l i c a t i o n o f t h e m a t h e m a t i c a l t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l

i s t h e m o s t c o m m o n m e t h o d t o a n a l y z e t h e d y n a m i c

b e h a v i o r o f f o o t b r i d g e s . H o w e v e r , t h i s m o d e l i s n o t

s u i t a b l e f o r d y n a m i c a n a l y s i s o f f o o t b r i d g e s i n c e i t c a n n o t

c o n s i d e r t h e e f f e c t s f r o m h u m a n - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n t h a t

h u m a n m a k e s t o m a i n t a i n h i s b a l a n c e . T o o v e r c o m e t h i s

p r o b l e m , a n e w h u m a n b o d y m o d e l i s p r o p o s e d i n t h i s

c h a p t e r . I t i s c o m p a r a t i v e l y e a s i e r t o c o n s i d e r t h e s e

e f f e c t s i n t h e h u m a n b o d y m o d e l . A l s o , i t h a s a d v a n t a g e s

t o a p p l y c o m p l i c a t e d l o a d i n g c o n d i t i o n s s u c h a s l o a d s

f r o m c r o w d e d p e d e s t r i a n s . I n t h i s c h a p t e r , t h e a n a l y s i s

m e t h o d s u s i n g t h e m a t h e m a t i c a l t i m e - d o m a i n m o d e l a n d

t h e p r o p o s e d m e c h a n i c a l h u m a n b o d y m o d e l a r e b r i e f l y

e x p l a i n e d w i t h t h e i r t h e o r e t i c a l b a s e s .

2 . 1 . T h e d y n a m i c a n a l y s i s m e t h o d u s i n g t h e

m a t h e m a t i c a l t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l

A t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l i s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n

t h a t b o t h f e e t p r o d u c e e x a c t l y t h e s a m e p e r i o d i c f o r c e . I t

i s w e l l - k n o w n t h a t e a c h p e r i o d i c f o r c e F

p

( t ) w i t h a p e r i o d

T c a n b e r e p r e s e n t e d b y a F o u r i e r s e r i e s :

( 1 )

w h e r e , G i s t h e p e r s o n ’ s w e i g h t ( N ) , α

i

i s t h e F o u r i e r ’ s

c o e f f i c i e n t ( d y n a m i c l o a d f a c t o r s ) o f t h e i t h h a r m o n i c , i . e .

d y n a m i c l o a d f a c t o r ( D L F ) , f

p

i s t h e p a c i n g f r e q u e n c y

( H z ) , φ

i

i s t h e p h a s e a n g l e o f t h e i t h h a r m o n i c , i i s t h e

o r d e r n u m b e r o f t h e h a r m o n i c , a n d n i s t h e t o t a l n u m b e r

o f c o n t r i b u t i n g h a r m o n i c s .

A s s h o w n i n E q . ( 1 ) , t h e v e r t i c a l f o r c e c a n b e d i v i d e d

i n t o s t a t i c a n d d y n a m i c c o m p o n e n t s . T h e s t a t i c c o m p o n e n t

c o r r e s p o n d s t o a p e r s o n ’ s w e i g h t a n d t h e d y n a m i c

c o m p o n e n t i s t h e s u m o f h a r m o n i c f u n c t i o n s w i t h

f r e q u e n c i e s t h a t a r e a n i n t e g e r m u l t i p l e o f t h e p a c i n g

f r e q u e n c y . T h e f i r s t t o t h i r d h a r m o n i c s a r e d o m i n a n t ; E q .

( 1 ) c a n b e s i m p l y r e w r i t t e n i n f o u r t e r m s a s f o l l o w s

( B a c h m a n n a n d A m m a n n , 1 9 8 7 ; B a c h m a n n e t a l . , 1 9 9 5 ) :

( 2 )

A p e d e s t r i a n o n a f o o t b r i d g e p r o d u c e s n o t o n l y v e r t i c a l

f o r c e b u t a l s o l a t e r a l f o r c e . A l t h o u g h t h e l a t e r a l f o r c e i s

r e l a t i v e l y s m a l l c o m p a r e d t o t h e v e r t i c a l f o r c e , i t i s

s u f f i c i e n t t o p r o d u c e s t r o n g v i b r a t i o n s i n t h e c a s e o f

l a t e r a l l y s o f t a n d h e n c e l o w f r e q u e n c y s t r u c t u r e s . F u j i n o

e t a l . ( 1 9 9 3 ) n o t i c e d t h a t t h e f r e q u e n c y o f a p e r s o n ’ s

l a t e r a l h e a d m o v e m e n t i s 1 H z w h i c h i s t w i c e o f w a l k i n g

f r e q u e n c y . L a t e r a l m o v e m e n t i s ± 1 0 m m w h e n c r o s s i n g a

f o o t b r i d g e a s s h o w n i n F i g . 1 . A s t h e f r e q u e n c y o f l a t e r a l

m o v e m e n t i s h a l f t h e v e r t i c a l p a c i n g f r e q u e n c y , t h e

h a r m o n i c m o t i o n i n l a t e r a l d i r e c t i o n i s h a l f o f t h a t i n

v e r t i c a l d i r e c t i o n .

T a b l e 1 s h o w s t h e c o r r e l a t i o n o f p a c i n g f r e q u e n c y ,

f o r w a r d s p e e d a n d s t r i d e l e n g t h a c c o r d i n g t o h u m a n

m o t i o n f o r m s ( B a c h m a n n a n d A m m a n n , 1 9 8 7 ) . N o r m a l

w a l k i n g i s c o n s i d e r e d a s t h e h u m a n m o t i o n f o r t h e

m a t h e m a t i c t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l i n t h i s s t u d y , h e n c e

t h e f o r w a r d s p e e d a n d t h e s t r i d e l e n g t h i s s e l e c t e d a s

1 . 5 m / s a n d 0 . 7 5 m r e s p e c t i v e l y . B a c h m a n n a n d A m m a n n

( 1 9 8 7 ) a l s o p r o p o s e d t h e d y n a m i c l o a d f a c t o r s a n d t h e

p h a s e a n g l e s f o r n o r m a l w a l k i n g a s s u m m a r i z e d i n T a b l e

2 . B y u s i n g t h e v a l u e s o n t h i s t a b l e , t h e t i m e - d o m a i n

f o r c e m o d e l s i n v e r t i c a l a n d l a t e r a l d i r e c t i o n s c a n b e

c a l c u l a t e d u s i n g E q . ( 2 ) a s s h o w n i n F i g . 2 . T h e r e s u l t a n t

v e r t i c a l a n d l a t e r a l t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l i s t h e n

a p p l i e d t o a F E m o d e l o f a f o o t b r i d g e m o d e l .

F

p

t ( ) G G α

i

2

π i f

p

t φ

i

–

( )

s i n

i 1 =

n

∑

+ =

F

p

t ( ) G G α

i

2

π i f

p

t ( )

s i n

G α

2

4

π i f

p

t φ

2

–

( )

s i n + + =

G

+

α

3

6

π i f

p

t φ

3

–

( )

s i n

F i g u r e 1 . L a t e r a l m o v e m e n t o f p e r s o n ’ s h e a d i n w a l k i n g

T a b l e 1 . C o r r e l a t i o n o f p a c i n g f r e q u e n c y , f o r w a r d s p e e d a n d s t r i d e l e n g t h f o r w a l k i n g ( B a c h m a n n a n d A m m a n n , 1 9 8 7 )

H u m a n m o t i o n

P a c i n g f r e q u e n c y ( H z )

F o r w a r d s p e e d

( m / s )

S t r i d e l e n g t h

( m )

V e r t i c a l l a t e r a l

W a l k i n g

S l o w 1 . 7 0 . 8 5 1 . 1 0 . 6

N o r m a l 2 . 0 1 . 0 1 . 5 0 . 7 5

F a s t 2 . 3 1 . 1 5 2 . 2 1 . 0



D e v e l o p m e n t o f H u m a n B o d y M o d e l f o r t h e D y n a m i c A n a l y s i s o f F o o t b r i d g e s u n d e r P e d e s t r i a n I n d u c e d E x c i t a t i o n 3 3 5

2 . 2 . T h e d y n a m i c a n a l y s i s m e t h o d u s i n g t h e

m e c h a n i c a l h u m a n b o d y m o d e l

2 . 2 . 1 . T h e m e c h a n i c a l h u m a n b o d y m o d e l

H u m a n w a l k i n g m o t i o n i s p e r f o r m e d b y c o m p l i c a t e d

a n d e l a b o r a t e d m o v e m e n t o f j o i n t s a n d m u s c l e s i n a

h u m a n b o d y t o m a i n t a i n b a l a n c e d a t t i t u d e . A m o n g t h e

v a r i o u s c o m p o n e n t s o f f o o t - g r o u n d r e a c t i o n f o r c e d u e t o

s u c h c o m p l i c a t e d h u m a n w a l k i n g m o t i o n , t h e v e r t i c a l

c o m p o n e n t i s t h e m o s t d o m i n a n t c o m p o n e n t ( A n d r i a c c h i

e t a l . , 1 9 7 7 ) . T h e r e f o r e , a s i m p l e h u m a n b o d y m o d e l

( I S O , 1 9 8 1 ) h a v i n g v e r t i c a l 2 D O F ( d e g r e e o f f r e e d o m ) i s

c o n s i d e r e d a s s h o w n i n F i g . 3 . T h e t o t a l m a s s o f t h i s

m o d e l i s 7 3 6 N ( 7 5 k g ) .

T h e h u m a n b o d y m o d e l h a s B C O M ( B o d y C e n t e r O f

M a s s ) , t h e p e r i o d i c v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t o f w h i c h

c h a r a c t e r i z e s n o r m a l h u m a n w a l k i n g . T h e B C O M m o v e s

t h r o u g h a c o m p l e t e c y c l e o f v e r t i c a l m o t i o n w i t h e a c h

s t e p , o r t w o c y c l e s d u r i n g e a c h s t r i d e . T o g e n e r a t e

s i m u l a t e d p e d e s t r i a n e x c i t a t i o n f o r f o o t b r i d g e s u s i n g a

h u m a n b o d y m o d e l , t h e v e r t i c a l m o v e m e n t o f t h e B C O M

s h o u l d b e e v a l u a t e d . T h r o u g h t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n

t h e B C O M a c c e l e r a t i o n , t h e v e r t i c a l f o r c e s ( C a v a g n a ,

1 9 7 5 ) a n d t h e f o r c i n g f u n c t i o n d u e t o a p e r s o n ’ s

r h y t h m i c a l b o d y m o t i o n ( E q . ( 1 ) ) , E q . ( 3 - a ) a n d E q . ( 3 - b )

c a n b e d e r i v e d .

T a b l e 2 . D y n a m i c l o a d f a c t o r s a n d p h a s e a n g l e s f o r n o r m a l w a l k i n g ( B a c h m a n n a n d A m m a n n , 1 9 8 7 )

P a c i n g r a t e ( H z ) α

1

α

2

φ

2

α

3

φ

3

V e r t i c a l

2 . 0 0 . 4 0 . 1

π / 2

0 . 1

π / 2

2 . 4 0 . 5 0 . 1 0 . 1

L a t e r a l 1 . 0 0 . 0 4 0 . 0 1 0 . 0 4

F i g u r e 2 . T i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l i n v e r t i c a l a n d l a t e r a l d i r e c t i o n



3 3 6 S a n g - H y o K i m e t a l .

( 3 - a )

( 3 - b )

w h e r e m g ( = G ) i s t h e b o d y w e i g h t , a

z

i s t h e v e r t i c a l

a c c e l e r a t i o n o f t h e B C O M . A l t h o u g h t h i s e q u a t i o n h a s

s a m e p r o t o t y p e w i t h t h e t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l , t h i s

a c c e l e r a t i o n w i l l p r o d u c e p e d e s t r i a n e x c i t a t i o n s i n h u m a n

b o d y m o d e l d u e t o t h e v e r t i c a l i n e r t i a . A l s o , s o m e

a d d i t i o n a l e x c i t a t i o n s w i l l b e d e v e l o p e d w h i l e c o n s i d e r i n g

h u m a n - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n f o r c e . T h e r e f o r e , B a c h m a n n ’ s

p a r a m e t e r s s u c h a s α

ι

a n d φ

ι

a r e a d o p t e d t o e x p r e s s a n

e x t e r n a l f o r c e . S i n c e t h e h u m a n b o d y m o d e l d o e s n o t

h a v e l a t e r a l D O F , t h e l a t e r a l h u m a n - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n

i s n e g l e c t e d a n d t h e l a t e r a l f o r c e d e s c r i b e d i n F i g . 2 ( b ) i s

e m p l o y e d i n s t e a d .

T h e e q u a t i o n o f m o t i o n o f t h e h u m a n b o d y m o d e l i s

d e r i v e d f r o m f o l l o w i n g g e n e r a l i z e d L a g r a n g i a n e q u a t i o n :

( 4 )

w h e r e q

j

i s t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e , Q

j

i s t h e

g e n e r a l i z e d w o r k , T i s t h e t o t a l k i n e t i c e n e r g y , V i s t h e

p o t e n t i a l e n e r g y a n d D i s d i s s i p a t i o n e n e r g y . T h e r e a r e

t w o m a j o r t y p e s o f m e t h o d s t o s o l v e t h i s e q u a t i o n , n a m e l y ,

d i r e c t i n t e g r a t i o n m e t h o d a n d m o d e s u p e r p o s i t i o n m e t h o d .

I n t h i s s t u d y , N e w m a r k -

β

m e t h o d i s e m p l o y e d , w h i c h i s

F

p

t ( ) m g m g

z

t ( ) + =

m g

1

α

i

2

π i f

p

t φ

i

–

( ) s i n

i 1 =

n

∑

+

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

a

z

t ( ) g α

i

2

π i f

p

t φ

i

–

( ) s i n

i 1 =

n

∑

=

d

d t

- - - -

∂ T

∂ q

j

'

- - - - - - - -

⎝ ⎠

⎛ ⎞

∂ T

∂ q

j

- - - - - - -

–

∂ V

∂ q

j

- - - - - - -

∂ D

∂ q

j

'

- - - - - - - -

+ +

Q

j

=

F i g u r e 3 . H u m a n b o d y m o d e l ( I S O , 1 9 8 1 )

F i g u r e 4 . G r o u n d r e a c t i o n f o r c e d u e t o h u m a n b o d y m o d e l




o n e o f t h e d i r e c t i n t e g r a t i o n m e t h o d s . T h e e q u a t i o n o f

m o t i o n f o r t h e h u m a n b o d y m o d e l i s d e s c r i b e d i n

a p p e n d i x .

F i g . 4 ( a ) , ( b ) s h o w s t i m e h i s t o r i e s o f g r o u n d r e a c t i o n

f o r c e s i n t e r m s o f s t a t i c a n d d y n a m i c c o m p o n e n t s . R e d

p l o t i n F i g . 4 ( c ) i n d i c a t e s t h e s u m o f s t a t i c a n d d y n a m i c

c o m p o n e n t s . A s s h o w n i n F i g . 4 ( c ) , t h e h u m a n b o d y

m o d e l h a s m o r e e x c i t a t i o n c o m p a r e d t o t h e t i m e - d o m a i n

f o r c e m o d e l w h i c h B a c h m a n n s u g g e s t e d . T h i s i s b e c a u s e

t h e h u m a n b o d y m o d e l h a s c o n s i d e r e d t h e v e r t i c a l i n e r t i a

f o r c e , w h i c h i s o c c u r r e d f r o m t w o l u m p e d m a s s e s . T h e s e

t w o m o d e l s h e r e a r e e v a l u a t e d o n t h e r i g i d s u r f a c e ;

t h e r e f o r e , h u m a n - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n e f f e c t i s e x c l u d e d .

I t i s n e c e s s a r y t h a t t h e s e t w o m o d e l s s h o u l d h a v e s i m i l a r

w a l k i n g f o r c e s i n c e B a c h m a n n ’ s m o d e l r e p r e s e n t s r e a l

h u m a n l o a d i n g o n t h e r i g i d s u r f a c e . I n o r d e r t o f i t t h e

w a l k i n g f o r c e g e n e r a t e d b y t h e h u m a n b o d y m o d e l t o

B a c h m a n n ’ s t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l , d y n a m i c l o a d

f a c t o r s a n d p h a s e a n g l e s a r e m o d i f i e d a s l i s t e d i n T a b l e 3 .

F i g . 5 s h o w s t h e t i m e h i s t o r y o f p e d e s t r i a n e x c i t a t i o n

u s i n g t h e h u m a n b o d y m o d e l , c o m p a r e d w i t h t h e t i m e -

d o m a i n f o r c e m o d e l f r o m w h i c h g o o d a g r e e m e n t i s f o u n d

b e t w e e n t h e t w o m o d e l s . T h e m a x i m u m a n d m i n i m u m

v a l u e s o f t h e h u m a n b o d y m o d e l a f t e r s t a b i l i z a t i o n s h o w s

l i t t l e d i f f e r e n c e o f l e s s t h a n 1 % c o m p a r e d t o t h e t i m e -

d o m a i n f o r c e m o d e l a s s u m m a r i z e d i n T a b l e 4 .

2 . 2 . 2 . A n a l y s i s a l g o r i t h m c o n s i d e r i n g h u m a n - s t r u c t u r e

i n t e r a c t i o n

T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e b r i d g e m o d e l a n d t h e

h u m a n b o d y m o d e l c a n b e o b t a i n e d i n a m a t r i x f o r m . T h e

t w o e q u a t i o n s a r e c o u p l e d i n t e r m s o f i n t e r a c t i n g f o r c e o n

a c o n t a c t p o i n t . W i t h t h e m o v e m e n t o f a h u m a n b o d y , t h e

i n t e r a c t i n g f o r c e b e t w e e n b o t h s y s t e m s c h a n g e s t o g e t h e r

w i t h t h e c o n t a c t p o i n t s .

T o a n a l y z e t h i s i n t e r a c t i o n f o r c e , t h i s s t u d y m o d i f i e d

t h e p r o g r a m f o r d y n a m i c b e h a v i o r a n a l y s i s d e v e l o p e d i n

a p r e v i o u s s t u d y ( K i m e t a l . , 1 9 9 9 ; K i m e t a l . , 2 0 0 5 ) . T h i s

p r o g r a m i n c l u d e s m a t r i x g e n e r a t i o n a n d d e c o m p o s i t i o n ,

e i g e n v a l u e a n d e i g e n v e c t o r e x t r a c t i o n , a n d a s t e p - b y - s t e p

t r a n s i e n t r e s p o n s e . T h e N e w m a r k - β m e t h o d i s u s e d t o

i n t e g r a t e d y n a m i c e q u a t i o n s o f t h e b r i d g e u n d e r n o n l i n e a r

h u m a n - i n d u c e d l o a d . F i g u r e 6 s h o w s a f l o w c h a r t o f t h e

c o m p u t e r a l g o r i t h m s t e p s f o r t h e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n s

o f h u m a n - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n s y s t e m .

T a b l e 3 . M o d i f i e d d y n a m i c l o a d f a c t o r s a n d p h a s e a n g l e s f o r t h e h u m a n b o d y m o d e l ( v e r t i c a l )

P a c i n g r a t e ( H z ) α

1

α

2

φ

2

α

3

φ

3

2 . 0 0 . 2 8 0 . 0 5 0 0 . 1 8 0

F i g u r e 5 . W a l k i n g f o r c e g e n e r a t e d b y h u m a n b o d y m o d e l

T a b l e 4 . T h e m a x i m u m a n d m i n i m u m w a l k i n g f o r c e o f t h e

h u m a n b o d y m o d e l a n d t h e t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l a f t e r

s t a b i l i z a t i o n ( U n i t : N )

M o d e l

H u m a n b o d y

m o d e l

T i m e - d o m a i n

f o r c e m o d e l

E r r o r ( % )

M a x . 1 1 5 6 . 4 1 1 5 6 . 7 0 . 0 2

M i n . 4 6 0 . 1 4 5 9 . 1 0 . 2 1

F i g u r e 6 . F l o w c h a r t o f d e v e l o p e d d y n a m i c a n a l y s i s p r o g r a m



3 3 8 S a n g - H y o K i m e t a l .

3 . M o d e l i n g o f t h e F o o t b r i d g e

T o e v a l u a t e t h e p r o p o s e d h u m a n b o d y m o d e l , c o m m o n

f o o t b r i d g e i s m o d e l e d u s i n g f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . I t i s a

s t e e l g i r d e r c a b l e s t a y e d f o o t b r i d g e l o c a t e d i n a S e o u l

p a r k i n K o r e a ( F i g . 7 ) . T h e l e n g t h a n d w i d t h o f t h e

f o o t b r i d g e i s 9 9 m ( = 4 . 5 m + 1 8 m × 5 + 4 . 5 m ) a n d 3 . 3 m ,

r e s p e c t i v e l y . B e c a u s e t h i s f o o t b r i d g e i s d e s i g n e d t o b e

s l e n d e r a n d l i g h t w e i g h t e d , i t i s r e q u i r e d t o d e t e r m i n e t h e

v i b r a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s . T h e F E m o d e l o f t h i s f o o t b r i d g e

i s d e s i g n e d w i t h d i m e n s i o n a l f r a m e a n d t r u s s e l e m e n t s a s

s h o w n i n F i g . 8 . T h e d a m p i n g r a t i o o f t h e f o o t b r i d g e i s

a s s u m e d a s 0 . 4 % a s s u g g e s t e d b y B a c h m a n n e t a l . ( 1 9 9 5 )

f o r s t e e l g i r d e r f o o t b r i d g e s . I n o r d e r t o v e r i f y t h e b r i d g e

m o d e l , t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d t h e d e f o r m a t i o n u n d e r

c o n s t a n t p e d e s t r i a n l o a d ( 3 . 5 k N / m

2

) a r e c o m p a r e d v i a

c o m m e r c i a l F E a n a l y s i s p r o g r a m a n d t h e d y n a m i c b e h a v i o r

a n a l y s i s p r o g r a m d e v e l o p e d i n t h i s s t u d y . T h e r e s u l t s o f

t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d d e f o r m a t i o n a r e s h o w n i n

T a b l e 5 a n d 6 . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d d e f o r m a t i o n

v a l u e s a r e s i m i l a r f r o m b o t h p r o g r a m s .

F i g u r e 7 . A s p a n o f t h e f o o t b r i d g e c o n s i d e r e d i n t h i s s t u d y ( U n i t : m )

F i g u r e 8 . 3 - D m o d e l o f t h e f o o t b r i d g e w i t h f r a m e a n d t r u s s e l e m e n t s

T a b l e 5 . C o m p a r i s o n o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f b r i d g e

m o d e l s ( U n i t : H z )

M o d e

C o m m e r c i a l F E M

a n a l y s i s p r o g r a m

D e v e l o p e d d y n a m i c


E r r o r ( % )

1

s t

1 . 8 8 1 . 8 7 0 . 5

2

n d

1 . 9 8 1 . 9 6 1 . 0

3

r d

2 . 1 4 2 . 1 5 0 . 5

4

t h

2 . 2 1 2 . 1 6 2 . 3

5

t h

2 . 3 2 2 . 3 7 2 . 1

T a b l e 6 . D e f o r m a t i o n s a t t h e m i d p o i n t o n t h e f i r s t s p a n

u n d e r c o n s t a n t l o a d ( 3 . 5 k N / m

2

)

C o m m e r c i a l F E M


D e v e l o p e d d y n a m i c


E r r o r ( % )

1 6 . 5 m m 1 6 . 4 m m 0 . 6 %




4 . D y n a m i c A n a l y s i s o f F o o t b r i d g e u n d e r

P e d e s t r i a n E x c i t a t i o n

D y n a m i c a n a l y s e s a r e p e r f o r m e d t o i n v e s t i g a t e t h e

d y n a m i c b e h a v i o r o f t h e f o o t b r i d g e u n d e r p e d e s t r i a n

l o a d . D y n a m i c b e h a v i o r s o f t h e f o o t b r i d g e u s i n g t h e

d e v e l o p e d h u m a n b o d y m o d e l a r e c o m p a r e d w i t h t h e

r e s u l t s o f t h e c l a s s i c a l t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l . T h e

h u m a n b o d y m o d e l i s a l s o v e r i f i e d w i t h e x p e r i m e n t a l

m e a s u r e m e n t s o n t h e s i t e . B a s e d o n t h e v e r i f i e d m o d e l s ,

t h e e f f e c t s o f c r o w d e d m o v i n g p e d e s t r i a n l o a d s a r e

s t u d i e d .

4 . 1 . C o m p a r i s o n o f d y n a m i c r e s p o n s e s d u e t o t h e

t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l a n d t h e h u m a n b o d y m o d e l

T o v e r i f y t h e v a l i d a t i o n o f t h e h u m a n b o d y m o d e l , t h e

d y n a m i c r e s p o n s e s o b t a i n e d b y t h e h u m a n b o d y m o d e l

a r e c o m p a r e d w i t h t h o s e f r o m t h e t i m e - d o m a i n f o r c e

m o d e l . T a b l e 7 s h o w s t h e m a x i m u m d y n a m i c r e s p o n s e s

d u e t o a s i n g l e w a l k i n g p e d e s t r i a n g e n e r a t e d f r o m t h e t w o

m o d e l s a t t h e c e n t e r o f f o u r t h s p a n o f t h e f o o t b r i d g e . F i g .

9 a n d 1 0 s h o w t h e t i m e h i s t o r i e s o f d i s p l a c e m e n t a n d

a c c e l e r a t i o n o b t a i n e d b y t h e t w o d y n a m i c a n a l y s i s m e t h o d s .

O v e r a l l , t h e r e s p o n s e s o f t h e f o o t b r i d g e e v a l u a t e d f r o m

t h e t w o m e t h o d s s h o w s i m i l a r w a v e p a t t e r n s . H o w e v e r ,

t h e m a x i m u m v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t f r o m t h e d y n a m i c

a n a l y s i s u s i n g t h e h u m a n b o d y m o d e l w a s 3 4 % l a r g e r

t h a n t h a t f r o m t h e t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l a s t a b u l a t e d

i n T a b l e 7 . A l s o , t h e m a x i m u m v e r t i c a l a c c e l e r a t i o n u s i n g

t h e h u m a n b o d y m o d e l i s n e a r l y t h r e e t i m e s l a r g e r t h a n

t h e v a l u e f r o m t h e t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l . T h i s i s d u e

t o t h e d y n a m i c e f f e c t a n d t h e h u m a n - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n

o f t h e d y n a m i c a n a l y s i s m e t h o d u s i n g t h e h u m a n b o d y

m o d e l . O n t h e c o n t r a r y , t h e d i f f e r e n c e o f l a t e r a l r e s p o n s e

i s v e r y s m a l l , s i n c e t h e r e i s n o i n t e r a c t i o n b e t w e e n h u m a n

a n d s t r u c t u r e i n l a t e r a l d i r e c t i o n .

4 . 2 . C o m p a r i s o n o f a n a l y t i c a l r e s u l t s w i t h

e x p e r i m e n t a l r e s u l t s

W h e n t h e n e w p e d e s t r i a n m o d e l i s p r o p o s e d , i t i s

u s u a l l y v e r i f i e d b y e x p e r i m e n t a l d a t a ( W u e t a l . , 2 0 0 8 ) . I n

t h i s c h a p t e r , h u m a n b o d y m o d e l i s v e r i f i e d v i a c o m p a r i s o n

s t u d y b e t w e e n e x p e r i m e n t a l d a t a a n d d y n a m i c r e s p o n s e s

f r o m t h e h u m a n b o d y m o d e l . T h e t e s t i s c o n d u c t e d w i t h

u n d e r t h e w a l k i n g l o a d o f f i v e p e o p l e ( a v e r a g e m a s s :

7 2 . 5 k g ) . A 1 2 - s p a n c a b l e s t a y e d f o o t b r i d g e w i t h 2 2 5 m

l e n g t h ( 4 . 5 m + 1 8 m @ 1 2 + 4 . 5 m ) , 3 . 3 m w i d t h w a s u s e d .

S p e c i f i e d p r o p e r t i e s o f t h i s b r i d g e a r e s a m e a s c h a p t e r 3 .

F i v e p e d e s t r i a n s w e r e m a k i n g a g r o u p w i t h 1 m d i s t a n c e

w a l k i n g t h r o u g h t h e t w o s p a n s o f t h e b r i d g e , t r i e d t o

s y n c h r o n i z e t h e i r s t e p s .

T w o d i f f e r e n t w a l k i n g f e a t u r e s o f t h e h u m a n b o d y

T a b l e 7 . D y n a m i c r e s p o n s e s d u e t o t h e t i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l a n d t h e h u m a n b o d y m o d e l

M o d e l

M a x i m u m d i s p l a c e m e n t ( m m ) M a x i m u m a c c e l e r a t i o n ( m / s e c

2

)

V e r t i c a l L a t e r a l V e r t i c a l l a t e r a l

T i m e - d o m a i n f o r c e m o d e l 0 . 6 3 2 0 . 0 5 3 0 . 0 7 4 0 . 0 1 1

H u m a n b o d y m o d e l 0 . 8 4 7 0 . 0 6 0 0 . 2 6 0 0 . 0 4 4

D i f f e r e n c e 0 . 2 1 5 0 . 0 0 7 0 . 1 8 6 0 . 0 3 3

F i g u r e 9 . T i m e h i s t o r i e s o f d i s p l a c e m e n t o f t h e f o o t b r i d g e f r o m d y n a m i c a n a l y s i s



3 4 0 S a n g - H y o K i m e t a l .

m o d e l a r e u s e d f o r c o m p a r i s o n , n a m e l y , h u m a n b o d y

m o d e l R a n d h u m a n b o d y m o d e l S . H u m a n b o d y m o d e l

R a p p l i e s d i f f e r e n t s t e p s f o r e v e r y p e d e s t r i a n s , w h i l e

H u m a n b o d y m o d e l S i s p e r f o r m e d w i t h s a m e s t e p s f o r

a l l p e d e s t r i a n s , i . e . , t h e s t e p s a r e s y n c h r o n i z e d . A l s o ,

s t a t i c a n a l y s i s i s c o m p a r e d t o v e r i f y t h e m o d e l a n d t h e

a n a l y s i s r e s u l t .

T a b l e 8 a n d F i g . 1 1 s h o w t h e r e s p o n s e s o f t h e

f o o t b r i d g e o b t a i n e d f r o m t h e a n a l y s i s a n d e x p e r i m e n t . A s

s h o w n i n t h e T a b l e 8 , t h e s t a t i c d i s p l a c e m e n t f r o m

a n a l y s i s i s s i m i l a r t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t ; h o w e v e r , t h e

a n a l y s i s r e s u l t i s s l i g h t l y o v e r e s t i m a t e d . T h i s i n d i c a t e s

t h a t t h e F E m o d e l p r o p e r t i e s a r e s o m e w h a t d i f f e r e n t f r o m

t h e p r o p e r t i e s o f t h e f o o t b r i d g e . A l s o , t h e d y n a m i c r e s p o n s e

f r o m h u m a n b o d y m o d e l S i s c l o s e t o t h e e x p e r i m e n t a l

r e s u l t ( d i f f e r e n c e : 4 % ) . D u e t o t h e o f f s e t e f f e c t s f r o m

F i g u r e 1 0 . T i m e h i s t o r i e s o f a c c e l e r a t i o n o f t h e f o o t b r i d g e f r o m d y n a m i c a n a l y s i s

T a b l e 8 . M a x i m u m v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s f r o m a n a l y s i s

a n d e x p e r i m e n t ( u n i t : m m )

S t a t i c l o a d

D y n a m i c l o a d

H u m a n b o d y

m o d e l S *

H u m a n b o d y

m o d e l R * *

A n a l y s i s 1 . 2 0 1 . 7 1 1 . 4 8

E x p e r i m e n t 1 . 1 3 1 . 6 5

* : p e r f e c t s y n c h r o n i z a t i o n , * * : n o t s y n c h r o n i z e d

F i g u r e 1 1 . V e r t i c a l d i s p l a c e m e n t t i m e h i s t o r i e s f r o m t h e a n a l y s i s a n d e x p e r i m e n t




d i f f e r e n t s t e p s , t h e r e s p o n s e f r o m h u m a n b o d y m o d e l R i s

s m a l l e r t h a n t h o s e f r o m e x p e r i m e n t a n d h u m a n b o d y

m o d e l S . O v e r a l l , i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t t h e d y n a m i c

a n a l y s i s u s i n g t h e h u m a n b o d y m o d e l i s f a i r l y a c c e p t a b l e ,

p r o v i d i n g a r e l i a b l e r e s u l t s .

4 . 3 . D y n a m i c a n a l y s e s f o r t h e f o o t b r i d g e u n d e r

c r o w d - i n d u c e d e x c i t a t i o n

T h r o u g h s e c t i o n 4 . 1 a n d 4 . 2 , i t c a n b e c o n f i r m e d t h a t

t h e h u m a n b o d y m o d e l i s s u i t a b l e f o r t h e f o o t b r i d g e

d y n a m i c a n a l y s i s . T h u s , d y n a m i c a n a l y s i s i s p e r f o r m e d

f o r t h e c r o w d e d p e d e s t r i a n s u s i n g h u m a n b o d y m o d e l .

T h r e e d i f f e r e n t w a l k i n g m o d e l s a r e c o m p a r e d i n t h i s

s e c t i o n , n a m e l y , t h e r a n d o m l y w a l k i n g h u m a n b o d y

m o d e l ( h u m a n b o d y m o d e l R ) , t h e s y n c h r o n i z e d m o d e l

( h u m a n b o d y m o d e l S ) a n d t h e c l a s s i c a l r a n d o m l y

w a l k i n g m o d e l ( c l a s s i c a l r a n d o m w a l k i n g m o d e l )

w h i c h w a s p r o p o s e d b y t h e M a t s u m o t o e t a l . ( 1 9 7 8 ) .

S p e c i f i e d d e s c r i p t i o n s r e g a r d i n g t h i s m o d e l w i l l b e o n t h e

f o l l o w i n g p a r a g r a p h . A s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 4 . 2 , a l l t h e

p e d e s t r i a n s s h o u l d h a v e d i f f e r e n t s t e p s t o r e f l e c t t h e

r a n d o m l y w a l k i n g p e o p l e . T h e r e f o r e , i n h u m a n b o d y

m o d e l R , t h e l o n g i t u d i n a l d i s t a n c e s b e t w e e n t h e p e d e s t r i a n s

a n d t h e i n d i v i d u a l s t e p s a r e r a n d o m l y d e f i n e d . T h e

l o a d i n g f e a t u r e s o f h u m a n b o d y m o d e l S a n d h u m a n b o d y

m o d e l R a r e s h o w n i n F i g . 1 2 a n d 1 3 . A d d i t i o n a l l y ,

f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e a s s u m e d d u r i n g t h e a n a l y s i s o f

h u m a n b o d y m o d e l R . 1 ) A l a n e s t h a t p e d e s t r i a n s a r e

w a l k i n g t h r o u g h a r e s e t t o b e t h r e e . ( D i s t a n c e b e t w e e n

t h e l a n e i s 1 m ) 2 ) T h e r e a r e n o d i s t a n c e l i m i t s o n t h e

b r i d g e i n t h e b r i d g e - l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n 3 ) A l l t h e

p e d e s t r i a n s a r e w a l k i n g f r e e l y , i . e . u n c o n s t r a i n e d w a l k i n g

( D a l l a r d e t a l . , 2 0 0 1 ) .

P r e v i o u s s t u d i e s r e g a r d i n g t o t h e l o a d i n d u c e d f r o m t h e

c r o w d e d p e d e s t r i a n s a g r e e d t h a t M a t s u m o t o ’ s m o d e l i s

f a i r l y a c c e p t a b l e i n r a n d o m l y f r e e w a l k i n g p e d e s t r i a n s t r e a m

( S . M o u r i n g , 1 9 9 3 , G r u n d m a n n e t a l . , 1 9 9 3 ) . M a t s u m o t o

a s s u m e d t h a t p e d e s t r i a n s a r r i v e d o n t h e b r i d g e f o l l o w i n g

a P o i s s o n d i s t r i b u t i o n a n d t h e y s t o c h a s t i c a l l y s u p e r i m p o s e d

i n d i v i d u a l r e s p o n s e s . H e f o u n d t h a t t h e r e s p o n s e o f t h e

c r o w d e d p e d e s t r i a n s c a n b e o b t a i n e d b y m u l t i p l y i n g a

s i n g l e p e d e s t r i a n r e s p o n s e b y t h e m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r

, w h e r e λ i s t h e m e a n a r r i v a l r a t e o f p e d e s t r i a n s

( p e d e s t r i a n s / s e c o n d / w i d t h ) , a n d T

0

s t a n d s f o r t h e e l a p s i n g

t i m e t o c r o s s o v e r t h e b r i d g e . T h i s m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r

c a n a l s o b e c o n v e r t e d t o , w h e r e n m e a n s t h e n u m b e r

o f p e d e s t r i a n s o n t h e b r i d g e a t a n y t i m e ( S . Z i v a n o v i c e t

a l . , 2 0 0 4 ) . I n t h e r a n d o m v i b r a t i o n t h e o r y , i f t h e

r e s p o n s e s d u e t o n e q u a l a n d r a n d o m l y d i s t r i b u t e d i n p u t s

a r e t i m e s h i g h e r t h a n t h e r e s p o n s e s d u e t o a s i n g l e

i n p u t , i t m e a n s t h a t i n p u t s a r e a b s o l u t e l y u n c o r r e l a t e d

( N e w l a n d , 1 9 9 3 ) . I n t h e c a s e o f p e d e s t r i a n l o a d , i t

i n d i c a t e s t h a t s t e p s a r e a b s o l u t e l y u n s y n c h r o n i z e d ( r a n d o m ) .

T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e n u m b e r o f p e o p l e a n d t h e

m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r i s s h o w n i n F i g . 1 4 .

I n a n y c a s e , M a t s u m o t o ’ s p r o p o s a l w a s r e g a r d e d a s

a p p r o p r i a t e a t l e a s t f o r f o o t b r i d g e s w i t h n a t u r a l f r e q u e n c i e s

i n t h e r a n g e o f w a l k i n g f r e q u e n c i e s ( 1 . 8 - 2 . 2 H z )

( Z i v a n o v i c e t a l . , 2 0 0 4 ) . H o w e v e r , M a t s u m o t o ’ s p r o p o s a l

w a s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e p e d e s t r i a n s a r e

f r e e l y w a l k i n g o n t h e b r i d g e . G r u n d m a n n e t a l . ( 1 9 9 3 )

p r o p o s e d t h a t t h e u p p e r l i m i t f o r u n c o n s t r a i n e d f r e e

w a l k i n g i s 0 . 3 p e d e s t r i a n s / m

2

. I n s t e a d o f M a t s u m o t o ’ s

p r o p o s a l , h e c l a i m e d o t h e r m o d e l s o f d e n s e r l o a d c a s e s ,

w h i c h a r e c o n s i d e r i n g s o m e s y n c h r o n i z a t i o n b e t w e e n t h e

n e i g h b o r p e d e s t r i a n s .

T h e d y n a m i c b e h a v i o r o f t h e f o o t b r i d g e i s e s t i m a t e d

a s s u m i n g f o u r l o a d c a s e s o f w a l k i n g g r o u p ; 9 9 p e d e s t r i a n s

( d e n s i t y = 0 . 3 3 p e d e s t r i a n s / m

2

) , 1 9 8 p e d e s t r i a n s ( d e n s i t y =

0 . 6 7 p e d e s t r i a n s / m

2

) , 2 9 7 p e d e s t r i a n s ( d e n s i t y = 1 . 0

p e d e s t r i a n s / m

2

) a n d 4 4 5 p e d e s t r i a n s ( d e n s i t y = 1 . 5


2

) . A s s h o w n i n T a b l e 9 , t h e c a s e o f 0 . 3 3

n

λ T

0

n

n

F i g u r e 1 3 . R a n d o m l y w a l k i n g m o d e l ( H u m a n b o d y m o d e l R )

F i g u r e 1 2 . S y n c h r o n i z e d w a l k i n g m o d e l ( H u m a n b o d y m o d e l S )



3 4 2 S a n g - H y o K i m e t a l .


2

r e p r e s e n t s t h e m a x i m u m d e n s i t y o f f r e e

w a l k i n g , a n d 0 . 6 7 p e d e s t r i a n s / m

2

f o r d e n s e w a l k i n g

( S c h l a i c h , 2 0 0 2 ) . 1 . 0 p e d e s t r i a n s / m

2

i s a s s u m e d a s v e r y

d e n s e w a l k i n g . T h i s d e n s i t y i s a d o p t e d b e c a u s e i t i s a

r e c o m m e n d e d d e n s i t y t o c h e c k t h e v i b r a t i o n s e r v i c e a b i l i t y

( S e o u l c i t y , 2 0 0 1 ) . F i n a l l y 1 . 5 p e d e s t r i a n s / m

2

r e p r e s e n t s

e x t r e m e l y c r o w d e d d e n s i t y . T h e s e m u l t i p l e p e d e s t r i a n

l o a d s i n e a c h d e n s i t y c o v e r w h o l e b r i d g e o f s p a n l e n g t h

9 9 m . F o r h u m a n b o d y m o d e l R , t h e d i s t a n c e s b e t w e e n

t h e p e d e s t r i a n s a n d t h e w a l k i n g s t e p s a r e r a n d o m l y

d e c i d e d . T h e r e f o r e , t h e a n a l y s i s s h o u l d b e r e p e a t e d t o

f i n d t h e r e p r e s e n t a t i v e v a l u e s f o r e a c h w a l k i n g c a s e s .

A s i n d i c a t e d i n F i g . 1 5 , i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t o v e r a l l

s i x s a m p l e s f r o m h u m a n b o d y m o d e l R a r e s u f f i c i e n t t o

g e t a r e l i a b l e r e s u l t s , w h i c h g u a r a n t e e t h e m a x i m u m 5 %

o f c o e f f i c i e n t o f v a r i a t i o n ( C O V ) . T h u s , t h e r e s p o n s e s o f

t h e h u m a n b o d y m o d e l a v e r a g e d f r o m t e n s a m p l e s a r e

a p p r o p r i a t e e n o u g h . F i g . 1 6 e x e m p l i f y t h e r e s p o n s e s f r o m

h u m a n b o d y m o d e l R f o r e a c h p e d e s t r i a n d e n s i t y .

B e c a u s e t h e r e s p o n s e s f r o m t h e h u m a n b o d y m o d e l R a r e

c h a n g i n g v a r i o u s l y a c c o r d i n g t o t h e e a c h l o a d i n g c o n d i t i o n s ,

t h e m o s t r e p r e s e n t a t i v e c a s e s ( t h e c a s e s w h i c h a r e c l o s e d

t o t h e a v e r a g e v a l u e ) a r e p r e s e n t e d .

F i g . 1 7 s h o w s t h e r e s u l t s o f t h e d y n a m i c r e s p o n s e s

f r o m h u m a n b o d y m o d e l R , h u m a n b o d y m o d e l S a n d

c l a s s i c a l r a n d o m w a l k i n g m o d e l . O v e r a l l , v e r t i c a l

r e s p o n s e s a r e 3 ~ 4 t i m e s b i g g e r t h a n l a t e r a l r e s p o n s e s .

M o r e o v e r , i n c r e a s e o f h u m a n d e n s i t y i n d u c e s l a r g e r

d i s p l a c e m e n t a n d a c c e l e r a t i o n . F o r t h e d e n s i t y o f 1


2

, t h e v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t r e s p o n s e f r o m

h u m a n b o d y m o d e l S i s 2 7 % l a r g e r t h a n t h a t o f h u m a n

b o d y m o d e l R . F o r t h e v e r t i c a l a c c e l e r a t i o n , h u m a n b o d y

m o d e l S s h o w s 4 9 % l a r g e r r e s p o n s e t h a n h u m a n b o d y

m o d e l R . I n t h e d e n s i t y o f 0 . 3 3 p e d e s t r i a n s / m

2

, h u m a n

b o d y m o d e l R i n d u c e s a c c e l e r a t i o n w h i c h i s 2 8 % l a r g e r

t h a n r e s p o n s e f r o m h u m a n b o d y m o d e l S .

S i n c e t h e c l a s s i c a l r a n d o m w a l k i n g m o d e l i s b a s e d

o n t h e a s s u m p t i o n t h a t p e d e s t r i a n s a r e w a l k i n g f r e e l y , i n

f a c t , i t i s r e s t r i c t e d t o b e a p p l i e d t o t h e c a s e s w i t h d e n s i t y

l a r g e r t h a n 0 . 3 0 p e d e s t r i a n s / m

2

. H o w e v e r , i t i s a p p l i e d t o

c o m p a r e h u m a n b o d y m o d e l R , a s i t i s a s s u m e d a s f r e e

w a l k i n g , b e c a u s e t h e r e i s n o p r e v i o u s s t u d y t h a t a n a l y z e d

c r o w d e d h u m a n l o a d w i t h s t e p - b y - s t e p m o v i n g m o d e l o n

n

n

F i g u r e 1 4 . R e l a t i o n s h i p b e t w e e n n u m b e r o f p e r s o n s a n d

m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r ( M a t s u m o t o e t a l . , 1 9 8 7 )

F i g u r e 1 5 . C O V s f o r v a r i o u s n u m b e r o f s a m p l e s ( v e r t i c a l )

T a b l e 9 . D e n s i t y a n d p e d e s t r i a n n u m b e r s o n e a c h t r a f f i c

t y p e

T r a f f i c t y p e D e n s i t y

N u m b e r o f

p e d e s t r i a n s

F r e e 0 . 3 3 p e d e s t r i a n s / m

2

9 9 m e n

D e n s e 0 . 6 6 p e d e s t r i a n s / m

2

1 9 8 m e n

V e r y d e n s e 1 p e d e s t r i a n s / m

2

2 9 7 m e n

E x t r e m e l y c r o w d e d 1 . 5 p e d e s t r i a n s / m

2

4 4 5 m e n




f o o t b r i d g e s . A s s h o w n i n F i g . 1 7 ( a ) a n d ( c ) , t h e r e s p o n s e s

f r o m h u m a n b o d y m o d e l R a r e s m a l l e r t h a n t h e r e s p o n s e s

f r o m h u m a n b o d y m o d e l S a n d l a r g e r t h a n t h a t o f

c l a s s i c a l r a n d o m w a l k i n g m o d e l . I t c a n b e c o n c l u d e d

t h a t t h e h u m a n - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n a n d t h e e x c i t a t i o n s

t h a t h u m a n m a k e s t o m a i n t e n a n c e h i s b a l a n c e h a v e

s o m e h o w a f f e c t e d t h e r e s p o n s e s t o h a v e a l a r g e r v a l u e

t h a n c l a s s i c a l r a n d o m w a l k i n g m o d e l .

F o r t h e v e r t i c a l a c c e l e r a t i o n s h o w n i n F i g . 1 7 ( c ) , t h e

r e s p o n s e s f r o m h u m a n b o d y m o d e l R a r e l a r g e r t h a n t h e

v a l u e s f r o m h u m a n b o d y m o d e l S . T h i s i s b e c a u s e h u m a n

m o d e l s c o n f i g u r e d i n h u m a n b o d y m o d e l S h a v e s a m e

d i s t a n c e s b e t w e e n e a c h o t h e r ( F i g . 1 2 ) . O n t h e c o n t r a r y ,

h u m a n b o d y m o d e l R h a s p o s s i b i l i t i e s t o i n c l u d e m u c h

s h o r t e r d i s t a n c e s b e t w e e n t h e p e d e s t r i a n s ( F i g . 1 3 ) . I n

h u m a n b o d y m o d e l R , t h e c o n c e n t r a t i o n o f l o a d c o u l d

i n d u c e l a r g e r r e s p o n s e s c o m p a r e d t o h u m a n b o d y m o d e l

S . T h e r e f o r e , i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t t h e s t r e a m o f

p a r t i a l l y g r o u p e d p e d e s t r i a n s s o m e t i m e s p r o d u c e l a r g e r

r e s p o n s e s t h a n s y n c h r o n i z e d w a l k i n g l o a d . T h i s e f f e c t i s

a l s o s h o w n i n t h e r e s u l t o f l a t e r a l a c c e l e r a t i o n ( F i g .

1 7 ( d ) ) . H o w e v e r , s i n c e l a t e r a l r e s p o n s e s a r e m u c h s m a l l e r

t h a n v e r t i c a l r e s p o n s e s , t h e e f f e c t i n l a t e r a l r e s p o n s e s

d o e s n o t r e q u i r e s e r i o u s c o n s i d e r a t i o n .

S u c h r e s u l t s i n d i c a t e t h a t f u r t h e r s t u d y s h o u l d b e

p e r f o r m e d t o d e v e l o p m o r e s u i t a b l e m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r s

n

n

F i g u r e 1 6 . E x a m p l e s o f r e s p o n s e s f r o m h u m a n b o d y m o d e l R ( V e r t i c a l )



3 4 4 S a n g - H y o K i m e t a l .

t h a t c a n c o n s i d e r t h e s e a d d i t i o n a l e f f e c t s . A l s o , s t u d y o n

l a t e r a l a n d v e r t i c a l s y n c h r o n i z a t i o n e f f e c t s u s i n g t h e

h u m a n b o d y m o d e l s h o u l d b e p e r f o r m e d t o i m p r o v e t h e

r e s u l t f r o m c r o w d e d p e d e s t r i a n l o a d s .

5 . C o n c l u s i o n s a n d R e m a r k s

I n t h i s s t u d y , d y n a m i c a n a l y s e s o f f o o t b r i d g e s u n d e r

c o m p l i c a t e d w a l k i n g l o a d a r e c a r r i e d o u t c o n s i d e r i n g

h u m a n - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n u s i n g a h u m a n b o d y m o d e l ,

f o r t h e g e n e r a t i o n o f p e d e s t r i a n l o a d . F o r t h e v e r i f i c a t i o n

o f t h e d y n a m i c a n a l y s i s m e t h o d u s i n g t h e h u m a n b o d y

m o d e l , i t i s c o m p a r e d w i t h o t h e r a n a l y s i s m e t h o d s a n d

e x p e r i m e n t a l d a t a . A d d i t i o n a l l y , d y n a m i c a n a l y s e s o f a

f o o t b r i d g e u n d e r c r o w d - i n d u c e d e x c i t a t i o n s a r e c o n d u c t e d .

T h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s a r e d r a w n f r o m t h e r e s u l t s .

A h u m a n b o d y m o d e l i s d e v e l o p e d , w h i c h c a n g e n e r a t e

p e d e s t r i a n e x c i t a t i o n s u s i n g e x c i t e d B C O M ( B o d y c e n t e r

o f m a s s ) m o d e l . T h i s m o d e l c a n b e a p p l i e d s y s t e m a t i c a l l y

t o m o d e l t h e c o m p l i c a t e d p e d e s t r i a n l o a d i n g p a t t e r n s ,

i n c l u d i n g t h e s y n c h r o n i z e d o r r a n d o m m o v e m e n t o f h u g e

p e d e s t r i a n g r o u p .

T h e d y n a m i c a n a l y s i s u s i n g t h e t i m e - d o m a i n f o r c e

m o d e l m a y u n d e r e s t i m a t e t h e r e s p o n s e s , i f c o m p a r e d t o

t h o s e f r o m t h e h u m a n b o d y m o d e l , s i n c e t h e h u m a n -

s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n i s e x c l u d e d .

I n t h e c a s e o f t h e f o o t b r i d g e u s e d i n t h i s s t u d y , i t i s

f o u n d t h a t t h e s y n c h r o n i z e d w a l k i n g p r o d u c e s g e n e r a l l y

t h e l a r g e r d y n a m i c r e s p o n s e s t h a n t h o s e f r o m t h e r a n d o m

w a l k i n g u p t o 4 3 % . H o w e v e r , w h e n t h e p e d e s t r i a n s a r e

f o r m i n g a l o w d e n s i t y w a l k i n g s t r e a m , s y n c h r o n i z e d

w a l k i n g a n d r a n d o m w a l k i n g s h o w s i m i l a r r e s u l t s .

I t i s f o u n d t h a t t h e r a n d o m l y w a l k i n g c r o w d e d l o a d s a r e

n o t a c c u r a t e l y r e p r e s e n t e d b y m u l t i p l y i n g M a t s u m o t o ’ s

m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r t o a s i n g l e p e r s o n r e s p o n s e . F u r t h e r

s t u d y s h o u l d b e p e r f o r m e d t o i n v e s t i g a t e t h e s i m p l e a n d

e n g i n e e r a c c e s s i b l e a n a l y s i s p r o c e d u r e f o r v a r i o u s t y p e s

o f f o o t b r i d g e .

F i g u r e 1 7 . R e s p o n s e s o f e a c h m o d e l




A c k n o w l e d g m e n t

T h i s r e s e a r c h p r o j e c t w a s s p o n s o r e d b y “ Y o n s e i

U n i v e r s i t y , C e n t e r f o r F u t u r e I n f r a s t r u c t u r e S y s t e m , a B r a i n

K o r e a 2 1 p r o g r a m , K o r e a ” a n d i s a p a r t o f t h e

“ I m p r o v e m e n t a n d S t a n d a r d i z a t i o n o f C o n s t r u c t i o n

S p e c i f i c a t i o n s a n d D e s i g n C r i t e r i a o f M a t e r i a l s a n d F a c i l i t i e s

B a s e d o n P e r f o r m a n c e ” s t u d y f r o m t h e “ S t a n d a r d i z a t i o n o f

C o n s t r u c t i o n S p e c i f i c a t i o n s a n d D e s i g n C r i t e r i a b a s e d o n

P e r f o r m a n c e ” , t h e “ C o n s t r u c t i o n & T r a n s p o r t a t i o n R & D

P o l i c y a n d I n f r a s t r u c t u r e P r o j e c t ( 2 0 0 6 ~ 2 0 1 1 ) .

R e f e r e n c e s

A n d r i a c c h i , T . P . , O g l e , J . A . , a n d G a l a n t e , J . O . ( 1 9 7 7 ) .

“ W a l k i n g s p e e d a s a b a s i s f o r n o r m a l a n d a b n o r m a l g a i t

m e a s u r e m e n t s ” J o u r n a l o f B i o m e c h a n i c s 1 0 , p p . 2 6 1 - 2 6 8 .

B a c h m a n n , H . a n d A m m a n n , W . ( 1 9 8 7 ) . “ V i b r a t i o n s i n

s t r u c t u r e s i n d u c e d b y m a n a n d m a c h i n e s ” S E D 3 e ,

I A B S E , Z ü r i c .

B a c h n a m m , H . , P r e t l o v e , A . A . , a n d R a i n e r , H . ( 1 9 9 5 ) .

“ V i b r a t i o n s i n d u c e d b y p e o p l e , i n v i b r a t i o n p r o b l e m s i n

s t r u c t u r e s : p r a c t i c a l g u i d e l i n e s ” B i r k h ä u s e r V e r l a g , B a s e l .

B a c h m a n n , H . ( 2 0 0 2 ) . “ L i v e l y f o o t b r i d g e - a r e a l c h a l l e n g e ”

P r o c e e d i n g s o f t h e I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o f t h e

D e s i g n a n d D y n a m i c B e h a v i o r o f F o o t b r i d g e s , P a r i s ,

F r a n c e

C a v a g n a , G . A . ( 1 9 7 5 ) . “ F o r c e p l a t f o r m s a s e r g o m e t e r s ”

J o u r n a l o f A p p l i e d P h y s i o l o g y 3 9 , p p . 1 7 4 - 1 7 9 .

D a l l a r d , P . , F i t x p a t r i c k , A . J . , F l i n t , A . , L e B o u r v a , S . , L o w ,

A . , R i d s d i l l - S m i t h , R . M . , W i l l f o r d , M . , a n d R o c h e , M .

( 2 0 0 1 ) . “ L o n d o n M i l l e n n i u m F o o t b r i d g e : p e d e s t r i a n -

i n d u c e d l a t e r a l v i b r a t i o n ” J o u r n a l o f B r i d g e E n g i n e e r i n g

6 ( 6 ) , p p . 1 7 - 3 3 .

D . E . N e w l a n d . ( 1 9 9 3 ) . A n I n t r o d u c t i o n t o R a n d o m

V i b r a t i o n s a n d S p e c t r a l A n a l y s i s , L o n g m a n G r o u p .

F u j i n o , Y . , P a c h e c o , B . M . , N a k a m u r a , S . , a n d W a r n i t c h a i , P .

( 1 9 9 3 ) . “ S y n c h r o n i z a t i o n o f h u m a n w a l k i n g o b s e r v e d

d u r i n g l a t e r a l v i b r a t i o n o f a c o n g e s t e d p e d e s t r i a n b r i d g e ”

E a r t h q u a k e E n g i n e e r i n g a n d S t r u c t u r a l D y n a m i c s 2 2 , p p .

7 4 1 - 7 5 8 .

G r u n d m a n n , H . , K r e u z i n g e r , H . , a n d S c h n e i d e r , M . ( 1 9 9 3 ) ,

“ D y n a m i c c a l c u l a t i o n s o f f o o t b r i d g e s ” B a u i n g e n i e u r 6 8 ,

p p . 2 1 5 - 2 2 5

I S O . ( 1 9 8 1 ) . V i b r a t i o n a n d s h o c k - M e c h a n i c a l d r i v i n g p o i n t

i m p e d a n c e o f t h e h u m a n b o d y , I S O 5 9 8 2 .

K i m , S . - H . , P a r k , H . - S . a n d H e o , J . - Y . ( 1 9 9 9 ) . “ S t u d y o n

D y n a m i c R e s p o n s e s o f B r i d g e s U s i n g H i g h - s p e e d

R a i l w a y V e h i c l e M o d e l s ” J o u r n a l o f t h e C o m p u t a t i o n a l

S t r u c t u r a l E n g i n e e r i n g I n s t i t u t e o f K o r e a , 1 4 ( 2 ) , p p . 4 5 9 -

4 6 6 .

K i m , S . - H . , L e e , Y . - S . a n d C h o , K . - I . ( 2 0 0 5 ) . “ A n a l y s i s o f

H o r i z o n t a l R e a c t i o n s d u e t o M o v i n g V e h i c l e L o a d s i n

C u r v e d B r i d g e s w i t h V a r i e d S u p p o r t C o n d i t i o n s ”

A d v a n c e s i n S t r u c t u r a l E n g i n e e r i n g , 8 ( 5 ) , p p . 5 2 9 - 5 4 5 .

L e g e r o n , F . ( 1 9 9 9 ) . “ C a l c u l t r a n s i t o i r e d e s p a s s e r e l l e s s o u s

c h a r g e m e n t s p o n c t u e l s : a p p r o c h e a n a l y t i q u e ” S E T R A

R e p o r t

M a t s u m o t o , Y . , N i s h i o k a , T . , S h i o j i r i , H . , a n d M a t s u z a k i , K .

( 1 9 7 8 ) . “ D y n a m i c d e s i g n o f f o o t b r i d g e s ” I A B S E

P r o c e e d i n g s P - 1 7 / 7 8 , p p . 1 - 1 5 .

M o u r i n g , S . E . ( 1 9 9 3 ) . “ D y n a m i c R e s p o n s e s o f F l o o r

S y s t e m s t o B u i l d i n g O c c u p a n t A c t i v i t i e s ” P h D T h e s i s ,

T h e J o h n s H o p k i n s U n i v e r s i t y , B a l t i m o r e , M D .

S c h l a i c h , M . ( 2 0 0 2 ) . “ P l a n n i n g c o n d i t i o n s f o r f o o t b r i d g e s ”

P r o c e e d i n g s o f t h e I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n t h e

D e s i g n a n d D y n a m i c B e h a v i o r o f F o o t b r i d g e s , P a r i s ,

F r a n c e . p p . 4 0 - 5 2

S e o u l C i t y . ( 2 0 0 1 ) . D e s i g n , C o n s t r u c t i o n a n d M a i n t e n a n c e

M a n u a l f o r S m a l l S t e e l G i r d e r B r i d g e s a n d F o o t b r i d g e s ,

S e o u l , K o r e a

W u , Q . , K i t a h a r a , Y . , T a k a h a s h i , K . , C h e n , B . ( 2 0 0 8 ) ,

“ D y n a m i c C h a r a c t e r i s t i c s o f M e g a m i C a b l e - s t a y e d

B r i d g e - A C o m p a r i s o n o f E x p e r i m e n t a l a n d A n a l y t i c a l

R e s u l t s - ” I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f S t e e l S t r u c t u r e s 8 ( 1 ) ,

p p . 1 - 9 .

Z i v a n o v i c , S . , P a v i c , A . , a n d R e y m o l d s , P . ( 2 0 0 5 ) .

“ V i b r a t i o n s e r v i c e a b i l i t y o f f o o t b r i d g e s u n d e r h u m a n -

i n d u c e d e x c i t a t i o n : a l i t e r a t u r e r e v i e w ” J o u r n a l o f S o u n d

a n d V i b r a t i o n 2 7 9 ( 1 ~ 2 ) , p p . 1 - 7 4 .

A p p e n d i x : E q u a t i o n s o f m o t i o n o f h u m a n

b o d y m o d e l

1 . R e l a t i v e d i s p l a c e m e n t

U p p e r s p r i n g :

( A . 1 )

L o w e r s p r i n g :

( A . 2 )

2 . E n e r g y

K i n e t i c e n e r g y :

( A . 3 )

P o t e n t i a l e n e r g y :

( A . 4 )

D i s s i p a t i o n e n e r g y :

( A . 5 )

3 . E q u a t i o n s o f m o t i o n

( A . 6 )

( A . 7 )

w h e r e ,

( A . 8 )

( A . 9 )

( A . 1 0 )

( A . 1 1 )

Z

t 1

, Z

a 1

, Z

t 1

: d i s p l a c e m e n t o f u p p e r a n d l o w e r m a s s a n d

f o o t

m

t 1

, m

a 1

: u p p e r a n d l o w e r m a s s

K

s 1

, K

t 1

: s p r i n g c o n s t a n t o f u p p e r a n d l o w e r s p r i n g

C

s 1

, C

s 1

: d a m p i n g c o e f f i c i e n t o f u p p e r a n d l o w e r

d a s h p o t

R

s 1

z

t 1

z

a 1

– =

R

t 1

z

a 1

z

b 1

– =

T

1

2

- - -

m

t 1

z

'

t 1

2

1

2

- - -

m

a 1

z

'

a 1

2

+ =

V

1

2

- --

R

s 1

2

K

s 1

1

2

- - -

R

s 2

2

K

s 2

+ =

D

1

2

- - -

R

'

s 1

2

C

s 1

1

2

- - -

R

'

s 2

2

C

s 2

+ =

m

t 1

z

' '

t 1

F

s 1

F

c s 1

m

t 1

g

= + +

m

a 1

z

' '

a t 1

F

s 1

–

F

t 1

F

c s 1

–

F

c t 1

+ +

m

t 1

g

=

F

s 1

K

s 1

R

s 1

F

1

+ =

F

c s 1

C

s 1

R

'

s 1

=

F

t 1

C

t 1

R

'

t 1

=

F

c t 1

C

t 1

R

'

t 1

=

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