determinación de un modelo de geoide gravimétrico para puerto

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía

DETERMINACIÓN DE UN MODELO DE GEOIDE GRAVIMÉTRICO

PARA PUERTO RICO COMO SISTEMA DE REFERENCIA PARA LAS

ALTITUDES ORTOMÉTRICAS

Tesis Doctoral

Autor:

ELADIO E. MARTÍNEZ TORO

Ingeniero Industrial y Topógrafo

2014

Departamento de Ingeniería Topográfica y Cartografía

Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía

Tesis Doctoral: Determinación de un modelo de geoide gravimétrico

para Puerto Rico como sistema de referencia para las

altitudes ortométricas

Autor: Eladio E. Martínez Toro

Ingeniero Industrial y Topógrafo

Director de Tesis: Abelardo Bethencourt Fernández

Doctor en Ciencias Físicas

Año: 2014

ii

El comité a evaluar la presente tesis doctoral, está formado por los siguientes doctores:

PRESIDENTE: D........................................................................

(..........................................................................)

VOCALES: D........................................................................

(..........................................................................)

D........................................................................

(..........................................................................)

D........................................................................

(..........................................................................)

SECRETARIO: D........................................................................

(..........................................................................)

SUPLENTES: D........................................................................

(..........................................................................)

D........................................................................

(..........................................................................)

ha decidido otorgar la cali�cación de

Madrid, a ............................. de ........... de ...........

El secretario del comité.

iii

Dedicatoria

A mi padre, D. Eladio E. Martínez Toro.

Que siempre tuvo fe en mí y fue mi apoyo incondicional.

Para Lilian Graciela...

v

Agradecimientos

Quiero empezar esta sección dando gracias al Dios Padre y creador de todo lo que nos rodea por darme

la oportunidad de pasar por esta gran experiencia de aprendizaje y crecimiento personal. Una experiencia

única que no hubiese sido posible sin la ayuda de la persona que por los últimos cinco años ha estado

guiando mi investigación, el Dr. Abelardo Bethencourt Fernández, mi director de tesis. Un profesional

muy comprometido con su trabajo pero siempre dispuesto a sacar un poco de su tiempo para aconsejarme

y compartir sus conocimientos. En los momentos más difíciles, cuando no veíamos la luz al �nal del túnel

y pensábamos que estábamos en un camino sin salida, siempre tenía unas palabras de aliento. Gracias a

su dedicación, experiencia y compromiso, hemos logrado salir adelante. Muchas gracias Abelardo.

Quisiera también agradecer al Dr. Antonio Vázquez Hoehne, quien fue la primera persona que conocí

al llegar a la Universidad Politécnica de Madrid. Desde el primer momento estuvo dispuesto a aconsejarme

y a mostrarme el camino a seguir para completar esta aventura, aun cuando no era uno de sus estudiantes.

También al Dr. Santiago Ormeño Villajos junto a todos los profesores con los que tuve la oportunidad de

compartir y aprender de sus conocimientos, a todos ellos mi más sincero agradecimiento.

Durante estos cinco años, muchas personas me acompañaron en esta aventura. Muchos de ellos dejaron

una gran huella en mi vida por lo que siempre les estaré agradecido. Inmediatamente vienen a mi mente

los dos primeros compañeros de estudio que conocí al llegar a Madrid, el Ingeniero Vladimir Gutiérrez y el

Dr. Joaquín A. Rincón. Con Vladimir compartimos muchísimas experiencias, fuimos compañeros de piso,

compañeros de estudio y compañeros de laboratorio. Admiro a Vladimir porque es un profesional en todo

el sentido de la palabra y un excelente padre de familia. Siempre estuvo dispuesto a echarme una mano en

los asuntos informáticos y sé que sin su ayuda, parte de este trabajo no hubiese sido posible de realizar.

A Vladi, Elia y a Vladimir Jr., muchas gracias por ser mi familia de Madrid durante casi cinco años.

De Joaquín puedo decir que más que un amigo, fue un hermano y un compañero de mil batallas. Fueron

muchas las horas que pasamos en el laboratorio de la Escuela de Topografía. Sus amplios conocimientos en

sistemas de información geográ�ca y sus habilidades para encontrar soluciones a los continuos problemas

informáticos a los que me tenía que enfrentar, fueron una gran ayuda para mí. Muchas gracias Joaco, Elvia

y Joaquincito por brindarme su amistad y abrirme las puertas de su casa. Siempre les estaré agradecido.

Finalizando con ese grupo cercano de compañeros de estudio está el Ingeniero Adolfo Javier Urrutia.

Adolfo, compañero de piso por varios años, un ser humano con un espíritu aventurero increíble que ante

la adversidad, siempre sabía cómo salir adelante. Gracias Adolfo por demostrarme que cuando se tiene un

sueño, la única opción que tenemos es trabajar con todas nuestras fuerzas para alcanzarlo.

Fueron cinco años los que pasamos en el laboratorio de la Escuela de Topografía, cinco años donde

conocimos a grandes compañeros y amigos. Primeramente viene a mi mente el Dr. Alberto Hernández. Aun

recuerdo aquella primera salida de campo al Valle de los Caídos, luego fueron muchísimas las oportunidades

en las que pudimos intercambiar conocimientos y discutir nuestros trabajos. Finalmente, tras obtener

Alberto su doctorado, fue la primera persona en leer mi tesis. Gracias Alberto por tu ayuda y consejos.

También recuerdo al Ingeniero Víctor Puente, sentado en el último escritorio del laboratorio, todos los días

trabajando en sus programas en Matlab. Gracias Víctor, porque tus conocimientos en Matlab y ayuda

con el manejo de los modelos digitales del terreno hicieron posible que este trabajo �nalmente saliera a la

luz. También quiero agradecer al Dr. Marcos Palomo, que con sus conocimientos en topografía, geodesia,

teledetección y programación, siempre tenía algún truco para resolver esos problemas que a primera vista

parecían casi imposibles de resolver. A todos ellos, muchas gracias.

vii

Ya en épocas más recientes, en el mismo laboratorio, pero viendo que cada día quedamos menos,

están los compañeros con los que comparto el día a día. Siempre dispuestos a echarme una mano con

los temas relacionados al doctorado. Empezando con mis compañeros españoles Ayar Rodríguez, Alberto

Nuñez e Isabel Blasco y continuando con mis compañeros latinoamericanos Xavier Molina de Ecuador

y el siempre viajero Víctor Saldaña de Venezuela, fueron muchos los momentos de tertulia que pasamos

discutiendo nuestros temas de investigación. Siempre esperanzados en ser los primeros en terminar y salir

lo antes posible del laboratorio. A todos ustedes, muchas gracias y les deseo el mayor de los éxitos en sus

respectivos trabajos.

También quiero agradecer a una familia muy especial, a mi familia adoptiva en España. Unas personas

que siempre me dijeron �lo que necesites, ya sabes que cuentas con nosotros� y cuando llego el momento,

pusieron la acción en la palabra. Muchas gracias al Dr. Enrique Martín y a su esposa, mi compatriota

Nieves, porque en todo momento me hicieron sentir como parte de su familia. Gracias a Diego y Andrea,

a Marcos y Sofía y a Enrico y Clara porque desde el primer día me trataron como uno más y en los

momentos más difíciles, me demostraron que no estaba solo y que podía contar con ellos. A la Familia

Martín Montalvo, muchísimas gracias.

No quiero pasar por alto a todas esas personas, que aunque nos separaban muchos kilómetros de

distancia, siempre me echaron una mano desde Puerto Rico. Entre esas personas esta el Agrimensor

Héctor Sanabria, la Agrimensora y Profesora Ing. Linda Vélez y el Agrimensor José Rivera Cacho. Ellos

entre otros muchos compañeros agrimensores del Colegio de Ingenieros y Agrimensores de Puerto Rico

que en todo momento me ayudaron a conseguir �nanciamiento para mis estudios y aportaron horas de

su tiempo libre para ayudarme a realizar los trabajos de campo. A todos ellos, muchas gracias. De mi

pueblo Sabana Grande, quiero agradecer a mi antiguo jefe, al alcalde Don Miguel G. Ortiz Vélez. Desde el

primer momento que le comuniqué mis planes de venir a España a realizar un doctorado, siempre estuvo

dispuesto a ayudarme en lo que necesitara. Muchas gracias Papín por tu ayuda y gracias a todos mis

antiguos compañeros de trabajo que siempre estuvieron dispuestos a ayudarme cuando así lo necesité.

Quedan muchas otras personas que de una manera u otra me ayudaron para que esta aventura se hiciera

realidad. Algunos de ellos ya no forman parte de mi entorno, pero a todos ellos, muchas gracias.

Quiero agradecer a una persona muy especial para mí, con la que quiero compartir el resto de mis

días, a Lilian Graciela. Siempre escuché de su boca palabras de aliento, motivadoras y reconfortantes.

Siempre me dijo �tu puedes�, �fuerza Ela� y �sigue adelante que verás que al �nal lo conseguirás�. En

todo momento creyó y con�ó en mí y cuando mas necesité de su apoyo, allí estuvo presente. Quizás sean

muchos los kilómetros y horas de diferencia que nos separan, pero tu presencia siempre estará conmigo.

Muchas gracias Lili. . .

Dejo para el �nal a esas personas que siempre estuvieron pendientes de mí, mi familia. Aunque no

estuviera en Puerto Rico siempre le preguntaban a mi padre por mí y se preocupaban por mi progreso. La

pregunta acostumbrada era: ¾Cuándo regresa Eladio?... Muchas gracias a mis tíos y primos pero muy en

especial a la Dra. Luz Enid Martínez y al Dr. José Gerardo Martínez que cuando tuvieron la oportunidad

de visitar Madrid, sacaron un poco de tiempo de sus vacaciones para compartir conmigo y me hicieron

recordar lo que es el calor de la familia. Gracias a todos por tenerme siempre presente. Quiero terminar

agradeciendo a mi padre Don Eladio E. Martínez Toro y a su esposa Lourdes. A mi padre le dedico

este trabajo, a él porque siempre tuvo fe en mí y me apoyó en todo momento. Sus oraciones y consejos

fueron muy importantes para mí. Sé que sin su ayuda, hoy no podría decir, Don Eladio, ya acabe mi tesis.

Simplemente, gracias.

viii

Índice general

1. Introducción 5

1.1. Descripción del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Justi�cación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2. Objetivos Especí�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Metodología 8

2.1. Determinación gravimétrica del geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1. Campo gravitatorio terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2. Campo gravitatorio normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3. Campo de gravedad anómalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.4. Reducciones a la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.4.1. Reducción aire libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.4.2. Reducción de Bouguer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.4.3. Corrección clásica por efectos de la topográ�ca del terreno . . . . . . . . 22

2.1.4.4. Reducciones Isostáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.4.5. Corrección por el efecto indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.4.6. Corrección a la gravedad por efectos atmosféricos . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.5. Modelos geopotenciales globales y regionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.5.1. EGM96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.5.2. EGM2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.5.3. GEOID03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.5.4. GEOID09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.5.5. GEOID12A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.6. Segundo Método de Condensación de Helmert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.7. Técnica de Sustitución - Restitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2. Determinación geométrica del geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1. Sistemas de Altitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1.1. Número geopotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1.2. Altitudes dinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.1.3. Altitudes elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.1.4. Altitudes ortométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

ix

2.2.1.5. Altitudes ortométricas Helmert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1.6. Altitudes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.2. Dátum Verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.2.1. Nivel promedio del mar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.2.2. Dátum vertical de Norte América de 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2.3. Controles verticales en Puerto Rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2.4. Dátum Vertical de Puerto Rico de 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.3. Determinación de la precisión de las altitudes ortométricas Helmert calculadas . . 50

2.2.4. Ondulación del geoide geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3. Descripción del área de estudio y fuentes de datos 55

3.1. Datos de gravedad terrestre y marítima (BGI y NOAA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2. Datos de gravedad obtenida por altimetría por satélite (Sandwell & Smith) . . . . . . . . 59

3.3. Modelo digital del terreno (SRTM3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4. Modelo digital de batimetría (GEBCO08 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5. Modelo geopotencial global (EGM2008 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4. Análisis y Validación de Datos 65

4.1. Comprobación de la precisión de los modelos geopotenciales globales a lo largo de una línea

de nivelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.1. Determinación geométrica del geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.1.1. Recuperación e identi�cación de las estaciones permanentes . . . . . . . . 66

4.1.1.2. Campaña de observaciones con instrumentos de GNSS y determinación de

las altitudes elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.1.3. Campaña de observaciones gravimétricas y determinación de los valores

de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.1.4. Determinación de los valores de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1.1.5. Determinación de las altitudes ortométricas Helmert . . . . . . . . . . . . 70

4.1.1.6. Determinación de la ondulación del geoide geométrico . . . . . . . . . . . 74

4.1.2. Análisis de la precisión de los incrementos de la ondulación del geoide . . . . . . . 74

4.1.3. Análisis de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las distancias

entre líneas observadas y las diferencias de elevación entre estaciones permanentes 79

4.1.4. Ajuste de los valores absolutos de la ondulación del geoide obtenido utilizando los

distintos modelos geopotenciales globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2. Determinación del modelo digital topo-batimétrico para la zona de estudio . . . . . . . . . 83

4.2.1. Pre-procesamiento del modelo digital del terreno SRTM3 . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.2. Generación de curvado a cota cero y extracción de las líneas de costa . . . . . . . . 84

4.2.3. Combinación del modelo digital del terreno SRTM3 y el modelo batimétrico GEB-

CO08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3. Validación de los datos de gravedad terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3.1. Preparación de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.1.1. Validación grá�ca inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.1.2. Transformación de Dátum NAD27 a NAD83 . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.1.3. Transformación de las observaciones al Sistema GRS80 . . . . . . . . . . 90

x

4.3.1.4. Búsqueda de observaciones repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3.2. Validación por altimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3.2.1. Resultado de la Búsqueda Final de Observaciones Repetidas . . . . . . . 95

4.3.3. Validación matemática de las anomalías residuales utilizando colocación . . . . . . 96

4.3.3.1. Resultados de la validación por colocación . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3.4. Análisis de los datos de gravedad marinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4. Determinación de las anomalías de Faye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5. Extrapolación de anomalías de aire libre a partir de datos de un modelo digital del terreno 108

4.5.1. Valor medio de las anomalías aire libre ajustadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5. Determinación del modelo del geoide gravimétrico 120

5.1. Preparacion de la malla de anomalías residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.2. Solución de la integral de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2.1. Aproximación Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2.2. Modi�caciones del núcleo de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.2.2.1. Modi�cación de L. Wong y R. Gore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.2.2.2. Modi�cación de P. Vanicek y A. Kleusberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.2.2.3. Modi�cación de W. E. Featherstone, J.D. Evans y J.G. Olliver . . . . . . 128

5.2.3. Resultados de la solución de la integral de Stokes - N residual . . . . . . . . . . . 128

5.3. Cómputo del efecto indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4. Contribución del modelo geopotencial EGM2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.5. Cómputo de los modelos del geoide gravimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6. Validación de los modelos del geoide gravimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.7. Ajuste del modelo gravimétrico del Geoide WG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6. Conclusiones y Trabajos Futuros 138

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.2. Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Bibliografía 141

xi

Índice de �guras

2.1. Potencial de un cuerpo sólido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Sistema de coordenadas esféricas y rectangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Geoide y elipsoide de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Reducción de la gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5. Lámina de Bouguer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6. Correcciones Topográ�cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7. Sistema de referencia para el cómputo de la Corrección Topográ�ca. . . . . . . . . . . . . 23

2.8. Plantillas zona in�uencia correcciones topográ�cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.9. Diferentes casos de las coordenadas verticales del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.10. Topografía y compensación Isostática Modelo Airy - Heiskanen. . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.11. EGM96. Fuente: J. Frawley (NASA GSFC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.12. EGM2008. Fuente: U.S. National Geospatial-Intelligence Agency (NGA) . . . . . . . . . . 32

2.13. GEOID03. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.14. GEOID09. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.15. GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.16. Sistemas de Altitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.17. Altitudes Ortométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.18. Altitudes Normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.19. Estaciones permanentes con elevación conocida del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.20. Red de Nivelación del PRVD02. Fuente: Agrimensor Héctor Sanabria, HLCM Group . . . 49

2.21. Primer tramo del PRVD02 nivelado por personal del NGS. Fuente: Google Earth . . . . . 49

2.22. Estación de origen del PRVD02 - 975 5371 A TIDAL. Fuente: Google Earth . . . . . . . . 50

3.1. Datos de gravedad terrestres del BGI disponibles en la isla de Puerto Rico. Fuente: Bureau

Gravimétrique International (BGI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2. Datos de gravedad marino del BGI disponibles para la región de Puerto Rico. Fuente:

Bureau Gravimétrique International (BGI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3. Datos de gravedad marinos disponibles en la página de NOAA. Fuente: National Oceanic

and Atmospheric Administration (NOAA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4. Mapa de anomalías aire libre obtenidas mediante altimétrica con satélite. Fuente: Institution

of Oceanography, University of California San Diego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5. Datos existentes del modelo SRTM3 en la zona de estudio. Fuente: National Aeronautics

and Space Administration (NASA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

xii

3.6. Modelo batimétrico GEBCO08 para la zona de estudio. Fuente: British Oceanographic Data

Centre (BODC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7. Imagen de la cuadrícula de anomalías aire libre derivadas del EGM2008. Fuente: Bureau

Gravimétrique International (BGI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1. Estaciones permanentes de la línea de nivelación del PRDV02 parcialmente destruidas. . 67

4.2. Gravímetro LaCoste & Romberg modelo G-1001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3. Per�l de las altitudes ortométricas a lo largo de la Línea de Nivelación del PRVD02. . . . 72

4.4. Diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las distancias entre

líneas base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5. Diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las diferencias de

altitud entre estaciones permanentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.6. Per�l de la Ondulación del Geoide obtenido con el EGM96 Ajustado. . . . . . . . . . . . 82

4.7. Per�l de la Ondulación del Geoide obtenido con el EGM2008 Ajustado. . . . . . . . . . . 83

4.8. Modelo digital del terreno SRTM3 de Puerto Rico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.9. Modelo SRTM3 tras el �ltrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.10. Modelo digital de batimetría GEBCO08. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.11. Fusión de los modelos SRTM3 y GEBCO08. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.12. Grá�co inicial anomalías aire libre en función de las altitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.13. Vista inicial de los puntos de las anomalías aire libre sobre el terreno. . . . . . . . . . . . 88

4.14. Vista �nal de los puntos de las anomalías aire libre sobre el terreno tras la corrección de

dátum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.15. Observación sospechosa con su zona de amortiguamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.16. Observación sospechosa con zonas del SRTM3 con diferencias entre ± 10 metros. . . . . . 93

4.17. Observación sospechosa con los centróides en las zonas de diferencias de ± 10 metros. . . 94

4.18. Directorio de los programas de Gravsoft en la plataforma de Python. Fuente: PyGravsoft . 97

4.19. Programa EMPCOV para determinar la ecuación de covarianza empírica. Fuente: PyGravsoft 97

4.20. Programa COVFIT empleado para resolver la función de covarianza. Fuente: PyGravsoft 98

4.21. Programa GEOCOL para realizar el procedimiento de colocación. Fuente: PyGravsoft . . 99

4.22. Programa GEOEGM para calcular los valores de las anomalías residuales. Fuente: PyGravsoft100

4.23. Interpolación kriging de las anomalías aire libre obtenidas mediante altimetría por satélite. 104

4.24. Recorte para extraer los puntos con valores de anomalías aire libre para la zona terrestre. 105

4.25. Recorte para extraer los puntos con valores de anomalías aire libre para la zona marítima. 106

4.26. Diferencias entre las anomalías aire libre medidas y las anomalías aire libre determinadas

apartir del Modelo Digital del Terreno en funcion de la altitud. . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.27. Histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital del

terreno y las anomalías aire libre validadas � Ajuste Global. . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.28. Representación de las anomalías aire libre calculadas en las zonas 19N � 1, 19S � 2, 19N �

3 y 20S � 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.29. Representación de las anomalías aire libre calculadas a partir del modelo digital del terreno

en las zonas 19N � 1, 19S � 2, 19N � 3 y 20S � 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.30. Representación de la combinación de las anomalías para realizar el ajuste por zonas. . . . 113

xiii

4.31. Anomalías aire libre determinadas a partir del modelo digital del terreno (puntos negros)

en cuadrícula ajustadas en función al plano formado por las anomalías aire libre medidas

(círculos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.32. Histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital del

terreno y las anomalías aire libre validadas- Ajuste por Zonas. . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.33. Malla con todos los datos de anomalías aire libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.34. Localizaciones con valores de anomalías aire libre calculadas a un radio de 1 minuto de arco

de un punto de la malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.35. Datos utilizados para realizar la regresión lineal y determinar el valor medio de la anomalía

de Faye en función de la altitud del punto de la malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.36. Análisis de regresión lineal para un punto de la malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.1. Zona de cómputo del modelo del geoide gravimétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2. Vista parcial del cómputo de la ondulación del geoide con el modelo EGM2008. . . . . . . 130

5.3. Vista parcial del resultado �nal del cómputo de la ondulación del geoide con el modelo

EGM2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.4. Descripción del GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS ) . . . . . . . . . . . 134

5.5. Estaciones de referencia del NGS utilizadas para la validación de los modelos del geoide. . 134

5.6. Vista �nal del modelo del Geoide WG ajustado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

xiv

Índice de tablas

2.1. Constantes del elipsoide internacional GRS80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Valores de las coordenadas interiores e inferiores del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Valores de las correcciones atmosféricas a la gravedad δg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Resultados Estudios de Helmert, Niethammer y Mader. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1. Datos de gravedad terrestre descargados de la página del BGI. . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2. Ficheros descargados con los imagenes en formato ráster del SRTM3. . . . . . . . . . . . . 62

4.1. Valores de las altitudes elipsóidicas con su desviación estándar. . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2. Valores de gravedad en las estaciones permanentes del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3. Valores de la elevación y las altitudes ortométricas Helmert calculadas. . . . . . . . . . . . 73

4.4. Valores de las altitudes ortométricas con su desviación estándar. . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5. Valores de la ondulación del geoide geométrico en las estaciones de la línea de nivelación

del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6. Resultados del cómputo de los valores de la ondulación del geoide en la estación de origen

de la línea de nivelación del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.7. Valores de la ondulación del geoide en la línea de nivelación del PRVD02 obtenida con los

distintos modelos geopotenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.8. Resumen de los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación

del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.9. Resumen transformación de Dátum NAD27 a NAD83. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.10. Tabla comparativa transformación de GRS67 a GRS80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.11. Resultados del análisis de la comparación de altitudes BGI � SRTM3. . . . . . . . . . . . 92

4.12. Resumen validación por altimetría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.13. Resultados de la comparación de altitudes BGI � SRTM3 tras la validación por altimetría. 95

4.14. Resumen del resultado de la validación por colocación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.15. Estadísticos �nales de las observaciones validadas por altimetría y por colocación. . . . . . 101

4.16. Muestreo de los cruces de líneas en un mismo itinerario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.17. Resumen del resultado de los valores de las anomalías aire libre obtenidas mediante alti-

metría por satélite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.18. Resumen de la interpolación de las altitudes y las profundidades. . . . . . . . . . . . . . . 107

4.19. Límites de la malla para el cómputo del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.20. Límites de la malla exterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.21. Resumen del resultado del cómputo de las correcciones topográ�cas. . . . . . . . . . . . . 108

xv

4.22. Resumen del resultado del cálculo de las anomalías de Faye. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.23. Resumen del cómputo de las anomalías aire libre a partir de un modelo digital del terreno. 109

4.24. Resumen del cálculo de las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno en

las estaciones con valores de gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.25. Resumen del cómputo del ajuste global de las anomalías aire libre a partir del modelo

digital del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.26. Resumen del cómputo del ajuste por zonas de las anomalías aire libre a partir del modelo

digital del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.27. Resumen del ajuste por zonas geográ�cas de la malla de anomalías aire libre obtenidas a

partir de un modelo digital del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.28. Resumen del cómputo del valor medio de las anomalías de Faye. . . . . . . . . . . . . . . 119

5.1. Anomalías de Faye para la zona terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.2. Anomalías aire libre del modelo EGM2008 para la zona terrestre. . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3. Anomalías residuales para la zona terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.4. Anomalías aire libre para la zona marítima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.5. Anomalías aire libre del modelo EGM2008 para la zona marítima. . . . . . . . . . . . . . 122

5.6. Anomalías residuales para la zona marítima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.7. Valores anomalías residuales de las mallas utilizadas para el cómputo del geoide. . . . . . 123

5.8. Resultados de la solución de la integral de Stokes � N residual. . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.9. Resultados de la aportación del primer término y del segundo término variando el radio de

in�uencia (25, 50, 75 y 100 km). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.10. Resultado del cómputo del efecto indirecto total variando los radios de in�uencia. . . . . . 129

5.11. Aportación de las zonas de in�uencia en el cómputo del efecto indirecto. . . . . . . . . . 129

5.12. Aportación del modelo EGM2008 para el cómputo del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.13. Resultados del cómputo de la ondulación del geoide para los modelos del geoide gravimétrico.132

5.14. Estaciones de referencia del NGS utilizadas para validar los modelos del geoide. . . . . . . 133

5.15. Valores de la ondulación del geoide en las estaciones de validación del NGS. . . . . . . . . 134

5.16. Resumen de los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación

del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.17. Resultados del ajuste por mínimos cuadrados del modelo del Geoide WG. . . . . . . . . . 136

xvi

Resumen

El geoide, de�nido como la super�cie equipotencial que mejor se ajusta (en el sentido de los mínimos

cuadrados) al nivel medio del mar en una determinada época, es la super�cie que utilizamos como referen-

cia para determinar las altitudes ortométricas. Si disponemos de una super�cie equipotencial de referencia

como dátum altimétrico preciso o geoide local, podemos entonces determinar las altitudes ortométricas de

forma e�ciente a partir de las altitudes elipsoidales proporcionadas por el Sistema Global de Navegación

por Satélite (Global Navigation Satellite System, GNSS ).

Como es sabido uno de los problemas no resueltos de la geodesia (quizás el más importante de los

mismos en la actualidad) es la carencia de un dátum altimétrico global (Sjoberg, 2011) con las precisiones

adecuadas. Al no existir un dátum altimétrico global que nos permita obtener los valores absolutos de

la ondulación del geoide con la precisión requerida, es necesario emplear modelos geopotenciales como

alternativa. Recientemente fue publicado el modelo EGM2008 en el que ha habido una notable mejoría

de sus tres fuentes de datos, por lo que este modelo contiene coe�cientes adicionales hasta el grado 2190

y orden 2159 y supone una sustancial mejora en la precisión (Pavlis et al., 2008).

Cuando en una región determinada se dispone de valores de gravedad y Modelos Digitales del Terreno

(MDT) de calidad, es posible obtener modelos de super�cies geopotenciales más precisos y de mayor

resolución que los modelos globales. Si bien es cierto que el Servicio Nacional Geodésico de los Estados

Unidos de América (National Geodetic Survey, NGS ) ha estado desarrollando modelos del geoide para

la región de los Estados Unidos de América continentales y todos sus territorios desde la década de los

noventa, también es cierto que las zonas de Puerto Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses han quedado

un poco rezagadas al momento de poder aplicar y obtener resultados de mayor precisión con estos modelos

regionales del geoide. En la actualidad, el modelo geopotencial regional vigente para la zona de Puerto

Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses es el GEOID12A (Roman y Weston, 2012). Dada la necesidad

y ante la incertidumbre de saber cuál sería el comportamiento de un modelo del geoide desarrollado única

y exclusivamente con datos de gravedad locales, nos hemos dado a la tarea de desarrollar un modelo de

geoide gravimétrico como sistema de referencia para las altitudes ortométricas.

Para desarrollar un modelo del geoide gravimétrico en la isla de Puerto Rico, fue necesario implementar

una metodología que nos permitiera analizar y validar los datos de gravedad terrestre existentes. Utilizando

validación por altimetría con sistemas de información geográ�ca y validación matemática por colocación

con el programa Gravsoft (Tscherning et al., 1994) en su modalidad en Python (Nielsen et al., 2012), fue

posible validar 1673 datos de anomalías aire libre de un total de 1894 observaciones obtenidas de la base

de datos del Bureau Gravimétrico Internacional (BGI). El aplicar estas metodologías nos permitió obtener

una base de datos anomalías de la gravedad �able la cual puede ser utilizada para una gran cantidad de

aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Ante la poca densidad de datos de gravedad existentes, fue necesario emplear un método alternativo

para densi�car los valores de anomalías aire libre existentes. Empleando una metodología propuesta por

Jekeli et al. (2009b) se procedió a determinar anomalías aire libre a partir de los datos de un MDT.

Estas anomalías fueron ajustadas utilizando las anomalías aire libre validadas y tras aplicar un ajuste de

mínimos cuadrados por zonas geográ�cas, fue posible obtener una malla de datos de anomalías aire libre

uniforme a partir de un MDT.

Tras realizar las correcciones topográ�cas, determinar el efecto indirecto de la topografía del terreno

y la contribución del modelo geopotencial EGM2008, se obtuvo una malla de anomalías residuales. Estas

1

anomalías residuales fueron utilizadas para determinar el geoide gravimétrico utilizando varias técnicas

entre las que se encuentran la aproximación plana de la función de Stokes y las modi�caciones al núcleo

de Stokes, propuestas por Wong y Gore (1969), Vanicek y Kleusberg (1987) y Featherstone et al. (1998).

Ya determinados los distintos modelos del geoide gravimétrico, fue necesario validar los mismos y para

eso se utilizaron una serie de estaciones permanentes de la red de nivelación del Datum Vertical de Puerto

Rico de 2002 (Puerto Rico Vertical Datum 2002, PRVD02 ), las cuales tenían publicados sus valores de

altitud elipsoidal y elevación. Ante la ausencia de altitudes ortométricas en las estaciones permanentes de

la red de nivelación, se utilizaron las elevaciones obtenidas a partir de nivelación de primer orden para

determinar los valores de la ondulación del geoide geométrico (Roman et al., 2013). Tras establecer un

total de 990 líneas base, se realizaron dos análisis para determinar la `precisión' de los modelos del geoide.

En el primer análisis, que consistió en analizar las diferencias entre los incrementos de la ondulación

del geoide geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los distintos modelos (modelos

gravimétricos, EGM2008 y GEOID12A) en función de las distancias entre las estaciones de validación, se

encontró que el modelo con la modi�cación del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore presentó la

mejor `precisión' en un 91,1% de los tramos analizados. En un segundo análisis, en el que se consideraron

las 990 líneas base, se determinaron las diferencias entre los incrementos de la ondulación del geoide

geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los distintos modelos (modelos gravimétricos,

EGM2008 y GEOID12A), encontrando que el modelo que presenta la mayor `precisión' también era el

geoide con la modi�cación del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore. En este análisis, el modelo

del geoide gravimétrico de Wong y Gore presento una `precisión' de 0,027 metros en comparación con la

`precisión' del modelo EGM2008 que fue de 0,031 metros mientras que la `precisión' del modelo regional

GEOID12A fue de 0,057 metros. Finalmente podemos decir que la metodología aquí presentada es una

adecuada ya que fue posible obtener un modelo del geoide gravimétrico que presenta una mayor `precisión'

que los modelos geopotenciales disponibles, incluso superando la precisión del modelo geopotencial global

EGM2008.

2

Abstract

The geoid, de�ned as the equipotential surface that best �ts (in the least squares sense) to the mean

sea level at a particular time, is the surface used as a reference to determine the orthometric heights. If

we have an equipotential reference surface or a precise local geoid, we can then determine the orthome-

tric heights e�ciently from the ellipsoidal heights, provided by the Global Navigation Satellite System

(GNSS ).

One of the most common and important an unsolved problem in geodesy is the lack of a global

altimetric datum (Sjoberg, 2011)) with the appropriate precision. In the absence of one which allows us

to obtain the absolute values of the geoid undulation with the required precision, it is necessary to use

alternative geopotential models. The EGM2008 was recently published, in which there has been a marked

improvement of its three data sources, so this model contains additional coe�cients of degree up to 2190

and order 2159, and there is a substantial improvement in accuracy (Pavlis et al., 2008).

When a given region has gravity values and high quality digital terrain models (DTM), it is possible

to obtain more accurate regional geopotential models, with a higher resolution and precision, than global

geopotential models. It is true that the National Geodetic Survey of the United States of America (NGS )

has been developing geoid models for the region of the continental United States of America and its

territories from the nineties, but which is also true is that areas such as Puerto Rico and the U.S. Virgin

Islands have lagged behind when to apply and get more accurate results with these regional geopotential

models. Right now, the available geopotential model for Puerto Rico and the U.S. Virgin Islands is the

GEOID12A (Roman y Weston, 2012). Given this need and given the uncertainty of knowing the behavior

of a regional geoid model developed exclusively with data from local gravity, we have taken on the task

of developing a gravimetric geoid model to use as a reference system for orthometric heights.

To develop a gravimetric geoid model in the island of Puerto Rico, implementing a methodology that

allows us to analyze and validate the existing terrestrial gravity data is a must. Using altimetry validation

with GIS and mathematical validation by collocation with the Gravsoft suite programs (Tscherning et al.,

1994) in its Python version (Nielsen et al., 2012), it was possible to validate 1673 observations with

gravity anomalies values out of a total of 1894 observations obtained from the International Bureau

Gravimetric (BGI ) database. Applying these methodologies allowed us to obtain a database of reliable

gravity anomalies, which can be used for many applications in science and engineering.

Given the low density of existing gravity data, it was necessary to employ an alternative method

for densifying the existing gravity anomalies set. Employing the methodology proposed by Jekeli et al.

(2009b) we proceeded to determine gravity anomaly data from a DTM. These anomalies were adjusted

by using the validated free-air gravity anomalies and, after that, applying the best �t in the least-square

sense by geographical area, it was possible to obtain a uniform grid of free-air anomalies obtained from a

DTM.

After applying the topographic corrections, determining the indirect e�ect of topography and the

contribution of the global geopotential model EGM2008, a grid of residual anomalies was obtained. These

residual anomalies were used to determine the gravimetric geoid by using various techniques, among which

are the planar approximation of the Stokes function and the modi�cations of the Stokes kernel, proposed

by Wong y Gore (1969), Vanicek y Kleusberg (1987) and Featherstone et al. (1998). After determining

the di�erent gravimetric geoid models, it was necessary to validate them by using a series of stations of

the Puerto Rico Vertical Datum of 2002 (PRVD02 ) leveling network. These stations had published its

3

values of ellipsoidal height and elevation, and in the absence of orthometric heights, we use the elevations

obtained from �rst � order leveling to determine the geometric geoid undulation (Roman et al., 2013).

After determine a total of 990 baselines, two analyzes were performed to determine the ' accuracy ' of the

geoid models. The �rst analysis was to analyze the di�erences between the increments of the geometric

geoid undulation with the increments of the geoid undulation of the di�erent geoid models (gravimetric

models, EGM2008 and GEOID12A) in function of the distance between the validation stations. Through

this analysis, it was determined that the model with the modi�ed Stokes kernel given by Wong and Gore

had the best 'accuracy' in 91,1% for the analyzed baselines. In the second analysis, in which we considered

the 990 baselines, we analyze the di�erences between the increments of the geometric geoid undulation

with the increments of the geoid undulation of the di�erent geoid models (gravimetric models, EGM2008

and GEOID12A) �nding that the model with the highest 'accuracy' was also the model with modifying

Stokes kernel given by Wong and Gore. In this analysis, the Wong and Gore gravimetric geoid model

presented an `accuracy' of 0,027 meters in comparison with the 'accuracy' of global geopotential model

EGM2008, which gave us an `accuracy' of 0,031 meters, while the 'accuracy ' of the GEOID12A regional

model was 0,057 meters. Finally we can say that the methodology presented here is adequate as it was

possible to obtain a gravimetric geoid model that has a greater 'accuracy' than the geopotential models

available, even surpassing the accuracy of global geopotential model EGM2008 .

4

Capítulo 1

Introducción

1.1. Descripción del problema

La forma tradicional de obtener las altitudes ha sido a partir de las redes de nivelación de alta precisión

que materializan la componente vertical del sistema de referencia. Sin embargo estas redes son muy

costosas y difíciles de mantener, por lo que muchos países carecen de esta infraestructura. Aun teniéndola,

las obtención de altitudes precisas por estos métodos clásicos además de ser muy complicada, requiere una

costosa inversión en tiempo y dinero. Un ejemplo de esto es la problemática aún existente en el momento

de determinar rigurosamente las altitudes ortométricas. La obtención de estas altitudes se hace muy

complicada ya que nos enfrentamos al problema de tener que evaluar el valor medio de la gravedad a lo

largo de la línea de la plomada cuando consideramos los efectos de la topografía del terreno (Tenzer et al.,

2005). Así pues, disponer de una super�cie equipotencial de referencia como dátum altimétrico preciso o

geoide local es de gran importancia por cuanto ello nos permitiría determinar las altitudes ortométricas de

forma e�ciente a partir de las altitudes elipsoidales proporcionadas por el Sistema Global de Navegación

por Satélite (Global Navigation Satellite System, GNSS ). Si bien esto es cierto para cualquier país tanto

más lo es para aquellas regiones que carecen de una red de nivelación, como es el caso de algunas zonas

en el Caribe, especí�camente en el área de Puerto Rico.

Como es sabido uno de los problemas no resueltos de la geodesia (quizás el más importante de los

mismos en la actualidad) es la carencia de un dátum altimétrico global (Sjoberg, 2011). El geoide, de�nido

como la super�cie equipotencial que mejor se ajusta (en el sentido de los mínimos cuadrados) al nivel

medio del mar en una determinada época, no es accesible actualmente desde los dátum altimétricos locales

con su�ciente precisión, por lo que resulta imposible la uni�cación de los mismos. Al no existir un dátum

altimétrico global que nos permita obtener los valores absolutos de la ondulación del geoide, es necesario

emplear modelos geopotenciales como alternativa. Los modelos geopotenciales pueden dividirse en globales

y regionales. Los modelos globales vienen dados por los coe�cientes de Stokes correspondientes al desa-

rrollo del potencial en armónicos esféricos y algunas otras constantes que los determinan. Sus valores se

obtienen esencialmente mediante tres fuentes de datos. Los que proceden de la observación del movimiento

perturbado de los satélites arti�ciales de la Tierra que contribuye proporcionando los coe�cientes de menor

grado (mayor longitud de onda). La altimetría de satélite, que permite disponer de valores asociados a

los océanos, y por último de gravimetría terrestre (y muy recientemente aerotransportada) a partir de los

que se determinan los coe�cientes de mayor grado y por lo tanto de mayor resolución (menor longitud de

5

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

onda). Durante mucho tiempo el mejor Modelo Geopotencial Global (Earth Gravitational Model, EGM )

para �nes geodésicos fue el EGM96, de grado y orden 360, con una resolución de 55,5 kilómetros (Lemoine

et al., 1998). Recientemente fue publicado el modelo EGM2008 en el que ha habido una notable mejoría

en las tres fuentes de datos mencionadas anteriormente, este modelo contiene coe�cientes adicionales hasta

el grado 2190 y orden 2159 y supone una sustancial mejora en la precisión (Pavlis et al., 2008). A partir

de estos modelos geopotenciales globales es posible calcular las magnitudes gravimétricas derivadas, en

particular el geoide.

1.2. Justi�cación

Cuando en una región determinada se dispone de valores de gravedad y modelos digitales del terreno

de calidad es posible obtener modelos de super�cies geopotenciales más precisos y de mayor resolución

que los modelos globales. Estas super�cies equipotenciales locales ajustadas al dátum altimétrico nacional

o regional no son estrictamente hablando un geoide, aunque en la literatura cientí�ca abunda esta ter-

minología especi�cando a veces para ellos el término �local� como son los casos del IGG2005 (Corchete

et al., 2005), Ibergeo2006 (Sevilla, 2006), ITG2009 (Corchete, 2010) o del GEOID12A (Roman y Weston,

2012), adoptaremos en adelante esta terminología. Para su realización se parte de un modelo global que

constituye una primera aproximación, a partir de la cual mediante variaciones introducidas a la fórmula

de Stokes (que es la solución al problema de valores de contorno geodésico), se calcula una malla de valores

de ondulación del geoide para la citada región.

Si bien es cierto que el Servicio Nacional Geodésico de los Estados Unidos de América (National

Geodetic Survey, NGS ) ha estado desarrollando modelos del geoide para la región de los Estados Unidos

de América continentales y todos sus territorios desde la década de los noventa, también es cierto que las

zonas de Puerto Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses han quedado un poco rezagadas al momento

de poder aplicar y obtener resultados de mayor precisión con estos modelos regionales del geoide. En estos

momentos la isla de Puerto Rico no cuenta con un modelo del geoide local por lo que siempre ha sido

necesario esperar que los modelos del geoide que desarrolla el NGS sean validados para los Estados Unidos

de América continentales y luego adaptados para esta región. Dada esta necesidad y ante la incertidumbre

de saber cuál sería el comportamiento de un modelo del geoide desarrollado única y exclusivamente con

datos de gravedad locales, nos hemos dado a la tarea de desarrollar un modelo de geoide gravimétrico

como sistema de referencia para las altitudes ortométricas.

1.3. Objetivos

Los objetivos de esta tesis doctoral han sido divididos en dos secciones; objetivo general y los obje-

tivos especí�cos los cuales fueron necesarios completar para poder alcanzar el objetivo general de esta

investigación.

1.3.1. Objetivo General

� Desarrollar un modelo de geoide gravimétrico para Puerto Rico que pueda ser utilizado como un

sistema de referencia para la determinación de las altitudes ortométricas.

6

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

1.3.2. Objetivos Especí�cos

�Desarrollar una metodología que nos permita determinar las altitudes ortométricas con la mayor

precisión posible.

� Comprobar la precisión de los modelos geopotenciales globales y/o regionales disponibles para la

zona de Puerto Rico.

� Analizar y validar datos de gravedad terrestre existentes.

� Desarrollar una base de datos de anomalías de gravedad con�able que nos permita realizar otros

trabajos relacionados con medidas gravimétricas.

� Desarrollar la metodología para determinar anomalías aire libre partiendo de los datos de un modelo

digital del terreno.

� Validar el modelo del geoide gravimétrico utilizando estaciones permanentes del NGS las cuales

tienen valores o�ciales de su elevación y altitud elipsoidal.

1.4. Estructura de la tesis

Esta tesis doctoral está estructurada en seis capítulos. En el Capítulo 2 se presenta la metodología

relacionada con la determinación gravimétrica del geoide, la teoría del campo gravitatorio terrestre, del

campo de gravedad normal y del campo de gravedad anómalo. Además presentamos la metodología re-

lacionada con la determinación del geoide geométrico, sistemas de altitudes y dátum verticales. En el

Capítulo 3 se presenta una descripción del área de estudio y de las distintas fuentes de datos utilizadas

durante esta investigación. En el Capítulo 4 se presenta el análisis y validación de datos utilizados para la

comprobación de la precisión de los modelos geopotenciales globales a lo largo de una línea de nivelación,

la determinación de un modelo topo � batimétrico para la zona de estudio, el análisis y validación de los

datos de gravedad terrestre y la determinación de anomalías aire libre partiendo de los datos de un modelo

digital del terreno. En el Capítulo 5 presentamos la aplicación práctica para la determinación del modelo

gravimétrico del geoide donde implementamos distintas metodologías que van desde la aproximación plana

de la función de Stokes a las distintas modi�caciones del núcleo de la función de Stokes. Finalmente en el

Capítulo 6 se presentan las conclusiones y sugerimos varias líneas de investigación futuras que han sido

generadas a partir del desarrollo de un modelo gravimétrico del geoide como sistema de referencia para

las altitudes ortométricas en Puerto Rico.

7

Capítulo 2

Metodología

En este capítulo se presenta una descripción de la metodología utilizada para determinar el modelo

del geoide gravimétrico además de los conceptos básicos de la teoría del campo gravitatorio terrestre,

del campo de gravedad normal, el campo de gravedad anómalo y las reducciones a la gravedad. Además

presentamos una descripción de los modelos geopotenciales globales y regionales disponibles para la región

de Puerto Rico, la metodología relacionada al Segundo Método de Condensación de Helmert y a la Técnica

de Sustitución � Restitución. Finalmente se presenta la metodología relacionada con la determinación

geométrica del geoide la cual incluye una descripción de los diferentes sistemas de altitudes y de los

dátum vigentes en la zona de estudio.

2.1. Determinación gravimétrica del geoide

2.1.1. Campo gravitatorio terrestre

Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en reposo sobre la super�cie terrestre son las resultantes de la

fuerza gravitacional y de la fuerza centrífuga de la rotación de la Tierra. Estas fuerzas son determinantes

al momento de de�nir o determinar la super�cie del geoide. El potencial gravitatorio W, se de�ne como

la suma de los potenciales de la fuerza gravitacional V, y de la fuerza centrífuga Φ y puede ser expresado

de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):

W = V + Φ (2.1)

De acuerdo con la ley de gravitación de Newton el potencial gravitatorio se puede de�nir como:

V = G

∫ ∫ ∫v

ρ

ldv (2.2)

DondeG es la constante de gravitación de Newton con un valor aproximado de 6, 67428∗10−11m3kg−1s−1,

ρ es el valor promedio de la densidad de la Tierra, l es la distancia entre el elemento de masa de�nido

como dm y el punto de interés denominado como P de�nido por las coordenadas (X, Y, Z) ( Figura 2.1)

y dv es el elemento de volumen de un cuerpo sólido en la Tierra (Heiskanen y Moritz, 1967).

8

CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA

Figura 2.1: Potencial de un cuerpo sólido.

El potencial V es continuo en todo el espacio y se hace cero en el in�nito. Las primeras derivadas del

potencial, serían las componentes de la fuerza y también son continuas en el espacio, algo que no sucede con

las segundas derivadas. En puntos donde la densidad cambia discontinuamente, alguna segunda derivada

tendrá una discontinuidad. Esto es así debido a que el potencial en el interior de las masas satisface la

Ecuación de Poisson (Heiskanen y Moritz, 1967).

4V = −4πGρ (2.3)

Dónde:

4V =∂2V

∂x2+∂2V

∂y2+∂2V

∂z2(2.4)

El símbolo 4 representa el operador laplaciano y tiene la forma de:

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(2.5)

En el espacio donde la densidad ρ es cero, la Eq. 2.3 se convierte en:

4V = 0 (2.6)

Conocida como la Ecuación de Laplace. Sus soluciones se llaman funciones armónicas por lo que el

potencial gravitatorio es una función armónica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas,

porque allí satisface la Ecuación de Poisson (Heiskanen y Moritz, 1967).

Las funciones de los armónicos esféricos pueden ser expresadas en coordenadas esféricas. (Ver Figura

2.2)

9


Figura 2.2: Sistema de coordenadas esféricas y rectangulares.

Si consideramos el radio vector r , la distancia polar θ y la longitud geocéntrica λ, podemos expresar

las coordenadas cartesianas por las siguientes ecuaciones:

x = r sin θ cosλ (2.7)

y = r sin θ sinλ (2.8)

z = r cos θ (2.9)

Si sustituimos las Eq. 2.7, la Eq. 2.8 y la Eq. 2.9 en la ecuación de Laplace 4V (Eq.2.4), podemos

obtener la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas (Heiskanen y Moritz, 1967).

4V =1

r2

∂

∂r

(r2 ∂V

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂V

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2V

∂λ2(2.10)

Cuya solución es el potencial V en términos de los armónicos esféricos, quedando expresado de la

siguiente manera:

V =GM

r

(1 +

∞∑n=2

n∑m=0

(ar

)n[Cmn R

mn (θ, λ) + Smn K

mn (θ, λ)]

)(2.11)

Donde si Cmn y Smn son constantes adimensionales, denominadas constantes de Stokes que determinan el

potencial y Rmn (θ, λ) yKmn (θ, λ) son funciones denominadas armónicos esféricos de super�cie, o armónicos

de Laplace, de�nidos como (Heiskanen y Moritz, 1967):

Rmn (θ, λ) = Pmn (cos θ) cosmλ (2.12)

Kmn (θ, λ) = Pmn (cos θ) sinmλ (2.13)

10


Siendo Pmn (cos θ) las funciones de Legendre de grado n y orden m. Así pues podemos expresar el

potencial V como:

V =GM

r

(1 +

∞∑n=2

n∑m=0

(ar

)n[Cmn cosmλ+ Smn sinmλ]Pmn (cos θ)

)(2.14)

Donde el termino n comienza en 2 debido a que el origen del sistema de coordenadas se encuentra

ubicado en el centro de masas de la Tierra.

El potencial de las fuerzas centrífugas debido a la rotación de la Tierra viene dado por la expresión

(Heiskanen y Moritz, 1967):

Φ =1

2ω2(x2 + y2

)(2.15)

Las fuerzas centrífugas no son conservativas ya que su potencial no cumple la ecuación de Laplace:

4Φ =∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2+∂2Φ

∂z2= 2ω2 (2.16)

Y si combinamos la Eq. 2.16 con la Ecuación de Poisson (Eq.2.3), obtenemos la Ecuación de Poisson

generalizada para el potencial gravitatorio de W (Heiskanen y Moritz, 1967).

4W = −4πGρ+ 2ω2 (2.17)

Las super�cies equipotenciales del campo gravitatorio terrestre vendrán dadas por la expresión:

W (x, y, z) = W0 = constante (2.18)

El geoide es una super�cie equipotencial y él mismo se de�ne como una prolongación del nivel medio del

mar hacia los continentes, pero este tema se discutirá detalladamente en la Sección 2.1.3.

Como hemos mencionado, el potencial gravitatorio terrestre W es la suma de los potenciales de la

fuerza gravitacional y de la fuerza centrífuga. El mismo quedaría de�nido de la siguiente manera (Heiskanen

y Moritz, 1967):

W = W (x, y, z) = V + Φ = G

∫ ∫ ∫v

ρ

ldv +

1

2ω2(x2 + y2

)(2.19)

Sustituyendo la Eq. 2.14 en la Eq. 2.19, podemos expresar el potencial gravitatorio W en términos de

los armónicos esféricos:

W (r, θ, λ) =GM

r

(1 +

∞∑n=2

n∑m=0

(ar

)n[Cmn cosmλ+ Smn sinmλ]Pmn (cos θ)

)+

1

2ω2r2 sin2 θ (2.20)

Si introducimos en la Eq. 2.20 el término m, denominado Constante de Helmert:

m =ω2a3

GM(2.21)

La ecuación del potencial gravitatorio W en términos de los armónicos esféricos �nalmente quedaría

11


expresada de la siguiente manera:

W (r, θ, λ) =GM

r

(1 +

∞∑n=2

n∑m=0

(ar

)n[Cmn cosmλ+ Smn sinmλ]Pmn (cos θ) +

1

2m( ra

)3

sin2 θ

)(2.22)

Por razones de cálculo resulta más conveniente expresar el potencial en función de los armónicos

esféricos de super�cie totalmente normalizados:

Pmn (cos θ) =

√(2− δ0,m) (2n+ 1)

(n−m)!

(n+m)!Pmn (cos θ) (2.23)

Y:

Cmn

Smn=

√1

(2− δ0,m) (2n+ 1)

(n+m)!

(n−m)!

{Cmn

Smn(2.24)

Siendo:

δ0,m

{= 1 sim = 0

= 0 sim 6= 0(2.25)

Con lo que la expresión del campo gravitatorio terrestre vendrá dada por:

W (r, θ, λ) =GM

r

(1 +

∞∑n=2

(ar

)n n∑m=0

[Cmn cosmλ+ Smn sinmλ

]Pmn (cos θ) +

1

2m( ra

)3

sin2 θ

)(2.26)

2.1.2. Campo gravitatorio normal

Tradicionalmente se ha de�nido la forma de la Tierra como una esfera, algo que podría entenderse

como una primera aproximación de la forma de la Tierra. Si consideráramos una segunda aproximación de

la forma de la Tierra, podríamos de�nirla como un elipsoide de revolución. Aunque se sabe que la Tierra

no es exactamente un elipsoide, considerarla como tal es muy práctico debido a la facilidad para manejar

matemáticamente el mismo. Adicionalmente, las diferencias entre el campo gravitatorio �real� y el del

campo �normal� del elipsoide son tan pequeñas que pueden permitir las linealización de las ecuaciones en

que intervenga tal diferencia.

Consideraremos un elipsoide cuya super�cie es equipotencial de su propio campo de gravedad, que

tiene la masa de la Tierra y gira con su velocidad angular. Todas las propiedades geométricas y físicas del

elipsoide normal quedan determinadas por el semieje mayor a, por el coe�ciente de segundo orden J2 para

cuyo valor se toma el coe�ciente de segundo grado y orden cero de la Tierra, la masa total de la Tierra

(M) y la velocidad angular ω (Heiskanen y Moritz, 1967).

Si consideramos un elipsoide S0 como:

x2 + y2

a2+z2

b2= 1 (2.27)

Por de�nición seria una super�cie equipotencial donde:

U = U (x, y, z) = U0 = constante (2.28)

12


Y el componente del vector de la gravedad normal quedaría de�nido por:

−→γ =−−→gradU (2.29)

En la XVII Asamblea General de la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (International Union

of Geodesy and Geophysics, IUGG) fue adoptado como elipsoide internacional el Sistema Geodésico de

Referencia 1980 (Geodetic Reference System 1980, GRS80 ) (Moritz, 2000). En la Tabla 2.1 se presentan

los constantes que de�nen el elipsoide internacional GRS80 :

Tabla 2.1: Constantes del elipsoide internacional GRS80.Radio en el ecuador a = 6 378 137m

Constante gravitacional geocéntrica de la Tierra GM = 3 986 005 ∗ 108m3s−2

Factor de forma dinámica de la Tierra J2 = 108 263 ∗ 10−8

Velocidad angular de la Tierra ω = 7 292 ∗ 10−11rad s−1

La constante del factor de forma dinámica de la Tierra J2 se determina como ya dijimos como el

coe�ciente C20 de�nido como:

J2 =C −AMa2

(2.30)

Donde C representa el momento de inercia respecto al eje de Z, A es el resultado del promedio de los

momentos de inercia respecto a los ejes de X y Y, M es la masa total de la Tierra y a es el radio en el

ecuador (Heiskanen y Moritz, 1967).

Podemos de�nir α como el aplanamiento del elipsoide:

α =(a− b)a

(2.31)

La primera excentricidad e, está de�nida como:

e2 =a2 − b2

a2(2.32)

Como segunda excentricidad e′, la cual está de�nida como:

e′2 =a2 − b2

b2(2.33)

Finalmente podemos utilizar la abreviatura m′ para de�nir la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz,

1967):

m′ =ω2a2b

GM(2.34)

Como hemos mencionado previamente, el elipsoide de referencia es una super�cie con un potencial

de la gravedad normal constante. El potencial de la gravedad normal también puede ser expresado en

términos de los armónicos esféricos (Heiskanen y Moritz, 1967):

U =GM

r

(1−

∞∑n=1

J2n

(ar

)2n

P2n (cos θ)

)(2.35)

13


Donde el término J2n puede ser determinado utilizando la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz,

1967):

J2n = (−1)n+1 3e2n

(2n+ 1) (2n+ 3)

(1− n+ 5n

J2

e2

)(2.36)

La gravedad normal en el ecuador γe y la gravedad normal en los polos γp pueden ser determinadas

utilizando las siguientes expresiones (Heiskanen y Moritz, 1967):

γe =GM

ab

(1−m′ − m′

6

e′q′0q0

)(2.37)

γp =GM

a2

(1 +

m′

3

e′q′0q0

)(2.38)

Donde los términos q0 y q′0 pueden de�nirse como (Heiskanen y Moritz, 1967):

q0 =1

2

[(1 +

3

e′2

)arctan e′ − 3

e′

](2.39)

q′0 = 3

(1 +

1

e′2

)(1− 1

e′2arctan e′

)− 1 (2.40)

Si relacionamos la gravedad normal en el polo γp y la gravedad normal en el ecuador γe, podemos

de�nir el aplanamiento gravimétrico β el cual puede ser expresado como (Heiskanen y Moritz, 1967):

β =γp − γeγe

(2.41)

Si introducimos la latitud geográ�ca sobre el elipsoide Φ, que se de�ne como el ángulo entre la normal

del elipsoide y el plano ecuatorial, podemos obtener la formula rigurosa para determinar la gravedad

normal sobre el elipsoide conocida como la Fórmula Somigliana de 1929 (Heiskanen y Moritz, 1967).

γ =aγe cos2 Φ + bγp sin2 Φ√a2 cos2 Φ + b2 sin2 Φ

(2.42)

Para efectos computacionales, la formula mayormente utilizada es la siguiente (Moritz, 2000):

γ = γe1 + k sin2 Φ√1− e2 sin2 Φ

(2.43)

Con un valor de k de�nido por (Moritz, 2000):

k =bγpaγe− 1 (2.44)

La fórmula de la gravedad normal puede ser expandida en la serie (Moritz, 2000):

γ = γe

(1 +

∞∑n=1

a2n sin2n Φ

)(2.45)

14


Donde los términos a2n son de�nidos como (Moritz, 2000):

a2 =1

2e2 + k (2.46)

a4 =3

8e4 +

1

2e2k (2.47)

a6 =5

16e6 +

3

8e4k (2.48)

a8 =35

128e8 +

5

16e6k (2.49)

Al expandir la Eq. 2.45 , la misma queda expresada como (Moritz, 2000):

γ = γe(1 + a2 sin2 Φ + a4 sin4 Φ + a6 sin6 Φ + a8 sin8 Φ

)(2.50)

Sustituyendo los valores del GRS80 en la Eq. 2.50 , obtenemos la siguiente expresión (Moritz, 2000):

γGRS80 = γe(1 + 0, 005 279 0414 sin2 Φ + 0, 000 023 2718 sin4 Φ + 0, 000 000 1262 sin6 Φ + 0, 000 000 0007 sin8 Φ

)ms−2

(2.51)

En el caso del GRS80, γe toma un valor de 9,7803267715 m2s−2. Esta ecuación presenta un error rela-

tivo de 10−10, correspondiente a 10−3µms−2 = 10−4mGal (Moritz, 2000).

También podemos considerar la expansión convencional de la serie abreviada la cual podemos repre-

sentar de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):

γ = γe(1 + β sin2 Φ + β1 sin2 2Φ

)(2.52)

Y los términos β y β1 en aproximación de segundo orden vienen dados por las siguientes expresiones:

β = 2m− 3

2J2 −

75

14J2m−

9

8J

2

2

117

56m2 (2.53)

β1 = − 9

32J

2

2 +3

4J2m+

9

32m2 (2.54)

Si sustituimos los parámetros del GRS80 en la Eq. 2.52 , obtenemos la ecuación abreviada de la

gravedad normal (Moritz, 2000).

γGRS80 = 9, 780 327(1 + 0, 005 3024 sin2 Φ− 0, 000 0058 sin2 2Φ

)ms−2 (2.55)

La cual tiene una precisión de 1µms−2 = 0, 1mGal (Moritz, 2000).

Si queremos obtener la gravedad normal en un punto de latitud Φ, situado a una altitud h por encima

del elipsoide, γh , podemos utilizar la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz, 1967):

γh = γe

[1− 2

a

(1 + α+m′ − 2α sin2 Φ

)h+

3

a2h2

](2.56)

15


Finalmente de�niremos la curvatura media del elipsoide, la cual viene dada por:

J =1

2

(1

M+

1

N

)(2.57)

Donde M y N son los radios principales de curvatura; M es el radio medio en la dirección del me-

ridiano y N es el radio de curvatura normal. Estos términos pueden ser expresados de la siguiente manera:

M =a(1− e2

)(1 + e2 sin2 Φ

) 32

(2.58)

N =a(

1 + e2 sin2 Φ) 1

2

(2.59)

Y el radio de curvatura en el polo puede ser expresado como:

c =a2

b2(2.60)

2.1.3. Campo de gravedad anómalo

Como hemos mencionado anteriormente, entre el potencial gravitatorioW y el potencial de la gravedad

normal U existe una pequeña diferencia que se puede designar como T (Heiskanen y Moritz, 1967), tal

que:

W (x, y, z) = U (x, y, z) + T (x, y, z) (2.61)

Donde T se llama el potencial anómalo o potencial perturbador. Si el potencial gravitatorioW de�nido

como el geoide se puede expresar de la siguiente manera:

W (x, y, z) = W0 (2.62)

Y consideramos el potencial normal U del elipsoide de referencia:

U (x, y, z) = W0 (2.63)

Si ambos tienen un mismo potencial U0 = W0, un punto P del geoide se puede proyectar como un

punto Q en el elipsoide por medio de la normal elipsóidica. La distancia de P a Q entre el geoide y el

elipsoide se llama ondulación del geoide y se designa como N. (Figura 2.3)

16


Figura 2.3: Geoide y elipsoide de referencia.

Si consideramos el vector de la gravedad −→g en el punto P y el vector de gravedad normal ~γQ en el

punto Q, la diferencia entre ambos vectores se puede de�nir como el vector de la anomalía de la gravedad

4−→g (Heiskanen y Moritz, 1967).

4−→g = −→gP − ~γQ (2.64)

Un vector está compuesto por su magnitud y dirección, por lo que la diferencia en la magnitud es lo

que se conoce como la anomalía de la gravedad 4g (Heiskanen y Moritz, 1967).

4g = gP − γQ (2.65)

También podemos comparar los vectores de gravedad ~g y de gravedad normal ~γ en el punto P, obte-

niendo el vector de la perturbación de la gravedad δ~g (Heiskanen y Moritz, 1967).

δ~g = ~gP − ~γP (2.66)

Y su diferencia en magnitud quedaría expresada como la perturbación de la gravedad δg (Heiskanen

y Moritz, 1967).

δg = gP − γP (2.67)

Lo más importante de la anomalía de la gravedad4g es que la misma puede ser obtenida directamente,

es decir, la gravedad g es medida sobre la super�cie de la Tierra y luego reducida al geoide y la gravedad

normal γ se calcula sobre el elipsoide.

Hay varias relaciones que se pueden hacer partiendo de las expresiones que acabamos de de�nir. El

potencial normal U en el punto P, lo podemos de�nir como (Heiskanen y Moritz, 1967):

UP = UQ +

(∂U

∂n

)Q

N = UQ − γN (2.68)

17


De la misma manera podemos de�nir el potencial gravitatorio W en el punto P como (Heiskanen y

Moritz, 1967):

WP = UP + TP = UQ − γN + TP (2.69)

Por lo que podemos concluir que:

WP = UQ = W0 (2.70)

Obteniendo:

T = γN (2.71)

Que también puede ser expresado de la siguiente manera:

N =T

γ(2.72)

Conocida como la Fórmula de Bruns la cual relaciona la ondulación del geoide con el potencial per-

turbador (Heiskanen y Moritz, 1967).

Puesto que:−→g =

−−→gradW (2.73)

−→γ =−−→gradU (2.74)

Podemos decir que:−→δg =

−−→grad (W − U) =

−−→gradT ≡

[∂T

∂x,∂T

∂y,∂T

∂z

](2.75)

Considerando que:

g = −∂W∂n

, γ = − ∂U∂n′

.= −∂U

∂n(2.76)

Ya que las direcciones normales n y n′ casi coinciden, podemos decir que la perturbación de la gravedad

viene dada por:

δg = gP − γP = −(∂W

∂n− ∂U

∂n′

).= −

(∂W

∂n− ∂U

∂n

)(2.77)

Quedando expresado de la siguiente manera:

δg = − ∂T∂n′

(2.78)

Dado que la altitud h se mide a lo largo de la normal, también podemos escribir la expresión de la

siguiente manera:

δg = −∂T∂h

(2.79)

Considerando que podemos de�nir la gravedad normal γ en el punto P como:

γP = γQ +∂γ

∂hN (2.80)

Tenemos entonces que:

−∂T∂h

= δg = gP − γP = gP − γQ −∂γ

∂hN (2.81)

18


Si consideramos la de�nición de la anomalía de la gravedad 4g (Eq. 2.65) y teniendo en cuenta la

Fórmula de Bruns (Eq. 2.72), podemos obtener la siguiente ecuación equivalente:

∂T

∂h− 1

γ

∂γ

∂h+4g = 0 (2.82)

Conocida como la Ecuación Fundamental de la Geodesia Física ya que relaciona la cantidad medida

4g con el potencial anómalo desconocido T. (Heiskanen y Moritz, 1967) Debido a que 4g es conocida

solo sobre la super�cie del geoide, esta ecuación solo puede usarse como una condición de contorno. Para

considerar esta ecuación no puede haber masas fuera del geoide, algo que no es posible, ya que las medidas

no se realizan sobre el geoide sino en la super�cie. Por esta razón es necesario eliminar el efecto de las

masas y reducir la gravedad al geoide utilizando algunas aproximaciones que serán discutidas más adelante.

Si en la expresión anterior se desprecian los términos de primer orden, es decir los términos del orden

de αT, αN , queda de la siguiente forma:

∂T

∂r+

2

RT +4g = 0 (2.83)

Resultando en la aproximación esférica de la condición de contorno fundamental (Heiskanen y Moritz,

1967).

Dónde:

4g +2T

r+∂T

∂r= 0 si r = R (2.84)

4T = 0 si r > R (2.85)

El signi�cado exacto de esta aproximación esférica debe ser cuidadosamente analizado ya que solo

debe usarse en ecuaciones que relacionan las pequeñas cantidades T, N, 4g, etc. Como el aplanamiento

α es muy pequeño, las formulas elipsódicas se pueden desarrollar en serie de potencias en función de α, y

entonces los términos que contienen αT y αN se desprecian (Heiskanen y Moritz, 1967).

Si consideramos las coordenadas esféricas, sobre el geoide tenemos que r = R y si designamos T (R, θ, λ)

simplemente como T, resolviendo la Eq. 2.83 podemos obtener la ecuación de Stokes:

T =R

4π

∫ ∫σ

4g S (ψ) dσ (2.86)

Dónde:

S (ψ) =1

sin ψ2

− 6 sinψ

2+ 1− 5 cosψ − 3 cosψ ln

(sin

ψ

2+ sin2 ψ

2

)(2.87)

Es la función de Stokes (Heiskanen y Moritz, 1967).

También podemos expresar la Eq.2.87 en términos de los polinomios de Legendre (Heiskanen y Moritz,

1967).

S (ψ) =∞∑n=2

2n+ 1

n− 1Pn (cosψ) (2.88)

19


Finalmente, por la Fórmula de Bruns (Eq. 2.72), podemos obtener:

N =R

4πγ

∫ ∫σ

4g S (ψ) dσ (2.89)

Conocida como la fórmula de Stokes o integral de Stokes (Heiskanen y Moritz, 1967). Esta fórmula

nos permite determinar el geoide utilizando datos gravimétricos.

2.1.4. Reducciones a la gravedad

El uso de la fórmula de Stokes para la determinación del geoide requiere que las anomalías de la

gravedad estén reducidas a la super�cie del geoide, y la condición impuesta para la obtención de la

Ecuación Fundamental de la Geodesia Física exige que el campo debe ser armónico en el exterior de las

masas que lo generan. Esto implica dos condiciones importantes: la gravedad debe referirse al geoide y no

puede haber masas fuera del geoide.

Esto requiere que las masas topográ�cas sean eliminadas (restituyendo el efecto que esto produce

condensándolas en una capa sobre el geoide o de alguna otra forma) y que la medida de gravedad que fue

realizada en la super�cie de la Tierra en un punto P, sea bajada al geoide a un punto conocido como P0

. (Ver Figura 2.4)

Figura 2.4: Reducción de la gravedad.

2.1.4.1. Reducción aire libre

La primera reducción que presentaremos es la reducción aire libre. La misma lo que pretende es

reducir la gravedad observada a la super�cie del geoide. Como se ha supuesto que no existen masas entre

la super�cie del terreno y el geoide, la estación P queda �al aire libre�. La misma puede ser expresada de

la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):

F.= − ∂g

∂HH (2.90)

Donde F es la reducción aire libre, H es la altura expresada en metros y g es la gravedad medida. Para

20


�nes prácticos se utiliza el gradiente de la gravedad normal, quedando expresada de la siguiente manera

(Heiskanen y Moritz, 1967):

F.= − ∂γ

∂HH = 0, 3086H (mGal) (2.91)

Esta reducción es la que da base a la anomalía aire libre (Heiskanen y Moritz, 1967):

4gAL = gP + 0, 3086H − γQ (2.92)

La anomalía aire libre lo que hace es aplicarle a la gravedad medida en P la reducción aire libre y

luego restarle la gravedad normal sobre el elipsoide γQ . Estas serán las anomalías que utilizaremos para

los propósitos de nuestra investigación.

2.1.4.2. Reducción de Bouguer

El propósito de la reducción de Bouguer es la eliminación de todas las masas topográ�cas, es decir

todas las masas exteriores que afectan al geoide. Primeramente de�niremos la lámina de Bouguer. Esta

lámina asume que alrededor de la estación donde se realiza la medida de gravedad existe una capa in�nita

completamente plana y horizontal y que las masas entre el geoide y la super�cie tienen una densidad

constante. (Ver Figura 2.5)

Figura 2.5: Lámina de Bouguer.

Podemos expresar el efecto gravitacional de la lámina de Bouguer de la siguiente manera (Heiskanen

y Moritz, 1967):

AB = 2πGρH (2.93)

Donde la densidad estándar se de�ne como ρ = 2, 67 gcm3 . Sustituyendo los valores numéricos de la

ecuación, obtenemos entonces (Heiskanen y Moritz, 1967):

AB = 0, 1119H (mGal) (2.94)

Donde la altura H esta expresada en metros.

21


Al proceso de quitar la lámina de Bouguer y aplicar la reducción aire libre, podemos llamarlo como la

reducción de Bouguer completa (Heiskanen y Moritz, 1967).

gB = g −AB + F (2.95)

Sustituyendo los valores numéricos, podemos obtener (Heiskanen y Moritz, 1967):

gB = g + 0, 1967H (2.96)

Si �nalmente a la reducción de Bouguer le restamos el valor de la gravedad normal referida al elipsoide

de referencia, obtendremos la anomalía de Bouguer (Heiskanen y Moritz, 1967).

4gB = gB − γQ (2.97)

2.1.4.3. Corrección clásica por efectos de la topográ�ca del terreno

Las correcciones topográ�cas básicamente son un re�nado que considera las desviaciones topográ�cas

reales respecto a la lámina de Bouguer. El valor de la gravedad en un punto es in�uenciado por la topografía

circundante, por lo tanto es necesario compensar los excesos y defectos de las masas. (Ver Figura 2.6)

Figura 2.6: Correcciones Topográ�cas.

En términos generales, el terreno se descompone en prismas y aplicando algún tipo de algoritmo se

puede calcular la atracción de cada prisma hacia cada punto de interés. (Ver Figura 2.7).

22


Figura 2.7: Sistema de referencia para el cómputo de la Corrección Topográ�ca.

En nuestro caso hemos aplicado el algoritmo propuesto por Nagy et al. (2000), el cual nos permite

determinar los componentes para realizar el cómputo de la corrección topográ�ca.

CTi,j = GρL∑l=1

M∑m=1

2∑q=1

2∑r=1

2∑s=1

(−1)(q+r+s)

[ξq ln

∣∣∣∣ηr + ωqrslqs

∣∣∣∣+ ηr ln

∣∣∣∣ξq + ωqrslrs

∣∣∣∣− δs arctan

(ξqηrδsωqrs

)](2.98)

ξ1 = |xl − xi| −4x2

ξ2 = |xl − xi|+4x2

(2.99)

η1 = |ym − yj | −4y2

η2 = |ym − yj |+4y2

(2.100)

δ1 = p δ2 = Hl,m − (Hi,j − p) (2.101)

ωqrs =√ξ2q + η2

r + δ2s (2.102)

lrs =√η2r + δ2

s (2.103)

lqs =√ξ2q + δ2

s (2.104)

23


Donde:

G: es la constante gravitacional de Newton

ρ: es la densidad de la corteza terrestre

xi, yj , Hi,j : son las coordenadas del punto donde se interesa calcular la corrección

xl, ym, Hl,m: son las coordenadas de los puntos del relieve, donde hay un total de l ∗ m puntos

4x ,4y: son los pasos de malla en la dirección de x, y

p: es la profundidad a considerar en el punto donde se interesa realizar la corrección

Con el advenimiento de los Modelos Digitales del Terreno (Digital Elevation Models, DEM ) ha sido posible

sustituir la metodología tradicional de las plantillas y tablas de Hayford y Bowie (1912) o las propuestas

por Hammer (1939), facilitando el proceso de calcular las correcciones topográ�cas mediante el método

de prismas. Para realizar esta operación, es necesario descomponer el terreno en tres zonas con diferentes

resoluciones. Para la Zona 1, de la cual podemos decir que es la zona de mayor in�uencia, tiene una

resolución de 0,00166667 segundos de arco y un radio de 1 kilómetro. La Zona 2 tiene una resolución

de 0,0166667 minuto de arco y un radio 5 kilómetros. Finalmente la Zona 3, tiene una resolución de

0,08333333 minutos de arco y un radio de 167 kilómetros. (Ver Figura 2.8).

Figura 2.8: Plantillas zona in�uencia correcciones topográ�cas.

Ya determinados los radios de in�uencia y la resolución de cada zona, se procede a preparar las mallas

digitales que contienen los datos de elevación del terreno a distintas resoluciones y se procede a ejecutar

el algoritmo. En términos generales, el algoritmo primeramente identi�ca las coordenadas del punto de

interés en las matrices de elevaciones, luego se trunca la matriz alrededor del punto en función del radio

de in�uencia y �nalmente se completa la ejecución del algoritmo.

La parte de mayor cuidado en la implementación de este algoritmo es poder identi�car los valores que

deben tomar las coordenadas de los prismas en función de la ubicación en el terreno donde se interesa

calcular la corrección. En la Figura 2.9 se presentan los diferentes casos que podemos encontrar al momento

de determinar las coordenadas verticales del prisma, según donde se encuentre el punto de interés, ya sea

en la parte continental o en la región oceánica.

24


Figura 2.9: Diferentes casos de las coordenadas verticales del prisma.

En todos los casos, el término δ1 se re�ere a la coordenada interior y el término δ2 a la coordenada

exterior. La Tabla 2.2 contiene los detalles de los valores asignados a las coordenadas δ1 y δ2.

Tabla 2.2: Valores de las coordenadas interiores e inferiores del prisma.Zona Oceánica Continental

Correción en P(I)δ1 = −HP (II)δ1 = −HP −Hi,j δ1 = 0

δ2 = 0 δ2 = −HP δ2 = Hi,j −HP

Corrección en Q0(I)δ1 = 0 (II)δ1 = −Hi,j δ1 = HP

δ2 = HP δ2 = 0 δ2 = Hi,j

Tras calcular el valor de la corrección topográ�ca, en posible determinar el efecto total de las masas

topográ�cas, quedando representado como (Heiskanen y Moritz, 1967):

AT = AB − CT (2.105)

2.1.4.4. Reducciones Isostáticas

El principio de la isostasia se basa en el concepto de que las masas topográ�cas no se encuentran

simplemente sobrepuestas sobre la corteza terrestre. Es decir, si las masas topográ�cas solamente existieran

sobre la super�cie, al realizar las reducciones de Bouguer, se eliminarían todas estas irregularidades del

campo graví�co por lo que las anomalías de Bouguer serían muy pequeñas, o tenderían a cero. El problema

surge en los lugares montañosos, donde ocurre exactamente lo contrario, donde las anomalías se encuentran

fuertemente relacionadas inversamente con la elevación. Esta situación ha generado el desarrollo de varias

teorías como las de J.H. Pratt - Hayford y la de G.B. Airy - Heiskanen. En las mismas se ha tratado de

25


explicar que en estos casos existe algún tipo de de�ciencia debajo de las montañas por lo que las masas

topográ�cas tienden a compensarse. En nuestro trabajo aplicaremos el Modelo de Airy � Heiskanen. El

principio del Modelo Airy � Heiskanen propone que bajo las montañas existen unas raíces y bajo los

océanos existen unas anti raíces. Partiendo de que la densidad en la corteza se puede de�nir con el valor

de ρ0 = 2, 67 gcm3 y que estas masas �otan sobre una capa más densa con un valor de ρ1 = 3, 27 g

cm3 .

Dado que la diferencia entre las densidades es 4ρ = 0, 6 gcm3 , si de�nimos a H como la altitud y t como el

espesor de la correspondiente raíz, podemos decir que para la zona terrestre (Heiskanen y Moritz, 1967):

t =ρ0

ρ1H = 4, 45H (2.106)

En el caso de los océanos, el problema se trata de una manera un poco diferente. Si de�nimos ρw =

1, 027 gcm3 como la densidad del océano, la anti raíz quedaría de�nida de la siguiente manera (Heiskanen

y Moritz, 1967):

t′

=ρ0 − ρwρ1 − ρ0

H′

= 2, 73H′

(2.107)

Donde H′es la profundidad del océano y t

′es la anti raíz.

Finalmente podemos de�nir el espesor de la corteza terrestre como T cuyo valor aproximado es T =

30 km , entonces el espesor de la corteza bajo las montañas quedaría de�nido como (Heiskanen y Moritz,

1967):

T +H + t (2.108)

Y el espesor de la corteza bajo los océanos quedaría de�nido por (Heiskanen y Moritz, 1967):

T −H′− t

′(2.109)

Ya de�nido el concepto de isostasia, podemos presentar las reducciones isostáticas. El objetivo de

estas reducciones es la regulación de la corteza terrestre utilizando un modelo de isostasia. En este caso

las masas topográ�cas no son completamente eliminadas como sucede en el caso de las reducciones de

Bouguer, sino que las masas topográ�cas son llevadas al interior del geoide para rellenar las de�ciencias

de las masas. En el caso del Modelo de Airy � Heiskanen, las masas topográ�cas se utilizan para rellenas

las raíces llevando la densidad de la corteza ρ0 = 2, 67 gcm3 a la densidad del manto ρ1 = 3, 27 g

cm3 .

Las reducciones isostáticas se pueden de�nir en tres etapas:

1. Eliminar el efecto gravitacional de la topografía.

2. Eliminar el efecto gravitacional de la compensación de las masas.

3. Realizar la reducción aire libre.

Para el cálculo de la corrección isostática usamos la misma fórmula de Nagy (Eq. 2.98) teniendo en cuenta

ahora que la densidad aplicada es la diferencia entre las densidades de la corteza y el manto (ρ1 − ρ0) y

en el caso de los océanos la diferencia hemos de considerar además las diferencias entre corteza y agua a

(ρ0 − ρW ).

26


Finalmente podemos de�nir la reducción isostática como (Heiskanen y Moritz, 1967):

gI = gP −AT +AI + F (2.110)

Donde el término AI se re�ere a la atracción de la compensación isostática que realmente es negativa

y el término AT es el efecto total de las masas, producto de la combinación del efecto de la lámina de

Bouguer AB y de la Corrección Topográ�ca CT y F es la reducción aire libre.

Figura 2.10: Topografía y compensación Isostática Modelo Airy - Heiskanen.

Tanto para las estaciones en tierra como para las estaciones oceánicas, si a la reducción isostática

le restamos el valor de la gravedad normal referida al elipsoide de referencia, obtendremos la anomalía

isostática (Heiskanen y Moritz, 1967).

4gI = gI − γQ (2.111)

2.1.4.5. Corrección por el efecto indirecto

Cuando se realiza la eliminación o desplazamientos de masas utilizando las distintas técnicas de reduc-

ción de la gravedad, estas cambian el potencial gravitatorio y por lo tanto alteran el geoide. Este cambio

en el geoide es lo que se llama el efecto indirecto en las reducciones de la gravedad. Esto trae por efecto

que la super�cie calculada a partir de la fórmula de Stokes no determina el geoide, sino una super�cie

27


ligeramente diferente llamada cogeoide. Si de�nimos N c como la ondulación del cogeoide, entonces la

ondulación del geoide real N , se obtiene mediante la siguiente fórmula (Heiskanen y Moritz, 1967):

N = N c + δN (2.112)

Teniendo en cuenta que el efecto indirecto sobre N viene dado por (Heiskanen y Moritz, 1967):

δN =δW

γ(2.113)

Donde δW es la variación del potencial del geoide de las masas eliminadas o la diferencia entre este

y el de las masas restituidas. Según la metodología clásica δW se re�ere a la diferencia entre el potencial

de las masas topográ�cas calculadas en el punto P de la super�cie de la Tierra, menos el potencial de

las masas restituidas calculado en P', proyección de P sobre el geoide. El efecto indirecto en el Segundo

Método de Condensación de Helmert viene dado por las fórmulas propuestas por Wichiencharoen (1982),

quedando expresado de la siguiente manera:

NInd = −πGρH2P

γP− Gρ

6γP

∫ ∫σ

H3 −H3P

d3dσ +

3

40

Gρ

γP

∫ ∫σ

H5 −H5P

d5dσ (2.114)

Donde G es la constante de gravitación de Newton, ρ es el valor promedio de la densidad de la Tierra,

γP es la gravedad normal en el punto P , HP es la altura del punto denominado como P , H es la altura

del elemento de masa y d es la distancia entre el punto P y el elemento de masa. Para efectos de este

trabajo solo se consideraron el primer término de la lámina de Bouguer y segundo término del desarrollo

en serie binomial.

2.1.4.6. Corrección a la gravedad por efectos atmosféricos

En adición a las reducciones que se le realizan a la gravedad a efectos de trasladar las medidas realizadas

en la super�cie de la Tierra al geoide, es necesario realizar la corrección de la gravedad por efectos

atmosféricos. El efecto de esta reducción es la remoción de la atmosfera sobre la Tierra condensándola

de forma vertical en el interior del geoide. La Asociación Internacional de Geodesia (IAG, 1971)) publicó

una tabla con valores que permiten realizar la corrección atmosférica de la gravedad δg en función de la

elevación H sobre el nivel del mar. Los valores de δg se le suman al valor de la gravedad medida. Para

efectos de nuestro trabajo, ya que los datos medidos de gravedad no sobrepasan los 875 metros sobre el

nivel del mar, los valores correspondientes de las correcciones atmosféricas de la gravedad se presentan en

la Tabla 2.3 .

Tabla 2.3: Valores de las correcciones atmosféricas a la gravedad δg.H δg

(km) (mGal)

0 0,87

0,5 0,82

1,0 0,77

Mediante interpolación lineal es posible determinar la corrección atmosférica de la gravedad a las

medidas de gravedad realizadas sobre el terreno.

28


2.1.5. Modelos geopotenciales globales y regionales

Como hemos mencionado anteriormente, en términos generales el potencial gravitacional V en un

punto P (Eq. 2.14) de�nido por la distancia geocéntrica r, la co-latitud geocéntrica θ y la longitud λ,

puede ser expresado en términos de los armónicos esféricos:

V (r, θ, λ) =GM

r

(1 +

nmax∑n=2

n∑m=0

(ar

)n [Cmn cosmλ+ Smn sinmλ

]P (cos θ)

)(2.115)

Donde GM es la constante gravitacional geocéntrica, a es el factor de escala asociado a los coe�cientes

de los armónicos esféricos fuertemente normalizados Cmn y Smn . También hemos de�nido el potencial de la

gravedad normal U (Eq. 2.35) en términos de armónicos esféricos:

U =GM

r

(1−

∞∑n=1

J2n

(ar

)2n

P2n (cos θ)

)

Por lo tanto, de la misma manera el potencial anómalo T = V −U puede ser expresado en término de

los armónicos esféricos fuertemente normalizados:

T (r, θ, λ) = V − U =GM

r

∞∑n=2

(ar

)n n∑m=0

(Cmn cosmλ+ Smn sinmλ

)P (cos θ) (2.116)

Considerando la Fórmula de Bruns (Eq. 2.72), obtenemos la ondulación del geoide N :

N (r, θ, λ) =GM

rγ

∞∑n=2

(ar

)n n∑m=0

(C ′ mn cosmλ+ Smn sinmλ

)P (cos θ) (2.117)

Dónde el término C ′ mn es la diferencia:

C ′ mn = Cmn − Jmn (2.118)

Dónde:

Jmn = 0 sim 6= 0, o si n es impar (2.119)

Y en la práctica se toma hasta un valor 2n = 12.

A partir de la Eq. 2.82, Ecuación Fundamental de la Geodesia Física, podemos determinar las anomalías

de la gravedad 4g:

4g (r, θ, λ) =GM

r2

∞∑n=2

(n− 1)(ar

)n n∑m=0

(C ′mn cosmλ+ Smn sinmλ

)P (cos θ) (2.120)

Los modelos geopotenciales permiten modelar los efectos del campo gravitacional de la Tierra utilizan-

do estas ecuaciones. Por lo tanto podemos determinar la ondulación del geoideN utilizando la siguiente

ecuación:

NMG =GM

rγ

nmax∑n=2

(ar

)n n∑m=0


)P (cos θ) (2.121)

29


Y de la misma manera, podemos determinar las anomalías de la gravedad 4g:

4gMG =GM

r2

nmax∑n=2

(n− 1)(ar

)n n∑m=0


)P (cos θ) (2.122)

El inconveniente principal que tienen estos modelos es que están limitados en su resolución ya que el

valor de n no puede ser in�nito y este valor es el que determina la resolución del modelo, dada aproxima-

damente por:

Res =20000km

nmax(2.123)

Con el advenimiento del GNSS, se ha incrementado grandemente la necesidad de desarrollar modelos

del geoide regionales o globales altamente precisos. El GNSS nos proporciona altitudes elipsóidicas de

una manera altamente e�ciente y con gran precisión (algunos centímetros). Por lo tanto si disponemos de

modelos que nos proporcionen los valores de la ondulación del geoide con la misma precisión, podremos

calcular altitudes ortométricas precisas que es lo que se requiere en la mayor parte de los trabajos realizados

por las instituciones cartográ�cas y en la ingeniería civil.

En esta sección presentamos una descripción de los distintos modelos geopotenciales globales y regio-

nales disponibles para la región de Puerto Rico. Es importante mencionar que para la región de Puerto

Rico el modelo geopotencial regional vigente es el GEOID12A (Roman y Weston, 2012) Este modelo uti-

liza como referencia el Modelo Geopotencial Global de 2008 (Earth Gravitational Model 2008, EGM2008 )

(Pavlis et al., 2008) combinado con el Geoide Gravimétrico de los Estados Unidos de América de 2012

(United States Gravimetric Geoid 20012, USGG20012 ).

2.1.5.1. EGM96

El modelo geopotencial global más utilizado en los pasados años fue el Modelo Geopotencial Global

de 1996 (Earth Gravitational Model 1996, EGM96 ). (Figura2.11). Este modelo estaba expresado por los

coe�cientes del desarrollo armónico del potencial hasta el grado y orden de 360. El EGM96 (Lemoine et al.,

1998) fue el resultado del trabajo en conjunto de la Agencia Nacional de Imágenes y Cartografía de los

Estados Unidos de América (National Imagery and Mapping Agency, NIMA), la Administración Nacional

de Aeronáutica y del Espacio (National Aeronautic and Space Administration, NASA) y la Universidad

Estatal de Ohio. La gran ventaja de este proyecto fue que por primera vez se utilizaron conjuntos nuevos

de datos de gravedad de diferentes regiones del mundo para desarrollar un modelo geopotencial global.

Para realizar este modelo se utilizaron datos de vuelos con instrumentos especializados para determinar la

gravedad en aéreas como Groenlandia, el Ártico y el Antártico. También se utilizaron datos gravimétricos

de regiones como África, Canadá, partes de Sur América, el sureste de Asia, el este de Europa y la antigua

Unión Soviética.

El EGM96 también incluyó datos de altimetría derivados del satélite geodésico de la Armada de los

Estados Unidos de América, GEOSAT, de estudios del Centro Nacional del Catastro y Topografía de

Dinamarca (National Survey and Cadastre of Demark) realizados por Andersen et al. (1996), Forsberg

(1987) y de los trabajos de Schoene (1996) sobre el Weddell Sea. En principio este modelo geopotencial

fue diseñado para computar ondulaciones del geoide teóricamente con una precisión aproximada de un

metro, con excepción de aquellas aéreas donde había poca densidad de datos gravimétricos. Todo ésto

utilizando el Sistema Geodésico Mundial de 1984 (World Geodetic System 1984, WGS 84 ) (Decker, 1986)

como el elipsoide de referencia.

30


Este modelo tiene una resolución de 55,5 km y una precisión, que aunque depende mucho de la zona

geográ�ca podemos establecer aproximadamente del orden de los 50 cm.

Figura 2.11: EGM96. Fuente: J. Frawley (NASA GSFC)

2.1.5.2. EGM2008

La Agencia Nacional de Inteligencia-Geoespacial (National Geospatial-Inteligence Agency, NGA) antes

NIMA, reveló o�cialmente el modelo global más reciente y preciso del campo gravitacional de la Tierra:

el Modelo Geopotencial de la Tierra del 2008, EGM2008 (Pavlis et al., 2008). Este nuevo modelo geo-

potencial global no sólo describe el campo de la gravedad para el planeta entero, sino que su resolución

y precisión se aproximan a la precisión y resolución de los modelos regionales. De la misma manera que

el WGS84 sustituyó los marcos de referencias locales y regionales (dátum) proporcionando uniformidad

y una consistencia muy necesaria entre los usuarios del Departamento de Defensa, el EGM2008 permite

mejorar la precisión en la obtención de altitudes ortométricas mediante un modelo global. (Figura 2.12)

El EGM2008 es un modelo en armónicos esféricos del potencial gravitacional, desarrollado por la

combinación mínimo cuadrático del modelo gravitacional obtenido de la misión satelital ITC-GRACE03S

(Tapley et al., 2007), que proporciona las longitudes de onda larga y las anomalías de�nidas en una

malla equiangular de 5' de arco, obtenida a partir de datos terrestres, derivados de misiones satelitales

altimétricas sobre los océanos y campañas gravimétrica aerotransportadas. El EGM2008 es completo hasta

el grado y orden 2159 y tiene coe�cientes adicionales hasta el grado 2190 y orden 2159. Su resolución es

aproximadamente de 10 km y la precisión de la ondulación del geoide derivado de este modelo es de unos

10 cm en las zonas que han contribuido con datos abundantes, de calidad y con orografías no especialmente

complicadas a valores mucho más altos en otras zonas.

31


Figura 2.12: EGM2008. Fuente: U.S. National Geospatial-Intelligence Agency (NGA)

A partir de un modelo geopotencial pueden derivarse diferentes magnitudes geodésicas, entre ellas la

anomalía de altitud:

ξ (r, θ, λ) = N0 +GM

rγ

[L∑n=2

(ar

)n n∑m=0

(δCmn cosmλ+ δSmn sinmλ

)Pmn (cos θ)

](2.124)

Donde (r, θ, λ) son la distancia al centro de la Tierra, el complemento de latitud geocéntrica y la longitud,

a es un factor de escala asociado al valor de los coe�cientes, GM la constante gravitacional geocéntrica,

Pmn las funciones asociadas de Legendre de primera clase, de grado n y orden m, γ el valor medio de la

gravedad normal, (Cmn Smn ) las constantes de Stokes o coe�cientes del desarrollo armónico del potencial,

δCmn la diferencia entre los coe�cientes del potencial gravitacional terrestre y sus correspondiente del

campo de gravedad normal (solo de grado par y orden cero) y N0 una constante que depende de las

diferencia de masa y potencial del elipsoide de referencia y la Tierra. El valor de esta constante para este

modelo es N0 = −0, 403 cm. Para convertir las anomalías de altitud calculada a partir de la expresión

anterior en ondulación del geoide es necesario añadir la diferencia N − ξ,

N − ξ =4gBγ

H (2.125)

Esta magnitud puede calcularse a partir de los coe�cientes de su desarrollo en armónicos esféricos que

proporcionan también los desarrolladores del modelo hasta un grado y orden de 2160.

Recientemente, la comunidad cientí�ca ha mostrado un gran interés en la realización de estudios que

permitan evaluar y validar el modelo geopotencial global EGM2008 en diferentes partes del mundo. En los

estudios de Kotsakis et al. (2010) en Grecia, se encontró que al momento de determinar las ondulaciones del

geoide combinando datos obtenidos con el Sistema Global de Navegación por Satélite (Global Navigation

32


Satellite System, GNSS ) y nivelación con los modelos geopotenciales, el EGM2008 presentó una notable

mejoría (sobre el 50%) en comparación con los resultados obtenidos utilizando los modelos geopotenciales

anteriores. De la misma manera, Jekeli et al. (2009a) en Corea del Sur encontró que al determinar las

ondulaciones del geoide utilizando datos de GNSS y nivelación combinados con el EGM2008, él mismo

mostró una desviación estándar de 18,5 cm, mientras que los resultados con el EGM96 mostraron una

desviación estándar de 27,4 cm. Los trabajos de Bursa et al. (2009) demuestran que a nivel global, el

modelo EGM2008 presenta una disminución de un 33,9% en su desviación estándar al momento de

compararla con la desviación estándar de su modelo predecesor, el EGM96. También se ha encontrado

que al comparar la precisión del EGM2008 con los modelos geopotenciales regionales, los resultados han

sido similares. Es el caso de los trabajos de Huang y Veronneau (2009) en Canadá, donde se encontró que

al combinar el EGM2008 con datos de GNSS y nivelación, su precisión era comparable con la del Modelo

Gravimétrico del Geoide de Canadá del 2005 (Canadian Gravimetric Geoid 2005, CGG05 ) (Huang y

Veronneau, 2005). Aunque este modelo geopotencial global todavía está limitado por errores de comisión

y omisión, se ha demostrado que el mismo es superior a los modelos anteriores, como el EGM96 en su

precisión y la resolución.

2.1.5.3. GEOID03

El Servicio Geodésico Nacional de los Estados Unidos de América (National Geodetic Survey, NGS )

ha estado desarrollando modelos del geoide por los últimos 20 años. El GEOID90 (Milbert, 1991) y el

GEOID93 (Milbert y Schultz, 1993) fueron los primeros modelos con los que se intentó representar un

modelo del geoide para la región norteamericana. Para desarrollar ambos modelos se utilizaron únicamente

datos de gravedad y del terreno y no se intentó hacer una conversión entre los dátum o�ciales de Estados

Unidos de América, el Dátum de Norte América de 1983 (North American Datum of 1983, NAD 83 )

(Schwarz y Wade, 1990) y el Dátum Vertical el Norte América de 1988 (North American Vertical Datum

of 1988, NAVD88 ) (Zilkoski et al., 1992).

El desarrollo de estos modelos del geoide fue en paralelo con el desarrollo y mejoras realizadas al NAD83

y NAVD88. El NAD83 en sus orígenes fue desarrollado utilizando solamente coordenadas horizontales de

estaciones pasivas, es decir estaciones que habían sido establecidas con anterioridad. Con el advenimiento

del GNSS a mitad de los años 90, el NGS comenzó a realizar campañas para densi�car las estaciones con

observaciones de GNSS con el �n de establecer una Red de Referencia de Alta Precisión (High Accuracy

Reference Networks, HARN's) dando prioridad a las estaciones que se utilizaron para de�nir el NAD83

y el NAVD88.

EL NGS continuó en sus esfuerzos por mejorar los modelos del geoide existentes hasta que �nalmente

el GEOID96 (Smith y Milbert, 1999) fue publicado como el primer modelo del geoide híbrido. Esto es

combinando datos del geoide gravimétrico con altitudes elipsóidicas derivadas del GNSS referenciadas

al sistema de referencia NAD83. Posteriormente fue publicado el GEOID99 (Smith y Roman, 2001) el

cual incluyó los ajustes que se le habían realizado al NAD83 debido a la incorporación de las estaciones

permanentes de GNSS. Tras haber desarrollado estos modelos y gracias a que comenzaron a publicarse

los primeros datos de la misión satelital del Experimento de Clima y Recuperación Gravitacional (Gravity

Recovery and Climate Experiment, GRACE ) (Tapley et al., 2005)se hizo posible la incorporación de una

mayor cantidad de datos de gravedad a los próximos modelos a desarrollar.

El GEOID03 (Roman et al., 2004) es un modelo híbrido del geoide que combinó información gravimé-

trica del Geoide Gravimétrico de los Estados Unidos de América del 2003 (United States Gravimetric Geoid

33


of 2003, USGG2003 ) este referenciado al EGM96, con altitudes elipsóidicas obtenidas utilizando GNSS

referenciado al NAD83 y altitudes ortométricas referenciadas al NAVD88. (Figura 2.13) Como hemos

visto, este modelo fue un re�namiento de sus predecesores GEOID90, GEOID93, GEOID96 y GEOID99.

Las ondulaciones del geoide en el GEOID03 varían desde -50,01 metros en las costas del Océano Atlántico

hasta 3,43 metros en la zona de las Montañas Rocosas.

Figura 2.13: GEOID03. Fuente: National Geodetic Survey (NGS)

El modelo USGG2003, el cual se utilizó como referencia para desarrollar el GEOID03, es un modelo

puramente gravimétrico y cubre los Estados Unidos de América. Los datos que se utilizaron para desarro-

llar este modelo fueron los siguientes: 2,6 millones de medidas gravimétricas, datos de elevación digital con

una resolución de 30 segundos de arco, un modelo digital del terreno con una resolución de un segundo

de arco y el modelo geopotencial de la Tierra EGM96.

Los valores de la ondulación del geoide utilizando el modelo GEOID03 presentaron una mejora de un

50% cuando se compararon con los resultados obtenidos con su modelo predecesor, el GEOID99. En un

principio este modelo solamente estaba disponible para los 48 estados continentales de los Estados Unidos

de América. Ya que este modelo era un geoide híbrido, solamente se consideraron en un principio los datos

GNSS de las estaciones permanentes que estaban ubicadas en los 48 estados antes mencionados. Esto dio

como resultado una mejoría signi�cativa en la calidad de los resultados encontrados en esas regiones.

Después de realizar varias campañas de observaciones con GNSS y utilizar los datos de estaciones de

GNSS de operación continua, se incluyeron los estados de Alaska y Hawái y los territorios no incorporados

como Puerto Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses.

34


2.1.5.4. GEOID09

El modelo híbrido del GEOID09 (Roman et al., 2009) es una actualización del GEOID03 y al igual

que sus modelos predecesores combina información gravimétrica del Geoide Gravimétrico de los Estados

Unidos de América de 2009 (United States Gravimetric Geoid 2009, USGG2009 ) pero esta vez referenciado

al EGM2008. (Figura 2.14)

El USGG2009 (Roman et al., 2010b) se basa en una cuadrícula de gravedad de 1´x1´ derivada de

la base de datos de gravedad super�cial del NGS, de las anomalías derivadas de la altimetría del Centro

Nacional Danés de Datos Espaciales de 2008 (Danish National Space Center 2008 data set, DNSC08 )

(Andersen et al., 2010), del modelo digital de elevación del terreno de 3 segundos de arco de resolución

de la Misión Topográ�ca de Radar a Bordo del Transbordador (Shuttle Radar Topography Mision � 3 arc

seconds resolution, SRTM- 3 ) (Farr et al., 2007) para la reducción topográ�ca y del EGM2008 como un

modelo de referencia.

Figura 2.14: GEOID09. Fuente: National Geodetic Survey (NGS)

Como hemos mencionado anteriormente, el NGS ha estado desarrollando modelos del geoide para los

Estados Unidos de América durante casi dos décadas, pero los modelos anteriores se computaron mediante

la combinación de las anomalías de Faye (anomalías de la gravedad corregidas en la super�cie del terreno)

con modelos geopotenciales globales. La técnica utilizada fue la de sustitución-restitución. El grado más

alto de los últimos modelos geopotenciales desarrollados por el NGS nunca había superado el grado y

orden de 360. Las grandes longitudes de onda obtenidas mediante satélites contenidos en los modelos

anteriores estaban muy lejos de ser perfectas.

La misión satelital del Experimento de Clima y Recuperación Gravitacional (Gravity Recovery and

Climate Experiment, GRACE ) (Tapley et al., 2005) cambió todo esto, dando lugar a los modelos geo-

potenciales globales modernos como el EGM2008. Este modelo fue desarrollado gracias a la combinación

de los coe�cientes de menor grado altamente precisos del modelo geopotencial basado en GRACE, las

anomalías de gravedad derivadas de altimetría y de los modelos digitales de elevación de alta resolución.

35


2.1.5.5. GEOID12A

El modelo híbrido del geoide recientemente desarrollado por el NGS es el GEOID12A (Roman y

Weston, 2012). Este modelo remplaza al GEOID09 y sus diferencias provienen básicamente del geoide

gravimétrico utilizado como referencia y de los conjuntos de datos de control disponibles al momento de

generar los modelos. A diferencia del GEOID09, el GEOID12A utiliza como referencia el USGG2012.

Ambos modelos, el USGG2009 y USGG2012 utilizaron como referencia el EGM2008, sin embargo para

desarrollar el USGG2012 se utilizaron datos de la Agencia Espacial Europea (European, Space Agency,

ESA) de la campaña de Combinación de Gravedad Observada 02S (Gravity Observation Combination

02S, GOCO02S ) (Goiginger et al., 2011). Esta señal fue incorporada junto con los datos residuales de

un modelo digital del terreno con una resolución entre 3 y 5 segundos de arco. Algo que no sucedió

con el USGG2009. Por lo tanto el USGG2012 tiene incorporado un modelo del terreno mejor y más

consistente lo cual afecta las cortas longitudes de onda del campo gravitatorio de la Tierra. Dadas todas

estas condiciones, las expectativas generales son que el USGG2012 sea signi�cativamente mucho más

preciso que el USGG2009. (Figura 2.15)

Figura 2.15: GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS)

El contar con un modelo gravimétrico más preciso es muy importante ya que el geoide gravimétrico

determina la mayor parte de las características de un geoide híbrido. Las altitudes elipsóidicas obtenidas

en estaciones permanentes niveladas con GNSS nos muestran la separación existente entre el NAD83

y el NAVD88 en un punto discreto. Estas diferencias pueden ser utilizadas para generar una super�cie

de conversión que se solape efectivamente sobre el geoide gravimétrico en estas estaciones permanentes

niveladas con GNSS. El resultado es un modelo híbrido del geoide que se ajusta en estos puntos discretos

y a la vez mantiene las características de las cortas longitudes de onda determinadas por el modelo

gravimétrico del geoide en las estaciones permanentes niveladas con GNSS.

36


Otra de las diferencias sustanciales que tiene el USGG2012 con el USGG2009 es que desde 2009 el

NGS ha estado realizando ajustes a los dátum nacionales existentes, el NAD83 y el NAVD88. El Ajuste

Nacional de 2011 (National Adjustment of 2011 ) (Dennis, 2011) afectó signi�cativamente los valores

de las altitudes elipsóidicas en toda la nación norteamericana. Dado que las estaciones permanentes

niveladas utilizando GNSS son determinadas considerando las diferencias entre las altitudes elipsóidicas

referenciadas al NAD83 y las altitudes ortométricas referenciadas al NAVD88, algún cambio en una de

estas altitudes afectará a los puntos de control que se utilizan para referenciar el geoide híbrido. Esto

claramente indica que si el GEOID09 fue desarrollado con los datos existentes en el 2009, los resultados

que se obtengan usando este modelo no considerarán los ajustes realizados recientemente por el NGS. La

recomendación que presenta el NGS es que si los datos disponibles son anteriores al 2009, se debe utilizar

el GEOID09, de lo contrario se debe usar el GEOID12A el cual se ajusta mejor a la posición real ya que

contiene los últimos ajustes realizados a los dátum existentes.

2.1.6. Segundo Método de Condensación de Helmert

Como hemos mencionado, el geoide en las aéreas continentales se comporta como una prolongación de

la super�cie del mar. Por otro lado, las medidas de gravedad no se realizan sobre el geoide sino sobre la

super�cie terrestre. Para satisfacer las condiciones de contorno, las anomalías de la gravedad tienen que

ser reducidas a nivel del geoide. Evidentemente la presencia de la topografía viola la condición de que las

funciones tienen que ser armónicas para poder realizar las reducciones de la gravedad. Para resolver esta

situación, una alternativa es aplicar el segundo método de condensación de Helmert. Básicamente este

método lo que hace es condensar todas las masas en una capa sobre el geoide, creando entonces una nueva

distribución de masas. De�niendo así lo que se conoce como el espacio de Helmert.

El espacio de Helmert di�ere del espacio real. El potencial gravitatorio de Helmert WHelm se puede

de�nir de la siguiente manera (Ellmann y Vanicek, 2007):

WHelm = W − δV T − δV a (2.126)

Donde el superíndice Helm indica que estamos en el espacio de Helmert. El término δV T representa

el residual del potencial de la topografía, de�nido como la diferencia entre el potencial de las masas

topográ�cas V t y el potencial de la capa condensada V ct (Heck, 2003):

δV T = V t − V ct (2.127)

De la misma manera el término δV a representa el residual del potencial atmosférico, de�nido como la

diferencia entre el potencial de las masas atmosféricas V a y el potencial de la capa atmosférica condensada

V ca (Heck, 2003):

δV a = V a − V ca (2.128)

Como hemos mencionado en la Sección 2.1.3, el potencial anómalo puede ser representado como la

diferencia el potencial de la gravedad real de la TierraW y el potencial de la gravedad normal U generado

por un elipsoide geocéntrico de referencia (Moritz, 2000). En el espacio de Helmert el potencial anómalo

THelm puede ser expresado entonces de la siguiente manera (Ellmann y Vanicek, 2007):

THelm = WHelm − U = T − δV T − δV a (2.129)

37


Y dado que la condición de que la densidad de las masas sobre el geoide es igual a cero, se cumple

entonces la ecuación de Laplace (Vanicek y Martinec, 1994):

4THelm = 0 (2.130)

El efecto gravitatorio de la eliminación de las masas topográ�cas y su condensación sobre la super�cie

del geoide generan las anomalías de Faye. Efectivamente, dado que las anomalias reducidas viene dadas

por la expresion:

4g = gP + F − γQ −AB + CT +AC (2.131)

Dónde el término gP es la gravedad medida en el punto P, el término F es la reducción aire libre, γQes la gravedad normal sobre el elipsoide, AB es el efecto gravitacional de la lámina de Bouguer, CT es la

corrección topográ�ca y AC es la atraccion gravitacional de las masas condensadas sobre el geoide. En el

caso del Segundo Método de Condensación de Helmert, donde podemos decir que AC ∼= 2πGρH = −AB(Wang y Rapp, 1990), con lo cual las anomalías reducidas quedarían expresadas como:

4gFaye = gP + F − γ + CT = ∆gAL + CT (2.132)

Denominadas como las anomalías de Faye.

2.1.7. Técnica de Sustitución - Restitución

En términos generales, el campo gravitacional terrestre puede dividirse en tres componentes principales;

el espectro que abarca las largas longitudes de onda obtenidas mediante las observaciones con satélites,

el espectro de las medianas longitudes de onda obtenidas por las medidas realizadas sobre el terreno y

el espectro de las cortas longitudes de onda que están directamente relacionadas con la topografía del

terreno. En la técnica de Sustitución � Restitución, propuesta por Rapp y Rummel (1975), lo que interesa

es combinar los modelos geopotenciales globales desarrollados a partir de las observaciones con satélites

y datos medidos en el terreno, con los datos de gravedad existentes y la topografía del terreno para

determinar un modelo del geoide regional óptimo.

La técnica de sustitución � restitución a grandes rasgos se puede resumir en ocho pasos principales:

1. Esta técnica requiere que las medidas de gravedad realizadas sobre el terreno gP sean reducidas al

nivel del geoide. Primeramente se procede a realizarle la reducción por efectos atmosféricos δg a las

medidas de gravedad de P. Luego procedemos a aplicar la reducción aire libre (Eq. 2.91) la cual

esta expresada como ∂γ∂hHP = 0, 3086HP y �nalmente restamos el valor de la gravedad normal sobre

el elipsoide γQ. Obtenemos entonces las anomalías aire libre (Eq. 2.92), 4gAL , que al incluir la

reducción por efectos atmosféricos, las podemos expresar de la siguiente manera:

4gAL = gP + δg + 0, 3086HP − γQ (2.133)

2. Si a las anomalías aire libre le sumamos el efecto de corrección por topografía del terreno CT ,

aplicando la Eq. 2.132 obtenemos las anomalías de Faye, 4gFaye :

4gFaye = 4gAL + CT (2.134)

38


3. Para poder obtener unos valores de anomalías más suaves, es necesario restarle a los valores de las

anomalías calculadas, ya con todas sus reducciones, las anomalías aire libre obtenidas a partir de un

modelo geopotencial. Esta operación elimina el efecto que producen las largas longitudes de onda

en las anomalías de la gravedad. Como hemos mencionado las largas longitudes de onda se obtienen

mediante las observaciones con satélite añadiéndole la contribución de más cortas longitudes de onda

obtenidas a partir de las anomalías gravimétricas obtenidas de las bases de datos mundiales que son

heterogéneas y de precisiones muy diversas. Podemos predecir los valores de las anomalías aire libre

a partir de un modelo geopotencial aplicando la Eq. 2.122:

4gMG =GM

r2

nmax∑n=2

(n− 1)(ar

)n n∑m=0


)P (cos θ)

4. Si a las anomalías de Faye le restamos las anomalías aire libre del modelo geopotencial, obtenemos

las anomalías residuales, 4gRes:

4gRes = 4gFaye −4gMG (2.135)

5. Aplicando la integral de Stokes (Eq. 2.89), podemos determinar la ondulación del geoide residual,

NRes (Heiskanen y Moritz, 1967):

NRes =R

4πG

∫ ∫σ

4g S (ψ) dσ (2.136)

6. Si aplicamos la Eq. 2.121 , podemos predecir la ondulación del geoide utilizando un modelo geopo-

tencial, NMG:

NMG =GM

rγ

nmax∑n=2

(ar

)n n∑m=0


)P (cos θ)

7. Para completar el método de sustitución � restitución, es necesario considerar el efecto indirecto

(Eq. 2.114), que es consecuencia de la redistribución de masas causado por la eliminación o des-

plazamientos que conllevan las reducciones de gravedad que cambian el potencial graví�co y por

consiguiente el geoide (Heiskanen y Moritz, 1967). En el caso del Segundo Método de Condensación

de Helmert se utiliza la Eq. 2.114 propuesta por Wichiencharoen (1982).

NInd = −πGρH2P

γP− Gρ

6γP

∫ ∫σ

H3 −H3P

d3dσ +

3

40

Gρ

γP

∫ ∫σ

H5 −H5P

d5dσ

8. Finalmente si sumamos todos los términos podemos determinar el geoide gravimétrico, N :

N = NRes +NMG +NInd (2.137)

En caso de que la masa del elipsoide de referencia y el potencial sean diferentes a la masa y potencial del

geoide, entonces sería necesario aplicar el término de grado cero, N0 (Heiskanen y Moritz, 1967):

N0 =GδM

Rγ− δW

γ(2.138)

39


Como podemos observar, en la técnica de sustitución � restitución lo que interesa hacer es eliminar el

efecto de las largas longitudes de onda de los valores de las anomalías de la gravedad, suavizar las mismas

para poder realizar los cómputos necesarios y �nalmente restablecer el efecto de las largas longitudes de

onda incluyendo el valor predicho de la ondulación del geoide obtenida a partir de un modelo geopotencial.

2.2. Determinación geométrica del geoide

2.2.1. Sistemas de Altitudes

La altitudes pueden clasi�carse en dinámicas, ortométricas y normales. Actualmente, con la llegada

del GNSS, hemos de considerar también las altitudes elipsóidicas, es decir la distancia de un punto en

la super�cie al elipsoide a lo largo de la normal a éste. Las altitudes dinámicas de�nen una super�cie

equipotencial del campo gravitatorio terrestre, de ahí su nombre, que proviene de su naturaleza física.

Las altitudes ortométricas se atienen al concepto geométrico de la altitud, es decir la distancia medida

a una super�cie de referencia. Para su determinación es imprescindible conocer el valor medio de la

gravedad a lo largo de la línea de la plomada, la cual no podemos obtener de una manera empírica,

por lo que se requiere necesariamente de un modelo. El tipo de modelo y los valores asociados al mismo

de�nen los diferentes sistemas de altitudes ortométricas: Helmert, Niethammer, Mader, Rasmayer, etc.

Esa imprescindible dependencia de un modelo de las altitudes ortométricas es lo que llevó a Molodensky

et al. (1962) a proponer un sistema de altitudes normales, caracterizadas esencialmente por no necesitar

de hipótesis en su de�nición. El problema fundamental de estas altitudes es que no se re�eren al geoide,

sino a una super�cie (no equipotencial) denominada cuasi geoide (también determinable sin hipótesis).

En este capítulo discutiremos los diferentes tipos de altitudes, los dátum verticales globales y locales y

terminaremos el mismo con el desarrollo de la metodología y una aplicación práctica para determinar las

altitudes ortométricas Helmert (1890) a lo largo de una línea de nivelación de vertical de alta precisión.

2.2.1.1. Número geopotencial

Las coordenadas geográ�cas, latitud y longitud, constituyen dos de las tres coordenadas espaciales de

un punto en el terreno conocido como P . Como tercera coordenada podemos tomar la altura ortométrica

del punto P o su potencial gravitatorio WP . Si de�nimos que el geoide es una super�cie equipotencial

cuyo valor Wo es contante, entonces se de�ne el número geopotencial como la diferencia entre el potencial

del geoide y el potencial en el punto de la super�cie P :∫ P

0

gdn = Wo −WP = CP (2.139)

Como diferencia de potencial, el número geopotencial CP es independiente del itinerario de nivelación

particular utilizado para relacionar el punto con el nivel del mar. Es el mismo para todos los puntos de

una super�cie de nivel; por lo tanto, puede considerarse como una medida natural de la altitud, aunque no

tenga dimensiones de longitud. El número geopotencial CP se mide en unidades geopotenciales (u.g.p.),

donde:

1u.g.p. = 1 kGal ∗metro = 1 000Gal ∗metro = 10m2s−2

40


Como el valor de la gravedad (g) se aproxima a 0,98 kGal, entonces podemos decir que:

CP = g ∗H ∼= 0, 98H

De manera que los números geopotenciales en u.g.p. son casi iguales a las altitudes sobre el nivel del

mar en metros (Heiskanen y Moritz, 1967).

2.2.1.2. Altitudes dinámicas

Antes que la Asociación Internacional de Geodesia adoptara los números geopotenciales en 1955, unas

de las altitudes más utilizadas para algunas tareas especí�cas eran las altitudes dinámicas. Estas altitudes

se obtienen dividiendo el número geopotencial por un valor contante de la gravedad. Esta constante suele

ser la gravedad normal ( γo ) a una latitud estándar arbitraria, ordinariamente 45o. La altitud dinámica

matemáticamente se de�ne entonces como:

HDin =CPγo

(2.140)

Donde γ45o = 980,6199202 Gal para el elipsoide internacional GRS80 (Moritz, 2000). Las altitudes

dinámicas son muy simples de calcular, siempre y cuando se conozca el valor del número geopotencial. Pero

las altitudes dinámicas no tienen ningún signi�cado geométrico, ya que lo único que hacen, al dividir por

un valor de gravedad normal, es un cambio de escala y convertir el número geopotencial en una longitud

(Heiskanen y Moritz, 1967).

2.2.1.3. Altitudes elipsoidales

Haciendo referencia a la Figura 2.16 cuando establecemos la posición de un punto P por medio de

sus coordenadas ϕ, λ y H en la super�cie de la Tierra, podemos proyectarlo sobre el geoide. La distancia

H desde el punto P hasta el punto P0 sobre el geoide medida a lo largo de la línea de la plomada es

lo que conocemos como altitud ortométrica. Aunque este tipo de proyección es enteramente natural, el

geoide no es adecuado para realizar cálculos matemáticos. Es por esta razón que el punto P0 se proyecta

entonces sobre el elipsoide de referencia, según la recta normal elipsóidica, obteniendo así un punto Q0,

sobre el elipsoide. De esta manera el punto P en el terreno y el correspondiente Q0 sobre el elipsoide están

conectados por una doble proyección, es decir por dos proyecciones que se realizan una después de la otra

y que son totalmente análogas, la altitud ortométrica, H = PP0 y la ondulación de geoide, N = P0Q0.

Es mucho más simple proyectar el punto P desde la super�cie física de la Tierra directamente sobre el

elipsoide, según la recta normal elipsóidica, obteniendo así el punto Q. La distancia PQ = h es la altitud

geométrica sobre el elipsoide o altitud elipsóidica. Entonces el punto en el terreno P quedaría determinado

por h y las coordenadas geográ�cas ϕ, λ de Q sobre el elipsoide (Heiskanen y Moritz, 1967).

El elipsoide de revolución es una super�cie matemática que se aproxima muy bien a la super�cie de

la Tierra. Esta super�cie es la que genera una elipse cuando rota sobre su eje menor. El elipsoide es una

super�cie matemática conveniente la cual ha sido subdividida en latitud y longitud para formar un sistema

de coordenadas. Las distancias y el acimut pueden ser determinados utilizando esta super�cie con alta

precisión.

Hay que tener muy claro que existen elipsoides locales (no geocéntricos) y los elipsoides globales

(geocéntricos). En un principio se utilizaban los elipsoides locales por que el centro de masa de la Tierra

41


Figura 2.16: Sistemas de Altitudes.

no era accesible. Se determinaban de forma que se aproximaran a una región especí�ca de la super�cie.

Para dar un ejemplo, en el área continental de los Estados Unidos de América, el elipsoide que se utilizaba

era el de Clarke, que formaba parte del Dátum de América del Norte del 1927 (North American Datum

1927, NAD-27 ). El centro de un elipsoide local generalmente no coincide con el centro de masas de la

Tierra, usualmente esta desplazado alrededor de 100 metros respecto a este.

Los sistemas geodésicos de referencia modernos (ETRS89, ITRF ), utilizan como referencia un elipsoide

global centrado en el centro de masas de la Tierra, el GRS80. Las super�cies de estos elipsoides se

aproximan a la del geoide de tal forma que la diferencia entre ellos no llega a ser nunca mayor de 100

metros.

2.2.1.4. Altitudes ortométricas

La referencia para las altitudes ortométricas en cada país o región es el nivel medio del mar realizado

por un mareógrafo, asociado a una estación de referencia que constituye el dátum vertical. La super�cie

correspondiente al nivel medio del mar (super�cie donde el potencialW0 es contante), fue propuesta como

referencia para las altitudes por C.F. Gauss en 1828, quien en un principio la llamó �gura matemática de

la Tierra. Posteriormente J.F. Listing en el 1873 le llamo geoide. Esta de�nición ha resultado ser altamente

adecuada y hoy en día el geoide es la super�cie fundamental de la geodesia física. En la Figura 2.17 se

presenta la altitud ortométrica de un punto P como la distancia geométrica de ese punto al geoide, medido

a lo largo de la línea de la plomada (curva). Su signi�cado es puramente geométrico. Como establecen

42


Heiskanen y Moritz (1967) podemos expresar la altura ortométrica de la siguiente manera:

HOrt =CPg

(2.141)

Donde CP es el valor del número geopotencial en P calculado a partir de los valores de gravedad

medidos a lo largo de la línea de nivelación y de los desniveles mediante la expresión:

4Ci,i+1 =gi + gi+1

24ni,i+1 (2.142)

Y g es el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada:

g =1

HOrt

∫ HOrt

0

g(z)dz (2.143)

Figura 2.17: Altitudes Ortométricas.

2.2.1.5. Altitudes ortométricas Helmert

Para determinar la altitud ortométrica, es necesario saber con exactitud el valor medio de la gravedad

a lo largo de la línea de la plomada. Ya que esta medida es imposible de realizar, lo que se procede a hacer

es estimar su valor a partir de la gravedad observada en la super�cie de la Tierra. Para ello es necesario

utilizar ciertas aproximaciones como lo son las reducciones de la gravedad de Poincaré y Prey, también

conocida como reducción de Prey.

Esta reducción ya simpli�cada conduce a la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz, 1967):

g(z) = g + 0, 0848 (H − z) (2.144)

43


Donde g es la gravedad medida en el punto P del terreno. Introduciendo esta expresión en la ecuación

que de�ne el valor medio de la gravedad se llega inmediatamente a:

g = g + 0, 0424H (2.145)

Este valor de 0, 0424 se obtiene asumiendo una densidad ρ = 2, 67 gcm3 para la corteza terrestre y

que entre el punto de profundidad z y el punto P existe una placa plana e in�nita de espesor H. Esta

aproximación nos da un valor cercano al valor medio de la gravedad que se mediría en la parte superior

de la corteza terrestre, si esto fuera posible.

Las llamadas altitudes ortométricas Helmert (1890) se calculan entonces mediante la siguiente fórmula:

HHelm =CP

g + 0, 0424HHelm(2.146)

Donde sí CP se mide en unidades geopotenciales (u.g.p.) y g en Gal, H resultará en kilómetros

(Heiskanen y Moritz, 1967).

2.2.1.6. Altitudes normales

El campo gravitacional normal se de�ne como el campo gravitacional de un elipsoide normal que

contiene las masas totales de la Tierra (incluyendo su atmósfera) el cual rota a una velocidad angular

constante igual a la de la Tierra (Moritz, 2000), cuyo semieje mayor es igual al radio medio de la Tierra en

el ecuador y cuyo aplanamiento es consistente con el valor de la constante geodinámica terrestre C02 . Las

altitudes normales no necesitan considerar la hipótesis de la densidad de la corteza terrestre. La altitud

normal fue propuesta por Molodensky(1962). Esta reemplaza la gravedad media por la gravedad normal

medida a lo largo de una curva perpendicular a las super�cies equipotenciales del elipsoide normal:

HNorm =CPγ

(2.147)

Siendo:

γ =1

HNorm

∫ HNorm

0

γ(h)dh (2.148)

Al desarrollar esta expresión podemos obtener la HNorm como:

HNorm =CPγ

[1 +

(1 + α+m′ − 2αsen2Φ

) CPaγ

+

(CPaγ

)2]

(2.149)

Donde α es el aplanamiento del elipsoide (Eq. 2.31), m′ = ω2a2bGM (Eq. 2.34) y a es el semieje mayor

del elipsoide. La gravedad normal γ sobre el elipsoide para la latitud Φ, puede ser obtenida a partir de la

fórmula de la gravedad normal convencional (Eq 2.52) :

γ = γe(1 + βsen2Φ + β1sen

22Φ)

Donde γe es la gravedad normal en el ecuador, β es el aplanamiento gravimétrico (Eq. 2.53) y β1 es

un parámetro del elipsoide de referencia (Eq.2.54). (Heiskanen y Moritz, 1967) También puede obtenerse

utilizando la Eq. 2.51 la cual es más precisa.

44


Para determinar la altitud normal debemos considerar un punto P sobre la super�cie de la Tierra.

Aunque se puede decir que este punto tiene un potencial WP , también va a tener cierto potencial UP ,

pero en términos generales no se puede considerar que WP sea igual a UP . No obstante, podemos decir

que existe un punto Q sobre la línea de la plomada de P tal que UQ es igual a WP , es decir el potencial

normal U en Q es igual al potencial real W en P. La altitud normal del punto P se de�ne como la altitud

geométrica que existe entre el punto Q y el elipsoide. (Heiskanen y Moritz, 1967) Esta super�cie que pasa

por el punto Q es la que Molodensky de�nió como el teluroide. Finalmente podemos decir que la distancia

existente entre el punto P y el punto Q, es conocida como la anomalía de la altura ζ . (Figura 2.18)

Figura 2.18: Altitudes Normales.

Podemos relacionar la anomalía de la altura ζ con la altura elipsóidica h de la siguiente manera:

ζ = h−HNorm (2.150)

Las altitudes normales son fáciles de calcular y no requieren que se conozca la densidad de la masa

interna de la Tierra, esto en virtud de la teoría de Molodensky. La diferencia entre las altitudes normales

y las altitudes ortométricas aumenta con el incremento en elevación. En los estudios de Marti (2002) se

demostró que las diferencias entre las altitudes normales y las altitudes ortométricas Helmert en los Alpes

Suizos, que son generalmente entre 2 cm, pueden exceder los 10 cm a más de 3000 metros de altura.

45


2.2.2. Dátum Verticales

Para determinar un dátum vertical, primero es necesario seleccionar el tipo de sistema de altitudes

que se utilizará y una super�cie de referencia compatible. Una vez que esto ha sido determinado y las

observaciones de las diferencias de altitudes han sido corregidas por errores sistemáticos que pudieran

afectar las observaciones, es posible determinar un dátum vertical. Para esto sería necesario realizar un

ajuste de mínimos cuadrados de las medidas de diferencia de altitud corregidas que minimice así el impacto

que los errores aleatorios pudieran tener en los cierres de las nivelaciones.

Sería ideal que al realizar este tipo de ajustes, se hicieran considerando los números geopotenciales,

pero esto no siempre es posible debido a la poca disponibilidad de observaciones gravimétricas. Además

es muy importante que cuando consideramos un ajuste de altitudes de múltiples puntos, todos estén

referenciados a la misma super�cie equipotencial.

Un sistema de altitudes depende de los datos que estén disponibles el momento de de�nirse el dátum. Si

al momento de de�nir un dátum no existen observaciones gravimétricas, entonces solamente las altitudes

elipsóidicas podrían ser determinadas. La elección de una super�cie de referencia es la guía al determinar

el sistema de altitudes. Por ejemplo, las altitudes ortométricas usan como referencia el geoide, las altitudes

normales el teluroide o el cuasi geoide y las altitudes elipsóidicas utilizan el elipsoide.

Aunque se pueden determinar las altitudes elipsóidicas utilizando GNSS, al día de hoy no es posible

observar directamente la super�cie de un dátum vertical en un sistema de altitudes físico. Si asumimos

que el geoide/cuasi geoide y el nivel promedio del mar en los océanos coinciden, es posible relacionar el

dátum vertical de un geoide/cuasi geoide utilizando observaciones del nivel promedio del mar.

2.2.2.1. Nivel promedio del mar

En una situación ideal, el dátum de referencia de un sistema de altitudes debería coincidir con el

geoide (altitudes ortométricas) o con el cuasi geoide o teluroide (altitudes normales). Pero ya que no hay

instrumentos que puedan medir directamente el valor absoluto del geopotencial de la super�cie terrestre,

no es posible observar físicamente el geoide. Considerando que en los océanos el geoide y el cuasi geoide

coinciden, éstos representan la super�cie equipotencial que más se aproxima al nivel promedio del mar

en los océanos abiertos. Por lo tanto, obtener medidas del nivel del mar con mareógrafos, es el método

más común para determinar el nivel promedio del mar y así poder determinar un dátum vertical. El nivel

promedio del mar tiene tres problemas principales: el nivel del mar es afectado por la presencia de olas

y otros fenómenos naturales, la presencia de la topografía submarina, y los cambios en el nivel del mar

causados por el cambio climático (Pugh, 2004).

Para determinar el nivel promedio del mar utilizando un mareógrafo, es necesario realizar observaciones

del nivel del mar por un periodo su�cientemente largo que tome en cuenta el ciclo completo de las mareas.

Los efectos mayores de las mareas son los causados por la Luna y el Sol y sus ciclos duran aproximadamente

un periodo de 18,6 años, pero son los efectos de las mareas diarias las que más se notan en las costas

(Melchior, 1983). Otros objetos celestiales como los planetas, tienen sus efectos en las mareas, pero los

mismos son menores que los efectos de la Luna y el Sol (Pugh, 2004). Por lo tanto, para determinar el

nivel promedio del mar independiente de los efectos de las mareas, es necesario realizar observaciones del

nivel del mar regularmente (cada hora) por lo menos por un periodo de 18,6 años.

46


2.2.2.2. Dátum vertical de Norte América de 1988

El Dátum Vertical de Norte América de 1998 (North American Vertical Datum of 1988, NAVD88 ) es el

dátum de control vertical utilizado actualmente para determinar las altitudes ortométricas en los Estados

Unidos de América. EL NAVD88 fue establecido en 1991 por el Servicio Nacional Geodésico de los Estados

Unidos de América (National Geodetic Survey, NGS ) a partir de un ajuste realizado a las observaciones

de nivelación geodésicas obtenidas en Canadá, Estados Unidos y México. Para establecer este dátum fue

necesario mantener �ja la altitud de la estación permanente asociada al mareógrafo primario, el cual estaba

referenciado a su vez al nivel promedio del mar del Dátum Internacional de los Grandes Lagos de 1985

(International Great Lakes Datum of 1985, IGLD85 ) en Rimouski, Quebec, Canadá. No fueron utilizadas

estaciones permanentes con elevación conocida asociadas a otros mareógrafos debido a que las diferencias

tan notables en la topografía marítima hacen que el nivel promedio del mar (super�cie equipotencial) no

sea el mismo en todos los mareógrafos (Zilkoski et al., 1992).

El NAVD88 es una gran herramienta ya que permite determinar las altitudes ortométricas Helmert,

las cuales nos ayudan a de�nir el geoide (que generalmente se aproxima al nivel promedio del mar) a partir

de la gravedad interpolada. Este dátum remplaza a su predecesor el Dátum Vertical Nacional Geodésico

de 1929 (National Geodetic Vertical Datum of 1929, NGVD29 ), y aunque las diferencias en elevación entre

ambos dátum no son muy signi�cativas, si presenta grandes mejoras en otras aéreas. Como por ejemplo

el NAVD88 permitió eliminar las discrepancias existentes por la inconsistencia de los dátum, removió los

efectos de los errores sistemáticos en las nivelaciones, remplazó los dátum anteriores NGVD29 y IGLD85

y los consolidó en un solo dátum, incorporó sobre 81,500 km de datos de nivelación nunca antes ajustados

y quizás lo más importante es que el NAVD88 permite determinar las altitudes ortométricas utilizando

los sistemas de posicionamiento global y los modelos geopotenciales de alta resolución.

2.2.2.3. Controles verticales en Puerto Rico

Las redes de nivelación son un conjunto de puntos con altitud conocida establecidos permanentemente

como marcas de referencia. Estas marcas pueden ser discos de bronce, hierro o aluminio típicamente con

un diámetro entre 8,9 a 10,2 centímetros de diámetro incrustadas en la roca viva, monumentos de cemento

o alguna estructura estable a la orilla de la carretera como puede ser la base de un puente. (Ver Figura

2.19) Es necesario que estos monumentos tengan un alto grado de estabilidad.

Los puntos con elevación conocida se establecen a intervalos de 1,0 a 3,0 kilómetros (con una distancia

promedio de no más de 1,6 km), usualmente en carreteras primarias y secundarias. Estas redes se observan

con técnicas de nivelación geométrica de alto grado de precisión, típicamente con un cierre entre 2 y 4

milímetros por kilómetro. Desafortunadamente el procedimiento de nivelación consume mucho tiempo y

el índice de progreso se determina por la habilidad y motivación de los observadores, por la congestión en

las vías de trá�co y por la pendiente del terreno.

La precisión de las redes de nivelación en los Estados Unidos de América fue de�nida por el Sub-

comité Federal de Controles Geodésicos (Federal Geodetic Control Subcomités, FGCC ) en el Manual de

Estándares y Especi�caciones para Redes de Control Geodésicas, publicado en el 1984 (Bossler, 1984).

La precisión de una red está dada por una constante multiplicada por la raíz cuadrada de la longitud de

la distancia nivelada. En el caso de la línea de nivelación vertical del Dátum Vertical de Puerto Rico de

2002 (Puerto Rico Vertical Datum 2002, PRVD02 ), que es de Primer Orden, Segunda Clase, su precisión

debería ser del orden de 0, 7√Lkmmm, siendo L la distancia entre la estación de origen del dátum a la

estación de interés expresada en kilómetros.

47


Figura 2.19: Estaciones permanentes con elevación conocida del PRVD02.

Hasta el día de hoy, en Puerto Rico se han de�nido tres dátum verticales, todos ellos diferentes pero

utilizando como referencia el Nivel Promedio del Mar. La primera nivelación fue establecida por el Servicio

Geológico de los Estados Unidos de América (United States Geological Service, USGS ) entre los años de

1928 al 1941. Estos trabajos fueron realizados con una precisión de 0, 2√Lkmmm, la cual es considerada

de Tercer Orden. Se establecieron un total de 709 estaciones permanentes en la isla de Puerto Rico y

21 en la isla vecina de Vieques. Las fuerzas de la naturaleza como las tormentas, erosión del terreno y

las actividades humanas como el desarrollo de carreteras e infraestructura, movimiento de tierras y el

vandalismo, destruyeron la mayoría de estos controles.

De 1982 a 1995 el NGS realizó una nivelación limitada de primer orden, segunda clase en algunos luga-

res estratégicos de Puerto Rico como lo son los aeropuertos, muelles y algunas represas. Estas nivelaciones

no superaron los 20 kilómetros cada una, por lo que se establecieron muy pocas estaciones permanentes.

Dado que los datos del USGS a diferencia a los del NGS no se encuentran publicados en línea, recuperar

las estaciones establecidas por el USGS es una tarea muy difícil.

2.2.2.4. Dátum Vertical de Puerto Rico de 2002

Como consecuencia del alto interés de las agencias federales del gobierno de los Estados Unidos de

América, del gobierno del Estado Libre Asociado de Puerto Rico y de agencias Municipales en desarrollar

trabajos relacionados con la seguridad pública, transporte, construcción y agricultura, se ha hecho necesa-

rio realizar mapas más precisos que ayuden al proceso de toma de decisiones. Para tratar de resolver esta

situación, el NGS propuso para Puerto Rico establecer una red de nivelación de alta precisión: el PRVD02.

Esta red consiste de 575 puntos de primer orden, segunda clase con elevación conocida. Los mismos se

encuentran distribuidos aproximadamente cada 1,6 kilómetros a lo largo de las carreteras públicas de la

isla de Puerto Rico y las islas de Vieques y Culebra. Se espera que al �nalizar todas las fases de este

proyecto se hayan cubierto un total de 925 kilómetros. El primer ajuste de esta red fue completado por

personal de NGS y publicado en el mes de agosto de 2013. (Ver Figura2.20)

48


Figura 2.20: Red de Nivelación del PRVD02. Fuente: Agrimensor Héctor Sanabria, HLCM Group

Para efectos de esta investigación, se trabajó solamente con la primera fase de este proyecto la cual

constaba de una línea de nivelación de aproximadamente 160 km a lo largo de la zona norte de la isla

de Puerto Rico. Esta primera fase del proyecto fue realizada por personal de NGS durante los meses de

enero a mayo del 2002. (Ver Figura2.21) Interesa señalar que el punto de mayor elevación en esta línea de

nivelación es de 147,903 metros y el de menor elevación es de 1,004 metros.

Figura 2.21: Primer tramo del PRVD02 nivelado por personal del NGS. Fuente: Google Earth

Para determinar el dátum vertical, fue necesario utilizar un mareógrafo ubicado en uno de los muelles

de la ciudad de San Juan de Puerto Rico. El mareógrafo de referencia está identi�cado como el VM 1386 y

49


está a cargo del Centro de Operaciones, Productos y Servicios Oceanográ�cos del Gobierno de los Estados

Unidos de América. La estación permanente asociada a este mareógrafo esta designada como la 975 5371

A TIDAL. Este mareógrafo fue monitoreado por un periodo de 17 años, desde 1983 hasta el 2001. (Ver

Figura 2.22)

Figura 2.22: Estación de origen del PRVD02 - 975 5371 A TIDAL. Fuente: Google Earth

La altura ortométrica de esta estación fue computada en la primavera del 2003 utilizando valores de la

gravedad modelada. Finalmente el valor de la altitud ortométrica asignado a esta estación permanente fue

1,334 metros. Partiendo de esta estación y utilizando métodos de nivelación geométrica de alta precisión,

se determinaron los valores de elevación de las demás estaciones permanentes de la línea, que es parte del

PRVD02.

2.2.3. Determinación de la precisión de las altitudes ortométricas Helmert

calculadas

La altitud ortométrica HOrt viene dada por la Eq. 2.141 (Heiskanen y Moritz, 1967) y partiendo de

su derivación se obtiene:

dH =

(dCPg

)−(CPg2

)dg (2.151)

De la Eq. 2.141 también podemos deducir:

CP = Hg (2.152)

Si sustituimos la Eq. 2.152 en la Eq. 2.151 , podemos simpli�car la ecuación de la siguiente manera:

dH =

(dCPg

)−(H

g

)dg (2.153)

Donde el error de la altitud ortométrica se atiene a la siguiente expresión:

σ2H =

σ2CP

g2+

(H

g

)2

σ2g (2.154)

50


Si consideramos que el número geopotencial CP es igual a la gravedad observada g multiplicada por

el desnivel dn:

dCP = gdn (2.155)

Podemos decir que:

σ2CP = g2σ2

n + dn2σ2g (2.156)

Teniendo en cuenta que dn en nuestro caso es mucho menor que los 100 metros y que σg es igual a

0, 1µms2 (Torge, 1991), podemos decir que:

dn2σ2g = 104 ∗ 10−14

(m2

s2

)2

= 10−10

(m2

s2

)2

(2.157)

Razón por la cual podemos despreciar este término.

Sustituyendo la Eq. 2.156 en la Eq. 2.154 y dado que el valor de(gg

)2

se aproxima a 1, la ecuación

quedaría expresada de la siguiente manera:

σ2H = σ2

n +

(H

g

)2

σ2g (2.158)

Dónde:

σ2H : error de la altitud ortométrica

σ2n : error relativo a la nivelación

σ2g : error del valor medio de la gravedad

Como hemos mencionado, el término σn se de�ne como el error relativo a la nivelación. En nuestro

caso, la línea de nivelación es una de Primer Orden, Segunda Clase, donde el máximo error permitido es

0, 7√Lkmmm (Bossler, 1984), donde L es la distancia nivelada entre las estaciones de referencia expresada

en kilómetros. El error relativo a la nivelación �nalmente quedaría expresado de la siguiente manera:

σ2n = (0, 7mm.)2 ∗ Lkm (2.159)

El término de la altitud ortométrica dividido entre el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea

de la plomada lo podemos expresar de la siguiente manera:

(H

g

)2

=

(Hm. ∗ 102

g cm.s2

)2

=

(Hm

gGal

)2

104s4 (2.160)

Donde la altitud ortométrica H debe estar expresadá en metros y el valor medio de la gravedad g enGal.

El error cometido cuando calculamos el valor medio de la gravedad (σg) utilizando solamente la apro-

ximación de Helmert va a depender de tres factores fundamentales: el error asociado a la gravedad medida

en la super�cie (σg), al error en el tratamiento de la topografía del terreno asociado a la reducción de

Prey (σt), y al error asociado al valor considerado constante de la densidad de la Tierra (σδρ), quedando

expresado de la siguiente manera:

σ2g = σ2

g + σ2t + σ2

δρ (2.161)

51


Ya que los datos de gravedad están referenciados al IGNS71 cuya precisión es ±2µms−2 (Torge, 1991)

y que la altitud máxima en nuestro caso no sobrepasa los 200 metros, podemos acotar el error de σg por:(H

g

)σg <

(200

9

)2·10−6 (2.162)

Teniendo en cuenta estos valores, podemos considerar despreciable el error asociado a σg. Entonces la

Eq. 2.161 quedaría expresada de la siguiente manera:

σ2g = σ2

t + σ2δρ (2.163)

Para determinar el error asociado al valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada (σg),

primeramente tomaremos en cuenta los errores asociados al modelo de Prey (Heiskanen y Moritz, 1967)

por su consideración del relieve como una meseta plana (σt). En laTabla 2.4 podemos ver los resultados

de los estudios de Niethammer (1932) y Mader (1954) quienes computaron altitudes ortométricas a una

altitud de 2504 metros en Hochtor, los Alpes utilizando la aproximación de Helmert y los métodos más

precisos que tomaban en cuenta la topografía del terreno.

Tabla 2.4: Resultados Estudios de Helmert, Niethammer y Mader.Helmert g = 980 263 mGal

Niethammer g = 980 286 mGal

Mader g = 980 285 mGal

Claramente se puede apreciar que el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada

obtenido por Niethammer y Mader, en los que ambos consideraron el relieve del terreno, es muy próximo

mientras que el valor correspondiente a la reducción de Prey, que no considera el relieve del terreno (tal

como se emplea en el cálculo de las altitudes ortométricas Helmert) tiene una diferencia con ellos de 22,5

mGal.

Utilizando estos resultados como referencia y haciendo un reparto proporcional, encontramos que el

máximo error correspondiente a la altitud máxima en nuestra línea de nivelación, que es de 147,903 metros,

sería de 1,329 mGal. Redondeando al alza, tomamos 1,5 mGal como el valor máximo del error esperado

por no considerar el relieve de la topografía del terreno en nuestra línea.

Puesto que:

1, 5mGal = 1, 5 ∗ 10−3 cm

s2= 1, 5 ∗ 10−2mm

s2(2.164)

Por lo tanto, el error que considera el relieve del terreno sería equivalente a:

σ2t = (1, 5)2 ∗ 10−4mm

2

s4(2.165)

Para de�nir el error relativo por asumir que la densidad de la Tierra es constante (σδρ), modi�cando

la ecuación de la Lámina de Bouguer (Heiskanen y Moritz, 1967), se obtiene la siguiente expresión:

σδρ = 2πGδρH (2.166)

52


Dónde:

G :constante gravitacional de la Tierra = 6, 67 ∗ 10−11kg−1m3s−2

δρ: error por asumir que la densidad de la Tierra es constante

Considerando que la mayor diferencia que hay en la corteza terrestre entre la densidad de la roca más

densa a la menos densa es de 0, 6 gcm3 (Heiskanen y Moritz, 1967), utilizaremos el valor promedio de

0, 3 gcm3 . Resolviendo y simpli�cando la Eq. 2.166 obtendremos la siguiente expresión:

σ2δρ = (12, 6 ∗Hkm)

210−4mm

2

s4(2.167)

Tras determinar las aproximaciones por considerar el relieve del terreno como una meseta plana (σt)

y por asumir que la densidad de la Tierra es constante (σδρ), sustituimos la Eq. 2.163 en la Eq. 2.158 y

obtenemos la ecuación que nos permitirá determinar el error de las altitudes ortométricas Helmert:

σ2H = σ2

n +

[(H

g

)2

∗(σ

2

t + σ2δρ

)](2.168)

Luego, sustituyendo en la Eq. 2.168 el error relativo a la nivelación (σn), Eq. 2.159, el término dela altitud ortométrica dividido entre el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada

elevados al cuadrado(Hg

)2

, Eq. 2.160 , además de las aproximaciones que presentamos para corregir los

errores por no considerar el relieve de la topografía del terreno (σt), Eq. 2.165 y por asumir que la densidadde la Tierra constante (σδρ), Eq. 2.167 , obtenemos la siguiente expresión:

σH =

√(((0, 7)2 ∗ Lkm) +

[(Hm

gGal

)2

104s4 ∗(

(1, 5)2 ∗ 10−4mm2

s4+ (12, 6 ∗Hkm)2 10−4

mm2

s4

)])(2.169)

La ecuación ya simpli�cada para determinar la desviación estándar de la altitud ortométrica expresada

en milímetros quedaría de la siguiente manera:

σH =

√√√√(((0, 7)2 ∗ Lkm) +

[(Hm

gGal

)2

∗(

(1, 5)2 + (12, 6 ∗Hkm)2)])

mm (2.170)

Dónde:

Lkm: distancia nivelada entre estaciones de referencia (kilómetros)

H: altura ortométrica (en metros o kilómetros, según sea el caso)

Para computar g en cada estación de referencia fue utilizada la Eq. 2.145 (Heiskanen y Moritz, 1967).

g = g + 0, 0424H

Dónde:

g0: gravedad observada en el punto P (Gal)

H: altitud ortométrica expresada en kilómetros

53


2.2.4. Ondulación del geoide geométrico

Como hemos visto en la Figura 2.16 la diferencia entre la altitud elipsóidica h y la altitud ortométrica

H es denominada como la ondulación del geoide geométrico(NGeo

)quedando expresado de la siguiente

manera:

NGeo = h−H (2.171)

Partiendo de los valores de las altitudes ortométricas Helmert calculadas y de las altitudes elipsóidica

determinadas con GNSS, utilizando la Eq. 2.171, se puede determinar los valores de la ondulación del geoi-

de geométrico. Para determinar la desviación estándar de la ondulación del geoide geométrico utilizamos

la siguiente expresión:

σNGeo =√

(σ2h + σ2

H) (2.172)

Dónde:

σNGeo : error de la ondulación del geoide geométrico (metros)

σ2h : varianza de la altitud elipsódica (metros)

σ2H : varianza de la altitud ortométrica (metros)

54

Capítulo 3

Descripción del área de estudio y

fuentes de datos

En este capítulo presentamos una descripción del área de estudio y de las distintas fuentes de datos

utilizadas para desarrollar nuestro modelo del geoide. Para los datos de gravedad terrestre y marina utiliza-

mos los datos publicados por el Bureau Gravimétrico Internacional (Bureau Gravimétrique International,

BGI ) y por la Administración Nacional Oceánica y Atmosférica (National Oceanic and Atmospheric Ad-

ministration, NOAA) adscrita al Departamento de Comercio de los Estados Unidos de América. Para

la zona marítima, utilizamos la base de datos de gravedad obtenida mediante altimétrica por satélite

desarrollada por Sandwell y Smith (2009) para el Instituto Oceanográ�co de la Universidad de California.

Como modelo digital del terreno ha sido necesario fusionar el modelo digital del terreno de la Misión

Topográ�ca de Radar a Bordo de un Transbordador (Shuttle Radar Topography Mission, SRTM ) con

una resolución de 3 segundos de arco, desarrollado por la Administración Nacional de Aeronáutica y del

Espacio (National Aeronautics and Space Administration, NASA) de los Estados Unidos de América, con

el Mapa General Batimétrico de los Océanos (General Bathymetric Chart of the Oceans, GEBCO08 ) con

una resolución de 30 segundos de arco, desarrollado por el Centro Oceanográ�co Británico (British Ocea-

nographic Data Centre, BODC ). Finalmente como modelo geopotencial, utilizamos el EGM2008 que como

hemos mencionado anteriormente, fue desarrollado por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial

(National Geospatial � Intelligence Agency, NGA) adscrita al Departamento de Defensa de los Estados

Unidos de América.

Para propósitos de esta investigación, nuestra área de estudio es la zona comprendida por la isla de

Puerto Rico y sus islas adyacentes, Mona, Vieques y Culebra. Las mismas se encuentran entre los paralelos

17,5 y 19,0 grados Norte y los meridianos 65,0 y 68,0 grados Oeste. Para efectos del cómputo del geoide,

es necesario abarcar 200 kilómetros adicionales alrededor de nuestra zona de estudio. Por esta razón fue

necesario descargar los datos de gravedad terrestre y marina, gravedad obtenida por altimetría por satélite

y datos de los modelos digitales del terreno y del modelo geopotencial global entre los paralelos 16,0 y

21,0 grados Norte y los meridianos 62,0 y 70,0 grados Oeste. Esto indica que nuestro estudio, aunque se

basa en un modelo del geoide para la región de Puerto Rico, necesitamos obtener datos de una porción

considerable del Océano Atlántico al norte de la isla y una parte del Mar Caribe al sur de Puerto Rico.

Adicional es necesario obtener datos de la región este de la República Dominicana y de algunas de las

Islas Vírgenes localizadas en el Mar Caribe.

55

CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Y FUENTES DE DATOS

3.1. Datos de gravedad terrestre y marítima (BGI y NOAA)

El Bureau Gravimétrico Internacional (BGI ) fue creado en el año 1951 como un servicio de la Asocia-

ción Internacional de Geodesia (International Association of Geodesy, IAG) durante la Asamblea General

de la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (International Union of Geophysics and Geodesy,

IUGG). La tarea principal del BGI era recolectar datos gravimétricos a nivel mundial con la intención

de generar una base de datos de gravedad digital que cualquier persona o entidad pública o privada pu-

diera tener aseso. Las evoluciones tecnológicas y cientí�cas que se produjeron en los últimos 50 años en

el área de la gravimetría, es decir las mejoras en los equipos, mayor capacidad para recolectar datos en

zonas marítimas, el desarrollo de gravímetros absolutos con mayor precisión, las misiones de gravedad

con satélites, etc., han aumentado signi�cativamente el número, la diversidad y la precisión de los datos

del campo de gravedad observables. A raíz de estas evoluciones, el BGI ha contribuido grandemente a

proporcionar bases de datos y servicios especí�cos a una amplia rama de la comunidad internacional que

interesa por medio de diferentes estudios determinar el campo de gravedad terrestre.

El BGI posee una base de datos de mediciones relativas que contiene más de 12 millones de obser-

vaciones compiladas y digitalizadas de gravedad terrestre, marina y aerotransportada. (BGI, 2012) Estos

datos han sido ampliamente utilizados para la de�nición de modelos del campo de gravedad de la Tierra

y para muchas otras aplicaciones en geodesia, la computación de las órbitas satelitales, oceanografía y la

geofísica entre otras ramas.

Para nuestro estudio, fue necesario acceder a la base de datos de gravedad terrestre del BGI y se

identi�có que para la zona delimitada por los paralelos 17,5 � 19,0 grados Norte y los meridianos 65,0 � 68,0

grados Oeste, existían un total de 1894 datos de gravedad terrestre. Los datos de gravedad terrestre fueron

descargados desde el siguiente enlace: http://bgi.obs-mip.fr/en/data-products/Gravity-Databases/Land-

Gravity-data

En la Figura 3.1 se puede ver un detalle de los datos de gravedad terrestres disponibles para la región

de Puerto Rico.

Figura 3.1: Datos de gravedad terrestres del BGI disponibles en la isla de Puerto Rico. Fuente: BureauGravimétrique International (BGI)

56

http://bgi.obs-mip.fr/en/data-products/Gravity-Databases/Land-Gravity-data

http://bgi.obs-mip.fr/en/data-products/Gravity-Databases/Land-Gravity-data


Los datos de gravedad terrestre disponibles provienen de 8 campañas realizadas entre los años de 1950

y 1967. En la Tabla 3.1 se presenta un detalle de las campañas gravimétricas las cuales provienen de

los datos descargados de la base de datos del BGI. En el Anexo 1 se encuentra un detalle de toda la

información disponible de las campañas gravimétricas documentadas en la página web del BGI.

Tabla 3.1: Datos de gravedad terrestre descargados de la página del BGI.Propietario Autor Año Puntos Medidos Puntos Utilizados

Hawaii Institute of GeophysicsN.C. Harding

1950 233 4C.M. Muckenfuss

Defense Mapping Agency1956 108 10

Topographic Center

Defense Mapping Agency1967 88 2

Topographic Center

Rice University V. Renard 1967 171 5

BGSAG. L. Shurbet

1956 378 378M. Ewing

NAVOCEANO 1963 22 22

USGS 490 490

USGS 1964 983 983

Aunque no existe información detallada de la metodología implementada para recolectar estos datos, ni

de los equipos utilizados, si tenemos conocimiento que los datos de gravedad terrestre están referenciados

a una estación de gravedad absoluta existente en la isla de Puerto Rico la cual forma parte de la red del

IGSN71 (International Gravity Standardization Network 1971 ) (Morelli et al., 1972), además se con�rmó

que el valor normal de la gravedad utilizando para determinar las anomalías de aire libre fue el de la

fórmula del sistema geodésico GRS1967. Los valores de la latitud, longitud y la elevación es muy probable

que hayan sido determinados utilizando los planos topográ�cos de 7,5 minutos publicados por el Servicio

Geológico de los Estados Unidos de América, (United States Geological Service, USGS ) en el 1922 y

posteriormente revisados en el 1960. Estos planos topográ�cos eran los únicos mapas topográ�cos de

referencia existentes al momento de realizar estos levantamientos gravimétricos.

Para validar estos datos, fue necesario determinar a qué dátum los mismos están referenciados y ver

si era necesario realizar algún tipo de transformación de dátum. Además fue necesario recalcular el valor

de las anomalías aire libre utilizando la fórmula de la gravedad normal del GRS80 y �nalmente validar

las altitudes publicadas por el BGI utilizando un modelo digital del terreno de alta precisión y métodos

de validación por colocación.

En el caso de los datos de gravedad marinos, utilizando el siguiente enlace: http://bgi.obs-mip.fr/en/data-

products/Gravity-Databases/Marine-Gravity-data se lograron descargar un total de 25330 datos prove-

nientes de 49 campañas gravimétricas realizadas entre los años 1959 y 1988. En la Figura 3.2 se muestra

un detalle de los datos de gravedad marino descargados de la base de datos del BGI.

En la búsqueda de datos adicionales, logramos acceder a la base de datos del Centro Nacional de Datos

Geofísicos (National Geophysical Data Center, NGDC ) de la NOAA. El GEODAS o Sistema de Datos

Geofísicos (Geophysical Data System) es un sistema de gestión de base de datos interactivo desarrolla-

do por el NGDC para su uso en la asimilación, almacenamiento y recuperación de datos geofísicos. El

57

http://bgi.obs-mip.fr/en/data-products/Gravity-Databases/Marine-Gravity-data

http://bgi.obs-mip.fr/en/data-products/Gravity-Databases/Marine-Gravity-data


Figura 3.2: Datos de gravedad marino del BGI disponibles para la región de Puerto Rico. Fuente: BureauGravimétrique International (BGI)

programa GEODAS maneja varios tipos de datos, incluyendo los datos de gravedad marinos, datos de

levantamientos aeromagnéticos y cuadrículas de batimetría / topografía. La base de datos marinos del

NGDC continuamente está evolucionando para crear nuevos conjuntos de herramientas que nos permitan

manejar de una forma efectiva todos estos datos.

Tomando esto en cuenta y considerando que era necesario ampliar nuestra zona de estudio, asesamos la

base de datos de la NOAA y encontramos que entre los paralelos 16,0 y 21,0 grados Norte y los meridianos

62,0 y 70,0 grados Oeste, había un total de 138583 datos marinos divididos en 81 campañas gravimétricas

realizadas entre 1961 y 1998. Estos datos pueden ser visualizados y descargados en el siguiente enlace:

http://maps.ngdc.noaa.gov/viewers/geophysics/. En la Figura 3.3 podemos encontrar un detalle de los

datos descargados de la página de la NOAA.

El problema principal al cual nos encontramos al analizar los datos marinos del BGI y los datos de

la NOAA era poder determinar su calidad y precisión. Al momento de descargar los datos de gravedad

marinos nos percatamos que no todos traían consigo la información necesaria para poder realizar las

correcciones correspondientes. Solamente teníamos los datos de la fecha de la campaña gravimétrica,

las coordenadas geográ�cas, el valor de la gravedad y en algunos casos el equipo utilizado. No había

información concreta si a estas medidas se le había realizado algún tipo de corrección y también se

desconocían los detalles de cómo se obtuvieron las coordenadas geográ�cas, la velocidad del barco al

momento de realizar las medidas, la profundidad del fondo submarino entre otras. Por estas razones,

decidimos no utilizar estos datos para los propósitos de nuestra investigación.

58

http://maps.ngdc.noaa.gov/viewers/geophysics/


Figura 3.3: Datos de gravedad marinos disponibles en la página de NOAA. Fuente: National Oceanic andAtmospheric Administration (NOAA)

3.2. Datos de gravedad obtenida por altimetría por satélite (Sand-

well & Smith)

La super�cie del océano posee unas pequeñas protuberancias y depresiones que sobresalen o se sumer-

gen imitando la topografía del fondo del mar. Estas variaciones, demasiado pequeñas para ser percibidas

por el ojo humano, pueden ser medidas por un altímetro a bordo de un satélite. Los datos recogidos por la

Agencia Espacial Europea en la campaña del ERS-1, junto con los datos del satélite GEOSAT de la Mari-

na de Guerra de los Estados Unidos de América, han proporcionado mediciones detalladas de la altura de

la super�cie del mar en los océanos. Estos datos proporcionan la primera visión de las estructuras del suelo

del océano en muchas áreas remotas de la Tierra. El satélite GEOSAT fue lanzado en 1985 para trazar

la altura del geoide con una resolución horizontal aproximada de 10 a 15 km. y una resolución vertical de

0,03 m. El GEOSAT se colocó en una órbita casi polar para obtener la cobertura de alta latitud (± 72

grados de latitud) y orbita la Tierra 14,3 veces por día a una velocidad de aproximadamente 7 kilómetros

por segundo.

Como hemos mencionado anteriormente, la super�cie del océano se puede considerar aproximadamente

una "super�cie equipotencial" del campo gravitatorio de la Tierra. Como primera aproximación, esta

super�cie equipotencial de la Tierra se puede considerar como una esfera. Sin embargo debido a que la

Tierra gira alrededor de su eje, la super�cie equipotencial del océano forma un elipsoide de revolución

donde el diámetro polar es de 43 km menos que el diámetro ecuatorial. Si bien esta forma elipsoidal se

ajusta muy bien a la Tierra, la super�cie real del océano se desvía hasta 100 metros de este elipsoide ideal.

Esto evidencia la existencia de estas pequeñas protuberancias y depresiones que hemos mencionado.

Para determinar la topografía de la super�cie del océano, deben ser realizadas dos mediciones muy

precisas de la distancia entre el satélite y la super�cie. En primer lugar, es necesario poder determinar la

altura del satélite por encima del elipsoide. Esta distancia se mide mediante el seguimiento del satélite

59


desde una red globalmente distribuida de rayos láser y/o estaciones Doppler. En segundo lugar, es necesario

medir la altura del satélite por encima de la super�cie del océano. Esta medida se realiza con un radar

de microondas que funciona en un modo de pulso a una frecuencia de 13 GHz. (Para estos efectos, la

super�cie del océano es un buen re�ector a esta frecuencia, algo que no sucede en la super�cie terrestre)

Es necesario realizar algunas correcciones al tiempo de viaje del pulso para compensar las demoras por

efectos ionosféricos y atmosféricos. Además es necesario realizar las correcciones que consideran los efectos

de las mareas. Finalmente la diferencia entre la altura geocéntrica del satélite menos las sumas de las del

radio vector del elipsoide más la distancia del satélite al nivel medio del mar es aproximadamente igual a

la ondulación del geoide. Estos valores de la ondulación pueden invertirse mediante las fórmulas de Hotine

(1969) proporcionando las anomalías gravimétricas.

Utilizando la altimétrica por satélite suministrada por las campañas del ERS-1 y GEOSAT, Sandwell

y Smith desarrollaron para el Instituto Oceanográ�co de la Universidad de California una base de datos de

gravedad marina a nivel global (Sandwell y Smith, 2009). Como nuestro interés es desarrollar un modelo

del geoide con la mayor precisión posible y considerando que la altimetría por satélite provee unos datos

con una calidad aceptable para zonas marinas, procedimos a acceder la base de datos de Sandwell y Smith

en el siguiente enlace: http://topex.ucsd.edu/marine_grav/mar_grav.html

De esta página fueron descargados aproximadamente 160000 datos de anomalías aire libre con una

resolución aproximada de un minuto de acto existentes entre los paralelos 15,0 � 21,0 grados Norte y

entre los meridianos 63,0 � 70,0 grados Oeste. En la Figura 3.4 se presenta una imagen de los datos de

las anomalías aire libre obtenidas mediante altimetría con satélite disponibles para la región donde se

encuentra ubicada la isla de Puerto Rico:

Figura 3.4: Mapa de anomalías aire libre obtenidas mediante altimétrica con satélite. Fuente: Institutionof Oceanography, University of California San Diego

60

http://topex.ucsd.edu/marine_grav/mar_grav.html


3.3. Modelo digital del terreno (SRTM3 )

Para poder realizar las correcciones topográ�cas e isostáticas, es necesario contar con un modelo

digital de elevaciones en el terreno y con un modelo batimétrico digital para las zonas marítimas. Para

estos efectos utilizamos el STRM3 desarrollado por la NASA y el GEBCO30 desarrollado por el Centro

Oceanográ�co Británico. Ambos modelos usan como referencia el sistema WGS84 y para la región de

Puerto Rico los mismos tienen una resolución de 3 segundos y 30 segundos de arco respectivamente.

El modelo digital del terreno desarrollado a partir de la Misión Topográ�ca de Radar a Bordo de un

Transbordador (Shuttle Radar Topography Mission, SRTM ) (Farr et al., 2007) resulto ser el modelo más

completo, con la mayor resolución accesible de un modelo de elevaciones digitales de la Tierra. El objetivo

de este proyecto fue obtener la base de datos topográ�cos digital de alta resolución más completa de

la Tierra. Este proyecto fue el resultado del trabajo en conjunto de la NASA, la Agencia Nacional Geo-

espacial de Inteligencia (National Geospatial-Intelligence Agency, NGA) y las agencias espaciales alemanas

e italianas.

El 11 de febrero de 2000, el SRTM fue lanzado al espacio a bordo del transbordador espacial Endea-

vour. Durante la misión del SRTM, un sistema de radares especialmente modi�cados voló a bordo del

transbordador espacial durante 11 días. Con este sistema de radares se reunieron los datos su�cientes que

se tradujeron en el mapa topográ�co más preciso y completo de la super�cie de la Tierra cuya resolución

en algunos lugares llega a alcanzar 1 segundo de arco (Rodriguez et al., 2005).

Los datos del radar del SRTM fueron procesados para ser adaptados para satisfacer las necesidades

de las comunidades de usuarios, civiles, militares y cientí�cos. Casi cualquier proyecto que requiere un

conocimiento preciso de la forma y de la altura de la super�cie de la Tierra, se puede bene�ciar de estos

datos. Algunos ejemplos son el control de inundaciones, conservación de suelos, reforestación, monitoreo

volcánico, la investigación sísmica y seguimiento de los movimientos de los glaciares.

El SRTM utilizó una técnica llamada interferometría de radar. En la interferometría de radar, dos

imágenes de radar son tomadas de lugares ligeramente diferentes. Las diferencias entre estas imágenes

permiten calcular la elevación de la super�cie. Para obtener dos imágenes de radar tomadas de diferentes

localizaciones simultáneamente, SRTM constaba con una antena de radar en la bodega de carga del

transbordador y una segunda antena de radar unida al extremo de un mástil que se extendía 60 metros

del transbordador.

El SRTM fue lanzado en una órbita con una inclinación de 57 grados. Los radares del SRTM pudieron

cubrir la mayor parte de la super�cie terrestre de la Tierra que se encuentra entre las latitudes de 60

grados Norte y 56 grados Sur. Esto signi�ca que cerca de un 80 por ciento de la super�cie terrestre de la

Tierra fue cubierto con el SRTM.

Para propósitos de nuestro estudio, fue necesario descargar los datos del SRTM existentes entre los

paralelos 15,0 y 21,0 grados Norte y entre los meridianos 63,0 y 70,0 grados Oeste. En la Figura 3.5

podemos ver un detalle del SRTM3 para la zona de estudio. Hay dos cosas importantes que queremos

mencionar, primeramente que el SRTM3 no posee datos en al mar por lo que es necesario combinar con un

modelo batimétrico y segundo, para asegurar que contábamos con el mejor modelo del SRTM3 disponible

para nuestra zona, decidimos utilizar la versión 2 del SRTM o la versión editada. Esta versión tiene una

resolución de 3 segundos de arco lo que es el equivalente a 90 metros y también se conoce como la versión

�nal del SRTM. Todos estos �cheros fueron descargados utilizando el siguiente enlace:

http://dds.cr.usgs.gov/srtm/version2_1/SRTM3/North_America/

61

http://dds.cr.usgs.gov/srtm/version2_1/SRTM3/North_America/


En la página o�cial de la Misión Topográ�ca de Radar a Bordo de un Transbordador se pueden obtener

todos los detalles relacionados a esta campaña. (http://www2.jpl.nasa.gov/srtm/)

Figura 3.5: Datos existentes del modelo SRTM3 en la zona de estudio. Fuente: National Aeronautics andSpace Administration (NASA)

En la Tabla 3.2 se presenta el listado de los �cheros descargados con las imágenes en formato ráster

del SRTM3 disponibles para la zona de estudio.

Tabla 3.2: Ficheros descargados con los imagenes en formato ráster del SRTM3.N17W065.hgt N18W065.hgt

N17W066.hgt N18W066.hgt



3.4. Modelo digital de batimetría (GEBCO08 )

El Mapa General Batimétrico de los Océanos (General Bathymetric Chart of the Oceans, GEBCO08 )

con una resolución de 30 segundos de arco, fue desarrollado por el Centro Oceanográ�co Británico (British

Oceanographic Data Centre, BODC ) como un modelo digital del terreno para el océano y la tierra (BODC,

2010). La porción batimétrica de este modelo fue desarrollada combinando los datos de gravedad marinos

publicados por Sandwell y Smith (2009) entre las latitudes 80 grados norte y 81 grados Sur, con una base

de datos de sobre 290 millones de sondeos batimétricos. Con la base de datos de Sandwell y Smith fue

posible predecir las profundidades del fondo marino basándose en las anomalías de la gravedad obtenidas

mediante altimetría por satélite.

62

http://www2.jpl.nasa.gov/srtm/


Para las zonas terrestres, gran parte de los datos fueron tomados del SRTM30 con una resolución de

30 segundos de arco. Para las altas latitudes donde el SRTM30 no poseía datos, fue necesario utilizar el

modelo del Servicio Geológico de los Estados Unidos de América el GTOPO30. Ya para las zonas cercanas

a la Antártida fue necesario utilizar datos de varias campañas realizadas utilizando altímetros láser. La

primera versión de este modelo, la versión 20091120 fue publicada en el año 2009. Desde entonces este

modelo ha sido modi�cado en cuatro ocasiones siendo la más reciente la versión 20100927.

Para efectos de nuestra investigación, fue necesario acceder el siguiente enlace para descargar los datos

correspondientes: http://www.gebco.net/data_and_products/gridded_bathymetry_data/

Se procedió a descargar los datos existentes del modelo batimétrico GEBCO08 entre los paralelos 15,0

y 21,0 grados Norte y entre los meridianos 63,0 y 70,0 grados Oeste. Para poder descargar dicho modelo,

es necesario registrarse en la página del BODC. En la Figura 3.6 se puede observar un detalle del modelo

batimétrico GEBCO08 para la zona de estudio.

Figura 3.6: Modelo batimétrico GEBCO08 para la zona de estudio. Fuente: British Oceanographic DataCentre (BODC)

3.5. Modelo geopotencial global (EGM2008 )

Como hemos mencionado anteriormente, el modelo geopotencial global que utilizaremos durante esta

investigación es el EGM2008. El mismo tiene una resolución de un grado y orden de 2159 y unos coe�cientes

adicionales del grado hasta 2190 y orden 2159 (Pavlis et al., 2008). En la Figura 3.7 se presenta una imagen

de una cuadrícula de anomalías aire libre derivadas del EGM2008 descargada desde la página web del

BGI. Los límites de la cuadrícula son los paralelos 15,0 y 21,0 grados Norte y los meridianos 70,0 y 63,0

grados Oeste.

63

http://www.gebco.net/data_and_products/gridded_bathymetry_data/


Figura 3.7: Imagen de la cuadrícula de anomalías aire libre derivadas del EGM2008. Fuente: BureauGravimétrique International (BGI)

Para propósitos de esta investigación utilizamos el paquete de programas informáticos Gravsoft desa-

rrollado por Tscherning et al. (1994), en su interface de Python (Nielsen et al., 2012) para determinar los

valores de las anomalías aire libre del modelo EGM2008.

64

Capítulo 4

Análisis y Validación de Datos

4.1. Comprobación de la precisión de los modelos geopotenciales

globales a lo largo de una línea de nivelación

Recientemente fue publicado un nuevo modelo geopotencial global, el EGM2008. Este modelo ha

mostrado una notable mejoría en la calidad de sus tres fuentes de datos; las observaciones del movimiento

perturbado de los satélites arti�ciales, la altimetría por satélite y la gravimetría terrestre, por lo que se

ha conseguido mejorar su precisión y resolución. Esta mejoría en los modelos geopotenciales nos acerca

cada vez más al hecho de poder determinar las altitudes ortométricas a partir de la combinación de

los modelos geopotenciales con las altitudes elipsóidicas obtenidas con GNSS. En los últimos años, la

comunidad cientí�ca internacional ha incentivado trabajos de investigación que permitan comprobar la

precisión de este modelo en distintas partes del mundo y a la vez compararlo con sus predecesores. En

nuestro caso, nos dimos a la tarea de comprobar la precisión de este modelo geopotencial global y la

de su predecesor el EGM96 con los valores del geoide geométrico y con el modelo geopotencial regional

GEOID12A. Esto es necesario ya que eventualmente utilizaremos uno de estos modelos geopotenciales

para realizar las reducciones necesarias para determinar el modelo gravimétrico del geoide para la región

de Puerto Rico.

4.1.1. Determinación geométrica del geoide

En la Sección 2.2.4 mencionamos que para determinar la ondulación del geoide geométrico es necesario

utilizar los valores de las altitudes ortométricas y de las altitudes elipsóidicas con la mayor precisión posi-

ble. Tras determinar estas altitudes con su debida precisión, aplicando la Eq. 2.171 podemos determinar

los valores de la ondulación del geoide geométrico.

NGeo = h−H

Ya que contamos con los valores y la precisión de estas altitudes, aplicado la Eq. 2.172 podemos de-

terminar la precisión de la ondulación del geoide geométrico.

σNGeo =√

(σ2h + σ2

H)

65

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS

Lamentablemente en la región de Puerto Rico no contamos con altitudes ortométricas en las estaciones

permanentes de la línea de nivelación del PRVD02. Adicionalmente a esto, la mayoría de estas estaciones

permanentes existentes no han sido observadas con instrumentos de GNSS. Por lo tanto fue necesario

determinar las altitudes ortométricas y las altitudes elipsóidicas previamente para entonces poder deter-

minar el geoide geométrico y luego compararlo con los valores de la ondulación del geoide obtenida a

partir de los distintos modelos geopotenciales.

4.1.1.1. Recuperación e identi�cación de las estaciones permanentes

La primera tarea necesaria para determinar el geoide geométrico fue identi�car todas las estaciones

permanentes a lo largo de la línea de nivelación vertical del PRVD02 con elevación conocida que estu-

vieran disponibles para ser observadas con GNSS y para realizar medidas de gravedad. Como ya hemos

mencionado en la Sección 2.2.2.4, en sus orígenes esta línea de nivelación constaba con estaciones per-

manentes con elevación conocida aproximadamente cada un kilómetro a lo largo de sus 160 kilómetros.

Debido a los continuos desarrollos de construcción y al vandalismo, se tenía conocimiento que muchas de

estas estaciones habían sido destruidas. Por esta razón fue necesario coordinar varios trabajos de campo

para determinar el estado de las estaciones aún existentes.

Al primer problema con que nos enfrentamos fue la pobre calidad de las coordenadas geográ�cas

publicadas por el NGS. Estas coordenadas habían sido determinadas utilizando planos topográ�cos de

7,5 minutos. Solamente aquellas estaciones que habían sido observadas previamente con GNSS tenían

publicadas coordenadas precisas. Al momento de proyectar estas coordenadas en un sistema de información

geográ�ca, nos percatamos que la mayoría de las estaciones estaban desplazadas de su localización real.

Para corregir esta situación fue necesario visitar las estaciones permanentes utilizando como referencia

las hojas de datos que publica el NGS. Estas hojas contienen una descripción física de la localización

de la estación. Tras localizar e identi�car cada estación permanente, se procedió a asignarle coordenadas

geográ�cas con una precisión de ±10 metros (calidad aceptable para efectos de un sistema de información

geográ�ca) con un instrumento de GNSS manual. Posteriormente sería necesario coordinar una campaña

de observaciones con instrumentos de GNSS para poder determinar la altura elipsóidica y las coordenadas

geográ�cas con la mayor precisión posible (milimétrica). Es importante mencionar que cuando el NGS

estableció estas estaciones, no se consideró que todas estas estaciones se fueran a utilizar para realizar

observaciones con GNSS. Por lo tanto, no todas las estaciones permanentes recuperadas serían adecuadas

para ser observadas.

Otra problemática encontrada fue la desaparición o destrucción de muchas estaciones permanentes ya

sea por causas naturales como la erosión del terreno, los desarrollos urbanos o simplemente por vandalismo.

(Ver Figura 4.1 ) Al �nalizar el trabajo de recuperación, identi�camos 22 estaciones permanentes como

desaparecidas. Tras una segunda visita al campo, pasado solamente tres meses, encontramos que dos

estaciones adicionales habían sido destruidas para un total de 24 estaciones desaparecidas en un período

de siete años. En resumen, gracias a este trabajo de campo, fue posible recuperar un total 128 estaciones

permanentes con elevación conocida pertenecientes a la línea de nivelación del PRVD02.

66


Figura 4.1: Estaciones permanentes de la línea de nivelación del PRDV02 parcialmente destruidas.

4.1.1.2. Campaña de observaciones con instrumentos de GNSS y determinación de las

altitudes elipsoidales

Tras determinar que estaciones eran accesibles para hacer las observaciones con instrumentos de GNSS,

se procedió a realizar la campaña de observaciones. Se utilizaron un total de 13 antenas GNSS de doble

frecuencia, con�guradas para realizar lecturas cada segundo. Se estableció como norma que se realizarían

observaciones simultáneas con una duración de dos horas a dos horas y media, donde una antena perma-

necería �ja durante dos secciones consecutivas, mientras las demás antenas se trasladarían a la estación

más cercana.

Este procedimiento se realizó durante 9 días durante el mes de septiembre de 2009 y entre los meses

de diciembre de 2009 y enero de 2010. Al �nalizar la campaña de observaciones con GNSS, se lograron

realizar 18 secciones de observaciones y se observaron un total de 70 estaciones con elevación conocida.

Completadas las observaciones, fue necesario realizar un post procesamiento de datos preliminar para

determinar las coordenadas geográ�cas y las altitudes elipsóidicas. Para realizar el post proceso de las

observaciones de GNSS, se utilizó una de las herramientas que provee la página de procesamiento de

datos GNSS en línea del NGS. (http://www.ngs.noaa.gov/OPUS/) Esta página permite subir un �chero

en formato Rinex e indicando la altura y el tipo de la antena GNSS utilizada, nos permite obtener un

resultado de la posición geográ�ca y la altura elipsóidica del punto observado con una gran precisión.

Este programa en línea identi�ca que estaciones de referencia de operación continua estaban funcionando

simultáneamente al momento de realizar la observación y utilizando un proceso de triangulación y ajuste

de mínimos cuadrados, se determina la posición del receptor.

Como recomendación del NGS, los indicadores que determinan la calidad de la observación son los

siguientes; que el número de observaciones utilizadas sea mayor del 90%, que la cantidad de ambigüedades

corregidas sea mayor del 50% y que el valor de la solución tras realizar un ajuste por mínimos cuadrados

sea menor de 3 cm. En los casos que no se cumplía con algunos de los parámetros indicativos de calidad

67

http://www.ngs.noaa.gov/OPUS/


de la observación, se procedió a repetir las observaciones aumentando el tiempo de la observación a tres

horas. Este procedimiento nos permitió determinar las coordenadas geográ�cas y las altitudes elipsóidicas

con una mayor precisión. En el Anexo 2 se encuentra el detalle de los resultados del post procesamiento

de datos de GNSS con el sistema OPUS.

Para efectos de la determinación geométrica del geoide fue necesario determinar las altitudes elipsódi-

cas con la mayor precisión posible. Para hacer esta operación se utilizó como referencia el marco NAD83

(CORS96/2007), época 2002,00. En este ajuste �nal se consideraron un total de 302 líneas base y utili-

zando la aplicación de Leica Geo O�ce (LGO) se post procesaron los datos determinando las coordenadas

con la mayor precisión posible en 70 estaciones de la línea de nivelación del PRVD02. Se encontró que el

valor de su desviación estándar máxima fue ±0,0053 metros. (Ver Tabla 4.1)

4.1.1.3. Campaña de observaciones gravimétricas y determinación de los valores de grave-

dad

Debido a que las estaciones permanentes de la línea de nivelación del PRVD02 no poseían datos de

gravedad, era imposible determinar los valores de las altitudes ortométricas. Como hemos mencionado,

para poder determinar el geoide geométrico es necesario tener valores de las altitudes ortométricas en las

estaciones permanentes. Por esta razón fue necesario realizar una campaña de medidas gravimétricas a lo

largo de la línea de nivelación. Previo a la campaña de observaciones, fue necesario determinar que estación

permanente que tuviera un valor de gravedad, de las cuatro existentes, podía ser utilizada como estación

de referencia. Por su accesibilidad fue seleccionada la estación SJ2, localizada en San Juan de Puerto Rico.

Esta estación tiene publicado un valor de gravedad modelada de 978664,2mGal. El mismo está referenciado

a la Red Internacional Estandarizada de Gravedad de 1971 (International Gravity Standarization Net of

1971, IGSN 71 ).

El equipo utilizado para realizar las observaciones gravimétricas fue un gravímetro relativo marca

LaCoste & Romberg, modelo G-1001 (Ver Figura 4.2) con una precisión de ±0,01 mGal. Este instrumento

está calibrado y tiene su punto de lectura en 2,4 y para poder operar el mismo, es necesario mantener su

temperatura interna en 53,8º C. Fue necesario establecer una estación de referencia la cual sería utilizada

posteriormente para realizar las correcciones por deriva. La misma fue ubicada en la ciudad de Toa Baja,

Puerto Rico y todos los días que se realizaron observaciones gravimétricas, se comenzó y terminó el circuito

de observaciones en esta estación.

Figura 4.2: Gravímetro LaCoste & Romberg modelo G-1001.

68


Tabla

4.1:

Valores

delasaltitudeselipsóidicas

consu

desviación

estánd

ar.

Estación

Latitud

Longitud

hcal

Desv.Est.

Estación

Latitud

Longitud

hcal

Desv.Est.

φλ

(metros)

±(m

etros)

φλ

(metros)

±(m

etros)

SJ2

18,46584056

-66,09513714

-24,807

0,0025

NC42

18,44546099

-66,44327953

-5,802

0,0030

SJNSH32

18,46837391

-66,12121112

-16,071

0,0010

G1003

18,44671381

-66,44927057

-15,734

0,0030

GUN

18,46799022

-66,12398185

-27,383

Fijo

NC44

18,44168025

-66,46557758

14,168

0,0030

SJNSH33

18,47045818

-66,12363326

-7,778

0,0016

MANATI2

18,43983438

-66,50123347

-21,674

0,0030

B1001

18,46035659

-66,08630114

-40,477

0,0020

P1003

18,47303417

-66,53366086

-42,922

0,0030

A1002

18,45824707

-66,09080752

-41,404

0,0021

Q1003

18,47893171

-66,53725554

-41,782

0,0030

DIAZ

18,44352291

-66,08002563

-36,852

0,0021

R1003

18,48652890

-66,54964281

-42,286

0,0032

C1002

18,43801638

-66,08382807

-37,754

0,0027

S1003

18,48788081

-66,56139506

-43,250

0,0031

PRMP3

18,43841475

-66,07089132

-36,055

0,0016

V1003

18,48471696

-66,59261598

-37,292

0,0030

SANABRIA

18,42288503

-66,14914749

-38,317

0,0023

U1003

18,48759682

-66,59907277

-35,932

0,0030

J1002

18,42084786

-66,16442388

-31,244

0,0024

X1003

18,49132341

-66,64000767

-41,593

0,0031

K1002

18,41898568

-66,17765741

-20,898

0,0027

A1004

18,48620019

-66,67089921

-41,447

0,0030

L1002

18,42011977

-66,19155678

-8,909

0,0024

D1004

18,46855099

-66,70937409

-39,775

0,0043

N1002

18,41322614

-66,21368589

2,259

0,0024

E1004

18,46694240

-66,71781719

-40,842

0,0041

NC81

18,41234797

-66,22693713

18,844

0,0026

F1004

18,45327505

-66,71832717

-37,651

0,0042

NC82

18,41497789

-66,23099312

9,593

0,0025

P1004

18,48684229

-66,78140053

-32,466

0,0042

S1002

18,42566170

-66,27654903

-29,799

0,0024

S1004

18,48738017

-66,80045538

-36,391

0,0042

T1002

18,42675105

-66,27971619

-21,701

0,0026

T1004

18,47725192

-66,80132912

4,053

0,0043

NC06

18,42522875

-66,28885291

-14,456

0,0025

V1004

18,48342210

-66,82365626

-38,190

0,0042

NC07

18,42644261

-66,29853269

2,769

0,0024

X1004

18,47590738

-66,84579684

9,072

0,0043

U1002

18,42433655

-66,30503734

10,109

0,0028

Y1004

18,47347478

-66,85698311

17,038

0,0042

V1002

18,42230198

-66,31264757

18,637

0,0027

G1005

18,48887403

-66,94887845

15,550

0,0043

W1002

18,42455449

-66,32740520

21,562

0,0027

J1005

18,48204130

-66,96417991

4,543

0,0047

Q1004

18,42894251

-66,33436847

16,174

0,0027

M1005

18,47299109

-66,99893954

63,974

0,0043

NC09

18,43122593

-66,33694229

5,595

0,0027

N1005

18,47179931

-67,00814005

65,337

0,0045

X1002

18,43197561

-66,34150319

-15,676

0,0027

Q1005

18,46824399

-67,03132739

83,247

0,0047

Y1002

18,42898203

-66,34851914

-19,447

0,0027

R1005

18,46436528

-67,04487713

87,060

0,0052

NC14

18,42779638

-66,36127158

-24,546

0,0037

AGUAUSCGB

18,45919733

-67,06521557

95,095

0,0053

C1003

18,43222398

-66,38330133

-8,912

0,0037

T1005

18,45631930

-67,07708704

97,498

0,0052

NC19

18,43703643

-66,39076217

28,658

0,0027

U1005

18,45316478

-67,09128110

104,039

0,0052

E1003

18,44156238

-66,41425306

-4,926

0,0030

VELEZ

18,44480003

-67,14692573

90,431

0,0053

BERRIO

S18,43978310

-66,42305694

0,636

0,0030

G1006

18,45557765

-67,16196889

-20,611

0,0053

F1003

18,44038773

-66,43589785

-0,016

0,0030

9759412TIDAL2

18,45733489

-67,16493391

-42,200

0,0052

69


Se realizaron observaciones gravimétricas solamente en aquellas estaciones permanentes que habían sido

observadas previamente con GNSS. La campaña de observaciones gravimétricas duró un total de 7 días y

se realizaron lecturas de gravedad en 66 de las 70 estaciones disponibles. Tras realizar las observaciones

gravimétricas, fue necesario convertir estas lecturas en medidas de gravedad según la tabla de calibración

del instrumento, realizar la corrección por marea utilizando el programa ETGTAB (Wenzel, 1996) con

las ondas de marea correspondientes a las estaciones, recomendado por el Centro Internacional de Mareas

Terrestres (International Center for Earth Tides, ICET ), la corrección por altura del instrumento y

�nalmente la corrección por deriva. En el Anexo 3 se puede encontrar un detalle de las lecturas y las

correcciones realizadas a las medidas de gravedad.

4.1.1.4. Determinación de los valores de gravedad

Tras realizar todas las correcciones a las medidas de gravedad observadas, se procedió a computar los

valores de gravedad en cada una de las estaciones permanentes. Dado que el equipo LaCoste & Romberg es

un gravímetro relativo y no mide valores absolutos de gravedad, fue necesario determinar los incrementos

de las medidas de gravedad observada entre las estaciones para luego referenciarlos a la estación SJ2, de la

cual si conocemos su valor de la gravedad. En la Tabla 4.2 se presentan los resultados de los cómputos de

gravedad para las 66 estaciones permanentes con elevación conocida de la línea de nivelación del PRVD02.

4.1.1.5. Determinación de las altitudes ortométricas Helmert

A partir de las medidas de gravedad observadas en cada una de las estaciones y de los valores de ele-

vación, podemos calcular según la Eq. 2.142 los incrementos del número geopotencial entre dos estaciones

sucesivas. Para obtener el número geopotencial a partir de estos incrementos es necesario conocer su valor

absoluto en al menos uno de ellos. En nuestro caso hemos utilizado los datos de la estación de origen del

PRVD02, el 975 5371 A TIDAL. Esta estación es la única que tiene publicado el valor de la gravedad y

la altitud ortométrica. El valor de la gravedad modelada de la estación es 978,66850 Gal y el valor de la

altitud ortométrica es 1,334 metros. Partiendo de la Eq. 2.146 para determinar las altitudes ortométri-

cas Helmert, podemos determinar el valor del número geopotencial en la estación de origen utilizando la

siguiente expresión:

CP = HHelm ∗(g + 0, 0424HHelm

)(4.1)

Dónde:

C9755371ATIDAL = 1, 30554u, g.p.

Luego aplicando la Eq. 2.142, calculamos el valor del incremento del número geopotencial utilizando los

valores de los desniveles y de la gravedad media entre cada dos estaciones consecutivas. Para determinar

el desnivel entre dos estaciones, se consideró la diferencia entre los valores publicados de sus elevaciones

en kilómetros. Para determinar la gravedad media en cada par de estaciones, se promediaron los valores

de gravedad de las estaciones en Gal.

70


Tabla 4.2: Valores de gravedad en las estaciones permanentes del PRVD02.

EstaciónValor de Gravedad

EstaciónValor de Gravedad

(mGal) (mGal)

SJ2 978664,20 NC42 978662,63

SJNSH32 978659,01 G1003 978663,44

GUN 978661,23 NC44 978656,15

SJNSH33 978655,63 MANATI 2 978658,68

B1001 978669,72 P1003 978649,54

A1002 978670,19 Q1003 978647,97

DIAZ 978674,22 R1003 978643,83

C1002 978676,57 S1003 978641,91

PR MP 3 978675,76 V1003 978636,74

SANABRIA 978672,65 U1003 978634,85

J1002 978667,70 X1003 978631,57

K1002 978663,52 A1004 978631,75

L1002 978659,80 D1004 978633,16

N1002 978659,35 E1004 978633,85

NC81 978655,89 F1004 978636,59

NC82 978657,62 P1004 978627,26

S1002 978666,46 S1004 978628,38

T1002 978665,66 T1004 978621,86

NC06 978665,49 V1004 978629,87

NC07 978662,06 X1004 978621,77

U1002 978662,56 Y1004 978622,23

V1002 978662,87 G1005 978640,05

W1002 978664,15 J1005 978645,10

Q1004 978664,23 M1005 978634,26

NC09 978665,87 N1005 978634,94

X1002 978670,93 Q1005 978630,66

Y1002 978674,01 R1005 978629,56

NC14 978675,78 AGUA USCG B 978630,10

C1003 978670,33 T1005 978631,49

NC19 978660,40 U1005 978632,32

E1003 978666,22 VELEZ 978641,74

BERRIOS 978665,28 G1006 978663,29

F1003 978663,99 975 9412 TIDAL 2 978666,65

Conocido el número geopotencial de este punto inicial y los incrementos del valor del número geopo-

tencial entre los puntos adyacentes de la línea, obtuvimos los valores del número geopotencial en el resto

de las estaciones permanentes teniendo en cuenta que:

CQ = CP +4CPQ (4.2)

Al tener el valor del número geopotencial y ya que las altitudes que deseamos determinar son las altitudes

ortométricas Helmert, aplicando la Eq. 2.146 podemos obtener la siguiente expresión:

0, 0424H2 + gH − CP = 0 (4.3)

Como esta ecuación es una de segundo orden, primero fue necesario determinar el discriminante y luego

aplicar la fórmula cuadrática:

D = g2 + 4CP ∗ 0, 0424 (4.4)

71


Al resolver la fórmula cuadrática se obtienen dos resultados para H.

H =

(−g ±

√D)

(2 ∗ 0, 0424)(4.5)

El primer resultado da un valor negativo, el cual se rechaza. Por lo que el valor de la altitud ortométrica

Helmert será el valor de H positivo. Este procedimiento se repitió para todos las estaciones de la línea de

nivelación. En el Anexo 4 se encuentra un detalle de los cómputos realizados para determinar las altitudes

ortométricas Helmert.

Tras computar los valores de las altitudes ortométricas, procedimos a compararlos con los valores la

elevación en cada una de las estaciones. La corrección ortométrica, es decir, la cantidad que hay que

añadir a los desniveles para obtener la altitud ortométrica, varía según la altura del punto observado

entre algunos milímetros en zonas llanas a varios decímetros en áreas montañosas. (Heiskanen y Moritz,

1967), (Mader, 1954), (Niethammer, 1932) Como era de esperar, dada la escasa elevación y el hecho de

que la línea esté orientada en la dirección este � oeste, las correcciones ortométricas son muy pequeñas.

Por debajo del milímetro en la mayor parte de las estaciones.

En la Tabla 4.3 se presentan las altitudes ortométricas Helmert calculadas para las estaciones de la

línea de nivelación del PRDV02, los valores de las elevaciones publicadas y la diferencia encontrada entre

estos dos valores. En la Figura 4.3 se muestra una grá�ca del per�l de las altitudes ortométricas a lo largo

de la Línea de Nivelación del PRDV02 donde se puede apreciar claramente la poca variación que hay en

la elevación del terreno lo que hace que las correcciones ortométricas sean mínimas.

Figura 4.3: Per�l de las altitudes ortométricas a lo largo de la Línea de Nivelación del PRVD02.

72


Tabla

4.3:

Valores

dela

elevaciónylasaltitudesortométricasHelmertcalculadas.

Estación

Desnivel

Alt.Ortométrica

Diferencia

Estación

Desnivel

Alt.Ortométrica

Diferencia

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

SJ2

18,344

18,344

0,000

NC42

37,154

37,154

0,000

SJNSH32

27,069

27,069

0,000

G1003

27,282

27,282

0,000

GUN

15,847

15,847

0,000

NC44

57,072

57,072

0,000

SJNSH33

35,479

35,479

0,000

MANATI2

21,221

21,221

0,000

B1001

2,569

2,569

0,000

P1003

1,004

1,004

0,000

A1002

1,588

1,588

0,000

Q1003

2,315

2,315

0,000

DIAZ

5,845

5,845

0,000

R1003

2,000

2,000

0,000

C1002

4,766

4,766

0,000

S1003

1,130

1,130

0,000

PRMP3

6,535

6,535

0,000

V1003

7,039

7,039

0,000

SANABRIA

3,927

3,927

0,000

U1003

8,489

8,489

0,000

J1002

10,954

10,954

0,000

X1003

3,028

3,028

0,000

K1002

21,336

21,336

0,000

A1004

3,021

3,021

0,000

L1002

33,307

33,307

0,000

D1004

4,350

4,350

0,000

N1002

44,328

44,328

0,000

E1004

3,261

3,261

0,000

NC81

60,945

60,945

0,000

F1004

6,074

6,074

0,000

NC82

51,743

51,743

0,000

P1004

12,156

12,156

0,000

S1002

12,507

12,507

0,000

S1004

8,251

8,252

0,001

T1002

20,687

20,687

0,000

T1004

48,451

48,451

0,000

NC06

27,831

27,831

0,000

V1004

6,349

6,350

0,001

NC07

45,150

45,150

0,000

X1004

53,431

53,431

0,000

U1002

52,438

52,438

0,000

Y1004

61,341

61,342

0,001

V1002

60,877

60,877

0,000

G1005

60,166

60,166

0,000

W1002

63,861

63,861

0,000

J1005

48,981

48,980

-0,001

Q1004

58,617

58,617

0,000

M1005

108,204

108,203

-0,001

NC09

48,099

48,099

0,000

N1005

109,558

109,558

0,000

X1002

26,817

26,817

0,000

Q1005

127,390

127,390

0,000

Y1002

22,909

22,909

0,000

R1005

131,073

131,073

0,000

NC14

17,921

17,921

0,000

AGUAUSCGB

138,982

138,982

0,000

C1003

33,617

33,617

0,000

T1005

141,364

141,364

0,000

NC19

71,354

71,354

0,000

U1005

147,903

147,903

0,000

E1003

37,894

37,894

0,000

VELEZ

134,320

134,319

-0,001

BERRIO

S43,368

43,368

0,000

G1006

23,621

23,619

-0,002

F1003

42,786

42,786

0,000

9759412TIDAL2

2,101

2,098

-0,003

73


Para determinar la precisión de las altitudes ortométricas fue necesario aplicar la Eq. 2.170. En la

Tabla 4.4 se muestran los valores de la altitud ortométrica y su desviación estándar para cada una de

las estaciones del PRVD02. Como podemos apreciar, la desviación estándar de las altitudes ortométricas

varía desde ±1,1 milímetros en la estación más cercana al origen de la línea de nivelación hasta un valor

máximo de ±7,4 milímetros en la estación más alejada del origen de la línea. En el Anexo 5 podemos

encontrar un detalle del cómputo de la precisión de las altitudes ortométricas Helmert.

4.1.1.6. Determinación de la ondulación del geoide geométrico

Para computar los valores de la ondulación del geoide geométrico en cada una de las estaciones de

la línea de nivelación, fue necesario utilizar los valores de las altitudes ortométricas y de las altitudes

elipsóidicas. Aplicando la Eq. 2.171 podemos determinar la ondulación del geoide geométrico(NGeo

). En

la Tabla 4.5 podemos ver los valores de la ondulación del geoide geométrico en cada una de las estaciones

de la línea de nivelación del PRVD02.

Utilizando la Eq. 2.172 podemos determinar la precisión de la ondulación del geoide geométrico. La

misma fue computada considerando la desviación estándar máxima de la altitud elipsóidicas y de la

altitud ortométrica. Como hemos mencionado, el valor máximo de la desviación estándar de la altitud

elipsóidica fue de ±0,0053 metros mientras que la desviación estándar máxima de la altitud ortométrica

fue de ±0,0074 metros. Aplicando la Eq. 2.172:

σNGeo =

√((0, 0053)

2+ (0, 0074)

2)

Encontrando que la precisión de la ondulación del geométrico era:

σNGeo = ±0, 0091metros

Esto indica que la ondulación del geoide geométrico, computado utilizando los datos de campo, va a

tener una precisión que estará por debajo del centímetro. Precisión mucho mayor que la de los modelos

geopotenciales globales y regionales con los que en el mejor de los casos, se podría obtener una precisión

relativa de al menos ±2,8 cm. como era el caso del GEOID09 (Roman et al., 2010a).

4.1.2. Análisis de la precisión de los incrementos de la ondulación del geoide

Tras determinar los valores de la ondulación del geoide geométrico se procedió a determinar los valores

absolutos de la ondulación del geoide utilizando los distintos modelos geopotenciales. Para calcular la

ondulación de geoide con el EGM96 (Lemoine et al., 1998), se utilizó una aplicación desarrollada por la

Agencia Nacional de Imágenes y Cartografía de los Estados Unidos de América llamada NIMA EGM96

Calculator (Ver. 1.0). Para determinar los valores de la ondulación de geoide con el EGM2008 (Pavlis

et al., 2008), se utilizó una aplicación en FORTRAN llamada hsynth_WGS84.exe. Los valores absolutos

de la ondulación del geoide del modelo geopotencial regional del GEOID12A (Roman y Weston, 2012)

fueron determinados utilizando una aplicación de la página web del NGS http://www.ngs.noaa.gov/cgi-

bin/GEOID_STUFF/geoid12_prompt1.prl.

En la Tabla 4.6 podemos ver un detalle de los resultados obtenidos para el cómputo de los valores de

la ondulación de geoide en la estación de origen del PRVD02 :

74

http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/GEOID_STUFF/geoid12_prompt1.prl

http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/GEOID_STUFF/geoid12_prompt1.prl


Tabla

4.4:

Valores

delasaltitudesortométricasconsu

desviación

estánd

ar.

Estación

Alt.Ortométrica

DesviaciónEstándar

Estación

Alt.Ortométrica

DesviaciónEstándar

(metros)

±(m

etros)

(metros)

±(m

etros)

SJ2

18,344

0,0011

NC42

37,154

0,0041

SJNSH32

27,069

0,0008

G1003

27,282

0,0042

GUN

15,847

0,0008

NC44

57,072

0,0043

SJNSH33

35,479

0,0009

MANATI2

21,221

0,0045

B1001

2,569

0,0012

P1003

1,004

0,0046

A1002

1,588

0,0012

Q1003

2,315

0,0047

DIAZ

5,845

0,0014

R1003

2,000

0,0047

C1002

4,766

0,0014

S1003

1,130

0,0048

PRMP3

6,535

0,0016

V1003

7,039

0,0050

SANABRIA

3,927

0,0016

U1003

8,489

0,0050

J1002

10,954

0,0018

X1003

3,028

0,0052

K1002

21,336

0,0020

A1004

3,021

0,0054

L1002

33,307

0,0021

D1004

4,350

0,0055

N1002

44,328

0,0024

E1004

3,261

0,0056

NC81

60,945

0,0025

F1004

6,074

0,0056

NC82

51,743

0,0025

P1004

12,156

0,0059

S1002

12,507

0,0029

S1004

8,252

0,0060

T1002

20,687

0,0029

T1004

48,451

0,0060

NC06

27,831

0,0030

V1004

6,350

0,0061

NC07

45,150

0,0031

X1004

53,431

0,0061

U1002

52,438

0,0032

Y1004

61,342

0,0062

V1002

60,877

0,0032

G1005

60,166

0,0066

W1002

63,861

0,0033

J1005

48,980

0,0066

Q1004

58,617

0,0034

M1005

108,203

0,0068

NC09

48,099

0,0034

N1005

109,558

0,0068

X1002

26,817

0,0034

Q1005

127,390

0,0069

Y1002

22,909

0,0035

R1005

131,073

0,0069

NC14

17,921

0,0036

AGUAUSCGB

138,982

0,0070

C1003

33,617

0,0037

T1005

141,364

0,0071

NC19

71,354

0,0038

U1005

147,903

0,0071

E1003

37,894

0,0039

VELEZ

134,319

0,0073

BERRIO

S43,368

0,0040

G1006

23,619

0,0074

F1003

42,786

0,0041

9759412TIDAL2

2,098

0,0074

75


Tabla

4.5:

Valores

dela

ondu

lación

delgeoide

geom

étrico

enlasestaciones

dela

línea

denivelación

delPRVD02.

Estación

Alt.Elipsoidal

Alt.Ortométrica

NGeo

Estación

Alt.Elipsoidal

Alt.Ortométrica

NGeo

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

SJ2

-24,807

18,344

-43,151

NC42

-5,802

37,154

-42,956

SJNSH32

-16,071

27,069

-43,140

G1003

-15,734

27,282

-43,016

GUN

-27,383

15,847

-43,230

NC44

14,168

57,072

-42,904

SJNSH33

-7,778

35,479

-43,257

MANATI2

-21,674

21,221

-42,895

B1001

-40,477

2,569

-43,046

P1003

-42,922

1,004

-43,926

A1002

-41,404

1,588

-42,992

Q1003

-41,782

2,315

-44,098

DIAZ

-36,852

5,845

-42,697

R1003

-42,286

2,000

-44,287

C1002

-37,754

4,766

-42,520

S1003

-43,250

1,130

-44,381

PRMP3

-36,055

6,535

-42,590

V1003

-37,292

7,039

-44,331

SANABRIA

-38,317

3,927

-42,244

U1003

-35,932

8,489

-44,421

J1002

-31,244

10,954

-42,198

X1003

-41,593

3,028

-44,621

K1002

-20,898

21,336

-42,234

A1004

-41,447

3,021

-44,468

L1002

-8,909

33,307

-42,216

D1004

-39,775

4,350

-44,126

N1002

2,259

44,328

-42,070

E1004

-40,842

3,261

-44,104

NC81

18,844

60,945

-42,101

F1004

-37,651

6,074

-43,726

NC82

9,593

51,743

-42,150

P1004

-32,466

12,156

-44,623

S1002

-29,799

12,507

-42,306

S1004

-36,391

8,252

-44,643

T1002

-21,701

20,687

-42,388

T1004

4,053

48,451

-44,398

NC06

-14,456

27,831

-42,287

V1004

-38,190

6,350

-44,540

NC07

2,769

45,150

-42,381

X1004

9,072

53,431

-44,360

U1002

10,109

52,438

-42,329

Y1004

17,038

61,342

-44,304

V1002

18,637

60,877

-42,240

G1005

15,550

60,166

-44,616

W1002

21,562

63,861

-42,299

J1005

4,543

48,980

-44,438

Q1004

16,174

58,617

-42,443

M1005

63,974

108,203

-44,229

NC09

5,595

48,099

-42,504

N1005

65,337

109,558

-44,221

X1002

-15,676

26,817

-42,493

Q1005

83,247

127,390

-44,143

Y1002

-19,447

22,909

-42,356

R1005

87,060

131,073

-44,013

NC14

-24,546

17,921

-42,466

AGUAUSCGB

95,095

138,982

-43,887

C1003

-8,912

33,617

-42,529

T1005

97,498

141,364

-43,866

NC19

28,658

71,354

-42,696

U1005

104,039

147,903

-43,864

E1003

-4,926

37,894

-42,820

VELEZ

90,431

134,319

-43,888

BERRIOS

0,636

43,368

-42,732

G1006

-20,611

23,619

-44,229

F1003

-0,016

42,786

-42,802

9759412TIDAL2

-42,200

2,098

-44,298

76


Tabla 4.6: Resultados del cómputo de los valores de la ondulación del geoide en la estación de origen dela línea de nivelación del PRVD02.

Estación de Origen 975 5371 A TIDAL

Latitud 18,45895453 NGeo. -42,978 metros

Longitud -66,11644616 NEGM96 -44,242 metros

Altitud Elipsóidica -41,644 metros NEGM2008 -45,199 metros

Altitud Ortométrica 1,334 metros NGEOID12A -42,985 metros

Dónde:

NEGM96: ondulación del geoide EGM96 (metros)

NEGM2008: ondulación del geoide EGM2008 (metros)

NGEOID12A:ondulación del geoide GEOID12A (metros)

En la Tabla 4.7 se muestran los valores absolutos de la ondulación de geoide obtenidos utilizando los

modelos geopotenciales globales y y el modelo geopotencial regional.

Cuando comparamos los valores de la ondulación del geoide obtenidos con los modelos geopotenciales

globales con el valor de la ondulación del geoide obtenido con el modelo geopotencial regional y el valor

de la ondulación del geoide geométrico, encontramos diferencias del rango de los dos metros. Puesto que

cada modelo tiene un origen (dátum) diferente, se procedió a analizar los incrementos de la ondulación

del geoide, es decir las diferencias de los valores de la ondulación del geoide entre cada par de estaciones

comenzando en la estación de origen del PRVD02. Al momento de realizar esta operación, el factor de

diferencia de dátum se elimina y no afecta el resultado. Tras determinar los valores de la ondulación

del geoide con cada uno de los modelos geopotenciales, se procedió a determinar las diferencias entre los

incrementos de la ondulación del geoide de cada uno de los modelos con los incrementos de la ondulación

del geoide geométrico utilizando las siguientes ecuaciones:

∇4NGeo−EGM96 = 4NGeo −4NEGM96 (4.6)


∇4NGeo−GEOID12A = 4NGeo −4NGEOID12A (4.8)

La precisión de cada modelo fue determinada utilizando la siguiente expresión que nos permite deter-

minar la desviación estándar de las diferencias de los incrementos de la ondulación de geoide para cada

uno de los casos:

σ∇4NGeo−Modelo =

√√√√(∑ (δi − δAve.)2

n

)(4.9)

Dónde:

δi : Diferencia de los incrementos de la ondulación del geoide entre estaciones de referencia (metros)

δAve. : Promedio de los diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide (metros)

n : Número de estaciones de referencia observadas (66)

77


Tabla

4.7:

Valores

dela

ondu

lación

delgeoide

enla

línea

denivelación

delPRVD02obtenida

conlosdistintosmodelos

geopotenciales.

Estación

NEGM

96

NEGM

2008

NGEOID

12A

Estación

NEGM

96

NEGM

2008

NGEOID

12A

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

SJ2

-44,406

-45,340

-43,112

NC42

-44,224

-45,123

-42,907

SJNSH32

-44,438

-45,403

-43,202

G1003

-44,266

-45,166

-42,953

GUN

-44,427

-45,396

-43,196

NC44

-44,204

-45,070

-42,864

SJNSH33

-44,481

-45,449

-43,252

MANATI2

-44,268

-45,092

-42,897

B1001

-44,301

-45,220

-42,988

P1003

-45,090

-46,007

-43,804

A1002

-44,252

-45,177

-42,944

Q1003

-45,238

-46,169

-43,969

DIAZ

-43,968

-44,869

-42,639

R1003

-45,457

-46,393

-44,200

C1002

-43,856

-44,758

-42,529

S1003

-45,530

-46,451

-44,267

PRMP3

-43,880

-44,763

-42,538

V1003

-45,569

-46,426

-44,256

SANABRIA

-43,505

-44,442

-42,230

U1003

-45,661

-46,512

-44,345

J1002

-43,458

-44,392

-42,186

X1003

-45,907

-46,671

-44,505

K1002

-43,417

-44,346

-42,140

A1004

-45,908

-46,577

-44,418

L1002

-43,433

-44,361

-42,155

D1004

-45,653

-46,174

-44,015

N1002

-43,303

-44,206

-41,999

E1004

-45,650

-46,142

-43,984

NC81

-43,287

-44,181

-41,976

F1004

-45,348

-45,809

-43,646

NC82

-43,336

-44,236

-42,031

P1004

-46,372

-46,673

-44,527

S1002

-43,556

-44,469

-42,272

S1004

-46,461

-46,691

-44,548

T1002

-43,580

-44,494

-42,298

T1004

-46,225

-46,441

-44,295

NC06

-43,557

-44,462

-42,265

V1004

-46,458

-46,594

-44,459

NC07

-43,589

-44,494

-42,298

X1004

-46,366

-46,406

-44,273

U1002

-43,555

-44,448

-42,252

Y1004

-46,352

-46,344

-44,207

V1002

-43,524

-44,404

-42,208

G1005

-47,034

-46,671

-44,521

W1002

-43,585

-44,464

-42,270

J1005

-46,920

-46,494

-44,344

Q1004

-43,679

-44,572

-42,379

M1005

-46,813

-46,268

-44,132

NC09

-43,727

-44,628

-42,434

N1005

-46,812

-46,241

-44,107

X1002

-43,748

-44,650

-42,455

Q1005

-46,793

-46,171

-44,040

Y1002

-43,700

-44,584

-42,388

R1005

-46,741

-46,102

-43,969

NC14

-43,697

-44,568

-42,370

AGUAUSCGB

-46,676

-46,030

-43,892

C1003

-43,823

-44,700

-42,493

T1005

-46,641

-46,001

-43,862

NC19

-43,993

-44,828

-42,617

U1005

-46,605

-45,982

-43,839

E1003

-44,075

-44,976

-42,757

VELEZ

-46,539

-46,080

-43,903

BERRIO

S-44,058

-44,946

-42,726

G1006

-46,785

-46,377

-44,203

F1003

-44,101

-44,983

-42,764

9759412TIDAL2

-46,826

-46,430

-44,261

78


En el Anexo 6 se presentan los cómputos del análisis de los incrementos para determinar la precisión de

los modelos del geoide a lo largo de la línea de nivelación. En la Tabla 4.8 se presenta un resumen de

los resultados encontrados al realizar el análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación del

geoide en las estaciones permanentes de la línea de nivelación.

Tabla 4.8: Resumen de los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulacióndel geoide.

∇4maximo ∇4mınimo σ

∇4NGeo−EGM96 0,370 metros 0,001 metros ± 0,055 metros

∇4NGeo−EGM2008 0,126 metros 0,001 metros ± 0,029 metros

∇4NGeo−GEOID12A 0,129 metros 0,001 metros ± 0,030 metros

Es notable resaltar que al igual que en los trabajos de Kotsakis et al. (2010), Jekeli et al. (2009a) y Bursa

et al. (2009), el EGM2008 supera notablemente la precisión del EGM96. De la misma manera podemos

decir que como en los trabajos de Huang y Veronneau (2009), el EGM2008 tiene una precisión comparable

con la de un modelo geopotencial regional, cumpliendo así con las expectativas de los desarrolladores

del EGM2008 que indicaron que este modelo comparará en su calidad con los modelos geopotenciales

regionales y locales (Pavlis et al., 2008).

4.1.3. Análisis de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las

distancias entre líneas observadas y las diferencias de elevación entre

estaciones permanentes

Una de las interrogantes planteadas al principio de la investigación era si la distancia entre las líneas

bases observadas y las diferencias en la altitud ortométrica entre las estaciones permanentes afectarían

de alguna manera los resultados del análisis de los incrementos de la ondulación del geoide. Para realizar

este análisis se consideraron 201 líneas base que fueron observadas con GNSS. Se procedió a determinar

las distancias existentes entre las estaciones que conformaban las líneas base que interesábamos analizar.

Luego se procedió a determinar las diferencias de la altitud ortométrica entre estas estaciones. Utilizando

los valores absolutos de la ondulación del geoide, tanto geométrico como el de los modelos geopotenciales,

se procedió a computar los incrementos de ondulación del geoide entre las estaciones. Finalmente compu-

tamos las diferencias entre los incrementos de la ondulación del geoide geométrico y los incrementos de la

ondulación del geoide de los modelos geopotenciales.

Como podemos observar en la Figura 4.4 donde se muestran las diferencias en los incrementos de la

ondulación del geoide en función de la distancia entre las líneas base, analizando el comportamiento del

EGM96 (línea entrecortada), al calcular ∇4NGeo−EGM96

mientras mayor es la distancia entre las líneas

base, mayor es la diferencia entre los incrementos de las ondulación del geoide, algo que no sucede con el

EGM2008 (línea contínua).

79


Figura 4.4: Diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las distancias entrelíneas base.

En el caso de la Figura 4.5 donde se presentan las diferencias de los incrementos de la ondulación

del geoide en función de las diferencias de altitud entre líneas base, si analizamos el comportamiento

del EGM96 (línea entrecortada) cuando calculamos el ∇4NeoGeo−EGM96, su comportamiento es muy

irregular, en contraste con el EGM2008 (línea contínua) que muestra un comportamiento muy regular,

sin importar las diferencias de altitud entre las líneas base.

Figura 4.5: Diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las diferencias dealtitud entre estaciones permanentes.

80


Este análisis muestra lo sensible que era el modelo geopotencial EGM96 cuando se consideraba el

factor distancia y la diferencia en altitud entre líneas base. De la misma manera podemos decir que el

modelo geopotencial EGM2008 no se ve afectado por estas variaciones. En el Anexo 7 se encuentran los

resultados del análisis de los incrementos de la ondulación del geoide de los modelos EGM96 y EGM2008

considerando las distancias y las diferencias de alturas entre las líneas base.

4.1.4. Ajuste de los valores absolutos de la ondulación del geoide obtenido

utilizando los distintos modelos geopotenciales globales

Como habíamos mencionado anteriormente, los valores absolutos de la ondulación del geoide de los

distintos modelos geopotenciales di�eren unos de otros debido a que el origen o dátum de cada modelo

es diferente. Por esta razón fue necesario realizarle un ajuste a los valores absolutos obtenidos con los

modelos geopotenciales para corregir esta diferencia y así poder aplicarlos directamente. Las diferencias de

los valores absolutos de la ondulación del geoide fueron determinados utilizando las siguientes ecuaciones:

δi = NGeo −NEGM96 (4.10)

δi = NGeo −NEGM2008 (4.11)

Al determinar el promedio de las diferencias de los valores absolutos de la ondulación del geoide,

obtuvimos los siguientes resultados:

δAve.(NGeo −NEGM96

)= 1, 575metros

δAve.(NGeo −NEGM2008

)= 2, 125metros

Introduciendo este ajuste al valor absoluto de la ondulación del geoide obtenido utilizando los modelos

geopotenciales, obtenemos entonces:

NEGM96Adj. = NEGM96 + 1, 575metros

NEGM2008Adj. = NEGM2008 + 2, 125metros

El procedimiento utilizado para determinar la precisión de los valores ajustados de la ondulación

del geoide fue similar al procedimiento utilizado para determinar la precisión de los incrementos de la

ondulación del geoide. En este caso calculamos directamente las diferencias entre los valores absolutos de

la ondulación del geoide geométrico y los valores absolutos ajustados de la ondulación del geoide obtenido

con los modelos geopotenciales. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

σNEGM96Adj. = ±0, 302metros

σNEGM2008Adj. = ±0, 030metros

81


Al determinar la precisión del GEOID12A utilizando los valores de la ondulación del geoide sin reali-

zarle ningún tipo de ajuste, encontramos que la misma fue:

σNGEOID12A. = ±0, 036metros

Lo que demuestra que efectivamente la precisión del modelo EGM2008 es comparable y como en

este caso superior con la precisión del modelo regional GEOID12A. En el Anexo 8 se presentan los

cómputos del análisis para determinar la precisión de los modelos GEOID12A y los modelos EGM96 y

EGM2008 ajustados. En las Figuras 4.6 y 4.7 se presentan las grá�cas con los resultados del ajuste de los

valores obtenidos de la ondulación del geoide utilizando los modelos geopotenciales EGM96 y EGM2008

respectivamente comparado a su vez con los valores obtenidos de la ondulación del geoide geométrico

(línea continua).

Figura 4.6: Per�l de la Ondulación del Geoide obtenido con el EGM96 Ajustado.

Podemos observar en la Figura 4.6 que el EGM96 Ajustado no coincide con la ondulación del geoide

geométrico. Un comportamiento completamente diferente al del EGM2008 Ajustado de la Figura 4.7

donde encontramos que tiene una precisión de ±0,030 metros. Cumpliendo así con las expectativas de

sus desarrolladores, que indicaban que el EGM2008 alcanzaría una precisión similar a la de los modelos

geopotenciales regionales (Pavlis et al., 2008) contrario a lo sucedido con el EGM96 que su precisión fue

de ±0,302 metros.

82


Figura 4.7: Per�l de la Ondulación del Geoide obtenido con el EGM2008 Ajustado.

4.2. Determinación del modelo digital topo-batimétrico para la

zona de estudio

Para realizar los trabajos de la determinación de un modelo del geoide gravimétrico es indispensable

contar con un modelo digital topo batimétrico con la mejor resolución posible. En nuestro estudio se

utilizó el mismo para realizar las correcciones topográ�cas y para determinar las correcciones isostáticas

que serán la base para poder emplear la metodología que nos permitirá determinar las anomalías aire libre

partiendo de un modelo digital del terreno. (Jekeli et al., 2009b) Como mencionamos en la Sección 3.3, el

modelo digital del terreno utilizado en nuestro estudio es el SRTM3. Tras descargar los �cheros existentes

para la región de Puerto Rico desde la página web de la NASA, fue necesario realizar un pre-procesamiento

del modelo que nos permitiera hacer un mosaico con todas las imágenes descargadas y que el mismo no

incluyera zonas con datos nulos o no data.

4.2.1. Pre-procesamiento del modelo digital del terreno SRTM3

Tras descargar los �cheros, encontramos que los mismos estaban en formato ráster. Por lo tanto fue

necesario combinar todas las capas y preparar un mosaico. Para esta operación se utilizó un programa

de manejo de información geográ�ca en formato libre llamado Quantum GIS. Una vez creado el mosaico,

fue convertido a formato ráster de Grass. El programa Grass, es también uno de formato libre pero

especializado en el procesamiento de imágenes y mapas. Se estableció un área de trabajo considerando

que siempre se mantuviera la misma resolución del paso de malla original igual a 0,000833333.

83


El problema principal que tenían los �cheros del SRTM3 eran las celdas con datos nulos. El SRTM3

identi�ca estas celdas con un valor de -32768,0000. Utilizando la aplicación r.�llnulls de Grass, fue posible

asignarle un valor de dato nulo a estas celdas y utilizando un proceso automático de interpolación lineal se

procedió a rellenar estas celdas considerando los valores de los datos vecinos. Esta operación nos permitió

obtener un modelo digital del terreno sin datos extremos ni datos nulos. En la Figura 4.8 se presenta la

imagen del SRTM3 en formato ráster tras el pre-procesamiento para la zona de Puerto Rico comprendida

entre los paralelos 17,5 � 19, 0 grados Norte y los meridianos 65,0 � 68,0 grados Oeste.

Figura 4.8: Modelo digital del terreno SRTM3 de Puerto Rico.

Para la exportación del �chero en formato ráster de Grass, se utilizó el programa Quantum GIS.

Mediante la aplicación de conversión de formato, se obtiene un �chero en formato vectorial (longitud,

latitud, elevación) que será el formato que utilizaremos a lo largo de nuestra investigación.

4.2.2. Generación de curvado a cota cero y extracción de las líneas de costa

Otro de los problemas a los cuales nos enfrentamos, es que el modelo SRTM3 de�ne los mares como

zonas con elevación de cero. Para poder realizar las operaciones de correcciones topográ�cas y las co-

rrecciones isostáticas es necesario contar con datos de profundidad en la zona marítima. Por esta razón

fue necesario eliminar estos datos de elevación cero para luego sustituirlos por valores de profundidad

obtenidos con un modelo digital de batimetría. Para realizar estas operaciones fue necesario utilizar el

paquete de programas informáticos de Global Mapper.

Primeramente se procedió a �ltrar el SRTM3 utilizando la línea de costa y generó un modelo digital

del terreno que solamente incluye datos de la zona terrestre. En la Figura 4.9 se presenta una imagen

del resultado tras realizar el �ltrado. Como se puede apreciar claramente en la �gura antes mencionada,

solamente contamos con datos de elevación en la zona terrestre, por lo que ahora si es posible combinar

este modelo con un modelo batimétrico sin entrar en con�ictos con los datos con valor de cero que habían

en la zona marítima.

84


Figura 4.9: Modelo SRTM3 tras el �ltrado.

4.2.3. Combinación del modelo digital del terreno SRTM3 y el modelo bati-

métrico GEBCO08

Como mencionamos en la Sección 3.4, para la parte oceánica se utilizó el modelo digital de batimetría

del BODC, el GEBCO08, el cual consta de una resolución de 30 segundos de arco. (Ver Figura 4.10)

Tal como sucedió con el modelo SRTM3, el cual estaba en formato ráster y tenía datos nulos, el modelo

GEBCO08 tenía zonas donde no había datos y estas zonas estaban identi�cadas como datos nulos. Fue

necesario pre-procesar este modelo realizado un re muestreo pero manteniendo la misma resolución de 30

segundos de arco. Mediante un proceso automático de interpolación lineal del programa Global Mapper, se

lograron rellenar las zonas identi�cadas con datos nulos lo que nos permitió contar con un modelo digital

de batimetría con datos en todas sus celdas.

Figura 4.10: Modelo digital de batimetría GEBCO08.

85


Debido a que el modelo digital del terreno STRM3 tiene una resolución de 3 segundos de arco y el

GEBCO08 tiene una resolución de 30 segundos de arco, fue necesario remuestrear ambos modelos a una

misma resolución. Ya que deseamos mantener la mayor resolución posible en las zonas terrestres, decidimos

mantener el SRTM3 a una resolución de 3 segundos de arco y remuestrear el GEBCO08 de 30 segundos de

arco a una resolución de 3 segundos de arco. Ya con los dos modelos a una misma resolución, los mismos

fueron fusionados utilizando la aplicación de superposición de Global Mapper. La operación consistió en

sobreponer la imagen del SRTM3, que solo tiene datos terrestres, sobre la imagen del GEBCO08 el cual

consta con datos marinos y datos terrestres pero con menor resolución. Este procedimiento permitió

generar una imagen en la cual los datos terrestres pertenecen al modelo SRTM3 y en la zona marítima

datos del GEBCO08 a una resolución de 3 segundo de arco. En la Figura 4.11 se presenta una imagen del

resultado de la fusión de los modelos SRTM3 y GEBCO08 a una resolución de 3 segundos de arco.

Partiendo del modelo topo batimétrico fusionado, se procedió a exportar tres cuadriculas las cuales

serían utilizadas para realizar las correcciones topográ�cas y para las correcciones isostáticas. Por cuestión

de limitación en la capacidad de procesamiento de los ordenadores al momento realizar algunas operaciones

en el programa Matlab, fue necesario extraer tres cuadrículas en formato vectorial con un paso de malla

de 6 segundos de arco, 1 minuto y 5 minutos.

Figura 4.11: Fusión de los modelos SRTM3 y GEBCO08.

4.3. Validación de los datos de gravedad terrestre

Para implementar la mayoría de las aplicaciones geodésicas o geofísicas, es necesario contar con una

base de datos gravimétricos �able. Como hemos mencionado anteriormente, para realizar este trabajo

hemos tenido que acceder diferentes bases de datos las cuales contienen datos los cuales fueron obtenidos

en diferentes campañas en distintas épocas. Tanto las bases de datos del BGI como la del NOAA contienen

datos de gravedad recientes pero también poseen datos capturados a mediados del siglo XX antes de la

era del GNSS. Esto claramente indica la necesidad de realizar una revisión de dátum y veri�car si estos

86


datos están referenciados al elipsoide de referencia actual, el GSR80. Esta situación no acurre con la base

de datos de anomalías aire libre de Sandwell y Smith, la cual contiene datos obtenidos mediante altimetría

con satélite a partir de las campañas recientes del GEOSAT y del ERS-1. Para validar estos datos ha

sido necesario utilizar la validación por altimetría con SIG y la validación por colocación utilizando la

función de covarianza del potencial anómalo de Tscherning y Rapp (1974). Adicional a estas técnicas,

fue necesario aplicar varias de las técnicas propuestas por Sevilla et al. (1997a) para crear una base

de datos gravimétricos con�able como lo es la validación gra�ca inicial, la transformación de dátum, la

transformación de los datos al sistema de referencia del elipsoide actual y la búsqueda de observaciones

repetidas. En esta sección, también presentamos un resumen del análisis realizado para determinar la

calidad de los datos gravimétricos marinos descargados de la base de datos del BGI y de la página de la

NOAA.

4.3.1. Preparación de los datos

Previo a realizar la validación de datos de gravedad es necesario asegurarse que exista homogeneidad

entre los datos existentes y que se pueda garantizar la calidad de las observaciones gravimétricas. Para

estos efectos es necesario asegurarse que no existan observaciones repetidas, eliminar los posibles errores

groseros, asegurarse que todas las observaciones estén referenciadas al mismo dátum y que los datos

de gravedad estén referenciados al mismo elipsoide. En el caso de los datos de gravedad terrestre, la

información que provee el BGI permite realizar todos estos análisis previos. Aunque no se ofrecen detalles

especí�cos del tipo de instrumentación que se utilizó para realizar las observaciones gravimétricas ni de

cómo se determinaron las coordenadas geográ�cas y las altitudes, si tenemos las fechas de la campañas lo

que nos permite tener una idea como se determinaron las coordenadas geográ�cas y las altitudes.

Ya que las observaciones gravimétricas terrestres fueron obtenidas entre 1950 y 1967, entendemos

que estas observaciones fueron referenciadas utilizando los Cuadrángulos Topográ�cos de 7,5 minutos

desarrollados por el USGS. Estos planos topográ�cos fueron publicados en 1922 y los mismos se siguieron

utilizando hasta su revisión en el año 1960. Los planos revisados se utilizaron el hasta el año 2006 cuando

fueron sustituidos por los actuales modelos digitales de elevación del terreno. Esta información nos ayuda

a tener una idea de la precisión de las altitudes y de las coordenadas geográ�cas. En la Sección 4.3.2

discutiremos con más detalle los procedimientos utilizados para la validación por altimetría utilizando

SIG.

4.3.1.1. Validación grá�ca inicial

Inmediatamente fueron descargados los datos de las observaciones gravimétricas terrestres, las mismas

fueron organizadas en orden descendente considerando las longitudes y se le asignó un número identi-

�cador. Para realizar la validación gra�ca inicial, se gra�caron los 1894 datos de anomalías aire libre

publicadas por el BGI en función de los valores de las altitudes publicadas sin realizarle ningún tipo de

ajuste. (Ver Figura 4.12)

87


Figura 4.12: Grá�co inicial anomalías aire libre en función de las altitudes.

De este análisis inicial podemos identi�car claramente una observación que se encuentra completamente

fuera de la nube de puntos. Esta observación fue identi�cada y clasi�cada como una observación sospechosa

para luego analizarla con más detalle.

Como parte del proceso de validación gra�ca inicial, se procedió a subir los datos de anomalías aire

libre publicados por el BGI en una capa del programa Quantum GIS para determinar si había datos fuera

de la zona de trabajo. Esta capa fue superpuesta sobre el Modelo Digital del Terreno SRTM3 para la

zona de Puerto Rico. (Figura 4.13)

Figura 4.13: Vista inicial de los puntos de las anomalías aire libre sobre el terreno.

88


Tras proyectar los puntos, fue posible detectar que la mayoría de las observaciones que se encontraban

en la zona costera, se encontraban fuera de los contornos del SRTM3. Ya que estos datos eran exclusivos

de observaciones gravimétricas terrestres, fue posible deducir que existía un problema de dátum ya que

era muy poco probable que todos estos fueran errores groseros.

4.3.1.2. Transformación de Dátum NAD27 a NAD83

Como mencionamos en la sección anterior, al realizar la validación grá�ca inicial y proyectar las

observaciones gravimétricas en un Quantum GIS, nos percatamos que la mayoría de los puntos que estaban

localizados en las costas se encontraban fuera del contorno del SRTM3. Dada la fecha en que estas

campañas gravimétricas fueron realizadas, era muy probable que los planos de donde se interpolaron las

coordenadas geográ�cas estuvieran referenciados al dátum NAD27, que era el dátum utilizado en Puerto

Rico hasta que se estableció como dátum o�cial el NAD83. Utilizando una de las aplicaciones geodésicas

disponible en la página web del NGS se procedió a transformar los datos del dátum NAD27 a dátum

NAD83. Accediendo al siguiente enlace: http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/nadcon.prl, fue posible realizar

la transformación de dátum.

Para realizar esta operación fue necesario preparar un �chero en formato de texto que incluya los

valores de las latitudes y longitudes en grados decimales y se tomó como valor positivo la latitud norte

y la longitud oeste. Tras realizar la transformación de los datos al dátum NAD83, podemos apreciar que

existe un desplazamiento promedio de � 220,533 metros en la latitud y -40,444 metros en la longitud. En

la Tabla 4.9 se presenta un resumen de los resultados de la transformación de los datos del dátum NAD27

a NAD83.

Tabla 4.9: Resumen transformación de Dátum NAD27 a NAD83.

Desplazamiento NAD27 - NAD83Longitud Latitud

MIN MAX MIN MAX

Rango Desplazamiento (metros) -42,158 -39,557 -221,684 -218,781

Rango Desplazamiento (segundos) -1,434 -1,347 -7,210 -7,116

Desplazamiento promedio (metros) -40,444 -220,533

Varianza del desplazamiento promedio 0,367 0,510

Desv. Est. desplazamiento promedio 0,606 0,714

Desplazamiento promedio (segundos) -1,377 -7,173

Varianza del desplazamiento promedio 0,000 0,001

Desv. Est. desplazamiento promedio 0,021 0,023

Número total de transformaciones 1894

Realizada la transformación de dátum, se procedió a proyectar nuevamente los datos de las observacio-

nes gravimétricas en Quantum GIS y se pudo ver claramente como todas las observaciones se encontraban

en el contorno del SRTM3. (Figura 4.14)

89

http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/nadcon.prl


Figura 4.14: Vista �nal de los puntos de las anomalías aire libre sobre el terreno tras la corrección dedátum.

4.3.1.3. Transformación de las observaciones al Sistema GRS80

Uno de los problemas fundamentales al realizar trabajos con datos gravimétricos de distintas fuentes,

es determinar a qué sistema están referenciados. Los datos del BGI disponibles para la región de Puerto

Rico, como ya hemos mencionado anteriormente, fueron levantados por diferentes entidades privadas y

gubernamentales entre los años de 1950 y 1967. Ya que es necesario homogeneizar los mismos, se procedió

a recalcular el valor de la gravedad normal utilizando los parámetros de los sistemas geodésicos del GRS67

(IAG, 1971) y del GRS80 (Moritz, 2000). Este ejercicio nos permitió determinar a qué sistema estaban

referenciados los datos gravimétricos del BGI. Independientemente a que sistema geodésico estos datos

estuvieran referenciados, fue necesario recalcular el valor de la gravedad normal utilizando el sistema

geodésico de referencia actual, el GRS80.

Para transformar los datos de GRS67 a GRS80 o bien podemos utilizar la siguiente expresión (Moritz,

2000):

4gAL1980 −4gAL1967 = γ1980 − γ1967 =

(0, 8316 + 0, 0782 sin2 Φ− 0, 0007 sin4 Φ

)(4.12)

O también se pueden calcular directamente los valores de la gravedad normal del GRS80 utilizando

la Eq. 2.51:

γGRS80 = γe(1 + 0, 0052790414 sin2 Φ + 0, 0000232718 sin4 Φ + 0, 0000001262 sin6 Φ + 0, 0000000007 sin8 Φ

)ms−2

Donde γe es igual a 9,7803267715 m2s−2. Tal como hemos mencionado anteriormente, esta ecuacion

tiene una precisión de 10−10 o lo que es equivalente a 10−3mms−2 = 10−4mGal.

90


También se puede aplicar la Eq. 2.55, que es la serie convencional:

γGRS80 = 9, 780327(1 + 0, 0053024 sin2 Φ + 0, 0000058 sin2 2Φ

)ms−2

La cual tiene una precisón de solamente1mms−2 = 0, 1mGal

Ya que contamos con los valores de las coordenadas geográ�cas, la altitud y el valor de la gravedad,

podemos determinar los valores de la gravedad normal directamente y recalcular los valores de las anoma-

lías aire libre. En la Tabla 4.10 podemos apreciar los valores de las anomalías aire libre tras recalcular las

mismas aplicando las fórmulas correspondientes con los parámetros del GRS67 y GRS80 respectivamente.

Tabla 4.10: Tabla comparativa transformación de GRS67 a GRS80.

Longitud LatitudAltitud Gravedad 4gAL γGRS67 4g

ALGRS67 γGRS80 4gALGRS80

(metros) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal)

-67,2668 18,3562 14 978637,42 97,7 978544,061 97,67969547 978544,9961 96,7442728

Como podemos apreciar, los datos del BGI estaban referenciados al GRS67 por lo que fue necesario

recalcular todos los valores de la gravedad normal y los valores de las anomalías aire libre referenciados

al GRS80.

4.3.1.4. Búsqueda de observaciones repetidas

Esta operación consistió en comparar los datos del �chero descargado de la página del BGI y detectar

si las diferencias en sus coordenadas geográ�cas estaban por debajo de un límite de tolerancia previamente

establecido. Considerando la Metodología para la Creación de Bases de Datos Gravimétricos propuesta

por Sevilla et al. (1997a), se estableció que si dos observaciones mostraban una diferencia en su longitud

y latitud menor o igual a 0, 0005º serían considerados como observaciones repetidas.

Como hemos mencionado, los datos del �chero descargado de la página del BGI estaban organizados

en orden descendente con respecto a sus longitudes. Para poder detectar las observaciones repetidas,

fue necesario escribir una función en el programa de cálculo matemático Matlab. El mismo comparaba

las longitudes y latitudes de cada observación con la longitud y latitud de la observación anterior, se

determinaban las diferencias y se identi�caba si estas eran menores o iguales que el límite de tolerancia.

De esta manera seria posible determinar qué observaciones podrían ser consideradas como repetidas. Si

se detectaban dos observaciones como repetidas, se procedería a comparar los valores de las anomalías

residuales, es decir la diferencia entre las anomalías aire libre calculadas en ese punto con las anomalías aire

libre determinadas con el EGM2008. La observación que presentara el valor mayor de la anomalía residual,

se consideraría como sospechosa. Se decidió que este análisis fuera uno preliminar, donde solamente serían

identi�cados estas observaciones y clasi�cadas como sospechosas, luego tras realizar la validación por

altimetría, se procederá a determinar si estas observaciones eran �nalmente eliminadas. De este análisis

preliminar para determinar observaciones repetidas se identi�caron un total de 11 pares de observaciones

como sospechosas las cuales serían analizadas más adelante para �nalmente decidir cuáles de estas serían

�nalmente eliminadas.

91


4.3.2. Validación por altimetría

La validación por altimetría consistió en comparar los valores de las altitudes publicadas por el BGI

con los valores de las altitudes obtenidas con el modelo digital del terreno SRTM3. Para realizar este

análisis se siguió el siguiente procedimiento:

1. A partir del modelo digital del terreno SRTM3, mediante interpolación cúbica, se obtuvieron los

valores de las altitudes en las localizaciones donde se encontraban las observaciones descargadas de

la base de datos del BGI.

2. Se determinaron las diferencias entre las altitudes publicadas por el BGI con las altitudes obtenidas

a partir del SRTM3.

3. Para determinar el nivel de tolerancia que nos permitiría identi�car si una observación era conside-

rada como sospechosa a partir de la validación por altimetría, fue necesario considerar la precisión

de los cuadrángulos topográ�cos de donde se obtuvieron los valores de las altitudes publicadas por

el BGI. En el caso de los cuadrángulos topográ�cos, su precisión es la mitad de su intervalo de

cota, la cual es de 5 metros. Adicional a ésto, es necesario considerar que las medidas del SRTM3

son realizadas en la copa de los árboles y no exactamente sobre la super�cie de la Tierra. Consi-

derando la Metodología para la Creación de Bases de Datos Gravimétricos propuesta por Sevilla

et al. (1997a) se decidió establecer como nivel de tolerancia una diferencia entre ± 10 metros entre

la altitud publicada por el BGI y la obtenida a partir del SRTM3. Si una observación mostraba

una diferencia mayor de 10 metros entre la altitud publicada por el BGI y la obtenida a partir del

SRTM3, se consideraba como sospechosa. En la Tabla 4.11 se presenta un resumen de los resultados

obtenidos en el análisis de las altitudes.

Tabla 4.11: Resultados del análisis de la comparación de altitudes BGI � SRTM3.Altitudes BGI Altitudes SRTM3 Diferencias

(metros) (metros) (metros)

Promedio 122,0 125,319 -3,357

Desviación Estándar 160,2 159,220 23,259

Varianza 25653,4 25351,139 540,965

Máximo 925,2 924,156 510,213

Mínimo 0,0 -1,944 -287,645

Del análisis de validación por altimetría se encontraron 329 observaciones que tenían una diferencia mayor

de los 10 metros entre la altitud publicada por el BGI y la altitud obtenida a partir del SRTM3. Para

poder determinar si estas observaciones eran designadas como sospechosas, primeramente fue necesario

realizar un análisis visual. De este análisis pudimos encontrar que existía una observación que podría

ser considerada como un error grosero causado por alguna equivocación al momento de transcribir la

información medida en el campo. Llegamos a esta conclusión ya que la altitud publicada era 32 metros

y cuando veri�camos en los cuadrángulos topográ�cos de 7,5 minutos para esa zona en especí�co y en el

SRTM3, la altitud de esa localización era 320 metros. Este dato fue corregido.

Si consideramos que 329 datos de 1894 representan un 17% del total de las observaciones y que la

precisión planimétrica de los datos del BGI puede rondar entre los 200 metros (Furones y Capilla, 2008),

nos dimos a la tarea de analizar detalladamente si estas observaciones identi�cadas como sospechosas

fueron el resultado de algún tipo de error al momento de interpolar las coordenadas geográ�cas a partir de

92


los cuadrángulos topográ�cos de 7,5 minutos. En este caso nuestro interés era identi�car si las observaciones

que habían sido consideradas como sospechosos, al considerar un radio de 200 metros alrededor de estas,

poseían alguna localidad que tuviera una altitud que estuviera en el rango de ± 10 metros con respecto a

la altitud publicada por el BGI. Utilizando el programa Quantum GIS, y aplicando técnicas de algebra de

mapas, procedimos a realizar un análisis espacial. El procedimiento utilizado se describe a continuación:

1. Considerando solamente las observaciones que habían sido identi�cadas como sospechosas, se creó

una zona de amortiguamiento de 200 metros alrededor de estas observaciones. (Figura4.15)

Figura 4.15: Observación sospechosa con su zona de amortiguamiento.

2. Se procedió a sobreponer la capa que incluía las observaciones con sus zona de amortiguamiento sobre

el SRTM3. Se hizo un recorte el cual solamente se seleccionaban los lugares donde se encontraba

alguna celda del SRTM3 que tuviera una altitud que estuviera en el rango ± 10 metros cuando la

comparábamos con la altitud de la observación en consideración. (Figura 4.16)

Figura 4.16: Observación sospechosa con zonas del SRTM3 con diferencias entre ± 10 metros.

93


Esta operación nos permitió identi�car 62 observaciones que no poseían ninguna localización a su

alrededor que estuviera en el rango de ± 10 metros del valor de la altitud publicado por el BGI. Estas

observaciones fueron consideradas como puntos extremos y fueron eliminadas.

Continuando con el análisis, identi�camos 266 observaciones que si tenían localizaciones en un radio

de 200 metros con elevaciones entre el rango de ± 10 metros del valor publicado por el BGI. Utilizando

el programa Grass y aplicando algebra de mapas se determinaron unos polígonos para estas aéreas y

utilizando Quantum GIS se procedió a calcular los centróides de dichos polígonos. (Figura 4.17)

Figura 4.17: Observación sospechosa con los centróides en las zonas de diferencias de ± 10 metros.

Ya teniendo las coordenadas de estos centróides, las mismas se establecieron como las posibles nue-

vas localizaciones de estas observaciones. Luego se procedió a determinar las anomalías aire libre y las

anomalías del EGM2008 en las nuevas localizaciones. Para determinar si �nalmente estas observaciones

eran reubicadas a una nueva localización, fue necesario comparar las anomalías residuales en estas nuevas

ubicaciones con las anomalías residuales de los puntos en su ubicación original. Si la anomalía residual

disminuía en la nueva ubicación, procedíamos a reubicar la observación, de lo contrario sería determinada

como sospechosa. En casos de que una observación tuviera más de una nueva localización, procederíamos

a seleccionar aquella que minimizara la anomalía residual. (Figura 4.17)

Finalmente encontramos 179 observaciones que al ser reubicadas a su nueva localización minimizaron

las diferencias entre las anomalías aire libre y las anomalías del EGM2008. Además encontramos 87

observaciones que no mejoraron al ser reubicadas por lo que se procedió a clasi�carlas como puntos

erróneos y fueron eliminadas. En resumen, podemos decir que de las 1894 observaciones de anomalías aire

libre descargadas originalmente de la pagina del BGI, 329 fueron identi�cadas con diferencias mayores a

los 10 metros entre el valor de la altitud publicada por el BGI y la obtenida con el SRTM3. De estas

329 observaciones, 149 se eliminaron por considerarse como puntos extremos o erróneos. Sin embargo, 180

observaciones que tenían diferencias mayores de los 10 metros pudieron ser corregidas o reubicadas, lo

que nos deja un balance �nal de 1745 observaciones de anomalías aire libre validadas por altimetría. En

la Tabla 4.12se presenta un resumen de los resultados �nales de la validación por altimetría.

94


Tabla 4.12: Resumen validación por altimetría.Puntos con diferencias mayores de 10 metros 329

Puntos extremos 62

Puntos Erróneos 87

Total Puntos Eliminados (Extremos y Erróneos) 149

Puntos corregidos 1

Puntos reubicados 179

Total Puntos Corregidos y Reubicados 180

Este análisis de validación por altimetría nos garantiza que las 1745 observaciones gravimétricas va-

lidadas no tendrán una diferencia que exceda los 10 metros entre la altitud publicada por el BGI y la

altitud determinada con el SRTM3. En la Tabla 4.13 se presenta un resumen del análisis de altitudes tras

la validación por altimetría.

Tabla 4.13: Resultados de la comparación de altitudes BGI � SRTM3 tras la validación por altimetría.Altitudes BGI Altitudes SRTM3 Diferencias


Promedio 114,5 116,779 -2,281


Varianza 23912,9 23777,506 14,9721

Máximo 925,2 924,156 9,921

Mínimo 0,0 -1,944 -9,985

4.3.2.1. Resultado de la Búsqueda Final de Observaciones Repetidas

Tal como mencionamos en la Sección 4.3.1.4, tras realizar la validación por altimetría, era necesario

realizar un segundo análisis de búsqueda de observaciones repetidas para determinar cuáles �nalmente

serían eliminadas. De los 11 pares de observaciones que se detectaron e identi�caron como repetidas en el

análisis preliminar, se identi�caron 2 pares de observaciones en las cuales al menos una de sus observaciones

había sido clasi�cada como puntos extremos en la validación por altimetría. Es decir, la diferencia entre

la altitud publicada por el BGI y la altura determinada con el SRTM3 era mayor de los 10 metros y

no existía ningún lugar en un radio de 200 metros que tuviera esa altitud. Estos puntos extremos habían

sido eliminados en el procedimiento de validación por altimetría. Las restantes 9 pares de observaciones

identi�cadas como repetidas en el análisis preliminar fueron analizadas comparando los valores de las

anomalías residuales. Finalmente fueron eliminadas las 9 observaciones que presentaron una anomalía

residual mayor. Al realizar un segundo análisis de búsqueda de observaciones repetidas, encontramos que

había 2 pares de observaciones adicionales en las cuales al menos una de estas observaciones había sido

reubicada en la validación por altimetría. Las observaciones que se habían reubicado fueron consideradas

como sospechosas y se eliminaron.

En resumen, tras hacer el segundo análisis de búsqueda de observaciones repetidas, se eliminaron 9

observaciones que habían sido considerados como sospechosos en el análisis preliminar y 2 observaciones

adicionales las cuales habían sido reubicadas en la validación por altimetría, para un total de 11 obser-

vaciones eliminadas. Finalmente, de las 1745 observaciones validadas por altimetría, luego de eliminar los

11 puntos repetidos, tenemos un total de 1734 observaciones gravimétricas, lo que corresponde a un 92%

95


de los datos. Estas observaciones validadas serían utilizadas para realizar la validación matemática por

colocación.

4.3.3. Validación matemática de las anomalías residuales utilizando coloca-

ción

Los procedimientos de validación lo que buscan es garantizar que los datos que poseemos cumplan con

unos requisitos mínimos de calidad. Aunque existen varios paquetes informáticos que permiten realizar

este tipo de procedimientos, los mismos sirven para realizar una validación preliminar, pero si queremos

obtener una validación más robusta, es necesario utilizar algún tipo de modelo que considere alguna

función de covarianza. La validación matemática por colocación nos permite utilizar las características

estadísticas de los datos y utilizando una función, podemos predecir valores en las ubicaciones donde

tenemos datos observados y así poder comprobar su calidad. Ya que este proceso utiliza una función

de covarianza que se supone es representativa de las características estadísticas de las observaciones, al

predecir un valor en una ubicación donde ya conocemos su valor, si las diferencias sobrepasan un valor

previamente determinado, procedemos a considerar este punto como sospecho y considerar su eliminación.

Este proceso es uno repetitivo que se realiza hasta que no encontremos grandes diferencias entre los datos

que se predicen y nuestras observaciones. Mediante este procedimiento podemos garantizar que poseemos

una base de datos con�able.

Uno de los problemas principales que tiene la validación matemática por colocación es que los datos de

las anomalías aire libre y las anomalías de Bouguer están directamente relacionados con la altitud. Esto

produce que la validación por colocación no ofrezca unos resultados �ables por la alta correlación que

existe entre las anomalías y la altura. Para poder corregir esta situación, es necesario eliminar todos los

efectos de la topografía del terreno antes de realizar algún tipo de proceso de validación por colocación. En

nuestro caso, contamos con datos de gravedad, a los cuales se le han realizado una serie de reducciones que

eliminan prácticamente todos estos efectos causados por la topografía del terreno. Finalmente es necesario

restarle a las anomalías reducidas las anomalías aire libre de un modelo geopotencial, lo que nos permitiría

obtener unas anomalías residuales las cuales son mucho más suaves y fáciles de manejar.

Una de las funciones de covarianza más utilizada es la función de covarianza del potencial anómalo

de Tscherning y Rapp (1974). Esta función de covarianza local es una aproximación del desarrollo de la

función de covarianza global en armónicos esféricos.

COV(ψ, r, r

′)

= αN∑i=2

σerri

(R2

rr′

)Pi (cosψ) +

∞∑i=N+1

σ2i

A

(i− 1) (i− 2) (i+ 4)

(R2B

rr′

)i+1

Pi (cosψ)

(4.13)

Donde α es un factor de escala determinado a partir de las observaciones, R es el radio de la Tierra,

RB es el radio de la esfera de Bjerhammar, y el término A es una constante en unidades de(ms2

). Esta

función de covarianza será el modelo de función que utilizaremos en nuestra validación por colocación.

Para determinar los parámetros desconocidos, primeramente se debe calcular una función de covarianza

empírica.

COVest

(ψ, r, r

′)

=1

M

M∑n=1

4g (P )4g (Q) (4.14)

Donde M es el número de productos a partir de i's intervalos de muestra.

96


Estas fórmulas son calculadas utilizando los programas de Gravsoft (Tscherning et al., 1994) en su

modalidad de Python (Nielsen et al., 2012). Primeramente es necesario ejecutar el programa PyGrasoft

Launcher que es el programa que contiene el directorio con todos los programas que pueden ser ejecutados

por Gravsoft desde la plataforma de Python. (Figura 4.18)

Figura 4.18: Directorio de los programas de Gravsoft en la plataforma de Python. Fuente: PyGravsoft

Luego se procede a seleccionar el programa EMPCOV, el cual permite calcular la función empírica

la cual será la primera aproximación de la función de covarianza que será implementada para realizar

el procedimiento de colocación. (Figura 4.19) En este cálculo de la covarianza empírica es necesario

considerar que la zona de estudio no sea demasiado extensa, que los datos estén distribuidos de la manera

más homogénea posible y que la muestra no incluya datos sospechosos que no hayan sido eliminados en

las validaciones previas.

Figura 4.19: Programa EMPCOV para determinar la ecuación de covarianza empírica. Fuente: PyGravsoft

97


De esta función de covarianza empírica obtenemos un valor de covarianza el cual esta referenciado a

la altitud promedio de la zona de estudio. Estos resultados son utilizados como entrada en el próximo

programa que se ejecuta, COVFIT. (Figura 4.20) Este programa resuelve la función de covarianza del

potencial anómalo y se obtienen los factores α, A y RB . Pero para efectos prácticos, el factor A se

sustituye por la varianza de la anomalía de la gravedad a altitud cero ya que esta cantidad es mucho más

signi�cativa.

Figura 4.20: Programa COVFIT empleado para resolver la función de covarianza. Fuente: PyGravsoft

Finalmente se ejecuta el programa GEOCOL en el cual a partir de la función de covarianza y de los

parámetros obtenidos en el programa COVFIT, se obtienen los valores de las anomalías residuales en los

puntos donde ya tenemos datos observados. (Figura 4.21)

A partir de los resultados obtenidos a partir de la colocación, los mismos son comparados con los datos

observados en esos mismos puntos, se determinan las diferencias y si esta sobrepasa un valor previamente

establecido, se considera que esa observación es sospechosa y se elimina.

4.3.3.1. Resultados de la validación por colocación

Para poder realizar la validación por colocación, primeramente fue necesario implementar todas las

reducciones a la gravedad que han sido discutidas en la Sección 2.1.4. Al valor de la gravedad publicado

por el BGI fue necesario aplicarle la corrección por efectos atmosféricos δg. Adicionalmente a esto fue

necesario recalcular el valor de la gravedad normal γQ utilizando los parámetros del GRS80. Ya con estos

valores fue posible recalcular las anomalías aire libre a partir de la Eq. 2.133.

4gAL = gP + δg + 0, 3086H − γQ

98


Figura 4.21: Programa GEOCOL para realizar el procedimiento de colocación. Fuente: PyGravsoft

Para eliminar todos los efectos de la topografía del terreno, fue necesario aplicar la corrección clásica

por efectos del terreno (Eq.2.98) utilizando un programa en Matlab. Tras realizar esta corrección, se

procedió a calcular las anomalías de Faye aplicando la Eq. 2.132.

4gFaye = 4gAL + CT

Para obtener las anomalías residuales, las cuales serán las anomalías que se utilizaran para realizar

la validación por colocación, fue necesario determinar la anomalía aire libre del modelo geopotencial

EGM2008 para luego restarlas a las anomalías de Faye. (Eq. 2.135)

4gRes = 4gFaye −4gMG

99


Para realizar esta operación, se utilizó el programa GEOEGM de Gravsoft en su modalidad de Python,

en el cual se introduce un �chero con los valores de las anomalías de Faye, sus coordenadas geográ�cas y

la altitud de cada localización y el programa calcula el valor de la anomalía residual. (Figura 4.22)

Figura 4.22: Programa GEOEGM para calcular los valores de las anomalías residuales. Fuente: PyGravsoft

Para realizar la validación por colocación, a partir de las anomalías residuales, fue necesario dividir

nuestros datos en dos muestras homogéneas. Esto nos permitiría hacer una validación cruzada, es decir

con la Muestra A podemos predecir los valores de las anomalías residuales en estaciones ubicadas en la

Muestra B, de las cuales conocemos su valor real y viceversa.

Al ejecutar los programas EMPCOV, COVFIT y GEOCOL, en la primera iteración, el programa

GEOCOL identi�co una serie de observaciones, que a partir de los criterios del programa, eran considera-

dos como puntos repetidos. Para evitar posibles con�ictos en el proceso de validación decidimos señalar

estas observaciones como sospechosas. Estos pares de puntos fueron analizados de la misma manera que se

describe en la Sección 4.3.1.4 y se procedió a determinar que observación tenía un valor mayor de la ano-

malía residual y se procedió a eliminar. En total, en esta primera iteración se eliminaron 16 observaciones

identi�cadas como repetidas.

100


Para identi�car los errores groseros en el proceso de validación fue necesario utilizar la siguiente

condición:

|4gres −4gpred| > k√σ2 (4gres −4gpred) + σ2

4g (4.15)

Donde 4gres es el valor de la anomalía residual, 4gpred es el valor de la anomalía residual predicha en

la misma ubicación, k es una constante que aunque en la literatura generalmente se recomienda utilizar

un valor entre 2,5 y 3 (Furones y Capilla, 2008), nosotros tratando de ser más restrictivos le asignamos un

valor de 2. El termino σ24g es la varianza error de la observación y σ2 (4gres −4gpred) es la estimación

del error medio cuadrático de la diferencia entre 4gres −4gpred.

Si el valor de |4gres −4gpred| es mayor que k√σ2 (4gres −4gpred) + σ2

4g se considera esa observa-

ción como sospechosa y se procede a eliminar. Este proceso se repitió hasta que no se encontró ningún

punto que cumpliera con esta condición. En la Tabla 4.14 se presenta un resumen de los resultados

obtenidos en el procedimiento de validación por colocación.

Tabla 4.14: Resumen del resultado de la validación por colocación.Total de Observaciones 1734

Observaciones Repetidas 16

Observaciones Eliminadas 45

Total de Observaciones Eliminadas 61

Total de Observaciones Validadas 1673

Como podemos observar, fueron validados un total de 1673 datos de los 1894 datos originales que

fueron descargados de la página del BGI, lo que representa un 88% del total de los datos. Finalizado

el procedimiento de validación por colocación podemos decir que contamos con una base de datos gra-

vimétricos con�able lo que nos permitirá utilizar estas observaciones para la determinación del geoide

gravimétrico. En la Tabla 4.15 se muestran los estadísticos de los datos validados por altimetría y por

colocación.

Tabla 4.15: Estadísticos �nales de las observaciones validadas por altimetría y por colocación.Altitud 4gAL CT 4gFaye 4gEGM2008 4gRes

(metros) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal)

Promedio 107,1 130,775 9,934 140,710 131,928 8,781

Desviación Estándar 144,6 26,827 3,691 27,790 28,403 9,813

Varianza 20915,8 719,709 13,621 772,266 806,731 96,298

Máximo 875,1 233,881 31,326 245,205 227,972 55,426

Mínimo 0,0 74,527 4,675 86,158 74,799 -27,154

101


4.3.4. Análisis de los datos de gravedad marinos

Al momento de analizar datos gravimétricos marítimos, uno de los problemas que más afectan estas

medidas son los errores relacionados al momento de determinar las correcciones de Eötvös. (Sevilla et al.,

1997b). La corrección de Eötvös viene dada por la siguiente expresión (Telford y Sheri�, 1990):

δgEotvos = 4, 040V sinα cosφ+ 0, 001211V 2 (mGal) (4.16)

Donde V es la velocidad de la embarcación expresada en kilómetros por hora, α es el azimut de la

embarcación y φ es la latitud. Como podemos apreciar, esta corrección toma en consideración las coorde-

nadas geográ�cas de la localización donde se realiza la medida y la velocidad del barco. En la actualidad

con el advenimiento del GNSS, es posible obtener coordenadas geográ�cas con una gran precisión, el pro-

blema surge cuando tenemos medidas de gravedad que fueron realizadas en la era previa al GNSS como

es el caso de la mayoría de los datos descargados de la pagina del BGI y de la NOAA.

Como mencionamos en la Sección 3.1, de la base de datos del BGI logramos descargar 25330 datos de

gravedad marinos procedentes de 49 campañas gravimétricas entre los años de 1959 y 1988. El problema

principal con estos datos, aparte de no estar distribuidos uniformemente y tener muchísimas zonas sin

datos gravimétricos, es que solamente tenemos acceso a la fecha de la campaña, la empresa encargada de

recopilar los datos, los valores de la longitud, latitud, gravedad y los valores de las anomalías aire libre

y Bouguer. De estos datos no poseemos información de que equipo se utilizó al momentos de realizar las

medidas de gravedad ni de la velocidad del barco y la precisión de las coordenadas geográ�cas. Tampoco

se indica que correcciones se realizaron al momento de calcular las anomalías aire libre o Bouguer. Esta

carencia de información, nos limita grandemente la posibilidad de recalcular los valores de las anomalías

aire libre y realizar las correcciones por deriva y Eötvös. En el caso de los datos de la NOAA, la situación

no es muy diferente. De la página de la NOAA se descargaron un total de 138583 datos marinos divididos

en 81 campañas gravimétricas realizadas entre 1961 y 1998. La mayoría de los datos descargados de la

página del BGI están incluidos en la base de datos de la NOAA y aunque estos datos tienen información

adicional, no contamos con información detallada para todas las campañas para realizar las correcciones

antes mencionadas.

Para tener una idea de la calidad de los datos gravimétricos marinos, tomamos una muestra de los datos

de gravedad en los cruces en las líneas que tenían un mismo itinerario. En la Tabla 4.16 mostramos algunos

de los resultados encontrados. De este análisis encontramos diferencias que variaban desde 0,5 mGal en

cruces en una línea con un mismo itinerario hasta los 85,5 mGal en cruces de la misma línea. En el Anexo 9

se puede encontrar la información relacionada con las campañas gravimétricas incluidas en el muestreo. Al

analizar detalladamente las campañas incluidas en el muestreo, nos percatamos que en el caso de campañas

MW8908 y RC2605, las cuales mostraron las mayor diferencia en los cruces en un mismo itinerario, era

las únicas en las que se indicaba que equipo se utilizo para realizar las medidas gravimétricas y como se

determinaron las coordenadas geográ�cas. En las demás campañas de este muestreo no contábamos con

esa información. Esta situación no es muy diferente a la encontrada en las demás campañas sin cruces en

un mismo itinerario.

Tras analizar los datos gravimétricos marítimos y ante la carencia de información al momento de

intentar realizar las correcciones correspondientes, a la mala distribución espacial de los datos y a las

diferencias encontradas en algunos cruces de líneas con un mismo itinerario, se decidió descartar los

datos de gravedad marítima del BGI y de la NOAA. Estos serán sustituidos por los datos de la malla

102


de anomalías aire libre desarrollada por Sandwell y Smith. Esta malla proporciona datos de anomalías

aire libre distribuidos uniformemente en toda la zona marítima los cuales fueron obtenidos a partir de

altimetría por satélite.

Tabla 4.16: Muestreo de los cruces de líneas en un mismo itinerario.

Campaña Longitud LatitudGravedad Diferencia

(mGal) (mGal)

MW8908-66,48350 18,73040 978508,2

0,5-66,48322 18,73023 978508,7

MW8908-66,27168 18,53030 978592,0

85,5-66,27205 18,53000 978506,5

P485CB-66,86072 17,76786 978501,2

8,7-66,85980 17,76810 978509,9

P485CB-67,08344 17,70100 978493,8

2,5-67,08268 17,70085 978491,3

P385CB-65,26647 18,17545 978657,6

1,5-65,26686 18,17520 978656,1

P285CB-66,42136 18,67590 978561,3

3,7-66,42106 18,67570 978565,0

U371CB-66,64398 18,59858 978572,8

4,1-66,64437 18,59880 978576,9

CH057L01-66,17800 18,60387 978633,9

12,1-66,17930 18,60010 978621,8

CH057L01-66,12010 18,53328 978644,8

7,5-66,12350 18,53191 978652,3

CH046L01-67,53350 18,29350 978601,0

1,3-67,53730 18,29167 978599,7

CH044L01-65,17680 18,19426 978670,1

10,7-65,17660 18,19260 978659,4

CH034L01-65,96190 19,21201 978295,6

5,2-65,96250 19,20753 978300,8

RC2605-65,69215 17,66142 978576,3

51,5-65,69221 17,66271 978627,8

RC2605-65,69429 17,81901 978565,1

61,3-65,69454 17,81932 978626,4

RC2605-65,57698 17,76721 978544,8

75,3-65,57743 17,76654 978469,5

RC2605-65,74763 17,84011 978538,5

63,4-65,74753 17,83946 978475,1

RC2605-65,76196 17,84527 978532,4

71,9-65,76209 17,84427 978460,5

RC2605-65,36038 17,88011 978454,2

34,9-65,35928 17,87933 978489,1

103


4.4. Determinación de las anomalías de Faye

Como mencionamos en la sección anterior, como alternativa ante la pobre calidad de los datos gravi-

métricos marinos y ante la necesidad de tener datos para las zonas terrestres de la República Dominicana

y de las Islas Vírgenes Estadounidenses, fue necesario acceder a la base de datos de anomalías aire libre

obtenidos mediante altimétrica por satélite desarrollado por Sandwell y Smith (2009) para el Instituto

Oceanográ�co de la Universidad de California. Esta malla ofrece datos de anomalías aire libre tanto en

las zonas marinas como para zonas terrestres. Información muy útil ya que para calcular el geoide es

necesario tener datos no solamente del área donde se computara el geoide, sino de una zona que abarque

un radio de cerca de 200 kilómetros alrededor de cada uno de las estaciones donde interesamos calcular

el geoide. Por esta razón fue necesario incluir la región este de la República Dominicana y algunas de las

Islas Vírgenes Estadounidenses. De esta base de datos fueron descargados cerca de 160000 datos entre los

paralelos 15,0 � 21,0 grados Norte y entre los meridianos 63,0 � 70,0 grados Oeste. La resolución de este

�chero era de de 0,0167 minuto de arco en la longitud y 0,0157 minutos de arco en la latitud, por lo que

se hizo necesario remuestrearlo para así tener una resolución uniforme tanto en la longitud como en la

latitud.

Para realizar esta operación se utilizó el programa de información geográ�ca ArcGIS. Primeramente se

creó un �chero con los valores de las anomalías aire libre en formato shape. Los �cheros tipo shape son unos

archivos informáticos utilizados para representar información en los sistemas de información geográ�ca.

Estos �cheros tienen un formato vectorial de almacenamiento digital donde se guarda la localización de

los elementos geográ�cos y los atributos asociados a ellos. En este caso tenemos guardados los datos de

la longitud, latitud y anomalía aire libre para cada estación de la malla. Para remuestrear esta malla,

fue necesario convertir la misma a formato ráster, es decir, tipo imagen. Utilizando herramientas de

análisis geoestadístico del programa ArcGIS, se procedió a aplicar una interpolación automática de kriging

ordinario. (Ver Figura 4.23).

Figura 4.23: Interpolación kriging de las anomalías aire libre obtenidas mediante altimetría por satélite.

104


Tras la interpolación kriging, para determinar los valores de cada celda se creó un �chero en formato

ráster el cual tuviera una resolución uniforme tanto en la longitud como en la latitud. En este caso se

remuestrearon los datos para que cada celda tuviera una resolución de 0,016666666667 minuto de arco. Ya

en formato ráster, se subió esta imagen como una capa en ArcGIS y haciendo una operación de conversión

de formato ráster a punto se le asignó a cada celda el valor de la anomalía aire libre a un punto central.

Utilizando el programa Quantum GIS y aplicando una operación de conversión, se procedió a extraer las

coordenadas geográ�cas de cada una de las estaciones, obteniendo así un �chero en formato vectorial el

cual contiene los valores de las nuevas coordenadas geográ�cas y el valor de la anomalía aire libre a una

resolución de 1 minuto de arco.

Utilizando el �chero en formato vectorial con las anomalías aire libre, el próximo paso a realizar fue

identi�car qué puntos de la malla quedaban en la zona terrestre y cuales quedaban en la zona marítima.

Para esta operación fue necesario crear dos �cheros en formato ráster: uno que de�nieran las zonas

terrestres y otro que de�niera las zonas marítimas. Sobreponiendo la imagen ráster de la zona terrestre

sobre la capa de anomalías aire libre en formato vectorial, se procedió a realizar un recorte para extraer

los puntos que estaban ubicados en la zona terrestre. (Ver Figura 4.24)

Figura 4.24: Recorte para extraer los puntos con valores de anomalías aire libre para la zona terrestre.

Ya en formato ráster, se subió esta imagen como una capa en ArcGIS y haciendo una operación de

conversión de formato ráster a punto se le asignó a cada celda el valor de la anomalía aire libre a un punto

central. Finalmente utilizando el programa Quantum GIS y aplicando una operación de conversión, se

extrajeron las coordenadas geográ�cas de cada una de las estaciones, obteniendo así un �chero en formato

vectorial el cual contiene los valores de las nuevas coordenadas geográ�cas y el valor de la anomalía aire

libre a una resolución de 1 minuto de arco. De la misma manera, esta operación fue realizada utilizando

la imagen ráster de la zona marítima para determinar los puntos con valores de anomalías aire libre que

estuvieran en esta zona. (Ver Figura 4.25)

105


Figura 4.25: Recorte para extraer los puntos con valores de anomalías aire libre para la zona marítima.

Tras realizar estos recortes, fue necesario hacer un análisis visual para determinar si todos los puntos

de la malla habían sido clasi�cados como estaciones marítimas o terrestres. Encontramos varios errores

en algunas estaciones que no habían sido clasi�cadas, las mismas no habían sido incluidas en ninguno

de los dos recortes. Se encontraron un total de 14 estaciones con estas características. Tras el análisis

visual, nos percatamos que todas estas estaciones correspondían a localizaciones en la zona este de la

República Dominicana en las cual habían varios lagos los cuales no habían sido incluidos en la imagen

ráster terrestre y si quedaban dentro de sus límites territoriales. Ya identi�cadas estas estaciones, las

mismas fueron reubicadas como parte de la zona terrestre. En la Tabla 4.17 se presenta un resumen de

los valores de las anomalías aire libre obtenidas con altimetría por satélite.

Tabla 4.17: Resumen del resultado de los valores de las anomalías aire libre obtenidas mediante altimetríapor satélite.

Zona Marítima Zona MarítimaMona

República Islas Vírgenes

Exterior Cómputo Geoide Dominicana Estadounidenses

(mGal) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal)

Promedio -65,331 46,047 98,804 71,563 132,526

Máximo 159,243 146,031 105,317 121,308 158,476

Mínimo -364,817 -159,629 82,668 -34,962 35,933

La zona de Puerto Rico no fue incluida en este resumen ya que para esta región se utilizara otro

método para determinar los valores de las anomalías aire libre. Ya clasi�cadas las localizaciones de las

estaciones con valores de anomalías aire libre, se procedió a determinar los valores de las profundidades de

las estaciones en la zona marítima y los valores de las altitudes en las estaciones de la zona terrestre. Para

determinar las profundidades se utilizó interpolación cúbica a partir del modelo batimétrico GEBCO08

con una resolución de 30 segundos de arco. Tras determinar las profundidades y realizar un análisis visual,

106


se identi�caron 184 estaciones en la zona marítima que presentaban valores positivos. Estas estaciones

estaban localizadas en las zonas costeras. El GEBCO08 al tener una resolución de 30 segundos de arco,

presenta problemas para determinar las profundidades en localizaciones que están en las zonas donde

se de�nen las costas. Estas estaciones se analizaron con el SRTM3 para determinar si realmente eran

errores producidos al momento de realizar los recortes. Del análisis con el SRTM3 se determinó que estas

estaciones efectivamente estaban en la zona marítima por lo que eran errores de interpolación causados por

la resolución del modelo batimétrico. Se procedió a corregir el valor de la profundidad de estas estaciones

y se le asignó un valor de cero. Finalizado este procedimiento, se procedió a determinar las altitudes de

las estaciones que estaban ubicadas en la zona terrestre. Mediante interpolación cúbica, se obtuvieron las

altitudes utilizando el SRTM3. Al �nalizar estas operaciones, fue posible tener una malla con los valores

de las anomalías aire libre y los valores de las altitudes en las estaciones en zonas terrestres y de las

profundidades en las estaciones en zonas marítimas. En la Tabla 4.18 se puede ver un resumen de los

resultados del proceso de interpolación de las altitudes y de las profundidades.

Tabla 4.18: Resumen de la interpolación de las altitudes y las profundidades.Zona Marítima Zona Marítima Puerto

MonaRepública Islas Vírgenes

Exterior Cómputo Geoide Rico Dominicana Estadounidenses

(metros) (metros) (metros) (metros) (metros) (metros)

Promedio -3963,929 -793,120 234,806 53,113 96,709 69,198

Máximo 0,000 0,000 1214,438 77,427 629,598 519,914

Mínimo -8625,895 -4552,542 -2,2682 2,403 -2,035 -0,022

Ya teniendo una malla de anomalías aire libre se procedió a determinar la zona donde �nalmente se

computaría el modelo del geoide. Para estos efectos, se seleccionó un área que abarcaría 10 kilómetros a

partir de los límites marítimos terrestres de Puerto Rico y sus islas adyacentes, Mona, Vieques y Culebra.

En la Tabla 4.19 se presentan los límites de la malla donde se computara el geoide.

Tabla 4.19: Límites de la malla para el cómputo del geoide.Longitud Latitd

Esquina Superior Izquierda -68,05836667 18,61250000

Esquina Inferior Derecha -65,10836667 17,82916667

Paso de Malla 0,01666667

De la misma manera se determinó la zona de la malla exterior de in�uencia que sería considerada para

el cómputo del geoide. Como ya hemos mencionado esta zona abarca alrededor de 200 kilómetros a partir

de los límites de la zona de la malla del cómputo del geoide. En la Tabla 4.20 se presentan los límites de

la malla exterior.

Tabla 4.20: Límites de la malla exterior.Longitud Latitd

Esquina Superior Izquierda -69,99170000 20,44583333

Esquina Inferior Derecha -62,99170000 16,01250000

Paso de Malla 0,01666667

Finalizado el procedimiento de determinar las mallas de las zonas de trabajo y los valores de las

anomalías aire libre para toda la zona de estudio, se procedió calcular la corrección clásica por efectos

107


de la topografía del terreno (Eq. 2.98) en todas las localizaciones terrestres utilizando un programa en

Matlab. En la Tabla 4.21 se presenta un resumen de los resultados obtenidos a partir del cómputo de las

correcciones topográ�cas.

Tabla 4.21: Resumen del resultado del cómputo de las correcciones topográ�cas.Puerto


Rico Dominicana Estadounidenses

(mGal) (mGal) (mGal) (mGal)

Promedio 11,665 8,257 4,856 14,737

Máximo 46,608 10,336 41,787 48,060

Mínimo 4,676 6,602 1,152 3,687

Utilizando las anomalías aire libre y las correcciones topográ�cas, aplicando la Eq.2.132 fue posible

determinar las anomalías de Faye para las localizaciones terrestres de la isla de Mona, la República

Dominicana y las Islas Vírgenes Estadounidenses. En la Tabla 4.22 se presenta un resumen de los resultados

obtenidos a partir del cálculo de las anomalías de Faye. Para el caso especí�co de Puerto Rico y de las

islas de Vieques y Culebra, ya que contamos con datos de anomalías aire libre obtenidas a partir de

medidas realizadas en el terreno, y queremos tener datos con la mayor precisión posible, no se utilizarán

las anomalías aire libre de la base de datos de Sandwell y Smith obtenidas por altimetría por satélite, sino

que utilizaremos un método alterno propuesto por Jekeli et al. (2009b) para determinar las anomalías aire

libre a partir de la topografía del terreno.

Tabla 4.22: Resumen del resultado del cálculo de las anomalías de Faye.


Dominicana Estadounidenses

(mGal) (mGal) (mGal)

Promedio 107,061 76,419 147,263

Máximo 114,427 136,254 194,039

Mínimo 90,294 -22,065 45,588

4.5. Extrapolación de anomalías de aire libre a partir de datos de

un modelo digital del terreno

Como hemos mencionado en las secciones anteriores, para desarrollar un modelo del geoide gravimétrico

de alta precisión es necesario contar con una buena y densa base de datos gravimétricos y un modelo digital

del terreno de alta resolución. A diferencia de las redes de datos gravimétricos, que en muchas ocasiones,

como en nuestro caso, son muy limitadas y con poca resolución, los modelos digitales del terreno actuales

son mucho más accesibles y tienen una mejor resolución, como es el caso del SRTM3. La alta relación

linear existente entre anomalías aire libre y las altitudes nos permiten densi�car anomalías aire libre

partiendo de un modelo digital del terreno (Jekeli et al., 2009b). Combinando datos de la topografía del

terreno con datos gravimétricos, no solo mantenemos las características de los datos gravimétricos en las

largas longitudes de onda, sino que la alta resolución de las anomalías aire libre obtenidas a partir de un

modelo digital del terreno(4gAL MDT

)nos permite compensar las de�ciencias ante la poca resolución de

los datos gravimétricos.

108


Para determinar las anomalías aire libre a partir de un modelo digital del terreno partiremos de la

expresión de las anomalías isostáticas (Eq.2.111):

4gI = gI − γQ

Las reducciones isostáticas (Eq. 2.110) están de�nidas como:

gI = gP −AT +AI + F

Donde el término gP es la gravedad medida en un punto P , AT es la combinación del efecto de

la corrección topográ�ca (CT ) y de la reducción por lámina de Bouguer (AB), AI es la compensación

isostática y F es la reducción aire libre. Asumiendo en principio que las anomalías isostáticas están

compensadas y que son exactamente iguales a cero:

0 = 4gI = gP + CT −AB +AI + 0, 3086HP − γQ (4.17)

Considerando la de�nición de las anomalías aire libre (Eq. 2.92), obtenemos que:

0 = 4gI = 4gAL + CT −AB +AI (4.18)

Finalmente podemos decir:

4gAL MDT = − (CT −AB +AI) (4.19)

Por lo que es posible, a partir de esta hipótesis, determinar las anomalías aire libre partiendo de la

combinación de las correcciones topográ�cas, de la reducción por la lámina de Bouguer y de las correc-

ciones isostáticas. Aplicando la Eq. 2.98 se determinaron las correcciones topográ�cas e isostáticas. Luego

utilizando la Eq. 2.93 se procedió a calcular la reducción por el efecto de la lámina de Bouguer. Final-

mente, utilizando la Eq. 4.19 se calcularon las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno

con lo que obtuvimos:

4gAL MDT = − (CT −AB +AI)

En la Tabla 4.23 se muestra un resumen de los resultados obtenidos del cómputo de las anomalías aire

libre a partir de un modelo digital del terreno(4gAL MDT

)en las estaciones terrestres donde se realizara

el cómputo del geoide.

Tabla 4.23: Resumen del cómputo de las anomalías aire libre a partir de un modelo digital del terreno.Altitud CT AI AB 4gAL

MDT

(metros) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal)

Promedio 234,8 11,665 78,359 26,275 -63,749

Desviación Estándar 228,4 5,348 9,408 25,560 29,290

Varianza 52173,0 28,602 88,510 653,290 857,921

Máximo 1214,3 46,608 114,364 135,896 51,280

Mínimo -2,3 4,676 67,595 -0,254 -125,414

109


Estas anomalías se calcularon para la malla correspondiente a toda la región de estudio. En aquellos

puntos en donde contábamos con anomalías aire libre observadas y validadas, se calcularon las diferencias

entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno(4gAL MDT

)y las anomalías aire libre

validadas (4gAL). En la Tabla 4.24 presenta un resumen del resultado de la interpolación las anomalías

aire libre a partir de un modelo digital del terreno en las estaciones con datos de gravedad medida y las

diferencias encontradas con los valores de las anomalías aire libre validadas.

Tabla 4.24: Resumen del cálculo de las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno en lasestaciones con valores de gravedad.

4gALMDT 4gAL Diferencias


Promedio -82,424 130,775 213,702


Varianza 523,703 719,709 210,284

Máximo 9,828 233,881 259,337

Mínimo -125,525 74,527 170,615

En la Figura 4.26 se muestran las diferencias entre ambas anomalías aire libre (las medidas y calculadas

bajo la hipótesis de compensación isostáticas perfecta) en función de la altura.

Figura 4.26: Diferencias entre las anomalías aire libre medidas y las anomalías aire libre determinadasapartir del Modelo Digital del Terreno en funcion de la altitud.

Como era de esperar esta correlación es una línea de pendiente cero que mani�esta el valor aproximado

de la anomalía isostática si esta fuera constante para toda la región de estudio. El valor del mejor ajuste

110


global es de 213,7023 mGal. En la Tabla 4.25 se presenta un resumen de los resultados de las anomalías

aire libre ajustadas obtenidas a partir de un modelo digital del terreno y sus diferencias con los valores

de las anomalías aire libre validadas.

Tabla 4.25: Resumen del cómputo del ajuste global de las anomalías aire libre a partir del modelo digitaldel terreno.

4gALMDTAjustadas 4gAL Diferencias


Promedio 131,279 130,775 0,000


Varianza 523,703 719,709 210,284

Máximo 223,530 233,881 45,635

Mínimo 88,178 74,527 -43,087

En la Figura 4.27 se presenta un histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir

del modelo digital del terreno y las anomalías aire libre validadas en las localizaciones donde había datos

de gravedad medidos.

Figura 4.27: Histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital delterreno y las anomalías aire libre validadas � Ajuste Global.

Podemos observar que la varianza de las diferencias del ajuste global es bastante alta. Tratando de

conseguir un mejor resultado, se decidió realizar un ajuste por zonas, asumiendo que la anomalía isostática

varía lentamente de una a otra. Para realizar este ajuste fue necesario transformar las coordenadas geo-

grá�cas al Sistema de Coordenadas Universal Transversal de Mercator (Universal Transverse Mercator,

UTM ). La isla de Puerto Rico se encuentra ubicada en los Husos 19 y el 20, aunque la mayor parte de

la isla se encuentra localizada en el Huso 19. Por esta razón se dividió la isla en seis zonas geográ�cas

en la parte ubicada en el Huso 19 (tres zonas en la parte norte y tres zonas en la parte sur) y dos zonas

geográ�cas en el Huso 20 (una en la parte norte y otra en la parte sur) para un total de 8 zonas.

111


Ya que tenemos datos de dos fuentes independientes, las anomalías aire libre validadas y las anomalías

aire libre obtenidas a partir de un modelo digital del terreno, se procedió a determinar dentro de que zona

geográ�ca quedaban las anomalías de cada uno de los conjuntos de datos. En las Figuras 4.28 y 4.29 se

muestra un ejemplo de los datos existentes en las zonas 19N � 1, 19S � 2, 19N � 3 y 20S � 1.

Figura 4.28: Representación de las anomalías aire libre calculadas en las zonas 19N � 1, 19S � 2, 19N � 3y 20S � 1.

Figura 4.29: Representación de las anomalías aire libre calculadas a partir del modelo digital del terrenoen las zonas 19N � 1, 19S � 2, 19N � 3 y 20S � 1.

Para realizar el ajuste por mínimos cuadrados a las anomalías aire libre obtenidas a partir de un modelo

digital del terreno es necesario considerar los datos de las anomalías aire libre calculadas existentes en

cada zona. (Ver Figura 4.30)

112


Figura 4.30: Representación de la combinación de las anomalías para realizar el ajuste por zonas.

Siguiendo el trabajo realizado por Jekeli et al. (2009b)en la realización de un geoide para Corea, hemos

ajustado las anomalías obtenidas por el modelo digital de gran resolución a la red de las anomalías medidas

de baja resolución. Para ello calculamos los parámetros del plano que mejor se ajustan a las anomalías

medidas y luego ajustamos a este plano las anomalías calculadas. Este desplazamiento re�eja como en el

caso anterior el valor en cada zona de la anomalía isostática. (Ver Figura 4.31)

Figura 4.31: Anomalías aire libre determinadas a partir del modelo digital del terreno (puntos negros) encuadrícula ajustadas en función al plano formado por las anomalías aire libre medidas (círculos).

La ecuación de un plano es:

z = a+ bx+ cy (4.20)

Donde z representa los datos de anomalía de la gravedad y (x, y) sus coordenadas planas.

113


Entonces podemos estimar los parámetros ξ = (a, b, c), a partir de las anomalías η = (z1, z2, ..., zn)T

mediante la expresión:

ξ =(ATA

)−1AT η (4.21)

Donde

A =

1 x1 y1

. . .

. . .

. . .

1 xn yn

(4.22)

Si reemplazamos en las expresiones anteriores los datos de las anomalías calculadas por los de las

observadas obtendremos ξo = (a', b', c')correspondiente a estas mediante la expresión análoga a la anterior:

ξo =(ATo Ao

)−1ATo ηo (4.23)

Entonces simplemente sustituimos los parámetros (a, b, c) y (a, b, c) en la Eq. 4.20 quedando expresado

de la siguiente manera:

4gAL MDTAjustadas = 4gAL MDT + (a′ − a) + [(b′ − b) ∗ x] + [(c′ − c) ∗ y] (4.24)

Ya ajustada la malla de anomalías aire libre obtenidas a partir del modelo digital del terreno, se

procedió a determinar los valores de las anomalías aire libre en cada una de las localizaciones donde había

datos medidos. Finalmente, se calcularon las diferencias con las anomalías aire libre validadas. En la Tabla

4.26 se presenta un resumen de los resultados obtenidos a partir del nuevo ajuste.

Tabla 4.26: Resumen del cómputo del ajuste por zonas de las anomalías aire libre a partir del modelodigital del terreno.

4gALMDTAjustadas 4gAL Diferencias


Promedio 128,498 130,775 2,780


Varianza 641,244 719,709 78,594

Máximo 227,182 233,881 33,819

Mínimo 63,934 74,527 -29,728

Podemos observar que en este ajuste se disminuye el valor de la desviación estándar cuando lo compa-

ramos con el ajuste global y se reduce signi�cativamente la varianza. Cuando realizamos un histograma de

las diferencias podemos ver que las diferencias muestras una distribución normal presentando un pequeño

sesgo de 2,780 mGal. (Fig. 4.32)

114


Figura 4.32: Histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital delterreno y las anomalías aire libre validadas- Ajuste por Zonas.

Podemos a�rmar que el ajuste por zonas geográ�cas es mucho mejor que el ajuste global por lo que

se decidió este ajuste para ser el que �nalmente se le aplique a la malla de anomalías aire libre obtenidas

a partir de un modelo digital del terreno. En la Tabla 4.27 se presenta un resumen de los resultados

obtenidos tras el ajuste por zonas geográ�cas en la malla de anomalías aire libre obtenidas a partir de un

modelo digital del terreno.

Tabla 4.27: Resumen del ajuste por zonas geográ�cas de la malla de anomalías aire libre obtenidas a partirde un modelo digital del terreno.

4gALMDTAjustadas

(mGal)

Promedio 143,319

Desviación Estándar 31,415

Varianza 986,898

Valor Máximo 249,142

Valor Mínimo 76,523

4.5.1. Valor medio de las anomalías aire libre ajustadas

Ya calculadas y ajustadas las anomalías aire libre obtenidas a partir de un modelo digital del terreno

para todas las estaciones donde se va a calcular el geoide, fue necesario combinarlas con las anomalías

aire libre validadas obtenidas con datos medidos sobre el terreno. Primeramente fue necesario preparar

una malla que incluyera todos los datos de anomalías aire libre disponibles. (Ver Figura 4.33)

115


Figura 4.33: Malla con todos los datos de anomalías aire libre.

Podemos observar que aunque tenemos una malla con valores de anomalías aire libre obtenidas a partir

de un modelo digital del terreno, también contamos con una cantidad considerable de anomalías aire libre

validadas obtenidas con datos de gravedad. Como valor medio hemos asignado a cada elemento de la malla

de valores de anomalías que hemos de utilizar en los cálculos del geoide, el valor del punto medio de la

recta de regresión que de su representación frente a la altura produce. (Ver Figura 4.34)

Figura 4.34: Localizaciones con valores de anomalías aire libre calculadas a un radio de 1 minuto de arcode un punto de la malla.

Tras identi�car que localizaciones con valores de anomalías aire libre se encontraban a un radio de un

minuto de arco de cada una de las estaciones de la malla, se procedió a convertir todas las anomalías aire

libre en anomalías de Faye. (Eq. 2.132)

4gFaye = 4gAL + CT

116


Las anomalías de Faye presentan un comportamiento más lineal cuando se gra�can en función de

las altitudes que las anomalías aire libre. Esta característica nos ayudará enormemente al momento de

determinar el valor medio de las anomalías ya que el mismo se determinará a partir de un análisis de

regresión lineal para cada conjunto de datos incluidos en el radio de 1 minuto de arco. (Figura 4.35)

Figura 4.35: Datos utilizados para realizar la regresión lineal y determinar el valor medio de la anomalíade Faye en función de la altitud del punto de la malla.

El objetivo del análisis de regresión lineal es determinar la línea que mejor se ajusta al conjunto de

datos y determinar el valor de la anomalía de Faye que le corresponde a la estación de la malla en función

de la altitud. Ya que las anomalías aire libre fueron calculadas a partir de un modelo digital del terreno,

entendemos que este es el mejor método para determinar el valor medio.

Solamente para efectos de este procedimiento, se calcularon las correcciones topográ�cas en las es-

taciones en la zona marítima. El objetivo es que cuando se determine el valor medio en las estaciones

que estén cercanas a las costas y estas tengan que considerar estaciones en el mar, las anomalías de Faye

presenten un comportamiento lineal y no se afectara el análisis de regresión lineal. Se procedió a preparar

una malla con las anomalías de Faye para toda la zona del cómputo del geoide. Como este procedimiento

es repetitivo y propenso a errores, se preparó un programa en C+ el cual dentro de una plataforma de

ArcGIS determinaba que localizaciones con valores de anomalías de Faye estaban dentro de una zona de

amortiguamiento con un radio de 1 minuto de arco alrededor de cada una de las estaciones de la malla

donde se computaría el geoide.

Tras determinar que localizaciones con datos de anomalías de Faye afectaban cada punto de la malla,

se realizó una regresión lineal para un polinomio de primer grado para cada conjunto de datos.

Admitiendo que las anomalías aire libre se correlacionan linealmente con la altura:

4gi = a+ bHi (4.25)

117


Entonces: 4g1

.

.

.

4gn

=

1 H1

. .

. .

. .

1 Hn

(a

b

)=⇒4 = Aξ (4.26)

De donde:

ξ =

(a

b

)=(ATA

)−1AT4 (4.27)

Finalmente para cada punto de la cuadrícula podemos obtener el valor medio de la anomalía de Faye

mediante la siguiente ecuación:

4gFaye = a+ bH (4.28)

Aplicando la Eq. 4.28 es posible determinar los valores medios de las anomalías de Faye para cada

conjunto de localizaciones incluidas dentro de la zona de 1 minuto de arco en función de la altitud del

punto de interés en la malla. En la Figura 4.36 se muestra un ejemplo del proceso para determinar la

anomalía de Faye para un punto de la malla donde se computó el geoide.

Figura 4.36: Análisis de regresión lineal para un punto de la malla.

En el ejemplo de la Figura 4.36, se está considerando el punto de malla 50733. Este punto tiene una

altitud STRM3 de 29,4118 metros y un valor de anomalía de Faye MDT de 135,936 mGal. Tras realizar la

regresión lineal considerando las 25 localizaciones con valores de anomalías de Faye que estaban a un radio

118


de 1 minuto de arco de este punto, se determinó que el valor para la anomalía de Faye correspondiente

para esta localización es 128,988 mGal.

Este procedimiento se realizó para todos los puntos de la malla y tras obtener los valores medios de

las anomalías de Faye, se realizó un recorte para seleccionar solamente los datos en las zonas terrestres

para la región de Puerto Rico. Estas anomalías medias de Faye, combinadas con las anomalías de Faye

de la República Dominicana y las Islas Vírgenes Estadounidenses y las anomalías aire libre en las zonas

marítimas, fueron las que �nalmente se utilizaron para determinar las anomalías residuales y realizar el

cómputo del geoide. En la Tabla 4.28 se presenta un resumen del resultado �nal del cómputo del valor

medio de las anomalías de Faye.

Tabla 4.28: Resumen del cómputo del valor medio de las anomalías de Faye.4gFaye 4gFaye Diferencias


Puerto Rico Mona Puerto Rico Mona Puerto Rico Mona

Promedio 154,984 107,061 155,326 105,877 -0,342 1,184


Varianza 1111,252 31,427 1119,681 45,533 20,904 8,117

Valor Máximo 269,082 114,427 262,567 112,441 27,703 6,255

Valor Mínimo 88,307 90,294 87,927 84,039 -28,311 -4,855

119

Capítulo 5

Determinación del modelo del

geoide gravimétrico

Tras determinar las anomalías de Faye para todas las zonas terrestres y las anomalías de aire libre en las

zonas marítimas, fue posible determinar el modelo del geoide gravimétrico para la zona de Puerto Rico. El

modelo del geoide fue calculado para una malla con una resolución de 1' x 1' entre los límites18, 6125000◦ ≤φ ≤ 17, 82916667◦ Norte y −68, 05836667◦ ≤ λ ≤ −65, 10836667◦ Oeste. El sistema de coordenadas

geodésicas utiliza como referencia para el cómputo del geoide el elipsoide GRS80. En la Figura 5.1 se

presenta una imagen de la zona del cómputo del modelo del geoide gravimétrico.

Figura 5.1: Zona de cómputo del modelo del geoide gravimétrico.

Se determinaron las anomalías aire libre del modelo EGM2008 para �nalmente obtener las anomalías

residuales en las zonas terrestres. En el caso de las zonas marítimas, se calcularon las anomalías aire

libre del modelo EGM2008 y estas fueron restadas directamente a las anomalías aire libre para obtener

las anomalías residuales. Ya determinadas las anomalías residuales para toda la malla de la zona de

cómputo del geoide, se procedió a resolver la integral de Stokes considerando diferentes modi�caciones

al núcleo de la función de Stokes, los que nos permitió calcular el valor de N - residual. Tras computar

120

CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO

el efecto indirecto y la aportación del modelo EGM2008 en todas las estaciones de la malla, fue posible

determinar el modelo del geoide para cada una de las modi�caciones a la función de Stokes. Utilizando las

estaciones de referencia establecidas en la isla por el Servicio Geodésico Nacional de los Estados Unidos de

América (National Geodetic Survey, NGS ), las cuales poseen valores de elevación y altitud elipsoidal, fue

posible determinar el valor aproximado del geoide geométrico. Finalmente a partir de los valores del geoide

geométrico, se determinó la `precisión'de los distintos modelos del geoide gravimétrico y se seleccionó el

modelo que mejor se ajustaba a la región de Puerto Rico.

5.1. Preparacion de la malla de anomalías residuales

Tal como hemos mencionado anteriormente, para determinar el modelo del geoide gravimétrico hemos

utilizado la técnica de sustitución � restitución. Esta técnica implica eliminar la aportación del modelo

geopotencial a las anomalías de la gravedad. Como hemos presentado en el capítulo anterior, para las

zonas terrestres, las anomalías de la gravedad han sido reducidas considerando la reducción aire libre y la

corrección clásica del terreno. En la Tabla 5.1 se presenta el resumen de los resultados obtenidos después

de determinar las anomalías de Faye en las zonas terrestres.

Tabla 5.1: Anomalías de Faye para la zona terrestre.Puerto




Promedio 155,326 105,877 76,419 147,263

Máximo 262,567 112,441 136,252 194,039

Mínimo 87,927 84,039 -22,065 45,587

Tras calcular las anomalías de Faye, fue necesario determinar las anomalías aire libre del modelo

EGM2008 utilizando la aplicación GEOEGM de Gravsoft en su modalidad de Python. En la Tabla 5.2 se

presenta un resumen del resultado del las anomalías aire libre del modelo EGM2008.

Tabla 5.2: Anomalías aire libre del modelo EGM2008 para la zona terrestre.Puerto




Promedio 149,051 81,912 72,079 129,271

Máximo 230,633 85,538 124,757 158,641

Mínimo 71,329 75,333 -41,060 26,484

Ya determinadas las anomalías de Faye y las anomalías aire libre del modelo EGM2008, fue posible

calcular las anomalías residuales para las zonas terrestres. En la Tabla 5.3 se presentan los resultados del

cómputo de las anomalías residuales.

121


Tabla 5.3: Anomalías residuales para la zona terrestre.Puerto




Promedio 6,274 23,966 4,340 17,992

Máximo 74,583 31,935 51,463 62,420

Mínimo -48,722 4,314 -8,134 -1,442

Como podemos apreciar, los valores de las anomalías residuales son mucho más suaves que los valores

de las anomalías de Faye. La razón principal es que a estas anomalías se le han eliminado los efectos de

la topografía del terreno mediante la corrección topográ�ca y las largas longitudes de onda del potencial

anómalo mediante las anomalías del modelo geopotencial.

En el caso de las zonas marítimas, no es necesario realizar la corrección por efectos de la topografía del

terreno ni la reducción al geoide debido que ya tenemos las anomalías en la super�cie que nos interesa. En

este caso trabajamos directamente con las anomalías aire libre. En la Tabla 5.4 presentamos un resumen

de los valores de las anomalías aire libre obtenidas mediante altimetría por satélite tanto para la zona

marítima exterior como para la zona marítima donde se realizara el cómputo del geoide.

Tabla 5.4: Anomalías aire libre para la zona marítima.Zona Marítima Zona Marítima

exterior Cómputo Geoide

(mGal) (mGal)

Promedio -65,330 46,047

Máximo 159,243 146,031

Mínimo -364,817 -159,629

Para determinar las anomalías aire libre del modelo EGM2008 en las zonas marítimas se utilizó la

aplicación GEOEGM de Gravsoft. En la Tabla 5.5 se presenta el resumen de los resultados de cálculo de

las anomalías aire libre del modelo EGM2008.

Tabla 5.5: Anomalías aire libre del modelo EGM2008 para la zona marítima.Zona Marítima Zona Marítima


(mGal) (mGal)

Promedio -65,142 46,857

Máximo 159,280 139,047

Mínimo -363,556 -161,542

Tras determinar las anomalías aire libre y las anomalías aire libre del modelo EGM2008, se procedió a

calcular las anomalías residuales. En la Tabla 5.6 se presenta el resumen de los resultados obtenidos para

el cálculo de las anomalías residuales.

122


Tabla 5.6: Anomalías residuales para la zona marítima.Zona Marítima Zona Marítima


(mGal) (mGal)

Promedio -0,189 -0,810

Máximo 75,765 42,604

Mínimo -37,936 -43,169

Ya determinadas las anomalías residuales para las zonas terrestres y marítimas, se procedió a preparar

las respectivas mallas que se utilizarían para calcular el geoide. La Malla de 1' contiene las anoma-

lías residuales para la zona comprendida entre los límites20, 44583333◦ ≤ φ ≤ 16, 01250000◦ Norte y

−69, 99170000◦ ≤ λ ≤ −62, 99170000◦ Oeste. La Malla 1' Zona Cómputo Geoide incluye las anomalías

residuales exclusivamente de la zona donde se interesa calcular el modelo del geoide. En la Tabla 5.7 se

presenta un resumen de las anomalías residuales para cada una de las mallas.

Tabla 5.7: Valores anomalías residuales de las mallas utilizadas para el cómputo del geoide.Malla Malla 1 min.

1 min. Zona Cómputo Geoide

(mGal) (mGal)

Promedio 0,145 1,515

Máximo 75,765 74,583

Mínimo -48,722 -48,722

5.2. Solución de la integral de Stokes

5.2.1. Aproximación Plana

Para solucionar la integral de Stokes, se proponen distintas modi�caciones al núcleo de la función

de Stokes. La primera de las modi�caciones que vamos a presentar es la aproximación plana propuesta

por Schwarz et al. (1990). En esta aproximación se basa en que, dado que en el método de sustitución -

restitución aplicamos la integral de Stokes a un entorno pequeño de la estación σc y por lo tanto a un

ángulo ψ pequeño el primer término de la función de Stokes (Eq. 2.87) es el dominante. Eliminando todos

los términos excepto el primero, queda expresada de la siguiente manera:

S (ψ) =1

sin ψ2

(5.1)

Introduciendo la Eq. 5.1 en la ecuación de la integral de Stokes (Eq. 2.89), obteniendo:

Nres (P ) =R

4πγ

∫ ∫σc

4gR (Q)

sinψPQ

2

dσc (Q) (5.2)

Si tomamos como valor de la distancia que une el punto de cálculo P con el elemento de super�cie

de integración en Q, el de la cuerda del arco sostenido por el arco, haciendo una aproximación, de nuevo,

válida solo para cortas distancias, tendremos que:

d = 2Rm sinψPQ

2(5.3)

123


Introduciendo este valor en la Eq. 5.2, obtenemos:

Nres (P ) =R2

2πγ

∫ ∫σc

4gR (Q)

ddσc (Q) (5.4)

Si de�nimos R2dσc = dE, siendo E el área donde la integral será evaluada, obtenemos entonces la

ecuación la aproximación plana de la integral de Stokes (Schwarz et al., 1990):

Nres (P ) =1

2πγ

∫ ∫E

4gR (Q)

ddE (5.5)

El hecho de usar esta aproximación plana en vez de la integral con coordenadas esféricas presenta un

error que puede ser determinado con la siguiente expresión (Schwarz et al., 1990):

eN =ψrd.PQ

2csc

ψPQ2

(5.6)

Para determinar el radio medio Rm, es necesario determinar la latitud media de la zona de trabajo

φm y los radios de curvatura M y N :

Rm =√M N (5.7)

M =a(1− e2

)(1 + e2 sin2 φm

) 32

(5.8)

N =a(

1 + e2 sin2 φm) 1

2

(5.9)

En estos cálculos utilizaremos los parámetros del elipsoide de referencia GRS80 :

a = 6378137, e2 = 0, 0066943800229

Para calcular el valor de ψPQ, utilizamos la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz, 1967):

cosψPQ = sinφP sinφ(i,j) + cosφP cosφ(i,j) cos(λ(i,j) − λP

)(5.10)

Tomando en consideración que φP , λP son las coordenadas del punto P donde calculamos la ondu-

lación del geoide y φi, λ(i,j), son las coordenadas del punto exterior (i, j) de la integral. Para realizar

estos cómputos es necesario considerar un sistema de coordenadas geocéntrico, por lo tanto es necesario

transformar nuestras coordenadas geodésicas a coordenadas geocéntricas utilizando la siguiente expresión:

tanφgeoc = (1− f)2

tanφgeodesica (5.11)

Dado que la integral de Stokes es singular en el origen, es necesario dividir la misma en dos partes:

una que considera la contribución del propio punto P y otra que considera la contribución del resto de los

puntos exteriores. La contribución de los puntos (i, j) de la malla, excluido el punto de cálculo P, puede

ser determinada mediante la siguiente expresión:

N′

res (P ) =4X4Y

2πγP

∑i=1

∑j=1

4g(i,j)

d(i,j)DondeP 6= (i, j) (5.12)

124


Y la contribución del punto P, puede ser determinada con la siguiente expresión:

NP =

√4X4Y√πγP

4gP (5.13)

Donde �nalmente el valor de la ondulación del geoide residual en P se ha obtenido sumando la con-

tribución de los puntos donde P 6= (i, j) y la contribución del punto P.

Nres (P ) = N′

res (P ) +NP (5.14)

Para determinar el paso de malla utilizaremos las siguientes expresiones:

4X = 4λ = Rm cosφmα (5.15)

4Y = 4φ = Rmα (5.16)

Con un paso de malla:

α = 1′ = 0, 016666666667 grados = 0, 0002908882086715394rd.

5.2.2. Modi�caciones del núcleo de Stokes

Se han presentado muchas alternativas para la alteración del núcleo de Stokes, fundamentalmente para

minimizar el error de omisión debido a la limitación de la integral a un entorno próximo a la estación.

Las más conocidas son las propuestas por Molodensky et al. (1962), Wong y Gore (1969), Vanicek y

Kleusberg (1987) y Featherstone et al. (1998) entre otras, que serán las ensayadas en aquí. Todas estas

son aproximaciones deterministas asociadas a los métodos de sustitución � restitución. No se han tomado

en consideración en este trabajo las modi�caciones estocásticas.

Para tener en cuenta estas modi�caciones al núcleo de Stokes, es necesario escribir la integral de Stokes

(Eq. 2.89) en su forma más explícita, introduciendo un sistema de coordenadas adecuado sobre la esfera.

N =R

4πG

∫ ∫σ

4g S (ψ) dσ

El uso de las coordenadas polares con origen en el punto P ofrece la ventaja de que el ángulo ψ, que

es el argumento de la función de Stokes, es una coordenada que representa la distancia esférica. La otra

coordenada sería el acimut α, medido desde el norte. Si tenemos un punto P que coincide en el polo norte,

donde ψ y α son idénticas a φ y λ, el elemento de ángulo sólido viene dado por:

dσ = sinψ dψ dα (5.17)

Puesto que todos los puntos de la esfera son equivalentes, esta relación se veri�ca para un origen

arbitrario P. De la misma forma tenemos: ∫ ∫σ

=

∫ 2π

α=0

∫ π

ψ=0

(5.18)

125


Sustituyendo las Eq. 5.17 y Eq. 5.18 en la integral de Stokes (Eq. 2.89), obtenemos:

N =R

4πG

∫ 2π

α=0

∫ π

ψ=0

4g (ψ, α) S (ψ) sinψ dψ dα (5.19)

Como una forma explícita de la integral de Stokes.

Para considerar la in�uencia de las zonas distantes sobre la fórmula de Stokes, podemos designar la

función de Stokes como S (cosψ) en vez de S (ψ) y descomponer la integral de Stokes en dos partes,

obteniendo:

N =R

4πG

∫ ψ0

ψ=0

∫ 2π

α=0

4g (ψ, α) S (cosψ) sinψ dψ dα+R

4πG

∫ π

ψ=ψ0

∫ 2π

α=0

4g (ψ, α) S (cosψ) sinψ dψ dα

(5.20)

Si introducimos la función discontinua:

S (cosψ) =

{0 si 0 ≤ ψ ≤ ψ0

S (cosψ) si ψ0 ≤ ψ ≤ π(5.21)

La función S (cosψ) puede desarrollarse en serie de los polinomios de Legendre:

S (cosψ) =∞∑n=0

2n+ 1

2QnPn (cosψ) (5.22)

Dónde:

Qn =

∫ π

ψ0

S (cosψ)Pn (cosψ) sinψ dψ (5.23)

Esta ecuación determina los Qn como funciones del radio límite ψ0. Finalmente, si ψ0 = 0, la función

S (cosψ) se reduce a la función de Stokes S (cosψ) para todos los valores de ψ, quedando expresada:

S (cosψ) =∞∑n=0

2n+ 1

2QnPn (cosψ) = S (cosψ) =

∞∑n=2

2n+ 1

n− 1Pn (cosψ) (5.24)

Los coe�cientes de truncación esférica pueden calcularse mediante la siguiente evaluación numérica

(Moritz, 1980):

Qn = 4

∫ 1

−1

Pn (1− 2z)S(1− z2

)zdz (5.25)

Donde Pn son los Polinomios de Legendre de grado n, S la función de Stokes y z = cos ψ2 . Estos

coe�cientes pueden evaluarse también mediante los algoritmos de Paul (1973), que es el procedimiento

seguido en este trabajo.

126


5.2.2.1. Modi�cación de L. Wong y R. Gore

Una de las modi�caciones del núcleo de Stokes más utilizada es la modi�cación de Wong y Gore

(1969) o núcleo esferoidal de Stokes. Esta modi�cación consiste en remover los polinomios de Legendre de

menor grado (2 ≤ n ≤ P ) del núcleo esférico de Stokes, lo que permite reducir la magnitud del error de

truncamiento.

SP (cosψ) = S (cosψ)−P∑n=2

2n+ 1

n− 1Pn (cosψ) (5.26)

=∞∑

n=P+1

2n+ 1

n− 1Pn (cosψ) para 0 ≤ ψ ≤ π (5.27)

Donde P corresponde al grado del núcleo esferoidal o modi�cación de Wong y Gore, que en nuestro caso

coincide con el grado máximo del modelo geopotencial, es decir 2159. Un punto crítico en la aplicación de

estos modelos es la elección de ψ0 radio que debe considerar las cortas longitudes de onda que buscamos

añadir a partir de las anomalías del modelo y a su vez debe hacer despreciable el error de omisión

consecuencia de la truncación de la integral al entorno de la estación. Siguiendo la experiencia de otros

autores y nuestra propia experiencia empírica, hemos elegido como valor el de 1 minuto de arco.

5.2.2.2. Modi�cación de P. Vanicek y A. Kleusberg

Vanicek y Kleusberg (1987)aplicaron la modi�cación propuesta por Molodensky et al. (1962) del núcleo

esférico de Stokes al núcleo esferoidal de Stokes propuesto por Wong y Gore (1969). Esta modi�cación lo

que hace es minimizar el error de truncamiento en el límite superior. Bajo este esquema, la modi�cación

de Molodensky del núcleo esferoidal de Stokes queda de�nido como:

SLP (cosψ) =

{SP (cosψ)−

∑Lk=2

2k+12 tk (cosψ0)Pk (cosψ) para 0 ≤ ψ ≤ ψ0

0 paraψ0 ≤ ψ ≤ π(5.28)

Donde los coe�cientes de truncamiento Qn (ψ0) y tk (ψ0)y enk (ψ0) son determinados mediante:

Qn (ψ0) =L∑k=2

2k + 1

2tk (ψ0) enk (ψ0) (5.29)

= Qn (ψ0)−L∑k=2

2k + 1

k − 1enk (ψ0) para (2 ≤ n ≤ L) (5.30)

enk (ψ0) =

∫ π

ψ0

Pk (cosψ)Pn (cosψ) sinψ dψ (5.31)

Y los coe�cientes enk (ψ0) pueden obtenerse mediante los algoritmos de Paul (1973), antes citados.

Los coe�cientes tk (ψ0) se obtienen resolviendo el sistema lineal de ecuaciones dado en la Eq. 5.28.

127


5.2.2.3. Modi�cación de W. E. Featherstone, J.D. Evans y J.G. Olliver

Featherstone et al. (1998) presentó una modi�cación determinística del núcleo de Stokes el cual con-

sistió en aplicar la modi�cación del núcleo esférico de Stokes propuesta por Meissl (1971):

S (cosψ) =

{S (cosψ)− S (cosψ0) para 0 ≤ ψ ≤ ψ0

0 paraψ0 ≤ ψ ≤ π(5.32)

al núcleo esferoidal de Stokes propuesto por Vanicek y Kleusberg (1987). El núcleo de Stokes modi�cado

propuesto por Featherstone et al. (1998) puede ser expresado de la siguiente manera:

SLP (cosψ) =

{SLP (cosψ)− SLP (cosψ0) para 0 ≤ ψ ≤ ψ0

0 paraψ0 ≤ ψ ≤ π(5.33)

Donde el coe�ciente tk (ψ0) (2 ≤ n ≤ L) es determinado en función de ψ0 y es utilizado para computar

SLP (cosψ). De la misma manera, SLP (cosψ0) puede ser evaluado y restado en la región 0 ≤ ψ ≤ ψ0.

5.2.3. Resultados de la solución de la integral de Stokes - N residual

Lo métodos utilizados para determinar el valor de N - residual fueron la aproximación plana de la

función de Stokes (Geoide AP) y las modi�caciones al núcleo de Stokes propuestas por Wong y Gore

(1969), (Geoide WG), por Vanicek y Kleusberg (1987), (VK) y la propuesta por Featherstone et al. (1998),

(FEO). A partir estas modi�caciones, se procedió a resolver la integral de Stokes utilizando programación

en C+ y Matlab. En la Tabla 5.8 se presenta un resumen de los resultados de la solución de la integral de

Stokes � N residual.

Tabla 5.8: Resultados de la solución de la integral de Stokes � N residual.NResidualAP NResidualW G NResidual V K NResidual F E O

(metros) (metros) (metros) (metros)

Promedio 0,090 0,048 0,001 0,060

Máximo 0,342 0,207 0,173 0,329

Mínimo -0,172 -0,075 -0,129 -0,245

5.3. Cómputo del efecto indirecto

Siguiendo la metodología propuesta por Furones y Capilla (2008), partiendo de la Eq. 2.114 propuesta

por Wichiencharoen (1982), se determinó el efecto indirecto pero solamente considerando los primeros dos

terminos de la ecuación:

NInd = −πGρH2P

γP− Gρ

6γP

∫ ∫σ

H3 −H3P

d3dσ (5.34)

Para determinar la distancia se utilizó la Eq. 5.3 tal y como se hizo para resolver la aproximación plana

de la función de Stokes. La solución numérica de la Eq. 5.34 aproximada hasta el tercer grado, quedaría

expresada de la siguiente manera:

NInd = −πGρH2P

γP− Gρ4X4Y

6γP

∑∑ H3 −H3P

d3dσ (5.35)

128


Donde 4X y 4Y corresponden al paso de malla del modelo digital del terreno:

α = 1′ = 0, 016666666667 grados = 0, 0002908882086715394rd.

Primeramente se calculó la aportación del primer término de la fórmula del efecto indirecto, el cual

es el término que más aporta. Luego se procedió a determinar el valor del segundo término variando la

zona de in�uencia entre 25, 50, 75 y 100 kilómetros a partir de la estación donde se interesa calcular el

geoide. En la Tabla 5.9 se presenta el resultado de la aportación del primer término y del segundo término

variando el radio de in�uencia.

Tabla 5.9: Resultados de la aportación del primer término y del segundo término variando el radio dein�uencia (25, 50, 75 y 100 km).

Primer Término

Segundo Segundo Segundo Segundo

Término Término Término Término

25 km 50 km 75 km 100 km

(metros) (metros) (metros) (metros) (metros)

Promedio -0,024 0,000 0,001 0,002 0,003

Máximo 0,000 0,082 0,083 0,083 0,084

Mínimo -0,456 -0,151 -0,159 -0,161 -0,162

Tras calcular la aportación de cada uno de los términos, se procedió a computar el efecto indirecto

total. En la Tabla 5.10se presenta un resumen del resultado del cómputo del efecto indirecto considerando

los distintos radios de in�uencia..

Tabla 5.10: Resultado del cómputo del efecto indirecto total variando los radios de in�uencia.Efecto Indirecto Efecto Indirecto Efecto Indirecto Efecto Indirecto

Radio 25 km Radio 50 km Radio 75 km Radio 100 km


Promedio -0,024 -0,023 -0,022 -0,021

Máximo 0,013 0,016 0,017 0,019

Mínimo -0,565 -0,576 -0,580 -0,582

Tras determinar el efecto indirecto considerando los radios de in�uencia, se procedió a determinar cuál

era la distancia adecuada a considerar para el cómputo �nal del efecto indirecto. En la Tabla 5.11 se

presenta un resumen de la aportación de cada una de las zonas de in�uencia.

Tabla 5.11: Aportación de las zonas de in�uencia en el cómputo del efecto indirecto.50 km - 25 km 75 km - 50 km 100 km - 75 km


Promedio 0,001 0,001 0,001

Máximo 0,010 0,011 0,005

Mínimo -0,012 -0,004 -0,006

Como podemos apreciar, tanto en la zona entre los 25 km y 50 km y la zona entre los 50 km y 75 km

los valores máximos se encuentran por encima del centímetro, lo que no nos vale para nuestro trabajo.

Lo contrario ocurre en la zona entre los 75 km y 100 km en la cual obtenemos valores máximos que

129


se encuentran por debajo del centímetro por lo que consideramos que el radio de in�uencia de los 100

kilómetros como el más adecuado para realizar el cómputo del geoide.

5.4. Contribución del modelo geopotencial EGM2008

Para determinar los valores absolutos de la ondulación de geoide con el EGM2008 fue necesario

utilizar un programa en FORTRAN cuya aplicación en Windows es hsynth_WGS84.exe. La misma fue

desarrollada por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial (NGA), agencia encargada de trabajar

en el desarrollo del modelo geopotencial EGM2008 (Pavlis et al., 2008). Utilizando la Eq. 2.121, esta

aplicación nos permite determinar los valores de la ondulación del geoide del modelo geopotencial.

NMG =GM

rγ

nmax∑n=2

(ar

)n n∑m=0


)P (cos θ)

En las Figuras 5.2 y 5.3 se presentan varias imágenes del procedimiento para determinar la ondulación

del geoide con el modelo geopotencial.

Figura 5.2: Vista parcial del cómputo de la ondulación del geoide con el modelo EGM2008.

130


Figura 5.3: Vista parcial del resultado �nal del cómputo de la ondulación del geoide con el modeloEGM2008.

En la Tabla 5.12 se presenta un resumen de los resultados del cálculo de la ondulación del geoide del

modelo EGM2008.

Tabla 5.12: Aportación del modelo EGM2008 para el cómputo del geoide.Malla 1 min.

Zona Cómputo Geoide

(metros)

Promedio -44,462

Máximo -40,661

Mínimo -51,869

131


5.5. Cómputo de los modelos del geoide gravimétrico

Al utilizar la técnica de sustitución � restitución para determinar el modelo del geoide gravimétrico,

tras eliminar de las anomalías de gravedad el efecto de las largas longitudes de onda del potencial anómalo

mediante las anomalías del modelo geopotencial global, para realizar el cómputo del N residual es necesario

restituir la aportación del modelo. Por esta razón, tras determinar los valores del N residual, el efecto

indirecto de la topografía del terreno y la aportación del modelo geopotencial EGM2008, aplicando la Eq.

2.137 se puede determinar el valor de la ondulación del geoide en todas las estaciones de la zona cómputo

con cada uno de los modelos del geoide gravimétrico.

N = NRes +NMG +NInd

En la Tabla 5.13 se muestra un resumen del resultado obtenido luego del cómputo de los distintos

modelos del geoide gravimétrico.

Tabla 5.13: Resultados del cómputo de la ondulación del geoide para los modelos del geoide gravimétrico.NGeoideAP NGeoideW G NV K NF E O


Promedio -44,393 -44,435 -44,483 -44,423

Máximo -40,358 -40,498 -40,616 -40,360

Mínimo -52,137 -52,146 -52,169 -52,195

5.6. Validación de los modelos del geoide gravimétrico

Una vez determinados los distintos modelos del geoide gravimétrico, fue necesario validar los mismos

utilizando datos independientes. De la base de datos del NGS, se identi�caron las estaciones de referencia

que tenían publicados sus valores de altitud elipsoidal y elevación (que en este caso se toma como la altitud

ortométrica) (Roman et al., 2013). En el caso de Puerto Rico, no contamos con estaciones de referencia

con valores de altitudes ortométricas, sino que las estaciones de referencia solamente tienen valores de

elevación. Estas elevaciones fueron determinadas mediante nivelación de alta precisión y luego ajustadas

por personal del NGS antes de ser incorporadas al datum local de Puerto Rico, el PRVD02. En la Tabla

5.14 se muestran las estaciones de referencia del NGS utilizadas para realizar la validación de los modelos

del geoide gravimétrico.

Para determinar la `precisión' de nuestros modelos, es necesario compararlos con el geoide geométrico

determinado a partir de datos medidos en el terreno. (Como utilizaremos la elevación en lugar de la altitud

ortométrica para calcular la ondulación del geoide, emplearemos el termino `precisión'). En adición, es

nuestro interés comparar la `precisión' de los modelos del geoide gravimétrico con el modelo geopotencial

regional vigente para Puerto Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses, el GEOID12A (Figura 5.4) y el

modelo geopotencial global, el EGM2008.

132


Tabla

5.14:Estacionesde

referencia

delNGSutilizadaspara

valid

arlosmodelos

delgeoide.

PID

Estación

Longitd

Latitud

Elevación

hh−H

PID

Estación

Longitd

Latitud

Elevación

hh−H

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

(metros)

TV1513

9755371ATIDAL

-66,11644

18,45895

1,334

-41,639

-42,973

TV1182

TUNA

-66,64016

18,49273

22,421

-22,118

-44,539

AA9178

AGUAUSCGA

-67,06665

18,46207

128,689

84,740

-43,949

DE5545

VELEZ

-67,14692

18,44480

134,321

90,419

-43,902

AA9179

AGUAUSCGB

-67,06521

18,45920

138,982

95,091

-43,891

AA7661

ZSUA

-65,99356

18,43029

1,890

-40,494

-42,384

DE5485

BERRIOS

-66,42306

18,43978

43,368

0,649

-42,719

AA7662

ZSUB

-65,99227

18,43128

2,397

-40,009

-42,406

TV1514

BQNA

-67,14586

18,48910

71,693

26,895

-44,798

AB9769

CPD93

-67,11348

18,50025

58,343

13,435

-44,908

TV1515

BQNB

-67,13362

18,49203

68,676

23,880

-44,796

DH3639

FSJN

-66,08424

18,46296

6,540

-36,503

-43,043

DE5557

BQNCRESET

-67,12093

18,49815

63,020

18,191

-44,829

DH3640

FSJS

-66,08419

18,46271

6,920

-36,121

-43,041

DE5469

DIAZ

-66,08002

18,44352

5,845

-36,804

-42,649

DK7434

E1009

-67,15394

18,38607

7,367

-35,593

-42,960

AB9843

ELOJO

-66,38641

18,01233

54,455

15,361

-39,094

DO1305

GPS54

-67,14394

18,21185

6,658

-34,102

-40,760

DE5506

F1004

-66,71833

18,45328

6,074

-37,568

-43,642

DO1323

R1013

-67,04567

17,97212

1,444

-38,506

-39,950

DE5550

G1006

-67,16197

18,45558

23,621

-20,566

-44,187

DO1298

C1012

-66,61337

17,98738

7,215

-32,461

-39,676

DE5560

GUN

-66,12398

18,46799

15,847

-27,367

-43,214

DO1392

T1022

-66,14042

18,11201

418,962

380,557

-38,405

DE5532

M1005

-66,99894

18,47299

108,204

64,074

-44,130

DO1110

F1016

-66,03771

18,26521

77,648

37,806

-39,842

AB9831

MANATI2

-66,50123

18,43983

21,221

-21,674

-42,895

AB9844

COCO

-66,24813

18,00203

45,410

6,525

-38,885

AB9832

MONTEREY

-66,33296

18,42863

58,450

16,082

-42,368

AB9841

LAJAS2

-66,95919

18,07199

87,909

48,397

-39,512

TV1290

NOVA2

-66,80094

18,47387

83,536

39,327

-44,209

AB9842

MAGAS

-66,76658

18,01451

8,450

-31,138

-39,588

DE5493

P1003

-66,53366

18,47303

1,004

-42,794

-43,798

TV1521

MAZC

-67,14994

18,25489

6,368

-34,847

-41,215

DE5512

P1004

-66,78140

18,48684

12,156

-32,369

-44,525

TV1211

PSEARP

-66,56323

18,00874

8,053

-31,471

-39,524

DE5508

Q1004

-66,33437

18,42894

58,617

16,237

-42,380

AB9318

PSEE

-66,55920

18,00792

8,020

-31,503

-39,523

AB9830

QUEBRAS2

-66,92832

18,46522

125,714

81,785

-43,929

AB9749

PSEF

-66,55445

18,00645

8,020

-31,495

-39,515

TV1527

SANJUANSIGAPTARP

-66,09822

18,45731

2,317

-40,605

-42,922

AB9838

UTUADO

-66,71646

18,27112

166,476

126,392

-40,084

DE5470

SANABRIA

-66,14915

18,42289

3,927

-38,305

-42,232

DK7451

9759394ATIDAL

-67,15939

18,21784

1,452

-39,458

-40,910

TV1528

SIGC

-66,09119

18,45813

1,512

-41,420

-42,932

133


Figura 5.4: Descripción del GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS )

En el Anexo 10 se encuentran los valores de la ondulación del geoide en las estaciones de validación

del NGS. En la Tabla 5.15 se presenta un resumen de los resultados de los valores de la ondulación del

geoide geométrico y los resultados de la interpolación de los distintos modelos del geoide gravimétrico en

las estaciones de validación del NGS.

Tabla 5.15: Valores de la ondulación del geoide en las estaciones de validación del NGS.NGeo NGEOID12A NEGM2008 NGeoideAP NGeoideW G NV K NF E O

(metros) (metros) (metros) (metros) (metros) (metros) (metros)

Promedio -42,259 -42,284 -44,462 -44,318 -44,380 -44,450 -44,361

Máximo -38,405 -38,446 -40,701 -40,461 -40,567 -40,690 -40,460

Mínimo -44,908 -44,890 -47,039 -46,997 -47,011 -47,016 -47,075

En la Figura 5.5 se presenta una imagen que muestra la localización de las estaciones de referencia

utilizadas en el proceso de validación de los modelos del geoide gravimétrico.

Figura 5.5: Estaciones de referencia del NGS utilizadas para la validación de los modelos del geoide.

134


Como mencionamos en la Sección 4.1.2, puesto que cada modelo del geoide tiene un dátum diferente,

para determinar la `precisión' de los modelos del geoide se procedió a determinar las diferencias entre los

incrementos de la ondulación del geoide geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de cada

uno de los modelos utilizando las siguientes ecuaciones:

∇4NGeo−GEOID12A = 4NGeo −4NGEOID12A (5.36)


∇4NGeo−GeoideAP = 4NGeo −4NGeoideAP (5.38)

∇4NGeo−GeoideW G = 4NGeo −4NGeoideW G (5.39)

∇4NGeo−V K = 4NGeo −4NV K (5.40)

∇4NGeo−F E O = 4NGeo −4NF E O (5.41)

La `precisión' de cada modelo fue determinada utilizando la Eq. 4.9:

σ∇4NGeo−Modelo =

√√√√(∑ (δi − δAve.)2

n

)(5.42)

Donde:

δi : Diferencia de los incrementos de la ondulación del geoide entre estaciones de referencia (metros)

δAve. : Promedio de los diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide (metros)

n : Número de estaciones de validación (45)

Utilizando las 45 estaciones de validación de la red de nivelación del PRVD02 y tras establecer un total de

990 líneas base, se procedió a realizar dos análisis para determinar la `precisión' de los modelos del geoide.

El primer análisis consistió en analizar las diferencias entre los incrementos de la ondulación del geoide


EGM2008 y GEOID12A) en función de las distancias entre las estaciones de validación. Para realizar este

análisis primeramente fue necesario determinar las distancias entre las estaciones de validación para luego

analizar la `precisión' de los modelos del geoide en los siguientes tramos: 0 - 5 km, 6 - 10 km, 11 - 25 km,

26 - 50 km, 51 - 75 km, 76 - 100 km y 101 - 126 km. En este análisis se encontró que en los tramos entre los

0 - 5 km, el modelo con mejor `precisión' es el GEOID12 A (0,014 metros). Esto representa un 4,6% del

total de los tramos considerados. También se encontró que en los tramos entre los 6 - 10 km, el modelo con

la mejor `precisión' es el EGM2008 (0,016 metros), representando un 4,2% de los tramos considerados.

Sin embargo, a partir de los 11 kilómetros, el modelo que presenta la mejor `precisión' es el modelo con la

modi�cación del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore. Es decir, en el análisis de la`precisión' de los

modelos en función de la distancia entre estaciones de validación, en un 91,1% de los tramos considerados,

el modelo del geoide gravimétrico con la modi�cación del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore

supera en su `precisión' a los demás modelos del geoide gravimétrico y a los modelos geopotenciales

regional y global. En el Anexo 11 se encuentran las tablas con un resumen de los resultados encontrados

tras realizar el análisis de la `precisión' de los modelos del geoide en función de las distancias entre las

estaciones de validación. En el segundo análisis realizado, en el que se consideraron las 990 líneas base

135


previamente establecidas, se determinaron las diferencias entre los incrementos de la ondulación del geoide


EGM2008 y GEOID12A). En la Tabla 5.16 se presenta un resumen de los resultados encontrados en el

análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide considerando las 990 líneas base.

Tabla 5.16: Resumen de los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulacióndel geoide.

∇4Promedio ∇4maximo ∇4mınimo σ


∇4NGeo−GEOID12A 0,050 0,269 0,000 ±0,057∇4NGeo−EGM2008 0,043 0,165 0,000 ±0,031∇4NGeo−GeoideAP 0,055 0,184 0,000 ±0,039∇4NGeo−GeoideW G 0,038 0,134 0,000 ±0,027∇4NGeo−V K 0,049 0,205 0,000 ±0,037∇4NGeo−F E O 0,076 0,299 0,000 ±0,095

Como podemos apreciar, el modelo con la mejor `precisión' es el obtenido a partir de la modi�cación

del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore. El mismo presenta una `precisión' de 0,027 metros. Este

modelo supera tanto al modelo geopotencial regional GEOID12A, como al modelo geopotencial global

EGM2008, los cuales presentaron una `precisión' de 0,057 y 0,031 metros respectivamente cuando los

comparamos con los valores de los incrementos de la ondulación del geoide geométrico. En el Anexo 12

se encuentra la tabla con los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación

del geoide considerando las 990 líneas base.

5.7. Ajuste del modelo gravimétrico del Geoide WG

Tras seleccionar el modelo del geoide desarrollado a partir de la modi�cación del núcleo de Stokes

propuesta por Wong y Gore como el modelo que mejor se ajusta a la región de Puerto Rico y tomando

en consideración las 45 estaciones de referencia del NGS utilizadas para validar los modelos del geoide

gravimétrico, se procedió a realizar un ajuste por mínimos cuadrados utilizando las diferencias entre los

valores de la ondulación del geoide geométrico y los valores de la ondulación del Geoide WG obtenidos en

las estaciones de validación. A partir de este ajuste, se determinó aplicarle un desplazamiento al modelo

del Geoide WG de 2,1219 metros. En la Tabla 5.17se presenta un resumen de los resultados obtenidos a

partir del ajuste realizado a la malla del modelo del Geoide WG.

Tabla 5.17: Resultados del ajuste por mínimos cuadrados del modelo del Geoide WG.NGeoideW GAdj.

(metros)

Promedio -42,313

Máximo -38,376

Mínimo -50,024

Finalmente, utilizando los valores ajustados del modelo del Geoide WG, se aplicó una interpolación

kriging lo que nos permitió visualizar las isolíneas del modelo del geoide. A partir del kriging, se procedió

a dibujar las isolíneas del modelo del Geoide WG ajustado. En la Figura 5.6 se presenta el modelo �nal

del Geoide WG ajustado con sus isolíneas a un intervalo de 0,5 metros.

136


Figura5.6:

Vista

�nal

delmodelodelGeoideWG

ajustado.

137

Capítulo 6

Conclusiones y Trabajos Futuros

6.1. Conclusiones

A lo largo de esta investigación, hemos estado trabajando en distintas técnicas para desarrollar un

modelo del geoide gravimétrico para Puerto Rico que sirva de sistema de referencia para determinar las

altitudes ortométricas, encontrando que aunque en la región de Puerto Rico no contamos con una gran

densidad de datos gravimétricos, la implementación de la metodología alterna propuesta por Jekeli et al.

(2009b) nos permitió desarrollar una malla de anomalías aire libre obtenidas a partir de un modelo digital

del terreno que combinadas con las anomalías aire libre medidas hace posible determinar un modelo del

geoide gravimétrico cuya `precisión' es superior a los modelos del geoide regionales y globales existentes.

Uno de los objetivos especí�cos de esta tesis era desarrollar la metodología necesaria que nos permita

determinar las altitudes ortométricas con la mayor precisión posible. Tras desarrollar esta metodología y

luego de realizar trabajos de campo a lo largo de la línea de nivelación existente en Puerto Rico al momento

de realizar esta investigación, encontramos que la precisión de altitudes ortométricas varía desde ± 1,1

milímetros en las estaciones más cercanas al origen de la línea de nivelación hasta un valor máximo de

± 7,4 milímetros en la estación más alejada del origen de la línea. El desarrollar esta metodología nos

permitirá determinar las altitudes ortométricas en todas las estaciones de la red de nivelación del PRVD02

tan pronto estas se doten con medidas de gravedad.

Tras determinar las altitudes ortométricas en las estaciones permanentes disponibles de la línea de

nivelación y tras realizar varias campañas para determinar las altitudes elipsoidales en estas estaciones,

fue posible determinar la ondulación del geoide geométrico y comprobar la precisión de los modelos

geopotenciales globales EGM2008 y EGM96 mediante un análisis de las diferencias de los incrementos de

la ondulación del geoide. Se encontró que la precisión del EGM2008 era 0,029 metros en comparación con

la precisión de su predecesor, el EGM96, que presento una precisión de 0,055 metros. De la misma manera

se encontró que la precisión del EGM2008 era superior a la del modelo regional GEOID12A, el cual

presento una precisión de 0,030 metros, cumpliendo así con una de las expectativas de sus desarrolladores

en presentar un modelo geopotencial global que igualara y en algunos casos superara los modelos regionales

del geoide.

Como parte de los trabajos relacionados con la tesis, fue necesario analizar y validar los datos de

gravedad terrestre existentes en la región de Puerto Rico. Utilizando validación por altimetría con métodos

de SIG y validación matemática por colocación con el programa Gravsoft (Tscherning et al., 1994) en su

138

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

modalidad en Python (Nielsen et al., 2012), fue posible validar 1673 datos de anomalías aire libre de

un total de 1894 observaciones obtenidas de la base de datos del BGI. Luego, tras aplicar la corrección

topográ�ca utilizando el método de prismas propuesto por (Nagy et al., 2000) y restarle la contribución

del modelo EGM2008, fue posible obtener una base de datos anomalías residuales �able.

Ante la poca densidad de datos de gravedad existentes, fue necesario emplear un método alternativo

para obtener valores de anomalías aire libre. Utilizando la base de datos de anomalías aire libre de Sandwell

y Smith (2009), obtenidas mediante altimetría por satélite y empleando una metodología propuesta por

Jekeli et al. (2009b) se procedió a determinar las anomalías aire libre a partir de los datos de un modelo

digital del terreno. Estas anomalías fueron ajustadas considerando las diferencias entre estas y las ano-

malías aire libre medidas y validadas. Tras aplicar un ajuste de mínimos cuadrados por zonas geográ�cas,

fue posible obtener una malla de datos de anomalías aire libre uniforme a partir de un modelo digital del

terreno. Ya que contábamos con datos medidos en el terreno ya validados, se procedió a combinar estas

anomalías con las anomalías aire libre obtenidas a partir del modelo digital del terreno. Considerando

que las anomalías de Faye presentan un comportamiento mucho más lineal que las anomalías aire libre

cuando se gra�can en función de las altitudes, se procedió determinar las anomalías de Faye en todas los

puntos de la malla y utilizando métodos de regresión lineal, se procedió a determinar los valores medios

de las anomalías de Faye en función de la altura y de los valores de las anomalías de Faye de los puntos

que se encontraban en un radio de 1 minutos de arco del punto de malla donde �nalmente se calculó el

modelo del geoide. Esta metodología nos permitió obtener malla de anomalías de Faye �suavizada� que

combinaba los datos de anomalías validadas con las obtenidas a partir del modelo digital del terreno, la

cual fue la que se utilizó �nalmente para determinar los modelos del geoide.

A partir de la malla de anomalías de Faye, se procedió a determinar el efecto indirecto de la topografía

del terreno y la contribución del modelo geopotencial EGM2008, para obtener las anomalías residuales en

la zona de cálculo. Tras determinar las anomalías residuales, aplicando varias técnicas para determinar el

geoide, entre las que se encuentran la aproximación plana de la función de Stokes y las modi�caciones del

núcleo de Stokes, fue posible determinar varios modelos del geoide gravimétrico.

Utilizando 45 estaciones permanentes de la red de nivelación del PRVD02, tomando los valores pu-

blicados de su altitud elipsoidal y elevación como los valores para determinar la ondulación del geoide

geométrico (Roman et al., 2013), se procedió a determinar la `precisión' de los modelos del geoide gravimé-

trico. Tras establecer un total de 990 líneas base, se realizaron dos análisis para determinar la `precisión'

de los modelos del geoide. En el primer análisis, que consistió en analizar las diferencias entre los in-

crementos de la ondulación del geoide geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los

distintos modelos (modelos gravimétricos, EGM2008 y GEOID12A) en función de las distancias entre las

estaciones de validación, se encontró que el modelo con la modi�cación del núcleo de Stokes propuesto

por Wong y Gore presentó la mejor `precisión' en un 91,1% de los tramos analizados. En un segundo

análisis, en el que se consideraron las 990 líneas base, se determinaron las diferencias entre los incremen-

tos de la ondulación del geoide geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los distintos

modelos (modelos gravimétricos, EGM2008 y GEOID12A), encontrando que el modelo que presenta la

mayor `precisión' también era el geoide con la modi�cación del núcleo de Stokes propuesto por Wong y

Gore. En este análisis, el modelo del geoide gravimétrico de Wong y Gore presento una `precisión' de

0,027 metros en comparación con la `precisión' del modelo EGM2008 que fue de 0,031 metros mientras

que la `precisión' del modelo regional GEOID12A fue de 0,057 metros. Finalmente podemos decir que la

metodología aquí presentada es una adecuada ya que fue posible obtener un modelo del geoide gravimé-

139

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

trico que presenta una mayor `precisión' que los modelos geopotenciales disponibles, incluso superando la

precisión del modelo geopotencial global EGM2008.

6.2. Trabajos Futuros

Después de completar los trabajos relacionados con esta investigación, entendemos que es posible me-

jorar en varias aéreas como lo son la cantidad y calidad de datos gravimétricos existentes, la combinación

de la malla de anomalías aire libre desarrollada con otros datos procedentes de otras campañas gravimé-

tricas y el empleo otras técnicas para determinar el modelo delo geoide gravimétrico. A continuación se

presenta un detalle de las posibles líneas de investigación futura:

1. Realizar levantamientos de datos gravimétricos en las estaciones permanentes de la red

de nivelación PRVD02 : Una vez se tengan datos de gravedad medidos en las estaciones permanentes

de la red de nivelación del PRVD02, se procedería a determinar los valores de las altitudes ortométricas

en todas estas estaciones para así poder calcular las diferencias con los valores de elevación publicados

por el NGS y determinar cuan �able es utilizar los valores de las elevaciones como altitudes ortométricas

para validar los modelos del geoide, tal y como propone Roman et al. (2013) en su trabajo presentado en

la Reunión de las Américas de la Unión Americana de Geofísica celebrada en Cancún, México.

2. Incorporar medidas de otras campañas gravimétricas: Para crear una mejor base de datos

de datos gravimétricos, sería necesario considerar los datos gravimétricos obtenidos en otras campañas

como lo son los datos de gravedad aerotransportada. Luego se procedería a combinar estos datos con los

datos gravimétricos medidos sobre el terreno y los datos obtenidos mediante la campaña de Sandwell y

Smith, lo que permitiría contar una base de datos más robusta y así poder para re calcular los distintos

modelos del geoide.

3. Desarrollar una nueva malla de anomalías aire libre más robusta para volver a calcular

los distintos modelos del geoide gravimétrico: Ya considerando la posibilidad de tener una mayor

densidad de datos gravimétricos, sería posible prepara una malla con datos de anomalías residuales más

�able y emplear otras técnicas para determinar el geoide como lo son las propuestas por Vanicek y

Kleusberg (1987) y Featherstone et al. (1998), las cuales varían el núcleo de Stokes. Habría que investigar

en estos casos el radio del núcleo de Stokes ψo más adecuado para estos nuevos datos.

140

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145

Anexos

147

Anexo 1

Información de las campañas de los datos de gravedad terrestres descargados de lapágina web del BGI

149

************ Survey : 19990002 ************

233 points

geographical extension longitude : 7.48 31.71

latitude : -4.36 3.42

owner : HAWAII INSTITUTE OF GEOPHYSICS

title : WORLD GRAVITY SURVEYS 1949 - 1950

authors : N. C. HARDING C. M. MUCKENFUSS

compilation date : 1950-11-01

************ Survey : 19990014 ************

108 points

geographical extension longitude : 12.09 33.81

latitude : 0.69 7.65

owner : DEFENSE MAPPING AGENCY TOPOGRAPHIC CENTER

title : GRAVIMETRIC MEASUREMENTS


************ Survey : 19990021 ************

88 points

geographical extension longitude : -8.18 -3.49

latitude : -3.48 8.25

owner : DEFENSE MAPPING AGENCY TOPOGRAPHIC CENTER

title : THE AMERICAN SECONDARY CALIBRATION LINE


************ Survey : 19990031 ************

171 points



owner : RICE UNIVERSITY

title : VIRGIN BANK, CORRELATION OF MAGNETISM AND GRAVITY WITH

GEOLOGY LAND DATA

authors : V. RENARD


************ Survey : 32910001 ************

378 points



owner : BGSA

title : GRAVITY RECONNAISSANCE SURVEY OF PUERTO RICO

authors : G. L. SHURBET M. EWING


************ Survey : 32910002 ************

22 points



owner : NAVOCEANO

title : COASTAL GRAVITY SURVEY, EAST PUERTO RICO


************ Survey : 32910003 ************

490 points



owner : USGS

title : PUERTO RICO GRAVITY STATIONS

************ Survey : 32910004 ************

983 points



owner : USGS

title : GRAVITY DATA, PUERTO RICO


Anexo 2

Resultados del post procesamiento de datos GNSS utilizando OPUS

155

Domingo, 6 de septiembre de 2009

ID NAME COUNTY Fecha Hi Observador Antena LAT W LON EL HGT(m) OBS USED # FIXED AMB OVERALL RMS (m)

2 GUN SAN JUAN 6-Sep 1.859 Elvis/Cheo TRM_R6 Base 18 28 4.76607 66 7 26.33270 -27.340 95% 86% 0.017

3 SJNHS 33 SAN JUAN 6-Sep 1.5 Judysmar/ Roberto LEIATX1230 18 28 13.65021 66 7 25.07710 -7.632 94% 78% 0.021

6 SJ 2 SAN JUAN 6-Sep 1.5 Edgardo Romero LEIATX1230 18 27 57.02731 66 5 42.48791 -24.710 68% 70% 0.021

15 PR MP 3 SAN JUAN 6-Sep 2 Eladio TRM_R6 Rover 18 26 18.29441 66 4 15.20718 -36.018 96% 90% 0.016

2 GUN -2 SAN JUAN 6-Sep 1.5 Judysmar/Roberto LEIATX1230 18 28 4.76554 66 7 26.33391 -27.329 92% 81% 0.023

4 SJNHS 32 SAN JUAN 6-Sep 1.523 Elvis/Cheo TRM_R6 Base 18 28 6.14698 66 7 16.35790 -16.098 95% 80% 0.022

9 B 1001 SAN JUAN 6-Sep 2 Eladio TRM_R6 Rover 18 27 37.28483 66 5 10.68837 -40.510 81% 82% 0.022

Lunes, 7 de septiembre de 2009


15 PR MP 3 -2 SAN JUAN 7-Sep 1.5 Eladio LEIATX1230 18 26 18.29467 66 4 15.20707 -35.940 93% 91% 0.015

14 DIAZ SAN JUAN 7-Sep 1.788 Olga/Mireily/Cacho/Eladio TRM_R6 Base 18 26 36.68375 66 4 48.09222 -36.854 96% 100% 0.014

14 DIAZ -2 SAN JUAN 7-Sep 1.788 Olga/Mireily/Cacho/Eladio TRM_R6 Base 18 26 36.68374 66 4 48.09190 -36.835 96% 92% 0.016

9 B 1001 -2 SAN JUAN 7-Sep 1.5 Cacho LEIATX1230 18 27 37.28584 66 5 10.68454 -40.416 92% 77% 0.013

10 A 1002 SAN JUAN 7-Sep 1.5 Eladio LEIATX1230 18 27 29.68963 66 5 26.90325 -41.341 91% 83% 0.016

17 C 1002 SAN JUAN 7-Sep 2 Angel Castellano TRM_R6 Rover 18 26 16.86068 66 5 1.77823 -37.768 58% 80% 0.020

20 SANABRIA CATANO 7-Sep 1.5 Juan LEIATX1230 18 25 22.38746 66 8 56.93180 -37.856 93% 76% 0.010

14 DIAZ -3 SAN JUAN 7-Sep 1.788 Olga/Mireily/Cacho/Eladio TRM_R6 Base 18 26 36.68354 66 4 48.09268 -36.904 95% 86% 0.016

21 J 1002 BAYAMON 7-Sep 1.5 Cacho LEIATX1230 18 25 15.05290 66 9 51.92547 -31.235 78% 68% 0.016

Sabado, 12 de septiembre de 2009


20 SANABRIA -2 CATANO 12-Sep 1.633 Wilfredo Flores LEIATX1230 GG 18 25 22.38725 66 8 56.93138 -38.305 98% 100% 0.017

21 J 1002 -2 BAYAMON 12-Sep 1.548 Wilfredo Flores LEICA AX1202 GG 18 25 15.05259 66 9 51.92915 -31.259 82% 79% 0.019

22 K 1002 BAYAMON 12-Sep 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/Az 18 25 8.35342 66 10 39.54953 -21.115 66% 81% 0.024

23 L 1002 TOA BAJA 12-Sep 1.5 Victor TPSHIPER_PLUS/ Az 18 25 12.43220 66 11 29.60568 -8.793 76% 75% 0.023

25 N 1002 TOA BAJA 12-Sep 1.5 Carlos TPSHIPER_PLUS/ RR 18 24 47.61543 66 12 49.26864 2.265 93% 100% 0.015

26 NC 81 TOA BAJA 12-Sep 1.5 Apu TRM33429.00+GP/R 18 24 44.45337 66 13 36.97536 18.989 94% 57% 0.022

27 NC 82 TOA BAJA 12-Sep 1.5 Saul TRM33429.00+GP /Am 18 24 53.92163 66 13 51.57510 9.637 99% 92% 0.014

29 Q 1002 TOA BAJA 12-Sep 1.5 MC Rolan TPSHIPER_PLUS/ RB 18 25 6.84321 66 15 5.03548 -27.635 90% 96% 0.015

31 R 1002 DORADO 12-Sep 1.5 Ruben LEIATX1230 18 25 10.32331 66 15 57.08038 -25.847 76% 89% 0.014

32 S 1002 DORADO 12-Sep 1.5 Judysmar LEIATX1230 18 25 32.38320 66 16 35.57615 -29.745 98% 92% 0.016

33 T 1002 DORADO 12-Sep 1.521 Jose Rojas South 4294 18 25 36.30579 66 16 46.98010 -21.447 82% 65% 0.022

34 NC 06 DORADO 12-Sep 1.5 Cacho TRM_R6 Base 18 25 30.82486 66 17 19.86947 -14.476 98% 90% 0.017

35 NC 07 DORADO 12-Sep 1.556 Ricardo South 4223 S 18 25 35.19558 66 17 54.71617 2.874 85% 90% 0.017

34 NC 06 -2 DORADO 12-Sep 1.5 Cacho TRM_R6 Base 18 25 30.82431 66 17 19.87237 -14.463 97% 89% 0.018

36 U 1002 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/Az 18 25 27.61104 66 18 18.13951 10.060 97% 73% 0.016

37 V 1002 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Victor TPSHIPER_PLUS/ Az 18 25 20.28724 66 18 45.53805 18.570 73% 65% 0.016

38 W 1002 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Carlos TPSHIPER_PLUS/ RR 18 25 28.39823 66 19 38.65868 21.604 86% 88% 0.019

39 Q 1004 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Saul TRM33429.00+GP /Am 18 25 44.19489 66 20 3.72517 16.230 97% 82% 0.015

41 X 1002 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 MC Rolan TPSHIPER_PLUS/ RB 18 25 55.11369 66 20 29.41101 -15.674 94% 89% 0.017

42 Y 1002 VEGA BAJA 12-Sep 1.5 Ruben LEIATX1230 18 25 44.33846 66 20 54.67725 -19.643 73% 86% 0.017

40 NC 09 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Apu TRM33429.00+GP/R 18 25 52.41488 66 20 12.99412 5.634 93% 97% 0.016

45 NC 19 VEGA BAJA 12-Sep 1.583 Ricardo South 4223 S 18 26 13.33381 66 23 26.74033 28.756 87% 86% 0.015

39 Q 1004 -2 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Saul TRM33429.00+GP /Am 18 25 44.19484 66 20 3.72577 16.190 98% 91% 0.017

47 E 1003 VEGA BAJA 12-Sep 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/Az 18 26 29.62626 66 24 51.31252 -4.876 94% 71% 0.016

48 BERRIOS VEGA BAJA 12-Sep 1.5 Cacho TRM_R6 Base 18 26 23.22054 66 25 23.00837 0.659 96% 76% 0.019

49 F 1003 VEGA BAJA 12-Sep 1.5 Victor TPSHIPER_PLUS/ Az 18 26 25.39771 66 26 9.23159 -0.056 87% 76% 0.019

50 NC 42 MANATI 12-Sep 1.5 Ruben TPSHIPER_PLUS/ RR 18 26 43.66111 66 26 35.81085 -5.822 96% 71% 0.020

51 G 1003 MANATI 12-Sep 1.5 Apu TRM33429.00+GP/R 18 26 48.17173 66 26 57.37657 -15.629 79% 69% 0.018

52 NC 44 MANATI 12-Sep 1.5 MC Rolan TPSHIPER_PLUS/ RB 18 26 30.05020 66 27 56.08689 14.107 97% 59% 0.020

55 MANATI 2 MANATI 12-Sep 1.5 Judysmar /Eladio LEIATX1230 18 26 23.40546 66 30 4.45062 -21.774 84% 65% 0.020

58 P 1003 BARCELONETA 12-Sep 1.599 Jose Rojas South 4294 18 28 22.92335 66 32 1.18990 -42.945 97% 63% 0.020

59 Q 1003 BARCELONETA 12-Sep 1.431 Ricardo South 4223 S 18 28 44.15672 66 32 14.12718 -41.793 93% 78% 0.021

Domingo, 13 de septiembre de 2009


58 P 1003 -2 BARCELONETA 13-Sep 1.5 Angelica TRM33429.00+GP/Az 18 28 22.92447 66 32 1.17886 -42.732 98% 78% 0.019

60 R 1003 BARCELONETA 13-Sep 1.5 Cristopher TRM33429.00+GP /Am 18 29 11.50606 66 32 58.71700 -42.256 87% 75% 0.022

61 S 1003 BARCELONETA 13-Sep 1.5 Joel TRM33429.00+GP/R 18 29 16.37212 66 33 41.02244 -43.093 98% 90% 0.021

63 V 1003 ARECIBO 13-Sep 1.5 Alexander TPSHIPER_PLUS/ RB 18 29 4.98301 66 35 33.41824 -37.184 94% 82% 0.021

64 U 1003 ARECIBO 13-Sep 1.5 Javier TPSHIPER_PLUS/ RR 18 29 15.34963 66 35 56.66243 -35.765 92% 84% 0.021

67 X 1003 ARECIBO 13-Sep 1.54 Joseph South 4294 18 29 28.76512 66 38 24.03596 -41.386 70% 81% 0.025

68 TUNA ARECIBO 13-Sep 1.5 Cacho TRM_R6 Base 18 29 33.83657 66 38 24.56216 -22.082 95% 78% 0.019

69 A 1004 ARECIBO 13-Sep 1.34 Yaimarie South 4223S 18 29 10.32161 66 40 15.23601 -41.285 93% 86% 0.016

71 C 1004 ARECIBO 13-Sep 1.5 Katherine TPSHIPER_PLUS/ Az 18 28 20.82183 66 42 3.69417 -43.239 94% 85% 0.019

68 TUNA -2 ARECIBO 13-Sep 1.5 Cacho TRM_R6 Base 18 29 33.83673 66 38 24.57150 -22.291 91% 76% 0.025

73 E 1004 ARECIBO 13-Sep 1.5 Joel TRM33429.00+GP/R 18 28 0.98768 66 43 4.14502 -40.903 95% 71% 0.030

Martes, 15 de septiembre de 2009


117 G 1006 AGUADILLA 15-Sep 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/R 18 27 20.08142 67 9 43.08896 -20.625 96% 97% 0.013

113 VELEZ AGUADILLA 15-Sep 1.5 Victor/Ruben TPSHIPER_PLUS/ RR 18 26 41.28182 67 8 48.93274 90.395 90% 95% 0.017

108 U 1005 MOCA 15-Sep 1.5 Issac TRM33429.00+GP /Am 18 27 11.39525 67 5 28.61234 104.017 98% 95% 0.014

107 T 1005 MOCA 15-Sep 1.5 Angel TPSHIPER_PLUS/ Az 18 27 22.75124 67 4 37.51362 97.489 89% 100% 0.012

105 AGUA USCG B AGUADILLA 15-Sep 1.5 Jose TPSHIPER_PLUS/ RB 18 27 33.11247 67 3 54.77528 95.098 88% 88% 0.021

104 R 1005 ISABELA 15-Sep 1.5 Apu/Norma TRM33429.00+GP/Az 18 27 51.71736 67 2 41.55788 87.064 99% 100% 0.016

113 VELEZ -2 AGUADILLA 15-Sep 1.5 Victor/Ruben TPSHIPER_PLUS/ RR 18 26 41.28118 67 8 48.93750 90.347 90% 75% 0.029

103 Q 1005 ISABELA 15-Sep 1.5 Cheo/Josue TRM33429.00+GP/R 18 28 5.68106 67 1 52.77701 83.427 81% 61% 0.023

101 N 1005 ISABELA 15-Sep 1.5 Issac/Ivys/Itzel TRM33429.00+GP /Am 18 28 18.47943 67 0 29.30432 65.456 98% 86% 0.017

100 M 1005 ISABELA 15-Sep 1.5 Angel/Judysmar/Ruben TPSHIPER_PLUS/ Az 18 28 22.76983 66 59 56.18142 64.036 95% 88% 0.019

97 J 1005 ISABELA 15-Sep 1.5 Apu/Taco TRM33429.00+GP/Az 18 28 55.35169 66 57 51.05102 4.334 91% 66% 0.021

96 G 1005 QUEBRADILLAS 15-Sep 1.5 Jose TPSHIPER_PLUS/ RB 18 29 19.94913 66 56 55.95994 15.672 94% 85% 0.019

Martes, 22 de septiembre de 2009


96 G 1005 -2 QUEBRADILLAS 22-Sep 1.5 Edwin TRM33429.00+GP/R 18 29 19.94881 66 56 55.96232 15.664 99% 88% 0.013

88 Y 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Apu TRM33429.00+GP/Az 18 28 24.51090 66 51 25.13937 17.145 98% 89% 0.011

85 V 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Maria/ Marcel TPSHIPER_PLUS/ Az 18 29 0.32149 66 49 25.16335 -38.086 94% 88% 0.016

84 U 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Ruben TPSHIPER_PLUS/ RB 18 29 17.75053 66 48 39.84637 -35.290 93% 92% 0.018

80 P 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Victor TPSHIPER_PLUS/ RR 18 29 12.63430 66 46 53.04265 -32.387 95% 90% 0.013

73 E 1004 -2 ARECIBO 22-Sep 1.5 Eladio/Robert TRM33429.00+GP /Am 18 28 0.99477 66 43 4.14269 -40.805 97% 97% 0.016

80 P 1004 -2 HATILLO 22-Sep 1.5 Victor TPSHIPER_PLUS/ RR 18 29 12.63430 66 46 53.04174 -32.391 94% 93% 0.016

87 X 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Taco TRM33429.00+GP/R 18 28 33.26804 66 50 44.86956 9.142 98% 93% 0.015

82 T 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Eladio TRM33429.00+GP/Az 18 28 38.11062 66 48 4.78567 4.258 97% 89% 0.019

81 S 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Ruben TPSHIPER_PLUS/ RB 18 29 14.57107 66 48 1.64018 -36.307 83% 85% 0.025

74 F 1004 ARECIBO 22-Sep 1.5 Maria/ Marcel TPSHIPER_PLUS/ Az 18 27 11.79223 66 43 5.97828 -37.607 94% 91% 0.016

72 D 1004 ARECIBO 22-Sep 1.5 Robert/Josue TRM33429.00+GP /Am 18 28 6.78946 66 42 33.75304 -39.822 89% 79% 0.022

Nota: Las observaciones realizadas los dias 6, 7, 12 y 13 de septiembre se hicieron comenzando en el punto de origen de la red de nivelacion. Las observaciones realizadas el 15 de sept.

se realizaron comenzando desde el final de la linea de nivelacion. Las observaciones del dia 22 de sept. se hicieron amarrando las observaciones del 13 de sept. con las del 15 de sept.

Leyenda

Primera seccion de observacion OBS USED Usable/ total observation in your data file

Segunda seccion de observacion # FIXED AMB Fixed / total ambiguites in your data file

Tercera seccion de observacion OVERALL RMS (m) The formal statistical root mean square (RMS) errror of your solution

LAT Latitud What to look for in a quality solution:W LON Longitud oeste

EL HGT(m) Altura elipsoidal While there are no absolute rules, most accurate OPUS solution reports contain the following:

ephemeris used = precise or rapid

> 90% observations used

> 50% ambiguities fixed

overall RMS < 3 cm

peak to peak errors < 5 cm.

your antenna type and antenna height are correct

22 de diciembre de 2009


119 975 9412 TIDAL 2 AGUADILLA 22-Dic 1.5 Eladio/Roberto TRM33429.00+GP /Am 18 27 26.40737 67 9 53.76178 -42.123 99% 87% 0.012

107 T 1005 MOCA 22-Dic 1.546 Elvis TRM_R6 Base 18 27 22.75142 67 4 37.51321 97.489 95% 92% 0.013

105 AGUA USCG B AGUADILLA 22-Dic 1.5 E. Tacoronte TPSHIPER_PLUS/ RB 18 27 33.11181 67 3 54.77721 95.089 90% 87% 0.015

96 G 1005 QUEBRADILLAS 22-Dic 1.5 Apu TRM33429.00+GP/R 18 29 19.94951 66 56 55.96020 15.640 99% 95% 0.011

81 S 1004 HATILLO 22-Dic 1.5 Ruben TPSHIPER_PLUS/ Az 18 29 14.56958 66 48 1.64106 -36.479 85% 76% 0.025

72 D 1004-1 ARECIBO 22-Dic 1.5 Josue TRM33429.00+GP/Az 18 28 6.78548 66 42 33.74552 -39.468 94% 72% 0.023

23 de diciembre de 2009


72 D 1004-2 ARECIBO 23-Dic 1.5 Josue TRM33429.00+GP/Az 18 28 6.78505 66 42 33.74900 -39.422 95% 72% 0.022

103 Q 1005 ISABELA 23-Dic 1.5 Feliz Ortiz TRM33429.00+GP /Am 18 28 5.68046 67 1 52.77907 83.404 87% 68% 0.026

23 de enero de 2010


22 K 1002 BAYAMON 23-Ene 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/R 18 25 8.35036 66 10 39.56331 -20.674 73% 78% 0.024

37 V 1002 VEGA ALTA 23-Ene 1.5 David TPSHIPER_PLUS/ Az R 18 25 20.28866 66 18 45.53080 18.758 85% 85% 0.018

42 Y 1002 VEGA BAJA 23-Ene 1.5 Josue TRM33429.00+GP /Am 18 25 44.33558 66 20 54.67437 -18.941 76% 68% 0.023

55 MANATI 2-A MANATI 23-Ene 1.5 Juan Aviles TRM33429.00+GP/Az 18 26 23.40539 66 30 4.44098 -21.672 94% 77% 0.021

43 NC 14 VEGA BAJA 23-Ene 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/R 18 25 40.06893 66 21 40.57776 -24.510 99% 97% 0.016

44 C 1003 VEGA BAJA 23-Ene 1.84 Victor TRM_R6 Base 18 25 56.00752 66 22 59.88401 -8.850 91% 80% 0.021

51 G 1003 MANATI 23-Ene 1.5 MC Rolan TPSHIPER_PLUS/ Az R 18 26 48.17184 66 26 57.37472 -15.725 83% 83% 0.023

55 MANATI 2-B MANATI 23-Ene 1.5 Judysmar / Luz Nieves TRM33429.00+GP/Az 18 26 23.40701 66 30 4.44145 -21.786 91% 83% 0.025

72 D 1004-3 ARECIBO 23-Dic 1.5 Josue TRM33429.00+GP /Am 18 28 6.78397 66 42 33.74205 -39.575 87% 63% 0.033

NOTA:

Unica seccion del dia

Primera seccion del dia

Segunda seccion del dia

Puntos que se repitieron de una seccion a otra

Anexo 3

Resultados de la campaña de medidas gravimétricas

161

Fe

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Anexo 4

Cómputos para determinar las altitudes ortométricas Helmert

167

Datos Origen PRVD02

975 5371 A TIDAL Altura dinamica Cp / 980,6294

Altura Ortometrica 1,334 metros γ45° 980,62940

Valor Gravedad 978,66850 Gal 0,0424

Cota geopotencial 0,0848

Cp = H*(g+0,0424H) 1,30554

Estacion Latitud Longitud h Elevacion Gravedad Gravedad

(decimal) (decimal) (m) (m) (mGal) (Gal)

SJ2 18,46584092 -66,09513553 -24,807 18,344 978664,200 978,66420

SJNSH32 18,46837416 -66,12121053 -16,071 27,069 978659,008 978,65901

GUN 18,46799022 -66,12398185 -27,383 15,847 978661,227 978,66123

SJNSH33 18,47045839 -66,12363253 -7,778 35,479 978655,625 978,65563

B1001 18,46035718 -66,08630126 -40,477 2,569 978669,723 978,66972

A1002 18,45824712 -66,09080646 -41,404 1,588 978670,186 978,67019

DIAZ 18,44352291 -66,08002591 -36,852 5,845 978674,217 978,67422

C1002 18,43801686 -66,08382729 -37,754 4,766 978676,569 978,67657

PR MP 3 18,43841511 -66,07089088 -36,055 6,535 978675,760 978,67576

SANABRIA 18,42288513 -66,14914774 -38,317 3,927 978672,649 978,67265

J1002 18,42084794 -66,16442476 -31,244 10,954 978667,699 978,66770

K1002 18,41898621 -66,17765648 -20,898 21,336 978663,523 978,66352

L1002 18,42012006 -66,19155713 -8,909 33,307 978659,804 978,65980

N1002 18,41322651 -66,21368573 2,259 44,328 978659,346 978,65935

NC81 18,41234816 -66,22693760 18,844 60,945 978655,887 978,65589

NC82 18,41497823 -66,23099308 9,593 51,743 978657,616 978,65762

S1002 18,42566200 -66,27654893 -29,799 12,507 978666,459 978,66646

T1002 18,42675161 -66,27971669 -21,701 20,687 978665,656 978,66566

NC06 18,42522913 -66,28885263 -14,456 27,831 978665,488 978,66549

NC07 18,42644322 -66,29853227 2,769 45,150 978662,062 978,66206

U1002 18,42433640 -66,30503875 10,109 52,438 978662,556 978,66256

V1002 18,42230241 -66,31264744 18,637 60,877 978662,872 978,66287

W1002 18,42455506 -66,32740519 21,562 63,861 978664,152 978,66415

Q1004 18,42894266 -66,33436866 16,174 58,617 978664,231 978,66423

NC09 18,43122636 -66,33694281 5,595 48,099 978665,867 978,66587

X1002 18,43197603 -66,34150306 -15,676 26,817 978670,931 978,67093

Y1002 18,42898211 -66,34852066 -19,447 22,909 978674,009 978,67401

NC14 18,42779693 -66,36127160 -24,546 17,921 978675,779 978,67578

C1003 18,43222431 -66,38330111 -8,912 33,617 978670,326 978,67033

NC19 18,43703717 -66,39076120 28,658 71,354 978660,403 978,66040

E1003 18,44156285 -66,41425348 -4,926 37,894 978666,218 978,66622

BERRIOS 18,43978324 -66,42305720 0,636 43,368 978665,283 978,66528

F1003 18,44038825 -66,43589766 -0,016 42,786 978663,995 978,66399

NC42 18,44546142 -66,44328079 -5,802 37,154 978662,627 978,66263

G1003 18,44671440 -66,44927076 -15,734 27,282 978663,440 978,66344

NC44 18,44168061 -66,46557969 14,168 57,072 978656,150 978,65615

MANATI 2 18,43983457 -66,50123376 -21,674 21,221 978658,680 978,65868

P1003 18,47303436 -66,53366111 -42,922 1,004 978649,537 978,64954

Q1003 18,47893242 -66,53725755 -41,782 2,315 978647,968 978,64797

R1003 18,48652946 -66,54964361 -42,286 2,000 978643,829 978,64383

S1003 18,48788114 -66,56139512 -43,250 1,130 978641,910 978,64191

0,0424H2+ gH - Cp=0

D = g^2 + 4*Cp*0,0424

H1,2 = (-g-/+sqrt(D)) / (2*0,0424)

Desniveles Gravedad Media Incrementos Cota Geopotencial Altitud Dinamica

(km) (Gal) Cota Geopotencial u.g.p. (km)

0,017010 978,66635 16,647 17,953 1,83073E-05

0,008725 978,66160 8,539 26,491 2,70148E-05

-0,011222 978,66012 -10,983 15,509 1,58153E-05

0,019632 978,65843 19,213 34,722 3,54079E-05

-0,032910 978,66267 -32,208 2,514 2,56385E-06

-0,000981 978,66995 -0,960 1,554 1,58481E-06

0,004257 978,67220 4,166 5,720 5,83332E-06

-0,001079 978,67539 -1,056 4,664 4,75647E-06

0,001769 978,67616 1,731 6,396 6,52194E-06

-0,002608 978,67420 -2,552 3,843 3,91914E-06

0,007027 978,67017 6,877 10,720 1,09321E-05

0,010382 978,66561 10,161 20,881 2,12933E-05

0,011971 978,66166 11,716 32,596 3,32403E-05

0,011021 978,65957 10,786 43,382 4,42392E-05

0,016617 978,65762 16,262 59,645 6,08227E-05

-0,009202 978,65675 -9,006 50,639 5,16393E-05

-0,039236 978,66204 -38,399 12,240 1,2482E-05

0,008180 978,66606 8,005 20,246 2,06456E-05

0,007144 978,66557 6,992 27,237 2,77753E-05

0,017319 978,66378 16,949 44,187 4,50596E-05

0,007288 978,66231 7,132 51,319 5,2333E-05

0,008439 978,66271 8,259 59,578 6,0755E-05

0,002984 978,66351 2,920 62,498 6,3733E-05

-0,005244 978,66419 -5,132 57,366 5,84996E-05

-0,010518 978,66505 -10,294 47,073 4,80026E-05

-0,021282 978,66840 -20,828 26,245 2,67632E-05

-0,003908 978,67247 -3,825 22,420 2,2863E-05

-0,004988 978,67489 -4,882 17,538 1,78849E-05

0,015696 978,67305 15,361 32,900 3,35496E-05

0,037737 978,66536 36,932 69,832 7,1211E-05

-0,033460 978,66331 -32,746 37,086 3,78181E-05

0,005474 978,66575 5,357 42,443 4,32812E-05

-0,000582 978,66464 -0,570 41,873 4,27003E-05

-0,005632 978,66331 -5,512 36,361 3,70796E-05

-0,009872 978,66303 -9,661 26,700 2,72274E-05

0,029790 978,65980 29,154 55,854 5,69576E-05

-0,035851 978,65741 -35,086 20,768 2,11787E-05

-0,020217 978,65411 -19,785 0,983 1,00239E-06

0,001311 978,64875 1,283 2,266 2,31074E-06

-0,000315 978,64590 -0,308 1,958 1,99638E-06

-0,000870 978,64287 -0,851 1,106 1,12814E-06

Altitud Dinamica Discriminante H1 Altitud Ortometrica Elevacion Diferencias

(m) (m) (m) (m)

18,307 957790,869 -23081,772 18,344 18,344 -0,000012

27,015 957783,028 -23081,669 27,069 27,069 0,000060

15,815 957778,256 -23081,622 15,847 15,847 0,000122

35,408 957778,204 -23081,602 35,479 35,479 0,000106

2,564 957781,056 -23081,669 2,569 2,569 0,000006

1,585 957795,143 -23081,840 1,588 1,588 -0,000013

5,833 957800,248 -23081,897 5,845 5,845 -0,000018

4,756 957806,316 -23081,972 4,766 4,766 -0,000036

6,522 957808,120 -23081,992 6,535 6,535 -0,000041

3,919 957803,850 -23081,943 3,927 3,927 -0,000027

10,932 957797,127 -23081,855 10,954 10,954 -0,000015

21,293 957789,919 -23081,757 21,336 21,336 0,000022

33,240 957784,180 -23081,676 33,307 33,307 0,000079

44,239 957781,921 -23081,638 44,328 44,328 0,000113

60,823 957780,845 -23081,608 60,945 60,945 0,000126

51,639 957777,626 -23081,579 51,743 51,743 0,000225

12,482 957781,460 -23081,664 12,507 12,507 0,000055

20,646 957790,685 -23081,767 20,687 20,687 -0,000008

27,775 957790,921 -23081,763 27,831 27,831 -0,000013

45,060 957790,279 -23081,738 45,150 45,150 -0,000017

52,333 957788,619 -23081,711 52,438 52,438 0,000020

60,755 957790,813 -23081,729 60,877 60,877 -0,000043

63,733 957792,870 -23081,750 63,861 63,861 -0,000109

58,500 957793,329 -23081,761 58,617 58,617 -0,000125

48,003 957793,262 -23081,771 48,099 48,099 -0,000128

26,763 957796,287 -23081,829 26,817 26,817 -0,000224

22,863 957803,606 -23081,921 22,909 22,909 -0,000327

17,885 957807,523 -23081,973 17,921 17,921 -0,000375

33,550 957806,523 -23081,945 33,617 33,617 -0,000376

71,211 957797,739 -23081,802 71,354 71,354 -0,000284

37,818 957788,166 -23081,720 37,894 37,894 0,000024

43,281 957793,850 -23081,783 43,368 43,368 -0,000089

42,700 957791,577 -23081,756 42,786 42,786 -0,000038

37,080 957788,043 -23081,719 37,154 37,154 0,000040

27,227 957785,862 -23081,703 27,282 27,282 0,000078

56,958 957784,467 -23081,656 57,072 57,072 0,000059

21,179 957773,858 -23081,564 21,221 21,221 0,000320

1,002 957764,031 -23081,466 1,004 1,004 0,000411

2,311 957753,765 -23081,341 2,315 2,315 0,000416

1,996 957748,127 -23081,273 2,000 2,000 0,000423

1,128 957742,054 -23081,201 1,130 1,130 0,000429

V1003 18,48471750 -66,59261618 -37,292 7,039 978636,736 978,63674

U1003 18,48759712 -66,59907290 -35,932 8,489 978634,845 978,63485

X1003 18,49132364 -66,64000999 -41,593 3,028 978631,570 978,63157

A1004 18,48620045 -66,67089889 -41,447 3,021 978631,751 978,63175

D1004 18,46855140 -66,70937472 -39,775 4,350 978633,160 978,63316

E1004 18,46694299 -66,71781741 -40,842 3,261 978633,852 978,63385

F1004 18,45327528 -66,71832753 -37,651 6,074 978636,588 978,63659

P1004 18,48684254 -66,78140085 -32,466 12,156 978627,263 978,62726

S1004 18,48738044 -66,80045585 -36,391 8,251 978628,382 978,62838

T1004 18,47725295 -66,80132935 4,053 48,451 978621,864 978,62186

V1004 18,48342264 -66,82365649 -38,190 6,349 978629,869 978,62987

X1004 18,47590779 -66,84579710 9,072 53,431 978621,765 978,62177

Y1004 18,47347525 -66,85698316 17,038 61,341 978622,230 978,62223

G1005 18,48887486 -66,94887783 15,550 60,166 978640,047 978,64005

J1005 18,48204214 -66,96418084 4,543 48,981 978645,102 978,64510

M1005 18,47299124 -66,99894004 63,974 108,204 978634,263 978,63426

N1005 18,47179984 -67,00814009 65,337 109,558 978634,939 978,63494

Q1005 18,46824457 -67,03132752 83,247 127,390 978630,657 978,63066

R1005 18,46436593 -67,04487719 87,060 131,073 978629,556 978,62956

AGUA USCG B 18,45919748 -67,06521596 95,095 138,982 978630,103 978,63010

T1005 18,45631984 -67,07708700 97,498 141,364 978631,487 978,63149

U1005 18,45316535 -67,09128121 104,039 147,903 978632,324 978,63232

VELEZ 18,44480016 -67,14692605 90,431 134,320 978641,736 978,64174

G1006 18,45557786 -67,16196924 -20,611 23,621 978663,290 978,66329

975 9412 TIDAL 2 18,45733538 -67,16493383 -42,200 2,101 978666,651 978,66665

0,005909 978,63932 5,783 6,889 7,02515E-06

0,001450 978,63579 1,419 8,308 8,4722E-06

-0,005461 978,63321 -5,344 2,964 3,02232E-06

-0,000007 978,63166 -0,007 2,957 3,01533E-06

0,001329 978,63246 1,301 4,258 4,34162E-06

-0,001089 978,63351 -1,066 3,192 3,25484E-06

0,002813 978,63522 2,753 5,945 6,06212E-06

0,006082 978,63193 5,952 11,897 1,21317E-05

-0,003905 978,62782 -3,822 8,075 8,2347E-06

0,040200 978,62512 39,341 47,416 4,83525E-05

-0,042102 978,62587 -41,202 6,214 6,33656E-06

0,047082 978,62582 46,076 52,289 5,33224E-05

0,007910 978,62200 7,741 60,030 6,12162E-05

-0,001175 978,63114 -1,150 58,880 6,00436E-05

-0,011185 978,64257 -10,946 47,934 4,88812E-05

0,059223 978,63968 57,958 105,892 0,000107984

0,001354 978,63460 1,325 107,217 0,000109335

0,017832 978,63280 17,451 124,668 0,000127131

0,003683 978,63011 3,604 128,273 0,000130806

0,007909 978,62983 7,740 136,013 0,000138699

0,002382 978,63080 2,331 138,344 0,000141077

0,006539 978,63191 6,399 144,743 0,000147602

-0,013583 978,63703 -13,293 131,450 0,000134047

-0,110699 978,65251 -108,336 23,114 2,35709E-05

-0,021520 978,66497 -21,061 2,053 2,09406E-06

7,025 957736,093 -23081,123 7,039 7,039 0,000431

8,472 957729,419 -23081,041 8,489 8,489 0,000456

3,022 957723,458 -23080,975 3,028 3,028 0,000481

3,015 957720,428 -23080,938 3,021 3,021 0,000486

4,342 957722,205 -23080,958 4,350 4,350 0,000483

3,255 957724,081 -23080,982 3,261 3,261 0,000478

6,062 957727,902 -23081,025 6,074 6,074 0,000472

12,132 957722,463 -23080,954 12,156 12,156 0,000487

8,235 957713,785 -23080,853 8,252 8,251 0,000542

48,353 957715,173 -23080,830 48,451 48,451 0,000466

6,337 957709,641 -23080,805 6,350 6,349 0,000529

53,322 957717,358 -23080,851 53,431 53,431 0,000407

61,216 957711,196 -23080,769 61,342 61,341 0,000576

60,044 957728,892 -23080,983 60,166 60,166 0,000010

48,881 957749,418 -23081,242 48,980 48,981 -0,000641

107,984 957753,587 -23081,233 108,203 108,204 -0,000899

109,335 957743,866 -23081,114 109,558 109,558 -0,000350

127,131 957743,297 -23081,090 127,390 127,390 -0,000331

130,806 957738,640 -23081,030 131,073 131,073 -0,000022

138,699 957739,411 -23081,031 138,982 138,982 -0,000078

141,077 957741,696 -23081,056 141,364 141,364 -0,000244

147,602 957744,955 -23081,089 147,903 147,903 -0,000486

134,047 957752,731 -23081,196 134,319 134,320 -0,001095

23,571 957764,662 -23081,451 23,619 23,621 -0,002462

2,094 957785,473 -23081,723 2,098 2,101 -0,002739

Anexo 5

Cómputos para determinar la precisión de las altitudes ortométricas Helmert

175

Distancia calculada desde el punto de origen de la red PRVD02

Origen 975 5371 A TIDAL 18 27 32,23631(N) 66 06 59,20616(W) 1,334

Estacion Latitud Longitud Distancia Distancia H

(m) (km) (m)

1 SJ2 18° 27' 57.02600" N 66° 05' 42.49370" W 2376,322 2,376 18,344

2 SJNSH32 18° 28' 06.14606" N 66° 07' 16.36002" W 1157,715 1,158 27,069

3 GUN 18° 28' 04.76480" N 66° 07' 26.33465" W 1278,198 1,278 15,847

4 SJNSH33 18° 28' 13.64944" N 66° 07' 25.07974" W 1482,414 1,482 35,479

5 B1001 18° 27' 37.28373" N 66° 05' 10.68412" W 3187,913 3,188 2,569

6 A1002 18° 27' 29.68946" N 66° 05' 26.90708" W 2709,286 2,709 1,588

7 DIAZ 18° 26' 36.68249" N 66° 04' 48.09228" W 4209,310 4,209 5,845

8 C1002 18° 26' 16.85896" N 66° 05' 01.78104" W 4152,477 4,152 4,766

9 PR MP 3 18° 26' 18.29311" N 66° 04' 15.20874" W 5322,148 5,322 6,535

10 SANABRIA 18° 25' 22.38609" N 66° 08' 56.93098" W 5279,469 5,279 3,927

11 J1002 18° 25' 15.05228" N 66° 09' 51.92595" W 6593,808 6,594 10,954

12 K1002 18° 25' 08.34846" N 66° 10' 39.56668" W 7834,870 7,835 21,336

13 L1002 18° 25' 12.43116" N 66° 11' 29.60439" W 9024,150 9,024 33,307

14 N1002 18° 24' 47.61410" N 66° 12' 49.26922" W 11451,812 11,452 44,328

15 NC81 18° 24' 44.45270" N 66° 13' 36.97367" W 12761,602 12,762 60,945

16 NC82 18° 24' 53.92039" N 66° 13' 51.57523" W 13043,167 13,043 51,743

17 S1002 18° 25' 32.38212" N 66° 16' 35.57649" W 17309,714 17,310 12,507

18 T1002 18° 25' 36.30377" N 66° 16' 46.97829" W 17611,909 17,612 20,687

19 NC06 18° 25' 30.82350" N 66° 17' 19.87047" W 18591,320 18,591 27,831

20 NC07 18° 25' 35.19339" N 66° 17' 54.71768" W 19568,904 19,569 45,150

21 U1002 18° 25' 27.61157" N 66° 18' 18.13442" W 20287,567 20,288 52,438

22 V1002 18° 25' 20.28714" N 66° 18' 45.53124" W 21119,795 21,120 60,877

23 W1002 18° 25' 28.39618" N 66° 19' 38.65873" W 22608,256 22,608 63,861

24 Q1004 18° 25' 44.19305" N 66° 20' 03.72648" W 23259,057 23,259 58,617

25 NC09 18° 25' 52.41333" N 66° 20' 12.99226" W 23493,688 23,494 48,099

26 X1002 18° 25' 55.11218" N 66° 20' 29.41147" W 23960,903 23,961 26,817

27 Y1002 18° 25' 44.33529" N 66° 20' 54.66889" W 24738,895 24,739 22,909

28 NC14 18° 25' 40.06695" N 66° 21' 40.57768" W 26091,591 26,092 17,921

29 C1003 18° 25' 56.00633" N 66° 22' 59.88480" W 28344,303 28,344 33,617

30 NC19 18° 26' 13.33113" N 66° 23' 26.74382" W 29078,564 29,079 71,354

31 E1003 18° 26' 29.62456" N 66° 24' 51.31103" W 31517,065 31,517 37,894

32 BERRIOS 18° 26' 23.21915" N 66° 25' 23.00498" W 32457,805 32,458 43,368

33 F1003 18° 26' 25.39581" N 66° 26' 09.23225" W 33807,256 33,807 42,786

34 NC42 18° 26' 43.65957" N 66° 26' 35.80632" W 34556,272 34,556 37,154

35 G1003 18° 26' 48.16973" N 66° 26' 57.37405" W 35182,794 35,183 27,282

36 NC44 18° 26' 30.04890" N 66° 27' 56.07928" W 36929,295 36,929 57,072

37 MANATI 2 18° 26' 23.40378" N 66° 30' 04.44050" W 40701,474 40,701 21,221

38 P1003 18° 28' 22.92302" N 66° 32' 01.17910" W 44095,143 44,095 1,004

39 Q1003 18° 28' 44.15416" N 66° 32' 14.11995" W 44501,487 44,501 2,315

40 R1003 18° 29' 11.50403" N 66° 32' 58.71412" W 45855,556 45,856 2,000

41 S1003 18° 29' 16.37091" N 66° 33' 41.02220" W 47103,889 47,104 1,130

42 V1003 18° 29' 04.98104" N 66° 35' 33.41751" W 50373,698 50,374 7,039

43 U1003 18° 29' 15.34855" N 66° 35' 56.66196" W 51072,953 51,073 8,489

44 X1003 18° 29' 28.76428" N 66° 38' 24.02762" W 55413,304 55,413 3,028

45 A1004 18° 29' 10.32067" N 66° 40' 15.23716" W 58638,517 58,639 3,021

46 D1004 18° 28' 06.78357" N 66° 42' 33.74674" W 62636,815 62,637 4,350

47 E1004 18° 28' 00.99263" N 66° 43' 04.14189" W 63526,055 63,526 3,261

48 F1004 18° 27' 11.79019" N 66° 43' 05.97782" W 63579,393 63,579 6,074

49 P1004 18° 29' 12.63225" N 66° 46' 53.04191" W 70299,646 70,300 12,156

50 S1004 18° 29' 14.56861" N 66° 48' 01.63937" W 72312,764 72,313 8,252

51 T1004 18° 28' 38.10690" N 66° 48' 04.78482" W 72367,035 72,367 48,451

52 V1004 18° 29' 00.31956" N 66° 49' 25.16252" W 74744,668 74,745 6,350

53 X1004 18° 28' 33.26658" N 66° 50' 44.86863" W 77058,603 77,059 53,431

978.668,5000 978,668500 978,725062

H Gravedad Gravedad Valor medio Gravedad Sigma

(km) (mGal) (Gal) (Gal) (mm)

0,018343988 978.664,2000 978,664200 978,664978 1,079447499

0,027069060 978.659,0083 978,659008 978,660156 0,754380926

0,015847122 978.661,2271 978,661227 978,661899 0,791781298

0,035479106 978.655,6251 978,655625 978,657129 0,854167645

0,002569006 978.669,7226 978,669723 978,669832 1,249837083

0,001587987 978.670,1859 978,670186 978,670253 1,152196086

0,005844982 978.674,2171 978,674217 978,674465 1,436190203

0,004765964 978.676,5692 978,676569 978,676771 1,426452706

0,006534959 978.675,7604 978,675760 978,676037 1,614915816

0,003926973 978.672,6485 978,672649 978,672815 1,608407917

0,010953985 978.667,6989 978,667699 978,668163 1,797567892

0,021336022 978.663,5229 978,663523 978,664428 1,959640274

0,033307079 978.659,8040 978,659804 978,661216 2,103483669

0,044328113 978.659,3455 978,659346 978,661225 2,369945973

0,060945126 978.655,8867 978,655887 978,658471 2,502837923

0,051743225 978.657,6163 978,657616 978,659810 2,529551251

0,012507055 978.666,4587 978,666459 978,666989 2,912409893

0,020686992 978.665,6560 978,665656 978,666533 2,937834423

0,027830987 978.665,4883 978,665488 978,666668 3,018553557

0,045149983 978.662,0624 978,662062 978,663977 3,097457082

0,052438020 978.662,5563 978,662556 978,664780 3,154143459

0,060876957 978.662,8721 978,662872 978,665453 3,218646037

0,063860891 978.664,1523 978,664152 978,666860 3,330222636

0,058616875 978.664,2305 978,664231 978,666716 3,377420040

0,048098872 978.665,8673 978,665867 978,667907 3,3938516650,048098872 978.665,8673 978,665867 978,667907 3,393851665

0,026816776 978.670,9310 978,670931 978,672068 3,426750290

0,022908673 978.674,0093 978,674009 978,674981 3,481858288

0,017920625 978.675,7790 978,675779 978,676539 3,575702909

0,033616624 978.670,3259 978,670326 978,671751 3,727140273

0,071353716 978.660,4032 978,660403 978,663429 3,776870875

0,037894024 978.666,2183 978,666218 978,667825 3,930276971

0,043367911 978.665,2830 978,665283 978,667122 3,988650026

0,042785962 978.663,9947 978,663995 978,665809 4,070677014

0,037154040 978.662,6272 978,662627 978,664203 4,115353186

0,027282078 978.663,4403 978,663440 978,664597 4,152277623

0,057072059 978.656,1499 978,656150 978,658570 4,254969452

0,021221320 978.658,6799 978,658680 978,659580 4,465961680

0,001004411 978.649,5371 978,649537 978,649580 4,648292427

0,002315416 978.647,9677 978,647968 978,648066 4,669661774

0,002000423 978.643,8291 978,643829 978,643914 4,740172153

0,001130429 978.641,9100 978,641910 978,641958 4,804259414

0,007039431 978.636,7357 978,636736 978,637034 4,968221890

0,008489456 978.634,8452 978,634845 978,635205 5,002591058

0,003028481 978.631,5702 978,631570 978,631699 5,210809968

0,003021486 978.631,7507 978,631751 978,631879 5,360307359

0,004350483 978.633,1601 978,633160 978,633345 5,540043675

0,003261478 978.633,8524 978,633852 978,633991 5,579228608

0,006074472 978.636,5875 978,636588 978,636845 5,581575900

0,012156487 978.627,2634 978,627263 978,627779 5,869171764

0,008251542 978.628,3816 978,628382 978,628731 5,952597352

0,048451466 978.621,8643 978,621864 978,623919 5,955356925

0,006349529 978.629,8689 978,629869 978,630138 6,051857736

0,053431407 978.621,7652 978,621765 978,624031 6,145467744

54 Y1004 18° 28' 24.50921" N 66° 51' 25.13920" W 78234,333 78,234 61,342

55 G1005 18° 29' 19.94649" N 66° 56' 55.96243" W 87982,503 87,983 60,166

56 J1005 18° 28' 55.34868" N 66° 57' 51.04767" W 89574,498 89,574 48,980

57 M1005 18° 28' 22.76793" N 66° 59' 56.18233" W 93224,754 93,225 108,203

58 N1005 18° 28' 18.47751" N 67° 00' 29.30417" W 94194,648 94,195 109,558

59 Q1005 18° 28' 05.67835" N 67° 01' 52.77862" W 96639,508 96,640 127,390

60 R1005 18° 27' 51.71499" N 67° 02' 41.55765" W 98068,165 98,068 131,073

61 AGUA USCG B 18° 27' 33.11039" N 67° 03' 54.77605" W 100216,101 100,216 138,982

62 T1005 18° 27' 22.74949" N 67° 04' 37.51334" W 101471,312 101,471 141,364

63 U1005 18° 27' 11.39321" N 67° 05' 28.61197" W 102973,118 102,973 147,903

64 VELEZ 18° 26' 41.28009" N 67° 08' 48.93262" W 108862,720 108,863 134,319

65 G1006 18° 27' 20.07953" N 67° 09' 43.08801" W 110437,665 110,438 23,619

66 975 9412 TIDAL 2 18° 27' 26.40560" N 67° 09' 53.76206" W 110749,803 110,750 2,098

0,061341576 978.622,2305 978,622230 978,624831 6,192415563

0,060166010 978.640,0470 978,640047 978,642598 6,566742196

0,048980359 978.645,1016 978,645102 978,647178 6,625563687

0,108203101 978.634,2631 978,634263 978,638851 6,762422421

0,109557650 978.634,9389 978,634939 978,639584 6,797606733

0,127389669 978.630,6569 978,630657 978,636058 6,887317250

0,131072978 978.629,5558 978,629556 978,635113 6,938493338

0,138981922 978.630,1035 978,630103 978,635996 7,015206151

0,141363756 978.631,4869 978,631487 978,637481 7,059326398

0,147902514 978.632,3241 978,632324 978,638595 7,112491979

0,134318905 978.641,7363 978,641736 978,647431 7,310203335

0,023618538 978.663,2904 978,663290 978,664292 7,356345426

0,002098261 978.666,6511 978,666651 978,666740 7,366641963

Anexo 6

Análisis de los incrementos de la ondulación del geoide para determinar la precisión delos modelos del geoide a lo largo de la línea de nivelación

181

Est

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01

Anexo 7

Análisis de los incrementos de la ondulación del geoide de los modelos EGM96 yEGM2008 considerando las diferencias de alturas y distancias entre líneas base

189

Linea Base ΔHHelm

Diferencia de Altitud Ngeo-EGM08 Ngeo-EGM96

(m) (m) (m) (m)

A1003 - X1003 -0,007 0,007 0,059 0,154

P1003 - S1003 -0,126 0,126 0,011 0,015

BERRIOS - F1003 0,582 0,582 0,033 0,027

NC42 - E1003 -0,740 0,740 0,011 0,013

NC07 - N1002 0,822 0,822 -0,024 -0,026

C1002 - SANABRIA 0,839 0,839 0,040 0,075

S1003 - R1003 -0,870 0,870 -0,036 -0,021

P1003 - R1003 -0,996 0,996 -0,025 -0,006

NC06 - X1002 1,014 1,014 0,018 0,015

A1004 - R1003 1,021 1,021 0,002 0,269

X1003 - R1003 1,028 1,028 -0,056 0,116

DIAZ - C1002 1,079 1,079 -0,067 -0,066

Y 1004 - G1005 1,176 1,176 -0,015 -0,370

N1005 - M1005 1,355 1,355 -0,019 0,007

V1003 - U1003 -1,450 1,450 0,005 -0,001

Q1004 - NC44 1,545 1,545 -0,038 -0,065

J1002 - S1002 -1,553 1,553 0,032 0,011

D1004 - F1004 -1,724 1,724 -0,035 -0,095

A1004 - S1003 1,891 1,891 0,038 0,290

X1003 - S1003 1,898 1,898 -0,020 0,137

DIAZ - SANABRIA 1,918 1,918 -0,027 0,009

P1004 - A1004 -2,017 2,017 -0,028 -0,276

P1003 - X1003 -2,024 2,024 0,031 -0,122

F1004 - S1004 -2,177 2,177 0,035 -0,196

A1002 - B1001 2,197 2,197 0,064 0,081

C1002 - B1001 2,197 2,197 0,064 0,081

D1004 - 975 9412 TIDAL 2 2,252 2,252 -0,083 -1,000

Q1004 - V1002 -2,260 2,260 -0,036 -0,049

GUN - SJ2 -2,497 2,497 -0,023 -0,058

W1002 - V1002 2,984 2,984 0,001 0,002

E1004 - V1004 -3,088 3,088 -0,016 -0,372

C1002 - A1002 3,178 3,178 0,053 0,076

R1005 - VELEZ -3,246 3,246 -0,103 0,077

P1004 - S1004 3,905 3,905 0,002 -0,069

X1002 - Y1002 3,908 3,908 -0,071 -0,089

V1003 - X1003 4,011 4,011 0,045 -0,048

V1003 - A1004 4,018 4,018 -0,014 -0,202

DIAZ - A1002 4,257 4,257 -0,013 0,011

F1003 - E1003 4,892 4,892 0,025 0,044

NC06 - Y1002 4,922 4,922 -0,053 -0,074

T1004 - X1004 -4,980 4,980 -0,003 -0,179

V1003 - R1003 5,039 5,039 -0,011 0,068

Q1004 - W1002 -5,244 5,244 -0,036 -0,050

X1003 - U1003 -5,461 5,461 -0,041 0,046

A1004 - U1003 -5,468 5,468 0,018 0,200

BERRIOS - E1003 5,474 5,474 0,057 0,070

NC06 - L1002 -5,476 5,476 0,030 0,053

V1004 - P1004 -5,807 5,807 0,004 0,169

V1003 - S1003 5,909 5,909 0,025 0,089

V1003 - P1003 6,035 6,035 0,014 0,074

F1004 - P1004 -6,082 6,082 0,033 -0,127

975 9412 TIDAL 2 - S1004 -6,153 6,153 0,083 0,709

Q1004 - U1002 6,179 6,179 0,010 0,010

BERRIOS - NC42 6,214 6,214 0,047 0,058

C1003 - G1003 6,335 6,335 0,022 0,045

R1003 - U1003 -6,489 6,489 0,016 -0,069

NC06 - K1002 6,495 6,495 0,063 0,087

U1005 - T1005 6,539 6,539 -0,017 -0,034

NC07 - NC82 -6,593 6,593 0,027 0,022

SANABRIA - J1002 -7,027 7,027 0,004 0,001

T1002 - NC07 7,144 7,144 -0,007 -0,016

NC06 - T1002 7,144 7,144 0,069 0,078

S1003 - U1003 -7,359 7,359 -0,020 -0,090

NC82 - N1002 7,415 7,415 -0,051 -0,048

P1003 - U1003 -7,485 7,485 -0,010 -0,076

NC19 - W1002 7,493 7,493 -0,033 0,011

D1004 - P1004 -7,806 7,806 -0,002 -0,222

R1005 - AGUA USCG B -7,909 7,909 -0,054 -0,061

U1002 -V1002 -8,439 8,439 -0,046 -0,059

SANABRIA - S1002 -8,580 8,580 0,035 0,011

E1004 - P1004 -8,895 8,895 -0,012 -0,203

U1005 - AGUA USCG B 8,921 8,921 -0,024 -0,047

NC81 -NC82 9,202 9,202 -0,005 0,001

GUN - PR MP 3 9,312 9,312 -0,007 -0,093

NC14 - G1003 -9,361 9,361 -0,048 -0,019

NC42 - G1003 9,872 9,872 0,018 0,019

R1005 - T1005 -10,291 10,291 -0,046 -0,047

J1002 - K1002 -10,382 10,382 0,082 0,077

NC19 - V1002 10,477 10,477 -0,032 0,013

Q1004 - NC09 10,518 10,518 0,005 0,013

E1003 - G1003 10,612 10,612 0,007 0,006

L1002 -N1002 -11,021 11,021 0,009 -0,016

G1005 - J1005 11,186 11,186 -0,001 -0,064

GUN - SJNSN32 -11,222 11,222 -0,097 -0,101

U1002 - W1002 -11,423 11,423 -0,047 -0,061

PR MP 3 - SJ2 -11,809 11,809 -0,016 0,035

NC07 - L1002 11,843 11,843 -0,033 -0,010

L1002 -K1002 11,971 11,971 0,033 0,034

Q1004 - NC19 -12,737 12,737 -0,003 -0,061

NC09 - V1002 -12,778 12,778 -0,041 -0,062

GUN - B1001 13,278 13,278 -0,008 -0,058

NC14 - D1004 13,570 13,570 0,053 -0,297

U1005 - VELEZ 13,584 13,584 -0,074 0,090

BERRIOS - NC44 -13,704 13,704 0,047 0,025

F1003 - NC44 -14,286 14,286 0,015 -0,001

Q1004 - BERRIOS 15,249 15,249 -0,085 -0,090

NC06 - S1002 15,324 15,324 0,012 0,020

F1003 - G1003 15,504 15,504 0,032 0,050

NC14 - C1003 -15,696 15,696 -0,070 -0,064

NC09 - W1002 -15,762 15,762 -0,041 -0,063

NC07 - NC81 -15,795 15,795 0,032 0,021

Q1004 - F1003 15,831 15,831 -0,052 -0,063

NC42 - MANATI 2 15,933 15,933 -0,030 -0,105

BERRIOS - G1003 16,086 16,086 0,064 0,076

NC06 - N1002 -16,497 16,497 0,039 0,037

NC81 - N1002 16,617 16,617 -0,056 -0,047

E1003 - MANATI 2 16,673 16,673 -0,041 -0,118

U1005 - R1005 16,830 16,830 0,029 0,013

NC06 - NC07 -17,319 17,319 0,063 0,063

SANABRIA - K1002 -17,409 17,409 0,086 0,078

N1005 - Q1005 -17,832 17,832 -0,008 -0,059

NC82 - L1002 18,436 18,436 -0,059 -0,031

U1002 - NC19 -18,916 18,916 -0,014 -0,072

NC19 - U1002 18,916 18,916 0,014 0,072

E1003 - NC44 -19,178 19,178 -0,010 -0,045

Q1005 - M1005 19,187 19,187 -0,011 0,066

GUN - SJNSN33 -19,632 19,632 -0,026 -0,027

NC42 - NC44 -19,918 19,918 0,001 -0,032

NC06 - NC09 -20,268 20,268 0,051 0,047

Q1004 - E1003 20,723 20,723 -0,028 -0,020

NC09 - X1002 21,282 21,282 -0,034 -0,033

Q1004 - NC42 21,463 21,463 -0,038 -0,032

BERRIOS - MANATI 2 22,147 22,147 0,017 -0,047

J1002 - L1002 -22,353 22,353 0,049 0,043

N1002 - K1002 22,992 22,992 0,024 0,050

T1002 - N1002 -23,641 23,641 -0,031 -0,042

NC07 - K1002 23,814 23,814 0,000 0,024

NC06 - NC82 -23,912 23,912 0,090 0,085

SJNSH32 - B1001 24,500 24,500 0,089 0,043

NC06 - U1002 -24,607 24,607 0,056 0,044

NC09 - Y1002 25,190 25,190 -0,104 -0,121

U1002 - X1002 25,621 25,621 -0,039 -0,030

G1003 - P1003 26,278 26,278 0,069 0,086

NC81 - L1002 27,638 27,638 -0,065 -0,031

PR MP 3 - SJNSN33 -28,944 28,944 -0,018 0,067

C1003 - D1004 29,266 29,266 0,123 -0,233

SANABRIA - L1002 -29,380 29,380 0,053 0,044

U1002 - Y1002 29,529 29,529 -0,109 -0,118

G1003 - NC44 -29,790 29,790 -0,017 -0,051

NC82 - K1002 30,407 30,407 -0,027 0,002

NC06 - Q1004 -30,786 30,786 0,046 0,034

T1002 - NC82 -31,056 31,056 0,020 0,006

Q1004 - G1003 31,335 31,335 -0,021 -0,014

Q1004 - X1002 31,800 31,800 -0,029 -0,020

NC07 - S1002 32,643 32,643 -0,050 -0,042

NC06 - V1002 -33,046 33,046 0,011 -0,014

NC06 - NC81 -33,114 33,114 0,095 0,084

J1002 - N1002 -33,374 33,374 0,058 0,027

X1002 - V1002 -34,060 34,060 -0,007 -0,029

J1002 - NC07 -34,196 34,196 0,082 0,053

E1003 - Q1003 35,579 35,579 0,085 0,115

Q1004 - Y1002 35,708 35,708 -0,099 -0,108

NC44 - MANATI 2 35,851 35,851 -0,031 -0,073

NC06 - W1002 -36,030 36,030 0,010 -0,016

NC42 - P1003 36,150 36,150 0,086 0,104

T1004 - P1004 36,295 36,295 -0,007 0,078

E1003 - P1003 36,890 36,890 0,075 0,091

W1002 - X1002 37,044 37,044 0,008 0,031

V1002 - Y1002 37,968 37,968 -0,064 -0,060

NC82 - S1002 39,236 39,236 -0,077 -0,064

T1004 - S1004 40,200 40,200 -0,005 0,009

T1002 - NC81 -40,258 40,258 0,026 0,006

SANABRIA - N1002 -40,401 40,401 0,062 0,028

F1003 - Q1003 40,471 40,471 0,110 0,159

J1002 - NC82 -40,789 40,789 0,109 0,075

BERRIOS - Q1003 41,052 41,052 0,143 0,186

P1004 - X1004 -41,275 41,275 0,004 -0,257

BERRIOS - P1003 42,363 42,363 0,133 0,162

F1004 - T1004 -42,377 42,377 0,040 -0,205

D1004 -T1004 -44,101 44,101 0,005 -0,300

NC19 - X1002 44,537 44,537 -0,025 0,042

X1004 - S1004 45,180 45,180 -0,002 0,188

F1004 - X1004 -47,357 47,357 0,037 -0,384

SANABRIA - NC82 -47,816 47,816 0,113 0,076

P1004 - G1005 -48,010 48,010 -0,005 -0,669

G1005 - M1005 -48,037 48,037 0,016 -0,166

NC81 - S1002 48,438 48,438 -0,083 -0,064

NC19 - Y1002 48,445 48,445 -0,096 -0,047

D1004 -X1004 -49,081 49,081 0,002 -0,479

P1004 - Y1004 -49,185 49,185 0,010 -0,299

N1005 - G1005 49,392 49,392 -0,035 0,173

J1002 - NC81 -49,991 49,991 0,114 0,074

V1004 - G1005 -53,816 53,816 -0,001 -0,500

NC44 - Q1003 54,757 54,757 0,095 0,160

V1004 - Y1004 -54,992 54,992 0,014 -0,130

NC44 - P1003 56,068 56,068 0,085 0,136

SANABRIA - NC81 -57,018 57,018 0,118 0,075

E1004 - Y 1004 -58,080 58,080 -0,002 -0,502

J1005 - M1005 -59,223 59,223 0,017 -0,102

N1005 - J1005 60,577 60,577 -0,036 0,109

G1005 - Q1005 -67,224 67,224 0,027 -0,232

J1005 - Q1005 -78,409 78,409 0,028 -0,168

R1005 - G1006 107,454 107,454 -0,059 0,172

G1006 - VELEZ -110,700 110,700 -0,045 -0,096

G1006 - AGUA USCG B -115,363 115,363 0,005 -0,233

T1005 - G1006 117,745 117,745 -0,013 0,219

U1005 - G1006 124,284 124,284 -0,030 0,185

T1005 - S1004 133,112 133,112 0,087 0,957

D1004 - AGUA USCG B -134,631 134,631 -0,094 -1,261

D1004 - T1005 -137,013 137,013 -0,087 -1,248

975 9412 TIDAL 2 - T1005 -139,265 139,265 -0,003 -0,247

Linea Base Distancia Linea Base Ngeo-EGM08 Ngeo-EGM96

(m) (m) (m)

GUN - SJNSN33 276,333 -0,026 -0,027

GUN - SJNSN32 295,931 -0,097 -0,101

Q1004 - NC09 371,385 0,005 0,013

NC09 - X1002 489,388 -0,034 -0,033

NC81 -NC82 518,137 -0,005 0,001

A1002 - B1001 530,179 0,064 0,081

NC42 - G1003 647,955 0,018 0,019

DIAZ - C1002 729,950 -0,067 -0,066

V1003 - U1003 752,730 0,005 -0,001

X1002 - Y1002 811,898 -0,071 -0,089

Q1004 - X1002 825,747 -0,029 -0,020

U1002 -V1002 835,004 -0,046 -0,059

Q1004 - W1002 881,538 -0,036 -0,050

BERRIOS - E1003 950,670 0,057 0,070

NC06 - T1002 979,894 0,069 0,078

N1005 - M1005 980,676 -0,019 0,007

NC06 - NC07 1031,579 0,063 0,063

T1004 - S1004 1125,571 -0,005 0,009

NC09 - Y1002 1248,252 -0,104 -0,121

NC09 - W1002 1249,288 -0,041 -0,063

S1003 - R1003 1250,138 -0,036 -0,021

NC06 - S1002 1300,851 0,012 0,020

BERRIOS - F1003 1358,153 0,033 0,027

NC81 - N1002 1403,541 -0,056 -0,047

J1002 - K1002 1413,286 0,082 0,077

L1002 -K1002 1473,892 0,033 0,034

Q1004 - Y1002 1495,392 -0,099 -0,108

U1005 - T1005 1539,479 -0,017 -0,034

F1003 - G1003 1576,745 0,032 0,050

W1002 - V1002 1578,951 0,001 0,002

SANABRIA - J1002 1629,636 0,004 0,001

W1002 - X1002 1701,298 0,008 0,031

NC06 - U1002 1712,886 0,056 0,044

G1005 - J1005 1784,260 -0,001 -0,064

G1003 - NC44 1810,722 -0,017 -0,051

NC82 - N1002 1838,863 -0,051 -0,048

D1004 - F1004 1937,311 -0,035 -0,095

DIAZ - A1002 1988,265 -0,013 0,011

T1002 - NC07 1988,355 -0,007 -0,016

G1006 - VELEZ 1990,111 -0,045 -0,096

P1004 - S1004 2013,264 0,002 -0,069

R1005 - AGUA USCG B 2223,164 -0,054 -0,061

BERRIOS - NC42 2226,799 0,047 0,058

P1003 - R1003 2253,911 -0,025 -0,006

F1003 - E1003 2290,223 0,025 0,044

NC07 - S1002 2324,355 -0,050 -0,042

C1002 - A1002 2357,484 0,053 0,076

T1004 - P1004 2357,544 -0,007 0,078

U1002 - W1002 2363,293 -0,047 -0,061

NC14 - C1003 2378,424 -0,070 -0,064

NC42 - NC44 2392,468 0,001 -0,032

Q1004 - V1002 2409,615 -0,036 -0,049

L1002 -N1002 2459,400 0,009 -0,016

N1005 - Q1005 2480,576 -0,008 -0,059

C1002 - B1001 2486,487 0,064 0,081

NC06 - V1002 2534,889 0,011 -0,014

NC09 - V1002 2750,210 -0,041 -0,062

U1005 - AGUA USCG B 2833,152 -0,024 -0,047

J1002 - L1002 2867,832 0,049 0,043

BERRIOS - G1003 2873,473 0,064 0,076

SANABRIA - K1002 3042,898 0,086 0,078

GUN - SJ2 3055,923 -0,023 -0,058

NC42 - E1003 3096,484 0,011 0,013

F1003 - NC44 3138,623 0,015 -0,001

Q1004 - U1002 3140,427 0,010 0,010

X1002 - V1002 3231,264 -0,007 -0,029

A1003 - X1003 3311,331 0,059 0,154

V1003 - S1003 3315,798 0,025 0,089

P1003 - S1003 3358,593 0,011 0,015

U1002 - NC19 3455,841 -0,014 -0,072

Q1005 - M1005 3461,033 -0,011 0,066

R1005 - T1005 3516,924 -0,046 -0,047

V1004 - Y1004 3688,433 0,014 -0,130

E1003 - G1003 3742,830 0,007 0,006

NC44 - MANATI 2 3772,350 -0,031 -0,073

SJNSH32 - B1001 3792,683 0,089 0,043

J1005 - M1005 3805,881 0,017 -0,102

NC81 - L1002 3835,873 -0,065 -0,031

N1002 - K1002 3859,623 0,024 0,050

V1002 - Y1002 3861,400 -0,064 -0,060

U1002 - X1002 3944,266 -0,039 -0,030

PR MP 3 - SJ2 3971,710 -0,016 0,035

S1003 - U1003 3979,250 -0,020 -0,090

GUN - B1001 4068,702 -0,008 -0,058

NC06 - W1002 4073,835 0,010 -0,016

NC82 - L1002 4205,297 -0,059 -0,031

X1003 - U1003 4342,704 -0,041 0,046

V1004 - P1004 4478,702 0,004 0,169

SANABRIA - L1002 4491,084 0,053 0,044

BERRIOS - NC44 4496,759 0,047 0,025

V1003 - R1003 4542,856 -0,011 0,068

NC19 - Y1002 4551,135 -0,096 -0,047

U1002 - Y1002 4622,516 -0,109 -0,118

T1004 - X1004 4698,906 -0,003 -0,179

N1005 - J1005 4779,730 -0,036 0,109

NC06 - Q1004 4826,223 0,046 0,034

X1004 - S1004 4954,394 -0,002 0,188

NC82 - S1002 4956,330 -0,077 -0,064

U1005 - R1005 5056,003 0,029 0,013

V1003 - X1003 5058,136 0,045 -0,048

NC06 - NC09 5123,688 0,051 0,047

R1003 - U1003 5221,629 0,016 -0,069

NC19 - X1002 5234,101 -0,025 0,042

J1002 - N1002 5272,712 0,058 0,027

T1002 - NC82 5310,103 0,020 0,006

E1003 - NC44 5421,884 -0,010 -0,045

NC81 - S1002 5445,022 -0,083 -0,064

G1005 - M1005 5572,021 0,016 -0,166

NC06 - X1002 5612,194 0,018 0,015

NC82 - K1002 5652,603 -0,027 0,002

T1002 - NC81 5799,751 0,026 0,006

U1005 - VELEZ 5950,526 -0,074 0,090

Q1004 - NC19 6024,645 -0,003 -0,061

NC42 - MANATI 2 6153,718 -0,030 -0,105

NC06 - NC82 6217,416 0,090 0,085

NC06 - Y1002 6317,224 -0,053 -0,074

V1003 - P1003 6359,391 0,014 0,074

GUN - PR MP 3 6493,519 -0,007 -0,093

N1005 - G1005 6538,235 -0,035 0,173

PR MP 3 - SJNSN33 6604,366 -0,018 0,067

J1002 - NC81 6671,596 0,114 0,074

NC06 - NC81 6695,184 0,095 0,084

NC19 - W1002 6834,464 -0,033 0,011

SANABRIA - N1002 6902,053 0,062 0,028

P1004 - X1004 6908,116 0,004 -0,257

J1002 - NC82 7063,273 0,109 0,075

E1004 - P1004 7067,425 -0,012 -0,203

P1003 - U1003 7093,959 -0,010 -0,076

C1002 - SANABRIA 7100,966 0,040 0,075

T1002 - N1002 7135,037 -0,031 -0,042

C1003 - G1003 7151,117 0,022 0,045

NC07 - NC82 7247,590 0,027 0,022

J1005 - Q1005 7255,007 0,028 -0,168

U1005 - G1006 7472,645 -0,030 0,185

A1004 - U1003 7587,159 0,018 0,200

F1004 - P1004 7627,850 0,033 -0,127

DIAZ - SANABRIA 7651,175 -0,027 0,009

NC07 - NC81 7723,431 0,032 0,021

D1004 - P1004 7871,920 -0,002 -0,222

NC44 - P1003 7985,307 0,085 0,136

NC06 - N1002 8051,902 0,039 0,037

P1004 - Y1004 8118,734 0,010 -0,299

BERRIOS - MANATI 2 8258,535 0,017 -0,047

V1003 - A1004 8269,182 -0,014 -0,202

SANABRIA - NC81 8301,224 0,118 0,075

X1003 - S1003 8310,874 -0,020 0,137

NC19 - V1002 8412,104 -0,032 0,013

Q1004 - E1003 8554,031 -0,028 -0,020

NC44 - Q1003 8621,217 0,095 0,160

SANABRIA - NC82 8691,451 0,113 0,076

T1005 - G1006 8967,232 -0,013 0,219

G1005 - Q1005 9002,637 0,027 -0,232

NC07 - N1002 9082,776 -0,024 -0,026

F1004 - T1004 9159,932 0,040 -0,205

NC19 - U1002 9164,881 0,014 0,072

E1003 - MANATI 2 9190,491 -0,041 -0,118

975 9412 TIDAL 2 - T1005 9280,943 -0,003 -0,247

G1003 - P1003 9377,886 0,069 0,086

Q1004 - BERRIOS 9445,832 -0,085 -0,090

F1004 - S1004 9460,183 0,035 -0,196

NC14 - G1003 9529,160 -0,048 -0,019

X1003 - R1003 9558,049 -0,056 0,116

D1004 -T1004 9759,909 0,005 -0,300

Y 1004 - G1005 9853,997 -0,015 -0,370

NC42 - P1003 10022,747 0,086 0,104

G1006 - AGUA USCG B 10228,480 0,005 -0,233

NC06 - L1002 10294,842 0,030 0,053

Q1004 - F1003 10800,393 -0,052 -0,063

R1005 - VELEZ 10994,960 -0,103 0,077

NC07 - L1002 11323,591 -0,033 -0,010

E1004 - V1004 11326,253 -0,016 -0,372

P1003 - X1003 11412,548 0,031 -0,122

F1003 - Q1003 11524,890 0,110 0,159

A1004 - S1003 11566,200 0,038 0,290

Q1004 - NC42 11649,863 -0,038 -0,032

NC06 - K1002 11768,094 0,063 0,087

J1002 - S1002 11857,879 0,032 0,011

BERRIOS - P1003 12249,035 0,133 0,162

Q1004 - G1003 12296,707 -0,021 -0,014

R1005 - G1006 12406,771 -0,059 0,172

NC07 - K1002 12797,092 0,000 0,024

A1004 - R1003 12805,957 0,002 0,269

BERRIOS - Q1003 12817,220 0,143 0,186

E1003 - P1003 13085,089 0,075 0,091

V1004 - G1005 13238,684 -0,001 -0,500

SANABRIA - S1002 13463,259 0,035 0,011

E1003 - Q1003 13634,881 0,085 0,115

F1004 - X1004 13694,989 0,037 -0,384

Q1004 - NC44 13932,752 -0,038 -0,065

J1002 - NC07 14182,023 0,082 0,053

D1004 -X1004 14431,937 0,002 -0,479

P1004 - A1004 14567,402 -0,028 -0,276

E1004 - Y 1004 14716,664 -0,002 -0,502

P1004 - G1005 17688,798 -0,005 -0,669

T1005 - S1004 29419,757 0,087 0,957

C1003 - D1004 34677,733 0,123 -0,233

NC14 - D1004 37046,955 0,053 -0,297

D1004 - AGUA USCG B 37600,223 -0,094 -1,261

975 9412 TIDAL 2 - S1004 38639,090 0,083 0,709

D1004 - T1005 38863,806 -0,087 -1,248

D1004 - 975 9412 TIDAL 2 48134,170 -0,083 -1,000

Anexo 8

Análisis para determinar la precisión del modelo GEOID12A y de los modelos EGM96 yEGM2008 ajustados a lo largo de la línea de nivelación

201

Estacion NGeo

EGM 96 NGeo

-NEGM96

NEGM96

Adj. Diferencia

(m) (m) (m) (m) (m)

SJ2 -43,151 -44,406 1,255 -42,831 0,320 -0,121 0,015

SJNSH32 -43,140 -44,438 1,298 -42,863 0,277 -0,164 0,027

GUN -43,230 -44,427 1,197 -42,852 0,378 -0,063 0,004

SJNSH33 -43,257 -44,481 1,224 -42,906 0,351 -0,090 0,008

B1001 -43,046 -44,301 1,255 -42,726 0,320 -0,121 0,015

A1002 -42,992 -44,252 1,260 -42,677 0,315 -0,126 0,016

DIAZ -42,697 -43,968 1,271 -42,393 0,304 -0,137 0,019

C1002 -42,520 -43,856 1,336 -42,281 0,239 -0,202 0,041

PR MP 3 -42,590 -43,880 1,290 -42,305 0,285 -0,156 0,024

SANABRIA -42,244 -43,505 1,261 -41,930 0,314 -0,127 0,016

J1002 -42,198 -43,458 1,260 -41,883 0,315 -0,126 0,016

K1002 -42,234 -43,417 1,183 -41,842 0,392 -0,049 0,002

L1002 -42,216 -43,433 1,217 -41,858 0,358 -0,083 0,007

N1002 -42,070 -43,303 1,233 -41,728 0,342 -0,099 0,010

NC81 -42,101 -43,287 1,186 -41,712 0,389 -0,052 0,003

NC82 -42,150 -43,336 1,186 -41,761 0,390 -0,051 0,003

S1002 -42,306 -43,556 1,250 -41,981 0,325 -0,116 0,013

T1002 -42,388 -43,580 1,192 -42,005 0,383 -0,058 0,003

NC06 -42,287 -43,557 1,270 -41,982 0,305 -0,136 0,018

NC07 -42,381 -43,589 1,208 -42,014 0,368 -0,073 0,005

U1002 -42,329 -43,555 1,226 -41,980 0,350 -0,091 0,008

V1002 -42,240 -43,524 1,284 -41,949 0,291 -0,150 0,023

W1002 -42,299 -43,585 1,286 -42,010 0,289 -0,152 0,023

Q1004 -42,443 -43,679 1,236 -42,104 0,339 -0,102 0,010

NC09 -42,504 -43,727 1,223 -42,152 0,352 -0,089 0,008

X1002 -42,493 -43,748 1,255 -42,173 0,320 -0,121 0,015

Y1002 -42,356 -43,700 1,344 -42,125 0,231 -0,210 0,044

NC14 -42,466 -43,697 1,231 -42,122 0,345 -0,096 0,009

C1003 -42,529 -43,823 1,294 -42,248 0,281 -0,160 0,026

NC19 -42,696 -43,993 1,297 -42,418 0,278 -0,163 0,027

E1003 -42,820 -44,075 1,255 -42,500 0,320 -0,121 0,015

BERRIOS -42,732 -44,058 1,326 -42,483 0,249 -0,192 0,037

F1003 -42,802 -44,101 1,299 -42,526 0,276 -0,165 0,027

NC42 -42,956 -44,224 1,268 -42,649 0,307 -0,134 0,018

G1003 -43,016 -44,266 1,250 -42,691 0,326 -0,115 0,013

NC44 -42,904 -44,204 1,300 -42,629 0,275 -0,166 0,028

MANATI 2 -42,895 -44,268 1,373 -42,693 0,202 -0,239 0,057

P1003 -43,926 -45,090 1,164 -43,515 0,411 -0,030 0,001

Q1003 -44,098 -45,238 1,140 -43,663 0,435 -0,006 0,000

R1003 -44,287 -45,457 1,170 -43,882 0,405 -0,036 0,001

S1003 -44,381 -45,530 1,149 -43,955 0,426 -0,015 0,000

V1003 -44,331 -45,569 1,238 -43,994 0,337 -0,104 0,011

U1003 -44,421 -45,661 1,240 -44,086 0,336 -0,105 0,011

X1003 -44,621 -45,907 1,286 -44,332 0,289 -0,152 0,023

A1004 -44,468 -45,908 1,440 -44,333 0,136 -0,305 0,093

D1004 -44,126 -45,653 1,527 -44,078 0,048 -0,393 0,154

E1004 -44,104 -45,650 1,546 -44,075 0,029 -0,412 0,170

F1004 -43,726 -45,348 1,622 -43,773 0,047 -0,394 0,155

P1004 -44,623 -46,372 1,749 -44,797 0,174 -0,267 0,071

S1004 -44,643 -46,461 1,818 -44,886 0,243 -0,198 0,039

T1004 -44,398 -46,225 1,827 -44,650 0,252 -0,189 0,036

V1004 -44,540 -46,458 1,918 -44,883 0,343 -0,098 0,010

X1004 -44,360 -46,366 2,006 -44,791 0,431 -0,010 0,000

Y1004 -44,304 -46,352 2,048 -44,777 0,473 0,032 0,001

G1005 -44,616 -47,034 2,418 -45,459 0,843 0,402 0,161

J1005 -44,438 -46,920 2,482 -45,345 0,907 0,466 0,217

M1005 -44,229 -46,813 2,584 -45,238 1,009 0,568 0,322

N1005 -44,221 -46,812 2,591 -45,237 1,016 0,575 0,331

Q1005 -44,143 -46,793 2,650 -45,218 1,075 0,634 0,401

R1005 -44,013 -46,741 2,728 -45,166 1,153 0,712 0,507

AGUA USCG B-43,887 -46,676 2,789 -45,101 1,213 0,772 0,597

T1005 -43,866 -46,641 2,775 -45,066 1,200 0,759 0,575

U1005 -43,864 -46,605 2,741 -45,030 1,166 0,725 0,526

VELEZ -43,888 -46,539 2,651 -44,964 1,076 0,635 0,404

G1006 -44,229 -46,785 2,556 -45,210 0,981 0,540 0,291

975 9412 TIDAL 2-44,298 -46,826 2,528 -45,251 0,952 0,511 0,262

1,575 0,441 6,023

0,091

σ 0,302

Estacion NEGM08

NGeo

NGeo

-NEGM08

NEGM08

Adj. Diferencia

(m) (m) (m) (m) (m)

SJ2 -45,340 -43,151 2,189 -43,215 0,064 0,014 0,000

SJNSH32 -45,403 -43,140 2,263 -43,278 0,138 0,088 0,008

GUN -45,396 -43,230 2,166 -43,271 0,041 -0,009 0,000

SJNSH33 -45,449 -43,257 2,192 -43,324 0,067 0,017 0,000

B1001 -45,220 -43,046 2,174 -43,095 0,049 0,000 0,000

A1002 -45,177 -42,992 2,185 -43,052 0,060 0,010 0,000

DIAZ -44,869 -42,697 2,172 -42,744 0,047 -0,003 0,000

C1002 -44,758 -42,520 2,238 -42,633 0,113 0,063 0,004

PR MP 3 -44,763 -42,590 2,173 -42,638 0,048 -0,001 0,000

SANABRIA -44,442 -42,244 2,198 -42,317 0,073 0,023 0,001

J1002 -44,392 -42,198 2,194 -42,267 0,069 0,020 0,000

K1002 -44,346 -42,234 2,112 -42,221 0,013 -0,036 0,001

L1002 -44,361 -42,216 2,145 -42,236 0,020 -0,030 0,001

N1002 -44,206 -42,070 2,136 -42,081 0,011 -0,038 0,001

NC81 -44,181 -42,101 2,080 -42,056 0,045 -0,005 0,000

NC82 -44,236 -42,150 2,086 -42,111 0,040 -0,010 0,000

S1002 -44,469 -42,306 2,163 -42,344 0,038 -0,012 0,000

T1002 -44,494 -42,388 2,106 -42,369 0,019 -0,030 0,001

NC06 -44,462 -42,287 2,175 -42,337 0,050 0,000 0,000

NC07 -44,494 -42,381 2,113 -42,369 0,013 -0,037 0,001

U1002 -44,448 -42,329 2,119 -42,323 0,007 -0,043 0,002

V1002 -44,404 -42,240 2,164 -42,279 0,039 -0,010 0,000

W1002 -44,464 -42,299 2,165 -42,339 0,040 -0,009 0,000

Q1004 -44,572 -42,443 2,129 -42,447 0,004 -0,046 0,002

NC09 -44,628 -42,504 2,124 -42,503 0,001 -0,048 0,002

X1002 -44,650 -42,493 2,157 -42,525 0,032 -0,017 0,000

Y1002 -44,584 -42,356 2,228 -42,459 0,103 0,053 0,003

NC14 -44,568 -42,466 2,102 -42,443 0,024 -0,026 0,001

C1003 -44,700 -42,529 2,171 -42,575 0,046 -0,003 0,000

NC19 -44,828 -42,696 2,132 -42,703 0,007 -0,043 0,002

E1003 -44,976 -42,820 2,156 -42,851 0,031 -0,018 0,000

BERRIOS -44,946 -42,732 2,214 -42,821 0,089 0,039 0,002

F1003 -44,983 -42,802 2,181 -42,858 0,056 0,006 0,000

NC42 -45,123 -42,956 2,167 -42,998 0,042 -0,008 0,000

G1003 -45,166 -43,016 2,150 -43,041 0,024 -0,025 0,001

NC44 -45,070 -42,904 2,166 -42,945 0,041 -0,008 0,000

MANATI 2 -45,092 -42,895 2,197 -42,967 0,072 0,022 0,000

P1003 -46,007 -43,926 2,081 -43,882 0,044 -0,005 0,000

Q1003 -46,169 -44,098 2,071 -44,044 0,054 0,004 0,000

R1003 -46,393 -44,287 2,106 -44,268 0,019 -0,031 0,001

S1003 -46,451 -44,381 2,070 -44,326 0,055 0,005 0,000

V1003 -46,426 -44,331 2,095 -44,301 0,030 -0,019 0,000

U1003 -46,512 -44,421 2,091 -44,387 0,035 -0,015 0,000

X1003 -46,671 -44,621 2,050 -44,546 0,075 0,026 0,001

A1004 -46,577 -44,468 2,109 -44,452 0,017 -0,033 0,001

D1004 -46,174 -44,126 2,048 -44,049 0,077 0,027 0,001

E1004 -46,142 -44,104 2,038 -44,017 0,087 0,037 0,001

F1004 -45,809 -43,726 2,083 -43,684 0,042 -0,007 0,000

P1004 -46,673 -44,623 2,050 -44,548 0,075 0,025 0,001

S1004 -46,691 -44,643 2,048 -44,566 0,077 0,027 0,001

T1004 -46,441 -44,398 2,043 -44,316 0,082 0,033 0,001

V1004 -46,594 -44,540 2,054 -44,469 0,071 0,021 0,000

X1004 -46,406 -44,360 2,046 -44,281 0,079 0,029 0,001

Y1004 -46,344 -44,304 2,040 -44,219 0,085 0,035 0,001

G1005 -46,671 -44,616 2,055 -44,546 0,070 0,021 0,000

J1005 -46,494 -44,438 2,056 -44,369 0,069 0,019 0,000

M1005 -46,268 -44,229 2,039 -44,143 0,086 0,037 0,001

N1005 -46,241 -44,221 2,020 -44,116 0,105 0,055 0,003

Q1005 -46,171 -44,143 2,028 -44,046 0,097 0,048 0,002

R1005 -46,102 -44,013 2,089 -43,977 0,036 -0,013 0,000

AGUA USCG B -46,030 -43,887 2,143 -43,905 0,017 -0,032 0,001

T1005 -46,001 -43,866 2,135 -43,876 0,010 -0,040 0,002

U1005 -45,982 -43,864 2,118 -43,857 0,007 -0,043 0,002

VELEZ -46,080 -43,888 2,192 -43,955 0,067 0,018 0,000

G1006 -46,377 -44,229 2,148 -44,252 0,023 -0,027 0,001

975 9412 TIDAL 2 -46,430 -44,298 2,132 -44,305 0,006 -0,043 0,002

Average 2,125 0,050 0,061

0,001

σ 0,030

Estacion Latitud Longitud h H NGeo

NGeoid12

Diferencia

(m) (m) (m) (m) (m)

975 5371 A TIDAL 18,458955 -66,116446 -41,644 1,334 -42,978 -42,985 0,007 -0,056 0,003

SJ2 18,465841 -66,095137 -24,807 18,344 -43,151 -43,112 0,039 -0,024 0,001

SJNSH32 18,468374 -66,121211 -16,071 27,069 -43,140 -43,202 0,062 -0,001 0,000

GUN 18,467990 -66,123982 -27,383 15,847 -43,230 -43,196 0,034 -0,029 0,001

SJNSH33 18,470458 -66,123633 -7,778 35,479 -43,257 -43,252 0,005 -0,058 0,003

B1001 18,460357 -66,086301 -40,477 2,569 -43,046 -42,988 0,057 -0,005 0,000

A1002 18,458247 -66,090808 -41,404 1,588 -42,992 -42,944 0,048 -0,015 0,000

DIAZ 18,443523 -66,080026 -36,852 5,845 -42,697 -42,639 0,058 -0,005 0,000

C1002 18,438016 -66,083828 -37,754 4,766 -42,520 -42,529 0,009 -0,054 0,003

PR MP 3 18,438415 -66,070891 -36,055 6,535 -42,590 -42,538 0,052 -0,011 0,000

SANABRIA 18,422885 -66,149147 -38,317 3,927 -42,244 -42,230 0,013 -0,049 0,002

J1002 18,420848 -66,164424 -31,244 10,954 -42,198 -42,186 0,012 -0,051 0,003

K1002 18,418986 -66,177657 -20,898 21,336 -42,234 -42,140 0,094 0,031 0,001

L1002 18,420120 -66,191557 -8,909 33,307 -42,216 -42,155 0,061 -0,002 0,000

N1002 18,413226 -66,213686 2,259 44,328 -42,070 -41,999 0,071 0,008 0,000

NC81 18,412348 -66,226937 18,844 60,945 -42,101 -41,976 0,125 0,062 0,004

NC82 18,414978 -66,230993 9,593 51,743 -42,150 -42,031 0,119 0,056 0,003

S1002 18,425662 -66,276549 -29,799 12,507 -42,306 -42,272 0,034 -0,029 0,001

T1002 18,426751 -66,279716 -21,701 20,687 -42,388 -42,298 0,091 0,028 0,001

NC06 18,425229 -66,288853 -14,456 27,831 -42,287 -42,265 0,022 -0,041 0,002

NC07 18,426443 -66,298533 2,769 45,150 -42,381 -42,298 0,084 0,021 0,000

U1002 18,424337 -66,305037 10,109 52,438 -42,329 -42,252 0,077 0,015 0,000

V1002 18,422302 -66,312648 18,637 60,877 -42,240 -42,208 0,032 -0,031 0,001

W1002 18,424554 -66,327405 21,562 63,861 -42,299 -42,270 0,029 -0,034 0,001

Q1004 18,428943 -66,334368 16,174 58,617 -42,443 -42,379 0,064 0,002 0,000

NC09 18,431226 -66,336942 5,595 48,099 -42,504 -42,434 0,070 0,007 0,000

X1002 18,431976 -66,341503 -15,676 26,817 -42,493 -42,455 0,037 -0,025 0,001

Y1002 18,428982 -66,348519 -19,447 22,909 -42,356 -42,388 0,032 -0,031 0,001

NC14 18,427796 -66,361272 -24,546 17,921 -42,466 -42,370 0,097 0,034 0,001

C1003 18,432224 -66,383301 -8,912 33,617 -42,529 -42,493 0,035 -0,027 0,001

NC19 18,437036 -66,390762 28,658 71,354 -42,696 -42,617 0,079 0,016 0,000

E1003 18,441562 -66,414253 -4,926 37,894 -42,820 -42,757 0,063 0,000 0,000

BERRIOS 18,439783 -66,423057 0,636 43,368 -42,732 -42,726 0,006 -0,056 0,003

F1003 18,440388 -66,435898 -0,016 42,786 -42,802 -42,764 0,038 -0,025 0,001

NC42 18,445461 -66,443280 -5,802 37,154 -42,956 -42,907 0,049 -0,014 0,000

G1003 18,446714 -66,449271 -15,734 27,282 -43,016 -42,953 0,064 0,001 0,000

NC44 18,441680 -66,465578 14,168 57,072 -42,904 -42,864 0,040 -0,023 0,001

MANATI 2 18,439834 -66,501233 -21,674 21,221 -42,895 -42,897 0,002 -0,061 0,004

P1003 18,473034 -66,533661 -42,922 1,004 -43,926 -43,804 0,122 0,059 0,003

Q1003 18,478932 -66,537256 -41,782 2,315 -44,098 -43,969 0,129 0,066 0,004

R1003 18,486529 -66,549643 -42,286 2,000 -44,287 -44,200 0,087 0,024 0,001

S1003 18,487881 -66,561395 -43,250 1,130 -44,381 -44,267 0,114 0,051 0,003

V1003 18,484717 -66,592616 -37,292 7,039 -44,331 -44,256 0,075 0,012 0,000

U1003 18,487597 -66,599073 -35,932 8,489 -44,421 -44,345 0,077 0,014 0,000

X1003 18,491323 -66,640008 -41,593 3,028 -44,621 -44,505 0,116 0,053 0,003

A1004 18,486200 -66,670899 -41,447 3,021 -44,468 -44,418 0,050 -0,013 0,000

D1004 18,468551 -66,709374 -39,775 4,350 -44,126 -44,015 0,110 0,048 0,002

E1004 18,466942 -66,717817 -40,842 3,261 -44,104 -43,984 0,120 0,057 0,003

F1004 18,453275 -66,718327 -37,651 6,074 -43,726 -43,646 0,080 0,017 0,000

P1004 18,486842 -66,781401 -32,466 12,156 -44,623 -44,527 0,096 0,033 0,001

S1004 18,487380 -66,800455 -36,391 8,252 -44,643 -44,548 0,095 0,033 0,001

T1004 18,477252 -66,801329 4,053 48,451 -44,398 -44,295 0,103 0,041 0,002

V1004 18,483422 -66,823656 -38,190 6,350 -44,540 -44,459 0,081 0,018 0,000

X1004 18,475907 -66,845797 9,072 53,431 -44,360 -44,273 0,087 0,024 0,001

Y1004 18,473475 -66,856983 17,038 61,342 -44,304 -44,207 0,097 0,034 0,001

G1005 18,488874 -66,948878 15,550 60,166 -44,616 -44,521 0,095 0,032 0,001

J1005 18,482041 -66,964180 4,543 48,980 -44,438 -44,344 0,093 0,031 0,001

M1005 18,472991 -66,998940 63,974 108,203 -44,229 -44,132 0,097 0,034 0,001

N1005 18,471799 -67,008140 65,337 109,558 -44,221 -44,107 0,114 0,051 0,003

Q1005 18,468244 -67,031327 83,247 127,390 -44,143 -44,040 0,103 0,040 0,002

R1005 18,464365 -67,044877 87,060 131,073 -44,013 -43,969 0,044 -0,019 0,000

AGUA USCG B 18,459197 -67,065216 95,095 138,982 -43,887 -43,892 0,005 -0,058 0,003

T1005 18,456319 -67,077087 97,498 141,364 -43,866 -43,862 0,004 -0,058 0,003

U1005 18,453165 -67,091281 104,039 147,903 -43,864 -43,839 0,025 -0,038 0,001

VELEZ 18,444800 -67,146926 90,431 134,319 -43,888 -43,903 0,015 -0,048 0,002

G1006 18,455578 -67,161969 -20,611 23,619 -44,229 -44,203 0,026 -0,036 0,001

975 9412 TIDAL 2 18,457335 -67,164934 -42,200 2,098 -44,298 -44,261 0,038 -0,025 0,001

0,063 0,088

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Anexo 9

Información de las campañas de los datos de gravedad marítimos descargados de lapágina web de la NOAA

209

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Anexo 10

Valores de la ondulación del geoide en las estaciones de referencia del NGS

221

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,15

6-4

2,3

13

-42

,07

2-4

2,2

18

-42

,27

1-4

2,0

58

DE5

50

6F

10

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-66

,71

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53

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-37

,56

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42

-43

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-45

,65

3-4

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27

-45

,79

8-4

5,6

82

DE5

51

2P

10

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-66

,78

14

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8,4

86

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12

,15

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-44

,52

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26

-46

,67

3-4

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41

-46

,58

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81

-46

,59

4

TV1

29

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OV

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4,2

10

-46

,35

7-4

6,1

98

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-46

,25

6

AB

98

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,92

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3,9

38

-46

,11

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5,9

36

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,01

4-4

6,0

59

-45

,98

5

DE5

53

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10

05

-66

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41

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72

99

10

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64

,07

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4,1

30

-44

,13

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68

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6,1

84

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91

78

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3,9

49

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,95

4-4

6,0

91

-45

,99

2-4

6,0

34

-46

,06

7-4

6,0

59

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91

79

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,09

1-4

3,8

91

-43

,89

2-4

6,0

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-45

,92

7-4

5,9

70

-46

,00

7-4

5,9

93

AB

97

69

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3-6

7,1

13

48

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,50

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43

13

,43

5-4

4,9

08

-44

,89

0-4

7,0

39

-46

,99

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7,0

11

-47

,01

6-4

7,0

75

DE5

55

7B

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,82

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4,8

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,02

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-46

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-47

,06

8

TV1

51

5B

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23

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,78

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6,9

52

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,90

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-46

,95

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7,0

12

TV1

51

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43

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,37

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46

-46

,46

1

DE5

54

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,09

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92

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74

34

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,06

4

TV1

52

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,21

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,43

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-43

,21

9

DK

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4 A

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,06

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06

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13

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62

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8

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-39

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35

-42

,17

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,99

6

AB

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91

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-39

,51

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9,5

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-41

,71

3-4

1,4

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-41

,57

8-4

1,7

23

-41

,51

1

AB

98

42

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,01

45

18

,45

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-39

,58

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-41

,84

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1,6

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,75

2-4

1,8

37

-41

,65

3

DO

12

98

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13

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17

,98

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,21

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-39

,67

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,93

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1,7

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-41

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1,9

15

-41

,80

4

TV1

21

1P

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RP

-66

,56

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1,7

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-41

,60

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1,6

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16

AB

93

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E-6

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-41

,74

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,61

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AB

97

49

PSE

F-6

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,02

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,74

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-41

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25

-41

,62

3

AB

98

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JO-6

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,36

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9,0

94

-39

,11

6-4

1,3

53

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,16

3-4

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-41

,33

0-4

1,1

56

AB

98

44

CO

CO

-66

,24

81

31

8,0

02

03

45

,41

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,52

5-3

8,8

85

-38

,87

1-4

1,1

09

-40

,94

6-4

1,0

21

-41

,16

3-4

0,9

50

DO

13

92

T 1

02

2-6

6,1

40

42

18

,11

20

14

18

,96

23

80

,55

7-3

8,4

05

-38

,44

6-4

0,7

01

-40

,46

1-4

0,5

67

-40

,69

0-4

0,4

60

DO

11

10

F 1

01

6-6

6,0

37

71

18

,26

52

17

7,6

48

37

,80

6-3

9,8

42

-39

,77

8-4

2,0

21

-41

,92

7-4

1,9

81

-42

,02

6-4

1,9

28

AA

76

61

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A-6

5,9

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,43

02

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,89

0-4

0,4

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,38

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-44

,59

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,52

8-4

4,6

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-44

,52

4

AA

76

62

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B-6

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,43

12

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,39

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09

-42

,40

6-4

2,4

03

-44

,61

9-4

4,4

98

-44

,54

8-4

4,6

21

-44

,54

5

Pro

me

dio

-42

,25

9-4

2,2

84

-44

,46

2-4

4,3

18

-44

,38

0-4

4,4

50

-44

,36

1

Max

imo

-38

,40

5-3

8,4

46

-40

,70

1-4

0,4

61

-40

,56

7-4

0,6

90

-40

,46

0

Min

imo

-44

,90

8-4

4,8

90

-47

,03

9-4

6,9

97

-47

,01

1-4

7,0

16

-47

,07

5

De

sv E

std

1,9

61

1,9

42

1,9

34

1,9

70

1,9

46

1,9

37

1,9

98

Var

3,8

45

3,7

70

3,7

40

3,8

82

3,7

88

3,7

52

3,9

91

Anexo 11

Resultados del Análisis de la 'precisión' de los modelos del geoide en función de lasdistancias entre las estaciones de validación

225

Tramo entre 0 – 5 km. (46 tramos de 990) 4,6%

Δ(h-H)-

ΔGeoid12A Δ(h-H)-

ΔEGM08 Δ(h-H)-

ΔGeoideAP Δ(h-H)-

ΔGeoideWG Δ(h-H)-

ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO

(m) (m) (m) (m) (m) (m)

Suma de las diferencias 0,726 0,929 0,992 0,891 1,182 1,255

Promedio 0,016 0,020 0,022 0,019 0,026 0,027

Máximo 0,057 0,064 0,063 0,057 0,096 0,084

Mínimo 0,000 0,000 0,001 0,001 0,000 0,000


‘Precisión’ 0,014 0,017 0,017 0,017 0,024 0,023


Δ(h-H)-

ΔGeoid12A Δ(h-H)-

ΔEGM08 Δ(h-H)-

ΔGeoideAP Δ(h-H)-

ΔGeoideWG Δ(h-H)-

ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO

(m) (m) (m) (m) (m) (m)


Promedio 0,015 0,024 0,047 0,029 0,044 0,064

Máximo 0,090 0,059 0,124 0,081 0,152 0,172

Mínimo 0,001 0,001 0,005 0,002 0,000 0,002


‘Precisión’ 0,019 0,016 0,033 0,017 0,037 0,048


Δ(h-H)-

ΔGeoid12A Δ(h-H)-

ΔEGM08 Δ(h-H)-

ΔGeoideAP Δ(h-H)-

ΔGeoideWG Δ(h-H)-

ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO

(m) (m) (m) (m) (m) (m)


Promedio 0,044 0,035 0,046 0,027 0,039 0,074

Máximo 0,205 0,117 0,166 0,102 0,180 0,269

Mínimo 0,000 0,001 0,001 0,000 0,001 0,002


‘Precisión’ 0,052 0,021785 0,042 0,021777 0,033 0,059


Δ(h-H)-

ΔGeoid12A Δ(h-H)-

ΔEGM08 Δ(h-H)-

ΔGeoideAP Δ(h-H)-

ΔGeoideWG Δ(h-H)-

ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO

(m) (m) (m) (m) (m) (m)


Promedio 0,054 0,040 0,060 0,033 0,048 0,085

Máximo 0,223 0,114 0,184 0,114 0,132 0,278

Mínimo 0,000 0,001 0,002 0,000 0,001 0,001


‘Precisión’ 0,062 0,027 0,045 0,023 0,031 0,068


Δ(h-H)-

ΔGeoid12A Δ(h-H)-

ΔEGM08 Δ(h-H)-

ΔGeoideAP Δ(h-H)-

ΔGeoideWG Δ(h-H)-

ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO

(m) (m) (m) (m) (m) (m)


Promedio 0,048 0,047 0,055 0,043 0,050 0,066

Máximo 0,203 0,130 0,156 0,134 0,170 0,299

Mínimo 0,000 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000


‘Precisión’ 0,048 0,033 0,036 0,031 0,035 0,053


Δ(h-H)-

ΔGeoid12A Δ(h-H)-

ΔEGM08 Δ(h-H)-

ΔGeoideAP Δ(h-H)-

ΔGeoideWG Δ(h-H)-

ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO

(m) (m) (m) (m) (m) (m)


Promedio 0,051 0,050 0,055 0,044 0,060 0,081

Máximo 0,219 0,158 0,135 0,116 0,205 0,212

Mínimo 0,000 0,001 0,000 0,001 0,000 0,001


‘Precisión’ 0,054 0,034 0,033 0,030 0,045 0,052


Δ(h-H)-

ΔGeoid12A Δ(h-H)-

ΔEGM08 Δ(h-H)-

ΔGeoideAP Δ(h-H)-

ΔGeoideWG Δ(h-H)-

ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO

(m) (m) (m) (m) (m) (m)


Promedio 0,070 0,047 0,063 0,042 0,053 0,094

Máximo 0,269 0,165 0,140 0,104 0,177 0,218

Mínimo 0,000 0,000 0,003 0,000 0,000 0,001


‘Precisión’ 0,072 0,035 0,037 0,024 0,042 0,050

Anexo 12

Resultado del Análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación del geoideconsiderando las 990 líneas base

231

Distancias Δ(h-H)-ΔGeoid12A

Δ(h-H)-ΔEGM2008

Δ(h-H)-ΔGeoideAP

Δ(h-H)-ΔGeoideWG

Δ(h-H)-ΔVKΔ(h-H)-ΔFEO

(km) (m) (m) (m) (m) (m) (m)

1 FSJ N FSJ S 0,028 0,003 0,003 0,004 0,003 0,004 0,004

2 MONTEREY Q 1004 0,153 0,003 0,004 0,003 0,003 0,004 0,004

3 ZSU A ZSU B 0,175 0,003 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001

4 AGUA USCG A AGUA USCG B 0,354 0,004 0,003 0,007 0,006 0,003 0,008

5 PSE ARP PSE E 0,436 0,001 0,003 0,002 0,003 0,002 0,002

6 PSE E PSE F 0,529 0,012 0,014 0,011 0,013 0,015 0,014

7 SAN JUAN SIG APT ARP SIG C 0,748 0,005 0,006 0,004 0,008 0,005 0,005

8 CP D 93 BQN C RESET 0,820 0,057 0,064 0,063 0,057 0,073 0,072

9 SIG C FSJ S 0,898 0,011 0,015 0,003 0,011 0,008 0,006

10 SIG C FSJ N 0,910 0,008 0,012 0,001 0,007 0,004 0,002

11 PSE ARP PSE F 0,964 0,013 0,017 0,013 0,016 0,018 0,016

12 975 5371 A TIDAL GUN 1,283 0,029 0,044 0,024 0,034 0,031 0,026

13 BQN B BQN A 1,333 0,006 0,004 0,018 0,004 0,031 0,029

14 BQN C RESET BQN B 1,503 0,048 0,039 0,039 0,052 0,017 0,023

15 SAN JUAN SIG APT ARP FSJ S 1,599 0,006 0,009 0,001 0,002 0,003 0,000

16 SAN JUAN SIG APT ARP FSJ N 1,605 0,003 0,006 0,005 0,001 0,000 0,003

17 975 9394 A TIDAL GPS 54 1,765 0,047 0,016 0,023 0,008 0,018 0,013

18 975 5371 A TIDAL SAN JUAN SIG APT ARP 1,933 0,007 0,011 0,002 0,007 0,003 0,003

19 G 1006 VELEZ 1,991 0,016 0,012 0,061 0,032 0,068 0,084

20 SIG C DIAZ 2,009 0,019 0,023 0,033 0,038 0,048 0,053

21 FSJ S DIAZ 2,181 0,008 0,008 0,030 0,027 0,040 0,048

22 FSJ N DIAZ 2,209 0,011 0,011 0,034 0,031 0,044 0,051

23 CP D 93 BQN B 2,315 0,009 0,025 0,024 0,005 0,056 0,049

24 SAN JUAN SIG APT ARP DIAZ 2,460 0,014 0,017 0,029 0,030 0,043 0,048

25 P 1004 NOVA 2 2,518 0,000 0,000 0,027 0,012 0,008 0,022

26 975 5371 A TIDAL SIG C 2,668 0,002 0,017 0,006 0,015 0,008 0,009

27 BQN C RESET BQN A 2,818 0,042 0,035 0,021 0,056 0,014 0,006

28 GUN SAN JUAN SIG APT ARP 2,968 0,022 0,055 0,026 0,041 0,035 0,029

29 975 5371 A TIDAL FSJ N 3,429 0,010 0,005 0,007 0,008 0,004 0,007

30 975 5371 A TIDAL FSJ S 3,431 0,013 0,002 0,003 0,004 0,000 0,003

31 GUN SIG C 3,632 0,027 0,061 0,030 0,049 0,039 0,035

32 CP D 93 BQN A 3,637 0,015 0,029 0,042 0,001 0,087 0,078

33 BQN A G 1006 4,101 0,019 0,030 0,012 0,026 0,065 0,028

34 975 5371 A TIDAL DIAZ 4,212 0,021 0,006 0,027 0,023 0,040 0,045

35 GUN FSJ N 4,233 0,019 0,049 0,031 0,042 0,035 0,033

36 GUN FSJ S 4,242 0,016 0,046 0,027 0,039 0,031 0,029

37 MAZ C 975 9394 A TIDAL 4,244 0,050 0,001 0,007 0,009 0,006 0,009

38 MAZ C GPS 54 4,833 0,003 0,015 0,016 0,017 0,012 0,004

39 BQN A VELEZ 4,933 0,003 0,018 0,049 0,006 0,003 0,055

40 MANATI 2 P 1003 5,038 0,004 0,012 0,034 0,010 0,027 0,059

41 BQN B G 1006 5,042 0,025 0,034 0,031 0,022 0,096 0,057

42 975 5371 A TIDAL SANABRIA 5,296 0,012 0,016 0,055 0,037 0,040 0,065

43 GUN DIAZ 5,382 0,008 0,038 0,003 0,011 0,009 0,019

44 BQN B VELEZ 5,442 0,009 0,022 0,031 0,009 0,028 0,026

45 GUN SANABRIA 5,681 0,017 0,028 0,031 0,003 0,009 0,039

46 C 1012 PSE ARP 5,817 0,046 0,042 0,039 0,047 0,047 0,036

47 C 1012 PSE E 6,174 0,045 0,039 0,037 0,044 0,044 0,034

48 BQN C RESET G 1006 6,421 0,023 0,005 0,009 0,030 0,079 0,035

49 AGUA USCG A CP D 93 6,520 0,023 0,011 0,045 0,018 0,011 0,058

50 BQN C RESET VELEZ 6,542 0,039 0,017 0,070 0,062 0,011 0,049

51 VELEZ E 1009 6,580 0,090 0,009 0,063 0,002 0,013 0,086

52 C 1012 PSE F 6,589 0,033 0,025 0,026 0,031 0,029 0,020

53 SAN JUAN SIG APT ARP SANABRIA 6,604 0,005 0,027 0,057 0,044 0,044 0,068

54 AGUA USCG B CP D 93 6,845 0,019 0,008 0,053 0,024 0,008 0,065

55 AGUA USCG A BQN C RESET 6,998 0,034 0,053 0,109 0,075 0,062 0,129

56 CP D 93 VELEZ 7,111 0,018 0,047 0,007 0,004 0,084 0,023

57 CP D 93 G 1006 7,137 0,034 0,059 0,055 0,027 0,152 0,106

58 M 1005 AGUA USCG B 7,164 0,001 0,001 0,036 0,020 0,036 0,048

59 M 1005 AGUA USCG A 7,252 0,003 0,004 0,044 0,027 0,039 0,056

60 SIG C SANABRIA 7,270 0,010 0,033 0,061 0,052 0,049 0,074

61 AGUA USCG B BQN C RESET 7,308 0,038 0,056 0,116 0,081 0,065 0,137

62 QUEBRAS 2 M 1005 7,506 0,007 0,046 0,007 0,027 0,050 0,002

63 F 1004 P 1004 7,636 0,004 0,019 0,005 0,027 0,000 0,028

64 DIAZ SANABRIA 7,653 0,009 0,010 0,028 0,014 0,000 0,020

65 G 1006 E 1009 7,784 0,074 0,003 0,124 0,034 0,080 0,169

66 AGUA USCG A BQN B 7,818 0,014 0,014 0,069 0,023 0,045 0,107

Desde Hasta

67 AGUA USCG B BQN B 8,095 0,010 0,017 0,076 0,029 0,048 0,114

68 FSJ S SANABRIA 8,167 0,001 0,018 0,058 0,042 0,040 0,068

69 FSJ N SANABRIA 8,178 0,002 0,021 0,062 0,045 0,044 0,072

70 BERRIOS MANATI 2 8,255 0,004 0,030 0,036 0,026 0,024 0,028

71 AGUA USCG A VELEZ 8,691 0,005 0,036 0,039 0,014 0,073 0,080

72 AGUA USCG B VELEZ 8,776 0,001 0,039 0,046 0,020 0,076 0,088

73 AGUA USCG A BQN A 8,888 0,008 0,018 0,088 0,019 0,076 0,136

74 F 1004 NOVA 2 9,019 0,004 0,019 0,022 0,039 0,008 0,006

75 AGUA USCG B BQN A 9,143 0,004 0,021 0,095 0,025 0,079 0,143

76 DIAZ ZSU A 9,249 0,010 0,005 0,018 0,012 0,024 0,029

77 TUNA F 1004 9,349 0,002 0,001 0,068 0,010 0,022 0,085

78 DIAZ ZSU B 9,367 0,007 0,007 0,017 0,010 0,023 0,028

79 Q 1004 BERRIOS 9,444 0,008 0,035 0,014 0,019 0,008 0,018

80 MONTEREY BERRIOS 9,596 0,005 0,031 0,010 0,016 0,004 0,014

81 AGUA USCG A G 1006 10,091 0,011 0,048 0,100 0,045 0,141 0,164

82 AGUA USCG B G 1006 10,225 0,015 0,051 0,107 0,052 0,144 0,172

83 FSJ S ZSU A 10,228 0,002 0,013 0,012 0,015 0,016 0,019

84 FSJ N ZSU A 10,243 0,001 0,016 0,015 0,018 0,020 0,022

85 FSJ S ZSU B 10,318 0,001 0,015 0,013 0,017 0,017 0,019

86 FSJ N ZSU B 10,332 0,004 0,018 0,017 0,021 0,021 0,023

87 SIG C ZSU A 10,766 0,009 0,028 0,015 0,026 0,024 0,024

88 SIG C ZSU B 10,865 0,012 0,030 0,016 0,028 0,025 0,025

89 SAN JUAN SIG APT ARP ZSU A 11,454 0,004 0,022 0,010 0,017 0,019 0,019

90 P 1003 TUNA 11,456 0,003 0,041 0,021 0,025 0,005 0,014

91 BQN A E 1009 11,501 0,093 0,027 0,112 0,008 0,016 0,141

92 SAN JUAN SIG APT ARP ZSU B 11,558 0,007 0,024 0,012 0,020 0,020 0,020

93 BQN B E 1009 11,989 0,099 0,031 0,094 0,012 0,016 0,112

94 BERRIOS P 1003 12,251 0,000 0,018 0,002 0,016 0,003 0,030

95 AGUA USCG B E 1009 12,413 0,089 0,048 0,017 0,017 0,063 0,002

96 M 1005 CP D 93 12,468 0,020 0,007 0,089 0,044 0,028 0,114

97 AGUA USCG A E 1009 12,513 0,085 0,045 0,025 0,011 0,061 0,005

98 BQN C RESET E 1009 12,955 0,051 0,008 0,133 0,064 0,002 0,135

99 M 1005 BQN C RESET 13,180 0,037 0,057 0,152 0,102 0,101 0,185

100 975 5371 A TIDAL ZSU A 13,363 0,011 0,011 0,008 0,011 0,016 0,016

101 CP D 93 E 1009 13,409 0,108 0,056 0,070 0,007 0,071 0,063

102 975 5371 A TIDAL ZSU B 13,469 0,014 0,013 0,010 0,013 0,017 0,016

103 NOVA 2 QUEBRAS 2 13,484 0,008 0,036 0,018 0,039 0,018 0,010

104 M 1005 BQN B 14,376 0,011 0,018 0,113 0,050 0,084 0,163

105 GUN ZSU A 14,397 0,018 0,033 0,015 0,024 0,015 0,010

106 R 1013 LAJAS 2 14,402 0,013 0,024 0,054 0,071 0,008 0,048

107 QUEBRAS 2 AGUA USCG B 14,470 0,008 0,045 0,029 0,006 0,014 0,046

108 GUN ZSU B 14,496 0,015 0,031 0,014 0,021 0,014 0,009

109 E 1009 MAZ C 14,609 0,115 0,035 0,042 0,005 0,012 0,100

110 QUEBRAS 2 AGUA USCG A 14,610 0,004 0,042 0,037 0,000 0,011 0,053

111 EL OJO COCO 14,684 0,036 0,035 0,008 0,027 0,042 0,003

112 TUNA P 1004 14,926 0,002 0,020 0,063 0,037 0,021 0,057

113 M 1005 BQN A 15,615 0,005 0,022 0,131 0,046 0,115 0,191

114 P 1004 QUEBRAS 2 15,698 0,008 0,036 0,009 0,027 0,026 0,013

115 MANATI 2 TUNA 15,807 0,001 0,029 0,055 0,015 0,031 0,073

116 M 1005 VELEZ 15,938 0,002 0,040 0,082 0,040 0,112 0,136

117 SANABRIA ZSU A 16,453 0,001 0,005 0,046 0,027 0,024 0,049

118 MAGAS C 1012 16,499 0,027 0,003 0,046 0,015 0,010 0,062

119 SANABRIA ZSU B 16,595 0,002 0,003 0,045 0,024 0,023 0,049

120 COCO T 1022 16,728 0,055 0,072 0,005 0,026 0,007 0,010

121 TUNA NOVA 2 17,104 0,002 0,020 0,090 0,050 0,030 0,079

122 M 1005 G 1006 17,323 0,014 0,052 0,144 0,072 0,180 0,220

123 Q 1004 MANATI 2 17,663 0,004 0,005 0,022 0,007 0,016 0,010

124 PSE F EL OJO 17,802 0,008 0,026 0,024 0,015 0,026 0,046

125 MONTEREY MANATI 2 17,814 0,001 0,001 0,025 0,010 0,020 0,014

126 PSE E EL OJO 18,299 0,004 0,040 0,013 0,028 0,042 0,032

127 PSE ARP EL OJO 18,723 0,005 0,043 0,011 0,031 0,044 0,030

128 E 1009 975 9394 A TIDAL 18,736 0,065 0,034 0,049 0,014 0,006 0,109

129 F 1016 ZSU A 18,959 0,064 0,036 0,009 0,005 0,031 0,054

130 M 1005 E 1009 19,015 0,088 0,049 0,019 0,038 0,099 0,051

131 F 1016 ZSU B 19,100 0,061 0,034 0,007 0,003 0,030 0,053

132 E 1009 GPS 54 19,423 0,112 0,050 0,026 0,022 0,023 0,096

133 SANABRIA MONTEREY 19,423 0,002 0,014 0,002 0,003 0,025 0,023

134 SANABRIA Q 1004 19,573 0,001 0,018 0,001 0,001 0,029 0,027

135 P 1003 F 1004 19,623 0,001 0,042 0,047 0,036 0,017 0,071

136 QUEBRAS 2 CP D 93 19,934 0,027 0,053 0,082 0,018 0,022 0,111

137 T 1022 F 1016 20,220 0,105 0,117 0,029 0,023 0,101 0,031

138 UTUADO F 1004 20,279 0,067 0,062 0,023 0,049 0,031 0,066

139 DIAZ F 1016 20,347 0,054 0,041 0,010 0,007 0,007 0,025

140 QUEBRAS 2 BQN C RESET 20,663 0,030 0,011 0,145 0,075 0,051 0,183

141 NOVA 2 M 1005 20,906 0,001 0,010 0,011 0,013 0,068 0,007

142 SANABRIA F 1016 21,137 0,063 0,031 0,038 0,021 0,007 0,004

143 VELEZ MAZ C 21,143 0,205 0,044 0,105 0,003 0,001 0,186

144 LAJAS 2 MAGAS 21,367 0,018 0,060 0,105 0,098 0,038 0,067

145 MAGAS PSE ARP 21,537 0,073 0,045 0,007 0,032 0,057 0,026

146 Q 1004 P 1003 21,609 0,008 0,017 0,012 0,003 0,011 0,048

147 MONTEREY P 1003 21,762 0,005 0,013 0,008 0,000 0,007 0,044

148 QUEBRAS 2 BQN B 21,880 0,018 0,028 0,106 0,023 0,034 0,160

149 MAGAS PSE E 21,966 0,072 0,042 0,009 0,029 0,055 0,028

150 SIG C F 1016 22,207 0,073 0,064 0,023 0,031 0,056 0,078

151 F 1004 QUEBRAS 2 22,213 0,004 0,017 0,004 0,000 0,026 0,016

152 SAN JUAN SIG APT ARP F 1016 22,320 0,068 0,058 0,019 0,023 0,051 0,073

153 G 1006 MAZ C 22,377 0,189 0,032 0,166 0,029 0,069 0,269

154 MAGAS PSE F 22,475 0,060 0,028 0,020 0,016 0,040 0,043

155 GUN MONTEREY 22,499 0,019 0,014 0,029 0,000 0,034 0,062

156 FSJ S F 1016 22,527 0,062 0,049 0,020 0,020 0,047 0,072

157 FSJ N F 1016 22,556 0,065 0,052 0,024 0,024 0,051 0,076

158 GUN Q 1004 22,638 0,016 0,010 0,032 0,004 0,038 0,066

159 MANATI 2 F 1004 22,975 0,003 0,030 0,013 0,025 0,010 0,012

160 P 1004 M 1005 23,019 0,001 0,010 0,016 0,001 0,077 0,015

161 975 5371 A TIDAL MONTEREY 23,113 0,010 0,030 0,052 0,035 0,066 0,088

162 975 5371 A TIDAL F 1016 23,115 0,075 0,047 0,017 0,016 0,047 0,070

163 QUEBRAS 2 BQN A 23,121 0,012 0,024 0,124 0,019 0,065 0,189

164 QUEBRAS 2 VELEZ 23,195 0,009 0,006 0,075 0,013 0,062 0,134

165 975 5371 A TIDAL Q 1004 23,255 0,013 0,034 0,056 0,038 0,070 0,092

166 BERRIOS TUNA 23,669 0,003 0,059 0,020 0,041 0,008 0,044

167 C 1012 EL OJO 24,189 0,041 0,001 0,050 0,016 0,003 0,066

168 UTUADO NOVA 2 24,271 0,071 0,081 0,001 0,088 0,039 0,072

169 GUN F 1016 24,344 0,046 0,003 0,007 0,018 0,016 0,044

170 AGUA USCG B MAZ C 24,442 0,204 0,083 0,059 0,022 0,075 0,098

171 AGUA USCG A MAZ C 24,685 0,200 0,080 0,066 0,016 0,072 0,105

172 QUEBRAS 2 G 1006 24,695 0,007 0,006 0,137 0,045 0,129 0,218

173 UTUADO P 1004 24,975 0,071 0,081 0,028 0,076 0,030 0,094

174 GPS 54 LAJAS 2 24,987 0,130 0,036 0,025 0,052 0,009 0,010

175 SAN JUAN SIG APT ARP MONTEREY 24,994 0,003 0,041 0,054 0,041 0,069 0,091

176 SAN JUAN SIG APT ARP Q 1004 25,137 0,006 0,045 0,058 0,045 0,073 0,095

177 VELEZ 975 9394 A TIDAL 25,299 0,155 0,043 0,112 0,012 0,007 0,194

178 QUEBRAS 2 E 1009 25,405 0,081 0,003 0,012 0,011 0,049 0,048

179 SIG C MONTEREY 25,742 0,008 0,047 0,059 0,050 0,074 0,097

180 SIG C Q 1004 25,885 0,011 0,051 0,062 0,053 0,078 0,101

181 VELEZ GPS 54 25,934 0,202 0,059 0,089 0,019 0,011 0,182

182 TUNA UTUADO 25,953 0,069 0,061 0,091 0,039 0,009 0,151

183 BQN A MAZ C 26,076 0,208 0,062 0,154 0,003 0,004 0,241

184 P 1003 P 1004 26,201 0,005 0,061 0,042 0,063 0,017 0,043

185 BQN B MAZ C 26,455 0,214 0,066 0,135 0,007 0,027 0,212

186 G 1006 975 9394 A TIDAL 26,466 0,139 0,031 0,173 0,020 0,075 0,278

187 FSJ N MONTEREY 26,541 0,000 0,035 0,059 0,042 0,069 0,095

188 FSJ S MONTEREY 26,543 0,003 0,032 0,056 0,039 0,066 0,091

189 FSJ N Q 1004 26,684 0,003 0,039 0,063 0,046 0,073 0,099

190 FSJ S Q 1004 26,685 0,000 0,036 0,059 0,042 0,070 0,095

191 975 9394 A TIDAL LAJAS 2 26,685 0,083 0,020 0,002 0,044 0,026 0,003

192 DIAZ MONTEREY 26,763 0,011 0,024 0,025 0,012 0,026 0,044

193 DIAZ Q 1004 26,910 0,008 0,028 0,029 0,015 0,030 0,047

194 G 1006 GPS 54 27,199 0,186 0,047 0,150 0,012 0,057 0,265

195 BQN C RESET MAZ C 27,252 0,166 0,027 0,175 0,059 0,010 0,235

196 CP D 93 MAZ C 27,584 0,223 0,091 0,111 0,002 0,083 0,163

197 NOVA 2 AGUA USCG B 27,951 0,000 0,009 0,048 0,033 0,032 0,055

198 NOVA 2 AGUA USCG A 28,086 0,004 0,006 0,055 0,039 0,029 0,063

199 P 1003 NOVA 2 28,220 0,005 0,061 0,069 0,075 0,025 0,065

200 EL OJO T 1022 28,300 0,019 0,037 0,013 0,002 0,049 0,007

201 GPS 54 R 1013 28,641 0,117 0,012 0,029 0,019 0,001 0,038

202 AGUA USCG B 975 9394 A TIDAL 28,652 0,154 0,082 0,066 0,031 0,069 0,106

203 MAZ C LAJAS 2 28,664 0,133 0,021 0,009 0,035 0,021 0,006

204 AGUA USCG B GPS 54 28,764 0,201 0,098 0,043 0,039 0,087 0,094

205 AGUA USCG A 975 9394 A TIDAL 28,900 0,150 0,079 0,073 0,025 0,066 0,114

206 SANABRIA BERRIOS 28,988 0,007 0,017 0,012 0,019 0,021 0,009

207 AGUA USCG A GPS 54 29,027 0,197 0,095 0,050 0,033 0,084 0,101

208 M 1005 MAZ C 29,051 0,203 0,084 0,022 0,043 0,111 0,049

209 UTUADO MAGAS 29,054 0,018 0,032 0,085 0,031 0,063 0,091

210 MANATI 2 UTUADO 29,493 0,070 0,032 0,036 0,024 0,040 0,079

211 P 1003 UTUADO 29,634 0,066 0,020 0,070 0,013 0,014 0,137

212 F 1004 M 1005 29,711 0,003 0,029 0,011 0,026 0,076 0,013

213 975 9394 A TIDAL R 1013 29,883 0,070 0,004 0,052 0,027 0,019 0,051

214 R 1013 MAGAS 29,923 0,005 0,036 0,051 0,028 0,046 0,019

215 MANATI 2 P 1004 30,042 0,001 0,049 0,008 0,052 0,010 0,016

216 P 1004 AGUA USCG B 30,123 0,000 0,009 0,020 0,021 0,041 0,033

217 BQN A 975 9394 A TIDAL 30,230 0,158 0,061 0,161 0,006 0,010 0,249

218 P 1004 AGUA USCG A 30,243 0,004 0,006 0,028 0,027 0,038 0,041

219 TUNA QUEBRAS 2 30,578 0,006 0,016 0,072 0,010 0,048 0,069

220 BQN B 975 9394 A TIDAL 30,644 0,164 0,065 0,142 0,002 0,021 0,221

221 BQN A GPS 54 30,864 0,205 0,077 0,138 0,014 0,008 0,237

222 UTUADO QUEBRAS 2 31,110 0,063 0,045 0,019 0,049 0,057 0,082

223 BQN B GPS 54 31,209 0,211 0,081 0,119 0,010 0,039 0,208

224 BERRIOS F 1004 31,217 0,001 0,060 0,049 0,051 0,014 0,041

225 BQN C RESET 975 9394 A TIDAL 31,467 0,116 0,026 0,182 0,050 0,004 0,243

226 GUN BERRIOS 31,737 0,024 0,045 0,018 0,016 0,030 0,048

227 CP D 93 975 9394 A TIDAL 31,810 0,173 0,090 0,118 0,007 0,077 0,171

228 MANATI 2 NOVA 2 31,873 0,001 0,049 0,035 0,064 0,001 0,006

229 BQN C RESET GPS 54 31,963 0,163 0,042 0,159 0,042 0,021 0,231

230 CP D 93 GPS 54 32,265 0,220 0,106 0,096 0,015 0,095 0,159

231 PSE F COCO 32,433 0,044 0,009 0,032 0,012 0,068 0,043

232 975 5371 A TIDAL BERRIOS 32,449 0,005 0,001 0,042 0,019 0,062 0,074

233 M 1005 GPS 54 32,860 0,200 0,099 0,007 0,060 0,123 0,045

234 PSE E COCO 32,939 0,032 0,005 0,021 0,001 0,083 0,028

235 Q 1004 TUNA 33,060 0,005 0,024 0,033 0,022 0,016 0,062

236 M 1005 975 9394 A TIDAL 33,078 0,153 0,083 0,030 0,052 0,105 0,058

237 QUEBRAS 2 MAZ C 33,113 0,196 0,038 0,029 0,016 0,061 0,052

238 NOVA 2 CP D 93 33,127 0,019 0,017 0,100 0,057 0,040 0,121

239 MONTEREY TUNA 33,213 0,002 0,028 0,030 0,025 0,012 0,058

240 MAZ C R 1013 33,355 0,120 0,003 0,045 0,036 0,013 0,042

241 PSE ARP COCO 33,367 0,031 0,008 0,019 0,004 0,086 0,026

242 UTUADO PSE ARP 33,405 0,055 0,013 0,092 0,001 0,006 0,118

243 UTUADO C 1012 33,416 0,009 0,029 0,132 0,046 0,052 0,154

244 UTUADO PSE E 33,693 0,054 0,010 0,094 0,002 0,008 0,120

245 NOVA 2 BQN C RESET 33,891 0,038 0,047 0,163 0,114 0,033 0,192

246 UTUADO LAJAS 2 33,919 0,000 0,028 0,020 0,068 0,024 0,025

247 UTUADO PSE F 34,085 0,042 0,004 0,105 0,015 0,023 0,134

248 SAN JUAN SIG APT ARP BERRIOS 34,358 0,002 0,010 0,044 0,025 0,065 0,077

249 SANABRIA T 1022 34,619 0,042 0,086 0,009 0,044 0,094 0,035

250 P 1004 CP D 93 35,090 0,019 0,017 0,073 0,045 0,049 0,099

251 SIG C BERRIOS 35,104 0,003 0,016 0,048 0,034 0,070 0,083

252 NOVA 2 BQN B 35,182 0,010 0,008 0,124 0,062 0,016 0,170

253 MONTEREY ZSU A 35,845 0,001 0,019 0,044 0,024 0,050 0,073

254 P 1004 BQN C RESET 35,867 0,038 0,047 0,136 0,102 0,024 0,170

255 FSJ N BERRIOS 35,871 0,005 0,004 0,049 0,026 0,065 0,081

256 FSJ S BERRIOS 35,875 0,008 0,001 0,046 0,023 0,062 0,077

257 MONTEREY ZSU B 35,981 0,004 0,017 0,042 0,022 0,049 0,072

258 Q 1004 ZSU A 35,993 0,002 0,023 0,047 0,027 0,054 0,076

259 MONTEREY F 1016 36,113 0,065 0,017 0,035 0,019 0,018 0,019

260 Q 1004 ZSU B 36,130 0,001 0,021 0,046 0,025 0,053 0,076

261 DIAZ BERRIOS 36,228 0,016 0,007 0,015 0,004 0,022 0,030

262 BERRIOS UTUADO 36,242 0,066 0,002 0,071 0,002 0,017 0,107

263 QUEBRAS 2 GPS 54 36,258 0,193 0,053 0,014 0,033 0,072 0,048

264 Q 1004 F 1016 36,259 0,062 0,013 0,039 0,022 0,022 0,023

265 NOVA 2 BQN A 36,456 0,004 0,012 0,142 0,058 0,047 0,199

266 F 1004 AGUA USCG B 36,634 0,004 0,028 0,026 0,006 0,040 0,062

267 NOVA 2 VELEZ 36,676 0,001 0,030 0,093 0,053 0,044 0,143

268 F 1004 AGUA USCG A 36,793 0,000 0,025 0,033 0,000 0,038 0,069

269 COCO F 1016 36,795 0,050 0,045 0,024 0,003 0,094 0,020

270 QUEBRAS 2 975 9394 A TIDAL 36,803 0,146 0,037 0,037 0,025 0,055 0,060

271 P 1004 BQN B 37,190 0,010 0,008 0,097 0,050 0,007 0,148

272 SANABRIA MANATI 2 37,231 0,003 0,013 0,023 0,008 0,045 0,037

273 UTUADO M 1005 37,357 0,070 0,091 0,012 0,075 0,107 0,080

274 DIAZ T 1022 37,452 0,051 0,076 0,019 0,030 0,093 0,055

275 LAJAS 2 C 1012 37,798 0,009 0,057 0,151 0,114 0,028 0,129

276 TUNA M 1005 37,943 0,001 0,030 0,079 0,037 0,098 0,072

277 NOVA 2 G 1006 38,175 0,015 0,042 0,155 0,085 0,111 0,227

278 BERRIOS P 1004 38,198 0,005 0,079 0,043 0,078 0,014 0,012

279 P 1004 BQN A 38,478 0,004 0,012 0,115 0,046 0,038 0,177

280 NOVA 2 E 1009 38,540 0,089 0,039 0,030 0,050 0,031 0,058

281 T 1022 ZSU A 38,683 0,041 0,081 0,037 0,017 0,069 0,084

282 SAN JUAN SIG APT ARP T 1022 38,697 0,037 0,059 0,048 0,000 0,050 0,103

283 C 1012 COCO 38,704 0,077 0,034 0,059 0,044 0,039 0,062

284 975 5371 A TIDAL T 1022 38,704 0,030 0,070 0,046 0,007 0,053 0,100

285 T 1022 ZSU B 38,838 0,044 0,083 0,036 0,020 0,070 0,084

286 P 1004 VELEZ 38,877 0,001 0,030 0,066 0,041 0,035 0,121

287 SIG C T 1022 38,880 0,032 0,053 0,052 0,008 0,045 0,109

288 FSJ S T 1022 39,490 0,043 0,068 0,049 0,002 0,053 0,103

289 FSJ N T 1022 39,516 0,040 0,065 0,053 0,001 0,049 0,107

290 GUN T 1022 39,666 0,059 0,114 0,022 0,041 0,084 0,074

291 GUN MANATI 2 39,959 0,020 0,015 0,054 0,011 0,054 0,077

292 BERRIOS NOVA 2 40,082 0,005 0,079 0,071 0,091 0,022 0,034

293 MAGAS EL OJO 40,247 0,068 0,002 0,004 0,001 0,013 0,003

294 P 1004 G 1006 40,333 0,015 0,042 0,128 0,072 0,103 0,205

295 E 1009 LAJAS 2 40,576 0,018 0,014 0,051 0,030 0,032 0,106

296 Q 1004 F 1004 40,638 0,007 0,025 0,035 0,032 0,006 0,023

297 975 5371 A TIDAL MANATI 2 40,689 0,009 0,029 0,078 0,045 0,085 0,102

298 MONTEREY T 1022 40,700 0,040 0,100 0,007 0,041 0,119 0,012

299 MONTEREY F 1004 40,789 0,004 0,029 0,039 0,036 0,010 0,027

300 Q 1004 T 1022 40,805 0,043 0,104 0,010 0,045 0,123 0,008

301 P 1004 E 1009 40,910 0,089 0,039 0,003 0,038 0,023 0,036

302 SANABRIA P 1003 40,986 0,007 0,001 0,011 0,003 0,018 0,021

303 P 1003 QUEBRAS 2 41,680 0,003 0,025 0,051 0,035 0,043 0,055

304 F 1004 CP D 93 42,047 0,023 0,036 0,078 0,018 0,049 0,127

305 UTUADO AGUA USCG B 42,378 0,071 0,090 0,048 0,055 0,071 0,128

306 LAJAS 2 PSE ARP 42,498 0,055 0,015 0,112 0,066 0,019 0,093

307 SAN JUAN SIG APT ARP MANATI 2 42,602 0,002 0,040 0,080 0,052 0,089 0,106

308 UTUADO AGUA USCG A 42,669 0,067 0,087 0,056 0,049 0,068 0,135

309 F 1004 BQN C RESET 42,800 0,034 0,028 0,142 0,075 0,025 0,199

310 LAJAS 2 PSE E 42,934 0,054 0,018 0,114 0,069 0,016 0,095

311 GUN P 1003 43,260 0,024 0,027 0,020 0,000 0,027 0,018

312 SIG C MANATI 2 43,347 0,007 0,046 0,084 0,060 0,093 0,111

313 LAJAS 2 PSE F 43,458 0,042 0,032 0,125 0,082 0,001 0,109

314 QUEBRAS 2 LAJAS 2 43,896 0,063 0,017 0,039 0,019 0,081 0,057

315 Q 1004 UTUADO 44,028 0,074 0,037 0,058 0,017 0,025 0,089

316 F 1004 BQN B 44,060 0,014 0,011 0,102 0,023 0,007 0,176

317 975 5371 A TIDAL P 1003 44,081 0,005 0,017 0,044 0,034 0,059 0,044

318 FSJ N MANATI 2 44,108 0,001 0,034 0,085 0,053 0,089 0,109

319 FSJ S MANATI 2 44,112 0,004 0,031 0,081 0,049 0,085 0,105

320 MONTEREY UTUADO 44,151 0,071 0,033 0,061 0,013 0,021 0,093

321 NOVA 2 MAZ C 44,201 0,204 0,074 0,011 0,055 0,043 0,042

322 DIAZ MANATI 2 44,483 0,012 0,023 0,051 0,022 0,045 0,058

323 AGUA USCG B LAJAS 2 44,537 0,071 0,062 0,068 0,013 0,095 0,103

324 M 1005 LAJAS 2 44,836 0,070 0,063 0,032 0,008 0,132 0,055

325 AGUA USCG A LAJAS 2 44,885 0,067 0,059 0,075 0,019 0,093 0,111

326 TUNA AGUA USCG B 45,032 0,002 0,029 0,043 0,017 0,062 0,023

327 BERRIOS F 1016 45,115 0,070 0,048 0,025 0,003 0,014 0,005

328 TUNA AGUA USCG A 45,158 0,002 0,026 0,035 0,010 0,059 0,016

329 MANATI 2 QUEBRAS 2 45,188 0,007 0,013 0,017 0,025 0,017 0,003

330 UTUADO EL OJO 45,265 0,050 0,030 0,081 0,030 0,049 0,088

331 F 1004 VELEZ 45,268 0,005 0,011 0,071 0,014 0,036 0,150

332 F 1004 BQN A 45,316 0,008 0,007 0,120 0,019 0,039 0,205

333 PSE F T 1022 45,367 0,011 0,063 0,037 0,013 0,075 0,053

334 BERRIOS ZSU A 45,370 0,006 0,012 0,034 0,008 0,046 0,059

335 BERRIOS ZSU B 45,504 0,009 0,014 0,032 0,006 0,045 0,058

336 GPS 54 MAGAS 45,570 0,112 0,024 0,080 0,046 0,047 0,057

337 UTUADO GPS 54 45,674 0,130 0,008 0,005 0,016 0,015 0,034

338 R 1013 C 1012 45,805 0,022 0,033 0,097 0,043 0,036 0,081

339 PSE E T 1022 45,811 0,023 0,077 0,026 0,026 0,090 0,039

340 UTUADO MAZ C 45,860 0,133 0,007 0,010 0,033 0,004 0,030

341 VELEZ LAJAS 2 46,002 0,072 0,023 0,114 0,032 0,020 0,191

342 SAN JUAN SIG APT ARP P 1003 46,011 0,002 0,028 0,046 0,041 0,062 0,047

343 PSE ARP T 1022 46,201 0,024 0,080 0,024 0,029 0,093 0,037

344 EL OJO F 1016 46,402 0,086 0,080 0,015 0,024 0,052 0,024

345 NOVA 2 GPS 54 46,522 0,201 0,089 0,005 0,072 0,054 0,038

346 F 1004 E 1009 46,612 0,085 0,020 0,008 0,011 0,023 0,064

347 MONTEREY EL OJO 46,686 0,021 0,063 0,020 0,043 0,070 0,005

348 Q 1004 EL OJO 46,702 0,024 0,067 0,023 0,046 0,074 0,001

349 P 1004 MAZ C 46,719 0,204 0,074 0,038 0,043 0,034 0,064

350 SIG C P 1003 46,749 0,003 0,034 0,050 0,050 0,067 0,052

351 F 1004 G 1006 46,847 0,011 0,023 0,133 0,045 0,103 0,233

352 BERRIOS T 1022 47,158 0,035 0,069 0,003 0,025 0,115 0,026

353 UTUADO 975 9394 A TIDAL 47,202 0,083 0,008 0,018 0,024 0,002 0,022

354 975 9394 A TIDAL MAGAS 47,324 0,065 0,040 0,103 0,054 0,065 0,070

355 NOVA 2 975 9394 A TIDAL 47,400 0,154 0,073 0,018 0,064 0,037 0,051

356 FSJ N P 1003 47,466 0,005 0,022 0,051 0,042 0,062 0,050

357 FSJ S P 1003 47,472 0,008 0,019 0,047 0,039 0,059 0,047

358 E 1009 R 1013 47,482 0,005 0,038 0,003 0,041 0,024 0,058

359 Q 1004 P 1004 47,641 0,003 0,044 0,030 0,059 0,006 0,005

360 BERRIOS EL OJO 47,741 0,016 0,032 0,010 0,027 0,066 0,019

361 NOVA 2 LAJAS 2 47,762 0,071 0,053 0,020 0,020 0,063 0,048

362 G 1006 LAJAS 2 47,780 0,056 0,011 0,175 0,064 0,048 0,275

363 MONTEREY P 1004 47,793 0,000 0,048 0,033 0,063 0,010 0,002

364 UTUADO E 1009 47,968 0,018 0,042 0,031 0,038 0,008 0,130

365 SANABRIA COCO 48,005 0,013 0,014 0,014 0,018 0,087 0,025

366 DIAZ P 1003 48,014 0,016 0,011 0,017 0,012 0,019 0,001

367 UTUADO R 1013 48,176 0,013 0,004 0,035 0,003 0,017 0,072

368 MONTEREY COCO 48,329 0,015 0,028 0,012 0,016 0,112 0,001

369 Q 1004 COCO 48,390 0,012 0,032 0,015 0,019 0,116 0,002

370 MANATI 2 PSE ARP 48,434 0,015 0,019 0,057 0,022 0,046 0,039

371 MANATI 2 PSE E 48,469 0,016 0,022 0,058 0,025 0,048 0,041

372 MANATI 2 PSE F 48,571 0,028 0,036 0,069 0,038 0,063 0,055

373 MAZ C MAGAS 48,588 0,115 0,039 0,096 0,063 0,059 0,061

374 P 1004 GPS 54 49,035 0,201 0,089 0,023 0,060 0,046 0,060

375 UTUADO CP D 93 49,087 0,090 0,098 0,101 0,031 0,079 0,193

376 F 1004 MAGAS 49,109 0,085 0,094 0,063 0,080 0,093 0,025

377 MANATI 2 EL OJO 49,113 0,020 0,062 0,045 0,053 0,090 0,009

378 P 1003 M 1005 49,126 0,004 0,071 0,058 0,062 0,093 0,058

379 UTUADO VELEZ 49,419 0,072 0,051 0,094 0,035 0,005 0,216

380 F 1004 LAJAS 2 49,496 0,067 0,034 0,042 0,019 0,055 0,042

381 Q 1004 NOVA 2 49,522 0,003 0,044 0,057 0,071 0,014 0,017

382 UTUADO BQN C RESET 49,642 0,033 0,034 0,164 0,026 0,006 0,265

383 MONTEREY NOVA 2 49,673 0,000 0,048 0,061 0,075 0,018 0,020

384 P 1004 LAJAS 2 49,858 0,071 0,053 0,048 0,008 0,055 0,070

385 P 1004 975 9394 A TIDAL 49,917 0,154 0,073 0,046 0,052 0,028 0,073

386 TUNA CP D 93 49,975 0,021 0,037 0,010 0,008 0,070 0,042

387 BERRIOS PSE E 50,183 0,012 0,008 0,023 0,001 0,025 0,013

388 BERRIOS PSE F 50,199 0,024 0,006 0,034 0,012 0,040 0,027

389 BERRIOS PSE ARP 50,220 0,011 0,011 0,021 0,004 0,022 0,011

390 BQN B LAJAS 2 50,262 0,081 0,045 0,144 0,042 0,048 0,218

391 CP D 93 LAJAS 2 50,386 0,090 0,070 0,121 0,037 0,104 0,168

392 BQN C RESET LAJAS 2 50,426 0,033 0,006 0,184 0,094 0,030 0,240

393 BQN A LAJAS 2 50,451 0,075 0,041 0,163 0,038 0,017 0,246

394 UTUADO BQN B 50,466 0,081 0,073 0,125 0,026 0,023 0,242

395 F 1004 MAZ C 50,669 0,200 0,055 0,033 0,016 0,035 0,036

396 TUNA BQN C RESET 50,758 0,036 0,027 0,073 0,065 0,003 0,114

397 R 1013 PSE ARP 51,242 0,068 0,009 0,058 0,005 0,011 0,045

398 NOVA 2 MAGAS 51,265 0,089 0,113 0,085 0,119 0,101 0,019

399 UTUADO G 1006 51,353 0,056 0,039 0,156 0,004 0,073 0,299

400 UTUADO BQN A 51,444 0,075 0,069 0,143 0,030 0,008 0,271

401 R 1013 PSE E 51,660 0,067 0,006 0,059 0,002 0,009 0,047

402 MANATI 2 C 1012 51,744 0,061 0,061 0,096 0,070 0,093 0,075

403 P 1003 PSE ARP 51,779 0,011 0,007 0,023 0,012 0,019 0,020

404 P 1003 PSE E 51,846 0,012 0,010 0,024 0,015 0,022 0,018

405 C 1012 T 1022 51,945 0,022 0,038 0,063 0,018 0,046 0,073

406 P 1003 PSE F 51,986 0,024 0,024 0,036 0,028 0,037 0,003

407 TUNA BQN B 52,095 0,012 0,012 0,034 0,013 0,014 0,091

408 BERRIOS COCO 52,122 0,020 0,003 0,002 0,000 0,108 0,016

409 F 1004 PSE ARP 52,132 0,012 0,049 0,070 0,047 0,036 0,051

410 SANABRIA EL OJO 52,136 0,023 0,049 0,022 0,046 0,045 0,028

411 R 1013 PSE F 52,149 0,055 0,008 0,071 0,012 0,007 0,062

412 DIAZ COCO 52,262 0,004 0,004 0,014 0,004 0,086 0,045

413 F 1004 PSE E 52,354 0,013 0,052 0,071 0,051 0,039 0,053

414 F 1004 GPS 54 52,393 0,197 0,070 0,017 0,033 0,046 0,032

415 SANABRIA TUNA 52,427 0,004 0,042 0,032 0,022 0,014 0,035

416 Q 1004 PSE F 52,474 0,032 0,041 0,047 0,031 0,048 0,045

417 MONTEREY PSE F 52,509 0,029 0,037 0,044 0,028 0,044 0,041

418 Q 1004 PSE E 52,552 0,020 0,027 0,036 0,018 0,033 0,031

419 MONTEREY PSE E 52,589 0,017 0,023 0,033 0,015 0,029 0,027

420 P 1004 MAGAS 52,603 0,089 0,113 0,057 0,107 0,093 0,003

421 Q 1004 PSE ARP 52,665 0,019 0,024 0,035 0,015 0,030 0,029

422 F 1004 PSE F 52,673 0,025 0,066 0,083 0,064 0,054 0,068

423 MANATI 2 M 1005 52,685 0,000 0,059 0,024 0,052 0,067 0,001

424 MANATI 2 F 1016 52,691 0,066 0,018 0,061 0,029 0,038 0,033

425 MONTEREY PSE ARP 52,703 0,016 0,020 0,031 0,012 0,026 0,025

426 975 5371 A TIDAL COCO 52,735 0,025 0,002 0,041 0,019 0,046 0,090

427 MANATI 2 T 1022 52,786 0,039 0,099 0,032 0,052 0,138 0,002

428 QUEBRAS 2 MAGAS 53,007 0,081 0,077 0,066 0,079 0,120 0,009

429 F 1004 C 1012 53,038 0,058 0,091 0,109 0,095 0,083 0,087

430 SAN JUAN SIG APT ARP COCO 53,102 0,018 0,013 0,043 0,026 0,043 0,093

431 TUNA BQN A 53,390 0,006 0,008 0,052 0,009 0,017 0,120

432 SIG C COCO 53,416 0,023 0,019 0,047 0,034 0,038 0,098

433 BERRIOS QUEBRAS 2 53,429 0,003 0,043 0,052 0,051 0,040 0,025

434 F 1004 975 9394 A TIDAL 53,470 0,150 0,054 0,040 0,025 0,029 0,045

435 GUN COCO 53,506 0,004 0,042 0,017 0,015 0,077 0,064

436 P 1003 EL OJO 53,596 0,016 0,050 0,012 0,043 0,063 0,049

437 MANATI 2 ZSU A 53,624 0,002 0,018 0,069 0,034 0,069 0,087

438 VELEZ R 1013 53,697 0,085 0,047 0,060 0,038 0,012 0,144

439 MANATI 2 ZSU B 53,758 0,005 0,016 0,068 0,032 0,068 0,086

440 TUNA VELEZ 53,772 0,003 0,010 0,003 0,003 0,014 0,065

441 FSJ S COCO 54,133 0,012 0,004 0,044 0,023 0,046 0,093

442 FSJ N COCO 54,157 0,015 0,007 0,048 0,027 0,042 0,096

443 BERRIOS C 1012 54,233 0,057 0,031 0,060 0,044 0,069 0,047

444 AGUA USCG B R 1013 54,261 0,084 0,086 0,014 0,058 0,088 0,056

445 TUNA PSE ARP 54,488 0,014 0,048 0,001 0,037 0,015 0,034

446 GUN TUNA 54,567 0,021 0,014 0,001 0,025 0,023 0,004

447 AGUA USCG A R 1013 54,586 0,080 0,083 0,021 0,052 0,085 0,063

448 TUNA PSE E 54,643 0,015 0,051 0,003 0,040 0,017 0,031

449 P 1003 C 1012 54,715 0,057 0,049 0,062 0,059 0,066 0,016

450 COCO ZSU A 54,748 0,014 0,009 0,032 0,008 0,062 0,074

451 TUNA PSE F 54,886 0,027 0,065 0,014 0,053 0,032 0,017

452 TUNA MAGAS 54,887 0,087 0,093 0,006 0,069 0,072 0,060

453 MAGAS COCO 54,904 0,104 0,037 0,012 0,028 0,029 0,000

454 COCO ZSU B 54,911 0,011 0,011 0,031 0,006 0,063 0,073

455 MANATI 2 MAGAS 55,035 0,088 0,064 0,049 0,054 0,103 0,013

456 G 1006 R 1013 55,206 0,069 0,035 0,121 0,007 0,056 0,227

457 TUNA G 1006 55,249 0,013 0,022 0,065 0,035 0,082 0,148

458 975 5371 A TIDAL TUNA 55,423 0,008 0,058 0,023 0,060 0,054 0,030

459 TUNA E 1009 55,541 0,087 0,019 0,060 0,001 0,001 0,021

460 MANATI 2 COCO 55,600 0,016 0,027 0,037 0,026 0,131 0,013

461 M 1005 R 1013 55,975 0,083 0,087 0,023 0,078 0,124 0,007

462 P 1003 AGUA USCG B 56,146 0,005 0,070 0,021 0,042 0,057 0,009

463 QUEBRAS 2 R 1013 56,277 0,076 0,041 0,016 0,052 0,073 0,010

464 P 1003 AGUA USCG A 56,290 0,001 0,067 0,014 0,035 0,055 0,002

465 TUNA C 1012 56,327 0,060 0,090 0,040 0,084 0,061 0,003

466 M 1005 MAGAS 56,642 0,088 0,123 0,073 0,106 0,170 0,012

467 P 1003 MAGAS 56,672 0,084 0,052 0,016 0,044 0,076 0,046

468 P 1003 ZSU A 57,231 0,006 0,006 0,036 0,024 0,043 0,028

469 P 1003 F 1016 57,276 0,070 0,030 0,027 0,018 0,011 0,026

470 Q 1004 C 1012 57,329 0,065 0,066 0,074 0,063 0,077 0,065

471 975 5371 A TIDAL EL OJO 57,329 0,011 0,033 0,032 0,008 0,004 0,093

472 SAN JUAN SIG APT ARP TUNA 57,355 0,001 0,069 0,025 0,066 0,057 0,033

473 P 1003 ZSU B 57,357 0,009 0,004 0,034 0,022 0,042 0,027

474 MONTEREY C 1012 57,376 0,062 0,062 0,070 0,059 0,073 0,061

475 NOVA 2 PSE ARP 57,555 0,016 0,068 0,092 0,087 0,044 0,045

476 NOVA 2 C 1012 57,673 0,062 0,110 0,131 0,134 0,091 0,081

477 TUNA LAJAS 2 57,713 0,069 0,033 0,111 0,029 0,033 0,127

478 P 1003 T 1022 57,815 0,035 0,087 0,002 0,041 0,112 0,056

479 GUN EL OJO 57,816 0,040 0,077 0,009 0,043 0,036 0,067

480 NOVA 2 PSE E 57,824 0,017 0,071 0,093 0,090 0,047 0,047

481 UTUADO COCO 57,896 0,086 0,005 0,073 0,002 0,091 0,091

482 DIAZ EL OJO 57,909 0,032 0,039 0,006 0,031 0,044 0,048

483 P 1004 PSE ARP 58,005 0,016 0,068 0,064 0,075 0,036 0,023

484 SIG C TUNA 58,089 0,006 0,075 0,029 0,075 0,062 0,039

485 SAN JUAN SIG APT ARP EL OJO 58,156 0,018 0,022 0,034 0,002 0,001 0,096

486 NOVA 2 PSE F 58,194 0,029 0,085 0,105 0,103 0,062 0,062

487 E 1009 MAGAS 58,213 0,000 0,074 0,054 0,068 0,070 0,039

488 P 1004 PSE E 58,259 0,017 0,071 0,066 0,078 0,038 0,025

489 P 1004 C 1012 58,369 0,062 0,110 0,103 0,122 0,083 0,059

490 BQN A R 1013 58,517 0,088 0,065 0,109 0,033 0,009 0,199

491 P 1004 PSE F 58,613 0,029 0,085 0,077 0,091 0,053 0,040

492 BQN B R 1013 58,618 0,094 0,069 0,090 0,029 0,040 0,170

493 SIG C EL OJO 58,626 0,013 0,016 0,039 0,007 0,004 0,102

494 AGUA USCG B MAGAS 58,715 0,089 0,122 0,037 0,086 0,134 0,037

495 FSJ N TUNA 58,788 0,002 0,063 0,030 0,067 0,058 0,037

496 FSJ S TUNA 58,795 0,005 0,060 0,026 0,064 0,054 0,033

497 AGUA USCG A MAGAS 59,066 0,085 0,119 0,030 0,079 0,131 0,044

498 BQN C RESET R 1013 59,096 0,046 0,030 0,130 0,023 0,023 0,193

499 CP D 93 R 1013 59,227 0,103 0,094 0,066 0,034 0,096 0,121

500 DIAZ TUNA 59,396 0,013 0,052 0,004 0,037 0,014 0,015

501 FSJ S EL OJO 59,453 0,024 0,031 0,036 0,004 0,004 0,096

502 FSJ N EL OJO 59,473 0,021 0,028 0,039 0,001 0,001 0,100

503 MANATI 2 AGUA USCG B 59,594 0,001 0,058 0,012 0,031 0,031 0,049

504 BERRIOS MAGAS 59,669 0,084 0,034 0,014 0,028 0,079 0,016

505 MANATI 2 AGUA USCG A 59,758 0,003 0,055 0,020 0,025 0,028 0,057

506 TUNA EL OJO 59,829 0,019 0,091 0,010 0,068 0,058 0,063

507 TUNA MAZ C 60,012 0,202 0,054 0,101 0,006 0,013 0,121

508 SANABRIA F 1004 60,203 0,006 0,043 0,036 0,033 0,035 0,050

509 F 1004 EL OJO 60,341 0,017 0,092 0,059 0,079 0,080 0,022

510 P 1003 COCO 60,501 0,020 0,015 0,003 0,016 0,105 0,046

511 BERRIOS M 1005 60,922 0,004 0,089 0,059 0,078 0,091 0,027

512 LAJAS 2 EL OJO 60,989 0,050 0,058 0,101 0,097 0,025 0,063

513 P 1003 CP D 93 61,289 0,024 0,078 0,031 0,018 0,065 0,056

514 GPS 54 C 1012 61,450 0,139 0,021 0,126 0,062 0,037 0,119

515 NOVA 2 R 1013 61,558 0,084 0,077 0,034 0,091 0,055 0,000

516 TUNA GPS 54 61,732 0,199 0,069 0,086 0,023 0,024 0,117

517 PSE F F 1016 61,790 0,094 0,054 0,009 0,010 0,025 0,022

518 P 1003 BQN C RESET 62,064 0,033 0,014 0,095 0,040 0,008 0,128

519 PSE E F 1016 62,160 0,082 0,040 0,003 0,004 0,010 0,008

520 SANABRIA UTUADO 62,278 0,073 0,019 0,059 0,016 0,005 0,116

521 EL OJO ZSU A 62,372 0,022 0,044 0,024 0,019 0,020 0,077

522 PSE ARP F 1016 62,496 0,081 0,037 0,004 0,007 0,008 0,006

523 VELEZ MAGAS 62,542 0,090 0,083 0,009 0,066 0,058 0,125

524 EL OJO ZSU B 62,545 0,025 0,046 0,022 0,021 0,022 0,077

525 QUEBRAS 2 C 1012 62,757 0,054 0,074 0,113 0,095 0,109 0,072

526 GUN F 1004 62,779 0,023 0,015 0,067 0,036 0,044 0,089

527 TUNA 975 9394 A TIDAL 62,817 0,152 0,053 0,109 0,015 0,007 0,130

528 Q 1004 QUEBRAS 2 62,851 0,011 0,008 0,039 0,032 0,032 0,007

529 MONTEREY QUEBRAS 2 63,002 0,008 0,012 0,042 0,035 0,036 0,011

530 SANABRIA PSE F 63,133 0,031 0,023 0,046 0,031 0,018 0,018

531 975 9394 A TIDAL C 1012 63,214 0,092 0,037 0,149 0,070 0,054 0,132

532 SANABRIA PSE E 63,355 0,019 0,009 0,035 0,018 0,003 0,004

533 P 1003 LAJAS 2 63,375 0,066 0,008 0,089 0,054 0,038 0,113

534 P 1003 BQN B 63,378 0,015 0,053 0,055 0,012 0,010 0,105

535 MANATI 2 LAJAS 2 63,408 0,070 0,004 0,056 0,044 0,065 0,054

536 UTUADO T 1022 63,442 0,031 0,067 0,068 0,028 0,098 0,081

537 975 5371 A TIDAL F 1004 63,559 0,006 0,059 0,091 0,070 0,076 0,115

538 SANABRIA PSE ARP 63,582 0,018 0,006 0,033 0,015 0,001 0,002

539 P 1004 R 1013 63,748 0,084 0,077 0,007 0,079 0,047 0,022

540 F 1004 R 1013 63,773 0,080 0,058 0,012 0,052 0,047 0,006

541 QUEBRAS 2 PSE ARP 63,813 0,008 0,032 0,073 0,047 0,062 0,036

542 MAZ C C 1012 64,105 0,142 0,036 0,142 0,079 0,048 0,124

543 QUEBRAS 2 PSE E 64,144 0,009 0,035 0,075 0,050 0,065 0,038

544 G 1006 MAGAS 64,485 0,074 0,071 0,070 0,034 0,010 0,208

545 QUEBRAS 2 PSE F 64,581 0,021 0,049 0,086 0,064 0,080 0,052

546 P 1003 BQN A 64,660 0,009 0,049 0,074 0,016 0,022 0,134

547 P 1003 VELEZ 64,832 0,006 0,031 0,025 0,022 0,019 0,079

548 Q 1004 MAGAS 64,938 0,092 0,069 0,027 0,047 0,087 0,002

549 MANATI 2 CP D 93 64,994 0,020 0,066 0,065 0,007 0,039 0,114

550 MONTEREY MAGAS 65,018 0,089 0,065 0,024 0,044 0,083 0,002

551 CP D 93 MAGAS 65,335 0,108 0,130 0,016 0,062 0,142 0,102

552 GPS 54 PSE ARP 65,470 0,185 0,021 0,087 0,014 0,010 0,083

553 SAN JUAN SIG APT ARP F 1004 65,482 0,001 0,070 0,093 0,077 0,079 0,118

554 BQN C RESET MAGAS 65,589 0,051 0,066 0,079 0,004 0,069 0,174

555 MANATI 2 BQN C RESET 65,753 0,037 0,002 0,128 0,050 0,034 0,186

556 BQN B MAGAS 65,813 0,099 0,105 0,040 0,056 0,086 0,151

557 GPS 54 PSE E 65,902 0,184 0,018 0,089 0,017 0,008 0,085

558 P 1003 E 1009 66,219 0,084 0,022 0,038 0,024 0,006 0,007

559 SIG C F 1004 66,225 0,004 0,076 0,097 0,085 0,084 0,123

560 GUN UTUADO 66,319 0,090 0,047 0,090 0,013 0,014 0,155

561 BQN A MAGAS 66,324 0,093 0,101 0,058 0,060 0,055 0,180

562 P 1003 G 1006 66,371 0,010 0,019 0,086 0,010 0,086 0,162

563 GPS 54 PSE F 66,430 0,172 0,004 0,100 0,031 0,008 0,100

564 975 5371 A TIDAL UTUADO 66,751 0,061 0,003 0,114 0,021 0,045 0,181

565 FSJ N F 1004 66,964 0,004 0,064 0,098 0,078 0,079 0,121

566 FSJ S F 1004 66,969 0,007 0,061 0,094 0,074 0,076 0,118

567 MANATI 2 BQN B 67,025 0,011 0,041 0,089 0,002 0,017 0,164

568 SANABRIA P 1004 67,141 0,002 0,062 0,031 0,060 0,035 0,021

569 MAGAS T 1022 67,151 0,049 0,035 0,017 0,003 0,035 0,010

570 975 9394 A TIDAL PSE ARP 67,233 0,138 0,005 0,110 0,022 0,008 0,096

571 P 1004 EL OJO 67,335 0,021 0,111 0,053 0,106 0,080 0,007

572 DIAZ F 1004 67,413 0,015 0,053 0,064 0,047 0,036 0,070

573 NOVA 2 EL OJO 67,531 0,021 0,111 0,081 0,118 0,088 0,016

574 975 9394 A TIDAL PSE E 67,665 0,137 0,002 0,112 0,025 0,010 0,098

575 M 1005 C 1012 67,707 0,061 0,120 0,119 0,121 0,159 0,074

576 TUNA T 1022 67,718 0,038 0,128 0,023 0,066 0,107 0,070

577 BERRIOS AGUA USCG B 67,844 0,005 0,088 0,023 0,057 0,054 0,021

578 MAZ C PSE ARP 67,848 0,188 0,006 0,103 0,031 0,002 0,087

579 BERRIOS AGUA USCG A 68,006 0,001 0,085 0,016 0,051 0,052 0,029

580 MANATI 2 VELEZ 68,189 0,002 0,019 0,058 0,012 0,045 0,137

581 975 9394 A TIDAL PSE F 68,194 0,125 0,012 0,123 0,038 0,025 0,112

582 MAZ C PSE E 68,275 0,187 0,003 0,104 0,034 0,004 0,090

583 MANATI 2 BQN A 68,286 0,005 0,037 0,107 0,006 0,048 0,192

584 C 1012 F 1016 68,305 0,127 0,079 0,035 0,041 0,055 0,042

585 975 5371 A TIDAL PSE F 68,425 0,019 0,007 0,008 0,006 0,022 0,047

586 TUNA F 1016 68,498 0,067 0,011 0,006 0,044 0,007 0,040

587 SAN JUAN SIG APT ARP UTUADO 68,527 0,068 0,008 0,116 0,028 0,048 0,184

588 TUNA COCO 68,568 0,017 0,056 0,018 0,041 0,100 0,060

589 TUNA ZSU A 68,628 0,003 0,047 0,014 0,049 0,038 0,014

590 GUN PSE F 68,638 0,048 0,051 0,015 0,028 0,009 0,021

591 975 5371 A TIDAL PSE E 68,646 0,007 0,007 0,020 0,020 0,037 0,061

592 TUNA ZSU B 68,752 0,006 0,045 0,013 0,047 0,037 0,013

593 MAZ C PSE F 68,801 0,175 0,011 0,116 0,048 0,019 0,104

594 GUN PSE E 68,850 0,036 0,037 0,004 0,015 0,006 0,035

595 975 5371 A TIDAL PSE ARP 68,871 0,006 0,010 0,021 0,023 0,040 0,063

596 SANABRIA C 1012 68,994 0,064 0,048 0,073 0,062 0,048 0,038

597 SANABRIA NOVA 2 69,062 0,002 0,062 0,058 0,072 0,043 0,044

598 GUN PSE ARP 69,068 0,035 0,034 0,003 0,012 0,008 0,038

599 MANATI 2 E 1009 69,199 0,088 0,010 0,005 0,014 0,032 0,052

600 M 1005 PSE ARP 69,230 0,015 0,078 0,080 0,074 0,113 0,038

601 SIG C UTUADO 69,262 0,063 0,014 0,120 0,036 0,053 0,190

602 GUN P 1004 69,443 0,019 0,034 0,062 0,063 0,044 0,061

603 P 1003 MAZ C 69,491 0,199 0,013 0,080 0,019 0,018 0,107

604 M 1005 PSE E 69,583 0,016 0,081 0,082 0,077 0,115 0,040

605 SAN JUAN SIG APT ARP PSE F 69,612 0,026 0,004 0,010 0,013 0,025 0,050

606 MANATI 2 G 1006 69,796 0,014 0,007 0,120 0,020 0,113 0,221

607 SAN JUAN SIG APT ARP PSE E 69,844 0,014 0,018 0,022 0,026 0,040 0,065

608 DIAZ PSE F 69,883 0,040 0,013 0,018 0,016 0,018 0,002

609 BERRIOS LAJAS 2 69,919 0,066 0,026 0,091 0,070 0,041 0,082

610 DIAZ UTUADO 69,928 0,082 0,009 0,087 0,002 0,005 0,136

611 R 1013 EL OJO 69,943 0,063 0,034 0,047 0,027 0,033 0,016

612 M 1005 PSE F 70,041 0,028 0,095 0,093 0,090 0,130 0,054

613 SAN JUAN SIG APT ARP PSE ARP 70,076 0,013 0,021 0,023 0,029 0,043 0,067

614 FSJ S UTUADO 70,121 0,074 0,001 0,117 0,025 0,045 0,184

615 FSJ N UTUADO 70,124 0,071 0,002 0,121 0,029 0,049 0,188

616 DIAZ PSE E 70,131 0,028 0,001 0,007 0,003 0,003 0,017

617 SIG C PSE F 70,194 0,021 0,010 0,015 0,022 0,030 0,056

618 975 5371 A TIDAL P 1004 70,277 0,010 0,078 0,086 0,097 0,075 0,087

619 Q 1004 M 1005 70,348 0,004 0,054 0,046 0,059 0,082 0,009

620 DIAZ PSE ARP 70,377 0,027 0,004 0,006 0,000 0,000 0,019

621 SIG C PSE E 70,429 0,009 0,024 0,026 0,035 0,045 0,070

622 MONTEREY M 1005 70,499 0,001 0,058 0,049 0,062 0,087 0,013

623 SIG C PSE ARP 70,664 0,008 0,027 0,027 0,038 0,048 0,072

624 F 1004 COCO 70,675 0,019 0,057 0,050 0,051 0,122 0,025

625 P 1003 GPS 54 70,736 0,196 0,028 0,064 0,002 0,029 0,103

626 AGUA USCG B C 1012 71,001 0,062 0,119 0,083 0,101 0,123 0,026

627 FSJ S PSE F 71,076 0,032 0,005 0,012 0,011 0,022 0,050

628 FSJ N PSE F 71,092 0,029 0,002 0,015 0,014 0,026 0,054

629 FSJ S PSE E 71,312 0,020 0,009 0,023 0,024 0,037 0,064

630 FSJ N PSE E 71,328 0,017 0,012 0,027 0,027 0,041 0,068

631 AGUA USCG A C 1012 71,340 0,058 0,116 0,076 0,095 0,121 0,018

632 GUN NOVA 2 71,480 0,019 0,034 0,089 0,075 0,053 0,083

633 FSJ S PSE ARP 71,548 0,019 0,012 0,025 0,027 0,040 0,066

634 FSJ N PSE ARP 71,564 0,016 0,015 0,028 0,030 0,043 0,070

635 MANATI 2 MAZ C 71,568 0,203 0,025 0,046 0,009 0,044 0,048

636 UTUADO F 1016 71,753 0,136 0,050 0,097 0,005 0,002 0,112

637 F 1004 T 1022 71,935 0,036 0,129 0,045 0,077 0,129 0,015

638 P 1003 975 9394 A TIDAL 71,960 0,149 0,012 0,087 0,010 0,012 0,116

639 TUNA R 1013 72,090 0,082 0,057 0,056 0,042 0,026 0,079

640 SAN JUAN SIG APT ARP P 1004 72,208 0,003 0,089 0,088 0,104 0,079 0,090

641 975 5371 A TIDAL NOVA 2 72,294 0,010 0,078 0,113 0,109 0,084 0,109

642 E 1009 C 1012 72,375 0,027 0,071 0,100 0,084 0,060 0,023

643 MANATI 2 GPS 54 72,504 0,200 0,040 0,030 0,008 0,056 0,044

644 SIG C P 1004 72,945 0,008 0,095 0,092 0,112 0,084 0,095

645 AGUA USCG B PSE ARP 73,016 0,016 0,077 0,044 0,054 0,077 0,010

646 BERRIOS CP D 93 73,208 0,024 0,096 0,030 0,033 0,063 0,086

647 AGUA USCG A PSE ARP 73,346 0,012 0,074 0,037 0,047 0,074 0,018

648 AGUA USCG B PSE E 73,389 0,017 0,080 0,046 0,057 0,079 0,008

649 FSJ N P 1004 73,656 0,000 0,083 0,093 0,105 0,079 0,093

650 FSJ S P 1004 73,662 0,003 0,080 0,089 0,101 0,076 0,089

651 AGUA USCG A PSE E 73,719 0,013 0,077 0,038 0,050 0,076 0,016

652 MANATI 2 975 9394 A TIDAL 73,809 0,153 0,024 0,053 0,000 0,038 0,057

653 AGUA USCG B PSE F 73,868 0,029 0,094 0,057 0,070 0,094 0,006

654 BERRIOS BQN C RESET 73,971 0,033 0,032 0,093 0,024 0,011 0,158

655 AGUA USCG A PSE F 74,197 0,025 0,091 0,050 0,064 0,091 0,001

656 DIAZ P 1004 74,214 0,011 0,072 0,059 0,074 0,036 0,042

657 SAN JUAN SIG APT ARP NOVA 2 74,222 0,003 0,089 0,115 0,116 0,087 0,112

658 975 5371 A TIDAL C 1012 74,273 0,052 0,032 0,018 0,025 0,007 0,027

659 GUN C 1012 74,431 0,081 0,076 0,042 0,059 0,039 0,001

660 F 1004 F 1016 74,895 0,069 0,012 0,074 0,054 0,028 0,045

661 SIG C NOVA 2 74,961 0,008 0,095 0,119 0,124 0,092 0,117

662 BERRIOS BQN B 75,252 0,015 0,071 0,053 0,028 0,007 0,135

663 E 1009 PSE ARP 75,277 0,073 0,029 0,061 0,036 0,013 0,013

664 SAN JUAN SIG APT ARP C 1012 75,522 0,059 0,021 0,016 0,018 0,004 0,031

665 LAJAS 2 COCO 75,667 0,086 0,023 0,093 0,070 0,067 0,067

666 E 1009 PSE E 75,682 0,072 0,032 0,063 0,039 0,016 0,011

667 FSJ N NOVA 2 75,683 0,000 0,083 0,120 0,117 0,087 0,115

668 FSJ S NOVA 2 75,689 0,003 0,080 0,116 0,114 0,084 0,112

669 PSE F ZSU A 75,786 0,030 0,018 0,000 0,004 0,006 0,031

670 DIAZ C 1012 75,888 0,073 0,038 0,045 0,048 0,047 0,017

671 PSE F ZSU B 75,961 0,033 0,020 0,002 0,006 0,005 0,031

672 VELEZ C 1012 75,999 0,063 0,080 0,037 0,081 0,047 0,062

673 PSE E ZSU A 76,078 0,018 0,004 0,011 0,009 0,021 0,046

674 SIG C C 1012 76,123 0,054 0,015 0,012 0,010 0,001 0,036

675 E 1009 PSE F 76,191 0,060 0,046 0,074 0,052 0,031 0,004

676 DIAZ NOVA 2 76,199 0,011 0,072 0,086 0,086 0,044 0,064

677 PSE E ZSU B 76,254 0,021 0,006 0,010 0,007 0,020 0,045

678 QUEBRAS 2 EL OJO 76,317 0,013 0,075 0,062 0,078 0,106 0,006

679 PSE ARP ZSU A 76,358 0,017 0,001 0,013 0,012 0,023 0,048

680 BERRIOS VELEZ 76,443 0,006 0,049 0,023 0,038 0,021 0,109

681 BERRIOS BQN A 76,517 0,009 0,067 0,072 0,032 0,024 0,164

682 PSE ARP ZSU B 76,533 0,020 0,003 0,011 0,010 0,022 0,047

683 F 1004 ZSU A 76,580 0,005 0,048 0,083 0,060 0,060 0,099

684 F 1004 ZSU B 76,713 0,008 0,046 0,081 0,057 0,059 0,098

685 FSJ S C 1012 77,010 0,065 0,030 0,014 0,021 0,007 0,030

686 FSJ N C 1012 77,025 0,062 0,027 0,011 0,017 0,004 0,034

687 Q 1004 LAJAS 2 77,086 0,074 0,009 0,078 0,051 0,049 0,064

688 MONTEREY LAJAS 2 77,196 0,071 0,005 0,081 0,054 0,045 0,068

689 Q 1004 AGUA USCG B 77,251 0,003 0,053 0,010 0,038 0,046 0,039

690 MONTEREY AGUA USCG B 77,401 0,000 0,057 0,013 0,042 0,050 0,035

691 Q 1004 AGUA USCG A 77,417 0,007 0,050 0,002 0,032 0,044 0,046

692 BERRIOS E 1009 77,427 0,084 0,040 0,040 0,040 0,009 0,023

693 MONTEREY AGUA USCG A 77,567 0,004 0,054 0,006 0,035 0,048 0,043

694 MANATI 2 R 1013 77,623 0,083 0,028 0,001 0,027 0,057 0,006

695 P 1003 R 1013 77,719 0,079 0,016 0,035 0,016 0,030 0,065

696 CP D 93 C 1012 77,815 0,081 0,127 0,031 0,077 0,131 0,039

697 G 1006 C 1012 77,983 0,047 0,068 0,024 0,049 0,020 0,146

698 P 1004 COCO 78,046 0,015 0,076 0,045 0,078 0,122 0,003

699 BERRIOS G 1006 78,048 0,010 0,037 0,084 0,006 0,089 0,193

700 BQN C RESET C 1012 78,182 0,024 0,063 0,033 0,020 0,058 0,111

701 UTUADO ZSU A 78,409 0,072 0,014 0,105 0,011 0,029 0,165

702 VELEZ PSE ARP 78,519 0,017 0,038 0,002 0,034 0,001 0,098

703 UTUADO ZSU B 78,566 0,075 0,016 0,104 0,008 0,028 0,165

704 NOVA 2 COCO 78,581 0,015 0,076 0,072 0,090 0,130 0,019

705 BQN B C 1012 78,621 0,072 0,102 0,007 0,072 0,076 0,088

706 VELEZ PSE E 78,910 0,018 0,041 0,000 0,037 0,003 0,096

707 BQN A C 1012 79,302 0,066 0,098 0,012 0,076 0,044 0,117

708 VELEZ PSE F 79,407 0,030 0,055 0,011 0,050 0,018 0,082

709 BERRIOS MAZ C 79,513 0,199 0,005 0,082 0,035 0,020 0,077

710 SANABRIA MAGAS 79,555 0,091 0,051 0,026 0,047 0,058 0,025

711 P 1004 T 1022 79,564 0,040 0,148 0,040 0,104 0,129 0,013

712 CP D 93 PSE ARP 79,859 0,035 0,085 0,009 0,030 0,085 0,076

713 CP D 93 PSE E 80,233 0,036 0,088 0,007 0,033 0,087 0,073

714 BQN C RESET PSE ARP 80,276 0,022 0,021 0,072 0,028 0,012 0,147

715 BERRIOS GPS 54 80,292 0,196 0,010 0,066 0,018 0,032 0,073

716 G 1006 PSE ARP 80,510 0,001 0,026 0,063 0,002 0,067 0,182

717 NOVA 2 T 1022 80,601 0,040 0,148 0,067 0,116 0,137 0,009

718 BQN C RESET PSE E 80,652 0,021 0,024 0,070 0,025 0,014 0,145

719 CP D 93 PSE F 80,712 0,048 0,102 0,004 0,046 0,102 0,059

720 BQN B PSE ARP 80,812 0,026 0,060 0,032 0,024 0,029 0,125

721 G 1006 PSE E 80,901 0,002 0,029 0,062 0,005 0,065 0,180

722 BQN C RESET PSE F 81,133 0,009 0,038 0,059 0,012 0,029 0,131

723 BQN B PSE E 81,191 0,027 0,063 0,031 0,027 0,031 0,122

724 G 1006 PSE F 81,398 0,014 0,043 0,050 0,018 0,049 0,165

725 BQN A PSE ARP 81,569 0,020 0,056 0,051 0,028 0,002 0,153

726 BERRIOS 975 9394 A TIDAL 81,638 0,149 0,006 0,089 0,026 0,015 0,085

727 BQN B PSE F 81,676 0,039 0,077 0,020 0,041 0,046 0,108

728 BQN A PSE E 81,951 0,021 0,059 0,049 0,031 0,000 0,151

729 MAGAS F 1016 82,000 0,154 0,082 0,011 0,026 0,065 0,020

730 C 1012 ZSU A 82,016 0,063 0,043 0,026 0,035 0,023 0,012

731 C 1012 ZSU B 82,191 0,066 0,045 0,028 0,038 0,024 0,011

732 P 1004 F 1016 82,348 0,065 0,031 0,069 0,081 0,028 0,017

733 SANABRIA QUEBRAS 2 82,416 0,010 0,026 0,040 0,033 0,062 0,034

734 BQN A PSE F 82,438 0,033 0,073 0,038 0,044 0,015 0,137

735 M 1005 EL OJO 82,604 0,020 0,121 0,069 0,105 0,157 0,008

736 Q 1004 CP D 93 82,647 0,016 0,061 0,043 0,014 0,055 0,104

737 MONTEREY CP D 93 82,799 0,019 0,065 0,040 0,018 0,059 0,100

738 GPS 54 EL OJO 83,170 0,180 0,022 0,076 0,045 0,034 0,054

739 Q 1004 BQN C RESET 83,409 0,041 0,003 0,106 0,043 0,019 0,176

740 P 1004 ZSU A 83,428 0,001 0,067 0,077 0,087 0,059 0,071

741 P 1004 ZSU B 83,555 0,004 0,065 0,076 0,084 0,058 0,070

742 MONTEREY BQN C RESET 83,560 0,038 0,001 0,103 0,040 0,015 0,172

743 NOVA 2 F 1016 83,912 0,065 0,031 0,096 0,093 0,036 0,039

744 BERRIOS R 1013 83,934 0,079 0,002 0,037 0,001 0,033 0,035

745 R 1013 COCO 84,508 0,099 0,001 0,038 0,001 0,075 0,019

746 GUN MAGAS 84,641 0,108 0,079 0,005 0,044 0,049 0,064

747 Q 1004 BQN B 84,685 0,007 0,036 0,067 0,009 0,001 0,153

748 975 5371 A TIDAL MAGAS 84,691 0,079 0,035 0,028 0,010 0,018 0,090

749 MONTEREY BQN B 84,837 0,010 0,040 0,063 0,012 0,003 0,149

750 975 9394 A TIDAL EL OJO 84,922 0,133 0,038 0,099 0,053 0,051 0,066

751 GUN QUEBRAS 2 84,929 0,027 0,002 0,071 0,036 0,071 0,073

752 MAZ C EL OJO 85,168 0,183 0,037 0,092 0,062 0,046 0,058

753 NOVA 2 ZSU A 85,394 0,001 0,067 0,105 0,099 0,068 0,093

754 NOVA 2 ZSU B 85,524 0,004 0,065 0,103 0,096 0,067 0,092

755 975 5371 A TIDAL QUEBRAS 2 85,729 0,002 0,042 0,095 0,070 0,102 0,099

756 Q 1004 VELEZ 85,828 0,002 0,014 0,036 0,019 0,029 0,127

757 Q 1004 BQN A 85,948 0,001 0,032 0,085 0,013 0,032 0,182

758 MONTEREY VELEZ 85,978 0,001 0,018 0,033 0,022 0,025 0,123

759 MONTEREY BQN A 86,099 0,004 0,036 0,082 0,016 0,028 0,178

760 SAN JUAN SIG APT ARP MAGAS 86,158 0,086 0,024 0,030 0,003 0,014 0,093

761 Q 1004 E 1009 86,697 0,092 0,005 0,027 0,021 0,017 0,041

762 LAJAS 2 T 1022 86,753 0,031 0,095 0,088 0,095 0,074 0,056

763 SIG C MAGAS 86,820 0,081 0,018 0,035 0,006 0,009 0,099

764 MONTEREY E 1009 86,844 0,089 0,009 0,030 0,024 0,013 0,037

765 DIAZ MAGAS 86,892 0,100 0,041 0,002 0,032 0,058 0,045

766 AGUA USCG B EL OJO 87,323 0,021 0,120 0,033 0,085 0,121 0,040

767 Q 1004 G 1006 87,447 0,018 0,002 0,098 0,013 0,097 0,210

768 MONTEREY G 1006 87,597 0,015 0,006 0,094 0,010 0,093 0,207

769 AGUA USCG A EL OJO 87,630 0,017 0,117 0,026 0,078 0,118 0,047

770 SAN JUAN SIG APT ARP QUEBRAS 2 87,655 0,005 0,053 0,097 0,077 0,105 0,102

771 FSJ S MAGAS 87,718 0,092 0,033 0,032 0,005 0,018 0,093

772 FSJ N MAGAS 87,730 0,089 0,030 0,035 0,002 0,014 0,096

773 Q 1004 MAZ C 88,327 0,207 0,030 0,068 0,016 0,028 0,059

774 SIG C QUEBRAS 2 88,396 0,000 0,059 0,101 0,085 0,110 0,108

775 MONTEREY MAZ C 88,465 0,204 0,026 0,072 0,019 0,024 0,063

776 QUEBRAS 2 COCO 88,491 0,023 0,040 0,054 0,051 0,148 0,009

777 Q 1004 GPS 54 88,901 0,204 0,045 0,052 0,001 0,040 0,055

778 MONTEREY GPS 54 89,035 0,201 0,041 0,056 0,002 0,036 0,059

779 FSJ N QUEBRAS 2 89,126 0,008 0,047 0,102 0,078 0,106 0,106

780 FSJ S QUEBRAS 2 89,131 0,011 0,044 0,098 0,074 0,102 0,102

781 DIAZ QUEBRAS 2 89,609 0,019 0,036 0,068 0,047 0,062 0,054

782 SANABRIA M 1005 89,910 0,003 0,072 0,047 0,059 0,112 0,036

783 Q 1004 975 9394 A TIDAL 90,296 0,157 0,029 0,075 0,007 0,023 0,067

784 MONTEREY 975 9394 A TIDAL 90,431 0,154 0,025 0,079 0,010 0,019 0,071

785 Q 1004 R 1013 90,797 0,087 0,033 0,023 0,020 0,041 0,017

786 MONTEREY R 1013 90,901 0,084 0,029 0,027 0,017 0,037 0,021

787 E 1009 EL OJO 91,208 0,068 0,072 0,050 0,067 0,057 0,042

788 QUEBRAS 2 T 1022 92,094 0,032 0,112 0,049 0,077 0,155 0,001

789 GUN M 1005 92,384 0,020 0,044 0,078 0,062 0,121 0,076

790 975 5371 A TIDAL M 1005 93,194 0,009 0,088 0,102 0,096 0,152 0,101

791 VELEZ EL OJO 93,721 0,022 0,081 0,013 0,065 0,045 0,128

792 MAGAS ZSU A 93,931 0,090 0,046 0,020 0,020 0,034 0,074

793 MAGAS ZSU B 94,104 0,093 0,048 0,018 0,022 0,035 0,073

794 CP D 93 EL OJO 94,117 0,040 0,128 0,020 0,061 0,129 0,105

795 SANABRIA LAJAS 2 94,126 0,073 0,009 0,079 0,052 0,020 0,091

796 BQN C RESET EL OJO 94,628 0,017 0,064 0,083 0,003 0,055 0,177

797 SAN JUAN SIG APT ARP M 1005 95,121 0,002 0,099 0,104 0,103 0,155 0,105

798 M 1005 COCO 95,131 0,016 0,086 0,061 0,078 0,198 0,012

799 BQN B EL OJO 95,350 0,031 0,103 0,044 0,055 0,073 0,154

800 G 1006 EL OJO 95,700 0,006 0,069 0,074 0,033 0,023 0,212

801 SIG C M 1005 95,862 0,007 0,105 0,108 0,112 0,160 0,110

802 BQN A EL OJO 96,245 0,025 0,099 0,062 0,059 0,042 0,183

803 FSJ N M 1005 96,586 0,001 0,093 0,109 0,104 0,156 0,108

804 FSJ S M 1005 96,592 0,004 0,090 0,105 0,101 0,152 0,104

805 QUEBRAS 2 F 1016 96,691 0,073 0,005 0,078 0,054 0,054 0,030

806 SANABRIA AGUA USCG B 96,823 0,002 0,071 0,011 0,039 0,076 0,012

807 SANABRIA AGUA USCG A 96,988 0,006 0,068 0,003 0,033 0,073 0,020

808 R 1013 T 1022 97,074 0,044 0,071 0,033 0,025 0,082 0,009

809 DIAZ M 1005 97,087 0,012 0,082 0,075 0,074 0,112 0,057

810 GPS 54 COCO 97,618 0,216 0,013 0,068 0,018 0,076 0,057

811 GUN LAJAS 2 98,681 0,090 0,019 0,109 0,055 0,011 0,131

812 QUEBRAS 2 ZSU A 98,786 0,009 0,031 0,086 0,059 0,086 0,083

813 QUEBRAS 2 ZSU B 98,918 0,012 0,029 0,085 0,057 0,085 0,083

814 975 5371 A TIDAL LAJAS 2 98,955 0,061 0,025 0,133 0,089 0,021 0,156

815 M 1005 T 1022 99,240 0,039 0,158 0,056 0,103 0,205 0,001

816 975 9394 A TIDAL COCO 99,364 0,169 0,003 0,090 0,026 0,093 0,070

817 GUN AGUA USCG B 99,389 0,019 0,043 0,042 0,042 0,085 0,027

818 MAZ C COCO 99,471 0,219 0,002 0,083 0,035 0,087 0,061

819 GUN AGUA USCG A 99,537 0,023 0,040 0,034 0,036 0,082 0,020

820 LAJAS 2 F 1016 99,809 0,136 0,022 0,116 0,073 0,027 0,087

821 975 5371 A TIDAL AGUA USCG B 100,183 0,010 0,087 0,065 0,076 0,116 0,053

822 AGUA USCG B COCO 100,267 0,015 0,085 0,025 0,057 0,162 0,037

823 975 5371 A TIDAL AGUA USCG A 100,334 0,006 0,084 0,058 0,070 0,113 0,046

824 AGUA USCG A COCO 100,560 0,019 0,082 0,017 0,051 0,159 0,044

825 SAN JUAN SIG APT ARP LAJAS 2 100,615 0,068 0,036 0,135 0,095 0,024 0,160

826 SIG C LAJAS 2 101,326 0,063 0,042 0,140 0,104 0,029 0,165

827 DIAZ LAJAS 2 101,728 0,082 0,019 0,106 0,066 0,019 0,112

828 SAN JUAN SIG APT ARP AGUA USCG B 102,107 0,003 0,098 0,067 0,083 0,119 0,056

829 SANABRIA CP D 93 102,188 0,017 0,079 0,042 0,015 0,084 0,077

830 FSJ S LAJAS 2 102,212 0,074 0,027 0,137 0,093 0,021 0,159

831 FSJ N LAJAS 2 102,219 0,071 0,030 0,140 0,097 0,024 0,163

832 SAN JUAN SIG APT ARP AGUA USCG A 102,259 0,001 0,095 0,060 0,077 0,117 0,049

833 SIG C AGUA USCG B 102,849 0,008 0,104 0,072 0,091 0,124 0,062

834 SANABRIA BQN C RESET 102,953 0,040 0,015 0,105 0,042 0,011 0,149

835 SIG C AGUA USCG A 103,001 0,004 0,101 0,064 0,085 0,121 0,054

836 FSJ N AGUA USCG B 103,582 0,000 0,092 0,072 0,084 0,120 0,060

837 FSJ S AGUA USCG B 103,587 0,003 0,089 0,069 0,080 0,116 0,056

838 FSJ N AGUA USCG A 103,733 0,004 0,089 0,065 0,078 0,117 0,052

839 FSJ S AGUA USCG A 103,738 0,007 0,086 0,061 0,074 0,113 0,048

840 DIAZ AGUA USCG B 104,047 0,011 0,081 0,038 0,053 0,076 0,009

841 M 1005 F 1016 104,152 0,066 0,041 0,085 0,080 0,105 0,032

842 DIAZ AGUA USCG A 104,204 0,015 0,078 0,031 0,047 0,073 0,001

843 SANABRIA BQN B 104,238 0,008 0,054 0,066 0,010 0,028 0,126

844 GUN CP D 93 104,530 0,000 0,051 0,011 0,018 0,093 0,038

845 E 1009 COCO 104,899 0,104 0,037 0,042 0,040 0,099 0,039

846 AGUA USCG B T 1022 105,112 0,040 0,157 0,020 0,083 0,169 0,047

847 GUN BQN C RESET 105,309 0,057 0,013 0,074 0,039 0,020 0,110

848 975 5371 A TIDAL CP D 93 105,367 0,029 0,095 0,013 0,052 0,124 0,012

849 AGUA USCG A T 1022 105,370 0,036 0,154 0,012 0,077 0,166 0,054

850 SANABRIA VELEZ 105,400 0,001 0,032 0,035 0,019 0,000 0,100

851 SANABRIA BQN A 105,504 0,002 0,050 0,084 0,014 0,003 0,155

852 975 5371 A TIDAL BQN C RESET 106,144 0,028 0,031 0,051 0,005 0,051 0,084

853 SANABRIA E 1009 106,211 0,091 0,023 0,028 0,022 0,012 0,014

854 M 1005 ZSU A 106,271 0,002 0,077 0,093 0,086 0,136 0,086

855 M 1005 ZSU B 106,402 0,005 0,075 0,092 0,084 0,135 0,085

856 GUN BQN B 106,630 0,009 0,026 0,035 0,013 0,037 0,087

857 GPS 54 T 1022 106,726 0,161 0,059 0,063 0,044 0,083 0,047

858 CP D 93 COCO 106,983 0,004 0,093 0,028 0,033 0,170 0,102

859 SANABRIA G 1006 107,020 0,017 0,020 0,097 0,013 0,068 0,184

860 VELEZ COCO 107,056 0,014 0,046 0,021 0,038 0,086 0,125

861 SANABRIA R 1013 107,269 0,086 0,015 0,024 0,019 0,012 0,044

862 SAN JUAN SIG APT ARP CP D 93 107,298 0,022 0,106 0,015 0,059 0,128 0,009

863 SANABRIA MAZ C 107,390 0,206 0,012 0,069 0,017 0,001 0,086

864 975 5371 A TIDAL BQN B 107,459 0,020 0,070 0,011 0,047 0,068 0,061

865 BQN C RESET COCO 107,537 0,053 0,029 0,091 0,024 0,097 0,174

866 SANABRIA GPS 54 107,721 0,203 0,027 0,054 0,000 0,011 0,082

867 GUN BQN A 107,916 0,015 0,022 0,053 0,017 0,006 0,116

868 MAZ C T 1022 107,945 0,164 0,074 0,078 0,061 0,094 0,051

869 SIG C CP D 93 108,035 0,027 0,112 0,019 0,067 0,132 0,003

870 GUN VELEZ 108,047 0,018 0,004 0,004 0,022 0,009 0,061

871 SAN JUAN SIG APT ARP BQN C RESET 108,074 0,035 0,042 0,048 0,002 0,054 0,081

872 BQN B COCO 108,347 0,005 0,068 0,052 0,028 0,114 0,151

873 975 9394 A TIDAL T 1022 108,420 0,114 0,075 0,086 0,052 0,100 0,059

874 975 5371 A TIDAL BQN A 108,741 0,014 0,066 0,030 0,051 0,037 0,090

875 FSJ N CP D 93 108,744 0,019 0,100 0,020 0,060 0,128 0,005

876 FSJ S CP D 93 108,751 0,016 0,097 0,016 0,056 0,124 0,009

877 SIG C BQN C RESET 108,811 0,030 0,048 0,044 0,010 0,059 0,075

878 975 5371 A TIDAL VELEZ 108,826 0,011 0,048 0,019 0,056 0,040 0,035

879 G 1006 COCO 109,019 0,030 0,034 0,083 0,006 0,019 0,208

880 GUN E 1009 109,157 0,108 0,005 0,059 0,025 0,021 0,025

881 SANABRIA 975 9394 A TIDAL 109,172 0,156 0,011 0,076 0,008 0,007 0,094

882 DIAZ CP D 93 109,300 0,008 0,089 0,014 0,029 0,084 0,057

883 BQN A COCO 109,306 0,011 0,064 0,070 0,032 0,083 0,180

884 SAN JUAN SIG APT ARP BQN B 109,388 0,013 0,081 0,009 0,054 0,072 0,058

885 FSJ N BQN C RESET 109,523 0,038 0,036 0,044 0,003 0,055 0,077

886 FSJ S BQN C RESET 109,529 0,041 0,033 0,047 0,001 0,051 0,081

887 LAJAS 2 ZSU A 109,601 0,072 0,014 0,125 0,078 0,005 0,141

888 GUN G 1006 109,610 0,034 0,008 0,066 0,010 0,059 0,144

889 LAJAS 2 ZSU B 109,768 0,075 0,012 0,123 0,076 0,004 0,140

890 975 5371 A TIDAL E 1009 109,875 0,079 0,039 0,082 0,059 0,053 0,051

891 DIAZ BQN C RESET 110,072 0,049 0,025 0,077 0,028 0,011 0,128

892 SIG C BQN B 110,127 0,018 0,087 0,005 0,062 0,076 0,052

893 975 5371 A TIDAL G 1006 110,401 0,005 0,036 0,042 0,025 0,027 0,118

894 SAN JUAN SIG APT ARP BQN A 110,670 0,007 0,077 0,027 0,057 0,041 0,087

895 AGUA USCG B F 1016 110,684 0,065 0,040 0,048 0,060 0,069 0,016

896 SAN JUAN SIG APT ARP VELEZ 110,748 0,004 0,059 0,022 0,063 0,044 0,032

897 FSJ N BQN B 110,841 0,010 0,075 0,004 0,055 0,072 0,054

898 FSJ S BQN B 110,848 0,007 0,072 0,008 0,051 0,068 0,058

899 AGUA USCG A F 1016 110,895 0,069 0,037 0,041 0,054 0,066 0,024

900 GUN MAZ C 110,960 0,223 0,040 0,100 0,020 0,010 0,125

901 DIAZ BQN B 111,377 0,001 0,064 0,038 0,024 0,028 0,106

902 E 1009 T 1022 111,408 0,049 0,109 0,037 0,066 0,106 0,049

903 SIG C BQN A 111,409 0,012 0,083 0,023 0,066 0,045 0,081

904 GUN GPS 54 111,482 0,220 0,055 0,084 0,003 0,002 0,121

905 SIG C VELEZ 111,491 0,009 0,065 0,026 0,072 0,048 0,026

906 R 1013 F 1016 111,521 0,149 0,046 0,062 0,002 0,019 0,039

907 975 5371 A TIDAL MAZ C 111,532 0,194 0,004 0,124 0,054 0,041 0,151

908 CP D 93 T 1022 111,551 0,059 0,165 0,033 0,059 0,177 0,112

909 SAN JUAN SIG APT ARP E 1009 111,781 0,086 0,050 0,085 0,066 0,056 0,054

910 975 5371 A TIDAL GPS 54 112,004 0,191 0,011 0,108 0,037 0,030 0,147

911 GUN R 1013 112,004 0,103 0,043 0,055 0,016 0,003 0,083

912 FSJ N BQN A 112,125 0,004 0,071 0,023 0,059 0,041 0,083

913 FSJ S BQN A 112,131 0,001 0,068 0,026 0,055 0,037 0,087

914 BQN C RESET T 1022 112,188 0,002 0,101 0,096 0,002 0,104 0,184

915 975 5371 A TIDAL R 1013 112,212 0,074 0,001 0,079 0,018 0,029 0,109

916 FSJ N VELEZ 112,232 0,001 0,053 0,026 0,064 0,044 0,028

917 FSJ S VELEZ 112,237 0,002 0,050 0,023 0,061 0,040 0,032

918 SAN JUAN SIG APT ARP G 1006 112,325 0,012 0,047 0,040 0,031 0,024 0,115

919 SIG C E 1009 112,528 0,081 0,056 0,089 0,074 0,061 0,059

920 DIAZ BQN A 112,654 0,007 0,060 0,056 0,028 0,003 0,135

921 VELEZ T 1022 112,655 0,041 0,118 0,026 0,063 0,093 0,135

922 DIAZ VELEZ 112,666 0,010 0,042 0,007 0,034 0,000 0,079

923 GUN 975 9394 A TIDAL 112,893 0,173 0,039 0,107 0,011 0,016 0,134

924 SIG C G 1006 113,068 0,007 0,053 0,036 0,040 0,019 0,110

925 BQN B T 1022 113,173 0,050 0,140 0,057 0,054 0,121 0,161

926 AGUA USCG B ZSU A 113,213 0,001 0,076 0,057 0,066 0,100 0,038

927 FSJ N E 1009 113,298 0,089 0,044 0,090 0,067 0,056 0,057

928 FSJ S E 1009 113,301 0,092 0,041 0,086 0,063 0,053 0,054

929 AGUA USCG B ZSU B 113,346 0,004 0,074 0,055 0,063 0,099 0,037

930 AGUA USCG A ZSU A 113,373 0,005 0,073 0,050 0,059 0,097 0,030

931 SAN JUAN SIG APT ARP MAZ C 113,381 0,201 0,015 0,126 0,061 0,045 0,154

932 975 5371 A TIDAL 975 9394 A TIDAL 113,426 0,144 0,005 0,131 0,045 0,047 0,159

933 AGUA USCG A ZSU B 113,506 0,008 0,071 0,048 0,057 0,096 0,029

934 DIAZ E 1009 113,607 0,100 0,033 0,056 0,036 0,013 0,006

935 FSJ N G 1006 113,802 0,015 0,041 0,035 0,032 0,024 0,112

936 FSJ S G 1006 113,808 0,018 0,038 0,039 0,029 0,027 0,116

937 SAN JUAN SIG APT ARP R 1013 113,816 0,081 0,012 0,081 0,025 0,032 0,112

938 SAN JUAN SIG APT ARP GPS 54 113,828 0,198 0,000 0,110 0,044 0,033 0,150

939 SIG C MAZ C 114,127 0,196 0,021 0,130 0,069 0,049 0,160

940 BQN A T 1022 114,255 0,044 0,136 0,075 0,057 0,090 0,190

941 DIAZ G 1006 114,259 0,026 0,030 0,069 0,002 0,067 0,163

942 SIG C R 1013 114,514 0,076 0,018 0,085 0,033 0,037 0,117

943 G 1006 T 1022 114,550 0,025 0,106 0,088 0,031 0,026 0,218

944 SIG C GPS 54 114,570 0,193 0,006 0,114 0,052 0,038 0,156

945 DIAZ R 1013 114,807 0,095 0,005 0,052 0,005 0,011 0,064

946 FSJ S MAZ C 114,952 0,207 0,006 0,127 0,058 0,041 0,154

947 FSJ N MAZ C 114,952 0,204 0,009 0,131 0,062 0,045 0,158

948 DIAZ MAZ C 114,981 0,215 0,002 0,097 0,031 0,001 0,106

949 SAN JUAN SIG APT ARP 975 9394 A TIDAL 115,255 0,151 0,016 0,133 0,052 0,050 0,163

950 DIAZ GPS 54 115,347 0,212 0,017 0,081 0,014 0,010 0,102

951 FSJ S R 1013 115,406 0,087 0,003 0,082 0,022 0,029 0,112

952 FSJ S GPS 54 115,410 0,204 0,009 0,112 0,041 0,030 0,150

953 FSJ N GPS 54 115,411 0,201 0,006 0,115 0,045 0,033 0,153

954 FSJ N R 1013 115,414 0,084 0,006 0,086 0,026 0,032 0,115

955 SIG C 975 9394 A TIDAL 115,999 0,146 0,022 0,137 0,060 0,055 0,168

956 CP D 93 F 1016 116,616 0,046 0,048 0,004 0,036 0,077 0,082

957 DIAZ 975 9394 A TIDAL 116,792 0,165 0,001 0,104 0,022 0,007 0,115

958 FSJ S 975 9394 A TIDAL 116,835 0,157 0,007 0,135 0,049 0,047 0,162

959 FSJ N 975 9394 A TIDAL 116,836 0,154 0,010 0,138 0,053 0,051 0,166

960 GPS 54 F 1016 117,109 0,266 0,058 0,091 0,021 0,018 0,077

961 BQN C RESET F 1016 117,332 0,103 0,016 0,067 0,021 0,004 0,153

962 MAZ C F 1016 117,584 0,269 0,043 0,107 0,038 0,006 0,081

963 BQN B F 1016 118,495 0,055 0,023 0,028 0,031 0,021 0,131

964 CP D 93 ZSU A 118,506 0,018 0,084 0,004 0,042 0,108 0,028

965 CP D 93 ZSU B 118,635 0,015 0,082 0,003 0,039 0,107 0,029

966 975 9394 A TIDAL F 1016 118,707 0,219 0,042 0,114 0,029 0,000 0,090

967 E 1009 F 1016 118,721 0,154 0,008 0,066 0,043 0,005 0,019

968 VELEZ F 1016 118,887 0,064 0,001 0,003 0,040 0,007 0,104

969 BQN C RESET ZSU A 119,277 0,039 0,020 0,059 0,016 0,035 0,100

970 BQN C RESET ZSU B 119,406 0,042 0,018 0,060 0,018 0,034 0,100

971 BQN A F 1016 119,691 0,061 0,019 0,046 0,035 0,010 0,159

972 BQN B ZSU A 120,576 0,009 0,059 0,020 0,036 0,052 0,077

973 G 1006 F 1016 120,656 0,080 0,011 0,059 0,009 0,075 0,188

974 BQN B ZSU B 120,705 0,006 0,057 0,021 0,034 0,051 0,078

975 VELEZ ZSU A 121,811 0,000 0,037 0,011 0,046 0,024 0,051

976 BQN A ZSU A 121,849 0,003 0,055 0,038 0,040 0,021 0,106

977 VELEZ ZSU B 121,946 0,003 0,035 0,010 0,044 0,023 0,051

978 BQN A ZSU B 121,979 0,000 0,053 0,039 0,038 0,020 0,106

979 R 1013 ZSU A 122,393 0,085 0,010 0,071 0,008 0,012 0,093

980 R 1013 ZSU B 122,563 0,088 0,012 0,069 0,005 0,011 0,092

981 E 1009 ZSU A 122,662 0,090 0,028 0,074 0,048 0,037 0,035

982 E 1009 ZSU B 122,802 0,093 0,026 0,073 0,046 0,036 0,034

983 G 1006 ZSU A 123,418 0,016 0,025 0,050 0,014 0,044 0,134

984 G 1006 ZSU B 123,552 0,019 0,023 0,052 0,012 0,045 0,135

985 MAZ C ZSU A 123,737 0,205 0,007 0,116 0,043 0,025 0,135

986 MAZ C ZSU B 123,889 0,208 0,009 0,114 0,041 0,024 0,134

987 GPS 54 ZSU A 123,976 0,202 0,022 0,100 0,026 0,014 0,131

988 GPS 54 ZSU B 124,131 0,205 0,024 0,098 0,024 0,012 0,130

989 975 9394 A TIDAL ZSU A 125,448 0,155 0,006 0,123 0,034 0,031 0,144

990 975 9394 A TIDAL ZSU B 125,602 0,158 0,008 0,121 0,032 0,030 0,143

Sumatoria 49,458 42,114 54,038 37,378 48,949 75,253

Promedio 60,389 0,050 0,043 0,055 0,038 0,049 0,076

Maximo 125,602 0,269 0,165 0,184 0,134 0,205 0,299

Minimo 0,028 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

DesvStd 33,432 0,057 0,031 0,039 0,027 0,037 0,058

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determinación de un modelo de geoide gravimétrico para puerto