Determinación Visual de Actitud y Posición de Satélites ...bibing.us.es/proyectos/abreproy/60232/descargar_fichero/Determina… · 3.5.1 Distancia relativa inicial 32 3.5.2 Excentricidad

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

Determinación Visual de Actitud y Posición de

Satélites que Viajan en la Misma Órbita

Autor: Jesús Domínguez Gómez

Tutor: Michele Grassi y Rafael Vázquez Valenzuela

Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2014

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

Determinación Visual de Actitud y Posición de

Satélites que Viajan en la Misma Órbita

Autor:

Jesús Domínguez Gómez

Tutor:

Michele Grassi y Rafael Vázquez Valenzuela

Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2014

Proyecto Fin de Carrera: Determinación Visual de Actitud y Posición de Satélites que Viajan en la Misma

Órbita

Autor: Jesús Domínguez Gómez

Tutor: Michele Grassi y Rafael Vázquez Valenzuela

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2014

El Secretario del Tribunal

A mi familia

A mis compañeros

Agradecimientos

Este proyecto es parte de un proyecto mayor realizado por Roberto Opromolla, estudiante de la Università

degli Studi di Napoli Federico II, con los profesores Michele Grassi y Giancarmine Fasano como tutores.

Agradezco al profesor Grassi que contase conmigo para este proyecto durante mi estancia Erasmus en

Nápoles, y a Roberto Opromolla que me ayudó a encontrar esos pequeños errores en MATLAB que a veces

no somos capaces de ver.

Por último quiero dar las gracias al profesor Rafael Vázquez Valenzuela por guiarme al mismo tiempo desde

Sevilla a medida que iba avanzando en el proyecto desde Nápoles.

Jesús Domínguez Gómezs

Sevilla, 2014

Resumen

El control y mantenimiento de un satélite en órbita requieren conocer su posición y su orientación en cada

momento. Hay satélites con sistemas propios de determinación de posición y orientación. Sin embargo, otros

carecen de estos sistemas y dependen de otros dispositivos externos o satélites que determinen su posición y

orientación.

En este proyecto se dispone de dos satélites, uno de cada tipo. Se suponen conocidas la posición y orientación

del primer satélite (chaser) y mediante una pantalla CCD (cámara) se observa al segundo satélite (target) para

calcular su posición y orientación relativas al primer satélite. De modo que, conocida la posición del primer

satélite y la posición relativa entre ambos, es posible conocer la posición del segundo satélite.

El alcance del proyecto se reduce al modelado de la dinámica de los satélites, estudio de diferentes métodos de

determinación visual de actitud y aplicación numérica de los mismos en MATLAB.

Los objetivos de este proyecto son los estudios del ruido en la medida de la pantalla CCD, la discretización de

la pantalla en pixeles y el efecto de la distancia relativa entre los satélites.

Abstract

Control and maintenance of a satellite orbit require its pose knowledge at all times. There are satellites with

their own pose calculation systems. However, others lack these systems and depend on other external devices

or satellites to measure its pose.

There are two satellites in this project, one of each type. The first satellite pose is assumed known and it

observes the second satellite by a CCD sensor (camera) in order to calculate its relative pose to the first

satellite. Therefore, knowing the first satellite pose and the relative pose between the two satellites, it is

possible to know the second satellite pose.

The project scope is reduced to modeling the dynamics of satellites, to study different vision based pose

determination methods and its numerical application in MATLAB.

The objectives of this project are to study the CCD sensor measurement noise, the discretization of the CCD

sensor in pixels and the effect of relative distance between the satellites.

Índice

Agradecimientos ix

Resumen xi

Abstract xiii

Índice xv

Índice de Tablas xvii

Índice de Figuras xix

Notación xxi

1 Introducción 1 1.1 Descripción y Contexto 1 1.2 Alcance 2 1.3 Objetivos 2 1.4 Estructura 3

2 Caso Estático 5 2.1 Introducción 5 2.2 Simulación del problema 7

2.2.1 Datos de entrada 7 2.2.2 Método PIN-HOLE 9

2.3 Modelado del programa 10 2.3.1 Método de los TETRAEDROS 10 2.3.2 Método TRIAD 14 2.3.3 Determinación de la posición relativa 16

2.4 Comprobación de resultados 16

3 Caso Dinámico 19 3.1 Introducción 19 3.2 Simulación del problema 19

3.2.1 Definición de la órbita 19 3.2.2 Dinámica rotacional de los satélites 23 3.2.3 Método PIN-HOLE 25

3.3 Modelado del programa 27 3.3.1 Método de los TETRAEDROS 27 3.3.2 Método TRIAD 27 3.3.3 Determinación de la posición relativa 28

3.4 Comparación de resultados 28 3.5 Efecto de la distancia relativa 31

3.5.1 Distancia relativa inicial 32 3.5.2 Excentricidad de la órbita 35

4 Ruido en la Medida 45 4.1 Introducción 45 4.2 Comparación de resultados 45

5 Discretización por Píxeles 51

5.1 Introducción 51 5.2 Comparación de resultados 52

6 Efecto de la Distancia Relativa 59 6.1 Comparativa de distancias 59

7 Conclusiones 61

8 Estudios Futuros 63

Bibliografía 65

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2-1: Comparación de la orientación en caso estático 17

Tabla 2-2: Comparación de la posición relativa en caso estático 17

Tabla 3-1: Parámetros de la órbita 21

Tabla 3-2: Propiedades de inercia del satélite target 24

Tabla 3-3: Condiciones de la dinámica rotacional del target 24

Tabla 4-1: Dimensión de los errores en el caso de ruido en la medida 50

Tabla 5-1: Dimensión de los errores en el caso de la discretización por píxeles 57

Tabla 6-1: Comparación de la dimensión de los errores según la distancia relativa inicial 60

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1–1: Modelo de la Cámara 2

Figura 2–1: Disposición Estática 6

Figura 2–2: Ángulos de Euler (3-2-1) 6

Figura 2–3: Colocación de LEDs 8

Figura 2–4: Método PIN-HOLE 9

Figura 2–5: Método de los TETRAEDROS 11

Figura 2–6: Método TRIAD 15

Figura 2–7: Determinación de la posición relativa 16

Figura 3–1: Esquema de la Órbita 20

Figura 3–2: Órbita definida 21

Figura 3–3: Anomalías 22

Figura 3–4: Referencias orbitales 25

Figura 3–5: Campo de vista 26

Figura 3–6: Caras vistas y ocultas 27

Figura 3–7: Comparación del ángulo alfa 28

Figura 3–8: Comparación del ángulo beta 29

Figura 3–9: Comparación del ángulo gamma 29

Figura 3–10: Error de los ángulos 29

Figura 3–11: Comparación de la coordenada X 30

Figura 3–12: Comparación de la coordenada Y 30

Figura 3–13: Comparación de la coordenada Z 30

Figura 3–14: Error de la posición relativa 31

Figura 3–15: Distancia relativa entre los satélites 31

Figura 3–16: Error de los ángulos para distancia relativa inicial de 100m 32

Figura 3–17: Error de la posición relativa para distancia relativa inicial de 100m 32

Figura 3–18: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en alfa 33

Figura 3–19: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en beta 33

Figura 3–20: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en gamma 33

Figura 3–21: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en X 34

Figura 3–22: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en Y 34

Figura 3–23: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en Z 34

Figura 3–24: Comparación de alfa para excentricidad de 0.03 35

Figura 3–25: Comparación de beta para excentricidad de 0.03 36

Figura 3–26: Comparación de gamma para excentricidad de 0.03 36

Figura 3–27: Comparación de X para excentricidad de 0.03 37

Figura 3–28: Comparación de Y para excentricidad de 0.03 37

Figura 3–29: Comparación de Z para excentricidad de 0.03 38

Figura 3–30: Error de los ángulos para distancia relativa inicial de 200m y excentricidad de 0.15 38

Figura 3–31: Error de la posición relativa para distancia relativa inicial de 200m y excentricidad de 0.15 39

Figura 3–32: Distancia relativa para distancia relativa inicial de 200 m y excentricidad de 0.15 39

Figura 3–33: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en alfa 40

Figura 3–34: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en beta 40

Figura 3–35: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en gamma 41

Figura 3–36: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en X 41

Figura 3–37: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en Y 42

Figura 3–38: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en Z 42

Figura 4–1: Comparación del ángulo alfa en caso de ruido en la medida 46

Figura 4–2: Comparación del ángulo beta en caso de ruido en la medida 46

Figura 4–3: Comparación del ángulo gamma en caso de ruido en la medida 47

Figura 4–4: Comparación X en caso de ruido en la medida 47

Figura 4–5: Comparación Y en caso de ruido en la medida 48

Figura 4–6: Comparación Z en caso de ruido en la medida 48

Figura 4–7: Error de los ángulos en caso de ruido en la medida 49

Figura 4–8: Error de la posición relativa en caso de ruido en la medida 49

Figura 5–1: Esquema del pixelado del plano focal. 52

Figura 5–2: Comparación del ángulo alfa considerando el pixelado 53

Figura 5–3: Comparación del ángulo beta considerando el pixelado 53

Figura 5–4: Comparación del ángulo gamma considerando el pixelado 54

Figura 5–5: Comparación del ángulo X considerando el pixelado 54

Figura 5–6: Comparación del ángulo Y considerando el pixelado 55

Figura 5–7: Comparación del ángulo Z considerando el pixelado 55

Figura 5–8: Error de la orientación considerando el pixelado 56

Figura 5–9: Error de la posición relativa considerando el pixelado 56

Notación

Matriz de transformación del sistema de sistema de ejes cuerpo del target al

sistema de ejes cuerpo del chaser.

Área de la base del tetraedro “i”.

Doble del área de la base proyectada sobre el plano focal del tetraedro “i”.

Agrupación auxiliar de elementos y .

Distancia del foco a la proyección del LED “i” sobre el plano focal

Agrupación auxiliar de elementos y .

Matriz de transformación del sistema de sistema de ejes cuerpo del chaser al

sistema de ejes cuerpo del target, traspuesta de .

Matriz de transformación del sistema de sistema de ejes cuerpo del chaser al

sistema de referencia auxiliar usado en el método TRIAD.

Matriz de transformación del sistema de sistema de ejes cuerpo del target al

sistema de referencia auxiliar usado en el método TRIAD.

Vector cuyas componentes son las coordenadas de la proyección del LED sobre el

plano focal.

Punto donde se encuentra el LED “i”

Coordenada x en el sistema de ejes cuerpo del chaser del punto .

Coordenada y en el sistema de ejes cuerpo del chaser del punto .

Coordenada z en el sistema de ejes cuerpo del chaser del punto .

Vector de posición relativa entre chaser y target en el sistma de ejes cuerpo del

chaser.

Vector de posición del LED “i” en el sistema de ejes cuerpo del target.

Vector de posición del LED “i” en el sistema de ejes cuerpo del chaser.

Volumen del tetraedro “i”

Coordenada matricial horizontal de la malla definida para el pixelado del plano

focal, definida en números enteros.

Coordenada matricial vertical de la malla definida para el pixelado del plano focal,

definida en números enteros.

Distancia del foco al LED “i”.

Vector “q” del sistema de referencia auxiliar del método TRIAD expresado en el


Vector “q” del sistema de referencia auxiliar del método TRIAD expresado en el

sistema de ejes cuerpo del target.

Vector “r” del sistema de referencia auxiliar del método TRIAD expresado en el


Vector “r” del sistema de referencia auxiliar del método TRIAD expresado en el


Vector “s” del sistema de referencia auxiliar del método TRIAD expresado en el


Vector “s” del sistema de referencia auxiliar del método TRIAD expresado en el


Distancia relativa entre los LEDs “i” y “j”

Vector que une los LEDs 1 y 2 expresado en el sistma de ejes cuerpo del chaser,

sirve para calcular el sistema de referencia auxiliar del método TRIAD.

Vector que une los LEDs 1 y 2 expresado en el sistma de ejes cuerpo del target,


Vector unitario con la misma dirección que el vector .

Vector que une los LEDs 2 y 3 expresado en el sistma de ejes cuerpo del chaser,


Vector que une los LEDs 2 y 3 expresado en el sistma de ejes cuerpo del target,


Componente y de la proyección del LED “i” sobre el plano focal.

Componente z de la proyección del LED “i” sobre el plano focal.

Constante de gravitación de la Tierra.

Frecuencia angular de la órbita.

a Semieje mayor de la órbita.

BRF Sistema de ejes cuerpo del satélite (Body Reference Frame)

e Excentricidad de la órbita.

Altura común de todos los tetraedros.

IRF Sistema de referencia inercial de la Tierra (Inertial Refernce Frame)

ORF Sistema de referencia orbital del satélite (Orbital Reference Frame)

XcYcZc Sistema de ejes cuerpo del chaser

XIYIZI Sistema de referencia inercial de la Tierra

Xt0Yt0Zt0 Sistema de referencia paralelo a XcYcZc pero centrado en el cenro de gravedad del

target.

Xt2Yt2Zt2 Sistema de referencia Xt0Yt0Zt0 girado un ángulo γ entorno al eje Zt0.

Xt3Yt3Zt3 Sistema de referencia Xt2Yt2Zt2 girado un ángulo β entorno al eje Yt2.

XtYtZt Sistema de referencia Xt3Yt3Zt3 girado un ángulo α entorno al eje Xt3.

ω Argumento del perigeo, ángulo geocéntrico entre el nodo ascendente y el perigeo

medido en el plano de la órbita.

Anomalía media de la órbita.

Periodo de la órbita.

Instante de tiempo en el que el satélite pasa por le perigeo.

Distancia focal.

Inclinación del plano de la órbita, ángulo entre el plano de la órbita y el plano

ecuatorial.

Parámetro característico de la órbita.

Función de MATLAB que devuelva un valor aleatorio de distribución gaussiana de

media nula y desviación típica unidad.

𝛺 Ascenso recto del nodo ascendente, punto donde la órbita atraviesa el plano

ecuatorial en el movimiento de sur a norte

Tercer ángulo de Euler

Segundo ángulo de Euler

Primer ángulo de Euler

Anomalía verdadera de la órbita.

1

1 INTRODUCCIÓN

a determinación de la posición y orientación de un satélite es imprescindible para corregir las

desviaciones del mismo en su órbita y para mantener la dirección hacia la que debe estar apuntando.

Hay satélites en los que se dispone de sistemas de determinación de posición y orientación, por tanto

ellos mismos se proporcionan esta información y son autónomos en el control de su actitud. Sin embargo hay

otros satélites, que por diversos motivos, como pueden ser de espacio o peso, no disponen de estos sistemas de

determinación de actitud y posición, por tanto dependen de sistemas externos.

En este proyecto se presenta la posibilidad de determinar la posición y orientación de un satélite (target)

mediante métodos visuales. Se hace uso de otro satélite (chaser) que dispone de sistemas propios para

determinar su posición y orientación, entonces este satélite observa con una cámara al satélite target que carece

de estos sistemas. Se tratará de un procedimiento cooperativo en el sentido de que el satélite target llevará unos

LEDs instalados en su superficie, de modo que sean percibidos por la cámara e interpretados por el software

de determinación de actitud y posición.

1.1 Descripción y Contexto

En primer lugar se simplifica el problema geométricamente puesto que para el desarrollo de este proyecto no

es necesario tener en cuenta la geometría completa de los satélites. Entonces se considera que ambos satélites

tienen la forma de un cubo perfecto y uniforme de lado 2m. Y se colocan sus respectivos sistemas de ejes

cuerpo en el centro de gravedad, que coincide con el centro geométrico del cubo.

Los dispositivos instalados en la superficie externa del satélite target son unas bombillas LED colocadas en

puntos de una de las caras del cubo, dichos puntos son conocidos en el sistema de ejes cuerpo del satélite

target. El conocimiento de estos puntos es necesario para poder llevar a cabo los algoritmos de determinación

de actitud.

La intención es que la cara de los LEDs del target y la cámara del chaser se mantenga uno de frente al otro, de

modo que los LEDs no se encuentren en una cara oculta por el propio satélite target y que se mantengan en

todo momento en el campo de vista de la cámara. Para esto, por tanto, se supone que la dinámica rotacional de

los satélites está reducida a ángulos pequeños.

Por otro lado se simplifica el funcionamiento de la cámara instalada en el satélite chaser considerando la

metodología PIN-HOLE, como se muestra en la Figura 1–1. Se considera que la luz que emiten los LEDs pasa

por un foco coincidente con el centro de gravedad del satélite y va proyectada sobre una placa fotosensible

(plano focal) separada del foco una distancia “f” (distancia focal). De este modo la cámara obtiene la imagen

invertida de los LEDs en la pantalla fotosensible, que devuelve como medida las coordenadas de los puntos en

los que han ido a caer las proyecciones de los LEDs sobre el plano focal.

L

Introducción

2

Distancia focal

Foco

Plano focal

LED

Línea de Proyección

Eje de la cámara

Figura 1–1: Modelo de la Cámara

El plano focal se considera cuadrado y centrado con el eje de la cámara. Sus dimensiones son de 2048x2048

pixeles de 1μm de lado y una distancia focal de 6mm, siendo por tanto una placa CCD cuadrada de 2.048mm

de lado. Sin embargo, en un principio no se tendrá en cuenta la discretización del plano focal en píxeles, sino

que se considerará como continuo. Esta discretización se tendrá en cuenta más adelante en el apartado 5.

Entonces, serán conocidas la posición de los LEDs en el sistema de ejes cuerpo del satélite target y las

coordenadas de la proyecciones sobre el plano focal, por tanto será posible aplicar los métodos de

determinación de posición (método de los TETRAEDROS) y orientación (método TRIAD).

1.2 Alcance

Este proyecto se centra en tres puntos principales.

Estudio de diferentes algoritmos existentes de determinación de la posición y orientación mediante el

escaneo de un grupo de LEDs colocados en coordenadas conocidas de un satélite del que se quiere

conocer su actitud y posición.

Puesto que no se dispone físicamente de los satélites orbitando se llevará a cabo la simulación en

MATLAB tanto de la dinámica orbital de los satélites como de la medida realizada por la cámara, a lo

que se llamará más tarde como simulación del problema. Los datos obtenidos de estas simulaciones

serán tomados como entrada de los algoritmos, que también serán implementados en MATLAB.

Test numérico de los algoritmos aplicados para diversas dinámicas relativas de los satélites. Puesto

que se conocerán los datos reales impuestos en la simulación, será posible comparar los datos

calculados y estudiar los errores absolutos cometidos en la aplicación de los métodos de cálculo.

1.3 Objetivos

La aplicación de estos algoritmos es puramente geométrica, y como se verá posteriormente se obtienen

resultados prácticamente exactos, con errores despreciables debidos al propio cálculo numérico de MATLAB.

Esto se debe a que se está teniendo en cuenta un caso ideal. De modo que tras modelar el problema y los

métodos en MATLAB para el caso ideal, el proyecto se centrará en estudiar los efectos que se producen en los

3 Determinación Visual de Actitud y Posición de Satélites que Viajan en la Misma Órbita

resultados al tener en cuenta el caso real.

Los objetivos principales son:

Estudiar el efecto del ruido de señal que se produce en la medida de la cámara.

Estudiar el efecto de la discretización del plano focal en pixeles.

Estudio del efecto de la distancia relativa entre los satélites. Tras los estudios del ruido de medida y

discretización del plano focal se concluye que existe dependencia entre los resultados y la distancia

relativa entre los satélites.

1.4 Estructura

El proyecto está organizado en ocho capítulos principales.

El primer capítulo es la introducción donde se hace una primera descripción del proyecto y se

exponen su alcance, los objetivos a los que se quiere llegar y la estructura del documento.

En los capítulos segundo y tercero se hace la simulación del problema (caso ideal) para el caso

estático y para un caso dinámico en el que los dos satélites se mueven en una misma órbita.

En el capítulo cuarto, quinto y sexto se realizan los mismos cálculos que en el segundo y tercero pero

teniendo en cuenta los efectos del caso real. En cada uno de estos tres capítulos se alcanza

respectivamente uno de los tres objetivos expuestos en el apartado 1.3.

Finalmente en los dos últimos capítulos, séptimo y octavo, se exponen respectivamente las

conclusiones del proyecto y los posibles estudios futuros relacionados.

5

2 CASO ESTÁTICO

n este capítulo se expone un caso sencillo del problema de estudio con el fin de tener un primer contacto

con los algoritmos y comprobar que estén bien aplicados. Para ello se ha elegido el caso estático.

Este caso estático consiste en colocar los dos satélites uno de frente al otro separados una cierta distancia

y con orientaciones diferentes, siempre teniendo en cuenta ángulos pequeños.

Este capítulo se divide en cuatro partes principales: una introducción donde se exponen principalmente la

disposición geométrica de los satélites; una segunda parte en la que, partiendo de la posición y orientación

impuestas de antemano, se hace una simulación del problema real que se daría si se dispusiese de los satélites

y así obtener la medida de la cámara; una tercera parte en la que posición y orientación aún se cosieran

desconocidos y se aplican los algoritmos que las calculan a partir de la imagen de la cámara; finalmente la

cuarta parte consiste en la comprobación de que la posición y orientación calculadas coinciden con las

impuestas en la simulación del problema tangible.

2.1 Introducción

Como se muestra en la Figura 2–1 los satélites de forma cúbica se han colocado uno frente al otro con sus

respectivos ejes cuerpo centrados en sendos centros de gravedad. En principio se han colocado separados una

cierta distancia pero aún con la misma orientación, más adelante, en este mismo apartado, para cuantificar la

orientación relativa se aplicarán los ángulos de Euler.

Como se ha indicado anteriormente, la cámara va instalada en el satélite chaser y suponemos que va orientada

en el sentido del eje “Xc” positivo. Por otro lado, consideramos que los LEDs van instalados en la cara ZY

posterior del target.

Puesto que se trata de un estudio basado en el posicionamiento relativo entre los dos satélites, basta considerar

que el chaser está fijo y que es el target el que se mueve. Para cuantificar los giros del target consideramos los

sistemas de referencia de la Figura 2–2. Se aplican, para los giros, los ángulos de Euler en la secuencia 3-2-1.

Esto quiere decir que partimos de un sistema de referencia Xt0Yt0Zt0 centrado en el centro de gravedad del

target y con los ejes paralelos al sistema de ejes cuerpo del chaser (XcYcZc). Primero se aplica un giro de

ángulo “γ” alrededor del eje Zt0 obteniendo el sistema de referencia Xt2Yt2Zt2. A continuación el giro “β”

entorno a Yt2 obteniendo el sistema Xt3YtZt3. Y finalmente se aplica el giro “α” alrededor del eje Xt3

obteniendo el sistema de ejes cuerpo del target girado (XtYtZt) respecto al sistema de referencia paralelo al de

ejes cuerpo del chaser.

E

Caso Estático

6

Zc

YcXc

Zt

YtXt

CHASER

TARGET

Figura 2–1: Disposición Estática

Xt0 Yt0

Xt2

(β)Yt2=Yt3

(γ)Zt0=Zt2

(α)Xt3=Xt

Zt3Zt

Yt

γ

γ

β

β

α

α

Figura 2–2: Ángulos de Euler (3-2-1)


Estos giros, en el ámbito de cálculo se tienen en cuenta mediante matrices de giro elementales consecutivas,

que multiplicadas en orden dan la matriz de giro completa.

[

]

[

] [

] [

]

Para entenderlo mejor, hay que especificar que si tenemos un vector expresado en el sistema Xt0Yt0Zt0 y

multiplicamos por esta matriz de giro ala izquierda del vector, obtendríamos el mismo vector pero expresado

en el sistema de referencia XtYtZt. Y si hacemos lo mismo pero multiplicando por la traspuesta de la matriz,

obtendríamos la transformación opuesta. Es decir, la matriz transforma de Xt0Yt0Zt0 (paralelo a

XcYcZc) a XtYtZt

Entonces, para completar la transformación del sistema de ejes cuerpo del target con respecto al sistema de

ejes cuerpo del chaser, solo queda realizar la traslación dese un centro de gravedad al otro, puesto que los

ángulos ya han sido definidos.

2.2 Simulación del problema

Como se ha comentado anteriormente, puesto que no se dispone de los satélites para hacer el desarrollo

tangible del proyecto, es necesario realizar una simulación de los propios satélites, los LEDs e incluso el

procedimiento de proyección de los LEDs sobre el plano focal de la cámara y la propia lectura por parte de la

cámara.

2.2.1 Datos de entrada

Un dato de entrada que en todo caso es impuesto de ante mano, y no sólo por la necesidad de la simulación del

problema tangible, es la colocación de los LEDs en el sistema de ejes cuerpo del target. Como se observa en la

Figura 2–3 los LEDs están colocados en la cara ZY posterior formando un cuadrado de un metro de lado

centrado con la cara también cuadrada de dos metros de lado. Con esta definición es posible determinar los

vectores de posición de los LEDs ( .

[

] [

] [

] [

]

Siendo el vector de posición correspondiente al LED . Donde “i” va de 1 a 4, ya que “cuatro es el mínimo

número de puntos claramente diferenciados en el target que se necesitan para determinar su posición y

orientación” (Ben & Jorgesen, 2008).

A partir de ahora, los siguientes datos de entrada que se definirán son sólo necesarios para la simulación del

problema tangible, como son el caso de la posición y orientación relativas de los satélites.

Definimos la posición del target relativa al chaser expresado en el sistema de ejes cuerpo del chaser. Para tener

una primera toma de contacto con el procedimiento, se impone una posición relativa sencilla en la que sea

seguro que los LEDs se mantienen en el campo de vista de la cámara.

[ ]

Los satélites se encuentran separados 5 metros en el sentido Xc positivo, justo en la dirección en la que apunta

la cámara, de este modo se asegura que el satélite target se encuentra en el campo de vista de la cámara.

Caso Estático

8

Zt

Xt

Yt

TARGET

P1

P4

P2

P3

Figura 2–3: Colocación de LEDs

Por otro lado se definen los ángulos de Euler teniendo en cuenta la suposición de ángulos pequeños que ya se

había comentado anteriormente. Así se asegura que los LEDs se encuentran en una cara vista por la cámara y

que el propio satélite target no los oculta. La comprobación de este hecho, junto con la del campo de vista, se

llevará cabo en el apartado 3.2.3.

El conocimiento de antemano de la posición y orientación relativa de los satélites es necesario para calcular la

proyección de los LEDs sobre el plano focal.

Conocida la posición de los LEDs en el sistema de ejes cuerpo del target, la posición y la orientación relativas

de los satélites, mediante la aplicación de la matriz de giro, es posible obtener los vectores de posición de los

LEDs expresados en el sistema de ejes cuerpo del chaser, los cuales son necesarios para aplicar el siguiente

método, PIN-HOLE.

Donde se puede ver que es el vector de posición del LED en el sistema de ejes cuerpo del chaser,

es el vector de posición relativa, es el vector de posición del LED en el sistema de ejes cuerpo del target

y es la matriz de transformación de giro que aparece traspuesta debido a que la transformación va del

target al chaser.


2.2.2 Método PIN-HOLE

Este método modela la cámara como se había expuesto en la Figura 1–1, como una pantalla foto sensible

colocada detrás de un panel opaco en el que se ha hecho un orificio. Este orificio se supone puntual y se le

llama foco. Los haces de luz de los LEDs se hacen pasar por dicho foco y van proyectados sobre el plano

focal. La información sobre este método ha sido obtenida de la referencia (Grassi, 2014).

Como se muestra en la Figura 2–4 los haces luminosos de los LEDs P1 y P2 se hacen pasar por el foco que a

su vez se ha hecho coincidir con el centro de gravedad del satélite chaser, donde está centrado su sistema de

ejes cuerpo XcYcZc. Estos haces de luz van a parar al plano focal que se encuentra separada una distancia “f”

(distancia focal) en el sentido Xc negativo. Finalmente se obtienen los puntos Pf1 y Pf2 respectivamente sobre

el plano focal. Estos puntos tienen una posición determinada en el sistema de referencia del plano focal YfZf

paralelo al sistema de ejes cuerpo del chaser.

P1

P2

Pf1

Pf2

Zf

Yf

Zc

Yc

Xc

Plano focal

foco

Distancia focal

Figura 2–4: Método PIN-HOLE

Una vez que se conoce la posición de los LEDs en el sistema de ejes cuerpo del chaser, para obtener las

proyecciones sobre el plano focal sólo hay que prolongar el vector en el otro sentido hasta que caiga sobre el

plano focal. Esto se consigue transformando el vector de posición en otro paralelo al mismo pero con la

componente Xc de signo negativo y con valor absoluto igual a la distancia focal, entonces las coordenadas en

el plano focal serán las componente Y y Z de este vector transformado.

[

] [

]

[

] [

]

Se puede comprobar que el signo negativo hace que la imagen que se crea sobre el plano focal quede invertida

con respecto a la posición real de los LEDs.

Caso Estático

10

2.3 Modelado del programa

Con la simulación del problema tangible se han obtenido los datos de partida del software que realmente

llevará instalado el satélite chaser. Esto quiere decir que a partir de ahora se considerará como conocido

solamente las coordenadas de los puntos proyectados sobre el plano focal y la posición de los LEDs en el

sistema de ejes cuerpo del target. Sin embargo, la posición y orientación relativa volverán a considerarse

desconocidas y pasarán a ser objetivo de cálculo.

Por tanto, se conocen:

Y se trata de calcular:

2.3.1 Método de los TETRAEDROS

Éste es un método geométrico que se encarga de calcular los vectores de posición de los LEDs en el sistema de

ejes cuerpo del chaser ( ) a partir de las proyecciones de los mismos sobre el plano focal ( ) y la distancia

focal ( ). Los conceptos y ecuaciones expuestas en este apartado se han obtenido de la referencia (Abidi &

Chandra, 1990).

Este método está basado en las características geométricas de los tetraedros que se forman entre el foco y las

diferentes ternas de LEDs consecutivos según su numeración:

TETRAEDRO Terna de LEDs

1

2

3

4

Para generalizar la notación, se consideran dos LEDs más, que en realidad son coincidentes con dos de los

anteriores. Es decir, introducimos , entonces, de un modo general podemos definir la terna

del tetraedro “i” como:

Esta misma notación será utilizada en el resto de expresiones siguientes.

En la Figura 2–5 se muestran los cuatro LEDs en el espacio, sus respectivas proyecciones en el plano focal y

los cuatro tetraedros. Además, se destaca con líneas más gruesas y en azul el tetraedro número uno, tanto la

parte posterior como anterior al foco.

Los LEDs se encuentran todos en un mismo plano, por tanto, todos los tetraedros tienen la misma altura. Será

esta la característica en la que se basa el método para encontrar la relación entre la proyección en el plano focal

y la posición real del LED.

En primer lugar se define el volumen de los tetraedros como:

(2-1)

Donde es la altura, común a todos los tetraedros (aún desconocida), y es el área de la base del tetraedro

“i”, que ya se puede calcular mediante la fórmula de Heron:

√(

) (

)


Donde es la longitud del lado de la base definida por la distancia entre los LEDs :

‖ ‖

P3

P1

Pf3

Pf1

Zf

Yf

Zc

Yc

Xc

Plano focal

Foco

P2

P4Pf4

Pf2

Figura 2–5: Método de los TETRAEDROS

A continuación se muestra la expresión del vector unitario que define la dirección de proyección de cada LED:

[

] (2-2)

Donde es la distancia desde el foco a la proyección del LED :

√

Ahora es posible definir la posición real de los LEDs como:

(2-3)

Donde es la distancia, aún desconocida, entre el foco y la posición del LED .

A continuación se expone una expresión diferente para definir el volumen, se trata de un triple producto

escalar:

| |

Los vectores de la expresión son los vectores de posición de una de las ternas de LEDs, los cuales se pueden

descomponer de acuerdo a la ecuación (2-3):

Caso Estático

12

| | (2-4)

El triple producto escalar se puede desarrollar sustituyendo (2-2):

| |

Donde es el doble del área proyectada del triángulo formado por la terna “i” de LEDs cuya expresión,

resultado del triple producto escalar de los vectores ya no unitarios, es:

( ) ( )

Entonces ahora, igualando las ecuaciones (2-1) y (2-4) obtenemos la siguiente expresión de la altura:

(2-5)

En realidad, la ecuación (2-5) son cuatro expresiones diferentes de la altura.

Entonces, si igualamos las expresiones dos a dos, podemos obtener cada una de las distancias en función de

una cualquiera de las otras tres distancias . Esto quiere decir que se tienen cuatro incógnitas y sólo tres

ecuaciones independientes. Basta entonces tener tres de las incógnitas en función de la cuarta, las otras tres

ecuaciones serían redundantes.

(2-6)

(2-7)

(2-8)

Se observa que se han agrupado algunos términos en los términos .

Es aquí donde se ve que se necesitan al menos cuatro LEDs. Para igualar las expresiones de la altura dos a dos

hacen falta al menos dos tetraedros diferentes. Con tres LEDs se obtiene un tetraedro, y con cuatro se obtienen

cuatro tetraedros diferentes.

Para cerrara el problema es necesaria otra ecuación que determine el sistema de ecuaciones. Para ello el

método se centra en otro modo de expresar la distancia relativa entre los LEDs. Anteriormente se definió a

partir de los vectores de posición de los LEDs en el sistema de referencia target, ahora se define en función de

las coordenadas de los mismos en el sistema de ejes cuerpo del chaser:


( )

( )

( )

(2-9)

( )

(2-10)

Se debe aclarar que las coordenadas de los puntos en las ecuaciones (2-9) y (2-10) son todavía

desconocidas pero a continuación se las sustituye por otras expresiones haciendo uso de las ecuaciones (2-3) y

(2-2):

(2-11)

(2-12)

(2-13)

A continuación se sustituyen las ecuaciones (2-11), (2-12) y (2-13) en las expresiones (2-9) y (2-10) y se

sustituyen los términos por sus expresiones en función de determinadas por las ecuaciones (2-6),

(2-7) y (2-8).

[ ( )

( )

( )

] (2-14)

[

( ) ( )

] (2-15)

Entonces, ya se puede obtener la expresión de en función de términos conocidos:

√ ( )

(2-16)

Donde es una agrupación de términos que ayuda a simplificar la expresión (2-16).

( )

( )

Si concretamos la expresión (2-16) para el caso “i=1 y j=2” se puede obtener el valor de , y así calcular el

valor del resto de los parámetros definidos en las ecuaciones (2-6), (2-7) y (2-8).

√

(2-17)

(2-6)

(2-7)

(2-8)

Para el caso de la ecuación (2-16) existe redundancia, sin embargo, sólo se considerarán las expresiones y

ecuaciones justas y necesarias para obtener la solución del problema.

Caso Estático

14

Finalmente, se sustituyen los valores obtenidos de (2-17), (2-6), (2-7) y (2-8) en la expresión (2-3) y así se

obtiene las posiciones de los LEDs expresados en el sistema de ejes cuerpo del satélite chaser ( ), que era

exactamente lo que se buscaba con este método de los TETRAEDROS expuesto en (Abidi & Chandra, 1990).

Además, estos vectores son necesarios para el siguiente método (TRIAD) en el que se trata de calcular los

ángulos de Euler que definen la orientación relativa entre los dos satélites.

2.3.2 Método TRIAD

Este método está dedicado al cálculo de los ángulos de Euler que definen la orientación relativa entre dos

sistemas de referencia diferentes. Según el método TRIAD (Calhoun & Dabney, 1995), si se conoce la

posición de tres puntos no alineados en dos sistemas de referencia diferentes, es posible calcular la orientación

relativa entre estos sistemas de referencia.

En este caso se conoce la posición de 4 puntos (LEDs) tanto en el sistema de ejes cuerpo target, ( , impuestas

inicialmente) como en el sistema de ejes cuerpo chaser ( , calculadas anteriormente mediante el método de

los TETRAEDROS). Por tanto, si se eligen tres de los cuatro LEDs se puede aplicar el método TRIAD para

obtener los ángulos de orientación relativa.

El método se centra en el cálculo de la matriz de transformación (giro) de un sistema al otro, y conocida la

expresión analítica de dicha matriz, es posible calcular los ángulos de giro. Esta transformación tiene lugar en

dos pasos, es decir, se introduce un tercer sistema de referencia auxiliar que viene definido por el plano que

forman los tres LEDs elegidos. Entones se calcularán las dos matrices de transformación que relacionan cada

uno de los sistema de ejes cuerpo de los satélites con el sistema de referencia auxiliar y finalmente se

combinarán para obtener la matriz de transformación entre los dos sistemas de ejes cuerpos de los satélites.

Se debe concretar que la matriz es sólo de giro y no de traslación, por tanto, se trata de una transformación

entre sistemas de referencia paralelos a XtYtZt y XcYcZc. La traslación se tendrá en cuenta más adelante.

En primer lugar, se eligen tres de los LEDs para evitar redundancia, en este caso se toman los LEDs

y se procede a crear el sistema de referencia auxiliar. Para ello se definen, en ambos sistemas de

referencia, dos de los vectores que unen los puntos. Se toma como vector “u” al que une con y como

vector “v” al que une con :

Sistema de ejes cuerpo chaser Sistema de ejes cuerpo target

En la Figura 2–6 se representan los sistemas de ejes cuerpo de ambos satélites, los vectores de posición de los

LEDs en ambos sistemas de referencia y los vectores “u” y “v” que permiten calcular el sistema de referencia

auxiliar.

Entonces, a partir de estos dos vectores definimos el sistema de referencia auxiliar (QRS), para ello hay que

seguir diferenciando entre los otros dos sistemas de ejes cuerpos de los satélites:

Sistema de ejes cuerpo chaser Sistema de ejes cuerpo target

‖ ‖

‖ ‖


R1c

R3c

P3

P1

Zc

Yc

Xc

R4c

R2c

P2

P4v

u

Zt

Yt

Xt

R3

R4

R2

R1

CHASER

TARGET

Figura 2–6: Método TRIAD

Ya se conocen los ejes del sistema de referencia auxiliar expresados tanto en el sistema de ejes cuerpo del

chaser como del target. Estas expresiones contienen los cosenos directores de las correspondientes

transformaciones, por tanto, ya se pueden obtener las matrices de transformación.

La matriz de transformación del sistema auxiliar al sistema de ejes cuerpo del chaser:

[ ]

La matriz de transformación del sistema auxiliar al sistema de ejes cuerpo del target:

[ ]

Entonces, conocidas ambas matrices de transformación, se pueden combinar y obtener la matriz de

transformación del sistema de ejes cuerpo del target al del chaser:

Finalmente, atendiendo a la expresión analítica de esta matriz, se pueden despejar los ángulos de orientación

relativa entre ambos satélites:

[

]

(

)

( )

(

)

Donde los términos son las componentes de la matriz calculada mediante el método TRIAD.

Como se esperaba del método TRIAD, se han calculado los ángulos de orientación relativa entre dos sistemas

de referencia ( ), a partir de los vectores de posición de tres puntos expresados respecto a ambo sistemas

de referencia ( ).

Se puede ver que la matriz coincide con la traspuesta de la matriz expuesta en el apartado 2.1.

Caso Estático

16

2.3.3 Determinación de la posición relativa

Como se ha indicado anteriormente en el apartado 2.3.2 la matriz era sólo una matriz de giro y no incluía

la traslación entre los satélites, por tanto, ahora se tiene en cuenta dicha traslación para calcular la posición del

centro de gravedad del satélite target respecto al sistema de referencia del chaser.

Para ello, se toma el vector que va dese el centro de gravedad del chaser hasta uno de los LEDs ( ) y se le

suma el vector que une este LED con el centro de gravedad del target ( ). El problema es que cada uno de

estos dos vectores está expresado en un sistema de referencia diferente, por tanto, se le aplica a uno la matriz

de transformación para que estén expresados en un mismo sistema de referencia y se pueda realizar el

sumatorio vectorial. Se elige, por ejemplo el LED , como se muestra en la Figura 2–7, donde se destacan en

rojo los vectores de posición y , que sumados dan el vector de posición relativa destacado en rosa.

Se ve que en este caso también existe la posibilidad de redundancia, puesto que se puede calcular a través

de los cuatro LEDs.

R1c

R3c

P3

P1

Zc

Yc

Xc

R4c

R2c

P2

P4Zt

Yt

Xt

R3

R4

R2

R1

CHASER

TARGET

RcT

Figura 2–7: Determinación de la posición relativa

2.4 Comprobación de resultados

Todos los métodos y procedimientos anteriores han sido aplicados en el archivo de MATLAB „estatico.m‟.

Entonces, a continuación, en la Tabla 2-1 y Tabla 2-2, se procede a comparar los datos calculados mediante

MATLAB con los datos impuestos en la simulación del problema del apartado 2.2.

En primer lugar se hace la comparación de los ángulos.

Ángulos (º) Impuestos Calculados Error

α 2.000000000000000 2.000000000000000 0

β 2.000000000000000 2.000000000000022 -0.218663134350617e-13

γ 2.000000000000000 1.999999999999960 0.401545028534769e-13


Tabla 2-1: Comparación de la orientación en caso estático

En segundo lugar se hace la comparación del vector de posición relativa.

Componentes del vector

de posición relativa (m) Impuestas Calculadas Error

X 5 5.000000000000000 0

Y 0 -0.000000000000001 0.777156117237609e-15

Z 0 -0.000000000000000 0.499600361081320e-15

Tabla 2-2: Comparación de la posición relativa en caso estático

Se observan errores de un orden muy pequeño en comparación con la dimensión de la propia medida. Se

deduce que son errores debidos al propio cálculo numérico. Vale la pena observar que los errores en el cálculo

de los ángulos son mayores que en el cálculo del vector de posición relativa.

Entonces ahora, una vez comprobado los métodos para un caso sencillo, se procede a aplicarlos para un caso

más complejo, en el que los satélites se encuentran en movimiento.

19

3 CASO DINÁMICO

na vez que se han aplicado y comprobado los métodos en un caso sencillo como es el caso estático, se

procede ahora a ampliarlos a un caso más complicado. En este apartado se aplican los mismos métodos

explicados en el apartado 2, por tanto se prescindirá de volver a explicarlos otra vez, simplemente se

comentarán las diferencias que hay con respecto al caso anterior.

3.1 Introducción

A diferencia del caso estático, en este caso dinámico ambos satélites se encuentran viajando en una misma

órbita kepleriana elíptica en configuración Leader-Follower. Es decir, ambos satélites siguen el mismo

recorrido persiguiéndose uno al otro, de este modo se puede conseguir que el satélite target esté siempre en el

campo de vista de la cámara del chaser.

Por otro lado, en cuanto a la dinámica rotacional, se considerará que el satélite target experimenta una

oscilación debida al gradiente de gravedad. Sin embargo, se considera que el satélite chaser no experimenta

esta oscilación. Puesto que se busca una dinámica en la que haya una variación de la orientación relativa entre

los satélites, es suficiente con que oscile sólo uno de ellos.

Al igual que en el caso estático, la colocación de los LEDs se mantiene en los mismos puntos del satélite

target.

[

] [

] [

] [

]

3.2 Simulación del problema

Como se hizo en el caso estático, se diferenciará entre la simulación del problema tangible y el desarrollo del

verdadero software de cálculo.

3.2.1 Definición de la órbita

Para empezar, se comienza definiendo la órbita en la que se encuentran viajando ambos satélites, que vendrá

expresada en el sistema de referencia inercial de la Tierra (XIYIZI, (IRF)).

Analíticamente, la posición y la velocidad de un satélite en una órbita elíptica se puede expresar en función de

la anomalía verdadera (θ). La información usada para la definición de la órbita y las anomalías ha sido tomada

de la referencia (Grassi, 2014).

U

Caso Dinámico

20

[ 𝛺 𝛺 𝛺 𝛺 ]

(3-1)

[ 𝛺 𝛺 𝛺 𝛺 ]

(3-2)

[ ]

(3-3)

√

[ 𝛺 𝛺 𝛺 𝛺 ] (3-4)

√

[ 𝛺 𝛺 𝛺 𝛺 ] (3-5)

√

[ ] (3-6)

Algunos de los diferentes parámetros que determinan la órbita vienen representados en la Figura 3–1 cuyos

valores se imponen en la Tabla 3-1.

Θ(t)

ω

Ωi

PERIGEO

YIXI

ZISATÉLITE

PLANO ECUATORIAL

TIERRA

ÓRBITA

Figura 3–1: Esquema de la Órbita


Donde los tres primeros parámetros (“𝛺” “ω” e “ ”) determinan la orientación del plano de la órbita con

respecto al sistema de referencia inercial de la Tierra, como se muestra en la Figura 3–1. Por otro lado, el

parámetro “ ” es la anomalía verdadera, que sirve para la parametrización de la órbita, “a” es el semieje mayor

de la órbita, “e” es la excentricidad, “ ” es el coeficiente de gravitación de la Tierra, “ ” es un parámetro

característico de la órbita definido por su excentricidad y semieje mayor, “ ” es el periodo de la órbita y “ ”

es la frecuencia angular de la órbita.

Tras dar valor a los parámetros de la órbita, se puede ver en la Figura 3–2 la órbita que describen los satélites

en el sistema de referencia inercial de la Tierra.

Figura 3–2: Órbita definida

En un principio se considerará una excentricidad pequeña y más adelante, en el apartado 3.5.2 se tendrán en

cuenta excentricidades mayores.

Como se observa en las expresiones analíticas de la posición y velocidad de los satélites, éstas vienen en

función de la anomalía verdadera ( ), sin embargo, es necesario conocerlas en función del tiempo. Para ello se

hace uso de la anomalía media (M), que se define como la porción de periodo que ha transcurrido en un

instante determinado, expresada como ángulo:

𝛺 (º) ω (º) (º) (º) a (km) e ⁄

0 0 40 0-360 7000 0.01 398600 √

Tabla 3-1: Parámetros de la órbita

Caso Dinámico

22

(3-7) √

(3-8)

Donde es el instante en el que el satélite pasa por el perigeo de la órbita y es el periodo.

Por otro lado, para relacionar la anomalía verdadera con la anomalía media se introduce la anomalía excéntrica

( ):

(3-9)

√

(3-10)

En la Figura 3–3 quedan representadas sobre la órbita las anomalías verdadera y excéntrica.

Centro Foco

Circunferencia auxiliar

Órbita

E θ

Satélite

Figura 3–3: Anomalías

Para conocer la posición de ambos satélites en el tiempo se procede del siguiente modo. Se supone que cuando

el satélite chaser pasa por el perigeo, el satélite target va adelantado unos 5 metros.

En el caso del chaser, en el instante inicial el satélite se encuentra en el perigeo, por tanto se deduce que

y por tanto ya es conocida . Entonces, resolviendo numéricamente la ecuación (3-9) se obtiene la

anomalía excéntrica en función del tiempo, , y simplemente sustituyendo en la ecuación (3-10) se obtiene

la anomalía verdadera en función del tiempo, . Entonces ya se pueden obtener la posición y velocidad del

satélite chaser en función del tiempo.


En el caso del target, primero es necesario calcular , a partir de la distancia de separación en el instante

inicial. Sabiendo que en el instante inicial ambos satélites están separados aproximadamente una distancia de 5

metros se calcula la diferencia de anomalía verdadera suponiendo que la órbita es circular:

(3-11)

Entonces, conocida la diferencia inicial de anomalía verdadera, es posible calcular la diferencia inicial de

anomalía excéntrica con la ecuación (3-10), la diferencia inicial de anomalía media con la

ecuación (3-9) y finalmente se despeja de la ecuación (3-7). Entonces, una vez conocido , se puede

proceder igual que en el caso del chaser para obtener las tres anomalías en función del tiempo. Finalmente se

sustituye la anomalía verdadera en las ecuaciones (3-1), (3-2), (3-3), (3-4), (3-5) y (3-6) para obtener la

posición y velocidad de los satélites en función del tiempo.

Una vez conocida la posición de los dos satélites en función del tiempo según las ecuaciones (3-1), (3-2) y

(3-3), es posible calcular el vector de posición relativa pero en el sistema de referencia inercial de la Tierra

(IRF):

( )

Para obtenerlo en el sistema de referencia orbital (ORF) de satélite chaser, se debe aplicar la siguiente matriz

de transformación:

‖ ‖

‖ ‖

[

]

( )

(

)

Donde y son los vectores e posición y velocidad del satélite respectivamente.

El sistema de referencia orbital del satélite se define con el eje Z apuntando al centro de la tierra en todo

momento, el eje Y anti paralelo al vector de velocidad angular de la órbita, y el eje X perpendicular a Y y Z en

el sentido de movimiento del satélite.

3.2.2 Dinámica rotacional de los satélites

En primer lugar, se supone que el satélite chaser no oscila, por tanto, se tiene que el sistema de ejes cuerpo del

chaser coincide en todo momento con el sistema de referencia orbital. Se deduce entonces que el vector de

posición relativa expresado en el sistema de ejes cuerpo del chaser es:

( )

(

)

En segundo lugar, se supone que el satélite target oscila debido al gradiente gravitacional, por tanto el sistema

de ejes cuerpo del target no coincide con su correspondiente sistema de referencia orbital.

La dinámica rotacional debida al gradiente gravitacional viene definida por el siguiente sistema de ecuaciones

diferenciales:

Donde son los ángulos de Euler que forma el sistema de ejes cuerpos del target con su sistema de

referencia orbital.

Sin embargo, para simplificar el problema y desvincular las variables entre sí, se cancelan los términos

cruzados obteniendo tres ecuaciones armónicas independientes.

Caso Dinámico

24

Resolviendo estas ecuaciones obtenemos las expresiones de los ángulos en función del tiempo:

( √ )

√

( √ ) (3-12)

(√ )

√

(√ ) (3-13)

(√ )

√

(√ ) (3-14)

Donde las constantes son función de los momentos de inercia del satélite.

400 500 300 0.5 0.2 0.333

Tabla 3-2: Propiedades de inercia del satélite target

Y las condiciones iniciales de la dinámica rotacional son:

⁄ ⁄ ⁄

2 2 2 0 0 0

Tabla 3-3: Condiciones de la dinámica rotacional del target

Se ha de tener en cuenta que estos ángulos son los que forman el sistema de referencia orbital del target con su

sistema de ejes cuerpo. Para conocer los ángulos que forman ambos sistemas de ejes cuerpo entre sí habría que

tener en cuenta el ángulo entornono al eje Y del sistema de referencia orbital. Sin embargo, a baja

excentricidad se puede suponer que este ángulo es muy pequeño en comparación con en cualquier

instante, como se ve en laFigura 3–4. De este modo, se considera que ambos sistemas de referencia orbital son

prácticamente paralelos, y por tanto son considerados los ángulos que forman entre sí los sistemas de

ejes cuerpo de ambos satélites.

Con estos ángulos, como en el caso estático, se puede calcular la matriz de giro del sistema de ejes cuerpo del

chaser al sistema de ejes cuerpo del target .

[

]

Y así calcular la posición de los LEDs en el sistema de referencia chaser.


Δθ

ORF TARGET

ORF CHASER

Órbita

Figura 3–4: Referencias orbitales

3.2.3 Método PIN-HOLE

Igual que se expuso en el apartado 2.2.2, conocidos los vectores de posición de los LEDs en el sistema de ejes

cuerpo del chaser, se pueden obtener las proyecciones de los mismos sobre el plano focal.

[

] [

]

[

] [

]

Siendo estas proyecciones los datos de entrada para el verdadero software de determinación de posición y

orientación.

Sin embargo, es posible que la posición relativa sea tal que los LEDs caigan fuera del campo de vista de la

cámara, o que el propio satélite target haya girado demasiado y los LEDs se encuentren en una cara oculta y la

cámara no los capte. En tales casos, la luz de los LEDs no llega al plano focal y por tanto no hay lectura.

En primer lugar se controla que los LEDs se encuentren en el campo de vista de la cámara, mostrado en la

Figura 3–5.

Donde son los lados del plano focal de 2.048mm y la distancia focal de 6mm. Se ve que se ha

hecho diferencia entre las dos dimensiones del plano focal a la hora de calcular el campo de vista, aunque en

este caso ambas dimensiones son iguales.

Entonces, ahora que se conoce el campo de vista, se compara con el ángulo que la línea de proyección del

LED forma con el eje de la cámara.

(|

|) (|

|)

Caso Dinámico

26

Distancia focal

Foco

Plano focal

LED

Eje de la cámara

FOVzPz

PxL

ϕz

Línea de proyección

Figura 3–5: Campo de vista

Se deduce que el LED en cuestión está fuera del campo de vista de la cámara cuando alguno de estos ángulos

es mayor que la mitad del campo de vista:

En segundo lugar, para comprobar que los LEDs se encuentran en una cara vista del satélite se procede

calculando el vector normal a la cara donde se encuentran los LEDs. Posteriormente se elige cualquiera de los

vectores de posición de los LEDs en el sistema de ejes cuerpo del chaser y entonces se comprueba que el

ángulo que forman entre sí ambos vectores sea menor de 90º, como se muestra en la Figura 3–6. Si el ángulo

es mayor de 90º, los LEDs no son vistos por la cámara.

Se procede a calcular la normal como el producto vectorial de dos vectores contenidos en la cara de los LEDs.

‖ ‖‖ ‖

Finalmente se comprueba que el coseno del ángulo que forma la normal y sea mayor que cero, entonces

se verifica que los LEDs se encuentran en una cara vista. En caso contrario, que sea menor que cero, los LEDs

se encontrarían en una cara oculta.

‖ ‖‖ ‖

En el caso de que los LEDs se encuentren fuera del campo de vista o en una cara oculta, no se produce lectura

de la cámara, por tanto es preciso simular estos casos para que el método no dé medidas falsas. En tales casos

se hace que las coordenadas de los LEDs proyectados sobre el plano focal tomen el valor „NaN‟ de MATLAB,

de este modo se simula que la cámara no obtiene lectura o que se crea una lectura falsa pero controlada con la

que es posible saber que los LEDs no se encuentran a la vista de la cámara.


n

n

<90°

>90°

Cara vista

Cara oculta

Figura 3–6: Caras vistas y ocultas

3.3 Modelado del programa

Como se indicó en el caso estático (Apartado 2) primero se modelaba la realidad para obtener los datos de

entrada del software de determinación de posición y orientación que se desarrolla a continuación. En este caso

dinámico simplemente se procede a indicar las diferencias con el caso estático, puesto que, en realidad, las

bases de aplicación de los métodos son las mismas.

3.3.1 Método de los TETRAEDROS

El proceso de aplicación de este método es exactamente el mismo que se expuso en el apartado 2.3.1 del caso

estático. La diferencia es que en este caso el método no se aplica una sola vez, sino que se aplica para cada

instante de tiempo. En MATLAB se discretiza el tiempo y se aplica el método para cada diferencial de tiempo

durante todo un periodo de la órbita.

Entonces a partir de las proyecciones de los LEDs sobre el plano focal se calculan los vectores de posición de

los LEDs en el sistema de ejes cuerpo del chaser.

Conocidas [

] se obtienen [

]

3.3.2 Método TRIAD

Una vez más se hace referencia al caso estático para explicar el procedimiento de los métodos. La aplicación

del método TRIAD fue expuesta en el apartado 2.3.2 para el caso estático, para el caso dinámico es

Caso Dinámico

28

exactamente igual, sólo que se aplica para cada diferencial de tiempo.

Entonces, conocidas las posiciones de los LEDs tanto en el sistema de ejes cuerpo del target como del chaser,

se obtienen los ángulos de Euler relativos entre ambos sistemas de referencias.

Conocidas y se obtienen

3.3.3 Determinación de la posición relativa

Finalmente, como ya se indicó también para el caso estático, en el apartado 2.3.3, conocidas las posiciones de

los LEDs en ambos sistemas de ejes cuerpo y la orientación relativa entre estos sistemas, es posible calcular el

vector de posición relativa entre ambos.

3.4 Comparación de resultados

Una vez expuesta la simulación del problema y el procedimiento de los cálculos se implementan en MATLAB

con el archivo „dinamico.m‟ y se procede a comparar los resultados obtenidos con los datos impuestos.

En primer lugar, en la Figura 3–7, Figura 3–8 y Figura 3–9 se representa la dinámica rotacional impuesta,

definida por las ecuaciones (3-12), (3-13) y (3-14), y se compara con los ángulos calculados mediante los

métodos anteriormente expuestos.

A primera vista se pude ver que los resultados son exactamente iguales que los datos impuestos, no obstante, a

continuación se representa en la Figura 3–10 el error que se comete en el cálculo de los ángulos a lo largo de

un periodo completo. Se representa el error como una nube de puntos, cada punto es el error cometido para

cada diferencial de tiempo a lo largo de un periodo completo de la órbita.

Se observan, como era de esperar, errores de aproximadamente el mismo orden que en el caso estático. Se

puede considerar que son errores propios del cálculo numérico y por tanto concluir que hasta ahora los

métodos funcionan bien.

Por otro lado, para este caso, se puede concluir que es acertada la hipótesis en la que se despreciaba Δθ para el

cálculo de la orientación relativa. Sin embargo en el apartado 3.5 se verá que, para distancias relativas

mayores, esta hipótesis no será acertada.

Figura 3–7: Comparación del ángulo alfa


Figura 3–8: Comparación del ángulo beta

Figura 3–9: Comparación del ángulo gamma

Figura 3–10: Error de los ángulos

Caso Dinámico

30

En segundo lugar, en la Figura 3–11, Figura 3–12 y Figura 3–13 se representan las coordenadas del vector de

posición relativa y se compara con las calculadas mediante los métodos anteriormente expuestos.

Figura 3–11: Comparación de la coordenada X

Figura 3–12: Comparación de la coordenada Y

Figura 3–13: Comparación de la coordenada Z

Sabiendo que la órbita es plana y que el eje Y es perpendicular a ella, se deduce que la componente Y del

vector de posición relativa debería ser cero en todo momento. Sin embargo no es propiamente nula, esto se

debe a que la posición relativa ha sido impuesta de un modo indirecto, mediante la diferencia de las posiciones

absolutas de ambos satélites. Esto ha introducido errores en la propia coordenada impuesta (Figura 3–12) que a

su vez se ha transmitido a la coordenada calculada. No obstante, estos errores son del orden del nanómetro y

no suponen un problema para la aplicación del método.


A simple vista se pude ver que los resultados son exactamente iguales que los datos impuestos, no obstante, a

continuación se representa el error que se comete en el cálculo de las coordenadas del vector de posición

relativa a lo largo de un periodo completo.

Figura 3–14: Error de la posición relativa

Como ocurría en el caso estático, se sigue observando que el error de la posición relativa es de dos órdenes de

magnitud menor que el error cometido en los ángulos.

Por otro lado, como se comentaba antes, al definir la órbita en la simulación del problema (apartado 3.2) e

imponer el vector de posición relativa se introdujo un error del orden del nanómetro, sin embargo este error no

aparece en la Figura 3–14 puesto que los errores aquí mostrados son asociados a los métodos de cálculo y no a

la simulación del problema.

Como ya se comentó en el caso estático, vale la pena decir que los errores son muy pequeños en comparación

con la magnitud de las propias medidas. Se confirma que los métodos funcionan bien para este caso.

Finalmente vale observar que la distancia relativa (Figura 3–15) es próxima a 5 metros, como se impuso para

el instante inicial en al apartado 3.2.1 , sin embargo nunca llega a alcanzar este valor, ni siquiera en el instante

inicial. Esto se debe a la aproximación de órbita circular que se hizo en la ecuación (3-11) para calcular Δθ. Se

puede comprobar que para excentricidades pequeñas, como es este caso, la distancia relativa entre los satélites

varía poco a lo largo del periodo.

Figura 3–15: Distancia relativa entre los satélites

3.5 Efecto de la distancia relativa

En este apartado se procede a estudiar el efecto que se produce cuando se aplican los métodos para un caso en

el que los satélites, orbitando igualmente en la misa órbita, se encuentran separados distancias mayores a 5

metros.

Este estudio se hará atendiendo a dos modos de separar los satélites, aumentando la excentricidad de la órbita o

aumentando la separación inicial de los satélites y manteniendo una excentricidad baja.

Caso Dinámico

32

3.5.1 Distancia relativa inicial

Anteriormente, con la ecuación (3-11) se imponía una separación entre los satélites próxima a 5 metros. Ahora

lo que se hace es realizar los mismos cálculos anteriores pero imponiendo distancias de separación mayores y

ver cómo afecta al error de cálculo.

En primer lugar en la Figura 3–16 y Figura 3–17 se representarán los errores correspondientes a orientación y

posición relativa pero para una distancia relativa inicial mayor (100m). Para ello se hace uso del archivo

„dinamico.m‟ de MATLBA al que se le cambia la distancia relativa inicial (drini) por 100m.

Figura 3–16: Error de los ángulos para distancia relativa inicial de 100m

Figura 3–17: Error de la posición relativa para distancia relativa inicial de 100m


Se observa en la Figura 3–16 y Figura 3–17 que lo errores aumentan con respecto a la Figura 3–10 y Figura 3–

14 pero se mantienen prácticamente uniformes a lo largo del periodo de la órbita. Son un poco más oscilantes

en el caso de alfa y la coordenada X, causa de la excentricidad aun siendo todavía pequeña. Este efecto de la

excentricidad se estudia en el apartado 3.5.2.

Para estudiar cómo crece el error con la distancia relativa inicial, se representarán de la Figura 3–18 a la Figura

3–20 la media y desviación típica de la nube de puntos que representa los errores a lo largo de un periodo,

haciendo uso del archivo „distancia.m‟ de MATLAB.

Figura 3–18: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en alfa

Figura 3–19: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en beta

Figura 3–20: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en gamma

Caso Dinámico

34

Figura 3–21: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en X

Figura 3–22: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en Y

Figura 3–23: Efecto de la distancia relativa sobre el error de cálculo en Z

Se puede observar que la media de los errores oscila en torno a cero con una amplitud que crece con la

distancia relativa inicial entre los satélites. Es decir, la media de los errores tiene naturaleza aleatoria pero se

puede asegurar que a mayor distancia relativa inicial, mayor es la probabilidad de encontrar una media de error

alta. Sin embargo se puede observar una excepción en el caso de la coordenada X (Figura 3–21) donde la

media del error también oscila con amplitud creciente, pero no en torno a cero, sino en torno a lo que parece


una curva decreciente.

En el caso de desviación típica de los errores se observan que tienden a crecer con la distancia relativa inicial,

sin oscilaciones. En el caso de alfa (Figura 3–18) y X (Figura 3–21) se podría decir que la desviación típica del

error tiende a crecer parabólicamente con la distancia relativa inicial. Sin embargo, en el resto de los casos se

puede apreciar que la tendencia de la desviación típica del error tiende a crecer linealmente con la distancia

relativa inicial.

Se concluye que los errores de cálculo de estos métodos aumentan con la distancia relativa.

A pesar de todo, el error sigue siendo pequeño ya que, para distancias relativas de 100 metros, su valor típico

es del orden de grados en el caso de la orientación y metros en el caso del vector de posición

relativa. Entonces el método sigue siendo válido aún a distancias relativas medias.

Se sigue observando que el error es siembre mayor en el cálculo de la orientación que en el cálculo de la

posición.

No merece la pena estudiar la tendencia del error a distancias mayores pues, como se verá en el capítulo 6, el

efecto del ruido de medida (capítulo 4) y la discretización por píxeles (capítlo5) hacen que el método sea

inaplicable a distancias altas, ni siquiera a estas distancias medias.

3.5.2 Excentricidad de la órbita

En los casos anteriores se han hecho los cálculos para una excentricidad muy pequeña, prácticamente nula. En

este caso, lo que se hace es realizar los mismos cálculos para excentricidades mayores y ver cómo afecta eso a

los errores de cálculo. Sin embargo, si la distancia relativa inicial entre los satélites es demasiado pequeña

(aproximadamente cinco metros en este caso), con poco que se aumente la excentricidad, el satélite target se

sale del campo de vista.

Se procede a realizar los mismos cálculos del apartado 3.4 pero para una excentricidad mayor, de 0.03

concretamente. Se hace uso del archivo „dinamico.m‟ de MATLAB cambiando la excentricidad (e) por 0.03.

Se puede ver de la Figura 3–24 a la Figura 3–29 que en un instante la medida proporcionada por el método

presenta un intervalo de tiempo en el que no hay datos calculados. Esto se debe a que uno o varios de los

LEDs se han salido del campo de vista de la cámara. Para evitar esto, se tomará una distancia relativa inicial

mayor, 200 metros exactamente y así poder hacer el estudio de la excentricidad.

Figura 3–24: Comparación de alfa para excentricidad de 0.03

Caso Dinámico

36

Figura 3–25: Comparación de beta para excentricidad de 0.03

Figura 3–26: Comparación de gamma para excentricidad de 0.03


Figura 3–27: Comparación de X para excentricidad de 0.03

Figura 3–28: Comparación de Y para excentricidad de 0.03

Caso Dinámico

38

Figura 3–29: Comparación de Z para excentricidad de 0.03

Análogamente a lo que se hizo en el apartado 3.5.1, primero se procede a representar, en las Figura 3–30 y

Figura 3–31, el error a lo largo de un periodo para una excentricidad elevada, 0.15 concretamente. Haciendo

uso del archivo „excentricidad.m‟ de MATLAB.

Al aumentar la excentricidad los errores aumentan, sin embargo, ya no se mantienen uniformes a lo largo del

periodo, sino que hay dos máximo y dos mínimos relativos del error. Esto se debe a que la distancia relativa

varía mucho más ahora que antes, debido al aumento de la excentricidad. Primeros indicios de este efecto ya

aparecieron en la Figura 3–16 y Figura 3–17del apartado 3.5.1 aun con excentricidad pequeña.

Figura 3–30: Error de los ángulos para distancia relativa inicial de 200m y excentricidad de 0.15


Figura 3–31: Error de la posición relativa para distancia relativa inicial de 200m y excentricidad de 0.15

Como se puede comprobar en la Figura 3–32 los errores máximos se dan en los instantes donde la distancia

relativa entre los satélites es mayor y los errores son mínimos cuando la distancia relativa es menor. Si se hace

una comparación con la Figura 3–15, se ve que las variaciones de distancia relativa pasan de unos 10cm a unos

45 metros.

Figura 3–32: Distancia relativa para distancia relativa inicial de 200 m y excentricidad de 0.15

Se ha concluido que los errores aumentan con la excentricidad, entonces ahora se pretende estudiar la

tendencia de aumento de los errores con la excentricidad. Estos se hará del mismo modo que en el apartado

3.5.1, calculando la media y la desviación típica de los errores de un periodo en función de la excentricidad.

Para ello se fija la distancia relativa inicial en 200m y se hace un barrido de la excentricidad.

Caso Dinámico

40

Figura 3–33: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en alfa

Figura 3–34: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en beta


Figura 3–35: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en gamma

Figura 3–36: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en X

Caso Dinámico

42

Figura 3–37: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en Y

Figura 3–38: Efecto de la excentricidad sobre el error de cálculo en Z

Igual que se concluyó en el apartado 3.5.1 la media de los errores tiende a oscilar entorno a cero aumentando

la amplitud de oscilación a medida que aumenta la excentricidad. Por otro lado, la desviación típica del error

tiende a crecer con la excentricidad de un modo casi lineal para excentricidades menores de 0.1, a partir de la


cual comienza disminuir la pendiente y presentar oscilaciones, pero manteniéndose creciente.

Finalmente vale decir que los errores siguen manteniéndose en órdenes despreciables, por tanto, el único

inconveniente a la hora de aplicar estos métodos sería la necesidad de combinar bajas distancias relativas

iniciales con bajas excentricidades, puesto que es posible que el satélite target se salga del campo de vista. En

el resto de los casos los métodos funcionan.

45

4 RUIDO EN LA MEDIDA

asta ahora se ha definido el problema de un modo prácticamente ideal. Es decir, salvo pequeñas

hipótesis simplificadoras de poca importancia, la simulación del problema y el modelado del programa

han sido diseñados sin considerar errores de fabricación, telemetría y otras propiedades físicas como

por ejemplo el pixelado de la pantalla fotosensible.

Todas estas consideraciones son la causa de errores mucho mayores que los observados anteriormente.

4.1 Introducción

Este apartado se centra en considerar esos errores aleatorios típicos de fallos de fabricación montaje y

telemetría. Estos fallos pueden ir desde errores geométricos en la construcción de los satélites, errores en el

posicionamiento de los LEDs, el centrado de la cámara con el sistema de referencia del satélite o de la propia

placa fotosensible interna de la cámara. Sin embargo, el pixelado del plano focal se considerará en el apartado

5.

Estas consideraciones llevan a que las proyecciones de los LEDS no vayan a parar donde se pensaba que

llegaban, sino a otro punto de su entorno próximo. Para tener en cuenta estas desviaciones se tiene en cuenta

una componente de ruido que se suma a la medida anterior. De modo que a las coordenadas del plano focal

calculadas anteriormente se les añade un término adicional.

Se opta por definir este término de ruido como un valor aleatorio que sigue una distribución Gaussiana de

media nula y desviación típica del orden del lado del pixel, aunque aún no se haya tenido en cuenta la

discretización del plano focal en píxeles.

[

] [

]

Donde „randn(1)‟ es una función de MATLAB que proporciona un valor aleatorio que sigue una distribución

gaussiana de media nula y desviación típica unitaria.


Entonces, a partir de estas coordenadas medidas en el plano focal se procede con la aplicación de los métodos

de cálculo anteriores. Se ha de indicar que los cálculos vuelven a aplicarse para una distancia relativa inicial

aproximadamente de 5 m y una excentricidad de 0.01, haciendo uso de los comandos „ruido.m‟ de MATLAB.

Tras aplicar los métodos, se hace la correspondiente comparación entre los parámetros impuestos y los

calculados tanto en ángulos como en componentes del vector de posición.

H

Ruido en la Medida

46

Figura 4–1: Comparación del ángulo alfa en caso de ruido en la medida

Figura 4–2: Comparación del ángulo beta en caso de ruido en la medida


Figura 4–3: Comparación del ángulo gamma en caso de ruido en la medida

Figura 4–4: Comparación X en caso de ruido en la medida

Ruido en la Medida

48

Figura 4–5: Comparación Y en caso de ruido en la medida

Figura 4–6: Comparación Z en caso de ruido en la medida

Como se pude observar en las figuras anteriores, el nombre de ruido en la medida se ha puesto por la forma en

la que se desarrollan los parámetros a lo largo del periodo completo. Esta forma a la que se hace referencia es

como si la señal calculada siguiese la misma forma que la impuesta pero añadiéndole un término de ruido a


altas frecuencias y baja amplitud.

Entonces ahora se representan las nubes de puntos que representan los errores a lo largo del periodo y así

cuantificar este ruido.

Figura 4–7: Error de los ángulos en caso de ruido en la medida

Figura 4–8: Error de la posición relativa en caso de ruido en la medida

Ruido en la Medida

50

Se observa que los errores se han incrementado muy notablemente, para tener una mejor conciencia de ellos,

se calculan las medias y desviaciones típicas de estas nubes de puntos.

Error Media Desviación

Alfa(º)

Beta(º)

Gamma(º)

X(m)

Y(m)

Z(m)

Tabla 4-1: Dimensión de los errores en el caso de ruido en la medida

Se concluye que se obtienen errores de décimas de grado en el cálculo de la orientación y de milímetros en el

cálculo de la posición.

51

5 DISCRETIZACIÓN POR PÍXELES

omo ya se indicó en el apartado 4, en un principio el problema ha sido simulado de un modo casi ideal,

sin considerar algunas propiedades geométricas como los fallos de fabricación, errores en el

posicionamiento de los LEDs sobre el satélite target y el pixelado del plano focal.

En el apartado 4 ya se estudiaron estas primeras propiedades simulando un error aleatorio que se traduce como

un ruido en los resultados del cálculo. Sin embargo, este apartado se centra en el efecto que produce el

pixelado del plano focal a posteriori de considerar el ruido de la medida del apartado anterior.

5.1 Introducción

En primer lugar, se procede dividiendo el plano focal en pequeños cuadrados o píxeles mediante una matriz y

asignando a cada pixel unas coordenadas matriciales de números enteros. De modo que en la Figura 5–1 el

pixel sombreado tendría las coordenadas (1,2).

El plano focal funciona del siguiente modo, atendiendo a la Figura 5–1, si se considera que la proyección del

LEDs cae donde el punto rojo, se considerará como iluminada la totalidad del pixel. Esto se debe a que el pixel

es un sensor luminoso que detecta simplemente si está iluminado o no. El pixel no detecta el punto donde ha

sido iluminado ni si ha sido iluminado total o parcialmente. Entonces se leen las coordenadas del pixel

iluminado y se determina la posición de la proyección del LEDs. Sin embargo, puesto que no se sabe

exactamente en qué parte del pixel ha ido a parar la proyección, se toma como lectura el centro geométrico del

pixel (punto blanco de la Figura 5–1) cuya posición viene definida en el sistema de referencia YfZf por las

líneas rojas de la Figura 5–1.

En este proyecto se considerará que la proyección de los LEDs son puntuales y no círculos o elipses que

puedan iluminar varios píxeles.

Finalmente, como se dijo en el apartado 1.1, las dimensiones del plano focal y de su pixelado son de

2048x2048 pixeles de 1μm de lado y una distancia focal de 6mm, siendo por tanto una placa CCD cuadrada de

2.048mm de lado.

En la simulación del problema de los apartados 2.2 y 3.2, una vez obtenidas las coordenadas de las

proyecciones mediante el método PIN-HOLE se procedía con los métodos de cálculo de posición y

orientación, en este caso, sin embargo, habría que introducir previamente este hecho de pixelado. Para ello se

calculan las coordenadas matriciales del pixel iluminado como la parte entera de los siguientes cocientes.

( ) (

)

C

Discretización por Píxeles

52

Donde son las coordenadas de las proyecciones calculadas mediante el método PIN-HOLE y ya con

la corrección del ruido de medida del apartado 4, las coordenadas matriciales del pixel iluminado y

el lado del pixel.

Entonces ya se pueden calcular las nuevas coordenadas de las proyecciones con la introducción del pixelado.

(

)

Y entonces, con estas nuevas coordenadas se aplican los métodos de cálculo de orientación y posición

anteriormente expuestos.

Zf

Yf

Figura 5–1: Esquema del pixelado del plano focal.


Como en los casos anteriores se procede a hacer la comparación entre los datos impuestos y los datos

calculados y se observan los errores cometidos. Los cálculos vuelven a aplicarse para una distancia relativa

inicial aproximadamente de 5 m y una excentricidad de 0.01, haciendo uso de los comandos „pixelado.m‟ de

MATLAB.

Observando de la Figura 5–2 a la Figura 5–7 se puede ver un comportamiento similar al del apartado 4, en el

que los parámetros calculados siguen la tendencia de los parámetros impuestos, sin embargo, en torno a esta

tendencia, presentan una componente de ruido a alta frecuencia debida a los errores aleatorios y el pixelado del

plano focal. Este comportamiento es similar en ambos apartados debido a que la naturaleza de ambos casos es

la misma. Es decir, ambos casos se traducen en una desviación del orden de magnitud de un pixel en la medida

del plano focal.


Figura 5–2: Comparación del ángulo alfa considerando el pixelado

Figura 5–3: Comparación del ángulo beta considerando el pixelado


54

Figura 5–4: Comparación del ángulo gamma considerando el pixelado

Figura 5–5: Comparación del ángulo X considerando el pixelado


Figura 5–6: Comparación del ángulo Y considerando el pixelado

Figura 5–7: Comparación del ángulo Z considerando el pixelado


56

Se observa en la Figura 5–8 y Figura 5–9 que los errores presentan el mismo comportamiento y son del mismo

orden que en el caso del error aleatorio (apartado 4). Sin embargo, para comprobarlo se presentan en la Tabla

5-1 las medias y desviaciones típicas para tener una idea más acertada sobre el orden de magnitud de los

errores.

Figura 5–8: Error de la orientación considerando el pixelado

Figura 5–9: Error de la posición relativa considerando el pixelado


Error Media Desviación

Alfa(º)

Beta(º)

Gamma(º)

X(m)

Y(m)

Z(m)

Tabla 5-1: Dimensión de los errores en el caso de la discretización por píxeles

Se obtienen los mismos órdenes de error que en el caso de ruido en la medida. Como ya se hizo referencia

anteriormente, esto es debido a que la naturaleza de los dos casos es la misma, introducir una desviación del

orden de un pixel en la medida del plano focal.

59

6 EFECTO DE LA DISTANCIA RELATIVA

n un principio, los estudios de este proyecto se intentaron hacer para distancias relativas iniciales de 20m

y píxeles de 10µm de lado. Sin embargo, cuando se tuvieron en cuenta el ruido de la medida y la

discretización por píxeles, los errores crecían demasiado y el método era inútil. Se probaron diferentes

soluciones como disminuir la distancia relativa inicial, disminuir el tamaño de los pixeles y aumentar la

distancia focal.

El problema estaba en la resolución, cuanto más cerca estaban las proyecciones de los LEDs entre sí, menor

era la cantidad de pixeles que se utilizaban a lo largo de un periodo, por tanto menor era la resolución. Así que

la solución consistía en aumentar la resolución, que se podía conseguir de esos tres modos.

Si se disminuye la dimensión del pixel, directamente disminuye el valor del error introducido en los apartados

4 y 5 puesto que han sido definidos de acuerdo a la dimensión del pixel.

Por otro lado, jugando con la distancia relativa y la distancia focal se puede controlar la dispersión de las

proyecciones de los LEDs sobre el plano focal. Esto quiere decir que si los satélites están muy separados y las

proyecciones de los LEDs quedan muy concentradas en una pequeña zona del plano focal, se puede conseguir

su dispersión aumentando la distancia focal, teniendo cuidado de que las proyecciones no se salgan del mismo,

es decir, que los LEDS no vayan fuera del campo de vista.

Finalmente se ha optado por mantener los satélites más próximos entre sí, a una distancia relativa entorno a

5m, y disminuir el tamaño de los píxeles a 1µm. No se ha considerado aumentar la distancia focal puesto que

esto supone cámaras más grandes.

6.1 Comparativa de distancias

Entonces ahora se procede a comparar el nivel de los errores para diferentes distancias relativas iniciales entre

los satélites, considerando ya el ruido en la medida y la discretización por píxeles.

El tamaño de pixel y distancia focal son propiedades intrínsecas de la cámara, por tanto, en principio estos

parámetros permanecerán invariables en este estudio. La comparación se hará para las distancias relativas

iniciales de 5, 10 y 20m. Para ello se hace uso del archivo „pixelado.m‟ de MATLAB, en el que simplemente

se cambia la distancia relativa inicial para cada caso.

E

Efecto de la Distancia Relativa

60

Se observa que para el caso de los 5m el error es grande pero aún es menor que la propia magnitud de los

parámetros en cuestión. Sin embargo en los casos de 10 y 20 metros los errores son igual o mayores que la

magnitud del propio parámetro calculado, al menos en el caso de la orientación. En el caso de la posición

relativa, aun para distancias de 20m el error se mantiene en órdenes de décimas de metro.

Como se observó en el apartado 3.5.2, para excentricidades algo mayores a la actual es necesario aumentar

mucho la distancia relativa inicial para evitar que los LEDs se salgan del campo de vista, sin embargo, se ve

aquí que para distancias mayores de 5m lo errores son tan altos que no merece la pena hacer el estudio de la

excentricidad.

En cortas distancias los métodos son válidos para el cálculo de posición y estimación de la orientación. En

largas distancias, los métodos son válidos para una estimación de la posición pero no da información veraz

sobre la orientación.

Para disminuir el error se podría disminuir aún más el tamaño del pixel, usar cámaras con mayor distancia

focal o introducir un filtro de paso bajo que elimine la componente de ruido en las señales calculadas.

ERROR

5m 10m 20m

Media Desviación Media Desviación Media Desviación

Alfa(º)

Beta(º)

Gamma(º)

X(m)

Y(m)

Z(m)

Tabla 6-1: Comparación de la dimensión de los errores según la distancia relativa inicial

61

7 CONCLUSIONES

ras haber realizado los diferentes estudios y cálculos, en este apartado se disponen las diferentes

conclusiones obtenidas a lo largo del documento y algunas otras conclusiones finales.

Efecto de los pequeños ángulos.

En un principio se hizo la hipótesis de pequeños ángulos para evitar que los LEDs se saliesen del campo de

vista, sin embargo no eran los ángulos lo que afectaban a esto, sino la excentricidad. Si la excentricidad

aumentaba demasiado los LEDs iban a parar fuera del campo de vista. Sin embargo, los pequeños ángulos

sirvieron para evitar que el target se girase demasiado y los LEDs fuesen a parar a una cara oculta del satélite.

Por tanto, esta hipótesis ha sido razonable.

Efecto del giro Δθ despreciable.

En el apartado 3.2.2, a la hora de definir la matriz de giro entre los sistemas de ejes cuerpo de los satélites se

despreció el ángulo Δθ que forman entre sí los sistemas de referencia orbital de sendos satélites.

Posteriormente se comprueba que los errores son muy pequeños, por tanto dicha hipótesis es acertada.

Efecto del ruido y del pixelado.

Se concluye que el efecto del ruido en la medida y del pixelado del plano focal son similares. Esto se debe a

que la naturaleza de ambos es la misma.

Por un lado el ruido en la medida se introduce como una desviación aleatoria de la proyección del LED

entorno a su punto teórico. Esta desviación tiene una magnitud típica del orden del tamaño del pixel.

Por otro lado el pixelado se traduce como una desviación de la proyección entrono a su punto teórico que

como máximo alcanza el valor de la mitad de la dimensión del pixel.

Por tanto se comprueba que en ambos casos, lo que se produce es una desviación de la proyección de los

LEDs en el plano focal. Es por esto que el efecto que producen ambos es similar.

Dicho efecto consiste en que la señal calculada se ajusta a la señal impuesta pero además lleva añadido un

término de ruido a altas frecuencias, como si se tratase de la señal con interferencias.

Dependencia del error con la distancia relativa

En el documento se ha llegado en dos ocasiones al estudio del error de cálculo en función de la distancia

relativa entre los satélites. Primero sin tener en cuenta el ruido y el pixelado y posteriormente considerando

estos casos.

T

Conclusiones

62

En el primer caso (apartado 3.5) se diferenció entre los casos de distancia relativa inicial y excentricidad, y

finalmente se concluye que el error, aun siendo despreciable, aumenta con la distancia relativa inicial. Es decir,

a medida que se separan los satélites, los errores de cálculo aumentan, siendo la hipótesis del giro Δθ

despreciable una de las causas.

Por otro lado, aún en el primer caso, se deduce que cuanto mayor es la excentricidad, más alta debe ser la

distancia relativa inicial entre los satélites para evitar que los LEDs se salgan del campo de vista de la cámara.

En el segundo caso (apartado 6), donde ya se tienen en cuenta ruido y pixelado, sólo se realiza el estudio para

diferentes distancias relativas iniciales. De esto se deduce que para distancias mayores de 5m los errores

aumentan inadmisiblemente. Es por esto que en este segundo caso no se hace el estudio de la excentricidad,

puesto que para altas excentricidades se requieren altas distancias relativas que suponen errores inadmisibles.

Diferencia de errores entre el cálculo de orientación y posición.

Desde un principio se ha comprobado que los errores cometidos en el cálculo de la orientación son mayores

que en el cálculo de la posición. En los primeros casos lo errores eran tan pequeños que esta diferencia no

suponía nada importante.

Por otro lado, a medida que se avanza en el documento y se tienen en cuenta otras propiedades como el ruido

de la medida y la discretización por píxeles, se observa que esta diferencia es importante. Es decir, llega un

punto en el que el error de la orientación es inadmisible, sin embargo el error de la posición aún da una

aproximación bastante acertada.

Efecto de las cortas y largas distancias

Ahora es posible definir los modos de operación del programa según las distancias relativas entre los satélites.

A cortas distancias los errores se pueden considerar notables, pero da una buena aproximación tanto de

posición como de orientación.

A largas distancias los errores de la orientación se vuelven inadmisibles, sin embargo, los errores de la

posición, aun siendo notables, permiten tener un cálculo bastante aproximado de dónde se encuentra el centro

de gravedad del target.

63

8 ESTUDIOS FUTUROS

inalmente en este último apartado se recopilan las posibles ampliaciones y correcciones que se le podrían

hacer a este proyecto

Dinámica rotacional completa.

En el apartado 3.2.2, cuando se simuló la dinámica rotacional debida al gradiente gravitacional, se realizó una

simplificación en la que se eliminaron los términos cruzados. Se propone aplicar el método para el caso de la

dinámica completa en la que se tienen en cuenta estos términos.

Rotación de ambos satélites.

En un principio lo que se buscaba era hacer un estudio de cálculo de orientación y posición relativos entre los

satélites. Al ser propiedades relativas, bastaba con que fuese uno de los satélites el que oscilase, de este modo

se consigue una dinámica rotacional relativa entre ambos satélites. Sin embargo, ahora se propone aplicar el

método para el caso en el que los dos satélites se encuentran oscilando debido al gradiente gravitacional.

En este caso habría que tener especial cuidado con que los LEDs no se salgan del campo de vista de la cámara.

Considerar el giro Δθ.

Se supuso que una de las causas por las que los errores aumentaban con la distancia relativa inicial y con la

excentricidad era la hipótesis de giro Δθ despreciable. Entonces se propone ahora tener en cuenta este giro en

la definición de la matriz de giro para comprobar que los errores disminuyen.

Redundancia de los cálculos.

En diferentes casos los métodos se encuentran con la posibilidad de hacer cálculos redundantes de un mismo

parámetro. Se propone ahora hacer uso de la redundancia de estos cálculos y tomar como valor final la media

de todos ellos y comprobar si esto estabiliza los resultados.

En primer lugar, en el método de los TETRAEDROS, se observó que era posible calcular la distancia „d1‟ de

varios modos, así que se propone obtenerla como la media de todas esas posibilidades.

En segundo lugar, en el método TRIAD, se observó que sólo hacían falta tres puntos para definir el sistema de

referencia auxiliar, sin embargo se tenían los cuatro que eran necesarios para el método de los

F

Estudios Futuros

64

TETRAEDROS. De este modo se puede obtener el sistema de referencia auxiliar mediante cuatro ternas

diferentes de puntos. Se propone entonces calcular al orientación haciendo uso de estas cuatro opciones y

realizar la media.

Finalmente otro caso de redundancia se obtiene al calcular el vector de posición relativa como la suma

vectorial de los vectores de posición de uno de los LEDs. De este modo se puede hacer el cálculo haciendo uso

de los vectores de posición de cada uno de los cuatro LEDs y hacer la media.

Disminuir el error.

En los últimos apartados del documento se ha observado que el ruido y el pixelado introducen unos errores

enormes a medida que se aumenta la distancia relativa entre los satélites. Como solución se propone estudiar la

posibilidad de usar cámaras con mayor distancia focal y/o pixelado más fino, es decir píxeles más pequeños.

Proyección no puntual de los LEDs

En todo momento se ha considerado que la proyección de los LEDs sobre el plano focal es puntual, sin

embargo, en la realidad, la proyección abarcará un área circular o elíptica. Se propone considerar este caso de

área de proyección.

De este modo se puede dar el caso en el que la proyección ilumine varios píxeles, en tal caso, en vez de tomar

como lectura el centro de un solo pixel iluminado, se toma como lectura la media de los centros de todos los

píxeles iluminados.

Filtro de paso bajo.

Como se ha observado en los resultados obtenidos de los apartados 4 y 5, el efecto del ruido y el pixelado se

traduce en una componente de ruido o interferencias en la medida calculada. Se propone hacer un filtrado de

los resultados obtenidos. Es decir, considerar los cálculos como una señal a la que se le aplica un filtro de paso

bajo, de modo que se eliminan los términos de alta frecuencia debidos al ruido y el pixelado.

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BIBLIOGRAFÍA

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