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Determinação das características geométricas de superfícies planas
Apresentação da aula
1. Introdução2. Baricentros e centróides3. Momentos de primeira ordem ou momentos
estáticos4. Momentos de segunda ordem ou momentos
de inércia5. Produtos de inércia6. Translação de eixos7. Rotação de eixos8. Momentos e eixos principais de inércia9. Exemplos numéricos
1. INTRODUÇÃO
disciplinas Resistência dos Materiais e Análise de Estruturas :
cálculo de esforços internos e externos resultantes de ações aplicadas nas estruturas
deslocamentos e tensões
características geométricas das superfícies planas formadas pelas seções transversais das barras
Viga em balanço
Análise de Estruturas equaciona o problema de determinação da flecha f na extremidade da barra:
função proporcional à ação P aplicada e ao comprimento da peça L e inversamente proporcional à capacidade de deformação do material (representada pelo módulo de elasticidade E) e também ao denominado Momento de Inércia I, uma característica geométrica da
seção transversal
3
3
PLf
EI
Baricentros e centróides
Superfície de espessura constante
Peso total P, dividida em n elementos , de pesos individuais ΔP
O peso total P da superfície, conforme se sabe, é dado por:
sendo que, no limite:
1 2 ... nP P P P
P dP
Para determinar as coordenadas do ponto de aplicação da resultante P, denominado Baricentro ou Centro de Gravidade da superfície, basta escrever somatórios de momentos dos pesos em relação aos eixos , ou sejam:
Levando tais expressões ao limite, tem-se:
Analogamente às considerações feitas para o Peso P, tem-se:
onde as coordenadas , denominadas Centróide ou Centro Geométrico da superfície A, neste caso particular, coincidem com as do Baricentro.
1 1 2 2
1 1 2 2
...
...c n n
c n n
Px x P x P x P
Py y P y P y P
c cP x xdP P y ydP
c c
xdA ydAA dA x y
A A
Momentos de primeira ordem ou momentos estáticosAs integrais pertinentes ao cálculo das coordenadas do Centróide recebem o nome de Momentos de Primeira Ordem em relação aos eixos y e x, respectivamente, cuja notação é expressa por:
Cabe ressaltar que tais integrais podem ser entendidas, por analogia aos momentos dos pesos, como momentos das áreas em relação aos eixos coordenados, motivo pelo qual são denominadas Momentos Estáticos.
y xQ dA Qx ydA
VARIAÇÃO DE SINAIS DOS MOMENTOS ESTÁTICOS
Dependendo da posição do eixo escolhido, o resultado numérico do Momento Estático pode apresentar sinais distintos ou mesmo se anular, conforme pode ser observado no exemplo da figura.
d
Para os eixos
Para os eixos 0
Para os eixos
e ye
y
yd
x y Q
x y Q
x y Q
Momentos de segunda ordem ou momentos de inércia
De modo análogo aos Momentos de Primeira Ordem, cujas expressões contêm funções x e y, as integrais do tipo abaixo são denominadas Momentos de Segunda Ordem ou Momentos Inércia em relação aos eixos x e y respectivamente, em notação dada por:
Nestas integrais, a exemplo do cálculo de áreas, nota-se que é um problema de integração dupla. Para calculá-las, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas, conforme mostra a figura seguinte:
2 2 x yI dA I dAy x
FÓRMULA PARA CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA
2
1
y x
y x
0x 1x
1 2
0 1
( )
( )
, ,x x
A x x
f x y dA f x y dy dx
Efetuando-se o cálculo do momento de inércia de um retângulo em relação à sua base, localizada no eixo x, conforme mostra a figura:
onde
Para calcular, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas.
De maneira análoga, para o eixo y:
b
h
x
y
21 20 ,x x h f x y y
32
0 0 3
b h
x
bhI y dy dx
3
3y
b hI
Produtos de inércia
Outra característica geométrica de importância para utilização nos itens que se seguem, denomina-se Produto de Inércia, definido pela integral dada por:
A exemplo dos momentos estáticos, é fácil verificar que seu resultado apresenta variação de sinais, conforme mostra a figura, dependendo da posição que a área se encontrar em relação aos eixos (x,y).
xyI xy dA
y
x
(x,y)
(-x,y)
Para exemplificar, calcula-se a seguir o Produto de Inércia do retângulo da figura, aproveitando-se os parâmetros utilizados para o cálculo de Ix.
Nesse caso basta substituir a função na fórmula de integração dupla, ou seja:
Para outra posição de eixos coordenados passando pelo Centróide, é fácil verificar que o resultado de Ixy é zero, face à simetria e ao produto dos sinais indicados nos respectivos quadrantes.
2 2
0 0 4
b h
xy
b hI xydy dx
b
h- + + -
x'
y'
/ 2 / 2
/ 2 / 2
0b h
xy
b h
I xydy dx
Translação de eixos
Demonstra-se que é possível estabelecer uma relação entre Momentos de Inércia localizados em relação aos eixos passando pelo Centróide e eixos paralelos quaisquer conforme ilustra a firura, por meio do denominado Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner), conforme a seguir se expõe.
O Momento de Inércia da superfície, referido ao eixo x, é:
2xI y dA
Conhecendo-se as coordenadas (xc , yc ) do baricentro da área, e havendo interesse em obter o Momento de Inércia relativo a novo eixo x’ paralelo a x passando por C, basta ter em conta que:
Substituindo tal relação na expressão de Ix obtém-se:
Desenvolvendo o termo elevado ao quadrado e retirando das integrais as constantes pertinentes tem-se:
ou ainda, à vista que o momento estático em relação ao Centróide é nulo, resulta:
ou
cy y y
2
x cI y y dA
2 22x c cI y dA y y dA y dA
2 2x cI y dA y dA 2
x x cI I Ay
Analogamente, para o eixo y:
Nos dois casos, conhecendo-se os Momentos de Inércia em relação ao Centróide, o valor do Momento de Inércia em relação a qualquer eixo paralelo pode ser obtido adicionando-se uma parcela correspondente ao produto da área pelo quadrado da distância transladada ou vice versa.
Procedimento idêntico pode ser realizado para o Produto de Inércia em relação a novos eixos paralelos escrevendo:
ou
2y y cI I Ax
xy c c c cI x y dA y x dA x y dA x y dA
xy x y c cI I Ax y
Rotação de eixos
Completando o estudo, passa-se à determinação das características geométricas em relação a novos eixos localizados na mesma origem e girados de um ângulo qualquer.
Observe-se que, embora de caráter geral, em aplicações práticas interessa providenciar a rotação ao redor dos eixos ( x’ , y’ ) localizados no Centróide. Por esse motivo, estabeleceu-se para a redação das fórmulas deste item, a convenção ilustrada na figura, onde estão indicadas fórmulas para rotação das coordenadas.
cos
cos
u x y sen
v y x sen
Assim sendo, para obter Iu, Iv e Iuv como funções de Ix’, Iy’ e Ix’y’ é o bastante substituir as novas coordenadas ( u , v ) nas expressões
das características geométricas relativas a esses eixos, ou sejam:
Após algumas manipulações algébricas, obtêm-se as seguintes fórmulas mais concisas:
2 2 u v uvI v dA I u dA I uvdA
cos2 sen22 2
sen2 cos22
x y x yux y
v
x yuv x y
I I I III
I
I II I
Momentos e eixos principais de inércia
Tendo em vista que os Momentos de Inércia Iu e Iv estão relacionados a Ix’ e Iy’ apenas como funções do ângulo θ, é possível determinar seus valores extremos, bastando para tanto derivar tais expressões, igualando-as a zero, providência que conduz a:
A solução dessa equação tem como resultado dois valores de θ defasados de 90o , que definem outro par de eixos denominados Eixos Principais de Inércia, indicados por ( 1 , 2 ) , nos quais os Momentos de Inércia são extremos, e denominados Momentos Principais de Inércia, em notação expressa por
5. Esforços solicitantes em estruturas planas isostáticas
5.1- Definição e convenção de sinais
Definição: Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes em uma seção transversal genérica são as forças que equilibram as ações externas que atuam à esquerda ou à direita desta seção. Os esforços solicitantes formam pares (ação e reação entre corpos) de mesma direção e intensidade, porém de sentidos contrários, nas duas seções transversais.
Estas forças atuantes na seção transversal podem ser reduzidas a uma força resultante aplicada em um ponto (centro de gravidade da seção) e a um momento (binário) resultante.
Para facilitar os cálculos destes esforços solicitantes, obtêm-se as componentes destas resultantes nas direções do eixo longitudinal e dos eixos ortogonais a este, que contêm a seção transversal da barra.
N - força normal ou axial
V - força cortante
M - momento fletor
T - momento torçor
As componentes destas forças, considerando-se estrutura plana e carregamento contidos no plano xy, são os esforços solicitantes esforço axial N, momento fletor Mz e esforço cortante Vy.
Convenção de sinais: sentidos positivos dos esforços
Esforço normal (axial): N
Esforço cortante: V
Momento fletor: M
Momento torçor: T
Determinação dos esforços solicitantes
As equações de equilíbrio determinam as condições da estrutura, ou de parte dela, à esquerda ou à direita da seção transversal estudada.
Exemplo
apoio fixo A: deslocamentos restritos vx e vy
apoio móvel C: deslocamento restrito vy
x
y
C
B
VA
A
Vc
HA
4,0 1,5 m
5,0 kN/m
8,0 kN
8,0 kN
Reações de apoio
Carga distribuída transformada em força concentrada fictícia,
Fq = 5,0.5,5=27,5 kN
Equações de equilíbrio
x
y27,5 kN
RARc
HA
4,0 1,5 m
kNRRM
kNRRRRF
kNHF
CCzA
CACAy
Ax
9,1804.2
5,5.5,27:0
5,2705,5.5:0
0,8:0
kNRR CA 6,89,185,275,27
8,0 kN
Esforços solicitantes
Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A)
equações de equilíbrio
x
y10,0 kN
RA
2,0
MB
mkNMMRM
kNVkNVVRF
kNNNHF
BBAzB
BBBAy
BBAx
.2,702
0,2.0,2.0,50,2.:0
4,10,106,800,2.0,5:0
0,80:0
VB
NB
HA
6. Equações analíticas e diagrama de esforços
6.1- Equações analíticas
Os esforços solicitantes são obtidos em uma determinada seção transversal;
Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação) ao longo do elemento estrutural ou da estrutura como um todo;
Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços em função da coordenada x, onde são representados os valores ao longo da estrutura, adotando-se uma seção transversal de referência em posição genérica.
As funções obtidas são contínuas para carregamentos contínuos e descontínuas onde houver alguma força (ou reação) concentrada ou descontinuidade geométrica da estrutura.
Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A)Variação de a coordenada s: 0 < s < 4,0 mequações de equilíbrio
x
y5,0.s
RA
s
MS
2.5,2.6,802
..0,5.:0
.0,56,8.0,56,80.0,5:0
0,80:0
ssMMs
ssRM
sVsVsVRF
kNNNHF
SSAzS
SSSAy
SSAx
VS
NS
s
HA
Esforços solicitantes para o trecho AC, entre apoios
Para s=0:
Para s=4,0 (seção à esquerda do apoio C):
0,0.5,2.6,8
6,8.0,56,82
ssMM
kNsVV
AS
AS
mkNssMM
kNsVV
esqSS
esqSS
.6,50,4.5,20,4.6,8.5,2.6,8
4,110,4.0,56,8.0,56,822
,
,
Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A)Variação de a coordenada s: 4,0 < s < 5,5 m
x
y5,0.s
RA
s
MS
2.5,2)0,4.(9,18.6,8
02
..0,5)0,4.(.:0
5,27.0,5
.0,59,186,80.0,5:0
0,80:0
sssM
Ms
ssRsRM
sV
sVsVRRF
kNNNHF
S
SCAzS
S
SSCAy
SSAx
VS
NS
s
RC
HA
mkN
sssMM
kNsVV
dirCS
dirCS
.6,50,4.5,2)0,40,4.(9,180,4.6,8
.5,2)0,4.(9,18.6,8
5,75,270,4.0,55,27.0,5
2
2,
,
Esforços solicitantes para o trecho CD, em balanço
Para s=4,0:
Para s=5,5 (seção extrema do balanço):
0,05,5.5,2)0,45,5.(9,185,5.6,8
.5,2)0,4.(9,18.6,8
0,05,275,5.0,55,27.0,5
2
2
sssMM
sVV
DS
DS
Diagrama dos esforços solicitantes
As expressões obtidas permitem traçar os diagramas dos esforços solicitantes seguindo algumas convenções:Momento fletor e força cortante, valores positivos indicados abaixo do eixo de abcissa x
8,6
11,4
7,5+
_
+
7,2
5,6
+
_
B
1,4
V (kN)
M (kN.m)
Observações:
Força cortante: descontinuidade no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio)
A diferença (ou a soma dos módulos) dos valores de força cortante, à direita e à esquerda do apoio (VC,dir–VC,esq=7,5-(-11,4)=18,9kN) representam a carga concentrada naquele ponto (reação de apoio VC=18,9kN)
Momento fletor: descontinuidade da inclinação no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio)
7. Relações diferenciais entre os esforços solicitantes e carregamentos
As expressões analíticas dos esforços solicitantes de flexão (momento fletor e força cortante) apresentam relações diferenciais entre si.Considere-se um elemento de comprimento infinitesimal dx de uma barra geral em equilíbrio, sobrecarregada uniformemente:
Equações de equilíbrio
qxqdx
MdouV
dx
dM
Assim
dxdVdx
dxdVdxVdM
dxdVVdMM
dxVMM
qxqdx
dV
Assim
dxxqdVdxxqdVVVF
z
y
)(
,
02
.:002
..
02
).()(2
.:0
)(
,
)(0)()(:0
2
2
Integrando-se as duas equações, tem-se:
onde C1 e C2 são constantes de integração e são conhecidos a partir da definição de condições de contorno do problema estudado.
21
2
1
1
.2
..
.)(
CxCx
qdxCxqMVdxdM
CxqVdxxqdV
Segundo as expressões diferenciais pode-se prever a forma dos diagramas de esforços M e V para os diversos tipos de carga distribuída:
q=0: V - constante M - variação linear
q=constante: V - variação linear M - polinômio 2o. grau
q=linear: V – pol. 2o. Grau M - polinômio 3o. grau
E ainda:
máximoéMdx
Md
mínimooumáximoMVdx
dM
0
:0
2
2
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - NBR6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. 6p.
DIAS, L. A M. Estruturas de aço: conceitos, técnicas e linguagem. Zigurate, 1998.
FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: Fundamentos do projeto estrutural. São Paulo: McGraw Hill, 1976.
GIONGO, J.S. Estruturas de concreto armado. São Carlos: Publicação EESC/USP, 1993.
MACHADO JUNIOR, E.F. Introdução à isostática. São Carlos: Publicação EESC/USP,1999.
SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harbra, 1984.
Bibliografia