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Determina la TVI de f(x) = x2 – 2x en el punto x0 =2, x0 = 1, x0 = 0
∆x
∆x
∆y∆y
Determina la TVI de f(x) = 4 – 2x en el punto x0 =-2, x0 =0, x0 =0´3
∆y
∆y
∆x
∆x
Determina la TVI de f(x) = 4x – 2 en el punto x0 =-1, x0 =0, x0 =-3
Determina la TVI de f(x) = x2 – 2 en el punto x0 = -1, x0 = -2, x0 = 1/2
Determina la TVI de f(x) = 1/x en el punto x0 =2, x0 =1/4, x0 =-3
∆x
∆y
∆x∆y
Determina la TVI de f(x) = senx en el punto x0 =0, x0 =π/2, x0 = π
∆y
∆x
∆x
Definición de derivada.
A la tasa de variación instantánea de una función en un punto se le llama también derivadaLa derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:
h
afhaflímafTVIh
)()()(
0
Determina la función derivada de f(x) = 2– x2 y calcula su valor para x0 = -1, x0
= -2, x0 = 1/2
h
xfhxflímxfh
)()()(
0
hlímh
0
Determina la función derivada de f(x) = 2x3–3x2 y calcula su valor para x0 = -1, x0 = 0, x0 = 2
h
xfhxflímxfh
)()()(
0
hlímh
0
Determina la función derivada de f(x) = 2x3–6x y calcula su valor para x0 = -1, x0 = 0, x0 = 2
h
xfhxflímxfh
)()()(
0
hlímh
0
Determina la función derivada de f(x) = 2x + 3 y calcula su valor para x0 = -1, x0 = 2, x0 = 1
h
xfhxflímxfh
)()()(
0
hlímh
0
Determina la función derivada de f(x) = 4 y calcula su valor para x0 = -1, x0 = 2, x0 = 1
h
xfhxflímxfh
)()()(
0
hlímh
0
Determina la función derivada de f(x) = 2x2+x-1 y calcula su valor para x0 = -1, x0 = 0, x0 = 2
h
xfhxflímxfh
)()()(
0
hlímh
0
Determina la función derivada de f(x) = senx y calcula su valor para x0 =0, x0=π/2, x0 = π
h
xfhxflímxfh
)()()(
0
hlímh
0
2B–A
2BA
sen ( A ) – sen ( B ) = 2 sen cos
NOTACIÓN
x
df(x)f '(x) D f(x)
dx
En Física
SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN NECESIDAD DE HALLAR EL
LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0….
Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.
REGLAS DE DERIVACIÓN
REGLAS DE DERIVACIÓN
n(x)f',xf(x)Si n
0(x)f':entonces5,f(x)Si
1(x)f':entoncesx,f(x)Si
0(x)f',f(x)Si n
5(x)f':entonces3,-5xf(x)Si
2(x)f':entonces6,x2f(x)Si
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
x7
3f(x)c.
3f(x)b.
34xf(x)a.
REGLAS DE DERIVACIÓN1nn nx(x)f',xf(x)Si
(x)f':entonces,5xf(x)Si
(x)f':entonces,xf(x)Si3
4
(x)f':entonces,x
1-
x
4x-3xf(x)Si
(x)f':entonces,x2f(x)Si
33
1/4
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
x
6x
53
f(x)c.
x
22xx3f(x)b.
14xxf(x)a.
5
235
2
Interpretación geométrica de la derivada.
y f(a) f '(a)(x a)
ECUACIÓN DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO x=a
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola y=x2 en el punto (-2,4)
Si la derivada es nula en un punto (mtan=0), f(x) presentará una tangente horizontal en ese punto. Si f´(a) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=a
¿En qué puntos la siguiente función tiene una recta tangente con pendiente horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (2,2)
3xxf(x) 3 y f(a) f '(a)(x a)
¿En qué puntos la función f(x) = 1/x tiene una recta tangente con pendiente horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (2,1/2)
y f(a) f '(a)(x a)
¿En qué puntos la función f(x) =senx tiene una recta tangente con pendiente horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (π/3,√3/2)
y f(a) f '(a)(x a)
Determina ¿En qué puntos la función f(x) =2-x2 tiene una recta tangente con pendiente horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (1,1) y en el punto (-1,1)
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO
Si f(x) = lnx, entonces f ´ (x) = 1/x
h
xfhxflímxfh
)()()(
0
hlímh
0
Si f(x) = lng(x), entonces f ´ (x) = g´(x)/g(x)
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
)x
6ln(f(x)c.
xlnf(x)b.
)4xxln(f(x)a.
5
2
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
)6ln(f(x)c.
ln(lnx)f(x)b.
)64xx3ln(f(x)a. 23
x
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex
Si f(x) = eg(x), entonces f ´ (x) = g´(x)eg(x)
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
7
ef(x)c.
3ef(x)b.
4ef(x)a.
2x
x
-4x
2
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
xe
f(x)c.
ef(x)b.
ef(x)a.x
4/x
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE A
Si f(x) = ax, entonces f ´ (x) = axlna
Si f(x) = ag(x), entonces f ´ (x) = g´(x)ag(x)lna
x6f(x)c.
3f(x)b.
4f(x)a.x
x
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
x6
x
-4x
6f(x)c.
3f(x)b.
4f(x)a.2
Regla del producto de funciones:
(x)g'f(x)g(x)(x)f'(m(x))'
:g(x)(x)m(x) Sea
xf
Ejemplos:
f(x)=x3ln(x)
f(x)=x.ex
h
xmhxmlímxmh
)()()´(
0
hlímh
0
g(x)f(x) m(x) Sea
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
)3ln()3(f(x)c.
ef(x)b.
lnef(x)a.x
4x
xx
x
x
Regla del cociente de funciones:
2
'
g(x)
(x)g'f(x)g(x)(x)f'
g(x)
f(x))´(
:f(x)/g(x)m(x) Sea
xm
Ejemplos:
f(x)=x2 /(x+2)
f(x)=3ex/(x3)
)´(
(g(x)) f(x). f(x)/g(x)m(x) Sea -1
xm
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
)3/()3(f(x)c.
/ef(x)b.
/ef(x)a.x
x2
xx
x
x
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
2
5)x/(x
x)/x(4
/lnf(x)c.
e)5/(f(x)b.
ef(x)a.
xx
xx
Potencia de una función:
)´(g(x)n(x)f',)(f(x)Si 1nn xgxg
(x)f':entonces
5(lnx) x 5lnf(x)Si
(x)f':entonces
,2)x3(f(x)Si
33
4
(x)f':entonces
,2
2x3f(x)Si
(x)f':entonces
,)xe(2f(x)Si
3
2
2
1/4x/2
x
)(g(x)(x)f',)(f(x)Si 2 xgxg
)(g(x)(x)f',)(f(x)Si 23 xgxg
)(g(x)(x)f',)(f(x)Si 34 xgxg
senx(x)f'cosxf(x)
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
xx
xx
coslnf(x)c.
cos/f(x)b.
ef(x)a.
2
cosx
seng(x))´((x)f'cosg(x)f(x) xg
)cos(lnf(x)c.
)/1cos(f(x)b.
)ecos(f(x)a. cosx
xx
x
)2cos(cosf(x)c.
)2
(cosf(x)b.
)3(cosf(x)a.
2
4/1
3x3
x
x
x
h
xfhxflímxfh
)()()´(
0
hlímh
0
cosx f(x) Sea
cos ( A ) – cos ( B ) = – 2 sen sen
2BA
2B–A
cosx(x)f'senxf(x)
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
senxsenx
xsenx
lnf(x)c.
cos/f(x)b.
4f(x)a. sen4x
cosg(x))´((x)f'seng(x)f(x) xg
)ln()(lnf(x)c.
)(1
)(1f(x)b.
)2(f(x)a. 2
senxxsen
esen
esen
xsen
x
x
xsec(x)f'tgxf(x) 2
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
tgxx
xtg
lnf(x)c.
)(f(x)b.
3xtgxf(x)a.
3
g(x)sec)´((x)f'tgg(x)f(x) 2xg
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
)/2(f(x)c.
)2(f(x)b.
tgxxf(x)a.
22
33
xxtg
xtg
(x)f'
)(cos
)(tgg(x)f(x)
xg
xseng
cx-cotgxcosexseccos(x)f'secxf(x) 2 xcoco
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
ecx
ecx
x cos7f(x)c.
cosf(x)b.
(cosecx)f(x)a.
cos
3
3
x)(x)cosecg(g´(x)cotgg-
g(x)sec)(cos)´((x)f'secg(x)f(x) 2 coxgxgco
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
xec
xec
x 4cos7f(x)c.
cosf(x)b.
cosecxf(x)a.
4cos
3 3
3
tgxsecxxsec(x)f'secxf(x) 2 senx
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
x
x
sec
3
7f(x)c.
secf(x)b.
x/secx)(f(x)a.
)secg(x)g´(x)tgg(x
g(x)sec)()´((x)f'secg(x)f(x) 2 xsengxg
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
x
xe
4sec
3 3
3
7f(x)c.
secf(x)b.
x/secxf(x)a.
xsec(x)f'tgxf(x) 2coco
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
x
x
gcot
3
7f(x)c.
)(gcot3f(x)b.
x(cotgx)f(x)a.
g(x)sec)´((x)f'tgg(x)f(x) 2coxgco
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
)7(cotf(x)c.
)3(gcotf(x)b.
)(cotg(lnx)f(x)a.
7
2
xseng
x
m(x)g(x))(f(x)
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES POTENCIALES EXPONENCIALES
x
senx
x
xc
)(f(x)c.
))3(os(f(x)b.
(x)f(x)a. 2x
m(x)g(x))ln(lnf(x)
g(x))ln()(lnf(x) xm
tgx
x
x
x
)(f(x)c.
))(sen(f(x)b.
(lnx)f(x)a./1
x
323 33
23)( xxxxxf
3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
3 22
31)(
xxxxxxxf
xexxxxf 32 ln)(
x
xxxxf /13 4
1ln)(
2/1)( xexexf xx
4/4)( xxf x
)2/()( xxxf
14
25)(
2
x
xxf
x
x
ex
exxf
)(
tgxxy
xseny ln
21 xseny
x
xtgy
1
1
2xxy
x xy ln
senx
xy
1
1
(x))g1/()´((x)f'tgg(x)f(x) 2 xgarc
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
)(f(x)c.
)2(f(x)b.
arctgxf(x)a.
2
3
xarctg
xarctg
)x1/(1(x)f'tg(x)f(x) 2arc
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
)(f(x)c.
)(/f(x)b.
arctgx1f(x)a. 2
xtge
xarctgx
x
arctgx
)(1/)´((x)f'seng(x)f(x) 2 xgxgarc
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
)(f(x)c.
)(f(x)b.
x)arcsen(ln3f(x)a.
4
2/12/1
xarcsenx
xarcsen
21/1(x)f'sen(x)f(x) xarc
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
)(f(x)c.
)(f(x)b.
xarcsen(x)/f(x)a.
2
2
xxarcsen
xarcsen
)(1/)´((x)f'cosg(x)f(x) 2 xgxgarc
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
)arccos(/f(x)c.
)arccos(f(x)b.
2x)arccos(tagf(x)a.
22
2/12/1
xx ee
xx
21/1(x)f'cos(x)f(x) xarc
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
xe
x
arccos2
cosx
f(x)c.
))ln(arccos(f(x)b.
arccos(x))(f(x)a.