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7/25/2019 Detección de ondas gravitacionales por interferometria laser, discusión
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Detección de ondas gravitacionales por interferometría de láseres, Proyecto LIGO y Advanced LIGO
Proyecto de Óptica
José Humberto Torres Bustamante
(Dated: 20 de Noviembre de 2015)
En este proyecto se discute el origen del descubrimiento de las ondas gravitacionales debido al sistema estelar
PSR1913+ 16 por Taylor y Hulse. Se hace una descripción del Observatorio de ondas gravitacionales por
interferometría de láser (LIGO), identificándolo como un interferómetro de Michelson y se hace un hipotético
caso para medir con él la frecuencia de oscilación de ondas gravitacionales continuas.
La teoría de la relatividad general llevó a Albert Einstein a
predecir la existencia de las llamadas ondas gravitacionales,en 1916; sin embargo érl mismo aseguró que debido a la dé-
bil interacción de la gravedad con la materia, sería imposible
llegar a percibirlas.
Einstein predijo que cualquier objeto masivo acelerado pro-
duciría fluctuaciones en el espacio-tiempo en forma de on-
da, la cual radiaría energía de la fuente. Estas fluctuaciones, u
ondas gravitacionales viajarían a la velocidad de la luz, por-
tando consigo información sobre la naturaleza de la gravedad
misma[3], y serían más intensas en cuanto más masiva fuera
el objeto que las produce. De esta manera, objetos que interac-
cionen con estas ondas sufrirán contracciones de su longitud
en una dirección y aumento de su longitud en otra dirección.
No sería hasta cerca de 40 años después de la predicción de
Einstein que Joseph Weber (1919-2000) desarrollara el primer
detector de ondas gravitacionales, aunque sin éxito.
EXISTENCIA DE LAS ONDAS GRAVITACIONALES
En 1974 Taylor y Hulse descubrieron un púlsar (una estre-
lla de neutrones que rota rápidamente, emitiendo un pulso de
radiación electromagnética en forma de pulso: de corta dura-
ción y muy localizado) con una característica muy especial:
su periodo de pulsación variaba a intervalos de 7.75h (véase
Figura 1).La conclusión fue que el pulsar PSR1913+ 16 giraba al-
rededor de un objeto con una órbita de periodo 7.7h: cuando
el púlsar se acercaba a la tierra se podía observar una frecuen-
cia de repetición de los pulsos detectados ligeramente mayor
que el promedio, y al alejarse de la tierra una frecuencia de
repetición ligeramente menor (efecto Doppler)[1].
Pero más aún: con los años, se observó que el tiempo en que
el sistema llegaba a su periastro (donde ambos objetos están lo
más separados posible) es cada vez menor. Estas variaciones
Figura 1. Diagrama que muestra la frecuencia de pulsos emitidos por
el púlsar PSR1913+ 16. Esto permitió a Taylor y Hulse suponer
que el púlsar gira alrededor de otro objeto con un periodo de 7.75horas. (Créditos a Weisberg et al.)
se atribuyen entonces a una reducción de la velocidad orbital,
y por ende de la energía del sistema. En la Figura 2 podemos
observar que la cantidad de energía perdida en el sistema con-
cuerda perfectamente con la teoría de la relatividad general
para la de radiación de energía debido a las ondas gravitacio-nales producidas por ambos objetos.
De los trabajos de Taylor y Hulsa se pudo encontrar evi-
dencia clara de la existencia de las ondas gravitacionales; esto
despertó el interés para diseñar el experimento que permitiera
por fin medir las ondas de manera directa. Lo cual ha resulta-
do muy complicado por dos obvias razones[1]: la interacción
entre las ondas gravitacionales y cualquier detector es tan dé-
bil que se oculta por muchos posibles efectos de ruido, como
el inevitable movimiento de los átomos del detector.
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Figura 2. Cambio en el periodo del sistema PSR1913+ 16 con el
paso de los años. Los puntos experimentales (en rojo) representan las
mediciones promedio realizadas por Taylos y Hulse, mientras que la
curva (en negro) representa la predicción teórica por la teoría general
de la relatividad considerando la radiación de energía debida a las
ondas gravitacionales.(Créditos a Weisberg et al.)
LIGO Y ADVANCED LIGO
El Observatorio de ondas gravitacionales por interferome-
tría de láser (LIGO por sus siglas en inglés) es un interferó-
metro de láser construido a finales del siglo XVI que busca
medir el efecto de las ondas gravitacionales, producidas por
objetos masivos, sobre masas-espejo de prueba. Operado de
manera conjunta por las universidades de Caltech y MIT es,
fundamentalmente, un interferómetro de Michelson. Con el
objetivo de poder detectar ondas gravitacionales de casi todas
las direcciones del universo existen dos interferómetros LIGO
gemelos, ambos en EUA: uno localizado en Handford, Wa-shington State y el otro en Livingston, Louisiana.
Figura 3. Diagrama simplificado del funcionamiento de LIGO. El
arreglo es similar a un interferómetro de Michelson, con la única
diferencia del par de espejos en cada uno de los brazos. La longitud
de cada brazo es de 3994.5m. Los espejos, que a la vez cumplen la
función de masas de prueba de 40kg, se encuentran en un arreglo
de cuádruple suspensión para reducir al máximo variaciones en su
posición.
Los espejos están hechos de óxido de silicio ( fused silica).
El arreglo de dos espejos en la Figura 3 genera una cavidad de
Fabry-Perot : dos superficies paralelas altamente reflectantes
por los cuales se refleja el láser de manera controlada para
aumentar la longitud del camino óptico. La distancia entre los
espejos en ambos brazos del interferómetro es de exactamente
3994.5m[4], por lo cual la diferencia de camino óptico neto
de los rayos debido a las cavidades es cero.
El sistema de suspensión de los espejos elimina de tal for-ma el ruido producido por vibraciones que es posible me-
dir el movimiento aleatorio de los átomos que componen los
espejos[2]; este sistema se puede observar en la Figura 4.
Figura 4. A la izquierda, ilustración del sistema de suspensión para
las masas-espejo del interferómetro LIGO. A la derecha, fotografía
real de una masa-espejo montada en el experimento. (créditos: www.
advancedligo.mit.edu)
El interferómetro LIGO fue construido para detectar cuatro
tipos distintos de ondas gravitacionales [6]:
Continuas. Generadas por sistemas con frecuencia de
oscilación aproximadamente constante como sistemas
binarios de estrellas-agujero negro.
En espiral. Generadas en el ciclo final de vida de un sis-
tema binario (usualmente estrellas de neutrones) donde
ambos objetos van en ruta de colisión, lo cual provoca
un aumento gradual de la frecuencia de oscilación de
los objetos.
De ráfaga. Se sabe muy poco de la fuente de este tipo
de ondas, pero se esperan detectar como una señal de
corta duración.
Estocásticas Ondas gravitacionales generadas en la ex-
pansión acelerada del universo 10−32 segundos después
del Big Bang, por tal motivo también son llamadas pri-
mordiales. Se esperan detectar como estática y de ma-nera constante en cualquier dirección del universo.
Debido a que LIGO fue incapaz de detectar señales de ondas
gravitacionales, a principios de 2008 se comenzó la construc-
ción del Advanced LIGO; basado en su predecesor pero con la
capacidad de aumentar el rango de sensibilidad, con un míni-
mo de hasta 10Hz (comparado con 40Hz de LIGO)[4]. En el
Cuadro I se observan algunas especificaciones del Advanced
LIGO.
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Parámetro Valor
Longitud del brazo 3994.5mλ del láser 1064nm
Potencia 125W
Polariación del haz lineal, horizontal
Masa y tamaño de espejos 34cm diam. x20cm, 40kgRadio del haz 5.3cm
Cuadro I. Especificaciones técnicas para Advanced Ligo. (Consultar
ref. [4])
A. Medición de la frecuencia de ondas gravitacionalescontinuas para el modelo Advanced LIGO simplificado
En un interferómetro de Michelson la diferencia en la lon-
gitud de camino óptico de ambos haces es[5]:
∆ = 2dcosθ (1)
Donde d es la diferencia entre las longitudes de los brazos del
interferómetro y θ es el ángulo de inclinación de los haces res-pecto al eje óptico del divisor de haz; en el caso de Advanced
LIGO θ = 0. La intensidad medida a la salida del arreglo,
suponiendo que las intensidades de ambos haces son iguales,
será:
I = 4I 0 sin2(δ
2) (2)
donde la diferencia de fase entre ambos haces: δ se relaciona
con la diferencia de camino óptico por:
δ = 2π
λ
∆ (3)
El forma de la ecuación (2) es debida a la reflexión externa en
el divisor de haz de uno de los dos rayos, lo cual produce un
cambio de fase de π entre ambos. Por tal motivo, con el arreglo
sin ser perturbado se espera encontrar intensidad cero, es decir
una interferencia destructiva total. Pero serán las variacio-
nes en las longitudes de los brazos del interferómetro debido
a las ondas gravitacionales lo que permitirá detectar pequeñas
intensidades; al medir la oscilación de esta Intensidad se esta-
rá mididendo directamente la frecuencia de oscilación de lasondas gravitacionales.
Como un ejemplo supongamos que los espejos, llamados
arbitrariamente x e y de los extremos del brazo están oscilan-
do respecto de su posición inicial estilo:x(t) = Acos(ω1t) espejo x
y(t) = Bcos(ω2t) espejo y (4)
Donde ω1 y ω2 son en general funciones del tiempo. Las cons-
tantes A y B deben ser muy pequeños, pues representan la
máxima variación de longitud debido a la interacción de los
espejos con las ondas gravitacionales, del orden de a lo más
10−18
. Consideremos A = B , la diferencia de camino ópticoentre los haces será entonces de:
∆ = 2|x(t)− y(t)|
→ ∆ = 2A|cos(ω1t)−Bcos(ω2t)| (5)
Podemos estimar I 0 con el valor de la potencia del láser y su
radio:
I 0 = 125W
π(.053m)2 = 1.4164x103
W
m2
Sustituimos los valores reportados en el Cuadro I para la ecua-
ción (2), con lo cual llegamos a una expresión para la Intensi-
dad medida:
I = 56.6580× 103 sin2
2Aπ|cos(ω1t)− cos(ω2t)|
1054× 10−9m
W
m2 (6)
Figura 5. Gráfica de la ecuación (6) para la Intensidad I (t) para dos conjuntos de valores seleccionados de frecuencias: a la izquierda ω1 = π
y ω2 = π
4; a la derecha ω1 = π
2 y ω2 = π
4.
Del estudio gráfico podemos observar que el valor de la intensidad también oscila y que parece tener más de un valor de
oscilación, lo cual se lo atribuimos a las frecuencias ωi; haciendo un estudio más elaborado de la solución podrían calcularse
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estas frecuencias y así, determinar a las ondas gravitacionales.
[1] Weisberg, J., Taylor,J., Fowler,L. J.Gravitational Waves from an Orbiting Pulsar. Scientific American, Inc. 1981.
[2] https://ligo.caltech.edu/image/ligo20091202a. (Consultado en Noviembre de 2015)
[3] http://www.ligo.org/science/faq.php. (consultado en Noviembre de 2015)
[4] J. Aasi et al. [LIGO Scientific Collaboration], Class. Quant. Grav. 32, 074001 (2015) doi:10.1088/0264-9381/32/7/074001 [ar-
Xiv:1411.4547 [gr-qc]]. http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1411/1411.4547.pdf
[5] Pedrotti,L.M. Introduction to optics. Prentice-Hall,Inc. 2005.
[6] http://www.ligo.org/science/GW-Sources.php. (Consultado en noviembre de 2015)
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