Descrizione del problema di de Saint Venant

Corso di Scienza delle Costruzioni II - A.A. 2007-2008 - Appunti sul problema di De Saint-Venant

1

x

zy

Q

Descrizione del problema di de Saint Venant

GV

S

-solido cilindrico con una dimensione predominante;-materiale omogeneo, elastico, lineare, isotropo;-assenza di forze di volume;-distribuzioni di sforzi applicati solo sulle basi.


2

x z

y

Q

carichi applicati solo sulle basi del cilindro

B

N

Mx

Ty

My

Mz

Tx

B

N

Mz

Ty My

Mx

Tx

risultanti delle distribuzioni di tensioni superficiali

N

Mz

TyMy

Mx

Tx

0

0

0

0

0 0

BB


3

Equazioni governanti [1/2]

Equilibrio

( )0

1 00

, , ,

, , ,

, , ,

x x yx y zx z

xy x y y zy z

xz x yz y z z

aσ τ ττ σ ττ τ σ

⎧ + + =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

in V

( )0 0

1 0 00

0

zx x

n zy y

xz yz z

xz x yz y

nb n

n n

ττ

τ τ σ

τ τ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⇒ + =

t 0

su S

( ) ( )

11

1 122 1

1 1

xy xyx x y z

y x y z yz yz

z x y z zx zx

GE E EEG

E E E G

E E E G

ν ν γ τε σ σ σ

ν νε σ σ σ γ τν

ν νε σ σ σ γ τ

⎧⎧ == + − − ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = − + − = =⎨⎨

+⎪⎪⎪⎪ = − − + =⎪⎪ ⎩⎩

Legame costitutivo:

in V

x z

y

Q

V

S

n


4

Congruenza

( )( )Trot rot =ε 0

N.B.: sono condizioni sufficienti solo per domini semplicemente connessi

( ) ( )( )( )

3 2

2

2

, , ,

, , ,

, , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

x yy y xx xy xy

y zz z yy yz yz

z xx x zz zx zx

x yz xy z zx y yz x x

y zx yz x xy z zx y y

z xy zx y yz x xy z z

ε ε γ

ε ε γ

ε ε γ

ε γ γ γ

ε γ γ γ

ε γ γ γ

⇓

+ =⎧⎪

+ =⎪⎪ + =⎪⎪⎨ = + −⎪⎪ = + −⎪⎪ = + −⎪⎩

in V

x z

y

Q

V

S

n

Equazioni governanti [2/2]


5

Metodo semi-inverso: si assume un andamento noto per alcuni campi, salvo poi verificare che questo sia coerente con la soluzione

Per le equazioni di equilibrio si ricava:

( )( )

, , ,

,,

zx zx

zy zy

z z xz x yz y

x yx y

τ ττ τσ τ τ

⎧ =⎪⇒ =⎨⎪ = − −⎩

0x y xyσ σ τ≡ ≡ ≡Si assume: in V

( )0

1 00

,

,

, , ,

zx z

zy z

xz x yz y z z

aτττ τ σ

⎧ =⎪ =⎨⎪ + + =⎩

( )( )( ) ( ), ,

,,

,

zx zx

zy zy

z xz x yz y

x yx y

z h x y

τ ττ τ

σ τ τ

⎧ =⎪⎪⇒ =⎨⎪ = − + +⎪⎩

mentre le equazioni costitutive divengono: ( ) ( )

( )

012

1 1

,

,

x zxy

y z zx zx

z z zy zy

E

x yE G

x yE G

νε σ γνε σ γ τ

ε σ γ τ

⎧ = −⎪ =⎧⎪ ⎪⎪ ⎪= − =⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎪ ⎩⎩


6

( )( )( )( ) ( )

1

, ,

,,

,

zx zx

zy zy

z zx x zy y

x ya x y

z h x y

τ ττ τ

σ τ τ

⎧ =⎪⎪ =⎨⎪ = − + +⎪⎩

( ) ( )

( )

012

1 1

,

,

x zxy

y z zx zx

z z zy zy

E

x yE G

x yE G

νε σ γνε σ γ τ

ε σ γ τ

⎧ = −⎪ =⎧⎪ ⎪⎪ ⎪= − =⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎪ ⎩⎩

( ) ( )( )( )

3 2

2

2

, , ,

, , ,

, , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

x yy y xx xy xy

y zz z yy yz yz

z xx x zz zx zx

x yz xy z zx y yz x x

y zx yz x xy z zx y y

z xy zx y yz x xy z z

ε ε γ

ε ε γ

ε ε γ

ε γ γ γ

ε γ γ γ

ε γ γ γ

+ =⎧⎪

+ =⎪⎪ + =⎪⎪⎨ = + −⎪⎪ = + −⎪⎪ = + −⎪⎩

sostituendo le precedentinelle equazioni di congruenza

si ottengonole seguenti relazioni: ( ) ( )

( )

000

32

20

,

,

,

, , , ,

, , , ,

,

z xx

z yy

z zz

z yz zx y zy x x

z zx zx y zy x y

z xy

E

E

σσσ

σ γ γν

σ γ γν

σ

=⎧⎪ =⎪⎪ =⎪⎪

= − −⎨⎪⎪

= −⎪⎪

=⎪⎩


7

( )( )

( )

00003

2

2

,

,

,

,

, , , ,

, , , ,

z xx

z yy

z zz

z xy

z yz zx y zy x x

z zx zx y zy x y

E

E

σσσσ

σ γ γν

σ γ γν

=⎧⎪ =⎪⎪ =⎪⎪ =⎨⎪ = − −⎪⎪⎪ = −⎪⎩

Lo sforzo σz può assumere solo l’espressione:

( )z a by cx z d ey fxσ = + + + + +

( )

( )

( )

( )3 2

2

, , , ,

, , , ,

z

z yz zx y zy x x

z zx zx y zy x y

a by cx z d ey fxEe

Ef

σ

σ γ γν

σ γ γν

⎧ = + + + + +⎪⎪ = = − −⎨⎪⎪ = = −⎩

Il sistema è equivalente al seguente:

( )2 , ,zx y zy xEe x f y m γ γν

− + + = −


8

( )( )

( )3 2

, ,

z

zx y zy x

a by cx z d ey fx

e x f y mE

σνγ γ

⎧ = + + + + +⎪⎨

− = − + +⎪⎩

L’equilibrio globale richiede:

0 0

0 0 0

0 0 0

cos . cos .cos .cos .

B Bz z

x x x x y

y y y y x

N N t M M tT T t M M T zT T t M M T z

⎧ ⎧= = = =⎪ ⎪= = = +⎨ ⎨⎪ ⎪= = = −⎩ ⎩

l coefficienti possono essere legati alle azioni interne.

N

Mz

Ty My

Mx

TxN

Mz

TyMy

Mx

Tx

0

0

0

0

0 0

z

B B


9

( ) 0

0

0

z x y x yA

x y

x y

N dA aA bS cS z d A eS f S N

aA bS cS Nd A eS f S

σ= = + + + + + ≡ ⇒

+ + =⎧⇒ ⎨ + + =⎩

∫

( ) 0 0

0

0

x z x x xy x x xy x yA

x x xy x

x x xy y

M y dA aS bJ cJ z d S e J f J M zT

aS bJ cJ Md S e J f J T

σ= = + + + + + ≡ + ⇒

⎧ + + =⎪⇒ ⎨ + + =⎪⎩

∫

( ) 0 0

0

0

y z y xy y y xy y y xA

y xy y y

y xy y x

M x dA aS bJ cJ z d S eJ f J M zT

aS bJ cJ Md S eJ f J T

σ− = = + + + + + ≡ − + ⇒

⎧ + + = −⎪⇒ ⎨ + + =⎪⎩

∫

00 0

0 0

0,

x y x y

x x xy x x x xy y

y xy y y y xy y x

A S S a N A S S dS J J b M S J J e TS J J c M S J J f T

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

J J

( )z a by cx z d ey fxσ = + + + + +


10

( )2, ,zx y zy x e x f y m

Eνγ γ− = − + +

[ ]0

1 0 0

0 0

01

x

y

x y

y x

NMM

Ny x M z T

M T

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎝ ⎠

J

( )z a by cx z d ey fxσ = + + + + +

[ ] [ ]0

1 0 1 0

0 0

01 1x y

y x

Ny x M z y x T

M T

− −

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦

J J

[ ] 1

02 20 y

x

x y T mE E

T

ν ν−

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

J

[ ]2 20d

x y e mE E

f

ν ν⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ]1 1a d

y x b z y x ec f

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


11

( )

( ) ( )2 0 0;

, / ; , /

x y z z

xy xy x y

zx zx zy zy

EG

x y G x y G

νε ε νε σ

τ γ σ σγ τ γ τ

⎧ = = − = −⎪⎪⎨ = = = =⎪

= =⎪⎩

( )

[ ] ( )( )

[ ]

1

1

1

30

2 20, ,

z x

y

zx y zy x y

x

Ny x M z

M z

x y T mE E

T

σ

ν νγ γ

−

−

⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥=⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥−⎪ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤⎪⎢ ⎥⎪ − = − +⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

J

J

( )

( )( )

[ ] 1

1 01, , ,

,,

zx zx

zy zy

zx x zy y z z y

x

x yx y

ay x T

T

τ ττ τ

τ τ σ −

⎧ =⎪ =⎪⎪

⎡ ⎤⎨⎢ ⎥⎪ + = − = − ⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

J

x zx

Ay zy

TdA

Tττ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

( ) ( ) Bz B zx B zyA

M y y x x dAτ τ= − − + −∫

x z

y

Q

B

Ty

Mz

Tx

B

N

Mx

My

Riepilogo soluzione:


12

Con assi baricentrici (“centrali”, Sx=Sy=0):

( )

( )

1

1 1 1 2

1 1

0 0 0 00 0 00 0

2 2

1

, ,

, ,

,x xy y xy x y xy

xy y xy x

y x xy y xy x x yz

xy y x x y y xy xzx y zy x

xz x yz y y y xy x

A AJ J J J J J JJ J J J

J M J M J M J MN y xA

J T J T J T J Ty x m

E E

J T J T y J

σ

ν νγ γ

τ τ

−

− − −

− −

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⇒ = ∆ − ∆ ∆ = − >⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ − ∆ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ += + −

∆ ∆− + −⎛ ⎞

⇒ − = − +⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠

+ = − − + −∆

J J

( ) xy y x xT J T x

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ +⎩

Con assi baricentrici (“centrali”, Sx=Sy=0)e principali d’inerzia (Jxy=0):

( ) ( )1 1 1 1 2 2, ,

, ,

, , , ,

yxz

x y

yxx y x y zx y zy x

y x

yxxz x yz y

y x

MMN y xA J J

TTdiag A J J diag A J J y x mE J J E

TT x yJ J

σ

ν νγ γ

τ τ

− − − −

⎧= + −⎪

⎪⎪ ⎛ ⎞⎪⎡ ⎤⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ − = − +⎜ ⎟⎨⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ + = − +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

J J


13

Postulato di de Saint Venant

La soluzione così determinata non soddisfa, in generale, le equazioni locali di equilibrioin corrispondenza delle basi del cilindro.

Peraltro, le distribuzioni di sforzi su tali basi sono quasi sempre incognite.

Si osserva che le distribuzioni di sforzi trovate sono in equilibriocon i risultanti di quelle applicate sulle basi.

Di conseguenza, le distribuzioni di sforzi ottenute come differenza tra quelle trovate, calcolate sulle basi del cilindro, e quelle realmente applicate su tali basi sono auto-equilibrate.

N

Mz

Ty My

Mx

Tx=

N=0

Mz=0

Ty=0

My=0

Mx=0

Tx=0N

Mz

Ty My

Mx

Tx+

Si assume che l’effetto di distribuzioni auto-equilibrate di sforzi sia significativo

solo a una distanza dalle basi inferiore alla dimensione massima della sezione.

Tale ipotesi è ben verificata sperimentalmente nella maggior parte delle applicazionidella meccanica dei solidi.


14

Problema di pura torsione

N = Tx = Ty = Mx = My = 0; Mz = Mt

Mt Mt

[ ]

[ ]

( ) ( )( ) ( )

1

1

1 0

02 2 20

0

0

0 0

, ,

, ,

, ,

, ,, ,

;

z x

y

zx y zy x y

x

yxxz x yz y

y x

zx zx zx

zy zy zy

x y z z

xy xy x y

Ny x M

M

x y T m mE E E

T

TT x yJ J

x y G x yx y G x y

EG

σ

ν ν νγ γ

τ τ

τ τ γτ τ γ

νε ε νε σ

τ γ σ σ

−

−

⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥= ≡⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥− = − + ≡⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎨ ⎛ ⎞

+ = − + ≡⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪ = =⎪⎪ = =⎪⎪ = = − = − ≡⎪

= = = =⎩

J

J

⎪

00

x zx

Ay zy

TdA

Tττ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

( ) ( ) Bz t B zx B zyA

M M y y x x dAτ τ= = − − + −∫

Q

y

x

Mt

z


15

Problema di pura torsione: approccio negli spostamenti(si utilizzano come variabili primarie gli spostamenti)

( ) ( )( ) ( )

000

0

2

00

, ,

, ,

,,,, ,

, , , , /, , , , /

x x

y y

z z

xy y x

zx zx x z zx

zy zy y z zy

zx y zy x

xz x yz y

x y xy

uvwu v

x y w u x y Gx y w v x y G

mE

εεεγγ γ τγ γ τ

νγ γ

τ τσ σ τ

= =⎧⎪ = =⎪⎪ = =⎪ = + =⎪⎪ = = + =⎨

= = + =⎪⎪

− =⎪⎪⎪ + =⎪ = = =⎩

( ) ( ) t B zx B zyAM y y x x dAτ τ= − − + −∫

00

x zx

Ay zy

TdA

Tττ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

Q

y, v

x, u

Mt

z, w

N.B.: Sono soddisfatte a priori le equazioni di congruenza


16

( )( )

000

0

2

00

, ,

, ,

,,,, ,, , , /, , , /

x x

y y

z z

xy y x

zx x z zx

zy y z zy

zx y zy x

xz x yz y

x y xy

uvwu vw u x y Gw v x y G

mE

εεεγγ τγ τ

νγ γ

τ τσ σ τ

= =⎧⎪ = =⎪⎪ = =⎪ = + =⎪⎪ = + =⎨

= + =⎪⎪

− =⎪⎪⎪ + =⎪ = = =⎩

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

,,

, cos ., , , ,

, , , ,

y y

x x

u u y zv v x z

n x y n tu mz n x y u y zE

v mz n x y v x zE

ν

ν

⎧ =⎪ =⎪⎪ ⇒ = =⎨ = + =⎪⎪

= − − =⎪⎩

( )( )( )

( )( )

( )

0

2

00

, ,

,,,

, ,, , ,, , ,

, , ,

y x

x z zx

y z zy

y x z

xz x yz y

x y xy

u u y zv v x zw w x yu vw u x yw v x y

u v mE

γγ

ν

τ τσ σ τ

⎧ =⎪ =⎪⎪ =⎪

+ =⎪⎪ + =⎪⇒ ⎨

+ =⎪⎪

− =⎪⎪⎪ + =⎪ = = =⎪⎩

( )( )

( )

( )

,,

, ,

, ,

x

y

u u y zv v x z

v mz n x yE

u mz n x yE

ν

ν

⎧ =⎪ =⎪⎪⎪⎪ = − −⎪⎪⇒ ⎨⎪⎪⎪

= +⎪⎪⎪⎪⎩

( )( )( )

( )( )

00

, ,

,,,

,

, , ,, , ,

,

x

x z zx

y z zy

y

xz x yz y

x y xy

u u y zv v x zw w x y

v mz nE

w u x yw v x y

u mz nE

ν

γγ

ν

τ τσ σ τ

⎧ =⎪ =⎪⎪ =⎪⎪ = − −⎪⎪ + =⇒ ⎨⎪ + =⎪⎪ = +⎪⎪

+ =⎪⎪ = = =⎩


17

( )( )

( )

( )

,,

,

,

u u y zv v x z

v mzx nx p y zE

u mzy ny q x zE

ν

ν

⎧ =⎪ =⎪⎪⎪⎪ = − − +⎪⎪⇒ ⎨⎪⎪⎪

= + +⎪⎪⎪⎪⎩

( )( )

p p zq q z⎧ =

⇒ ⎨=⎩

( )( )( )

( )( )

00

, ,

,,,

,

, , ,, , ,

,

x

x z zx

y z zy

y

xz x yz y

x y xy


v mz nE

w u x yw v x y

u mz nE

ν

γγ

ν

τ τσ σ τ

⎧ =⎪ =⎪⎪ =⎪⎪ = − −⎪⎪ + =⎨⎪ + =⎪⎪ = +⎪⎪

+ =⎪⎪ = = =⎩


18

( )( )( )

( )

( )

( )( )0

0, ,

,,,

, , ,, , ,x z zx

y z zy

xz x yz y

x y xy


u mzy ny q zE

v mzx nx p zE

w u x yw v x y

ν

ν

γγ

τ τσ σ τ

⎧ =⎪ =⎪⎪ =⎪⎪ = + +⎪⎪⎨ = − − +⎪⎪ + =⎪⎪ + =⎪

+ =⎪⎪ = = =⎩

0

0

q q r zp p s z= +⎧

⇒ ⎨ = +⎩

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

,

,

,

, ,

, ,

x zx

y zy

w w x y

u y z mzy ny q zE

v x z mzx nx p zE

w my q z x yE

w mx p z x yE

ν

ν

ν γ

ν γ

⎧ =⎪⎪ = + +⎪⎪⎪ = − − +⎪⎪⇒ ⎨ ′+ + =⎪⎪⎪ ′− + =⎪⎪⎪⎪⎩

( )( )( )

0

0

00

, ,

,, , ,, , ,

zx x z

zy y z

xz x yz y

x y xy

u r m y z n y qE

v s m x z n x pE

w w x yx y w ux y w v

ν

ν

γγτ τσ σ τ

⎧ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⇒ ⎨⎪ = +⎪

= +⎪⎪ + =⎪

= = =⎪⎩

( )( )

cos .cos .

q z tp z t′⎧ =

⇒ ⎨ ′ =⎩⇒


19

Interpretazione cinematica delle costanti di integrazione

( )

( )

0

0

,

,

u y z ny m zy r z qE

v x z nx m zx s z pE

ν

ν

⎧ = + + + +⎪⎪⎨⎪ = − − + +⎪⎩

( )

( )

0

0

,

,

u y z n m z y r z qE

v x z n m z x s z pE

ν

ν

⎧ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪⎪⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ = − + + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪⎩

Q

y, v

x, uz, w

ϕz

ϕz

CIR=C(z)

u

v

se cost.z z= =

( ) ( )

( ) ( )

z Q

z Q

z y u z

z x v z

ϕ

ϕ

= − +

= + +

( )( )

0 0

cost.

z z

zz

nd z m

dz E

ϕ ϕϕ νϑ

⎧ = = −⎪⇒ ⎨

= = − =⎪⎩

( ) ( )( ) ( )

00

00

,

,z z

z z

u y z z y r z q

v x z z x s z p

ϕ ϑ

ϕ ϑ

⎧ = − + + +⎪⇒ ⎨= + + + +⎪⎩


20

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

0 0 0

,

,

z Q

Qz

z z Q y

z u z

z z Q x

v zz

u y z z y u z

v x z z x v z

ϕ

ϕ

ϕ ϑ ϕ

ϕ ϑ ϕ

⎧ = − + + +⎪⎪⎪⇒ ⎨⎪ = + + + −⎪⎪⎩

Qy, v

x, u

z, w

ϕy

( ) ( )( ) ( )

00

0

,

,z z

y

u y z r y z y q

y z u y

ϑ ϕ

ϕ

= − − + =

= +

u

Q

y, v

x, uz, w

( ) ( )( ) ( )

00

0

,

,z z

x

v x z s x z x p

x z v x

ϑ ϕ

ϕ

= + + + =

= − +

v

ϕx

per si ha:cost.x x= = per si ha:cost.y y= =

( ) ( )

( ) ( )

0

0

,

,

x z x z

y z y z

dv x zx s x xdz

du y zy r y y

dz

ϕ ϑ ϕ ϑ

ϕ ϑ ϕ ϑ

⎧= − = − − = −⎪⎪

⎨⎪ = + = + − = −⎪⎩

NB: descrivono una roto-traslazione rigida del solido cilindrico0 0 0 0 0, , , ,x y z Q Qu vϕ ϕ ϕ


21

Osservazione sui Centri di Istantanea Rotazione (CIR)

Q

y, v

x, uz, w

ϕz

ϕz

CIR=C(z)

u

v

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

0 0 0

,

,

z Q

Qz

z z Q y

z u z

z z Q x

v zz

u y z z y u z

v x z z x v z

ϕ

ϕ

ϕ ϑ ϕ

ϕ ϑ ϕ

⎧ = − + + +⎪⎪⎪⎨⎪ = + + + −⎪⎪⎩

la posizione di C si ottiene dal sistema:

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0

0 0 0

0

0

,

,

C z z C Q y

C z z C Q x

u y z z y u z

v x z z x v z

ϕ ϑ ϕ

ϕ ϑ ϕ

⎧ = = − + + +⎪⎨⎪ = = + + + −⎩

( )0 00 0

0 0, :Q yQ xC C

z z z z

u zv zx y C z

z zϕϕ

ϕ ϑ ϕ ϑ⎧ ⎫+−

⇒ = − = ⇒⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

la posizione del CIR varia con z


22

Esempio: lamina rettangolare [1/2]

Q≡G

y, v

x, uz, w

Mt

0 0 0

0 0

00

x y z

G Gu vϕ ϕ ϕ⎧ = = =⎨

= =⎩Se si assumono:

(roto-traslazione

nulla della sezione in z=0):

Mt Mt

y, v

z, w

b/2 b/2

( )( )

,,

z

z

u y z z yv x z z x

ϑϑ

⎧ = −⎨

= +⎩

gli spostamentisono i seguenti: G ≡ C

v

y, v

x, u

b2z zϕ =ϑ

Mt

Mt

x

y z


23

0 0 0

0 0

00 0;

x y z

G Gu vϕ ϕ ϕ⎧ = = =⎨

= ≠⎩

se, invece, si aggiunge una traslazione verticale durante il processo deformativo:

( ) ( )( ) ( ) 0

,,

z

z G

u y z z yv x z z x v

ϑϑ

⎧ = −⎨ = + +⎩

gli spostamentisono i seguenti:

Esempio: lamina rettangolare [2/2]

0 1 0,GC C

z

vx yzϑ

⎧ ⎫= − =⎨ ⎬

⎩ ⎭e si ha:

G

y, v

x, uv

C(z)

b2z zϕ =ϑ


24

Le posizioni dei CIR delle varie sezioni dipendono dalle roto-traslazioni rigide del solido;è però sempre possibile definire una opportuna roto-traslazione del solido,in modo da ottenere un unico CIR, arbitrariamente scelto, comune a tutte le sezioni:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0

0

,

,

C z z C Q y Q z C y z C

C z z C Q x Q z C x z C

u y z z y u z u y y z

z

v x z z x v z v x x z

ϕ ϑ ϕ ϕ ϕ ϑ

ϕ ϑ ϕ ϕ ϕ ϑ

⎧ = − + + + = − + − =⎪⎪

∀⎨⎪

= + + + − = + − − =⎪⎩

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )

0

0

,

,z

z z C

z

z z C

u y z z y y

v x z z x xϕ

ϕ ϑ

ϕ ϑ

⎧ = − + −⎪

⇒ ⎨⎪ = + + −⎩

0 0

0

0 0

0

Q z C

y z C

Q z C

x z C

u y

y

v x

x

ϕ

ϕ ϑ

ϕ

ϕ ϑ

⎧ =⎪

=⎪⎨

= −⎪⎪ =⎩

ne consegue:

Q

y, v

x, u z, w

ϕz

ϕz

C

u

vNB: la posizione di C è definibile in modo arbitrario


25

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

0

00

, ,

,

,,

, , , ,

, , , ,

z z C

z z C

zx zx x z

zy zy y z

xz x yz y

x y xy

u y z z y y

v x z z x xw w x y

x y G x y G w u

x y G x y G w v

ϕ ϑ

ϕ ϑ

τ γ

τ γ

τ τσ σ τ

⎧ = − + −⎪

= + + −⎪⎪ =⎪⎪ = = +⎨⎪ = = +⎪⎪ + =⎪

= = =⎪⎩

La soluzione si completa con le restanti equazioni:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, , , ,

, , , ,zx x z x z C

zy y z y z C

x y G w u G w y y

x y G w v G w x x

τ ϑ

τ ϑ

⎧ ⎡ ⎤= + = − −⎣ ⎦⎪⇒ ⎨⎡ ⎤= + = + −⎪ ⎣ ⎦⎩

( ) ( ),,z

w x yx y

ϑΨsi definisce, per ϑz ≠ 0, la funzione di ingobbamento Ψ:

( ) ( ), ,zw x y x yϑ⇒ = Ψ( ) ( )( ) ( )

, ,

, ,zx z x C

zy z y C

x y G y y

x y G x x

τ ϑ

τ ϑ

⎧ ⎡ ⎤= Ψ − −⎣ ⎦⎪⇒ ⎨⎡ ⎤= Ψ + −⎪ ⎣ ⎦⎩

Inoltre, l’equilibrio indefinito fornisce:

0, , , ,xz x yz y z xx yy zG Gτ τ ϑ ϑ⎡ ⎤+ = Ψ +Ψ = ∆Ψ =⎣ ⎦

( ) ( ), , , , , ,xz x yz y z x C x z y C yG y y G x xτ τ ϑ ϑ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ = Ψ − − + Ψ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦


26

( ) ( )( ) ( )

, ,

, ,zx z x C

zy z y C

x y G y y

x y G x x

τ ϑ

τ ϑ

⎧ ⎡ ⎤= Ψ − −⎣ ⎦⎪⎨

⎡ ⎤= Ψ + −⎪ ⎣ ⎦⎩

In ultimo, l’equilibrio (1b) sul contorno Γ fornisce:

0 in A∆Ψ =

( ) ( ) 0, ,n xz x yz y

z x C x z y C y

n n

G y y n G x x n

τ τ τ

ϑ ϑ

= + =

⎡ ⎤⎡ ⎤= Ψ − − + Ψ + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, ,x x y yx y n n

n x n y n∂Ψ ∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂

= + = Ψ + Ψ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Sfruttando la derivazione di funzioni composte:

x z

y

Q

AΓ

n τP

C

si ricava la condizione al contorno: ( ) ( ) suC x C yy y n x x nn

∂Ψ= − − − Γ

∂


27

Dunque, la funzione di ingobbamento è soluzione del problema di Neumann−Dini:

( )( )

( ) ( ) ( )

4 04

4

in

suC x C y

a A

b y y n x x nn

⎧ ∆Ψ =⎪⎨ ∂Ψ

= − − − Γ⎪ ∂⎩

( ),x zx z x CA AT dA G y y dAτ ϑ= = Ψ − −∫ ∫

Si noti che, come atteso, la soluzione del problema (4) fornisce (s ascissa curvilinea di Γ):

( ) ( ), , ,xx yy y yA Ax dA x dA x n ds

ΓΨ = −Ψ = −Ψ∫ ∫ ∫

( ), ,x z x x y y C xT G x n n y y n dsϑΓ

⎡ ⎤= Ψ + Ψ − −⎣ ⎦∫

( ), ,z x C x z xxAG x y y n ds G x dAϑ ϑ

Γ⎡ ⎤= Ψ − − − Ψ⎣ ⎦∫ ∫

Utilizzando (4a):

( )

( ) ( ) ( ) ( )2 0

z C x

z C y z C x z C

G x y y n dsn

G x x x n ds G x x x t ds G x xx dx

ϑ

ϑ ϑ ϑ

Γ

Γ Γ Γ

∂Ψ⎡ ⎤= − − =⎢ ⎥∂⎣ ⎦

= − − = − = − ≡

∫

∫ ∫ ∫

(4b)

( ) ( )2 0,y zy z y C z CA AT dA G x x dA G y yy dyτ ϑ ϑ

Γ= = Ψ + − = − ≡∫ ∫ ∫

Analogo risultatosi ha per Ty:

(4a)


28

OSSERVAZIONI

zx zyAy x dAτ τ= − +∫

Da ultimo, per il momento torcente si ricava:

( ) ( )inerzia geometrica torsionale

, ,

t

t z x C y CA

J

M G y y y x x x dAϑ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − Ψ − − + Ψ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ( )4 tz

t

McGJ

ϑ⇒ =

( ) ( )t B zx B zyAM y y x x dAτ τ⎡ ⎤= − − + −⎣ ⎦∫ zx zy B x B yA

y x dA y T x Tτ τ= − + + −∫0 0

1) La soluzione del problema (4) non dipende dal sistema di riferimento scelto.

Infatti, l’operatore di Laplace e la derivata direzionale

non dipendono dal tipo di riferimento utilizzato.

2 2

2 2x y∂ ∂

∆ = +∂ ∂ n

∂∂

Inoltre, il termine noto può scriversi come (k versore dell’asse z):

( ) ( ) ( )C x C yy y n x x n P C

n∂Ψ

= − − − = − − ∧∂

n ki

in cui il vettore e i prodotti vettore (∧) e scalare (•) non dipendono dal riferimento scelto.

xz

y

Q

Γ

nP

C

( )P C−


29

2) Esistenza della soluzione del problema (4)

Dall’equazione (4a) si ricava l’identità seguente (teorema della divergenza):

0 0A

dA ds dsnΓ Γ

∂Ψ∆Ψ = ⇒ ∆Ψ = ∇Ψ = =

∂∫ ∫ ∫ni

( ) ( ) ( ) 0C x C yds y y n x x n ds P C dsnΓ Γ Γ

∂Ψ= − − − = − − ∧ =

∂∫ ∫ ∫ n ki

L’esistenza della soluzione è allora subordinata al rispetto della condizione:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )d P CP C P C P C P Cds−

−− − ∧ = − − ∧ = − = −i i i i

tn k n k t

Utilizzando le proprietà del prodotto misto

e la definizione di t (versore tangente):

( ) ( ) ( ) ( )0

1 02

is L

s

d P Cds P C ds P C P Cn ds

=

Γ Γ=

∂Ψ −= − = − − ≡

∂∫ ∫ i i

si ottiene (Li lunghezza del contorno i-esimo):

xz

y

Q

nP

C

t

s

s

Γ

s


30

3) Molteplicità della soluzione del problema (4)

La funzione Ψ(x,y) che risolve il problema (4) è definita a meno di una costante arbitraria:

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 0

44

4

ˆ inˆ

su

ˆˆ ˆ ˆ; , ,ˆ

C x C y

tz z t x C y C tA

t

a A

b y y n x x nn n

Mc J y y y x x x dA JGJ

ϑ ϑ

⎧ ∆Ψ = ∆Ψ =⎪

∂Ψ ∂Ψ⎪⎪ = = − − − Γ⇒ ⎨ ∂ ∂⎪

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ = = = − Ψ − − + Ψ + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎩∫

se si pone: ( ) ( )ˆ , ,x y x y kΨ = Ψ + ⇒

La costante k concorre a definire una traslazione arbitraria del solido in direzione dell’asse z:

( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆ , , , ,z z z Qw x y x y x y k w x y wϑ ϑ ϑ= Ψ = Ψ + = +

Essendo il solido non vincolato si può, ad esempio, scegliere k in modo da annullarelo spostamento medio:

( ) ( )10ˆ , ,A Aw x y dA k x y dA

A= ⇒ = − Ψ∫ ∫


31

4) Dipendenza della soluzione dal centro di istantanea rotazione C [1/3]

La funzione Ψ(x,y) dipende esplicitamentedalla scelta (arbitraria) del punto C.

( )

( ) ( ) ( )

4 0

4

in

suC x C y

a A

b y y n x x nn

⎧ ∆Ψ =⎪⎨ ∂Ψ

= − − − Γ⎪ ∂⎩

Sia Ψ'(x,y) la soluzione associata al punto C' ≠ C.( )

( ) ( ) ( )

4 0

4

in

suC x C y

a A

b y y n x x nn ′ ′

′⎧ ∆Ψ =⎪

′⎨ ∂Ψ= − − − Γ⎪ ∂⎩

Si consideri la funzione F = Ψ'(x,y) − Ψ(x,y) + (yC' − yC) x − (xC' − xC) y

( ) ( )

0 0

0

in

suC C C C

F AF x yy y x xn n n n n′ ′

′∆ = ∆Ψ − ∆Ψ + =⎧⎪

′∂ ∂Ψ ∂Ψ ∂ ∂⎨= − + − − − = Γ⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩

Si ha:

La soluzione è: F=k (=cost.); ne consegue: Ψ'(x,y) = Ψ(x,y) − (yC' − yC) x + (xC' − xC) y + k

inoltre:

I due campi di spostamento w' e w differiscono per una roto-traslazione rigida,con rotazioni attorno agli assi x e y.

Problema di Neumann−Diniomogeneo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,y x

z z C C z C C zw x y x y w x y y y x x x y kα α

ϑ ϑ ϑ ϑ′ ′′ ′= Ψ = − − + − +


32


Mt

Mt

x

y z

C

v

y, v

x, u

b2z zϕ =ϑ

−u

Esempio: sezione a T

( )( )( ) ( )

,,

0, y , 0 0

z

z

u y z z yv x z z xw w x

ϑϑ

⎧ = −⎪ = +⎨⎪ = =⎩

Mt

Mt

x

y z C'

v

y, v

x, u

b2z zϕ =ϑ

u ( ) ( )( )( )( )

,,

0, 0,0

y

z C

z

z C

u y z z y yv x z z xw yw x y x

α

ϑϑ

ϑ

′

′

′⎧ = − −⎪ ′ = +⎪⎪

′⎨ =⎪ ′ = −⎪⎪⎩

x

zαy

αy

x

z


33

⇒


( ) ( )( ) ( )

, ,

, ,t x C y CA

t x C y CA

J y y y x x x dA

J y y y x x x dA′ ′

⎧ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − Ψ − − + Ψ + −⎣ ⎦⎪ ⎣ ⎦⎨′ ′ ′⎡ ⎤⎡ ⎤= − Ψ − − + Ψ + −⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

∫∫

Apparentemente anche Jtdipende dal punto C:

La differenza tra i due valori fornisce: ( ) ( ) ( ) ( ), ,t t x C C y C CA

J J y y y y x x x x dA′ ′′ ′ ′− = − Ψ −Ψ − − + Ψ −Ψ + −∫

Sfruttando la relazione trovatatra Ψ'(x,y) e Ψ(x,y):

0t tJ J′ − ≡si ricava:

( ) ( ) ( ) ( ), , C C C Cx y x y y y x x x y k′ ′′Ψ − Ψ = − − + − +

Jt non dipende dal punto C.

GJt = rigidezza torsionale

( ) ( ) ( )4 ; , ,tz z t x C y C tA

t

Mc J y y y x x x dA JGJ

ϑ ϑ′ ′⎡ ⎤⎡ ⎤= = = − Ψ − − + Ψ + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫Dunque:


34

In conclusione, Jt dipende solo dalla forma della sezione

Sia Q" l’origine del nuovo sistema x"-y"-z" ottenuto mediante

roto-traslazione nel piano x-y di quello originario.

5) Invarianza di Jt per roto-traslazioni del sistema di riferimento

T, , ,

, ,, ,

Q x y

x x

y y

xy ′′ ′′ ′′

′′

′′

⎡ ⎤ ′′= = + = =⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Ψ Ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′∇Ψ = = = ∇ Ψ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ Ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x Rx x R n n R R I

R R

xz

y

Q

nP

tΓ

x"

z"

y"

Q"

nx"

ny"

( )Tt CA

J dA⎡ ⎤= ∇Ψ − −⎣ ⎦∫ x L L x x

0 11 0

T T, ,⎡ ⎤= = − = =⎢ ⎥−⎣ ⎦

L L L L I RL LR

Valgono le seguenti relazioni:

Si definisce la matrice L:

Jt si può allora scrivere come:

Utilizzando le relazioni sopra riportate si ricava: ( ) ( )Tt Q CA

J dA′′′′ ⎡ ⎤= + ∇Ψ − − =⎣ ⎦∫ Rx x L L x x

( ) ( )T T TQ C CA A

dA dA′′ ′′⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∇Ψ− − + ∇Ψ− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫x L L x x x R L L x x

1 TxTG yzϑ

⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎣ ⎦

0

( )TC tA

dA J′′ ′′ ′′ ′′ ′′⎡ ⎤= ∇ Ψ− − =⎣ ⎦∫ x L L x x


35

6) Ulteriori proprietà di Jt [1/3]

= momento polare d’inerzia

( ) ( ), , , ,x y x y x yA Ay x dA y x dA y n x n ds

Γ− Ψ + Ψ = − Ψ + Ψ = − Ψ + Ψ =∫ ∫ ∫

Sfruttando le relazioni (4), che definiscono Ψ(x,y), e il lemma di Green si ottiene:

( )x yx yyn xn ds ds ds

n x n y nΓ Γ Γ

⎛ ⎞∂Ψ ∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂= − − Ψ = − Ψ = − + Ψ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫(4b)

( ) ( ) ( ), , , ,x x y y x x y yn n ds n n dsΓ Γ

= − Ψ + Ψ Ψ = − Ψ Ψ + Ψ Ψ =∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22, , , , , ,x x y y x yA A

dA dA= − Ψ Ψ + Ψ Ψ = − Ψ + Ψ + ∆Ψ Ψ =∫ ∫(4a) 0

( ) ( )2 220, ,x yA A

dA dA= − Ψ + Ψ = − ∇Ψ ≤∫ ∫

( ) ( ) 2 2, , , ,QJ

t x C y C x yA A AJ y y y x x x dA x y dA y x dA⎡ ⎤⎡ ⎤= − Ψ − − + Ψ + − = + + − Ψ + Ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫

Si definisca, per semplicità operativa, la funzione: ( ) ( ), , C Cx y x y xy yxΨ Ψ + −

Si può allora scrivere:


36

( ) ( )2 220, , , ,x y x yA A A

y x dA dA dA− Ψ + Ψ ≡ − Ψ + Ψ = − ∇Ψ ≤∫ ∫ ∫

Se ne deduce la notevole proprietà:

Dunque, per la funzione Ψ(x,y) valgono l’identità e la delimitazione seguenti:

2

t Q QAJ J dA J= − ∇Ψ ≤∫


Si noti che, considerando il teorema di trasporto per il momento polare d’inerzia

( ), la migliore delimitazione per Jt si ottiene nel caso Q=G:2

Q GJ J A GQ= +

( )2mint G G QA

J J dA J J= − ∇Ψ ≤ =∫


37


Infine, Jt è sempre positivo dato che, sfruttando l’identità ricavata in precedenza:

2 2 , ,t x yAJ x y y x dA= + − Ψ + Ψ =∫

( ) ( )2 2, , 0y xA

x y dA= + Ψ + −Ψ >∫Quest’ultima espressione è necessariamente positiva, poiché il suo annullamento

richiederebbe l’esistenza di una soluzione per il problema:, , 1, , 1x xy

y yx

yx

⎧ ⎧Ψ = Ψ = +⎪ ⎪⇒⎨ ⎨Ψ = − Ψ = −⎪ ⎪⎩ ⎩

( ) ( )22, , , ,x y x yA A

y x dA dA− Ψ + Ψ ≡ − Ψ + Ψ∫ ∫

si può scrivere:

( ) ( ) ( )222 2

0

, , , , , ,x y x y x yAx y y x y x dA⎡ ⎤= + − Ψ + Ψ + − Ψ + Ψ + Ψ + Ψ =⎣ ⎦∫

( ) ( )222 2 2 , 2 , , ,x y x yAx y y x dA= + − Ψ + Ψ + Ψ + Ψ =∫

e ciò, data la regolarità di , è in palese contraddizione col teorema di Schwarz.( ),x yΨ

Si può allora definire il fattore di torsione come: 1G

t

JqJ

= ≥


38

Centro di torsione [1/5]

Mt Mt

Q

y

x

Mt

z Q

y

x z

w(x,y)

βx

La rotazione della sezione attorno all’asse z è ben definita,ma l’ingobbamento non permette di definire le rotazionidella sezione attorno agli assi x e y.

Allora, si utilizzano le rotazioni medie (βx e βy).

Tra le varie definizioni possibili, risulta conveniente adottare quella coerentecon un’interpretazione energetica.


39

My

Mx

My

MxQ

y

x z


σz

Visto che gli enti statici che lavorano per le rotazioni sonole coppie, si considera la distribuzione di sforzi generata nelcaso di flessione deviata.

[ ] 110

z x

y

y x MM

σ −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

J

Le rotazioni medie (βx e βy) della sezione sono quelle cherendono identicamente soddisfatta la seguente relazione:

( ) ( ), , ,x x y y z x yAM M x y w x y dA M Mβ β σ+ = ∀∫


40


Sostituendo le precedenti relazioni in quest’ultima si ricava:

( )[ ] 110

, ,xx x y y x y z x x yA

yy

M M M M x y y x dA M M MM

ββ β ϑ

β−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥+ = = Ψ ∀⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

∫ J

Sia ora una funzione d’ingobbamento soluzione di (4) con C≡Q.( ),x yΨ

( ) ( ) [ ]1

, , , ,C Cx y x y k x y yx

⎡ ⎤⎢ ⎥Ψ = Ψ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Dalla precedente osservazione n.4 si deduce: ( ) ( ) ( ) ( ), , Q C Q Cx y x y y y x x x y kΨ =Ψ − − + − +

ovvero:

Sostituendo si determina:

( )[ ] [ ] [ ] 1

1 0, , 1, , , 1,x

x y z C C xA Ay

y

M M x y y x dA k x y y y x dA Mx M

βϑ

β−

⎡ ⎤⎧ ⎫⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪= Ψ − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫

J

J

,x yM M∀( )[ ] [ ] 1

0, , 1, y x , ,x

x y z C C xAy

y

M M x y dA k x y MM

βϑ

β−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= Ψ − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

∫ J


41


Se si definiscono le seguenti quantità:

la relazione precedente può esprimersi come segue:

( )1

0, , ,x

x y z x y x C x C y z x yy

y

M M Z Z M x M y M M MM

βϑ ϑ

β−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤= Ω + + ∀⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

J

( )1

,x A

y

Z y x y dAZ x

⎡ ⎤Ω ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Ψ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

L’arbitrarietà di Mx e My permette di scegliere Mx=1 e My=0 e, viceversa, Mx=0 e My=1:

1

1

01

, 10

0

00

, 01

1

xx x y C z

y

xy x y C z

y

MZ Z x

M

MZ Z y

M

β ϑ

β ϑ

−

−

⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤= ⎫ ⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤= Ω +⇒⎬ ⎪ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥= ⎭ ⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎝ ⎠

⎨⎛ ⎞⎡ ⎤⎪= ⎫ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎡ ⎤⇒ = Ω +⎬ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪= ⎭ ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎩

J

J

10 1 00 0 1

x Cz x

y Cy

xZ

yZ

βϑ

β−

⎛ ⎞⎡ ⎤Ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎢ ⎥⇒ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

J


42


Si definisce Centro di Torsione quel particolare e unico CIR (C*) per cui si ha: βx=βy=0

10 1 00 0 1

x Cx

y Cy

xC Z

yZ

ββ

∗

∗

∗ −

⎡ ⎤Ω⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⇒ ⇒ = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

J0

Nel caso particolare in cui il sistema di riferimento sia centrale e principale d’inerzia si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( )1 1, , , , , , yxC CA A

x y x y

ZZx y x y dA y x x y dA x y x y y xJ J A J J

∗ ∗∗

⎛ ⎞Ω=− Ψ = Ψ Ψ =Ψ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

Infine, se la sezione ammette un asse di simmetria C* vi appartiene.

( ) ( ), ,C C

x y x y x y y x k∗ ∗∗Ψ = Ψ + − −

Si può ora determinare la funzione di ingobbamento associata al centro di torsione:

( ) ( ) ( ) [ ] 1, 0 , , 1, , xA

y

x y dA x y x y y x ZZ

∗ ∗ −

⎡ ⎤Ω⎢ ⎥Ψ = ⇒ Ψ = Ψ − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ J

NB: C* è un punto caratteristicodella sezione e dipendesolo dalla sua forma


43

Esempio: tubo con sezione circolare [1/2]

re = raggio circonferenza esterna Γ0 = contorno esternori = raggio circonferenza interna Γ1 = contorno interno

Γ = Γ1 ∪ Γ0 = tutto il contorno

( )( )

044

in

sux y

Aab yn xn

n

⎧∆Ψ =⎪⎨∂Ψ

= − Γ⎪ ∂⎩

Q=G

y

xMt

z

y

xz

n

n

s

t

t

s

Q=G

PP

Si determina la funzione , soluzione del problema: ( ),x yΨ

( )( )

0 in

0 su

AP Q k

P Qn

⎧∆Ψ =⎪− ⇒ ⇒ Ψ =⎨∂Ψ

= − − ∧ ≡ Γ⎪ ∂⎩i

nn k

( ) ( )2 4 4

21t G G e iA

J J dA J r r qπ= − ∇Ψ = = − =∫


44

Esempio: tubo con sezione circolare [2/2]Q=G

y

xMt

z

Centro di torsione e funzione d’ingobbamento Ψ* a esso associata

( )( )( )

0,, 0, 0 0

xC

xx xA

yy y C

y

Zxx y A kA JZ y x y dA k S

ZZ x x y S y

J

∗

∗

⎧= − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤Ω Ψ ⎡ ⎤ ⎪

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Ψ = = ⇒ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ =+ =⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎩

∫*C G≡

( ) ( ) 0 0, , 0yx

x y x y

ZZ Akx y x y y x k y xA J J A J J

∗⎛ ⎞Ω ⎛ ⎞Ψ =Ψ − + + = − + + ≡⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sforzi

( )( )

( )( )

( )( )

*

*

,,, ,

sincos

x Czx tz

zy ty C

t t

t t

y yx y yMGx y xJx x

rM M rJ Jr

τϑ

τ

αα

∗

∗

⎡ ⎤Ψ − −⎡ ⎤ −⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+Ψ + −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥+⎣ ⎦

τ

t

y

xz

rτ

α C*


45

Problema di pura torsione: approccio negli sforzi(si utilizza come variabile primaria il potenziale degli sforzi)

( ) ( ) t B zx B zyAM y y x x dAτ τ= − − + −∫

00

x zx

Ay zy

TdA

Tττ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

Q

y

x

Mt

z

N.B.: Sono soddisfatte a priori le equazioni di equilibrio

( ) ( )( ) ( )

02

0

0

0 0

, ,

, ,

, ,, ,

;

z

zx y zy x

xz x yz y

zx zx zx

zy zy zy

x y z z

xy xy x y

mE

x y G x yx y G x y

EG

σνγ γ

τ ττ τ γτ τ γ

νε ε νε σ

τ γ σ σ

=⎧⎪⎪ − =⎪⎪ + =⎪⎪ = =⎨⎪ = =⎪⎪ = = − = − ≡⎪⎪

= = = =⎪⎩

0 sun xz x yz yn nτ τ τ= + = Γ

Sezionecon N fori


46

( ) 00

, , insu

Tzx xz x yz y

zy xz x yz y

div An n

τ τ ττ τ τ

⎧⎡ ⎤ + = = ∇ =⎪= ⇒ ⎨⎢ ⎥ + = = Γ⎪⎣ ⎦ ⎩ niτ τ

ττ

N.B. φ (x,y) è definibile a meno di una costante additiva: τ' = rot(φ + e) k = rotφ k = τ

( ) ( ) ( ) ( )0 2,con , C

,y

x

div rot x y Aφ

φ φφ+⎡ ⎤

= ⇒ = = ∈⎢ ⎥−⎣ ⎦τ τ k

( ) ( )0

0, , , , in

, , suxz x yz y yx xy

n xz x yz y y x x y

A

n n n n

τ τ φ φ

τ τ τ φ φ

+ = − ≡⎧⎪⎨ = + = + − = Γ⎪⎩

, , ,T

T T

x y y xy xn n t ts s∂ ∂⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

n

x z

y

Q

A Γ

n tP

s

s

s

nt

n

t

0 0costante su ...n i iy x i N

y s x s sφ φ φτ φ α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − = = ⇒ = = Γ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Sezione con N fori

per semplicità operativa, e senza perdita di generalità, si sceglie “e” in modo che sia α0=0.

(i = 0 indica il contornoesterno della sezione)

potenzialedegli sforzi


47

( ) ( )Bt z zy B zx BA

M M x x y y dAτ τ= = − − −∫

Inoltre, per le azioni interne si ha:

x zxAT dAτ= ∫

x z

y

Q

A Γ

n tP

s

s

s

nt

n

t

Sezione con N fori

1,

i

N

y y i yAi

dx

dA n ds n dsφ φ αΓ Γ

=−

= = = ∑∫ ∫ ∫ = 00

y zyAT dAτ= ∫

1,

i

N

x x i xAi dy

dA n ds n dsφ φ αΓ Γ

== − = − = −∑∫ ∫ ∫ = 0

0

zy zx B zy B zxA A Ax y dA x dA y dAτ τ τ τ

=

= − − +∫ ∫ ∫0 0

( ) ( ), ,x yAx y dAφ φ

=

= − −∫ x y An x n y ds dAφ φ φ φ

Γ= − + + + =∫ ∫

( )( ) ( )

2x y A

P Q h s

n x n y ds dAφ φΓ

− • =

= − + +∫ ∫n

0

0

01

22

2 2 2i

i

N

iAi

AA

dA d dφ α ω α ωΓ Γ

=−+

= − −∑∫ ∫ ∫

12 2

N

t i iAi

M dA Aφ α=

= + ∑∫

dω = ds h(s)/2y

x z

n

s

t

Q

Pds

h(s)

dωMt = 2 (volume di φ estesa ai fori)

φ α1

α2

0


48

( ) 2, ,yy xxG m

Eνφ φ⇒ − − =

00

,in

,

susu 1...

zx y

zy x

i i

A

i N

τ φτ φ

φφ α

⎧ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎪ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎨= Γ⎪

⎪ = Γ =⎩

τ

Dunque, l’equilibrio è soddisfatto in A e su Γ mediante le assunzioni seguenti:

Inoltre, il momento torcente è espresso tramite la relazione:1

2 2N

t i iAi

M dA Aφ α=

= + ∑∫

φ α1

α2

Si noti che le costanti αi possono essere scelte in modo del tutto arbitrario nel rispetto

dell’equilibrio: esse assumono la funzione di “variabili iperstatiche”.

A questo punto, attraverso le equazioni costitutive, si sostituiscono gli sforzi tangenzialinell’equazione di congruenza:

2, ,, ,

zx y zy xzx y zy x m

G G Eτ τ νγ γ− = − =

1, ,xx yy mνφ φ φ

ν⇒ + = ∆ =

+

L’insieme delle equazioni finora ottenute forma un problema ben posto

solo nel caso in cui la sezione sia semplicemente connessa, cioè

senza fori (N=0; la costante m si determina dall’espressione di Mt).0

10

2su

t A

m

M dA

νφν

φφ

⎧∆ =⎪ +⎪⎨ = Γ⎪

=⎪⎩ ∫


49

Infatti, le equazioni di congruenza utilizzate (cioè quelle nella forma “interna”: rot[rot(ε)T]=0)

sono sufficienti solo nel caso N=0.

Per sezioni molteplicemente connesse (N>0) è necessario aggiungere altre equazioni dicongruenza: per ricavarle si utilizza il PLV (come condizione sufficiente di congruenza).

Q

y, v

x, uz, w

ϕz

ϕz

C

u

v

Γi

Γ0

Sistema reale (di cui si vuoleimporre la congruenza)

Sistema equilibrato

Q

y

xz

Γi

Γ0

Mt*

0

1

0

2 2

,in

,

susu 1...

zx y

zy x

i iN

t i iAi

A

i N

M dA A

τ φτ φ

φφ α

φ α

∗ ∗∗

∗ ∗

∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗

=

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+= =⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎪ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎪⎪ = Γ⎨= Γ =⎪

⎪⎪ = +⎪⎩

∑∫

τ

ϕz(b) = ϕz + ϑz b0

γzx , γzy = ??


50

0

, , , ,

e t z t z t z

i zx zx zy zy y zx x zy y zx x zyV V A

L M M M b

L dV dV b dA

ϕ ϕ ϑ

τ γ τ γ φ γ φ γ φ γ φ γ

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎧ = − =⎪

⇒⎨⎪ = + = − = −⎩ ∫ ∫ ∫

0

1

0

2 2

susu 1..., , , , con

ei

i it z y zx x zy t iA N

L b L b t i iAi

i NM dA MM dA A

φφ αϑ φ γ φ γ φ α

φ α

∗

∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

=

⎧ = Γ⎪⎪ = Γ =⇒ = − ∀ ⎨⎪ = +⎪⎩

∫∑∫

, ,, ,t z y zx x zy zx y zy x zx y zy xA AM dA n n ds dAϑ φ γ φ γ φ γ φ γ φ γ φ γ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Γ= − = − − −∫ ∫ ∫

Applicando il lemma di Green si ricava:

e sostituendo le espressioni che definiscono φ* e raccogliendo i termini omogenei si ottiene:

( ) ( ) 1

2 2 0, , ,i

N

zx y zy x z i z i zx y zy x iAi

dA A n n dsγ γ ϑ φ α ϑ γ γ φ α∗ ∗ ∗ ∗

Γ=

− + + − − = ∀∑∫ ∫


51

Questa relazione deve valere per ogni arbitraria scelta della funzione φ* e dei parametri αi*.

( ) 2 1su ...k

zx y zy x z k kn n ds A k Nγ γ ϑΓ

− = Γ =∫

( ) ( ) 1

2 2 0, , ,i

N

zx y zy x z i z i zx y zy x iAi

dA A n n dsγ γ ϑ φ α ϑ γ γ φ α∗ ∗ ∗ ∗

Γ=

− + + − − = ∀∑∫ ∫

Se si assume αi* = 0 per i=1...N, si ha: ( )2 0, ,zx y zy x zAdAγ γ ϑ φ φ∗ ∗− + = ∀∫

che, per l’arbitrarietà di φ*, implica: 2, , inzx y zy x z Aγ γ ϑ− = −

Ne consegue che deve risultare: ( ) 1

2 0i

N

i z i zx y zy x ii

A n n dsα ϑ γ γ α∗ ∗

Γ=

− − = ∀∑ ∫

Assumendo αi* = 0 per i≠k, e αk* = 1 si ha:

Ricordando che dall’approccio negli spostamenti si era ricavato ϑz = −νm/E, è immediato

identificare la prima equazione ottenuta come quella indefinita di congruenza.

Invece, le ulteriori N equazioni di circuitazione rappresentano relazioni che completano le

condizioni di congruenza nella forma “interna”, per il problema della torsione, nel caso di domini

pluri-connessi.


52

Interpretazione delle equazioni di circuitazione [1/2]

Le equazioni di circuitazione sono suscettibili di un’interpretazione cinematica.

Se si esprimono gli scorrimenti angolari in funzione degli spostamenti e si utilizzano le

equazioni che esprimono gli spostamenti u e v nel piano x-y, per il k-esimo contorno si ricava:

( ) ( ) ( ), , , ,k k

zx y zy x x z y y z xn n ds w u n w v n dsγ γΓ Γ

− = + − +∫ ∫

( ) 2 1su ...k

zs

zx y zy x z k kn n ds A k Nγ

γ γ ϑΓ

− = Γ =∫

( ) ( )( )

, ,k k

C

x x y y z

h s

w t w t ds P C dsϑΓ Γ

=

= − − − −∫ ∫ in

( ) ( ), ,k

x y y x z C y z C xw n w n y y n x x n dsϑ ϑΓ

=

= − − − − −∫

y

( ) ( ) 20

2k k

kk

z C

Aw L w

w ds ds

ϑ ωΓ Γ

−−

∂= − −

∂∫ ∫

( ) ( )0 2 2k z k z kw w L A Aϑ ϑ

=

= − + =

( ) ( )0kw L w⇒ =

dωC = ds hC(s)/2 < 0

x z

ns

tC

Pds

hC(s) < 0

dωC

Q

Γk


53

Interpretazione delle equazioni di circuitazione [2/2]

Si riconduca la sezione pluri-connessa ad una

semplicemente connessa introducendo N tagli:

Per questo solido le equazioni di congruenza interna (rot[rot(ε)T]=0) sono sufficienti,

Γk

w(Lk)−w(0)

Dunque, ogni equazione di circuitazione, unitamente alla regolarità delle deformazioni

stesse sul dominio, garantisce la continuità degli spostamenti attraverso i tagli e

riconduce la sezione semplicemente connessa (con N tagli) alla sezione iniziale

molteplicemente connessa (con N fori, senza tagli).

ma tra i lembi opposti, separati dai tagli, si possono avere discontinuità negli

spostamenti in direzione assiale w(x,y):


54

0

1

20

2 1

2 2

insusu 1... ,

,su ...k

z

k kzx y

zy xz k k

N

t k kAk

G A

k N

ds G A k Nn

M dA A

φ ϑφφ α τ φ

φ τ φϑ

φ α

Γ

=

∆ = −⎧⎪ = Γ⎪⎪ = Γ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ = =⎨ ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥−= Γ = ⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ∂⎪⎪ = +⎪⎩

∫

∑∫

τ

Riepilogo delle equazioni per il problema della torsione secondo l’approccio negli sforzi.

Si noti che, secondo un bilancio grossolano, le incognite sono la funzione φ(x,y), le N costantiαk e la curvatura torsionale ϑz; corrispondentemente, nel problema l’equazione di Poisson èarricchita dalle N equazioni di circuitazione e dalla relazione che esprime Mt.

Le equazioni di circuitazione possono essere espresse, via legame costitutivo, in funzione di φ.

( )k

zx y zy xn n dsγ γΓ

−∫

2 1su ...k

z k kds G A k Nnφ ϑ

Γ

∂⇒ = Γ =

∂∫

1k

zx y zy xn n dsG

τ τΓ

= −∫ ( )1 , ,k

y y x xn n dsG

φ φΓ

= − −∫1

k

n

dsG

φ

φΓ

∂∂

= ∇∫ in


55

Se, per comodità di rappresentazione, si introducono la funzione: ( ) ( ),,z

x yx y

Gφ

φϑ

=

il sistema di equazionidiviene il seguente: ( )

0

1

20

52 1

2 2

insusu 1...

su ...

,

k

k k

k k

Nt

z t k kAkt

A

k N

ds A k NnM J dA AGJ

φφφ α

φ

ϑ φ α

Γ

=

⎧∆ = −⎪ = Γ⎪⎪ = Γ =⎪⎨ ∂

= Γ =⎪ ∂⎪⎪ = +⎪⎩

∫

∑∫

e le costanti: kk

zGααϑ

=

che, nel caso di sezione semplicementeconnessa (N=0), si riduce ad un problemadi Dirichlet per l’equazione di Poisson: 0

20

insu

Aφφ⎧∆ = −⎨

= Γ⎩

2,tz t A

t

M J dAGJ

ϑ φ= = ∫a cui segue il calcolo della curvatura torsionale:


56

OSSERVAZIONI

1) La soluzione del problema (5) non dipende dal sistema di riferimento scelto.

Infatti, l’operatore di Laplace e la derivata direzionale

non dipendono dal tipo di riferimento utilizzato.

2 2

2 2x y∂ ∂

∆ = +∂ ∂ n

∂∂

2) Esistenza e unicità della soluzione del problema (5).

Il problema (5) può essere inteso come una generalizzazione di un problema di Poissoncon condizioni al contorno di Dirichlet: esso è sempre “ben posto”, e la soluzione esistesempre ed è unica.

Le N costanti αk e la curvatura torsionale ϑz sono determinate mediante le N equazionidi circuitazione e la relazione che esprime Mt.

Inoltre, la funzione , le costanti e la costante dipendono solo dallageometria del dominio.

( ),x yφ kα tJ


57

3) Legame tra funzione potenziale degli sforzi e funzione di ingobbamento.

Il confronto tra le espressioni degli sforzi nei due approcci permette di desumerela relazione esistente tra le funzioni φ e Ψ:

( ) ( )

( )( )

, ,, ,

, ,

,,

zx y yz

zy x x

z x C z xzx

zy z yz y C

G

G y y G y

G xG x x

τ φ φϑ

τ φ φ

ϑ ϑττ ϑϑ

⎫+⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎡ ⎤= = ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎪

⎬⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ − − Ψ −⎡ ⎤ ⎪= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎪Ψ +Ψ + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎭

4) Costante .tJ

, ,

, ,

y x

x y

y

x

φ

φ

⎧ = +Ψ −⎪

⇒ ⎨⎪ = −Ψ −⎩

( )rotφ

⇓

∇ =− Ψ −k x

Si ha: ( ) ( ), ,t x C y CAJ y y y x x x dA⎡ ⎤⎡ ⎤= − Ψ − − + Ψ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

12 2

N

k k tAk

dA A Jφ α=

= + =∑∫

( ) ( ), ,

, ,y x

x yAy y x x dA

φ φ−

= − Ψ − + Ψ +∫

, ,x yAx y dAφ φ= − +∫ x y A

x n y n ds dAφ φ φ φΓ

= − + + +∫ ∫1

2

2k

k

N

k x yAk

A

dA xn yn dsφ αΓ

=−

= − +∑∫ ∫

⇒ come atteso, è l’inerzia geometrica torsionale della sezione.tJ


58

Inoltre, dalla seguente espressione si ricava:

2 2 20 , ,x yA AdA dAφ φ φ≤ ∇ = +∫ ∫ , , , ,x x y yA

dAφ φ φ φ= +∫

, , , ,x x y y xx yyAn n ds dAφ φ φ φ φφ φφ

Γ

=

= + − +∫ ∫1 k

N

k Ak

ds dAnφα φ φ

Γ=

∂= − ∆

∂∑ ∫ ∫

1 k

N

k Ak

ds dAnφα φ φ

Γ=

=

∂= − ∆

∂∑ ∫ ∫

12 2

N

k k t tAk

A dA J Jα φ=

= + = =∑ ∫

Si noti che è comunque in quanto:0tJ ≠

2 2 00

0,

, ,,x

t x yAy

J dAφ

φ φφ⎧ ≡⎪= + = ⇒ ⎨ ≡⎪⎩

∫ 0 2, ,xx yyφ φ φ⇒ ∆ = + ≡ ≠ −

cioè, è in contrasto con l’equazione (5a)0tJ = 0tJ⇒ >

Da ultimo, con alcune applicazioni del lemma di Green si determina anche la delimitazionesuperiore (già ricavata nell’approccio negli spostamenti):

t GJ J≤


59

5) Flusso di sforzi tangenziali attraverso una corda.

AD

B DAD z z zA C

q d d dη ξ ξτ ξ τ ξ τ ξΓ

= = +∫ ∫ ∫

Si definisce flusso degli sforzi tangenziali attraversola corda AB+CD l’espressione seguente:

x z

y

Q

Mt

ηξ A

BC

D

Si noti che:

( ) ( ), , ,

z zx zy zx zy

y x

x y y x

y x x yx y

η

ξ

τ τ τ τ τη η ξ ξ

φ φφ φ φξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + = + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + − − = + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

e, dunque, risulta: , ,AD

B D B DAD z z zA C A C

q d d d d dη ξ ξ ξ ξτ ξ τ ξ τ ξ φ ξ φ ξΓ

= = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 10 0 0ADq B A D Cφ φ φ φ α α= − + − = − + − ≡ qualunque sia

la corda considerata


60

6) Analogia idrodinamica.

Le equazioni indefinite che governano il problemadella torsione sono qui riassunte:

( )( )

02

0

, ,

, ,

inin

su

xz x yz y

zx y zy x z

n xz x yz y

div Arot G A

n n

τ ττ τ ϑ

τ τ τ

⎧ + = =⎪ − = − = −⎨⎪ = + = = Γ⎩

ττ

τ

i

i

kn

Q

y

x z

Esse coincidono con quelle chegovernano il moto di un fluidoperfetto soggetto a vorticitàcostante, pari a “c”, se si pone:

2 zc Gϑ≡⎧

⎨ =⎩

τv

( )( )

0

0

ininsun

div Arot c Av

⎧ =⎪

⇒ =⎨⎪ = = Γ⎩

ii

vv kv n


61

Esempio: tubo con sezione circolare

re = raggio circonferenza esterna Γ0 = contorno esternori = raggio circonferenza interna Γ1 = contorno internoA1 = πri

2

Si determina la funzione ,soluzione del problema:

( ),x yφ( )

1

0

1 1

1 1

1 1

0

52

2 2

2 insusu

su

,tz t A

t

A

ds AnM J dA AGJ

φφφ α

φ

ϑ φ α

Γ

⎧∆ = −⎪ = Γ⎪⎪ = Γ⎪⎨ ∂

= Γ⎪ ∂⎪⎪ = +⎪⎩

∫

∫

Q=G

y

xMt z

rθ

La simmetria del dominio e delle condizioni al contornosuggeriscono l’utilizzo delle coordinate polarie l’indipendenza dall’anomalia θ : ( ) ( ),r rφ φ θ φ= =

1 1 12, , , 2rr rr r rθθφ φ φ φ φ φ′′ ′∆ = + + = + = − ( )

1 2

2

log2e

r rr C Cr

φ ⎛ ⎞⇒ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

per cui si ricava:

( )( )

( )1

1

1

0

2 2

e

i

i i

r rr r

ds r r r An

φφ α

φ φ πΓ

⎧ = =⎪ = =⎪⎨

∂⎪ ′⎡ ⎤= − = =⎣ ⎦⎪ ∂⎩ ∫

Le costanti C1, C2 e si ricavano imponendole condizioni al contorno:

1α ( ) ( )2 212 er r rφ⇒ = −

( )4 4

2t e iJ r rπ⇓

= −


62

-20 -10 0 10 20

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20-10

010

20

-20-10

010

20

0

5

10

15( ) ( )2 21

2 er r rφ = −

-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0

2

4

6

8

10

12

14

16

( )0zr

tz z

t

r

MG rr r Jϑ

φτθ

φ φτ ϑ

∂⎧ = =⎪ ∂⎪⎨

∂ ∂⎪ = − = − =⎪ ∂ ∂⎩

τzθ

2

,, 0

, , 0

r

r

r k

r r

θ

θ

φ

φ

⎧Ψ = ≡⎪⎪ ⇒ Ψ =⎨⎪⎪Ψ = − − ≡⎩


63

Esempio: sezione ellittica [1/3]

a = semi-asse secondo xb = semi-asse secondo y


( ),x yφ( ) 05

2

2 insu

,tz t A

t

A

M J dAGJ

φφ

ϑ φ

⎧∆ = −⎪ = Γ⎪⎨⎪ =⎪⎩

∫Il tipo di dominio e la condizione al contornosuggeriscono l’utilizzo della seguente funzione,che soddisfa a priori la condizione : ( )

2 2

1, 1 x yx y Ca b

φ φ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1 2 2

2 2 2Ca b

φ ⎡ ⎤∆ = − − = −⎢ ⎥⎣ ⎦Si ricava:

3 3

2 2ta bJ

a bπ⇒ =

+

0φ Γ =

2 2

1 2 2

a bCa b

⇒ =+

Per gli sforzi si ha:2 2 2

2 2

2

, , 2 2, ,

zx y y t tz

zy x t tx

yM Ma b bG

xJ a b Ja

τ φ φϑ ζ

τ φ φ

⎡ ⎤−⎢ ⎥+⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− +−⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ +⎢ ⎥⎣ ⎦

τ t

ζ

τ y

xz

tncon:

y

x

Mt

za

bG

( )( )

0 1cos,

0 2sinx ay b

ζζ κκ πζ κ

≤ ≤⎧ =⎨ ≤ ≤=⎩


64

Centro di torsionee funzione d’ingobbamento Ψ* a esso associata

( )( )( )

2 2

2 22

2

,, 0, 0

x xA A

y y

x y xy A kAa bZ y x y dA xy dA k Sa b

Z x x y x y S

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤Ω Ψ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Ψ = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

0

*C G≡

( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 2

0 0, , yx

x y x y

ZZ a b Ak a bx y x y y x xy k y x xyA J J a b A J J a b

∗⎛ ⎞Ω − −⎛ ⎞Ψ =Ψ − + + = − + − + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2

2 2

2 2

2 2

, ,

, ,

x y

y x

b ay yb a

b ax xb a

φ

φ

⎧ −Ψ =+ + =⎪ +⎪⎪⇒ ⎨⎪ −⎪Ψ =− − =⎪ +⎩

y

x

Mt

za

bG

( )2 22 2

2 2, 1a b x yx ya b a b

φ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦( )

2 2

2 2, a bx y xy ka b−

⇒ Ψ =− ++

0

0

xC

x

yC

y

ZxJ

Zy

J

∗

∗

⎧= − =⎪

⎪⇒ ⎨⎪ =+ =⎪⎩


65

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10

0

2

4

6

8

10

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-10

-5

0

5

10

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0

0

2

4

6

8

10

-20

-10

0

10

20

-10

0

10

-505

10

( )2 2

2 2, a bx y xya b

∗ −Ψ = −

+

( )2 22 2

2 2, 1a b x yx ya b a b

φ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 t

t

MJ

ζ=τ t


( ),x yφ


66

Esempio: sezione rettangolare [1/2]

y

x

Mt

z

a

bG

Il potenziale degli sforzi , soluzione del problema seguente:

( ),x yφ( ) 05

2

2 insu

,tz t A

t

A

M J dAGJ

φφ

ϑ φ

⎧∆ = −⎪ = Γ⎪⎨⎪ =⎪⎩

∫

è ottenibile mediante sviluppi in serie doppia di Fourier:

( )( )( ) 2

4 2 21,

32 1, cos cos , , disparik n

n k

x yx y k n k na bk nkn

a b

φ π ππ

+∞

=

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

2 26

1 2 2 2 2,

256 1 , , disparitn k

J a b k nb ak n k na b

π

∞

==

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

( ) ( )( ) 2

4 2 21 2,

,

, , sin sin32, 1 , dispari, ,

x yk n

n k

y x

x yy k nb a bx y xy k na k nx n

a b

φ π π

πφ

∞ +

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎧Ψ =+ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇒Ψ =− − −⎨⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪Ψ =− − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

, ,, ,

zx y yt

zy x t x

MJ

τ φ φτ φ φ

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

τ


67

0 10 20 30 40 50 60 70 80-10

0

10

0

20

40

60

80

-100

10

-505

10

0

20

40

60

80

-100

10

05

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-10

-5

0

5

10

Esempio: sezione rettangolare [2/2]

( ),x y∗Ψ( ),x yφ

τ


68

Esempio: sezione triangolare (equilatera) [1/2]

y

x

Mt

zaG

Il potenziale degli sforzi , soluzione del problema seguente:

( ),x yφ( ) 05

2

2 insu

,tz t A

t

A

M J dAGJ

φφ

ϑ φ

⎧∆ = −⎪ = Γ⎪⎨⎪ =⎪⎩

∫

è ottenibile mediante il prodotto delle equazioni dei lati:

( )3 3

1 3,2 3 3

a x a xx y x y ya

φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4380tJ a⇒ =

( ) ( ) ( )2 2

, ,1, , 33

, ,

x y

y x

yx y x y y x y

ax

φ

φ

∗

⎧Ψ =+ +⎪

⇒ Ψ = Ψ = −⎨⎪Ψ =− −⎩

( )2 2

2 3,2 3

3,a

zx y

zy x

ax ya

x y x

τ φ

τ φ

⎧ ⎛ ⎞= + = −⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠

⎨⎪

= − = − +⎪⎩

+ −+

+ −−( ),x y∗Ψ

*C G≡T

C yx

x yC

x ZZy J J

∗

∗

⎡ ⎤⎡ ⎤= − + = ⇒⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0


69

0 5 10 15

-10

-5

0

5

10

05

1015

-10

-5

0

5

10

-2024

05

1015

-10

-5

0

5

10

-2024

8 10 12 14 16 18-2

0

2

4

6

8

10

( ),x y∗Ψ ( ),x yφ

Esempio: sezione triangolare (equilatera) [2/2]

τ


70

R = raggio mediot = spessoreλ = t / R , L=2π R


Si cerca una soluzione che non risentadegli effetti (“di estremità”) che nasconoin corrispondenza del punto di apertura D.

Si utilizzano le coordinate polari (r,θ ).

Q=G

y

x

Mt zDrθ

( ) 05

2

2 insu

,tz t A

t

A

M J dAGJ

φφ

ϑ φ

⎧∆ = −⎪ = Γ⎪⎨⎪ =⎪⎩

∫La simmetria del dominio e delle condizioni al contornosuggerisce l’utilizzo delle coordinate polarie l’indipendenza dall’anomalia θ : ( ) ( ),r rφ φ θ φ= ≅

( ),x yφ

1 1 12, , , 2rr rr r rθθφ φ φ φ φ φ′′ ′∆ = + + = + = − ( )

1 2

2

log2

r rr C CR

φ ⎛ ⎞⇒ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

per cui si ricava:

02

02

tr R

tr R

φ

φ

⎧ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ = − =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Le costanti C1 e C2

si ricavano imponendole condizioni al contorno:

( ) ( )( ) ( )2

2

1

2

2

ln 1 2 ln 1 21 1 12 4 ln 1 2 ln 1 2

2ln2

tC

tC

λ λλ λ λ λ

λλλ

⎧ ⎡ ⎤+ + −= + −⎪ ⎢ ⎥

+ − −⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪⇒ ⎨=⎪

+⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎪ −⎝ ⎠⎩

Esempio: tubo aperto di moderato spessore [1/5]


71

Si può ora determinare Jt :R = raggio mediot = spessoreλ = t / R , L=2π R 3

2

1 1 124 ln2

tJ Ltλλ λλ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + −

+⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

Per gli sforzi si ha:

( )2

0

,2ln2

zr z

tz z

t

Gr

M RG r R Rr J rθ

φτ ϑθ

φ λτ ϑλλ

⎧ ∂= ≡⎪ ∂⎪⎪

⎨ ⎛ ⎞∂= − = − =⎪ ⎜ ⎟ +∂ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎪ ⎜ ⎟⎪ −⎝ ⎠⎩

R

R

τzθ

2

22

,, 0

, ,

r

r

r C k

r r C

θ

θ

φ

θ

φ

⎧Ψ = ≡⎪⎪ ⇒ Ψ = − +⎨⎪⎪Ψ = − − = −⎩

La funzione di ingobbamentoè la seguente:

Esempio: tubo aperto di moderato spessore [2/5]Q=G

y

x

Mt zDrθ


72

R = raggio mediot = spessoreλ = t / R , L=2π R


2

2

1222 12 3ln2

0

xC

x

yC

y

Zx RJ

Zy

J

λ λλ λλ

∗

∗

⎧ += − =⎪ + +⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎪ −⎝ ⎠⇒ ⎨

⎪⎪ =+ =⎪⎩

( )( )( )

2

25 2

,2, sin 2 1 ln

12 2, cos

0

x xA A

y y

kAx y A

Z y x y dA C r dA k S RZ x x y r S

θλ λθ θ π λ

λθ θ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥Ω Ψ ⎡ ⎤

⎛ ⎞ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥= Ψ = − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Ψ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

( ) ( )2

22

12 2, , sin4 3

yx

x y

ZZ rx y x y y x RA J J R

λ θ θλ

∗⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω +

Ψ =Ψ − + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠

Centro di torsione C* :

2C kθΨ = − +xC*

Q=G

y

Mt zDrθ


73

-20 -10 0 10 20

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20


-20-10

010

20

-10

0

10

-100

10

20

( ) ( )1 2

2

, log2

r rr r C CR

φ θ φ ⎛ ⎞≅ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

5 10 15 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

( ),rφ θ

φ

r

τ

Effetti “di estremità”

[non colti da ]( )rφ


74


-20-10

010

20

-10

0

10

-10

0

10

( ),x y∗Ψ

-15-10-5051015

-15

-10

-5

0

5 ( ),x y∗Ψ

y

z, w


75

Esempio: tubo aperto di piccolo spessore [1/2]

R = raggio mediot = spessore << Rλ = t / R << 1, L=2π R

Q=G

y

x

Mt zDrθ

C*

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0

0

12

2 2

2 4

O24

11 O60t t

t

J J

φ η φ η η η λ λ

λ λ

⎧ ⎡ ⎤= − − +⎪ ⎣ ⎦⎪⎨

⎡ ⎤⎪ = + +⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

Nel caso di “piccolo spessore” (λ<<1), le espressioniricavate in precedenza sono rappresentabili come segue.

2 21

1 1

tr R R λη η

η

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

− ≤ ≤

( ) ( )0

0

12

2

3

413t

t

J Lt

φ η η⎧

= −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

dove si è posto:

Si assume, per comodità operativa:

( ) ( )

( ) ( )

( )

0

0

1 16

1 16

2

2

24

O

O

1 O24

z z z

z z z

R R

θ θ θ

θ θ θ

λτ τ η τ λ

λτ τ η τ λ

λ λ

+

−

⎧ ⎡ ⎤= = + = + − +⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤= = − = − + +⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤

= − +⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩

00t

zt

M tJθτ =in cui si è definito:

Potenziale degli sforzi e inerzia torsionale: Sforzi sul contorno:

R

ηs


76

Esempio: tubo aperto di piccolo spessore [2/2]

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

40

0

0

2

22 2 3

24

11 O12

1, sin sin O2 6

1 O4

0

C C

C

R R

x x

y

θ λ λ

λη θ θ η λ θ θ θ λ

λ λ∗ ∗

∗

∗ ∗

⎧ ⎛ ⎞Ψ = Ψ − +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞Ψ = Ψ + − − +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪ =⎩

Funzione di ingobbamento e centro di torsione:

( )( ) ( )

0

00

2

2 2sin2

C

R kR

x R

θ θθ θ θ

∗

∗

⎧Ψ = − +⎪Ψ = −⎨⎪ =⎩

con le definizioni seguenti:

0.0025%0.0156%0.0625%0.250%1.002%err( xC* )

0.0004%0.0026%0.0104%0.0417%0.168%err( R )

-0.167%-0.420%-0.847%-1.72%-3.57%err( τzθ )

0.166%0.413%0.820%1.61%3.12%err( τzθ )

-0.0002%-0.0010%-0.0042%-0.0167%-0.0670%err( Jt0 )

λ = 1/100λ = 1/40 λ = 1/20 λ = 1/10 λ = 1/5 Se si utilizzano le quantitàcon indice “0” si compiono,al variare della spessore,i modesti errori relativiriportati in tabella.Si definisce (ad es. per Jt):

( )0

0 t tt

t

J Jerr JJ−

0+

0−

∼0


77

Torsione di profili aperti di piccolo spessore

Q

y

x

Mt

zL’analisi del tubo aperto di piccolo spessore ha mostrato che le quantità contrassegnate con l’indice “0” forniscono una stimasufficientemente accurata della soluzione.

Questa osservazione suggerisce l’utilizzo della funzione comeapprossimazione del potenziale degli sforzi, definito come:

0φ

Al fine di garantire un’adeguata accuratezza dei risultati, è necessario che lo spessore t(s) siaregolare e debolmente variabile ( |t'(s)|<<1 e |t''(s)|<<1/|t(s)|): in prossimità delle estremità dellasezione, di zone caratterizzate da brusche variazioni di spessore o di forti curvature della lineamedia, la soluzione approssimata basata su richiede, in generale, significative correzioni.

( )( )

0

22,

4t sn s nφ = −

t(s)

n

0φ

0φ

ns

t(s)

n = coordinata locale in direzione normalealla linea media del profilo

s = ascissa curvilinea lungo la linea media del profilo


78

( )( )

0

220,0 0

4tn nφ = − ≠

L’espressione utilizzata soddisfa la condizione di annullamentosul contorno, salvo che nelle estremità della sezione.

n

0φ

s

Si è però visto, negli esempi, che questa violazione dellacondizione al contorno porta a errori che rimangono limitatialle estremità della sezione (ovvero, la soluzione approssimatanon coglie gli “effetti di estremità”), ma che comunquenon influiscono sull’accuratezza della soluzione nel resto della sezione.

Inoltre, se lo spessore rispetta le condizioni esposte in precedenza e la linea media non ècaratterizzata da forti curvature si ha:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

220

2

, 1 02

, 1 1 02 2

n s t s t ssn s t s t s t s

s

φ

φ

⎧∂ ′= ≅⎪⎪ ∂⎨∂⎪ ′ ′′⎡ ⎤= + ≅⎣ ⎦⎪ ∂⎩

( )2 2

0 00 2 2, 0 2 2n s

s nφ φ

φ∂ ∂

⇒ ∆ ≅ + ≅ − = −∂ ∂

Dunque, nell’ambito delle ipotesi fatte, soddisfa il problema di Poisson (5).( )( )

0

22,

4t sn s nφ = −


79

Si può allora procedere al calcolo della rigidezza geometrica torsionale (Jt):

( )02

22 ,

m

t

tn s dn dsφ

+

Γ −≅ ∫ ∫0

02t t AJ J dAφ= = ∫

( )( )

( ) 22 22

24m

t s

t s

t s n dn ds+

Γ −

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ( )31

3 mt s ds

Γ= ∫

( )313 m

tJ t s dsΓ

⇒ = ∫( Γm rappresenta la linea

media del profilo)

e alla determinazione della distribuzione di sforzi:

( )( )

0

22,

4t sn s nφ = − ⇒

t(s)n

s

τzsτzn

τzn τzs

( ) ( )0

0

1,2

, 2

zn s tz

zs tn

t s t sMGJ n

τ φϑ

τ φ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ′+⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

τ

( ) ( )( ) 2

,2 1

t

t

t s t sMs n t sJ

⎛ ⎞ ′⎡ ⎤⇒ =± =⎜ ⎟ ⎢ ⎥±⎣ ⎦⎝ ⎠

τ

τzs

τznτ


80

Determinazione della funzione di ingobbamento .( ),n sΨ

Si osserva che il campo degli spostamenti assiali non varia in modo significativo nello

spessore del profilo (“piccolo” se confrontato con le dimensioni caratteristiche della sezione)

rispetto a come può variare lungo il profilo.

Dunque, si determina l’ingobbamento solo lungo la linea media del profilo: ( ) ( )0 00,s sΨ Ψ = Ψ

0 00

02 0

m

nn

nn nφ φ

=Γ =

∂ ∂= = − ≡

∂ ∂La simmetria del potenziale nello spessore fornisce:( )0 ,n sφ

00 0, , , ,x x y y x x y yn n n n

nφ

φ φ φ φ∂

= + ≅ +∂

Utilizzando le relazioni che legano e si ricava:φ Ψ

( ) ( ), ,y x x yx n y n= −Ψ − + Ψ − =

( ) ( ), ,x y y x x yn n xn yn= Ψ −Ψ − + ( ) ( ), ,x x y y x yt t xn yn= − Ψ + Ψ − + ( )P Qs

∂Ψ= − − −

∂in


81

ds( )

( )

0

0 0 00

mn n n

h s

P Qn n sφ φ

Γ= = =

∂ ∂ ∂Ψ≅ = − − − ≡

∂ ∂ ∂ni

( )( )0d s h s

dsΨ

⇒ = − ( ) ( )( )

2

0

2

0

ds

s

s h s ds kω

ω

⇒ Ψ = − +∫

= area settoriale

Q

y

xz

s

P

( )sω

( ) ( ) ( )0 2 0s sω ω⎡ ⎤Ψ = −⎣ ⎦

n

Q

y

xz

sPt

h(s)


82

Q

y

xz

Mt a

a

hy

hx

t

t

( ) ( ) ( )0

02

2y

y x

h s s as s

h a h s a a s aω

− ≤ ≤⎧Ψ = − = ⎨− − − ≤ ≤⎩

31 2 , max ,3

t tt zs zs

t t

M MJ at tJ GJ

τ ϑ= = =

Q

y

xz

s

ω(s)

n

x y

x x xy

y xy yy

A S SS J JS J J

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

J

( )( )

( )200

1a

x

y

Z y s s t dsZ x s

⎡ ⎤Ω ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Ψ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ 10 1 00 0 1

xCx

yCy

x hZ

hyZ

∗

∗

−

⎡ ⎤Ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

J

Esempio: profilo a L [1/3]

C*

( )00 0s∗⇒ Ψ ≡


83

0 20 40 60 80 100

0

20

40

60

80

100 Esempio: profilo a L [2/3]

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

0

10

20

30

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

2

4

6

8

10

12 concentrazione di sforzi(|τ|→∞ in angolo per soluzione analitica) Effetti di

estremità

( ),x yφ

τ

( ),x yφ

[mm]

[mm]


84

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Esempio: profilo a L [3/3]

0

50

100

0

50

100

-40-20

0

2040

( ),x y∗Ψ

( ),x y∗Ψ

N.B.: xC* = yC* ≅ 5.3 mm

( )00 0s∗Ψ ≡


85

Torsione di solidi con sezioni molteplicemente connessee pareti di piccolo spessore (“profili pluri-cellulari”)

Per piccoli spessori, gli N fori divengno N celle.

Così come fatto per i profili aperti, il potenziale degli sforziviene approssimato da un’espressione quadratica in n.Se si considera la parete comune alle celle k-esima e j-esimasi ha:

( ) ( ) ( ) ( )0, , , ,j kn s n s n s n sφ φ φ φ≅ + +

φ αk

αj

k j

k j

φk

φj

∼φ0( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

20 2

0

,,

4

, 1,2

, 1,2

z

jj j

z

kk k

z

n s t sn s n

G

n s nn sG t s

n s nn sG t s

φφ

ϑ

φφ α

ϑ

φφ α

ϑ

⎧⎪ = = −⎪⎪

⎡ ⎤⎪ = = −⎢ ⎥⎨⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦

⎪ ⎡ ⎤⎪ = = +⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩

( ), 2n sφ⇒ ∆ ≅ −

nt

αk

αj

n

φ

s


86

φ

k j ≅ ++

φ0

k j

φk

k j

φj

k j

Equazioni di circuitazione

nt

kΓ

k

kA

L’interpretazione fornita per le equazioni di congruenza di circuitazione(oppure, in alternativa, il PLV scritto con riferimento a un sistemaequilibrato scelto in modo opportuno) garantisce la validità delle stesseanche con riferimento a percorsi che, pur non coincidendonecessariamente coi bordi dei fori, contengono gli stessi.

2k

kds Anφ

Γ

∂=

∂∫

( ) ( ) ( ) ( )0, , , ,j kn s n s n s n sφ φ φ φ≅ + +


87

( ) ( ) ( ) ( )0 ,, , ,m m m mk k k k

j kn sn s n s n sn n n n

φφ φ φ

Γ Γ Γ Γ

∂∂ ∂ ∂≅ + + =

∂ ∂ ∂ ∂

( )( ) ( ) ( ) ( )

2

0

2 1 14 2 2

jkj k

n

t s n nnn n t s n t s t s t s

ααα α=

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎪ ⎪= − + − + + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

Si utilizza come percorso la linea media del profilo (Γm).

Ad esempio, lungo la parete comune alle celle k e j si ha:

( ) ( )1 1 2m m m

k k kj

mk j kjds ds ds A

n t s t sφ α α

Γ Γ Γ

∂= − =

∂∑∫ ∫ ∫

L’equazione di circuitazione, per la k-esima cella, diviene la seguente:

Sommatoria relativa alle celleche hanno una parete in comunecon la cella k.

= linea media della paretecomune alle celle k e j.

mkjΓ


88

[ ]

( )

( )

1

, 1 se le celle e sono contigue

0 se le celle e non sono contigue

mk

mkj

k

m mk

kj kj

A

ds k jt s

K Kds k j k j

t sk j k j

α

Γ

Γ

=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎧ =⎪⎪

= =⎡ ⎤ ⎨⎣ ⎦ − ≠⎪⎪

≠⎩

∫

∫

α

A

K

Le N equazioni, espresse in forma matriciale, divengono: 2 m=αK A

con:

La matrice K è diagonalmente dominante e definita positiva.Risolvendo il sistema si ricavano i parametri che definiscono il potenzialekα ( ),n sφ

Si noti che sia i termini di K sia il termine noto Am dipendono solo dalla geometria della

sezione e, di conseguenza, anche il potenziale è definito unicamente dalla forma

della sezione.

( ),n sφ

12 m−=α K A


89

Inerzia geometrica torsionale (Jt):

0=1 =1

2 2N N

k k kAk k

dA Aφ φ α≅ + +∑ ∑∫

In quest’ultima espressione si riconosce il termine:

=12 2

N

t k kAk

J dA Aφ α= + ∑∫

( )0 30

123 mt A

J dA t s dsφΓ

= ≅∫ ∫

mentre, essendo lineare nello spessore e non nulla solo nella parte di sezione che

contorna la cella k-esima, si ha :

( ),k n sφ

φk

k( )

=1 =1 =1 2mk

N N N

k k kA Ak k k

t sdA dA dAφ φ αΓ

= =∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

Complessivamente:( )0 0 0

=1 =12 2 2

2mk

mk

N Nm T m

t t k k t k k tk k

A

t sJ J A dA J A Jα αΓ

⎡ ⎤= + + = + = +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑∫ α A

( )0 14Tm m

t tJ J −= + A K A tz

t

MGJ

ϑ⇒ =


90

Sforzi (τ):

k j

nt

( ) ( )2 jt t k

zs zt t

M MG nn n J n J t s t s

α αφ φ φτ ϑ⎡ ⎤∂ ∂ ∂

= − = − = − ≅ − − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

n

t

τzs

(lineare con n)

( ) ( ) ( )2 2

2 2, 2 , 2

t tzs zs k jt t

q dn dn s t s tnφτ φ φ α α

+ +

− −

∂⎡ ⎤= = − = − − − = − −⎣ ⎦∂∫ ∫

Flusso degli sforzi tangenziali:

(costante con s)

Si definisce il flusso associato

alla k-esima cella come:

tk k k

t

MqJ

α α=

⇒ Il flusso lungo il setto comune alle celle k e j è

ottenibile come:

( )tkj k j k j

t

Mq q qJ

α α= − = −


91

( ) ( ) ( )

0

2

1

12 1 12 14

m m

mt t

mttm

M MA qJJ Ads dst s t sA

α α

Γ Γ

= ⇒ = =+∫ ∫

Caso particolare: profilo con una cella

Mt s

q ( ) ( )

( )

20 01 44 1

m

mTm mt t t

AJ J Jds

t s

−

Γ

= + = +

∫A K A

2tm

MA

≅

Bredt

( )

0 3 3

1m

mt m m

m

m

J L t A t

Adst s tΓ

⎧ ≈ ≈⎪⎨

≈⎪⎩∫

( ) ( ) ( )

( )

2 23 2 2

3

1

4 44 1 14m

m mm m m m

t m tmm

m

tA AJ A t t A JAA ds

t st Γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⇒ ≈ + = + ⇒ ≅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫

NB:


92

Confronti con soluzione esatta [1/2]

re = raggio circonferenza esternari = raggio circonferenza internaR = (re + ri )/2 = raggio medioAm = πR2

λ = t / R

y

xMt z

( ) ( ) 3 34 4 22 2t e iesatto

J r r tR Rtπ ππ= − = +

( )0 2 313tJ R tπ=

( )220 0 3

422t t t

RJ J J t RR

t

ππ

π= + = + ( ) ( )

( )2

2

13 4

t t esattot

t esatto

J Jerr J

Jλλ

−⇒ = =

+

( ) ( )0

2

24 43 4

tt

t esatto

J err JJ

λλ

⇒ = =+

( )( ) ( ) ( )

0 0 2

2

34

12412

tt t esattot t

t t tesatto

JJ J err J err JJ J J

λλ

+= = ≈

+

Jt0 è trascurabile

rispetto a Jt( ) ( ) 3

22422t Bredt

RJ tRR

t

ππ

π= =

( ) ( )( )

2

24t tBredt esatto

t esatto

J JJ

λλ

− −⇒ =

+

⇓


93

( ) ( ) 23 3

max 2

1 4 22 2 42

2

t t teesatto

t esatto

M M Mtr RJ R ttR Rt

λτπ π λπ

+⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠+

( )2 2max

1 3 32 1 2 3m

mt t

t

M MA Rt tJ t R tds

t s

α λα τπ λ

Γ

+⎛ ⎞= = ⇒ = + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠∫

Bredt

( ) ( )( )

max

max

22 2

Bredt esattoBredt

esatto

errτ τ λ λτ

τ λ− −

= = −+

( ) ( )( ) 2 3

2max max

maxmax

62 6 3 2

esatto

esatto

errτ τ λ λ λτ

τ λ λ λ− − +

= =+ + +

-0,495%-0,980%-1,22%-2,38%-3,12%-4,52%-6,19%-8,18%err(τBredt)

0,497%0,987%1,23%2,42%3,19%4,67%6,49%8,73%err(τmax)

1/1001/50 1/40 1/20 1/15 1/10 1/7 1/5 λ

Confronti con soluzione esatta [2/2]

Documents

Descrizione del problema di de Saint Venant