REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLICTÉNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA

UNEFA

NÚCLEO – CARABOBO

SEDE – LA ISABELICA

Descripción Lagrangiana de la cinemática de los fluidos

Bachilleres:

Castillo. Adrian C.I: V-21587165

Cordero, Josué C.I: V-17891738

Ramos, María C.I: V-24709633

Rivero, Mily C.I: V-21031953

Sánchez, Pedro C.I: V-21238868

Valencia, 1 de octubre, 2012-09-29

Profesora: Spinalli Nella

Materia: Fenómeno de transporte

Descripción Lagrangiana de la cinemática de fluidos

A la hora de estudiar el movimiento de un fluido nos encontramos con la dificultad de que, en principio, hay un número de partículas demasiados grandes como para tomar las coordenadas de cada una de ellas (de hecho, hemos dicho que aproximáramos nuestro estudio a fluidos continuos constituidos por partículas infinitesimales, por lo que tendríamos un numero infinito de partículas).Para atacar el problema podremos seguir dos enfoques diferentes: El estudio Lagrangiano y el Euleriano.

Descripcion Lagrangiana:Se trata de describir el movimiento de cada una de las partículas individualmente, identificando las partículas mediante unas coordenadas de numeración que pueden ser la posición ~x0 de la partícula en un instante t = 0. Así, la posición en un instante de tiempo cualquiera para dicha partícula ~x(~x0; t) y su velocidad ~v(~x0; t) serán funciones dependientes del tiempo y de las coordenadas de numeración. Nombre otorgado a esta descripción en honor al matemático italiano Joseph Louis Lagrange (1736-1813).

Trayectoria:Recorrido de una partícula durante un periodo de tiempo. Señalaremos una partícula e iremos marcando los puntos geométricos que ocupa en cada instante de tiempo para trazar una línea. Se trata del elemento básico en el tratamiento Lagrangiano de la dinámica de fluidos.

Trayectoria y velocidad de una partícula de fluido

Línea de corriente:Una línea de corriente es tangente en cada punto al vector velocidad en un instante de tiempo. Si el flujo es estacionario las líneas de corriente coinciden con las trayectorias.

Componente normal y tangencial:Mediante las componentes normal y tangencial, la velocidad de una partícula de fluido en una línea senda puede ser escrita como V = V(s; t)et donde V(s; t) es la velocidad de la partícula, que puede variar con la distancia a lo largo de la línea senda s, y el tiempo t. La dirección del vector velocidad está dada por un vector unitario et.

T

Partículas de fluido moviéndose sobre una línea senda. a) velocidad.b) Aceleración

Ecuaciones de lagrange:

Las ecuaciones del movimiento en mecánica lagrangiana son las ecuaciones de Lagrange, también conocidas como las ecuaciones de Euler-Lagrange. Debajo, bosquejamos la derivación de la ecuación de Lagrange de las leyes de Newton del movimiento. Vea las referencias para derivaciones más detalladas y más generales. En su forma más general, en que se da un sistema de referencia general con coordenadas

generalizadas las ecuaciones de Lagrange toman la forma:

Derivación a partir de las leyes de Newton:Considere una sola partícula con masa m y el vector de posición r. La fuerza aplicada, F, si es una fuerza conservativa puede ser expresada como el gradiente de una función

potencial escalar V(r, t): tal fuerza es independiente de las terceras derivadas de r (o de derivadas de orden superior), por tanto la segunda ley de Newton forma un sistema de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Por lo tanto, el movimiento de la partícula se puede describir totalmente por 6 variables independientes, o grados de libertad. Un sistema obvio de variables es {rj, r′j|j = 1, 2, 3}, las componentes cartesianas de r y sus derivadas temporales, en un instante dado del tiempo.Más generalmente, podemos trabajar con un sistema de coordenadas generalizadas y de sus derivadas temporales, las velocidades generalizadas: {qj, q′j}. r está relacionado con las coordenadas generalizadas por cierta ecuación de transformación:

Considere un desplazamiento arbitrario δr de la partícula. El trabajo hecho por la fuerza aplicada F es δW = F · δr.que usa la segunda ley de Newton, escribimos: puesto que el trabajo es una cantidad escalar física, debemos poder reescribir esta ecuación en términos de las coordenadas y de las velocidades generalizadas. En el lado izquierdo,

El lado derecho es más difícil, pero después de algunas maniobras obtenemos:

donde

es la energía cinética de la partícula. Nuestra ecuación para el trabajo hecho se convierte en:

sin embargo, ésta debe ser verdad para cualquier conjunto de desplazamientos generalizados δqi, así que debemos tener

para cada coordenada generalizada δqi. Podemos simplificar aún más esto observando que V es una función solamente de r y t, y r es una función de las coordenadas generalizadas y t. Por lo tanto, V es independiente de las

velocidades generalizadas: Insertando esto en la ecuación precedente y

substituyendo L = T - V, obtenemos las ecuaciones de Lagrange: Hay una ecuación de Lagrange para cada coordenada generalizada qi. Cuando qi = ri (es decir las coordenadas generalizadas son simplemente las coordenadas cartesianas), es inmediato comprobar que las ecuaciones de Lagrange se reducen a la segunda ley del Newton.La derivación antedicha se puede generalizar a un sistema de N partículas. Habrá 6N coordenadas generalizadas, relacionadas a las coordenadas de posición por 3N ecuaciones de transformación. En cada una de las 3N ecuaciones de Lagrange, T es la energía cinética total del sistema, y V la energía potencial total.En la práctica, es a menudo más fácil solucionar un problema usando las ecuaciones de Euler-Lagrange que las leyes de Newton. Esto es porque las coordenadas generalizadas apropiadas qi se pueden elegir para aprovechar las simetrías en el sistema.