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Angela Nieckele – PUC-Rio
sds
AJAJAJ s
sdss
)())
Fluxo:Volume: d
Fluxo líquido:
suρJ ss
Balanço global
faceface
AJrdsdd
sd
s
AJ)(
)/(
)(
1
Fluxo líquido por unidade de volume:
SJAsdsd
dρtd i
faceiii
3
1
11,/
)(
Generalizando:
4
Coordenadas cilíndricas:
Angela Nieckele – PUC-Rio
sds
AJAJAJ s
sdss
)())
Fluxo:
J A) r+dr
J A) q J A) z
J A) z+dz J A) q+dq
J A) r
Volume: dzdrdrd q
rr
rJ
dzddrr
rd
r
dzdrJrd
r
AJ rrr 1
q
q
)()()(
Fluxo líquido:
suρJ ss
q
q
q
q
r
J
dzrdrd
ddzdrJ )(
z
J
dzrdrd
zd
z
drdrJ zz
q
q )(
Sz
J
r
J
rr
Jr
t
ρ zr
q
qBalanço global
Fluxo líquido por unidade de volume:
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5
• Observações preliminares:
– Produto interno
Notação indicial:
zzyyxx BABABABA
qcosBABA
332211 BABABABABA ii
jjii BABABA
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6
– Divergente
– Gradiente
z
A
y
A
x
AAA zyx
div
zyx ez
Be
y
Be
x
BBB
grad
ii
ex
BB
grad
i
i
x
AA
div
S
SdAA 1
0limdiv
ii
i
i
i
i
x
sA
x
As
x
AsAs
)()div(
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7
– Operador delta de Kronecker
ji
ji
ij
ij
quando1
quando0
jiij ee
IMatriz identidade
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10
• Conservação de Massa (continuidade)
tdiv V ( )
0 ( I )
Variação da massa Fluxo líquido de massa
com o tempo por por unidade de volume
unidade de volume
A equação acima pode ser rescrita sabendo que ρVVρ)Vρ()Vρ(
div
como
tV V
0
Definido o operador : derivada material, ou total ou substantiva D A
D t
A
tV A
variação local variação
temporal convectiva
temos
D
D tV
0 ( II )
– Notação indicial 0
i
i
x
V
t
0
)(div V
t
Equação de Conservação de Massa ou Equação de Continuidade
tdiv V ( )
0 ou
D
D tV
0
Casos Particulares:
1. Regime permanente:
t 0 div V( )
0
2. Incompressível: = constante
V 0
0
1
S
1111
Equação diferencial de quantidade de
movimento na forma vetorial
(2ª. Lei de Newton)
cftD
VD
cfVV
t
V
)div()(
j
jicij
j
i
xfVV
xt
Vi
)(
)(
– Notação indicial (componente i)
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ou na forma conservativa
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12
Leis de Transporte
Taxa de deformação
Ação da viscosidade: Lei de Newton/Stokes
Fluidos Newtonianos: tensão é diretamente proporcional a taxa de
deformação
d tan (d )sin (d )
cos (d )
du dt
dy
F, U
x
y
l = d u d t
Dyd d
d x = u d t
d
d t
d u
d y
y
U
yd
ud
A
F
yxy
D Lei da viscosidade de Newton:
viscosidade absoluta (propriedade do fluido): dimensão: M/Lt (Pa s)
u = viscosidade cinemática: /
Ip
13
dy
dx
u
u + du
v v + dv taxa de deformação
tangencial no plano x-y:d
d t
u
y
v
x
d
d t
u
x
d
d t
v
yx y
2 2
d
d t
u
x
v
y
w
zV
taxa de deformação
normal no plano x-y:
taxa de dilatação volumétrica:
Em notação vetorial, a taxa de deformação de um
elemento de fluido, pode ser escrita como:
IV3
2VV T
div])grad(grad[
Angela Nieckele – PUC-Rio
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• Ação da viscosidade: Lei de Newton/Stokes
15
Ip
IVVV T
div)(gradgrad
3
2
Em notação indicial
ij
k
k
i
j
j
iijijijij
x
V
x
V
x
Vpp
3
2
Força líquida
ij
k
k
i
j
j
i
jij
ij
x
V
x
V
x
V
xx
p
x
3
2
j
ij
ij
jj
ij
xx
p
x
1616
Combinação das Equações de Conservação
e Leis de Transporte
Equação de quantidade de movimento linear
ij
k
k
i
j
ji
cc
c
j
i
j
ij
j
i
x
V
x
V
xS
x
pfSS
Sx
V
xVV
xt
V
iiii
i
3
2;
)()(
quando e são constantes, 0i
S
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ici SSV ;;
1717
Equação de conservação de espécie química
RJmV
t
m
)div(
)(
RJmV
xt
mjj
j
)(
)(
– Notação indicial
R
J Fluxo por difusão da espécie ℓ
Taxa de geração da espécie ℓ por unidade de volume
m Fração em massa da espécie ℓ 1
m
0
R
0J
Angela Nieckele – PUC-Rio
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Leis de Transporte:
Difusão de massa
(Lei de Fick):
18
mDJ grad
Número de Schmidt:
D
Sc
mJ grad
Sc
RSm h ;Sc
;
R
x
m
xmV
xt
m
jj
j
j
Sc)(
)(
2020
Equação da Energia
2
2
1Vie
pih
arredoresnossistemapelo
feitotrabalhodetaxa
out
calordeadição
detaxa
in
energiadesaindoliquido
fluxo
energiadeacumulação
detaxa
d
W
d
QeV
t
e
)(div
)(
e: energia total
i: energia interna
h: entalpia
Angela Nieckele – PUC-Rio
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Leis de Transporte
• Condução de calor (Lei de Fourier):
21
Tkq grad
Número de Prandtl:
k
c
ck
u
)/(
/Pr
Tcq gradPr
ou para c constante: hq gradPr
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Taxa de adição de calor
• O calor pode entrar no volume de controle de duas formas: por
difusão relativo ao movimento de mistura do escoamento devido a
movimento molecular aleatório e por conversão de energia química,
eletromagnética, atômica, etc em energia térmica como fonte de
calor. Portanto
22
dqAdnQQ
VCSCin
VCin dQqQ
div
Jhqqd
Qin divdiv
• Aplicando o teorema de divergência de Gauss,
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Taxa de remoção de Trabalho
VVpVfd
Wc
out
divdiv
rdFdW
VFdW
trabalho potência
Aplicando o teorema de divergência de Gauss,
VCcout dVVpVfW
divdiv
sc FdFdFd
dVfW cc
AdVnnpVFdW ss
SCSCVCcout AdnVAdnVpdVfW
2424
Equação de conservação de energia
hjj
jj
Sx
h
xhV
xt
h
Pr)(
)(
mhhTc
VtD
pDqSh
gradSc
gradgradPr
div
:
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• Conservação de energia (propriedades constantes)
qSh
Pr;
h
25
ESCOAMENTO TURBULENTO
O escoamento turbulento é governado pelas mesmas
equações que o escoamento laminar. No entanto,
rigorosamente falando, este é sempre tridimensional e
transiente.
Observa-se, no entanto, que o
escoamento pode ser descrito
por um valor médio e mais uma
flutuação u’ (muitas vezes da
ordem de 1% de )
'uuu
u
t
dtt D
D
1
;'generalizando
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26
'uuu
Para o engenheiro, muitas vezes é suficiente conhecer o
comportamento do valor médio.
Note que com relação ao valor médio, podemos fazer a hipótese de
regime permanente, pois
Observamos ainda que se o vetor velocidade é dado por
poderemos fazer a hipótese de 2-D com relação aos valores médios.
Dessa forma, podemos simplificar bastante o problema. Desejamos
então determinar o campo médio de velocidades. Neste caso, é
preciso obter equações de conservação para essa grandeza. A
expressão é introduzida nas equações de
conservação e uma média no tempo é realizada
0t/u
kwj)vv(i)uu(V
D
Dt
tdequaçãot
1
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Equações Médias no Tempo para
Escoamento Turbulento
Conservação de massa
27
0
i
i
x
V
t
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28
Conservação de espécie química
RmVx
m
xmV
xt
mj
jjj
j
'''
Sc)(
)(
Fluxo de massa turbulento
jt
tj
x
mmV
Sc
'''
Rx
m
xmV
xt
m
jt
t
jj
j
ScSc)(
)(
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29
Conservação de quantidade de movimento linear
icijj
i
jij
j
i SVVx
V
xVV
xt
V
'')()(
)(
Tensão turbulenta
2
23
2 ''')( i
k
ktij
i
j
j
itij V
x
V
x
V
x
VVV
icj
ief
jij
j
i Sx
V
xVV
xt
V
)(
)(
tef
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30
Conservação de energia
hjjj
jj
ShVx
h
xhV
xt
h
'')(
Pr)(
)(
fluxo de calor turbulento
jt
tj
x
hhV
Pr)(
''
hjt
t
jj
j
Sx
h
xhV
xt
h
PrPr)(
)(
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Modelos Matemáticos de Turbulência
Determinações práticas de escoamento turbulento
empregam os valores médios no tempo das velocidades,
temperaturas, etc.
As equações de conservação médias no tempo, possuem
termos adicionais chamados de tensões ou fluxos
turbulentos. Estas expressões podem ser obtidas com
redefinições apropriadas de e S.
Pesquisas recentes dos modelos de turbulência têm
mostrado que frequentemente é desejável calcular além
das velocidades médias no tempo, as propriedades
médias no tempo devido as flutuações do movimento.
Equações diferenciais adicionais precisam então ser
resolvidas para determinar parâmetros da turbulência.
Felizmente estas equações também apresentam a forma
da equação geral de . 31
34
Observações
a variável dependente pode ser: um componente da
velocidade, entalpia (ou temperatura), quantidade
turbulenta, etc.
Cada significado de implica em uma
correspondente especificação de , S e condições de
contorno.
A identificação da equação diferencial geral facilita a
implementação de um programa para resolver
escoamentos, sujeitos a transferência de calor/massa.
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35
Coeficiente de Difusão
é uma representação geral das propriedades dos fluidos
como viscosidade ou condutividade térmica, os quais
juntamente com o gradiente da variável apropriada leva ao
fluxo difusivo como tensão viscosa e fluxo de calor.
para escoamentos turbulentos, os valores laminares de
são freqüentemente substituídos pelas correspondentes
propriedades turbulentas como a viscosidade turbulenta.
em geral, pode ser não uniforme; pode depender da
posição (diferentes materiais), da velocidade, temperatura,
etc.
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36
Termo de Fonte S
o termo de fonte é primordialmente definido para
mecanismos como geração de calor em um sólido,
produção e destruição de espécies químicas em uma
reação, forcas de corpo em um fluido, etc.
Contudo, S também pode ser usado para representar
qualquer termo que não possa ser representado pelos
três primeiros termos da equação diferencial geral de
conservação.
O termo de fonte geralmente depende de , sendo
conveniente rescrever como
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pc SSS