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CALCULO DIFERENCIAL
Trabajo Colaborativo No. 3
Presenta
LUIS ALCIDES JARAMILLO
ANA ROSA JOAQUI
NESTOR JESUS BARON DURAN
Tutor
FREDDY VALDERRAMA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNAD
Noviembre de 2013
2
INTRODUCCIΓN
En el desarrollo de este trabajo colaborativo se aplica el concepto DERIVADAS
y sus aplicaciones para una funciΓ³n, estudiando particularmente las
propiedades de las derivadas. Basados en el material de estudio ofrecido en el
curso.
Para calcular la derivada de primer orden y de orden superior se recurre al uso
de diferentes fΓ³rmulas las cuales se aplican segΓΊn sea el caso, como producto,
cociente, funciones simples y compuestas, funciones polinΓ³micas,
trigonomΓ©tricas, exponenciales y logarΓtmicas.
Una de las aplicaciones prΓ‘cticas es el cΓ‘lculo de lΓmites cuando se presenta
indeterminaciΓ³n y para lo cual se utiliza la regla de LβHopital.
Otra aplicaciΓ³n es en la economΓa para encontrar los costos mΓnimos, para lo
cual se hace uso de los conocimientos sobre mΓ‘ximos y mΓnimos de acuerdo
con los criterios de la primera y segunda derivadas.
3
FASE 1
1.- Halle la recta tangente a la curva:
π¦ =1
π₯ β 1; ππ ππ ππ’ππ‘π (2,1)
SoluciΓ³n.
Lo primero es calcular la derivada.
ππ¦
ππ₯=
π π₯ β 1 β1
ππ₯= β π₯ β 1 β2 = β
1
π₯ β 1 2
Para el caso la pendiente es el valor de la derivada en el punto x=2.
π = β1
2 β 1 2= β
1
1= β1
La ecuaciΓ³n de la recta es:
π¦ = π π₯ β π + π; ππ πππππ π = β1, π = 2 π¦ π = 1
O sea:
π¦ = β1 π₯ β 2 + 1 = βπ₯ + 3
Por lo tanto la ecuaciΓ³n buscada es:
π¦ = βπ₯ + 3
2.-
ππ π π₯ =π₯
π₯;πππππ ππ π£ππππ ππ πβ²β²(4)
SoluciΓ³n.
Primero organizamos la funciΓ³n π π₯ =π₯
π₯
π π₯ =π₯
π₯=
π₯
π₯12
= π₯ β π₯β12 = π₯1β
12 = π₯
12
Derivamos la funciΓ³n a partir de π π₯ = π₯1
2
πβ²(π₯) =1
2π₯
12β1 =
1
2π₯β
12
4
Volvemos a derivar a partir de πβ²(π₯) =1
2π₯β
1
2
πβ²β² π₯ = β1
2
1
2 π₯β
12β1 = β
1
4π₯β
32
πβ²β²(π₯) = β1
4π₯32
=1
4 π₯3
Evaluamos la segunda derivada en x=4
πβ²β² 4 = β1
4 43=
1
4 64= β
1
4(8)= β
1
32
AsΓ la segunda derivada evaluada en x=4 es:
πβ²β² π = βπ
ππ
3.- Hallar la derivada de π π₯ = π ππ2(2π₯)
SoluciΓ³n.
Para resolver esta derivada hay que aplicar el concepto de REGLA DE LA
CADENA ya que es una funciΓ³n compuesta, primero derivando respecto de la
potencia, luego derivando la funciΓ³n trigonomΓ©trica y derivando internamente
el Γ‘ngulo doble se tiene:
πβ²(π₯) = 2 β π ππ 2π₯ β cos 2π₯ . 2
Organizando la expresiΓ³n tenemos que:
πβ² π = π β πππ ππ β ππ¨ π¬ ππ = ππππ(ππ)
5
FASE 2.
4.- Halle la derivada de las siguientes funciones.
π π₯ =lnπ₯7
lnπ₯3
SoluciΓ³n.
Antes de derivar, conviene simplificar la funciΓ³n aplicando propiedades de los
logaritmos.
π π₯ =ln π₯7
ln π₯3=
7 lnπ₯
3 lnπ₯=
7
3
Puesto que la funciΓ³n es constante su derivada es cero.
πβ² π₯ = 0
5.-
π π₯ =π₯
ππ₯
SoluciΓ³n.
Para resolver esta derivada hay que aplicar la definiciΓ³n de la derivada de un
cociente, el cual es:
πβ² π₯ =π π₯ β πβ² π₯ β π π₯ β πβ²(π₯)
π2(π₯)
Donde para este caso
π π₯ = ππ₯ π¦ π π₯ = π₯
Aplicando la definiciΓ³n se tiene:
πβ²(π₯) =1 ππ₯ β π₯ ππ₯
ππ₯ 2=
ππ₯ 1 β π₯
π2π₯=
1 β π₯
ππ₯
Por lo tanto:
πβ²(π₯) =1 β π₯
ππ₯
6
6.- Hallar la tercera derivada de:
π(π₯) = ππ₯ ln π₯
SoluciΓ³n.
La primera derivada corresponde a un producto.
πβ² π₯ = ππ₯ ln π₯ + ππ₯ .1
π₯= ππ₯ lnπ₯ +
ππ₯
π₯
La segunda derivada corresponde a un producto y a un cociente.
πβ²β² π₯ = ππ₯ ln π₯ + ππ₯ .1
π₯+ππ₯ . π₯ β ππ₯ . 1
π₯2= ππ₯ lnπ₯ +
ππ₯
π₯+ππ₯
π₯βππ₯
π₯2= ππ₯ ln π₯ +
2ππ₯
π₯βππ₯
π₯2
Continuando de la misma forma se encuentra la tercera derivada.
πβ²β²β²(π₯) = ππ₯ ln π₯ + ππ₯ .1
π₯+
2ππ₯ . π₯ β 2ππ₯ . 1
π₯2βππ₯ . π₯2 β ππ₯ . 2π₯
π₯4
= ππ₯ ln π₯ +ππ₯
π₯+
2ππ₯ . π₯
π₯2β
2ππ₯
π₯2βππ₯ . π₯2
π₯4+
ππ₯ . 2π₯
π₯4= ππ₯ lnπ₯ +
ππ₯
π₯+
2ππ₯
π₯β
2ππ₯
π₯2βππ₯
π₯2+
2ππ₯
π₯3
= ππ₯ ln π₯ +3ππ₯
π₯β
3ππ₯
π₯2+
2ππ₯
π₯3= (lnπ₯ +
3
π₯β
3
π₯2+
2
π₯3). ππ₯
Por tanto:
πβ²β²β²(π₯) = (lnπ₯ +3
π₯β
3
π₯2+
2
π₯3). ππ₯
7
FASE 3
7.- Usando la regla de LβHopital halle el siguiente lΓmite:
πΏπππ₯β0
cos π₯ β 1
π ππ π₯
SoluciΓ³n.
El teorema de la regla de LβHopital dice lo siguiente:
Sean Las funciones f(x) y g(x) derivables en el intervalo abierto (a, b). Sea un
valor c que pertenece al intervalo (a, b). Asumiendo que gβ(x) β 0 para todo x
en dicho intervalo.
ππ limπ₯βπ π(π₯)
π(π₯) =
0
0 ; πππ‘πππππ , limπ₯βπ
π(π₯)
π(π₯) = limπ₯βπ
πΒ΄(π₯)
πΒ΄(π₯)
El reemplazo directo produce indeterminaciΓ³n.
πΏπππ₯β0
cos π₯ β 1
π ππ π₯=
πππ 0 β 1
π ππ 0=
1 β 1
0=
0
0
Aplicando el teorema de LβHopital:
πΏπππ₯β0
cos π₯ β 1
π ππ π₯= πΏπππ₯β0
βsen π₯
πππ π₯=
βπ ππ(0)
cos(0)=
0
1= 0
Por tanto
πΏπππ₯β0
cosπ₯ β 1
π ππ π₯= 0
8
8.- Usando la regla de LβHopital halle el siguiente lΓmite:
πΏπππ₯β2
π₯2 + 2π₯ β 8
π₯2 β π₯ β 2
SoluciΓ³n.
La sustituciΓ³n directa produce indeterminaciΓ³n:
πΏπππ₯β2
π₯2 + 2π₯ β 8
π₯2 β π₯ β 2=
22 + 2(2) β 8
22 β 2 β 2=
0
0
Como en el ejercicio anterior puede aplicarse el teorema de LβHopital.
πΏπππ₯β2
π₯2 + 2π₯ β 8
π₯2 β π₯ β 2= πΏπππ₯β2
2π₯ + 2
2π₯ β 1=
2 2 + 2
2 2 β 1=
6
3= 2
Por tanto:
πΏπππ₯β2
π₯2 + 2π₯ β 8
π₯2 β π₯ β 2= 2
9
9.- Derivadas implΓcitas.
Hallar la derivada con respecto a x de:
ππ₯ β ππ¦ = π₯ β π¦
SoluciΓ³n.
Aplicando la regla de la cadena para derivar βyβ respecto a βxβ.
ππ₯ β ππ¦ .ππ¦
ππ₯= 1 β
ππ¦
ππ₯
Trasladando tΓ©rminos:
ππ¦
ππ₯β ππ¦ .
ππ¦
ππ₯= 1 β ππ₯
Factorizando:
ππ¦
ππ₯(1 β ππ¦) = 1 β ππ₯
Finalmente:
ππ¦
ππ₯=
1 β ππ₯
1 β ππ¦
10
10.- . En la construcciΓ³n de una obra se debe hacer un pedido de cemento.
ΒΏQuΓ© cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fΓ‘brica, tal que el costo total de
ese pedido sea el mΓnimo?
πΉππππ’ππ πππ πππ π‘π π‘ππ‘ππ πππ ππππππ πΆ π₯
πΆπ π₯ =100.000.000
π₯+ 100π₯ + 50
SoluciΓ³n.
El problema se resuelve calculando primero el punto crΓtico, para lo cual se
debe igualar a cero la derivada.
πΆβ²π π₯ = β100.000.000
π₯2+ 100 = 0
Trasladando tΓ©rminos:
100π₯2 = 100.000.000
π₯2 = 1.000.000
π₯ = 1.000
Para determinar si se trata del valor mΓnimo recurro a la segunda derivada.
πΆβ²β²π π₯ =200.000.000
π₯3
πΆβ²β²π 1000 =200.000.000
10003=
2
10> 0,πππ ππ π‘πππ‘π ππππππ πππππ π π’π πΓππππ.
Finalmente obtenemos el costo de los 1000 bultos de cemento:
πΆπ 1000 =100.000.000
1000+ 100 1000 + 50 = 200.050
Por tanto la cantidad de bultos de cemento que se deben pedir a la fΓ‘brica son
1000 y tendrΓ‘n un costo mΓnimo de 200050 pesos.
11
CONCLUSIONES
Es de vital importancia entender el concepto de derivadas de una
funciΓ³n, ya que este nos permite entender muchos problemas cotidianos
en los se encuentra implicado varias variables con las que hay que
interactuar.
Es importante tener una buenas bases en el Γ‘rea de la algebra y
trigonometrΓa para lograr entender de manera mΓ‘s fΓ‘cil y rΓ‘pida todos
con conceptos relacionados con el cΓ‘lculo diferencial.
Durante el desarrollo de esta actividad se pudo reconocer la importancia
del cΓ‘lculo diferencial y especialmente de del conocimiento y manejo de
las derivadas para solucionar problemas que se presentan en las
diferentes Γ‘reas del conocimiento y de la vida cotidiana misma.
Gracias a los aportes significativos presentados por cada integrante del
grupo colaborativo se puedo concluir con Γ©xito la entrega del mismo.
12
REFERENCIAS
RondΓ³n Duran, Jorge Eliecer. (2011) Escuela de Ciencias BΓ‘sicas, TecnologΓa e
IngenierΓa. Calculo Diferencial. Universidad Nacional Abierta y a Distancia.
BogotΓ‘ D.C.
Duran, J. E., & Camacho, F. O. (2006).
http://66.165.175.239/campus09_20132/mod/resource/view.php?inpopup=tru
e&id=47369. Recuperado el 19 de Octubre de 2013, de Universidad Nacional a
Distancia.