Desarrollo de habilidades comunicativas y matemáticas ... · Desarrollo de habilidades comunicativas y matemáticas. Cuadernillo de apoyo 2013. Tercer grado de secundaria fue desarrollado

Desarrollo de habilidades comunicativas y matemáticas. Cuadernillo de apoyo 2013. Tercer grado de secundaria fue desarrollado por la Dirección de Medios y Métodos Educativos, de la Dirección General para la Pertinencia y la Corresponsabilidad de la Educación, Secretaría de Educación de Guanajuato.

Secretaría de Educación de Guanajuato

Subsecretaría para el Desarrollo Educativo

Dirección General para la Pertinencia y la Corresponsabilidad de la Educación

Dirección de Medios y Métodos Educativos

Departamento de Español

Departamento de Matemáticas

Primera edición, 2013 Secretaría de Educación de Guanajuato, 2013 Conjunto Administrativo Pozuelos s/n, Centro, 36000, Guanajuato, Gto. Impreso en México Distribución Gratuita – Prohibida su venta

Presentación

A las maestras y maestros: La evaluación es un proceso necesario para identificar los aprendizajes que las alumnas y los alumnos han adquirido satisfactoriamente y aquellos que deberán ser reforzados. Año con año, la Secretaría de Educación Pública aplica la prueba ENLACE a todas las primarias y secundarias del país, para tener información sobre el logro académico de los alumnos.

En este contexto, Desarrollo de habilidades comunicativas y matemáticas. Cuadernillo de apoyo 2013. Tercer grado de secundaria es un material que tiene como propósito ofrecerles una herramienta de apoyo que les permita guiar a sus alumnos en la preparación para la prueba ENLACE 2012, a través de una serie de actividades elaboradas con base en los programas de estudio de español y matemáticas para fortalecer los temas clave determinados a partir de los resultados de la prueba ENLACE 2012. Los invitamos a que aprovechen este recurso y que apoyen a sus alumnos en el uso del mismo, de modo que les pueda servir como una herramienta de fortalecimiento y mejora. Para ello, les sugerimos atender las Orientaciones metodológicas que se encuentran en este cuadernillo.

Estamos seguros de que con su compromiso y colaboración continuaremos trabajando para hacer de Guanajuato un estado de acciones encaminadas a mejorar la calidad de la educación.

A las alumnas y alumnos:

La evaluación es un elemento necesario en tu proceso de aprendizaje, ya que mediante ella te es posible detectar cuáles son los temas y contenidos que dominas y aquellos que necesitas fortalecer. La prueba ENLACE, que año con año se aplica a todas las primarias y secundarias del país, tiene la finalidad de evaluar tus conocimientos en el área de español, matemáticas y una tercera asignatura, y ofrecerte un diagnóstico

individual sobre los conocimientos y habilidades en los temas evaluados. Durante este ciclo escolar, la Secretaría de Educación de Guanajuato pone a tu disposición el material Desarrollo de habilidades comunicativas y matemáticas. Cuadernillo de apoyo 2013. Tercer grado de secundaria, el cual fue elaborado con el propósito de servirte como una herramienta de preparación para mejorar el logro académico. Este cuadernillo contiene una serie de actividades elaboradas con base en los programas de estudio de español y matemáticas para fortalecer los temas clave determinados a partir de los resultados de la prueba ENLACE 2012. Es importante que para realizar el trabajo que te propone este cuadernillo, te apoyes en tu maestro de la asignatura de matemáticas, ya que él te podrá orientar en el uso del mismo. Recuerda que la evaluación es un complemento de tu aprendizaje, por lo que te invitamos a considerar este proceso como una oportunidad para analizar tu desempeño escolar.

¿Cómo está organizado el cuadernillo de apoyo? El cuadernillo se divide en dos secciones, una para español y otra para matemáticas. Cada sección se organiza por temas, cada uno de los cuales iniciará con una tabla de identificación como las que se muestran a continuación. Para un tema de la sección de habilidades comunicativas: Para un tema de la sección de habilidades matemáticas:

Presenta una imagen alusiva al

tema.

Tema del que tratará la lección.

Bloque del programa de estudio que incluye el tema a revisar.

Eje temático al que corresponde la lección, de acuerdo al

programa de estudio.

Aprendizaje esperado que se desea lograr en la lección.

Tema general al que corresponde la lección, de acuerdo al

programa de estudio.

Contenido temático específico al que corresponde la lección, de

acuerdo al programa de estudio.

Tema del que tratará la lección

Bloque del programa de estudio que incluye el tema a revisar

Ámbito del programa de estudio al que corresponde la práctica social del lenguaje

Práctica social del lenguaje definida en el programa de

estudio para el tema a tratar

Aprendizajes esperados que se desea lograr con la lección

Imagen alusiva al tema

Cada tema incluye cuatro secciones que se describen a continuación:

Consiste en el planteamiento general del tema que se va a trabajar. Esta sección incluye una situación cotidiana que permite retomar los conocimientos previos sobre el tema.

Constituye la parte más amplia del tema, ya que contiene la presentación de contenidos y actividades que permiten fortalecer los aprendizajes que serán evaluados.

Incluye una breve descripción de los contenidos retomados en la lección. También contiene sitios de interés que se pueden consultar para ampliar los conocimientos sobre el tema. En esta sección se deberá resolver una evaluación sobre los contenidos retomados en la lección. Es importante que se utilice la Hoja de respuestas que se encuentra al inicio de cada sección del cuadernillo, ya que es necesario practicar el llenado de los círculos que presenta la prueba tipo ENLACE.

Introducción

Evaluación

Cierre

Desarrollo

Orientaciones metodológicas Este cuadernillo ha sido diseñado con la finalidad de que los alumnos procesen la información y desarrollen los ejercicios, actividades y evaluaciones contenidas en cada uno de los temas, de manera individual, empleando tiempo extra clase. Sin embargo, serán de gran apoyo las orientaciones y retroalimentaciones que puedan obtener de la maestra o maestro que les imparte la asignatura de español y/o matemáticas. En este sentido, se solicita a las maestras y los maestros que atiendan a las siguientes orientaciones metodológicas, para apoyar muy comprometidamente a sus alumnos, de modo que este recurso didáctico les pueda servir como una herramienta de fortalecimiento y mejora.

En un primer momento, acompañar a los alumnos en la lectura de la presentación y organización del cuadernillo. Identificar y comentar con ellos las temas específicos que han sido desarrollados. Esto se puede hacer de manera grupal en un espacio de clase no mayor a 10 minutos.

Previo al estudio de un tema:

Presentar la situación planteada en la introducción. Esto con la intención de generar una activación cognitiva en los alumnos en relación con la temática a estudiar. Orientar la atención de los alumnos sobre los aspectos del tema en los que deberán poner especial cuidado al momento de procesar la información y realizar los ejercicios, actividades y evaluaciones plantedas. Se recomienda que esto se realice al finalizar una clase, en un lapso no mayor a 7 minutos.

Posterior al estudio de un tema:

Retroalimentar el aprendizaje de los alumnos mediante una actividad grupal en la que hagan una recapitulación breve sobre el desarrollo de las actividades y las soluciones de la evaluación. Esto con la intención de socializar el aprendizaje individual de los alumnos y resolver las dudas que se presenten. Se recomienda que esto se realice al finalizar una clase, en un lapso no mayor a 12 minutos.

Esperamos que estas orientaciones sean de utilidad para lograr el fortalecimiento de los temas clave que contiene el cuadernillo y generar la adquisición de los aprendizajes esperados en los alumnos.

CONTENIDO

SECCIÓN DE HABILIDADES COMUNICATIVAS TEMA 1. ESTUDIAR LAS MANIFESTACIONES POÉTICAS EN UN MOVIMIENTO LITERARIO .......ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ............ 1

TEMA 2. ELABORAR Y PROLOGAR ANTOLOGÍAS DE TEXTOS LITERARIOS ..........................ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ................ 8

TEMA 3. ANALIZAR DIVERSOS FORMULARIOS PARA SU LLENADO ............................................................... 13

TEMA 4. ELABORAR INFORMES SOBRE EXPERIMENTOS CIENTÍFICOS ........................................................... 18

TEMA 5. ANALIZAR OBRAS LITERARIAS DEL RENACIMIENTO PARA CONOCER LAS CARACTERÍSTICAS DE LA ÉPOCA .................................................................................................................................................. 27

SECCIÓN DE RESPUESTAS ........................................................................................................................... 32

SECCIÓN DE HABILIDADES MATEMÁTICAS

TEMA 1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS ......................................................................................................... 33

TEMA 2. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ........................................................................................................ 39

TEMA 3. SEMEJANZA EN POLÍGONOS ......................................................................................................... 45

TEMA 4. APLICACIONES DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ............................................................................ 50

TEMA 5. CORTES EN ESFERAS Y CONOS ...................................................................................................... 54

RESPUESTAS DE LAS ACTIVIDADES ............................................................................................................. 60

RESPUESTAS DE LAS EVALUACIONES .......................................................................................................... 61

SECCIÓN DE

HABILIDADES

COMUNICATIVAS

HOJA DE RESPUESTAS HABILIDADES COMUNICATIVAS

Nombre

Grado

Grupo

Instrucciones. Contesta las preguntas de la evaluación de cada tema presentado, rellenando con lápiz el círculo que corresponde a la respuesta correcta.

TEMA 1

TEMA 4

No. A B C D No. A B C D

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

TEMA 2

TEMA 5

No. A B C D No. A B C D

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

TEMA 3

No. A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2013

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TEMA 1. ESTUDIAR LAS MANIFESTACIONES POÉTICAS EN UN MOVIMIENTO LITERARIO

Bloque I Aprendizajes esperados

Identifica las características del movimiento literario del Modernismo.

Identifica la función y las características de algunas de las principales figuras retóricas utilizadas en la poesía.

Ámbito Literatura.

Práctica social del lenguaje Estudiar las manifestaciones poéticas en un movimiento literario.

Introducción Imagina que la profesora de español les dejó realizar una investigación sobre el movimiento poético del Modernismo. Para ello, les pidió que investigaran y transcribieran un poema o fragmento de un poema de alguno de los poetas mexicanos que pertenecieron a este movimiento: Amado Nervo, Manuel Gutiérrez Nájera, Salvador Díaz Mirón, Luis Gonzaga Urbina, Enrique González Martínez o José Juan Tablada. Título del poema: _____________________________ Autor: _____________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________

_______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ __________________________________________

Un poeta es una persona que con las palabras expresa emociones, sentimientos y sensaciones a través de textos conocidos como poemas. Temas tan contrastantes como la vida y la muerte, el amor y el desamor, la felicidad y la tristeza, la esperanza y la desesperanza, son normalmente retomados por los poetas, ya que son los sentimientos más básicos del ser humano.


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Desarrollo Uno de los equipos presentó la siguiente información sobre la investigación que realizó del movimiento poético del modernismo. Literatura contemporánea En el último tercio del siglo XIX ocurre un movimiento literario nacido en América destinado a revolucionar la literatura en lengua española en general y en particular la poesía. Ésta es la primera contribución original de Hispanoamérica a la literatura universal. Se sitúa su inicio con la aparición del libro Azul, de Rubén Darío, en 1888. El nombre de Modernismo, aunque impropio, pretende advertir su intención renovadora. Acepta lo mismo elementos antiguos que modernos y se alimenta de todas las tendencias literarias que predominaron en Francia en el siglo XIX. Al principio fue una reacción contra los excesos del romanticismo, pero su actitud no sólo fue negativa, sino ecléctica, de modo que en el modernismo se conjugan parnasianismo, simbolismo, realismo, naturalismo, impresionismo y romanticismo, con una base considerable de clasicismo español. Estos caracteres tan peculiares y esa libertad cuyo único límite es la vulgaridad de la expresión o las formas caducas y retóricas, lo alejan del concepto rígido de escuela y resulta más lógico considerar al modernismo como corriente o movimiento literario. Ya que el modernista aspira a la renovación de la literatura y particularmente de la poesía, su característica principal es el refinamiento verbal, como reacción contra el descuido de los románticos por la forma. El modernista lucha contra las imágenes gastadas, el sentimentalismo exagerado, la vulgaridad. Busca originalidad en imágenes, metáforas y uso del adjetivo. Inventa nuevas armonías variando los acentos de los versos; prefiere las rimas no usuales y ambiciona que su poesía sea prolongación de la música. El deseo de perfección formal, que proviene en buena parte del parnasianismo francés, se advierte tanto en el cuidado por pulir un verso que tenga validez por su limpidez y pureza de línea, como por los temas de inspiración plásticas y aprovechamiento de los recursos del arte pictórico y de las artes plásticas. El modernismo interpreta el mundo a través de sensaciones y descubre, en consecuencia, las correspondencias sensoriales que enriquecen la expresión; la sinestesia fue, por tanto, recurso favorito de los modernistas.

El Modernismo es un término utilizado para nombrar a un movimiento literario que se desarrolló a finales del siglo XIX y principios del siglo XX (1880 a 1910). Este movimiento nació en contraposición con el romanticismo y se caracterizó por la rebeldía creativa, el rechazo de la realidad cotidiana, el gusto por la belleza, el erotismo y lo exótico. El Modernismo fue un movimiento que se desarrolló fundamentalmente en Hispanoamérica y su principal representante fue el nicaragüense Rubén Darío.

Glosario Real Academia Española

Eclecticismo. m. Escuela filosófica que procura conciliar las doctrinas que parecen mejores o más verosímiles, aunque procedan de diversos sistemas. Sinestesia. f. Ret. Tropo que consiste en unir dos imágenes o sensaciones procedentes de diferentes dominios sensoriales. Soledad sonora. Verde chillón. Cosmopolita adj. Dicho de una persona: Que considera

todos los lugares del mundo como patria

suya.


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Cualidad esencial del modernismo es el cosmopolitismo, ya sea que se acerquen directamente a otros países o que el intercambio de ideales e inquietudes se haga a través de publicaciones. Lo oriental tuvo entusiastas propagandistas, tanto en Francia como en América; lo mismo ocurre con los motivos nórdicos o grecolatinos. El exotismo, en general, tanto en el espacio como en tiempo, tuvo entre los modernistas muchos partidarios.

Recuperado el día 9 de abril de 2012 de http://www.ccmc.org.mx/modules/tinycontent/index.php?id=394#inicio

Azul fue un libro escrito en 1888 por el nicaragüense Rubén Darío. El libro está compuesto por cuentos y poemas que retoman temas relacionados con la condición que vivía el artista en una sociedad burguesa.

Responde a las preguntas sobre el texto Literatura contemporánea. 1. Según el texto, ¿con qué hecho se dio inicio al Modernismo? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ 2. Menciona tres características del movimiento modernista. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ 3. ¿Por qué consideras que a este movimiento se le llamó Modernismo? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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La profesora de español les comentó que los poemas contienen figuras retóricas, que son recursos del lenguaje literario utilizados por los poetas para embellecer las palabras y darles una mayor expresividad. También les explicó que dentro de las principales figuras retóricas utilizadas por los poetas se encuentran las siguientes:

Figura Retórica

Definición Ejemplos

Antítesis Consiste en asociar dos ideas o pensamientos por contraste.

"Me esfuerzo por olvidarte y sin querer te recuerdo"

“Los niños van por el sol y las niñas por la luna”

Metáfora

Consiste en expresar una palabra o frase con un significado distinto al acostumbrado. Identifica algo real con algo imaginario. Se distingue de la comparación en que no usa el nexo "como".

“Las perlas de tu boca”

“Tus cabellos de oro”

Hipérbole Consiste en exagerar un aspecto de la realidad, amplificándola o disminuyéndola.

“¡Eres más lento que una tortuga!”

“Si no vuelves a mi lado, moriré de dolor”

Paradoja Consiste en unir dos ideas que parecen imposibles de concordar.

“Al avaro, las riquezas lo hacen más pobre”

“Sus cálidas palabras helaron mis oídos”

Comparación

Consiste en establecer una relación entre dos elementos de cualidades semejantes. Utiliza los conectores: “como”, “cual”, “que”, o “se asemeja a”.

“El ladrón andaba por los tejados cual gato en la noche”

“Más negro que la noche”

Reiteración Consiste en repetir una palabra, o conjunto de palabras, al comienzo de una frase o verso.

"Bate, bate, chocolate, con harina y con tomate"

“Triste, triste, triste, es mi vida errante”

Prosopopeya Consiste en atribuir cualidades humanas a seres inanimados.

"Las estrellas nos miraban, mientras la ciudad sonreía"

“La ciudad esperó dormida la llegada del rey”


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Relaciona las figuras retóricas con los ejemplos correspondientes.

A) Antítesis B) Metáfora C) Hipérbole D) Paradoja E) Comparación F) Reiteración G) Prosopopeya

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

“Es tan corto el amor y tan largo el olvido” “El buen lector, devora libros” “Claro como el agua” "El auto se quejaba, adolorido por los años" "Tus labios, pétalos perfumados" “Los últimos serán los primeros” “Blanca, blanca, blanca como la nieve”

Cierre En esta sesión pudiste recordar las principales características del movimiento poético del Modernismo, así como la función y características de algunas de las figuras retóricas más usadas en la poesía. Puedes encontrar más información sobre estos temas en los sitios que te proporcionamos a continuación.

http://www.ciudadseva.com/textos/estudios/marti/marti02.htm http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/publicaciones/publi_quepaso/rubendario.htm http://www.telefonica.net/web2/laplazainvisible/Figuras%20retoricas%20basicas.pdf


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Evaluación Indicaciones. Elige la opción que corresponde a la respuesta correcta. Utiliza la hoja de respuestas para contestar la evaluación. 1. ¿Cuál de las siguientes opciones expresa cómo influyó el contexto histórico en las obras de los poetas

modernistas?

A) En sus poemas, los autores modernistas reflejan el ánimo de pertenecer a la sociedad y de estar comprometidos con la clase burguesa.

B) En sus poemas, los autores modernistas reflejan la importancia del nacionalismo y la conservación de las costumbres de la época.

C) En sus poemas, los autores modernistas reflejan el deseo de búsqueda de la originalidad a través de la creación de formas nuevas y liberadas.

D) En sus poemas, los autores modernistas reflejan el deseo de huir del mundo real y cotidiano y buscar un mundo más bello y expresivo.

2. Lee el siguiente fragmento del poema El fantasma y yo del poeta mexicano Amado Nervo.

Mi alma es una princesa en su torre metida, con cinco ventanitas para mirar la vida. Es una triste diosa que el cuerpo aprisionó, y tu alma, que desde antes de morirte volaba, es un ala magnífica, libre de toda traba... Tú no eres el fantasma: ¡el fantasma soy yo!

¿Cuál de las siguientes característica del movimiento poético del Modernismo refleja el fragmento del poema?

A) El Modernismo busca un acercamiento con las artes. B) El Modernismo refleja un gusto por la belleza y el erotismo. C) El Modernismo refleja cierta idealización del amor y la mujer. D) El Modernismo refleja el rechazo de la realidad y lo cotidiano.

3. Lee el siguiente fragmento del poema Lance de Salvador Díaz Mirón.

Hasta el pecho la barba se le desliza, como espuma de arroyo por cana y riza. La diestra dura y fuerte, como una marra, enseña entre uñas corvas, como de garra, pipa roja con aire de cruenta triza. -La mano es tan aleve como maciza.


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¿A qué figura retórica hace referencia la frase subrayada en el poema? A) Metáfora. B) Paradoja. C) Comparación. D) Reiteración.

4. Lee el siguiente fragmento del poema A la que va conmigo de Enrique González Martínez.

Iremos por la vida como dos pajarillos que van en pos de rubias espigas, y hablaremos de sutiles encantos y de goces supremos con ingenuas palabras y diálogos sencillos. ¿Cuál es el esquema de la rima del fragmento anterior? A) ABAB B) ABBA C) AABB D) ABBB


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TEMA 2. ELABORAR Y PROLOGAR ANTOLOGÍAS DE TEXTOS LITERARIOS

Bloque II Aprendizajes esperados

Identifica la función y características de las antologías.

Identifica la función y características de los prólogos.

Ámbito Literatura.

Práctica social del lenguaje Elaborar y prologar antologías de textos literarios.

Introducción Como parte de las actividades de la clase de español, la profesora les dejó hacer una antología de textos literarios y pidió que cada equipo eligiera el tema a su gusto. Tomando en cuenta lo anterior, define tres temas sobre los que podrían realizar su antología.

Una antología consiste en una recopilación de lo más selecto o notable sobre una producción o materia específica (cuentos, poemas, canciones, entre otros).


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Desarrollo Imagina que tu equipo decidió elaborar una antología de poemas. A partir de ello, responde las siguientes preguntas. 1. ¿Cuál sería el propósito para elaborar su antología? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. ¿Qué criterios utilizarían para seleccionar las obras de la antología? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ El prólogo de una antología Consiste en un texto breve que se encuentra al inicio de la antología. En este se explican las razones por las que se decidió elaborarla, el propósito de la misma, los criterios de selección de las obras seleccionadas, así como las características comunes entre ellas, y algunos datos de los autores de las obras. También, a través del prólogo, se pueden exponer aspectos importantes que el autor quiera destacar, así como hacer una invitación al lector para disfrutar de las obras seleccionadas.

Una antología consta de las siguientes partes:

Portada. Incluyen los datos de identificación de la misma: título, temática, nombre del antologador y fecha.

Prólogo. Presenta las razones por las que se elaboró la antología, la justificación de la selección de las obras que la integran, así como las características comunes entre ellas.

Índice. Describe el orden de las obras o textos contenidos en la antología.

Contenido. Presenta las obras o textos seleccionados (cuentos, poemas, canciones, leyendas, etc.). Puede dividirse en unidades o capítulos.

Fuentes de consulta. Presenta los datos bibliográficos de las obras o textos contenidos en la antología.


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Elementos que integran el prólogo de una antología

Título

Presentación

Propósito de la antología

Criterios de selección de las obras

Características de las obras seleccionadas

Invitación a la lectura de las obras seleccionadas

Cierre La profesora de español les mostró un ejemplo de un prólogo para que pudieran identificar los elementos que lo integran. Antología de los mejores relatos infantiles Prólogo La presente antología es un intento por reunir los relatos de algunos de los autores de la literatura infantil colombiana. Sin embargo, al hacer un recorrido por las diferentes épocas encontramos una dificultad: el hecho de escribir específicamente para los niños con una intención estética es un acto propio del siglo XX. Es más, sólo en los años 30 empezamos a encontrar escritores que se plantean las letras para la niñez como algo independiente de la pedagogía, de las intenciones didácticas, moralistas o afectivas. Esto no quiere decir que la presente selección sólo se haya limitado a la producción contemporánea, debido a que, de todas maneras, los niños colombianos, como todos los niños del mundo, han nutrido su espíritu y su imaginación con diversas creaciones culturales. Por un lado, está la rica cantera popular, fuente inagotable de mitos, leyendas, cuentos, anécdotas, juegos, trabalenguas, retahílas, en fin, todas aquellas manifestaciones de la tradición oral que han sido recreadas en los espacios propios del ámbito familiar cotidiano. Por otro lado, está aquella producción escrita que muchos adultos han concebido, ya como homenaje a los niños, ya con intenciones formativas, ya por móviles afectivos, pero que por su calidad estética y literaria y por su temática, ha alcanzado sentido y significación para los lectores infantiles. Este inmenso corpus es lo que los teóricos de la literatura para niños han denominado literatura ganada: es decir, aquella que aunque no fue escrita deliberadamente para los niños, ellos se la apropiaron por la vía de la institución escolar o por las lecturas hechas en el hogar. Aunque este libro no pretende ser un inventario historiográfico, sí ha procurado recuperar –en una búsqueda bibliográfica cuidadosa, aunque todavía inacabada– una producción específica a través del tiempo, con varios propósitos: uno, devolver a los pequeños lectores la literatura que les pertenece y que, a pesar del paso implacable de los años y las épocas, podría procurarles placer estético. Otro, enriquecer su imaginario con personajes, sentimientos, situaciones y paisajes, pertenecientes a las manifestaciones más propias de nuestra cultura. Y por último, un propósito para el lector adulto: acercarlo a esa transformación de la noción de la infancia que las diferentes generaciones de intelectuales, escritores y poetas han reelaborado durante los diferentes momentos históricos.

Recuperado el día 2 de marzo de 2013, de http://www.banrepcultural.org/blaavirtual/ninos/relatoi/rela1.htm


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Lee el prólogo de la Antología de los mejores relatos infantiles y responde las siguientes preguntas. 1. ¿Cuál es el propósito de la antología? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ 2. ¿Qué tipo de textos integran la antología? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ 3. ¿Qué criterios utilizó el antologador para seleccionar las obras? ___________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Cierre En esta sesión pudiste recordar la función y las principales características de una antología y de un prólogo. Puedes encontrar más información sobre estos temas en el sitio que te proporcionamos a continuación.

http://www.ver.ucc.mx/inve/inve/documentos/files/2_monografia.pdf


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Evaluación Indicaciones. Elige la opción que corresponde a la respuesta correcta. Utiliza la hoja de respuestas para contestar la evaluación. Lee el siguiente prólogo de la Antología de Gabriela Mistral, del Centro Virtual Cervantes, y responde las preguntas. La selección que presentamos a continuación sobre la obra de Gabriela Mistral pretende dar cuenta del rico y complejo universo de esta poeta chilena. Con este propósito hemos seleccionado de entre sus cinco libros —Desolación, Ternura, Tala, Lagar y Poema de Chile— poemas que muestran las principales líneas temáticas de su obra: el ejercicio docente, el amor hacia los niños, la maternidad frustrada, el dolor ante la muerte de sus seres más queridos, y por supuesto los paisajes chilenos y su valle de Elqui, que la vio nacer y al que quiso volver al morir. Es nuestro deseo que esta pequeña antología se convierta en una invitación a introducirse en el intenso universo poético mistraliano.

Recuperado el día 2 de marzo de 2013, de http://cvc.cervantes.es/literatura/escritores/mistral/antologia/default.htm

1. ¿Cuál es el propósito de la Antología de Gabriela Mistral?

A) Invitar al lector a conocer las obras más importantes de Gabriela Mistral. B) Presentar obras de cinco libros de Gabriela Mistral. C) Dar cuenta de la riqueza y variedad temática que Gabriela Mistral maneja en sus obras. D) Presentar las obras más importantes de Gabriela Mistral.

2. ¿Cuál de las siguientes opciones no corresponde a un criterio de selección de los poemas que integran la

Antología de Gabriela Mistral?

A) Poemas relacionados con las principales líneas temáticas de la autora. B) Poemas que más han contribuido al reconocimiento de la autora. C) Poemas presentes en los libros Desolación, Ternura, Tala, Lagar y Poema de Chile. D) Poemas que dan cuenta de la riqueza y variedad temática de la obra de la autora.

3. La profesora de español pidió a un alumno que mencionara los elementos que integran el prólogo de una

antología. Él contestó lo siguiente: -En el prólogo se debe incluir el propósito de la antología, los criterios de selección de las obras y una invitación a su lectura. ¿Qué elemento relevante en la elaboración de prólogos le hizo falta incluir?

A) La opinión acerca de las obras seleccionadas. B) El análisis de cada una de las obras seleccionadas. C) La síntesis de cada una de las obras seleccionadas. D) Las características de las obras seleccionadas.


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TEMA 3. ANALIZAR DIVERSOS FORMULARIOS PARA SU LLENADO

Bloque II Aprendizajes esperados

Identifica la función de los formularios para realizar trámites.

Identifica requisitos de información y documentación para el llenado de formularios.

Identifica la función de los recursos gráficos para dar formato a los formularios.

Ámbito Participación social.

Práctica social del lenguaje Analizar diversos formularios para su llenado.

Introducción Elabora una lista de cinco trámites o servicios que requieren el llenado de formularios y menciona los documentos que es necesario entregar para cumplir con el proceso.

No. Trámite o servicio Documentos requeridos

1

2

3

4

5

Durante toda tu vida será necesario que realices diversos trámites, los cuales en su mayoría requieren la presentación solicitudes, el llenado de formularios y/o la entrega de documentos que acrediten la veracidad de los datos que proporcionas.


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Desarrollo

Recursos gráficos de los formularios Los recursos gráficos son elementos que permiten dar formato a los formularios para que la información se pueda organizar y visualizar más fácilmente. Algunos de los recursos gráficos utilizados en los formularios son títulos, recuadros, líneas para escritura, tipografía, uso de subrayado, negrita o cursiva, entre otros.

La profesora de español les pidió que imaginaran que habían extraviado su certificado de primaria y que investigaran los requisitos para solicitar un duplicado. En clase, uno de tus compañeros comentó que navegando en Internet localizó los requisitos para pedir un duplicado del certificado de primaria, así como el formato de solicitud correspondiente. Requisitos

Formato de solicitud original (Llenar de manera completa, clara y veraz).

Fotografías en original (Una fotografía tamaño infantil reciente en blanco y negro o color, fondo gris o blanco, vestimenta clara y formal, rostro y oídos descubiertos sin accesorios, en papel fotografico digital semi-mate siendo opcional fotografía autoadherible).

Pago de derechos. Original (estatales conforme al ejercicio fiscal correspondiente, en original de acuerdo a clave 85 39)

1 copia de Acta de nacimiento.

1 copia de CURP (sólo en caso de contar con ella).

1 copia de Certificado (en caso de contar con él).

1 copia de Identificación oficial (con fotografía para mayor de edad).

Los formularios son formatos destinados a la realización de un trámite o a la demanda de un servicio.


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Observa los requisitos para solicitar un duplicado de un certificado de primaria y contesta las preguntas. 1. ¿Ante qué dependencia debes realizar el trámite? _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ 2. ¿Qué documentos se solicitan para acreditar tu identidad? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________

Cierre En esta sesión pudiste recordar qué es un formulario y observaste un ejemplo de los requisitos de información y documentación necesarios para tramitar un duplicado de certificado de primaria. En el apartado de Trámites y servicios del portal de Gobierno del estado de Guanajuato puedes consultar más información para llevar a cabo diversos trámites.

http://www.guanajuato.gob.mx/


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Evaluación Indicaciones. Elige la opción que corresponde a la respuesta correcta. Utiliza la hoja de respuestas para contestar la evaluación. 1. Observa el formato para solicitar un duplicado de certificado de primaria. ¿Qué dato se pide para acreditar

la identidad del solicitante? A) Folio B) CURP C) Domicilio D) Teléfono

2. ¿Cuál de los siguientes datos debe ser llenado por el solicitante? A) Fecha de recepción. B) Fecha de entrega. C) Nombre de quien recibe el trámite. D) Nombre y firma del solicitante.

3. ¿Qué documento se debe presentar para recibir el duplicado del certificado de primaria una vez que ya se

realizó el trámite? A) CURP. B) Identificación oficial. C) Acta de nacimiento. D) Fotografía.

4. Observa el formato para solicitar un duplicado de certificado de primaria. ¿Qué recurso gráfico se utiliza

para resaltar información importante para el solicitante? A) Títulos. B) Recuadros. C) Letras en negrita. D) Subrayado.


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TEMA 4. ELABORAR INFORMES SOBRE EXPERIMENTOS CIENTÍFICOS

Bloque III Aprendizajes esperados

Identifica las partes que conforman un informe sobre experimentos científicos.

Reconoce las diferentes voces enunciativas que se pueden utilizar en la redacción de informes sobre experimentos científicos.

Reconoce el uso de la voz pasiva para la redacción de informes sobre experimentos científicos.

Diferencia entre oraciones simples y oraciones compuestas.

Reconoce el uso de oraciones compuestas para expresar causas, efectos y consecuencias.

Ámbito Estudio.

Práctica social del lenguaje Elaborar informes sobre experimentos científicos.

Introducción A modo de lluvia de ideas, escribe en el diagrama el mayor número de palabras relacionadas con las partes que debe contener un informe de experimentos.

Informe de experimentos

Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de descubrir, comprobar o demostrar determinados fenómenos o principios científicos. En las clases de Ciencias será necesario que realices diversos informes sobre los experimentos que realizas, por lo que debes conocer la forma correcta de registrar la información sobre tus observaciones.


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Desarrollo La profesora de español les pidió que llevaran un informe de experimentos realizado en su clase de Ciencias para revisarlo y hacer las correcciones necesarias. Uno de los equipos presentó el siguiente informe de experimentos.

Un informe de experimentos es un texto que describe detalladamente los pasos para realizar un experimento. Las partes que debe contener un informe de experimentos son las siguientes: 1. Datos generales

Nombre de la escuela.

Grado y grupo.

Nombre del experimento.

Nombre del alumno o de los integrantes del equipo.

Fecha. 2. Descripción del experimento

Introducción.

Objetivo(s).

Procedimiento. Materiales. Desarrollo.

Resultados.

Conclusiones. 3. Bibliografía.

Descripción del experimento “Buenos y malos conductores de electricidad”.

Introducción Todo material que existe en la naturaleza conduce la electricidad; sin embargo, las características de los materiales pueden determinar si éstos son buenos o malos conductores de electricidad. De acuerdo con su conductividad, los materiales se pueden clasificar en tres categorías: 1. Conductores. Son materiales a través de los cuales la corriente eléctrica fluye con relativa facilidad. Metales como la plata, el cobre, el oro y el aluminio se cuentan entre los mejores conductores. 2. Aislantes. Son materiales que ofrecen una mayor oposición al paso de la corriente eléctrica, tales como el vidrio, el plástico, la goma y la porcelana.


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3. Semiconductores. Son materiales que se consideran pobres conductores de electricidad, como el silicio. Objetivo Procedimiento Materiales

Un foco.

Una pila de 1.5 (tamaño AA).

Cables de cobre.

Cinta de aislar.

Materiales de prueba: moneda, vidrio, lápiz, plástico, agua simple. Desarrollo a) Al inicio, montamos un circuito con el foco, la pila y los cables de cobre. b) Después, cada uno de los materiales fueron probados para comprobar si eran buenos o malos

conductores de electricidad.

c) El primer material probado fue la moneda. Ésta sí condujo la electricidad, porque es un metal. d) El segundo material probado fue el vidrio y no condujo la electricidad. El profesor nos explicó que el

vidrio no conduce la electricidad debido a que es un material aislante. e) El tercer material probado fue el lápiz, el cual condujo la electricidad levemente. El profesor nos explicó

que el grafito es el material del que está hecho el lápiz, el cual tiene una conductividad eléctrica baja, pero puede aumentar con la temperatura.

f) El cuarto material probado fue el plástico. El plástico, que es un aislante, tampoco condujo la electricidad.

g) El último material probado fue el agua simple, la cual no condujo la electricidad. El profesor nos comentó que si se agrega suficiente sal al agua, entonces ésta puede conducir la electricidad, ya que con la sal cambia su composición. Realizamos este paso y se comprobó que la solución salina sí condujo la electricidad.

Resultados Una vez que todos los materiales fueron probados, registramos los datos en una tabla para clasificar los materiales empleados como buenos o malos conductores de electricidad.


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Material Características Buen conductor Mal conductor

Moneda Metal X

Vidrio Aislante X

Lápiz (Grafito) Mineral (carbón) X

Plástico Aislante X

Agua simple Líquido X

Solución salina Agua con sal X

Conclusiones Con este sencillo experimento pudimos clasificar los materiales como buenos y malos conductores de electricidad. El vidrio y el plástico no condujeron la electricidad por ser materiales aislantes. Debido a sus características, estos materiales pueden ser utilizados para fabricar ropa o accesorios para prevenir accidentes al tener contacto con la corriente eléctrica. La moneda es un metal, por lo que sí condujo la electricidad. El grafito y la sal son materiales que proceden de minerales, por lo que son buenos conductores de electricidad. Bibliografía Buenos y malos conductores http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/3_tercero/3_Quimica/INTERACTIVOS/3cq_b02_t01_s04_interactivo/index.html Materiales conductores http://ayudaelectronica.com/materiales-conductores/ Electricidad. http://electrico.scienceontheweb.net/conductores.html

Al observar el informe, la profesora les explicó que los informes de experimentos pueden ser redactados con diferentes voces enunciativas, como son:

Primera persona del singular. Se utiliza cuando la persona redacta de manera individual su informe. Ejemplos: observé, realicé, concluyo.

Primera persona del plural. Se utiliza cuando se realiza un informe de manera colectiva, es decir, cuando varias personas intervienen en su elaboración. Ejemplos: observamos, realizamos, concluimos.

Forma impersonal. Esta forma no tiene un sujeto definido. Se acompaña del elemento “se”. Ejemplos: se observó, se realizó, se concluye.


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Completa la siguiente tabla de verbos en las tres voces enunciativas, utilizando el tiempo pretérito. Fíjate en el ejemplo.

Verbo Primera persona del singular

Primera persona del plural

Forma impersonal

Comprobar Comprobé Comprobamos Se comprobó

Realizar

Utilizar

Agregar

Convierte las siguientes oraciones de voz activa a voz pasiva.

Voz activa Voz pasiva

La sal cambia la composición del agua.

Los alumnos realizaron el informe del experimento.

Los alumnos registraron los resultados en una tabla.

La profesora también les comentó que en la redacción de los informes de experimentos se puede utilizar la voz pasiva, la cual se basa en la siguiente construcción:

Verbo ser + Participio del verbo

En el caso de la voz pasiva, el objeto directo de una oración en voz activa se convierte en el sujeto de la oración construida en voz pasiva. Por ejemplo: Voz activa: La moneda condujo la electricidad. Objeto directo: ¿Qué fue conducido? La electricidad.

Voz pasiva: La electricidad fue conducida por la moneda. Sujeto Verbo ser + Participio


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Una oración simple es aquella que tiene un solo sujeto y un solo verbo. Una oración compuesta es aquella que tiene uno o más sujetos y dos o más verbos, es decir, se compone de dos o más oraciones simples. Por ejemplo: Oración simple: El vidrio no conduce la electricidad. Oración simple: Este material es un aislante. Oración compuesta: El vidrio no conduce la electricidad porque este material es un aislante. Las oraciones compuestas se clasifican de la siguiente manera:

Tipo de oración Descripción Nexos utilizados Ejemplo

Oración compuesta coordinada

Está compuesta por dos o más oraciones simples que están relacionadas, pero no depende la una de la otra, de manera que si son separadas no se pierde el sentido.

Los nexos que unen a las oraciones pueden ser explícitos o no.

La moneda conduce la electricidad porque este material es un metal. Oración 1: La moneda conduce la electricidad. Oración 2: Este material es un metal.

Oración compuesta subordinada

Está compuesta por dos o más oraciones simples, en la que una de ellas se subordina a la otra, de manera que si se elimina la oración principal la subordinada pierde el sentido.

Los nexos que comúnmente utilizan las oraciones subordinadas son: que, el cual, la cual, quien, cuyo, cuya...

La moneda, que es un metal, conduce la electricidad. Oración principal: La moneda conduce la electricidad. Oración subordinada: Es un metal

Finalmente, la profesora les explicó que para realizar las explicaciones del procedimiento desarrollado durante un experimento es necesario utilizar oraciones compuestas, ya que éstas permiten expresar causas, efectos y consecuencias.

Sujeto Verbo

Sujeto Verbo


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Las oraciones compuestas también se pueden clasificar en causales, consecutivas, condicionales, adversativas y distributivas, dependiendo del tipo de nexo o conector que utilicen.

Tipo de oración Descripción Nexos utilizados Ejemplo

Causal Utiliza un conector que indica causa.

Porque, debido a, ya que, puesto que, a causa de…

La moneda conduce la electricidad debido a que es un metal.

Consecutiva Utiliza un conector que indica consecuencia.

Por consiguiente, por lo tanto, así que, como consecuencia, luego…

Al agua simple se le agregó sal, por consiguiente cambió su composición y pudo conducir la electricidad.

Condicional Utiliza un conector que indica condición.

Si, cuando… Si el grafito se calienta, conduce mejor la electricidad.

Adversativa Utiliza un conector que indica oposición.

No obstante, sin embargo, aunque, sino, pero, mas…

Todo material que existe en la naturaleza conduce la electricidad, pero no todos lo hacen en la misma proporción.

Distributiva Utiliza un conector que indica distribución.

Unas veces… otras veces; unos… otros; bien… bien; sea… sea.

Unos materiales conducen bien la electricidad, otros no.

Escribe un ejemplo de cada tipo de oración compuesta de acuerdo al tipo de nexo o conector que utilizan. Causal ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Consecutiva ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Condicional ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Adversativa ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Distributiva ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________


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Cierre En esta sesión pudiste recordar los elementos para realizar un informe de experimentos, los tipos de voces enunciativas utilizadas para su redacción, el uso de la voz pasiva y la forma en que se clasifican las oraciones compuestas. Puedes encontrar más información sobre estos temas en los sitios que te proporcionamos a continuación.

http://www.profesorenlinea.cl/fisica/AislantesyConducElectricos.htm http://eljuego.free.fr/Fichas_gramatica/FG_pasiva.htm#inicio http://www.aplicaciones.info/lengua/morfo23.htm http://cprcalat.educa.aragon.es/VERBOS/voz.htm http://www.latinamericalinks.com/syntax.htm http://centros5.pntic.mec.es/cpr.de.ciudad.real/lengua/Oracom.html

Evaluación Indicaciones. Elige la opción que corresponde a la respuesta correcta. Utiliza la hoja de respuestas para contestar la evaluación. 1. El reporte de experimento presentado por tus compañeros no especificaba el objetivo. ¿Cuál de las

siguientes opciones corresponde al objetivo del informe?

A) Identificar los materiales que son buenos y malos conductores de electricidad. B) Elaborar un circuito eléctrico para probar diversos materiales. C) Identificar las características de los materiales que son buenos conductores de electricidad. D) Identificar los materiales que son malos conductores de electricidad.

2. ¿Cuál de las siguientes oraciones corresponde a la forma impersonal del verbo?

A) Montamos un circuito con el foco, la pila y los cables de cobre. B) Se comprobó que la solución salina sí condujo la electricidad. C) Registramos los datos en una tabla para clasificar los materiales empleados. D) Comprobé que el plástico es un material aislante.


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3. ¿Cuál de las siguientes oraciones se encuentra en voz pasiva? A) Los alumnos probaron los materiales para comprobar si eran buenos o malos conductores de

electricidad. B) El experimento consistió en probar los materiales para comprobar si eran buenos o malos conductores

de electricidad. C) El experimento se realizó para comprobar si los materiales eran buenos o malos conductores de

electricidad. D) Los materiales fueron probados por los alumnos para comprobar si eran buenos o malos conductores

de electricidad. 4. Después de realizar el experimento, el equipo concluyó que:

“El vidrio y el plástico no conducen la electricidad porque estos materiales son aislantes”. ¿De qué tipo de oración se trata? A) Oración simple. B) Oración coordinada. C) Oración subordinada. D) Oración principal.

5. El profesor les explicó que: “Al agua simple se le agregó sal, por consiguiente cambió su composición y pudo conducir la electricidad. ¿De qué tipo de oración se trata? A) Oración coordinada causal. B) Oración coordinada condicional. C) Oración subordinada consecutiva. D) Oración subordinada adversativa.


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TEMA 5. ANALIZAR OBRAS LITERARIAS DEL RENACIMIENTO PARA CONOCER LAS CARACTERÍSTICAS DE LA ÉPOCA

Bloque III Aprendizajes esperados

Identifica las características de la literatura del Renacimiento.

Infiere algunas características del Renacimiento a partir de la lectura de una obra literaria de la época.

Identifica algunos ejemplos de variantes lingüísticas del español en las distintas épocas.

Ámbito Literatura.

Práctica social del lenguaje Analizar obras literarias del Renacimiento para conocer las características de la época.

Introducción Responde a las siguientes preguntas relacionadas con el Renacimiento. Para contestarlas, tendrás que realizar una breve investigación sobre el tema. 1. ¿En qué país europeo se considera que inició el Renacimiento? _____________________________________________________________________________________ 2. ¿Qué invento favoreció el desarrollo de la cultura escrita durante la época renacentista? _____________________________________________________________________________________ 3. ¿Qué movimiento intelectual se privilegió durante el Renacimiento? _____________________________________________________________________________________

4. ¿Cuáles fueron algunos de los autores literarios que destacaron durante el Renacimiento en España? _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________

Se conoce como Renacimiento a la época que dio fin a la Edad Media y que marcó un movimiento cultural en Europa durante el siglo XVI. Esta época se caracterizó por la renovación del conocimiento, el arte y la ciencia.


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Desarrollo La profesora de español les presentó un fragmento de la obra El Lazarillo de Tormes, para que lo leyeran y conocieran las características generales de la obra: los personajes, el ambiente en el que se desarrolla la narración y las circunstancias históricas que permiten entender la obra.

El Lazarillo de Tormes fue la primera novela picaresca de la literatura española, la cual fue publicada en 1554 (siglo XVI). En la obra, Lázaro o Lazarillo de Tormes (llamado así porque nació en el río Tormes que pasa por Salamanca) cuenta las aventuras y desventuras de su desgraciada vida. La obra, escrita con un lenguaje irónico y sarcástico, está llena de anécdotas divertidas que consiguen crear una cómica historia en la que, al mismo tiempo, se satiriza y ridiculiza la sociedad española del siglo XVI y, especialmente, al clero. Su autor es anónimo, posiblemente porque nadie se habría atrevido a firmar una obra tan polémica que criticaba ferozmente la sociedad de la época. La novela estuvo censurada hasta el siglo XIX. Adaptación de “La vida de Lazarillo de Tormes y de sus fortunas y adversidades”. Recuperado el día 11 de abril de 2012, de http://www.elhuevodechocolate.com/cuentos/lazaro.htm

Tratado Primero Cuenta Lázaro su vida, y cuyo hijo fue Pues sepa V.M. ante todas cosas que a mí llaman Lázaro de Tormes, hijo de Tomé González y de Antona Pérez, naturales de Tejares, aldea de Salamanca. Mi nacimiento fue dentro del río Tormes, por la cual causa tomé el sobrenombre, y fue desta manera. Mi padre, que Dios perdone, tenía cargo de proveer una molienda de una aceña, que está ribera de aquel río, en la cual fue molinero más de quince años; y estando mi madre una noche en la aceña, preñada de mí, tomóle el parto y parióme allí: de manera que con verdad puedo decir nacido en el río. Pues siendo yo niño de ocho años, achacaron a mi padre ciertas sangrías mal hechas en los costales de los que allí a moler venían, por lo que fue preso, y confesó y no negó y padeció persecución por justicia. Espero en Dios que está en la Gloria, pues el Evangelio los llama bienaventurados.

La literatura del Renacimiento se caracterizó por los siguientes elementos: 1. Liberación de la carga moralizante de la Edad Media y tratamiento de lo religioso con un carácter

más espiritual. 2. Propagación de los valores universales a través de la enseñanza (prosa didáctica). 3. Divulgación de la novela como forma literaria, desarrollando un modelo de estructura más

compleja. 4. Recreación irónica, sarcástica y burlesca de la herencia literaria de la Edad Media (novelas de

caballería).


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En este tiempo se hizo cierta armada contra moros, entre los cuales fue mi padre, que a la sazón estaba desterrado por el desastre ya dicho, con cargo de acemilero de un caballero que allá fue, y con su señor, como leal criado, feneció su vida. Mi viuda madre, como sin marido y sin abrigo se viese, determinó arrimarse a los buenos por ser uno dellos, y vínose a vivir a la ciudad, y alquiló una casilla, y metióse a guisar de comer a ciertos estudiantes, y lavaba la ropa a ciertos mozos de caballos del Comendador de la Magdalena, de manera que fue frecuentando las caballerizas. Ella y un hombre moreno de aquellos que las bestias curaban, vinieron en conocimiento. Éste algunas veces se venía a nuestra casa, y se iba a la mañana; otras veces de día llegaba a la puerta, en achaque de comprar huevos, y entrábase en casa. Yo al principio de su entrada, pesábame con él y habíale miedo, viendo el color y mal gesto que tenía; mas de que vi que con su venida mejoraba el comer, fuile queriendo bien, porque siempre traía pan, pedazos de carne, y en el invierno leños, a que nos calentábamos. De manera que, continuando con la posada y conversación, mi madre vino a darme un negrito muy bonito, el cual yo brincaba y ayudaba a calentar. Y acuérdome que, estando el negro de mi padre trebejando con el mozuelo, como el niño vía a mi madre y a mí blancos, y a él no, huía dél con miedo para mi madre, y señalando con el dedo decía: "¡Madre, coco!". Respondió él riendo: "¡Hideputa!" Yo, aunque bien mochacho, noté aquella palabra de mi hermanico, y dije entre mí: "¡Cuántos debe de haber en el mundo que huyen de otros porque no se ven a sí mesmos!"

Recuperado el día 11 de abril de 2012, de http://albalearning.com/audiolibros/anonimo_lazarillo-1.html

Responde las siguientes preguntas relacionadas con la obra El Lazarillo de Tormes y realiza las actividades que se te piden. 1. Encierra en un círculo las palabras que se utilizan de distinta manera en la época actual. Ejemplo: desta. 2. Menciona las características del personaje el Lazarillo de Tormes. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. ¿Qué circunstancia histórica de la época en que se desarrolló la obra trajo como consecuencia la muerte

del padre del Lazarillo de Tormes?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________


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4. De acuerdo al contexto, ¿qué significado crees que tienen las palabras que se encuentran subrayadas en el texto?

Aceña ________________________________________________________________________ Acemilero ________________________________________________________________________ Feneció ________________________________________________________________________

Los arcaísmos son expresiones o palabras que se encuentran en desuso, debido a que resultan anticuadas para una época o momento determinado. Ejemplos: Denantes: tiempo atrás Maledicencia: maldad Mesmo: mismo Tunda: paliza

Cierre En esta sesión pudiste recordar las características del Renacimiento y de la literatura de esa época. Puedes encontrar más información sobre este tema en los sitios que te proporcionamos a continuación.

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?temaclave=1199 http://albalearning.com/audiolibros/anonimo_lazarillo.html http://www.rinconcastellano.com/biblio/renacimiento/index.html http://literatura4c.wikispaces.com/Contexto+hist%C3%B3rico+del+Renacimiento http://www.telefonica.net/web2/tabernadepicalagartos/hotpotatoes/literatura/narracion/web/index2.htm


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Evaluación Indicaciones. Elige la opción que corresponde a la respuesta correcta. Utiliza la hoja de respuestas para contestar la evaluación. Lee el siguiente fragmento de El Lazarillo de Tormes. “Pues sepa V.M. ante todas cosas que a mí llaman Lázaro de Tormes, hijo de Tomé González y de Antona Pérez, naturales de Tejares, aldea de Salamanca”.

1. Según el contexto, ¿qué significa la palabra naturales?

A) Nativos. B) Comunes. C) Humildes. D) Hijos.

2. ¿Cuál de las siguientes palabras del texto corresponde a un arcaísmo?

A) Molinero. B) Fenecer. C) Preñada. D) Mozo.

3. ¿A qué subgénero narrativo corresponde la obra El Lazarillo de Tormes?

A) Cuento. B) Cantar épico. C) Novela. D) Leyenda.

4. ¿Qué circunstancia histórica rodeó la muerte del padre del Lazarillo de Tormes?

A) La conquista del territorio español. B) El destierro de los cristianos. C) El desarrollo de la Cruzadas. D) La lucha de los españoles contra los moros.

5. Según el fragmento, el Lazarillo de Tormes es una persona de condición… A) Humilde. B) Acaudalada. C) Endeudada. D) Esclavizada.


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SECCIÓN DE RESPUESTAS Tema 1 Actividad 2 A, C, E, G, B, D, F Evaluación 1. D 2. C 3. C 4. B Tema 2 Evaluación 1. C 2. B 3. D Tema 3 Evaluación 1. B 2. D 3. B 4. C Tema 4 Actividad 1 1. Realicé, realizamos, se realizó. 2. Utilicé, utilizamos, se utilizó. 3. Agregué, agregamos, se agregó.

Actividad 2 1. La composición del agua es cambiada por la sal. 2. El informe del experimento fue realizado por

los alumnos. 3. Los resultados fueron registrados por los

alumnos en una tabla. Evaluación 1. A 2. B 3. D 4. B 5. C Tema 5 Introducción 1. En Italia. 2. La imprenta. 3. El Humanismo. 4. Garcilaso de la Vega, Cristóbal de Castillejo,

Juan Boscán, San Juan de la Cruz, Fray Luis de León y Miguel de Cervantes.

Evaluación 1. A 2. B 3. C 4. D 5. A

SECCIÓN DE

HABILIDADES

MATEMÁTICAS

HOJA DE RESPUESTAS HABILIDADES MATEMÁTICAS

Nombre

Escuela

Grado

Grupo

Instrucciones: Contesta las preguntas de la evaluación de cada tema presentado, rellenando con lápiz el círculo que corresponde a la respuesta correcta.

TEMA 1

TEMA 4 No. A B C D No. A B C D

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

TEMA 2


1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

TEMA 3

No. A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

Desarrollo de Habilidades Matemáticas 3er Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2013

Secretaría de Educación de Guanajuato Página 33

TEMA 1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Bloque II Eje temático: Forma, espacio y medida

Tema: Medida

Contenido: Explicitación y uso del teorema de Pitágoras.

Aprendizaje esperado:

Resuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras.

Introducción:

Juan va a ir de campamento con sus compañeros de la escuela y su primo Chucho le ha prestado una casa de campaña triangular, sólo que le ha comentado que en el último campamento extravió la varilla frontal que sostiene la entrada de la casa, por lo que es necesario mandar fabricar una nueva.

Juan necesita calcular la altura de la casa para saber el tamaño de la varilla que ocupa, para ello debe considerar la medida de la base y los lados del triángulo isósceles que forma la entrada de la casa de campaña. Si la base de dicho triángulo mide 1.6 metros y cada uno de sus dos lados restantes mide 1.7 metros, ¿de qué tamaño debe Juan mandar fabricar la varilla?

Desarrollo:

Observa que en el planteamiento anterior se requiere calcular la altura de un triángulo isósceles a partir del conocimiento de la medida de sus lados. Esto es posible gracias a un teorema matemático muy famoso, el Teorema de Pitágoras. A continuación te explicamos este teorema y te presentamos una forma divertida de demostrarlo, para finalmente hacer usos de él en la solución de ejercicios y problemas.

Definición y clasificación de triángulos

El triángulo es un polígono determinado por tres segmentos de rectas denominados lados y tres puntos no alineados denominados vértices. Dos lados y un vértice determinan un ángulo interior del triángulo, para un total de tres ángulos interiores. En la figura se muestra el triángulo ABC y éste se denota como ABC .

Recuerda



h

b

La altura h de un triángulo es un segmento de recta que parte de uno de sus vértices y llega al lado opuesto formando un ángulo recto con éste. Al lado opuesto sobre el que se traza la altura se le conoce como base del triángulo y se denota como b . En un triángulo isósceles, la altura divide a la base en dos partes iguales.

El triángulo rectángulo

En el triángulo de arriba, C es el ángulo recto, A y B son ángulos agudos, c es la hipotenusa, mientras que a y

b son los catetos.

Se acostumbra a denotar un ángulo recto con dos pequeñas rectas paralelas a cada lado del ángulo recto que se

unen formando un pequeño cuadro con el vértice.

El teorema de Pitágoras

Este teorema, cuyo enunciado y aplicación práctica ya era conocida en las culturas babilónica y egipcia y cuya demostración se atribuye a Pitágoras (s. VI a. C.), es quizás el teorema matemático más reconocido debido a que establece la relación que existe entre los lados de uno de los triángulos más estudiados y que más aparecen en nuestro entorno, el triángulo rectángulo. Hay quienes ponen en duda que este teorema lo haya demostrado por primera vez Pitágoras (aproximadamente 585 – 500 a.C.) pues existe evidencia de documentos más antiguos a la Escuela Pitagórica en los cuales se bosquejan elementos de los que se mencionan en tan famoso teorema. Pero realmente lo importante no es quién o quiénes lo demostraron por primera vez, sino aprenderlo y emplearlo como una herramienta matemática para la solución de problemas. El Teorema de Pitágoras tienen un significado fundamentalmente geométrico y el enunciado original más o menos establecía que: “En todo triángulo rectángulo, el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”.

Actualmente es común que lo encontremos escrito como sigue: “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos”.

A

B

C

a

b

c

En cualquiera de los dos casos y de acuerdo con el triángulo de arriba, podemos escribir este teorema en

términos algebraicos como:

2 2 2c a b

Todo triangulo con un ángulo “recto” (mide 90°), se conoce como triángulo rectángulo. Como consecuencia de esto, todos los triángulos rectángulos tienen dos ángulos agudos cuya suma siempre es igual a 90°. El lado opuesto al ángulo recto se conoce como hipotenusa y a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos.

B

C

a c

bA



Podemos verificar la validez de los enunciados anteriores construyendo varios triángulos rectángulos, midiendo sus lados y efectuando las operaciones y la comparación indicadas en la fórmula. Pero si queremos adquirir un grado de certeza absoluto, necesitamos apoyarnos en una demostración.

Demostración del Teorema de Pitágoras con el rompecabezas de Perigal

Al matemático inglés Henry Perigal (1801-1898), se le atribuye una ingeniosa comprobación del Teorema de

Pitágoras que enunciamos a continuación:

"Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos se determina el centro y se trazan dos rectas, una paralela y otra perpendicular a la hipotenusa del triángulo. Con las cuatro piezas obtenidas más el cuadrado construido sobre el otro cateto podemos cubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa”.

Para realizar la comprobación, realiza el siguiente procedimiento con el apoyo de un juego de geometría: 1) En una hoja dibuja un triángulo rectángulo de medidas arbitrarias, asegurándote de

que cada lado del triángulo ( , ,a b c ) tenga diferente medida. Puedes tomar como

modelo el de la figura de la derecha.

2) En cada uno de los catetos ( a y b ) y en la hipotenusa ( c ), traza un cuadrado cuyos

lados midan igual que los catetos y la hipotenusa, respectivamente. A

B

C

a

b

c

3) Determina el punto de intersección de las diagonales del cuadrado mayor construido sobre el mayor de los

catetos (cateto b ).

4) Traza una recta paralela a la hipotenusa y que pase por el punto determinado en el paso 3. Enseguida traza

una recta perpendicular a la hipotenusa y que pase por el punto determinado en el paso 3.

Paso 2

A

B

C

a

b

c

Paso 3

A

B

C

a

b

c

Paso 4

A

B

C

a

b

c

5) Recorta el cuadrado del cateto a (verde) y las 4 piezas formadas en el cuadrado del cateto b (morado).

Acomódalas de manera que cubran exactamente el cuadrado trazado sobre la hipotenusa c (rojo).

Con esto se demuestra la validez del Teorema de Pitágoras para cualquier triángulo rectángulo. Este teorema

nos permite conocer la medida de uno de los lados del triángulo a partir de las medidas de los otros dos lados y,

en general, podemos encontrarnos con cualquiera de las dos siguientes situaciones:

A) Encontrar la hipotenusa cuando se conocen los dos catetos.

B) Encontrar un cateto cuando se conocen la hipotenusa y el otro cateto.



Veamos un par de ejemplos:

De acuerdo con la información presentada, encontrar el valor del lado que falta en los triángulos siguientes.

A)

B)

A) Observa que en el triángulo rectángulo mostrado, falta indicar el valor del lado que

está enfrente del ángulo recto, es decir, la hipotenusa. Entonces, si designamos 9a y

12b , por el Teorema de Pitágoras podemos calcular el valor de la hipotenusa mediante

el desarrollo de la derecha, obteniendo como resultado que 15c . De esta forma, hemos

encontrado la hipotenusa a partir del conocimiento de los dos catetos.

2 2 2

2 2

2 29 12

225

15

c a b

c a b

c

c

c

B) Observa que en el triángulo rectángulo mostrado, falta indicar el valor de uno de los

lados que forman el ángulo recto, es decir, un cateto. Entonces, si designamos 8b y

11c , por el Teorema de Pitágoras podemos calcular el valor del cateto que falta

mediante el desarrollo de la derecha, obteniendo como resultado que 7.55a . De esta

forma, hemos encontrado un cateto a partir del conocimiento de la hipotenusa y el otro

cateto.

2 2 2

2 2 2

2 2

2 211 8

7.55

c a b

a c b

a c b

a

a

Actividad 1

Tomando como referencia el triángulo de la derecha y de acuerdo con los datos que se proporcionan, calcula el valor del lado que falta en cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Si 6a y 8b , ¿Cuánto vale c ? 2. Si 9a y 12b , ¿Cuánto vale c ? 3. Si 12a y 20c , ¿Cuánto vale b ? 4. Si 20b y 25c , ¿Cuánto vale a ?

Ahora que hemos estudiado un poco los triángulos rectángulos y la forma en que se relacionan sus lados por

medio del teorema de Pitágoras, estamos en posibilidad de resolver la situación planteada en la introducción.

Juan va a ir de campamento con sus compañeros de la escuela y su primo Chucho le ha prestado una casa de campaña

triangular, sólo que le ha comentado que en el último campamento extravió la varilla frontal que sostiene la entrada de

la casa, por lo que es necesario mandar fabricar una nueva.

Juan necesita calcular la altura de la casa para saber el tamaño de la varilla que ocupa, para ello debe considerar la

medida de la base y los lados del triángulo isósceles que forma la entrada de la casa de campaña. Si la base de dicho

triángulo mide 1.6 metros y cada uno de sus dos lados restantes mide 1.7 metros, ¿de qué tamaño debe Juan mandar

fabricar la varilla?

Ya hemos comentado que para resolver el problema se requiere calcular la altura de un triángulo isósceles a

partir del conocimiento de la medida de sus lados y que esto es posible gracias al teorema de Pitágoras, veamos

cómo hacerlo.



Si observas un poco, notarás que al trazar la altura de cualquier triángulo, se forman dos triángulos rectángulos más pequeños. En el caso de los triángulos equiláteros e isósceles, los triángulos formados son congruentes debido a que la altura biseca (parte a la mitad) uno de los ángulos y divide en dos partes iguales el lado opuesto (la base), como se muestra en los triángulos de la derecha.

Isósceles Equilátero

1.6 m0.8 m

1.7 m

h

Para el caso del triángulo isósceles que forma la entrada de la casa de campaña, tenemos que la base mide 1.6 metros y cada uno de sus dos lados restantes mide 1.7 metros. Si trazamos la altura, que correspondería a la longitud de la varilla que se debe mandar fabricar nos queda un triángulo como el de la figura de la izquierda. Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma al trazar la altura tenemos que:

2 2 2

2 2 2

2 2

2

(1.7 m) (0.8 m)

(1.7 m) (0.8 m)

(1.7 m) (0.8 m)

2.25 m

1.5 m

h

h

h

h

h

Y de esta manera determinamos que Juan debe mandar fabricar una varilla de 1.5 metros de longitud. Cierre:

En este tema hemos hecho un repaso breve sobre los triángulos rectángulos y la forma en que el teorema de Pitágoras establece una relación muy importante para la longitud de sus lados. Te presentamos una forma divertida de demostrar este famoso teorema matemático y también mostramos su utilidad en la solución de problemas. A continuación te presentamos un esquema en el que se resumen las tres formas en que podemos ocupar la fórmula que establece el teorema de Pitágoras.

Puedes encontrar más información sobre este tema en los enlaces que te proporcionamos a continuación.

Para saber más…

http://platea.pntic.mec.es/~jalonso/mates/pitagoras.swf

http://www.desarrollomultimedia.cl/digitales_html/odea/matematica/recursos/MIDIENDO_CON_LA_

AYUDA_DE_PITAGORAS/LearningObject/content/io_7.swf?version=0.77

http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/identify_when_used/nav.swf?soundVal=true

a c

b

2 2 2c a b

a c

b

2 2c a b

2 2a c b

a c

b

2 2b c a

a c

b

http://platea.pntic.mec.es/~jalonso/mates/pitagoras.swf

http://www.desarrollomultimedia.cl/digitales_html/odea/matematica/recursos/MIDIENDO_CON_LA_AYUDA_DE_PITAGORAS/LearningObject/content/io_7.swf?version=0.77

http://www.desarrollomultimedia.cl/digitales_html/odea/matematica/recursos/MIDIENDO_CON_LA_AYUDA_DE_PITAGORAS/LearningObject/content/io_7.swf?version=0.77

http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/identify_when_used/nav.swf?soundVal=true



Evaluación:

Para finalizar el tema te pedimos que resuelvas la siguiente evaluación.

Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opción que corresponda a la respuesta correcta de la situación planteada.

1. En la siguiente figura se muestra la vista superior del

diseño de un escritorio. Selecciona la opción de

respuesta que corresponda con el valor de la longitud

en centímetros del lado L del rectángulo.

A) 69

B) 74

C) 87

D) 92

2. Miguel quiere poner una mica rectangular a su

celular para que no se le raye la pantalla. De acuerdo

con la figura mostrada, selecciona la opción de

respuesta que corresponda al valor en pulgadas de la

altura h del rectángulo que debe cortar para elaborar

la mica.

A) 3.3

B) 3.8

C) 4.1

D) 4.6

3. Se desea utilizar una escalera que mide 3 metros

para subir a una barda que tiene 2.6 metros de alto. Si

al colocar la escalera ésta forma un triángulo

rectángulo con al suelo y la barda, ¿a qué distancia de

la barda se encuentra apoyada la escalera sobre el

piso?

A) 1.5

B) 2.0

C) 2.7

D) 3.0

4. Se está construyendo una palapa octagonal y para sostener el techo se van utilizar varillas de acero. De acuerdo con la figura mostrada, selecciona la opción de respuesta que corresponda al valor en metros de la longitud de las varillas que se deberán emplear para la construcción de la palapa.

A) 2.1

B) 2.6

C) 3.3

D) 3.8

5. Se está desarrollando el bosquejo de una cabaña de madera y se desea saber el tamaño que deben tener unos grandes troncos de madera que formarán el techo de la entrada a la cabaña. De acuerdo con la figura mostrada, selecciona la opción de respuesta que corresponda al valor en metros de la longitud de los troncos que se deberán emplear para la construcción del techo de la cabaña.

A) 4.5

B) 5.0

C) 5.5

D) 6.0

3 m

4 m

0.5

m

Tronco



TEMA 2. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Bloque III Eje temático: Forma, espacio y medida

Tema: Figuras y cuerpos

Contenido: Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos

en la resolución de problemas.


Resuelve problemas que impliquen el análisis de la relación que existe entre las medidas de los lados homólogos de dos triángulos semejantes.

Introducción:

Tales de Mileto, uno de los Siete Sabios de Grecia que vivió entre los siglos VI y V a.C., consiguió de una manera ingeniosa calcular la altura de la Gran Pirámide de Keops. Para hacerlo, Tales se valió únicamente de un bastón, una cuerda y un ayudante.

Con estos sencillos instrumentos hizo el cálculo considerando que si colocaba su bastón de manera vertical, la altura se éste y su sombra proyectada, guardarían una proporción con la sombra de la propia pirámide y la altura de ésta. Lo anterior es la aplicación misma de uno de los tres criterios para determinar la semejanza de dos triángulos. ¿Puedes identificar y describir el criterio de semejanza de triángulos en el que se basó Tales de para calcular la altura de la pirámide? Para contestar la pregunta anterior es necesario que conozcas los tres criterios de semejanza de triángulos y que sepas distinguir las diferencias entre lo que plantea cada uno de éstos. A continuación te presentamos algunos conceptos importantes relacionados con la semejanza en triángulos, para posteriormente abordar el tema de los criterios de semejanza de triángulos. Desarrollo:

En matemáticas, cuando dos figuras están “hechas a escala” se dice que son semejantes. A continuación nos enfocaremos a analizar la semejanza de un tipo de polígono muy especial, el triángulo.

En primer lugar recordaremos dos conceptos importantes para la semejanza, el concepto de congruencia y el concepto de proporción. Posteriormente, definiremos lo que es la semejanza de triángulos y describiremos los criterios en los que nos podemos basar para determinar si dos triángulos son o no semejantes. Finalmente mostraremos cómo uno de los matemáticos más grandes de la historia usó estos conocimientos en una situación de la vida real. Congruencia y proporción en triángulos

Antes de presentarte la definición de triángulos semejantes, veamos dos conceptos importantes para

comprender este tema, estos son los conceptos de congruencia y proporción en triángulos.

Dos triángulos son congruentes si poseen igual forma y tamaño. Desde el punto de vista de sus elementos, la congruencia de dos triángulos significa que hay tres pares de lados correspondientes congruentes y tres pares de ángulos correspondientes congruentes.

Recuerda



Una razón es un cociente entre dos cantidades y el valor de ese cociente se llama valor de la razón. La razón

de “b es a c” puede expresarse como b

c.

Recuerda

Al comparar dos triángulos, podemos establecer tres razones respecto a la medida de sus lados correspondientes. En la figura de la derecha, los tres pares de lados correspondientes son AB y ´ Á B ; BC y ´ ´B C ; AC y ´ Á C . Si las razones entre los lados correspondientes de dos triángulos tienen el mismo valor, entonces decimos que los triángulos tienen lados proporcionales.

A´

B´

C´

A

B

C

Semejanza de triángulos

Así por ejemplo, al referirnos a los dos triángulos semejantes de la figura de arriba al expresar ABC MNP

queremos decir que Á A , ´B B , Ć C y que ´ ´ ´ ´ ´ ´

AB BC AC

A B B C A C .

Nota que utilizamos el símbolo para indicar la semejanza de dos triángulos.

Algo interesante que ocurre es que para asegurar la semejanza de dos triángulos no es necesario comprobar que

cada pareja de ángulos correspondientes son congruentes y además que sus lados correspondientes son

proporcionales ya que, según explicamos a continuación, el hecho de identificar sólo algunas propiedades hace

posible concluir la semejanza o no semejanza de dos triángulos.

Criterios para establecer la semejanza de triángulos Podemos establecer condiciones mínimas para asegurar si dos triángulos son o no semejantes. Basta con que revisemos si los dos triángulos cumplen con cualquiera de los tres siguientes criterios:

En matemáticas una proporción es la igualdad de dos razones. Por ejemplo las fracciones 35

y 610

representan dos

razones mientras que 3 65 10 representa una proporción debido a que el valor de ambas razones es el mismo (0.6).

Dos triángulos son semejantes si poseen igual forma y diferente tamaño. Desde el punto de vista de sus elementos, la semejanza de dos triángulos significa que los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes y que los tres pares de lados correspondientes son proporcionales.

Si las razones de proporcionalidad entre los pares de lados correspondientes de dos triángulos son iguales a 1, los dos triángulos resultan ser congruentes. En realidad, la congruencia de triángulos es un caso particular de la semejanza de triángulos.



1. Criterio AA: Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos correspondientes de otro triangulo, entonces los triángulos son semejantes.

En la figura de la derecha, si de alguna manera demostramos que Á A y Ć C , entonces

´ ´ ÁBC A B C .

A´

B´

C´

A

B

C

2. Criterio LAL: Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados correspondientes de otro triángulo y son congruentes los ángulos que forman ambos pares de lados, entonces los triángulos son semejantes.

En la figura de la derecha si de alguna manera

demostramos que ´ ´ ´ ´

DE EFD E E F

y que É E , entonces

´ ´ ´DEF D E F .

D´

E´

F´

D

E

F

´ ´ ´ ´DE EFD E E F

3. Criterio LLL: Si los tres lados de un triángulo son proporcionales, respectivamente a los tres lados de otro triángulo, entonces lo triángulos son semejantes.

En la figura de la derecha si de alguna manera

demostramos que ´ ´´ ´ ´ ´

GH GIHIH IG H G I

, entonces

´ ´ ´GHI G H I .

G´

H´

I´

G

H

I

´ ´´ ´ ´ ´GH GIHI

H IG H G I

Nota que en las figuras de arriba, hemos utilizado pequeños segmentos de recta para señalar parejas de ángulos que son congruentes. Si en la figura hay dos pares de ángulos que son congruentes, utilizamos un segmento de recta para identificar una pareja de ángulos y dos segmentos de recta para la otra pareja de ángulos. Veamos ahora algunos ejemplos para determinar la semejanza de dos triángulos, empleando los criterios de semejanza descritos.

1. Verificar si los triángulos de la figura de la derecha son semejantes. Los ángulos C y F son iguales puesto que ambos son ángulos rectos, es decir, miden 90°. Dicho esto procedemos a verificar si los pares de lados correspondientes que conforman los ángulos rectos guardan la

misma proporción, es decir si BC ACEF DF

. Sustituyendo se tiene que:

16 122 ; 2

8 6

BC AC

EF DF

C

B

A F

E

D

16

12

8

6

Dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados correspondientes del otro triángulo y son congruentes

los ángulos que forman ambos pares de lados, entonces los triángulos son semejantes (criterio LAL).



2. Verificar si los triángulos de la figura de la derecha son semejantes. Notamos que ACB DCE por ser ángulos opuestos por el vértice. Por otra parte en la figura nos indican que las rectas AB y DE son paralelas, de aquí que podemos afirmar que ABC CDE , o que

BAC CED , por ser ángulos alternos internos formados por dos paralelas y una transversal. En cualquiera de los dos casos tenemos que al menos:

A

C

B

D

E

AB DE

Dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos correspondientes de otro triangulo, entonces los

triángulos son semejantes (criterio AA).

3. Verificar si los triángulos de la figura de la derecha son semejantes. En la figura nos dan las medidas de los tres lados de cada uno de los triángulos, por lo que procedemos a verificar si los pares de lados correspondientes guardan la misma proporción, es decir si

BC ACABDE EF DF

. Sustituyendo se tiene que:

; 15 12 9

3 ; 3 35 4 3

AB BC AC

DE EF DF

C

B

A F

E

D

12

9

4

3

5

15

Los tres lados de un triángulo son proporcionales, respectivamente a los tres lados de otro triángulo, entonces lo

triángulos son semejantes (criterio LLL).

Siempre es útil conocer estos criterios para determinar si dos triángulos son o no semejantes, más allá de la simple inspección visual. Pero además, determinar la semejanza de dos triángulos es una vía para poder establecer la congruencia de sus ángulos correspondientes, o la proporcionalidad de los segmentos correspondientes que forman sus lados. En algunos casos particulares de triángulos, las condiciones anteriores pueden reducirse todavía más. Por ejemplo, para que sean semejantes:

1. Dos triángulos equiláteros, no hace falta ninguna condición. 2. Dos triángulos isósceles, basta con que sean congruentes los ángulos opuestos a las respectivas “bases”. 3. Dos triángulos rectángulos, basta con que sean proporcionales los dos pares de catetos

correspondientes; o un par de catetos correspondientes y las hipotenusas; o que un par de ángulos agudos correspondientes sean congruentes.

Existen algunas situaciones particulares en triángulos que es recomendable identificar y tenerlas presentes

cuando tratamos de emplear la semejanza como una vía para la solución de problemas:

1. Toda paralela a un lado de un triángulo, divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales.

En la figura de la derecha, EF AC ( EF es paralela a AC ) y esto lo

señalamos con dos pequeños segmentos de recta paralelos. A

B

C

E FBE BF

EA FC



2. El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

En la figura de la derecha, BE EA y BF FC y esto lo señalamos, respectivamente, con uno y dos pequeños segmentos de recta.

A

B

C

E F

2

EF AC

ACEF

3. La bisectriz de un ángulo de un triángulo, divide el lado opuesto en

dos segmentos proporcionales a los lados contiguos.

En la figura de la derecha, BE biseca el ángulo B y esto lo señalamos con un pequeño segmento de recta.

A

B

CE

AE AB

EC BC

Actividad 1

Observa la figura que se presenta y explica en cada caso, mediante los criterios de semejanza, por qué podemos afirmar que los triángulos señalados son semejantes. 1.

A

B

C

E F

15 10

6 4

ABC EBF

2.

A

B

CD 8

4

2

ABD BCD

¿Puedes ahora identificar y describir el criterio de semejanza de triángulos en el que se basó Thales de Mileto para calcular la altura de la pirámide?

En la figura de la derecha hemos ilustrado la situación planteada en la introducción y, si analizamos el planteamiento hecho por Tales, podemos afirmar que él parte de saber que los triángulos que se forman ( ABC y

´ ´ Á B C ) tienen un ángulo congruente igual a 90°, por ser triángulos rectángulos. Posteriormente y de acuerdo al relato, parece que Tales realizó el cálculo a considerando que los lados correspondientes a las sombras y las alturas tanto del bastón como de la pirámide son proporcionales. A

B

C

B´

A´ C´

´ ´ ´ ´

AC BC

A C B C

Entonces, el criterio empleado por Tales es el LAL, puesto que para realizar el cálculo de la altura de la pirámide consideró que en dos triángulos semejantes, dos lados de uno son proporcionales a dos lados correspondientes del otro, siendo que los ángulos que forman ambos pares de lados son congruentes. Cierre:

Hemos definido lo que es la semejanza de triángulos y descrito los criterios en los que nos podemos basar para determinar si dos triángulos son o no semejantes. Finalmente mostramos cómo uno de los matemáticos más grandes de la historia usó estos conocimientos en una situación de la vida real.


Para saber más…

http://odas.educarchile.cl/odas_mineduc/pav/Matematicas/triang_mellizos_final.swf http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/semejanza/swf/criterios.swf

http://odas.educarchile.cl/odas_mineduc/pav/Matematicas/triang_mellizos_final.swf



Evaluación:



1. En la figura mostrada, si AB ED , selecciona la opción de respuesta que corresponda al criterio por el cual se puede afirmar que ABC ECD .

A) LLL

B) LAL

C) LL

D) AA

A

C

B

D

E

2. En la figura mostrada, si AB EF , selecciona la opción de respuesta que corresponda al enunciado por el cual no se puede afirmar que ABC EBF .

A

B

C

E F

A) Tienen dos ángulos respectivamente iguales.

B) Tienen un ángulo igual y los lados que lo forman

respectivamente proporcionales.

C) Tienen sus tres lados correspondientes

proporcionales.

D) Tienen un ángulo proporcional y los lados que lo

forman respectivamente iguales.

3. Si las medidas un triángulo son 130 cm, 120 cm y 50

cm, y las medidas de otro son 26 cm, 24 cm y 10 cm,

respectivamente. Selecciona la opción que

corresponda al criterio por el cual se puede determinar

si estos triángulos son o no semejantes.

A) LLL

B) LAL

C) LL

D) AA

4. Considerando las medidas que se muestran en los

triángulos, selecciona cuál de los criterios se aplica

para verificar que ABC DEF .

C

B

A F

E

D

8

4

4

2





proporcionales.



5. Considerando las medidas que se muestran en los

triángulos, selecciona cuál de los criterios se aplica

para verificar que ABC EDC .

5 cm

10 cm

4 cm

2 cm

A

B

C

D

E





proporcionales.





TEMA 3. SEMEJANZA EN POLÍGONOS



Contenido: Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.

A

B

C

DE

P

Q


Resuelve problemas que impliquen usar las propiedades de la semejanza de triángulos para calcular medidas faltantes en polígonos regulares.

Introducción:

En la figura arriba se muestra una cometa pentagonal que Camila está construyendo para su clase de matemáticas. Como se observa, le falta elaborar y pegar el triángulo ACP . ¿Cuál será el área del triángulo faltante si sólo se sabe que el pentágono tiene lados de 30 cm y la longitud del segmento BQ es de 18 cm?

Observa que en el planteamiento anterior nos piden calcular el área de un triángulo del cual no conocemos ningún dato. Esto sería imposible si el triángulo no tuviera ninguna relación con el pentágono regular que forma la silueta de la cometa. A continuación te presentamos cómo podemos apoyarnos en la semejanza de triángulos para analizar triángulos que están contenidos en polígonos regulares.

Desarrollo:

Ya hemos comentado que, en matemáticas, cuando dos figuras están “hechas a escala” se dice que son semejantes. A continuación retomaremos lo analizado en el tema de semejanza triángulos, mostrando su utilidad cuando analizamos diferentes polígonos regulares.

Dos triángulos son semejantes si poseen igual forma y diferente tamaño. Desde el punto de vista de sus elementos, la semejanza de dos triángulos significa que los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes y que los tres pares de lados correspondientes son proporcionales.

Recuerda

Criterios de semejanza de triángulos

Podemos establecer condiciones mínimas para asegurar que dos triángulos sean semejantes. Basta con que los dos triángulos presenten alguna de estas tres condiciones o criterios.



Polígonos regulares y semejanza de triángulos

Al trazar algunas diagonales en polígonos regulares podemos encontrar pares de triángulos semejantes o incluso congruentes. De esta forma, si conocemos algunas medidas de los polígonos, podemos conocer otras empleando la semejanza y congruencia de triángulos. Observa los siguientes tres polígonos en los cuales hemos trazado algunas de sus diagonales.

Pentágono

A

B

C

DEP

Hexágono

A

B C

D

EF

P

Heptágono

D

A

B

C

EF

GP

Pentágono

Los triángulos APC y EPD son semejantes: Nota que los ángulos APC y EPD son congruentes al ser un par de ángulos opuestos por el vértice, mientas que los ángulos ACP y DEP son congruentes al ser alternos internos entre las paralelas AC y ED . La semejanza se justifica entonces porque los triángulos tienen dos pares de ángulos correspondientes son congruentes.

Los triángulos ACE y DAC son congruentes: Nota que ambos son triángulos isósceles (puedes medir sus lados para comprobarlo) y se puede comprobar que los ángulos opuestos a las bases, ACE y DAC , son congruentes. Con esto determinamos que son triángulos semejantes. Pero además, por una parte el lado AC es común a los dos triángulos, y por otra parte las bases de los triángulos son lados del pentágono (en ambos casos la razón de sus lados correspondientes es igual a 1). La congruencia se justifica entonces porque son triángulos isósceles con ángulos opuestos a las bases congruentes y la razón de un par de lados correspondientes iguales a 1.

Hexágono

Los triángulos ACD y CPB son semejantes. Nota que ambos son triángulos rectángulos (puedes medir sus ángulos para comprobarlo) y los ángulos

CAD y BCP , son congruentes al ser un par de ángulos alternos internos entre las paralelas AD y BC . La semejanza se justifica entonces porque son triángulos rectángulos con un par de ángulos agudos congruentes.

Los triángulos ABP y CPB son congruentes. Nota que los ángulos ABP y CBP son congruentes ya que la diagonal BE biseca (divide en dos partes iguales) al ángulo interior ABC del hexágono y tienen un par de lados correspondientes iguales puesto que el lado BP es común a ambos triángulos, mientras que los lados AB y BC son lados del hexágono (en ambos casos la razón de sus lados correspondientes es igual a 1). La congruencia se justifica entonces porque los triángulos tienen un par de ángulos correspondientes congruentes, y congruentes los dos pares correspondientes de lados que forman esos ángulos.

Los ángulos opuestos por el vértice son ángulos que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. En la figura el ángulo 1 es igual al ángulo 3 y el ángulo 2 es igual al ángulo 4.

Recuerda



Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas, los ángulos alternos externos son los que están en la parte exterior de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. En la figura, los ángulos 1 y 4 son iguales.

Recuerda

Actividad 1

Para el caso del heptágono de la figura de la página anterior, demuestra que:

1. Los triángulos ACP y FEP son semejantes.

2. Los triángulos ABC y CDE son congruentes.

Vamos a desarrollar un par de ejemplos para mostrar la utilidad de la semejanza de triángulos en el análisis de polígonos regulares. Ejemplo 1:

Si el hexágono regular de la derecha tiene lados de 8 cm, ¿cuánto mide el segmento BP ? Observa que los triángulos ACD y CPB son semejantes. Si nos fijamos en el triángulo más grande sabemos que 16 cmAD (puesto que es igual a dos radios de una circunferencia circunscrita al hexágono, y cada radio mide lo mismo que un lado), mientras que el lado 8 cmCD al ser a su vez uno de los lados del hexágono.

A

B C

D

EF

P

Por otra parte, en el triángulo menor, lado 8 cmBC pues también es uno de los lados del hexágono. Con estos

datos podemos formar la proporción BCBPCD AD

, por lo que al sustituir nuestros datos tenemos que

8 cm

8 cm 16 cm

8 cm 8 cm4 cm

16 cm

BP

BP

Ejemplo 2:

Si el heptágono regular tiene lados de 9 cm y los segmentos AC y AP miden 16.2 cm y 13 cm, respectivamente, ¿cuánto mide el segmento PE ? Observa que los triángulos APC y EPF son semejantes y que el lado FE del triángulo menor es igual a 9cm por ser a la vez uno de los lados del heptágono. Con

estos datos podemos formar la proporción PE FEAP AC

, por lo que al sustituir nuestros

datos tenemos que

D

A

B

C

EF

GP

8 cm

13 cm 16.2 cm

13 cm 9 cm7.2 cm

16.2 cm

PE

PE



Reconsideremos ahora el problema planteado en la introducción:

En la figura se muestra una cometa pentagonal que Camila está construyendo. Como se observa, le falta elaborar y pegar el triángulo ACP . ¿Cuál será el área del triángulo faltante si sólo se sabe que el pentágono tiene lados de 30 cm y la longitud del segmento BQ es de 18 cm?

A

B

C

DE

P

Q

Se sabe que en un pentágono dos diagonales que concurren en un vértice trisecan el ángulo interior correspondiente. De esta forma podemos decir que los triángulos ABC y APC son semejantes en primera instancia ya que presenta un par de ángulos correspondientes iguales ( PCA con BCA y PAC con BAC ). Pero como ambos triángulos tienen el lado AC común, concluimos que los triángulos ABC y APC son

congruentes, por lo que tienen igual área.

Con los datos calculamos el área del triángulo ABC , calculando previamente su altura QC a través del

Teorema de Pitágoras, como se muestra a continuación

2 2 2

22 2

2 2

30 18

30 18

24 cm

BC BQ QC

QC

QC

QC

De aquí que la base del triángulo ABC es 2 2 24 48 cmAC QC y el área se calcula como

248 cm 18 cm432 cm

2 2ACP ABC

AC BQA A

Cierre:

En este tema hemos hecho un repaso breve sobre la semejanza de triángulos y los criterios en los que nos podemos basar para determinar si dos triángulos son o no semejantes. También mostramos la utilidad de la semejanza de triángulos cuando analizamos diferentes polígonos regulares.


Para saber más…

http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/

3m_b02_t04_s01_descartes/index.html

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/semejanza/swf/criterios.swf


http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/3m_b02_t04_s01_descartes/index.html

http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/3m_b02_t04_s01_descartes/index.html

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/semejanza/swf/criterios.swf




Evaluación:



1. La siguiente figura es un hexágono regular, por lo

cual los triángulos AOB y COD son congruentes.

¿Cuál es el valor de x en cm?

A) 6

B) 8

C) 12

D) 20

2. Si el hexágono regular mostrado tiene lados de 8 cm, ¿cuántos centímetros mide el segmento BP ? Observa que el segmento FC pasa por el centro del hexágono.

A

B C

D

EF

P

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

3. Si el pentágono mostrado tiene lados de 10 cm y los segmentos BD y BQ miden 16.2 cm y 6.2 cm,

respectivamente, ¿cuántos centímetros mide el segmento PQ ? (3.8)

A

B

C

DE

P Q

A) 3.2

B) 3.8

C) 4.2

D) 4.8

5. Si el pentágono mostrado tiene lados de 12 cm y el segmento QE miden 9.6 cm, ¿cuántos centímetros

mide el segmento GP ?

D

A

B

C

G P

Q

A) 8

B) 9

C) 12

D) 15



TEMA 4. APLICACIONES DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS



Contenido: Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos

en la resolución de problemas.


Resuelve problemas que impliquen aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

Introducción:

En la secundaria, Juanito tuvo una actividad fuera del salón de clases en la materia de matemáticas. El maestro pidió al grupo que saliera al patio de la escuela para calcular la altura del asta de la bandera a partir de la medida de su sombra. El maestro pidió a cada alumno que se parara junto al asta para que otro compañero midiera la longitud de su sombra.

Si a la hora que salieron los alumnos la sombra que proyectaba el asta era de 5.6 metros y la sombra de Juanito

midió 1.2 m, ¿cuál es la altura del asta si Juanito sabe que su estatura es de 1.65 m?

Para resolver el problema anterior es necesario saber aplicar los conocimientos relacionados con la semejanza de triángulos. A continuación veremos varios ejemplos cotidianos en los que, a través de la semejanza de triángulos, podremos hacer cálculos de distancias o alturas inaccesibles. Desarrollo:

En los dos temas anteriores revisamos los criterios que deben cumplirse para verificar que un triángulo es semejante a otro. Ahora, presentaremos varios ejemplos donde la semejanza de triángulo se vuelve una herramienta muy poderosa para calcular medidas o distancias inaccesibles.

Cálculo de alturas o distancias con semejanza de triángulos

Probablemente te has preguntado ¿cuál es la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana? O más específico, ¿cuál es la utilidad de la semejanza de triángulos en la vida cotidiana?

Ya hemos visto que Tales de Mileto fue uno de los Siete Sabios de Grecia que vivió entre los siglos VI y VII a.C. y que midió la altura de la pirámide de Keops utilizando la semejanza de triángulos valiéndose solamente sombras, un bastón, una cuerda y un ayudante. La historia de Tales de Mileto es una muestra de que las matemáticas y el ingenio nos ayudan a solucionar muchos problemas que en apariencia son difíciles. A

B

C

B´

A´ C´

Gracias al estudio de la Geometría y en especial al estudio de la semejanza en objetos, desde la antigüedad ha sido posible conocer la medida de algunos objetos sin tener que hacer una medición directa. De hecho muchos de los métodos utilizados desde entonces siguen aún vigentes y frecuentemente son usados por ingenieros, arquitectos, etcétera. A continuación te presentamos algunos casos en donde se puede apreciar la utilidad de la semejanza de

triángulos.



1. Se desea conocer la altura de una torre de agua localizada al costado de un edificio de oficinas. Si a cierta hora

del día se miden las sombras desde el pie del edificio y el centro de la torre de agua, siendo sus longitudes de 6

m y 8 m respectivamente y se sabe que la altura del edificio es de 9 m, ¿Cuánto mide la altura de la torre de

agua?

Solución: En la figura de abajo hemos ilustrado la situación planteada, de manera que, si empleamos la

semejanza de triángulos, podemos establecer la siguiente proporción

8 m

9 m 6 m

h

De manera que realizando las operaciones necesarias tenemos:

8 m

9 m 6 m

8 m 9 m

6 m

12 m

h

h

h

De esta forma hemos encontrado que la torre de agua mide 12 metros de altura.

2. Se recarga una escalera sobre un muro de 6 m y se sabe que la distancia de la base al tercer escalón de

escalera es de 1 metro. Si la altura que hay del piso al tercer escalón de la escalera es de 0.75 m, ¿cuál es la

longitud de la escalera?



6 m

1 m 0.75 m

L


6 m

1 m 0.75 m

1 m 6 m

0.75 m

8 m

L

L

h

6 m

0.75 m1 m

L

De esta forma hemos encontrado que la longitud de la escalera es de 8 metros.

3. Se desea conocer la anchura de un río, para ello se han hecho ciertas mediciones en una de las orillas del río y

se han bosquejado en la figura abajo. Si las mediciones hechas indican que 2 mBC , 1 mCD y 4 mDE y se

supone que AB DE , ¿Cuánto mide de ancho el río?





2 m

4 m 1 m

AB


2 m

4 m 1 m

2 m 4 m

1 m

8 m

AB

AB

AB

De esta forma hemos encontrado que la anchura del río es de 8 metros.

Observa como en los tres casos anteriores pudimos usar la semejanza de triángulos para calcular longitudes sin

que fuera necesaria o posible su medición directa. En estos casos es siempre útil realizar un bosquejo de la

situación aunque no nos lo pidan, de manera que podamos identificar de manera más certera los triángulos que

se presentan como semejantes y establecer la proporción adecuada para encontrar la solución.

Actividad 1

Resuelve los siguientes problemas 1. Un árbol proyecta sobre el suelo una sombra de 24 m de longitud en el mismo momento en que una persona que tiene una altura de 1.5 m se encuentra alineada con el árbol y proyecta una sobra de 6 m. ¿Cuál es la altura del árbol? 2. En cierto momento dos aviones que vuelan con la misma trayectoria coinciden en la vertical, uno a 3000 m y otro a 2000 m sobre el nivel del mar. Simultáneamente los pilotos observan una isla ubicada más adelante. El de arriba observa la costa más lejana mientras que el que vuela abajo observa la costa más cercana. La isla tiene una longitud de 1000 m de costa a costa, ¿qué distancia les falta por volar para empezar a pasar sobre la isla?

Antes de concluir vamos a resolver el problema planteado en la introducción. En la figura de la derecha hemos ilustrado la situación planteada, considerando que la sombra del asta es de 5.6 m, mientras que la sombra de Juanito es de 1.2 m y su estatura de 1.65 m. Si empleamos la semejanza de triángulos podemos establecer mediante una proporción, la solución al problema:

5.6 m

1.65 m 1.2 m

h ;

5.6 m 1.65 m

1.2 mh

; 7.7 mh 5.6 m

1.2 m

1.65 m

h

De esta forma hemos encontrado que el asta mide 1.7 metros de altura.

Cierre:

En este tema hemos revisado varios ejemplos cotidianos en los que, a través de la semejanza de triángulos, podemos hacer cálculos de distancias o alturas inaccesibles. Recuerda que para este tipo de problemas, siempre es muy útil realizar un bosquejo de la situación que tratamos de resolver.


Para saber más…

http://arquimedes.matem.unam.mx/Vinculos/Secundaria/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/3m_b02_t04_s01_descartes/index.html https://dl.dropbox.com/u/57560218/actividad.swf

http://arquimedes.matem.unam.mx/Vinculos/Secundaria/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/3m_b02_t04_s01_descartes/index.html

http://arquimedes.matem.unam.mx/Vinculos/Secundaria/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/3m_b02_t04_s01_descartes/index.html

https://dl.dropbox.com/u/57560218/actividad.swf



Evaluación:



1. María mide 1.4 m y a cierta hora del día observa que su sombra en el piso es de 0.84 m. Si en ese mismo momentos ve que la sombra de un árbol es de 2.16 m, selecciona la opción de respuesta que corresponda a la altura en metros del árbol. A) 1.3

B) 3.6

C) 1.3

D) 2.5

2. Una anciana que lleva un bastón proyecta una

sombra de 1.2 m sobre el piso. Si el bastón colocado

de manera vertical proyecta una sombra de 0.8 m,

selecciona la opción de respuesta que corresponda a la

estatura en metros de la anciana.

A) 1.4

B) 1.5

C) 1.6

D) 1.7

3. Observa la siguiente figura donde se muestra dos

triángulos semejantes. Si los datos corresponden a la

medida del piso hasta la canasta de básquetbol y x

representa a Juan parado sobre el piso, selecciona la

opción de respuesta que corresponda a la estatura en

metros de Juan.

A) 1.4

B) 1.5

C) 1.6

D) 1.7

x

3.5 m

3 m 2 m

4. Para conocer el ancho de un río un topógrafo ha

hecho el bosquejo que se muestra. Si todas las

medidas están en metros y se sabe que los segmentos

EF y CB son perpendiculares a la orilla del río y que

los segmentos CD y BF son paralelos, selecciona la

opción de respuesta que corresponda al ancho en

metros del río.

A) 13.0

B) 14.2

C) 17.2

D) 18.0

5. Se desea conocer la distancia a una isla desde la

orilla de la playa. De acuerdo con la figura, AB y DE

son paralelas y perpendiculares a AE . Si todas las

medidas están en metros, selecciona la opción de

respuesta que corresponda a la distancia a la que se

encuentra la isla de la orilla de la playa en el punto E .

A) 365.5

B) 320.0

C) 285.0

D) 240.5

36

6

12

A B

E

F

D C

68

112 602 B

E

D

A C

¿?



TEMA 5. CORTES EN ESFERAS Y CONOS

Bloque V Eje temático: Forma, espacio y medida

Tema: Medida

Contenido: Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.


Determina la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera o cono recto.

Introducción:

En una tienda de manualidades se están elaborando unos muñecos con cabezas de unicel en forma de esferas de 15 cm de diámetro. Para colocarles un sombrero, se debe hacer un corte a las esferas de manera que el círculo que se forme en la unión con el sombrero tenga un radio de 3.5 cm. ¿A qué distancia desde el centro de la circunferencia se hace el corte?

Si observas la situación anterior notarás que se refiere a un cuerpo geométrico que es muy conocido, la esfera.

En este tema revisaremos algunos aspectos relacionados con dos de los cuerpos geométricos que se encuentran

dentro de los llamados “cuerpos redondos”, nos referimos a la esfera y al cono. Particularmente, analizaremos

qué es lo que sucede cuando realizamos algunos cortes a estos cuerpos geométricos.

Desarrollo:

Todo lo que percibimos son objetos de tres dimensiones; todos los seres y objetos de la naturaleza y todos los artefactos elaborados en las distintas culturas, son tridimensionales pues ocupan un lugar en el espacio físico.

Los cuerpos geométricos son objetos tridimensionales que tienen ciertas particularidades, ciertas formas más sencillas, más elementales, más regulares; por ejemplo, los que presentan caras externas constituidas por polígonos o círculos, o los que tienen una forma parcial o totalmente redonda. En este grupo quedan los objetos que tienen la apariencia de cajas, pirámides, prismas, cilindros, conos, esferas, etc.

Recuerda

Clasificación de los cuerpos geométricos Un criterio básico para clasificar los cuerpos geométricos se refiere a la naturaleza de sus caras exteriores. De esta forma tenemos:

Los poliedros (poliedro = polus [mucho]+ hedra [cara] = muchas caras) son cuerpos geométricos limitados por un número finito de polígonos. Estos polígonos reciben el nombre de caras del poliedro, a



la intersección de dos caras se le conoce como arista y al punto de intersección de más de dos caras como vértice.

Los cuerpos redondos o sólidos de revolución, cuerpos geométricos formados por la revolución

completa de una figura plana (llamada generatriz) alrededor de un eje de giro.

En este tema sólo estudiaremos algunas características de las esferas y los conos. Elementos de una esfera

El centro de la esfera es el punto que equidista de cualquier punto de la superficie esférica (superficie externa de la esfera). Un radio de la esfera es un segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie esférica. Un diámetro es un segmento que une dos puntos de la superficie esférica y pasa por el centro de la esfera.

externa

También sobre la superficie esférica pueden considerarse circunferencias máximas, caracterizadas porque su radio es el radio de la esfera; análogamente, pueden dibujarse circunferencias de radio menor al de la esfera. En el caso de la Tierra, considerada como una esfera, los meridianos y la línea del ecuador son ejemplos de circunferencias máximas; los paralelos (por ejemplo, los de los trópicos, o los de los círculos polares) son circunferencias menores. Un diámetro es un segmento que une dos puntos de la superficie esférica y pasa por el centro de la esfera.

Los sólidos de revolución se clasifican, precisamente, tomando en cuenta la figura plana que rota una vuelta completa y el eje alrededor del cual se produce la rotación. Así, los más conocidos son: La esfera, generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro.

El cilindro, generado por la rotación de un rectángulo alrededor de un lado.

El cono, generado por la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de un cateto.



Elementos de un cono La generatriz del cono es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyo giro alrededor de uno de sus catetos genera el cono. La altura del cono es la distancia del vértice a la base y su longitud coincide con la del cateto que sirve de eje de giro para generar el cono. La base está formada por un solo círculo, con su radio y diámetro correspondientes.

La superficie lateral del cono se denomina superficie cónica de revolución; extendida sobre un plano, tiene la forma de un sector circular. Cortes en circunferencias y conos El corte o intersección de un plano con una esfera determina una circunferencia. Esta es una propiedad característica de la esfera. Si el plano pasa por el centro de la esfera, resulta una circunferencia máxima (su radio es igual al radio de la esfera). Al considerar la esfera sólida y el corte con un plano se obtiene el círculo. Si el plano pasa por el centro, resulta un círculo máximo, de lo contrario se dice que es un círculo menor.

Al cortar un cono recto con un plano paralelo a la base (esto es, perpendicular al eje), resulta un círculo. El sólido obtenido al quitar la parte que contiene al vértice es un cono truncado o tronco de cono.

A continuación desarrollaremos un par de ejemplos en los que mostramos la relación que existe entre el radio

de una esfera y los radios de los círculos que se forman al realizar algún corte, así como la relación entre el radio

de la base de un cono y los círculos que se forman al hacer algún corte horizontal.

Ejemplo 1:

Se tienen una esfera de unicel de 10 cm de radio a la cual se le va a hacer un corte a una altura de 4 cm , como se muestra en la figura de la derecha. ¿Cuál será el área del círculo que se forma al hacer el corte? Para ilustrar mejor esta situación se hacen más abajo algunos trazos sobre la figura, de manera que podamos visualizar una estrategia para encontrar lo que se pide. Observa que se ha formado un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 cm , ya que es igual al radio de la esfera. El cateto vertical mide 6 cm puesto que resulta

4 cm

10 cm



de la diferencia entre el radio de la esfera y la altura a la que se hizo el corte 10 cm 4 cm 6 cm , mientras que el cateto horizontal es el radio r del círculo que se forma al hacer el corte. Si encontramos el valor del radio r , estaremos en posibilidad de calcular el área del círculo que se forma al hacer el corte. Para ello debemos emplear el Teorema de Pitágoras para resolver el triángulo rectángulo formado. 4 cm

10 cm

r

10 cm6 cm

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b , y la medida de la hipotenusa es c , se

establece que: 2 2 2c a b

Recuerda

Al aplicar en nuestro triángulo rectángulo el Teorema de Pitágoras tenemos que:

6 cm

r

10 cm

2 2

2 2 2

10 6

10 6

64

8 cm

r r

r

r

r

Entonces el área del círculo que se forma al hacer el corte a la esfera es:

22 28 cm 201 A r cm

Observa bien que los radios de los círculos que se forman al hacer cortes a una esfera se relacionan con el

radio de la esfera mediante el Teorema de Pitágoras. Es importante que tengas bien presente esto pues los

triángulos rectángulos que se forman te ayudarán a resolver una gran variedad de problemas.

Ejemplo 2: Se desea formar un cono truncado a partir de un cono recto de altura igual a 30 cm y una base cuyo radio mide 10 cm . Si se requiere que el círculo superior del cono truncado tenga un radio de 3 cm , ¿a qué altura h se debe hacer el corte desde la base? Observa la figura de la derecha en la cual se ha ilustrado el problema. Si extraemos el par de triángulos que se forman, podremos ver que son semejantes por tener dos ángulos iguales. Empleando la semejanza de triángulos podemos encontrar entonces el valor de x al formar la proporción

3 30 3

; 9 cm30 10 10

xx

y con esto, calculamos el valor de la altura a la cual se debe hacer el corte al cono como:

10 cm

30 cm3cm

h

x

10 cm

30 cm3cm

h

x

30 cm

30 cm 9 cm

21 cm

h x

h

h



Observa bien que los radios de los círculos que se forman al hacer cortes a un cono se relacionan con el radio

de la base del cono mediante la Proporcionalidad de Triángulos. Es importante que tengas bien presente esto

pues los triángulos proporcionales que se forman te ayudarán a resolver una gran variedad de problemas.

Ahora, vamos a resolver el problema planteado en la introducción: En una tienda de manualidades se están elaborando unos muñecos con cabezas de unicel en forma de esferas de 15 cm de diámetro. Para colocarles un sombrero, se debe hacer un corte a las esferas de manera que el círculo que se forme en la unión con el sombrero tenga un radio de 3.5 cm. ¿A qué distancia desde el centro de la circunferencia se hace el corte?

En primer lugar, nota que nos dan el diámetro y no el radio de la circunferencia. Observa la figura de la derecha en la cual se ha ilustrado el problema. Nota que se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio de la esfera, el cateto horizontal es el radio del círculo que se forma al hacer el corte y el cateto vertical es la distancia d que calculamos como:

2 2 2

2 2 2

7.5 3.5

7.5 3.5

44 6.6 cm

d

d

d

7.5 cm

7.5

cm

3.5 cm

d

Actividad 1

Realiza lo que a continuación se indica. 1. Se tienen un cono cuya altura es de 30 cm. Si se hace un corte paralelo a la base del cono, a

una distancia de 24 cm de la base y el círculo que se forma tiene 5 cm de radio, ¿cuál es radio de la base del cono?

2. Se hacen cortes a una esfera de 20 cm de diámetro a una altura de 8 cm, 6 cm y 4 cm.

¿cuánto miden de radio los círculos que se forman al hacer los cortes?

Cierre:

En este tema revisamos algunos aspectos relacionados con dos de los cuerpos geométricos que se encuentran dentro de los llamados “cuerpos redondos”, la esfera y al cono. Así mismo, desarrollamos algunos ejemplos relacionados con la generación de círculos al hacer cortes en estos cuerpos geométricos.


Para saber más…

http://telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/3m_b0

5_t02_s01_descartes/index.html

http://www.cuadernosdigitalesvindel.com/juegos/volumen.swf

http://telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/3m_b05_t02_s01_descartes/index.html

http://telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/3m_b05_t02_s01_descartes/index.html

http://www.cuadernosdigitalesvindel.com/juegos/volumen.swf



Evaluación:



1. Un pequeño cono ha sido cortado de la punta de otro más grande. Si el cono que se cortó tienen un diámetro de 10 cm y una altura de 9 cm y se sabe que la altura del cono original era de 27 cm, ¿cuánto mide la base del cono original? A) 12

B) 15

C) 18

D) 21

2. La figura muestra una pecera cuya “boca” esta formada por una circunferencia de radio igual a 20 cm, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el radio de la esfera que forma la pecera?

A) 21

B) 27

C) 29

D) 33

20 cm

8 cm

3. Se desean hacer velas en forma de cono truncado a partir de otros conos que tienen 16 cm de diámetro y una altura de 20 cm. ¿A que distancia desde la base de los conos se debe hacer el corte para que el círculo formado en tenga un radio de 4 cm? A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

4. En la siguiente tabla se registran los radios de los círculos que aparecen como cortes horizontales de las esferas al llenarlas de agua.

Altura [cm] 2 4 6 8 10

Radio [cm] 4.47 5.62 6 a b

Si las esferas son de radio 6 cm, ¿cuáles son, respectivamente, los valores en cm de a y b? A) 6.37 y 7.13

B) 5.65 y 4.47

C) 6.35 y 6.70

D) 5.65 y 5.30

5. Un cono tiene 25 cm de alto y una base de radio igual a 5 cm. Si se hacen cortes horizontales al cono a 10 cm y 15 cm desde la base, ¿Cuántos centímetros mide el radio de cada uno de los círculos formados al hacer los cortes? A) 1 y 2

B) 1 y 4

C) 3 y 4

D) 3 y 2



RESPUESTAS DE LAS ACTIVIDADES

TEMA 1 EL TEOREMA DE PITÁGORAS Actividad 1 (Pág. 38)

1. 10c

2. 15c

3. 16b 4. 15a

TEMA 2 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Actividad 1 (Pág. 45)

1. Son semejantes porque comparten el B y los lados correspondientes que forman este ángulo son proporcionales, es decir,

21 14

6 10 .

2. Son semejantes porque ambos tienen un ángulo recto y los lados correspondientes que forman este ángulo son proporcionales, es decir,

8 4

4 2 .

TEMA 3 SEMEJANZA EN POLÍGONOS

Actividad 1 (Pág. 49)

1. Los triángulos ACP y FEP son semejantes porque los ángulos

APC y FPE son congruentes al ser un par de ángulos opuestos por

el vértice, mientas que los ángulos CAE y FEA son congruentes al

ser alternos internos entre las paralelas AC y FE . La semejanza se

justifica entonces porque los triángulos tienen dos pares de ángulos correspondientes son congruentes. 2. Los triángulos ABC y CDE son congruentes porque ambos son

isósceles y tienen como lados congruentes dos de los lados del heptágono. La congruencia se justifica entonces porque los triángulos tienen un par de ángulos correspondientes congruentes, y congruentes los dos pares correspondientes de lados que forman esos ángulos.

TEMA 4 APLICACIÓNES DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Actividad 1 (Pág. 54)

1. 6 mh 2. 2000 md

TEMA 5 CORTES EN ESFERAS Y CONOS Actividad 1 (Pág. 60)

1. 25 cmr 2. Para un corte de: 8 cm, 9.8 cmr

6 cm, 9.2 cmr

4 cm, 8.0 cmr



RESPUESTAS DE LAS EVALUACIONES

TEMA 1


1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

TEMA 2


1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

TEMA 3

No. A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

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Desarrollo de habilidades comunicativas y matemáticas ... · Desarrollo de habilidades comunicativas y matemáticas. Cuadernillo de apoyo 2013. Tercer grado de secundaria fue desarrollado