JUAN PORTAL PIZARRO

Profesor Juan Portal Pizarro

RELACIN DE TIEMPOS

Para la resolucin de este tipo de ejercicios se puede sugerir como regla, la siguiente analoga, dndole valores a los das como sigue.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Siendo lunes el maana de ayer, Qu da ser el ayer de pasado maana?

a) Jueves b) Martes c) Domingo d) Lunes e) Mircoles

Resolucin:

Considerando la siguiente analoga:

Ahora, Segn dato:

Lunes el maana de ayer

Nos preguntan:

El ayer de pasado maana

Entonces: Hoy Lunes

Maana de lunes Martes

Respuesta: Martes, Alternativa b

Anteayer Ayer Hoy Maana Pasado maana

(- 2) (- 1) (0) (2) (1)

Anteayer Ayer Hoy Maana Pasado maana

(- 2) (- 1) (0) (2) (1)

. ..

+1 -1

Lunes 0

-1 +2

+1 Maana

2. Cul es el da que est del anterior al siguiente da del que subsigue al

posterior da del que esta despus del da que precede al anterior da de hoy viernes?

a) Jueves b) Martes c) Domingo d) Lunes e) Mircoles

Resolucin:

Considerando la siguiente analoga como el ejemplo anterior:

Segn dato se tiene:

Cul es el da que esta del anterior al

Siguiente da del que subsigue al posterior

Da del que est despus del da que

Precede al anterior da de hoy viernes

Entonces nos queda:

-1 +1 +2 +1 +1 -1 -1 de viernes

Respuesta Domingo. Alternativa C

.

Anteayer

Ayer Antes

Anterior Precede Hoy

Maana Siguiente Despus Posterior

Pasado maana Subsiguiente

(- 2) (- 1) (0) (2) (1)

..

+2 de viernes Domingo

-1

+1 +2 +1

+1

-1 -1

Ejercicios Propuestos

1. Si el ayer del anteayer del pasado maana es domingo Qu

da ser el maana del pasado maana de anteayer? a) Sbado b) viernes

c) lunes d) martes e) jueves

2. Si el anteayer del maana de pasado maana es viernes. Qu da fue ayer?

a) Lunes b) martes c) mircoles d) jueves

e) domingo

3. Siendo lunes el maana de ayer. Qu da ser el ayer de pasado

maana?

a) Domingo b) lunes

c) martes d)mircoles e) jueves

4. Siendo martes el ayer de pasado maana. Qu da ser el pasado maana del ayer de hoy?

a) Sbado b) viernes c) martes d)mircoles

e) jueves

5. Si el anteayer del maana de pasado maana es viernes. Qu

da fue ayer?

a) lunes b) mircoles

c) martes d) jueves e) viernes

6. Si el pasado maana del ayer del anteayer del pasado maana al da anterior del ayer del da

posterior del ayer del maana es lunes, Qu da es hoy?

a) lunes b) sbado c) martes d) jueves e) domingo

7. Si el ayer del pasado maana del ayer, de antes de ayer es

martes, qu da ser el maana de pasado maana de ayer?

a) Sbado b) domingo

c) martes d) jueves e) viernes

8. Si el ayer del anteayer de maana es lunes, Qu da ser

el pasado maana del maana de anteayer?

a) Lunes b) mircoles

c) martes d) jueves e) viernes

9. Siendo martes el maana de ayer, que da ser el pasado maana de ayer

a) domingo b) mircoles

c) martes d) Jueves e) sbado

10. Si el anteayer del pasado maana es viernes. Qu da fue

ayer? a) lunes b) mircoles

c) martes d) jueves e) viernes

METODOS ESPECIALES DE SOLUCION

MTODO DEL CANGREJO Este mtodo nos permite encontrar las soluciones de un problema, en forma directa; para lo cual se realizan las operaciones inversas en cada

caso, empezando desde el final hacia el comienzo. En este mtodo se procede realizando la operacin inversa a lo que

se indica en el problema, por eso se le llama mtodo del cangrejo por que empieza del final al principio.

OPERACION INVERSO

Adicin (+) Sustraccin (-)

Multiplicacin (x) Divisin (:)

Potenciacin Radicacin

Ejemplo 1

A un cierto nmero se eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 3, a este nuevo resultado se multiplica por 7, luego dividimos entre 14, a este nuevo resultado lo elevamos al cubo, luego le agregamos 9;

finalmente extraemos la raz cuadrada, obteniendo como resultado final 6. Hallar dicho nmero.

Solucin:

Aplicamos el mtodo del cangrejo: Finalmente se obtiene 6 Extraemos raz cuadrada 62 = 36 Le agregamos 9 36 9 = 27 Lo elevamos al cubo 3 27 = 3

Dividimos entre 14 3 x 14 = 42 Se multiplica por 7 42 : 7 = 6 Se le resta 3 6 + 3 = 9

Se eleva al cuadrado 9 = 3

El nmero inicial es 3 Ejemplo 2.

Con un cierto nmero se realizan las siguientes operaciones: se eleva al

cubo, al resultado se le agrega 9, y se le extrae la raz cuadrada, al nmero as obtenido se lo divide entre 3 para luego restarle 1 y por ltimo al resultado se lo eleva al cuadrado, obtenindose como resultado

final 16. Hallar el nmero inicial.

Solucin:

Resultado final 16 Se lo eleva al cuadrado

16 = 4

Para luego restarle 1

4 + 1 =5 Se divide entre 35 x 3 = 15 Extraemos raz cuadrada 152 = 225 Se le agrega 9 2 25 9 = 216 Se eleva al cubo 3 216 = 6

El nmero inicial es 6

Ejercicios propuestos

1. A un nmero se lo multiplica

por 9, al resultado se le aade 12 y a dicha suma se lo divide entre 5,

obteniendo finalmente 6. Cul es el nmero?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 2. A un cierto nmero le restamos 13, al resultado hallado

lo dividimos entre 5 a este nuevo resultado lo elevamos al cuadrado,

a este resultado le sumamos 6, obteniendo finalmente 22. Cul es el nmero inicial?

a) 22 b) 33

c) 44 d) 54 e) 65

3. Una piscina se ha estado

desocupando durante 3 das hasta que solamente ha quedado 10

galones de agua. En cada da se extraa la mitad ms 4 galones de lo que haba el da anterior. Cul

es el volumen total de la piscina?

a) 126 b) 136 c) 146 d) 156 e) 166

4. Un nmero es multiplicado por 3, luego se le resta 8, a este

resultado se le divide por 2, para luego al resultado sumarle 8.

Cul es el nmero inicial, sui se obtuvo 49?

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50

e) 60

5. A un tanque que est lleno de agua se le abre el sistema de desage. Si cada hora se vaca la mitad de lo

que qued la hora anterior ms 4 litros, y queda luego de tres horas

8 litros, determinar la cantidad de litros que haba antes de la primera hora.

a) 120 b) 130

c) 140 d) 150 e) 160

6. Multiplicamos por 6 a la edad de

Fernando, aadiendo al resultado 28, dividiendo el nuevo resultado

por 4 obtenemos por fin 25. Cul es la edad de Fernando?

a) 12 b) 11 c) 25 d) 15

e) 27 7. Si a un nmero lo multiplicamos

por 9 y al resultado le quitamos 13,

obtenemos otro nmero que dividido por 10 nos da como

resultado 5. Cul es el nmero inicial?

a) 12 b) 10 c) 7 d) 8

e) 15

8. Si a un nmero lo multiplico por 8, luego lo divido por 10 y el cociente lo multiplico por 3

aadiendo enseguida 36, entonces obtendra 180. Cul

es el nmero inicial?

a) 42 b) 58 c) 40 d) 52

e) 60

9. Carlos tiene una cantidad de nuevos soles a la que le agrega

S/. 25. Si se triplica la nueva cantidad y al resultado se le resta S/. 20, al nuevo resultado

dividido por 20 personas hace que cada una reciba S/. 5.

Cuntos nuevos soles tena Carlos al principio?

a) S/. 12 b) S/. 20

c) S/. 18 d) S/. 25 e) S/. 15

10. Multiplicamos un nmero por 4, producto al que luego

restamos 12, dividiendo enseguida el resultado por 3,

para volver a multiplicar por 6 aadiendo luego 3 al resultado, dividiendo finalmente por

3resulta 89. Cul es el nmero inicial?

a) 48 b) 40 c) 36 d) 58

e) 60

MTODO DEL ROMBO

Este mtodo se aplica a los problemas de cuatro operaciones, que presentan las caractersticas siguientes:

El problema debe tener dos incgnitas. Valor unitario de cada una de las incgnitas. Que tenga un valor numrico, que es la suma de las dos incgnitas

(Dato de entrada) Adems de tener otro valor numrico como resultado del nmero

total de elementos (Dato de salida) Para su mejor comprensin haremos una descripcin del esquema que

se utiliza:

Donde: n = Nmero total de elementos N = Recaudacin total originada por el nmero total de elementos.

M = mayor valor unitario. M = menor valor unitario.

Ejemplo 1 En un corral hay cuyes y gallinas que total son 44 cabezas y 134 patas.

Cul es la diferencia entre el nmero de cuyes y gallinas existentes?

Solucin:

Como se puede observar, hay dos incgnitas: #de cuyes y # de gallinas

Entonces el valor unitario de cada incgnita es: En 1 cuy hay 4patas En una gallina hay 2 patas

El lado de entrada, 44 cabezas; se coloca en el vrtice izquierdo del rombo.

El dato de salida, 134 patas, se coloca en el vrtice derecho del rombo.

M

N n

m

x -

-

En la representacin grfica, se va a calcular el nmero de gallinas.

Nmero de gallinas = 212

42

2

134176

24

134)444(

Luego se tiene: # de gallinas + # de cuyes = # de cabezas

Sustituyendo datos: 21 + # de cuyes = 44

# de cuyes = 23 Como nos piden, la diferencia entre el nmero de cuyes y gallinas es:

23 21 = 2

Ejemplo 2. En un examen Csar gana 3 puntos por respuesta correcta, pero pierde

1 punto por cada equivocacin. Si despus de haber contestado 25 preguntas obtiene 47 puntos, Cuntas preguntas contest mal?

Solucin:

En este caso debemos hallar el nmero de preguntas erradas

Nmero de preguntas erradas =)1(3

47)325(

4 patas (cuyes)

134 patas 44 cabezas

x -

-

2 patas (gallinas

4 puntos (correcta)

47 puntos 25 preguntas

x -

-

-1 punto (errada)

Nmero de preguntas erradas =4

28

13

4775

Nmero de preguntas erradas = 7

MTODO DE LA FALSA SUPOSICIN

Este mtodo es el mismo que el Mtodo del Rombo, es decir, la misma aplicacin para los mismos tipos de ejercicios.

Este mtodo consiste en suponer un resultado como verdadero, luego determinar el error total (Et) cometido; a continuacin calcular el error

unitario (Eu); entonces el nmero de objetos (N) esta dada por la siguiente relacin:

Eu

EtN

Ejemplo 1

En un mnibus interprovincial viajan 65 pasajeros entre adultos y nios. Si el pasaje de cada adulto es S/. 8 y S/. 5 el de un nio. Cuntos

nios viajaron en total, si la recaudacin fue de S/. 445?

Solucin:

Del problema se tiene: Total de pasajeros : 65 Total de recaudacin : S/. 445 Pasaje de cada adulto : S/. 8 Pasaje de cada nio : S/. 5 Total de nios : N

Vamos a suponer que los 65 pasajeros son adultos, entonces la recaudacin sera:

65 x S/. 8 = S/. 520

Pero el total de la recaudacin es slo S/. 445, entonces el error total cometido es:

Et = S/. 520 S/. 445 = S/. 75 Por otra parte al suponer que todos los pasajeros son adultos, se ha

cometido un error unitario de:

Eu = S/. 8 S/. 5 = S/. 3

Luego el nmero de nios (N) que viajaron, se obtiene de la frmula respectiva:

253./

75./

S

S

Eu

EtN

Rpta. Viajaron 25 nios.

Ejemplo 2

Un polica de vigilancia, durante 30 das trabaja para la empresa Seguridad total, resguardando una tienda y una casa, Por cuidar la tienda recibe S/. 15 cada da y por cuidar la casa recibe S/. 10. Si al final recibi S /. 400. Cuntos das trabaj cuidando la tienda y cuntos la casa?

Solucin:

Vamos a suponer que trabaj los 30das cuidando la tienda, por lo cual recibir:

30 x S/. 15 = S/. 450

Pero l slo recibe S/. 400, entonces hay un error total de :

Et = S/. 450 S/. 400 = S/. 50

Por otra parte el error unitario de lo que recibe por da es:

Et = S/. 15 S/. 10 = S/. 5

Entonces el nmero de das que trabaj cuidando la casa es de:

105./

50./

S

S

Eu

EtN

Luego:

o 10 das cuid la casa o 20 das cuid la tienda.

Ejercicios propuestos.

1. En una granja donde existen conejos y palomas se cuentan

115 cabezas y 370 patas (extremidades Cuntas palomas

hay en la granja? a) 35 b) 45

c) 55 d) 65 e) 70

2. Se desea pagar una deuda de 142 soles con 50 monedas de 5 y 2 soles. Cuntas monedas de

S/. 5 debo emplear?

a) 18 b) 16 c) 12 d) 14 e) 10

3. En el examen de Razonamiento Matemtico que consiste en 30

preguntas, por cada pregunta bien contestada se gana dos puntos y por cada pregunta

errada se pierde un punto. Si la nota de Brayan es de 42 puntos.

Cuntas preguntas contest mal?

a) 8 b) 7 c) 9 d) 6

e) 10

4.Orlando ha sido contratado por el colegio San Luis por 3 aos, con la siguiente condicin:; por

cada mes que trabaje le pagan 300 soles y por cada mes que no

trabaja debe pagar 320 soles. Cuntos meses ha trabajado si recibi S/. 2120?

a) 14 b) 22

c) 24 d) 26 e) 28

4. Un Docente de Matemtica por resolver 80 problemas entre

Lgico Matemtica y Razonamiento Matemtico recibe

un total de S/. 2500. Por cada problema desarrollado de Lgico Matemtica y Razonamiento

Matemtico, son de 35 y 25 soles respectivamente. Cuntos

problemas de Lgico Matemtica ha desarrollado?

a) 30 b) 45 c) 50 d) 60

e) 40

6. Un profesor de Matemticas le da a su hijo Juan 3 soles por cada

problema bien resuelto y por cada problema mal resuelto el

hijo tiene que dar al profesor 1 sol. Ha resuelto 50 problemas y obtuvo S/. 66 Cuntos

problemas bien resueltos ha hecho?

a) 29 b) 28

c) 22 d) 21 e) 32

7. En el Colegio La Merced trabajan 45 personas entre profesores y administrativos, los

sueldos de un mes ha importado un total de S/. 21 000. El sueldo de un profesor es de S/. 500 y el

de un administrativo es de S/. 350. Cuntos administrativos

trabajan en el Colegio La Merced?

a) 5 b) 15 c) 12 d) 14

e) 10

8. Carlos y Jampol llevan juntos 120

libros de Razonamiento

Matemtico, para vender, Carlos vende a S/. 20 cada libro, Jampol a S/. 14; recibiendo juntos en

total S /. 2 130. La diferencia del nmero de libros que ha vendido

entre Carlos y Jampol es:

a) 25 b) 45 c) 35 d) 40 e) 30

9. Un obrero trabaja durante 30 das encasa de dos patrones. El

primero le paga por da S/. 2,20. y el segundo S/. 2,52. Si en total

recibe S/. 69,84. Cuntos das trabaj para el segundo patrn?

a) 18 b) 20 c) 16 d) 14

e) 22

10. En un zoolgico hay leones y

palomas, si en total hay 20 cabezas y 52 patas Cuntos leones hay

a) 16 b) 6 c) 15 d) 8

e) 12

MTODO DE LAS DIFERENCIAS

Denominado tambin como el mtodo de la diferencia total y diferencia unitaria, que se refiere a los problemas donde se relacionan cantidades unitarias con sus respectivos totales,

presentndose dos casos:

A. Cuando se trate de hallar el nmero de objetos, conociendo sus valores unitarios y totales, se puede utilizar la siguiente frmula:

sUnitariasDiferencia

sTotalesDiferenciaN

B. Cuando se trate de distribuir cantidades sobre objetos o costos, donde se presentan cantidades sobrantes y faltantes, entonces

aplicamos la siguiente frmula:

S + F = A x N Donde:

S = Cantidad que sobra F = Cantidad que falta A = Diferencia de costos N = Nmero de elementos u objetos a hallar

Ejemplo 1.

La librera Alex oferta cierto nmero de textos. Si los vende cada uno a S/. 15 recauda S/. 600, Pero si los vendiera a S/. 20 cada uno

recaudara S/ 800. Cul es le nmero de textos? Solucin:

Valores unitarios : S/. 15 y S/. 20

Valores totales : S/ 600 y S /. 800 Nmero de textos : N

Aplicando la primera frmula tenemos:

sUnitariasDiferencia

TotalessDiferenciaN

5

200

15./20./

600./800./

SS

SSN

N = 40

Rpta. La librera ofert 40 libros

Ejemplo 2.

En un orfanato se desea repartir cierta suma de dinero entre los nios. Si se da S/. 18 a cada uno faltara S/. 20; pero si se da S/. 15 sobrara

S/. 25 Cuntos nios son los beneficiados?

Solucin: Cantidad que sobra : S = S/. 25

Cantidad que falta : F = S/. 20 Diferencia de montos : A = S/. 18 S/. 15 = S/. 3 Nmero de nios : N

Aplicando la segunda frmula se tiene:

S + F = A x N

S/. 25 + S/. 20 = (S/.3)N

45 = 3N

Luego: 153

45N

Rpta. Hay 15 nios.

Ejemplo 3.

La promocin del sexto grado desea realizar una rifa de un DVD con cierto nmero de boletos. Vendiendo cada boleto a S/: 5, perdera S/. 40

y si vendiera a S/: 8 ganara S/. 140. Hallar el nmero de boletos y el precio del DVD

Solucin:

Cantidad que sobra : S = S/. 140 Cantidad que falta : F = S/. 40 Diferencia de costos : A = 8 5 = S/. 3 Nmero de boletos = N

Aplicando frmula:

S + F = A x N

S/. 140 + S/. 40 = (S/.3) N

180 = 3N

Luego: 603

180N

Para determinar el precio del DVD, podemos aplicar dos planteamientos: . DVD = 60 (5) + 40 = S/. 340

DVD = 50 (8) - 140 = S/. 340

Rpta. Nmero de boletos 60 y el precio del DVD es S/. 340

MTODO DEL RECTNGULO

Este mtodo, no es ms que la aplicacin prctica del mtodo de las

diferencias. Para aplicar este mtodo deben participar dos cantidades excluyentes, una mayor que la otra a consecuencia se tiene dos enunciados, un

sobrante (o ganancia) y otro faltante (o prdida).

Ejemplo 1

Si pago S/. 12 a cada uno de mis empleados me faltan S/. 340; p ero si

slo les pago S/. 4, me sobraran S/.100. Cuntos empleados tengo?

Solucin: Aplicando el mtodo del rectngulo se tiene:

Podemos decir que:

# de empleados 8

440

412

100340

Rpte: # de empleados= 55

Ejemplo 2

Si compro 9 cuadernos me sobraran S/.7; Pero si compro 13 cuadernos me faltaran S/. 41. De cunto dinero dispongo?

Solucin:

SOBRA S/. 100

FALTA S/. 340

S/. 4

S/. 12

- +

Aplicando el mtodo del rectngulo se tiene:

Podemos decir que:

Precio de cada cuaderno:4

48

913

741

Rpta: Precio de cada cuaderno= S/. 12

Ejercicios propuestos.

1. Una institucin benfica distribuye dinero entre un

nmero determinado de personas pobres; si da S/. 25 a cada uno sobrara S/. 200, pero si da a

cada uno S/.40, faltar S/. 400. Cul es el nmero de pobres?

a) 25 b) 30 c) 40 d) 50

e) 35

2. Un comerciante desea vender a

S/. 11 cada calculadora para ganar S/. 75, pero si los vendiera

a S/. 6 tendra una prdida de S/. 50. Cuntas calculadoras desea vender?

a) 28 b) 20

c) 18 d) 25 e) 15

3. Al rifar un televisor bajo cierto nmero de boletos. Si se vende a

S/. 4 el boleto, se perdera S/. 60 y si se vende a S/. 6 el boleto se ganara S/.100. Cul es el

precio del Televisor?

a) S/. 300 b) S/. 360 c) S/. 380 d) S/. 400 e) S/. 350

4. Si se vende cada lapicero a S/. 4 se gana S/. 18, pero si se vende

en S/. 2 cada uno, se pierde S/. 4. Cuntos lapiceros estn en venta?

a) 11 b) 8 c) 15 d) 9

e) 12

5. En una feria cierto ganadero

indicaba lo siguiente. si vendo mis borregos a S/.20, podr comprar un caballo y me quedan

S/. 90; pero si los vendo a S/. 18, comprando el caballo me

quedara S/. 6. Cul es el precio del caballo?

a) S/. 84 b) S/. 240

c) S/. 360 d) S/. 750 e) S/. 350

6. Si le pago S/. 15 a cada uno de los obreros me faltara S/. 400; pero si slo les pago S/. 8, me

sobraran S/. 160. cuntos obreros tengo?

a) 50 b) 60 c) 70 d) 55 e) 80

7. Para ganar S/. 560 en la rifa de una grabadora, se imprimieron

SOBRA S/. 7

FALTA S/. 41

9 cuadernos

13 cuadernos

- +

600 boletos, sin embargo; slo se vendieron 210 boletos; originndose una prdida de S/.

220. Cunto cuesta la grabadora?

a) S/. 620 b) S/. 640 c) S/. 650 d) S/. 660

e) S/. 600

8. Elmer quiere repartir cierto

nmero de caramelos entre sus sobrinos. Si les da 10 caramelos

a cada uno le sobran 6 caramelos. Y si les da 11 caramelos a cada uno le faltan

6caramelos. Cuntos caramelos quiere repartir?

a) 120 b) 122 c) 124 d) 126

e) 128

9. Si vendo a S/. 12cadapelota

gano S/. 25; pero si las vendiera a S/.10 perdera S/. 9 Cuntas pelotas deseo vender?

a) 20 b) 17

c) 19 d) 18 e) 21

10. Al comprar 20 naranjas, me

sobran S/. 4,80; pero al adquirir 24 naranjas, me faltaran S/.

1,20. Cunto cuesta cada naranja?

a) S/. 1,50 b) S/. 0,30 c) S/. 3,00 d) S/. 0,15

e) S/. 0,25