Diapositiva 1

Desarrollar -3(2x+9)-(4x-3)+(9-3x)-(-8x-1)+-(7x+9)+(-4x+7)-16(x-1)-16(-x-1)-16(x+1)

Ejemplos de DIAPOSITIVAS1DOMIN DE POTENCIAS PARA JUGARN14-44-2(2/3)-481/16( B/A)-nAn/Bn(0,66..)-29/4Cul es elValor de(-6 ) 3-216(-2) = 64 ?6128 / 2-2297 = 1/243xx?-3(0,5)-38CuartaPotenciaDe xx41/x -5x5A = 8/125-3A?5/2- 15/25622Cul es el valor de : {[( - 2/4)0]-1}310- 3

3Cul es el permetro de la figura?3x-a+m- 2x+8m5x+6a-10m- 4x-5a+6m2x+5m2x-5m+3a

45ENCUENTRE EL 50% DE X EN:128 = 64 X-2X + 110201624

6[(2-8)+(5-7)]-[(-9+6)-(-5+7)]DESARROLLAR Y CALCULAR-3-5-7

7Desarrollar y calcular: 0,3x en81 3 = 1X-2X+2:2/33/4- 216

8Ejercicio resueltoSe han mezclado 30 litros de aceite barato con 25 litrosDe aceite caro, resultando la mezcla a $320 /L. Calcula El precio del litro de cada clase, sabiendo que el de msCalidad es el doble de caro que el otroCANTIDAD EN (L)BARATOCAROMEZCLAPRECIO/LCOSTO TOTAL ($)302555x2x$32030x25 2x = 50x55 320 = 30x + 50x55 320 = 30x + 50x17600 = 80xX = 17600/80X = $220/L2X = 2 2202x = 440

RESPUESTA:El aceite barato cuesta$220/L y el caro $440/L 9Un televisor a un crdito de 8 cuotasEs aumentado un 6%Si el precio al contado del televisor Es $120.000Qu valor tendr cada cuota del Crdito?EJERCICIO- RESUELTOEl precio del televisor es el 100% y en cuotas aumenta en 6% Entonces el nuevo valor es 106% La fraccin es: 106/100 120.000 = 1,06 120.000 = $127.200Si este valor lo dividimos por 8 , obtenemos el valor de cada cuota$127.200 : 8 = $15.900RESPUESTA : Cada cuota del crdito es de $15.90010Ejercicio: Para RESOLVERCompleten en sus cuadernos la siguiente tabla relacionandoLas variaciones porcentuales con los factores de multiplicacinENUNCIADOFACTOR FRACCIONARIOFACTOR DEMULTIPLICACINDisminucin del 12%Disminucin de 7%Aumento de 29%Aumento de 112% Disminucin de 35%Aumento de 6%88/1000,88212/1001,0611DOMIN DE ECUACIONES PARA JUGAR3x-7 = 2 x?

5y+2 = 4y-5 y? -73(x+2)-2(x+3) = xPara que valor de xLa ecuacin,tienesolucinTodo x real(X-1) +2 = X -1 X?222ax-1 = b ax)?1+b4+2x-x = - 3x- 4 x?- 2P = 2r r?2 /P2T /3 = 4 T?6T = P+ma m?T/Pa1/3+2/5= x+4 x?- 49/15312FACTORIZACIONES RESUELTASN1.- 2X+6Y = 2(X+Y)15N2.- 5XY-2Y = Y(5X-2)N3.- 8X Y 6X Z + 4X YZ = 2X (4Y-3XZ+2YZ)2322N4.- 8a b - 4a b 3324 =4a b (2a-b)23N5.- 6ac x - 8c x 2cx = 2cx( 3acx- 4c -1) 2243N6.- 3ax(m-1) +2z(m-1) = (m-1)(3ax+2z)N7.- 5ab(2c-n) (2a+3)(2c-n)= (2c-1)(5ab-2a-3)N8.- 4mx(3x-1) + (2mx+5) (3x-1) = (3x-1) (4mx+2mx+5) = (3x-1)(6mx+5)N9.- 12a(2b+5x)-2b-5x = 12a(2b+5x) -1(2b+5x) = (2b+5x)(12a-1) N10.- 9a - 4 = (3a+2)(3a-2)2N11.- 16x y - 9a n = (4x y +3a n )(4x y - 3an ) 4628223344N12.- 4x + 3x 40 = (2x+5)(2x-2)2N13.- x +3x-40 = (x-5)(x+8)2N14.- 16x -16x+4 = (4x-2)(4x-2)2N15.- 4x -20x+25 = (- 2x+5)(- 2x+5)213Problemas clsicos resueltos, aplicando ecuaciones de primer gradoPROBLEMA N1Un padre tiene 35 aos y su hijo 5 . Al cabo de cuntos aosSer la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?Aos x35+x = 3(5+x) x = 10 aosPROBLEMA N2PROBLEMA N3Si al doble de un N se le resta su mitad resulta 54Cul es el N?Sea X el N pedido2x x/2 = 54 x= 36La base de un rectangulo es doble que su alturaCules son sus dimenciones si el permetro mide 30 cm?Altura = xBase = 2x 2xx2x + 4x = 30 x= 5 Altura = x = 5 cm Base = 2x = 10 cm14Problema N 4Problema N 5En una reunin hay doble N de mujeres que de hombres Y triple N de nios que de hombres y mujeres juntosCuntos hombres, mujeres y nios hay si en la reuninLa componen 96 personas?Hombres = xMujeres = 2xNios = 3(x+2x) = 3 3x = 9xLuego; x+2x+9x = 96 x = 8Hombres = x = 8Mujeres = 2x = 16Hijos = 9x = 72Se han consumido 7/8 de un bidn de aceite . Reponemos 38 litros y el bidn ha quedado lleno hasta sus 3/5 partesCalcula la capacidad del bidnSea x la capacidad del bidnLuego: x 7/8 x +38 = 3/5 x Luego x= 80 litros1415Problema N6 Problema N6Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay35 cabezas y 116 patas Cuntos cerdos y pavos hay?Cerdos = xPavos = 35-xPatas : 4x + 2(35-x) = 16De donde x = 23 Luego cerdos = 23 pavos = 35-23 = 12Problema N7Luis hizo un viaje en el auto, en el cual consumi 20 litros de bencina. E l trayecto lo hizo en dos etapas: En la 1 etapa consumi 2/3 de la bencina que tena el depsito y en la 2 etapa , la mitad de la bencina que le queda SE PIDE

Litros de bencina que tena en el depsito-) 1 etapa = 2/3 x-) 2 etapa = 1/2 ( x 2/3 x ) = 1/2 1/3 x = 1/6 xLuego 2/3 x + 1/6 x = 20 x = 24 litrosLitros consumidos en cada etapa-) 1 etapa = 2/3 x = 2/3 24 = 16 L.-) 2 etapa = 1/6 x = 1/6 24 = 4 L.CONTINA DIAPOSITIVA N 80PROBLEMASLas variables x e y Directamente proporcionalesxY2,60,45,20,8a 1,220,8bCul es la Proporcionalidad?1,042,236,5

sonconstantede16En las fichas se han escrito algunas expresiones algebraicasSi x es un nmero natural En cul de las fichas se representa el ANTECESORDE 3x + 6?3x + 53x - 53x + 43x - 4

17Encuentre el valor de 5232222+-1-3-2es18

ENCUENTRE EL VALOR DE X EN;0,25X-1=128-523219

SiEncuentre x sia = 2b = 1X = 3 a - b-1 2-12+12-32+32

20Si el permetro de la figura es 30 cm Cul es el valor de x? xX+3X+5X+24 cm20 cm10 cm8 cm5 cm21816357492El nmero mgico del cuadrado mgico es:1525

22

Juego ; DOMINO ARITMETICOCon 12 FICHAS3/50,630%0,2525%0,62/3Qu % es4 de 24?16,6 %12% de 485,7680%0,8Factor deMultiplicacinDe un aumentoDel 30%1,350%1/20,52-1De qu NEs 6 el 75%82/90,23/10Juego con 12 fichasN23El grfico representa la relacin de gastos de litros de bencina (eje Y) por kilmetros recorridos (eje X) , para tres marcas de camiones Atlas, Taurus, Silver. El rendimiento de un vehculo se mide por la cantidad de kilmetros que puede recorrer con un litro de bencina. Segn el grfico , los camiones de mejor rendimiento son,SilverTaurus

AtlasAtlasTaurus

Y(LITROS de bencina)x242814202632128282012xySegn histograma Cul es la marca de clase del 4 intervalo?234617

2525.26JUEGODOMIN ARITMTICO N2Reforzamiento NMEROSCuntosDivisoresTiene elN menosveinticuatroo2/5 + 3/56/10 .1/52230,253164Doble de = 3,146,28(m.c.m.)Entre(18,30,22)99030% de 50 ms30% de 20 Menos el50% de 40Sucesor del;Doble de 8Menos elCuadradoDe 5

1-8$1.240Se aumentaEn un 8%$1.339,25(0,05 / 0,5)0,540-202,5+1001400,0251.00031410-5Son 168 positivos8 negativos27D0MIN0 ARITMTICO PARA JUGARN10,12575%3/40,55/980%0,81,47/525% de 823-21/922,2 %2/90,51/250%2-120% de 163,21/818:-3+3-1- 17/328DOMIN ARITMTICO PARA JUGARN22 + 2 -1-20,25:0,751/30,00008810-5De qu NES 8 el 8%1003,14: 40,7850,5:1000,0051: 0,1258(-4)(0,0125)0,05T=0,9R=0,01CalcularT-R0,8912 + 2 -1-24/370%7/10-6+9-4-7-8Triple de Del N 9,42Cuarta ParteDe /43/429DOMIN ARITMTICO PARA JUGARN 3EncuentreM.C.D.Entre 48 y 96El valor de1+1/3-0,3-1Nmero dedivisores del 9012Al redondear0,36a la milsimaresulta0,3641/3 + 2/5 :1/27/152/3EncuentraEl M.C.M.Entre28,32,40,1810.080FormaFraccionariaDe 0,5644508/900Calcula1282-624(1,55.. 0,22..)216/950% del 75%De 120 m45- 2 3 o2-10NotacinCientficade0,0000048

4,8 10-648Al rendir un examen de conduccin se mide la rapidez de reaccin (en segundos) de cada persona .En un da de examen , los tiempos registrados fueron los siguientesTiempo[0,03-0,035)[0,035-0,04)[0,04-0,045)[0,045-0,05)[0,05-0,055)Nmero de personas481093Cuntas clases tiene la tabla?Determinar la amplitud del intervalo5 y 0,0055 y 0,55 y 0,055 y 0,0005

30Se consult a 30 personas respecto al nmero de hijos que tienen .Las respuestas fueron las siguientes 201111111222222233344450000008Qu porcentaje de personas no tiene hijos23,4%32,4%

31En un colegio, los alumnos de 2 medio obtuvieron las siguientes notas en matemtica3,455566,7666,26,46,26,566,574,64,85,85,23,8Calcula la media,la mediana y la moda5,6 6 65,6 4 74,6 5 5

32Se registra el tiempo X que una muestra de 7 estudiantes emplea en responder una prueba . La informacin es la siguiente , en minutos X: 40, 25, 28, 37, 30, 51, 34Al respecto, es posible afirmar que, en la muestra :

El tiempo mediano de respuesta fue de 37 minutosEl rango de tiempo de respuesta fue de 26 minutosIII) El tiempo medio de respuesta fue de 35 minutosEs (son) correcta (s)Slo ISlo I y IISlo I y IIISlo II y III

33Los datos siguientes corresponden al tiempo en minutos que un trabajador debe esperar su medio de movilizacin para ir al trabajo durante 15 das laborales20, 5, 12, 8, 5, 8, 4, 10, 3, 8, 6, 18, 2, 10, 14Entonces la media, la mediana y la moda para este conjunto de datos son respectivamente8,83 8 88 8,86 88,86 5 10 8,86 8 8

34Calcular+5-10+-78+-5-8+20-9+12739383

35----8(.9)+22355.-6055- 40

Calcular3636Calcular4345

-------4{6[4.1-2.(6:3426)5]}-37NUMEROS RACIONALESDESARROLLAR Y CALCULAR-----11332564+--11121312-42,8

38Si a la suma del cubo de 2 y del cuadrado de 3 se le resta 4 se obtiene la mitad de x Cul es el valor de x1624

2639NOTAMCD significa el mximo comn divisorm,c,m significa el mnimo comn mltiplo Encuentre el M C D y el m c m entre 75 y 80Solucin 7532552175 =5.23802402222010551M C D (75, 80) = 580 = 2 .45m c m (75 , 80)=

. 32.452=1.20015y1.2005y1.20025y1.800

40Calcular1(-11111-3).(4)):(+21315

41Desarrollar y calcular[]333347.-(.1-1)141516

42Calcular1113334----++22.455:636-6(){}-83949145145

43Desarrollar y calcularSi P= 0,8 Q= 12,4 2P + Q 3Q - PY14 y 36,618 y 36,614 y 26,616 y 28,8

44Si P = 3,14Q = 0,8Calcular2P .4QYP:3Q20,096Y1,318,8Y1,319.96y1,8

45Desarrollar y calcular11333344422++-55-8:24Un poco ms de 5Un poco menos de 8

46En el siguiente cuadrado mgico. (())x---y22+ba184515y1312b11a6x173CALCULAR82788076

47Con los nmeros mixtos 223113213;;LLENE EL SIGUIENTE CUADRO MAGICO11312332CUL ES LA FRACCION QUE FALTA?233472

48Cul es el 11 th de la sucesin 1 .2 .32.3.43.4.5;;11 .12 .1321. 22. 23

49Indica la frmula o regularidad numricaDe la siguiente sucesin-2, 3, 8, 13.5n---35n15n+75n7

50

Indica el 15 th De la sucesin -4;;514-----122118

51Observa la siguiente serie de figuras............. .....Fig 1Fig2Fig3esferapalilloEncuentra el nmero de palillosY esferasPara formar la figura 12.37 y 2631 Y 2833 Y 29

52En el siguiente arreglo numricoCalcular x + y - zaba+bregla222222222xyz46

53Fig 1Fig 2Fig 3Fig 4En el siguiente problema las fichas circulares Estn colocadas en arreglos triangularesCuntas fichas se necesitan para formar la fig 100?5.05050.05010.05050.005

54SiX = ( 5 4 ) : 2 333Y = ( 30 : 5 ) : ( 2 3 )7755Calcularxy36.00046.00026.00055REFORZAMIENTO ALGEBRAAl resolver (2a- 5b + 3c ) ( - 5a+b 4c ) ( - a b )Resulta6a-5b+7c8a-5b+7c8a-7b+7c8a+7b+7c

56La Expresin Algebraica5x + 3y2Corresponde a un :MonomioBinomioTrinomio

57Si x = 2 e y = - 1 El valor de la expresin2 x y 3 x y es;22-1618

58Al factorizar1 - aSe obtiene;(1 a )(1 a ) ( 1 + a )(a + 1 ) ( a 1 )22

59El nmero n es un entero positivo tal que El doble de su cuadrado es 32Entonces el cudruplo de n es :416832

60La factorizacin de:X + 13x + 12Corresponde a:(x + 12 ) ( x + 1 )(x - 12 ) ( x + 1 )

61Al simplificar la expresinm n m n 22Se obtiene;m + nm - n1m - n 62

La suma de tres enteros pares consecutivos es3n - 6Cul es el mayor de ellos?n2nn - 2n + 2( - n )2

63La superficie de un cuadrado es 169 cmEntonces su permetro es :26 cm52 cm85 cm

264Los ngulos interiores de un tringuloSon entre sComo 1 : 2 : 3El tringulo es :IsscelesRectngulo

651aaaa223+13Es igual a:2aa/2-a/6-a

66Si una botella contiene 250 cm de agua lo que equivale al40% de su capacidad para llenarla se deben agregar:375 cm200 cm125 cm333367

El producto de 6x y 4x es:24 x10 x5623

68yxCul (es) de las siguientes expresionescorresponde (n) al rea en rojo de la figura?x-y222(x + y )2x 4yx/2 - y/2

69La solucin de la ecuacin fraccionaria2x + 23-x - 14= 1es1/56/511

70La figura es un pentgono regular de lado x+ 0,8Calcular la mitad de xEl permetro del pentgono es 14,4 cm1,04 cm2 cm1,4 cm2,04 cm2,4 cm71

Las figuras son: exgono regular y tringulo equilteroLado del exgono es 2x 4Encuentre semi-permetro de las figuras en AMARILLO8X - 1616X - 3212X + 872

-La expresin El cuadrado de la diferenciaEntre dos nmeros a y b es: (a b )2a-b22a b 222a-b()222

7321-13El grado de la expresin- 3 x y z es;232- 556-6

74El valor de x en la ecuacin2223x3xx44+-=-1es___1199117975

- - aa13Es igual a :76433aa2

763xy al cuadrado(2x+1)24x + 4x + 12-5a+8a-3a0Grado de 5 x y z 258(X+3y) por (x-3y)x 9 y2 23a -9bIndica la ficha a jugar en el domin3(a-3b)x-2-8xy9(x+y)Evaluar 2ab Si a=2 b=3 (1/ab)-5

77La tabla siguiente muestra los valores de x e yDonde x es directamente proporcional a yCul es el valor de P + Q?xy356QP252515122835

78X+1=73x=30 x/2?52(x-3)=18x?12x/3-x/2 = 1-x?-6El triple de xEs 21 x+1?8La cuarta parteDe x es su doblemenos 7 x?4Escribir en Forma algebraicaEl cuadradoDe un N menosSu mitad +3 es 12

x x/2 +3 = 1223m+9=36

m/3 a laCuarta?

81Escribir en Forma verbal(x+y) + 2xy2El cuadrado de laSuma entre 2 NAumentado en elDoble de su Producto

y/3 3 = 1Calcular el Doble de y24-5(x+2)=20x+26?620117Cul de las dos fichas me da la capica en el juego?79

80En una librera , Ana compra un LIBRO con la tercera parte de sudinero y un COMIC con las dos terceras partes de lo que le quedaba . Al salir de la librera tena $12.000 Cunto dinero tena Ana?Dinero que tena Ana o total = xLIBRO = 1/3 xCOMIC = 2/3 (x- 1/3 x) = 2/3 2/3 x = 4/9 xLuego 1/3 x + 4/9 x + 12.000 = x x = $54.000Problema N8Problema N9Las dos cifras de un mismo nmero son consecutivos La mayor es la parte de las decenas y la menor la de lasUnidades. El N es igual a 6 veces la suma de las cifrasCul es el N ?UNIDADES = xDECENAS = x+1Si tenemos un N de dos cifras , Por Ej. 65 podemos descomponer este NEn; 6 10 + 5Nuestro N de dos cifras es (x+1) 10 + xComo este N es 6 veces mayor que la suma de sus cifras . Se tiene(x+1) 10 + x = 6(2x+1) x = 4 ; UNIDADES = X = 4 ; DECENAS = X+1 = 5 El N ES 5481Problema N10Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan EXCEDE en 15 aos a laEdad de ste . Hace 4 aos la edad del padre era DOBLE de la edad del hijoHallar las edades de ambosHace 4 aosHoyJuanPadreXX+42X2X+4Luego 3/4 (2X +4) = X +4 +15 X = 32EDAD JUAN = 32+4 = 36 aosEDAD PADRE = 2 32 +4 = 68 aosProblema N11Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un Trabajo en 14 hrs. Cunto tiempo tardarn en hacerlo Por separado si uno es el doble de rpido que el otro TIEMPOHORA DE TRABAJORAPIDOLENTOX1/X 1/2X 2XLuego: 1/x + 1/2x = 1/14 x = 21 RAPIDO; Demora 21 hrsLENTO ; Demora 42 hrs82Hallar el valor de los tres s de un tringulo sabiendo que B mide40 ms que C y que A mide 40 ms que BProblema N 12ABCC = x B = x + 40A = x + 40 + 40 = x + 80Adems ; A + B + C = 180Luego ; x + x+40 + x+80 = 180 x = 20De donde A = 20+80 = 100 B = 20+40 = 60 C = 2083Dos ciudades A y B distan 300 Km entre s . A las 9 de la maana Parte de la ciudad A un auto hacia la ciudad B con una velocidad De 90 Km/h y de la ciudad B parte otro auto hacia la ciudad A conUna velocidad de 60 Km/h . Se pide : Problema N 131) El tiempo que tardarn en encontrarse

90t + 60t = 300 x = 2 hrs2) La hora de encuentro Se encontrarn a las 9 + 2 = 11 hrs de la maana3) La distancia recorrida por cada automvil Primer automvil ; d(AC) = v t = 902 = 180 KmSegundo automvil ; d(BC) = 602 = 120 KmABC300 KmV = D/t Vt = D8384Problema N 14Dos ciudades A y B distan 180 Km entre sA las 9 de la maana sale un auto de cada ciudadY los dos autos van en la misma direccin y sentido El que sale de A circula a 90 Km/h El que sale de B circula a 60 Km/h. Se pide 1 El tiempo que tardarn en encontrarse90t - 60t = 180 Km t = 6 hrs2 La hora del encuentroSe encuentran a las 9 + 6 = 15 hrs = 3 de la tarde3 la distancia recorrida por cada autoMVIL 1 = 906 = 540 KmMVIL 2 = 606 = 360 KmABC180 KmSe encuentran en elPunto C85Problema N 15Un auto sale da la ciudad A a la velocidad de 90 Km/h Tres horas ms tarde sale de la misma ciudad otro auto En persecucin del primero con una velocidad de 120 Km/hSE PIDE El tiempo que tardar en alcanzarlo 90t = 120(t-3) t = 12 hrsLa distancia en la que se produce el encuentrod = 90 12 = 1.080 KmA90 K/h120 K/hC lo alcanza86Problema N16Un camin sale de una ciudad a una velocidad de 40 Km/h Una hora ms tarde sale de la misma ciudad y en la misma direccinY sentido un auto a 60 km/h . SE PIDE Tiempo que tardara en alcanzarled(camin) = d(auto) 40t = 60(t-1) t = 3 hrsComo el auto sale una hora ms tarde , el tiempoque tardar en alcanzarlo ser 2 hrsDistancia al punto de encuentroD(camin) = 40t = 403 = 120 kmCamin = 40 km/hAuto = 60km/hLo alcanzaLa misma distanciaAB87Problema N 17Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de la maanaDe los pueblos A y B situados a 130 km de distanciaEl ciclista que sale de A pedalea a una velocidad constanteDe 30 km/hEl ciclista que sale de B pedalea a 20 km/hA qu distancia de A se encontrarn y a qu hora?30t + 20t = 130 t = 130/50 t = 2,6 t = 2 hrs con 36 min.Luego se encuentran a las 11 hrs con 36 minutosD(AC ) = 30 130/50 = 78 km AB30 km/h20 km/hC Se encuentran130 km88Problema N 18Un grifo tarda en llenar un depsito 3 hrs y otro grifo tarda en llenarlo 4 hrs Cunto tiempo tardarn en llenar los dos grifos juntos el depsito?Grifo A = 3 hrsGrifo B = 4 hrsLos dos grifos juntos = producto/suma 34 /3+4 = 12/7 hrs = 1,7 hrsLuego los dos grifos juntos demoran 1 hora 42 minutosProblema N19Para pintar una casa se emplean 3 personas por separado. La persona A emplea 6 das. La persona B la termina en 10 das y la tercera persona la termina en 4 dasPor problemas de tiempo se necesita que las tres personas trabajen juntas CuntoTiempo demoraran?

A + B + C = 6104610+64+104240/1241,9 = 1 da 21 hrsProblema N20Una mquina retroexcavadora junto a una 2 mquina terminan un camino Para su pavimentacin en 2 hrs Cunto se demora la 1 mquina si la 2 se Demora 6 hrsMquina A = xMquina B = 6 hrsA+B = AB / A+B 2 = 6X / 6+X X = 3 hrsLuego la 1 mquina demora 3 hrsProblema N21Una llave llena una piscina en 6 hrs . Pero junto con una 2 llaveLa vacan en 2 hrs En cuanto tiempo la vaca la segunda llave? Llave A = 6 hrsLlave B = X- 2 = 6X / 6+X X = - 1,5 hora Luego la 2 llave lo vaca en 1 hora y media89DIAPOSITIVA N1-ESTADSTICALos datos siguientes corresponden a los tiempos de reaccinDe una muestra de 33 personas medidas en centsimas de segundo (datos no tabulados) 51 60 64 56 63 63 61 57 62 50 49 70 72 54 48 5358 66 68 45 74 65 58 61 62 59 64 57 63 52 67

N1 Se PIDE : Trabajar DIAGRAMA TALLO HOJATALLOTALLO4567HOJA985589Fa35163033516677704388972012345668890044333333111122226883554774600224490Se pide a los alumnos ordenar los datos de menor a mayor en forma horizontalIndicando lugar de posicinTRATAMIENTO DE LA INFORMACIN91Ejercicio N2Segn la distribucin de datos de la diapositiva N 90SE PIDEN1 Rango o recorridoXXmaxmin=74 45 = 20N2 Calcular la media aritmtica X=xiN=196333=59,48Centsimas de seg.N3 Calcular la medianaMd=50% 33 = 1/2 33 = 16,5Luego 16,5 th = 17 Luego Md=60Q2=P50=Centsimas de seg92Ejercicio N3Segn la distribucin de datos de la diapositiva N90SE PIDEN1 La modaEs la frecuencia absoluta MAYOR Mo=63Centsimas de seg.N2 Calcular el primer cuartilQ1=25% 33 = 33 = 8,25Luego th = 9 Q1=55N3 Calcular el tercer cuartilQ3=75%33 = 3/4 33 = 24,7Luego th = 25 Q3=6493Ejercicio N4Las edades de 20 personas fueron25 31 18 15 16 24 32 18 18 33 42 18 19 22 25 29 16 14 46 50 SE PIDE N1 Construir diagrama Tallo y hojaTALLOHOJA1888888885666699544fi(9)25555422499(5)3112233(3)42266(2)500(1)fi=Frecuencia absoluta94Ordenar de menor a mayor con su respectiva ubicacinLa distribucin de datos de la diapositiva 93Ejercicio N515 16 16 18 18 18 18 19 22 24 25 25 29 31 32 33 42 46 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Ejercicio N6CALCULAR LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALN1x=xiN=51120=25,55 aosN2Md=50%20 = 1/2 20 = 10 como 10 es N par, se sacaLa media aritmetica de los trminos de lugar 10th y 11th Luego Md=22+242=23 aosN3MO=18 aos95Ejercicio N7Aplicando la misma distribucinde datos Se pide14 15 16 16 18 18 18 18 19 22 24 25 25 29 31 32 33 42 46 50Calcular primer CUARTIL Q1=25% 20 = 20 = 5 th Q1=18Calcular tercer CUARTILQ3=75% 20 = 3/4 20 = 15 th Q3= 31Calcular el DECIL N6D6=60% 20 = 3/5 20 = 12 th D6=2596Ejercicio N8Construir DIAGRAMA DE CAJA Y BIGOTE con la misma distribucin de nmerosde la diapositiva 95 Datos que se necesitanxmin=14Q1=18Q2=23Q3=31xmx=501020304050Edades14182331xminQ1Q2Q3xmx20 personas97EJERCICIO N9El siguiente diagrama de tallo y hoja se refiere a una encuesta realizada a la entrada del metro entre las 12 y 13 hrs acerca de la TALLA O ALTURA de personas en cm SE PIDE:TALLOHOJA070809101314151617181988888999900000002222222224444444777777111111333333555555566666022223445552if24554681210997498EJERCICIO AConstruir una tabla de frecuencia con 8 intervalosai(Amplitud del int) xxmx=-mnN intai=195 - 78814,625=ai=15Luego ;intervalos[78-93)[93-108)[108-123)[123-138)[138-153)[153-168)[168-183)[183-198)fi871213131515fac815161831445974xi85,5100,5115,5130,5145,5160,5175,5190,5xiif684703,5115,52611891,52086,52632,52857,5xiif=11.232x=11.23274x=151,78 cm 99Ejercicio B Aplicando tabla de frecuencia de la diapositiva 98 Calcular MEDIANA Y MODAMd= 1) 50% de N 1/2 74 = 372) Ubicamos la frecuencia acumulada inmediatamente superior a 37 que resulta ser 44 apareciendo inmediatamente el intervalo de la mediana que es [153-168) Siendo 153 Lim. Inf.LuegoMd=Linf+50%N - fa-1fiaiMd=153+37 - 311315=153+6,9 = 159,9 cmMo=Linf+fi-fi-1(())fi-fi-1fifi-1++ai=168+(())15+1315-1315-13()+= 183 cm15cm100Ejercicio CAplicando tabla de frecuencia de la diapositiva 98Construir HISTOGRAMA Y POLGONO DE FRECUENCIA48121621713157893108123138153168183198871213131515HistogramaPolgono de frecuencia101 DIAPOSITIVAS PROBABILIDADES La palabra probabilidad viene del latn probabilitis, que significa cienciasubjetiva y cualitativa Luego el concepto de probabilidad viene con frecuencia en lacomunicacin entre las personas operacin determinada . Los alumnos del 2 medio tienen un 65% deprobabilidades de eximirse en todas las asignaturasLuego la probabilidad de un suceso es un nmero ,comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un exper . aleatorio EXPERIMENTO.- Es observar el resultado de un fenmeno bien definidoEl experimento puede ser ; a) Determinstico b) Aleatorio EXPERIMENTO DETERMINISTICO.- Podemos predecir el resultado antes de queSe realicen Ej. Se deja caer una piedra de una cierta altura sta caerEJEMPLO.- El paciente tiene un 50% de probabilidad de sobrevivir a una101alicen101102EXPERIMENTO ALEATORIO.- Son aquellos en los que NO SE PUEDE PREDECIREl resultado, ya que ste depende del azarEjemplos.- Al lanzar un dado no se sabe si saldr 4 Al sacar una carta de un naipe ingls no se sabe si saldr un 7 diamante Al levantarme en la maana no tengo seguridad de llegar a tiempo al liceo Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldr cara o selloTEORA DE PROBABILIDADES.- Se ocupa de asignar un cierto nmero a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es ms probable que otro Con este fin introduciremos algunos elementos y conceptos JUEGOS DE AZAR.- Es importante que el alumno conozca EL ANLISIS de los juegos que ocuparemos en los distintos problemas de probabilidades Sean stos A) Domin B) Naipe Ingls y Espaol C) monedas D) Dados etc.ELEMENTOS A CONSIDERAR EN TEORA DE PROBABILIDADES.- 1) Experimento Aleatorio 2) Suceso o Evento 3) Espacio Muestral 4) Casos Favorables 5) Aplicacin de LAPLACE 6) Respuesta al problema 102103EJEMPLO.- Al lanzar dos dados . Calcular la probabilidadDe obtener N 7 al sumar sus pintas1 EXPERIMENTO ALEATORIO.- Es la accin del problema lanzar dos dados2 SUCESO O EVENTO.- Es una parte o subconjunto del espacio muestral es lo que pide el problema obtener N73 ESPACIO MUESTRAL .- Es el N total de casos que se presentan en el problema, es el conjunto de todos los posibles resultados, en nuestro ejemplo es 6x6 = 36 casos4 CASOS FAVORABLES.- Son los elementos que cumplen con la condicin del problema . En nuestro ejemplo son (6,1) (5,2) (4,3) (3,4) (2,5) (1,6) = 6 casos favorables5 APLICACIN DE LA REGLA DE LAPLACE.- Es un N comprendido entre 0 y 1 Me indica la solucin del problema y viene expresada por una frmula P(A) = casos favorables / esp. Muestral en nuestro ejemplo: P(A) = 6/36 = 1/6 = 0,16666 P(A) = 16,6666--- %6 RESPUESTA AL PROBLEMA.- La probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6 = 16,66--% Luego es ms probable perder que ganar con el problema 103104Luego para nuestro estudio El experimento tiene que ser ALEATORIOCONCEPTOS DE SUCESOSN1 SUCESO ELEMENTAL Son las posibles soluciones que se pueden presentarEJEMPLOS.- Al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y el sello. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son; El 1 el 2 el 3 el 4 hasta el 6. Al sacar una carta de un naipe espaol los sucesos elementales seran; sacar as de oro, 6 de copa, rey de bastos, caballo de espada etc.N2 SUCESO COMPUESTO Es un grupo o subconjunto de sucesos elementalesEJEMPLOS.- Lanzamos un dado y queremos que salga un N PAR . El suceso Nmero par es un suceso compuesto integrado por 3 sucesos elementales: el 2El 4, el 6. Al lanzar dos monedas al aire es un suceso compuesto integrado por La combinacin de sucesos elementales que son 4 CC, CS, SC, SS. O por ejemplo Jugamos la RULETA y queremos que salga menor o igual que 18 Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los Ns que vandel 1 al 18)

105RELACIN ENTRE SUCESOSA) UN SUCESO PUEDE ESTAR CONTENIDO EN OTROLas posibles soluciones del primer suceso tambin lo son del segundo, peroeste segundo suceso tiene adems otras soluciones suyas propiasEJEMPLO.- Lanzamos un dado y analizamos dos sucesos ; 1) que salga el N 62) que salga un nmero par. Vemos que el suceso 1) est contenido en el suceso 2)Siempre que se da el suceso 1) se da el suceso 2) pero no al revs Por ejemplo ,siEl resultado fuera el 2, se cumplira el suceso 2) , pero no el 1) B) DOS SUCESOS PUEDEN SER IGUALESEsto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamenteel otro y viceversaEJEMPLO.- Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos 1) que salga N parN2) que salga mltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos106C) UNIN DE DOS O MS SUCESOS La unin ser otro suceso formado por todos los elementos de los sucesosque se unen ABA B4265{ 2, 4, 5, 6 }=EJEMPLO.- Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos Que salga nmero PAR y B) que el resultado sea MAYOR QUE 3El suceso UNION estara formado por los siguientes resultadosEl 2, el 4 , el 5, el 6 107D) INTERSECCIN DE SUCESOSEs aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o msSucesos que se intersectanEJEMPLO.- Lanzamos un dado al aire , y analizamos dos sucesosQue salga nmero PAR , y B) QUE SEA MAYOR QUE 4. La interseccinDe estos dos sucesos tiene un solo elemento, el 6 ( Es el nico elemento comn a ambos sucesos, es mayor que 4 y es N par 6245ABA B108E) SUCESOS INCOMPATIBLES :Son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes ( su interseccin es vaca, es decir es igual al conjunto fi = EJEMPLO.- Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos A.- Que salga un nmero menor que 3B.- Que salga el nmero 6Es evidente que no hay elementos comunes126ABA B = 109SUCESOS C0MPLEMENTARIOS O CONTRARIOSDos sucesos son complementarios si uno es la negacinlgica del otro . Es decir son aquellos que si no se da unoobligatoriamente se tiene que dar el otroEJEMPLO.- Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesosA)Que salga N par . Su complementario ser que NO salga N par , es decirB)Que salga N impar . Vemos que si no se da el 1 se tiene que dar el 2A246810.B = A1357Si A es un conjunto, su COMPLEMENTO serB = AA A = 110SUCESOS O EVENTOS EXCLUYENTESSon eventos excluyentes aquellos en que la ocurrencia de ambos al mismo tiempo es incompatible. Es decir que ocurran dos o ms sucesos en forma simultneaEJEMPLO.- 1) Ganar y perder un partido de tenis 2) Al lanzar un dado que salga el 6 y el 2 en forma simultnea 3) Al lanzar tres monedas al aire y que salgan en forma simultnea 3 sellos y 2 caras a la vez SUCESOS O EVENTOS EQUIPROBABLESSi en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad De ocurrir se dice que los sucesos son EQUIPROBABLESEJEMPLO.- 1) Se lanza una moneda que salga cara o sello son equiprobables 2) Lanzar un dado y que salga cualquier N del 1 al 6 3) Extraer , sin mirar , una bolita de una urna que contiene 3 nmeros pares y 3 impares 4) Extraer, sin mirar , una carta de un naipe ingls y observar su pinta 111REGLA DE LAPLACELa probabilidad de un suceso A se denota por P(A)REGLA DE LAPLACE : Si en un experimento aleatorio los sucesos tienen lamisma probabilidad de ocurrir , es decir, son equiprobables la probabllidadde que un suceso A ocurra se puede calcular utilizando P(A) = Nmero de casos favorables al suceso ANmero de casos totales o espacio muestralSuceso seguro si P(A) = 1EJEMPLO.-1) Sacar carta roja o negra en un naipe ingls 2) Al lanzar un dado obtener un N comprendido entre el 1 y el 6Suceso imposible si P(A) = 0EJEMPLO.- Al lanzar un dado obtener un 8112DESARROLLO DEL ESPACIO MUESTRAL DEL DOMIN(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)(0,5)(0.6)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6)(5,5)(5,6)(6,6)ESPACIO MUESTRAL = 28 FICHAS

113ANLISIS DE ALGUNAS FICHASChancho o pel 3Suma de sus pintas es 6Diferencia de sus pintas es 0Mltiplo de 2 y de 3 y de 6N par6) Divisor de 6, de 12, de 18 etcSuma de sus pintas es 72) Diferencia de sus pintas es 33) N primo4) Mltiplo de 7, de 14, de 21 etc5) Divisor de 76) N imparN par2) Diferencia de susPintas es 23) Suma de susPintas es 104) Divisor de 20,30, 40 etc.5) Mltiplo de 25 , de 10114DESARROLLO DEL ESPACIO MUESTRAL DE DOS DADOSDA1234561(2,2)(4,2)(3,2)(5,2)(6,2)(2,3)(1,2)(6,1)(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(1,1)23(3,3)(4,3)(6,3)(5,3)(1,4)(2,4)(1,6)(6,4)(1,3)4(1,5)(5,4)(4,4)(3,4)5(3,6)(6,5)(5,5)(4,5)(3,5)(2,5)6(4,6)(6,6)(5,6)(2,6)ANALISIS EN EL LANZAMIENTO DE DOS DADOSEspacio Muestral = 6 6 = 36(3,3)Pintas Iguales 2) Suma de sus pintas es 6 3) Diferencia es 04) Mltiplo de 6, 3, 2, 5) Divisor de 6, 12, 18.. etc115DESARROLLO Y ANLISIS DEL ESPACIO MUESTRAL DEL NAIPE ESPAOL1) Espacio muestral de 40 cartas ; = 402) Naipe con 4 pintas: 10 cartas cada pinta. Son 10 de oro; 10 de espada10 de basto y 10 de copa3) Cuatro cartas de cada NMERO UNO DE CADA PINTA : 1 o AS de ORO, 1 o AS de ESPADA, 1 o AS de BASTO, 1 o AS de COPA, Lo mismo para el N 2, 3, 4, 5, .hasta el 12En total son 12 monos, 3 de cada pinta. Los monos son i) Carta 12 o REYii) Carta 11 o caballo iii) Carta 10 o pajeSon 7 cartas que no son monos, enumeradas del 1 al 7, de cadaPinta, 7 cartas de ORO, 7 cartas de ESPADA, 7 cartas de BASTOY 7 cartas de COPADESARROLLO Y ANLISIS DEL ESPACIO MUESTRAL DEL NAIPE INGLS 1) Espacio muestral de 52 cartas; = 52 cartas2) La mitad (26) cartas son rojas y la otra mitad (26) son negras3) De cada color 13 son de DIAMANTE (rojo) y 13 son de CORAZN ROJO13 son de PICA (negro) y 13 son de TREBOL (negro)4) En total son 12 monos, Los monos son REY (K) QUINA (Q) Y YACO ( J)Son 3 monos de DIAMANTE( ) 3 monos de CORAZN ROJO () 3 monos de PICA ( ) 3 monos de trbol ( )116Hay 4 ases (A) , 2 NEGROS Y 2 ROJOS . Lo mismo para el resto de los nmeros Desde el 2 hasta el N10117EJEMPLOS Y ELEMENTOS DE PROBLEMAS APLICANDOREGLA DE LAPLACE EJEMPLO N1En el lanzamiento de UN DADO calcular la probabilidad de sacar un N MENOR O IGUAL QUE 4Experimento Aleatorio Lanzar un dadoSuceso o Evento Obtener un N menor o igual que 4Casos Favorables Son 4, El 1 , 2 , 3 , 4Espacio Muestral = 6E) Regla de Laplace = Casos favorablesEspacio muestral =46=23=0,666= 66,6 %F) Respuesta Al lanzar un dado y obtener N 4 ES ms factible GANAR que perder118EJEMPLO N2Al sacar una carta de un NAIPE INGLS calcular la probabilidad de NO SACAR MONOEXPERIMENTO ALEATORIO Sacar una cartaEVENTO O SUCESO Que la carta sacada sea NO MONOCASOS FAVORABLES 52 12 = 40 cartasESPACIO MUESTRAL = 52 cartasRegla de Laplace =4052::44=1013=0,769=76,9 %RESPUESTA Al sacar una carta de un naipe ingls que no sea monoEs ms probable GANAR que perder119EJEMPLO N3Al sacar una carta de un naipe ESPAOL Calcular la probabilidadDe sacar una carta MENOR O IGUAL QUE 4EXPERIMENTO ALEATOTORIO Sacar una carta de un naipe espaolSUCESO O EVENTO Que la carta sacada sea menor o igual que 4CASOS FABORABLES 4 4 = 16 casos faborables4) ESPACIO MUESTRAL = 40 cartas5) REGLA DE LAPLACE = 1640::88=250,4==40 %RESPUESTA Al sacar una carta de un naipe espaol y que seaMenor o igual que 4 ES MS PROBABLE PERDER QUE ganar ( 40 %)120Ejemplo N4Se saca una ficha de un domin. Calcular la probabilidad de sacarUN DIVISOR DE 24, al sumar sus pintas D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }Porqu para mi problema no se considera el 24?EXPERIMENTO ALEATORIO : Sacar una ficha del dominSUCESO O EVENTO : A: Que la ficha sacada sea un Divisor de 24CASOS FABORABLES : 16 SON (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (6,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,5) (2,2) (2,4) (2,6) (3,3) (3,5) (4,4) (6,6)4) ESPACIO MUESTRAL : 28 Fichas REGLA DE LAPLACE =P(A)=1628::44=47=0,571=57,1 %RESPUESTA : Al sacar una f icha del domin y que se obtenga un divisor de 24 , es ms probable ganar que perder ( 57,1 % ) 121PROBABILIDAD DE SUCESOS INDEPENDIENTESDos sucesos A y B definidos en los espacios muestrales y respectivamenteSon INDEPENDIENTES si, P (A y B ) = P(A) P(B) P(A B) = P(A) P(B) = P(A) P(B) 12EJEMPLO.- Una caja A contiene 6 artculos de los cuales 2 son DEFECTUOSOS , y unacaja B contiene 5 artculos , de los cuales 3 son DEFECTUOSOS. Al sacar un artculo de cada caja Cul es la probabilidad de que ambos artculos sean DEFECTUOSOS SOLUCIN.- En este caso los sucesos son INDEPENDIENTES puesto que la extraccinDe una de las cajas NO AFECTA lo que ocurre en la extraccin de la otra cajaSea D : artculos defectuosos de la caja A . Luego P(D ) = 2/6 = 1/3 de la caja B . Luego P(D ) = 3/5Luego P(D y D ) = P(D ) P(D ) ; por ser sucesos INDEPENDIENTESLuego P(D y D ) = 1/3 3/5 = 1/5 = 0,2 = 20%AAAB B B B A 121122PROBABILIDAD DE SUCESOS DEPENDIENTES O CONDICIONADOSDos sucesos A y B definidos en el espacio muestral , son DEPENDIENTES O CONDICIONADOS si la ocurrencia de uno de ellos AFECTA la probabilidad de ocurrencia del otroPROBABILIDAD DE SUCESOS DEPENDIENTES O CONDICIONADOSLUEGO P(A y B) = P(A) P(B/A) Donde P(B/A) es la probabilidad de B una vez ocurrido ALa probabilidad de que estos dos sucesos ocurranEn este orden es igual al producto de los sucesos Ejemplo diapositiva 123123EJEMPLO DE PROBABILIDADES DE SUCESOS DEPENDIENTESO CONDICIONADOAUn curso tiene 12 nios y 4 nias . Si se escogen al azar dos estudiantesPara que representen al curso , Cul es la probabilidad de que los dosSean nios?SOLUCIN.- Sean los sucesos A) Elegir un nio en la 1 instancia o eleccin B) Elegir un nio en la 2 instancia o eleccin Sea P(N) : La probabilidad de elegir slo NIOS P(A) = 1216Para la 2 seleccin queda UN NIO MENOS y el totalSe reduce a 15P(B/A) = 1115P(N) = 12/16 11/15 = 132/240 = 11/20 = 0,55 = 55%124PROBABILIDAD DE SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESDos o ms sucesos se llaman excluyentes o mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellas excluye la ocurrencia de los otrosSi A , B son mutuamente excluyentes definidos en el espacio muestral , entoncesP(A o B) = P(A) P(B)La probabilidad de que ocurra un suceso A , u ocurra B en una prueba, es igual a la suma de las probabilidades separadas de ocurrenciaEJEMPLO DIAPOSITIVA 125125EJEMPLO.- DE SUCESO MUTUAMENTE EXCLUYENTELa Sra Mara tiene 9 canarios AMARILLOS , 4 BLANCOS y 2 CELESTES. Si se le escapa un canario Cul es la probabilidad de que halla sidoBLANCO o CELESTE?SOLUCIN.- Sean los sucesos : A : Se ha escapado un CANARIO AMARILLO B : Se ha escapado un CANARIO BLANCO C : Se ha escapado un CANARIO CELESTELuego las probabilidades son : P(A) = 9/15 ; P(B) = 4/15 ; P(C) = 2/15Luego la probabilidad de BLANCO o CELESTE es; P(B o C) = P(B) + P(C) = 4/15 + 2/15 = 6/15 = 3/5 = 0,4 = 40%126NMEROS REALESA lo largo de tu enseanza has estudiadoDistintos conjuntos . Por ejemploEl de los nmeros naturales ( ) , el de los nmeros enteros ( ) y el de los nmerosRacionales ( Q )En este nivel estudiars el conjunto de los nmeros IRRACIONALES( ) , con los que completars el estudio de los nmeros REALES( ) , que corresponden a la UNIN entre los nmeros racionales e irracionales

3,14159265Pi es un N IRRACIONALMuy usado en geometraPrincipalmente lo habrsEstudiado , entre otros , en el clculoDe longitudes de circunferencias y Superficies de crculos

e2,71828182e es un N IRRACIONAL utilizadoEn el trabajo con LOGARITMOSLo conocers ms en profundidadA lo largo de la unidad1,61803398 Involucrado en Proporciones, llamado el N de ORO eee237511127MEN DE INICIONmeros RealesRacesLogaritmosPara que?Resolver problemas que involucran realizar operacionesY aplicar propiedades de los nmeros realesRelacionar la raiz ensima con potencias de exponenteRacional y demostrar algunas propiedadesQu aprenders?Aplicar la definicin y propiedades de los logaritmos en la Resolucin de problemas y relacionarlos con potencias y races128NUMe ROS REALESEl conjunto de los Ns racionales ( Q ) Es aquelcuyos elementos son nmeros que se pueden escribir de la forma a/b con a , b y b 0Por ejemplo -4, 0, 3,5 , 1/4 , 3,6 , -0,0162 36A este conjunto pertenecen todos los Ns naturales todos los Ns enteros , las fracciones , los Ns decimalesfinitos y los Ns decimales infinitos peridicos y semiperidicos El conjunto de los nmeros irracionales ( ) es aquel Cuyos elementos son nmeros que no pueden serEscritos como un N racional Por ejemplo = 3,1415e = 2,7182 y todas las races que no son exactasEl conjunto de los Ns reales,Es aquel formado por todos losNmeros RACIONALES y todos losIRRACIONALES Es decir= Q Q129ACTIVIDAD N1NUMEROS REALESClasifica los siguientes nmeros reales entre racionales e irracionales . Para ello ,escribeen la casilla racional o irracional segn correspondaa.- 112,053245648b.-c.-54,121122112221d.- + 3e.-f.-(22)213g.-h.-25,231.-5 + 2.-4 + 491,65783.-( - 3 )24.-e + 8130ACTIVIDAD N2Determina si cada caso corresponde a un nmero racional e irracional A.-) El cuadrado de 4B.-) El cubo de 2C.-) La raz cuadrada de 4D.-) La raz cuadrada de 5E.-) El rea de un cuadrado de lado 6 cm F.-) El lado de un cuadrado de rea 6 cm2G.-) El permetro de una circunferencia de radio 12 cmH.-) El radio de una circunferencia de rea 4 cm2AYUDA1)a=bIndice deLa razCuando no se Indica es 2CantidadsubradicalValor de la raz2)amn=anm131ACTIVIDAD N3Resuelve el siguiente problemaSi ADB = CBD = DGE = EGF = GDA = 90AD = BD = DG = 1 cmBC = EG = 2 cm y FG = 3 cm, calcula el PERMETRO DEL HEPTGONOABCDEFGABCDEGF111223a) Si usaras la calculadora Cul sera el PERMETRO del HEPTGONO aproximadamenteb) El problema planteado se enmarca en el mbito de los nmeros RACIONALES? 132PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALESAlgunas propiedades de los nmeros reales son las siguientesN1) LA CONMUTATIVIDAD para la adicin y multiplicacinSi a,b,c ; a+b = b+a ; ab = baN2) LA ASOCIATIVIDAD para la adicin y multiplicacin a + (b+c) = (a+b) + c ; a (b c) = (a b) cN3) LA DISTRIBUTIVIDAD para la multiplicacin respecto a la adicin a ( b + c ) = a b + a cN4) El NEUTRO ADITIVO de cualquier N real es el cero , mientras que el NEUTRO MULTIPLICATIVO es el unoNEUTRO ADITIVO : a + 0 = 0 + a = a ; NEUTRO MULTIPLICATIVO; a1 = aN5) El INVERSO ADITIVO de cualquier nmero real a distinto de cero es a , mientras que su INVERSO MULTIPLICATIVO es 1/a . El inverso multiplicativo te INVIERTE la exprecinINVERSO ADITIVO : a + (-a) = 0INVERSO MULTIPLICATIVO : a 1/a = 1 con a 0 133EJERCICIO, APLICANDO PROPIEDADES EN LOS NMEROS REALESQu propiedad se aplic en cada paso de la resolucin del siguiente clculo? (()))33331+++++225 -====133333(((++++5555--777333333)+++03Se aplic ASOCIATIVIDAD e INVERSO ADITIVOY ELEMENTO NEUTRO PARA LA SUMAAYUDADos o ms races son semejantesSi tienen el mismo INDICE y laMisma CANTIDAD SUBRADICAL Por loTanto se pueden sumar

)134ECUACIONES APLICANDO NMEROS RACIONALES E IRRACIONALERESOLVER LA SIG. ECUACIN Y ENCUENTRA UN VALOR PARA X TRUNCANDO LOS RACIONALES E IRRACIONALES CON UN SOLO DECIMAL2121===_____+++11777333xxxAplicando la propiedad asociativa15321,85714==xxTruncando a un decimal21,8 RECUERDE.- TEAS, significa TALLER DE EVALUACIN DE APRENDIZAJE PARA EL SIMCE135TEAS N1Resolver en el cuaderno las siguientes ECUACIONESde primer grado con una incgnita . Para ello , ANALIZAEl ejemploa) 2 + x - 7 = 2 - 7b) 3 + 5 + y = 12 2 3 c) 1,3-- 45+y = 3y - 142d) X - = 3 - - e) 2,6 1/7 z = 3- f) 2 - 3/5 x = 4( - ) + xAYUDAUna PULGADA es una medida inglesa equivalente a 25,4 mm es decir 2,54 cm . Es frecuentemente usada en las ruedas de bicicletas , u otros vehculos , haciendo referencia a la medida de su dimetro PorEjemplo , si una rueda es de ARO 20Significa que su dimetro mide 20 pulgadas (20), esto es Unos 50,8 cm . Tambin es usada en las pantallas de los TV haciendo referencia a suDIAGONAL

136TEAS N2Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemasSi una bicicleta tiene ruedas aro 12 , Cul es la distancia ( en cm ) que recorre al dar una vuelta completa?Calcula la medida en mm de la diagonal de la tapa de un libro cuyo largo mide 16 cm y su ancho 15 cmSi un televisor (TV) tiene una pantalla de 7, Cul es la medida (en pulgadas de su largo si su ancho mide 8,5 cm? Pudistes obtener medidas exactas? FUNDAMENTA

AYUDALa distancia que recorre una ruedaAl dar una vuelta completa es equivalenteal PERMETRO (P = 2r) de la circunferenciaque la representaAYUDAEL TEOREMA DE PITGORAS.-Establece que en un tringuloRectngulo la suma de las medidas de Cada cateto al cuadrado es igual a laMedida de la hipotenusa al cuadradocatcathipcatcathip+=222137APROXIMACIN DE NMEROS IRRACIONALESAPROXIMAR un N irracional consiste en encontrar un VALOR CERCANO a dicho NCuando el valor encontrado es MAYOR que el original se dice que se aproxim porEXCESO , mientras que si el valor es MENOR que el original se dice que se aproximal original por DEFECTOREDONDEAR : consiste en encontrar la mejor aproximacin del N original ya sea por excesoo por defecto , segn la cantidad de decimales a las que se quera redondear OBSERVACIN .- aproximacin de , , e, , , por DEFECTO, por EXCESOy por REDONDEO , considerando 4 decimales2310APROXIMACINDefectoExcesoRedondeoe23103,14153,14163,14161,6181,61811,6182,71822,71832,7183AYUDA = 3,14159265.. = 1,61803398..e = 2,71828182..2 = 1,41421356..3 = 1,73205080..10 = 3,1622776..1,41421,7323,16221,41431,41421,73211,73213,16233,1623138TEAS N3APLICA la aproximacin pedida en cada caso6 = 2,449489743considerando 5 decimalesPor defecto---------- por exceso--------- por redondeo b) 8 = 2,828427125 considerando 4 decimalesPor defecto ----------- por exceso ------------ por redondeo RESUELVE El siguiente problemaUn estudiante resuelve la ecuacion 5 + x = 3 - + 2 y quiereAproximar el valor de la incgnita considerando 4 decimalesQu valor obtiene si aproxima por DEFECTO ?, por EXCESO? y por REDONDEO?Explica que procedimiento usaste para resolver el problemaAPROXIMA .- por defecto y por exceso , con dos cifras decimales,los sig. nmeros irracionalesa) 7 b) 12 c) 21 d) 23 e) 2 2 f ) 3 5 g) 40AYUDA0,7 = 7/9b) 2,4 = 24 - 4 9=209c)1,09=109- 1090=9990139ORDEN Y UBICACIN DE NMEROS REALES EN LA RECTA NUMRICAPara comparar nmeros reales y en particular nmeros irracionalesestos se pueden representar en forma decimal tal como se hace en los nmeros racionales

EJEMPLO.- Ordena , de menor a mayor , los siguientes nmeros 6 2,45 5/2 2,42 Usando la calculadora se pueden obtener las representaciones decimalesAproximadas de 6 = 2,449 y 5/2 = 2,5.Luego, el orden pedido es; 2,42 6 2,45 5/2

Un procedimiento alternativo, y muy til si hay races cuadradas , seFundamenta al considerar que mientras mayor sea un nmeroMayor es su expresin al cuadrado Ejemplo en DIAPOSITIVA 140

140EJEMPLO.-Ordena , de menor a mayor , los siguientes nmeros 2 5 4,3 19 3 2 Al elevar al cuadrado se obtienen las siguientes expresiones

(2 5 ) = 2 5 2 5 = 2 2 5 5 = 4 5 = 20(4,3) = 18,49

( 19 ) = 19 19 = 19

(3 2 ) = 3 2 3 2 = 3 3 2 2 = 9 2 = 18Por lo tanto , se pueden ordenar fcilmente los cuadrados y luegoAplicar el principio mencionado18 18,49 19 2032 4,3 19 25 2222AYUDA(n ) = na (b ) = a b(ab ) = a b4) abm=abm2222AYUDAEn el caso de NsNegativos , el cuadrado mayor corresponde al N menor,porEjemplo -6 es mayor que -2,5?. Se elevan ambos Ns al cuadrado (- 6 ) = (- 6)(- 6) = 6 ; (-2,5) = (-2,5)(-2,5) = 6,25Como 6,25 6 , se concluye que - 6 efectivamente es mayor que 2,5 22141UBICACIN DE NMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMRICAEn general para ubicar nmeros racionales en la recta numrica se siguen los siguientespasosSe escribe el N en su representacin fraccionaria Se divide cada unidad de la recta numrica en tantas partes como indique el DenominadorDesde el cero, se cuentan tantas partes como indique el numerador para ubicarel nmeroEJEMPLO.- Ubica en la recta el N 2,3 Escrito como fraccin 2,3 = 23 2 9=2190122192333141,3142CONSTRUCCIN GEOMTRICA DE NMEROS IRRACIONALESUna de las construcciones geomtricas es LA ESPIRAL DE TEODORO DE CIRENE(s. VI a. C) A continuacin se presentan los pasos para construirla 1 Se construye un tringulo issceles rectngulo , con cateto de medida 1E hipotenusa (h) de medida 2, ya queh = 1 + 1 = 2 h = 2 h = 2 22221122 Se utiliza la hipotenusa del tringulo anterior y otro cateto de medida 1,Para construir un nuevo tringulo rectngulo . La hipotenusa de este nuevoTringulo mide 3, ya queh = (2 ) + 1 = 2 + 1 = 3 22211132143111111111111111435679810112131215143 El procedimiento se repite las veces que sea necesario ,obteniendoQue las medidas de las hipotenusas son sucesivamente, 2 , 3 , 45 , 6 , 7 , 8 , 9 .Usando la espiral de TeodoroCalcular las siguientes racesCon tres decimales y con la ayudaDe calculadora; 22, 18, 31 ESPIRAL DETEODORO DE CIRENE144TEAS N4Utilizando regla y comps, realiza lo siguiente1.-Qu nmero irracional se est construyendo en el siguiente esquema?Termina la constuccin y calcula la raz con dos nmeros decimales

42352.-Ubica en la recta numrica7 , 10 , y sus opuestos

11-1-1145TEAS N5Representa en una recta numrica los siguientes nmeros mediante construccin geomtrica1) 22) 33) 54) 85) 2 + 36) 2 + 55 - 27)4115522302ABAB = 5 - 23456 2326,1h = 37,8= 6,1CDesarrollo de 22 + 30 =OP = h = OC = 6,1OPXYAYUDAAB = AB8 = 4 2=24=21,4=2,8146EJERCICIOS Y PROBLEMAS GEOMTRICOS QUE USAN RACES Y NMEROSIRRACIONALESA continuacin se presentan algunos problemas geomtricos . Para cada uno de ellos , Determina si hay nmeros irracionales involucrados en su solucin y, en caso afirmativoJustifica tu respuesta

TEAS N61) Calcular el rea de un tringulo rectngulo de catetos 2,8 cm y 3,4 cm2) Calcular la diagonal de un rectngulo cuyos lados miden 7 y 3 cm3) Calcular el volumen de un cubo cuya arista mide 3/7 m 4) Calcular la arista de un cubo cuyo volumen es de 34 cm3El lado del cuadrado ABCD de la figura mide 2 cm ySe debe determinar el rea del cuadrado AEBF ABCDFE147DEMOSTRACIN DE LA IRRACIONALIDAD DE ALGUNAS RACESEJEMPLO N1Aplicando el mtodo de reduccin al absurdo demuestre que 2 es Un N irracional1.- Sea 2 un nmero racional de la forma p/q

2.- Luego 2 =pppqqq(Elevamos al cuadrado)2=== 2 q22222(Luego p es de la forma mltiplo de 2)P = 2n ( )Por otra parte2 2n(Elevamos al cuadrado)===4nn2222qqm4222q==2n22q()Luego de ( ) y ( ) pq2nmOPERATORIA CON NUMEROS ENTEROSREFORZAR NMEROS ENTEROSCALCULARN1) -3 + 7 2 5 +12 = - 10 + 19 = +9N2) -4(5-9)+2(6-4) = -20 + 36 + 12 8 = - 28 + 48 = +20N3) = -5(-9+4-1) +2(5-7) -9+6 = +45 -20 +5 +10 -14 -3 = +60 -37 = +23N4) = 7-10 +5-8(13-16)+6(-2-4+9) -12 +15 6 -4( 5 -7) = +2 104 + 128 12 24 + 54 3 20 + 28 = +212-163 = +49148Y RACIONALES14814922222222222Construccin del tringulo de PASCAL con 2 lateral466812810202010248163264= 2= 2= 2= 2= 2= 2123456Construccin del tringulo de PASCAL con 3 lateral33183121231533633399333015303 23 23 23 23 23 2012345150MAQUINA DE CALCULOENTRA6PROCESANDOX =F(X) = X + 4X -3 2SALEELABORACIONPara x = 6 F(6) = 6 + 4 6 3 = 36 + 24 3 F(6) = 60 3 = 575757F(X) = Funcin en X2151EJERCICIOS DE ENTEROS APLICANDO OPERACIONES MLTIPLES4 + 2 -3 5 + 12 : -6 +10 = 4 + - 6 5 + - 2 +10 = 14 13 = 1N1N2- 8 (24 : - 3 + 5 - 6 + 8 ) 50/ - 5 + 4 -5 -2= -8 ( - 8 30 + 8) + 10 + 40 = - 8 ( - 38 + 8 ) + 5 0 = - 8 ( - 30 ) + 50= + 240 + 50 = 290 N3- + 6 : ( - + 2 - 3 ) + - 15 ( + - 8 + 7 ) + - 225 6 : ( 2 +3) 15 ( 87 ) 225 ==6 : ( - 6 ) 15 ( - 15 ) 15 = + 1 + 225 15 = 226 15 = 211152N43 - 144 - 7 + 225 + 5 3 316 12 + ( 225 ) : 10 3 12 7 + 10 15 12 12 + 10 : 10==13 58 + 1 = 14 58 =- 44N53 2 ( 44 ) : - 2 + 5 + (316 ) : - 6 18 3 (5 - 81 ) : - 2 2244=81 16 8 : - 2 + 25 + 12 : - 6 18 9 (5 9 ): - 2 = 94 31 =94 29 2 = 63=65+4 + 25 2 27 ( - 4 ) : - 2 152153N6Completar tabla aba + ba b - a -2b3a - 2b-b+4a(5a - 2b) 234- 6 - 8 1200- 5- 7 10FAMILIA DE NMEROS2 = 2 4 = 28 = 216 = 232 = 2 64 = 2 128 = 2256 = 2123456782 = 1/2 = 0,5 = 50%2 = 1/4 = 0,25 = 25% 2 = 1/8 = 0,125 = 12,5%- 1-2-3154ESQUEMAS OPERACIONALESEncuentra la solucin del siguiente ESQUEMA OPERACIONAL (E.O.)- 4710- 12++100+MA ( 3,15)+MG(9,36)+3!+-- 2 !+236-155CONCEPTOS BSICOS FRACCIONES N1) Qu fraccin se ha representado en cada una de estas figuras?Representa7/5 con crculos2) Representa 0,75 en un cuadrado

156N2 CALCULA EN LO POSIBLE MENTALMENTEA) 2/3 de 18 18 : 3 2 = 12B) 4/7 de 3535 : 7 4 = 20TEAS N71) 3/4 de 4002) 3/4 de 1.0003) 2/7 de 144) 5/8 de 8005) 5/6 de 606) 3/5 de 257) 1/4 de 20 8) 5/6 de 42TEAS N8Calcula 1) 2/7 de 735 %2) 5/6 de 498 litros3) 5/13 de 104 kg4) 3/8 de $ 1.1605) 7/11 de 1.650 seg6) 4/9 de 153 m157Escribe la fraccin correspondiente a los siguientes puntos0- 1- 2- 3123TEAS N9Representa en la recta numrica los siguientes puntos1/2 , - 3/4 , 7/3 , 11/4, 7/2, 14/3 158EJERCICIOS NUMRICOS MODERNOS APLICA AL NMERO VERIFICADORDESCUBRE O ENCUENTRA EL NMERO VERIFICADOR DEL SIGUIENTE NMERODE UN CARNET DE IDENTIDAD17.582.71717.582.717 = 7 2 = 14 1 3 = 3 7 4 = 28 2 5 = 10 8 6 = 48 5 7 = 35 7 2 = 14 1 3 = 3

155 : 11 = 14 1 Luego 11 1 = 10 Pero10 no puede ser por tenerdos dgitos 1 y 0. Por lotanto colocamos kLuego el nmero verificador es k11217.420.949 = 9 2 = 18 4 3 = 12 9 4 = 36 0 5 = 0 2 6 = 12 4 7 = 28 7 2 = 14 1 3 = 3 123 : 11 = 11 2Luego 11 2 = 9Luego el N Verificador es 9Carnet: 17.582.717 - kCarnet : 17.420.949 - 9159COMPLETAR HOJA DE CALENDARIO, CON LAS SIGUIENTES CARACTERSTICAS HOJA DE CALENDARIOPRIMER DA ES 6 Y CAE DIA MARTES . ADEMS - 10 + 4Cul es la suma de los das de la 3 semana?DESARROLLO : L M Mi J V S D 6 - 4 - 14 - 24 - 34 - 44 20 10 0 - 10 - 20 - 30 - 40 24 14 4 - 6 - 16 - 26 - 36 28 18 8 - 2 - 12 - 22 - 32 32 22 12 Luego la suma de los das de la 3 SEMANA SON :24 + 14 + 4 + -6 + -16 + -26 + -36 = 42 + -84 = - 42La suma de los das JUEVES ser :- 14 + -10 + -6 + -2 = - 32

160NMEROS APLICADOS A PARENTESIS MLTIPLESSe eliminan los parntesis de ADENTRO HACIA EL EXTERIOR7+ [- 6 + {-5+9-8-2} -5 +3 -4( - 2 +9 5) -7 ] +2(- 6 + 4 )- 7 + [ - 6 5 + 9 8 2 5 + 3 + 8 36 + 20 ] + 2 ( - 2 )- 7 + [ - 62 + 36] 4 - 7 + [ - 26 ] 4 - 7 26 4 = - 37 1123 [- 3 3 {- 3 ( 7+ 4 8 ) + 2 5 + 4 } + 6 8 ]- 3 [- 3 3 { - 3 ( + 3 ) + 1 } 2 ]- 3 [ - 3 3 { - 9 + 1 } 2 ]- 3 [ - 3 3 { - 8 } 2 ]- 3 [ - 3 + 24 2 ]- 3 [ + 19 ] = - 57 161NMEROS APLICADOS A FACTORIALES ( n ! ) , n n oDEFINICIN : n ! = 1 2 3 4 5 nFamilia de nmeros que aplican a FACTORIALES0 ! = 11 ! = 12 ! = 1 2 = 23 ! = 1 2 3 = 64 ! = 1 2 3 4 = 245 ! = 1 2 3 4 5 = 120 APLICACIN( 3! 4 ) + 4!( 3! 6! + 5!)(6 4) + 24( 6 720 + 120)2 + 24( - 594)4 14.256- 14.252

222NMEROS APLICADOS A SUMATORIAS Se lee sigmaBase superiorBase inferiorLa SUMATORIA es una suma abreviada de trminosen forma consecutiva y ascendente. Empieza en la Base INFERIOR y termina en la base SUPERIORAPLICACINDesarrollar y calcular i =I = 25Desarrollo i =I = 252 + 3 + 4 + 5 = 14APLICACIONDesarrollar y calcular 3i 2 = I = 133(1) 2 + 3(2) 2 + 3(3) 2 =3 2 + 6 2 + 9 2 3i 2 = I = 13=+ 18 6 = + 12162163NMEROS QUE APLICAN FACTORIALES Y SUMATORIASEN BLOQUE1CALCULAR5 (i 3 ) + 5!/4! + 4! 0! i= 142{{Bloque ABloque BA=(i 3 )2=(1 3 ) + (2 3 ) + (3 3 ) + (4 3 ) 2222= (- 2 ) + (- 1 ) + (0) + ( 1 )2222=4 + 1 + 0 + 1 = + 6B = 5! / 4! + 4! 0! = 1 2 3 4 51 2 3 4+ 24 1 =5 + 23= + 285 (+6) + 28 = 30 + 28== 58164164CONCEPTOS ARITMTICOS BSICOSN1 Concepto de promedioN2 Concepto de Media AritmticaN3 Concepto de Media GeomtricaCONCEPTO DE PROMEDIOSe suman los nmeros y se divide por el N de ellos11Calcular el promedio de 7 , +5 , - 4 , +8 , +9 , - 13 , +3 , - 6 Prom = - 7 + 5 4 + 8 + 9 13 + 3 6 8= ==- 30 + 258- 5 8- 5 : 8 = - 0,625 CONCEPTO DE MEDIA ARITMTICASe suman los dos nmeros y se divide por 22Calcular la M.A. entre 15 y 23M.A. = - 15 + 232+ 82=4165CONCEPTO DE MEDIA GEOMTRICA .- M.G.La M.G. entre dos nmeros es la RAZ CUADRADA DEL PRODUCTO DE LOS NMEROS3Calcular la M.G. entre 8 y 2M.G.(8 , 2) = 8216=4TAES Dados los nmeros 12 y 4 . Encuentre Prom , (M.A.) y (M.G.)TAES ; Las notas de un alumno en el primer semestre de la Asignatura de Matemtica fueron 3,6 5,0 4,2 6,6 2,8 4.8 3,0ENCUENTRE la nota que se coloca en la libreta. CALCULE la M.A. entre las asignaturas EXTREMAS. CALCULE la M.G. entreLas notas 5,0 y 3,0

1662 PRUEBA PARCIAL-MARZO-REFORZAMIENTO NMEROSDesarrollar indicando los objetivos de cada preguntaNOMBRECURSON1.- CALCULA 5 ! 2 81 + 4 64 + 3 - 2 24N2.- Desarrollar y calcular i=263i 2 454.879 5.032N3.-N4.- Dada la siguiente secuencia de figuras Fig3Fig2Fig1A) Cuntas esferas se necesitan para construir la figura 18?B) Cul es el patrn numrico de los palillos?DOS PuntosN5.- Calcular 3,14 al cuadradoN6.- -3 ( 18 : -6 +7) +2 ( -6 +5 10)N 7.- Calcular 128 : 2 + 64 2 - 32 + 2 - 4574GUA PARA LA PRUEBA MENSUAL.- MARZO167N1.- CALCULAR a) 67.896 6.437 b) 3.009 5.876INDICAR OBJETIVOSN2.- CALCULAR a) 3,14 0,75 b) 4 3,14 1,618N3.- DESARROLLAR Y CALCULAR a) 6 ! 4 121 18 + 4 3 + 325 !- 6 32 - 4b) 4 3 ! + ( 48 - 5 ) + 2 81 4 + 2 28 - 8235- 7N4.- DESARROLLAR Y CALCULAR - 6 i = 25(4i 2 ) 2N5.- DADA LA SIGUIENTE SECUENCIA DE FIGURASFig N1Fig N2Fig N3a) Cuntas esferas se necesitan para la fig 45? Cul es el patrn numrico de los palillos?b) Cuntos palillos necesito para construir la Fig. 28?Cul es el patrn numrico de las esferas?N6.- Encuentre el nmeroVerificador de 18.764.937 - ?? N7.- Encuentre la M.A.Entre 1) 19 y 432) 5 ! y 4 3N8.- Encuentre la M.G. entre1) 6 y 3 2) 100 y 81N1168N2N9Encuentra el valor de ; a) 3,14 : 4 b) (3,14) c) 3,14 : 0,8 d) 0,06 : 6 e) 1,11 : 6 f) 2,74 : 7 N10Encuentra el Area y permetro de las siguientes Fig.0,8 cm0,62 cmFig 1Tringulo equiltero0,4Fig 2Dimetro = 2,8 cmFig 3Cuadrado3,08 cmFig 422,6 mm--Trapecio issceles18,4 mm14,8 mm15,6 mmFig 53,1431,862,92Fig 6Calcular la Hip.del Siguiente tringulorectngulo3,4 cm4,4 cmN11.- Calcular la diagonal de un cuadrado de lado1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm f) 6 cm g) 7 cm h) 12 cm

N12.- Conseguir las races cuadradas con 5 decimales a) 2 b) 3 c) 5 d) 7