Derivarea numerica. Introducere în metoda˘ diferen¸telor ...an.lmn.pub.ro/slides/AN_s12.pdf · Formulare Formule de der. Algoritmi Der.ord.sup Der.part. MDF-1 MDF-2 MDF-3 Derivarea

Formulare Formule de der. Algoritmi Der.ord.sup Der.part. MDF-1 MDF-2 MDF-3

Derivarea numerica. Introducere în metodadiferentelor finite.

Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina

Universitatea "Politehnica" Bucuresti, Facultatea de Inginerie Electrica,Departamentul de Electrotehnica

Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 2012


Cuprins

Formularea problemei derivarii numerice

Formule de derivare numerica

Algoritmi numerici pentru derivarea functiilor

Derivate de ordin superior

Derivate partiale

Metoda diferentelor finite - exemplul 1 (ODE)

Metoda diferentelor finite - exemplul 2 (PDE, eliptic)

Metoda diferentelor finite - exemplul 3 (PDE, hiperbolic)


Importanta evaluarii derivatelor

• relatii utile pentru evaluarea unor marimi

i(t) = −dqDΣ

dt

u(t) = −dφSΓ

dt• evaluarea senzitivitatilor

∂F

∂p

Ideea: derivarea numerica se bazeaza pe interpolare.

• ecuatii sau sisteme de ecuatii diferentiale

⇒ Metoda diferentelor finite


Formularea problemei derivarii numericeSe da functia f : [a, b] → IR (cunoscuta prin date sau prin cod)Se cere evaluarea numerica a derivatei f ′(x0), unde x0 ∈ [a, b].Matematic:

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0. (1)

Nu se poate aplica aceasta formula:

• nu se poate trece la limita ⇒ erori de trunchiere;

• nedeterminare 0/0 ⇒ probleme numerice când x este alesprea aproape de x0.

Ideea: g(x) interpolarea sau aproximarea functiei si

g′(x) =dgdx

≈ f ′(x) =dfdx

. (2)

Precizia cu care se face interpolarea sau aproximarea vadetermina precizia de calcul a derivatei numerice.


Formule de derivare numerica - cu eroare de ordinul 1

g - interpolare liniara pe portiuni.

0 2 4 6 8 105

10

15

20

25

30

35

x

fg

Functia reala f si interpolarea ei pe portiuni g.

0 2 4 6 8 10−15

−10

−5

0

5

10

15

20

x

f′

g′

Aproximarea derivatei f ′ cu valoarea g′ .



Derivare progresiv a de ordinul 1 :

y ′

k =yk+1 − yk

xk+1 − xk, (3)

Derivare regresiv a de ordinul 1 :

y ′

k =yk − yk−1

xk − xk−1. (4)

Ordinul erorii de trunchiere specifice acestei aproximari sepoate estima cu ajutorul dezvoltarii în serie Taylor.


Formule de derivare numerica - cu eroare de ordinul 1Derivata progresiva y ′

k = (yk+1 − yk )/(xk+1 − xk )

f (x) = f (xk ) + f ′(xk )(x − xk ) +f ′′(ξ)

2!(x − xk )

2 (5)

x = xk+1 ⇒

yk+1 = yk + f ′(xk )(xk+1 − xk ) +f ′′(ξ)

2!(xk+1 − xk )

2, (6)

Eroarea de trunchiereyk+1 − yk

xk+1 − xk− f ′(xk ) =

f ′′(ξ)2!

(xk+1 − xk ), (7)

Pp. |f ′′(x)| ≤ M2

Notam h = xk+1 − xk

|et | ≤M2

2h, (8)

Pe scurt: |et | =O(h), eroare de ordin 1(1 = puterea lui h, sau gradul polinomului de interpolare folosit)



Derivata regresiva y ′

k = (yk − yk−1)/(xk − xk−1)

f (x) = f (xk ) + f ′(xk )(x − xk ) + O((x − xk )2) (9)

x = xk−1 si notând xk − xk−1 = h

yk−1 = yk − f ′(xk )h + O(h2), (10)

yk − yk−1

h− f ′(xk ) = O(h). (11)

|et | =O(h), eroare de ordin 1



Dezavantajul g - lpp: nu este derivabila în noduri.Remediu: cresterea gradului polinomului de interpolare.Polinom de interpolare de grad 2:

g(x) =(x − xk )(x − xk+1)

(xk−1 − xk )(xk−1 − xk+1)yk−1 +

(x − xk−1)(x − xk+1)

(xk − xk−1)(xk − xk+1)yk +

+(x − xk−1)(x − xk )

(xk+1 − xk−1)(xk+1 − xk )yk+1, (12)

g′(x) =(x − xk ) + (x − xk+1)

(xk−1 − xk )(xk−1 − xk+1)yk−1 +

(x − xk−1) + (x − xk+1)

(xk − xk−1)(xk − xk+1)yk +

+(x − xk−1) + (x − xk )

(xk+1 − xk−1)(xk+1 − xk )yk+1. (13)


Formule de derivare numerica - cu eroare de ordinul 2Notam: h1 = xk − xk−1 si h2 = xk+1 − xk .Evaluând polinomul derivat (34) în xk se obtine formula dederivare centrata de ordinul 2

y ′

k = −h2

h1(h1 + h2)yk−1 −

h1 − h2

h1h2yk +

h1

h2(h1 + h2)yk+1. (14)

Evaluând polinomul derivat (34) în punctele xk−1 si xk+1 seobtine formula de derivare progresiva de ordinul 2

y ′

k−1 = −2h1 + h2

h1(h1 + h2)yk−1+

h1 + h2

h1h2yk −

h1

h2(h1 + h2)yk+1. (15)

si, respectiv, de derivare regresiva de ordinul 2

y ′

k+1 = −h2

h1(h1 + h2)yk−1−

h1 + h2

h1h2yk +

h1 + 2h2

h2(h1 + h2)yk+1. (16)



În cazul unui pas echidistant h1 = h2 = hDerivare centrat a

y ′

k =yk+1 − yk−1

2h(17)

Derivare progresiv a

y ′

k−1 =−3yk−1 + 4yk − yk+1

2h(18)

Derivare regresiv a

y ′

k+1 =−yk−1 − 4yk + 3yk+1

2h(19)



f (x) = f (xk )+f ′(xk )(x−xk )+f ′′(xk )

2!(x−xk )

2+O((x−xk )3). (20)

Evaluam în punctele xk−1 si xk+1 (pp. pas echidistant)xk+1 − xk = xk − xk−1 = h, rezulta:

f (xk+1) = f (xk ) + f ′(xk )h +f ′′(xk )

2!h2 + O(h3), (21)

f (xk−1) = f (xk )− f ′(xk )h +f ′′(xk )

2!h2 − O(h3). (22)

Scadem relatiile

f (xk+1)− f (xk−1) = 2f ′(xk )h + O(h3), (23)

de undeyk+1 − yk−1

2h− f ′(xk ) = O(h2). (24)

Formula de derivare centrata are eroarea de trunchiere deordinul 2


Formule de derivare numericaFormulele de ordinul 2 sunt mai precise decât formulele deordinul 1.

f

panta acestei drepte = f′(xk)

panta acestei drepte = derivata regresiva de ordin 1panta acestei drepte = derivata progresiva de ordin 1panta acestei drepte = derivata centrata de ordin 2

(xk−1

,yk−1

)

(xk+1

,yk+1

)

(xk,y

k)

Semnificatia geometrica a celor mai simple formule de derivare numerica (pas echidistant).


Algoritmi numerici pentru derivarea functiilor

Este important modul în care este cunoscuta functia.• Functia data tabelar (prin date)

1. se evalueaza derivatele în punctele din tabel2. se evalueaza derivata într-un punct oarecare, facând o

interpolare liniara pe portiuni a acestor valori.

• Functia data printr-un cod1. se alege pasul optim de derivare pentru o anumita formula

de derivare numerica;2. se evalueaza derivata cu formula de derivare numerica

într-un punct oarecare.


Algoritmi numerici - functie data tabelar1. Se evalueaza derivatele în punctele din tabel2. Se evalueaza derivata într-un punct oarecare, facând o

interpolare liniara pe portiuni a acestor valori.procedur a pregatire_derivate(n, x, y, dy ); calculeaza derivatele numerice în noduri; declaratiiîntreg n ; numarul de puncte din tabel minus 1tablou real x [n], y [n]; tabelul de valori, indici de la 0tablou real dy [n] ; valorile derivatelor; alte declaratii· · ·; la capatul din stânga diferente progresive de ordinul 2h1 = x1 − x0h2 = x2 − x1dy0 = −(2h1 + h2)/(h1(h1 + h2))dy0 + (h1 + h2)/(h1h2)dy1 − h1/(h2(h1 + h2))dy2; la capatul din dreapta diferente regresive de ordinul 2h1 = xn−1 − xn−2h2 = xn − xn−1dyn = −h2/(h1(h1 + h2))dyn−2 − (h1 + h2)/(h1h2)dyn−1 + (h1 + 2h2)/(h2(h1 + h2))dyn; în nodurile interioare diferente centrate de ordinul 2pentru k = 1, n − 1

h1 = xk − xk−1h2 = xk+1 − xkdyk = −h2/(h1(h1 + h2))dyk−1 − (h1 − h2)/(h1h2)dyk + h1/(h2(h1 + h2))dyk+1

•

rez = interpolare_lpp(n, x, dy, xcrt)


Algoritmi numerici - functie data prin cod• Pasul de discretizare trebuie ales de utilizator.

• Eroarea de trunchiere este cu atât mai mica cu cât pasul estemai mic. Dar, exista si o eroare de rotunjire, care este cu atâtmai mare cu cât pasul este mai mic.

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

Pasul de derivare h

Ero

area

abs

olut

a a

deriv

atei

pro

gres

ive

de o

rd 1

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−14

10−13

10−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

Pasul de derivare h

Ero

area

abs

olut

a a

deriv

atei

cen

trat

e de

ord

2

Teste numerice pentru sin′(π/4): Eroarea în functie de pasul de derivare pentru formula de derivare progresiva de

ordinul 1 (stânga) si formula de derivare centrata de ordinul 2 (dreapta).

Pas optim de derivare numeric a = pasul de la care încep sapredomine erorile de trunchiere.Atentie: Nu este pasul pentru care eroarea este minima!.


Algoritmi numerici - functie data prin codEstimarea hoptim în cazul formulei de derivare progresiva deordinul 1.

y ′

k =yk+1 − yk

xk+1 − xk=

yk+1 − yk

h(25)

et = |y ′

k − f ′(xk )| ≤M2

2h, (26)

unde |f ′′(x)| ≤ M2. Notam marginea erorii de trunchiere:

at =M2

2h (27)

Pp. |eyk/yk | < eps, si eh = 0

|er | ≤|eyk+1 |+ |eyk |

h≤

eps(|yk+1|+ |yk |)

h(28)

Daca |f (x)| ≤ M0 atunci

|er | ≤2M0eps

hnot= ar (29)


Algoritmi numerici - functie data prin codEroarea totala e = et + er va fi majorata de

|e| = |et + er | ≤ |et |+ |er | ≤ at + ar = m(h)

m(h) =M2

2h +

2M0epsh2 , (30)

min(m(h)) = m(hoptim). (31)

h

Mar

gine

a er

orii

Marginea erorii de trunchiere a

t(h)

Marginea erorii de rotunjire ar(h)

Marginea erorii totale a(h)

hoptim

Pasul optim de derivare numeric a este pasul de la care încep s a predomine erorile de trunchiere.


Algoritmi numerici - functie data prin codConditia de minim

m′(h) = 0

rezulta valoarea optima a pasului de derivare

hoptim = 2

√

M0epsM2

. (32)

Pasul optim de derivare depinde de:

• eroarea de rotunjire

• marginea functiei

• marginea derivatei a doua.

El este pasul pentru care marginea erorii totale este minima sinu trebuie confundat cu pasul pentru care eroarea totala esteminima, pas care s-ar putea sa fie mai mic decât pasul optim,dar care nu poate fi estimat apriori.


Algoritmi numerici - functie data prin codAlgoritm pentru derivata progresiva de ordinul 1 a unei functii dateprin cod, folosind un pas de derivare optim. M2 ≈ f (x)−2f (x+h)+f (x+2h)

h2 .

func¸tie derivata_f(x, h0, maxit); calculeaza derivata numerica a functiei f folosind diferente progresive de ordinul 1 si pas optim de derivarereal x ; punctul în care se va evalua derivatareal h0 ; pasul initialîntreg maxit ; numarul maxim de iteratii pentru calculul pasului; alte declaratii· · ·eps = zeroul_masinii ()f 0 = f (x) ; valoarea functiei în punctul de derivareh = h0k = 0repet a

k = k + 1f 1 = f (x + h)f 2 = f (x + 2h)M2 = |f 0 − 2f 1 + f 2|/h2 ; estimarea marginii derivatei a douadac a M2 < eps ; testeaza daca derivata a doua este zero

hoptim = h ; functia e liniara, eroarea de trunchiere e zeroaltfel

M0 = max(|f 0|, |f 1|, |f 2|) ; estimarea marginii functieihoptim = 2

√

M0eps/M2r = h/hoptim ; rata de modificare a pasuluih = hoptim

pân a când (k > maxit) sau (r > 0.5si r < 2)întoarce (f (x + hoptim) − f 0)/hoptim


Derivate de ordin superior

Pot fi privite ca aplicatii recursive ale derivatei de ordinul unu.

pregatire_derivate(n, x , dy , d2y )

rez = interpolare_lpp(n, x , d2y , xcrt)

Experimentele numerice arata ca procedând astfel, acuratetearezultatului se pierde pe masura ce ordinul derivatei


Derivate de ordin superiorO alta posibilitate: deducerea formulelor de derivare pornind dela polinomul de interpolare initial.

g(x) =(x − xk )(x − xk+1)

(xk−1 − xk )(xk−1 − xk+1)yk−1 +

(x − xk−1)(x − xk+1)

(xk − xk−1)(xk − xk+1)yk +

+(x − xk−1)(x − xk )

(xk+1 − xk−1)(xk+1 − xk )yk+1, (33)

g′(x) =

(x − xk ) + (x − xk+1)

(xk−1 − xk )(xk−1 − xk+1)yk−1 +

(x − xk−1) + (x − xk+1)

(xk − xk−1)(xk − xk+1)yk +

+(x − xk−1) + (x − xk )

(xk+1 − xk−1)(xk+1 − xk )yk+1. (34)

g′′(x) =

2

(xk−1 − xk )(xk−1 − xk+1)yk−1 +

2

(xk − xk−1)(xk − xk+1)yk +

+2

(xk+1 − xk−1)(xk+1 − xk )yk+1, (35)

În cazul particular xk+1 − xk = xk − xk−1 = h

g′′(x) =yk−1 − 2yk + yk+1

h2 . (36)


Derivate de ordin superiorEvaluarea erorii - folosind seria Taylor cu un numar suplimentarde termeni.

f (xk+1) = f (xk ) + f ′(xk )h +f ′′(xk )

2!h2 +

f ′′′(xk )

3!h3 + O(h4), (37)

f (xk−1) = f (xk )− f ′(xk )h +f ′′(xk )

2!h2 −

f ′′′(xk )

3!h3 − O(h4). (38)

f (xk+1) + f (xk−1) = 2f (xk ) + f ′′(xk )h2 + O(h4). (39)

yk+1 − 2yk + yk−1

h2 − f ′′(xk ) = O(h2). (40)

• Polinomul de interpolare initial trebuie sa aiba un gradsuficient de mare pentru ca derivata de ordin superior safie nenula.

• Ar putea apare fenomenului Runge care va afecta siacuratetea derivatelor numerice. De aceea, calcululnumeric al derivatelor de ordin superior trebuie evitat.


Derivate partiale

f (x , y) : [a, b]× [c, d ] → IR.

a = x0, x1, . . . , xi , . . . , xn = b

c = y0, y1, . . . , yj , . . . , ym = d

x

y

b=xn

a=x0

c=y0

d=ym

xi

yj (x

i,y

j)

Discretizarea domeniului de definitie.

Valorile din"tabel":

f (xi , yj) = zi,j

i = 0, n j = 0,m


Derivate partialeEvaluarea numerica a derivatelor partiale se reduce laevaluarea numerica a derivatelor totale.

∂f∂x

∣

∣

∣

∣

x=x0,y=y0

= limx→x0

f (x , y0)− f (x0, y0)

x − x0= lim

x→x0

f1(x)− f1(x0)

x − x0=

df1dx

,

(41)unde f1(x) = f (x , y0) este o functie care depinde de o singura

variabila reala. Similar,

∂f∂y

∣

∣

∣

∣

x=x0,y=y0

= limy→y0

f (x0, y)− f (x0, y0)

y − y0= lim

y→y0

f2(y)− f2(y0)

y − y0=

df2dy

,

(42)unde f2(y) = f (x0, y) este o functie care depinde de o singura

variabila reala.Formulele de derivare progresiva de ordinul 1

∂g∂x

(xi , yj) =zi+1,j − zi,j

xi+1 − xi,

∂g∂y

(xi , yj) =zi,j+1 − zi,j

yj+1 − yj(43)

etc.


Derivate partiale

Exemplu: evaluarea numerica a operatorului Laplace aplicatunei functii de doua varibile.

∆f =∂2f∂x2 +

∂2f∂y2 . (44)

Pp. xi+1 − xi = yj+1 − yj = h, pentru orice i = 0, n − 1,j = 0,m − 1

∆g =zi−1,j − 2zi,j + zi+1,j

h2 +zi,j−1 − 2zi,j + zi,j+1

h2 =

=zi−1,j + zi+1,j + zi,j−1 + zi,j+1 − 4zi,j

h2 , (45)


Derivate partiale

yj

xi

zi+1,j

zi−1,j

zi,j−1

zi,j+1

zi,j

În discretizarea operatorului Laplace în punctul (xi , yj ) apar numai valorile

nodurilor marcate.

∆g =zi−1,j + zi+1,j + zi,j−1 + zi,j+1 − 4zi,j

h2(46)

Daca astfel de rationamente se folosesc pentru rezolvarea numericaa problemelor de inginerie formulate cu ajutorul unor ecuatii cuderivate totale (ODE) sau partiale (PDE) atunci se spune ca pentrurezolvarea problemei se aplica metoda diferentelor finite.


Metoda diferentelor finite

• Pasul 1: Se alege o schema de diferente finite pentruaproximarea derivatelor din ecuatii si se rescrie ecuatia caecuatie cu diferente finite.

• Pasul 2: Se stabileste grila de discretizare si se scrieecuatia discretizata pentru fiecare nod.

• Pasul 3: Se rezolva sistemul de ecuatii pentrudeterminarea valorilor necunoscute în nodurile grilei.

• Pasul 4: Calculul altor valori, în afara celor din noduri, seface prin interpolare.

1 si 2 = preprocesare3 = rezolvare4 = postprocesare


Exemplul 1 - rezolvarea unei ecuatii diferentialeordinare

Vom considera un condensator de capacitate C = 4µF, initialdescarcat, care se încarca de la o sursa de tensiune continuaE = 20 mV printr-un rezistor de rezistenta R = 10 Ω.Fie i curentul prin circuit si u tensiunea la bornelecondensatorului.

Ri(t) + u(t) = E . (47)

i(t) = Cdu(t)

dt, (48)

RCdu(t)

dt+ u(t) = E . (49)

u(0) = u0 = 0. (50)

Solutie analitica

u(t) = (u0 − E) exp(−t/τ) + E . (51)

unde τ = RC este constanta de timp a circuitului.



Ecuatia (49) o rescriem ca

du(t)dt

+1τ

u(t) =1τ

E . (52)

Vom urmari calculul numeric în intervalul de timp [0, tmax ] undetmax = 10τ într-o retea echidistanta de N puncte tk , unde pasulde discretizare h este

tk+1 − tk = h, pentru k = 1, . . . ,N − 1. (53)

Vom nota valorile discrete obtinute prin rezolvare numerica cuuk . Ele vor fi aproximatii ale marimii reale u.

uk ≈ u(tk ). (54)



du(t)

dt+

1

τu(t) =

1

τE. (55)

Varianta I - diferente finite progresive de ordinul 1

uk+1 − uk

h+

1τ

uk =1τ

E , (56)

uk+1 − uk +hτ

uk =hτ

E . (57)

⇒ uk+1 poate fi calculata explicit cu formula

uk+1 = uk

(

1 −hτ

)

+hτ

E . (58)



uk+1 = uk

(

1 −hτ

)

+hτ

E . (59)

procedur a mdf_ode_p1(u0,E,tau,h,N,u)

; rezolva ecuatia du(t)dt + 1

τu(t) = 1

τE cu metoda diferentelor finite

; d/dt se discretizeaza folosind diferente progresive de ordinul 1real u0 ; conditia initiala - datareal E ; coeficient în ecuatie - datareal tau ; constanta de timp - datareal h ; pas de discretizare al intervalului de timp - datîntreg N ; numar de valori de timp - dattablou real u[N] ; solutia discreta - rezultatu(1) = u0pentru k = 1,N-1

u(k+1) = u(k)*(1-h/tau) + h*E/tau•retur

Aceasta metoda, cunoscuta si sub numele de Euler explicita,este instabila pentru h > τ .



du(t)

dt+

1

τu(t) =

1

τE. (60)

Varianta a II-a - diferente finite regresive de ordinul 1

uk − uk−1

h+

1τ

uk =1τ

E , (61)

uk − uk−1 +hτ

uk =hτ

E . (62)

⇒ uk poate fi calculata explicit:

uk =

(

uk−1 +hτ

E)

/

(

1 +hτ

)

. (63)



uk =

(

uk−1 +hτ

E)

/

(

1 +hτ

)

. (64)

procedur a mdf_ode_r1(u0,E,tau,h,N,u)


τu(t) = 1


; d/dt se discretizeaza folosind diferente regresive de ordinul 1real u0 ; conditia initiala - datareal E ; coeficient în ecuatie - datareal tau ; constanta de timp - datareal h ; pas de discretizare al intervalului de timp - datîntreg N ; numar de valori de timp - dattablou real u[N] ; solutia discreta - rezultatu(1) = u0pentru k = 2,N

u(k) = (h*E/tau + u(k-1))/(1 + h/tau)• retur

Metoda (Euler implicita pentru rezolvarea ODE) nu mai este instabilapentru h > τ .Ecuatia generala este dy/dt = f (t, y) unde f este o functie în general neliniara. Folosirea derivatei regresive

pentru f conduce la o relatie implicita pentru calculul lui uk , relatie ce reprezinta o ecuatie neliniara. În cazul

particular studiat, f este liniara si de aceea solutia se poate calcula explicit.



du(t)

dt+

1

τu(t) =

1

τE. (65)

Varianta a III-a - diferente finite centrate de ordinul 2

uk+1 − uk−1

2h+

1τ

uk =1τ

E , (66)

− uk−1 +2hτ

uk + uk+1 =2hτ

E . (67)

k = 2, . . . ,N − 1 ⇒ N − 2 ecuatii cu N necunoscute.Trebuie adaugate relatiile la capete. La t = 0: u(1) = u0

Pentru k = N diferente regresive de ordinul 2:

uN−2 − 4uN−1 + 3uN

2h+

1τ

uN =1τ

E , (68)

uN−2 − 4uN−1 +

(

3 +2hτ

)

uN =2hτ

E . (69)



procedur a mdf_ode_c2(u0,E,tau,h,N,u)


τu(t) = 1


; d/dt se discretizeaza folosind diferente centrate de ordinul 2real u0 ; conditia initiala - datareal E ; coeficient în ecuatie - datareal tau ; constanta de timp - datareal h ; pas de discretizare al intervalului de timp - datîntreg N ; numar de valori de timp - dattablou real u[N] ; solutia discreta - rezultattablou real A[N,N] ; matricea coeficientilor sistemului asamblat - stocata rartablou real tl[N] ; vectorul termenilor liberi ai sistemului asamblatA = 0 ; pseudocod simplificattl = 0A(1,1) = 1 ; conditia initiala tl(1) = u0pentru k = 2,N-1 ; noduri interioare

A(k,k-1) = -1A(k,k) = 2*h/tauA(k,k+1) = 1tl(k) = 2*h*E/tau

•A(N,N-2) = 1 ; conditia la tmax = N*hA(N,N-1) = -4A(N,N) = (3 + 2*h/tau)tl(N) = 2*h*E/tauu = ”A−1tl” ; rezolva sistemul algebric liniar asamblatretur



0 1 2 3 4

x 10−4

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

t [s]

u [V

]

h/tau = 0.500000

analiticprog ord 1regr ord 1centr ord 2

0 1 2 3 4

x 10−4

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−3

t [s]E

roar

e ab

solu

ta [V

]

h/tau = 0.500000

prog ord 1regr ord 1centr ord 2

Cazul h = τ/2.



0 1 2 3 4

x 10−4

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

t [s]

u [V

]

h/tau = 1.000000


0 1 2 3 4

x 10−4

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

−3

t [s]E

roar

e ab

solu

ta [V

]

h/tau = 1.000000


Cazul h = τ .



0 1 2 3 4

x 10−4

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

t [s]

u [V

]

h/tau = 2.000000


0 1 2 3 4

x 10−4

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

t [s]

Ero

are

abso

luta

[V]

h/tau = 2.000000


Cazul h = 2τ .

În cazul utilizarii diferentelor centrate de ordinul 2, metoda nu esteinstabila si este mai precisa decât implementarile anterioare. Acestlucru era de asteptat deoarece formulele de derivare numerica deordinul 2 sunt mai precise decât cele de ordinul 1. Crestereaacuratetii se face însa pe seama cresterii complexitatii algoritmului.


Exemplul 2 - rezolvarea unei ecuatii derivate partialede tip eliptic

O

y

xa/2

b/2

b

a

σ=0

σ0 V

1 V

∆V = 0

O

RQ

N

S

P

dV/dn=0

V=1

dV/dn=0

dV/dn=0

V=0

dV/dn=0

Problema 2D de regim electrocinetic: domeniul de calcul (stânga), conditii de frontiera (dreapta).

Se da un conductor omogen, de conductivitate σ, situat într-un mediu perfect

izolant. Conductorul are o dimensiune dupa axa Oz mult mai lunga decât

celelalte doua. Figura reprezinta o sectiune perpendiculara pe directia

dimensiunii foarte mari. Aceasta sectiune este un dreptunghi, de dimensiuni

a, b. Conductorul are doua borne supraconductoare, una aflata la potential

V0 = 1V, iar cealalta aflata la potential nul. Se cere câmpul în acest domeniu.



Formularea în V - potential electrocinetic, unde E = −gradV , Eeste intensitatea câmpului electric.Ecuatia de ordinul doi satisfacuta de V :

− div (σ gradV ) = 0 (70)

V : D → IR; D = ONPQ; (70) - ecuatie eliptica, de tip Laplacegeneralizata. Domeniul omogen ⇒ ecuatie de tip Laplace:

∆V = 0, (71)

∆ = div grad este operatorul Laplace; în 2D, xOy:

∆V =∂2V∂x2 +

∂2V∂y2 . (72)

⇒ Ecuatia de rezolvat, unde V = V (x , y) : D → IR:

∂2V∂x2 +

∂2V∂y2 = 0, (73)



Conditii de frontiera:

V = V0 pe QR (Dirichlet) (74)

V = 0 pe SN (Dirichlet) (75)∂V∂n

= 0 pe NOQ∪ RPS (Neumann) (76)

Gridul de discretizare bidimensional:

0 = x1 < x2 < . . . < xnx = a

0 = y1 < y2 < . . . < yny = b.

Un nod al gridului:

(xi , yj) i = 1, . . . , nx , j = 1, . . . , ny .

MDF determina valorile potentialului în nodurile acestui grid:

V (xi , yj)not= Vi,j i = 1, nx , j = 1, ny . (77)



Ecuatia asociata unui nod interior: Pp hx , hy pasii dediscretizare:

∂2V∂x2 (xi , yj) =

Vi+1,j − 2Vi,j + Vi−1,j

h2x

, (78)

∂2V∂y2 (xi , yj) =

Vi,j+1 − 2Vi,j + Vi,j−1

h2y

. (79)

Vi+1,j − 2Vi,j + Vi−1,j

h2x

+Vi,j+1 − 2Vi,j + Vi,j−1

h2y

= 0, (80)

2

(

1h2

x+

1h2

y

)

Vi,j −1h2

xVi+1,j −

1h2

xVi−1,j −

1h2

yVi,j+1−

1h2

yVi,j−1 = 0.

(81)Potentialul într-un nod interior este o combinatie liniara a

potentialelor nodurilor învecinate.



Ecuatia asociata unui nod interior - retea neuniforma:

O

A

B

C

D

y

x

Nodurile marcate intervin în scrierea ecuatiei unui

nod interior.

VO

(

1hBhD

+1

hAhC

)

−

−VA1

hA(hA + hC)−

−VB1

hB(hB + hD)−

−VC1

hC(hA + hC)−

−VD1

hD(hB + hD)= 0, (82)

hA = ‖OA‖, hB = ‖OB‖, hC =

‖OC‖, hD = ‖OD‖.



Ecuatia asociata unui nod pe frontiera dreapta:

O

A

B

C

x

n

D1

Nodurile marcate intervin în scrierea ecuatiilor unui

nod pe frontiera Neumann dreapta.

Fie g = −σ ∂V∂n si gO valoarea

medie în O:

gO =gOAhA + gOChC

hA + hC(83)

unde gOA este CF asociata luiOA, iar gOC este CF asociata luiOC.Nod “fantoma" D1, hD = ‖OD1‖.Pentru simplitate hD = hB.

∂V∂x

=gσ. (84)

⇒VD1 = VB − 2hB

gO

σ. (85)



Ecuatia asociata unui nod pe frontiera dreapta:

O

A

B

C

x

n

D1

Nodurile marcate intervin în scrierea ecuatiilor unui

nod pe frontiera Neumann dreapta.

Pentru O se scrie o ecuatieca pentru un nod interior si în-locuind expresia (85) ⇒:

VO

(

1h2

B

+1

hAhC

)

−

−VA1

hA(hA + hC)−

−VB1h2

B

−

−VC1

hC(hA + hC)= −

gO

σhB.(86)



• Discretizarea problemei conduce la un sistem de ecuatii algebricliniar, prin a carui rezolvare se obtin valorile potentialelor înnodurile gridului.

• Pentru asamblarea sistemului este util ca nodurile sa fienumerotate a.î. necunoscutele sa reprezinte un vector.

2

ny 2 ny nx ny

k

(i−1)ny+1

j

(nx−1)ny+11 ny+1

Exemplu de numerotare a nodurilor. Relatia între numarul nodului k si pozitiile proiectiilor sale pe cele doua axe i si

j este k = (i − 1)ny + j, i = 1, . . . , nx , j = 1, . . . , ny



0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.5

0.5

0.5

0.5

0.6

0.6

0.6

0.6

0.7

0.7

0.7

0.80.8

0.8

0.90.9

1 1

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.5

0.5

0.5

0.5

0.6

0.6

0.6

0.7

0.7

0.7

0.80.8

0.90.9

1 1

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Linii echipotentiale pentru un grid cu nx = ny = 3 (stânga) si un grid cu nx = ny = 21 (dreapta).


Exemplul 3 - rezolvarea unei ecuatii cu derivatepartiale de tip hiperbolic

Ecuatia undei scalare:

∂2u∂t2 = v2∂

2u∂x2 , (87)

u(x , t) : [0, a]× [0,T ] → IR, v este o constanta cunoscuta.Solutia acestei ecuatii este o unda care se propaga cu viteza v .Buna formulare a acestei probleme necesita impunerea

• conditiei initiale u(x , 0) = h0(x),

• conditiilor la capete - relatii în care intervin marimileu(0, t) = h1(t) si u(a, t) = h2(t).



Se poate demonstra ca

u(x , t) = ud(x , t) + ui(x , t) + U0, (88)

unde ud(x , t) se numeste unda directa si se poate scrie subforma

ud(x , t) = f (x − vt), (89)

iar ui(x , t) se numeste unda inversa si se poate scrie sub forma

ud(x , t) = g(x + vt). (90)

f si g rezulta în mod univoc, din impunerea conditiilor initiale siconditiilor la capete.f (x − vt) - o anumita valoare a acestei functii, într-un anumit punct x si într-un anumit moment de timp t se va regasi

dupa un interval de timp ∆t în punctul x + ∆x , unde ∆x = v∆t (se propaga deci în sensul pozitiv al axei Ox).



Avem nevoie de o discretizare spatiala si de una temporala.Pp. ca ambele discretizari sunt uniforme si vom nota cu

• ∆z pasul discretizarii spatiale• ∆t pasul discretizarii temporale• N numarul de puncte de discretizare spatiale• M numarul de pasi de timp simulati ⇒ timpul maxim de

simulare este T = M∆tVom considera urmatoarele conditii de unicitate:

• conditia initiala nula u(x , 0) = h0(x) = 0,• conditia la capatul din stânga - excitatia cu un impuls

Gauss: u(0, t) = h1(t) = exp(−(t − T/10).2/(2 ∗ (T/50)2))

• conditia la capatul din dreapta u(a, t) = h2(t) = 0.În problemele în care apare propagare, este util uneori ca frontiera domeniului spatial sa fie modelata ca o frontiera

absorbanta, "invizibila" din punct de vedere al propagarii marimilor în domeniul spatial modelat. Conditia de frontiera

absorbanta pentru capatul din dreapta al problemei studiate este ∂u∂t + v ∂u

∂z = 0.



Marimea u(x , t) este discretizata atât în spatiu cât si în timp.Prin rezolvarea cu MDF, vom obtine aproximatii:

u(xk , tj) ≈ u(j)k , k = 1, . . . ,N, j = 1, . . . ,M. (91)

Formule de derivare de ordin 2:

u(j−1)k − 2u(j)

k + u(j+1)k

(∆t)2 = v2 u(j)k−1 − 2u(j)

k + u(j)k+1

(∆x)2 , (92)

⇒

u(j+1)k =

(

v∆t∆x

)2(

u(j)k−1 − 2u(j)

k + u(j)k+1

)

+2u(j)k −uj−1

k , k = 2, . . . ,N−

(93)de unde rezulta ca marimea u, într-un anumit punct k si la un

anumit moment de timp j + 1 depinde explicit de valoarea înacel punct si în cele învecinate la momentul de timp anterior j side valoarea în acel punct la momentul j − 1:



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

tmax = 1.00e+000, not = 1000, idx

t = 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

tmax = 1.00e+000, not = 1000, idx

t = 600

Propagarea unui impuls Gauss (stânga) si rezultatul reflexiei dupa atingerea unei frontiere pe care s-a impus

conditie Dirichlet nula (dreapta).

Atunci când o problema necesita atât o discretizare spatiala câtsi una temporala, pentru ca solutia numerica sa fie stabila, estenecesar sa fie îndeplinita conditia lui Courant

|v |∆t ≤ ∆x . (94)


Concluzii - MDF

1. În rezolvarea ecuatiilor diferentiale cu metoda diferentelorfinite, trebuie avute în vedere aspectul stabilitatiialgoritmului si aspectul instabilitatii numerice datorateintrarii în zona în care predomina erorile de rotunjire.

2. Stabilitatea se analizeaza diferit daca ecuatia este cuderivate ordinare (ODE) sau cu derivate partiale (PDE).

3. Formulat pe scurt, trebuie ca pasii de discretizare trebuiesa fie suficient de mici pentru ca algoritmul sa fie stabil, darnu prea mici ca sa nu se intre în zona erorilor de rotunjire.

4. Un algoritm eficient ar trebui sa poata sa foloseasca paside discretizare neuniformi, adaptati tipului de variatie asolutiei.

Documents

Derivarea numerica. Introducere în metoda˘ diferen¸telor ...an.lmn.pub.ro/slides/AN_s12.pdf · Formulare Formule de der. Algoritmi Der.ord.sup Der.part. MDF-1 MDF-2 MDF-3 Derivarea