DERET

Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-

kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret

dinamakan suku. Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat

pada ” pola perubahan ” bilangan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya.

Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret digolongkan atas

deret berhingga dan deret takberhingga. Deret berhingga adalah deret yang

jumlah suku-sukunya tertentu, sedangkan deret takberhingga adalah deret yang jumlah

suku-sukunya tidak terbatas. Sedangkan dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada

suku-sukunya, deret bisa dibeda-bedakan menjadi deret hitung, dan deret ukur.

DERET HITUNG

Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan

terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret

hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua

suku yang berurutan.

Contoh :

1. 7,12,17,22,27,32 ( pembeda = 5 )

2. 93,83,73,63,53,43 ( pembeda = -10 )

Dua hal yang penting untuk diketahui atau dihitung dalam setiap persoalan deret,

baik deret hitung maupun deret ukur, adalah besarnya nilai pada suatu suku tertentu dan

jumlah nilai deret tersebut sampai dengan suku yang bersangkutan.

Suku ke-n dari Deret Hitung ( DH )

1

Besarnya nilai suku tertentu ( ke-n ) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui

sebuah rumus. Untuk membentuk rumus yang dimaksud, perhatikan contoh (1) diatas.

Dalam contoh tersebut, nilai suku pertamanya (a ) adalah 7 dan pembedanya (b )

adalah 5

7, 12, 17, 22, 27, 32

S1 S2 S3 S4 S5 S6

S1=7=a

S2=12=a+b=a+(2−1 )b

S3=17=a+2b=a+ (3−1 )b

S4=22=a+3b=a+(4−1 )b

S5=27=a+4b=a+ (5−1 )b

S6=32=a+5b=a+(6−1 )b

Berdasarkan rumus diatas, dengan mudah dan cepat kita dapat menghitung nilai-

nilai suku tertentu. Sebagai contoh, nilai suku ke-10 dan ke-23 dari deret hitung ini

masing-masing adalah :

S10=a+(n−1 )b=7+ (10−1 ) 5=7+45=52

S23=a+(n−1 )b=7+ (23−1 ) 5=7+110=117

Jumlah n suku

Sn=a+ (n−1 )b

a : suku pertama atau S1

b : pembedan : indeks suku

2

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah

nilai suku-sukunya, sejak suku pertama ( S1 atau a ) sampai dengan suku ke-n ( Sn )

yang bersangkutan.

Jn=∑i=1

n

Si=S1+S2+. .. .. .. .+Sn

J4=∑i=1

4

S i=S1+S2+S3+S4

J5=∑i=1

5

Si=S1+S2+S3+S4+S5

J6=∑i=1

6

Si=S1+S2+S3+S4+S5+S6

Berdasarkan rumus Sn=a+ (n−1 )b sebelumnya, maka masing-masingSi makaJ4 ,

J5 dan J6 dalam ilustrasi diatas akan menjadi masing-masing sebagai berikut :

J4=a+(a+b )+(a+2b )+(a+3b )

J4=4 a+6b

J5=a+ (a+b )+ (a+2b )+(a+3b )+(a+4 b )

J5=5a+10b

J6=a+ (a+b )+(a+2b )+ (a+3b )+(a+4 b )+(a+5b )

J6=6 a+15b

Masing-masing J i ini dapat pula ditulis ulang dalam bentuk sebagai berikut :

J4=4 a+6b=4 a+ 42

(4−1 )b

J5=5a+10b=5a+ 52

(5−1 )b

J6=6 a+15b=6a+ 62

(6−1 )b

Rumus Jn=

n2

{2a+ (n−1 )b } ini masih bisa disederhanakan lagi menjadi seperti berikut :

Jn=na+n2

(n−1 )batau

Jn=n2

{2a+ (n−1 )b }

3

Jn=n2

{2a+ (n−1 )b }

Jn=n2

{a+a+ (n−1 )b }

Jn=n2 (a+Sn )

Dengan demikian, untuk menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku

tertentu n , terdapat 4 (empat) bentuk rumus yang bisa digunakan :

Untuk kasus deret hitung dalam Contoh 1. diatas tadi, jumlahnya sampai dengan suku

ke-10 adalah :

J10=102 (7+S10 )=5 (7+52 )=295

Sedangkan untuk kasus deret hitung dalam Contoh 2., jumlahnya sampai dengan suku

ke-10 adalah :

J10=(10 ) (93 )+10

2(10−1 ) (−10 )=930+5 (9 ) (−10 )=480

DERET UKUR

Sn

(1) Jn=∑

i=1

n

Si (2)

Jn=n2

{2a+ (n−1 )b }

(3) Jn=

n2 (a+Sn )

(4) Jn=na+

n2

(n−1 )b

4

Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian

terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret

ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai

suku di depannya.

Contoh :

1. 5, 10, 20, 40, 80, 160 ( pengganda = 2 )

2. 512, 256, 128, 64, 32, 16 ( pengganda = 0,5 )

Suku ke-n dari Deret Ukur ( DU )

Untuk dapat membentuk rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur,

perhatikan Contoh 1. diatas yang disajikan dalam bentuk lain dibawah ini.

S1=5=a

S2=10=ap =ap2−1

S3=20=app =ap2 =ap3−1

S4=40=appp =ap3 =ap4−1

S5=80=apppp =ap4 =ap5−1

S6=160=appppp =ap5 =ap6−1

Berdasarkan rumus diatas, nilai suku ke-10 dari deret ukur dalam Contoh 1. dan

Contoh 2. diatas masing-masing adalah :

1. S10=(5 ) (2 )10−1=(5 ) (2 )9=(5 ) (512 )=2560

2.S10=(512 ) (0,5 )10−1=(512 ) (0,5 )9=(512 ) ( 1

512 )=1

Jumlah n suku

Sn=apn−1

a : suku pertamap : penggandan : indeks suku

5

Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku

tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n

yang bersangkutan.

Jn=∑i=1

n

Si=S1+S2+S3+S4+.. . .. .. .+Sn

Berdasarkan Sn=apn−1

, maka masing-masing Si dapat dijabarkan sehingga :

Jn=a+ap+ap2+ap3+.. . .. ..+apn−2+apn−1 (1)

Jika persamaan (1) ini kita kalikan dengan bilangan penggandap , maka :

pJn=ap+ap2+ap3+ap4+. .. . .. .+apn−1+apn (2)

Dengan mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1), diperoleh selisih antara kedua

persamaan ini yaitu :

Jn−pJn=a−apn

Jn (1−p )=a (1−pn )

Dari sini, kita dapat membentuk rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n ,

yakni :

Jn=a (1−pn)

1−p atau Jn=

a ( pn−1 )p−1

Dalam hal |p|<1,penggunaan rumus yang disebelah kiri akan lebih mempermudah

perhitungan. Dilain pihak jika |p|>1,perhitungan akan menjadi lebih mudah dengan

menggunakan rumus yang disebelah kanan.

Untuk kasus deret ukur dalam Contoh 1. diatas, dimana a=5 dan p=2 ,

jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah :

6

Jn=a ( pn−1 )p−1

⇒ J 10=5 ( 210−1 )10−1

=5 (1023 )

1=5115

Sedangkan untuk kasus dalam Contoh 2. Dalam hal ini a=512 dan p=0,5 , jumlah dari

sepuluh suku pertamanya adalah :

Jn=a (1−pn)

1−p⇒ J 10=

512 (1−0,510)1−0,5

=512( 1023

1024 )0,5

=1023

Prinsip-prinsip deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan

ekonomi, baik secara langsung maupun secara tidak langsung. Prinsip deret hitung

banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan. Sedangkan prinsip deret

ukur, bersama-samadengan konsep logaritma, sering digunakan untuk menganalisis

perilaku pertumbuhan.

PENERAPAN EKONOMI

Dibidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan

dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan.

Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan

nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang

bersangkutan relevan diterapkan untuk menganalisisnya.

Model Perkembangan Usaha

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya

produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal – berpola

seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk

menganalisis perkembangan variabel tersebut.

Berpola seperti deret hitung maksudnya disini ialah bahwa variabel yang

bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

Kasus 1.

Perusahaan genteng Sokajaya menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan

pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan

produktivitasnya, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap

bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkan

pada bulan kelima ? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?

7

Jawab :

Sn=a+ (n−1 )b⇒S5=3. 000+(5−1 )500=5 . 000

Jn=n2 (a+Sn )⇒ J5=

52

(3 . 000+5 .000 )=20 . 000

Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 buah, sedangkan jumlah seluruh

genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut 20.000 buah

Kasus 2.

Besarnya penerimaan PT Cemerlang dari hasil penjualan barangnya 720 juta rupiah

pada tahun kelima dan 980 juta rupiah pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan

penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung , berapa perkembangan

penerimaannya per tahun ? Berapa besarnya penerimaan pada tahun pertama dan pada

tahun keberapa penerimaannya sebesar 460 juta rupiah ?

Jawab :

Sn=a+ (n−1 )b ⇒ S5=720→a+4b=720

S7=980→a+6b=980

S7=980→a+6b=980

S5=720→a+4b=720 -

2b=260 ⇔b=260

2=130

Perkembangan penerimaan per-tahun sebesar 130 juta rupiah

a+4b=720→a=720−4b

a=720−4 (130 )

a=200

Penerimaan pada tahun pertama sebesar 200 juta rupiah

Sn=a+ (n−1 )b ↔460=200+(n−1 )130

460=200+130n−130⇒390=130n

n=390

130=3

Penerimaan sebesar 460 juta rupiah diterima pada tahun ketiga

8

a=3 .000b=500n=5

Model Bunga Majemuk

Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan-

pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung, misalnya, besarnya

pengembalian kredit dimasa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya,

untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima

dimasa datang.

Jika misalnya modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku

bunga per-tahun setingkat i ,maka jumlah akumulatif modal tersebut dimasa datang

setelah n tahun (Fn ) dapat dihitung sebagai berikut :

Setelah 1 tahun : F1=P+P⋅i=P (1+i )

Setelah 2 tahun : F2=P (1+i )+P (1+i ) i=P (1+ i )2

Setelah 3 tahun : F3=P (1+i )2+P (1+i )2 i=P (1+i )3

. .

. .

. .

Setelah n tahun : Fn= ( .. .. . .. )+( . .. .. . . )i=P (1+i )n

Dengan demikian, jumlah dimasa datang dari satu jumlah sekarang adalah :

Fn=P (1+i )n P : jumlah sekarangi : tingkat bunga per tahunn : jumlah tahun

9

[ Bandingkan rumus ini dengan rumus deret ukur Sn=apn−1

, keduanya identik. P dan

F0disini identik dengan a atau S1 dalam rumus deret ukur, (1+i ) identik dengan

dalam deret ukur. Ringkasnya, Fndisini identik dengan Sn+1 dalam deret ukur ]

Rumus diatas mengandung anggapan tersirat bahwa bunga diperhitungkan

dibayarkan lebih dari satu kali ( misalnya m kali, masing-masing

im pertermin ) dalam

setahun, maka jumlah dimasa datang menjadi :

Fn=P (1+ im )

m⋅.n

Suku (1+i ) dan (1+ i

m ) dalam dunia bisnis dinamakan ” faktor bunga majemuk ”

( compounding interest factor ), yaitu suatu bilangan lebih besar dari 1 yang

dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa datang dari suatu jumlah sekarang.

Dari rumus diatas, dengan sedikit manipulasi matematis, dapat pula dihitung besarnya

nilai sekarang apabila yang diketahuijumlahnya dimasa datang. Nilai sekarang

( present value ) dari suatu jumlah uang tertentu dimasa datang adalah :

P= 1(1+i )

⋅F atau

P= 1

(1+ im )m⋅n

⋅F

Suku

1

(1+ i )n dan

1

(1+ im )m⋅n

dinamakan ” faktor diskonto ” ( discount factor ), yaitu

suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari

suatu jumlah dimasa datang.

m : frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

10

Kasus 3.

Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak 5 juta rupiah untuk jangka

waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang

harus dikembalikannya pada saat pelunasan ? Seandainya perhitungan pembayaran bunga

bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus ia kembalikan ?

Jawab :

P= 5.000.000 Fn=P (1+i )n

n= 3 F3= 5.000.000 (1+0 ,02 )3

i= 2% = 0,02 F3= 5.000.000 (1 ,061208 ) =5.306.040

Jadi pada saat pelunasan, setelah tiga tahun, nasabah tadi secara keseluruhan harus

mengembalikan sebanyak Rp 5.306.040,00 Seandainya bunga diperhitungkan dibayarkan

tiap semester, m=2 maka :

Fn=P (1+ im )

m⋅.n

→F3= 5.000.000 (1+0 ,01 )6

F3= 5.000.000 (1 ,06152 )=5.307.600

Jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar Rp 5.307.600,00

Kasus 4.

Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp 532.400,00 tiga tahun yang

akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan

mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini ?

Jawab :

11

P=1

(1+i )n⋅F

P=1

(1+0,1 )3⋅532 . 400=400 . 000

Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp 400.000.,00

Model Pertumbuhan Penduduk

Penerapan deret ukur yang paling konvensional dibidang ekonomi adalah dalam hal

penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus,

penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.

Secara matematika, hal ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

Pt=P1Rt−1

, dimana R=1+r

Keterangan :

Pt : jumlah pada tahun ke-t

P1 : jumlah pada tahun pertama ( basis )

r : persentase pertumbuhan per tahun

t : indeks waktu ( tahun )

Kasus 5.

Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat

pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada

tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa

jumlahnya 11 tahun kemudian ?

Jawab :

P1=1 jutar=0 ,04R=1,04 Pt 2006⇒P16=1 juta⋅(1 ,04 )15=1 juta⋅(1 ,800943 )=1 .800.943 jiwa

P1=1. 800 .943r=0 ,025R=1,025

P11tahun kemudian ⇒P11

P11=1. 800 . 943⋅(1 ,025 )10=2 .305 .359 jiwa

12

F=532 . 400n=3i=10 %=0,1

Penerapan Ekonomi Proyek

Kasus 6.

Mobil taksi blue bird karena sudah tua pemekaian bahan bakar menggunakan

bahan bakar bensin 1 : 9 (artinya jarak yang ditempuh 9 km menggunakan bensin 1 liter )

bila tuned up dan ganti cincin torak, ganti karburator bisa jalan / operasi sebagai

berikut :

1 : 11 tahun ke-1

1 : 10,5 tahun ke-2

1 : 10 tahun ke-3

1 : 9 tahun ke-4

Ongkos tuned up Rp 5 000 000,00, satu tahun taksi jalan / operasi 280 hari, satu hari

jalan / operasi 250 km coba evaluasi apakah proyek tuned up menguntungkan ? ( harga

bensin Rp 6 500 / liter, bunga bank 15 % per tahun )

Jawab :

Kalau tidak tuned up

Tahun ke-1 : (250×280× 1

9×6500 )× 1

(1+0 ,15 )=Rp

43 961 352,66

Tahun ke-2 : (250×280× 1

9×6500 )× 1

(1+0 ,15 )2=Rp

38 227 263,18

Tahun ke-3 : (250×280× 1

9×6500 )× 1

(1+0 ,15 )3=Rp

33 241 098,42 +

Jumlah I = Rp 115 429 714,30

Kalau tuned up

atau dengan memanfaatkan kaidah logaritma

P11=1. 800 . 943⋅(1 ,025 )10

↔ log P11=log 1. 800 . 943⋅(1 ,025 )10

log P11=log 1. 800 . 943+10 log 1 ,025

log P11=6 ,255499+0 ,107239

log P11=6 ,362738→P11=2. 305 .359

13

Tahun ke-1 : (250×280× 1

11×6500)× 1

(1+0 ,15 )=Rp

35 968 379,44

Tahun ke-2 : (250×280× 1

10 ,5×6500 )× 1

(1+0 ,15 )2=Rp

32 766 225,58

Tahun ke-3 : (250×280× 1

10×6500)× 1

(1+0 ,15 )3=Rp

29 916 988,58 +

Jumlah II = Rp 98 651 593,60

∴ Manfaat proyek : { Jumlah I – ( Jumlah II + Ongkos tuned up ) }

= {Rp 115 429 714,30 – ( Rp 98 651 593,60 + Rp 5 000 000,00 )}

= Rp 11 778 120,70

14