39

dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

���������������� ����������������������� ��!"���#�%$'&)(��*�+���%�

,�-�.0/1-32�465�798):�8;/3<=8?>@BADCEAGF�H+I�JLKNMDOPJQOPH+RTSVU

W9XZY RTU[H)\^]9H+R`_ba�cdOfehgOfRTJQOfikj?l+m)n)op S Xrq R`OPJQOPH+RTSVU�stH+uQufstS Y \

vw-3xQ-3/zyN5"{w5�vd|}-~8?>#8;��x�>��� Of�[ufs Y)�B� H+u`U�OP\�H+u`��SfJdH)�[��� Y \�����u`�������'Sf��OP�[S1O

� ���Z�)OfRTJ`�Zu%i Y)� u`U�O�� Y ��u`U�]9H)Sf����S�'���+H'a W � p �

� c Y �)OP\zI�OfR��P�;a�o+j)jo�R`Of�'��J`� Y ���

�w�~�~ ¢¡Q£¤3 

A6U���JL��H+��OfR6JQu`�[�[�ZOPJ¥u`U[OE�[R Y I X OP\ Y)� STU[H+RVH)S1uQOfRT�Z¦P������u`U�O0J`��\�� X OPJQu¥H+�bOfRV� Y ����Sd����J`S1R`OfuQO§� Y ���¨u¥J`Ofu`Jfa�[J`�©�������¨�#H+RV��H)�?u`JdI�H)JQOP� Y ��u Y � YX�Y ���SfH X ��i;��H)\���SfJfsD@ � O X�Y ��O�J`Ofu Y)� �����ZuQOwu%i¨��Oª��JDH � O XZY ��OªJQOfu§«J`�[SVU�u`U[H+u6«­¬®«¯��J XZY SfH X�X i����[�ZuQO)s��'��STU�JQOfu`JdH+R`O0STU�H+RTH)S1uQOfRT�Z¦fOP��I¨i°u`U�OP�ZRD��H+u`STU'±=S Y ���?u`���[� � ���[S1u`� Y �²z³ �r´ � Y)� RTH)�[����J ´ I�OP���[�w�����ZuQO �rY R6H X�X ´ s"µ�O �rY RT\�� X H+uQO0S Y � p OPS1u`��RTOPJ�R`O X H+u`���[�ªJ XZY e¶�)R Y e6u`U Y)� u`U�O��H+u`SVU'±=S Y �[�¨u`����� � �[�[S1u`� Y � ² ³ �r´ ��u Y u`U�O0J`Ofu6«·U�HP�'������H�� Y �¨uQRT�Z�'��H X uQRTH)�[J X H+u`� Y ��JQi'\�\�OfuQR`i)s@ � O X�Y ��O�JQOfuª« Y)� �����ZuQONu%i¨��O���J�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)Ok� � u`U[OfR`O°�©J�H � �[�[S1u`� Y �¹¸ ³ �r´ �zJ`��STU¹u`U[H+uªOf�)OfR`i

S XZY JQOP�®I�H X�XBY)� RTH)�[����JE¸ ³ �r´ �9º ´ S Y �¨u`H)���[J0H�S Y \�� X OfuQO�S Y �;i Y)� OPH)STU�_;����� Y)� ��H+u`SVU Y)� RTH)�[�©�[J ´u`U[H+u Y SfSf��RTJ�����«»s¼A6U[��J���JzOP½¨�[���#H X OP�¨uªu Y u`U�O�\����[��\�H X �Zu=i Y)� H)�¾H)J`J Y Sf��H+uQOP�¹u Y � YXZY ���SfH X ��i'�[H)\ª±��SfH X JQi'JQuQOP\·eD�Zu`U¼¿bÀ�±=H)S1u`� Y �Ás»A6U�OfR`Ok��J�H XZY eLOfR�I Y �[�[� �}Y R�¸ ³ �r´ �z����uQOfRT\�J Y)�D²z³ �r´ �Va"�[H)\�O X i¸ ³ �r´ �NÂÄà � ²z³ �r´ �Q� �%Å À �}Y R�J Y \�O�� Y J`�Zu`���)O°S Y �[J`u`H)�?u�ð��Of��OP�[�[�©��� Y �¹u`U�O � O XZY ��O�J`Ofu�S Y �[JQu`H)�¨u`JÆ#Ç`È a�I���u�u`U�OfR`O���J�� Y �)OP��OfRTH X ���[��OfR�I Y �[�[� �}Y R�¸ ³ �r´ �w����RTO X i®����uQOfRT\�J Y)�d²z³ �r´ �Vs®A6U�OkS Y \ª±� X O1É��Zu%i Y)� H�R`Of��Ofu`�Zu`���)O � O X�Y ��OwJQOfu6«¯��J�\�OPH)JT��R`OP��I;iku`U�O0�)R Y e6u`U�RTH+uQO Y)� ��u`J�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu=i � ���[S1u`� Y �¸ ³ �r´ �Vs W�Y R�O1É�H)\�� X O)a�u`U�O � �[��S1u`� Y �ʸ ³ �r´ �ª�©J�I Y �[�[��OP�¾� � H)�[� Y � X i¼� � «Ë��J�H���OfRT� Y �[��S°S1R`i'J̱u`H X s¹@ÄJ`Ofu�«Í��JkÎÐÏrÑ�Ò`£+¡~ÎÔÓ»¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ïr×)Ò�� � ¸ ³ �r´ ��ØÚÙ �r´ ��H)J ´ÜÛ Ý H)�[�¾��J�Þ¨Ò1Ñ��PÒ1ÎÐÓ®¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ï}×+Ò�� �¸ ³ �r´ �¥ØßÙ � ²w³ �r´ �Q� �%Å À H)J ´hÛàÝ sdµ�OªJTU Y eáu`U[H+u X ����OPH+R X ikR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OzJ`Ofu`JâH)������OP��JQO X i�R`Of��Ofu`��±u`�Z�)ODJ`Ofu`J�U[H3�)OdJQuQRV��S1u��[�[� �}Y RT\á��H+u`SVU � R`OP½;��OP�[Sf�ZOPJfa¨�sãO)s9u`U�OdH)J`J Y Sf��H+uQOP��u Y � YXZY ���SfH X ��i'�[H)\��©SfH X JQi'JQuQOP\��J¥JQuQRT�©S1u X i�OfR`� Y �[��S+sBäÖu �rYX�X�Y eDJLu`U[H+u6J`��STU�JQOfu`J�H+R`OE�[�ZåbRTH)S1u`���)O)a[����u`U[O0JQOP�[JQO Y)� U�HP�'�����ªHªe�O X�X ±=��O1����OP��[��å�RTH)S1u`� Y ��\�OPH)J`�[R`O)s�äÌ��u`U�OLR`Of�)OfRTJQO��[�ZRTOPS1u`� Y ��a+e�O¥S Y �[JQuQRV�[S1uBHdRTOf�bOfu`��u`�Z�)O � O XZY ��O�JQOfu9«æ����¿ À eDU[�©STUU[H)J�¸ ³ �r´ �wØ­Ù �r´ª� XZY � ´ �Öç Å À � XZY � X�Y � XZY � ´ �%è Å À��Va9I���u�� Y OPJw� Y uªU[HP�)Ok�[�[� �rY RT\é��H+u`STU � R`OP½¨�[OP�[Sf�ZOPJfs@d�bOfRV� Y ����S X �©��OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`���)OªJ`Ofu`J0U[HP�)ON\�H)�?i�S X H)��\�J§u Y I�Oªu`U�O�J`��\�� X OPJQu§S X H)J`J Y)� H+��OfRT� Y �[��SwJ`Ofu`JfaH)�[��eLO0�[R Y � Y J`O§S Y ��J`����OfRT�©���ªu`U�OP\æH)JDH�� Y u`� Y � Y)�Eê ��OfR � OPS1u X i Y RT�[OfR`OP��½;�[H)J`��S1R`i'JQu`H X�ë s

ì=íbî3ïï�ðÌñfò�óVô#ô3ï�ðÖõõÌö[÷9ðÌø*òQù~úVû'ü§óTò�ý*ðÌþ6óTò�ÿ��Ìõ ��� ý*ð���ñ*ÿ��1ðÖï�õÿãò�LúVû��î#ðÌðÖñ#õ � óVñ#ô � �î#ðÖðÌñ#õ � óVñ#ô�������� ��� î*õ¢òï=ó��tÿ ó3ù����������! " �$# "&% ����'�(�)�*,+.-/*��0�+1*�$+ " ��'.��2 " ���.�.)��$3.'�) % � " 2��4�&+�)�* 5�64�7*8��+

Page 2: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

���������������� ����������������������� ��!"���#�%$'&)(��*�+���%�

,�-�.0/1-32�465�798):�8;/3<=8?>@BADCEAGF�H+I�JLKNMDOPJQOPH+RTSVU

W9XZY RTU[H)\^]9H+R`_ba�cdOfehgOfRTJQOfikj?l+m)n)op S Xrq R`OPJQOPH+RTSVU�stH+uQufstS Y \

v0-3xQ-3/�y�5"{z5"vd|}-~8?>#8;��x>� Of�[ufs Y)�B� H+u`U�OP\�H+u`��SfJdH)�[��� Y \�����u`�������'Sf��OP�[S1O

� ���Z�)OfRTJ`�Zu%i Y)� u`U�O�� Y ��u`U�]9H)Sf����S�'���+H'a W � p �

9;:=< ���)&�B��!"$;������A6U[Ok\ Y JQu Y RT��OfRTOP�¾�[��J`S1R`OfuQO�JQOfu`J����¾¿ À H+R`O�u`U Y JQO�eD�Zu`U¾S1R`i'JQu`H X�X ����O Y RT��OfRPa�eDU[��SVU¼U�HP�)O H � � X�X

RTH)��_ X H+uQu`��S1O Y)� � X�Y I�H X uQRTH)�[J X H+u`� Y �ÊJQi'\�\�OfuQRV�ZOPJfs �'��STUÊJQOfu`J°���¾¿7>��[R Y �'����O�� Y;Y � \ Y �[O X J �rY RNu`U�OH+u Y \���SNJQuQRT�[S1u`�[R`O Y)� S1R`i'JQu`H X Jfs@?§��H)J`��S1R`i'JQu`H X�X �©��O�\�H+uQOfRT��H X JzH+R`ON\�H+uQOfRT��H X JEedU Y JQO�É;±�RTH3i®�[��å�RTH)S1u`� Y �JQ��OPS1uQRTH�U�HP�)OzJTU[H+R`� JQ� Y u`Jfa����[�[��SfH+u`�©����J Y \�O XZY �[�+±�RTH)���)O Y RT�[OfRd���ku`U�O�H+u Y \���S0J`uQRT�[S1u`��R`O)a�I���u�eDU[�©STUX H)ST_�H X H+uQu`��S1O Y)� ��OfRT� Y �[JBA u=i;����SfH X©X iªu`U�Ofi�O1É�U[�ZI��ZuLJQi'\�\�OfuQRT�ZOPJ�eDU[�©STU�H+RTO§�©\�� Y J`J`�ZI X O �}Y R�H)�?i � � X©X i��OfRT� Y �[��S�H+R`RVH)���)OP\�OP�¨u Y)� u`U�OkH+u Y \�Jfs�@ � Ofe ½;�[H)J`�©S1R`i;J`u`H X�X ����ON\�H+uQOfRT��H X J�H+R`Oku`U�OfRT\ Y ��i'�[H)\��©SfH X�X iJQu`H+I X O�eD�Zu`U�H+�[��H+RTOP�?u�¦fOfR Y OP�?uQR Y �¨i)a'H)�[��SfH)��IbO¥�)R Y eD��H)J ê ��OfR � OPS1u X i Y RT�[OfR`OP��½¨��H)J`��S1R`i'JQu`H X J ë edU Y JQOXZY ���+±�RVH)���)OEH+u Y \���S Y RT��OfR6JQOfOP\�J¥u Y I�O§H)J¥� Y¨Y ��H)J¥u`U[H+u Y)� S1RTi;JQu`H X Jfa'Of�)OP��u`U Y ���U°u`U[��J¥H+u Y \��©S Y RV��OfR��JdH+�[��H+R`OP�¨u X i�H+��OfRT� Y �[��S+sDC§�[OzJ`�[SVU O1É�H)\�� X Oz��Jdu`U�Oª@ X ±=]��'± � � ��S Y J`H)U[OP��RTH X ½¨�[JT��S1R`i'JQu`H X�X ���[Oâ��U[H)JQO)a��OPJ`S1RV�ZI�OP�����FE��P�HG�s � Y J`u�½¨�[H)JT��S1R`i'JQu`H X�X ���[ON\�H+uQOfRT�©H X JªH+R`O X OPJ`J Y RT��OfRTOP��a"H)�[�¾H+R`Oku`U Y �[�U?u�u Y U[H3�)O� Y J`�Zu`�Z�)OwOP�?uQR Y �;i�H)�[� IbOwOP�?uQR Y ����SfH X�X ikJQu`H+I�� X �Z¦fOP��s¥A6U�OwH+u Y \��©SwJQuQRT��S1u`��R`O Y)� u`U�OPJ`Oz\�H+uQOfRT�©H X JD��Jd� Y u_'� Y eD�N�[R`OPSf�©JQO X i)a'H X u`U Y ���UNu`U�OfR`O§��JL� Y e O1É'uQOP�[J`�Z�)Oâu`U�O Y R`i�H)���Nu`U[OfR`OâH+RTOd�+H+RT� Y �[J��[R Y � Y JQOP�N\ Y ��O X JeDU[�©STUª��Z�)O�R`OPH)J Y �[H+I X O6H+�)R`OfOP\�OP�?u�eD�Zu`U��[H+u`H'a;JQOfOIEão+j�G�a�E JjKG�aLENMHJKG�sBA6U�O X OPJ`J Y RT��OfR`OP��½¨�[H)JT��S1R`i'JQu`H X�X ���[O\�H+uQOfRT�©H X J6H+R`O0\ Y ��O X�X OP�keD�Zu`UkRTH)�[� Y \ u`� X �����JPa �}Y R6eDU���STU�JQOfOOE��3l�G�H)�[�PEã�KM�G�sA6U[Ow�)OP��OfRTH X �[R Y I X OP\­\ Y u`�Z�+H+u`������u`U���JD��H+�bOfR§��Jdu`U[H+u Y)� STU[H+RVH)S1uQOfRT�Z¦P�����°u`U�O ê J`��\�� X OPJQu ë�X�Y SfH X�X i

���[��uQOd� Y ���¨u�JQOfu`J¥« ���k¿bÀ u`U�H+u6H+R`O0H+��OfRT� Y �[��S+s9@ ÎRQP¤T£+Î}ÎÐÓDS�Ñ�Ï} =Ò0�fÒP ���J¥H�JQOfu�eD�Zu`U Y � X i����[�ZuQO X iN\�H)�?i� Y ���¨u`J����¹H)�?i¼I Y �[�[��OP�¼R`Of�� Y �Áa�H)�[�ÊH)� £~Õ�Ò1¡~Ï8Q3Þ+Ï¢¤Tç JQOfu��©J Y ��O�eD�Zu`U¾� Y uQRVH)�[J X H+u`� Y �¾J`i;\�\�OfuQRT�ZOPJfsA6U�OfRTO���J�H)�¾OP� Y RT\ Y �[J��+H+RT�ZOfu=i Y)� H+�bOfRV� Y ����SNJ`Ofu`J�eDU[�©STU¾U[H3�)O J Y \�O X�Y ����RTH)���)O Y RT�[OfRPa�JQOfOUT A6U�O@d�bOfRV� Y ����SWV Y¨Y/X ��� �'OP��OPSTU[H X ENMHJKG�s �âY OPJNu`U�OfR`O�O1É'�©JQuNH��[��S1O SVU[H+RTH)S1uQOfRT�Z¦PH+u`� Y � Y)� u`U[O ê J`��\�� X OPJQu ëH+��OfRT� Y �[��SdJQOfu`Jfa[eDU���STUk\��Z�U¨u¥I�O§��JQOP�ku Y ��O1����OEH�� Y u`� Y � Y)�dê ��OfR � OPS1u X i Y RT�[OfR`OP��½¨��H)J`��S1R`i'JQu`H X�ëZY µ�OJQu`�[�[i®u`U[��Jª½;��OPJQu`� Y � �}Y R � O XZY �[OkJ`Ofu`Jfa�H)�[� Y ��R�� Y u`� Y �[J Y)� J`��\�� X ��Sf�Zu%i����?� YX �)OkS Y ��JQuQRTH)���¨u`J Y �¹u`U�O��H+u`SVU�OPJD���ku`U[OwJQOfuDH)�[� ���?�+H+RT��H)�¨u`J � R Y \^u Y � YXZY ���SfH X �[i;�[H)\���SfJfs

C§�[Rw��O1���[��u`� Y �[JEH+R`O°���[S X �[JT�Z�)O�H)�[�»H X�X�Y e JQOfu`JzeD�Zu`U®uQRTH)�[J X H+u`� Y �®JQi'\�\�OfuQRT�ZOPJPsNäÌ� Y u`U�OfRze Y RV�[JfaeLO0�;��Ofe H � � X�X i���OfRT� Y �[��SâJQOfufa Y R ê S1R`i'JQu`H X�ë a�H)JdH�JQ��OPSf��H X _;�©�[� Y)�âê ½;�[H)J`�©S1R`i;J`u`H X�ë s[]\ ú~þ�ðBóTî*ò�ý*úVï�õ^�Qó����¨õîH�=ýâõðÖò�õ`_Ka$_�b�cedgfha�i�fhjÖù

o

Page 3: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

kmlonBp�qsr�qt�pvuxw uxw @zyªÒfÎ{Q+Ñ�Òw�fÒf ¢a Y R � Æ#Ç`È ��|=�PÒf ¢ab��J6H�����J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6« ����¿ À u`U�H+udU[H)JDu`U�O0u=e Y �[R Y ��±OfR`u`�ZOPJ&}� �r��~�Ñ[Ï ��Q)¡��=y0Ïr�1¤P¡QÒP =Ò1ÑbÒ1�T�.�kA6U�OfR`O���JwH)� Æ�� j�J`�[SVU®u`U[H+u0OPH)SVU Y ��OP��I�H X�X9Y)� RTH)�[���[J Æ �©��¿�ÀS Y �¨u`H)���[JdH+uD\ Y JQu Y ��OE� Y ���?u Y)� «»s� ���r���6ÒfÎ�£ ¢Ïr×)ÒOyªÒfÑ��VÏ¢ ¢Ó��¾A6U�OfR`O��©J�H)� È�� j�J`�[SVU¹u`U[H+u�OPH)STU S XZY JQOP�¾I�H X�XLY)� RTH)�����[J È ���¹¿ ÀS Y �¨u`H)���[JdH+u X OPH)JQu Y ��OE� Y ���?u Y)� «»sA6U[OkS X H)J`J`��SfH X \�OPH)JT��R`O Y)�âX�Y ��� RTH)���)O Y RT��OfR Y)� H � O XZY ��O�JQOfu��©J��Zu`J�JQOfu Y)� � XZY I�H X uQRTH)�[J X H+u`� Y �

JQi'\�\�OfuQRT��OPJ Y RPa[\ Y R`Ow�)OP��OfRTH X�X i)a[��u`J6JQOfu Y)� � XZY I�H X J`i;\�\�OfuQRT�ZOPJ��[�[�[OfR��"�[S X �©��OPH)��\ Y u`� Y �[JPs

kmlonBp�qsr�qt�p�uxw,�;w A6U�O§Õ[Ò1¡~Ï8QPÞ�Î�£  ¢Ï¢¤~Ò Y)� H � O XZY ��OªJQOfuD« ����¿bÀ®��J6u`U�O X H+uQu`��S1O Y)� uQRTH)�[J X H+u`� Y � JQi'\ª±\�OfuQRT��OPJ�� ³hY)� «»a[��Z�)OP� I¨i

� ³ }ÔØ�� r�� ¿ À }«^º r Ø «U�O� � �+s��3�äÖu6��J6H � R`OfO0H+I�O X ��H)�k�)R Y �[�Áa�eD�Zu`UkRTH)�[_°J`H+u`�©J � i'������j���RTH)��_ � � ³ �����Bs

A6U[O¼\ Y J`u�R`Of�� X H+R � O X�Y ��O¼J`Ofu`J�H+R`O�u`U Y JQO¹eD�Zu`UhH � � X�X JQOfu Y)� uQRTH)�[J X H+u`� Y �hJQi;\�\�OfuQRT�ZOPJfa��sãO)sRTH)��_ � � ³ ��Ø��Bsßµ�O�SfH X�X J`�[SVU H)� « H)�hÏ¢Þ?ÒT£+Î0¤f¡~Ó#�~ �£+ÎÐs @âJk� Y uQOP� OPH+R X �ZOfR3aDH � O X�Y ��O�JQOfuk« ��JH+��OfRT� Y �[��Sâ� � RTH)��_ � � ³ ��Ø j'a��sãO)sx� ³ Ø����7�säÌ�ªu`U[��J���H+��OfRBeLO6S Y �[J`����OfRBJQOfu`J�u`U[H+u���OfOP��� Y u�U�HP�)O6H)�¨i XZY �[�âRVH)���)O Y RT��OfR����ªu`U���J9S X H)J`J`��SfH X J`OP�[JQO)a

I���uâeDU[�©STU � Y U[HP�)O�H°eLOPH+_)OfRwJ Y R`u Y)�LY RT��OfRE��OPJ`S1RV�ZI�OP� I;i R`OPJ`uQRT��S1u`� Y �[J Y � u`U�OP�ZR êQXZY SfH X�ë JQuQRT��S1u`��R`O)säÌ��Eão)�HG�a�EãoKMHG¥u`U�O���RTJQu�H)��u`U Y Rª���?uQR Y �[��S1OP�»JQOf�)OfRTH X S X H)JTJQOPJ Y)�6� O XZY �[O°JQOfu`J�«à��OfuQOfRT\�����OP�®I;i XZY SfH XR`OPJQuQRV��S1u`� Y �[J Y ��u`U[OP�ZRDJQOfu Y)� ���¨uQOfR`� Y ���¨uL�)OPS1u Y RVJD«­¬®«»s

kmlonBp�qsr�qt�pvuxwh�;w � �}�¥@ � O X�Y ��OwJQOfu6« ����¿ À ��J`S"Ñ[Ï} =ÒfÎÔÓ��¨ÒfÑbÒ1¡Q£) =Ò`Þ�� � u`U�OwH)�[���Zu`�Z�)OE�)R Y ����E «Ä¬®«@G����¿bÀ��)OP��OfRTH+uQOP��I¨i°u`U�OwJQOfu�«­¬®« Y)� �©�?uQOfR`� Y ���¨u¥�)OPS1u Y RTJâ��J¥���[��uQO X i��)OP��OfRTH+uQOP�Ás� ���}��@ � O XZY ��O6JQOfuB« �©JBH�yªÒfÎ{Q+Ñ�Ò��PÒf BQ]�;S�Ñ[Ï¢ =Òd ¢ÓVÕ�Òd� � « ¬ª« ��J X�Y SfH X�X iE���[�ZuQO)a)�sãO)s)u`U[O¥�©�?uQOfRTJ`OPS1u`� Y �

Y)� « ¬®«·eD�Zu`U�H)�¨ikI Y �[�[��OP�kJQOfuD�©JL���[�ZuQO)s� ���©�r��@ � O XZY ��OzJQOfu6«¯��J�H �»ÒfÓ?Ò1¡§�fÒP Á� � «Ä¬®«·��J6H � O XZY ��OzJQOfufs

A6U[OPJQOâS Y ��S1Of�[u`J �}Y RT\ HªU[��OfRTH+RTSTU¨i)a'I�OPSfH)�[JQOEH)�?i � O X�Y ��OEJQOfu Y)� ���[��uQODu=i;��OE��J��b�[�ZuQO X i��)OP��OfRVH+uQOP��aH)�[�NH)�?i � Ofi)OfR¥J`Ofu���J�H � O XZY ��ODJQOfu Y)� ���[�ZuQO�u%i¨��O)s�@ X \ Y JQu�H X�X JQOfu`JLJQu`�[�[��OP������½;�[H)J`��S1R`i'JQu`H X�X�Y �)RTH+��U¨iH+R`O � O XZY ��O®J`Ofu`J Y)� �b�[�ZuQO u=i;��O)aâJQOfO¡Eão)�KG�aâH)��� u`U[��J���J°u`U�O®S X H)JTJ Y)� J`Ofu`J�u`U[H+u�eLO®JQu`�[��i ��� u`U[��J��H+��OfRPs¾A6U�O���H+R`R Y eLOfR�S X H)JTJ Y)�E� Ofi)OfR°JQOfu`J�e¥H)J����¨uQR Y �[�[S1OP�¹OPH+R X ��OfR�H)J���Z�'�������[JQO � � X \ Y ��O X J �}Y R½;�[H)J`��S1R`i'JQu`H X�X ����O§JQuQRT�[S1u`��RTOPJfa[JQOfO EãnK¢HG�KLE J[�&G�sµ�O0S Y �[JT����OfR¥\�OPH)J`��R`OPJ Y)� S Y \�� X O1É��Zu=i Y)� H � O X�Y ��OâJ`OfuL« ���N¿bÀ�I�H)JQOP� Y �°��u`J êQX�Y SfH X�ë JQuQRT��S1u`��R`O)s

A6U�O¤£¥|©Õ'£) �¤.¦ Y)� «¯S1OP�?uQOfR`OP��H+uDH�� Y ���¨u¨§ � « �©J©�³ � §`ª ´ ��}ÔØ «¬«®­ � §`ª ´ � Ç � �+s o�

���°eDU[�©STU®­ � §`ª ´ �L��OP� Y uQOPJ�u`U[O0S XZY JQOP�kI�H X�XbY)� HªRTH)�[����J ´ S1OP�¨uQOfR`OP� H+u�§Bs�A6U�O@£¥|Ì£ ¢Î�£#��¯ ³ �r´ � Y)� «S Y �[J`�©JQu`J Y)� H X�X ´ ±���H+u`SVU�OPJ Y)� «·uQRTH)�[J X H+uQOP��u Y u`U�O Y RT������;}

¯ ³ �r´ �°}ÔØ�� ©L³ � §`ª ´ ��¬U§±}�§ � «U�²� � �+s n�A6U�O�£ ¢Î�£#��¯ ³GY)� «¯��J¥u`U�Ow�[��� Y � Y)� H X©X ´ ±=H+u X H)JQOPJ �rY R ´ � j's"A6U[O0JQuQRT�[S1u`��RTO Y)� u`U[O0H+u X H)J6��Z�)OPJDu`U�O�}YX�XZY ed������S Y \�� X O1É��Zu%i°\�OPH)JT��R`O)s

n

Page 4: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

kmlonBp�qsr�qt�p�uxwR³´w A6U�O§Õ'£ �¤�¦Z|Q¤$Q�µ'Ñ� ¢Ï}Ño�¶��µ'Ñ�¤3 ¢Ï8Q)Ñ[a ²z³ �r´ �Va�S Y �[�¨u`JDu`U[Oz�;�[\wI�OfR Y)� ´ ±���H+u`STU�OPJâ��� «����u Y uQRVH)�[J X H+u`� Y ��±�OP½¨�[���#H X OP��S1O)a[�sãO)s

²z³ �r´ �°}Ôظ· ¯ ³ �r´ �.·7�W�Y R�\ Y JQu � O XZY �[O�JQOfu`J0u`U[O���H+u`STU'±=S Y ���?u`���[� � �[�[S1u`� Y ����JE�©�'���[�ZuQO �}Y R X H+R`�)O ´ s�A6U�O � O XZY ��ONJQOfu`J

eDU Y J`O ��H+u`SVU'±=S Y �[�¨u`����� � �[��S1u`� Y �[J�H+R`O����[��uQO �rY R°H X�X �+H X ��OPJ Y)� ´ H+R`O O1É�H)S1u X iÊu`U�O � O XZY ��O�J`Ofu`J Y)����[��uQOâu%i¨��O)a[H)�[� �}Y RDJ`��STU�JQOfu`J�u`U[OE�)R Y e6u`U�RTH+uQO Y)� u`U[OE��H+u`STU'±=S Y ���?u`���[� � ���[S1u`� Y � ²w³ �r´ ���[R Y �'����OPJ�H½;�[H)�?u`��u`H+u`�Z�)Ow\�OPH)J`�[R`O Y)� u`U�O0S Y \�� X O1É��Zu%i Y)� «»sA6U[O"��H+u`SVU'±=S Y �[�¨u`����� � ���[S1u`� Y �wSfH)��I�O��'�ZOfeLOP��H)J�Hd�)OP��OfRTH X �Z¦PH+u`� Y � Y)� u`U[O�e Y RT�'±=S Y �[�¨u`����� � ���[S1u`� Y �

Y R�Õ�Ò1¡���µ� �£) ¢Ï8Q)Ñ�Ñ1µ����VÒ1¡^¹ �r´ �"u`U[H+u���J�J`u`�[�[�ZOP�°���Nu`U�OâS Y \zI�����H+u Y RT��SfJ Y)� e Y RT�[Jfa'H)�[�kH X J Y �)OP��OfRTH X �Z¦fOPJu`U�O»º�~ÓH���$Q+ÎÔϤ]¼�¤$QK�DÕbÎZÒ$½)Ï¢ ¢Ó���µ'Ñ�¤3 ¢Ï8Q+ÑkJQu`�[���ZOP� ����JQi'\wI YX ��Sw��i;��H)\���SfJfabH)Jd��� W OfR`OP��S1¦P�¨E��)�.G�sDµ�O���Z�)OH�\ Y RTO0��Ofu`H)� X OP� Y �)OfR`�'�ZOfe Y)� u`U�OPJQOwH+RTOPH)JDH+u6u`U�OwOP�[� Y)� u`U[��J�JQOPS1u`� Y �ÁsäÌ�PEão)�HG��Zu�e¥H)JDJTU Y eD��u`U[H+u ²z³ �r´ �¥JTH+u`��JÌ��OPJ�u`U[O0���[��OfR�I Y �[�[�

² ³ �r´ �°�ÊO1É'� � Ã�¾ ´ À � �rY RDH X©X ´ � j Ç � �+sNJ¨�eD�Zu`U�HN� Y JT�Zu`�Z�)OzS Y ��JQu`H)�?u0à ¾ Øhà ¾ � « �VsIC§�[O�SfH)� � ��R`u`U�OfR§J`U Y ehu`U�H+uâH)�¨i � O XZY ��OªJQOfu Y)� �����ZuQOwu%i¨��OU[H)J6H����[�ZuQO�¤$Q)Ñ&S¥�Kµ'¡Q£) ¢Ï Q+Ñ�£+Î"Ò1Ñ� ¢¡]QVÕbÓ

¿ÁÀ � « ��}ÔØ X ��\ÂLÃ�Ä�´ À XZY � ²w³ �r´ �Å� � �+s ��

� A6U�O O1É'��J`uQOP�[S1O Y)� u`U�O X ��\���uªSfH)� I�O�OPJQu`H+I X ��J`U�OP�¾I;iÊH®J`�[I�H)�[�[�Zu`���;�Zu%i�H+R`���\�OP�?ufsÔ�­@¥u°u`U�O Y u`U�OfRO1É'uQR`OP\�O)a�u`U�O§J XZY e�OPJQu¥� Y J`J`��I X O��)R Y e6u`UkRTH+uQO �rY R ² ³ �r´ �"��J�u Y IbOdOf�)OP�?u`��H X�X i�S Y �[J`u`H)�?ufa�eDU���STU Y SfSf�[RTJeDU�OP� « ��JEH)������OPH X S1RTi;JQu`H X szäÌ� u`U[��JESfH)JQO�u`U�O�Of�)OP�?u`��H X �#H X ��O Y)�L²z³ �r´ �â��J§OP½¨��H X u Y u`U�O��¨��\wI�OfRY)� � Y ���?u`J Y)� « ����H � �[�[�[H)\�OP�?u`H X � Y \�H)��� �}Y Rwu`U�O X H+uQu`��S1O Y)� uQRTH)�[J X H+u`� Y �[J Y)� «»sNä%u0H+�[��OPH+RTJ0u`U[H+uJ`�!Æ°Sf�ZOP�?u X i J XZY e �)R Y e6u`U Y)� u`U�ON��H+u`STU¹S Y �[�¨u`����� � ���[S1u`� Y � ²z³ �r´ � �}Y RTS1OPJ�H�JQOfuz«àu Y U[H3�)Ok� XZY I�H XuQRTH)�[J X H+u`� Y ��JQi'\�\�OfuQRT��OPJfsBäÖ��u`U[��J��[�ZRTOPS1u`� Y �ke�O �rY RT\�� X H+uQOEu`U[O �rYX©XZY eD�©����S Y � p OPS1u`�[R`O)s

Ç tLpoÈ�loÉKrHÊ´ËHlÌu1w u �âÑ[ÓN£VÕ[Ò1¡~Ï8QPÞ)Ï¢¤Íy�ÒfÎ{Q)ÑbÒw�fÒP Á«àÏ}Ñk¿bÀ¹�f£) ¢Ï©�SLÒ~�

X ��\ÊJT���Â7Ã�Ä

² ³ �r´ �´ À � j!� � �+sÎM�

äÌ�¤ÏVoweLO �rY RV\z� X H+uQO§J`u Y ���)OfR6S Y � p OPS1u`��R`OPJfa[H)�[�°��Z�)O§O1É�H)\�� X OPJ¥J`U Y eD���[�zu`U[H+u Y ��OESfH)�[� Y uLRTOf� X H)S1OX ��\�J`���kI¨i X ��\���� � �©�ku`U[��J6S Y � p OPS1u`��R`O)a�eDU�OP�ku`U�Ow����\�OP�[J`� Y � �  n��@ eLOPH+_�u=i;�bO Y)� uQRVH)�[J X H+u`� Y ��H X9Y RT��OfR �}Y RwH � O XZY �[ONJQOfuw�©JE��Z�)OP�®I;i�u`U�O�� Y u`� Y � Y)� R`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu=i)a

H)�[��SfH+RTRT�ZOPJ�eD��u`U��Zu6H)��H)J`J Y Sf��H+uQOP��S Y \�� X O1��Zu=ik\�OPH)J`�[R`O)s

kmlonBp�qsr�qt�pÐu1w,Ñ7w @ � O XZY ��ODJQOfuB« ��J¥¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×+ÒÒ>�� ���}Y R�OPH)SVU ´ � j§u`U�OfR`OD��JBHâ�b�[�ZuQO��¨��\wI�OfR�¸ � jJ`�[SVU�u`U[H+uEOf�)OfR`i�S X�Y JQOP� I�H X�X ­ Y)� RVH)�[���[J⸠S Y �¨u`H)���[J§u`U�O�S1OP�¨uQOfR Y)� H°uQRTH)�[J X H+uQO Y)� Of�)OfR`i�� Y JTJ`�ZI X O´ ±���H+u`SVU ���k«�s"A6U[H+u6�©Jfa �rY RDOf�)OfR`i ´ ±���H+u`STU © ���k«»a�­ S Y �¨u`H)���[JDH�� Y ���?u Y)� «ÚedU[��STU��©J¥u`U�OwS1OP�¨uQOfRY)� H ´ ±���H+u`SVU Y)� «éu`U�H+u¥�©J�H�uQRTH)�[J X H+uQO Y)�^© s � A6U[�©J ´ ±���H+u`STU�\�H3i�O1É'uQOP�[� Y ��u`J`����Oâu`U�O§I�H X�X ­°sÔ�zA6U�O¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×3Ï¢ ¢ÓD��µ'Ñ�¤P ¢Ï Q+Ñ�¸ ³ �r´ �¥��J¥u`U�O X OPH)JQu6J`�[SVU�RTH)�[�©�[J�¸ �}Y R6OPH)SVU ´ � j!�Ó � ý*ðÖï�ðbÿtõ�ó�ø#óTï=ó����tð]�&�ÌúVñH�ÌðÌø3ò'û�úTï'ò�ÿ��tÿ ñ�Ô~õ �$Õ ý#ðÖï�ð��~ó`ï�ÿtú~î#õ?ò�ðÖï�þ�õ'ó`ï�ðbî*õðQô?ö´Ö¢ó$�tþ�ú~õ¢ò�ø)ðÖï�ÿtúPô3ÿÎ�4×�ÿtñ�Ø Ù�� �$Ú�ÚÒÛh� Ö©ò�ÿÎ�tÿtñHÔVõ Õ ÿãò�ý�tú.�Qó��[ÿtõú~þ�úTï�ø#ý*ÿ õþ�×�ÿtñÁØNÜ Ú�� Ù�Ù Ûh� óVñ#ô®Örï�ðÌø)ðÖò�ÿãò�ÿ��1ð]×DÿtñÁØ Ú � Û ùBÝrñwõ8�3þ°Þ)ú��tÿ���ô&�3ñ+óVþ�ÿ��Qó$�'õ8�3õ¢ò�ðÌþ�õÁò�ý#ð�ò�ðÖï�þ ÿtõDÖ}î#ñ*ÿãû�úVï�þ��N�ï�ð]�Ìî3ïï�ðÌñfòß×*ù

J

Page 5: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

@â�?i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O � O X�Y ��O�J`Ofuk�©JN��OPS1OPJTJ`H+RT� X iÊH � O XZY ��O�JQOfu Y)� �����ZuQO u%i¨��O)adJT���[S1O u`U[O���O1�b�[�Zu`� Y ���\�� X �ZOPJ¥u`U[H+u ²w³ �r´ ����J6���[�ZuQO �}Y R§H X�X ´ s�A6U�OwR`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu=i � ���[S1u`� Y ��¸ ³ �r´ � Y)� J`�[SVU HNJQOfuD�[R Y �'����OPJH)��H)�[���Zu`� Y �[H X ½;�[H)�¨u`�Zu`H+u`�Z�)Ow\�OPH)JT��R`O Y)� �Zu`J6S Y \�� X O1É'�Zu%i)s@ßJ X �Z�U?u X i°�[�ZåbOfR`OP�¨uD\�OPH)JT��R`O Y)� R`Of��Ofu`�Zu`���;�Zu%i)a[eDU[�©STU�eLOz�[OP� Y uQOwI;i�¸áà³ �r´ �Va���J�u`U�O X OPH)JQuDRVH)�[���[J

¸ J`�[STU�u`U[H+u6Of�)OfR`i�I�H X©X�Y)� RTH)�����[J¥¸ S Y �?u`H)����J6H�uQRTH)�[J X H+uQO Y)� Of�)OfR`i ´ ±���H+u`STU © Y)� «»sL� X OPH+R X i¸ à³ �r´ ��Ø ¸ ³ �r´ ��º ´ � � �+sÔl)�

âLY u`U¶¸ ³ �r´ �NH)�[� ¸áà³ �r´ �NH+R`O ���[S1R`OPH)J`�©��� � �[�[S1u`� Y ��J Y)� ´ s¸CE��RNRTOPH)J Y �[J �rY R�SVU Y¨Y JT�����¹¸ ³ �r´ ����[J`uQOPH)� Y)� ¸ à³ �r´ �¥H)J�u`U�O � �[���[H)\�OP�¨u`H X R`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu=i � �[��S1u`� Y ��H+R`O0u`U�O �}YX�XZY eD������s� �r�°¸ ³ �r´ ���©J"u`U�OdO1É'H)S1u6H)��H XZY ���O Y)� u`U�Ow¡`Ò`¤&µ'¡V¡`Ò1Ñ�¤~Òã��µ'Ñ�¤3 ¢Ï8Q+Ñ����NJQi'\wI YX ��SD��i;��H)\���SfJfa¨eDU[��SVU�e¥H)J�©�?uQR Y �[�[S1OP���©���Pm)nK¢�I;i ��Y RTJQO0H)���WäDOP� X �[�[�±E J?o�a/J?n�G�s

� ���}��¸ ³ �r´ ��J`U[H+RTOPJ�eD�Zu`U ² ³ �r´ ��u`U�OB�[R Y �bOfRTu=i§u`U[H+u����[OPH X S1R`i'JQu`H X JÁSfH)�wIbO�SVU[H+RTH)S1uQOfRT��¦fOP�wI;iE¸ ³ �r´ �I�OP���[��I Y �[����OP� �rY RâH X�X ´ s

� �����}��¸ ³ �r´ ��U[H)J¥H���H+u`��RTH X ��OPJ`S1RT���[u`� Y ��H)J¥u`U[O X H+R`�)OPJQu Y)� u`U�OES Y �)OfRV�����ªRTH)�[��� Y)� u`U[OâJQOfu`J Y)� S1OP�?uQOfRVJY)� u`U�O0����åbOfRTOP�?u�uQRTH)��J X H+u`� Y �'±�OP½;�[�Z�+H X OP�¨u ´ ±���H+u`STU[OPJ Y)� «»sA6U[O§S Y \�� X O1É��Zu=i�\�OPH)J`��R`OPJ Y)� H � O X�Y ��OEJQOfu�«éu`U[H+u�eLOEJQu`�[��i��©�Nu`U���JL��H+��OfR¥H+RTO0\ Y R`O§�)OP��OfRTH X�X i

�[R Y ��OfR`u`��OPJ Y)� u`U�OwOP�[JQOP\zI X O Y)� JQOfu`J6u`U[H+udH+�)R`OfOweD��u`Uk«ÚOf�)OfR`i;eDU�OfR`O XZY SfH X©X i)s

kmlonBp�qsr�qt�påuxwhæ A6U�O�ÎRQP¤T£)Î�Ïr��Q��ÁQ+¡=Õ1¦?Ïr��� ¤PÎ�£#�V� è ERE «@GRG Y)� « � �[�[��OfRwuQRTH)�[J X H+u`� Y �[JV�âS Y �[J`�©JQu`J Y)� H X�XJQOfu`JDç u`U[H+udU[HP�)Ozu`U�O0J`H)\�OwH+u X H)JDH)J�«�a��sãO)s

ERE «WGRG�}ÔØ���çå}K¯Íè¼Ø�¯ ³ �²� � �+s΢�A�e Y J`Ofu`J´ç¶H)�[��çIà���Eu`U[O"J`H)\�O XZY SfH X ��J Y \ Y RT��U[��J`\ S X H)JTJ�SfH)�[� Y u�I�O"�[��JQu`�©����[��J`U[OP�DI;i§O1É'H)\��©�[�����

���[��uQO6R`Of�� Y �[JPa?I�OPSfH)�[JQO6OPH)SVUN���[�ZuQO6RTOf�� Y � Y)��Y ��OâH+�[��OPH+RTJ"�©��u`U�O Y u`U[OfRLH � uQOfRLHzJ`�[�Zu`H+I X O6uQRTH)�[J X H+u`� Y ��säÌ� \�OPH)JT��RT�����»u`U�O�S Y \�� X O1É��Zu=i Y)� JQOfu`J°« �Zu°JQOfOP\�Jk�[H+u`��RVH X u Y S Y �[J`���[OfRNH X�X O X OP\�OP�¨u`J Y)� H XZY SfH X��J Y \ Y R`��U[��JT\ S X H)J`J�ERE «@GRG9u Y I�O Y)� OP½;�[H X S Y \�� X O1É��Zu=i)s � H)�¨i �)O Y \�OfuQRT�©S�½;�[H)�¨u`�Zu`�ZOPJ§H)J`J Y Sf��H+uQOP��u Y H� O XZY ��O�JQOfuE« ����¿ À H+R`O�H)S1u`�[H X�X i����?�+H+RT��H)�¨u`J Y)� u`U[O X�Y SfH X ��J Y \ Y R`��U[��JT\ÄS X H)JTJ�ERE «@GRG�a�����S X �[�[���[��u`U�O�[R Y ��OfR`u`��OPJ Y)� I�OP������Hª�b�[�ZuQO X iN�)OP��OfRTH+uQOP� � O XZY �[OwJQOfufa�H � O XZY �[O0JQOfu Y)� ���[�ZuQO§u%i¨��O)a Y RDH � Ofi)OfR§JQOfufsF Y SfH X ��J Y \ Y RT��U[��J`\^S X H)J`JQOPJ Y)��� O XZY �[O�JQOfu`JâU[H3�)O�HN�[H+u`��RTH X S Y \�� X O1É��Zu=i Y RT�[OfRT������a[����)OP� I;i�u`U�O

��H+R`u`�©H X�Y RT��OfR��êé¾�[O1����OP��I;i�ëERE « à GRG^�êé¡ERE «@GRG � � ¯ ³�ì´í ¯ ³ � � �+s m�

ä ��î ��J�H � ���[S1u`� Y �¾eDU Y JQO�H+R`���\�OP�?u`J°H+R`O �[��J`S1RTOfuQO�� Y ���?uNJQOfu`Jk���Ê¿bÀ H)�[�ÊedU Y JQO �+H X ��OPJ X �ZO �©��H��H+R`u`�©H X�X i Y RT�[OfR`OP��JQOfufa[eLOwSfH X�X¥î �ÁQ+ÑLQ) ßQ+Ñ[Ϥª� � OP��u`U�OfR

ERE « à GRG´�êé¡ERE «@GRG7ï î � « à �°� î � « � Y R ERE « à GRG´�êéÐERE «@GRG;ï î � « à �¥Â î � « � Ç�sãO)sLu`U�O Y RT��OfRT���[� Y)�Iî �4ð �N��J°S Y \���H+u`�ZI X O eD��u`U�u`U�O���H+R`u`�©H XDY RT�[OfRT�����¼H+I Y �)O)sßäÖ� u`U�O �rY RV\�OfR�SfH)JQOî ��JO�ÁQ+Ñ�Q) ßQ+Ñ�Ï¢¤�Ï}Ñ�¤f¡`Ò`£+�VÏ}Ño�¹H)�[�¾���¼u`U�O X H+uQuQOfRW�ÁQ+ÑLQ) ßQ+Ñ[Ϥ Þ?Ò`¤P¡QÒT£#�VÏ}Ño�)s ��Y � Y u Y �[�©S � �[��S1u`� Y �[JªH+R`OH)��u Y \�H+u`�©SfH X�X i XZY SfH X �©J Y \ Y R`��U���J`\ S X H)JTJ����¨�+H+RT��H)�¨u`Jfs9µ�O§H X©XZY e J`�[SVU � �[�[S1u`� Y ��J�u Y u`H+_)OE�#H X �[OPJ"���Nu`U�OO1É'uQOP�[��OP��� Y J`�Zu`���)OER`OPH X �;�[\wI�OfRTJ�¿;ñUò¤�3j Ç Ý �só � ý*ð9ò�ðÖï�þzÖ�tú.�Qó$�;ÿtñ+ô3ÿtõ¢ò�ÿ ñ�Ô~î*ÿ õý#ó�Þ*ÿÎ�tÿãò�Å�]� óVõõ ×�ý#óVõ�ó��tõú�Þ)ðÌðÌñâø*ï�ú~ø)úVõðQôdûÐúVïÁò�ý#ÿtõ^�Ìú~ñ��ÌðÌø3òQùô � ý*ð¥õî�õ�ö¶÷Êÿtõ9ò�úDÿtñ+ô*ÿ��Qó`ò�ðLò�ý+ó`òBò�ý#ð�ø+óTïò�ÿ ó$��úTï=ô*ðÖï"ô3ðÖï�ÿ��1ðÌõ9ûÔï�ú~þ ÿtñH�4� î*õÿtú~ñ�úTû�òï=óVñ*õ � óTò�ÿtú~ñ�óTòß� óVõðÌõÌù¨Ý}ñ²Ø � Ú�Û ò�ý#ÿtõø+ó`ïò�ÿ ó��;úTï=ô*ðÖï�ÿtõ^�Ìú~ñ*õÿ ô*ðÖï�ðQôâó��tú~ñ�Ô Õ ÿtò�ý§óLø+ó`ïò�ÿÔó$�¨úTï=ô*ðÖïùø;ú§ô*ðÖï�ÿ��1ðQô6ûÐï�úVþ¾ÿ ñ��]�tî#õÿtú~ñEúTû�ÿtõú~þ�ðÖòï �dó`òß�ÔóTõðÌõÌù

Page 6: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

û�l�ü�üPýþu1w8u £´¦'ÒÅ�.Q+Î}Î{QKÿBÏrÑo�Á��µ'Ñ�¤3 ¢Ï8Q)Ñ��OQ]�k£®Þ+Ïr�1¤f¡`Òf =Ò�Õ!Q+Ï}Ñ� â�fÒP L« ÏrÑ®¿ À £+¡QÒm�ÁQ+Ñ�Q) ßQ+Ñ�Ï¢¤�£+Ñ�Þ��EÏ}ÑÕ'£+¡1 ¢Ï¤.µ'Î�£)¡��6£+¡`ÒzÎ{QP¤V£+Î�Ï©�.Q��ÁQ+¡�Õ�¦?Ï©��� ÏrÑ[×+£+¡~Ï¢£+Ñ� }���

º�Ï ¼�£´¦'Ò�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒw�PÒf �Õ'£+¡Q£���Òf =Ò1¡V� Æ ºß�ÁQ+Ñ�Q ßQ+Ñ[Ϥ�Þ?ÒT¤f¡`Ò`£#�~ÏrÑo�.¼°£+Ñ�Þ È ºß�ÁQ+Ñ�Q ßQ+Ñ[Ϥ�Þ?Ò`¤P¡QÒT£#�VÏ}Ño�.¼��º�Ï}Ï ¼®£´¦'ÒdÏ}Ñ� =Ò1¡=Õ!Q+Ï}Ñ� 9×+ÒT¤P ßQ+¡D�fÒP �«h¬�« ºg�ÁQ+Ñ�Q) ßQ+Ñ�Ï¢¤0ÏrÑ�¤P¡QÒT£#�VÏ}Ño���B ¦�Ò"Õ'£+¡1 ¢Ï¢£)Î7Q+¡QÞ?Òf¡dÏr�6ÏrÑb¤fÎ µ¨�~Ï8Q)ÑK¼��º�Ï}Ï}Ïμ�£´¦'Ò6Õ�£) �¤�¦Z|Q¤$QKµ;Ñ� ¢ÏrÑo����µ'Ñ�¤3 ¢Ï8Q+Ñ ²z³ �r´ �²ºß�ÁQ+ÑLQ) ßQ+Ñ[Ϥ�Ï}Ñ�¤f¡`Ò`£+�VÏ}Ño��¼K�º�Ï}×Ò¼�£´¦�Òz¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ïr×*Ï} ¢ÓÅ��µ;Ñb¤P ¢Ï Q+Ñ�¸ ³ �r´ �Áºg�ÁQ+Ñ�Q) ßQ+Ñ�Ï¢¤�ÏrÑ�¤P¡QÒT£#�VÏ}Ño�.¼��º�×$¼�£´¦'Ò6Õ�Òf¡VÏ QPÞkÎZ£)  ¢Ï¤VÒÅ� ³ ºß�ÁQ+Ñ�Q) ßQ)Ñ[Ï¢¤NÞ?Ò`¤P¡QÒT£#�VÏ}Ño���L ¦'Ò6Õ'£)¡~ ¢Ï£+Î`Q+¡ÌÞ¨Ò1¡wÏr�0Ï}Ñ�¤fÎ µ;�VÏ Q+ÑK¼��

��ËHt;t��$w @ � �[�[S1u`� Y � î ��JL\ Y � Y u Y ����Sd�©�[S1R`OPH)J`���[�z� � �Zu¥��J�u`U�OâJT���[R`OP\��[\ Y)� J Y \�O � ���[S1u`� Y ����[O1����OP�Y � u`U�O�H+u X H)J�¯ ³ H)�[� ��JE\ Y � Y u Y �[��Sª��OPS1R`OPH)JT������� � �Zu§��J§u`U�O�������\z��\ Y)� J Y \�O�J`�[SVU � �[��S1u`� Y ���szäÖu��J�J`uQRTH)�Z�U¨u �rY R`e¥H+RT�¾u Y �)OfRT� � i�u`U[H+u�u`U�O � �[�[S1u`� Y �[J��©�¹u`U[��J�u`U�O Y RTOP\ H X�X¥� H X�X ���¨u Y®Y ��O Y)� u`U�OPJ`O�u=e YSfH+uQOf� Y RT�ZOPJPs �A6U���J6S Y \�� X O1É'�Zu%i Y RT��OfRT�©��� X OPH)�[Jdu Y H°� Y u`� Y � Y)�0ê J`��\�� X OPJQu ë�� O XZY ��O�JQOfu`J⫯H)Jdu`U Y JQO �}Y RDeDU[�©STU

ERE «WGRGE��JNH»\�������\�H X O X OP\�OP�¨uN����u`U�O ��H+R`u`��H X�Y RT�[OfR Y � X�Y SfH X ��J Y \ Y R`��U[��J`\ S X H)JTJQOPJfs¶µ�O�SfH X©X J`�[SVUJQOfu`J0 ¢¡Q£+Ñ��~Î�£ ¢Ï8Q+Ñ1|e�ªÏ}Ñ[Ïs��£+δyªÒ1ÎRQ+ÑbÒE�fÒP }�Vs�äÌ��ÏVn�eLO0R`Of�'�ZOfe¶JQOf�)OfRTH X OP½;�[�Z�+H X OP�¨u¥� Y u`� Y �[J Y)� \����[��\�H X �Zu=i)a�}YX�XZY ed�����±EãoKMHG�s W[Y R � O XZY ��O�JQOfu`J Y)� ���[��uQOzu%i¨��O�u`U�O�� Y u`� Y � Y)� uQRTH)�[J X H+u`� Y �'±=\��©�[��\�H X ��u=i���J§J`U Y eD� u YI�OkOP½¨�[���#H X OP�¨u�I Y u`U¹u Y R`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu%i»H)�[�¾u Y \��©�[��\�H X ��u=i Y)� H)�ÊH)J`J Y Sf��H+uQOP�Êu Y � YXZY ��©SfH X ��i;��H)\���SfH XJQi'JQuQOP\ eD�Zu`U H)� ¿bÀ�±=H)S1u`� Y �Ás A6U�O�u Y � YXZY ���SfH X ��i'�[H)\���SfH X JQi'JQuQOP\ � � ³ Ç ¿bÀÁ�NH)J`J Y Sf��H+uQOP� u Y « ��J��O1���[OP��H)�[H XZY � Y �[J X i u Y u`� X �����k��i;��H)\���SfH X JQi'JQuQOP\�Jfa �rY R0edU[��STU JQOfO�Eã�)�HG�KLEã�K¢�G"H)�[� ENMKMHG�sªäÖ��u`U[O�SfH)JQOY)� H � O XZY ��O»JQOfu Y)� �����ZuQO u=i;�bO»eDU[��SVU¶��JkuQRTH)�[J X H+u`� Y �'±=\�������\�H X a Y �[O®U[H)JPERE «WGRG�Ø � ³ Ç edU[� X O ����)OP��OfRTH X ERE «@GRG í � ³ �9äÌ�¼S Y ����OPS1u`� Y �¼eD�Zu`U¹\ Y ��O X J �rY R�½;�[H)J`��S1RTi;JQu`H X Jfa�MDH)�[�©��Eã�)nKG¥H)�[�¹MdH)�[���¹H)�[�µ YX å�Eã�)��G9U[H3�)O�H+RT���OP��u`U[H+uâ\����[��\�H X �Zu=i Y)� J`�[SVU�H°��i'�[H)\���SfH X JQi;J`uQOP\Ä��JâH)�[H XZY � Y ��JDu Y I�OP����������Hê �)R Y �[��� JQu`H+uQO ë sâ�����[S1O0u`U�Oz�[��å�RTH)S1u`� Y � J`�bOPS1uQRVH Y)� ½¨��H)J`��S1R`i'JQu`H X J6�©�[�[��SfH+uQO X�Y ����RTH)���)OzuQRTH)�[J X H+u`� Y �[H XY RT��OfR3a�uQRTH)�[J X H+u`� Y �'±=\����[�©\�H X �Zu%ikJ`OfOP\�J0H��[H+u`��RVH X S Y �[�[�Zu`� Y ��u Y R`OP½;�[�ZRTO Y)� H)�?i JQuQRT��S1u`��R`O�\ Y ��O X�X ���[�H®u`U[OfRT\ Y ��iH)\���SfH X�X i¼JQu`H+I X O ½;�[H)J`��S1R`i'JQu`H X�X ����O�\�H+uQOfRT��H X eD�Zu`U¾¦fOfR Y OP�¨uQR Y �;i)s¶ä%u°��J�U Y e�Of�)OfR�H X OPJ`JR`OPJQuQRV��S1u`�Z�)O S Y �[���Zu`� Y ��a�J`����S1O�u`U�OfR`O�O1É���JQuNuQRTH)�[J X H+u`� Y �'±=\�������\�H X JQOfu`JNeD�Zu`U¾� Y J`�Zu`���)O S Y �'�����RVH+u`� Y �[H XOP�¨uQR Y �¨i)abS � s W ��RTJQuQOP�¨I�OfR`�@E��Po'a�ADU�O Y R`OP\^ä`äTäVs o�G�sµ�O�� Y uQO�u`U[H+u�u`U[O���i;��H)\���SfH X JQi'JQuQOP\�J � � ³ Ç ¿ À ��JQu`�[�[�ZOP�¾�©��ÏVn����[S X ����O�JQi;J`uQOP\�J���J Y \ Y R`��U[��S

u Y H)�¨i¾JQi;\zI YX ��Sk��i'�[H)\���SfH X J`i;JQuQOP\ eD�Zu`U¾H��"À1±=H)S1u`� Y ��s A6U�OPJQO SfH)��I�O�OP�[S Y �[OP�ÊH)J � O XZY ��O�JQOfu`J«����BÀa;eD�Zu`U�uQRVH)�[J X H+u`� Y ��JBR`OPJQuQRT�©S1uQOP��u Y �BÀ��¨A Y OP��S Y ��OâJQi'JQuQOP\�J�ed�Zu`U�H0���[�ZuQO6�;�[\zIbOfR Y)� JQi;\zI YX JfaeLOdOP�[S Y ��Oâu`U�O§JQi;\zI YX J"H)J¥JQ��OPSf���bS6��H+uQuQOfRT��J Y)� � Y ���¨u`JL����H ê I XZY S`_ ë S Y �[J`��JQu`�©��� Y)� H�Sf��I���SfH X ���¨uQOf�)OfR�)RT��� Y)� Hw�[É'OP�NJ`��¦fO)s°C§��OdSfH)�°�b�[��J`��STU°OP�[S Y �[�����J"u`U[H+u¥OP�[J`��R`Odu`U�O � O X�Y ��OâJ`OfuL��R Y ��OfR`u=i�H)�[�°H X�XZY eu`U�O X�Y SfH+u`� Y � Y)� u`U�OwOP���)OPJ Y)�§ê I XZY S`_'J ë u Y I�OER`OPS Y ����Z¦fOP��sµ�OwS Y ��J`����OfR¥uQRTH)�[J X H+u`� Y �'±=\��©�[��\�H X ��u=iªu Y I�OâH���OPS1OPJTJ`H+R`i°R`OP½¨���ZR`OP\�OP�¨u �}Y R�u`U�O ê J`�©\�� X OPJQu ë H+��OfRT��±

Y �[��SEJQOfu`Jfs6ADU�O0\�H)��� Y I p OPS1u Y)� u`U[��J6��H+�bOfRd��J�u Y OPJQu`H+I X ��JTUku`U[H+ufa �}Y RdH�uQRTH)�[J X H+u`� Y �'±=\�������\�H X�� O XZY ��OJQOfu Y)� ���[�ZuQOzu=i;�bO)a�J XZY eá�)R Y e6u`U Y)� u`U�OªR`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu=i � �[�[S1u`� Y ��¸ ³ �r´ �6����u`J§J`�Z��[���bSfH)�?uâR`OPJQuQRT�©S1u`� Y �[JY �¼�Zu`JwJQuQRV�[S1u`��R`O)a�H)JwO1É'OP\�� X �Z��OP��I;i ADU�O Y R`OP\�M;s��+s�A6U[��JEu`U[O Y R`OP\ �©\�� X �ZOPJPa�������H+RTu`��Sf� X H+RPa�u`U[H+uz� �u`U�O�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu=i � �[�[S1u`� Y � Y)� J`�[SVU�H°JQOfuâ�)R Y eDJ§H+u§\ Y JQu X ����OPH+R X i°��� ´ u`U[OP��u`U[OzJQOfu§��J ê ����åbRVH)S1u`�Z�)O ë���ku`U�OzJQOP�[JQO0��O1�b��OP������Ï�M;säÌ�»ÏÒJ�eLO0��Z�)O0u`U[O XZY eLOfRDI Y �[�[�

¸ ³ �r´ ��Â Æ � ²z³ �r´ � �%Å À ¬��3�Å� � �+s��fj?�

M

Page 7: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

�}Y R�u`U�O§�)R Y e6u`U�RTH+uQO Y)� u`U�O§R`Of��Ofu`�Zu`���;�Zu%i � ���[S1u`� Y �k¸ ³ �r´ �����°uQOfRT\�J Y)� u`U�O§��H+u`STU�±=S Y �[�?u`�©��� � ���[S1u`� Y �²z³ �r´ �Va�H)�[������� Y R YX�X H+R`i®J�s o#I e�O�J`U Y ehu`U�H+uDu`U�OfR`Oª��Jd� Y �)OP��OfRVH X �����bOfRDI Y ���[��a[Of�)OP��eDU�OP� « ��JR`OPJQuQRV��S1uQOP��u Y u`U�OzS X H)J`J Y)�9� Ofi)OfR§JQOfu`JdH)�[� ²w³ �r´ ��ØGÙ �r´ À �VsA6U[O�\�H)������H+R`u Y)� u`U�O���H+�bOfR3aùÏV�3KxÏ�¢;a"S Y �[S1OfRV�[J0R`Of��Ofu`�Zu`���)O � O XZY ��O�JQOfu`Jzu`U[H+u�U[HP�)O°u`U�O�J X�Y eLOPJQu

� Y J`J`�ZI X Od�)R Y e6u`U RTH+uQO Y)� ¸ ³ �r´ �¥��� Y �[O0JQOP�[JQO Y RdH)� Y u`U�OfRPs

kmlonBp�qsr�qt�p�uxw���w @ R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O � O XZY �[OwJQOfu Y)� ���[�ZuQOEu%i¨��O0��JzÞ?Ò1Ñ��PÒ1ÎÐÓ�¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×+ÒD� �¸ ³ �r´ �BØ Ù �Q� ²z³ �r´ �Q� �%Å À � H)J ´ Û Ý � � �+s��)�3�

â i � �+s��fj?��u`U���J��©J�u`U[OLJ X�Y eLOPJQu9� Y JTJ`�ZI X O"�)R Y e6u`UªRVH+uQO Y)� ¸ ³ �r´ ��R`O X H+u`�Z�)OLu Y u`U�O��¨��\wI�OfR Y)� ��H+u`STU[OPJ²z³ �r´ �Vs9µ�O6H X J Yâ�}Y RT\z� X H+uQO¥u`U�O �rYX�X�Y eD���[�d��O1�����Zu`� Y �0I Y �[���[�����6u`U[O��)R Y e6u`UªRTH+uQO Y)� ¸ ³ �r´ �����wuQOfRV\�JY)� ´ s

kmlonBp�qsr�qt�p�uxw��;w @ R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O � O XZY �[OwJQOfu Y)� ���[�ZuQOEu%i¨��O0��J0ÎÔÏ}ÑbÒ`£)¡VÎÐÓN¡`Ò%Õ[Òf ¢Ï¢ ¢Ïr×)Ò6� �¸ ³ �r´ �"Ø Ù �r´ � H)J ´ Û Ý � � �+s��Po�

@âJ`����O � R Y \ ����OPH X S1R`i'JQu`H X JPa X ���[OPH+R X i RTOf�bOfu`��u`�Z�)O�JQOfu`J�U[HP�)ONu`U�O�J XZY e�OPJ`uw� Y J`J`�ZI X Oª�)R Y e6u`U»RTH+uQO Y)�¸ ³ �r´ ����� H+I�J YX ��uQO0uQOfRT\�Jfa�H)JDe�O����[�[��SfH+uQOz���»Ï�¢;s�ä Y e�Of�)OfR3abu`U[Ow�[R`OPSf�©JQO0R`O X H+u`� Y �[J`U[�Z��I�Ofu%e�OfOP��u`U�OS Y �[S1Of�[u`J Y)�BX ����OPH+R6H)�[� ��OP�[JQOER`Of��Ofu`�Zu`���;�Zu%i°�©J�� Y uDS X OPH+RâH+u6�[R`OPJQOP�¨ufa�H)�[��u`U�O0u`U�O Y R`ike Y � X ��J`�©\�� X � � i� � u`U�O �}YX�XZY ed�����ªe�OfRTO0uQRT��O)s

Ç tLpoÈ�loÉKrHÊ´ËHlÌu1w,�/ý �âÎ}Î�£VÕ�Ò1¡~Ï QPÞ+Ϥ�ÎÐÏrÑbÒT£+¡~ÎÔÓ°¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ï}×+Òw�fÒP }�z£+¡`Ò�Þ?Ò1Ñ[�fÒ1ÎÐÓ�¡`Ò%Õ[Òf ¢Ï¢ ¢Ïr×)Ò&�

äÌ�»Ï�¢ªeLOwJ`U Y e u`U[H+uDH)��OP½¨�[���#H X OP�¨u �}Y RT\ Y)� u`U[��J�S Y � p OPS1u`��R`Oz��J.}

Ç tLpoÈ�loÉKrHÊ´ËHlÌu1w,��� �âÑ�ÓN£VÕ�Òf¡VÏ QPÞ+Ϥ�ÎÐÏrÑ�Ò`£+¡~ÎÔÓ°¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×+Òz�PÒf �«àÏrÑ�¿bÀ¹�1£) ¢Ïr�sS¥Ò~�

X ��\Ê��� �Â7Ã�IJw³ �r´ �´ À � j!� � �+s��Pn�

@â�[��OP�����k�[R Y¨Y)� }��'���[S1OEeDRT�Zu`������u`U[��JPa�� Y � p OPS1u`��R`OPJ0�+s o+HNH)�[�®�+s o#I�U�HP�)O0I�OfOP���[R Y �)OP��I;ikFÁOP��¦²Eão)mHG�s� H)�?i¼S Y �[JQuQRT��S1u`� Y �[Jª����u`U�O�½¨�[H)JT��S1R`i'JQu`H X�X �ZuQOfRTH+u`��R`ON�[R Y �[�[S1O X ����OPH+R X i R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O � O XZY �[OkJ`Ofu`Jfs

F��©��OPH+R�RTOf�bOfu`��u`�Z�;��u=i Y)� u`U�Oâ]�OP�[R Y JQOâu`� X �����z��J�JTU Y eD�°�����âR���[�¨I�H)�[\ H)�[�k��U�Of��U[H+RT��E��&M'a;�Ás �KM)n�G�s ��Y R`O�)OP��OfRTH X©X i)aÁJQO XZ� ±=J`��\�� X H+RDu`� X �����NS Y ��JQuQRT�[S1u`� Y ��J§eD�Zu`U�u`U�O��[�[��½;��O�S Y \�� Y J`�Zu`� Y ���[R Y ��OfR`u%i i'�ZO X � X ����OPH+R X iR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O0J`Ofu`Jfa�JQOfO�� YXZY \wiH+_UENMl;a�FÁOP\�\�H�o;s n�G�säÌ�ÁÏV�3KxÏ�¢deLO"�[R Y �)OLR`OPJ`� X u`J�H+I Y ��u�u`U�OLJQuQRT�[S1u`�[R`O Y)� ��OP��JQO X i§R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OLJQOfu`J�H)��� X �©��OPH+R X idR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O

JQOfu`JfsGäÖ�áÏV�®eLO�JTU Y e­u`U[H+ukH�S1OfR`u`H)�©� S X H)JTJ Y)� \�OPH)JT��R`O1± X �Z_)O � ���[S1u`� Y �[J��[OfuQOfRT\�����OP��I¨i¾u`U[O XZY SfH XJQuQRT��S1u`��R`O Y)� «»a[eDU���STU�eLO0SfH X�X6ê eLOP�Z�U¨uD�[��J`uQRT�ZI���u`� Y �[J ë a'H+R`OwH+�[�[R Y É���\�H+uQO X i°H�S Y �[JQu`H)�¨ud\�� X u`�Z� X O Y)�� YX �[\�O�edU�OP� « ��JE��OP��JQO X i�R`Of��Ofu`�Zu`���)O)swäÌ��Ï�M°u`U[��JâR`OPJ`� X u§�©Jâ��JQOP� u Y OPJQu`H+I X �©J`U�u`U�O�\�H)����R`OPJ`� X u Y)�u`U�O0��H+�bOfR3a[eDU[��SVU���J�u`U�H+ud��OP�[J`O X iNRTOf�bOfu`��u`�Z�)OwJQOfu`JâH)�[� X �©��OPH+R X iNR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OwJQOfu`JâU[H3�)OzJQuQRT�©S1uD�[�[� �}Y RT\��H+u`SVU � R`OP½;��OP�[Sf��OPJfs � A6U[��JL� Y u`� Y �k��J¥��O1�b��OP�N�©�@Ï�M;sÔ��A6U[��J�R`OPJ`� X uL��J�OP½;�[�Z�+H X OP�?u¥u Y H)J`JQOfRTu`������u`U[H+u�u`U�O��i'�[H)\���SfH X JQi;J`uQOP\ eD��u`U�¿bÀ�±=H)S1u`� Y ��H)J`J Y Sf��H+uQOP��u Y « ��JdJQuQRT��S1u X i°OfR`� Y �[��S�ªb�Zu6u`U;�[JD�[J`OPJDH�U¨i;� Y u`U[OPJ`��J����u Y � YXZY ��©SfH X ��i'�[H)\���SfJ�u Y ��RTH3e HwS Y ��S X �[J`� Y ���©��\�OfuQRT��SfH X ��i'�[H)\���SfJfs9A6U�O�RTOPJ`� X u���\�� X �ZOPJ9u`U[H+uLH)�?i��OP�[J`O X i Y R X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OªJQOfu§« U[H)J§Hk�[�[��½;��O X i���O1�b��OP� �[��å�RTH)S1u`� Y ��\�OPH)J`��R`O�����u`U�O�JQOP�[J`O Y)�

l

Page 8: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

ä Y)� E��&¢'a��PmHG�s�A6U;�[JL«ÚU[H)J X�Y ���+±�RTH)���)O Y RT��OfR��[����OfR�uQRVH)�[J X H+u`� Y ��JL�©��u`U�OEJQOP��JQO Y)� Eão)�HG�s�µ�O0S Y ��S X �[��OÏ�MNeD�Zu`U�H)��O1É'H)\�� X O�JTU Y eD�©����u`U[H+u§u`U�OªU¨i¨� Y u`U�OPJQOPJ Y)� u`U[��JdR`OPJ`� X uâH+R`O���OPH+R X i�I�OPJQuâ� Y J`J`�ZI X OK}¥u`U�OfR`OO1É���JQu`J6H�RTOf�bOfu`��u`�Z�)O � O XZY ��O0JQOfu6«¯����¿ À eD�Zu`UkR`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu%i � �[�[S1u`� Y ��J`H+u`�©J � i'�����

¸ ³ �r´ ��Ø Ù �r´�� XZY � ´ � ç Å À � XZY � XZY � XZY � ´ � è Å À � Ç � �+s���J¨�eDU[�©STU�� Y OPJ6� Y uDU�HP�)Ow�[��� �rY RV\ ��H+u`STU � R`OP½;��OP�[Sf��OPJfs@ �b�[�ZuQO X i �)OP��OfRTH+uQOP� � O XZY �[O°JQOfu�« U[H)J�H)�¹H)J`J Y Sf��H+uQOP�¶£ÞÞ+¡`Ò~�V�m��£~Õ�� }¨E «@G Û � �6eDU���STU¼��J

Y I[u`H)���[OP� I;i STU Y¨Y J`�©���°H��[É'OP��I�H)J`��J Y)� u`U�O����[�ZuQO X i°�)OP�[OfRTH+uQOP��H+I�O X ��H)���)R Y ���þE «@G�JQ��H)�[��OP��I;i�u`U�O�)OPS1u Y RTJª���»«»s @â�[��R`OPJTJw\�H+��Jwe�OfRTO°���¨uQR Y �[�[S1OP�®�©� Eão)�HG¥H)JzH�eLH3i�u Y J`u`�[��i u`U�O�RTOf�� X H+RT�Zu%i Y)� u`U�OJQuQRT��S1u`��R`O Y)� J`�[SVU � O XZY ��O�JQOfu`Jfs � O XZY ��O�JQOfu`J6« Y)� ���[�ZuQOwu=i;�bOwe�OfR`O�STU[H+RVH)S1uQOfRT�Z¦fOP��H)JDu`U Y J`O0���[��uQO X i�)OP��OfRTH+uQOP� � O XZY �[O�JQOfu`Jâu`U[H+uEJ`H+u`�©J � i�u`U[O�F��Z��J`SVU[�ZuQ¦1±�u=i;��O�S Y ���[�Zu`� Y � u`U[H+udu`U[OfR`OªO1É'��J`u`JdH°S Y �[JQu`H)�¨u"!J`�[SVU�u`U[H+u # � � § � ��¬$� � § ç � # �%! # § � ¬P§ ç # Ç �rY Rê§ � Ç § ç � «»a � �+s��P��eDU�OfRTO�u`U�OD� Y RT\�JBH+R`Oê�"��S X ����OPH)�ª� Y RT\�J Y ��¿ � H)����¿bÀ°RTOPJQ��OPS1u`�Z�)O X i)s � Ofi)OfR¥JQOfu`J�eLOfR`ODSVU[H+RTH)S1uQOfRT��¦fOP�I;iNu`U�OwO1É'��J`uQOP�[S1O Y)� H X ����OPH+R6\�H+�[�������'&¡}¿ À Û ¿(��H)�[��H�S Y �[J`u`H)�?u)! à J`�[STU�u`U[H+u# � � §���¬*& � §�� # �%! à Ç �}Y R�§ � «»s � �+s��&M�äÌ�þÏ~l°eLO�J`U Y e u`U[H+uw�[OP�[JQO X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O�JQOfu`JzJ`H+u`��J � i H)�®���¨uQOfRT\�OP�[��H+uQO���R Y ��OfR`u=iL} �}Y R0OPH)STU¼��OP�[JQO X iR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O0J`Ofu6«Úu`U�OfRTO0O1É'�©JQu`J6H X �©��OPH+R6\�H+�[���©���+&¡}?¿ À Û ¿,�zJ`�[SVU�u`U[H+u

·R· � � §���¬$& � §��.·R·?Ø.- � ·R· §°·R·ã� Ç �}Y R�§ � «�s � �+s��3l)�

W�Y R X ���[OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)ONJ`Ofu`Jz«àeLO Y I[u`H)����u`U�O°J`uQR Y ���)OfRªR`OPJ`� X u0u`U[H+u�u`U�OfR`O°O1É'��J`u`JzH�S Y �[JQu`H)�¨u0/ Ø/ � « � � j�J`�[SVU�u`U[H+u # � � §��9¬*& � §�� # Ø Ù �1# § #f�32�4 � �rY R�§ � «»s � �+s��&¢�µ�O�S Y \�� X OP\�OP�?uEu`U���JâI¨i�J`U Y ed�����ku`U[H+uEu`U�OfR`O�H+R`O X ����OPH+R X i�RTOf�bOfu`��u`�Z�)O�J`Ofu`JE« �}Y REeDU[��SVU�u`U�OfR`O���JEHJQOP½;��OP�[S1O��&§(54�6�Ê«·eD�Zu`U # §(5 #¥Û Ý H)�[�

·R· � � § 5 ��¬*& � § 5 �.·R· � ·R· § 5 ·R· �32�4 Ç�}Y RDJ Y \�O"/"7G�+säÌ�FÏ�¢»e�O��[��J`Sf��J`J�H+��OfRT� Y �[��S X ���[OPH+R X i¼R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O JQOfu`J°H)J°SfH)�[�[���[H+uQOPJ �rY R°u`U�O�u`�Zu X O Y)� J`�©\�� X OPJQu

H+��OfRT� Y �[��S¥JQOfu`J�H)�[���[R Y � Y JQO�u`U���J�S X H)J`J Y)� J`Ofu`J"H)J"Hw� Y J`J`�ZI X OL� Y u`� Y � Y)��ê �bOfR � OPS1u X i Y RT�[OfR`OP��½;�[H)J`��S1R`i'J̱u`H X�ë s�µ�OEO1É�U[�ZI��Zu�u`U[O X H+R`�)O0S X H)J`J Y)��Y ��O1±=�[��\�OP��J`� Y �[H XbX ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OEJQOfu`J6H)JTJ Y Sf�©H+uQOP��u YÁâ OPH+uQu=iJQOP½;��OP�[S1OPJ Y)� u`U�OkR`OPH X �;�[\wI�OfRTJ+8 � E j Ç ��GDeDU Y J`O°S Y �¨u`���;��OP� � RVH)S1u`� Y �¹O1É;��H)�[J`� Y �[JªU[H3�)O�I Y �[�[��OP���H+R`u`�©H X ½¨� Y u`��OP�?u`Jfs W ���[H X�X i)a�e�O�RVH)��JQO�u`U�O�½;��OPJQu`� Y ��u Y eDU[H+uwO1É;uQOP�¨uz� Y OPJ0u`U[O��[R Y ��OfR`u=i Y)� I�OP������HX ���[OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O�J`Ofu�« ����u�H X �)OfI�RTH)��S°R`OPJQuQRT�©S1u`� Y �[J Y �¾u`U�O��©\�H+�)O Y)� u`U[O X ����OPH+R�\�H+�[�������9& ���� �+s��3l)�Vsµ�OES Y �[S X ����Odu`U���J��©�?uQR Y �[�[S1u`� Y ��eD�Zu`UNH�I[RT�ZO � R`Of�'�ZOfe Y)� R`O X H+uQOP�NR`OPJ`� X u`J��©��u`U�O§JQi'\wI YX �©S6��i'�[H)\ª±

��SfJ X �ZuQOfRTH+u`�[R`O)s�ADU�OdH)�[H X�Y ���O Y)� u`U[OD��H+u`SVU'±=S Y �[�¨u`����� � �[��S1u`� Y � ²z³ �r´ �"��J"u`U�Oª�fÎ{QP¤;: �¡]Q�ÿ� ¦Å��µ'Ñ�¤3 ¢Ï8Q)Ñ[aeDU[�©STUk���°U[�Z�U�OfRQ±=����\�OP�[J`� Y �[H X SfH)JQOPJ��©JLJ Y \�Ofu`��\�OPJ�SfH X�X OP�ku`U�Omº�VÓ����ÒQ)ÎÔϤ]¼N¤�Q��dÕ�ÎZÒ$½)Ï¢ ¢Óê��µ'Ñ�¤P ¢Ï Q+Ñ�à � È �VaeDU[�©STU°S Y �[�?u`J6u`U�OE�¨�[\zI�OfR Y)� R`OPS1u`H)���� X H+RLI XZY ST_;J Y)� J`U[H+��O È sBäÖu�U[H)J XZY ���ªI�OfOP�°_;� Y eD�°u`U[H+u����°u`U�OY ��O��[�©\�OP�[J`� Y ��H X SfH)JQO�u`U[O�I Y ���[��à ��< ��� < �}Y R0H�J`����� X Oz�+H X ��O Y)� < �©\�� X �ZOPJd��OfRT� Y �[��Sf�Zu%i)s�� Y �)OP�H)�[�ÁädOP� X ���[�mENMHG�H)�[�N� Y �)OP�¤Eã��G�STU[H+RTH)S1uQOfRV�Z¦fOâH X©X JQi;\zI YX ��S¥JQOP½;��OP�[S1OPJ"eD�Zu`U�\�������\�H X H+��OfRT� Y �[��SLS Y \ª±� X O1É��Zu%i�à ��< �¥Ø < º �+sâ@â\ Y ��� Y u`U�OfR§JQu`�[�[��OPJ6R`O X H+u`�©���N��i'�[H)\��©SfH X �[R Y ��OfR`u`��OPJ6u Y°Y ��O1±=�[��\�OP��J`� Y �[H X

¢

Page 9: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

S Y \�� X O1É'�Zu%i�H+R`Oz@ X�XZY ��STU�O®E���G9H)�[� W OfR`OP�[S1¦P��E��)��G�sd@áR`Of�;��Ofe Y)� R`OPJT� X u`JDS Y ��S1OfRT�[������u=e Y ±=�[��\�OP�[JT� Y �[H XR`OPS1u`H)���� X H+R6JQi'\wI YX ��SdS Y \�� X O1É��Zu%iNH+�[��OPH+RTJ���� â OfR`u`U =OwH)�[��>���� X�XZY ��EãnHG�s?>�H+RT� Y ��J�� Y J`��u`�Z�)OâH)������Of�H#±u`�Z�)O¥R`OPJ`� X u`J�RTO X H+u`����� XZY e¾JQi'\wI YX �©S"S Y \�� X O1É'�Zu%i0�)R Y e6u`Uªu Y �bOfRV� Y ����Sf�Zu=i§���zu=e Y H)�[�ªU[�Z�U�OfR9�[��\�OP�[J`� Y �[JH+�[��OPH+R§��� ��H)�[��OfR§H)�[� A6� p ��OP\�H)�ÌEã�)m�a7M+j�G�sEA6U[O�H)�[H X�Y ���O Y)� u`U�O�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu=i � �[�[S1u`� Y ��¸ ³ �r´ �D���JQi'\wI YX �©S0��i'�[H)\���SfJâ\��Z�U¨udI�O�SfH X�X OP��u`U�O»ºßµ'Ñ[Ï ��Q+¡��ż°¡`Ò`¤&µ'¡V¡`Ò1Ñ�¤~Òê��µ'Ñ�¤3 ¢Ï8Q+Ñ@��JQOfO W ��RTJ`uQOP�?I�OfR`�±E��Pn'a��Ásol�G�a�H)�[��U[H)JDIbOfOP� X �ZuQu X O0J`u`�[�[�ZOP��s â�Y JTU�OfRT�[�ZuQ¦PH)��E JKG���Z�)OPJâH�R`OPJT� X uDS Y �[S1OfRV�[������J X�Y eG�)R Y e6u`U Y)� u`U[��J� �[�[S1u`� Y �����ku`U[O Y ��O1±=�[��\�OP�[J`� Y �[H X SfH)JQO)s

AB:�B &�DC���E �GF0��E���Hª���$IEKJML°��!"����=�ON%P�!��"$;������ �����QH���&?���B�"�%$���P(µ�O0JQu`�[�[i�u`U�OE½;��OPJQu`� Y �ku Y eDU[H+u�O1É'uQOP�¨u6� Y OPJ�J XZY e¶�)R Y e6u`U Y)� u`U�O§��H+u`STU'±=S Y ���?u`���[� � �[��S1u`� Y � ²w³ �r´ �Y)� H � O XZY �[O�JQOfu Y)� �����ZuQOzu%i¨��O �}Y RTS1O��Zuâu Y U[HP�)O�� XZY I�H X uQRTH)�[J X H+u`� Y � JQi'\�\�OfuQRT�ZOPJPs0äÖ��Ï3�ªeLO�S Y � p OPS~±u`��R`OP�ku`U�H+u X ��\ÊJ`�[� ²z³ �r´ �3R ´ À � j �rY R6H+��OfRT� Y �[��S � O XZY ��O0JQOfu`J Y)� �[��\�OP�[J`� Y � �BsùäDOfRTOEe�O �}Y RT\�� X H+uQOJQuQR Y �[�)OfRâS Y � p OPS1u`��R`OPJ§H)�[����Z�)O X ��\���uQOP��Of�;�©��OP�[S1O �}Y Râu`U�OP\�sDäÌ��u`U[O Y �[� Y J`��uQOw�[�ZR`OPS1u`� Y ��a �}Y Râ����\�OP�'±J`� Y ��J°�  n�eLOES Y �[JQuQRT��S1u¥H+��OfRT� Y �[�©S � O XZY ��O0JQOfu`J Y)� ���[�ZuQOdu=i;�bO§u`U[H+u6U�HP�)O X ��\���� �¨²z³ �r´ �3R ´ À OP½;�[H Xu Y ¦fOfR Y s�'�/ÆNSf�ZOP�¨u X i�J XZY eh�)R Y e6u`U Y)�"²w³ �r´ �D��JD_'� Y eD� u Y ��\�� X iNu`U[OzO1É���JQuQOP�[S1O Y)� H � � X�X RTH)��_ X H+uQu`��S1O Y)�

uQRTH)�[J X H+u`� Y ��JQi'\�\�OfuQRT��OPJfs

S+T l�t1ËHl�ü �7w u U �z£�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒw�PÒf Á« ÿBÏ¢ ¦�¤$Q)Ñ��~ �£+Ñ� }� � Æ*Ç`È �0�f£) ¢Ï©�SLÒ~�

² ³ �r´ � 7WV ´ÈYX �.Q+¡E��QK��Ò ´ � o;s��3�

 ¦'ÒfÑ�Ï¢ �Ï©�w£+Ñ ÏÞ?Ò`£+Î9¤f¡~Ó#�~ �£+ÎZ��Ï �}Ò���Ï} ù¦;£#��£D��µ'ÎrÎ�¡Q£+Ñ�:�ÎZ£)  ¢Ï¤VÒÅ� ³ Q]�0 ¢¡Q£+Ñ��~Î�£) ¢Ï Q+Ñ»�VÓ�����ÒP ¢¡VÏ�Ò~�.�@ß��R Y¨Y)�9Y)� u`U���JD��JD��Z�)OP� ���ÌEãolHG�a�eDU[OfR`Oz�Zuâ��JDJTU Y eD��u Y IbOzI�OPJQuD� Y J`J`��I X O)a[��� u`U�O�J`OP�[JQOwu`U�H+u �}Y R

Of�)OfR`i\[ � j�u`U�OfR`OwH+RTO0JQOfu`J6«¯����¿bÀ�ed�Zu`U² ³ �r´ � 7^] �

Ⱥ_[3` ´ �}Y RdH X©X ´ � ´ ¾

u`U[H+uDH+RTOw� Y u6����OPH X S1R`i;J`u`H X Jfs@Ä�)OfRTJ`� Y � Y)� A6U�O Y RTOP\ o;s���U YX �[JªOf�)OP�ÊeDU�OP� ²z³ �r´ ����JªRTOf� X H)S1OP�¹eD�Zu`U¹u`U[O � �[��S1u`� Y � ²ba³ �r´ �

u`U[H+uES Y �[�¨u`J§��H+u`STU[OPJE��� u Y �©J Y \�OfuQR`i)a�S � s �âYX I�� X �©��OfuEH X s²EN¢;aÁA6U�O Y R`OP\¯�+s n�G�swADU�Ofi J`U Y e�OP� u`U�H+u§� �²9a³ �r´ � 7 à � � ÇQÆ#Ç`È � ´ eD�Zu`U

à � � ÇQÆ#Ç`È � 2�� ضo � � ç º¶�3� È XZY � ç�c o ÈÆ º¾oed Ç � o;s o�

u`U�OP��« ��JwH)�¹���[OPH X S1R`i'JQu`H X s�ä � eLONS Y �[�¨uª��H+u`STU[OPJ����[��OfRz�©J Y \�OfuQR`i)a9u`U�OfR`Ok��Jz� Y H)��H XZY ���O Y)� u`U[��JR`OPJ`� X u�H X�X�Y eD���[�zH � H)J`uQOfR��)R Y e6u`U°RTH+uQO§u`U[H+u �}Y RTS1OPJ¥u`U�O§O1É���JQuQOP�[S1O Y)� H XZY e�OfR¥RTH)��_ X H+uQu`��S1OPJ Y)� ��OfRT� Y �[Jfs�âYX I�� X ���kH)�[��] X OPH)J`H)�?u`JÍEãmHG�J`U Y eGu`U�H+u �rY RdOPH)STU@�®Â n�H)���f[ � j�u`U�OfR`Oz��J6H)� H+��OfRT� Y �[�©S � O XZY ��OzJQOfu« eD�Zu`U ² a³ �r´ �+7 ´ � ñ,gTs�A6U�O � O XZY ��ONJ`Ofu`Jw«à���»u`U�OPJQONS Y ���?uQOfR`O1É�H)\�� X OPJzH+R`O°� Y u Y)� �b�[�ZuQO�u%i¨��OKªu`U�OP�ZR�S Y �[JQuQRT�[S1u`� Y ���[JQOPJ�u=eD��J`u`J�u`U�R Y �[�U��ZR`RTH+u`� Y �[H X \z� X u`�Z� X OPJ Y)�(h u Y I[R`OPH+_�H0RTH)�[_I�0¬��6��OfRT� Y �[��Sf��u=iH)�[��\�H+_)O ²z³ �r´ �0���'�����ZuQO �rY RzOf�)OfR`i ´ eD��u`U Y ��u0J`�Z�������SfH)�¨u X i��©�[S1R`OPH)J`���[� ² a³ �r´ �Vskµ U�Ofu`U[OfRzJ`�[SVUS Y �[�¨uQOfR`O1É�H)\�� X OPJdSfH)� Y SfSf�[RD�����[�©\�OP�[J`� Y � ��ضo��©J�H)� Y ��OP��½¨�[OPJQu`� Y ��s

m

Page 10: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

W�Y R u`U�O � ���[S1u`� Y � ²w³ �r´ �°S Y �[�¨u`�����¹��H+u`SVU�OPJ��[�[�[OfR°uQRVH)�[J X H+u`� Y ��JfaDeLO�I�O X �ZOf�)O�u`U�OfR`O®� Y O1É���JQueLOPH+_)OfRzS Y �[�[��u`� Y �[J Y ��u`U�O��)R Y e6u`U�RVH+uQO Y)�L²z³ �r´ �âeDU[��SVU�eD� X�X��rY RVS1O�u`U�O�O1É���JQuQOP�[S1O Y)� J Y \�O�uQRVH)�[J̱X H+u`� Y �¾J`i;\�\�OfuQRT�ZOPJfs �'��STU¾S Y �[�[��u`� Y �[J�H+R`O�� Y u�_;� Y eD��s W�Y R°��O1���[�ZuQOP�[OPJ`Jªe�O �}Y RT\�� X H+uQO U[OfR`O�u=e YS Y � p OPS1u`��R`OPJd���kH+R`I��ZuQRTH+RTiN�[��\�OP�[J`� Y ��a'���ku`U�O0J`uQR Y ���)OPJQu �}Y RT\ u`U[H+uDR`OP\�H)���[J¥S Y \���H+u`�ZI X OEeD��u`UN_'� Y eD�S Y �[�¨uQOfRQÉ�H)\�� X OPJfs�A6U�Oâ��RTJQu6�©J¥��Z�)OP� ���ku`U[O0S Y �?uQRTH+� Y J`��u`�Z�)O �}Y RT\�s

Ç tLpoÈ�loÉKrHÊ´ËHl��;w8u i Q+¡�£+Ñ[Ó»Þ)Ïs��Ò1Ñ[�VÏ Q+ÑP�áÂé�®£+Ñ�Þ�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒ�¤�Q+Ñ��1 �£+Ñ� }� � Æ#Ç`È �k ¦'Ò1¡`Ò�Ï©��£°Õ!Q#�~Ï} ¢Ï}×+Ò¤$Q)Ñ��~ �£+Ñ� �Ã6Ø Ã � � ÇQÆ#Ç`È �§��µ�¤.¦° ¦;£ �£+Ñ[ÓIyªÒfÎ{Q+Ñ�Ò§�PÒf �« ÏrÑ°¿ À ÿBÏ¢ ¦�¤$Q+Ñ��1 �£+Ñ� }� � Æ#Ç`È �E ¦;£ �Ïr�E£VÕ[Ò1¡~Ï8QPÞ)Ï¢¤�1£ ¢Ï©�SLÒ~�

X ��\ÊJT���Â7Ã�Ä

² ³ �r´ �´ À Â�à � � ÇQÆ*Ç`È �¶� � o;s n�

A6U[�©J6S Y � p OPS1u`��R`OzJ`uQR`OP���)u`U�OP�[J§� Y � p OPS1u`��R`O°�+s��z����R`OP½¨���ZRT�����ªu`U�O�S Y �[JQu`H)�¨uâçu Y ��Of��OP�[� Y � X i Y �¤�Ba ÆH)�[� È s9ä � uQRT��O)a'u`U[��J�R`OPJ`� X u�e Y � X �NI�ODI�OPJQuL� Y JTJ`�ZI X Od����u`U[O§J`OP�[JQOâu`U[H+u¥u`U�OfR`OâO1É'��J`uLH+��OfRT� Y �[��S � O XZY ��OJQOfu`JD« Y)� ���[�ZuQO§u%i¨��Ow����¿bÀ�eD�Zu`U

²w³ �r´ �°� � n ´ � À �}Y RDH X�X ´ ÂG� Ç�}Y R6O1É'H)\�� X OE« }ÔØj�BÀD¬���s� Y � p OPS1u`��RTOâo;s��D�©JBu`U�OdJ`�bOPSf�©H X SfH)JQO kªØá� Y)� u`U[O �}YX�XZY ed�����0\ Y R`OdJQ��OPSf����S6S Y � p OPS1u`��R`Odu`U[H+u"RTO X H+uQOPJ

J XZY e �)R Y e6u`U Y)�9²w³ �r´ �Lu Y u`U�OERTH)��_ Y)� u`U�OE��OfRT� Y � X H+uQu`��S1O Y)� «»s

Ç tLpoÈ�loÉKrHÊ´ËHl»�;w,� l ÒP � ¦'Ò�Þ+Ïs��ÒfÑ��VÏ Q+Ñ�Ñ»�TÒ �Ïr×)Ò1Ñ�� i Q+¡ªÒT£¤�¦"k»ÿBÏ¢ ¦ ���mkÁ� �  ¦'Òf¡QҪϩ�z£0Õ!Q#�~Ï} ¢Ï}×+Ò¤$Q)Ñ��~ �£+Ñ� �Ã3n§Ø Ã3n � � ÇQÆ#Ç`È �E��µ[¤�¦� ¦;£) �£+Ñ[Ó�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒw�fÒP Á«àÏ}Ñ�¿ À ÿBÏ¢ ¦�¤$Q)Ñ��~ �£+Ñ� }� � Æ*Ç`È �z ¦;£ "�f£) ¢Ïr�sSLÒ1�

²w³ �r´ �´ ÀKñ �32 n 7�à n �.Q+¡z£+Î}Î ´ � ´ ¾ � «��

¦;£#�ª£) "Î�Ò`£+�~ poEÎÔÏ}ÑbÒT£+¡VÎÐÓ°ÏrÑ�Þ¨Ò%Õ�ÒfÑ�Þ?Ò1Ñ� ÁÕ[Ò1¡~Ï8QPÞ+���¥Ï8�¢Ò&�bRTH)�[_ � � ³ �LÂ�k1�A6U[O Y R`OP\ o;s��0OPJ`u`H+I X ��J`U[OPJ�u`U[OwSfH)JQOqkªØ�� Y)� � Y � p OPS1u`��R`Ozo;s o � edU[��STU ���[S X �[�[OPJ"u`U�OzSfH)JQO���Øá� Y)�

� Y � p OPS1u`��R`Owo;s��3�6����H��)OfR`i�JQuQR Y ��� �rY RV\�s"@ X�X�Y u`U�OfRDSfH)JQOPJ Y)� u`U�OPJQOwS Y � p OPS1u`��R`OPJdH+R`O Y ��OP��sµ�O�� Y e J`U Y eßu`U[H+uz� Y � p OPS1u`��R`O�o;s o�H+I Y �)O�SfH)�[� Y uEI�O�JQuQR`OP���)u`U�OP�[OP� u Y�Y I[u`H)��� u`U�O�S Y �[S X ��J`� Y �

� R Y \æH�J`���[� X O§�#H X �[O Y)� ´ a�eDU[OP�0kÁ�Ð�k¬»o�H)���®�� n��[A6U[��J�S Y �¨uQRTH)JQu`JDeD�Zu`Uku`U�O0SfH)J`Oqk�Ø �Ba;edU�OfR`OA6U�O Y RTOP\ o;s��§J`U Y eDJLu`U[H+u¥u`U�OES Y �[S X ��J`� Y � �rYX�X�Y eDJ � R Y \ HªJ`�©��� X O6�+H X ��O Y)� ´ J`H+u`��J � i'����� � o;s��3�Vs�äÖ� � H)S1u� Y uzOf�)OP��U[H3�;�©����u`U�O°U?i;� Y u`U�OPJ`��J �}Y RzH�JQOP½;��OP�[S1O Y)� �+H X ��OPJ Y)� ´ uQOP�[�[�©����u Y �������[�Zu%i���JwJ`�!ÆNSf�ZOP�¨ufaI�OPSfH)�[JQO�eLODJ`U Y e�u`U[H+u��Zu���J9� Y J`J`�ZI X O �}Y R ²z³ �r´ �3R ´ À�ñ �32 n u Y)r �[S1u`��H+uQO6eD����O X izH)J ´ Û Ý s�µ�OD�[R Y �)Ou`U[��J6IbO X�Y eGI;i�\ Y �[� � i;�©����H�S Y �[JQuQRV�[S1u`� Y � Y)� ��H)�[��OfRDH)�[��A6� p ��OP\�H)�PEã�)m�G�a�eDU Y �HP�)OªH)� O1É�H)\�� X Ow���¿7>�S Y �[J`�©JQu`����� Y)� �ã>LeD�Zu`Uku%e Y ed����O X i°JQOf��H+RTH+uQOP��JQ_)Ofe X ���[OPJ Y)��X H+uQu`�©S1O0� Y ���?u`J¥RTOP\ Y �)OP��sS+T l�t1ËHl�ü �7w,� U Ñ®Þ+Ï��ÒfÑ��VÏ Q+Ñm�� n� ¦'Òf¡QÒ�Ò$½)Ïr�~ ¥£VÕ�Ò1¡~Ï QPÞ+Ϥ�¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×+Ò���Ò1Ó?Ò1¡§�PÒf }�6« ��µ[¤.¦� ¦'£) 

X �©\Ê��� �ÂLöIJz³ �r´ �´sut ÀKñ �wv©Å çyx]ñ,g Ø j � o;sNJ¨�

�.Q+¡�Ò1×)Ò1¡~Ó+[ � jx��fj

Page 11: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

zOl�üÌýxË�{Bw ADU�O0JQOfu`J6eLOwS Y �[J`uQRT�[S1uDJ`H+u`�©J � iX ��\ÊJT���Â7Ã�Ä

² ³ �r´ �´ À � j Ç

H)Jâ� Y � p OPS1u`�[R`O��+s��Ee Y � X ��R`OP½;�[�ZRTO)s

��ËHt;t��$w A6U�O�O1É�H)\�� X OPJweLONJ`U�H X�X ��Z�)O°eD� X�X I�O��©�[�[�[S1u`�Z�)O X i�S Y �[J`uQRT�[S1uQOP�¼J`��I�JQOfu`J Y)� u`U�O X H+uQu`��S1O Y)����¨uQOf�)OfRD� Y ���¨u`J�����¿bÀ�sBµ�O���OPJ`S1RT��IbOE�����[Ofu`H)� X u`U�OwSfH)JQO¶��ضn;a[I���u¥u`U�OzH+R`��[\�OP�¨u6�)OP��OfRTH X �Z¦fOPJ�OPH)J`� X iu Y JQ��H)S1O Y)� H+RTI��ZuQRTH+R`i��[�©\�OP�[J`� Y �Ás�µ�O§JQu`H+R`u � R Y \ H)�N�©��OPH Y)� �'H)�[�[OfR�H)�[�°A6� p ��OP\�H)�@Eã�)m�G�u`U[H+u¥� � u=e YJQ_)Ofe X ����OPJ Y)� ���¨uQOf�)OfRw� Y ���¨u`J0H+R`O�R`OP\ Y �)OP� � R Y \Üu`U[O����¨uQOf�)OfR X H+uQu`��S1O�u`U�O�R`OPJ`� X u`����� � O XZY ��O�JQOfuzU[H)J² �r´ ���|! ´ çzedU�OP� ´ ��J X OPJ`J§u`U�H)� u`U�O��[��JQu`H)��S1O�IbOfu%e�OfOP�®u`U�O X ����OPJâI��[u ² �r´ � � à ´ >ªedU�OP� ´ ��JJ`�Z�������SfH)�¨u X i��)R`OPH+uQOfR�u`U[H)�°u`U�OE�[��J`u`H)�[S1OdI�Ofu%e�OfOP�ku`U�O X �©��OPJfs9A6U�O Y u`U�OfR6�����)R`OP���ZOP�?uL��J�u Y � Y u`��S1Oâu`U[H+u� � u`U�OwS Y �'�����RTH+u`� Y � Y)� JQ_)Ofe X ����OPJ��©J�R`Of��OPH+uQOP����OfRT� Y �[��SfH X©X i�u`U�OP��u`U[O Y RT��OfR Y)�B² �r´ �¥H)JdH � ���[S1u`� Y �Y)� ´ ��OPS X ����OPJ§H)J ´ IbOPS Y \�OPJ X H+R`�)O���� S Y \���H+RT��J Y � u Y u`U�O � �[�[��H)\�OP�?u`H X RTOf�� Y � Y)� u`U[O��bOfRV� Y ����Sf�Zu=i)s@¥u§u`U�Oª��O1É;u§JQu`H+�)O�eLO�H X uQOfRâu`U[O � �[�[�[H)\�OP�?u`H X R`Of�� Y �[Jâu`U[H+u X �ZO�H XZY ���kJQ_)Ofe X ����OPJâH+u§H X H+R`�)OfRâJTSfH X O)s� A6U�OzJ`��\�� X OPJQu�H X uQOfRTH+u`� Y ����J�u Y RTOf� X H)S1O0u`U�O X ����OPJ Y)� � Y ���¨u`J¥u`U[H+uDeLOfR`OzR`OP\ Y �)OP� � R Y \^u`U�OPJQO X ����OPJ Y)�R`Of�� Y ��JfsÔ� ADU[��JwU�H)Jwu`U�O°O1å�OPS1u Y)� H+�H)���¹H)STU[�ZOf�'����� ² �r´ � � à ´ >�edU�OP� ´ ��J�J`�Z��[�Z��SfH)�?u X i��)RTOPH+uQOfRu`U[H)� u`U�O��[�©JQu`H)�[S1OªI�Ofu=eLOfOP� u`U�O���OfeßJQ_)Ofe X �©��OPJfsEµ�O�� Y eßR`Of��OPH+uâu`U���J§S Y �'�����RTH+u`� Y � �bOfRV� Y ����SfH X�X ieD�Zu`U»H�U¨�[�)O � �[�[�[H)\�OP�¨u`H X R`Of�� Y �»u Y J X�Y e � Y eD��u`U[O��)R Y eDu`U Y)��² �r´ �EH+�H)���Áa�H)�[��J Y�Y ��s°äÖ�®u`U[��Je¥HPi�u`U[OâJ`��¦fO Y)��² �r´ �"SfH)�kI�Od���[���[S1OP��u Y"r �[S1u`�[H+uQO§I�Ofu=eLOfOP�kà ´ >dH)���N� Y u¥\��[STU°I��Z�)�)OfR¥u`U[H)� ´ çdH)J´ uQOP�[��J�u Y ���'�b�[�Zu=i)sA Y \�H+_)O§u`U[��JLO1É;� X ��Sf�Zufa;STU Y;Y JQOEH�� Y JT�Zu`�Z�)Od�©�?uQOf�)OfR~} � H)���NRTOP\ Y �)O � R Y \��ã>Bu`U�O§u`U�RTOfOâJQi'JQuQOP\�J Y)�

X ���[OPJ Y)��X H+uQu`�©S1O0� Y ���?u`J¥��H+RTH X�X O X u Y u`U[O0H#É;OPJ�p� Ø��&§U}K§9� � j Ç } � Ç ¬q} � � � \ Y � � � Ç J�} � Ç J�} � �Q�$�H)�[� u`U�O S Y R`R`OPJQ� Y �[�[�©���®JQi'JQuQOP\�J �p� H)�[� �(� eD�Zu`U�u`U�O S Y¨Y RT�����[H+uQOPJ°S1i;S X �©SfH X�X i¹��OfRT\z�[uQOP��s � A�e YJQi'JQuQOP\�J Y)�¥X ����OPJâe Y � X ��I�OªOP� Y ���U¤A eLO�u`H+_)O�u`U�R`OfO �}Y REu`U�O�J`H+_)O Y)� JQi'\�\�OfuQR`i)sÔ� � OP� Y uQO�I;i « �u`U�ONR`OPJ`� X u`�©����J`��I�J`Ofu Y)� �ã>EH)�[��SfH X�X u`U�O X ����OPJ0u`U[H+uzU[H3�)ONI�OfOP�»R`OP\ Y �)OP��« � |ÖÎÔÏ}ÑbÒ~�~s�A6U�OP�®« � U[H)J��OfRT� Y ��J�} � �©� OPH)STU Y)� u`U[O�S Y¨Y RV�[���[H+uQO��[��R`OPS1u`� Y �[JfsÁ��H)STU�« � ± X ����O���J§u`U[O�S1OP�?uQOfR X ���[O Y)� H)�®�©�'���[�ZuQORT�Z�U¨u�J`½;�[H+R`O��[RV��J`\ Y)� ed����u`U�oe} � H)����u`U�O6���¨uQOfRT� Y RTJ Y)� u`U�OPJQOD�[RT��J`\�J�H+RTO6�[��J pQY ���¨u � u`U Y ���U�u`U�O��[RV��J`\�JY)� � Y �'±���H+RVH X�X O X « � ± X ����OPJ¥\�H3iku Y �[STU��VabJ Y u`U�O0\����[��\��[\ �[��JQu`H)��S1OEIbOfu%e�OfOP� « � ± X ����OPJ¥��Jdoe} � sùädOP�[S1O

² ³ ì �r´ ���G�Po ´ ç �rY R ´ ��} � ÇJ`����S1OLH)�¨iwI�H X©XY)� RVH)�[���[J ´ \�OfOfu`J�H+uB\ Y JQu Y ��O Y)� u`U�O¥��O X OfuQOP� X �©��OPJ�H)�[�ÍJ ´ çL��J�HâuQRT�Z�'��H X �[�[��OfR�I Y �[�[��}Y R ²w³ �r´ ��eDU[OP��« ��J�� > eD�Zu`U�H X �©��O Y)�BX H+uQu`�©S1O0� Y ���?u`J¥��H+RTH X�X O X u Y H�S Y;Y RT�[�©�[H+uQOwH#É���J¥R`OP\ Y �)OP��sc Y e¶STU Y¨Y JQO)} ç Ø � J�� ç º¼�3�y} � �rY R¥J Y \�Oâ� Y J`�Zu`�Z�)Od���?uQOf�)OfR~� ç H)��� X Ofu�« ç I�ODu`U[OâJQOfu¥��OfRT���)OP� � R Y \« � I;iNR`Of� X H)Sf�����ªu`U�OwJT��I�JQi'JQuQOP\

�&§U}�§� � j Ç } ç Ç ¬q} ç � � \ Y � � � Ç J�} ç Ç J�} ç �Q�$�H)�[�wu`U�OLS Y RTR`OPJQ� Y �[�[���[�6J`��I�JQi'JQuQOP\�J Y)� �p� H)�[� �,� eD�Zu`UEu`U[O�S Y;Y RT�[���[H+uQOPJ�S1i'S X ��SfH X�X i§��OfRT\���uQOP��s � �'���[S1O} ç ��} � � \ Y �mJ�} � �Va�u`U�OPJ`O�H+R`OªJ`��I�JQi;J`uQOP\�J Y)� u`U[Oz« � ± X ���[OPJfsÔ��A6U[Ow��OfRT� Y �[��Sf�Zu%i Y)� « � ��JdI[R Y _)OP� Y �« ç Y � X i�I;i u`U[O���R`OPJQOP�[S1O Y)� S1OfRTu`H)��� X ����OPJPabu`U[O�« ç |ÖÎÐÏrÑbÒ1�Va�eDU Y JQO�\����[��\��[\­�[��JQu`H)�[S1OªH+��H+R`u0�©J§oe} ç aH)�[��S Y ��JQOP½¨�[OP�?u X i

²z³ [ �r´ �°�ÐJZ¢e} � ´ ç �rY R ´ ��} ç�)�

Page 12: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

J`����S1OzH�I�H X�XÁY)� RTH)�����[J ´ \�OfOfu`J§H+uâ\ Y JQu Y �[Ow« ç ± X ���[O � U�OP�[S1OªH � H)S1u Y R��Po ´ ç Y ��u`U�OzRT�Z�U¨uV��H)�[��u`U�OJ`��I�JQOfu Y)� « ç ����u`U�O§S1i X ���[��OfR Y)� RTH)�[���[JLo ´ S1OP�¨uQOfR`OP� Y �kH)��« ç ± X ����ODU[H)J���OfRT� Y ��J�} � ����u`U�Od�[��R`OPS1u`� Y �Y)� u`U�O X ���[O � U[OP�[S1OwH � H)S1u Y RDJ�} � �Vs"A6U�O0J`Ofu6« ç �Zu`JQO XZ� U[H)J���OfRT� Y �OJ�} ç �©�kOPH)STU�S Y¨Y RT�����[H+uQO0�[�ZRTOPS1u`� Y ��sA6U���Jª�[R Y S1OP�[��R`O�SfH)�¾I�O��ZuQOfRVH+uQOP��sÊ@¥u�u`U�O �[O1É;u�JQuQOf��e�O SVU Y;Y JQOf} > Ø � J�� > ºß�3�y} ç �rY RNJ Y \�O� Y J`�Zu`�Z�)OE���¨uQOf�)OfR�� > H)�[� �rY RT\æ« > I¨i°R`OP\ Y �;���[��H+�H)����� Y ���¨u`J�§�eD�Zu`U§b� � j Ç } > Ç ¬�} > � � \ Y � � � Ç J�} > Ç J�} > �Q�

� H)�[��u`U[OP�ZRD��\�H+�)OPJD�[�[��OfR6S1i'S X ��S§��OfRT\���u`H+u`� Y �[J Y)� u`U�O0H#É'OPJV�Vs W�Y RD« > eLOwU[H3�)O²w³ Ó �r´ ���ÐJZ¢e} ç ´dç �}Y R ´ ��} > �

äÌ���)OP��OfRTH X eLOwU[H3�)O)a²w³(� �r´ �°�¡JZ¢e}�n 2�� ´dç �}Y R ´ ��}en�� � o;s ��

�'����S1ODu`U�OâH X uQOfRTH+u`� Y �[J¥��OfOP�[OP��u YªY I[u`H)���NOPH)STUkJQOfu � R Y \ u`U�OD�[RTOf�;� Y ��J Y ��O Y SfSf�[R � ��R`u`U[OfR�H)�[� � �[R`u`U�OfR� R Y \ u`U�O Y RT�Z��©��a'u`U�O0JQOP½;��OP�[S1O Y)� JQOfu`J�« � Ç « ç Ç « > Ç �.�.��S Y �¨�)OfR`�)OPJDu Y H�JQOfu�«»a�eDU[��SVU°�©J�H � Ofi)OfRâJQOfueD�Zu`U � O XZY �[OwS Y �[JQu`H)�¨u`J Æ Øá�MR+o�H)�[� È Ø�� ��R+o;sµ�O���O1É;u6� Y uQO0u`U[H+u

²z³ �r´ ��Ø ²w³(� �r´ � �rY R ´ ��}�n�R+o®� � o;sÎM�A6U[�©JE��JEI�OPSfH)�[JQO�OPH)SVU ´ ±���H+u`STU ©æY)� « \�OfOfu`JzH+u�\ Y JQu Y ��O�« n ± X ���[O)s�A6U�O����¨uQOf�)OfRw� Y ���¨u`J Y �»u`U[��JX ���[O�H+R`O�OP��u`U�OfR0H X�X ��� « Y R0H X�X ��� u`U�O�S Y \�� X OP\�OP�?u Y)� «»s�ä � u`U[OP�ZR0JQu`H+u`�[J0�©J§u`U�O�J`H)\�O�����« H)J0���«�nEu`U[OP� © ��J�H X J Y H ´ ±���H+u`STU Y)� «�nsBä � u`U�O0JQu`H+u`��JD���°« Y)� u`U�OE«�nf± X ����OE��J¥u`U[OER`Of�)OfRTJQO Y)� �Zu`J6J`u`H+u`�[J����«�nwu`U�OP� e�O�SfH)��������H0�*� § � \ Y �WJ�}�n 2�� �¥eDU Y J`Ow�[��JQu`H)��S1O � R Y \ H X�X «�nf± X ����OPJD��J0 ´ a�H)�[� u`U�O´ ±���H+u`SVU Y)� � �©� «�n���JEH�uQRTH)�[J X H+uQO Y)� u`U[O ´ ±���H+u`SVU Y)� §Ê����«�s�µ�ONH X J Y JQOfO � R Y \Üu`U[�©JEH+R`��[\�OP�¨uu`U[H+ud«¯�©J6R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OweD�Zu`U�¸ ³ �r´ �¨��J�� ne}en � u`U�O��[��H)\�OfuQOfR Y)� u`U�O � �[�[��H)\�OP�?u`H X R`Of�� Y � Y)� «�n#� �}Y R´ ��}en�R+o;s�c Y e

² ³ �r´ �°�ÐJZ¢e} n 2�� ´ ç edU�OP� ´ Øj} n R+o ÇJ Y SVU Y;Y J`�����0}en � o��M� ��� ì ����)OPJ

²z³ �r´ ���¡JZ¢ ´ ç XZY � ´ �rY R ´ Øj}enMR+oH)�[��u`U�OªJQOP½¨�[OP�[S1O²�M}en�R+oo��uQOP�[��JDu Y ���'�����Zu=i)s6ä � ���[J`uQOPH)��eLO�u`H+_)O ´ Øáoe}enªH)�[� S Y �[JT����OfR ´ ±���H+u`STU[OPJeD�Zu`UzS1OP�?uQOfRVJB���0u`U�OLI�H X�X?Y)� RTH)�[�©�[JG}en'¬��LH+I Y ��u�u`U�O¥\����[� Y �©�?u ü Ø � ¬�}en Ç }en Ç j?� Y)� u`U�OL��OfR`��OP�[�[��Sf� X H+RuQRTH)�[J`�)OfRTJ`H X�Y)� u`U�OES XZY JQOPJQu�«�nf± X ����OPJLu Y u`U�O Y RT�Z��©�°�©�Nu`U[O)� H)�[�Y�°���ZR`OPS1u`� Y �[J � u`U�O0�[�©JQu`H)�[S1O§I�Ofu=eLOfOP�u`U�OPJQO X ����OPJ¥I�OP���[��oe}�n#�¥u`U�OP� OPH)STU ´ ±���H+u`SVU eD� X�X \�OfOfu Y � X iNu`U[OPJQOwu%e Y «�n~± X ���[OPJ6����u`U�OPJ`Oz�[�ZRTOPS1u`� Y �[JfaeDU[�©STU¼eD� X�X I�O°�©��OP�?u`�Z��H+I X ONI¨i�u`U�O�I[R`OPH+_¼����J�}�n 2�� ��OfRT� Y �[�©Sf�Zu=i�u`U;�[J�H X�XZY eD������u`U�Ok� Y J`�Zu`� Y � Y)��üeD�Zu`U�����u`U�Oª��H+u`SVU�u Y I�Oz�©��OP�?u`�Z��OP��sdADU�OPJQO ´ ±���H+u`STU�OPJEH+RTOzu`U�OfRTO �rY R`O�H X�X �[��J`u`���[S1ufsêädOP�[S1O ² ³ �r´ �D��JY)�9Y RT��OfRDH+u X OPH)JQu � h R�M� ´ > �rY RDu`U�OPJQO0�+H X ��OPJ Y)� ´ a�S Y �'��RT\��©���ªu`U�OER`OP\�H+R`_k�[RTOPS1OP�[�����ªu`U[��J6�[R Y;Y)� s�äÌ�u`U�O Y ��� Y JT�ZuQOE�[�ZR`OPS1u`� Y �Áa'��u �rYX�X�Y eDJ � R Y \ � o;s ��6H)�[� � o;sÎM��u`U[H+u ²z³ �r´ ��� mKM ´ > �rY RdH X�X ´ sA6U[O � �[�[S1u`� Y � ²w³ �r´ �6�)R Y eDJE�©� JQ���[R`u`J.}���OPH+R§u`U�O�}�n X J§�Zu§���[S1RTOPH)JQOPJDI;i H � H)S1u Y R0�[OPH+R X i ´ eDU[� X O

´ ��J��©�[S1R`OPH)J`���[� Y � X iNI;ikH � H)S1u Y RDJ�a[I���u�I�Ofu%e�OfOP� u`U�O�}en X JD�Zu`J¥�)R Y e6u`U���J6JQuQOPH)��i)sW ���[H X©X i)a[J`���[� Y JQOEu`U�H+uq�®Ø � ¹ Ç��¨ÇQÆ �¥�©JDH���OfRT� Y � Y)� «»sD�'����S1OEu`U�O0� X H)�[OPJ�� Ø.}°u`U[H+udU�HP�)OªJ Y \�O

X ���[OPJ���H+RTH X�X O X u Y u`U�O"�+±=H#É'�©Jd��O X OfuQOP� H X�X U[HP�)O+}���} � � \ Y �mJ�} � �Vao¹��©J6H�\�� X u`�Z� X O Y)� J�} � sD�'����S1O0u`U�O� X H)�[OPJ��kØj}Nu`U[H+uDU[H3�)OwH��[R Y � Y RTu`� Y �b7G�MR�J�} � Y)� u`U�O X ����OPJL��H+RTH X©X O X u Y u`U�O��+±=H#É���J6�[O X OfuQOP��H X�X U[H3�)O}'�j} ç � \ Y �mJ�} ç �Va.¹N�©J�HE\�� X u`��� X O Y)� J�} ç s������[S1O¥u`U�O�� X H)�[OPJ ��Øj}wu`U[H+u�U[HP�)OdH§�[R Y � Y R`u`� Y �Y7G�MR�J�} ��Po

Page 13: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

I���u � �MR�J�} � ¬ �MR�J�} ç Y)� u`U[O X �©��OPJ���H+RTH X©X O X u Y u`U�O��+±=H#É'�©Jd��O X OfuQOP��H X�X U[HP�)O'}���} > � \ Y �mJ�} > �Va�¹���JH�\�� X u`��� X O Y)� J�} > sd� Y �?u`�©�¨�[�©��� X �Z_)O0u`U���Jfa�eLOzJ`OfOzu`U[H+uã¹�Ø j'sâ����\�� X H+R X i)a � ØGj�H)�[� Æ Ø j'a�J Y « ��JH+��OfRT� Y �[��S+s@·J`��\�� X H+R�S Y �[JQuQRT�[S1u`� Y �¶e Y RT_;J �}Y R H¹�)OP��OfRVH X �[��\�OP��J`� Y ���  n¹eD�Zu`U u`U�O�JQi;J`uQOP\�J Y)� � Y �'±

���¨uQOfRTJQOPS1u`���[� X ����OPJ�R`Of� X H)S1OP�§I¨i§JQi'JQuQOP\�J Y)� � Y ��±=���?uQOfRVJQOPS1u`������¡ � �B¬w�3�3R+o�¢1±=����\�OP�[J`� Y �[H X HHÆN��O�JT��I�JQ��H)S1OPJPs��zOl�üÌýxË�{Bw ADU�O Y R`OP\ o;s o��©\�� X �ZOPJ�u`U[H+u6u`U[O0U?i;� Y u`U�OPJ`��J Y)�9X ����OPH+R�R`Of��Ofu`�Zu`���;�Zu%i���J���OfOP�[OP������� Y � p OPS~±u`��R`O��+s o#I�a �rY RD�  n�ª[R`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu%iNH XZY ��Oz��J�� Y uDJ`�/ÆNSf�ZOP�¨u �rY R6u`U[O0S Y �[S X �[J`� Y ��s

£B:¥¤ �%�"�w¦ ���%��P(A6U���J�JQOPS1u`� Y � �}Y RT\�� X H+uQOPJ°�+H+RT� Y �[J°� Y u`� Y �[J Y)� \��©�[��\�H X ��u=i¹H)�[� JTU Y eDJ°u`U�OP��RNOP½;�[�Z�+H X OP�[S1O)shµ�O

H)J`J Y Sf��H+uQOâu Y H)�¨i � O XZY ��OâJQOfuL«éH0u Y � YXZY ���SfH X ��i'�[H)\���SfH X JQi;J`uQOP\ � � ³ Ç ¿bÀ���eD�Zu`UNH)�N¿bÀ�±=H)S1u`� Y ��a�H)�[�J`U Y e u`U[H+u �}Y R � O XZY ��ONJQOfu`J Y)� ���[��uQO�u%i¨��O�u`U�ONS Y �[S1Of�[u`J Y)� uQRTH)��J X H+u`� Y �'±=\����[��\�H X �Zu=i)a�\�������\�H X �Zu%i����u`U�O§JQOP�[JQO Y)� u Y � YXZY ���SfH X ��i'�[H)\���SfJfa'H)�[�NR`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu=i�H+R`OâOP½;�[�Z�+H X OP�?ufsBA6U[OPJQODR`OPJT� X u`J�e�OfR`O§�[��JTSf�[J`JQOP�����EãoKM'a�MK¢HG�a;I���u"u`U�ODu Y � YXZY �)i Y �Nu`U�OdJ`��H)S1O � ³ ��Z�)OP�Nu`U�OfR`Oâ��J"� Y uL½¨���ZuQO6RT�Z�U¨u.ª'H0u Y � YXZY �)i�eD�Zu`U�u`U�OR`OP½;�[�ZR`OP���[R Y �bOfRTu`�ZOPJd�©J§��Z�)OP����� FÁOP��¦�H)�����'u YX�X \�H)�[��Eãn+j�G�a�H)�[� e�O �}YX�XZY eßu`U�OP�ZRE��O1���[��u`� Y � I�O XZY e0sC§��Oªe¥H)�?u`JwHku Y � YX�Y �)i Y ��u`U[O�S YX�X OPS1u`� Y � Y)� H X�X S XZY JQOP��JQOfu`Jw����¿bÀ�����eDU[�©STU uQRTH)�[J X H+u`� Y � Y)� J`Ofu`J0��JS Y �¨u`���¨� Y �[J6H)�[��u`U[O0S YX�X OPS1u`� Y � Y)� H X�X S X�Y JQOP��JQOfu`Jd��J6S Y \���H)S1ufsµ�OD�[OPJ`S1RT�ZI�O¥H§u Y � YX�Y �)i Y �ªu`U�O6S YX©X OPS1u`� Y ��§ � ¿ À � Y)� S XZY JQOP��J`Ofu`J�����¿ À s9A6U�O§Ñ�£ 8µ;¡Q£+Î� ßQVÕ!Q+ÎRQÒ�Ó Y �

u`U�O�S YX�X OPS1u`� Y � Y)� S X�Y JQOP� JQOfu`J�§ � ¿�À������ ¿bÀ���J6��O1�b��OP��I;i�H���OP�Z�U¨I Y RTU Y;Y �kI�H)JT��Jfs~�§�Z�)OP� H)�����¨uQOf�)OfR¨ ÂG�+a�H)����S XZY JQOP��J`Ofu`J�© � Ç © ç �[O1����O§u`U�Ow\ Y �[����OP�°����JQu`H)�[S1O � �[�[S1u`� Y �ªI« � © � Ç © ç �°}ÔØ ��� � ��/Í}0© � «®­ � �;ª ¨ ����© ç º�­ � �^ª�/#� Ç © ç «m­ � �^ª ¨ � ��© � ºþ­ � �;ª�/+�G¬­/EØá�H���A6U�O � �[��S1u`� Y � ª�« � © � Ç © ç ��� Y OPJ"� Y uLJ`H+u`��J � iªu`U�ODuQRT�©H)��� X OD���[OP½¨�[H X �Zu=i)aI���u"�Zu"�©J"\ Y � Y u Y �[Od����u`U[OdSf��u Y å��H+RTH)\�OfuQOfR ¨ a��sãO)s ªI« � © � Ç © ç �°� ª�« ñ � � © � Ç © ç �Va�H)�[���Zu6H X J Y J`H+u`��JÌ��OPJª�« � © � Ç © ç ��� ªI® � © � «O­ � �;ª ¨ � Ç © ç «m­ � �^ª ¨ �Q� ÇeDU�OfRTO ª ® �°¯ � Ç ¯ ç �¥�©J�u`U�O"±z£�µ;�1Þ�Q+¡�² Þ+Ïr�~ �£+Ñb¤VÒ1a���O1����OP� �}Y RDS Y \���H)S1uDJQOfu`J ¯ � Ç ¯ ç I;iª³® �°¯ � Ç ¯ ç �BØ \�H#É­]E\�H#É´ 춵e·�ì \����´ [�µe·`[ ·R· § � ¬U§ ç ·R· Ç \�H#É´ [1µe·`[ \����´ ì3µe·�ì ·R· § � ¬U§ ç ·R· `¤�A6U�O0��H+u`��RTH X u Y � YXZY �)ik��J���O1����OP�kI;i°u`H+_;���[��H)JDHªI�H)J`�©J Y)� �[OP�Z�U?I Y RTU Y¨Y �[J Y)� H�S X�Y JQOP��JQOfu�© H X�X u`U�OJQOfu`J

² «M¸ g � ©z��}ÔØv�M© à � § � ¿ À ��} ª�« � © Ç © à � 7%[���}Y R ¨ � � ñ Ç [ � j'szäÖ��u`U[��Jâu Y � YXZY �)i�u=e Y S XZY JQOP� JQOfu`J0H+RTO ê S X�Y JQO ë � � u`U�Ofi�H+�[�[R Y É'�©\�H+uQO X i�S Y �©�[Sf����O���°H X H+R`�)O§I�H X�X H+R Y �[�[�Nu`U�O Y RT�Z��©��s�ADU[��J�u Y � YX�Y �)iN��JL\�OfuQRT�Z¦PH+I X OdI���uL� Y u¥�©�NH)�¨iNSfH)� Y ����SfH X eLH3i)a[JQOfOEãn+j�G�s�ä%u6�����[�[S1OPJ�H�u Y � YXZY �)i Y ��u`U�OzJQOfu Y)� H X�X � Æ#Ç`È ��JQOfu`JDI¨ikR`OPJQuQRV��S1u`� Y ��s � A6U[O ê \�OfuQRT��SfJ ë �[R Y � Y JQOP�����EãoKM�a�MK¢�G �}Y R¥u`U�Odu Y � YXZY �)i Y � � O XZY ��O§JQOfu`J�H+R`O§� Y u¥\�OfuQRT��SfJ&ª¨u`U�Ofi��;� YX H+uQOdu`U�OâuQRT��H)�[� X Od���[OP½¨�[H X �Zu=i)sÔ�äÌ����H+RTu`��Sf� X H+RPa¨HwJQOP½;��OP�[S1O Y)�Á� O XZY ��OdJ`Ofu`J��P«'¹�} < ÂG�H�âeDU[��SVU�H+R`OâH X�X � Æ#Ç`È �=±=JQOfu`J�S Y �¨�)OfR`�)OPJ¥���

u`U[��JLu Y � YXZY �)iNu Y H X ��\��Zu�JQOfu�«»a[��OPS1OPJTJ`H+RT� X iNH X J Y H � O X�Y ��O0JQOfu¥eD�Zu`U°��H+RTH)\�OfuQOfRTJ � Æ#Ç`È �Va[� � H)�[� Y � X i� � u`U�O0S Y �?�)OfRT�)OP�[S1O��©J ê � Y �©�?u%eD��JQO ë ���ku`U[O0JQOP�[JQOEu`U[H+uDOPH)STU�� Y ���¨u¨§ � «¯��J�H X ��\��Zu Y)� H�JQOP½;��OP�[S1O Y)�� Y ���¨u`J´§ ¹ � « ¹ a)H)�[� �}Y R�H+R`I��ZuQRTH+RT� X i X H+R`�)O�RVH)�[���[J ´ H)�[�ªH+R`I��ZuQRTH+RT� X iâJ`\�H X�X [ � j'a �}Y R�H X�X J`�!Æ°Sf�ZOP�?u X iX H+R`�)O < H X�X � Y ���?u`J��©�k« ¹ eD�Zu`U����k�[��JQu`H)�[S1O ´ Y)� u`U[O Y RT�Z�����H+R`OweD�Zu`U[���­[ Y)� J Y \�OE� Y ���?u6�©�k«»s

�Pn

Page 14: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

kmlonBp�qsr�qt�pz�;w u1w @ yªÒfÎ{Q+Ñ�ÒkÞ+Ó+Ñ�£��ªÏ¢¤V£+Î��VÓ#�~ =Ò.� � � Ç ¿ À �§��J0H S YX�X OPS1u`� Y � Y)�¥� O XZY �[O�JQOfu`J � �©��¿ Àu`U[H+uD�©J�S XZY JQOP� �©�ku`U�O0�[H+u`��RTH X u Y � YX�Y �)i°H)�[� H X J Y S XZY JQOP���[�[��OfR¥uQRTH)��J X H+u`� Y �[JPa[�sãO)s

« � � ﯫ º r�� � �rY RdH X�X7r�� ¿bÀ�� � n;s��3�äÖu6��J6H�u Y � YXZY ���SfH X ��i;��H)\���SfH X JQi'JQuQOP\^eD��u`Uku`U�Ow¿ À ±=H)S1u`� Y ����Z�)OP��I;i°uQRTH)�[J X H+u`� Y �[Jfs@ � O XZY ��O JQOfu�« ���¾¿bÀ �)OP�[OfRTH+uQOPJ�H � O XZY ��O���i;��H)\���SfH X JQi'JQuQOP\ � � ³ Ç ¿�ÀÁ�VaLeDU�OfR`O � ³ ��Jªu`U�O

S XZY J`�[R`O0���ku`U�O0�[H+u`�[RTH X u Y � YXZY �)i Y)� u`U[Ow¿ À ± Y R`I��Zu Y)� «·eDU[�©STU���Jº ³ }ÔØv�P«æº r } r�� ¿ À �Á� � n;s o�� X OPH+R X i º ³ í ERE «@GRG í � ³ sâA6U[��JdS Y �[JQuQRT��S1u`� Y � Y)� � ³ ��JdH)��H XZY � Y �[Jâu Y u`U Y JQO��[Of�)O XZY ��OP� �}Y R§u`� X �������i'�[H)\���SfH X JQi'JQuQOP\�Jfa �rY RkeDU���STU JQOfO MDH)�[����Eã�HJKG�aâMDH)�[��� H)�[� µ YX å Eã�)�HG�adM Y I����[J Y ��Eã�l;a��K¢HG0H)�[�� YXZY \ziH+_FENMKM'a¥�;OPS1u`� Y �Êo�G�s»äÖu���Z�)OPJ�H eD����OkS X H)J`J Y)� ���¨uQOfR`OPJQu`��������i'�[H)\��©SfH X JQi'JQuQOP\�JPa"OPJ`JQOP�¨u`��H X�X i���[S X �[�[������J`i;\zI YX ��Sw�[i;�[H)\���SfH X JQi'JQuQOP\�JEH)J§HkJQ��OPSf��H X SfH)JQO¼»�eDU�OP��u`U�Oª� Y ���?u`J Y)� « �}Y RT\ H � O XZY ��OJ`��I�JQOfu Y)� u`U[O X H+uQu`��S1O���ÀskmlonBp�qsr�qt�p �;w,�7w @ � O XZY ��O���i'�[H)\���SfH X JQi'JQuQOP\ � � Ç ¿�ÀÁ�¥��J��ªÏ}Ñ[Ï��£)Î[� � � ³ Ø � �}Y RDOPH)SVU « � � s�"½;�[�Z�+H X OP�¨u X i)a �rY RDOPH)STU�« � � u`U�O Y R`I��Zu º ³ ��J���OP�[J`O0��� � sS+T l�t1ËHl�ü �;w u.l Òf �«Í�TÒ�£�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒw�PÒf ¨Q]�ùS�Ñ[Ï¢ =Òz ¢ÓVÕ�Ò�Ï}Ñ°¿ À �Á£´¦'Ò1ÑD½

º�Ï ¼ � ³ Ïr�z£°¤�Q��dÕ'£¤3 "�PÒf �ÏrÑ� ¦'ÒzÑb£) 8µ'¡Ì£+Î� ßQVÕ!Q+ÎRQÒ�ÓK�º�Ï}Ï ¼¶ç � � ³j¾ ERE ç¶GRG´�êéÐERE «@GRGe�º�Ï}Ï}Ïμ�£´¦'Òf¡QÒ�Ò$½)Ïr�~ }�z£Íç � � ³ ��µ[¤�¦� ¦;£  � � è Ç ¿�ÀÁ�0Ï©���ªÏrÑ�Ïs��£+ÎR�

��ËHt;t��$w � �r�âäÖuzJ`�/ÆNS1OPJwJ`U Y eDJzu`U[H+uwOf�)OfRTi®JQOP½¨�[OP�[S1O Y)� uQRTH)��J X H+uQOPJ Y)� H�JQOfuw«àU[H)J�H JT��I�JQOP½;��OP�[S1Ou`U[H+uDS Y �¨�)OfR`�)OPJdu Y H X �©\��Zu � O X�Y ��O0JQOfu ê � Y ���¨u=eD�©JQO ë ���ku`U�O0JQOP��JQOE��Z�)OP��H+I Y �)O)s�� Y �¨�)OfR`�)OP�[S1Oz�©�ku`U[��JJQOP�[J`O �rYX�X�Y eDJâI;i�H�JQu`H)���[H+RT��H+R`��[\�OP�?u0����u Y � YXZY ���SfH X ��i;��H)\���SfJfaÁ�[JT������¿�Y �[�Z� X J§äÌ�'���[��u=i F�OP\�\�HH)�[��u`U�O � H)S1u§u`U[H+u§« U�H)JD�b�[�ZuQO X i�\�H)�¨i uQRTH)��J X H+u`� Y �'±=�©��OP½¨���Z�#H X OP�?u6��H+u`STU�OPJ Y)� RVH)�[���[J ´ a�S � sEMdH)�[���H)�[��µ YX å Eã�)�HG�aÁM Y I����[J Y �þEã�l;aÁ�K¢HG�a�� YX�Y \wiH+_þENMKM'aÁFÁOP\�\�Hko;s���G�s � @ X uQOfRT�[H+u`�Z�)O X i)a Y ��O�SfH)���[JQOªu`U�O� H)S1u�u`U�H+u��Zu � ³ ��J�H�S X�Y JQOP�¹J`��I�JQOfu Y)� u`U�OkJQOfu+§ � ¿�À�� Y)� H X�X S XZY JQOP�¼JQOfu`J�����¿�À�eD�Zu`U�u`U�O°��H+u`��RTH Xu Y � YXZY �)i)a[eDU���STU��©J�S Y \���H)S1uDI;ikFÁOP��¦0H)�[���;u YX�X \�H)���»Eãn+j�a[A6U�O Y R`OP\Ú�+s���G�sÔ�� ���}��äÖuE��J§S X OPH+R§u`U[H+u0� � ERE ç¶GRGã�êéáERE «@GRG�u`U�OP�±ç � � ³ s W�Y R0u`U�O�S Y �¨�)OfRTJQO�eLOªU�HP�)O�u Y J`U Y eáu`U[H+u

Of�)OfR`i ´ ±���H+u`STU © è � � Ç ´ � Y)� çæ��JduQRTH)�[J X H+u`� Y � OP½;�[�Z�+H X OP�¨udu Y H ´ ±���H+u`SVU Y)� «»sz�����[S1Ow« �©J Y)� ���[�ZuQOu=i;��O�u`U�OfR`O�H+RTO Y � X i����[�ZuQO X i�\�H)�?i��)OPS1u Y RTJ"À � «Ú¬¼« eD�Zu`U¡·R· À¨·R·¥� ´ sªF�Ofu"/NI�O�u`U[O�\����[�©\z�[\�[��J`u`H)�[S1O§IbOfu%e�OfOP� u`U�OP\æH)�[�k����u ¨ Ø \�H#É � ·R· ��·R·Pº ´ ºm/eR+o Ç o�Re/#�Vs¥ä � « º r �©J����°u`U�O0��OP�Z�U¨I Y RTU Y;Y �² «M¸ 4ÌÅ ç � ç�� Y)��Y)� çÜ�©�»u`U�O°�[H+u`��RTH X u Y � YXZY �)i®u`U�OP�Áa�ed�Zu`U[���®H�RTH)�[�©�[J ´ º./eR+o Y)� ��aBOPH)SVU�� Y ���¨u Y)�OP�Zu`U�OfR�« º r�Y ROç¯��J�eD�Zu`U����¹H»�[��J`u`H)�[S1Of/�R+o Y)� H�� Y ���¨u Y)� u`U[O Y u`U�OfRPs äÖ�Ê��H+R`u`��� X H+RPa"J`����S1O�u`U�O���¨uQOfR`� Y ���¨uD�[��JQu`H)��S1OzJQOfu Y)� çh¬Ìç^��JdS Y �?u`H)���[OP���©��u`U[H+u Y)� « ¬»«»a�H X�X u`U�Oz���¨uQOfR`� Y ���¨uD�[��J`u`H)�[S1OPJ Y)�u`U�OES Y R`R`OPJ`� Y ���[������� Y ���?u`J Y)� ç H)�[� Y)� « ���[JT����O6RTH)�����[J ´ º�/eR+o�\��[JQu�\�H+u`STUÁa�I¨i°u`U�OE��O1���[��u`� Y � Y)�/?s�ä%u �rYX�X�Y eDJ¥u`U[H+u © è � � Ç ´ ����J6uQRTH)�[J X H+u`� Y �kOP½¨�[���#H X OP�¨u�u YÁ©L³ � § Ç ´ �Vs� ���©�r��A6U���J �}YX�XZY eDJ�I¨iwH�V Y RV� X J X OP\�\�HâH+R`��[\�OP�¨ufa�[J`���[�Du`U�O�S Y \���H)S1u`�[OPJ`J Y)� � ³ aJ`OfO �}Y R9O1É'H)\�� X O

W ��RVJQuQOP�?I�OfR`�@E��Pn�a[�Ás�o)m�G�sÁ�Â3Ã�ñ*ð7�QóTñ¥ðÌñH�ÖúPô*ð�õ8�3þ�Þ)ú�� õ/Þ.�ã�Pÿtð Õ ÿtñHÔ9ò�ý#ðbø)ú~ÿtñfò�õ�úTû+ò�ý#ð�õ8�3þ°Þ)ú��Põø+ó$�ÌðÁóVõ@Ä;Å,�ÌîHÞ)ðÌõ�ÿtñLò�ý*ð7� óTòò�ÿ��ÌðGÆM�OÇ�óVñ#ô¥ó����tú Õ ÿtñHÔô*ÿÉÈðÖï�ðÖñPò^�Öú~ñ�ÊHÔ~î3ï=óTò�ÿtú~ñ*õ�úTû�ø)ú~ÿtñfò�õÁÿ ñdò�ý#ðKÄ;Å,�ÌîHÞ)ðÖõ � óTõÁþ�ðÌñfò�ÿ úVñ#ðQôDÿtñ6ËÒÜVù

��J

Page 15: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

S+T l�t1ËHl�ü �;w,��l Òf �«Í�TÒ�£�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒw�PÒf ¨Q]�ùS�Ñ[Ï¢ =Òz ¢ÓVÕ�Ò&�²£´¦�Ò°��Q+Î}ÎRQ�ÿBÏrÑ���¤$Q+Ñ�Þ)Ï} ¢Ï Q+Ñ���£+¡QÒ�Ò�Ì.µ'Ï}×#£+Î�Ò1Ñ� ß�º=Ïμ ERE «@GRG¥Ïr�0 ¢¡Ì£)Ñ��VÎZ£) ¢Ï Q+Ñx|4��Ï}Ñ[Ï��£+Î{�º=ÏrÏ ¼�£´¦'Ò� ßQVÕ!Q)Î{QÒ�Ï¢¤V£+Î�Þ+Ó+Ñ�£��ªÏ¤T£+Î��VÓ#�~ =Ò.� � � ³ Ç ¿ À �0Ï©���ªÏ}Ñ[Ïs��£+ÎR�²£´¦;£ �Ïr��� � ³ ØzERE «@GRGe�º=ÏrÏ}Ïμ"Í Ïr�E¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ï}×+Ò&�

��ËHt;t��$w A6U[��JB�©J�H �}Y RT\ Y)� � Y uQu`J`SVU[H X _ X JLADU�O Y R`OP\�a?J`OfO �}Y R�O1É'H)\�� X OIE JZ¢'a¨�Ás��PnKM�GbeDU�OfR`O6�Zu���JB�[R Y �)OP�eD�Zu`Uku`U[O0�)R Y ���! Ä ����� X H)S1O Y)� ¿�À�s� �r� ¾ � ���r�VsBA6U[�©J���J���\�\�OP����H+uQO � R Y \ � ���r� Y)� A6U�O Y R`OP\Än;s��+s� �r��ï � �©���r�Vs¼µ�O��[R Y �)O�u`U�O�S Y �?uQRVH+� Y JT�Zu`�Z�)O)s �'����� Y J`ON« ��J�� Y u�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O)s¹A6U�OP�¹u`U[OfR`O���J�H

´ ±���H+u`SVU © Y)� « �rY RâeDU[�©STU�u`U�OfRTOwO1É���JQu`JDH°JQOP½;��OP�[S1O Y)� ��H+u`STU�OPJ¶� © � §(5�ª ´ 5���}³ÎLÂá�H�abeD�Zu`U ´ 5 Û ÝH)J�Î Û Ý ad� Y ��O Y)� edU[��STU S Y �¨u`H)���¶H¼uQRTH)�[J X H+uQO Y)�I© s �'���[S1O � ³ ��J°S Y \���H)S1u�eLO®SfH)� O1É;uQRVH)S1uH®J`�[I�JQOP½;��OP�[S1O Y)� u`U�O J`OP½¨��OP��S1O Y)� JQOfu`JW�P« ¬�§(5e��eDU[�©STU¾S Y �¨�)OfR`�)OPJ°u Y H X �©\��Zu�JQOfu ç � � ³ ���u`U�O°�[H+u`��RTH X u Y � YX�Y �)i)s�c Y e çÜS Y �?u`H)����J�� Y uQRTH)�[J X H+uQO Y)��© a�U�OP��S1O�ERE ç¶GRGq7êé ERE «@GRG6H)�[�®« ��Jz� Y uuQRTH)�[J X H+u`� Y �'±=\��©�[��\�H X s� ���©�r�êï � �r�Vsª�'���[� Y JQOzu`U[H+u§« ��JâR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OªH)�[�ÐERE ç¶GRG°�êéáERE «@GRG�szc Y e¸çÄS Y �?u`H)����JEH+u X OPH)JQu Y ��O

� ¸ ³ �r´ �fº ´ �=±���H+u`STUÁaeDU[��SVUw��OPS1OPJTJ`H+RT� X i0�©J�Hd��H+u`STU Y)� «�aJ Y �Zu�S Y �¨u`H)���[J9HduQRTH)�[J X H+uQO Y)� Of�)OfRTi ´ ±���H+u`SVUY)� «�s"A6U[��J�U YX �[J �}Y R¥H X©X ´ a�J Y ¯ ³ í ¯�è�s`äDOP��S1O²ERE «WGRG�ØzERE çIGRG�H)�[�°«Ú��J�uQRTH)�[J X H+u`� Y �'±=\�������\�H X s^�zOl�üÌýxË�{Bw ADU�ONS Y \���H)S1u`��OPJ`J Y)� ERE «@GRG¥��J���\�� Y R`u`H)�¨uz�©�»\ Y ��O X�X �©����O X OPS1uQR Y �[�©S��[R Y ��OfR`u`��OPJ Y)� ½;�[H#±J`��S1RTi;JQu`H X J��[J`�����! a ±=H X �)OfI[RTH)Jfa�J`OfO â O X�X ��J`JTH+RT�±EãoHG�sÏù: � �[��������)������P(.P�!"��$;������ ���[&¨�#!��\Hª�b�$�EKJ�LN��!�����%�?NjP�!"��$;�)�=���äÌ��u`U[��J"JQOPS1u`� Y ��eLOdJ`u`�[��iª\����[��\�H X;� O XZY �[ODJQOfu`J�« Y)� ���[��uQO�u=i;�bOdH)�[�����¨�)OPJQu`�Z�H+uQOdu Y eDU[H+u"O1É;uQOP�¨u

u`U�O�RTOf�bOfu`��u`�Z�;��u=i � �[�[S1u`� Y �¾¸ ³ �r´ �ª��J�R`O X H+uQOP�¾u Y u`U�O���H+u`SVU'±=S Y �[�¨u`����� � �[�[S1u`� Y � ²z³ �r´ �Vs�µ�O ��RTJQu��OfRT���)O0H XZY eLOfR6I Y �[�[� �}Y RD¸ ³ �r´ �����kuQOfRT\�J Y)�B²z³ �r´ �VsS+T l�t1ËHl�ü ³^w u.l Òf b«à�TÒE£¶yªÒfÎ{Q+Ñ�Òd�fÒP BQ��´S�Ñ[Ï¢ =Ò§ ¢ÓVÕ�Òw ¦;£) 9Ïr�D¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×+Ò�� U ��« Ïr�â£+Ñ � Æ#Ç`È ��|%�fÒf ��B ¦'ÒfÑ

¸ ³ �r´ �LÂ Æ � ²w³ �r´ � �%Å À ¬��3��� � J�s��3�

��ËHt;t��$w A6U�O�S XZY J`OP��I�H X�X ­ � �;ª`¸ ³ �r´ �Q�§S Y �¨u`H)���[JE� Y ���¨u`J §(5 Y)� « eDU Y JQO ´ ±���H+u`STU�OPJ�S Y \��[RV��JQO�H X�X²z³ �r´ �buQRVH)�[J X H+u`� Y �0OP½¨�[���#H X OP��S1O�S X H)J`JQOPJfs��'����S1O�« ��JÁH)� � Æ*Ç`È �=±=JQOfufa)u`U[O�I�H X�X J Y)� RTH)�����[J Æ H+R Y �[�[�§u`U[OPJQO� Y ���¨u`J�§�H+RTO��[�©J pÌY �©�?ufs�A6U�Ofi�H+RTOzH X�X S Y �?u`H)���[OP���©��u`U�OzI�H X�X eD��u`U S1OP�¨uQOfR¶��H)����RTH)�[�©�[JD¸ ³ �r´ ��º Æ aU�OP�[S1O

� YX À � ­ � �;ª`¸ ³ �r´ ��º Æ ��Â�Ð,Ñ t  vÒ5�Ó � � YX À � ­ � §(54ª Æ �Q�Å�A6U[�©J¥i;�ZO X �[J

� ¸ ³ �r´ ��º Æ � À Â Æ À ²z³ �r´ � Ç� R Y \^eDU[�©STU � J�s��3� �}YX�XZY eDJfs �äÖu���JB_'� Y ed�ªu`U[H+u�u`U�OfR`O�O1É���JQuBuQRVH)�[J X H+u`� Y ��±=\����[��\�H X JQOfu`J�«­��� Y ��Od�[��\�OP�[JT� Y �wu`U�H+u"H+R`O Y)� � Y J`�Zu`�Z�)O

OP�¨uQR Y �¨i)sLA6U[H+u6��JPa �rY R6u`U[OPJQO0«Úu`U[OfR`Ow��J�H�à � j�J`�[SVU�u`U[H+u²w³ �r´ �LÂ%� À Â Ç �}Y RDH X�X ´ � jm�

�P�

Page 16: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

W ��RTu`U�OfRT\ Y R`Odu`U�OfR`OdOf�)OP��O1É���JQuLJ`�[STU°JQOfu`J�« u`U[H+u�U[H3�)OEJQuQRT��S1u"���[� �}Y RT\ß��H+u`SVU � R`OP½;��OP�[Sf�ZOPJfa;H)J��[O1����OP�����Ï�M;a�J`OfOw] X OPH)JTH)�?u`JÍEã�+j�G�säÌ� u`U[OzR`OP\�H)���[��OfR Y)� u`U[��JâJQOPS1u`� Y ��e�OªJ`U Y ehI;i�S Y �[JQuQRV�[S1u`� Y ��u`U[H+udu`U[OfR`O��©Jd� Y ���[��OfRDI Y �[��� Y �

U Y e � H)JQu0u`U�ONR`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu=i � �[��S1u`� Y �®SfH)�»�©�[S1R`OPH)JQO)a�Of�)OP��� � « ��JER`OP½;�[�ZRTOP� u Y I�O�H�Sf��u̱=H)���'±��[R Y#p OPS1uJQOfu��©�Ê¿bÀ eD��u`U ² ³ �r´ �°Ø Ù �r´ À'�Vs¶�¥��u̱=H)�[�'±���R Y#p OPS1uNJQOfu`J�H+R`O�H®JQ��OPSf��H X J`��I�S X H)JTJ Y)�§� Ofi)OfRkJQOfu`JeDU[�©STU®U[H3�)O�I�OfOP�®O1É'uQOP�[J`���)O X i�JQu`�[�[�ZOP�»H)Jw\ Y ��O X J Y)� ½;�[H)J`�©S1R`i;J`u`H X Jfa�JQOfO»Eão)�'a�n)m�a¥M'�)a�M)o;a¥J?mHG�skA6U�OS Y �[JQuQRV�[S1u`� Y ��eD� X�X IbO§I�H)J`OP� Y � HªR`OPJT� X u6��� Y ��O1±=����\�OP�[J`� Y �[H X JQi;\zI YX ��S§��i'�[H)\���SfJPs

kmlonBp�qsr�qt�p�³^w uxw F�Ofu°­ � �3j Ç �H�¼Ô0I�ODHwI���±=�������[�ZuQO¥j#±T�dJ`OP½¨��OP��S1O)s�A6U�O0¡`Ò`¤&µ;¡~¡`Ò1Ñ�¤~ÒB��µ;Ñb¤P ¢Ï Q+Ñ¥Õ¸mÖ Y)�­^��J6�[O1����OP��I;i Õ¸�Ö �Ø× � �Ø× Ø � Ç o Ç �.�.�P�¥I�OP������OP½;�[H X u Y u`U�O�\�H#É'�©\z�[\ �[��å�OfR`OP�[S1Ow��� ���[��O1ÉkI�Ofu=eLOfOP�u`U�O X O � u`\ Y JQuEJQi'\zI YX J Y)� u=e Y S Y �[J`OPSf��u`�Z�)O Y SfSf��R`R`OP�[S1OPJ Y)� H)�¨i�e Y RT�9Ù � �3j Ç �H�ÛÚ Y)�LX OP���)u`U × u`U[H+uY SfSf��RTJDH+u X OPH)JQu Y ��S1Oz���W­°s � äDOfR`OÜÕ¸�Ö �Ø× ��Ø º Ý � � J Y \�O0e Y RT�\Ù Y)�BX OP���)u`U × Y SfSf��RTJDO1É'H)S1u X i Y �[S1O���m­°sÔ�

kmlonBp�qsr�qt�p ³^w,� @QݧÒ`£  ¢Ó��PÒ�Ì.µ�ÒfÑ�¤VÒ­ßÞ�Ø���� « � � �3j Ç �H� Ô

��J�H�I���±=���'�����ZuQOdj#±T�zJQOP½¨�[OP�[S1OwH)J`J Y Sf��H+uQOP��u Y HªR`OPH X �;�[\zIbOfR~8 � E j Ç ��G�I¨i� « }ÔØà¡ � ¨ º �3�y8 ¢D¬�¡ ¨ 8 ¢ Ç �rY R ¨ � ��� � J�s o�@ X�XBâ OPH+uQu=i�JQOP½;��OP�[S1OPJ �}Y RE�ZR`RTH+u`� Y ��H X 8 U[HP�)O Õ¸ Ö�á � ¨ �D�b�[�ZuQO �rY R0H X�X ¨  �+aÁJQOfO@E J?nHG�szµ�O�SfH X�X H

� �[�[S1u`� Y �Y�O}¿ ñ Û ¿ ñ HÁ�)¡�Q�ÿ� ¦¶��µ;Ñb¤P ¢Ï Q+ÑN� � �Zu6��J�S Y �¨u`���;� Y �[J6H)�[� � Y �[��OPS1R`OPH)JT������sS+T l�t1ËHl�ü ³^w,�^â Ïr×)Ò1Ѽ£)Ñ[Ó²�)¡�Q�ÿ� ¦���µ'Ñ�¤3 ¢Ï8Q)Ñ\�¾ ¦'Ò1¡`ÒNÒ$½)Ïr�~ }��£+Ñ�Ïr¡~¡Ì£ ¢Ï8Q+Ñb£+Π8 � E j Ç ��G ÿB¦�Q#�PÒ�ÝâÒT£)  ¢Ó�fÒ�Ì.µ�Ò1Ñb¤VÒD­ Ø ­ßÞ±¦;£#�z¡QÒT¤.µ'¡V¡`Ò1Ñb¤VÒ���µ'Ñ�¤P ¢Ï Q+ÑÕ¸mÖ �Ø× � � � �Ø× � Ç �.Q+¡0Ï}Ñ&S�Ñ[Ï¢ =Ò1ÎÐÓ²��£+Ñ�Ó × ÂG��� � J�s n�

��ËHt;t��$w � Y RVJQO�H)�[�þäDOP� X �[�[� E J?n�a"A6U�O Y R`OP\ m;s��kH)�[�¹F�OP\�\�H¹�fj's n;s G�aLJTU Y e u`U[H+uªu`U�OkR`OPSf��RTR`OP�[S1O� �[�[S1u`� Y � Y)� ­ ��J�O1É'� X ��Sf�Zu X i���Z�)OP��I;iÕ¸mÖ �Ø× �"Ø � « º � « ñ � �rY R � « � × 7 � « ñ � Ç � J�sNJ¨�eDU�OfRTO°¹ « R � « ��JLu`U�O ¨ ±�u`U�S Y �?�)OfR`�)OP�¨u Y)� u`U�O§R`Of�� X H+R6S Y �¨u`���;��OP� � RTH)S1u`� Y �°O1É;��H)�[J`� Y � Y)� 8�s�ä � eLO§u`H+_)O8Êu Y I�O�u`U�O��¨�[\zI�OfRdedU Y JQO�S Y �?u`�©�¨��OP� � RTH)S1u`� Y ��O1É'��H)�[J`� Y � ��J�E j Ç } � Ç } ç Ç } > Ç �.�.�NG�a�eDU[OfR`Ozu`U[O���H+R`u`��H X½;� Y u`�ZOP�¨u`J~} � Ç } ç Ç �.�.��H+RTO0STU Y JQOP��J`�[SfS1OPJ`JT�Z�)O X i°u Y J`H+u`��J � i�} « ñ � Âã� � � « � �}Y R ¨ Â�j'a�u`U�OP��eLOwU[HP�)OÕ¸mÖ � � « �"Ø � « º � « ñ � Ø � « ºm} « ñ � � « º � « 2�� � } « ñ � Âã� � � « ��}Y R ¨ Â�j's �

Ç t�Ë�tpä°äsý1Ë � ³^w,�xý;w*â Ï}×+Ò1ѹ£+Ñ[Ó²�¡]Q�ÿ� ¦���µ'Ñ�¤P ¢Ï Q+Ñ\� �r´ �� ¦'Òf¡QÒkÒ$½)Ïr�~ }��£� ¢¡Q£+Ñ��VÎZ£) ¢Ï Q+Ñx|4�ªÏrÑ[Ï��£+Î�Q+ÑbÒ�|Þ+Ï��Ò1Ñ��~Ï8Q+Ñb£+Î�¤.µ� 8|Q£+Ñ�Þ�|©Õ�¡�Q¶ofÒT¤P ��fÒf �«ÚÕ�¡�Q¶oPÒ`¤P =ÒTÞD�V¡�Q��|�"çDµ;�VÏ}Ño�²E j Ç �3�z£#�E£�ÿBÏ}Ñ�Þ�Q�ÿ ÿB¦�Q#�fÒw¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×3Ï¢ ¢Ó��µ;Ñb¤P ¢Ï Q+Ñ��1£) ¢Ïr�sSLÒ1�

¸ ³ �r´ 5=� � � �r´ 5%� Ç Î9Øá� Ç o Ç �.�.� Ç � J�s ���.Q+¡z£��fÒ�Ì.µ�Ò1Ñ�¤~Ò�Q]� ´ 5 Û Ý �

�&M

Page 17: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

��ËHt;t��$w W�Y RzH)�¨i�R`OPH X �;�[\wI�OfR68 � � j Ç �3�Eu`U�O Y ��O1±=����\�OP�[J`� Y �[H X Sf��u̱=H)�[�'±��[R Y#p OPS1uwJ`Ofu0« Y I�u`H)����OP�I;i �[R Y#p OPS1u`�����ku`U�O��©�?uQOf�)OfR X H+uQu`�©S1O���� ¿bç Y RTu`U Y � Y �[H X�X i Y ��u Y H X ����O Y)� J X�Y �bO'8�a��[J`�©����u`U�O��©�?uQOfR`�+H XE j Ç �3� Y)� u`U�Oq�?±=H#É���JLH)J�u`U[ODeD����� Y e0a;��J"�©��OP�?u`�©SfH X u Y u`U�OâJ`OP½¨��OP��S1O Y)� ���¨uQOfR`�+H X J Y I�u`H)����OP�NI¨i�R`Of� X H)Sf�����u`U�OEJQi'\wI YX JLj�H)�[� �â�©��u`U�O â OPH+uQu=ikJQOP½;��OP�[S1O�­ Ø ­ßÞ Y)� 8®I;i����¨uQOfR`�#H X J Y)��X OP���)u`U[J�åEH)�[� × a¨edU�OfR`OåzH)�[� × ��Of��OP�[� Y �\8¹H)�[��J`H+u`��J � i �MR�� o�7%å)7 × 7.� o's�� Y �[JQOP½;��OP�?u X i

¸ ³ �r´ � � Õ¸�Ö�á � ¡ ´ R � o�¢*���Á�Ç t�Ë�tpä°äsý1Ë � ³´w,���°wâ Ïr×)Ò1Ñ®£+Ñ[Ó��)¡�Q�ÿ� ¦¶��µ'Ñ�¤P ¢Ï Q+ÑY� �r´ �z ¦'Òf¡QҪϩ�z£k ¢¡Q£+Ñ��~Î�£) ¢Ï Q+Ñx|4�ªÏrÑ�Ïs��£+Î"£VÕ[Ò1¡~Ï8QPÞ)Ï¢¤

�»ÒfÓ?Ò1¡��PÒf ¨ç Ï}Ñ�¿ À ÿBÏ} ¦kÕ�£) �¤�¦Z|Q¤$QKµ;Ñ� ¢ÏrÑo�²��µ;Ñb¤P ¢Ï Q+Ñ ² è �r´ �wØ Ù �r´ À �²ÿB¦�Q+�fÒk¡`Ò%Õ[Òf ¢Ï¢ ¢Ïr×*Ï} ¢Ó���µ;Ñb¤P ¢Ï Q+Ñ�1£ ¢Ï©�SLÒ~�

¸ è �r´ 5 � � � �r´ 5 � Ç Î�Øß� Ç o Ç �.�.� Ç � J�sÎM��.Q+¡z£��fÒ�Ì.µ�Ò1Ñ�¤~Ò�Q]� ´ 5 Û Ý ���ËHt;t��$w @ X©X;â OPH+uQu%i JQOP½;��OP�[S1OPJ�­ Ø ­ßÞkeD��u`U��ZR`RTH+u`� Y ��H X 8¹H+R`OzH+�bOfRV� Y ����SdH)����U[HP�)O

² Ö � ¨ �"Ø ¨ º � �}Y RDH X�X ¨ Øh� Ç o Ç �.�.���A6U;�[J9u`U�O6Sf��u̱=H)���'±��[R Y#p OPS1u�JQOfu`J�«­S Y �[J`uQRT�[S1uQOP������� Y R YX�X H+R`iIJ�s o+HwH+R`O6H+��OfRT� Y �[�©S�H)�[��U[HP�)O ²z³ �r´ �BØÙ �r´ �Vs"A�H+_)O�çßØ «�À í ¿bÀ�u Y IbO§u`U�OE�[��R`OPS1u¥�[R Y �[�[S1u Y)� ��J`�[SVU�JQOfu`JfsL�'�©�[S1OdOf�)OfRTi°Sf��u̱=H)���'±��[R Y#p OPS1uJQOfuz« �©JwH � Ofi)OfRªJQOfu � E Jj�aB� Y R YX�X H+R`i��;sÎM�G}�zH)�[�®J`����S1O��[�ZR`OPS1uw�[R Y �[�[S1u`J Y)��� Ofi)OfR�JQOfu`JzH+RTO � Ofi)OfRJQOfu`Jfa�ç ��JDH � Ofi)OfR§JQOfufsL� X OPH+R X i ² è �r´ �"Ø Ù �r´ À �LH)�[��¸�è �r´ �L ¸ ³ �r´ �Va�J Y JTH+u`��JÌ��OPJ � J�sÎM�Vsæ�A6U[O � Ofi)OfRdJ`Ofu`J�S Y �[JQuQRT�[S1uQOP� ����� Y R YX�X H+RTiÁJ�s o#I H+R`O0Sf��u̱=H)���'±��[R Y#p OPS1u6JQOfu`J � R Y \^¿�çÌÀ�u Y ¿bÀ�eD�Zu`U

u`U�O0ed���[� Y e I�OP���[��u`U[OwU?i;��OfRTSf��I�OÁE j Ç �3� À s

çB:¥è �9$'���%�( ��@éL�����êP�!"��$;�)�=���"�����á� �[�����������¹������äÌ��u`U[��JEJ`OPS1u`� Y �®eLO�J`U Y e u`U[H+u0u`U[O��[R Y ��OfR`u`�ZOPJ Y)�¥X ����OPH+RERTOf�bOfu`��u`�Z�;��u=i�H)���®��OP�[JQO�RTOf�bOfu`��u`�Z�;��u=i Y)�

H � O X�Y ��O°J`Ofuz« ����¿bÀ�SfH)�[JQOkH X H+R`�)O°S X H)J`J Y)�D� �[��S1u`� Y �[Jw�[O1����OP� X�Y SfH X�X i�eD�Zu`U®RTO � OfR`OP��S1ONu Y «àu YU[H3�)O��[�[��½;��O X i���OfuQOfRT\�����OP�¼HP�)OfRTH+�)O��+H X ��OPJ Y �¹¿ À s®ADU�OPJQO°�)OP��OfRTH X R`OPJ`� X u`Jwed� X�X I�OkH+�[� X ��OP�»���¡Ï�Mu Y ��H+u`SVU � RTOP½¨��OP��Sf�ZOPJ � eD�Zu`Uk��\�� X ��SfH+u`� Y �[J �}Y R6H)��u Y S Y RTR`O X H+u`� Y ��\�OPH)J`��R`OPJ�H)�[������åbRVH)S1u`� Y ���"H)�[�����¤Ï~lu Y OPJQu`��\�H+u`����� ��H+u`U X OP���)u`U�J����¹H)�[��R`OPJ`JªJQ��H)S1O����¼u`U�O�S Y ��RTJQO Y)� J`U Y eD������u`U[H+ufa �}Y R�I Y u`U¾��OP�[JQO X iR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OdH)�[� X ���[OPH+R X iwRTOf�bOfu`��u`�Z�)ODJQOfu`Jfa;u`U�ODH)����R`OPJ`J�\�H+�NSfH)��IbODR`OPH)J Y �[H+I X i�eLO X�X H+���[R Y É���\�H+uQOP��I¨iH X �©��OPH+R � ���[S1u`� Y ��sµ�O°J`U[H X�X S Y �[JT����OfR � �[�[S1u`� Y ��JE��O1����OP� Y � ê I Y É'OPJ ë � u`U[H+u���Jfa����ZR`OPS1uE�[R Y �[�[S1u`J Y)� S Y;Y RT�[����H+uQO����'±

uQOfR`�+H X JV������¿bÀ�H)���NO1É'�[R`OPJTJ Y ��R�R`OPJ`� X u`JL�©�NuQOfRV\�J Y)� u`U[OE� YX �[\�O)a'� YX À � ­��Va[JT��R � H)S1O0H+R`OPH'a@ë � ­��Va�H)�[�eD���[u`U�a³ì � ­��Va Y)� H�I Y É®­°skmlonBp�qsr�qt�p Ñ7w uxw @ �$Q&½w�©��¿�À���J�H�J`��I�JQOfu Y)� u`U�O �}Y RT\

­ßØv� � � � Ç � ç Ç �.�.� Ç � À ��·�} 5 �_� 5 �%� 5 � Î�Øß� Ç �.�.� Ç ���$� ÇeDU�OfRTOq}I5 7��15 � ¿ �}Y RLOPH)STUYÎ`sBä �îí 5ÁØ.�15?¬\}I5 � ÎBØá�B�.�.�$���Bu`U�OP�Nu`U�Ow×�Q+Î µ!��Ò1a���µ'¡�1£?¤VÒ0£)¡QÒT£�H)�[�¤ÿBÏ¢Þ ¦Y)� ­ H+RTO0��Z�)OP��I;i

� YX À � ­��"ØÀï5 2�� í 5 Ç ë � ­��Bضo�� YX À � ­�� ÀÒ5�Ó � �í 5 Ç ì � ­��BØË\����

�3ð 5 ð À í 5!�A6U[O0S X H)J`J Y)�9� �[�[S1u`� Y �[J¥eLO0��OPH X ed�Zu`U���J�u`U�O �}YX�XZY eD������s

�3l

Page 18: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

kmlonBp�qsr�qt�páÑ;wh�;w @^ÎRQP¤T£)Î`ÿ�Ò1ÏR��¦¨ DÞ)Ï©�1 ¢¡VÏ���µ� ¢Ï Q+Ñ Y ��H � O XZY ��OªJQOfuâ« ����¿ À ��JdH � �[�[S1u`� Y �fñÜeD�Zu`U�+H X ��OPJâ����¿ � edU Y JQOª� Y \�H)������Jdu`U�O�J`Ofu Y)� H X�X I Y É;OPJ�­æ�©��¿bÀ®eD��u`U\ì � ­�� �Qò ¾ � �}Y R§J Y \�O ò ¾  j?�H)�[��edU[��STU�U�H)J�u`U�O �}YX�XZY eD�������[R Y ��OfR`u`�ZOPJ&}� H?�Yñ � ­���Ø Ù � � YX À � ­��Q�Va� Ib��ñ ��J ê H+�[��R Y É���\�H+uQO X i°uQRTH)�[J X H+u`� Y �����¨�#H+RV��H)�?u ë�Y ��«»a��©�ku`U�O0JQOP�[JQOwu`U[H+uD� �

� ­ º r �;«°«ÜØ � ­ «°« �Áº r�}Y RDJ Y \�O r�� ¿bÀ�u`U�OP� ñ � ­ º r �BØ%ñ � ­���º�Ù � ë � ­��Q� ÇH)���

� S3�Yñ ��J ê H+���[R Y É���\�H+uQO X i°H)�[���Zu`�Z�)O ë a����ku`U[OwJQOP�[JQOwu`U[H+uD� � ­ Ø ­ � ò®­ ç ò��.�.�Hò®­ « ��J6H���H+RTu`�Zu`� Y �Y)� ­ ���¨u Y � Y �'± Y �)OfR X H+�[���©����J`\�H X�X OfR�I Y É;OPJDu`U�OP�

ñ � ­���Ø «Ò 5�Ó � ñ � ­q5��ÁºÊÙôó «Ò5�Ó � ë � ­�5�wõÌ�äÌ��u`U[��J���O1�b�[�Zu`� Y �°u`U�O�Ù§±=S Y �[JQu`H)�¨u`JD��Of��OP�[� Y � X i Y �fñ sF�Ofu�ö � ò �w��OP� Y uQOku`U�O�JQOfu Y)��ê JT½¨�[H+RV��J`U ë I Y É'OPJ�H X©X"Y)� eDU Y JQOkJ`����O X OP���)u`U[J í 5 X �ZO°����u`U�OkRTH)���)Oò � í 5B� o ò s��E�Z�)OP� H�RTOPH X ±��#H X ��OP� XZY SfH X eLOP�Z�U?ud�[��JQuQRT��I���u`� Y ��Ù Y ��H � O XZY ��OzJQOfu6«·e�O���O1����O)a �}Y Rò���ò ¾+a�u`U�Ow�[�[��OfR¥H)��� XZY eLOfR X�Y SfH X ��OP��J`�Zu`�ZOPJ

î ñ � ò ��Ø J`���Ö µ�÷ tuø v Ù � ­��3R*� YX À � ­��ËH)�[� î 2 � ò �"Ø ��� �Ö µ�÷ tuø v Ù � ­��3R*� YX À � ­��Å� � �;s��3�

û�l�ü�üPýUÑ;w8u.U �+Ù Ïr�k£®¡QÒT£+Î |Ö×#£)Î µ�Ò`ÞÌÿ�ÒfÏ{�K¦¨ wÞ+Ïr�~ ¢¡~Ï�.µ� ¢Ï8Q+Ñ Q+Ñ £�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒ��fÒf ¥« £+Ñ�Þ» ¦'ÒWµ3Õ?Õ�Ò1¡ £+ÑbÞÎRQ�ÿ�Ò1¡ªÞ?Ò1Ñ��~Ï} ¢Ï�Ò~� î ñ?� î 2 £+¡`Ò�£#�0Ï}Ñ�ºwù���ú�¼� ¦'ÒfÑ î ñ � ò �w£)Ñ�Þ î 2 � ò �0 =ÒfÑ�Þ° ßQNÎÔÏ�ªÏ} }��£+� ò Û Ý ���ËHt;t��$w µ�OâJTU Y e u`U[H+u î ñ �©J�H)� ê H+���[R Y É���\�H+uQO X iª�[OPS1R`OPH)J`����� ëw� ���[S1u`� Y � Y)� ò � H)�[� î 2 ��J ê H+�[��R Y É;±��\�H+uQO X i°����S1R`OPH)J`����� ë �Vsä �,û  ò u`U�OP��H)�?iªI Y É�­ � ö � û ��SfH)��I�O�J`��I��[�Z�'����OP�z���¨u Y I Y É;OPJã­q5 Y)� ö � ò �Vs � A6U���JB��JBS X OPH+R X i

� Y J`J`�ZI X OB���Eu`U�OLSfH)JQO°��Øß� Y)� H)�z�©�?uQOfR`�+H XY �wu`U�O X ����O)a*H)���w���0U��Z�U�OfR��[�©\�OP�[J`� Y ��H X SfH)JQOPJ9HDJ`��I��[���;��JT� Y �u`U[H+u���J9H§�[�ZRTOPS1u��[R Y �[��S1u Y)� �~±=�[��\�OP�[JT� Y �[H X J`��I��[�Z�'��J`� Y ��J�SfH)�ªIbO��[J`OP��sÔ�z�����[S1O~üá� YX À � ­ 5 ��Ø � YX À � ­��u`U�Oª�¨��\wI�OfR Y)� I Y É'OPJ ­q5 � ö � ò �D��OfOP��OP��u Y S Y �)OfR¶­Ä��JEÙ � û À R ò À �Vs0@ X J Y ë � ­q5��6ØßÙ � ò À 2�� � �}Y ROPH)STU Y)� u`U�OP\�sL� Y � S3� Y)�9� O1�����Zu`� Y ���;s o � Y ���[�Z�'��J`� Y �NI¨ik� YX À � ­��Q�L��Z�)OPJ

î ñ � û �ý7 î ñ � ò �Áº ! �ò Ç � �;s o�

�}Y RDJ Y \�OwS Y ��JQu`H)�?u)! � säÌ���'�ZOfe Y)� � H?� Y)�B� O1�b�[�Zu`� Y ���;s o X ��\Ê��� �/î ñ���J¥���[��uQO)s W[Y RdH X�X [ � j�u`U�OfRTO0��J�H ò�� �MRe[Ded�Zu`Uî ñ � ò � 7 X ��\���� �ø Ã�Ä î ñ � ò �Áºã[ Ç

J Y I;i � �;s o�î ñ � û ��7 X ��\Ê�©� �ø Ã¶Ä î ñ � ò �Áº � ��º_! � �¶[ �rY RDH X©XGû ��ò a

�&¢

Page 19: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

H)�[� X OfuQu`����� û Û Ý ��Z�)OPJX ��\ÊJ`���þ²Ã�Ä î ñ � û �°� X ��\Ê�©� �ø Ã¶Ä î ñ � ò ��º � ��º_! � �¶[¶�

�'����S1O)[dSfH)��I�O0STU Y JQOP� H+R`I��ZuQRTH+RT� X i�J`\�H X�X eLOwU[H3�)OX ��\ÊJ`�[� î ñ � X �©\Ê��� �!î ñ Ç

J`U Y eD�����ªu`U[H+u î ñ � ò �LuQOP�[�[J6u Y H X ��\��ZuLH)J ò Û Ý sA6U[OE�[R Y;Y)� u`U[H+u î 2 � ò �LuQOP�[�[J�u Y H X ��\���uL��J�JT��\�� X H+R3sÿ�

S+T l�t1ËHl�ü Ñ7w u.U �â«ËÏr��£�ÎÐÏrÑ�Ò`£+¡~ÎÔÓ�¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ï}×+Ò�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒ��fÒP D ¦'ÒfѼ ¦'Òf¡QÒ�Ïr��£�¤�Q+Ñ��~ �£)Ñ�  /°Ø / � « � � j��µ[¤.¦� ¦'£) 6Ò1×+Òf¡VÓ�Î{QP¤V£+Î�ÿ�Ò1ÏR��¦¨ ¥Þ+Ïr�~ ¢¡~Ï�.µ' ¢Ï Q+Ñ�ñ Q+Ñk« ¦;£#�ª£+Ñ®£+×+Òf¡Ì£&�;Òz×#£+Î µ�Ò � ÏrÑ�¿ � �1£) ¢Ïr�s�~Ó+ÏrÑ��ñ � ­��

� YX À � ­��Ø � ºÊÙ � ì � ­�� 2�4 � � �;s n�

£#��ì � ­��w =Ò1Ñ�Þ#�w ßQNÏ}Ñ&S�Ñ[Ï¢ ¢Ó���º�£´¦'ÒEÙ�|̤�Q+Ñ��1 �£+Ñ� ���£+ÓkÞ¨Ò%Õ�ÒfÑ�ÞmQ+Ñ�ñ £#��ÿ�Ò1Î}Î�£#�6«þ�N¼��ËHt;t��$w A6U�OfR`Oª��Jâ� Y�XZY J`J Y)� �)OP��OfRVH X �Zu=i�����H)J`J`�[\��©����u`U[H+ußñéØ�Ù ��JâR`OPH X ±��#H X �[OP��abJT���[S1OªHN�)OPS1u Y R`±�+H X ��OP�­ñ SfH)��I�OEuQR`OPH+uQOP��I¨i�H+�[� X i;�©���zu`U[O0R`OPJ`� X u �rY RdR`OPH X ±��+H X ��OP��Ùáu Y OPH)STU�S Y;Y RT�[���[H+uQO)s W�Y RâR`OPH X ±�+H X ��OP��ÙGu`U[OEO1É'��J`uQOP�[S1O Y)� u`U�O0S Y �[JQu`H)�¨u���O X � � Ø î ��J¥OP½;�[�Z�+H X OP�?u¥u Y u`U[OEu=e Y�X ��\���u`J Y)� FÁOP\�\�H��;s��I�OP�����ªu`U�OwJTH)\�O)s�µ�Ow��OP� Y uQO0u`U�OPJQO X ��\��Zu`JLI;i î ñ¼H)�[� î 2 sA6U[R Y ���U Y ��uDu`U�Oz��R Y¨Y)� eLO�JTU[H X�X H X e¥HPi'Jâu`H+_)O ò  ò � Ø \�H#É � ò ¾ Ç`黂 �3�Vs W�Y REJ`�[SVU�H ò e�OªSfH)����[��H�I Y É®­Íà� � ö � ò �Led�Zu`U Ù � ­Íà� �� YX À � ­ à� �

7 î 2 � ò �Áº �ò �c Y e ­Íà� ��J�S Y �¨u`H)����OP������J Y \�O � ±���H+u`SVU Y)� «»aedU�OfR`O � Ø � o � �dº �3� òv� o � � ò º È a?H)�[�ªI;i X ����OPH+RR`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu%i�Of�)OfR`i°I�H X�X�Y)� RTH)�[�©�[J�!�à � S Y �?u`H)�©�[J6H�� Y ���?u Y)� « eDU Y JQO � ±���H+u`STU ��J¥HªuQRTH)�[J X H+uQO Y)� u`U[��JY ��O)a�eDU[OfR`O"! à ��J¥u`U�OE��\�� X �ZOP�NS Y ��JQu`H)�?ud��� � �+s��Po�Vs�� Y ��JQOP½¨�[OP�?u X i°� �Kû ضo � ! à � º � º ò �BØ�! ç ò aeDU�OfRTO­! ç ØÄo � !�à�ºß�3� � o � ��ºß�3��º¶o�u`U�OP�¼Of�)OfR`i»I Y ÉÌ­ � ö � û �0S Y �?u`H)�©�[J�H I Y ÉÌ­ � eDU���STU¼��JuQRTH)�[J X H+u`� Y � OP½;�[�Z�+H X OP�?uEu Y ­ à� Y ��« H)�[��eDU Y JQO��[��JQu`H)��S1O � R Y \ u`U[O�I Y ���[�[H+R`i Y)� ­­��J� ò s�äÌ�®HJ`��\�� X H+R"e¥HPikH)J����Nu`U�O§�[R Y;Y)�ÁY)� F�OP\�\�H��;s��§e�OESfH)��J`�[I����Z�;�©��O�­ ���¨u Y I Y É'OPJ Y)� ö � ò �Va Y ��O Y)� eDU[�©STU��J�­ � s�@ X J Y � YX À � ­ � �L ò À Ø�! 2 Àç û À Â�Ãb� YX À � ­��eD�Zu`U�ÃDØ � o�! ç � 2 À � j'sL� Y I¨i°u`U�OER`OPH)J Y �[������u`U[H+u X OP��u Y � �;s o��e�O Y I�u`H)���

î ñ � û �ý7�Ãß] î 2�� ò �Áº �ò `�º � ��¬�Ãf� î ñ � ò �Áº ! �ò � �;sNJ¨�

H)�[� X OfuQu`����� ò Û Ý ��Z�)OPJà î ñ � à î 2 Ç

J`U Y eD�����ªu`U[H+u î ñ Ø î 2 Ø î a'JTHPi)sA Y OPJQu`H+I X ��J`Uku`U�O0S Y �¨�)OfR`�)OP�[S1O�RTH+uQO0eLOE��RTJ`u�R`Of��OPH+u�u`U�OwH+I Y �)OwH+RT��[\�OP�¨u6u Y�Y I[u`H)���

î 2 � û � � à î ñ � ò �Áº � ��¬»ÃP� î 2 � ò ��¬ ! � º �ò � �;s ��

�Pm

Page 20: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

u`U�OP��JT��I[uQRTH)S1u � �;s �� � R Y \ � �;sNJ¨��u Y�Y I�u`H)���� � û �ý7 � ��¬¼o+Ãf��� � ò ��º o � ! � º �3�ò Ç � �;sÎM�

eDU�OfRTO�� � ò ��Ø î ñ � ò ��¬ î 2 � ò �LÂ�j'sµ�O�� Y eGJTU Y e u`U�H+u � � ò �ý7%! > ò 2�4 Ç �}Y R ò  ò � Ç

eDU�OfRTO /0Ø XZY � � �6¬»ÃP� 2�� R XZY ��! ç � �;sÔl)�H)�[��! > ��J§STU Y JQOP� X H+R`�)OªOP� Y ���U�u Y OP�[J`��RTOzu`U[H+u�� � ò ��7Q! > ò 2�4 �}Y R ò � � ò ��! ç ò � H)�[� ü! > �o � ! � º �3�VsL@dJ`JT�[\�O)a[H)JDH)� ���[�[�[S1u`� Y �°U¨i;� Y u`U[OPJ`��Jfa'u`U[H+u� � ò � 7%! > ò 2�4 �}Y R ò � � ò ��! «ç ò � �A6U[�©J�U YX �[J �}Y R ¨ Øá�+s �E�Z�)OP� û �%! « ñ �ç ò � eLOwU[H3�)O� � û � 7 � �6¬�o+ÃP��� � û R�! ç �Áº o � ! � º �3�3! çû Ç I¨i � �;sÎM¨� Ç7 ! > � ��¬�Ãf� û 2�4 ! 4ç Ç I;iNu`U�Oz���[�[�[S1u`� Y �°U¨i;� Y u`U[OPJ`��J Ç

Ø ! > û 2�4 Ç I¨i � �;sÔl)�VsA6U[�©J�S Y \�� X OfuQOPJ�u`U[Ow���[�[��S1u`� Y �kH)�[��J`U Y eDJ�u`U[H+u�� � ò �ý7%! > ò 2�4 �}Y RDH X�X òv�.ò � sc Y e X OfuQu`����� û Û Ý �©� � �;s o� � H)�[���Zu`J�H)�[H XZY ���O �rY R î 2 ����Z�)OPJ

î 2 � ò ��¬ ! �ò 7 î 7 î ñL� ò �Áº ! �òJ Y ���� Ù � ­��� YX À � ­��

¬ î���� ��� � ò �Áº ! �ò Ø Ù � ò 2�4 � � �;s΢�

�}Y Rê­ � ö � ò �Va[J`���[S1O�/"7G�+sW ���[H X©X i)a�H)�ÊH+RTI��ZuQRTH+R`i�I Y É�­ ed�Zu`U�ì � ­�� �¥ò � SfH)�ÊI�O�J`��I��[�Z�'����OP�����¨u Y Ù � � YX À � ­��3RMì � ­�� À �I Y É'OPJ Y)� ö � ì � ­��Q�DeD�Zu`U�u Y u`H X J`��R � H)S1O�H+R`OPH Ù � � YX À � ­��3RMì � ­��Q�Va�J Y � �;s΢�EH)�[� � S3� Y)�L� O1�����Zu`� Y ���;s o��Z�)O Ù � ­��

� YX À � ­��Ø î º¾Ù � ì � ­�� 2�4 � Ç

S Y \�� X Ofu`������u`U�OE�[R Y¨Y)� s �S+T l�t1ËHl�ü Ñ7w,��U �â« Ïr��£�Þ?Ò1Ñ��PÒ1ÎÐÓ�¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×+Ò�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒ��fÒP D£+Ñ�Þñ Ïr��£�ÎRQP¤T£+Îãÿ�Ò1ÏR��¦¨ DÞ)Ï©�1 ¢¡VÏ���µ� ¢Ï Q+ÑþQ)Ñ«  ¦'ÒfÑ  ¦�Ò1¡`Ò�Ï©�w£+Ñ � Ï}Ñ°¿ � ÿBÏ¢ ¦ ñ � ­��

� YX À � ­��Ø � º�- � ì � ­��Q� Ç

£#��ì � ­��w =Ò1Ñ�Þ#�w ßQNÏ}Ñ&S�Ñ[Ï¢ ¢Ó��o+j

Page 21: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

��ËHt;t��$w @D�H)�©��u`U�OfR`Ow�©J�� Y�XZY J`J Y)� �)OP��OfRVH X �Zu=ik����H)J`JT�[\������ªu`U[H+u�ñ Ø%Ùá��J¥R`OPH X ±��+H X ��OP�Ás�§���)OP� ò � ò ¾ eLO�U[H3�)O°�[O1����OP� î ñ � ò �0H)�[� î 2 � ò �Vskµ�Ok� Y e H X J Y ��O1����O î ¾ � ò �0H)J �}YX�XZY eDJfsFÁOfu ©�³ � § � Ç � � ò � Ç �.�.� Ç ©�³ � § Ð Ç � � ò ��I�O6HEJQOfu Y)��² Ø ² � � � ò ��uQRTH)�[J X H+u`� Y ������OP½;�[�Z�+H X OP�¨u � � ò ±��H+u`SVU�OPJ Y)� «¯H)�[� X Ofu Ù 5 Ø%Ù 5 � ò ��Ø%Ù �B� § 5 ÇÛò �Q� � ÎBØh� Ç �.�.� Ç ² � ÇeDU�OfRTO �� §(5 ÇÛò �L��J�u`U�OESf��I�O Y)� J`����OEo ò eD��u`U°S1OP�¨uQOfR�§(5 � eDU[��SVUN��J¥S Y �¨u`H)����OP����� ©L³ � §(5 Ç � � ò �Q�Vs�µ�Ou`H+_)O î ¾ � ò �Lu Y I�OEu`U�O0\�OP�[�©H)� Y)� u`U[O0JQOfu Y)� �¨��\wI�OfRTJ

�¼Ù�5 R � o ò � À }�ÎBØá� Ç �.�.� Ç ² � � � ò �$� Çu`U[H+u���Jfa9u`U�Ok\������ X O��;�[\zIbOfR�eDU�OP��u`U�OkJQOfu���J����»J`��¦fO Y RT�[OfR � edU�OP� ² ��J Y �[��� Y Rªu`U�OkHP�)OfRTH+�)O Y)�u`U�O u=e Y \����[� X O �;�[\wI�OfRTJ � eDU�OP� ² �©JNOf�)OP�b�Vs A6U�OfR`O ��J°H)� H)\wI�����[�Zu=i ����u`U���Jk��O1���[�Zu`� Y ��H)Jk�ZuJQu`H)�[��Jfa�I�OPSfH)�[JQO�u%e Y � Y ���?u`J�§ 5 a¥§ à5 ed�Zu`U�uQRTH)�[J X H+u`� Y � OP½;�[�Z�+H X OP�?u � � ò ±���H+u`SVU�OPJz\�HPi���Of�)OfR`u`U�O X OPJ`J��Z�)O��[��å�OfR`OP�¨uz�+H X ��OPJ Y)� Ù�5ÖsUä Y eLOf�)OfRPaLI¨i � Ib� Y)�d� O1���[��u`� Y �¼�;s o�u`U[O°�+H X ��OPJª�[�ZåbOfR�I¨i¼H+u�\ Y JQu�HS Y �[JQu`H)�¨ud\�� X u`��� X O Y)� ò À 2�� a�H)�[��S Y �[JQOP½;��OP�¨u X i î ¾ � ò �¥��JD��O1����OP��u Y eD�Zu`U[����H�S Y �[JQu`H)�¨ud\�� X u`�Z� X O Y)��MR ò H)�[���Zu`J�IbOPU�HP�'� Y R"H)J ò uQOP�[��JBu Y �������[�Zu%iw��J��[��H#åbOPS1uQOP�NI¨iªu`U�OdH)\wI�����[�Zu=i)sBA6U[O6��O1���[�Zu`� Y ��S Y � X �I�O0\�H)��O0�[��H)\wI����� Y �[J¥I;i°H)� Y ��u`������J Y \�OzJQ��OPSf����SâRT� X O �}Y RDSTU Y¨Y J`�©����u`U�O0� Y ���¨u`J¨§ � Ç �.�.� Ç § Ð sµ�O0� Y e STU Y;Y JQOEHªJQOP½;��OP�[S1O ò � ÇÛò ç Ç �.�.�3a'uQOP�[�[���[�wu Y ���'�b�[�Zu=i)a¨eD�Zu`U ò � �.ò ¾ H)����¸ ³ � � � ò « ��Â� � ò « �rY RKÎBØá� Ç o Ç �.�.�[s � ä � u`U�OfR`O���J9� Y J`�[STU��©�'���[�ZuQO�JQOP½¨�[OP�[S1O¥u`U�OP��«Ä��J X ����OPH+R X iER`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O¥H)�[��u`U�OR`OPJ`� X u���JBHwS Y ��JQOP½¨�[OP�[S1O Y)� A6U�O Y R`OP\ �;s��+sÔ��]"��u û « Ø l#¸ ³ � � � ò « �9H)�[��S Y ��J`����OfR"H)�NH+R`I��ZuQRVH+R`iwI Y É­ � ö � û « �Vs�A Y �)Ofu¥Hw� Y ��±�uQRT�Z�'��H X I Y �[�[� �}Y RýÙ � ­��B�Zu"�©J"� Y�XZY ���)OfR"OP� Y ���U�u Y ���[��HzJ`����� X ODJ`��I�±�I Y É­ � Y)� ­ ����ö � ò « ��eD�Zu`UYÙ � ­ � �LJ`\�H X�X a'J`���[S1OEeDU[OP�ku`U�OE�)R Y eDu`U Y)� ¸ ³ �©J � H)JQuQOfRDu`U[H)� X ���[OPH+RLu`U���J�� YXZY ���)OfRd� X�X J6H�� Y J`�Zu`���)O0�[R Y � Y R`u`� Y � Y)� ­NsDµ�O���OfOP��H X H+R`�)Oz�;�[\zIbOfR Y)� e�O X©X ±=JQ��H)S1OP��J`��I�±�I Y É;OPJDeD�Zu`UJ`\�H X©X Ùws â i�u`U�Oª��O1���[��u`� Y � Y)�°î ¾ � ò « �6u`U�OfR`OªH+R`ON ² R+oNØ ² � � � ò « �3R+oNuQRTH)�[J X H+u`� Y ������OP½;�[�Z�+H X OP�?u� � ò « ±���H+u`SVU�OPJ Y)� « J`��STU�u`U�H+ud� ��© ��JDH���H+u`SVU�uQRTH)�[J X H+u`� Y ��OP½;�[�Z�+H X OP�¨u�u Y H)�¨i Y ��O Y)� u`U�OP\ÄH)�[� ��J"u`U�OdS Y;Y RT�[����H+uQOdSf��I�O Y)� JT����Odo ò « ���[J`S1RT��IbOP���©� © u`U�OP�Ù � �3R � o ò « � À � î ¾ � ò « �'º ! è R ò « �}Y R¥J Y \�O! è s â iwu`U�OL�[O1���[�Zu`� Y � Y)� ¸ ³ Of�)OfR`izSf�[IbO Y)� J`���[OLo+¸ ³ � � � ò « �3º � � ò « S Y �¨u`H)���[JBH+u X OPH)J`u Y ��OL��H+u`SVUuQRTH)�[J X H+u`� Y �NOP½¨�[���#H X OP�¨u"u Y OPH)SVU Y)� u`U�OPJQO)sùädOP�[S1O�­ S Y �¨u`H)���[Jâ ² R+o�J`��I�Sf��I�OPJ �� § ÇÛò « � Y)� J`���[Oâo ò «�}Y R�OPH)STU Y)� eDU[��SVU)ÙßR � o ò « �%À²� î ¾ � ò « �Vº"! è R ò « H)�[�w� Y ��O Y)� eDU[�©STU0S Y \�OPJ�eD�Zu`U����§HD�[��J`u`H)�[S1O"o � � ò «Y)� u`U�OwI Y �[���[H+R`i Y)� ­°s�µ�OzR`OP½;�[�ZRTO0H�JQOfu Y)� JT��I�Sf��I�OPJ¥u`U[H+uD� Y � Y u Y �)OfR X H+�Áa�H)��� ��� � H)S1ud��u6eD� X�X I�OS Y �¨�)OP�[�ZOP�¨uLu Y U[H3�)OEu`U�OP\ Hz����JQu`H)�[S1O§H+u X OPH)JQu�J � � ò « H+��H+R`ufsL�'����S1ODOPH)STU Y)��Y ��R�J`��I�Sf��I�OPJ �� § ÇÛò « �U[H)J�H0� Y ���¨uù§ Y)� «ÜH+u��Zu`J�S1OP�?uQOfR¥H)�[�NH0I�H X�X[Y)� RTH)�[���[JùM � � ò « S Y �?u`H)�©�[J�H+uL\ Y JQu �Q� M � � ò « º Æ �3R Æ � À� Y ���¨u`J Y)� «»aBOPH)STU�J`��I�Sf��I�O �� § ÇÛò « �EeLOk����ST_®O1É'S X �[��OPJ�H+uª\ Y JQu �Q� M � � ò « º Æ �3R Æ �%ÀN¬ � Y u`U[OfRTJfs� Y �[J`OP½¨��OP�¨u X i�eLO§SfH)��STU Y;Y JQOEH+u X OPH)JQu �ç Æ À ² R � l � � ò « �%ÀN �ç � Æ ¸jR)l � �"! à à ò « �%À Y)� u`U�OPJQO§J`��I�Sf��I�OPJY)� ­ u`U[H+u6H+RTO0H+u X OPH)JQu6H��[��J`u`H)�[S1O J � � ò « H+��H+R`ufa�eDU[OfR`O�! à à �©J�u`U[O0��\�� X ��OP��S Y �[JQu`H)�¨uD��� � �+s��)�3�6H)�[�¸ Ø ¸ ³ � � � ò « �Vsµ�Oâ��O1É;u��)OfRT� � izu`U�H+u°­ßU[H)J�Hw��H+R`u`�Zu`� Y �����¨u Y I Y É'OPJ Y)� ö � ò 5=��eDU[��SVU����[S X �[��OPJBH X�X u`U[OPJQODJ`��I�Sf��I�OPJfs

A6U[�©J�SfH)�kI�OE� Y ��OâI¨iNu`U[����_'����� Y)� ¿bÀ�H)J�S Y \�� Y J`OP� Y)� Hz�[É'OP�NI�H)S`_;�)R Y �[�[�k�)RT�©� Y)� ��H)S`_)OP� Sf��I�OPJ Y)�J`���[O ò « s`�"H)SVU�STU Y J`OP��Sf��I�O B� § ÇÛò « ��\�OfOfu`J"HEJQOfu Y)� �)RT�©��Sf�[IbOPJ �}Y RT\����[�âH§I Y É;±=J`U[H+��OP��I XZY S`_ba)eDU[�©STUeLO�OP� X H+R`�)O�I;i u`U�O��©�[S X �[J`� Y � Y)� H)� Y ��uQOfRwJ`�©��� X O1± X H3i)OfR0J`U�O X�X�Y)� �)RV����Sf��I�OPJ§�[��J pQY ���¨u � R Y \ �� § ÇÛò « �Vsâ OPSfH)�[JQO Y)� u`U�O6JQOf��H+RVH+u`� Y � Y)� u`U�O6SVU Y JQOP��Sf�[IbOPJ�u`U�OP��RBOP� X H+R`�)OP�ªI X�Y ST_;J Y)� �)RT���ªSf��I�OPJ9� Y � Y u Y �)OfR X H+�Ás@âJ6�����[RTOf�;� Y ��J���R Y¨Y)� Jfa�u`U[�©J�OP� X H+R`�)OP��I XZY S`_kSfH)��I�OE��H+R`u`�Zu`� Y �[OP�����?u Y I Y É;OPJ Y)� ö � ò « � Y ��O Y)� eDU[�©STU��J �� § ÇÛò « �VsÊ�'��\�� X H+R X i)a9e�O�S Y ��J`����OfR�u`U�O�u%e Y ± X HPi)OfRkJ`U�O X�XLY)� �)RT���¹Sf��I�OPJ�S Y �[J`��J`u`����� Y)� u`U Y J`O�u`U[H+u\�OfOfuâu`U�O�I Y ���[�[H+R`i Y)� ­ u Y �)Ofu`U�OfREeD��u`U H)� ���[��OfRdJ`����� X O1± X HPi)OfR X ���[���[��J`U�O X�X s�@d�H)����abu`U[��Jdu=e Y ± X HPi)OfRJ`U�O X©X SfH)�°IbOD��H+R`u`�Zu`� Y �[OP�����¨u Y I Y É'OPJ Y)� ö � ò « �"H)�[��� Y OPJL� Y u Y �)OfR X H+�ku`U�OâJ`U�O X�X J Y)� u`U�OdSVU Y JQOP�kSf��I�OPJ

o'�

Page 22: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

I�OPSfH)�[JQO Y)� u`U�O��[��JQu`H)�[S1O Y)� u`U�OPJQO6J`U[O X�X J � R Y \áu`U[OLI Y �[���[H+R`i Y)� ­Ns�� Y ­hSfH)��I�OL��H+R`u`�Zu`� Y ��OP�����¨u Y u`U�OSf��I�OPJ B� § ÇÛò « � � Y)� J`���[Oªo ò « �VaÁu`U[O�I Y É;OPJ Y)� ö � ò « � p �[JQuE��OPJ`S1RT��IbOP��H)�[��u`U�O�R`OP\�H)���[�����N�)RT��� Sf��I�OPJ� Y)� J`����O ò « �Vs�'�©�[S1O6� YX À � ­��°� � ��J¸á�%À�H)����u`U�Odu Y u`H X � YX ��\�O Y)� u`U�OâSf��I�OPJ �� § ÇÛò « �B��JD �ç � o Æ ¸jR)l � �"! à à��%Àba� S3� Y)�B� O1���[�Zu`� Y ���;s o;a Y ���[���;��JT� Y ��I;ik� YX À � ­��Va���Z�)OPJ

î ñ � û « �ý7�Ãß] î ¾ � ò « ��º ! èò « `�º � ��¬»ÃP� î ñ � ò « �Áº ! �ò « ÇeDU�OfRTO0Ã�Ø �ç � Æ R�J?m � ��! à à��%À�s°C§� X OfuQu`����� ¨ Û Ý e�O Y I�u`H)���

X ��\Ê��� �ø Ã�Ä î ¾ � ò �L î ñ �@hJ`��\�� X H+R¥H+RT��[\�OP�¨ufa�STU Y;Y J`���[��Sf��I�OPJ í ­ ed�Zu`U�ÙßR � o ò « �%À�Â î ¾ � ò « ��¬�! è R ò « a X OPH)�[J�u Y

X ��\�J`���ø Ã�Ä î ¾ � ò ��� î 2 �ädOP�[S1O î ñ Ø î 2 s�A6U[O���R Y¨Y)� ��JES Y \�� X OfuQOP�®H)J0����u`U�O X H)J`uEu=e Y ��H+RTH+�)RTH+��U[J Y)� u`U[O��[R Y;Y)�"Y)� A6U�O Y ±R`OP\ �;s��+s �µ�O�OP�[�¼u`U[�©JzJQOPS1u`� Y �¹I¨i»JTU Y eD�©��� u`U[H+u X �©��OPH+RzRTOf�bOfu`��u`�Z�;��u=i®��Jª� Y uªu`U�O°O1É'H)S1u�Sf�[u̱ Y å � Y ���¨u �}Y R

u`U�Ow���[�Z�)OfRTJ`H X O1É���JQuQOP�[S1O Y)� ���[��½;��OEHP�)OfRTH+�)OPJ �}Y R XZY SfH X e�OP���U?uD����JQuQRT�ZI���u`� Y �[Jfs�ä%ud��J¥� Y J`J`�ZI X Odu Y uQRTH)��OJ Y \�O Y)� u`U�OwOfR`R Y RDuQOfRT\Ä����A6U�O Y RTOP\Ä�;s�� �rY RâH�e�OPH+_)OP������� Y)� u`U[OwU?i;� Y u`U�OPJ`��JDH)�[� J`U Y eGu`U�H+uDOf�)OfR`i\�H+R`��©�[H X�X i�JT����OfR X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O � O XZY ��O0J`OfuDU[H)J�u`U[�©J��[R Y ��OfR`u%i)sS+T l�t1ËHl�ü Ñ7wh�QU ��«àÏ©�z£�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒw�PÒf �Ï}Ñ�¿bÀ¹�1£) ¢Ïr�s�~Ó+ÏrÑo�

¸ ³ �r´ �"Ø Ù �r´�� X�Y � ´ � �%Å À �£#� ´  =Ò1Ñ�Þ+�z ßQNÏrÑ&S"Ñ[Ï} ¢Ók£+Ñ�Þ"ñ Ïr�0£NÎRQP¤T£)Î¥ÿ�ÒfÏ{�K¦¨ LÞ)Ï©�1 ¢¡VÏ���µ� ¢Ï Q+ÑPQ+Ñk«  ¦'Ò1Ñ� ¦'Òf¡QÒzÏr�z£+Ñ � Ï}Ñ°¿ � ÿBÏ¢ ¦ñ � ­��

� YX À � ­��Ø � º�- � ì � ­��Q� Ç

£#��ì � ­��w =Ò1Ñ�Þ#�w ßQNÏ}Ñ&S�Ñ[Ï¢ ¢Ó����ËHt;t��$w µ�OE��RTJ`u¥� Y uQOEu`U[H+u�u`U�O0��OfRT���#H+u`� Y � Y)� � �;sNJ¨�Va � �;s ��¥H)��� � �;sÎM�����°u`U�OE�[R Y¨Y)��Y)� A6U�O Y RTOP\ �;s��R`OP\�H)�©�[J¥�#H X ���keDU�OP�f!�àb��JDH � �[��S1u`� Y � Y)� ´ ���[JQuQOPH)� Y)� I�OP������S Y �[J`u`H)�?ufs�ä � e�OzH)J`J`�[\�OEu`U�H+u

¸ ³ �r´ � 7%! ´�� XZY � ´ � �%Å À �}Y R ´  ò àraeDU�OfRTOzeLO�SfH)��J`���[� Y JQOzu`U[H+u ò à�ÂG\�H#É � ò ¾ Ç o � ��º �3�VaÁH)����u`H+_)O û Ø|! ë ò � XZY � ò � �%Å À�eD�Zu`U�! ë ØJ � o � �Nº¶�3�3!�º¾oªu`U[OP� � �;sÎM�¥I�OPS Y \�OPJ� � û �ý7 ][��¬ o+à �XZY � ò `�� � ò �Áº o � ! � º �3�ò Ç

eD�Zu`U�à � Ø � o�! ë � 2 À�H)�[�b! � �©JDH)JdIbO �}Y R`O)s�ä � e�Oz����u � �r´ �LØG\�H#É � � �r´ � Ç ´ 2��%Å ç3�¥u`U�OP��eLOzSfH)� ���[�H ò � J`�[STU�u`U[H+u � � û � 7^][�¥¬ à �X�Y � ò `�� � ò � �rY R ò  ò � s � �;s m�

o)o

Page 23: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

µ�OzSfH)� H X J Y u`H+_)O ò � Â�\�H#É � ! ë Ç J¨�Vsµ�O�� Y eG�[O1����O0H)������S1R`OPH)J`������JQOP½;��OP�[S1O ò � 7 ò ç 7á�.�.��I;iò « ñ � Ø�! ë ò « � X�Y � ò « � �%Å À �� X OPH+R X i ò « Û Ý H)J ¨ Û Ý s�A Y I Y �[��� ò « H+I Y �)OweLOw�[JQO0H)���©�[�[�[S1u`� Y �kH+R`���\�OP�?uDu Y J`U Y e u`U[H+u

XZY � ò « 7 ò � ¨ XZY � � ò � ¨ � XZY � XZY � � ò � ¨ �Å�W�Y Rdu`U�Ow���[���[S1u`� Y �kJQuQOf��eLOwU[H3�)O

XZY � ò « ñ � Ø XZY � ò « º �� XZY � XZY � ò « º X�Y � ! ë7 ò � ¨ XZY � � ò � ¨ � XZY � X�Y � � ò � ¨ ��º XZY � � ò � ¨ ��º XZY � X�Y � � ò � ¨ �Áº XZY � XZY � XZY � � ò � ¨ ��º XZY � ! ë ÇI¨i°u`U�Ow�©�[�[�[S1u`� Y �kU¨i¨� Y u`U�OPJT��Jfa7 ò � � ¨ º �3� XZY � � ò � ¨ � XZY � XZY � � ò � ¨ � Ç I�OPSfH)�[JQO ò � ÂÐJ�H)�[� ò � Â%! ë a7 ò � � ¨ º �3� XZY � � ò � � ¨ º¶�3�Q� XZY � X�Y � � ò � � ¨ º¶�3�Q�Å�

c Y e0a �}Y RLH)�¨i ò  ò � a X Ofu ¯ I�O6u`U�O X H+RT�)OPJQu����¨uQOf�)OfRLeD�Zu`U ò · � ò sBA6U�OP��R`Of��OPH+uQOP�NH+�[� X ��SfH+u`� Y �Y)� � �;s m�¥��Z�)OPJ � � ò ��7%! » ·ï« Ó ç ] ��¬ à �ò � ¨ XZY � � ò � ¨ � X�Y � XZY � � ò � ¨ � ` ÇeDU�OfRTO~! » ��JBH)�����[��OfR9I Y ���[� �}Y R�� � ò �9����u`U�O�RVH)���)O ò � � ò 7 ò ç s��'����S1OLu`U[O��[R Y �[�[S1u Y �ªu`U�O�RT�Z�U¨u�[�Z�)OfRT�)OPJ6u Y j�H)J ¯ uQOP�[�[J6u Y ���'�b�[�Zu=i)a�� � ò � � H)��� U�OP�[S1O�� � ò �Q��uQOP�[�[J�u Y j�H)J ò uQOP�[�[JDu Y ���'�����Zu=i)sA6U�OE��R Y¨Y)� ��J6� Y eGS Y \�� X OfuQOP� H)J6���ku`U[O X H)JQu�u%e Y ��H+RTH+�)RTH+��U�J Y)� u`U[O0�[R Y;Y)��Y)� A6U�O Y RTOP\ �;s��+sÁ��B: � �[��������)�����¹�9��������"���®��� FÌ�Á&�¦ H��b�$�EQPB&?���9!�����$������

C§�[O �}Y RT\ Y)�dXZY ��� RVH)���)O Y RV��OfR��©�»H��[��J`S1R`OfuQO°JQOfu�« ��Jwu`U[O��[R Y ��OfR`u%i�u`U[H+ufa �}Y RzOPH)SVU ´ aBH X�X"Y)��Zu`J ´ ±���H+u`STU[OPJâH+RTOwOf�)OP� X i�����JQuQRT�ZI���uQOP������u`U�O�JQOP�[JQO Y)� U[HP�'����� X ��\���u`����� � R`OP½;��OP�[Sf��OPJfs�µ�O�JTU Y e u`U[H+u��OP�[J`O X i�R`Of��Ofu`�Zu`���)O0JQOfu`JDH)�[� X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OEJQOfu`JdU[HP�)Ozu`U[��J¥�[R Y ��OfR`u%i)s

kmlonBp�qsr�qt�påæ;w uxw �E�Z�)OP�¾H ´ ±���H+u`STU ©ÜY)� « uQRTH)��J X H+uQOP�¹u Y ��aLH)�[�¹H�I Y ���[��OP��R`Of�� Y ��� �æ¿�À��O1���[O

��� � ���°}ÔØ ·Î�&§ � � } © ºþ§ í «U��·;�A6U[H+u6�©Jfa!��� � ���LS Y �[�¨u`J�u`U�O0�;�[\wI�OfR Y)� � Y �©�?u`J Y)� « ����� eDU Y JQO ´ ±���H+u`SVU�OPJDH+RTOEuQRTH)�[J X H+u`� Y �kOP½¨�[���?±H X OP�¨u6u YÁ© s

kmlonBp�qsr�qt�pPæ^w,�7w @ � O XZY ��O6JQOfu�«­U[H)J�µ'Ñ[Ï ��Q)¡�� Õ'£) �¤�¦D�V¡`Ò�Ì&µ[ÒfÑ�¤fÏ�Ò~�9� � Of�)OfRTi���H+u`STU © U�H)J�HE�[�[� �}Y RT\X ��\��Zu`����� � R`OP½;��OP�[S1i î � © �¥���ku`U[OwJQOP�[JQOEu`U�H+u

��� � ­ � r ª ò �Q�� À ò À Ø î � © �Áºm- � �3� � M;s��3��[�[� �rY RT\ X i���� r H)J ò Û Ý a"eDU�OfR`O � À ��J�u`U�Ok� YX �[\�O Y)� u`U�O��[�[�ZuzI�H X�X ���¹¿bÀ � J Y u`U[H+u � À ò À¼Ø� YX À � ­ � §`ª ò �Q�Q�Vs�äÖu�U[H)JD�~ ¢¡~Ï¢¤3 �µ;Ñ�Ï �.Q+¡��GÕ�£) �¤�¦Å�V¡`Ò�Ì&µ[ÒfÑ�¤fÏ�Ò~��� � a?���NH)�[�[�Zu`� Y ��a î � © �B�©J"� Y ��¦fOfR Yw�}Y R"Of�)OfR`i��H+u`SVU © u`U[H+u Y SfSf��RVJ6���k«»s

o)n

Page 24: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

@ u Y � YXZY ���SfH X �[i;�[H)\���SfH X JQi'JQuQOP\ Y ��H0S Y \���H)S1uLJQ��H)S1O �ÊeD�Zu`U�H)��¿ À ±=H)S1u`� Y ���©J�µ'Ñ[Ï°Ì&µ�Ò1ÎÐÓªÒ1¡ �ZQ3Þ+Ï¢¤� � �Zu�U[H)J6H��[�[�©½¨��Oâ�[R Y I�H+I�� X �Zu%i�\�OPH)J`��RTO Y � âLY R`O X JQOfu`J6u`U�H+u6��J����¨�#H+RT�©H)�?u��[�[�[OfRLu`U[O0¿�À�±=H)S1u`� Y ��s�A6U�O�[R Y ��OfR`u%i Y)� U[HP�'���������[� �}Y RT\ ��H+u`STU � R`OP½;��OP�[Sf�ZOPJ��©J¥OP½¨�[���#H X OP�¨u¥u Y u`U�O0��i'�[H)\��©SfH X J`i;JQuQOP\ � ERE «WGRG Ç ¿ À �I�OP�����D���[��½;��O X iâOfR`� Y ����S+a)JQOfO�� YXZY \wiH+_®ENMKM'a)A6U�O Y R`OP\ßn;s n�G�+s9A6U�O�O1É;uQRVHD�[R Y �bOfRTu=iEu`U[H+u9u`U�O � R`OP½;��OP�[S1iY)� Of�)OfR`i®��H+u`SVU®u`U[H+u Y SfSf�[RTJw���®« �©JE� Y J`�Zu`�Z�)O��©\�� X �ZOPJâu`U[H+u � ERE «WGRG Ç ¿�ÀÁ�E�©J0\����[�©\�H X aÁU�OP�[S1O°JQuQRT��S1u X iOfR`� Y �[��S+s9F��[��� Y �ªH)�[��] X OPH)JTH)�?u`J�EãnHJZG'u`H+_)ODu`U�O��[R Y ��OfR`u%i Y)� U�HP�'�����EJQuQRT��S1uB�[��� �rY RV\G��H+u`SVU � R`OP½¨�[OP�[Sf�ZOPJH)J6��H+R`u Y)� u`U[Ow��O1���[��u`� Y � Y)� I�OP���[��JQuQR Y ��� X ik½¨�[H)JT��S1R`i'JQu`H X�XZY �)RTH+��U[��S+sA6U[O0\�H)���kR`OPJ`� X u Y)� u`U���J¥��H+��OfRD��J�H)J �rYX�X�Y eDJfsS+T l�t1ËHl�ü æ;w u.U ��« Ï©�E£IyªÒ1ÎRQ+ÑbÒ§�fÒf 9Ï}Ñ�¿bÀ¹ ¦;£) BÏr�EÒfÏ} ¦'Òf¡dÎÐÏ}ÑbÒ`£+¡~ÎÐÓ�¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ï}×+ÒIQ+¡§Þ¨Ò1Ñ��PÒ1ÎÐÓ�¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ïr×)Ò �

 ¦'ÒfÑ�« ¦;£#�0�1 ¢¡VϤP �µ'Ñ[Ï ��Q)¡�� Õ'£) �¤.¦¶�~¡QÒ�Ì.µ�Ò1Ñ�¤PÏÒ1��� U Ñ® ¦'Ò�¤T£+�fÒª ¦;£ 9« Ï©�0ÎÐÏ}ÑbÒ`£+¡~ÎÐÓ°¡`Ò%Õ[Òf ¢Ï¢ ¢Ïr×)Òª ¦'Ò�Òf¡V¡�Q+¡ =Ò1¡��·ÏrÑ º��K��ú�¼W¦'£#�N ¦'ÒÅ�.Q+¡�� Ù � ò 2�4 ���ŵ'Ñ[Ï ��Q)¡��ªÎÐÓ�Ï}Ñ r �êÿB¦'Òf¡QÒ'/ � j¹Þ?ÒÖÕ�Ò1Ñ�Þ+�OQ+Ñ[ÎÐÓ»Q)Ñ�« ��µ� d ¦�ÒÙ�|Q¤$Q)Ñ��~ �£+Ñ� °��£+ÓkÞ?Ò%Õ[Ò1Ñ�ÞmQ+Ñ� ¦'Ò6Õ�£) �¤�¦ © �

��ËHt;t�� µ�Oª� Y uQOwu`U[H+uÅ���Ê��JdH XZY SfH X eLOP�Z�U¨ud�[��J`uQRT�ZI���u`� Y � Y ��«»s�äÖudS X OPH+R X i�J`H+u`��JÌ��OPJ � H?� Y)��� O1���[��±u`� Y � �;s o�H)��� � S3� � eD�Zu`U � Y OfR`R Y RâuQOfRT\­��OPS1OPJ`J`H+RTi��VsDADU�OwOfR`R Y RDuQOfRT\­��� � I���H+RT��J`OPJ � R Y \æ� Y ���¨u`J�§¼���­ º r eDU Y J`O ´ ±���H+u`STU�OPJwO1É;uQOP��� Y ��u`J`����O�­áº r s��'�[SVU � Y ���?u`J§H+R`O�S Y ������OP� u Y HkI Y RT��OfR§R`Of�� Y � Y)�­�º r ed�Zu`U�u`U���S`_'��OPJ`J ´ eDU Y J`Od� YX ��\�Oâ�©JD� ´ ë � ­��Va'H)���N��R Y �'����OP��ì � ­���Â Æ u`U[O§�;�[\zI�OfR Y)� u`U�OP\��JDÙ � ë � ­��Q�Vsc Y ehA6U�O Y R`OP\�Jd�;s��wH)�[���;s o�OP�[J`��R`O§u`U�OwO1É'��J`uQOP�[S1O Y)� H X ��\���u`����� � R`OP½;��OP�[S1i î � © �¥J`�[SVU�u`U[H+u

� � � ­��� YX À � ­��

Ø î � © �Áºã[ � ­�� � M;s o�

eD�Zu`U[ � ­�� Û j�H)J�ì � ­�� Û Ý �©��I Y u`U�u`U�O X ����OPH+R X i°H)�[����OP�[JQO X iNR`Of��Ofu`�Zu`���)OwSfH)JQOPJfs6äÌ��u`U�O X ����OPH+R X iR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O�SfH)JQO�[ � ­���ض٠� ì � ­�� 2�4 ì �VaedU�OfR`O~/ � ��J�u`U�O�/ Y)� A6U�O Y R`OP\ �;s��+s�A Y JQOfO�u`U[H+u î � © � � j§� Y uQOu`U[H+u �rY RâOf�)OfR`i X H+R`�)Oz���¨uQOf�)OfR ² Of�)OfR`i Sf��I�O Y)� J`����Oªo+¸ ³ �r´ � ² SfH)��I�OwJ`��I��[�Z�'����OP�k���¨u Yk² À�Sf��I�OPJY)� JT����O�o+¸ ³ �r´ �dJ Y S Y �¨u`H)���[JEH+u X OPH)JQu ² À��[��JQu`�©�[S1ud� Y ���¨u`J Y)� « edU Y JQO ´ ±���H+u`SVU�OPJ0H+R`OªuQRTH)�[J X H+u`� Y �OP½;�[�Z�+H X OP�?u�u Y²© s"FÁOfuQu`���[� ² Û Ý � Y e ��Z�)OPJ î � © �L � o+¸ ³ �r´ �Q� 2 À � j'sA Y S Y \�� X OfuQO�u`U[ON�[R Y¨Y)� eLON��OfOP��u Y \�H+_)ONu`U�O°uQRTH)�[JT�Zu`� Y � � R Y \ I Y É;OPJzu Y I�H X�X Jfsf�§���)OP��H�I�H X�X

­ � r ª ò ��eLO�SfH)�¶S Y �)OfR��ZuNed�Zu`U ¨ Ø Ù � ò À Å ç ��Sf��I�OPJ�! � Ç �.�.� Ç ! « Y)� J`���[O � ò Y)� eDU���STU H+u�\ Y JQuÙ � ò t À 2��wv©Å ç*�LH+RTOw� Y uDS Y �¨u`H)����OP���©�W­ � r ª ò �Vs�� Y� YX À � ­ � r ª ò �Q��Ø ¨ ò À Å ç ¬�Ù � ò À 2��%Å ç �

H)�[�Nu`U�OâOfR`R Y R�����OPJ`u`��\�H+u`�����Í� � � ­ � r ª ò �Q�"H)J ü � � � ! 5 �"�©J�H X J Y Ù � ò À 2��%Å ç3�Vs�ADU�OPJQO§H+�[�[R Y É'��\�H+u`� Y �[Ju Y u`U�Ow� YX �[\�O0H)�[����H+u`STU�S Y �[�?u Y)� ­ � r ª ò � X OPH)��u Y

��� � ­ � r ª ò �Q�� YX À � ­ � r ª ò �Q� Ø �¨ ò À Å ç

«Ò5�Ó � ��� � !ý5���º�Ù � ò 2��%Å ç �Ø î � © �Áº �¨ «Ò 5�Ó � [ � ! 5 ��ºÊÙ � ò 2��%Å ç �

I;i � M;s o�Vs�ADU�O X H)JQu¥u=e Y uQOfRT\�J Y �ku`U�O§RT�Z�U¨uLuQOP�[�ku Y jªH)J ò Û Ý ���°I Y u`U°u`U�O X ����OPH+R X i�H)�[�k��OP�[JQO X iR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O0SfH)J`OPJDH)�[���©�ku`U�O X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`���)O§SfH)J`Owu`U�OfikH+R`O�Ù � ò 2�4 �Va[eD�Zu`U\/EØ./ � R+o;s � ]\ ú��tú~þã�Pó1Ä"! õ[ï�ðÌõîH�ãò�ÿ õ�õ¢ò=óTò�ðÌôLû�úVï�ò�ÿ�� ÿtñ�Ô~õ � Þ#î3ò[ò�ý#ðÁø*ï�úfúTûo�ÌóTïï�ÿtðÌõbúÒ�1ð%ï�ò�úB÷9ð4� úVñ#ðÁõðÖò�õ�úVû�Ê+ñ*ÿãò�ðÁòs�3ø)ð~ù!Ýrñ¥ý#ÿtõ�ò�ð%ï�þ�ÿ ñ*ú��ÉÅú�Ô$�ÁÖØÊ#ñ#ÿãò�ð9ñPî#þ°Þ)ðÖïbúTû!�tú.�Qó$�¨ø#óTòò�ðÖï�ñ*õ ×�þ�ðQóTñ#õ¨Ö Ê+ñ*ÿtò�ð�ò�3ø)ð]×�óVñ#ô²Ös� ú.�Ìó��?ÿ õúVþ�úVï�ø*ý#ÿtõþ¼ø3ï�ú~ø)ðÖïòs��×"þ�ðQóTñ#õ¨Ö©ï�ðÌø)ðÖò�ÿãò�ÿ��1ð~ù ×

oHJ

Page 25: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

A6U[Oz\�H pQY RES Y �[JQOP½;��OP�[S1O Y)� A6U�O Y R`OP\=M;s��ª��JDu`U[H+u§« ��Jd����åbRVH)S1u`�Z�)Oz��� u`U�OªJQOP�[JQO Y)� ä Y)� E��&¢HG�a�H)JeLOw� Y eGO1É;� X H)����s

kmlonBp�qsr�qt�p¡æ^wh�;w @â�®£�µ� ßQP¤$Q)¡V¡`Ò1ÎZ£) ¢Ï Q+ÑP��Ò`£+��µ'¡QÒ � ���ku`U�O0J`OP�[JQO Y)� ä Y)� E��&¢'aÁ�PmHG}� Y)� H��[��J`S1R`OfuQOEJQOfuD«���°¿ À ��JLH)�?i X ��\��Zu"\�OPH)J`��R`O§����u`U[Od�+H+���O§u Y � YXZY �)i)a[H)J ´ Û Ý a Y)� u`U�O§JQOfu Y)� �[�©J`S1R`OfuQOd\�OPH)J`��R`OPJ$# Â��O1���[OP� �rY R ´ � j�I;i #  }ÔØ �� À ´ À Ò% ´ ì % ¸ % ´ [ %�&  / ´ ì 2 ´ [ � � M;s n�

äÌ�®u`U[�©J0��O1���[��u`� Y � e�ON�;��Ofe H�\�OPH)JT��R`O'# H)JwH X ����OPH+R � �[�[S1u`� Y ��H XBY �®u`U�O°JQ��H)S1O'( Y)� S Y \�� X O1É;±�+H X ��OP�°S Y �?u`���;� Y �[J � �[�[S1u`� Y �[J î eD��u`UNS Y \���H)S1u¥JT���[� Y R`u Y �°¿bÀ�eDU[��SVU�U[H3�)O§u`U�OâH)���[�Zu`� Y �[H X �[R Y ��OfR`u%iu`U[H+u �}Y RDH)�¨i�S Y \���H)S1uDJQOfu � u`U�OfRTOw��J�H�S Y �[J`u`H)�?u�}*) � ��Of��OP�[�[�©��� Y ��#��LJ`�[SVU�u`U[H+u

· # � î �.·o��} ) ·R· î ·R· � � J`���[� � î � í � ÇeDU�OfRTO®·R· î ·R·;Ø J`�[�7��· î � §��.·x}!§ � ¿ À �abH)��� eLOzJ`H3i�u`U[H+uâHNJQOP½;��OP�[S1O Y)� \�OPH)J`��RTOPJ��+# « �k¤�Q+Ñ[×+Òf¡8�;Ò~�ª ßQ#�Ï}Ñ� ¦'Òz×#£��Kµ�Òz ßQVÕ!Q+ÎRQÒ�)Ó�� �

X ��\« Ã�Ä # « � î �BØ�# � î � Ç �}Y RdH X�X^î¤� (¬�

@â�?i � O XZY ��OkJQOfuª« U[H)JªH+u X OPH)JQu Y ��O�H)��u Y S Y R`R`O X H+u`� Y �¹\�OPH)JT��R`O+,°H)�[�»u%i¨����SfH X�X i � edU�OP�»«ÍU[H)JX H+R`�)O0JTSfH X Ow�ZR`RTOf�� X H+RT�Zu`��OPJV��U�H)J6\�H)�¨ikH)�[u Y S Y R`RTO X H+u`� Y ��\�OPH)JT��R`OPJfs

kmlonBp�qsr�qt�p�æ;wR³^w @ � O XZY ��O0J`Ofu6«·�©JwÞ+Ï ²6¡Ì£?¤P ¢Ï}×+ÒD� � ��u6U[H)J6H��[����½¨�[OâH)��u Y S Y R`R`O X H+u`� Y � \�OPH)JT��R`O.- ³ sA6U�O�Þ)Ï ²6¡Q£¤3 ¢Ï8Q+ѱ��ÒT£#��µ'¡`Ò Y)� «¯��J�u`U�O W�Y �[RT�ZOfR6uQRTH)��J �rY RV\0/- ³ Y)� u`U[OwH)��u Y S Y R`R`O X H+u`� Y � \�OPH)J`��R`O.- ³ sA6U[Od�[��å�RTH)S1u`� Y �N\�OPH)J`��RTO1/-���JLHz\�H+u`U�OP\�H+u`��SfH X H)�[H XZY ��[O Y)� u`U�O � H+RQ±��O X ��ɨ±�RTH3iN�[�ZåbRTH)S1u`� Y ��JQ��OPS~±

uQRT�[\ Y)� «»a�J`OfO¶ä Y)� E��&¢�a��PmHG�sLä%uâ��J6��OPS1OPJ`JTH+RT� X ikH�� Y J`�Zu`�Z�)O0\�OPH)J`��R`O)s¥c Y uQO�u`U[H+u6u`U���J6��O1�����Zu`� Y � Y)� H� O XZY ��ODJ`Ofu"I�OP�����0�[�ZåbRTH)S1u`���)O6� Y OPJ�� Y u�R`OP½;�[�ZRTO�u`U[H+u��Zu`J"�[��å�RTH)S1u`� Y ��\�OPH)JT��R`ODS Y �¨u`H)���°H)�?iª����RTO�� Y �©�?uS Y \�� Y ��OP�¨ufsA6U[O�O1É'��J`uQOP�[S1O Y)� �[�[� �}Y RT\·��H+u`STU � RTOP½¨��OP��Sf�ZOPJ���\�� X �ZOPJzu`U[H+u�«ËU[H)J�H®�[����½¨�[O°H)��u Y S Y R`R`O X H+u`� Y �

\�OPH)J`�[R`O2-�Ø3- ³ H)�[��U�OP�[S1Ozu`U[H+ud��uD��J6�[�ZåbRTH)S1u`���)Ow����u`U�O�JQOP�[JQOzH+I Y �)O)s�ä%uâH X J Y �©\�� X �ZOPJLu`U[H+ud« U[H)J�[�[�©½¨��O ¨ ±�� Y ���¨u6S Y R`R`O X H+u`� Y � \�OPH)J`��R`OPJ �rY RdH X�X ¨ ÂG�+sA6U[O Y R`OP\ M;s��w� Y e i'�ZO X �[J&}

Ç t�Ë�tpä�äýxË � æ;w u.U �E« Ï©��£�ÎÐÏrÑbÒT£+¡~ÎÔÓ±Q+¡NÞ?ÒfÑ��fÒfÎÔÓ�¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ï}×+Ò�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒ��fÒP 6Ï}Ñ�¿�À  ¦�Ò1ѹÏ} �¦;£#�N£¤µ'Ñ[Ï Ì.µ�Ò£�µ� ßQP¤�Q+¡V¡`Ò1ÎZ£) ¢Ï Q+ÑU��Ò`£+��µ'¡QÒ4- ³ �Á£´¦?Ïr����Ò`£#��µ;¡`Ò5- ³ Ïr�E£EÕ�µ'¡QÒ�Þ+Ïr�1¤P¡QÒP =Ò¶��ÒT£#��µ'¡`Òw��µ*ÕÕ!Q)¡~ =ÒTÞmQ+ÑN«^¬�«��U ÑNÕ'£+¡1 ¢Ï¢¤&µ'Î�£+¡â«àÏr�0Þ)Ï ²6¡Q£¤3 ¢Ïr×)Ò&���ËHt;t��$w A6U�O�O1É���JQuQOP�[S1OdH)�[���[�[��½;��OP��OPJTJ Y)� - ³ �}YX�XZY eDJ � R Y \¸�BÉ�H)\�� X ODo;s��D���Áä Y)� E��&¢HG�s�c Y e « ¬�«��J�H��[��J`S1RTOfuQO JQOfufa6J`����S1O�« ��J�H � O XZY �[O�JQOfu Y)� ���[�ZuQO�u%i¨��O)a6U�OP�[S1O�H X�X \�OPH)JT��R`OPJ6#  ��� � M;s n�NH+R`OJ`����� Y RTuQOP� Y ��« ¬®«�a�H)�[�7- ³ �©�[U�OfRT�Zu`JLu`U[�©J¥�[R Y ��OfR`u=i)s �A6U[O Y R`OP\ M;s���H X J Y H+��� X �ZOPJ¥u Y JQi;\zI YX ��SE��i'�[H)\��©SfH X JQi'JQuQOP\�J6����)OP��I;ikH�u=e Y ±=J`����OP��J`U[� � u48 Y ��H

���[��uQO�H X ��U[H+I�OfuůÄØ �3j Ç � Ç �R�R� Ç < ¬ �H�s�� X OP\�OP�¨u`J Y)� J`�[SVU�H�J`U[� � uâSfH)�®IbOªOP�[S Y ��OP��H)J � O XZY �[O�JQOfu`JY)� �����ZuQOwu%i¨��O Y ��u`U[O X �©��Ow¿�aBI¨i�H)J`J`�Z��[�©��� < ���?uQOfRT�#H X J Y)� �[�ZåbOfR`OP�¨u6��É;OP� X OP���)u`U[Jdu Y u`U�OªJQi;\zI YX Jfa9 � ý*ÿtõ;û�ú��Î�tú Õ õxÞ.��ò�ý#ð[ï�ðÌþ6ó`ï Ä�Þ)ðÖûÐúVï�ð�ØNÜ�: �<; ï�úVø¨ù��Pù � Û Þ)ð]�QóVî*õð�ò�ý*ð�þ�ðQóTõî*ï�ð�= Ñ ö > ü@?+A Ñ B ? ÿ õ¨òï=óVñ#õ � ó`ò�ÿ úVñ�Å,Þ)ú~î*ñ+ô3ðQô �óVõ�ô3ðyÊ+ñ*ðQôdÿtñÍØNÜ�: Û ù

o)�

Page 26: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

H)�[��u`U�OkJ`U[� � uw��J�\����[�©\�H X eD�Zu`U¼H�R`OPSf��R`R`OP��S1O � �[�[S1u`� Y ��u`U[H+u��)R Y eDJªH+u�\ Y JQu X ���[OPH+R X i ���®u`U�O°e Y RT�X OP���)u`U × � � H)�[� Y � X i � � u`U�O�H)J`J Y Sf��H+uQOP� � O XZY ��O�JQOfu`J0H+R`O X �©��OPH+R X ikR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O)sz� X OPH+R X i�J`��STU X ����OPH+R X iR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OEJ`U�� � u`J�U�HP�)O0u`U�O0�;�[\zI�OfR Y)� e Y RT�[J Y)�9X OP���)u`U × I Y �[�[��OP�°H+I Y �)O0I;i\! × �rY R6J Y \�OwS Y �[JQu`H)�¨u! � I;i®u`U�O�H)�[H XZY ���O �}Y R�J`U[� � u`J Y)� A6U�O Y R`OP\ J�s��3�Vs»A6U[O Y R`OP\ M;s��k��\�� X ��OPJ0u`U[H+u X ����OPH+R X i R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OJ`U[� � u`J6H+RTOz�[�[�©½¨��O X i�OfR`� Y �[��S+s âLY J`U�OfRV�[�ZuQ¦PH)�ÌE J�G��[R Y �)OPJdH�R`O X H+uQOP��R`OPJ`� X u.}�@â�?i�\��©�[��\�H X J`U�� � u�edU Y JQOe Y RT�kS Y �[�?u � �[�[S1u`� Y �N��JLI Y �[�[�[OP�NH+I Y �)OEI;i�! × U[H)J����[��uQO X i�\�H)�¨i�OfR`� Y �[��S§���¨�#H+RV��H)�?u¥\�OPH)J`�[R`OPJfa'u`U�O�;�[\wI�OfR Y)� u`U�OP\^I Y �[����OP�k���kuQOfRT\�J Y)� ! H)�[��u`U�O0�;�[\zIbOfR Y)� JQi'\zI YX J < sµ�O�S Y �[S X ����O�u`U���JNJ`OPS1u`� Y � I¨i�JTU Y eD�©���»u`U[H+uku`U�OfRTO�H+R`O � O XZY ��O�JQOfu`J°eD�Zu`U Y ��uN�[��� �rY RV\ ��H+u`SVU

� R`OP½¨�[OP�[Sf�ZOPJ¥eDU Y J`OER`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu=i � �[��S1u`� Y �[J¥�)R Y e Y � X i°J X �Z�U¨u X i � H)JQuQOfRDu`U[H)� X ���[OPH+RPs9äÖ����H+R`u`��Sf� X H+R3a¨eLOJ`U Y e u`U[H+uDADU�O Y R`OP\ �;s n���J�� Y u � H+R � R Y \^I�OPJQu�� Y J`J`�ZI X O)s

û�l�ü�üPý±æ^w8u â Ï}×+Ò1Ñ�Õ!Q#�~Ï} ¢Ï}×+ÒwÏ}Ñ� =Òß�;Ò1¡V�¨� £+Ñ�Þ ² �" ¦'Òf¡QÒªÒ$½)Ïr�~ }�w£ª�PÒ�Ì.µ�ÒfÑ�¤VÒ��M} « �mQ]��Õ!Q#�VÏ¢ ¢Ï}×+ÒwÏrÑ� =Òß�¨Òf¡T�ÿBÏ¢ ¦� ¦�Ò°��Q+Î}ÎRQ�ÿBÏrÑ��zÕ�¡�QVÕ�Ò1¡1 ¢Ï�Ò~�Û½

º=Ïμ�} « � ² ��Q+¡�£+ÎrÎ ¨ �º=ÏrÏ ¼ ¨ XZY � ¨ � X�Y � XZY � ¨ �Öçß7�} « 7 o ¨ XZY � ¨ � XZY � X�Y � ¨ �Öç��.Q+¡ª£+ÎrÎÁ��µDC�¤fÏ�Ò1Ñ� ¢ÎÐÓ�ÎZ£+¡ �¨Ò ¨ �º=ÏrÏ}Ïμ�} « Ïr�0£)Ñ�Ò1×+ÒfÑ �`|Ì ¦zÕ!Q�ÿ�Ò1¡1�º=Ïr×$¼� ¦'Òw�fÒ�Ì.µ�Ò1Ñ�¤~Ò��+E « �mQ]�w¡QÒT£+Î�Ñxµ!���TÒf¡T�0Ï}ÑUE j Ç ��GDÞ?Ò8S�Ñ�Ò`Þ°¡`Ò`¤.µ'¡V�VÏ}×+ÒfÎÔÓ��1ÓE ¾ Ø � ÇE « Ø ²

oe} « E « 2�� º�][�¥¬ ²oe} « ` � ��¬FE « 2�� � ¨ Øá� Ç o Ç �.�.� � M;sNJ¨�Þ�Q3Ò1�wÑ�Q) L =Ò1ÑbÞN ßQk£NÎÐÏs�ªÏ¢ ß�

��ËHt;t��$w A6U�OER`OPSf�[R`R`OP�[S1O � M;sNJ¨�6SfH)��I�O§R`Ofe6RT�ZuQuQOP� H)JE « ¬ �o Øh¬�][��¬ ²} « `�]GE « 2�� ¬ �o ` ÇeDU�OP��S1O E « Ø �o º � ¬w�3� «o «ïn Ó � ó���¬ ²}en õU�ä � eLOwSTU Y¨Y JQOwu`U�OwJQOP½;��OP�[S1O��M} « �wJ Y u`U[H+u�} « � ²Ú�}Y R6OPH)SVU ¨ H)�[��u`U�Ow���'�b�[�ZuQOâ�[R Y �[�[S1u

Äï« Ó � ób��¬ ²}�n õ� Y OPJ§� Y uE�[�Z�)OfR`�)Oªu Y ¦fOfR Y u`U�OP� X ��\���� � E « 7 �ç H)��� X ��\ÊJ`���$E « � �ç s0@â�¨i�STU Y ��S1O Y)� } « X J§J`H+u`��J � i'������ �r�Va � �©�r��H)�[� � �����}� Y)� u`U�O X OP\�\�H � eDU[�©STU�H+R`OwS X OPH+R X iNS Y \���H+u`�ZI X O*� � � X � X�X J�u`U�OPJQO0R`OP½;�[�ZRTOP\�OP�?u`JPs �S+T l�t1ËHl�ü æ;w,� £´¦'Ò��`|QÞ+Ï��Ò1Ñ��~Ï8Q+Ñb£+ÎD¤.µ��1Ϥ�ÎZ£)  ¢Ï¤VÒ� À ¤V£+Ñ �TÒ  8ÿãQ�|̤�Q+ÎRQ+¡QÒTÞ¼ÏrÑÊ��µ[¤�¦¾£Uÿ"£+Ó® ¦'£) z£#�´ Û Ý  ¦�ÒdÕ�¡�QVÕ!Q+¡1 ¢Ï Q+ÑþQ��IÿB¦?Ï¢ =Ò�ÎZ£)  ¢Ï¤VÒdÕ/Q+ÏrÑ� }��Ï}Ñ® ¦'Ò�¤&µ[�VÒÍÿBÏ¢ ¦�¤VÒfÑ� =Ò1¡ �Ê£+Ñ�Þ°�~Ï¢Þ¨Ò�ÎZÒfÑo� ¦ ´ Þ�Q3Ò~�Ñ�Q) L =Ò1ÑbÞN ßQ�£NÎÐÏs�ªÏ¢ L£)Ñ�Þ

¸ �r´ ��Ø Ù �r´�� XZY � ´ � ç Å À � XZY � XZY � XZY � ´ � è Å À ���±�Ò1¡`Ò�¸ �r´ �kÏr�� ¦'Ò�Ñb£) 8µ'¡Ì£+ΧÒÒ½ =ÒfÑ��VÏ Q+Ñ  ßQ» ¦�Ò� 8ÿãQ�|Q¤$Q)Î{Q+¡`Ò`Þ¾Î�£)  ¢Ï¤VÒ�Q]�� ¦'Ò ¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×3Ï¢ ¢ÓÁ��µ'Ñ�¤P ¢Ï Q+Ñ@�.Q+¡yªÒ1ÎRQ+ÑbÒw�PÒf }�¶Q]�ùS�Ñ�Ï} =Ò� ¢ÓVÕ�Ò��

oKM

Page 27: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

��ËHt;t��$w @dJ�H ��R`O X ��\��©�[H+R`i)a X OfuO�M} « ��I�O�H�J`OP½¨��OP��S1O Y)� � Y J`�Zu`�Z�)O����¨uQOf�)OfRTJ�J`H+u`�©J � i'����� FÁOP\�\�HUM;s��eD�Zu`U ² ضo+ç Ç ñbÀ�a�H)��� X Ofu �+E « �wI�OEu`U�O0S Y R`RTOPJQ� Y �[�[�����ªJQOP½;��OP�[S1O Y)� R`OPH X �¨�[\zI�OfRTJfsäÖu���J�S Y �?�)OP���ZOP�?uLu Y R`Of�H+RT�Nu`U�OdS YXZY RV�����zH)J�u`� X �©���0¿ À eD�Zu`U�I X H)S`_�H)�[��eDU[�ZuQOd�[�[�Zu"Sf�[IbOPJ�S1OP�?uQOfRTOP�

H+u6u`U�Ow� Y �©�?u`J Y)� u`U�OwSf��I���S X H+uQu`��S1O)sW �ZRTJ`u�u`H+_)O�o+ç Ç Sf��I�OPJ Y)� JT����O o;aLOPH)STU S Y \�� Y JQOP� Y)� o#À¼���[�Zu�Sf��I�OPJ�H)�[�¾OPH)SVU�R`Of��R`OPJQOP�¨u`�����®H

�[��å�OfR`OP�¨u Y ��O Y)� u`U�O§o ç Ç � Y J`JT�ZI X O¥�)OfR`uQO1É�u%i¨��OPJ"H+u�u`U�ODS1OP�¨uQRTH X �)OfR`uQO1Éba'H)�[�NH+R`RTH)���)O6u`U[OP\ eD�Zu`U����ªu`U�OSf��I�O � Y)� J`�©��O X OP���)u`Uå � Øj} �%Å À� u`U[H+u X �ZOPJ����ªu`U[ODS Y RT��OfR Y)� u`U�OdJQOPS1u`� Y � Y)� ¿bÀkeDU�OfR`O6H X�X S Y;Y RT�[�©�[H+uQOPJH+R`OL� Y J`�Zu`�Z�)O)s9A6U[��J�SfH)��IbO¥� Y ��OLI�OPSfH)�[JQO�å � ��J�Of�)OP��H)�[� � å � R+o� À � o ç Ç aH)�[���Zu9��J�� Y JTJ`�ZI X O"u Y H+RTRTH)���)Ou`U[H+u¥H0eDU��ZuQOd�[���Zu"Sf��I�OD��J"� X H)S1OP�°H)� p H)S1OP�?u¥u Y u`U[O Y RT�������s W � X�X u`U�OâR`OP\�H)������OfR Y)� � eD�Zu`U�I X H)ST_��[�[�ZuSf��I�OPJfs�A6U[OE�[R Y � Y R`u`� Y � Y)� eDU[��uQO§Sf�[IbOPJD��� � �©J ² R+oe} � Ø�E � s�cdO1É'u6R`Of��OPH+u6u`U[��J�S Y ��JQuQRT�[S1u`� Y ��eD�Zu`US Y ���ZOPJ Y)� � ����� X H)S1O Y)� eDU[�ZuQOz�[�[�Zu6Sf��I�OPJfabS Y ���ZOPJ Y)� u`U�OzS YXZY R`±�R`Of�)OfRTJ`H X � Y)� � �©��� X H)S1O Y)� I X H)S`_�[�[��udSf��I�OPJâH)�[�9} ç ����� X H)S1O Y)� } � s§ADU�OzRTOPJ`� X uâ��Jâu`U[H+u§u`U�O�Sf�[IbO ç Y)� JT����O X OP���)u`U9å ç Ø � } � } ç � �%Å ÀH+uâu`U�O�S Y RV��OfR Y)� u`U�Ow� Y J`�Zu`���)OzJQOPS1u Y R Y)� ¿ À ��Jdu`� X OP� eD�Zu`U S Y ���ZOPJ Y)� � H)��� � ����J`�[SVU�HNeLH3i�H)Jdu Y���[S X �[��O0H X�Xâê �)OfR`uQO1É�u%i¨��OPJ ëNY)� u`U�OP\�a�u Y U[H3�)O�HN�[R Y � Y R`u`� Y �HE ç Y)� eDU[�ZuQO��[�[�ZudSf��I�OPJDH)�[��u Y U[HP�)O�HS Y �;i Y)� � H)� p H)S1OP�?u�u Y u`U[O Y RV�Z�����sBA6U[�©JLS Y ��JQuQRT�[S1u`� Y �kSfH)��I�O§�ZuQOfRTH+uQOP���©�[��O1���[��uQO X iªu Y ��Z�)OEHªu`� X �����Y)� u`U[OE� Y JT�Zu`�Z�)O§JQOPS1u Y R Y)� ¿bÀ�I¨iNI X H)ST_NH)�[�°eDU[��uQO§���[�Zu�Sf�[IbOPJ¥u`U�H+ufa �rY R�OPH)SVU ¨ a[SfH)��I�Oâ�[OPS Y \�� Y JQOP����¨u Y S Y ���ZOPJ Y)� « H)�[� « a�eDU�OfR`O « �©J�u`U�O0Sf��I�O Y)� J`����O X OP���)u`Uå « Ø � } � } ç ð.ð.ð } « � �%Å Àk���ku`U�O0S Y RV��OfRY)� u`U�O�JQOPS1u Y RPs W �©�[H X�X i�eLO�O1É'uQOP�[��u`U�O�u`� X �����°u Y u`U�O�eDU YX O Y)� ¿ À I;i�RTO r OPS1u`� Y �®��� u`U[O�S Y¨Y RT�����[H+uQOU¨i¨��OfR`� X H)��OPJfs�A6U�OE��R Y � Y R`u`� Y � Y)� eDU[�ZuQO0���[�Zu�Sf��I�OPJ6��� « ��JIE « a�H)�[��JT���[S1OEu`U[��JD� Y OPJd� Y u6uQOP�[��u Y HX ��\��Zu"u`U�OE��R Y � Y R`u`� Y � Y)� eDU��ZuQOE�[�[�Zu¥Sf��I�OPJ Y)� u`U�OEu`� X ���������kH X H+R`�)O0S1OP�¨uQRTH X Sf��I�O§� Y OPJ�� Y u�uQOP�[�ku Y HX ��\��ZufsA Y I Y �[�[� ¸ �r´ � �rY R0u`U[O�u`� X ������a X Ofu ¨ I�O�u`U�O�J`\�H X©X OPJQuE���¨uQOf�)OfR0eD�Zu`U�å « Âáo ´ sªADU�OP��a �}Y RwH)�?i

§ � � À ao­ � § Ç ´ �9�©J�S Y �?u`H)�©��OP������HzSf��I�O Y)� J`����O6o�å « \�H)��OD��� Y)� o À S Y ���ZOPJ Y)� Sf��I�OPJ Y)� u%i¨��OPJ « H)�[� « eD�Zu`U�H�S Y \�\ Y ���)OfR`uQO1É�sL�'����S1Oâu`U���J¥�)OfR`uQO1Éku=i;�bO Y SfSf��RTJ��©�kOf�)OfR`i°S Y �;i Y)� « ñ � H)��� « ñ � H+u6u`U�O��O1É'u X Of�)O X a�u`U�OfRTO���JEHk� Y ���?uâeD�Zu`U u`U[O�J`H)\�O ´ ±���H+u`SVU®H)J�§¹eD�Zu`U���� Of�)OfRTi�I�H X�X�Y)� RTH)�����[J§o � �6å « ñ � sâ i Y ��RDSTU Y ��S1O Y)� ¨ aDå « 2�� 7 o ´ a[J Y¸ �r´ �°� o � �6å « ñ � Ø o � � � } « } « ñ � � �%Å À å « 2��7 J � � � } « } « ñ � � �%Å À ´

Ø Ù �r´�� ¨ XZY � ¨ � XZY � XZY � ¨ � ç � ç Å À � Ç � M;s ��I;iNu`U�OERV�Z�U?u6U�H)�[������OP½;�[H X �Zu%i Y)� FÁOP\�\�HÁM;s�� � ���r�VsB@ X J Y I;iNu`U[O X O � u6U[H)�[������OP½;�[H X ��u=i Y)� FÁOP\�\�HÁM;s��� ���r�

XZY � å « 2�� � �� XZY � �Q� ¨ ¬Ê�3�<JÔ�B¬¼Ù � �3� � �� ¨ XZY � ¨ ¬¹Ù � ¨ �H)�[��U[OP�[S1O ¨ Ø Ù � XZY � ´ R XZY � X�Y � ´ �Å�� Y � M;s �����Z�)OPJ

¸ �r´ ��ØGÙ �r´�� XZY � ´ � ç Å À � X�Y � XZY � XZY � ´ � è Å À ��� �Ç t�Ë�tpä�äýxË � æ;w,� £´¦'Ò1¡`Ò�Òҽϩ�1 }�z£��»Ò1Ó?Òf¡E�fÒP Á«àÏ}Ñk¿ À ÿBÏ¢ ¦

¸ ³ �r´ �BØGÙ �r´�� XZY � ´ � ç Å À � XZY � XZY � XZY � ´ � è Å À �

 ¦;£) �Þ�Q*Ò~�wÑ�Q ù¦;£)×+ÒIµ'Ñ[Ï ��Q+¡��ßÕ�£) �¤�¦¶�~¡`Ò�Ì.µ�ÒfÑ�¤fÏ�Ò~�.�ol

Page 28: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

��ËHt;t��$w M6Of� X H)S1O0OPH)STU I X H)S`_ X H+uQu`�©S1O0� Y ���?u�§Ba����ku`U�OwS YXZY RV��������Z�)OP��I;i�A6U�O Y R`OP\ M;s o;a�I;iNu`U�Ow��H)�ZRY)� � Y ���?u`J�§�K � � Ç � Ç �.�.� Ç �3�3R+n;a X OPH3�;�©����u`U�O0edU[�ZuQO X H+uQu`��S1Ow� Y �©�?u`J6���[STU[H)�[�)OP��s�A6U[OER`OPJ`� X u6�©J6H � Ofi)OfRJQOfu§« ����eDU[��SVU�u`U�O Y RT������[H X edU[�ZuQOw� Y ���¨u`JâSfH)��I�Oª����OP�¨u`����OP� I¨i�u`U[OP�ZR � ��±���H+u`STU�OPJfs0@â��H+R`��[\�OP�¨uJ`��\�� X H+R6u Y u`U[H+u§H+udu`U�O�OP�[� Y)� u`U�O��[R Y;Y)�BY)� A6U�O Y R`OP\=M;s���J`U Y edJDu`U[H+uE� � u`U[�©J6��H+u`SVU�U�H)��H°�[�[� �}Y RT\� R`OP½¨�[OP�[S1i î ����« u`U�OP�Nu`U�O � R`OP½;��OP�[S1i Y)� �Zu`J Y SfSf��R`RTOP�[S1Od����u`U�OdSf��I�O6ed�Zu`U�S1OP�¨uQOfR��°H)�[�NJ`����O X OP���)u`U´ e Y � X �¹uQOP�[�¹u YÌî H)J ´éÛ Ý s��'���[S1O°u`U[��J��©J�� Y u�u`U�O�SfH)JQO)a¥«Í� Y OPJ�� Y u�U[H3�)O �[�[� �rY RT\ ��H+u`SVU� R`OP½¨�[OP�[Sf�ZOPJfsD@ X J Y ¸ ³ �r´ �ê�¶¸ �r´ º � � R+n�VabedU�OfR`Owu`U[O � �[�[S1u`� Y � Y � u`U[OzRT���U?uâ��JDu`U[OwR`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu%i� �[�[S1u`� Y � Y)� u`U�OEu%e Y ±=S YXZY RTOP� X H+uQu`�©S1O Y)� A6U�O Y R`OP\ M;s o;s �zOl�üÌýxË�{�LKw A6U�O �}YX�XZY eD������u`U�R`OfO0RTOP\�H+R`_'J6S X H+RT� � iNJ Y \�O � OPH+u`��R`OPJ Y)� A6U�O Y RTOP\ M;s o�H)�[����u`J��[R Y;Y)� s�+s�A6U�OfRTOªH+RTO����[�;�[\�OfRTH+I X Owe¥HPi'J Y)� S Y �[�©���Nu`U[O�u=e Y S YXZY RTJEI;i � X H)S1OP\�OP�¨u Y)� � Y ���¨u`Jfsz]�OfRTU�H+��J

Hk\ Y R`OªO X Of�H)�¨u Y ��Oª��J§J`��\�� X i°u Y uQRVH)�[J X H+uQOªH X�X u`U�OªI X H)ST_�� Y ���?u`JâI;i � � Ç � Ç �.�.� Ç �3�3R+o;aÁI���uâu`U�O p �[JQu`��±��SfH+u`� Y � Y)� u`U[��J§RTOP½¨�[��R`OPJ§S Y �[J`����OfRVH+u`� Y � Y)� å � � �b±���H+u`STU[OPJfa��©�[JQuQOPH)� Y)� � ��±���H+u`STU�OPJPa�I�OPSfH)�[JQO Y)� u`U�O��\�� Y J`JT�ZI�� X ��u=i Y)� ����JQu`���������J`U[���[�0I�Ofu=eLOfOP��I X H)ST_�H)�[�keDU[�ZuQOE� Y ���¨u`J�H+uDJ`\�H X�X OfR6J`SfH X OPJPso;s A6U�ONO1É;� Y ��OP�¨u Y)�dXZY � ´ ���»ADU�O Y R`OP\�M;s o���Jzo�R�� ���[JQuQOPH)� Y)� �MR�� I�OPSfH)�[JQO°R Y �[�[�[�©����O1å�OPS1u`J

Y I X ���)Oâ�[J¥OPJTJQOP�?u`�©H X�X i�u Y ��OPH X ed�Zu`UNSf�[IbOPJ�H+u X Of�)O X J��[��å�OfRT�����zI¨ikoª���?uQOPH)� Y)� H+u6H)� p H)S1OP�?u X Of�)O X J Y � X i)sC§��O�\��Z�U¨uDu`U[�©��_�a�u`U�OfR`O �}Y R`O)a�u`U[H+udu`U[OwR`OPJ`� X u Y)� � Y R YX�X H+R`iWM;s o�e Y � X � U YX � eD�Zu`U�H)� O1É'� Y ��OP�?uª�MR����� � X H)S1O Y)� o�R��Bs°A6U[��JE�©JE� Y uwJ Y a9U Y eLOf�)OfRPa�I�OPSfH)�[JQO�A6U[O Y R`OP\Ú�;s n�SfH)�»OPH)J`� X i�I�O�JQuQR`OP���)u`U�OP�[OP��u YJ`U Y e u`U[H+uEOf�)OfR`i � O XZY ��O�J`Ofu0« eD��u`U�¸ ³ �r´ �dØ Ù �r´�� XZY � ´ XZY � XZY � ´ � �%Å À'�§U�H)JEH��[�[� �}Y RT\­HP�)OfRTH+�)O�}Y R�Of�)OfR`i X�Y SfH X e�OP�Z�U¨u¥�[��JQuQRT��I���u`� Y ��s�A6U�O6O1É'� Y ��OP�?u°JIR�� Y)�ÁXZY � XZY � XZY � ´ SfH)��a Y)� S Y ��RTJ`O)a¨I�ODRTOP�[�[S1OP�u Y � oDº_[V�3R�� �}Y RDH)�¨i�[ � j'sn;sªA6U�Oª���[��OfREH)�[� XZY eLOfR � R`OP½;��OP�[Sf�ZOPJ Y)� edU[�ZuQO X H+uQu`��S1Oª� Y ���¨u`Jâ�©��Sf�[IbOPJâeD��u`U�S1OP�¨uQOfRÍ�®H+R`O�� Y u

XZY SfH X ��J Y \ Y RT��U[��J`\ ���¨�#H+RV��H)�?u`JPs W[Y RDO1É�H)\�� X O)a[� � ���ku`U�OE�[R Y;Y)��Y)� A6U�O Y RTOP\¬M;s oªe�OEO1É'uQOP�[� Y �[R�u`� X �����Y)� u`U�O°� Y J`�Zu`�Z�)O°JQOPS1u Y R��[J`�©����S YXZY R`±�R`Of�)OfRTJ`���[��R`O r OPS1u`� Y �[J����»u`U[O°S Y;Y RT�[����H+uQO°U¨i¨��OfR`� X H)��OPJ0u`U[OP�»eLOY I[u`H)���kH�S YXZY RV����� Y)� ��À X�Y SfH X�X i���J Y \ Y R`��U[��S6u Y u`U[O§S YX�Y RT���������Nu`U�OEu`U�O Y R`OP\ u`U�H+u6U[H)J¥Hª�[R Y � Y R`u`� Y ��MR+o Y)� eDU[��uQOEu`� X OPJ�����H X�X I Y É;OPJdS1OP�?uQOfR`OP��H+u6u`U�O Y RV�Z�����sM : � �[��������)�����¹�9��������"�h��E���N�����&���+� ¤ ���A6U[OkH)����R`OPJ`J�\�H+� ���?uQR Y �[��S1OP�¼�©� Eão)�HG6�[R Y �;���[OPJ�H»\�OPH)J`��R`O Y)� u`U�O�R`Of�� X H+RT�Zu=i Y)� J`uQRT�[S1u`��R`O Y)�

���[��uQO X i��)OP��OfRVH+uQOP� � O XZY ��OwJ`Ofu`J�«»s

kmlonBp�qsr�qt�p��Lw8u1w FÁOfuB«ÄI�OLHâ�����ZuQO X i0�)OP��OfRVH+uQOP� � O XZY ��O6JQOfu����ª¿ À a?H)�[�ªJ`���[� Y JQOLu`U[H+uBu`U�O6H)���[�Zu`�Z�)O�)R Y ���¡E «@G"�)OP��OfRTH+uQOP�»I¨i�« �©��¿bÀ¹��J Y)� ���[�ZuQOªRTH)��_9å°Â��Bs�@â�Ê£ÞÞ+¡`Ò~�V�²��£VÕ �Ð}BE «@G Û � � ��JEH)���J Y \ Y R`��U[��JT\ Y I[u`H)���[OP�NI;i�����S`_'������H��[É;OP�°I�H)JT��J��¼� � Ç �.�.� Ç � � � Y)� E «WG�sã�"�)OfR`i� � E «WG�U[H)J�Hª�[�[�©½¨��O��OPS Y \�� Y J`��u`� Y ��� Ø�� � � � º ð.ð.ð º�� � � � a�eD�Zu`U�H X�X �(5 � ��aH)�[�� � ����}ÔØ � � � Ç � ç Ç �.�.� Ç � � � � � l¨s��3�

��J¥u`U�OzH)�[��R`OPJ`J�\�H+� H)J`J Y Sf��H+uQOP��u Y u`U[��J�I�H)JT��Jfs@â�[��R`OPJTJN\�H+��J�eD��u`U��[��å�OfR`OP�¨u�I�H)J`OPJ°����åbOfRNI¨i \z� X u`�Z� X ��SfH+u`� Y � Y � u`U[O X O � uNI;iÊH)� O X OP\�OP�¨u Y)�O & � å Ç �L�Vsh@â�¶H)�[��R`OPJTJ�\�H+�G��J X ���[OPH+R Y � E «WG�a§eDU[��SVU u=i;����SfH X�X i���J���OP�[J`O®��� ¿�À�aâI���u�� Y OPJ�� Y u

�)OP��OfRTH X©X iNO1É'uQOP�[��u Y H X ����OPH+R � �[�[S1u`� Y � Y ��¿bÀ�säÌ� u`U���JDJQOPS1u`� Y ��eLOªJ`U Y ehu`U[H+uâu`U�OzH)����R`OPJ`Jâ\�H+��J Y)� ��OP�[J`O X ikR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OzH)��� X ���[OPH+R X i°R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O

JQOfu`JdJ`H+u`��J � i � �+s��3l)�6H)�[� � �+s��&¢�6R`OPJQ��OPS1u`�Z�)O X i)s

oK¢

Page 29: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

S+T l�t1ËHl�ü ��w u.l Òf ;« �TÒ�£�yªÒ1ÎRQ+ÑbÒL�fÒf ^Q��1S�Ñ[Ï¢ =Ò¥ ¢ÓVÕ�Ò�ÿBÏ} ¦Å� � « £)Ñ�Þ¥RTH)��_ � « �"Ø RTH)��_ � «¹¬d«���Ø.å��i Ï{½»£+ÑÊ£ÞÞ+¡`Ò~�V�O��£VÕ���}°E «@G Û � � � U �0« Ïr�°Ò1Ï¢ ¦'Òf¡�ÎÐÏrÑbÒT£+¡~ÎÔÓ ¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×+ÒmQ)¡°Þ?ÒfÑ��fÒfÎÔÓ�¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ï}×+Ò �E ¦'ÒfÑ ¦'Òf¡QÒ�Ïr�w£NÎÔÏ}ÑbÒ`£)¡ã��µ;Ñb¤P ¢Ï Q+Ñ­&Ð}¿ À Û ¿,�N��µ[¤�¦� ¦;£) 

·R· � � §��9¬$& � §��.·R·?Ø.- � ·R· §°·R·ã� Ç �.Q+¡�§ � « � � l¨s o�U Ñ� ¦�Òw¤V£#�fÒw ¦;£) �« Ïr�âÎÐÏrÑ�Ò`£+¡~ÎÔÓ�¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ïr×)Ò0 ¦�ÒzÒf¡V¡�Q+¡0 =Ò1¡�� ¤T£)Ñ �TÒ0Ï�DÕb¡]Q+×)Ò`ÞN ßQ�Ù � ·R· §°·R· �32�4 ���!�.Q+¡â��QK��Ò/EØ./ � « � � jx�zOl�üÌýxË�{Bw ADU�O X ����OPH+R � �[��S1u`� Y �& Y)� u`U[��Jâu`U�O Y R`OP\ ��J§�[����½¨�[O X i���OfuQOfRT\����[OP� I;i�«»aÁJT���[S1Oª� � & a ��JH)� Y u`U�OfRâJ`�[SVU X ����OPH+R � �[�[S1u`� Y �ku`U[OP�

·R· & � §��9¬$& a � §��.·R·?Ø%- � ·R· §°·R·ã� �rY R�§ � « Ç � l¨s n���Z�'�����'&��.& a J`����S1OE« ��J�RTO X H+u`�Z�)O X i°��OP�[JQO)s��ËHt;t��$w µ�O���OfRT�Z�)O�& � R Y \·u`U�OkH)�[��RTOPJ`Jz\�H+�ã�ÊI¨i�H X �©\��Zu`��������R Y S1OPJTJfs �E�Z�)OP� r¤� ¿bÀ X OfuͧãE r G��OP� Y uQOzJ Y \�O0� Y ���¨u����k« ed�Zu`U

·R· §ãE r G�¬ r ·R·�� È � � l¨sNJ¨��'����S1O0u`U�OfR`O�H+R`O0�����ZuQO X ik\�H)�?i�� Y ���¨u`J Y)� «¯eD�Zu`U�����H�RTH)�����[J È Y)�`r �ZuD�©JDS X OPH+R X i°� Y J`JT�ZI X O§u Y H)� Y �[uH�S Y �¨�)OP�?u`� Y � �rY R0��OPSf�©�[������a���� H X�X Sf�ZRTSf�[\�JQu`H)�[S1OPJfa�eDU���STU Y ��Oªu Y ����ST_�aÁJ Y RTOPJ YX �'�����°u`U�O�H)\wI��Z��[�Zu%iY)� u`U[��JE��O1�����Zu`� Y ��s�@ X uQOfRV�[H+u`�Z�)O X i)aÁeLO�S Y � X ��� Y uQO�u`U[H+u0u`U�O�O1å�OPS1u`J Y)� �[��å�OfR`OP�¨u0STU Y ��S1OPJwH+R`O�H X e¥HPi'JH+I�J Y RTIbOP�kI;i°u`U�O0OfR`R Y RDuQOfRT\�Jfsµ�O�J`U[H X�X ��O1���[O6&�H)JDH ê JT\ Y¨Y u`U������ ë�Y)� �6P°§®I;i

& � À��¨}ÔØ X ��\ø Ã�Ä �ò � � §ãE ò À;G}� � l¨s ��

�}Y R+À � ¿bÀ�s�äÖ�¹J`U Y eD���[��u`U[H+uªu`U[�©J X �©\��Zu0O1É���JQu`J��Zuª��J�S Y �?�)OP���ZOP�?u�u Y �[R Y �)O�H JQuQR Y ���)OfR��[��� �rY RV\ X iuQRTH)�[J X H+u`� Y �����¨�#H+RV��H)�?u�RTOPJ`� X ufa��[H)\�O X iNu`U[H+uDu`U�O X ��\��Zu

& � À���Ø X ��\ø Ã�Ä �ò � � r ÇÛò Àkº r � � l¨sÎM�O1É���JQu`Jfa �}Y R6OPH)STUÀ � ¿�À�a[�[�[� �rY RT\ X i �}Y R r�� ¿bÀ�H)�[����J6������Of��OP�[��OP�¨u Y)�Br a�eDU[OfR`O� � r � Ç r ç �BØ.� � §ãE r ç G}��¬�� � §ãE r � G}�Å�R`Of�[RTOPJQOP�?u`J§u`U[Oª����JQ� X H)S1OP\�OP�?u§��� H)�[��R`OPJTJâJ`��H)S1O��[��O�u Y uQRTHP�)OfRTJT������Hk��H+u`U � R Y \ r � u Y®r ç ��� Y I p OPS1uJQ��H)S1O)s � � Y � l¨s ��"��J�u`U�O ê S1OP�¨uQOfR`OP� ë SfH)JQO r ØF�b�VsBä%uL��J"J`�/ÆNSf�ZOP�¨u"u Y �[R Y �)Oâu`U[H+u�u`U�O X ��\��Zu � l¨sÎM�"O1É'�©JQu`JeDU�OP��À I�O XZY ���J0u Y u`U�O°JQu`H)�[�[H+RT�®I�H)J`��J�� l � Ç �.�.� Ç l À � Y)� ¿ À JT���[S1O�� � À Ø ü À « Ó ��Q « l « H)�[�»e�ON����uÀ(5B}ÔØ ü À « Óp5 Q « l « u`U[OP� � � r ÇÛò À�º r �BØ ÀÒ5�Ó � � � ò À(5 ñ � º r ÇÛò Q 5 l 5�º ò À(5 ñ � º r �D� � l¨sÔl)�

��Y R`O Y �)OfRPa�� � e�OwSfH)��J`U Y e u`U[H+u�ò � � r ÇÛò l 5 º r �BØ.& � l 5 �Áº�Ù � ò 2�4 � � l¨s΢�

o)m

Page 30: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

�[�[� �rY RT\ X i ��� r u`U�OP�®eLO Y I[u`H)�©� � l¨s o�0eD�Zu`U�OfR`R Y RwuQOfRT\¯Ù � ·R· §°·R· �32�4 �§I;i u`H+_;���[�\À Øå§Ba r Ø �¼H)�[�ò Øß�0��� � l¨sÔl)�VsA6U[OE�[R Y;Y)��Y)� � l¨sÎM����J����ku%e Y JQu`H+�)OPJfs"äÌ�ku`U�OE��RTJQu�JQu`H+�)O0eLO0R`Of� X H)S1OEu`U�O0J`����� X Oâ��H+u`U�I¨ikHªI��[��STU

Y)� ��H+RTH X�X O X¥ê J`H)\�� X O§��H+u`U[J ë � X�X �����zH�I Y ÉkH)�[���[JQOEA6U[O Y R`OP\�J6�;s��EH)�[���;s o�u Y �[R Y �)OEu`U�OEO1É���JQuQOP�[S1O Y)�H)�®H3�)OfRTH+�)Ok�[R Y � Y R`u`� Y �[H X �[�©JQ� X H)S1OP\�OP�¨u0����H)�[�[R`OPJ`J0JQ��H)S1O)s�äÌ��u`U�O�JQOPS Y ���®JQu`H+�)O�eLO�H+�[� X i�u`U���J§u YH���H+R`R Y ehI Y É H)�[���[JQOzu`U�OzF��Z��J`SVU[�ZuQ¦0�[R Y �bOfRTu=iku Y JTU Y e u`U[H+udu`U[OzHP�)OfRVH+�)O��[��JQ� X H)S1OP\�OP�?ud��JDH�� Y¨Y �H+�[�[R Y É���\�H+u`� Y �ku Y u`U[OwH)S1u`�[H X ����JQ� X H)S1OP\�OP�?u��[��OEu Y uQRTHP�)OfRTJT������H�J`�©��� X O§��H+u`U�sW�Y Rdu`U�OE��RVJQu�JQu`H+�)O)a X Ofu

­ Ø�� �SR � Ç R ç Ç �.�.� Ç R À ��}�} « � R « ��� « � ¨ Øß� Ç �.�.� Ç ���$�§ØzE }I5 Ç ��5GUTW­ t 5 vI�O0HªI Y É�����¿bÀ�a�edU�OfR`O�­ t 5 v �©J¥u`U�O � ��¬��3�=±=�[�©\�OP�[J`� Y ��H X I Y É

­ t 5 v Ø�� �SR � Ç �.�.� R 5 2�� Ç R 5 ñ � Ç �.�.� Ç R À �Ì}�} « � R « ��� « � ¨ Øá� Ç �.�.� Ç Î�¬�� Ç ÎÁº � Ç �.�.�$���$� ÇX Ofu O t 5 v Øv­ t 5 v «\��À 2�� I�Owu`U�O��)RT��� Y)� � Y ���¨u`J Y)� u`U�O � ��¬ �3�=±=�[�©\�OP�[J`� Y ��H X ���¨uQOf�)OfR X H+uQu`��S1O�u`U[H+uEH+R`O���m­ t 5 v H)�[� X Ofu < 5 ax� 5 IbO§u`U�Oz���?uQOf�)OfRd��H+R`u`J Y)� } 5 H)���f� 5 sBµ�O�U[HP�)O

· O t 5 v · Ø � YX À 2�� � ­ t 5 v ��ºÊÙ � ë � ­ t 5 v �Q�Ø � YX À � ­��� 5 ¬$} 5 ][�LºÊÙê] �ì � ­�� `?` Ç � l¨s m�

eDU�OfRTO · O t 5 v ·;��J�u`U�O0SfH+RT�����[H X �Zu%i Y)� O t 5 v s � O1����O� 5 � ­��BØ ÒV µXWZY\[^] � �T��< 5 Ç`_ � Ç � �(5 Ç`_ �Q� � l¨s��fj?�

eD�Zu`UÊu`U�O S Y �¨�)OP�?u`� Y � u`U[H+u�edU�OP� _ ��J Y ��u`U�O�I Y �[�[�[H+RTi Y)� ­ t 5 v u`U�O uQOfRT\ �}Y R _ ��J�u Y I�O�u`H+_)OP�eD�Zu`U H)� H+�[�[R Y �[RT��H+uQOEeLOP�Z�U¨u�A �ç eDU�OP� _ �©J Y � H)� � ��¬�o�=±=�[��\�OP�[J`� Y �[H XÁ� H)S1O)a �è eDU�OP� �ZuD��J Y ��H)�� �w¬�n�=±=�[��\�OP�[J`� Y �[H X[� H)S1O)a'H)�[��J YwY ��sBA6U�OdJ`�[\ � 5 � ­���R`Of��R`OPJQOP�¨u`J"u`U�OdJ`�[\ Y)� u`U�Oâ�[��JQ� X H)S1OP\�OP�¨u`J����H)�[��RTOPJ`J"JQ��H)S1Od�[��Odu Y uQRTH3�)OfRTJ`���[��Hz�¨�[\zI�OfR Y)� ��H+u`U�J"��� Y I p OPS1u¥JQ��H)S1Od��H+RTH X�X O X u YÍl 5Ös9ADU�ODOP�[�[� Y �©�?u`JY)� u`U�OPJ`Oâ��H+u`U[J¥H+R`O§� Y �©�?u`J Y)� u`U�OE���¨uQOf�)OfR X H+uQu`��S1O)�BÀES XZY JQO§u Y u`U�O � H)S1OPJ Y)� ­ u`U[H+u¥H+R`O§��OfR`��OP�[�[��Sf� X H+Ru Y®l 5ÖsDäÖuâ�©J6R`OPH)�[� X i�JQOfOP� u`U�H+u � 5���JdH XZY SfH X eLOP�Z�U¨uâ�[�©JQuQRT�ZI��[u`� Y � Y � «�sâ]9H+R`u � H?� Y)�"� O1���[�Zu`� Y ���;s o��J�H�S Y �[J`OP½¨��OP��S1O Y)� u`U[O0F��Z��JTSTU[�ZuQ¦â�[R Y ��OfR`u%i Y)� ��H)�[� Y ��R�OPJQu`�©\�H+uQO �rY R�· O t 5 v ·Ôs"]9H+R`u � S3�¥��J�J`H+u`�©JÌ��OP�eD�Zu`U Y ��u¥u`U�OEOfR`R Y R�uQOfRT\ � eDU�OP�ku`U�OEeLOP�Z�U¨u`J6H)J`J`�Z��[OP�ku Y uQOfRT\�J6�©�Nu`U[O0J`�[\ �}Y R � 5 � ­��LH+RV��J`����� � R Y \� Y ���¨u`J Y �°u`U�OâI Y �[�[�[H+R`i Y)� ­ t 5 v H+R`Odu`H+_)OP���©�?u Y H)SfS Y �[�¨uV�Vs"A6U�OâOfR`R Y R����N��H+R`u � Ib�"��JL�[��Oâu Y u`U[O � H)S1uu`U[H+ufa�H X u`U Y �[�U@§ãE � � Ç`_ �gG X �ZOPJDeD�Zu`U[�©��H�RVH)�[���[J È Y)� � � Ç`_ �Va�eDU[��SVU�� Y ���¨u Y)� « �Zuâ��JD\�HPi ��Of��OP�[� Y ���OPH+R`I;i°� Y �©�?u`J Y)� « Y ��u`J`����O�­°s�äÌ�k�;��Ofe Y)� u`U[OwF��Z��J`STU[��uQ¦§S Y ���[�Zu`� Y ��a'u`U�Owu Y u`H X OfR`R Y Rd��J

Ù � · O t 5 v ·ã�BØGÙ � � YX À 2�� � ­ t 5 v �Q��ØGÙ � ë � ­��Q�Å�c Y e ADU�O Y R`OP\�JD�;s��wH)�[� �;s o�OP��J`��R`O§u`U�O0O1É���JQuQOP��S1O Y)� H X ��\��Zu`�©���w�+H X ��O6& � l 5=�LJ`�[SVU�u`U[H+u� 5 � ­��

� YX À � ­��Øj& � l 5��ºã[ � ­�� � l¨s��)�3�

eD�Zu`U[ � ­�� Û j�H)J�ì � ­�� Û Ý �©��I Y u`U�u`U�O X ����OPH+R X i°H)�[����OP�[JQO X iNR`Of��Ofu`�Zu`���)OwSfH)JQOPJfs6äÌ��u`U�O X ����OPH+R X iR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O0SfH)J`O"[ � ­���Ø Ù � ì � ­�� 2�4 ì �Va[eDU�OfR`O�/ � �©J¥u`U�O"/ Y)� ADU�O Y R`OP\ �;s��+s

n+j

Page 31: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

A6U[OdJQOPS Y �[�kJQu`H+�)O Y)� u`U[Od�[R Y¨Y)� ��J"u Y �[JQODu`U���J�H3�)OfRTH+�)OE�+H X ��O Y)� � 5Áu Y OPJQu`��\�H+uQO)� � r ÇÛò l 5)º r � �}Y RH�J`H)\�� X O§��H+u`U�I;i�H+�[� X i'�����ª�Zu�u Y u`U�OEI Y Ém­ ��O1�b��OP�kI¨i

E } « Ç � « GbØba E R 5 Ç R 5 º ò G �}Y R ¨ Ø%Î`aE R « ¬ �ç � ò�Ç R « º �ç � ò G �}Y R ¨@cØ%Î`a

eDU�OfRTO R � l � º ð.ð.ð º R À l À Ø r s â i°u`U�O0F��Z��J`SVU[�ZuQ¦â�[R Y ��OfR`u=i � �+s��P��¥Of�)OfR`i°uQOfRT\ Y ��u`U�O§RT���U?u Y)� � l¨s��fj?���J � � r ÇÛò l 5[º r �Áº¾Ù � � ò � �� Y � l¨s��fj?�DH)�[� � l¨s m����Z�)O � 5 � ­��"Ø ò t À 2��wvrÅ ç � � r ÇÛò l 5�º r ��ºÊÙ � ò À Å ç �H)�[��I;i � l¨s��)�3� � � r ÇÛò l 5�º r �ò Øj& � l 5 �Áºã[ � ­���ºÊÙ � ò 2��%Å ç � ÇeD�Zu`U6[ � ­�� Û j6H)J ò Û Ý �©�EI Y u`UEu`U�O X ���[OPH+R X idH)���0��OP�[JQO X iDR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O�SfH)J`OPJ�H)�[�"[ � ­��BØ Ù � ò 2�4 ì Å ç3�����u`U[O X ����OPH+R X iwR`Of��Ofu`�Zu`���)O6SfH)JQO)s"A6U[�©J9OPJQu`H+I X ��JTU�OPJBu`U�O6O1É���JQuQOP��S1O Y)� u`U�O X �©\��Zu � l¨sÎM���©��I Y u`U�SfH)JQOPJ¥H)�[���Z�)OPJDu`U�OEOPJQu`��\�H+uQO � l¨s΢�6���ku`U[O X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O0SfH)JQOweD�Zu`Uf/EØ./ � R+o;s �A6U[O �rYX�X�Y eD���[��O1É�H)\�� X O0J`U Y edJ�u`U[H+u �}Y R X ���[OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`���)O0JQOfu`J6« u`U�O0I Y �[�[�# � � §��9¬$& � §�� # Ø Ù �1# § # �32�4 �

��Z�)OP���©��A6U�O Y R`OP\ l¨s��0SfH)�[� Y u6I�O0\�H)�[O0J`\�H X�X OfR�u`U�H)��H�� Y eLOfR Y)� # § # sd § ý1ü � äl*��w uxw £´¦'Ò1¡`Ò�Ïr��£°ÎÐÏrÑbÒT£+¡~ÎÔÓk¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×+ÒIy�ÒfÎ{Q)ÑbÒz�fÒP �« ÏrÑ�¿bÀÐÿB¦¨Ï¢¤.¦W¦;£#�ª ¦'ÒDÕ�¡�QVÕ�Òf¡~ ¢Ó  ¦'£)  ¦'Òf¡QÒ�Ïr�w£k¤$Q+Ñ��1 �£+Ñ�  /0Ø./ � « ��7G�°£)Ñ�Þk£��PÒ�Ì&µ[ÒfÑ�¤VÒ¶�&§(5e� í « ÿBÏ¢ ¦�·R· §(5Ò·R· Û�Ý �B��µ�¤.¦� ¦;£) 

·R· � � §(5%��¬*& � §(5��.·R· � ·R· §(5$·R· �32�4 � � l¨s��Po�

��ËHt;t��$w �'�[SVU�HEJQOfu�«Ä�©JBS Y �[JQuQRT�[S1uQOP��H)J"HEJQOfu Y)� S Y �?uQR YX � Y ���¨u`J Y)� HEJQO X�� ±=J`�©\�� X H+R�u`� X ���[�du`U[H+u�U�H)J�H)�O1É'��H)�[J`� Y ��S Y ��JQu`H)�?ufe eDU���STU��©JB� Y u"H0]���J Y u Y R¥��H X OP\ �;�[\wI�OfRPa¨JQOfO�¿EOP�¨i Y �¤Eão)oHG�sBA6U[ODJQOfu Y)� S Y �?uQR YX� Y ���¨u`J Y)� H)�?i�JQO X�� ±=J`�©\�� X H+R9u`� X �©���0��J�H X ����OPH+R X iwR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O6J`Ofufa;H)SfS Y RT�������0u Y H0R`OPJ`� X u Y)� � YXZY \ziH+_@ENMl;aFÁOP\�\�H�o;s n�G�s�ADU�O � H)S1udu`U[H+u6u`U�OwO1É;��H)��J`� Y ��S Y �[JQu`H)�¨u4e¼U[H)J6H)��H X �)OfI[RTH)��SES Y � p ���H+uQOzeD�Zu`U�H+I�J YX ��uQO�+H X ��O � �¥�[R Y �[��S1OPJ9�[R Y ��OfR`u=i � l¨s��Po�Vs�äÖu �rYX©XZY eDJ9u`U�H+u"J`�[SVU�H0JQOfuB« SfH)�[� Y u�I�O�H � Ofi)OfR�JQOfufa¨I�OPSfH)�[JQO� l¨s��Po�6�;� YX H+uQOPJ�u`U�O � Ofi)OfRdJQOfudS Y �[�[�Zu`� Y � � �+s��&M�Vsæ�gB:¥è �=�����b& � �[��������)������P(ihB ®�kj6&��$;�)�=��� ����� ¤ �B�����0�9����äÌ�»u`U���JwJQOPS1u`� Y ��eLOkJQu`�[��i X �©��OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O � O X�Y ��O°J`Ofu`Jfa�H)�[�¼S Y �[J`����OfR�u`U�OP\·H)Jª\ Y �[O X J �}Y R

ê ��OfR � OPS1u X i Y RV��OfR`OP��½;�[H)J`��S1RTi;JQu`H X Jfs ëµ�ONIbOf��©��I¨i�JQu`H+u`�©��� H�u`U�O Y RTOP\Ú�[R Y �)OP�»�©�¡Eãol�G�a�eDU[��SVU�J`U Y edJ0u`U[H+u X ����OPH+RER`Of��Ofu`�Zu`���;�Zu%i��©JEu`U�O

J XZY e�OPJ`u°� Y J`JT�ZI X O��)R Y e6u`U RTH+uQO Y)� ¸ ³ �r´ � �rY R�H)�¨iÊuQRTH)�[J X H+u`� Y �'±=\��©�[��\�H X JQOfuk« u`U[H+uk��J°� Y u � � X©X i��OfRT� Y �[��S+s

n'�

Page 32: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

S+T l�t1ËHl�ü �;w u.l Òf 9« �TÒ�£k¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ï}×+Ò¶yªÒfÎ{Q+Ñ�Ò��fÒP ¥ÏrÑ�¿ À � U �zÏ} }��¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ïr×*Ï} ¢Ó���µ'Ñ�¤P ¢Ï Q+Ñ ¸ ³ �r´ �w�1£) 8|Ïr�sSLÒ1�

¸ ³ �r´ � 7 �n ´ � ¢;s��3��.Q+¡z£��VÏ}Ño�)Î�Òz×#£)Î µ�ÒÍQ]� ´ � j³�� ¦'Ò1Ñk«àÏr�z£+Ñ Ï¢Þ¨Ò`£+Î9¤f¡~Ó*�1 �£+ÎR�A6U���J6R`OPJT� X uD��\�� X �ZOPJ�u`U�H+uE� Y � p OPS1u`��RTOPJ��+s o+HkH)�[�¼�+s o#I�H+R`O�OP½¨�[���#H X OP�¨ufa�H)J �}YX�XZY eDJfsâ@d�¨i X ����OPH+R X i

R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OEJQOfu�«·���k¿bÀ�U[H)J ²z³ �r´ ��Ø Ù �r´ À'�"I¨ikA6U�O Y RTOP\ J�s��+s¥� Y � p OPS1u`��R`O��+s o+H�H)JTJQOfR`u`J�u`U[H+u�«·��J��OP�[J`O X i�R`Of��Ofu`�Zu`���)O)a�eDU[��SVUk��Z�)OPJ

¸ ³ �r´ � À 7�à ²w³ �r´ � �}Y R ´ � ´ ¾ Ç � ¢;s o�eD�Zu`U�J Y \�O�� Y J`�Zu`�Z�)OwÃ#s � �[�[OfRDu`U�OªH)J`J`�[\��[u`� Y ��u`U�H+ud« ��JâH+��OfRT� Y �[��SEA6U�O Y RTOP\ ¢;s��z��Z�)OPJâu`U�O X ����OPH+RXZY e�OfRNI Y ���[�¾¸ ³ �r´ � � ´ R+n;a6H)�[� � ¢;s o�ªi'�ZO X �[J ²w³ �r´ � � Ã�à ´ À �rY R ´ � ´ ¾ aLedU[��STU¾�©JN� Y � p OPS~±u`��R`O��+s o#IÁs�äÖ��u`U�O Y u`U�OfR��[�ZR`OPS1u`� Y �Áa�� � � Y � p OPS1u`�[R`O��+s o#I¾U YX ��Jfa9u`U�OP��H)�¼H+��OfRT� Y �[��S X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu̱�Zu`�Z�)OkJQOfuªU[H)J ²w³ �r´ � � Ã�à ´ À �}Y R ´ � ´ ¾ a�H)�[� X ����OPH+RzR`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu=i�u`U[OP������)OPJ�¸ ³ �r´ �7 à � ´ 7à ç � ² ³ �r´ �Q� �%Å Àba[J Y «¯��J���OP�[J`O X i�R`Of��Ofu`�Zu`���)O)a[eDU[��SVU���JD� Y � p OPS1u`��R`O��+s o+H'sµ�O��[O1É;u§OPJQu`H+I X ��J`U J Y \�O�O1É���JQuQOP�[S1O�RTOPJ`� X u`J �}Y R X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O�JQOfu`Jfs�µ�O�S Y �[JQuQRT��S1u0H X H+R`�)OS X H)J`J Y)� J`��STUÊJQOfu`J����¹u`U�O Y ��O1±=�[�©\�OP�[J`� Y ��H X SfH)J`O)aL����)OP�Ê���¾A6U�O Y RTOP\ ¢;s o I�O XZY e0s¹äÖu�JQOfOP\�J�\z�[SVUU[H+RT�[OfR"u Y S Y �[JQuQRT�[S1u X ����OPH+R X izRTOf�bOfu`��u`�Z�)ODJQOfu`JL��������\�OP�[J`� Y �[JB�� owu`U[H+u�H+R`O§�ZR`RTOP�[�[Sf�ZI X OL����u`U�OdJ`OP�[JQOY)� � Y udI�OP�����°H°�[R Y �[�[S1u Y)�"XZY eLOfRQ±=�[�©\�OP�[J`� Y ��H X�X �©��OPH+R X ikR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)OªJQOfu`Jfs0ADU�OfR`Oª� Y O1É'��J`uâ� Y �¨uQRT�Z�'��H XO1É�H)\�� X OPJ Y)��X ����OPH+R X iªR`Of��Ofu`�Zu`���)OâJQOfu`J��©�°H X©X �[�©\�OP�[J`� Y ��Jù�� o;a�I�H)J`OP� Y ��J`O XZ� ±=JT��\�� X H+R�S Y �[JQuQRT�[S1u`� Y �[JfsA6U[O Y ��O1±=�[�©\�OP�[J`� Y ��H X S Y �[JQuQRT��S1u`� Y ����J"I�H)JQOP� Y � â OPH+uQu%iNJQOP½;��OP�[S1OPJ Y)� �;�[\wI�OfRTJý8 � E j Ç ��G�edU Y JQO

S Y �¨u`���¨�[OP� � RTH)S1u`� Y �[J�U[HP�)O°I Y �[�[��OP� ��H+R`u`��H X ½;� Y u`�ZOP�¨u`Jfsf�§�Z�)OP�¼H)�¨i®JQi;\zI YX JQOP½;��OP�[S1O � Ø ��åM5e� ��3j Ç �H�¼ÔwH)�[�NH)�?iml � �+a;eLO Y I[u`H)���NH0JQOfu"«mn � � �BI¨i�H)J`J`����[�����ß� ¾ ضj0H)�[��u`U[OP��\�OPH)J`�[RT�����E�[��J`u`H)�[S1OPJ��5 ñ � ¬\�D5Áu Y I�Oz� Y RIl°H)SfS Y RT�[�©����H)J�åM5���JLj Y R§�+s�ADU�OdJQOfu¥«mn � � ����JLH � O XZY ��OEJQOfu Y)� �����ZuQODu%i¨��OEH)�[��ZuE��J§OPH)JQi�u Y JQOfO�u`U[H+uweDU�Ofu`U�OfR Y R0� Y uE«mn � � �§�©J X ����OPH+R X i�RTOf�bOfu`��u`�Z�)O���Of��OP�[�[J Y � X i Y � u`U�O�JQi'\wI YXJQOP½;��OP�[S1O � sû�l�ü�üPý �^w8u l ÒP  � � �3j Ç �H� Ô �¤£´¦�Ò1ÑÁ�.Q+¡�£+Ñ[Óml � ���B«mn � � �zÏ©��ÎÔÏ}ÑbÒT£+¡VÎÐÓ�¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×+Ò�Ï ��£+Ñ�Þ¤Q+Ñ[ÎÐÓ�Ï �� Ï©���ªÏ}Ñ[Ïs��£+Î¥ÿBÏ} ¦�¡`Ò`¤&µ;¡~¡`Ò1Ñ�¤~Ò���µ'Ñ�¤3 ¢Ï8Q)ÑÁÕ¸po � ���E�1£) ¢Ïr�s�~Ó+ÏrÑ��ÜÕ¸qo � ���"Ø Ù � ���w£#��� ÛÊÝ ���ËHt;t��$w A6U[��J¥��JD��\�\�OP�[�©H+uQO)s �A6U[O�H+��OfRT� Y �[��Sªo*±=JQi;\zI YX JQOP½;��OP�[S1OPJ � eD��u`U®J`\�H X�X OPJQuEe Y RV�®S Y �[�¨u`JzU[H3�)O�O1É�H)S1u X i±��ºh��e Y RV�[J

Y)�"X OP�[�)u`U@� �rY R§OPH)STU»�¹Â �+a�JQOfO�� Y �)OP��H)���¤ädOP� X �[���ÌENMHG�s�C � u`U�OPJQO)a�u`U�O Y ��OPJâeDU[�©STU�H+R`O�\����[��\�H XH+R`O0O1É�H)S1u X i�u`U�O â OPH+uQu%i�JQOP½;��OP�[S1OPJ Y)� �ZR`RTH+u`� Y ��H X J XZY ��O)a[H)JDJ`U Y eD����� � Y �)OP�þEã�HG�H)��� ]9H)� X E J¨l�G�sLäÖuD��JOPH)JQiNu Y SVU[H+RTH)S1uQOfRT��¦fOEu`U Y JQO â OPH+uQu=i�JQOP½;��OP�[S1OPJ¥u`U[H+u�U[H3�)O§H�R`OPSf�[R`R`OP�[S1O � ���[S1u`� Y �°eD�Zu`U X ����OPH+R��)R Y eDu`UÙ � ���VsS+T l�t1ËHl�ü �;w,��l Òf �­ßÞ í �3j Ç �H� Ô �VÒª£'ÝâÒT£)  ¢Ó��PÒ�Ì&µ[ÒfÑ�¤VÒIÿBÏ¢ ¦08 � E j Ç ��Ge�²£´¦'ÒfÑD½

º�Ï ¼�£´¦'Òz¡`Ò`¤&µ;¡~¡`Ò1Ñ�¤~Ò���µ'Ñ�¤3 ¢Ï8Q)Ñ Õ¸ Ö�á �r´ �EÏr�z�ÒQ�µ'Ñ�Þ?ÒTÞ°Ï ��£+Ñ�Þ®Q+Ñ[ÎÐÓNÏ �~8¶Ïr�E¡Ì£) ¢Ï Q+Ñ�£)Î{�º�Ï}Ï ¼�£´¦'Òz¡QÒT¤.µ'¡~¡QÒfÑ�¤VÒ���µ'Ñ�¤P ¢Ï Q+Ñ��1£ ¢Ï©�SLÒ~�Õ¸�Ö á �r´ �BØ Ù �r´ � }�å ´ Û ÝÏ �â£)Ñ�ÞÁQ+Ñ[ÎÐÓ�Ï � 8ÊÏr�§�`£Þ�ÎÔÓ�£VÕÕb¡]Q&½Ïs��£?�fÎZÒÛ��Ï8�¢Ò&��8ÊÏr�â£�Ñxµ!���TÒf¡êÿB¦�Q#�PÒ§¡`Òß��µ;ÎZ£+¡E¤$Q+Ñ� ¢ÏrÑxµ�ÒTÞ¨�V¡Q£¤3 ¢Ï8Q+ÑÒ$½~Õ'£)Ñ��VÏ Q+ѱ¦;£+���ÒQ�µ'Ñ�Þ?ÒTÞzÕ'£+¡1 ¢Ï£+ÎKÌ&µxQ) ¢ÏÒfÑ� }���

n)o

Page 33: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

MDOPSfH X�X u`U[H+uBI�H)� X izH+�[�[R Y É���\�H+I X O¥�;�[\wI�OfRTJ9H+R`O6SVU[H+RTH)S1uQOfRT��¦fOP��H)JBu`U�O6�;�[\zIbOfRVJ 8 �}Y RBeDU[��SVUªu`U�OfR`OO1É���JQu`JwH�S Y �[JQu`H)�¨u�à � j�J`�[SVU®u`U[H+um· 8»¬_}�R � · � üR � ç �rY R�Of�)OfR`i�RTH+u`� Y �[H X �;�[\wI�OfR+}�R � s W�Y R�u`U�OP�ZR�+H+RT� Y �[J¥�[R Y �bOfRTu`�ZOPJ�JQOfO��'U�H X�X �Zu�ENM)�HG�s

��ËHt;t��$w µ U[OP�Y8���JLRTH+u`� Y �[H X eD�Zu`Uk��OP� Y \����[H+u Y R � u`U�OP�m­ßÞNU[H)J¥��OfRT� Y � � H)��� Õ¸mÖ�á �r´ ��Ø � �}Y R�H X�X´  � sc Y e X Ofu�} « I�ONu`U�O ¨ ±�u`U¹��H+R`u`�©H X ½;� Y u`�ZOP�¨u�H)���@¹ « R � « I�O°u`U�O ¨ ±�u`U¹S Y �?�)OfR`�)OP�¨u Y)� u`U[O°RTOf�� X H+R

S Y �¨u`���¨�[OP� � RVH)S1u`� Y ��O1É'��H)�[J`� Y � Y)� 8�s â i � J�sNJ¨�¥eLOwU[HP�)OÕ¸ Ö@á �Ø× ��Ø � « º � « ñ � � � } « ñ � º¾o� � « � � } « ñ � º¾o� ×�}Y R � « � × 7 � « ñ � a�H)��� Õ¸mÖ á � � « ��Ø � « º � « ñ �  � } « ñ � º �3� � « �@ X J Y � « Û Ý H)J ¨ Û Ý eDU�OP�8���J��ZR`RVH+u`� Y �[H X a?H)����������H+R`u`��Sf� X H+R"eDU�OP�®�M} « �§��J��[�¨I Y �[�[��OP�Ás¥ädOP�[S1OeDU�OP�b8Ê��Jd�ZRTH+u`� Y ��H X Õ¸mÖ á �r´ ��ØáÙ �r´ �6��JdOP½;�[�Z�+H X OP�?udu Y u`U[O�JQOP½;��OP�[S1O Y)� ��H+RTu`��H X ½;� Y u`�ZOP�¨u`JI�M} « � Y)�8¼I�OP�����ªI Y �[�[��OP��s �A6U[O Y R`OP\ ¢;s o ��\�� X �ZOPJzu`U[H+u�u`U�OfR`O�H+R`O�RTOPJQuQRT��S1u`� Y ��J Y �¾u`U�O���\�H+�)O����¾¿(� Y)� u`U�O X ����OPH+R �rY RV\ &

u`U[H+u���JªH)J`J Y Sf��H+uQOP�¹I;i�A6U[O Y R`OP\ l¨s��°u Y H X ����OPH+R X i R`Of��Ofu`�Zu`���)O � O XZY �[OkJ`Ofu�«mn � ­ßÞ[��}Nu`U���Jª��\�H+�)O���J��OPS1OPJ`JTH+RT� X i°H X ����OE����¿ ç edU Y JQO0J XZY ��OE��J�H�I�H)� X iNH+���[R Y É���\�H+I X OE�¨�[\zI�OfRPsA6U[OâH+��OfRT� Y �[��S � O X�Y ��OâJ`Ofu`J�« ���N¿bÀ�u`U�H+uLH+R`O X �©��OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O§U[HP�)OEJQOf�)OfRVH X S X H)��\�J�u Y I�Oâu`U�O

ê J`��\�� X OPJQu ë H+��OfRT� Y �[��S§JQOfu`Jfs�A6U�OPJQO0S X H)�©\�J����[S X ����OK}� �3�kADU�OP�ZR¥��H+u`STU�±=S Y �[�?u`�©��� � ���[S1u`� Y �[J�J`H+u`�©J � i ²w³ �r´ ��Ø Ù �r´ À'�VsBä � � Y � p OPS1u`�[R`Owo;s��E��J�S Y R`R`OPS1ufa�u`U[��J�©J�u`U�O0J XZY e�OPJ`u6� Y J`J`�ZI X Od�)R Y e6u`U�RVH+uQO Y)�B² ³ �r´ � �}Y RDH+��OfRT� Y �[��SâJQOfu`Jfs

� o�k@â\ Y ���¾H X�X H+��OfRT� Y �[��S JQOfu`Jfaâu`U�Ofi�U[H3�)O®\����[��\�H X �)R Y e6u`U RTH+uQO Y)� u`U�O R`Of��Ofu`�Zu`���;�Zu%i � ���[S1u`� Y �¸ ³ �r´ �Vs

� n�kADU�Ofi U[H3�)O X�Y ���+±�RTH)���)O Y RT��OfR§����u`U�O�JQOP�[JQO Y)� U[H3�;�©���°J`uQRT��S1u§�[�[� �}Y RT\æ��H+u`STU � RTOP½¨��OP��Sf�ZOPJfa�H)�[�U[OP�[S1OwH+R`Ow����åbRVH)S1u`�Z�)O)s

� J¨�kADU�Ofi¾���[S X �[�[O°\ Y J`ufa¥� � � Y uNH X�X a Y)� u`U[O��[R Y � Y JQOP�¾O1É�H)\�� X OPJ Y)� JQuQR Y ��� X i Y RT�[OfR`OP�ÊJQOfu`J�eD�Zu`U½;�[H)J`�©S1R`i;J`u`H X�X ����OD�[R Y ��OfR`u`�ZOPJfa;���[S X ���[�����§� Y ���¨u�JQOfu`J�H)J`J Y Sf��H+uQOP�°u Y �ZR`RTOP�[�[Sf�ZI X O¥J`O XZ� ±=HHÆ°��Odu`� X �����J� � YXZY \wiH+_PENMl'a�FÁOP\�\�H�o;s n�G}�Vs�A6U�OfikH X J Y ����S X �[��Oâ�#H+RV� Y �[J6JQ��OPSf��H X Sf�[u̱=H)�[�'±��[R Y#p OPS1udJ`Ofu`JDJ`�[SVUH)Jd]�OP��R Y JQO0u`� X �����JfsW�Y R§u`U�OPJ`OwR`OPH)J Y ��JdeLOzS Y ��J`����OfRdu`U�OzS X H)JTJ Y)��X �©��OPH+R X i°R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O � O X�Y ��OzJQOfu`Jdu Y IbO�H�SfH)�[�����[H+uQO

�}Y Rdu`U�OªS Y �[S1Of�[u Y)� Õ[Ò1¡�fÒT¤P ¢ÎÐÓ@Q+¡ÌÞ¨Ò1¡`Ò`ÞbÌ.µ[£#�VϤf¡~Ó#�~ �£+ÎÔ�Vs0ADU[��JDS X H)J`Jd�©�[S X �[��OPJd����OPH X S1R`i;J`u`H X J.ª�e�Oª� Y � Y u��\�� Y JQOEH+��OfRT� Y �[��Sf��u=i�H)JdH�R`OP½;�[�ZR`OP\�OP�¨u �rY RDIbOP�©����½¨�[H)JT��S1R`i'JQu`H X�X ���[O)s� H)�?i�H)��u`U Y RTJfa9U Y e�Of�)OfRPa�S Y ��J`����OfRzu`U[H+uzH)�¨i®��O1���[��u`� Y � Y)� ½;�[H)J`��S1R`i'JQu`H X�X ����O Y RT��OfR�J`U Y � X �»H X J Y

R`OP½;�[�ZR`O H¹eLO X�X ±=��O1���[OP� ����åbRVH)S1u`� Y � \�OPH)J`��R`O eD��u`U¶H¾� Y �?uQRV�Z�;�©H X ���[R`O � Y �©�?ukS Y \�� Y ��OP�¨u � ê�â RVH+�)���OPH+_;J ë �Vs

kmlonBp�qsr�qt�pà�^w8u @ � O XZY ��O�JQOfu�« ��J�JTH)���Êu Y U[HP�)O»�~ ¢¡�Q+Ño�¾ÎRQ+Ño�¼¡Q£+Ño�;Ò±Q+¡QÞ?Ò1¡ Y R�u Y I�O��1 ¢¡]Q)Ño�)ÎÐÓÞ+Ï ²6¡Q£¤P ¢Ï}×+Ò�� � �Zu�U[H)JªH �[�[��½;��ON����åbRVH)S1u`� Y �¹\�OPH)J`��R`O�/- ³ eDU[��SVU��©�[S X �[��OPJ�H�����R`O°� Y ���¨u�S Y \�� Y ��OP�¨uu`U[H+uD�©J¥R`O X H+u`�Z�)O X ik��OP�[J`O0����¿ À s

n)n

Page 34: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

c Y uDH X�XÁX ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O � O XZY ��OwJQOfu`JdU[HP�)Owu`U[��J��[R Y �bOfRTu=i)s�A6U�O0S Y ��JQuQRT�[S1u`� Y � Y)� ��É'H)\�� X Ozl¨s��SfH)��IbO0��JQOP��u Y �[R Y �[�[S1O0H X ����OPH+R X iNR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O � O XZY ��O�JQOfuD«¯eDU���STU��©J6� Y udH � Ofi)OfREJQOfuDH)����eDU[�©STUU[H)J�� Y ����R`O�� Y ���¨u�JQ��OPS1uQRT�[\�a§�[J`���[�¼u`U[O»S1RT�ZuQOfRT� Y � Y)� � YX�Y \wiH+_¸ENMKM�aEA6U[O Y R`OP\ J�sNJ�G�awJ Y �©J�� Y uJQuQR Y �[� X i¾�[��å�RTH)S1u`�Z�)O)s äÖ�¾u`U[O Y �[� Y J`�ZuQO����ZR`OPS1u`� Y ��a¥Sf��u̱=H)�[��±��[R Y#p OPS1u°JQOfu`J�eD�Zu`UÊH��[��S1O�ed���[� Y e H+R`OH X e¥HPi'JDJQuQR Y ��� X ik�[��å�RTH)S1u`�Z�)O)a�I���u6�[OfOP��� Y u�I�O X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O)sµ�O�\�H3i � ��R`u`U�OfR9S X H+RT� � iEu`U�OLR`O X H+u`� Y ��J�I�Ofu%e�OfOP� X ���[OPH+R�R`Of��Ofu`�Zu`���;�Zu%i)a)JQuQR Y ���§�[��å�RTH)S1u`� Y ��a)H)�[�zI�OP�����

H � Ofi)OfR�JQOfufa9I;i®S Y �[J`����OfRV������J Y \�O°�[R Y ��OfR`u`��OPJ Y)� u`U�O°H)�[��R`OPJ`Jz\�H+�¹H)�[�®u`U�OkH)J`J Y Sf��H+uQOP��u Y � YXZY �+±��SfH X �[i;�[H)\���SfH X JQi;J`uQOP\�s�A6U�O Y RTI��Zu`J Y)� u`U�O�u Y � YXZY ���SfH X �[i;�[H)\���SfH X JQi'JQuQOP\ � � ³ Ç ¿ À �ª�[����OfR�u`U�O¿bÀ�±=H)S1u`� Y �¼SfH)�¹I�O°��OPJ`S1RT�ZI�OP���[J`����� u`U�O°H)����R`OPJ`J�\�H+�_� }�E « ¬Ê«@G Û � � H)�[�¼H��[R Y#p OPS1u`� Y �¼\�H+�h }?¿(� Û ¿ À � � Y ud��OPS1OPJ`J`H+RT� X i Y R`u`U Y � Y �[H X �Vs"µ�O�U[HP�)Owu`U�O �}YX�XZY ed������S Y \�\���u`H+u`�Z�)Ow�[�©H+�)RTH)\m}

E «Ä¬®«WG

� �¿ À

¿ �� hrs trstu v � ¢;s n�

ädOfR`O6u`U�O6U Y RV�Z¦ Y �?u`H X H+R`R Y edJ�H+R`O6���[S X �[J`� Y �[J�H)�[� h �©J9u`U�O��[R Y#p OPS1u`� Y ��\�H+��a?��O1����OP�ªI;i h � l n#�BØ%À�n �}Y R���$k²��åLeDU[OfR`O��¼À � Ç �.�.� Ç À � ����J�u`U�OLSVU Y JQOP�ªI�H)JT��J Y)� « ¬0« H)��� l n H+R`O¥u`U�OL���[�Zu�S Y;Y RT�[����H+uQO��)OPS1u Y RTJPsä � & }�¿ À Û ¿(����J0u`U�O X ���[OPH+Rw\�H+�®��Z�)OP�»I¨i�A6U[O Y R`OP\ l¨s���u`U[OP� h Pq& ��J§u`U[O�����OP�¨u`�Zu=i)s°ä � � � «u`U�OP�¼u`U�O�H)�[��RTOPJ`JQOPJÍç·ØW� � « � Y)� « u Y �)Ofu`U[OfR�eD�Zu`U h ��OfRT\��Zuw«àu Y I�O°���[��½;��O X i R`OPS Y �[JQuQRV�[S1uQOP��[J`�©��� � ¢;s n�Vs�ä � � � ³ Ç ¿ À �â��JE\����[�©\�H X a�u`U�OP�ÐE « à ¬¹« à G"��JE���[�[Of�bOP����OP�?u Y)� u`U[O�STU Y ��S1O Y)� « à � � ³ aH)�[�kH��)OP��OfRTH X «¤à � � ³ ��J¥��OPJ`S1RT�ZI�OP�NI¨iN�[H+u`H � ç¶à Ç h Ç §;àr�Va'eDU�OfR`OâeLO§SVU Y;Y JQO0H)�?iN� Y ���?u�§;à � «@à�H)�[�çIà[Ø�� � «¤à'¬U§;àZ��U[H)Jê� � ç¶à í �BE «@à�¬�«¤à G�s"A6U[��J��©J��[�[��½;��OE����u Y SVU Y ��S1O Y)� §;à}a�J Y u`U�Ow¿bÀ�± Y R`I��Zu Y)�« à ��J�J`�bOPSf�Z��OP�kI¨i°u`U�O0OP½;�[�Z�+H X OP�[S1O0S X H)J`J ��ç à � Y)� uQRTH)��J X H+uQOPJ Y)� ç à ���­� �9u`U[H+uDS Y �¨u`H)������a[�sãO)s

��ç à ��}ÔØ���ç à ¬ ü } ü � çÁ�ù�µ�OwRTOf�H+RT�»��çIàs�wH)Jd��OPJ`S1RT��I������ªH ê JQi'\wI YX �©Sâ�[i;�[H)\���SfJ ëª�}Y R6u`U[��J Y R`I��ZufsA6U[Oâ��R Y ��OfR`u`�ZOPJ Y)� \��©�[��\�H X ��u=i�H)�[� X �©��OPH+R�RTOf�bOfu`��u`�Z�;��u=i Y)� � � ³ Ç ¿ À ��H+R`O0S Y \�� X OfuQO X iN��OfuQOfRT\�����OP�

I;i u`U�OªOP½;�[�Z�+H X OP�[S1OªS X H)J`JÍ��ç � Y)� ç }ÔØ � � «�� � eDU�OfR`OªeLOªH)JTJ`�[\�OÁ� � « �Vs�µ�O�SfH)��� Y e Y I[u`H)����H��Ofehu Y � YXZY ���SfH X �[i;�[H)\���SfH X JQi'JQuQOP\ÄI¨i�U YX �[�����Áç ��É;OP��H)�[���+H+R`i'������u`U[Oz�[R Y#p OPS1u`� Y � h a�u Y�h à�J`H3i)sA6U�Oz��H)�ZR � ç Ç h à �D�[�[��½;��O X i°��OfuQOfRT\����[OPJDu`U�Oz�[R`OP��\�H+�)Oz« à I¨i � ¢;s n�VaÁH)����� � « à ��JâH � O XZY ��OªJQOfuâu`U�OP�eLO Y I�u`H)��� H°�[Ofe � O XZY �[Oª�[i;�[H)\���SfH X J`i;JQuQOP\ � � ³�ì Ç ¿�ÀÁ�VsEä � ç ��J X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)Ozu`U�OP� u`U�Oª��Ofeu Y � YXZY ���SfH X ��i'�[H)\���SfH X JQi'JQuQOP\ � � ³ ì Ç ¿ À �"��J����[��½;��O X i�OfR`� Y ����S+a;U[OP�[S1Od����)OPJ¥RT��JQOdu Y H��[�[��½;��OD\�OfuQRT��S��i'�[H)\���SfH X J`i;JQuQOP\ � � ³°ì Ç ¿�À Ç ª #;àZ�Va�H)����H X�X JQOfu`Jd��� � ³°ì H+R`Ow�[�ZåbRTH)S1u`���)O)sC§�ku`U[O Y u`U�OfRDU[H)�[�Áa;u`U[OEO1É'��J`uQOP�[S1O Y)� Hª����R`O§� Y ���?u¥S Y \�� Y ��OP�¨u Y)� u`U[O0�[��å�RTH)S1u`� Y ��\�OPH)J`�[R`O�/- ³�ì��Of��OP�[�[J Y �®u`U�ON�[R Y#p OPS1u`� Y � h à s­¿ YX =H+RwOfu�H X sUEão)n'a"�;OPS1ufs��;s o�G¥U�HP�)O Y ��O1±=�[��\�OP��J`� Y �[H X O1É�H)\�� X OPJz���eDU[�©STUmç í ��ç¥��J X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O)a�H)����«@à�Ø «mwkJQOfOP\�JDu Y U[H3�)OzJ Y \�Ow����R`OE� Y ���¨u6JQ��OPS1uQRT�[\ �}Y RS1OfR`u`H)���®�[R Y#p OPS1u`� Y �[J h I���uE� Y ���[R`Oª� Y �©�?uEJQ��OPS1uQRT�[\ �}Y R Y u`U�OfR0��R Y#p OPS1u`� Y �[Jfs � äÖ��u`U���JâO1É'H)\�� X O�u`U�OJQOfu`JE«¤à�S Y R`RTOPJQ� Y �[��u Y u`� X �����J Y)� u`U[O X ����OzeD�Zu`U�u`� X OPJ Y)� u%e Y�X OP���)u`U[Jfa�H)�[� �+H+R`i'����� h ��JâOP½¨�[���#H X OP�¨uu Y �+H+R`i'������u`U�OERTH+u`� Y J Y)� u`U�O0u`� X O X OP�[�)u`U[J�eDU[� X O X OPHP�'������u`U�O0��H+uQuQOfRT� Y)� u`U�OEu`� X OPJ��[É;OP�ÁsÔ�A Y J`�[\�\�H+RV�Z¦fOK}¶£´¦'Ò�Õ�¡�QVÕ�Òf¡~ ¢ÓmQ]�w�TÒfÏrÑ���ÎÐÏrÑbÒT£+¡~ÎÔÓN¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ïr×)ÒwÞ¨Ò%Õ�ÒfÑ�Þ#�¶Q+Ñ[ÎÐÓ Q+Ñ� ¦'Ò§�~Ó����$Q+ÎÐÏ¢¤�Ò�Ì&µ'Ïr×�|

£+Î�Ò1Ñ�¤~Ò�¤fÎZ£#�V�²��ç ���ÅÿB¦¨ÏrÎ�Ò� ¦'ÒzÕ�¡QÒ1�fÒfÑ�¤VÒ@Q+¡k£¨�~�fÒfÑ�¤VÒWQ]�°£NÕLµ;¡`ÒwÕ!Q)ÏrÑ� z¤$Q��dÕ!Q+Ñ�Ò1Ñ� EÏ}ÑÊ ¦'Ò�Þ)Ï ²6¡Q£¤3 ¢Ï8Q+Ñ��Õ[Ò`¤P ¢¡�µ!� Þ¨Ò%Õ�ÒfÑ�Þ#�ÍQ+Ñ»�$Q) ¦m��ç ��£+ÑbÞN ¦�Ò6Õ�¡]Q3ofÒT¤P ¢Ï Q+Ñ h �

nHJ

Page 35: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

µ�OD� Y e XZY;Y _zH+u�J Y \�O Y ��O1±=�[��\�OP��J`� Y �[H X O1É�H)\�� X OPJfa)����)OP�ªI¨iªJQOfu`JB«mn � � ��S Y �[JQuQRV�[S1uQOP��a?H)JBI�O �}Y R`O)a� R Y \GHdJQi;\zI YX JQOP½;��OP�[S1O � H)�[�zH�R`OPH X ��H+RTH)\�OfuQOfRxl�s�F�OP\�\�HÅ¢;s���J`U Y eLOP�0u`U[H+u�u`U�O X �©��OPH+RÁR`Of��Ofu`�Zu`�Z�'�Zu%iY)� «mn � � ���©J"��OfuQOfRT\�����OP��I;i � H X�Y ��O)a;H)������J����[��Of��OP�[��OP�¨u Y)� l�s9äÖ�NS Y �?uQRVH)JQufa�u`U�OD��R Y ��OfR`u=i Y)� «mn � � �I�OP������H � Ofi)OfRDJQOfu¥J Y \�Ofu`��\�OPJ���Of��OP�[�[J Y �°eDU[Ofu`U�OfR$lk��J�RTH+u`� Y ��H X�Y R��ZR`RVH+u`� Y �[H X a;JQOfOÁEão)�'a��;OPS1u`� Y ����G�sA6U[�©JdSfH)� Y SfSf��REI�OPSfH)�[JQO�eDU�OP�@l ��JâRTH+u`� Y �[H X �»\�H+��JÁE «WGBu Y ��a'I��[udeDU[OP�yl���J§�ZR`RVH+u`� Y �[H X �Zuâ\�H+��JE «WGbu Y � ç s W�Y R â OPH+uQu=i°JQOP½¨�[OP�[S1OPJ°­ßÞ�u`U[ODJQOfu`J�«mn � ­ßÞ��9H+RTOdH X e¥HPi'J � Ofi)OfR�JQOfu`J�I¨i�u`U�OdS1RT�ZuQOfRT� Y ��Eão)�'aA6U�O Y RTOP\ �;s���G�sµ�OzOP�[�keD�Zu`U�J Y \�O Y ��OP���[R Y I X OP\�J�J`���)�)OPJQuQOP� I¨i°u`U�O Y I�JQOfR`�+H+u`� Y �[J�\�H)��Oz���ku`U[��J�JQOPS1u`� Y ��s

��ËHt��Käl�ü �;w uxw ��É;� X ��Sf�Zu X i¾SVU[H+RTH)S1uQOfRT�Z¦fO®H X©X u%e Y ±=J`�©��OP� J`U[� � u`J78 Y � H����[�ZuQO�H X ��U[H+I�Ofu°u`U[H+u�H+R`O\�������\�H X H)�[��U[H3�)OwR`OPSf��RTR`OP�[S1O � �[�[S1u`� Y � Õ¸pz �Ø× �¥I Y ���[��OP��H+I Y �)O0I;i\! × �rY RDJ Y \�OwS Y �[JQu`H)�¨uß!�s��ËHt��Käl�ü �;w,�7w �¥U[H+RTH)S1uQOfRT��¦fO�u`U�O�� Y J`J`�ZI X Oz��\�H+�)OPJ0����¿ � Y)�¥X ���[OPH+R �rY RT\�J)&�}�¿bÀ Û ¿ � �}Y R0eDU[�©STUu`U�OfR`OdO1É'�©JQu`J"H X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O � O XZY �[OdJQOfu�«­ed�Zu`U²� � «­u`U�H+u���J�H)J`J Y Sf��H+uQOP��u Y &��©��u`U�Od\�H)�[��OfRY)� A6U�O Y R`OP\­l¨s��+s

��ËHt��Käl�ü �;wh� �BÉ'� X ��Sf�Zu X i�STU[H+RVH)S1uQOfRT�Z¦fOzH X©X Sf��u̱=H)�[�'±��[R Y#p OPS1uDJ`Ofu`J6u`U[H+uDH+RTO X ����OPH+R X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O)s{ É�{^p¥t ñ äl}| _ l!üÌl�pLr�w µ�O�H+R`Oz�©�[��OfI[uQOP��u Y°� s â H)H+_)O)a â sb� YXZY \wiH+_�H)�[��u`U�OzR`O � OfRTOfO �}Y RdU�O X � � � XS Y \�\�OP�¨u`Jfa�H)����u Y ��s[�+H)�¤Câ��U¨��i'JQOP� �}Y R6� Y ���¨u`����� Y ��u6R`OPJ`� X u`J Y)����Y RTJQOzH)�[�WädOP� X �[�[�°R`O X Of�#H)�¨u�u YA6U�O Y RTOP\�J�J�s o�H)�[��l¨s��+sN �"�����"�"�k~�N : � �[��������)������P(jFQ!"�"$;��=����FÖ��&�$�!����=$'���â�"�b�$�E"���µ�O�SfH)�®�[O1����O�u`U�O�¤.µ��1ϤT£+Î9¡`Ò%Õ�ÒP ¢Ï} ¢Ï}×3Ï¢ ¢Ó¶��µ'Ñ�¤P ¢Ï Q+ÑæÕ¸ ³ �r´ �du Y I�O�u`U�O�J`\�H X�X OPJQud�+H X ��O Y)� ¸ J`�[SVU

u`U[H+u¥Of�)OfR`i°Sf��I�O Y)� JT����Oâo+¸ º ´ S Y �?u`H)����JLH�uQRTH)��J X H+uQO Y)� Of�)OfR`i°Sf��I���SfH X ´ ±���H+u`SVU Y)� «»s�F�Ofu Õ²w³ �r´ �S Y �[�¨u6u`U�Ow�;�[\zI�OfR Y)� Sf��I���SfH X ��H+u`SVU�OPJ Y)� J`���[O ´ s"A6U�OP��H � O XZY �[OwJQOfu6«¯��J�H Þ?ÒfÑ��fÒfÎÔÓN¡QÒÖÕ�Òf ¢Ï¢ ¢Ï}×+Òz�PÒf �.Q+¡z¤.µ��VÒ~�w� � Õ¸ ³ �r´ ��Ø Ù � Õ² ³ �r´ � �%Å À � Ç H)J ´ Û Ý sA6U[�©JE��J§OP½¨���Z�#H X OP�?uEu Y « I�OP��������OP��JQO X i RTOf�bOfu`��u`�Z�)O�� �¥²w³ �r´ �â�)R Y eDJ0� YX i'� Y \���H X©X i���� ´ a Y Rw� � u`U�O�[��\�OP�[J`� Y �¡� Øà��ª �}Y R ²w³ �r´ ��H)�[� Õ²w³ �r´ �NH+R`O�u`U[OP� ed�Zu`U[��� H�S Y �[J`u`H)�?u � H)S1u Y R Y)� OPH)STU Y u`U[OfRPsä Y eLOf�)OfRPa�� ��²z³ �r´ �â�)R Y eDJ � H)JQuQOfR�u`U[H)��� YX i'� Y \���H X�X i�u`U�O�u%e Y S Y �[S1Of�[u`J�\�HPi��[��å�OfRPa�H)J � H+RwH)J0eLO_'� Y e0s�ADU�Od��R Y¨Y)��Y)� A6U�O Y RTOP\ M;s��EH X J Y e Y R`_'J����Nu`U�OES Y �?uQO1É'u Y)� ��OP��JQO X i�R`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O � O XZY ��OEJQOfu`J �}Y RSf��I�OPJfa[H)�[� J`U Y edJ�u`U[H+u6u`U�Ofi°u Y;Y U[HP�)O�JQuQRT��S1u6���[� �}Y RT\ ��H+u`STU � R`OP½;��OP�[Sf��OPJfs

� �@FÌ�[&����$'���E���Gªg[s ±=]�s�@ X�XZY ��STU�O)aÁ�'��R X H°S Y \�� X O1É��ZuI=O���OPJ§J`�[�ZuQOPJâ���'�����ZOPJfa â � X�X s â O X ��s � H+u`UÁsÁ� Y S+sÁ�'��\ Y ���;uQOf�'���

u � �Pm)mHJ¨�VaB�Pn)n3K���JZ¢;sEão�Gªg[s â O X�X �©J`J`H+RT��a��§H+�ªF�H+I�O X�X ���[�¥ADU�O Y R`OP\�J �rY R��'SVU�R��Y �[���[�)OfR�Câ��OfRTH+u Y RTJfa)���^} i ¡�Q�����µ!���TÒf¡�£´¦�ÒÒQ+¡~Ó ßQy��¦?Ó#�~Ï¢¤f�Va � � s9µ®H X �[J`SVU[\�����ufa�]�s ��Y �[J`J`H'aLg�s ± � s9F��[S`_¼H)�[�Ê�âs9ä%uQ¦fi;_'J Y ��aã���[JfsÔ�VaL�;��RT�����)OfRQ±>BOfR X H+�/} â OfR X �����Pm)m)o;a��[�Ás��)nK¢*±eM)n+j's

Eãn�G">�s â OfR`u`U =O�H)�[��F�s@>���� X�XZY ��a[�'�[��uQOPJ�� Y ��I X OPJ��[OEI�H)J`JQOwS Y \�� X O1É��ZuI=O)a[�[R`Of�[RV���?ufsn)�

Page 36: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

E J�G � s âLY J`U�OfRT�[��uQ¦PH)��a;@G�[�[��½;��O6OfR`� Y �[��Sf��u=i Y)� \����[��\�H X JQi'\wI YX ��S r�Y eDJLeD��u`U X �©��OPH+R�I XZY ST_��)R Y eDu`U�ag[s[@d��H X s � H+u`UÁs ³1³ � �PmK¢HJ}��¢)��Va�l)lPK;mKM;s

Eã��GÍ�Ds � s?� Y �)OP��a;�;OP½;��OP�[S1OPJ9eD��u`U�\����[��\�H X I XZY S`_0�)R Y e6u`U�a � H+u`U�s¨�'i;JQuQOP\�J�ADU�s � � �Pml+��Va'nl�M3K;nK¢)o;sENM�GÍ�Ds � s�� Y �)OP�»H)���$��sÁ@zs^äDOP� X �[�[��a��;OP½;��OP�[S1OPJ§ed�Zu`U�\����[�©\�H X I XZY ST_��)R Y e6u`U�a � H+u`U�s9�;i;J`uQOP\�JADU�O Y R`i � � �Pml+n�Va9�PnK¢3K��P�)n;s

Etl�G â sbcws � O XZY �[OOE â s�czs � O X H)�[��HPioG�a�czs�]�s �âYX I�� X ����a � s�äVs��'U?u Y �)RV����H)�[��M0s@>�s,�§H X ��� X ���Áa;@ XZY SfH XS1RV�ZuQOfRT� Y � �}Y R�R`Of�� X H+RV�Zu=i Y)� H�J`i;JQuQOP\ Y)� � Y ���¨u`Jfa�� Y ��s � H+u`U�s �âY _ X s u�� a�c Y s�o � �Pml�M�Va�n'�Pm3K;n)o)o;s

EN¢�G�czs¨]�s �âYX I�� X �©��ag�s'�§s¨F�H+�H+RV��H)J�H)��� � s��;OP�[OPSTU[H X a � � X u`�ZR`Of�� X H+RB� Y ���?u�JQi;J`uQOP\�Jfa � �©J`S1R`OfuQO0� Y \ª±����ufsD�âO Y \�s � � � �Pm)mK¢�VaLJ¨l)lPKZJ?mK¢;s

Eãm�G�czs�]�s �âYX I�� X ����H)����]�s�@zs â s�] X OPH)J`H)�¨u`Jfa[@D��OfRT� Y �[�©S6JQOfu`J¥eD�Zu`U � Ofe ��J Y \�OfuQR`i���H+u`STU�OPJPa[������R`Of��H#±RVH+u`� Y ��s

E��fjHG">�s´� X JQOfRPa�A6U�O��[�ZåbRTH)S1u`� Y � ��H+uQuQOfRT� Y)� ��R Y#p OPS1uQOP��JQuQRT�[S1u`�[R`OPJfa9@dS1u`H �LR`i'JQufs��;OPS1ufs�@ ³7� � �PmK¢KM�nKM3KZJ?n;s

E��)��G���s W OfRTOP�[S1¦P�a�MdH)��_�H)�[� JQi'\zI YX ��SwS Y \�� X O1É'��u=i)a^��RT� Y �[�©SzA6U[O Y R`i � i;��H)\�s��;i;J`uQOP\�J uoæ � �Pm)mKM�VaMKM)n3K�MK¢)o;s

E��Po�GÍäzs W ��RTJQuQOP�¨I�OfR`��a � ��J pÌY ���¨u`��OPJ`J����Á�"R`� Y ����S6A6U�O Y RTi)a � ���[��\�H X �;Ofu`Jfa'H)�[��Hz]�R Y I X OP\ ��� � � Y ��U[H)�'±u`�©��O0@D���[R Y É���\�H+u`� Y ��a � H+u`U�s��;i;J`uQOP\�J6A6U�O Y RTi u � �PmKMl)�Va��VKZJ?m;s

E��Pn�GÍäzs W ��RTJQuQOP�¨I�OfR`��a!�6ÒT¤.µ'¡~¡QÒfÑ�¤VÒEÏrÑ���¡8�oQPÞ+Ϥ £´¦'Ò$Q+¡VÓ�£+ÑbÞ��`Q����1Ï}Ñ�£) ßQ+¡~Ï£+Î���µ!���TÒf¡�£´¦'Ò$Q+¡~Ó#a�]"RT���[S1O1±u Y � � �[����s[]"R`OPJ`J.}�]"RT���[S1Ofu Y �®�Pml�¢;s

E���J�G W s?�'�H)U X OfRªH)�[�¼M0sK¿ X �ZuQ¦P�©����a�ADU�ON�[�ZåbRTH)S1u`� Y �®��H+uQuQOfRT� Y)� JQO X�� ±=J`�©\�� X H+R0u`� X �����Jfa����;}P£´¦'Ò �®£) ¦Z|Ò.��£) ¢Ï¢¤f�mQ�� l Q+Ño��| ��£)Ño�¨Òk�¥Õ�Ò1¡~Ï8Q3Þ+Ï¢¤q�¥¡QÞ?Ò1¡~a � M0s >�s ��Y;Y ��i)a��"��sÔ�Va ¿ X �¨e�OfR�} �âY RT��R`OPSVU?u��Pm)ml¨a���Ás���J[�VK��3l�J�s

E��P��G�@zs�ä~sD� YX �[\�H)�Áa�g�s�µhs�@d����OfR`Of�)��a � s W s â OPJ`JQOfRPab��s ±=F�s��¥U[H)�[��a � s�µ s � O X H)��Ofi)a��âs�µhs�g)OP��_'Jfa� s;g[s�¿ERTH)\�OfRPa¨AEs¨@ws;F Y �)RTH)J`J Y a � s?µhs¨F�i;��STU�a;M0s?µhs � S3�¥H X�X �[\�a¨g[sZ�6s;��U[�ZO X ��a � s'g�s'� Y RT��O X OfuH)����]�s[@ws�ADU[�ZO X a1?§�[H)JT��S1R`i'JQu`H X�X ���[O � H+uQOfRT��H X Jfa�@d\�OfRV��SfH)���'Sf�ZOP�¨u`��JQu �1³ � �Pm)mKM�Va�o)n+j*K;oHJ[�+s

E��&M�G â sý�âR���[�?I�H)�[\ H)������s��âs"�'U�Of��U�H+RT��a¶£�ÏrÎÐÏ}Ño�+��£+Ñ�Þ@�6£)  =Òf¡VÑ[�Va"µhsùäzs W R`OfOP\�H)��Cé� Y sR}�cdOfe��Y RT_ �PmK¢l¨sE��3l�G��§s�F"s;äDOP� X Ofi)aÁMDH)�[� Y \ÜAD� X ����� � Y ��O X Jfa����^}��¨µ[£#�VϤf¡~Ó#�~ �£+ÎÔ�Û½»£´¦'Òm�� �£) =ÒOQ]�� ¦'Òª�â¡1  � � sÁ]�s � ��±>§���[S1OP�[¦ Y H)�[��]�s�g�s��'uQOP���[U[H+RT�[ufa!���[JfsÔ�Va[µ Y R X ���'Sf�ZOP�¨u`����S�}"�'�©���H+� Y R`O��Pm)m'�+a��[��s�J?o)m3K;�)oHJ�sE��&¢�G�@zs1ä Y)� a7C§���[��å�RTH)S1u`� Y �kI;i°H+��OfRT� Y �[�©SâJ`uQRT�[S1u`��R`OPJPa�� Y \�\�s � H+u`U�s�]�U?i'Jfs uoæ�� � �Pm)m)��VaÁo)�3KZJ?n;sE��Pm�G�@zsoä Y)� a � ��å�RTH)S1u`� Y �NI;i�H+�bOfRV� Y ����S�JQuQRT�[S1u`�[R`OPJfa¨�©�;}�£´¦�Òê�®£ ¦'Ò���£) ¢Ï¤1��Q]� l Q+Ño��| �6£+Ño�¨Òâ�¥Õ�Ò1¡~Ï8Q3Þ+Ï¢¤�¥¡QÞ?Òf¡Va � Mws@>�s � Y;Y ��i)a1�"�ÁsÔ�Va@¿ X �¨e�OfR&} �âY RT�[R`OPSTU¨uz�Pm)ml¨a��[�Ás[o)n)m3K;oKMK¢;sEão+jHG��§s�gH)� Y ufa��¨µ[£#�~Ï¢¤P¡VÓ#�1 �£+Î �;½0£m�¥¡~Ïs��Òf¡Vab� X H+R`OP�[� Y ��]"R`OPJ`J.}°CâÉ �}Y RT���Pm)m)o � o+�[��OP�;}6�Pm)mHJ¨�VsEão'��G�Mwsp¿0OP�?i Y ��a��'O XZ� ±�RTOf� X ��SfH+u`���[��u`� X ���[�Jfab�©�;}.��Ó����ÒQ+ÎÐÏ¢¤�ywÓ+Ñ�£��ªÏ¤1�ª£)Ñ�Þ�Ï¢ }�E�¥ÕÕ�ÎÐϤT£) ¢Ï Q+Ñ��~a � ]�s�µ®H X ±uQOfRVJfa1�"�ÁsÔ�L@ � �L}�]"R Y �'����OP�[S1O)a[MDäâ�Pm)m)o;a�o)n)m3K;oKMHJ�s

nKM

Page 37: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

Eão)o�G�MwsI¿EOP�¨i Y ��a�A6U�OâS Y �[JQuQRT��S1u`� Y � Y)� J`O XZ� ±=JT��\�� X H+RBu`� X �����Jfa��âO Y \�s W �[�[S1ufs'@â�[H X s æ � �Pm)mKM�VaxJ¨l;�VKZJZ¢K¢;sEão)n�G � s�¿ YX��H+RPa â s+ä Y SVU¨�[\ßH)����F"s)MDHPi'\ Y �[�Áa¨�;uQRT�[S1u`��RTO � H)S1u Y R Y)� ä � JQi;J`uQOP\�J � J`����OfR X H+uQu`�©S1OPJV��I�H)JQOP�Y ��u=e Y ± X OfuQuQOfREJ`��I�JQu`��u`��u`� Y �°RT� X OPJ&}�ä~s â RTH+�)����OPH+_'Jfa�g�s[]�U?i'Jfs�@ �xæ � �Pm)m)n�VaÁl+nHJ?n3K'l+nKMKM;s

EãoHJ�Gªg[s��§s;F�H+�H+RT��H)Jfa � Ofi)OfR X J�S Y �[S1Of�[u Y)� ½;�[H)J`��S1RTi;JQu`H X H)�[�k½;�[H)J`�ZR`Of�� X H+R�JQOfu`JPa[� Y \�\�s � H+u`U�s�]�U?i'Jfsu@��� � �Pm)mKM�Va�nKM)�3K;nl�M;s

Eão)��Gªg[s��âs�F�H+�H+RT��H)Jfa �âO Y \�OfuQRT��SN\ Y ��O X J �}Y Rw½¨��H)J`��S1R`i'JQu`H X J§ä~s � O XZY ��O�J`Ofu`J Y)� ���[�ZuQOªu%i¨��O)a � ��JTS1R`OfuQO� Y \�����ufsD�âO Y \�s �;u � �Pm)m)m�Va��&M'�VK��Pm'�+s

EãoKM�Gªg[s+�âs#F�H+�H+RT�©H)JfaI�âO Y \�OfuQRT�©S�\ Y ��O X J �rY R9½;�[H)J`��S1R`i'JQu`H X J�ä`ä~s*F Y SfH X RT� X OPJ��[�[��OfR���J Y \�OfuQRT��OPJfa � ��JTS1R`OfuQO� Y \�����ufsD�âO Y \�s �;u � �Pm)m)m�Va�nHJ?�3K;nl+o;s

Eãol�Gªg[s��âs�F�H+�H+RT��H)JwH)�[� ]�sÁ@zs â sÁ] X OPH)JTH)�?u`Jfa�F Y SfH X S Y \�� X O1É��Zu=i Y)��� O XZY ��O�J`Ofu`J0H)�[� S1R`i'JQu`H X�X �����Zu=i)au Y H+�[��OPH+RD��� �¥H)�[H)�Ás � H+u`U�s â � X�X s

EãoK¢�G�A0s�?ªs+A0s+F�O)a;�bs)]"�©�[�[�Z_'U[���0H)����>zs?�'H)� Y ��a��âO Y \�OfuQR`i Y)� ½;�[H)J`�©S1R`i;J`u`H X JfaMD��J`J`��H)� � H+u`U�s¨�'��R`�)Ofi'J³p� � �Pm)m)n�VaLJ[�VK��fjo;s

Eão)m�G � s6F�OP��¦)aâ@d��OfRT� Y �[��S X ����OPH+R X i¾RTOf�bOfu`��u`�Z�)O � O X�Y ��O�JQOfu`J�H+R`O���OP�[J`O X iÊR`Of��Ofu`�Zu`�Z�)O)aâu Y H+�[��OPH+R����� ��JTS1R`OfuQO�� Y \�����ufsD�âO Y \�s

Eãn+jHG � s�F�OP��¦�H)�[�®]�s��'u YX�X \�H)�[�Áa � O X�Y ��O���i'�[H)\���SfH X J`i;JQuQOP\�J0H)�[�®H)J`J Y Sf��H+uQOP�»RTH)�[� Y \ Y �bOfRVH+u Y RTJfa�"���������I� ���*���X�������G�� X�}��¡�¢�£}¢*£}¢�¤�£ sEãn'��G � s"@zs�F��©�[��a"A6U[O°OP�¨uQR Y ����OPJ Y)� u Y � YXZY ��©SfH X6� H+RT_ Y �ÊJ`U[� � u`JªH)�[�ÊH RTO X H+uQOP�ÊS X H)J`J Y)� H X �)OfI�RTH)��S�©�?uQOf�)OfRTJPa1��R`� Y �[��S§A6U[O Y R`i � i'�[H)\�sb�'i;JQuQOP\�J ³ � �PmK¢HJ¨�Va�oK¢)n3K;n+j)j's

Eãn)o�G � s�@zs�F����[��a � H+uQRV��S1OPJ Y)� ]�OfR`R Y ���;�[\zI�OfRTJfa[g�s[câ�[\zIbOfRdA6U�O Y R`i ³ � � �Pm)m)o�Va�o'�)�~±%o'�3l¨sEãn)n�G � s?@zsF��©�[��H)�[� â s � H+RTSf�[Jfa��âÑ U Ñ� ¢¡]QPÞKµ�¤3 ¢Ï8Q)Ñ� ßQ���Ó����ÒQ+ÎÐÏ¢¤Dy0Ó+Ñ�£K��Ϥ1�§£+Ñ�Þ��`QPÞ+Ï}Ño���b�¥H)\wI�RT�����)O� s�]"R`OPJ`J.}��¥H)\zI[RT�©���)O��Pm)m)�;s

EãnHJ�Gzµhs W s;F��[�[� Y �°H)�[�°]�s�@zs â s�] X OPH)J`H)�?u`JPax?E�[H)J`��S1R`i'JQu`H X�X�Y �)RTH+��U[��S6u`� X �����JPa;g�s � H+u`U�s�]"��R`OPJL@d�[� X sæ�æ � �PmK¢l)�Va�o'�3lPK;oKM)n;s

Eãn)��Gzµhs W s;F��[��� Y ��H)�[�°]�s;@zs â s'] X OPH)J`H)�¨u`Jfa[�¥U[H+RTH)S1uQOfRV�Z¦PH+u`� Y � Y)� u=e Y ±=�[��JQu`H)�[S1OEJQOP½;��OP�[S1OPJPa'g[s¨@â�[J̱uQRVH X s � H+u`UÁsb� Y S+sb�;OfRPs[@ Ñx� � �Pm)m)o�Va��PmK¢3K;o'�&¢;s

EãnKM�G � s � Ofi)OfRPa¥�IQ����1¡`Ò~�zÞ?Ò2��Ï©�.Q) ���Ñ�Q����1¡`Ò~�ªÞ?Ò��b£+Î�Ò��+�¥Òf L£+Ñ�£+ÎÐÓ#�fÒ¶¦;£)¡��ÁQ+Ñ[Ï Ì.µ�Òfa�FÁOPS1u`�[R`O0c Y uQOPJd���� H+u`U�s�c Y s��)�3l¨a��;�[RT���[�)OfR&} â OfR X ��� �Pml#j's

Eãnl�G � s � Ofi)OfRPab�âÎN�¨Ò*�1¡Q£+Ϥ���µ!���TÒf¡T�w£+Ñ�Þ0±z£+¡��ÁQ+Ñ[Ϥ0�âÑ�£+ÎÐÓ#�VÏr�Va�c Y R`u`U'±gä YX�X H)�[�^}�@d\�J`uQOfRT�[H)\é�Pml+o;sEãnK¢�G � s � Ofi)OfRPa�?§�[H)JT��S1R`i'JQu`H X Jfa � � Y ��U[H)�¨u`����O�H+�[��R Y É���\�H+u`� Y � H)�[��H X �)OfI[RTH)��Sª�;�[\wI�OfRTJPa��©�;}ßݧÒ1Ó�Q+ÑbÞ�¨µ[£#�~Ï¢¤P¡VÓ#�1 �£+Î �~a � W s�@DÉ;O X H)�[� � sp�âRTH+u`�©H)Jfa1�"��JfsÔ�Va��;�[RT�©���)OfR&} â OfR X �����Pm)m)�;a��[�Ás�n3K��&M;sEãn)m�G�Mws?>�s � Y;Y ��i)a � Ofi)OfRkJQOfu`J�H)�[�Êu`U�O����[��uQO°�)OP�[OfRTH+u`� Y � Y)� ½;�[H)J`��S1RTi;JQu`H X Jfa����^}@��Ó��Í��ÒP ¢¡VÏ�Ò~��Ï}Ñ��¤fÏ�Ò1Ñ�¤~Ò§¦ U3U3U a � ]�s � sD�âRT��I�OfRPax����sÔ�L] X OP�¨�[\W}9F Y �[� Y �®�Pm)m)�;s

nl

Page 38: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

E JjHG�MwsD>�s � Y;Y �[i)a � Ofi)OfR0JQOfu`J§H)�[��u`U�OP�ZR§�[�[H X JPa����;}²£´¦'ÒI�®£) ¦�Ò���£) ¢Ï¤1�²Q]� l Q+Ño��| �6£+Ño�¨Ò��¥Õ�Ò1¡~Ï8Q3Þ+Ï¢¤�¥¡QÞ?Òf¡Va � Mws@>�s � Y;Y ��i)a1�"�ÁsÔ�Va@¿ X �¨e�OfR&} �âY RT�[R`OPSTU¨uz�Pm)ml¨a��[�Ás!Jjn3KZJKJ?o;sE J[��G�Mws�>zs � Y;Y �[ikH)����g�s�]9H+uQOfRTH'a�� YXZY ��RT�©���J Y)� ½;�[H)J`�©S1R`i;J`u`H X Jfa��¥H)�[H)�Ás�g�s�]�U?i'Jfs �/� � �Pm)m)��VaLJKJ?o3K

J?�)o;sE J?o�G � s ��Y RTJQOwH)���f��s�@zs1äDOP� X �[�[��a��;i'\zI YX ��Sd�[i;�[H)\���SfJfa�@d\�OfRPs�g�s � H+u`U�s æ � � �Pm)nK¢�Va;¢'�P�3K�¢KMKM;sE J?n�G � s � Y RTJ`O�H)�[�'��s+@wsHäDOP� X �[�[��a)�;i;\zI YX ��SB��i'�[H)\��©SfJÁä`ä~a+�;u`�[RT\���H)�EuQRVH p OPS1u Y RT��OPJfa@d\�OfRPs#g[s � H+u`U�s

æL� � �PmHJj?�Va9�VKZJ?o;sE JKJ�G���s ��Y ¦fOPJfa?A6� X �����Jfa#J`��I�J`u`�Zu`��u`� Y �zJQi;J`uQOP\�J9H)�[�z�[i;�[H)\���SfH X J`i;JQuQOP\�J��)OP�[OfRTH+uQOP�ªI¨iwu`U�OP\�a?g�s+@â�[H X s� H+u`U�s Ñ1� � �PmK¢)m�Va9�Pn)m3K��&¢KM;s

E J?��G��§s!Câ���Ofi)a � s � �[��OPH)�°H)�[�N@ws³¿0H+uQ¦)a�@¶�)O Y \�OfuQRT��SâH+�[�[R Y H)STUNu Y ½;�[H)J`�Z��OfRT� Y �[�©S"u`� X �����Jfa;� Y \�\�s� H+u`U�s�]�U?i'Jfs u�uI� � �PmK¢K¢�Va�m)m3K��)�&¢;s

E JZM�Gzµhs�]9H+R`R`i)a¨£1QVÕbÏ¢¤f�0ÏrÑH�¥¡ �ZQ3Þ+Ï¢¤W£´¦�ÒÒQ+¡~Ó����¥H)\wI�RT�����)O � �[�Z�bs�]�R`OPJ`J&}��¥H)\wI�RT�����)O��PmK¢'�+sE J¨l�GÍ�Ds � s�]9H)� X a � ���[��\�H X JQi'\wI YX �©S r�Y eDJ�U[HP�'�����ª\�������\�H X I XZY ST_��)R Y e6u`U�a � H+u`U�s��;i'JQuQOP\�J¥A6U�O Y R`i� � �Pml+��VaÁn+jm3K;n'�P�;sE JZ¢�G+¿�s[]�OfuQOfRVJQOP��a¨��¡8�oQPÞ+ϤW£´¦'ÒÒQ)¡VÓ+a���H)\wI[RV�����)O � �[�Z�bs']"R`OPJ`J.}¥�¥H)\wI�RT�����)O��PmK¢)n;sE J?m�G�]�s�@zs â s�] X OPH)J`H)�?u`JPa � OPJ`�Z���OfRD½;�[H)J`�©S1R`i;J`u`H X J.}BSf��u̱=H)�[�'±���R Y#p OPS1udJQOfu`J6eD��u`Uk�[R`O1±=H)J`J`�����OP�k�[R Y ��OfRQ±u`��OPJfa'u Y H+�[��OPH+R¥�©�;}ãy0Ï}¡`Ò`¤P ¢Ï Q+Ñ��EÏ}Ñm�»£) ¦'Ò.��£ ¢Ï¢¤V£+Î��¨µ[£#�VϤf¡~Ó#�~ �£+ÎÔ� � � s â H)H+_)OwH)�[�kMws³>�s ��Y¨Y ��i)a���[JfsÔ�Va��¥M � ��Y � Y �)RTH+��U��;OfRT��OPJfa[@ � �L}[]"R Y �'����OP�[S1O)a�M6ä�o+j)j)j's

Eã�+jHG�]�s�@zs â s�] X OPH)J`H)�?u`JPa1�"�¨uQR Y �;i Y)�BX H)�[��[H+�)OPJ6H)�[��J`OP½¨��OP��S1OPJfa�\�H)�;�[J`S1RT���[uE�PmK¢KM;sEã�'��G � s�?§��O1å�O X OPS+a*�1µ��~�~ ¢Ï¢ 8µ� ¢Ï8Q)Ñ�ywÓ+Ñ�£��ªÏ¢¤V£+Î���Ó#�~ =Ò.���5©ª�)Õ�ÒT¤P ¢¡Q£+Ψ�âÑ�£)ÎÔÓ#�VÏr�VaF�OPS1u`��R`O¥c Y uQOPJB�©� � H+u`U�s�Po)mHJ�a��;�[RT�©���)OfR&} â OfR X ��� �PmK¢l¨s

Eã�)o�G � sù?§��O1å�O X OPS+a��;��OPS1uQRTH X JQu`�[��i Y)� H)�[u Y \�H+u`��S°H)�[��JT��I�JQu`�Zu`�[u`�Z�)ONJQOP½;��OP�[S1OPJPa����;}ݧÒ1Ó�Q+Ñ�Þ��¨µ�£K|�~Ï¢¤P¡VÓ#�1 �£+Î � � W s�@DÉ;O X H)�[� � sp�âRTH+u`�©H)Jfa1�"��JfsÔ�Va��;�[RT�©���)OfR&} â OfR X ��� �Pm)m)�;ab�[�Ás[nKM)m3KZJ[��J�s

Eã�)n�G��§sMDH)�[���Áa � �©J Y RT��OfR`OP�ª�)R Y �[�[��JQu`H+uQOPJ �rY R"S X H)J`J`��SfH X�X H+uQu`�©S1OD\ Y ��O X JfaMDOf��s � H+u`U�s?]�U?i'Jfs � � �Pm)m'�3�Va�Po)�3K��Pn)�;s

Eã�HJ�G��§s[MDH)�[���Áa@� XZY I�H X�Y RT�[OfR � R Y \ XZY SfH X J Y ��RTS1OPJfa â � X�X s�@d\�OfRPs � H+u`UÁs�� Y S+s �1Ñ � �Pm)m'�3�Va�n)n)�3K;nKMHJ�sEã�)��G��§s�MDH)����� H)�[� � s�µ YX å9a��;��H)S1O�u`� X ���[�J6H)�[� XZY SfH X ��J Y \ Y R`��U[��JT\�ap�âO Y \�s � OP�[��SfH+u`H ³L� � �Pm)m)o�Van)�)�3K;nKM+j's

Eã�KM�G��§s*MD�©STU[H+RT�Áa � s�ä+�Y å�O)a¨g�sHäDOfRV\���J`J Y ��H)�[� � s â H)H+_)O)a¨MdH)�[� Y \ u`� X �����J&}ÁS Y �[S1Of�[u`J9H)�[�zO1É'H)\�� X OPJfag[s[]"U¨i;JPs[@ �´u � �Pm)mK¢�Va;M)nK¢)�3K�MHJj�¢;sã�[R Y;Y)� J`U�OfOfu`JP�fjn+j�J�sã��J

Eã�l�GÍ�Ds;@zs'M Y I�����J Y ��a;gRPsZa'A6U�Od�[i;�[H)\���SfH X u`U�O Y RTi Y)� u`� X �©���J�H)�[�°½¨��H)J`��S1R`i'JQu`H X�XZY �)RVH+��U?i)a'���;}«�¥¡ �ZQ3Þ+Ï¢¤£´¦�ÒÒQ+¡~ÓÌQ]�'�«¬�|��D¤3 ¢Ï8Q+Ñ[� � � s�] YX�X ��S Y uQu�H)�[�ã¿�s��'STU[\�����ufaù�"��JfsÔ�Va�F Y �[� Y � � H+u`UÁs�� Y S+s�F�OPS1u`��R`Oc Y uQOPJDc Y sbo)oK¢;a��¥H)\zI[RT�����)O � s�]�RTOPJ`J.}��¥H)\zI[RT���[�)Oª�Pm)mKM;ab�[�Ás!J?�'�VKZJ¨l+n;s

nK¢

Page 39: dept.math.lsa.umich.edudept.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/repetitive.pdfkmlonBpqsr q t pvuxw uxw @ zy ªÒfÎ {Q +Ñ Òw fÒf ¢a Y R Æ#Ç`È | = PÒf ¢ab J6H J`S1R`OfuQOwJ`Ofu6«

Eã�K¢�GÍ�Ds;@zs'M Y I�����J Y ��a�g)RPs;A6U�O§��i;��H)\���SfH X ��R Y ��OfR`u`�ZOPJ Y)� ]�OP��R Y JQO§u`� X �©���JfaB£[¡Q£+Ñ������Å��Òf¡��7�®£) ¦!�i�7QP¤���1³D� � �Pm)mKM�Va�JKJKJ¨lPKZJKJZMHJ�s

Eã�)m�Gªg[sµhs;�'H)�[��OfR�H)�[��Mws?A6� p ��OP\�H)��aADU�ODS Y \�� X O1É'�Zu%i Y)�b� �[�[S1u`� Y �[J Y � X H+uQu`�©S1OPJfa;ADU�O Y R`Ofufs'� Y \�����ufs��Sf�sZa�u Y H+�[��OPH+RPs

ENM+jHGªg[s¨µhs[�'H)�[��OfR¥H)�[�°M0s'A6� p ��OP\�H)��a;A6U�OâR`OPS1u`H)��� X O§S Y \�� X O1É��Zu%i Y)�Á� �[�[S1u`� Y �[J Y �°u=e Y ±=�[��\�OP�[JT� Y �[H XX H+uQu`��S1OPJfa�A6U[O Y R`Ofufsb� Y \�����ufs��'Sf�sZa�u Y H+���bOPH+R3s

ENM'��G � s���STU XZY uQu`\�H)�[��a,�§O Y \�OfuQRT��J`SVU�O��"�Z�)OP�[JTSTU[H � uQOP��½;�[H)J`���bOfRV� Y ����J`STU[OfRd�;uQRT��_;u`��R`OP��a[]�U�s � s�u`U[OPJ`��Jfa�"I�OfRTU[H+RT�'± ¿wH+R X J̱ � �[�Z�)OfRTJT�ZuM�H+u"¦P��A����I����[�)OP��a��§OfRT\�H)�¨i �Pm)m)n;s

ENM)o�G � s¨�'SVU XZY uQu`\�H)�[�Áa¨�¥��uBH)�[�ª�[R Y#p OPS1u�JQOfu`J��©� X�Y SfH X�X iwS Y \���H)S1u�@dI�O X ��H)���)R Y ����JPa���;}4�¨µ[£#�~Ï¢¤P¡VÓ#�~ �£)Î �£)Ñ�Þ�ywÏr�1¤P¡QÒP =Ò â Ò$Q���Òf ¢¡~Ó+a � g�s6]9H+uQOfRTH'a¶����sÔ�Va W �ZO X �[JkäÌ�[JQu`��u`��uQO � Y � Y �)RVH+��U[JfaE� YX s0�fj'az@ � �L}]"R Y �'����OP��S1O)a[M6ä§�Pm)mK¢;a��[��s�oHJ¨lPK;oKMHJ�s

ENM)n�Gªg[s ±=]�s0��STU�R`OP��IbOfR3aw@D���[R Y É���\�H+u`� Y �[J �[� Y ��U[H)�¨u`�ZOP�[��OPJ Ofu���R Y I X­�OP\�J H)�[�[��u`� � J��[H)�[J X OPJ��)R Y ����OPJH+I�=O X �ZOP�[J XZY SfH X OP\�OP�¨u6S Y \���H)S1u`JPa â � X�X s�� Y S+s � H+u`U�s W RVH)�[S1O u � u � �Pml+n�Va�o)mlPK;n)n)o;s

ENMHJ�G � sb�;OP�[OPSTU[H X a«�¨µ[£#�~Ï¢¤P¡VÓ#�1 �£+Î �ª£+Ñ�Þ â ÒÒQK��ÒP ¢¡VÓ+a��¥H)\wI�RT�����)O � �[�Z�bs�]�R`OPJ`J&}��¥H)\wI�RT�����)O��Pm)m)�;sENM)��Gªg[sHC�s)�'U[H X�X ��ufa#� Y �¨u`���¨�[OP� � RVH)S1u`� Y �[JÁed�Zu`UEI Y �[�[��OP�0��H+R`u`��H X ½;� Y u`�ZOP�¨u`J.}�@¾JT��R`�)Ofi)aK�"�[J`OP�Z���s � H+u`U�s

�D� � �Pm)m)o�Va9�P�'�VK��&¢l¨sENMKM�G â s�� YX�Y \wiH+_ba � i;��H)\���SfJ Y)� JQO XZ� ±=J`��\�� X H+R�u`� X �����Jfa!��RT� Y �[�©SâADU�O Y R`i � i'�[H)\�s��;i'JQuQOP\�J u�� � �Pm)ml)�Va

M)m)�3K'l+nK¢;sENMl�G â sD� YXZY \ziH+_badc Y ����OfRT� Y �[��Sf�Zu%i¹�©\�� X �ZOPJ��[�[��½;��O�S Y \�� Y JT�Zu`� Y � �rY R�JQO XZ� ±=J`��\�� X H+R�uQRTH)��J X H+u`� Y �[H X©X i�b�[�ZuQO§u`� X ���[�Jfa � �©J`S1R`OfuQO�� Y \�����ufs��âO Y \�s � � � �Pm)mK¢�Va�oKM)�3K;ol+m;s

ENMK¢�G â s�� YXZY \ziH+_ba��;��OPS1uQRT�[\ Y)� ��i'�[H)\���SfH X JQi;J`uQOP\�JEH+RT��J`�©��� � R Y \ � O X�Y ��O�JQOfu`Jfa����;}6�¨µ[£#�~Ï¢¤P¡VÓ#�~ �£)Î �£)Ñ�Þ�ywÏr�1¤P¡QÒP =Ò â Ò$Q���Òf ¢¡~Ó+a � g�s6]9H+uQOfRTH'a¶����sÔ�Va W �ZO X �[JkäÌ�[JQu`��u`��uQO � Y � Y �)RVH+��U[JfaE� YX s0�fj'az@ � �L}]"R Y �'����OP��S1O)a[M6ä§�Pm)mK¢;a��[��s�oKM)�3K;ol+�;s

ENM)m�Gzµhs�A6U¨�[RTJQu Y ��aî�âR Y ����Jfa�u`� X �����JdH)�[���b�[�ZuQOzJ`u`H+uQOªH)�[u Y \�H+u`H'a�@ � � � YX�X�Y ½;�[���[\^F�OPS1u`��R`O�c Y uQOPJ�PmK¢)m;ab�[�����[I X ��J`U[OP��s

Etl#jHGzµhs�A6U;��RTJ`u Y ��a�� Y �?e¥HPi X Jdu`� X �������)R Y ����Jfa[@d\�OfRPs � H+u`U�s ��Y �?u`U X i �(� � �Pm)m+j?�VaÁl+�lPK'l)l+n;s�®���¯�G°�� ±¯²G°}³�����´X�*����²��¶µ����}�Iµ`²G·®����G�����G��°��*��´X�"���¥´"³��������+��¸�´¹µº²X·®� µ��"¸

n)m