Embed Size (px)
Citation preview
Departamento de Matemáticas
Puntos, rectas y planos en el
espacio
(incompleto)
Autora: Mª Soledad Vega Fernández
Presentación adaptada al libro de texto Matemáticas II de Anaya
Ed. 2003
Sistema de referencia afín
Es un conjunto k,j,i,O
• O = Un punto fijo llamado origen
• = Una base ortonormal
A cada punto P se le asocia su vector de posición
Coordenadas de P = Coordenadas de OP
OPP
P
j
i
k
O k,j,i
Departamento de Matemáticas
APLICACIONES DE LOS VECTORES A PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
Departamento de Matemáticas
OPOQPQ
O
Las coordenadas del vector que une dos puntos y bbbbbbb son:
P
Q 111 z,y,xP
222 z,y,xQ
Coordenadas de PQ = Coordenadas de Q – Coordenadas de P
121212 zz,yy,xxPQ
Departamento de Matemáticas
APLICACIONES DE LOS VECTORES A PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
Esto ocurre si dos de dichos vectores tienen sus coordenadas proporcionales
si los vectores tienen la misma direcciónACyBC,AB
Tres puntos , y están alineados
111 z,y,xA 222 z,y,xB 333 z,y,xC
AB C
12
13
12
13
12
13
zz
zz
yy
yy
xx
xx
Departamento de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
APLICACIONES DE LOS VECTORES A PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
AB·2
1AM
Operando y despejando:
2
zz,
2
yy,
2
xx)z,y,x(M 212121
O
Y sustituyendo por sus coordenadas respectivas:
AByAM
AB
M
Coordenadas del punto medio, M(x,y,z) , de un segmento de extremos y )z,y,x(A 111 )z,y,x(B 222
)zz,yy,xx(2
1zz,yy,xx 121212111
Ecuaciones de la recta conocidos un punto y un vector
321 p,p,pP 321 u,u,uu
determina con P un vector
lin. independiente de
uPX
X recta si
X
X
X recta si
u
Pu
P
determina con P un vector
lin. dependiente de u
PX
Departamento de Matemáticas
Ecuaciones de la recta conocidos un punto y un vector
321 p,p,pP
321 u,u,uu
Y esto es equivalente a:
Y sustituyendo en (*) X, P y u por sus coordenadas respectivas:
X
X(x,y,z) recta si:
Despejando el parámetro en las tres ecuaciones :
Ec. Vectorial de la recta (*)
u·OPOX
33
22
11
u·pz
u·py
u·px
Ec. Paramétricas
u·PX
P
u
u·OPOX
O
3
3
2
2
1
1
u
pz
u
py
u
px
Ec. Continua
determina con P un vector lin. dependiente de u
PX
ax+by+cz+d=0
a´x+b´y+c´z+d´=0
Ec. implícitas
Departamento de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
EJERCICIOS
33
22
11
u·pz
u·py
u·px
Ec. Paramétricas
Departamento de Matemáticas
EJERCICIOS
33
22
11
u·pz
u·py
u·px
Ec. Paramétricas
3
3
2
2
1
1
u
pz
u
py
u
px
Ec. Continua
ax+by+cz+d=0
a´x+b´y+c´z+d´=0
Ec. implícitas
Departamento de Matemáticas
EJERCICIOS
2
Departamento de Matemáticas
EJERCICIOS
33
22
11
u·pz
u·py
u·px
Ec. Paramétricas
Departamento de Matemáticas
EJERCICIOS
Ec. Vectorial de la recta (*)
u·OPOX
(1/2,-1/2,-1)
1/2
1/2
33
22
11
u·pz
u·py
u·px
Ec. Paramétricas
3
3
2
2
1
1
u
pz
u
py
u
px
Ec. Continua
u(1,-1,-2)
Departamento de Matemáticas
EJERCICIOS
ax+by+cz+d=0
a´x+b´y+c´z+d´=0
Ec. implícitas
3
3
2
2
1
1
u
pz
u
py
u
px
Ec. Continua
