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ÁLGEBRA II

GRADO EN MATEMÁTICAS

Departamento de Matemáticas

Universidad de Extremadura

DPTO MATEMÁTICAS UEX ÁLGEBRA II

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Índice general

1 Anillos de polinomios 52 Conjuntos algebraicos 533 Localización 754 Morfismos finitos 1095 Dimensión de Krull. 127

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Tema 1

Anillos de polinomios

ContenidosDescripción del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Polinomios en una indeterminada . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Polinomios con coeficientes en un cuerpo . . . . . . . . 10

1.1.2 Raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Dominios de factorización única . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3 Polinomios en varias indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.1 Polinomios con coeficientes en un cuerpo . . . . . . . . 28

1.4 Anillos y módulos noetherianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5 Introducción a las Bases de Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.1 Órdenes monomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5.2 Algoritmo de división en k[X1, . . . ,Xn] . . . . . . . . . . 38

1.5.3 Bases de Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Bibliografía principal:

M.F ATIYAH, D.G MACDONALD. Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969. Capítu-los 1, 4, 6 y 7.J.A. NAVARRO GONZÁLEZ. Algebra Conmutativa Básica. Manuales UEx, no.19. Servicio de Publicaciones, Universidad de Extremadura, 1996. Versión on-line actualizada disponible en http://matematicas.unex.es/~navarro. Ca-pítulos III (pp. 63-69), IV (pp. 88-89), V (pp.113-116), Apendice V (pp. 315-316) y Ejemplos y Ejercicios (pp. 238-254).

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http://matematicas.unex.es/~navarro


Descripción del contenido

En la asignatura Álgebra I se estudió la Teoría de Galois de las ecuaciones al-gebraicas en una variable a0Xn + . . .+ an = 0 con coeficientes en un cuerpo k. Unconcepto clave en esta Teoría es el de k-álgebra finita. El ejemplo fundamental de k-álgebra finita es el cociente k[X ]/(p(X)). Algebraicamente, el anillo de polinomios enuna indeterminada es totalmente análogo al anillo Z de los números enteros: existe ladivisión con resto, todo ideal es principal, existen el máximo común divisor y el míni-mo común múltiplo de toda pareja de elementos y todo elemento no nulo ni invertibledescompone de modo único como producto de potencias de elementos irreducibles.

En esta asignatura Álgebra II iniciamos el estudio de los sistemas de ecuacionesalgebraicas en n indeterminadas:

p1(X1, . . . ,Xn) = 0p2(X1, . . . ,Xn) = 0

...pr(X1, . . . ,Xn) = 0

.

El estudio de estos sistemas se sustenta en las k-álgebras de tipo finito, es decir, loscocientes del anillo de polinomios en varias indeterminadas k[X1, . . . ,Xn]/I. Una pro-piedad fundamental de estos anillos es que todo ideal está generado por un númerofinito de elementos (este resultado es el Teorema de la base de Hilbert). Los anillosque tienen esta propiedad se conocen como anillos noetherianos, en honor de la ma-temática alemana E. Noether (1882-1935). Los anillos de polinomios con coeficientesen un cuerpo o en Z, así como sus cocientes, son noetherianos. Más adelante proba-remos que la localización por un sistema multiplicativo de un anillo noetheriano estambién noetheriano. Así, la práctica totalidad de los anillos que aparecen tanto enAritmética como en Geometría Algebraica (rama de las Matemáticas que estudia lossistemas de ecuaciones algebraicas) son noetherianos, de ahí la importancia de talesanillos.

La primera sección de este tema está dedicada a los polinomios en una indetermi-nada con coeficientes en un anillo, aunque con especial énfasis en el caso en que elanillo sea un cuerpo, de manera que no es más que un repaso del tema estudiado en laasignatura de segundo curso Álgebra Conmutativa. Los resultados más relevantes deesta sección son: que todo anillo de polinomios en una indeterminada con coeficientesen un anillo integro, es también integro (Proposición 1.1.1, página 9), el Teorema dedivisión de polinomios (página 10), cuya consecuencia más inmediata es el Teorema1.1.6 (página 11) que afirma que los ideales del anillo de polinomios con coeficientesen un cuerpo están generados por un sólo polinomio, es decir, que son principales.De estos resultados se siguen la identidad de Bezout (página 12) y de forma natural elLema de Euclides (página 13). Ahora, al igual que en el caso de los enteros, podemosdemostrar el Teorema de descomposición en factores irreducibles (página 13).

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ÁLGEBRA II DPTO MATEMÁTICAS UEX

En la segunda parte de esta sección recordamos algunos resultados fundamentalessobre las raíces de los polinomios con coeficientes en un cuerpo. En primer lugar, laRegla de Ruffini (página 15); que nos proporciona una condición necesaria y suficien-te para que un polinomio tenga factores de grado 1, estableciendo la conexión entre lasraíces de un polinomio y sus factores lineales. A continuación, tras introducir las no-ciones de raíces simples y múltiples, estudiamos una serie de resultados básicos sobrefactorización y raíces, por ejemplo, que el número de raíces de un polinomio no superasu grado (Corolario 1.1.13, página 16), y también damos una condición necesaria ysuficiente para que un polinomio tenga raíces múltiples (Teorema 1.1.19, página 18).Termina esta parte con algunos resultados específicos sobre las raíces de polinomiosen una indeterminada con coeficientes racionales y complejos: la condición necesariapara que un número racional sea raíz de un polinomio en una indeterminada con coefi-cientes en Q (Teorema 1.1.22, página 19) y el Teorema de D’Alembert (página 20) oTeorema Fundamental del Álgebra, que establece que todo polinomio con coeficientescomplejos tiene alguna raíz compleja.

La segunda sección del tema está dedicada a los dominios de factorización úni-ca, recordándose los conceptos y resultados estudiados en la asignatura Álgebra I. Sedefinen los dominios de factorización única (página 21), como aquellos anillos ínte-gros donde cualquier elemento admite una única, salvo invertibles, descomposiciónen producto de irreducibles. en los dominios de factorización única se cumple el Le-ma de Euclides (página 22). Se prueba además que la unicidad de la factorización esconsecuencia del Lema de Euclides, es decir, en aquellos dominios de factorizaciónen los que se verifica el Lema de Euclides, la factorización es única (página 22). Losresultados estudiados Álgebra Conmutativa para Z y su cuerpo de fracciones (es de-cir, Q), como el Lema de Gauss (página 24), son válidos para cualquier dominio defactorización única. Finaliza la sección demostrando que un anillo de polinomios enuna indeterminada sobre un dominio de factorización única, también es un dominiode factorización única (Teorema 1.2.8, página 24). Como consecuencia, los anillos depolinomios en varias indeterminadas con coeficientes en un dominio de factorizaciónúnica, en particular sobre un cuerpo, también son dominios de factorización única.Los conceptos y resultados fundamentales sobre estos anillos los recordaremos en latercera sección del tema. Estos anillos de polinomios en varias indeterminadas no sondominios de ideales principales, pero cada ideal admite un sistema finito de genera-dores. Los anillos que gozan de esta propiedad son los llamados anillos noetherianos,a cuyo estudio dedicaremos la cuarta sección de este tema, la primera propiamente dela asignatura Álgebra II.

La cuarta sección del tema, que lleva por título Anillos y módulos noetherianos, ladedicaremos al estudio de los conceptos y resultados fundamentales de estos anillos ymódulos. Como es natural, comenzamos tema dando la definición de módulo noethe-riano (Definición 1.4.4, página 29), mostramos algunas de sus propiedades y damosalgunos ejemplos elementales. Cuando un anillo es noetheriano como módulo sobre sí

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mismo, se dice que es un anillo noetheriano (Definición 1.4.11, página 31). De espe-cial interés es el Teorema de la base de Hilbert (página 1.4) que establece que el anillode polinomios con coeficientes en un anillo noetheriano es también noetheriano.

Incluimos un apéndice en el que se expone la teoría básica sobre las herramientasque nos van a permitir determinar de modo efectivo, es decir, computacional, si un sis-tema de ecuaciones algebraicas es compatible. Estas herramientas serán un algoritmode división en k[X1, . . . ,Xn], que extiende al conocido para el caso de un indetermi-nada, y las bases de Grobner que, en pocas palabras, son sistemas de generadores deun ideal de k[X1, . . . ,Xn] con buenas propiedades algorítmicas. En el desarrollo de laasignatura a estas cuestiones se le dará un enfoque fundamentalmente práctico.

Los objetivos/competencias que se supone el alumno ha conseguido en asignaturasanteriores son:

Conocer los anillos de polinomios en una variable con coeficientes en un anilloy en un cuerpo, así como sus propiedades más relevantes.Comprender la relación que existe entre las raíces de un polinomio y sus factoreslineales, y de forma más general, entres sus raíces y su factorización.Conocer diferentes criterios para determinar si un polinomio con coeficientesenteros, racionales, reales o complejos es irreducibles.Conocer y saber distinguir los dominios de factorización única y los de idealesprincipales.Entender y saber usar las propiedades que definen a los dominios de factoriza-ción única y los de ideales principales para realizar demostraciones originales oseguir razonamientos de nivel moderado.Conocer los anillos de polinomios en varias indeterminadas con coeficientes enun anillo y en un cuerpo, así como sus propiedades más relevantes.

Los objetivos/competencias que se persiguen conseguir en este tema son:Conocer y manejar las nociones de módulo y anillo noetherianos.Conocer ejemplos relevantes de módulos y anillos noetherianos.Saber utilizar las bases de Gröbner para realizar cálculos sencillos en anillo depolinomios en varias indeterminadas con coeficientes en un cuerpo.

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1.1. Polinomios en una indeterminada

Sea A un anillo. El anillo de polinomios en una indeterminada X con coeficien-tes en A es el conjunto de las expresiones

∑i

aiX i = a0 +a1X +a2X2 + . . .

con ai ∈ A todos nulos salvo un número finito, con la estructura de anillo que definenlas siguientes operaciones:(

∑i

aiX i)+ (∑i

biX i)= ∑i(ai +bi)X i

(∑

iaiX i) · (∑

jb jX j)= ∑

n≥0

(∑

i+ j=naib j

)Xn

(compruébese que definen una estructura de anillo) y lo denotaremos A[X ].

Por definición todo polinomio p(X) en una indeterminada con coeficientes en Aes de la siguiente forma:

p(X) = ∑i

aiX i

Los términos a0,a1, . . . se llaman coeficientes del polinomio y lo determinan comple-tamente. Diremos que un polinomio es constante si todos sus coeficientes son nulos,salvo quizás a0. Cada elemento a ∈ A define un polinomio constante que tambiéndenotaremos a. Obtenemos así un morfismo de anillos canónico A ↪→ A[X ].

Si un polinomio p(X) no es nulo, existe un único número natural d tal que ad 6= 0y ar = 0 para todo r > d. Tal número natural recibe el nombre de grado del polinomiop(X) y se denotará deg(p(X)) (por su nombre en inglés degree). Es fácil probar que:

deg(p(X)) = 0⇔ p(X) es un polinomio constante no nulo

deg((

p(X)+q(X))≤max

(deg(p(X)),deg(q(X))

)deg(

(p(X) ·q(X)

)≤ deg(p(X))+deg(q(X))

Si p(X) = ∑i aiX i es un polinomio de grado d y ad = 1, se dice que es un polinomiomónico.

Proposición 1.1.1. Sea A un anillo íntegro. El producto de polinomios no nulos concoeficientes en A nunca es nulo, y su grado es la suma de los grados de los factores.Por tanto, el anillo A[X ] es íntegro, y todo múltiplo no nulo de un polinomio p(X) ∈A[X ] tiene grado mayor o igual que el grado de p(X).

Demostración. Sean p(X) = ∑i aiX i y q(X) = ∑ j b jX j dos polinomios con coeficien-tes en A. Si d = deg(p(X)) y r = deg(q(X)), entonces ad y br no son nulos; lue-go adbr 6= 0 y, como es un coeficiente de p(X)q(X), se sigue que p(X)q(X) 6= 0 ydeg(

p(X)q(X))≥ d + r. Como siempre deg

(p(X)q(X)

)≤ d + r, concluimos que

deg(

p(X)q(X))= deg(p(X))+deg(q(X)).

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Ejemplo 1.1.2. El anillo de polinomios Z[X ] es íntegro.

Proposición 1.1.3. Sea A un anillo íntegro. Los elementos invertibles de A[X ] son lospolinomios constantes definidos por invertibles de A:

A× = A[X ]×

Demostración. Si p(X) ∈ A[X ] es invertible en A[X ], entonces existe q(X) ∈ A[X ] talque p(X)q(X) = 1; luego deg

(p(X)q(X)

)= 0 y, según la Proposición 1.1.1, tenemos

que deg(p(X)) = deg(q(X)) = 0. Es decir, existen b,c∈ A tales que p(X) = b, q(X) =

c, de modo que bc = p(X)q(X) = 1 y concluimos que b es invertible en A.

1.1.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo

A lo largo de toda esta sección k denotará un cuerpo.Teorema de división de polinomios. Sea p(X) = a0Xn + . . .+ an un polinomio concoeficientes en k. Para cada polinomio q(X) con coeficientes en k existe una únicapareja de polinomios c(X), r(X) ∈ k[X ] tales que

q(X) = c(X) · p(X)+ r(X)

con deg(r(X))< deg(p(X)) ó r(X) = 0.Demostración. Veamos primero la existencia de tales polinomios c(X),r(X). Si q(X)=

0 ó deg(q(X)) < deg(p(X)), entonces q(X) = 0 · p(X)+ q(X), así que podemos su-poner que deg(q(X)) ≥ deg(p(X)), en cuyo caso procedemos por inducción sobred = deg(q(X)).

Si d = 0, el grado de p(X) es nulo, así que p(X) = a0 y tenemos que q(X) =(q(X)/a0

)p(X)+0.

Si d ≥ 1 y suponemos que el enunciado es cierto para los polinomios de gradomenor que d, consideramos los coeficientes de p(X) y q(X):

p(X) = a0Xn +a1Xn−1 + . . .+an

q(X) = b0Xd +b1Xd−1 + . . .+bd

donde a0 y b0 no son nulos y d es mayor o igual que n.El grado de q(X) = q(X)− (b0/a0)Xd−n · p(X) es menor que d, así que, por hipó-

tesis de inducción, eXisten c(X),r(X) ∈ k[X ] tales que

q(X) = c(X) · p(X)+ r(X) , deg(r(X))< n ó r(X) = 0.

Luego q(X) = (b0a−10 Xd−n + c(X)) · p(X)+ r(X), donde deg(r(X)) < deg(p(X)) ó

r(X) = 0.

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En cuanto a la unicidad, si existieran otros polinomios c(X), r(X) ∈ k[X ] tales queq(X) = c(X) · p(X)+ r(X) y deg r(X)< deg p(X) ó r(X) = 0, entonces

p(X)(c(X)− c(X)) = r(X)− r(X).

Por tanto r(X)− r(X) es un múltiplo de p(X) que es nulo o de grado menor que elgrado de p(X), así que es nulo por ser a0 invertible, y se sigue que r(X) = r(X); luegop(X)(c(X)−c(X)) = 0, de modo que c(X)−c(X) = 0 y concluimos que c(X) = c(X).

Ejemplo 1.1.4. Realicemos la división de 3X4−(1+ i)X3+X por iX2−1 en el anilloC[X ]:

3X4− (1+ i)X3 +0X2 +X | iX2−1

−3X4 + 0X3−3iX2 −3iX2 +(−1+ i)X−3

− (1+ i)X3−3iX2 + X

(1+ i)X3 + 0X2 +(−1+ i)X

−3iX2 + iX

3iX2 + 0X−3

iX−3

Ejemplo 1.1.5. Para efectuar la división de un polinomio p(X) por un polinomio degrado 1 mónico X − c se considera la sucesión de los coeficientes de p(X) y debajode cada coeficiente se calcula su suma con el producto por c del término anterior. Lasucesión así obtenida nos proporciona los coeficientes del cociente y el resto de ladivisión de p(X) por X − c. Así, en la división del polinomio 2X4 +3X3 +X −1 porX +2, el cociente es 2X3−X2 +2X−3 y el resto es 5 :

2 3 0 1 −1

−4 2 −4 6−2 2 −1 2 −3 5

Teorema 1.1.6. Sean k un cuerpo y a un ideal no nulo de k[X ]. Si p(X) es el polinomiomónico de menor grado que está en a, entonces a está formado por todos los múltiplosde p(X), es decir, a= 〈p(X)〉.

Demostración. Sea q(X) ∈ a. Por el Teorema de división de polinomios, existe unaúnica pareja de polinomios c(X), r(X) ∈ k[X ] tales que

q(X) = c(X) · p(X)+ r(X)

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con deg(r(X)) < deg(p(X)) ó r(X) = 0. Si r(X) = 0, entonces q(X) es un múltiplode p(X); en otro caso, 0 6= r(X) = q(X)− c(X) · p(X) ∈ a, en contradicción con laminimalidad del grado de p(X).

Como los elementos invertibles de k[X ] son los polinomios de grado cero, paracada polinomio no nulo p(X) ∈ k[X ] existe un único invertible u tal que up(X) esmónico. Además, los múltiplos de p(X) en k[X ] coinciden con los múltiplos de up(X).

Luego, si k es un cuerpo, los ideales de k[X ] se corresponden con los polino-mios mónicos: p(X)←→ p(X)k[X ] = 〈p(X)〉. Por tanto, podemos definir el máxi-mo común divisor de dos polinomios p(X) y q(X) como el generador mónico delideal 〈p(X)〉+ 〈q(X)〉. El mínimo común múltiplo de p(X) y q(X) es el genera-dor mónico del ideal 〈p(X)〉 ∩ 〈q(X)〉. Igual que ocurre en aritmética elemental, te-nemos que es válida la identidad de Bezout: si d(X) = mcd(p(X),q(X)), entonces〈d(X)〉= 〈p(X)〉+〈q(X)〉, de modo que existen polinomios α(X) y β (X)∈ k[X ] talesque d(X) = α(X)p(X)+β (X)q(X). Además, el algoritmo de Euclides proporcionaun método para calcular el máximo común divisor y los coeficientes de la identidadde Bezout.

Ejemplo 1.1.7. Vamos a calcular el máximo común divisor, en el anillo euclídeoF5[X ], de los polinomios p(X) =X4+2X3−X2+2X +2 y q(X) = 2X2−1, aplicandoel algoritmo de Euclides:

p(X) = q(X)(3X2 +X +1)+(3X−2)

q(X) = (3X−2)(4X +1)+1

Luego ambos polinomios son primos entre sí, y la identidad de Bézout es

1 = q(X)− (4X +1)(3X−2) = q(X)− (4X +1)(

p(X)−q(X)(3X2 +X +1))

= (X−1) · p(X)+(2X3 +2X2 +2) ·q(X)

Proposición 1.1.8. Sea p(X) un polinomio no nulo con coeficientes en un cuerpo k.Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) p(X) es irreducible.(b) 〈p(X)〉 es un ideal maximal de k[X ].

(c) 〈p(X)〉 es un ideal primo de k[X ].

Demostración. (a)⇒ (b) Como p(X) es irreducible, cualquier ideal que contienea 〈p(X)〉 está generado por un elemento q(X) ∈ k[X ] que divide a p(X), es decir,p(X) = c(X)q(X). Pero p(X) es irreducible, por tanto, ó 〈q(X)〉= 〈p(X)〉 ó 〈q(X)〉=k[X ]. En conclusión, 〈p(X)〉 es un ideal maximal de k[X ].

(b)⇒ (c) Sabemos que todo ideal maximal es primo (Álgebra Conmutativa).

(c)⇒ (a) Si p(X) = p1(X)p2(X), entonces p1(X)p2(X) ∈ 〈p(X)〉. Por tanto,ó p1(X) ∈ 〈p(X)〉 ó p2(X) ∈ 〈p(X)〉, por ser 〈p(X)〉 ideal primo. Supongamos, por

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ejemplo, que p1(X) ∈ 〈p(X)〉. En cuyo caso, existe c(X) ∈ k[X ] tal que p1(X) =

c(X)p(X), luego

p(X) = p1(X)p2(X) =(c(X)p(X)

)p2(X) =

(c(X)p2(X)

)p(X)

m

p(X)(c(X)p2(X)−1) = 0,

de donde se sigue que c(X)p2(X) = 1, por ser k[X ] íntegro. De modo que p2(X) esinvertible y, por tanto, p(X) irreducible. El caso p2(X) ∈ 〈p(X)〉 es completamenteanálogo, obtendremos que p1(X) es invertible y p(X) irreducible.

Consecuencias inmediatas de la proposición anterior son las siguientes:Lema de Euclides. Si un polinomio irreducible p(X) con coeficientes en un cuerpok divide a un producto de polinomios con coeficientes en k, entonces divide a algúnfactor.

Corolario 1.1.9. Sea p(X) un polinomio con coeficientes en un cuerpo k. La condi-ción necesaria y suficiente para que el anillo cociente k[X ]/(p(X)) sea un cuerpo esque p(X) sea irreducible en k[X ].

Teorema de descomposición en factores irreducibles. Todo polinomio no nuloni invertible con coeficientes en un cuerpo descompone en producto de irreducibles.Esta descomposición es única salvo el orden de los factores y factores invertibles.Demostración. Sean k un cuerpo y p(X) ∈ k[X ] no nulo ni invertible, es decir, degrado mayor o igual que 1.

Veamos primero la existencia de la descomposición. Si p(X) es irreducible, nohay nada que probar. Si p(X) no es irreducible, descompone en producto de dospolinomios, p(X) = p1(X)p2(X) donde ninguno de los factores es invertible; luegodeg(pi(X))≥ 1 y se sigue que deg(p(X))= deg(p1(X))+deg(p2(X))> deg(pi(X)), i=1,2. Si algún factor no es irreducible, descompone en producto de polinomios de gra-dos más pequeños. Reiterando el proceso, en algún momento ha de terminar, pues elgrado no puede descender indefinidamente, y obtenemos una descomposición de p(X)

en producto de polinomios irreducibles.Veamos la unicidad de la descomposición. Si p(X) = q(X)m p1(X) · · · pr(X) es

una descomposición de p(X) en producto de irreducibles mónicos, donde suponemosque pi(X) 6= q(X) para todo índice i, del Lema de Euclides se sigue que q(X)m+1

no divide a p(X), así que q(X)m es la mayor potencia de q(X) que divide a p(X).

Luego el número de veces m que aparece el polinomio irreducible q(X) no dependede la descomposición elegida: ésta es única salvo el orden de los factores y factoresinvertibles.

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Corolario 1.1.10. Si p(X) = c0Xn+c1Xn−1+ . . .+cn es un polinomio de grado n≥ 1con coeficientes en un cuerpo k, entonces

p(X) = c0 · p1(X)n1 · · · pr(X)nr

donde p1(X), . . . , pr(X) ∈ k[X ] son polinomios mónicos irreducibles distintos. Estadescomposición es única salvo el orden de los factores.

Demostración. De acuerdo con el Teorema de descomposición en factores irredu-cibles existen en k[X ] polinomios irreducibles q1(X), . . . ,qs(X) tales que p(X) =

q1(X) · · ·qs(X). Ahora bien, qi(X) = ai pi(X) donde pi(X) es mónico y ai ∈ k, asíque

p(X) = ap1(X) · · · ps(X)

donde a ∈ k y p1(X), . . . , ps(X) son polinomios mónicos irreducibles. Igualando loscoeficientes de grado n concluimos que a = c0.

Clases de restos de polinomios. Sea p(X) = c0Xn+c1Xn−1+ . . .+cn, c0 6= 0, unpolinomio con coeficientes en un cuerpo k. Para determinar si un polinomio q(X) ∈k[X ] es múltiplo de p(X) no es necesario efectuar la división de q(X) por p(X), quesuele ser laboriosa. Basta calcular la imagen [q(X)] de q(X) en el anillo cociente A =

k[X ]/〈p(X)〉, pues la condición de que q(X) sea múltiplo de p(X) equivale a que laclase de restos de q(X) módulo p(X) sea nula. Sea α = [X ] y denotemos c la clase[c] de cualquier constante c ∈ k. Para calcular [q(X)] = q([X ]) = q(α) utilizamosreiteradamente la relación

αn =−c1αn−1 + . . .+ cn−1α + cn

c0

que nos permite expresar las sucesivas potencias αm, m ≥ n, como combinacioneslineales de 1,α, . . . ,αn−1 con coeficientes en k. Obtendremos así que

[q(X)] = [a0 +a1X + . . .+an−1Xn−1]

donde ai ∈ k, de modo que a0 +a1X + . . .+an−1Xn−1 es precisamente el resto de ladivisión de q(X) por p(X) y su anulación significa que p(X) divide a q(X).

De la Proposición 1.1.8 se sigue que A es un cuerpo precisamente cuando el po-linomio p(X) es irreducible en k[X ]. En tal caso, el inverso de cualquier elemento nonulo ∑i aiα

i puede calcularse mediante la Identidad de Bézout: Como a(X) = ∑i aiX i

no es múltiplo de p(X) y p(X) es irreducible en k[X ], el máximo común divisor dep(X) y a(X) en k[X ] es 1; luego 1 = a(X)b(X)+ p(X)q(X) para ciertos polinomiosb(X),q(X) ∈ k[X ] y concluimos que 1 = a(α)b(α) en A. Es decir, b(α) es el inversode a(α) en el cuerpo A.

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Consideremos, por ejemplo, los polinomios p(X) = X2 + X + 1, q(X) = X6 +

X4 +X3 +X +1 con coeficientes en el cuerpo F2. Para averiguar si q(X) es múltiplode p(X) calculamos las potencias necesarias de α = [X ] en el anillo F2[X ]/

(p(X)

),

partiendo de la relación α2 =−α−1 = α +1:

α3 = α

2 +α = 2α +1 = 1

α4 = α

α6 = α

3 = 1

Ahora [q(X)] = q(α) = α6 +α4 +α3 +α + 1 = 1+α + 1+α + 1 = 2α + 3 = 1 yconcluimos que q(X) no es múltiplo de p(X), pues el resto de la división es 1.

1.1.2. Raíces

Definición 1.1.11. Sea p(X) = c0Xn + c1Xn−1 + . . .+ cn un polinomio con coefi-cientes en un cuerpo k. Diremos que a ∈ k es una raíz de p(X) en k si p(a) =c0an + c1an−1 + . . .+ cn = 0.

Si p(X) descompone en producto de dos polinomios, p(X) = q(X)r(X), entoncesla condición necesaria y suficiente para que a ∈ k sea raíz de p(X) es que sea raíz deq(X) o de r(X), pues p(a) = q(a)r(a) y k es íntegro.

Regla de Ruffini Sea p(X) un polinomio con coeficientes en k. Si a ∈ k, entoncesel resto de la división de p(X) por X −a es p(a). Por tanto, la condición necesaria ysuficiente para que p(X) sea múltiplo de X−a en el anillo k[X ] es que p(a) = 0.Demostración. Sea p(X) = q(X)(X −a)+ r(X) la división de p(X) por X −a. Comodeg(r(X)) < 1 ó r(X) = 0, se sigue que r(X) es constante, r(X) = r, y p(a) = q(a) ·0+ r = r.

Si a ∈ k es una raíz de un polinomio p(X) ∈ k[X ], la Regla de Ruffini afirma quep(X) es múltiplo de X−a en k[X ] y, si p(X) es no nulo, llamaremos multiplicidad dela raíz a de p(X) al mayor número natural m tal que (X−a)m divide a p(X) en k[X ].

Las raíces de multiplicidad 1 reciben el nombre de raíces simples. Las raíces queno sean simples se denominan múltiples.

Proposición 1.1.12. Si a1, . . . ,ar son raíces distintas de p(X) en k de multiplicidadesm1, . . . ,mr, respectivamente, entonces (X−a1)

m1 · · ·(X−ar)mr divide a p(X) en k[X ].

Demostración. De acuerdo con la Regla de Ruffini, p(X) = (X − a1)q1(X) para al-gún q1(X) ∈ k[X ]. Si a1 es raíz de q1(X), la Regla de Ruffini prueba que q1(X) =

(X − a1)q2(X) para algún q2(X) ∈ k[X ]; luego p(X) = (X − a1)2q2(X). Repitiendo

el argumento las veces que sea, obtenemos que p(X) = (X − a1)m p1(X) para algún

p1(X) ∈ k[X ] tal que p1(a1) 6= 0, y se sigue que m = m1 por la definición de mul-tiplicidad. Como a2, . . . ,ar son raíces de p(X) en k y no son raíces de (X − a1)

m1 ,

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han de ser raíces de p1(X). De nuevo la Regla de Ruffini prueba que p(X) = (X −a1)

m1(X − a2)m2 p2(X) para algún p2(X) ∈ k[X ]. Reiterando el argumento conclui-

mos que p(X) = (X −a1)m1(X −a2)

m2 · · ·(X −ar)mr pr(X) para algún pr(X) ∈ k[X ].

En el resultado anterior no se puede suprimir la hipótesis de que k sea un cuer-po. Por ejemplo, el polinomio p(X) = X2 +[1]6X ∈ Z/6Z[X ] tiene 4 raíces distintasen Z/6Z, a saber, [0]6, [2]6, [3]6 y [5]6, y el polinomio X4 + [2]6X3 + X2 = X(X −[2]6)(X− [3]6)(X− [5]6) no divide a X2 +[1]6X .

Corolario 1.1.13. Si p(X) es un polinomio no nulo con coeficientes en un cuerpo k,el número de raíces de p(X) en k, contando cada raíz tantas veces como indica sumultiplicidad, no supera al grado de p(X).

Demostración. Si (X−a1)m1 · · ·(X−ar)

mr divide a p(X) y p(X) 6= 0, entonces ∑ri=1 mi≤

deg(p(X)).

Según los resultados anteriores, si las raíces de un polinomio p(X) ∈ k[X ] en k

son a1, . . . ,ar y sus multiplicidades respectivas son m1, . . . ,mr, tenemos quep(X) = (X−a1)

m1 · · ·(X−ar)mr q(X)

m1 + . . .+mr ≤ deg(p(X)).

y diremos que p(X) tiene todas sus raíces en k cuando se dé la igualdad m1 + . . .+

mr = deg(p(X)), lo que equivale a decir que q(X) es constante; es decir,

c0Xn + c1Xn−1 + . . .+ cn−1X + cn = c0(X−a1)m1 · · ·(X−ar)

mr (1.1)

Además, si p(X) es mónico, entonces q(X) = 1. Luego, la condición necesaria y sufi-ciente para que un polinomio mónico tenga todas sus raíces en k es que descompongaen producto de polinomios de grado 1 (posiblemente repetidos).

Corolario 1.1.14. Sea p(X) un polinomio de grado n ≥ 1 con coeficientes en uncuerpo k. Si existen a1, . . . ,am, m > n, tales que p(ai) = 0, para todo i, entonces p(X)

es el polinomio nulo.

Demostración. Por el Corolario 1.1.13, p(X) no puede tener m > n raíces a menos quesea constante, p(X) = c0 y en este caso ha ser nulo, porque 0 = p(ai) = c0, para todoi.

Ejemplo 1.1.15. Fórmula de interpolación de Lagrange. Sean a1, . . . ,an elementosdistintos de un cuerpo k. Para cada sucesión b1, . . . ,bn de elementos de k (no necesa-riamente distintos), existe un único polinomio p(X) ∈ k[X ] de grado menor que n talque p(ai) = bi, 1≤ i≤ n:

p(X) =n

∑j=1

b jq j(X)

q j(a j), q j(X) =

(X−a1) · · ·(X−an)

(X−a j)

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En efecto, si p(X), q(X) ∈ k[X ] son dos polinomios de grado menor que n tales quep(ai) = q(ai) = bi para todo 1≤ i≤ n, entonces a1, . . . ,an son raíces de p(X)−q(X)

en k y, por el Corolario 1.1.14, concluimos que p(X)− q(X) = 0; es decir, p(X) =

q(X). Por último, con las notaciones del enunciado, es claro que qi(a j) = 0 cuandoi 6= j; luego:

∑j

b jq j(ai)

q j(a j)= bi

qi(ai)

qi(ai)= bi

La interpolación de Lagrange se utiliza para crear sistemas de cifrado que quesólo pueden descodificados de forma corporativa, (véase, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Shamir%27s_Secret_Sharing).

Ejemplo 1.1.16. Fórmulas de Cardano. Las fórmulas de Cardano expresan los co-eficientes de cada polinomio p(X) en función de sus raíces. Son muy útiles porque per-miten obtener muchas funciones de las raíces de un polinomio en función únicamentede los coeficientes,sin necesidad de calcular previamente las raíces. Sea c0Xn+ . . .+cn

un polinomio de grado n≥ 1 con coeficientes en un cuerpo k. Si p(X) tiene todas susraíces en k y α1, . . . ,αn son sus raíces, cada una repetida tantas veces como indiquesu multiplicidad, por (1.1) tenemos

c0Xn + c1Xn−1 + . . .+ cn−1X + cn = c0(X−α1) · · ·(X−αn).

Igualando coeficientes obtenemos las Fórmulas de Cardano:

(−1)rcrc0

= ∑i1<···<ir

αi1 · · ·αir

para cada r = 1, . . . ,n.Por ejemplo, en el caso de un polinomio aX2+bX +c de grado 2, de raíces α1, α2 ,

las fórmulas de Cardano son

−b/a = α1 +α2

c/a = α1α2

y, en el caso de un polinomio mónico X3 + pX2 + qX + r de grado 3, de raícesα1, α2, α3 , las fórmulas de Cardano son

−p = α1 +α2 +α3

q = α1α2 +α1α3 +α2α3

−r = α1α2α3

Veamos ahora una condición necesaria y suficiente para que un polinomio de k[X ]

tenga raíces múltiples.

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http://en.wikipedia.org/wiki/Shamir%27s_Secret_Sharing

http://en.wikipedia.org/wiki/Shamir%27s_Secret_Sharing


Definición 1.1.17. Sea p(X) = ∑i aiX i un polinomio con coeficientes en un cuerpo k.Llamaremos derivada de p(X) al siguiente polinomio con coeficientes en k (dondeiai := ai+ i. . .+ai denota la suma i veces de ai en k):

p′(X) = ∑i≥1

iaiX i−1.

Es fácil comprobar que la derivada es una aplicación k-lineal:

(p(X)+q(X))′ = p′(X)+q′(X)

(a · p(X))′ = a · p′(X) , a ∈ k

Proposición 1.1.18. (p(X) ·q(X))′ = p′(X) ·q(X)+ p(X) ·q′(X).

Demostración. Cuando p(X) = X i y q(X) = X j la igualdad se comprueba directamen-te. En el caso general p(X) = ∑i aiX i , q(X) = ∑ j b jX j tenemos:

(pq)′ = ∑i j

aib j(X iX j)′ = ∑i j

iaib jX i−1X j +∑i j

jaib jX iX j−1

=(∑

iiaiX i−1)(

∑j

b jX j)+ (∑i

aiX i)(∑

jjb jX j−1)= p′ ·q+ p ·q′

Teorema 1.1.19. Sea p(X) un polinomio no constante con coeficientes en un cuerpok. La condición necesaria y suficiente para que una raíz de p(X) sea múltiple es quesea raíz de la derivada p′(X).

Demostración. Sea α ∈ k una raíz1 de p(X) y sea m su multiplicidad, de modo quetenemos

p(X) = (X−α)mq(X) , q(α) 6= 0

Si m = 1, entonces

p′(X) = q(X)+(X−α)q′(X) , p′(α) = q(α) 6= 0

de modo que α no es raíz de p′(X). Si m≥ 2, entonces

p′(X) = m(X−α)m−1 +(X−α)mq′(X) , p′(α) = 0

y α es raíz de p′(X).

Corolario 1.1.20. Sea p(X) un polinomio no constante con coeficientes en un cuerpok. Las raíces múltiples de p(X) son las raíces del máximo común divisor de p(X) ysu derivada p′(X).

1Tal raíz podría no existir. En todo caso, la demostración es la misma si α fuese una raíz de p(X) en unaextensión K de k, por ejemplo, si k=Q y K = C.

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Demostración. Sea d(X) = mcd(p(X), p′(X)). Si α ∈ k una raíz1 de d(X), entoncesα es raíz de p(X) y de p′(X) porque ambos polinomios son múltiplos de d(X), asíque el Teorema 1.1.19 permite concluir que α es una raíz múltiple de p(X).

Recíprocamente, si α es una raíz múltiple de p(X), el Teorema 1.1.19 afirma quetambién es raíz de p′(X). Concluimos que α es raíz de d(X) porque, según la Identidadde Bézout, existen a(X), b(X) ∈ k[X ] tales que d(X) = a(X)p(X)+b(X)p′(X).

Corolario 1.1.21. Sea p(X) un polinomio con coeficientes racionales. Si p(X) esirreducible en k[X ], entonces todas las raíces de p(X) son simples o su derivadap′(X) es nula.

Demostración. Salvo constantes no nulas, los únicos divisores de p(X) en k[X ] son 1 yp(X), así que el máximo común divisor de p(X) y p′(X) es 1 ó p(X). Si es 1, en virtuddel Corolario 1.1.20 p(X) no tiene raíces múltiples. Si es p(X), como divide a p′(X)

y el grado de p′(X) no puede ser mayor o igual que el grado de p(X), concluimos quep′(X) = 0.

Para terminar esta sección veamos algunos resultados específicos para polinomioscon coeficientes racionales y complejos.

Teorema 1.1.22. Sea p(X) = c0Xn +c1Xn−1 + . . .+cn un polinomio con coeficientesenteros. Si α es una raíz de p(X) en Q, entonces α = a/b donde a es un divisor de cn

en A y b es un divisor de c0 en A. En particular, si c0 =±1, todas sus raíces racionalesson enteras.

Demostración. Sea α = a/b, donde a,b ∈ A no tienen factores primos comunes. Si α

es raíz de p(X), entonces

c0an + c1an−1b+ . . .+ cn−1abn−1 + cnbn = 0

de modo que a divide a cnbn = −c0am− . . .− cn−1abn−1 y c0an = −c1an−1b− . . .−cnbn es múltiplo de b. Como bn no tiene factores irreducibles comunes con a y por launicidad de la Descomposición en factores primos, cn es múltiplo de a en A. Análo-gamente c0an es múltiplo de b y concluimos que c0 es múltiplo de b en A.

Corolario 1.1.23. Cualquier número racional que sea raíz de un polinomio mónicocon coeficientes enteros necesariamente es entero.

El Teorema 1.1.22 permite hallar todas las raíces racionales de cualquier poli-nomio con coeficientes racionales, pues podemos suponer que éste tiene coeficien-tes enteros y el número de divisores de un número entero siempre es finito. Porejemplo, las posibles raíces racionales del polinomio 3X4 + X3 + X2 + X − 2 son±1,±2,±1/3,±2/3 y sustituyendo en el polinomio se comprueba que sus raíces ra-cionales son −1 y 2/3.

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Ejemplo 1.1.24. Los únicos números racionales que pueden ser raíces del polinomiop(X) = 6X4 +X3 +11X2 +2X−2 son ±1,±2,±1/2,±1/3,±2/3,±1/6. Por com-probación directa se obtiene que sólo −1/2 y 1/3 son raíces de p(X), así que éstasson las únicas raíces racionales de p(X).

Utilizaremos el siguiente Lema para probar el Teorema Fundamental del Álgebra,o Teorema de D’Alembert. En la asignatura Álgebra I se estudió una demostracióndiferente de este Teorema, basada en el Teorema de Bolzano.

Lema 1.1.25. Sea p(X) = c0Xn + c1Xn−1 + . . .+ cn−1X + cn un polinomio con coefi-cientes complejos. Si c es el máximo de los módulos de c1, c2, . . . , cn, entonces paratodo número complejo z de módulo ρ > 1 se verifica que

ρn(|c0|−

cρ−1

)≤ |p(z)|

En consecuencia, el módulo de cualquier raíz compleja de p(X) está acotado por1+(c/|c0|

).

Demostración.

|p(z)| ≥ |c0zn|− |c1zn−1 + . . .+ cn|≥ |c0|ρn− c(ρn−1 + . . .+1) = |c0|ρn− c(ρn−1)/(ρ−1)

≥ |c0|ρn− cρn/(ρ−1) = ρ

n(|c0|− c/(ρ−1)).

Teorema de D’Alembert Todo polinomio con coeficientes complejos no constantetiene alguna raíz compleja.Demostración. Sea p(X) un polinomio no constante con coeficientes en C y sea r unnúmero real positivo. El disco Dr = {z∈C | |z| ≤ r} es un conjunto cerrado y acotadode C; luego es compacto y la función continua f : Dr→ R, f (z) = |p(z)|, alcanza unmínimo en algún punto a ∈ Dr.

De acuerdo con el Lema 1.1.25, podemos elegir r de modo que |p(z)| > |p(0)|para todo número complejo z de módulo r, de modo que el mínimo de f no se alcanzaen ningún punto de módulo r, por lo que tal mínimo a tiene que ser un punto interiorde Dr. Vamos a probar que p(a) = 0. Si |p(a)|> 0, consideramos la primera potenciade X que tenga coeficiente no nulo en el polinomio p(a+X):

p(a+X) = p(a)+ cdXd + cd+1Xd+1 + . . .+ cnXn , cd 6= 0

Como cd 6= 0, podemos fijar el argumento de z ∈C de modo que el módulo de p(a)+cdzd sea |p(a)|− |cdzd |. Luego

|p(a+ z)| ≤ |p(a)|− |cdzd |+ |cd+1zd+1 + . . .+ cnzn|

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es menor que |p(a)| cuando

|cd+1zd+1 + . . .+ cnzn| ≤ c(n−d)|z|d+1

sea menor que |cd · zd |, donde c = max{|ci|}; lo que nos lleva a contradicción, puesclaramente podemos elegir z de modo que a+z esté en el disco Dr, tenga el argumentoprefijado y c(n−d)|z|d+1 ≤ |cd | · |z|d = |cdzd |.

1.2. Dominios de factorización única

Las propiedades de Z y de k[X ] como dominios de factorización única se estu-diaron en la asignatura Álgebra Conmutativa. Recordamos aquí los resultados funda-mentales sobre esta clase de anillos (Lema de Euclides, Teorema de Gauss) que seestudiaron en Álgebra I.

Dado un anillo A, cada elemento a ∈ A define un ideal de A: el ideal aA, que enotras ocasiones también hemos denotado 〈a〉 o (a). Si dos elementos a,b ∈ A difierenen un invertible de A (es decir, si existe u ∈ A× tal que b = ua), entonces aA = bA. Engeneral, de la igualdad aA = bA no se sigue que a y b difieran en un invertible de A;sin embargo, cuando el anillo A es íntegro, la igualdad aA = bA implica que b = ua,a = vb para ciertos u,v ∈ A; luego b = uvb y b(1− uv) = 0, de modo que uv = 1 ób = 0. En ambos casos concluimos que b = ua para algún u ∈ A invertible.

En los anillos íntegros, cada elemento a está determinado, salvo invertibles, porel ideal aA que genera.

Definición 1.2.1. Diremos que un anillo íntegro A es un dominio de factorizaciónsi todo elemento no nulo ni invertible de A descompone en producto de elementosirreducibles de A; si además, tal descomposición es única salvo el orden y factoresinvertibles en A, diremos que se trata de un dominio de factorización única.

Dicho de otro modo, un anillo íntegro A es un dominio de factorización si, paracada a ∈ A no es nulo ni invertible, existen irreducibles p1, . . . , pr ∈ A, r≥ 1, tales que

a = p1 · · · pr.

Si, además, para cualquier otra descomposición de a en producto de irreducibles,a = q1 · · ·qs, se cumple que r = s y que, después de reordenar los factores si fuerapreciso, qi = ui pi para ciertos invertibles u1, . . . ,ur ∈ A, diremos que A es un dominiode factorización única.

Todos los cuerpos, Z y el anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo sondominios de factorización única.

Sea A un dominio de factorización única. Si a = pn11 · · · pnr

r es una descomposiciónde un elemento a ∈ A en producto de elementos irreducibles de A, donde piA 6= p jA

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cuando i 6= j, es sencillo comprobar que, salvo invertibles de A, los divisores de a enA son:

pd11 . . . pdr

r , 0≤ di ≤ ni (convenimos que p0i = 1)

En consecuencia el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de doselementos:

a = pn11 . . . pnr

r , b = pm11 . . . pmr

r , mi,ni ≥ 0

siempre existen (y son únicos salvo invertibles de A) y son:

mcd(a,b) = pd11 · · · p

drr , di = mın{mi,ni}

mcm(a,b) = pe11 · · · p

err , ei = max{mi,ni}

Diremos que una familia finita a1, . . . ,an ∈ A son primos entre sí en A si ningúnelemento irreducible de A divide a todos los elementos de tal familia, es decir, si notienen factores irreducibles comunes en A.Lema de Euclides: Sea A un dominio de factorización única. Si un elemento irredu-cible p ∈ A divide a un producto de elementos de A, entonces divide a algún factor;es decir, el ideal pA es primo.Demostración. El ideal pA es distinto del total porque p no es invertible en A, y sibc ∈ pA, entonces bc = pa, a ∈ A. En virtud de la unicidad de la descomposición enfactores irreducibles, al descomponer b y c en producto de irreducibles, algún factordebe coincidir, salvo un invertible, con p; luego b o c es múltiplo de p y concluimosque pA es un ideal primo de A.

Como consecuecia inmediata tenemos el siguiente resultado, que generaliza al yaconocido para números enteros.

Corolario 1.2.2. Sea A un dominio de factorización única. Si d divide a bc en A y esprimo con b en A, entonces divide a c en A.

Obsérvese que en la demostración del Lema de Euclides hemos usado la existenciay unicidad de la descomposición en factores irreducibles. El siguiente resultado con-cluye que si existe descomposición, la unicidad es equivalente al Lema de Euclides.

Proposición 1.2.3. Sea A un dominio de factorización. Si se satisface el Lema deEuclides, entonces A es un dominio de factorización única.

Demostración. Si a = pm p1 · · · pr es una descomposición de a ∈ A en producto deirreducibles, donde suponemos que pi 6= up para todo índice i y para todo elementoinvertible u en A, del Lema de Euclides se sigue que pm+1 no divide a a, así que pm

es precisamente la mayor potencia de p que divide a a. Luego el número de veces mque aparece un elemento irreducible p no depende de la descomposición elegida: éstaes única salvo el orden de los factores y factores invertibles en A.

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Sea A un dominio de factorización única. Si Σ denota el cuerpo de fracciones deA y a/b ∈ Σ, tendremos a = da′, b = db′, donde d = mcd(a,b); de modo que a′ y b′

ya no tienen factores irreducibles comunes en A y a/b = a′/b′. Es decir, toda fracciónde A es equivalente a una fracción cuyo numerador y denominador no tienen factoresirreducibles comunes.

Los siguientes resultados generalizan el Teorema 1.1.22 y el Corolario 1.1.22,respectivamente.

Teorema 1.2.4. Sea p(X) = c0Xn + c1Xn−1 + . . .+ cn un polinomio con coeficientesen un dominio de factorización única A y sea Σ el cuerpo de fracciones de A. Si α esuna raíz de p(X) en Σ, entonces α = a/b donde a es un divisor de cn en A y b es undivisor de c0 en A.

Demostración. Sea α = a/b, donde a,b ∈ A no tienen factores irreducibles comunesen A. Si α es raíz de p(X), entonces

c0an + c1an−1b+ . . .+ cn−1abn−1 + cnbn = 0

de modo que a divide a cnbn = −c0am− . . .− cn−1abn−1 y c0an = −c1an−1b− . . .−cnbn es múltiplo de b. Como bn no tiene factores irreducibles comunes con a y A esun dominio de factorización única, cn es múltiplo de a en A. Análogamente c0an esmúltiplo de b y concluimos que c0 es múltiplo de b en A.

Corolario 1.2.5. Cualquier elemento de Σ que sea raíz de un polinomio mónico concoeficientes en un dominio de factorización única A necesariamente está en A.

Ejemplo 1.2.6. En el cuerpo de fracciones del anillo íntegro A = Z[ni], está i = n i/n,que es raíz del polinomio X2 + 1 ∈ A[X ]. Como i no está en Z[ni] cuando n ≥ 2,el Corolario 1.2.5 proporciona una demostración de que Z[ni] no es un dominio defactorización única.

Lema 1.2.7. Si p es un elemento irreducible de un dominio de factorización única A,entonces

pA[X ] = {q(X) ∈ A[X ] : los coeficientes de q(X) son múltiplos de p}

es un ideal primo de A[X ].

Demostración. Consideremos el siguiente morfismo epiyectivo de anillos de núcleopA[X ] :

φ : A[X ]−→ (A/pA)[X ] , φ(∑i aiX i) = ∑i aiX i

En virtud del Teorema de isomorfía, A[X ]/pA[X ]' (A/pA)[X ] y, por la caracteri-zación de los ideales primos, bastará probar que el anillo (A/pA)[X ] es íntegro. Ahora

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bien, el anillo (A/pA)[X ] es íntegro porque lo es A/pA, ya que pA es un ideal primode A.

Lema de Gauss. Sea A un dominio de factorización única y sea Σ su cuerpo de frac-ciones. Si un polinomio no constante p(X) con coeficientes en A es irreducible enA[X ], entonces es irreducible en Σ[X ].

Demostración. Si p(X) no es irreducible en Σ[X ], descompone en producto p(X) =

q1(X)q2(X) de dos polinomios no constantes con coeficientes en Σ y, reduciendo acomún denominador los coeficientes de q1(X) y q2(X), tendremos:

p(X) =1a(a0Xn + . . .+an) ·

1b(b0Xm + . . .+bm)

donde a,a0, . . . ,an,b,b0, . . . ,bm ∈ A. Luego en A[X ] tendremos:

abp(X) = (a0Xn + . . .+an)(b0Xm + . . .+bm)

Si p es un factor irreducible de ab, de acuerdo con el Lema 1.2.7 debe dividira uno de los dos factores del segundo miembro. Después de suprimir tal factor pen ambos miembros, procedemos del mismo modo con otro factor irreducible, y asísucesivamente hasta obtener una descomposición

p(X) = (a′0Xn + . . .+a′n)(b′0Xm + . . .+b′m)

en producto de polinomios no constantes con coeficientes en A, y concluimos quep(X) no es irreducible en A[X ].

Teorema 1.2.8. Si A es un dominio de factorización única, el anillo de polinomosA[X ] también es un dominio de factorización única.

Demostración. Sabemos que A[X ] es íntegro cuando A es íntegro, así que sólo hay quedemostrar que todo polinomio p(X) ∈ A[X ] no nulo ni invertible descompone, y demodo único salvo el orden e invertibles, en producto de polinomios irreducibles enA[X ].

Para demostrar la existencia de la descomposición procedemos por inducción so-bre el grado de p(X). Si deg(p(X)) = 0, el polinomio es constante, p(X) = c ∈ A y,por hipótesis c descompone en A en producto de elementos irreducibles en A que, ob-viamente, también son irreducibles en A[X ]. Si deg(p(X)) ≥ 1 y d ∈ A es el máximocomún divisor de los coeficientes de p(X), tenemos p(X) = dq(X) donde q(X) es unpolinomio cuyos coeficientes están en A y ya no tienen factores irreducibles comunes.Si q(X) es irreducible en A[X ], entonces p(X) = dq(X) es producto de polinomiosirreducibles. Si q(X) no es irreducible, existen q1(X),q2(X) ∈ A[X ] que no son inver-tibles y q(X) = q1(X)q2(X). Ni q1(X) ni q2(X) son constantes, pues los coeficientes

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de q(X) no tienen factores irreducibles comunes; luego deg(q1(X)) < deg(q(X)) ydeg(q2(X))< deg(q(X)). Por hipótesis de inducción q1(X) y q2(X) descomponen enproducto de polinomios irreducibles en A[X ], luego p(X) = dq1(X)q2(X) también.

En cuanto a la unicidad, consideremos dos descomposiciones de un polinomio nonulo ni invertible p(X) ∈ A[X ] en producto de polinomios irreducibles en A[X ]:

p(X) = p1 · · · pr p1(X) · · · ps(X) = q1 · · ·qmq1(X) · · ·qn(X)

donde pi,q j ∈ A , deg(pi(X)), deg(q j(X)) ≥ 1. Como Σ[X ] es un anillo euclídeo,los polinomios pi(X) y q j(X) son irreducibles en Σ[X ], y los polinomios constan-tes p1, . . . , pr, q1, . . . ,qm son invertibles en Σ[X ], se sigue que s = n y, reordenando losfactores si fuera preciso, que qi(X) = (ai/bi)pi(X), para ciertos ai,bi ∈ A que pode-mos suponer sin factores irreducibles comunes en A. Luego biqi(X) = ai pi(X) y, si bi

tuviera algún factor irreducible p, entonces ai no sería múltiplo de p y, por el Lema1.2.7, p dividiría a pi(X), contra el hecho de que pi(X) es irreducible en A[X ]. Igual-mente se prueba que ai no tiene factores irreducibles. Es decir, ai y bi son invertiblesen A. Luego pi(X) y qi(X) difieren en un invertible de A[X ] y p1 · · · pr = (uq1) · · ·qm,donde u ∈ A es invertible. Como A es un dominio de factorización única, se sigueque r = m y que, salvo el orden e invertibles, p1, . . . , pr coinciden con q1, . . . ,qm. Seconcluye que las descomposiciones iniciales coinciden salvo el orden e invertibles deA[X ].

Corolario 1.2.9. Si A es un dominio de factorización única y p(X) ∈ A[X ] es irredu-cible, entonces el ideal 〈p(X)〉 es primo en A[X ] y por tanto, A[X ]/〈p(X)〉 es un anilloíntegro.

Demostración. Como p(X) es irreducible y, por el Teorema 1.2.8, A[X ] es un dominiode factorización única, entonces, por el Lema de Euclides, el ideal 〈p(X)〉 es primo,luego el anillo cociente A[X ]/〈p(X)〉 es íntegro.

Corolario 1.2.10. Sea A un dominio de factorización única y Σ su cuerpo de fraccio-nes. Si el producto de dos polinomios mónicos con coeficientes en Σ tiene coeficientesen A, ambos polinomios tienen coeficientes en A.

Demostración. Sean q1(X) y q2(X) polinomios mónicos con coeficientes en Σ Sip(X) = q1(X)q2(X) tiene coeficientes en A, por el teorema 1.2.8, podemos considerarla descomposición de p(X) en producto de polinomios irreducibles en A[X ]:

p(X) = p1(X) · · · pr(X)

Como p(X) es mónico, los primeros coeficientes de los polinomios pi(X) son±1. Según el Lema de Gauss los polinomios pi(X) son irreducibles en Σ[X ], así que,reordenando los factores si fuera preciso, tendremos:

q1(X) = c1 p1(X) · · · ps(X) , q2(X) = c2 ps+1(X) · · · pr(X) ; c1,c2 ∈ Σ

25


Como los polinomios q1(X) y q2(X) se suponen mónicos, se sigue que c1 y c2 son±1. Luego q1(X) y q2(X) tienen coeficientes en A.

Ejemplos 1.2.11.(i) El anillo de polinomios en una variable con coeficientes enteros, Z[X ], es un

dominio de factorización única.(ii) Consideremos el polinomio Y 2−X2n+1 con coeficientes en un cuerpo k. Es-

te polinomio es irreducible en k[X ,Y ], porque Y 2 − a2n+1 es irreducible enk(a)[Y ], ya que es de grado 2 y no tiene raíces en k(a). Luego, por el Coro-lario 1.2.9,

A = k[X ,Y ]/(Y 2−X2n+1) = k[ξ ,η ]

es un anillo íntegro. En su cuerpo de fracciones k(ξ ,η) tenemos que(η

ξ

)2

= ξ2n−1

así que η/ξ es raíz del polinomio mónico p(t) = t2 − ξ 2n−1 ∈ A[ t ]. Ahorabien, η/ξ no está en A, pues en tal caso tendríamos η = ξ q(ξ ,η) para algúnq(ξ ,η) ∈ A; luego Y −Xq(X ,Y ) sería un múltiplo de Y 2−X2n+1 en k[X ,Y ], loque llevaría a contradicción igualando los coeficientes de y. De acuerdo con elCorolario 1.2.5, concluimos que A no es un dominio de factorización única.

Ejemplo 1.2.12. Sea d es un número entero que no sea cuadrado perfecto. El anilloZ[√

d] es íntegro, pues Z[√

d] = Z[X ]/〈X2− d〉 y X2− d es irreducible en Z[X ] (osimplemente porque es un subanillo de C).

Veamos que Z[√

d] es un dominio de factorización. Para ello, definimos normade z = x+ y

√d en el anillo Z[

√d] como el número entero:

N(z) = (x+ y√

d)(x− y√

d) = x2−dy2.

Si d es negativo, N(z) es el cuadrado del módulo del número complejo z. Se comprue-ba directamente que N(z1z2) =N(z1)N(z2) y que N(z) =±1 si y sólo si z es invertible.Por tanto, si z no es irreducible, es decir, z = z1z2 con z1 y z2 no invertibles, entonces|N(z)|> |N(zi)|, i = 1,2; de donde se sigue que todo elemento de z es producto de unnúmero finito de irreducibles.

Sin embargo, Z[√

d] no es un dominio de factorización única cuando 2 es irre-ducible en Z[

√d]. En efecto, si d es par, entonces 2 divide a d =

√d ·√

d mientrasque 2 no divide a

√d en Z[

√d]. Si d es impar, 2 divide a 1−d = (1+

√d)(1−

√d),

mientras que 2 no divide a 1+√

d ni a 1−√

d en Z[√

d]. Luego, si 2 es irreducible enZ[√

d], no se verifica el Lema de Euclides, en cuyo caso, Z[√

d] no es un dominio defactorización única.

Se puede comprobar que 2 es irreducible cuando d ≤−3 y también cuando d ≡ 1módulo 4, porque la reducción de 2= x2+dy2 módulo 4 no tiene soluciones en Z/4Z.

26


1.3. Polinomios en varias indeterminadas

Sea A un anillo y n un número natural. Si n≥ 2, el anillo de polinomios A[X1, . . . ,Xn]

en n indeterminadas con coeficientes en A se define inductivamente del siguiente mo-do:

A[X1, . . . ,Xn] = (A[X1, . . . ,Xn−1])[Xn]

Ejemplo 1.3.1. En particular A[X ,Y ] = A[X ][Y ], así que todo polinomio p(X ,Y ) endos indeterminadas X ,Y con coeficientes en A descompone de modo único de la si-guiente forma:

p(X ,Y ) = ∑i≥0

(∑j≥0

ai jX i)Y j = ∑i, j≥0

ai jX iY j

donde ai j ∈ A.

Ejemplo 1.3.2. Cuando manejemos polinomios con un número pequeño de indetermi-nadas, prescindiremos habitualmente de los subíndices. De este modo, los polinomiosen una, dos, y tres indeterminadas serán los polinomios de A[X ], A[X ,Y ] y A[X ,Y,Z],respectivamente. Por ejemplo,

f = 2X3Y 2Z +32

Y 3Z3−3XY Z +Y 2

es un polinomio de Q[X ,Y,Z]. Generalmente, usaremos las letras f ,g,h, p,q y r parareferirnos a los polinomios.

Diremos que un polinomio f (X1, . . . ,Xn) es constante si todos sus coeficientes sonnulos, salvo quizás λ(0,...,0). Cada elemento a ∈ A define un polinomio constante quedenotaremos a, obteniendo así un morfismo de anillos canónico A→ A[X1, . . . ,Xn].

Proposición 1.3.3. Si A es un anillo íntegro, entonces los anillos A[X1, . . . ,Xn] tambiénson íntegros y A[X1, . . . ,Xn]

× = A×.

Demostración. Procedemos por inducción sobre n. Cuando n = 1, se sigue directa-mente de las Proposiciones 1.1.1 y 1.1.3. Cuando n > 1, por hipótesis de inducciónA[X1, . . . ,Xn−1] es íntegro y A[X1, . . . ,Xn−1]

× = A×. De nuevo, las Proposiciones 1.1.1y 1.1.3 permiten concluir que A[X1, . . . ,Xn] es íntegro y A[X1, . . . ,Xn]

× = A×.

Proposición 1.3.4. Si A es un anillo dominio de factorización única, entonces losanillos A[X1, . . . ,Xn] también son de factorización única.

Demostración. Procedemos por inducción sobre n. Cuando n = 1, se sigue directa-mente del Teorema 1.2.8. Cuando n > 1, por hipótesis de inducción A[X1, . . . ,Xn−1]

dominio de factorización única. De nuevo, el Teorema 1.2.8 permiten concluir queA[X1, . . . ,Xn] dominio de factorización única. y

27


Ejemplo 1.3.5. Según la proposición anterior, Z[X1, . . . ,Xn] es dominio de factoriza-ción única. Utilizando este resultado, vamos a probar la fórmula del determinante deVandermonde, es decir, la igualdad:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1X1 X2 . . . Xn

X21 X2

2 . . . X2n

. . . . . . . . . . . .

Xn−11 Xn−1

2 . . . Xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ∏

1≤i< j≤n(X j−Xi)

Este determinante es un polinomio V (X1, , . . . ,Xn) ∈ Z[X1, . . . ,Xn], y se anula en elcociente por el ideal (X j−Xi), luego es múltiplo de ∏i< j(X j−Xi), porque este anilloes dominio de factorización única. El grado de V (X1, , . . . ,Xn) es:

0+1+2+ . . .+(n−1) =n(n−1)

2.

El grado de ∏i< j(X j−Xi) es: (n2

)=

n(n−1)2

.

Al tratarse de dos polinomios del mismo grado, difieren en un factor constante c.Para probar que c = 1, basta calcular el coeficiente de un monomio. El monomio dela diagonal de V (X1, , . . . ,Xn) es Xn−1

n . . .X23 X2. Por inducción sobre n se prueba que

en ∏i< j(X j−Xi) también aparece este monomio: ∏i< j(X j−Xi) = (Xn−X1) . . .(Xn−Xn−1)∏i< j<n(X j−Xi) = (Xn−1

n + . . .)(Xn−2n−1 . . .X

23 X2 + . . . ...) = Xn−1

n Xn−2n−1 . . .X

23 X2 +

. . .

1.3.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo

Sea k un cuerpo. Según lo anterior se deduce que:Los únicos polinomios invertibles de k[X1, . . . ,Xn] son las constantes no nulas,en símbolos, k[X1, . . . ,Xn]

× = k× = k\{0}.

El anillo de polinomios k[X1, . . . ,Xn] es un dominio de factorización única.Un polinomio f ∈ k[X1, . . . ,Xn] es irreducible si y sólo si el ideal generado porf , 〈 f 〉 ⊆ k[X1, . . . ,Xn], es primo.

Vamos a demostrar que todos los ideales de k[X1, . . . ,Xn] son finito generados. Lapropiedad de que un anillo tenga todos los ideales finito generados se llama noethe-rianidad y el anillo en cuestión se dice que es noetheriano.

1.4. Anillos y módulos noetherianos.

Sea Σ un conjunto parcialmente ordenado mediante una relación ≤ (es decir, ≤ esreflexiva y transitiva y tal que x≤ y e y≤ x simultáneamente implican x = y).

28


Definición 1.4.1. y Diremos que Σ cumple la condición de cadena ascendente (aveces se escribe c.c.a para abreviar) si toda cadena, o sucesión, creciente x1 ≤ x2 ≤ . . .

de elementos de Σ estabiliza (es decir, existe s ≥ 1 tal que xs = xs+1 = . . .). Esto esequivalente a decir que toda cadena estrictamente creciente x1 < x2 < .. . de elementosde Σ es finita.

Diremos que Σ cumple la condición de maximalidad si todo subconjunto no vacíode Σ tiene algún elemento maximal.

Ejemplo 1.4.2. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo k y sea Σ el conjunto delos subespacios vectoriales de E, con la relación de orden definida por la inclusión. Σ

satisface la condición de cadena ascendente si y solo si E es de dimensión finita.

Proposición 1.4.3. En un conjunto parcialmente ordenado Σ se cumple la condiciónde cadena ascendente si y solo si se cumple la condición de maximalidad.

Demostración. Si Σ no se cumple la condición de maximalidad, es decir, si existe unsubconjunto no vacío X de Σ sin elementos maximales, podemos construir inductiva-mente una cadena infinita estrictamente creciente en X ⊆ Σ.

Si se cumple la condición de maximalidad, dada una sucesión creciente x1 ≤ x2 ≤. . ., el conjunto {xi}i≥1 tiene un elemento maximal, digamos xs, por consiguiente xs =

xs+1 = . . .

Definición 1.4.4. Sea A un anillo. Se dice que un A−módulo M es noetheriano si elconjunto de submódulos de M, ordenado por la inclusión,⊆, satisface la condición decadena ascendente (o la de maximalidad, que es equivalente).

Ejemplos 1.4.5.i) Todo grupo abeliano finito (como Z−módulo) es noetheriano.

ii) Sea G el subgrupo de Q/Z formado por todos los elementos cuyo orden es unapotencia de p, donde p es un número primo. G tiene exactamente un grupo,Gn, de orden pn para cada n ≥ 0, y G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gn ⊂ . . . Luego, G nosatisface la condición de cadena ascendente y por lo tanto G no es unZ−módulonoetheriano.

iii) Sea k un cuerpo. Los k−espacios vectoriales de dimensión finita son k−módulosnoetherianos.

Proposición 1.4.6. Sean A un anillo y M un A−modulo. M es noetheriano si, y sólosi, todo submódulo de M es finito generado.

Demostración. Sean M′ un submódulo M y N1 = m′1A ⊆ M′. Si M′ = N1, entoncesM′ es finito generado y hemos terminado. En otro caso, existe m′2 ∈ M′ \N1, seaN2 = m′1A+m′2A ⊆ M′. Si M′ = N2, hemos acabado. En otro caso, podemos repe-tir el proceso anterior y así sucesivamente. De este modo obtenemos una cadena de

29


inclusiones estrictas, N1 ⊆ N2 ⊆ . . . , que ha de ser finita, porque M es noetheriano ypor lo tanto verifica c.c.a. Por consiguiente, existe s≥ 1 tal que M′ = m′1A+ . . .+m′sA.

Recíprocamente, dada unay cadena creciente, M1 ⊆M2 ⊆ . . . , de submódulos deM. Definimos M′=

⋃i≥1 Mi⊆M. Como M′ es un submódulo de M, es finito generado,

digamos que por m′1, . . . ,m′r. Es claro que m′i ∈Mni para algún ni ≥ 1. Si s = maxi ni,

se tiene que m′i ∈Ms, para todo i. De donde se sigue que Ms = Ms+1 = . . .= M′ y portanto que M es noetheriano.

Proposición 1.4.7. Sean A un anillo y 0→M′ α→Mβ→M′′→ 0 una sucesión exacta

de A−módulos. Entonces, M es noetheriano si, y sólo si, M′ y M′′ son noetherianos.

Demostración. Cualquier cadena creciente de submódulos de M′ (o de M′′) define unacadena creciente de submódulos de M que es estacionaria, por hipótesis. En efecto,si N′1 ⊆ N′2 ⊆ . . . es una cadena creciente de submódulos de M′ se tiene que α(N′1)⊆α(N′2)⊆ . . . es una cadena creciente de submódulos M, por tanto existe s≥ 1 tal queα(N′s) = α(N′s+1) = . . . . Usando ahora que α es inyectiva se concluye que

N′s = α−1(α(N′s)) = N′s+1 = α

−1(α(N′s+1)) = . . .

La demostración de que M′′ es noetheriano es totalmente análoga y la dejamos co-mo ejercicio al lector. y Supongamos ahora que M′ y M′′ son noetherianos. Sea Nun submódulo cualquiera de M. Por la Proposición 1.4.6, α−1(N) y β (N) son finitogenerados, digamos que por {α−1(m1), . . . ,α

−1(mr)} y {β (mr+1), . . . ,β (mr+s)}. Dedonde se sigue que N es finito generado por {m1, . . . ,mr,mr+1, . . . ,mr+s}. En efec-to, dado m ∈ N, existen ar+1, . . . ,ar+s ∈ A tales que β (m) = ∑

si=1 ar+iβ (mr+i) =

β(

∑si=1 ar+imr+i

). Por consiguiente, m−∑

si=1 ar+imr+i ∈ ker(β ) = im(α). De mo-

do que existen a1, . . .ar ∈ A tales que

m′ = α−1(

m−s

∑i=1

ar+imr+i

)=

r

∑i=1

aiα−1(mi) = α

−1( r

∑i=1

aimi

).

De donde se sigue que m−∑si=1 ar+imr+i = ∑

ri=1 aimi y por consiguiente que m =

∑r+si=1 aimi. Luego N es finito generado y, por la Proposición 1.4.6, concluimos que M

es noetheriano.

Corolario 1.4.8. Todo submódulo de un módulo noetheriano es noetheriano.

Demostración. Basta tener en cuenta que si N es un submodulo de M, la sucesión

0→ Ni↪→M→M/im(i)→ 0 es exacta.

Corolario 1.4.9. Todo cociente de un módulo noetheriano es noetheriano.

Demostración. Basta tener en cuenta la sucesión 0→ ker(π)→ M π→ M/N → 0 esexacta.

30


Corolario 1.4.10. Sea A un anillo. Si {M1, . . . ,Mr} es una familia de A−módulosnoetherianos, entonces

⊕ri=1 Mi es noetheriano.

Demostración. Procedemos por inducción sobre r. Si r = 1 no hay nada que demos-trar. Supongamos r ≥ 1 y que el resultado es cierto para cualquier familia de r− 1A−módulos noetherianos; en particular, tenemos que

⊕r−1i=1 Mi es noetheriano. Consi-

derando ahora la sucesión exacta

0→Mr→r⊕

i=1

Mi→r−1⊕i=1

Mi→ 0

y aplicando la Proposición 1.4.7, obtenemos el resultado buscado.

Definición 1.4.11. Se dice que un anillo A es noetheriano si lo es como A−modulo.

Según los resultados anteriores, un anillo A es noetheriano si, y sólo si, todossus ideales son finito generados; equivalentemente, cuando toda cadena creciente deideales de A estabiliza.

Ejemplos 1.4.12.i) Los cuerpos, los dominios de ideales principales (como por ejemplo Z o k[x],

con k cuerpo) son noetherianos.ii) Sea k un cuerpo. El anillo k[x1,x2, . . .] no es noetheriano. En efecto, la cadena〈x1〉 ⊂ 〈x1,x2〉 ⊂ . . . no estabiliza.

iii) El anillo de la funciones continuas (o diferenciables) en la recta real no es noet-heriano. En efecto, sea In el ideal de las funciones que anulan en [−1/n,1/n], n≥1. Tenemos, pues, que I1 ⊂ I2 ⊂ . . . ⊂ In ⊂ . . . es una cadena estrictamente as-cendente de ideales del anillo que no estabiliza.

iv) El anillo de polinomios R[X ] es noetheriano (es un dominio de ideales princi-pales). Como R-módulo, R[X ] no es noetheriano.

Proposición 1.4.13. Sean A un anillo noetheriano y a un ideal de A. El anillo cocienteA/a es noetheriano.

Demostración. Por el corolario 1.4.9, A/a es un A−módulo noetheriano, luego tam-bién es un A/a−módulo noetheriano.

Proposición 1.4.14. Sea A un anillo noetheriano. Todo A−modulo finito generado esnoetheriano.

Demostración. Si A es noetheriano, por el corolario 1.4.10, An es un A−módulo noet-heriano para todo n≥ 1 Ahora bien, como todo módulo finito generado M es cocientede uno libre finito generado, por el corolario 1.4.9, podemos afirmar que M es noethe-riano.

31


Corolario 1.4.15. Sea A un anillo. La condición necesaria y suficiente para que todosubmódulo de cualquier A-módulo finito generado sea finito generado es que A seaun anillo noetheriano.

Teorema de la base de Hilbert. Si A es un anillo noetheriano, entonces A[X ] esun anillo noetheriano.Demostración.

Sea a un ideal de A[X ]. Los coeficientes principales o líderes de los polinomiosde a forman un ideal a′ de A (compruébese). Como A es noetheriano, a′ es finito ge-nerado, digamos que por a1, . . . ,ar ∈ A. Para cada i = 1, . . . ,r, existe un polinomiofi ∈ A[x] de la forma fi = aiXni + (términos de menor grado). Los polinomios fi ge-neran un ideal b de A[X ].

Sea f = axm + (términos de menor grado) ∈ a, en particular a ∈ a′; luego a =

∑ri=1 ciai con ci ∈A, i= 1, . . . ,r. Sea n=maxi ni. Si n≤m, escribimos f−∑

ri=1 cixm−ni fi,

obteniendo así un polinomio de grado estrictamente menor que m. Repitiendo el mis-mo proceso las veces que sea necesario hasta conseguir un polinomio de grado menorque n, obtendremos f = g+h con g ∈ b y h ∈M := A+AX + . . .+AXn−1. De dondese sigue que a = (a∩M)+b. Como M es un A−módulo finito generado, por la Pro-posición 1.4.14, M es noetheriano y, por el corolario 1.4.8, a∩M es noetheriano. Sig1, . . . ,gs generan a a∩M, entonces { f1, . . . , fr,g1, . . . ,gs} generan a a y concluimosque a es finito generado y por consiguiente que A[X ] es noetheriano.

Corolario 1.4.16. Si A es un anillo noetheriano, A[X1, . . . ,Xn] es un anillo noethe-riano.

Demostración. Procedemos por inducción sobre n. Si n = 1, es el Teorema de la basede Hilbert. Supongamos n > 1, que el anillo B = A[X1, . . . ,Xn−1] es noetheriano. En-tonces por el Teorema de la base de Hilbert concluimos que A[X1, . . . ,Xn] = B[Xn] esnoetheriano.

Ejemplo 1.4.17. El Teorema de la base de Hilbert nos permite afirmar que el idealde Z[X ,Y,Z] generado por la familia de polinomios {Xn +Y n−Zn, n ≥ 1} posee unsistema de generadores finito.

32


1.5. Introducción a las Bases de Gröbner

Como ya hemos señalado en la introducción a este capítulo, en esta asignaturavamos a estudiar los sistemas de ecuaciones algebraicas, es decir, polinómicas, en nindeterminadas:

f1(X1, . . . ,Xn) = 0p2(X1, . . . ,Xn) = 0

...fs(X1, . . . ,Xn) = 0

. (1.2)

La primera cuestión que se plantea ante un sistema de ecuaciones es si es o nocompatible, es decir, si tiene soluciones. Para los sistemas de ecuaciones lineales, elmétodo de Gauss proporciona un algoritmo efectivo para determinar la compatibli-dad, al tiempo que permite resolver un sistema cuando esto es posible. Este métodoconsiste en transformar el sistema dado en otro escalonado equivalente al primero.Los sistemas escalonados tienen la ventaja de que es inmediato evaluar su compatibi-lidad y de que, cuando procede, se resuelven fácilmente. Si en el sistema escolonadoaparece la ecuación 0 = 1, concluimos que es incompatible.

Volviendo a los sistemas de ecuaciones algebraicas, si como cosecuencia del sis-tema 1.2 obtenemos 1 = 0, es decir si existen g1, . . . ,gs ∈ k[X1, . . . ,Xn] tales queg1 f1 + · · ·+ gs fs = 1, el sistema es obviamente incompatible. Nuestro objetivo enesta sección es introducir las herramientas que nos permitan determinar, dado un ideala=< f1, . . . , fs >⊂ k[X1, . . . ,Xn] si 1 ∈ a. El mismo procedimiento nos permitirá de-terminar en general si un polinomio dado f pertenece o no al ideal a, esta cuestión esconocida como "problema de la pertenencia a un ideal".

En el caso de polinomios en una indeterminada, sabemos cómo proceder pa-ra resolver un sistema de ecuaciones polinómicas, por ejemplo, f1(X) = X2 − 1 =

0, f2(X) = X2−3x+2 = 0. Las soluciones de este sistema son las raíces del máximocomún divisor de f1 y f2, que puede calcularse mediante el algoritmo de Euclides. Enel ejemplo, el máximo común divisor de f1 y f2 es X−1. El ideal generado por f1 y f2

está generado por su máximo común divisor, <X2−1,X2−3X +2>=<X−1>. Pa-ra determinar si un polinomio f está en el ideal < X2−1,X2−3X +2 >=< X−1 >,no tenemos más que dividir f entre el generador del ideal, X −1, y evaluar si el restoes cero.

En resumen, en k[X ], dada una familia de polinomios f1, . . . , fs tenemos un al-goritmo (el de Euclides) para encontrar un generador del ideal < f1, . . . , fs >, el má-ximo común divisor de f1, . . . , fs. Una vez generado el ideal con un sistema adecua-do, en este caso, un único polinomio, el algoritmo de la división euclídea nos per-mite determinar si un polinomio dado f pertenece o no al ideal < f1, . . . , fs >=<

m.c.d.( f1, . . . , fs)>.Veremos que en k[X1, . . . ,Xn] para cada ideal < f1, . . . , fs > podemos encontrar

sistemas de generadores con buenas propiedades algorítmicas, son las llamadas bases

33


de Gröbner. Dado un sistema de generadores de un ideal, siempre podemos encontraruna base de Gröbner mediante el proceso conocido como algoritmo de Buchberger,que generaliza tres técnicas bien conocidas: la eliminación gaussiana para resolversistemas de ecuaciones lineales, el algoritmo de Euclides para calcular el máximocomún divisor de dos polinomios en una indeterminada y el método del simplex enprogramación lineal.

Previamente, vamos a ver cómo en k[X1, . . . ,Xn] podemos dividir un polinomio fentre una familia de polinomios f1, . . . , fs, es decir, encontrar polinomios g1, . . . ,gs,rtales que

f = f1g1 + · · ·+ fsgs + r.

Si f1, . . . , fs forman base de Gröbner del ideal generan, entonces f ∈< f1, . . . , fs > siy solo si r = 0.

Aunque daremos a este tema un enfoque totalmente práctico, recogeremos aquí lateoría que lo sustenta.

1.5.1. Órdenes monomiales

Si examinamos con detalle el algoritmo de división en k[x] o el método de Gauss-Jordan para sistemas de ecuaciones lineales (o matrices), vemos que un ingredienteclave en ambos casos es una cierta noción de orden en los términos de los polinomios.Para el algoritmo de división de polinomios de una indeterminada se trabaja con unorden graduado sobre los monomios de k[x] :

1 < x < x2 < .. . < xm < xm+1 < .. .

Similarmente, en el método de Gauss-Jordan sobre las matrices estamos suponiendode forma implícita un orden en las indeterminadas:

X1 > X2 > .. . > Xn.

La extensión del algoritmo de división y del método de Gauss a polinomios envarias indeterminadas requiere una ordenación de los términos de los polinomios dek[X1, . . . ,Xn]. Para definir esta ordenación es conveniente establecer antes una nota-ción apropiada.

Un monomio en X1, . . . ,Xn es un producto de la forma

Xa11 Xa2

2 · · ·Xann

donde todos los exponentes a1,a2, . . . ,an están en N. El grado total de un monomioXa1

1 Xa22 · · ·Xan

n es la suma a1 + . . .+an.

Simplificaremos la notación de los monomios como sigue: dado α =(a1, . . . ,an)∈Nn, escribiremos Xα para denotar al monomio Xa1

1 Xa22 · · ·Xan

n y denotaremos |α| a su

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grado total. Nótese que, si α = (0, . . . ,0), tenemos que Xα = 1. De hecho, 1 es elúnico monomio de grado total 0.

Todo polinomio f en X1, . . . ,Xn con coeficientes en k es una combinación linealfinita (con coeficientes en k) de monomios; es decir, todo polinomio f en X1, . . . ,Xn

con coeficientes en k se escribe de la forma

f (X1, . . . ,Xn) = ∑α=(α1,...,αn)∈Λ

λ(α1,...,αn)Xα11 · · ·X

αnn = ∑

α∈Λ

λα Xα ,

donde λα ∈ k y Λ es un subconjunto finito de Nn. Además, podemos suponer que talescritura es única (sin más que exigir que todos los elementos de Λ sean distintos), taly como supondremos a partir de ahora.

También usaremos la siguiente terminología:Sea f = ∑α∈Λ λα Xα un polinomio de k[X1, . . . ,Xn].

A λα lo llamaremos coeficiente del monomio Xα .

Si λα 6= 0, entonces diremos que λα Xα es un término de f y que Xα es unmonomio de f . Diremos que λ0 es el término independiente de f .El grado total de f , que denotaremos por deg( f ), es el máximo |α| tal que elcoeficiente λα no es cero

deg( f ) = max{|α| : λα 6= 0}= max{α1 + . . .+αn : λ(α1,...,αn) 6= 0}

No debe confundirse con el grado de p(X1, . . . ,Xn) como polinomio en Xn concoeficientes en el anillo A[X1, . . . ,Xn−1],

Ejemplo 1.5.1. El polinomio f = 2X3Y 2Z + 32Y 3Z3− 3XY Z +Y 2 + 5 anterior tiene

4 términos, grado total 6 y su término independiente es 4. Nótese que hay dos térmi-nos de grado total máximo; este hecho nunca puede ocurrir con polinomios de unaindeterminada.

A diferencia de lo que ocurre con una indeterminada, el grado de un polinomio dek[X1, . . . ,Xn] no es lo suficientemente fino como para distinguir todos los monomiosde f . Pensemos por ejemplo en X7 +X5Y 2 +Y 7. Necesitamos introducir una nuevanoción de orden entre los monomios de k[X1, . . . ,Xn].

Cada monomio Xα ∈ k[X1, . . . ,Xn] queda unívocamente determinado por su n-uplade exponentes. Por ejemplo, Xi se identifica con el vector i-ésimo de la base usualde Zn, es decir (0, . . . ,1, . . . ,0), donde el 1 va en lugar i-ésimo. Esta identificaciónestablece una aplicación biyectiva entre el conjunto de los monomios de k[X1, . . . ,Xn]

y Nn, de modo que cualquier orden ≺ en Nn define un orden en el conjunto de losmonomios de k[X1, . . . ,Xn] y viceversa:

α ≺ β ⇐⇒ Xα ≺ Xβ .

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Aunque hay múltiples maneras de definir órdenes en Nn, a nosotros solamente nosvan a interesar aquellos que sean compatibles con la estructura de k[X1, . . . ,Xn]. Estetipo de ordenes son los llamados órdenes monomiales o admisibles.

Definición 1.5.2. Un orden monomial (global) sobre k[X1, . . . ,Xn] es una relación≺ sobre Nn, o equivalentemente, una relación sobre el conjunto de los monomios dek[X1, . . . ,Xn], que verifica:

(a) ≺ es un orden total sobre Nn.

(b) Si α ≺ β , entonces α + γ ≺ β + γ, para todo α,β y γ ∈ Nn.

(c) 0≺ α para todo α ∈ Nn \{0}.

De una forma estricta, un orden monomial es una relación de orden que cumple (a)y (b), y si además verifica (c) se dice que es un orden monomial global. Sin embargo,como todos los órdenes monomiales que vamos a considerar serán globales, hemosoptado por denominar ordenes monomiales a aquellos que verifican (a), (b) y además(c).

Puede probarse que si un orden en Nn satisface (a) y (b), entonces la condición(c), es decir 0 ≺ α para todo α ∈ Nn \ {0} es equivalente a decir que ≺ es un buenorden, o sea, que todo subconjunto no vacío de Nn tienen elementos minimales, yesta condición es equivalente también a que toda cadena estrictamente decreciente deelementos de Nn, α1 � α2 � . . .αm � . . . estabiliza.

Aunque existen infinidad de ordenes monomiales sobre k[X1, . . . ,Xn] sólo vamosa definir los más comunes2.

Consideremos k[X ,Y,Z] y establezcamos un orden de preferencia en las varia-bles, por ejemplo, Z < Y < X . Esto quiere decir, que dados dos monomios Xa1Y b1Zc1

y Xa2Y b2Zc2 para determinar cuál es mayor procedemos como sigue: nos fijamosen la variable de mayor preferencia, en este caso la X , y comparamos sus corres-pondientes exponentes, si a1 > a2 entonces Xa1Y b1Zc1 > Xa2Y b2Zc2 ; en caso de quea1 = a2, pasamos a fijarnos en la variable siguiente según el orden de preferenciafijado, en este caso la Y . Volvemos a comparar sus exponentes, si b1 > b2 entoncesXa1Y b1Zc1 >Xa2Y b2Zc2 . En caso de que b1 = b2, pasamos a la siguiente variable segúnla preferencia fijada, en este caso la Z, y volvemos a comparar, si si c1 > c2 entoncesXa1Y b1Zc1 > Xa2Y b2Zc2 , y en caso contrario, ambos monomios son iguales.

Orden lexicográfico. Dados α = (α1, . . . ,αn) y β = (β1, . . . ,βn) ∈ Nn distintos,diremos que β ≺lex α, si, en la diferencia de vectores α − β ∈ Zn, la primera (deizquierda a derecha) coordenada no nula es positiva.

Ejemplos 1.5.3. Sea ≺ el orden lexicográfico.

2En [L. ROBBIANO. Term orderings in the polynomial ring, Proc. of Eurocal 1985, LNCS 2003 II,Springer-Verlag, Berlin, (1985), 513-517], y en [L. ROBBIANO On the theory of graded structures, J.Symb. comp 2 (1986), 139-170], puede encontrarse una clasificación de todos los ordenes monomialessobre k[X1, . . . ,Xn].

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(i) β = (0,3,4)≺ (1,2,0) = α pues α−β = (1,−1,−4).(ii) β = (3,2,1)≺ (3,2,4) = α pues α−β = (0,0,3).

Es fácil comprobar que el orden lexicográfico ≺ sobre Nn es un orden monomialsobre k[X1, . . . ,Xn] que ordena las indeterminadas de forma usual, es decir, tal queXn ≺ . . .≺ X1.

Existen diferentes programas informáticos para trabajar en un anillo de polino-mios con un orden monomial fijado. Veamos como se define el anillo de polino-mios en tres indeterminadas X ,Y y Z (en este orden) sobre un cuerpo de caracte-rística 0 (esencialmente Q) con el orden lexicográfico, con el programa Singular(http://www.singular.uni-kl.de/).

1 > ring r = 0, (X,Y,Z), lp;

Con el orden lexicográfico, una indeterminada siempre domina a cualquier otromonomio en el que sólo aparezcan indeterminadas menores, despreciando, por ejem-plo, el grado total de los monomios. Así, para orden lexicográfico sobre k[X ,Y,Z](luego Z ≺ Y ≺ X), tenemos que Y 5Z3 ≺ X . No obstante, para algunos propósitos esnecesario tener en cuenta el grado total de los monomios. Una forma de hacerlo esusando el orden lexicográfico graduado.

Orden lexicográfico graduado. Dados α = (α1, . . . ,αn) y β = (β1, . . . ,βn) ∈Nn

distintos, diremos que β ≺grlex α, si

|α|=n

∑i=1

αi >n

∑i=1

βi = |β |, ó |α|= |β | y β ≺lex α.

Obsérvese que el orden lexicográfico graduado ordena en primer lugar según elgrado total y usa el orden lexicográfico para “romper el empate".

El orden lexicográfico graduado también se llama orden lexicográfico homogéneo.

Ejemplos 1.5.4. Sea ≺ el orden lexicográfico graduado.(i) β = (3,2,0)≺ (1,2,3) = α pues |α|= 6 > 5 = |β |.

(ii) β = (1,1,5)≺ (1,2,4) = α pues |α|= |β |= 7 y β ≺lex α.

En Singular, el anillo de polinomios en tres indeterminadas X ,Y y Z (en este or-den) sobre un cuerpo de característica 0 con el orden lexicográfico graduado, se defineasí:

1 > ring r = 0, (X,Y,Z), Dp;

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http://www.singular.uni-kl.de/


1.5.2. Algoritmo de división en k[X1, . . . ,Xn]

Nuestro objetivo ahora consiste en formular un algoritmo para dividir f ∈k[X1, . . . ,Xn]

por f1, . . . , fs ∈ k[X1, . . . ,Xn], es decir, en obtener un procedimiento algorítmico paraexpresar f como

f = g1 f1 + . . .+gs fs + r

donde los cocientes g1, . . . ,gs y el resto r estarán en k[X1, . . . ,Xn].

Comenzamos introduciendo la notación que usaremos.

Definición 1.5.5. Sean f = ∑α λα Xα un polinomio no nulo de k[X1, . . . ,Xn] y ≺ unorden monomial sobre k[X1, . . . ,Xn].

(a) Llamaremos multigrado de f a mgr≺( f ) := max≺{α ∈ Nn | λα 6= 0}.(b) Llamaremos coeficiente líder ó inicial de f a LC≺( f ) := λmgr≺( f ) ∈ k.(c) Llamaremos monomio líder o inicial de f a LM≺( f ) := Xmgr≺( f ), y término

líder o inicial de f a LT≺( f ) := λmgr≺( f ) · LM≺( f ).

Obsérvese que las definiciones anteriores dependen del orden monomial fijado.

Ejemplo 1.5.6. Sea f = 4XY 2Z +4Z2−5X3 +7X2Z2 ∈ k[X ,Y,Z]. Si ≺ es el ordenlexicográfico, entonces

mgr≺( f ) = (3,0,0), LC≺( f ) =−5, LM≺( f ) = X3 y LT≺( f ) =−5X3.

1 > ring r = 0, (X,Y,Z), lp; short = 0;

2 > poly f = 4*X*Y^2*Z + 4*Z^2 - 5*X^3 + 7*X^2*Z^2;

3 > leadexp(f); leadcoef(f); leadmonom(f); lead(f);

Si ≺ es el orden lexicográfico graduado, entonces

mgr≺( f ) = (2,0,2), LC≺( f ) = 7, LM≺( f ) = X2Z2 y LT≺( f ) = 7X2Z2.

1 > ring r = 0, (X,Y,Z), Dp; short = 0;

2 > poly f = 4*X*Y^2*Z + 4*Z^2 - 5*X^3 + 7*X^2*Z^2;

3 > leadexp(f); leadcoef(f); leadmonom(f); lead(f);

En lo sucesivo, cuando no exista posibilidad de confusión, omitiremos el subíndi-ce ≺ y escribiremos mgr(−), LC(−), LM(−) y LT(−), en vez de mgr≺(−), LC≺(−),LM≺(−) y LT≺(−), respectivamente.

Nótese que si f y g ∈ k[X1, . . . ,Xn] dos polinomios no nulos y ≺ un orden mono-mial sobre k[X1, . . . ,Xn], entonces

mgr( f g) = mgr( f )+mgr(g).Si f +g 6= 0, entonces mgr( f +g)≤max{mgr( f ),mgr(g)}, y se da la igualdadcuando mgr( f ) 6= mgr(g).

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La idea básica del algoritmo división en k[X1, . . . ,Xn] es la misma que el casode una indeterminada: cancelar el término líder de f multiplicando algún fi por untérmino apropiado y restando.

Ejemplo 1.5.7. Vamos a dividir f = XY 2 +1 entre f1 = XY +1 y f2 =Y +1, usandoel orden lexicográfico. En primer lugar cancelamos el término líder de f multiplicandof1 por Y,

XY 2 +1 = Y (XY +1)+1−Y.

Como LT( f1) = XY no divide a LT(1−Y ) = Y, pero LT( f2) = Y si lo divide, cancela-mos el término líder de 1−Y multiplicando f2 por 1

(1−Y )+1(Y +1) = 2.

Ahora, ni el término líder de f1 ni el de f2 dividen al término líder de 2, luego parecerazonable que digamos que el resto es r = 2 y que paremos aquí. Obteniéndose de estemodo que f = XY 2 +1 se puede escribir de la siguiente forma

f = X2 +Y = Y (XY +1)+(−1)(Y +1)+2.

Veamos cómo se pueden hacer los cálculos del ejemplo anterior con Singular:


2 > LIB "grobcov.lib";

3 > poly f = X*Y^2 + 1;

4 > poly f1 = X*Y + 1; poly f2 = Y + 1;

5 > pdivi(f,ideal(f1,f2));

De este ejemplo parece deducirse un algoritmo para dividir f ∈ k[X1, . . . ,Xn] entref1, . . . , fs ∈ k[X1, . . . ,Xn]. Sin embargo, este proceso ignora ciertas sutilezas que hayque tener en cuenta.

Ejemplo 1.5.8. Si dividimos f = X2Y +XY 2 +Y 2 entre f1 = XY − 1 y f2 = Y 2− 1usando el orden lexicográfico, al igual que hicimos en el ejemplo anterior, obtenemosque f se puede escribir de la siguiente forma

f = X2Y +XY 2 +Y 2 = (X +Y ) · (XY −1)+0 · (Y 2−1)+X +Y 2 +Y.

El término líder del polinomio X +Y 2 +Y es X que claramente no es divisible ni porLT( f1) = XY ni por LT( f2) = Y 2. Sin embargo, no parece apropiado que digamos queX +Y 2 +Y el resto de la división, ya que uno de sus monomios, Y 2, sí es divisible porLT( f2) =Y 2. De hecho, si nos olvidamos del término líder de X+Y 2+Y y cancelamosY 2 multiplicando f2 por −1,

X +Y 2 +Y +(−1)(Y 2 +1) = X +Y −1,

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obtenemos que f se puede escribir como

f = X2Y +XY 2 +Y 2 = (X +Y ) · (XY −1)+1 · (Y 2−1)+X +Y +1,

y decimos que el resto de la división de f entre f1 y f2 es X +Y + 1; ya que ahorasí que no es posible cancelar ninguno de los términos de X +Y + 1 con los términoslíderes de f1 o f2, y por lo tanto no podemos seguir con la división.



3 > poly f = X^2*Y + X*Y^2 + Y^2;

4 > poly f1 = X*Y - 1; poly f2 = Y^2 - 1;


El problema expuesto en el Ejemplo 1.5.8 parece de fácil solución, basta con exigirla propiedad queremos que tenga el resto: ninguno de sus términos es divisible por lostérminos líderes de los polinomios por los que estamos dividiendo. Veamos que estoes suficiente para establecer un algoritmo de división en k[X1, . . . ,Xn].

Algoritmo de división en k[X1, . . . ,Xn]. Sean ≺ un orden monomial sobre Nn fijoy F = ( f1, . . . , fs) una s-upla ordenada de polinomios de k[X1, . . . ,Xn]. Entonces, paracada f ∈ k[X1, . . . ,Xn], existen g1, . . . ,gs y r ∈ k[X1, . . . ,Xn] tales que

(a) f = g1 f1 + . . .+gs fs + r,(b) si r 6= 0, entonces ninguno de los términos de r es múltiplo de LT≺( fi) para

ningún i = 1, . . . ,s(c) si gi fi 6= 0, entonces mgr( f )�mgr(gi fi).

Nos preguntamos ahora si el Algoritmo de división tiene las mismas buenas pro-piedades que su versión para una indeterminada. Desafortunadamente, la respuesta esnegativa tal y como veremos a continuación.

Un importante propiedad del algoritmo de división en k[x] es la unicidad del resto.Para ver que esta propiedad falla cuando hay más de una indeterminada, consideramosel siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.5.9. Vamos a dividir f = X2Y +XY 2+Y 2 entre f1 =Y 2−1 y f2 = XY −1usando el orden lexicográfico. Obsérvese que los polinomios son los mismos que en elEjemplo 1.5.8, excepto que ahora hemos cambiado el orden de los divisores. En estecaso obtenemos que

f = X2Y +XY 2 +Y 2 = (X +1) f1 +X f2 +2X +1

(compruébese). Si comparamos esta expresión con la obtenida en el Ejemplo 1.5.8,vemos que el resto diferente, aunque en ambos casos ninguno de los términos de losrestos es divisible por LT( fi), i ∈ {1,2}.

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3 > poly f = X^2*Y + X*Y^2 + Y^2

4 > poly f1 = Y^2 - 1; poly f2 = X*Y - 1;


El Ejemplo 1.5.9 demuestra que el resto de una división en un anillo de polinomioscon más de una indeterminada no está unívocamente determinado por la propiedadque lo caracteriza: ninguno de sus términos es divisible por los términos líderes de losdivisores. No obstante, la situación no es del todo caótica, si seguimos el Algoritmode división tal y como los hemos enunciado (comprobando si LT(p) es divisible porLT( f1),LT( f2), . . . , en ese orden), entonces g1, . . . ,gs y r están unívocamente determi-nados.

A pesar de todo, el Algoritmo de división no resuelve el problema de la pertenenciaa un ideal cuando hay más de una indeterminada en juego. Es claro que si tras dividirf entre f1, . . . , fs obtenemos que el resto r es cero, entonces

f = g1 f1 + . . .+gs fs,

y por lo tanto, f ∈ 〈 f1, . . . , fs〉. De modo que r = 0 es una condición suficiente para lapertenencia al ideal. Sin embargo, como veremos en el próximo ejemplo, r = 0 no esuna condición necesaria para pertenecer al ideal.

Ejemplo 1.5.10. Sean f1 = XY +1 y f2 =Y 2−1∈ k[X ,Y ] con el orden lexicográfico.Si dividimos f = XY 2−X entre F = ( f1, f2), resulta

f = XY 2−X = Y f1 +0 f2 +(−X−Y ).

En cambio, dividiendo entre F = ( f2, f1) obtenemos que

f = XY 2−X = X f2 +0 f1 +0.

La segunda división demuestra que f ∈ 〈 f1, f2〉, aunque al dividir f entre F = ( f1, f2)

hayamos obtenido un resto, −x− y, distinto de cero.



3 > poly f = X*Y^2 - X;

4 > poly f1 = X*Y + 1; poly f2 = Y^2 -1;



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Por consiguiente, debemos concluir que el Algoritmo de división es una genera-lización imperfecta del caso de una indeterminada. La deficiencia que encontramosen esta generalización se debe, en gran medida, a que k[x] es un dominio de idealesprincipales, y por tanto que existe una correspondencia biyectiva (salvo producto porelementos de k) entre los polinomios y los ideales de k[x].

Luego, parece razonable que la solución al problema de la pertenencia a un idealen k[X1, . . . ,Xn] pase por determinar si existen “buenos” sistemas de generadores delideal a que genera una colección de polinomios f1, . . . , fs ∈ k[X1, . . . ,Xn]; entendien-do por “buen” sistema de generadores de a a aquel (o aquellos) que aseguren restoúnico (independientemente del orden en el cual escribamos los divisores, aunque de-pendiente del orden monomial fijado) en el algoritmo de división y que la condiciónde resto cero implique la pertenencia al ideal, y viceversa. En la siguiente seccióndefiniremos las bases de Gröbner como los sistemas de generadores que tienen estas“buenas” propiedades.

1.5.3. Bases de Gröbner

Sea a un ideal de k[X1,X2, . . . ,Xn]. Fijado un orden monomial≺ sobre k[X1,X2, . . . ,Xn],un subconjunto finito G = { f1, . . . , fs} del ideal a es una base de Gröbner si satisfacelas siguientes condiciones:

(a) G = { f1, . . . , fs} es un sistema de generadores de a.(b) f ∈ a si y solo si el resto de dividir f entre G es cero.(c) El resto que produce el algoritmo de división de f entre G no depende del orden

de los elementos de G .Además se puede comprobar que si G y G ′ son dos bases de Gröbner de un ideal

de k[X1,X2, . . . ,Xn], el resto de la división de f entre G coincide con el resto de dividirf entre G ′, para todo f ∈ k[X1,X2, . . . ,Xn].

El algoritmo de Buchberger proporciona un método para construir una base deGröbner a partir de un sistema de generadores, obteniéndose así también la demos-tración de la existencia de tales bases. Antes de estudiar este algoritmo, veamos en elsiguiente ejemplo una obstrucción para que un sistema de generadores de un ideal nosea base de Gröbner.

Ejemplo 1.5.11. Consideremos en k[X ,Y ] el orden lexicográfico graduado ≺. Sea a

el ideal generado por f1 = X2Y +3 y f2 =Y 2+X y sea f =−X3+3Y . Si dividimos fpor los generadores del ideal, tenemos que f =−X3+3Y = 0(X2Y +3)+0(Y 2+X)−X3+3Y = 0 f1+0 f2+r. Sin embargo, f =−X3+3Y =Y (X2Y +3)−X2(Y 2+X)∈ a.Y concluimos que, { f1, f2} no es una base de Gröbner de a

Observemos que el polinomio f lo hemos obtenido multiplicando f1 = X2Y + 3por Y y f2 =Y 2+X por−X2, de manera que al hacer la suma Y f1+X2 f2 los términoslíderes se cancelan y obtenemos un polinomio, f =−X3 +3Y que está en el ideal a ysin embargo, ninguno de los términos de f es múltiplo del término líder de f1 ni de f2.

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Veremos que esta cancelación es la única obstrucción a que un sistema de generadoressea base de Gröbner.

A continuación vamos a estudiar un criterio para determinar si un sistema de gene-radores de un ideal de k[X1, . . . ,Xn] es una base de Gröbner. Como ya hemos señalado,la “obstrucción” para que { f1, . . . , fs} sea una base de Gröbner radica en la existenciade combinaciones polinómicas de los fi cuyos términos no son múltiplo de los térmi-nos líderes de ningún fi. Este hecho ocurre, por ejemplo, si los términos líderes de lospolinomios de una determinada combinación

aXα fi−bXβ f j

se cancelan, dejando sólo términos más pequeños. Para estudiar este tipo de cancela-ciones introducimos las siguientes combinaciones especiales.

Definición 1.5.12. Sean f y g ∈ k[X1, . . . ,Xn] dos polinomios no nulos. LlamaremosS-polinomio de f y g, y lo denotaremos S( f ,g) a:

S( f ,g) =mcm(LM( f ),LM(g))

LT( f )f − mcm(LM( f ),LM(g))

LT(g)g

Observemos que dados dos monomios Xα y Xβ , entonces mcm(Xα ,Xβ ) = Xγ

donde γi = max(αi,βi), para cada i ∈ {1, . . . ,n}.

Por ejemplo, sean f = X3Y 2−X2Y 3+X y g = 3X4Y +Y 2 en R[X ,Y ] con el ordenlexicográfico graduado. Entonces γ = (4,2) y

S( f ,g) =X4Y 2

X3Y 2 f − X4Y 2

3X4Yg = X f − (1/3)Y g =−X3Y 3 +X2− (1/3)Y 3.


2 > LIB "teachstd.lib";

3 > poly f = X^3*Y^2 - X^2*Y^3 + X;

4 > poly g = 3*X^4*Y + Y^2;

5 > spoly(f,g);

Los S-polinomios S( f ,g) están “diseñados” para producir la cancelación de lostérminos líderes de f y g. De hecho, el siguiente lema demuestra que toda cancelaciónde términos líderes proviene en cierto sentido de aquel tipo de cancelación.

En lo sucesivo consideraremos un orden monomial ≺ sobre k[X1, . . . ,Xn] fijo.

Lema 1.5.13. Sean f1, . . . , fs ∈ k[X1, . . . ,Xn] tales que mgr( fi) = α 6= 0, para todoi ∈ {1, . . . ,s}. Sea f = ∑

sa=1 ci fi con ci ∈ k, i ∈ {1, . . . ,s}. Si mgr( f )≺ α, entonces f

es una combinación k-lineal de S( fi, f j), 1≤ i < j ≤ s.

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Demostración. Si ai = LC( fi), i ∈ {1, . . . ,s}, por hipótesis tenemos que ∑si=1 ciai = 0,

pues los ci están en k, para todo i ∈ {1, . . . ,s}. Por definición

S( fi, f j) =1ai

fi−1a j

f j,

pues LM( fi) = LM( f j), para todo i, j ∈ {1, . . . ,s}. Por consiguiente,

f = c1 f1 + . . .+ cs fs

= c1a1(1a1

f1)+ . . .+ csas(1as

fs)

= c1a1(1a1

f1− 1a2

f2)+(c1a1 + c2a2)(1a2

f2− 1a3

f3)+ . . .

+(c1a1 + . . .+ cs−1as−1)(1

as−1fs−1− 1

asfs)+(c1a1 + . . .+ascs)

1as

fs

pues c1a1 + . . .+ csas = 0.

En lo sucesivo usaremos la siguiente notación: denotaremos por f F al resto dela división de f entre la s-upla ordenada F = ( f1, . . . , fs). Nótese que si { f1, . . . , fs}forma una base de Gröbner, entonces f F

= f F ′, para cualquier permutación F ′ de F.

Por ejemplo, si F = (X2Y −Y 2,X4Y 2−Y 2) y ≺ es el orden lexicográfico sobrek[X ,Y ], tenemos que

X5YF= XY 3,

puesto que por el Algoritmo de división en k[X ,Y ]

X5Y = (X3 +XY )(X2Y −Y 2)+0(X4Y 2−Y 2)+XY 3.



3 > poly f = X^5*Y;

4 > ideal F = X^2*Y - Y^2, X^4*Y^2 - Y^2;

5 > pdivi(f,F);

Criterio de Buchberger (Criterio de Buchberger).Sean G = ( f1, . . . , fs) una s-upla ordenada de polinomios de k[X1, . . . ,Xn]. Entonces,

G = { f1, . . . , fs} es una base de Gröbner de a= 〈 f1, . . . , fs〉 si, y sólo si, S( fi, f j)G= 0

para todo i, j ∈ {1, . . . ,s}.Como ejemplo del Criterio de Buchberger, consideramos el ideal a= 〈Y −X2,Z−

X3〉 de la cúbica alabeada en R3. Veamos que G es una base de Gröbner de a res-pecto del orden lexicográfico sobre k[Y,Z,X ]. Para demostrarlo consideramos el S-polinomio

S(Y −X2,Z−X3) =Y ZY

(Y −X2)− Y ZZ

(Z−X3) =−ZX2 +Y X3.

44


Usando el Algoritmo de división en k[Y,Z,X ] , obtenemos que

−ZX2 +Y X3 = X3 · (Y −X2)+(−X2) · (Z−X3) = 0,

de modo que S(Y −X2,Z−X3)G= 0. Luego, por el Criterio de Buchberger, G es una

base de Gröbner de a.

1 > ring r = 0, (Y,Z,X), lp; short = 0;

2 > LIB "teachstd.lib"; LIB "grobcov.lib";

3 > poly f1 = Y-X^2; poly f2 = Z-X^3;

4 > poly f3 = spoly(f1,f2);

5 > pdivi(f3,ideal(f1,f2));

Se puede comprobar que G no es una base de Gröbner de a respecto del ordenlexicográfico sobre k[X ,Y,Z].



3 > poly f1 = Y-X^2; poly f2 = Z-X^3;

4 > poly f3 = spoly(f1,f2); f3;


Para producir bases de Gröbner de un ideal a partir de un sistema de generadoresa= 〈 f1, . . . , fs〉 ⊆ k[X1, . . . ,Xn] una idea natural consiste en añadir más polinomios dea a { f1, . . . , fs} hasta obtener la base deseada. En cierto sentido, los nuevos polino-mios son elementos redundantes, pues ya partimos de un sistema de generadores. Sinembargo la información extra que se obtiene de una base de Gröbner es mayor que lacontiene un sistema de generadores.

Pero, ¿cuáles son esos generadores redundantes que hemos de añadir? Haciendouso del Criterio de Buchberger vamos a ver que la respuesta a esta pregunta es ele-mental e incluso esperable.

Ejemplo 1.5.14. Consideremos el anillo de polinomios k[X ,Y ] con el orden lexico-gráfico graduado, y sea a = 〈 f1, f2〉 = 〈X3− 2XY, X2Y − 2Y 2 +X〉. El conjunto degeneradores G = { f1, f2} no es una base de Gröbner de a pues

S( f1, f2)G=−X2 6= 0,

donde G= ( f1, f2). Esta situación se resuelve fácilmente: añadamos f3 = S( f1, f2)∈ aa G, es decir, sea G′ = ( f1, f2, f3), evidentemente G′ es un sistema de generadores dea, pero ¿es una base de Gröbner? Respondamos a esta pregunta usando de nuevo el

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Criterio de Buchberger . Ahora, es claro que S( f1, f2)G′

= f3G′

= 0. Sin embargo,S( f1, f3) = (X3−2XY )− (−X)(−X2) =−2XY y

S( f1, f3)G′

=−2XY 6= 0.

Por tanto, ahora debemos añadir f4 = S( f1, f3) a G′. De modo que, si G′′ = ( f1, f2, f3,

f4), entonces S( f1, f2)G′′

= S( f1, f3)G′′

= 0, además, se tiene que S( f1, f4) = Y (X3−2XY )− (−1/2)X2(−2XY ) = −2XY 2 = Y f4, y por lo tanto S( f1, f4)

G′′= 0. Pero

S( f2, f3) = (X2Y −2Y 2 +X)− (−X)(−X2) =−2Y 2 +X y

S( f2, f3)G′′

=−2Y 2 +X 6= 0.

De modo que añadimos f5 = S( f2, f3) a G′′, sea G′′′ = ( f1, f2, f3, f4, f5). De este modose obtiene un sistema de generadores de a tal que

S( fi, f j)G′′′

= 0, para todo1≤ i≤ j ≤ 5.

Por el Criterio de Buchberger. concluimos que

{X3−2XY,X2Y −2Y 2,−X2,2XY,−2Y 2 +X}

es una base de Gröbner de a respecto del orden lexicográfico graduado.



3 > poly f1 = X^3 - 2*X*Y; poly f2 = X^2*Y - 2*Y^2 + X;




7 > pdivi(f4,ideal(f1,f2,f3));


9 > pdivi(f5,ideal(f1,f2,f3,f4));

El ejemplo anterior sugiere que en general, debemos extender los sistemas de ge-neradores G añadiéndoles sucesivamente S-polinomios cuyo resto no es cero al dividirpor G. Esta es la idea natural a la que hacíamos referencia antes, ya que se trata de unaconsecuencia directa del Criterio de Buchberger.

Este procedimiento está implementado en Singular con el comando groebner.

1 > ring r = 0, (X,Y,Z), Dp;

2 > poly f1 = X^3 - 2*X*Y; poly f2 = X^2*Y - 2*Y^2 + X;

3 > groebner(ideal(f1,f2));

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El siguiente resultado demuestra que el procedimiento descrito en el Ejemplo1.5.14 es general.

Algoritmo de Buchberger. Sea a= 〈 f1, . . . , fs〉 un ideal no nulo de k[X1, . . . ,Xn].

El siguiente algoritmo construye una base de Gröbner, G = {g1, . . . ,gr}, de a en unnúmero finito de etapas:

Input: f1, . . . , fs

Output: g1, . . . ,gr

G := ( f1, . . . , fs).

WHILE G 6= G′ DOG′ := G.

FOR cada par {p,q}, p 6= q de G′ DO

g := S(p,q)G′

IF g 6= 0 THEN G := append(G,g).Puede probarse que el algoritmo termina y entonces, por el Criterio de Buchberger,

es claro que al final obtendremos una base de Gröbner G de a que, además contiene a{ f1, . . . , fr}.

Una vez que ya sabemos como calcular una base de Gröbner de un ideal, vamosa resolver el siguiente ejercicio sobre la pertenencia de un polinomio a un ideal, enK[X ,Y,Z].

Ejercicio 1.5.15 (Carlos J. Moreno). Sea a ∈K[X ,Y,Z] el ideal generado por f1, f2 ∈K [X ,Y,Z], donde f1 = XY +Z y f2 =Y 2 +Z2. ¿El polinomio f = 5XY 2Z2 +4XZ4−3X3Y −Y 3Z−3X2Z pertenece a a?

SoluciónPara ello, primeramente, fijamos un orden en los monomios de K [X ,Y,Z]. Consi-

deraremos ≺ el orden lexicográfico graduado. A continuación, veamos si los genera-dores de a son una base de Gröbner. En caso de que no lo sean, calcularemos una.

Empecemos por calcular el S-polinomio de f1 y f2.

S( f1, f2) = S(XY +Z,Y 2 +Z2) =XY 2

XY(XY +Z)− XY 2

Y 2 (Y 2 +Z2) = XY 2 +Y Z−XY 2

−XZ2 =−XZ2 +Y Z

Podemos observar que ningún término del S( f1, f2) es múltiplo de los términos líderesde f1 y f2, luego { f1, f2} no es una base de Gröbner. Llamamos f3 a S( f1, f2) y loañadimos a { f1, f2}, y resulta el siguiente sistema de generadores del ideal {XY +

Z,Y 2 + Z2,−XZ2 +Y Z} al que llamaremos G . Veamos ahora si G es una base deGröbner.

S( f1, f3) = S(XY +Z,−XZ2 +Y Z) = Y 2Z +Z3 = Z(Y 2 +Z2) ∈ G

S( f2, f3)= S(Y 2+Z2,−XZ2+Y Z)=XZ4+Y 3Z =−Y Z(Y 2+Z2)+Z2(−XZ2+Y Z)∈G

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S( f1, f2) =−XZ2 +Y Z ∈ G

Luego, G es una base de Gröbner de a. Pero nosotros queremos saber si f pertenece aa, para ello dividamos f entre G .

f = 5XY 2Z2 +4XZ4−3X3Y −Y 3Z−3X2Z = 5Y Z2(XY +Z)+4X4−3X3Y−

Y 3Z−3X2Z−5Y Z3 = 5Y Z2(XY +Z)−4Z2(−XZ2+Y Z)+3X3Y−Y 3Z−3X2Z−Y Z3

= (5Y Z2 +3X2)(XY +Z)−4Z2(−XZ2 +Y Z)−Y 3Z−Y Z3

= (5Y Z2 +3X2)(XY +Z)+Y Z(Y 2 +Z2)−4Z2(−XZ2 +Y Z)

Podemos observar que el resto es cero, luego f pertenece a a.

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1.6. Ejercicios

Ejercicio 1.6.1. Dado el ideal I =(X5−X3+3X2−3, X4−5X2+4) deQ[X ], calcularun generador de I. Determinar si el ideal J = (X4 + 2X2 − 3, X5 − X3 − 4X2 + 4)coincide con I.

Ejercicio 1.6.2. Dados los polinomios p(X) = X5 +X +1 y q(X) = 2X2 +3X +2 enZ5[X ], determina si las siguientes afirmaciones son correctas:

1. No se puede dividir p(X) entre q(X) porque éste no es mónico.2. El polinomio p(x) tiene inverso en Z5[X ]/(q(X)).3. El resto de dividir p(X) entre q(X) es 3.4. El máximo común divisor de P(X) y q(X) es X +1.

Ejercicio 1.6.3. En Q[X , Y ] consideremos el ideal I = (X2 +Y 2− 1, X2Y 2). ¿Es Iun ideal principal? Determina si cada uno de los siguientes polinomios pertenece a I:X2− 1, Y 2, X2−Y 2− 1, X4−X2, XY, (X +Y + 1)2(X +Y − 1)2, (X +Y + 1)2(X +

Y −1).

Ejercicio 1.6.4. Comprueba que los ideales a y b de C[X , Y, Z] son iguales:

a= (X3−Y Z, Y Z +Y ) b= (X3Z +X3, X3 +Y )

Ejercicio 1.6.5. Responde a las siguientes cuestiones:1. Sea A un anillo noetheriano.

a) Si B es un subanillo de A, ¿es B necesariamente noetheriano?b) Si a es un ideal de A, el anillo cociente A/a ¿es necesariamente noetheriano?

2. Sea {Mi}i∈I una familia de módulos no nulos sobre un anillo A. Si el A-módulo⊕i∈IMi es noetheriano, ¿son todos los módulos Mi necesariamente noetheria-nos? ¿Qué podemos decir del conjunto de índices I?

3. Sea M un A−módulo. Probar que si todo conjunto de submódulos finitamentegenerados de M tiene un elemento maximal, entonces M es noetheriano.

4. Sea f : A→ B un morfismo de anillos. Consideremos B con la estructura deA-módulo inducida por f . Si B es un A-módulo noetheriano, ¿es B un anillonoetheriano? Recíprocamente, si B es un anillo noetheriano, ¿es también unA-módulo noetheriano?

5. Si A[x] es un anillo noetheriano, ¿es necesariamente A un anillo noetheriano?

6. Consideremos el anillo de los enteros de Gauss Z[i]:

Z[i] = {a+bi ∈ C|a,b ∈ Z}

¿Es Z[i] un anillo noetheriano?

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7. Justificar la certeza o falsedad de las siguientes afirmacionesa) Z/(3)⊕Z/(5) es un Z-módulo noetheriano.b) R[X , Y ]/(Y 2 +X) es un R-módulo noetheriano.c) R[X , Y ]/(Y 2 +X) es un anillo noetheriano.

Ejercicio 1.6.6. Sea A el anillo de sucesiones de números reales, A = {a = (an) |an ∈ R}. Probar que a es un ideal de A que no es finito generado (por tanto, A no esnoetheriano):

a= {a = (an) | ∃n0 : an = 0,∀n≥ n0}.

Probar las siguientes afirmaciones:1. Si a,b ∈ A, entonces a ∈ (b) si y solo si:

bn = 0 =⇒ an = 0.

2. Si a,b,c ∈ A, entonces c ∈ (a, b) si y sólo si:

an = bn = 0 =⇒ cn = 0.

3. Todo ideal finito generado de A es principal.

Ejercicio 1.6.7. Probar que en un anillo noetheriano A todo ideal contiene una poten-cia de su radical. En particular, una potencia del radical de A es nula.

Calcular el radical de A =C[X , Y ]/(X2, Y 3) y determinar una potencia del radicalque sea nula.

Ejercicio 1.6.8. Sea M un A−módulo noetheriano y f : M→ M un homomorfismode A−módulos.

1. Probar que existe n ∈ N tal que ker( f )∩ im( f n) = 02. Utilizando el apartado anterior, probar que si f es sobreyectivo, entonces es un

isomorfismo.

Ejercicio 1.6.9. Sea M un A−módulo. Probar que si todo conjunto de submódulosfinitamente generados de M tiene un elemento maximal, entonces M es noetheriano.

Ejercicio 1.6.10. Sean N1 y N2 dos submódulos de un A−módulo M tales que M =

N1 + N2. Probar que M es un A−módulo noetheriano si, y sólo si, N1 y N2 sonA−módulos noetherianos.

Ejercicio 1.6.11. Sea M un A−módulo y N1 y N2 submódulos de M. Comprobar quesi M/N1 y M/N2 son noetherianos también lo es M/(N1∩N2).

Ejercicio 1.6.12. Sean N1 y N2 dos submódulos de un A−módulo M tales que N1 ∩N2 = 0. Probar que M es un A−módulo noetheriano si, y sólo si, M/N1 y M/N2 sonA−módulo noetherianos.

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Ejercicio 1.6.13. Consideremos el anillo A, cociente del anillo de polinomios en unacantidad infinita numerable de variables:

A =k[X1,X2,X3, . . . ,Xn, . . .]

< X1, X22 , X3

3 , . . . ,Xnn , . . . >

Denotemos por xi (o Xi) a la imagen de Xi en A.Demuestra o justifica las siguientes afirmaciones sobre el anillo A.

1. El ideal m=< x1,x2,x3, . . . ,xn, . . . >=< xn >n≥1 es un maximal de A.2. El radical del anillo A es m, es decir:

rad(A) =√

0 =m.

3. m es el único ideal primo de A.4. Todo elemento de A que no sea invertible es nilpotente.5. 1+ x2

3 es invertible en A.6. A tiene un número finito de primos minimales.7. Ninguna potencia del radical de A se anula, es decir (

√0)n 6= 0, ∀n≥ 1.

8. El anillo A no es noetheriano.

51


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Tema 2

Conjuntos algebraicos

ContenidosDescripción del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1 Conjuntos algebraicos y topología de Zariski . . . . . . . . . . 55

2.1.1 Definición de conjunto algebraico . . . . . . . . . . . . 55

2.1.2 Topología de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2 Correspondencia entre conjuntos algebraicos e ideales . . . . . 60

2.3 Funciones y aplicaciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3.1 Anillo de coordenadas de un conjunto algebraico . . . . 66

2.3.2 Aplicaciones regulares entre conjuntos algebraicos . . . 68

2.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Bibliografía principal:

D. COX, J. LITTLE, D. O´SHEA. Ideals, varieties, and algorithms. An intro-duction to computational algebraic geometry and commutative algebra. Se-cond edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York,1997. Capítulos 4 y 5.J.S. MILNE. Algebraic Geometry (v5.21), 258 páginas (2011). Disponible enhttp://www.jmilne.org/math/. Capítulo 2.J.A. NAVARRO GONZÁLEZ. Algebra Conmutativa Básica. Manuales UEx, no.19. Servicio de Publicaciones, Universidad de Extremadura, 1996. Versión on-line actualizada disponible en http://matematicas.unex.es/~navarro. Ca-pítulo 7 y Apéndice L (versión on-line)

53

http://www.jmilne.org/math/




Cuando planteamos un sistema de ecuaciones polinómicas, digamos con coefi-cientes racionales, como pueda ser{

Y 4 =−2X3 +X3Y 2

1 = X3−Y 2

y a continuación obtenemos algunas consecuencias Y 2 =X3−1 , (X3−1)2 =−2X3+

X3(X3− 1) , X3 = −1 , 2 = −Y 2, todas estas igualdades son obviamente falsas enel anillo de polinomios Q[X ,Y ]; pero son ciertas en el anillo cociente Q[X ,Y ]/a porel ideal a = 〈−2X3 +X3Y 2 −Y 4,X3 −Y 2 − 1〉, porque la proyección canónica π :Q[x,y]→ Q[x,y]/a es morfismo de anillos. Las consecuencias del sistema son lasrelaciones que se dan en este anillo cociente y, cuando expresan la anulación de unelemento, vienen dadas por los polinomios del ideal a, porque a=Kerπ. Por ejemplo,los polinomios X3+1, Y 2+2 están en el ideal a: descomponen en suma de un múltiplode −2X3 +X3Y 2−Y 4 y un múltiplo de X3−Y 2−1.

Dos sistemas de ecuaciones deben considerarse equivalentes cuando las ecuacio-nes de cada sistema sean consecuencias de las del otro sistema. De aquí la importanciacrucial de la teoría de ideales en el estudio de los sistemas de ecuaciones algebraicas,pues permite definir con rigor el concepto de sistemas equivalentes: Diremos que dossistemas de ecuaciones polinómicas en n indeterminadas

0 = p1(X1, . . . ,Xn)...

0 = pr(X1, . . . ,Xn)

0 = q1(X1, . . . ,Xn)

...0 = qs(X1, . . . ,Xn)

con coeficientes en un anillo A son equivalentes cuando sus ecuaciones generen elmismo ideal en el anillo A[x1, . . . ,xn]. En particular, si dos sistemas son equivalentes,tienen las mismas soluciones en A y en cualquier otra A−álgebra B.

En este tema vamos a explorar objetos geométricos definidos como conjuntos desoluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas.

En primer lugar introducimos el concepto de conjunto algebraico afín (página 56)y estudiamos su propiedades esenciales; de especial interés es la Proposición 2.1.6(página 58), que va permitirnos afirmar que los conjuntos algebraicos del espacio afínn−dimensional kn son los cerrados de una topología: la llamada topología de Zariskide kn (Definición 2.1.8, página 59). Mostraremos algunas propiedades de la topologíade Zariski en kn.

A continuación estableceremos una correspondencia entre los conjuntos algebrai-cos del espacio afín k

n y los ideales radicales del anillo de polinomios k[X1, . . . ,Xn],cuando el cuerpo k es algebraicamente cerrado. Esta correspondencia es una conse-cuencia del Teorema de los ceros de Hilbert. Daremos dos versiones de este teorema:

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en primer lugar su versión “débil” (página 62) y como consecuencia de ésta obten-dremos la versión llamada “fuerte” (página 65). La demostración del Teorema de losceros Hilbert quedará condicionada a la demostración del Lema de normalización deNoether en el tema Morfismos finitos. Un caso especial de esta correspondencia ocu-rre cuando nos restringimos al caso de los conjuntos algebraicos irreducibles, es decir,aquellos que no son unión de dos subconjuntos algebraicos propios. En este caso,la correspondencia “identifica” los conjuntos algebraicos irreducibles con los idealesprimos de un anillo de polinomios (página 66).

Los objetivos/competencias que se persiguen conseguir en este tema son:Conocer y manejar la noción de conjunto algebraico, así como sus propiedadesmás importantes.Comprender la correspondencia existente entre los conjuntos algebraicos y losideales de un anillo de polinomios.Conocer y saber demostrar el Teorema de los ceros de Hilbert.Ser capaz de apreciar la componente geométrica de las álgebras de tipo finitosobre un cuerpo.

2.1. Conjuntos algebraicos y topología de Zariski

2.1.1. Definición de conjunto algebraico

Consideremos el espacio afín kn como el conjunto de n−uplas de elementos de k.Si P ∈ kn es un punto, entonces P = (a1, . . . ,an) con ai ∈ k, en cuyo caso diremosque ai, i = 1, . . . ,n, son las coordenadas de P.

Cada polinomio f ∈ k[X1, . . . ,Xn] define define una función

kn −→ k; P = (a1, . . . ,an) 7→ f (a1, . . . ,an).

Este tipo de funciones se llaman funciones regulares sobre sobre kn.Puede ocurrir que dos polinomios distintos definan una misma función regular.

Por ejemplo, X2−X y 0 definen la función constante igual a cero en F2.

Proposición 2.1.1. Un cuerpo k es infinito si y solo si el único polinomio que definela función cero en kn es el polinomio cero.

Demostración. Si k es finito, k = {a1, . . . ,an}, el polinomio p(X) = (X1− a1) · . . . ·(X1−an) no es nulo y define la función cero en kn.

Supongamos ahora que k es infinito y probemos que si f ∈ k[X1, . . . ,Xn] se anu-la en todo punto de kn entonces f es el polinomio cero. Procedemos por inducciónen n. Para n = 1 ya sabemos que el resultado es cierto, pues el número de raícesde un polinomio está acotado por su grado. Supongamos que el resultado es ciertopara polinomios en n− 1 variables. Dado p(X1, . . . ,Xn), escribamos p(X1, . . . ,Xn) =

55


∑i fi(X1, . . . ,Xn−1)X in, con fi ∈ k[X1, . . . ,Xn−1]. Si p(a1, . . . ,an) = 0, ∀(a1, . . . ,an) ∈

kn, entonces el polinomio en una variable p(a1, . . . ,an−1,Xn) = ∑i fi(a1, . . . ,an−1)X i

ntiene infinitas raíces, luego p(a1, . . . ,an−1,Xn) = 0, es decir, fi(a1, . . . ,an−1) = 0, pa-ra todo i y para todo punto (a1, . . .an−1) ∈ kn−1. Por hipótesis de inducción tenemosentonces que fi(X1, . . . ,Xn−1) = 0, para todo i y por tanto, p(X1, . . . ,Xn) = 0.

Cuando el cuerpo k es infinito, diremos que k[X1, . . . ,Xn] es el anillo de funcionesregulares, o de coordenadas sobre kn.

Cada polinomio f ∈ k[X1, . . . ,Xn] determina un subconjunto

V ( f ) ={

P = (a1, . . . ,an) ∈ kn | f (a1, . . . ,an) = 0}

de ceros o raíces de f en kn. Análogamente, dado un conjunto S no vacío (y no

necesariamente finito) de polinomios de k[X1, . . . ,Xn] podemos considerar el conjuntode ceros comunes del sistema

V (S) =⋂f∈S

V ( f ) ={

P = (a1, . . . ,an) ∈ kn | f (a1, . . . ,an) = 0, ∀ f ∈ S}

que llamaremos conjunto algebraico afín. Así, diremos que V ⊆ kn es un conjunto

algebraico afín, si existe S ⊆ k[X1, . . . ,Xn] tal que V = V (S). Es decir, un conjuntoalgebraico afín es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas.

Como es natural, cuantas más ecuaciones (polinomios en S) menos soluciones; ensímbolos:

S⊆ S′⇒ V (S)⊇ V (S′). (2.1)

El ideal generado por S ⊆ k[X1, . . . ,Xn], que denotamos 〈S〉 consiste en la sumasfinitas de la forma

∑ fi gi, fi ∈ k[X1, . . . ,Xn], gi ∈ S.

Por tanto, si a = 〈S〉 y f ∈ a, se sigue que f (a1, . . . ,an) = 0, para todo (a1, . . . ,an) ∈V (S). Es decir, V (S)⊂ V (a). Además, como la inclusión opuesta es cierta por (2.1),pues S ⊆ a, concluimos que V (S) = V (a), o dicho de otro modo, que el conjuntoalgebraico afín de S es el mismo que el del ideal que genera.

Por consiguiente, los conjuntos algebraicos afines son los ceros, V (a), de los idea-les a de k[X1, . . . ,Xn].

En nuestra definición de conjunto algebraico no hemos exigido que S sea un con-junto finito. Sin embargo, todo conjunto algebraico es el conjunto de ceros de unnúmero finito de polinomios, ya que como hemos visto el conjunto algebraico de unconjunto coincide con el del ideal que genera y, por el Teorema de la base de Hilbert,todo ideal de k[X1, . . . ,Xn] es finito generado. En resumen,

Corolario 2.1.2. Si V ⊆ kn es un conjunto algebraico, entonces existen f1, . . . , fm ∈

k[X1, . . . ,Xn] tales queV ( f1, . . . , fm) =V.

56


Ejemplos 2.1.3.(i) V ({0}) = k

n.

(ii) Sea S⊆ k[X1, . . . ,Xn]. Si existe algún elemento invertible en S, entonces V (S) =∅.

(iii) Los subconjuntos algebraicos de la recta afín, k, son sus subconjuntos finitos, elvacío y k. Sabemos que todo ideal de k[X ] es principal, por tanto los conjuntosalgebraicos de k son los ceros de un polinomio. Si k es algebraicamente cerrado,todo polinomio no nulo f (x) descompone en factores lineales, f (x) = a(x−a1) · · ·(x−an) con a,a1, . . . ,an ∈ k. Entonces V ( f ) = {a1, . . . ,an}.

(iv) Todo punto P = (a1, . . . ,an) es un conjunto algebraico de kn: llamamos mP alideal maximal

mP = (X1−a1, . . . ,Xn−an) = { f ∈ k[X1, . . . ,Xn] : f (a1, . . . ,an) = 0}=

Ker(π : k[X1, . . . ,Xn]→ k, Xi 7→ ai)

entoncesV (X1−a1, . . . ,Xn−an) = {(a1, . . . ,an)}.

(v) Una subvariedad afín L es un conjunto algebraico, pues L es el conjunto dondese anulan sus ecuaciones implícitas. Si las ecuaciones de L son:

ai1X1 +ai2X2 + . . .+ainXn = bi, i = 1, . . . ,m

entonces

L = V (ai1X1 +ai2X2 + . . .+ainXn−bi, i = 1, . . . ,m)

(vi) Llamamos hipersuperficie al conjunto de ceros de un polinomio.Todo conjunto algebraico es intersección de un número finito de hipersuperfi-cies.

(vii) Si f ,g ∈ k[X ,Y ] no tienen factores irreducibles comunes, entonces V ( f ,g) esfinito o vacío. (Ejercicio).

Ejemplo 2.1.4. Algunos sistemas de generadores son más útiles que otros para de-terminar cómo es un conjunto algebraico. Por ejemplo, los conjuntos S = {X2 +Y 2 +

Z2− 1, X2 +Y 2−Y,X −Z} y S′ = {Z4, Y +Z2− 1, X −Z} generan el mismo ideala de k[X ,Y,Z]. El primer polinomio de S′ tiene como raíz (cuádruple) a 0, y se siguefácilmente que V (a) es el punto (0,1,0).

Ahora nos podríamos preguntar cuántos polinomios son necesarios para generarun ideal a de k[X1, . . . ,Xn], o, lo que no es exactamente lo mismo, cuántas ecuacionesse necesitan como mínimo para definir el conjunto algebraico V = V (a). Si n = 1,sabemos que los ideales son principales. Además, si V es un subespacio lineal de kn,

entonces podemos afirmar que V está en el conjunto de soluciones de n− dim(V )

polinomios de grado total 1. No obstante, el problema general no está resuelto aún yes una área activa de investigación.

57


Ejercicio 2.1.5. Comprueba que los siguientes conjuntos son algebraicos:A = {(1,0), (0,1)} ⊂ k

2

B = {(t, t2, t3) : t ∈ C} ⊂ k3

C = {(x,y,z) ∈ k3 : x2 = y2 + z2}∪{(x,y,z) ∈ k3 : x2 + y2 = z}D = {(x,y,z) ∈ k3 : x2 = y2 + z2}∩{(x,y,z) ∈ k3 : x2 + y2 = z}

2.1.2. Topología de Zariski

Veamos ahora algunas propiedades de los conjuntos algebraicos.

Proposición 2.1.6.(a) a⊆ b⇒ V (a)⊇ V (b).

(b) V (∑i ai) = ∩iV (ai), para cualquier familia de ideales {ai}i∈I de k[X1, . . . ,Xn].

(c) V (ab) = V (a∩b) = V (a)∪V (b).

Demostración. La demostración de (a) es inmediata.(b) Como ai ⊆ ∑i∈I ai, para todo i ∈ I, se sigue V (ai) ⊇ V

(∑i∈I ai

), para todo

i ∈ I. Por tanto ⋂i∈I

V (ai)⊇ V(∑i∈I

ai).

Recíprocamente, dado f ∈∑i∈I ai, existen f j ∈ ai j , j = 1, . . . ,s, tales que f = ∑sj=1 f j.

Por tanto, si P ∈⋂

i∈I V (ai), se sigue que f (P) = 0. De donde se deduce que P ∈V(

∑i∈I ai).

(c) Si P ∈ V (a)∪V (b), entonces o bien P ∈ V (a) o bien P ∈ V (b), luego en Pse anulan todos los polinomios de ab. Recíprocamente, si P ∈ V (ab) y, por ejemplo,P 6∈ V (a), entonces existe f ∈ a tal que f (P) 6= 0. Pero, para cualquier g ∈ b, se tieneque (g f )(P)= 0; de donde se sigue que g(P)= 0, y por lo tanto P∈V (b). En resumenV (ab) = V (a)∪V (b).

Finalmente, como

ab⊆ a∩b⇒ V (ab)⊇ V (a∩b)

ya∩b⊆ a

a∩b⊆ b

}⇒ V (a∩b)⊇ V (a)

V (a∩b)⊇ V (b)

}⇒ V (a∩b)⊇ V (a)∪V (b),

se sigue el resultado buscado.

La condición (c) también es cierta para cualquier familia finita {a1, . . . ,an} deideales de k[X1, . . . ,Xn] :

V( n⋂

i=1

ai

)=

n⋃i=1

V (ai).

58


Pero, en general, no es cierta para una familia arbitraria de ideales. Por ejemplo, sea{c j ∈ k, j ∈N} una familia numerable de escalares distintos y consideremos los idea-les a j = 〈X − c j〉, j ∈ N, de k[X ]. Se comprueba fácilmente que a j1 ∩ . . .∩ a js =

〈∏si=1(X− c ji)〉. Por consiguiente, se cumple que⋂

j∈Na j = 0.

Por otra parte, tenemos que ⋃j∈N

V (a j) = {c0,c1, . . .}

Si k no es numerable, concluimos que el conjunto {c j} no es algebraico (no es finitoy no es el total) y la igualdad dada en (c) no es aplicable en este caso:⋃

j∈NV (a j)( V

(⋂j∈N

a j

).

Corolario 2.1.7. La unión de una familia finita de conjuntos algebraicos es un con-junto algebraico. La intersección de una familia arbitraria de conjuntos algebraicoses un conjunto algebraico. El vacío y el total son conjuntos algebraicos.

Demostración. La demostración se sigue de la Proposición 2.1.6 y de los apartados delos Ejemplos 2.1.3 i) y ii).

El resultado anterior nos dice que los conjuntos algebraicos son los cerrados de unatopología: la unión de cerrados es un cerrado, la intersección arbitraria de cerrados esun cerrado y el vacío y el total son cerrados.

Definición 2.1.8. Definimos la topología de Zariski de kn como aquella cuyos ce-rrados son los conjuntos algebraicos.

Ejemplos 2.1.9.(i) Los puntos de kn son cerrados de la topología de Zariski (es decir, kn es un espa-

cio T1.). En efecto, el conjunto de ceros del ideal maximal m= (x1−a1, . . . ,xn−an) es el punto de coordenadas (a1, . . . ,an).

(ii) La topología de Zariski de la recta afín k es la topología cofinita. En particular,la topología de Zariski no es Hausdorff1 en general.

(iii) Los cerrados para la topología de Zariski en k2 son: el vacío, k2, los puntos,

las curvas planas f (X ,Y ) = 0, donde f (X ,Y ) ∈ k[X ,Y ] y las uniones finitas depuntos y curvas planas.

Consideremos ahora una función h ∈ k[X1, . . . ,Xn] y definamos

D(h) = {P ∈ kn | h(P) 6= 0}.

Claramente, D(h) es un abierto de kn, pues se trata del complementario de V (h).1Un espacio topológico es Hausdorff si puntos distintos se pueden separar por abiertos disjuntos.

59


Proposición 2.1.10. Los conjuntos D(h), h ∈ k[X1, . . . ,Xn] son una base para la to-pología Zariski en kn, es decir, cada D(h) es abierto y todo abierto es unión (finita dehecho) de abiertos de la forma D(h), h ∈ k[X1, . . . ,Xn]

Demostración. Ya hemos probado que D(h) es abierto, luego solo queda ver que esbase. Sea U un abierto de k

n, entonces U es el complementario de V (a) para al-gún ideal a de k[X1, . . . ,Xn]. Por el Teorema de la base Hilbert, a = 〈 f1, . . . , fs〉, fi ∈k[X1, . . . ,Xn], de donde se sigue que

U = kn \V (a) = k

n \s⋂

i=1

V ( fi) =s⋃

i=1

D( fi).

Los abiertos D(h), h ∈ k[X1, . . . ,Xn], se llaman básicos o principales de kn.

2.2. Correspondencia conjuntos algebraicos↔ ideales

Dado un subconjunto F de kn, consideremos el conjunto de todas las funcionespolinómicas I (F) que se anulan en F , es decir,

I (F) = { f ∈ k[X1, . . . ,Xn] | f (P) = 0, ∀P ∈ F}.

Es claro que I (F) es el mayor subconjunto k[X1, . . . ,Xn] con esa propiedad; es más,I (F) es un ideal de k[X1, . . . ,Xn]:

I (F) =⋂

P∈F

mP.

Para todo ideal a de k[X1, . . . ,Xn] se cumple que a⊆I (V (a)). y esta contenciónpuede ser estricta. Por ejemplo, en k[X ]:

I (V (X2)) = (X)! (X2).

Ejercicio 2.2.1.1. Sabemos que si f ,g ∈ k[X ,Y ] y no tienen factores irreducibles comunes, enton-

ces V ( f ,g) es finito o vacío. Utilizando este resultado, probar que si f ∈ k[X ,Y ]es irreducible y V ( f ) es infinito, entonces I (V ( f )) =< f >.

2. Escribe un ejemplo que muestre que este resultado no es cierto si V ( f ) no esinfinito.

3. Prueba que si k es algebraicamente cerrado (y por tanto, infinito) y f ∈ k[X ,Y ],entonces V ( f ) es infinito.

Ejemplo 2.2.2. El conjunto W = {(t2, t3) | t ∈ k} ⊆ k2 es algebraico:

W = {(a,b) ∈ k2 | a3 = b2}= V (X3−Y 2).

Si k es infinito, el ideal de este conjunto es 〈X3−Y 2〉.

60


Ejercicio 2.2.3. Para k=Z/2Z, determinar los puntos de W = V (X3−Y 2) y obtenerel ideal I (W ).

Proposición 2.2.4.(a) V ⊆W ⇒I (V )⊇I (W ).

(b) I (∅) = 〈1〉. Si k es infinito, I (kn) =< 0 > .

(c) I (⋃

i∈I Wi) =⋂

i∈I I (Wi).

Demostración. Las demostraciones de (a) y (b) son inmediatas.(c) Como Wi ⊆

⋃i∈I Wi, para todo i ∈ I, entonces I (Wi)⊇I

(⋃i∈I Wi

), para todo

i ∈ I. Por tanto⋂

i∈I I (Wi) ⊇ I(⋃

i∈I Wi). Recíprocamente, si f ∈

⋂i∈I I (Wi), en-

tonces f (P) = 0, para todo P ∈Wi, i ∈ I. De donde se sigue que f (P) = 0, para todoP ∈

⋃i∈I Wi.

Proposición 2.2.5. Sea F ⊂ kn un subconjunto cualquiera. El menor subconjunto al-

gebraico de kn que contiene a F es V (I (F)). En particular, V (I (W )) =W cuandoW es un conjunto algebraico.

Demostración. Sea a un ideal de k[X1, . . . ,Xn] tal que F ⊆ V (a). Entonces I (F) ⊇I (V (a))⊇ a. Por tanto, V (I (F))⊆ V (a).

El resultado anterior nos dice que la clausura de F (con la topología de Zariski) esV (I (F)).

Corolario 2.2.6. La condición necesaria y suficiente para que dos conjuntos alge-braicos sean iguales es que los sean sus respectivos ideales:

V (a) = V (b)⇔I (V (a)) = I (V (b)).

Hemos establecido las siguientes correspondencias:

V : {Ideales de k[X1, . . . ,Xn]}→ {Conjuntos algebraicos de kn}

a 7→ V (a)

I : {Conjuntos algebraicos de kn}→ {Ideales de k[X1, . . . ,Xn]}

V 7→I (V )

Uno de los objetivos de este tema es analizar estas correspondencias, es decir, larelación entre los subconjunto algebraicos de kn y los ideales de k[X1, . . . ,Xn].

Sabemos que si V es un conjunto algebraico entonces V (I (V )) = V , luego V 6=W ⇒I (V ) 6= I (W ). En particular, si V es un conjunto algebraico,

V 6= kn =⇒I (V ) 6= 0

V 6= /0 =⇒I (V ) 6= k[X1, . . . ,Xn]

61


Como hemos señalado al inicio de esta sección, para todo ideal a de k[X1, . . .Xn] secumple que a⊆I (V (a)), pudiendo ser la inclusión estricta. Nos preguntamos ahorapara qué clase de ideales se da la igualdad, y por lo tanto es inyectiva la corresponden-cia a 7→ V (a). En este sentido, podemos establecer ya los siguientes resultados:

(a) Por la Proposición 2.1.1, sabemos que si el cuerpo k es infinito, la única funciónque se anula en todo kn es la función cero, luego el único ideal cuyos ceros sontodo el espacio es el ideal cero, es decir:

a 6= 0 =⇒ V (a) 6= kn

(b) Si m es un ideal maximal de k[X1, . . .Xn], como m⊆I (V (m)), concluimos queel ideal I (V (m)) debe ser el propio m o el total k[X1, . . .Xn]. Si m=mP, paraalgún punto P = (a1,a2, . . . ,an) ∈ kn, entonces {P}= V (mP) y I (V (mP)) =

mP.La forma débil del Teorema de los ceros de Hilbert afirma que, si k es algebraica-

mente cerrado entonces todo ideal maximal m de k[X1, . . .Xn] es de la forma m=mP,para algún punto P (necesariamente único) de kn y, como veremos, esto equivale adecir que si a 6=< 1 > entonces V (a) 6= /0.

Teorema de los ceros de Hilbert (débil). (a) Si k es un cuerpo algebraicamentecerrado, y m es un ideal maximal de k[X1, . . . ,Xn] entonces existe un único puntoP = (a1, . . . ,an) ∈ kn tal que

m=mP = (X1−a1, . . . ,Xn−an)

Enunciado equivalente:(b) Si k es un cuerpo algebraicamente cerrado, todo ideal a de k[X1, . . . ,Xn] dis-

tinto del total tiene algún cero en kn :

a 6= 〈1〉 ⇒ V (a) 6=∅.

Demostración. Probaremos este teorema como consecuencia del Lema de normaliza-ción de Noether que demostraremos en el Tema 4.

Como ejercicio, pruébese que los enunciados (a) y (b) son equivalentes.

En términos de sistemas de ecuaciones, el Teorema de los ceros de Hilbert afirmaque, si k es un cuerpo algebraicamente cerrado, entonces un sistema de ecuacionespolinómicas

g1(X1, . . . ,Xn) = 0...

gm(X1, . . . ,Xn) = 0

es incompatible si, y sólo si existen fi ∈ k[X1, . . . ,Xn] tales que ∑mi=1 figi = 1, o lo que

es lo mismo, si 1 ∈ (g1, . . . ,gm).

62


Es fundamental comprender la necesidad de la hipótesis k algebraicamente ce-rrado en los resultados anteriores: si consideramos k = R (que sabemos que no esalgebraicamente cerrado) podemos encontrar ideales maximales, por ejemplo, m =

〈X2 +1〉 de k[X ] que no corresponden con el ideal de ningún punto, de hecho el con-junto de sus ceros es vacío (pues la ecuación X2 +1 = 0 no tiene soluciones reales).

El Teorema de los ceros establece una correspondencia biyectiva entre los puntosde kn y los ideales maximales de k[X1, . . . ,Xn]. En este sentido tenemos que

P ∈ V (a)⇐⇒ a⊆mP, (2.2)

puesto que f (P) = 0 si y sólo si f ∈mP.

Corolario 2.2.7. Sea k algebraicamente cerrado y sea a un ideal de k[X1, . . . ,Xn].

Entonces, I (V (a)) =⋂m⊇a

m.

Existe una segunda versión del Teorema de los ceros de Hilbert, conocida co-mo forma fuerte, que nos dice cómo determinar el ideal I (V (a)) a partir de a.

En concreto, dicho Teorema establece que si k es algebraicamente cerrado entoncesf ∈I (V (a)) si y solo si alguna potencia de f pertenece a a.

Recordemos que el radical de un ideal a de un anillo A se define como

rad(a) =√a= { f | f r ∈ a, para algún entero r > 0}.

Ejemplos 2.2.8. 1. Si a= psZ con p primo, entonces√a= {a∈Z | an ∈ psZ para algún n>

0}= pZ.2. Sea a = nZ. Si la descomposición de n en producto de potencias de primos es

n = pn11 pn2

2 . . . pnrr entonces

√a= {a ∈ Z | am ∈ nZ para algún m > 0}= ¿ ?

3. Sea A =K[x,y] y a= 〈xr,ys〉, entonces√a= 〈x,y〉.

Ejercicio 2.2.9. Sea a un ideal de un anillo A. Probar las siguientes afirmaciones:(a) El radical de a es un ideal de A.(b) a⊆

√a.

(c)√a= A⇔ a= A.

(d)√√

a=√a.

(e) Si A =K[X1, . . . ,Xn], entonces

V (a) = V (√a) y

I (V (a))⊇√a.

Usando el concepto de radical de un ideal, el Teorema de los ceros de Hilbert ensu forma fuerte afirma que si el cuerpo base k es algebraicamente cerrado entonces seda la igualdad I (V (a)) =

√a. Antes de probar dicho Teorema, vamos a demostrar el

63


siguiente resultado que, para los anillos íntegros, proporciona una condición necesariay suficiente de pertenencia al radical de un ideal.

Truco de Rabinovich. Sea a un ideal de un anillo íntegro A. Entonces, h ∈√a si

y solo si 1 ∈ 〈a,1−hY 〉 (esto es, el ideal de A[Y ] generado por a y por 1−hY ).Demostración. Si h ∈

√a, entonces 1 = Y NhN +(1−Y NhN) = Y NhN +(1−Y h)(1+

Y h+ . . .+Y N−1hN−1) ∈ 〈a,1− hY 〉, para algún N suficientemente alto. Recíproca-mente, si 1 ∈ 〈a,1−hY 〉, existen f1, . . . , fm ∈ a y g,g1, . . . ,gm ∈ A[Y ] tales que

1 =m

∑i=1

gi(Y ) fi +g(Y )(1−hY )

en A[Y ]. Como la igualdad es válida en Σ[Y ], donde Σ es el cuerpo de fracciones de A,podemos sustituir Y por 1/h y obtenemos

1 =m

∑i=1

gi(1/h) fi

en Σ[Y ]. Multiplicando ahora por una potencia apropiada de h, obtenemos la expresión

hN =m

∑i=1

(hN(gi(1/h)

))fi,

con hN(gi(1/h)

)∈ A. De donde se sigue que h ∈

√a.

Observemos que el Truco de Rabinovich, resuelve el problema de la pertenenciaal radical de un ideal a = 〈 f1, . . . , fs〉 ⊆ k[X1, . . . ,Xn]. En efecto, basta comprobar siuna (cualquiera) base de Gröbner de 〈a,1−hY 〉 contiene escalares.

Teorema 2.2.10. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Sean A = k[X1, . . . ,Xn],a= ( f1, . . . , fr) un ideal de A y h ∈ A. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. h ∈√a.

2. h ∈I (V (a)).3. El sistema f1 = 0, . . . , fr = 0,1−h ·Y = 0 es incompatible.4. a+(1−h ·Y ) = A[Y ].

Demostración. 1 =⇒ 2 es inmediato.2 =⇒ 3 Supongamos que h se anula en V (a). Consideremos el sistema de m+ 1

ecuaciones y n+1 incógnitas:{fi(X1, . . . ,Xn) = 0, i = 1, . . . ,m

1−h(X1, . . . ,Xn)Y = 0(2.3)

Si P= (a1, . . . ,an,b) verifica las m primeras ecuaciones, entonces (a1, . . . ,an)∈V (a);consecuentemente, h(a1, . . . ,an) = 0 y por tanto P no verifica la última ecuación. Esdecir, el sistema de ecuaciones (2.3) es incompatible.

3 =⇒ 4 Es el Teorema de los ceros de Hilbert, forma débil.4 =⇒ 1 Está demostrado en el Truco de Rabinovich.

64


Ejercicio 2.2.11. Dar una demostración directa de 4 =⇒ 1.

Recordemos que un ideal a se dice radical cuando coincide con su radical, es decir,a= rad(a).

Teorema de los ceros de Hilbert (fuerte). Sea k un cuerpo algebraicamente cerradoy sea a un ideal de k[X1, . . . ,Xn]. Entonces

I (V (a)) =√a;

en particular, I (V (a)) = a cuando a es un ideal radical.

Corolario 2.2.12. Si k es algebraicamente cerrado, el radical de un ideal de k[X1, . . . ,Xn]

es la intersección de todos los ideales maximales que lo contienen.

Demostración. Sea a un ideal de k[X1, . . . ,Xn]. Por el Teorema de los ceros de Hilbert(fuerte), sabemos que

√a= I (V (a)). El Teorema de los ceros de Hilbert (débil),

establece que todo maximal de k[X1, . . . ,Xn] es de la forma mP = { f ∈ k[X1, . . . ,Xn] |f (P) = 0}. Como a⊆mP si y solo si P ∈ V (a), tenemos que⋂

m⊇am=

⋂P∈V (a)

mP = I (V (a)) =√a

Corolario 2.2.13. Si k es algebraicamente cerrado, la aplicación a→ V (a) defineuna correspondencia biyectiva:{

Ideales radicalesde k[X1, . . . ,Xn]

}←→

{Subconjuntos

algebraicos de kn

};

cuya inversa es I .

Demostración. Sabemos que I (V (a)) = a si a es radical, por el Teorema de losceros de Hilbert (fuerte), y que V (I(W )) =W si W es un conjunto algebraico, por laProposición 2.2.5. Luego, I y V son aplicaciones inversas.

Obsérvese que como caso particular del Corolario 2.2.12, se tiene que, cuando k esalgebraicamente cerrado, todo ideal primo de k[X1, . . . ,Xn] es intersección de idealesmaximales. Los anillos que verifican esta condición se llaman anillos de Jacobson ode Hilbert.

Conjuntos algebraicos irreducibles

Definición 2.2.14. Un conjunto algebraico no vacío es irreducible si no es unión dedos subconjuntos algebraicos propios. (Por convenio el vacío no se considera irredu-cible.)

65


Ejemplo 2.2.15. Si k es infinito, la recta afín k es irreducible, porque sus únicossubconjuntos algebraicos propios son los subconjuntos finitos, mientras que k tieneinfinitos puntos.

Proposición 2.2.16. Un conjunto algebraico W es irreducible si y sólo si I (W ) esprimo.

Demostración. Si f g ∈I (W ), entonces W ⊆ V ( f g) = V ( f )∪V (g). Por tanto, W =

(W ∩V ( f ))∪ (W ∩V (g)), siendo ambos subconjuntos cerrados de W. Como W esirreducible, tenemos que o bien W = (W ∩V ( f )), en cuyo caso W ⊆ V ( f ), o bienW = (W ∩ V (g)), en cuyo caso W ⊆ V (g). De donde se sigue que f ∈ I (W ) óg ∈I (W ).

Recíprocamente, sea p un ideal primo, y supongamos que V (p) = W1 ∪W2. En-tonces, p = I (W1)∩I (W2). Recordemos que si ∩n

i=1ai ⊆ p, con p primo, entoncesa j ⊆ p para algún j. Por tanto en nuestro caso, o bien p= I (W1) o bien p= I (W1).

Así obtenemos que V (p) =W1 ó W2 y concluimos que es irreducible,

Es decir, la aplicación a→ V (a) define una correspondencia biyectiva:{Ideales primosde k[X1, . . . ,Xn]

}←→

{Subconjuntos

algebraicos irreducibles de kn

};

cuya inversa es I .

Ejemplos 2.2.17.(a) k

n es irreducible, pues se corresponde con el ideal cero de k[X1, . . . ,Xn].

(b) Sea f un polinomio irreducible de k[X ,Y ]. Entonces f genera un ideal primo dek[X ,Y ], luego C = V ( f ) es irreducible. En este caso, se dice que C es la curvaafín definida por la ecuación f (X ,Y ) = 0.

(c) En general, si f es un polinomio irreducible de k[X1, . . . ,Xn], tenemos que elconjunto algebraico H = V ( f ) es irreducible, y se llama superficie si n = 3 ehipersuperficie si n > 3.

(d) Si f ∈ k[X1, . . . ,Xn] y la descomposición de f en factores irreducibles es f =f m11 · . . . · f mr

r entonces V ( f ) = V ( f1)∪ . . .∪V ( fr).Además, < f >= I (V ( f )) si, y solo si, mi = 1,∀i = 1, . . . ,r.

2.3. Funciones y aplicaciones regulares

2.3.1. Anillo de coordenadas de un conjunto algebraico

En esta sección supondremos que k es un cuerpo algebraicamente cerrado.Sea V un subconjunto algebraico de k

n. Llamaremos funciones regulares sobreV a las funciones V → k de la forma P 7→ f (P) para algún f ∈ k[X1, . . . ,Xn]. Dos

66


polinomios f y g definen la misma función regular sobre V si y sólo si f −g ∈I (V ),

es decir, si son iguales en el cociente k[X1, . . . ,Xn]/I (V ).Diremos que el anillo de coordenadas de V es el anillo cociente

k[V ] = k[X1, . . . ,Xn]/I (V ).

Observemos que k→ k[X1, . . . ,Xn]/I (V ) es una k-álgebra de tipo finito reducida(no necesariamente íntegra).

La proyección canónica

π : k[X1, . . . ,Xn]→ k[V ]

envía cada función regular sobre kn a su restricción en V.

Ejemplo 2.3.1. La proyección i−ésima xi : V → k; (a1, . . . ,an) 7→ ai es una funciónregular de V.

A partir del anillo de coordenadas k[V ] definimos los subconjuntos algebraicosde V : Dado un ideal a′ de k[V ], definimos

V (a′) = {P ∈V | f (P) = 0, ∀ f ∈ a′}

La topología de Zariski definida en V por k[V ] es la que tiene como cerrados a lossubconjuntos algebraicos de V.

Veamos que esta topología es precisamente la topología de subespacio inducidaen V por la topología de Zariski en kn.

La aplicación a 7→ π−1(a) define una correspondencia biyectiva:{Ideales de

k[X1, . . . ,Xn]/I (V )

}←→

{Ideales de k[X1, . . . ,Xn]

que contienen a I (V )

}cuya inversa es a 7→ π(a).

Esta correspondencia lleva ideales radicales, primos y maximales, respectivamen-te, en ideales radicales, primos y maximales.

Si a es un ideal de k[X1, . . . ,Xn], entonces:

V (a)∩V (I (V )) = {P ∈V | f (P) = 0,∀ f ∈ a}=

V (a+I (V )) = V (π(a+I (V )))

Además, si a′ es un ideal de k[V ], se comprueba fácilmente que

k[X1, . . . ,Xn]/π−1(a′)∼= k[V ]/a′.

En resumen, todo subconjunto algebraico W de un conjunto algebraico V es sub-conjunto algebraico de kn y su anillo de coordenadas es

k[W ]∼= k[X1, . . . ,Xn]/π−1(I (W )).

67


Para cada h ∈ k[V ] definimos

DV (h) = {P ∈V | h(P) 6= 0}.

Claramente, DV (h) es un abierto de V, pues se trata del complementario de V (h) en V(es decir, V ∩ (kn \V (h)). Si k es algebraicamente cerrado, DV (h) es vacío si y solosi h = 0 en k[V ] (pues I (V ) es radical). Cuando no exista posibilidad de confusiónescribiremos D(h) en lugar de DV (h).

Proposición 2.3.2.Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado.

(a) La aplicación a→ V (a) define una correspondencia biyectiva:{Ideales radicales

de k[X1, . . . ,Xn]/I (V )

}←→

{Subconjuntoscerrados de V

}(b) Los puntos de V están en correspondencia biyectiva con los ideales maximales

de k[V ].

(c) Los conjuntos D(h), h ∈ k[V ] son una base para la topología inducida en V, esdecir, cada D(h) es abierto y todo abierto es unión (finita de hecho) de D(h), h∈k[V ]

Demostración. (a) y (b) se siguen de ya lo comentado. Para (c), ya hemos probado queD(h) es abierto, luego sólo queda ver que es base. Sea U un abierto de V, entoncesU es el complementario de V (b) para algún ideal b de k[X1, . . . ,Xn] que contiene aa = I (V ). Por el Teorema de la base Hilbert, b = 〈 f1, . . . , fs〉, fi ∈ k[X1, . . . ,Xn], dedonde se sigue que U =V \V (b) =V \

⋂si=1 V ( fi) =

⋃si=1 DV ( fi).

Los abiertos D(h), h ∈ k[V ], se llaman básicos o principales de V.

2.3.2. Aplicaciones regulares entre conjuntos algebraicos

Comencemos esta sección con un ejemplo. El anillo de coordenadas de la curvacuadrática

C = V (X2 +Y 2−1)

del plano afín complejo C2 es C[C] = C[X ,Y ]/〈X2 +Y 2−1〉. Sea i un elemento de Ctal que i2 = −1 y tomemos U = X + iY y V = X − iY. Entonces el anillo de coorde-nadas de C se transforma en C[U,V ]/〈UV −1〉. Nótese que este anillo es isomorfo aC[U,1/U ].

Este cambio de variables lo podemos describir como mediante el siguiente iso-morfismo de anillos:

ϕ : C[X ,Y ]/〈X2 +Y 2−1〉 −→ C[U,1/U ]

X 7−→ 12 (U +1/U)

Y 7−→ 12i (U−1/U)

68


cuyo inverso es

ϕ : C[U,1/U ]−→ C[X ,Y ]/〈X2 +Y 2−1〉;U 7−→ X + iY.

A fin de generalizar el cambio de variables del ejemplo anterior, vamos a definirqué se entiende por un morfismo de conjunto de conjuntos algebraicos. Comenzare-mos con los morfismos entre espacios afines.

Sabemos que cada polinomio f ∈ k[X1, . . . ,Xn] define una función regular:

f : kn→ k, (a1,a2, . . . ,an) 7→ f (a1, . . . ,an).

Análogamente, una familia de m polinomios h1, . . . ,hm ∈ k[X1, . . . ,Xn] define unaaplicación

h∗ : kn→ km, (a1,a2, . . . ,an) 7→ (h1(a1, . . . ,an), . . . ,hm(a1, . . . ,an)).

Definición 2.3.3. Diremos que una aplicación ϕ : kn→ km es regular si existen poli-

nomios h1, . . . ,hm ∈ k[X1, . . . ,Xn] tales que ϕ = h∗.

Dar una familia de polinomios h1, . . . ,hm ∈ k[X1, . . . ,Xn] es equivalente a definirun morfismo de k-álgebras:

h : k[Y1, . . . ,Ym] −→ k[X1, . . . ,Xn]

Yi 7→ h(Yi) = hi(X1, . . . ,Xn)

g(Y1, . . . ,Ym) 7→ g(h1(X1, . . . ,Xn), . . . ,hm(X1, . . . ,Xn)).

Así, definir una aplicación regular h∗ : kn → km es equivalente a definir un mor-

fismo de k-álgebras h : k[Y1, . . . ,Ym]−→ k[X1, . . . ,Xn].Es decir, existe una correspondencia biyectiva h 7→ h∗

Homk(k[Y1, . . . ,Ym], k[X1, . . . ,Xn])←→

Aplicaciones

regularesk

n→ km

.

De manera análoga, definimos las aplicaciones regulares entre conjuntos algebrai-cos.

Definición 2.3.4. Dados dos conjuntos algebraicos V ⊆ kn y W ⊆ k

m, diremos queuna aplicación ϕ : V →W es una aplicación regular si está definida por polinomios,es decir, si existen h1, . . . ,hm ∈ k[X1, . . . ,Xn] tales que

ϕ(a1, . . . ,an) = h∗(a1, . . . ,an) = (h1(a1, . . . ,an), . . . ,hm(a1, . . . ,an)),

para cada punto (a1, . . . ,an) ∈V.

69


Obsérvese que las funciones hi, i = 1, . . . ,m, no son necesariamente únicas. Porejemplo, si V = V (X2 +Y 2−1) los polinomios f = X y g = X2 +Y 2 +X−1 definenla misma función regular de V en k.

Sea h∗ : kn→ km la aplicación regular definida por el morfismo de k-álgebras:

h : k[Y1, . . . ,Ym] −→ k[X1, . . . ,Xn]

Yi 7→ h(Yi) = hi(X1, . . . ,Xn)

g(Y1, . . . ,Ym) 7→ g(h1(X1, . . . ,Xn), . . . ,hm(X1, . . . ,Xn)).

Sean V ⊆ kn y W ⊆ k

m conjuntos algebraicos de ideales a= I (V ) y b= I (W ).La condición necesaria y suficiente para que h∗ defina una aplicación regular de V

en W es que para todo punto (a1, . . . ,an) de V ocurra que h∗(a1, . . . ,an) ∈W . Carac-tericemos cuándo ocurre esto, en términos del morfismo h:∀(a1, . . . ,an)∈V se cumple que h∗((a1,a2, . . . ,an))= (h1(a1, . . . ,an), . . . ,hm(a1, . . . ,an))∈

W ⇐⇒ ∀g ∈I (W ),g(h∗(a1,a2, . . . ,an)) = g(h1(a1, . . . ,an), . . . ,hm(a1, . . . ,an)) = 0.Esto ocurre si, y solo si g(h1(X1, . . . ,Xn), . . . ,hm(X1, . . . ,Xn)) = h(g(Y1, . . . ,Ym)) ∈I (V ),∀g ∈ I (W ), es decir, si y solo si h(I (W )) ⊆ I (V ). Esta es precisamentela condición necesaria y suficiente para que exista un morfismo de k-álgebras:

h : k[W ] =k[Y1, . . . ,Ym]

I (W )→ k[V ] =

k[X1, . . . ,Xn]

I (V )

Yi 7→ hi(X1, . . . ,Xn)

Es decir, un morfismo k[W ]→ k[V ] que haga conmutativo el siguiente diagrama

k[Y1, . . . ,Ym]h - k[X1, . . . ,Xn]

?

π

?

π

k[W ] = k[Y1,...,Ym]I (W )

h - k[V ] = k[X1,...,Xn]I (V ) .

En resumen, hemos establecido una correspondencia biyectiva h 7→ h∗

Homk(k[W ], k[V ])←→

Aplicaciones

regularesV →W

.

Ejercicio 2.3.5. Sean h1 : k[V1]→ k[V2] y h2 : k[V2]→ k[V3] dos morfismos de k

álgebras. Comprueba que:(h2 ◦h1)

∗ = h∗1 ◦h∗2

70


Definición 2.3.6. Una aplicación regular h∗ : V →W es un isomorfismo de conjuntosalgebraicos si existe otra aplicación regular g∗ : W→V tal que g∗◦h∗= idV y h∗◦g∗=idW . Es decir, si el correspondiente morfismo de k-álgebras h : k[W ]→ k[V ] es unisomorfismo.

Ejemplos 2.3.7.(a) Comprueba que la siguiente aplicación es un isomorfismo y escribe su aplica-

ción inversa.

ϕ :V = {(x,y)∈C2 | x2+y2 = 1}→W = {(u,v),∈C2 | uv= 1} (x,y) 7→ (x+yi,x−yi)

(b) Consideremos la curva plana compleja C = V (X3−Y 2), conocida como cús-pide. Esta curva admite la parametrización X = t2, Y = t3, t ∈ C. Se define entoncesla aplicación regular:

C→C, t 7→ (t2, t3).

Comprueba que esta aplicación es biyectiva pero no es un isomorfismo de conjuntosalgebraicos.

Proposición 2.3.8. Sea h∗ : V →W la aplicación regular definida por el morfismo dek-álgebras h : k[W ]→ k[V ]. Entonces:

(a) ∀g ∈ k[W ] se cumple que h(g) = g◦h∗

(b) Si P ∈V y Q ∈W, entonces h∗(P) = Q⇐⇒mQ = h−1(mP)

Demostración. La demostración del apartado (a) se propone como ejercicio. Para pro-bar (b) no hay más que observar que: h−1(mP) = {g ∈ k[W ] | h(g) = g◦h∗ ∈ mP} ={g ∈ k[W ] | (g◦h∗)(P) = g(h∗(P)) = 0}=mh∗(P)

Corolario 2.3.9. Sea ϕ : V →W una aplicación entre conjuntos algebraicos. Si ϕ esregular, entonces es continua para la topología de Zariski.

Demostración. Basta demostrar que la imagen inversa de un cerrado básico de W esun cerrado de V. Sea, pues, VW (g) un cerrado básico de W. Entonces

ϕ−1(VW (g)) = {P ∈V | ϕ(P) ∈ VW (g)}= {P ∈V | g(ϕ(P)) = 0}

= {P ∈V | (g◦ϕ)(P) = 0}

Por la proposición 2.3.8, g◦ϕ ∈ k[V ], concluimos que

ϕ−1(VW (g)) = VV (g◦ϕ)

es decir, es un cerrado (básico, de hecho) de V.

El recíproco del corolario anterior no es cierto, por ejemplo, la aplicación C =

V (X3−Y 2)→ C;(t2, t3) 7→ t es continua y no es regular.

71


2.4. Ejercicios

Ejercicio 2.4.1. Sean f (X ,Y ) y g(X ,Y ) ∈ k[X ,Y ] dos polinomios sin factores irredu-cibles comunes.

(a) Aplica el Lema de Gauss para obtener que f y g son primos entre sí en k(X)[Y ]y deduce que existe un polinomio no nulo s(X)∈k[X ] tal que s(X)∈ ( f (X ,Y ),g(X ,Y )).

Análogamente, existe un polinomio no nulo t(Y ) ∈ ( f (X ,Y ),g(X ,Y )).(b) Utilizando el apartado anterior, demuestra que V ( f ,g) es un conjunto finito o

vacío.

Ejercicio 2.4.2. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Utilizando el problemaanterior, demuestra que los únicos ideales primos de k[X ,Y ] son:

1. El ideal cero, (0).2. Los ideales generados por un polinomio irreducible ( f (X ,Y )).3. Los maximales: (X−a,Y −b), (a,b) ∈ k2.

Ejercicio 2.4.3. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Sabemos que todo idealmaximal de k[X ,Y ] es de la forma (X −a,Y −b), (a,b) ∈ k2. Probar que un sistemade ecuaciones polinómicas

f1(X , Y ) = 0...

fm(X , Y ) = 0

es incompatible si, y sólo si existen gi ∈ k[X , Y ] tales que ∑mi=1 gi fi = 1, o lo que es lo

mismo, si 1 ∈ ( f1, . . . , fm).

Ejercicio 2.4.4. Sea k un cuerpo arbitrario.1. Para cada f ∈ k[X ] no constante, describe V ( f ) en términos de la factorización

de f en polinomios irreducibles.2. Usa dicha descripción para determinar I (V ( f )).3. Deduce que I (V ( f )) = f si, y solo si, f es producto de factores irreducibles

distintos.

Ejercicio 2.4.5. Sabemos que una base de Gröbner del ideal I =(X2+XY +Z, XY Z+

Z2)⊂ C[X ,Y,Z], para el orden lexicográfico, con X > Y > Z, es

G = {X2 +XY +Z, XY Z +Z2, XZ2, Z3}

Calcula los ceros del ideal I, es decir, V (I). Calcula el ideal I (V (I)) y determinasi I = I (V (I)).

72


Ejercicio 2.4.6. Demuestra que si V y W son dos conjuntos algebraicos, entoncesI (V ∩W ) = rad(I (V ) +I (W )). Indicación: utiliza la correspondencia biyectivaque invierte las inclusiones entre conjuntos algebraicos de kn e ideales radicales dek[X1, . . . ,Xn]. Calcula el ideal de V (X2−Y )∩V (X2 +Y )⊂ R2.

Ejercicio 2.4.7. (a) Sea V un subconjunto algebraico de kn. Cada polinomio f ∈

k[X1, . . . ,Xn] define una función polinómica f : kn→ k, (a1, . . . ,an) 7→ f (a1, . . . ,an).Llamaremos funciones regulares sobre V a las funciones V → k de la forma P 7→ f (P)para algún f ∈ k[X1, . . . ,Xn].

Comprueba que dos polinomios f y g definen la misma función regular sobre V siy sólo si f −g ∈I (V ), es decir, si son iguales en el cociente k[X1, . . . ,Xn]/I (V ).

Diremos que el anillo cociente

k[V ] = k[X1, . . . ,Xn]/I (V ).

es el anillo de funciones regulares o anillo de coordenadas de V .(b) Probar que el anillo de coordenadas k[C] de una curva cuadratica C = V (Y −

X2) es isomorfo al anillo de polinomios k[T ] en un variable

Ejercicio 2.4.8. Sea C = V (X3 + X2 −Y 2) ⊂ C2. Comprueba que cada recta quepasa por el origen Y = tX corta a C en el origen y en otro punto (t2 − 1, t3 − t),que coincide con el origen cuando t = ±1. Comprueba que la aplicación ϕ : C→C,ϕ(t) = (t2−1, t3− t) es un morfismo de conjuntos algebraicos epiyectivo. Determinalas propiedades del correspondiente morfismo de C-álgebras ϕ# : C[C]→ C[T ].

Ejercicio 2.4.9. Sea V = V (XZ−Y 2,Y Z−X3,Z2−X2Y ) ⊆ R3. Demuestra que laaplicación ϕ : R→V , definida por ϕ(t) = (t3, t4, t5) es sobreyectiva. Describe explí-citamente el correspondiente morfismo de R-álgebras h : R[V ]→ R[T ]. Compruebaque ϕ no es un isomorfismo.

Ejercicio 2.4.10. Probar que la imagen del morfismo

φ : k −→ k3;

t 7−→ (t2, t3, t6).

es V (x3− y2,y2− z). Probar que este morfismo es biyectivo, pero no es un isomorfis-mo de conjuntos algebraicos.

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Tema 3

Localización

ContenidosDescripción del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1 Anillos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.1.1 Lema de Nakayama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.1.2 Anillos de gérmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Anillos de fracciones. Localización . . . . . . . . . . . . . . . 803.3 Espectro primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4 Localización de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5 Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.6 Localización en anillos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.6.1 Funciones en un abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.6.2 Anillos de gérmenes de funciones continuas . . . . . . . 1013.6.3 Anillos de gérmenes de funciones diferenciables . . . . 102

3.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Bibliografía principal:M.F ATIYAH, D.G MACDONALD. Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969. Cap. 3.J.A. NAVARRO GONZÁLEZ. Algebra Conmutativa Básica. Manuales UEx, no.19. Servicio de Publicaciones, Universidad de Extremadura, 1996. Versión on-line actualizada disponible en http://matematicas.unex.es/~navarro. Ca-pítulo VII, secciones 1-3


El procedimiento para construir el cuerpo de los racionales Q a partir del anillode los enteros Z (y la inmersión de Z en Q) se extiende fácilmente para construir elcuerpo de fracciones de cualquier anillo íntegro A. La construcción consiste en tomar

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todos los pares ordenados (a,s) ∈ A×A\{0}, y definir una relación de equivalenciaentre tales pares:

(a,s)≡ (b, t)⇔ at−bs = 0.

Esta construcción solamente funciona si A es un anillo íntegro, ya que la comproba-ción de que la relación es transitiva requiere cancelaciones, es decir, que A no tengadivisores de cero. Sin embargo, es posible trasladar esta construcción a un anillo Aarbitrario, si en lugar de considerar A\{0}, tomamos un sistema multiplicativo S de A(Definición 3.2.1, página 80). De este modo, en la asignatura Álgebra I, se construyóel anillo de fracciones con numerador en A y denominador en S, que aquí recordamos(Definición 3.2.3, página 81). Tal anillo, que se denota AS o S−1A, tiene una estructuranatural de A−álgebra y está unívocamente determinado (salvo isomorfismos) por unapropiedad universal (página 82).

Comenzaremos el tema con una breve sección dedicada al estudio de los anilloslocales y los módulos sobre tales anillos. Probaremos el Lema de Nakayama (página78), un resultado que tiene numerosas consecuecias y que muestra la utilidad de lalocalización como procedimiento para resolver problemas sobre módulos.

La localización de anillos, o formación de anillos de fracciones, la estudiaremosen la segunda sección del tema. Recordaremos la construcción del anillo de fraccio-nes y la demostración de su propiedad universal y obtendremos la correspondenciabiyectiva entre los ideales de AS y los ideales de A que no cortan a S (Teorema 3.2.8,página 83). Un caso de especial interés ocurre cuando S = A\p, p primo. En este casoel anillo resultante es local, es decir, tiene un único ideal maximal (Corolario 3.3.18,página 91), lo que justifica el nombre de la operación.

En la tercera sección del tema definiremos la topología de Zariski sobre el espectroprimo de un anillo, que veremos generaliza y amplía el concepto de solución de unsistema de ecuaciones algebraicas.

Dedicaremos la cuarta a la localización de módulos, dando en primer lugar suconstrucción explícita (Definición 3.4.1, página 92) y mostrando su propiedad univer-sal (página 92). Alternativamente, dado que la localización de un anillo A tiene unaestructura natural de A−álgebra, podemos recurrir al producto tensorial para realizarun cambio de base; concretamente, demostramos que si A es un anillo, S un siste-ma multiplicativo de A y M un A−módulo, entonces la localización de M en S, MS,

es precisamente M⊗A AS (Corolario 3.4.4, página 93). Para acabar esta sección de-mostramos una importante propiedad de la localización de módulos: localizar es unaoperación que conserva sucesiones exactas (Proposición 3.4.5, página 94).

La quinta sección de este tema lleva por título propiedades locales. Definiremosqué se entiende por Propiedad local (Definición 3.5.1, 95) y mostramos algunos ejem-plos importantes de propiedades locales.

Finaliza el capítulo con una sección en la que se muestran ejemplos de localizacióny anillos locales en anillos de funciones continuas o diferenciables.

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Los objetivos/competencias que se persigue conseguir en este tema son:Conocer los conceptos de anillo y módulo de fracciones y sus propiedades másrelevantes.Saber construir y manipular anillos y módulos de fracciones.Conocer la correspondencia entre los ideales primos de un anillo y los de suslocalizaciones.Utilizar la localización como herramienta para resolver problemas de dificultadmoderada.

3.1. Anillos locales

Definición 3.1.1. Sea A un anillo. Se dice que A es un anillo local si tiene un únicoideal maximal.

Ejemplos 3.1.2.i) Un cuerpo es un ejemplo trivial de anillo local, ya que sólo tiene un ideal maxi-

mal, el cero.ii) Si p es un número primo, entonces Z/ < pn > es un anillo local; su único ideal

primo es < p >

iii) Si p(x) ∈ K[x] es un polinomio irreducible, entonces K[x]/ < p(x)n > es unanillo local; su único ideal primo es < p(x)>

iv) Si la descomposición de un número entero n en factores primos es n= pn11 . . . pnr

r ,entonces los ideales primos del anillo Z/< n> son < p1 >,. . . ,< pr > y el ani-llo Z/< n> descompone en producto directo de anillos locales (Teorema chinode los restos):

Z< n >

=Z

< pn11 >

×·· ·× Z< pnr

r >.

v) Análogamente, si la descomposición de un polinomio p(x) ∈ K[x] en factoresirreducibles es p(x) = qn1

1 (x) . . .qnrr (x), entonces el anillo K[x]/ < p(x)> tiene

un número finito de ideales maximales: < q1(x) >,. . . ,< qr(x) > y el anilloK[x]/ < p(x)> descompone en producto directo de anillos locales:

K[x]< p(x)>

=K[x]

< qn11 (x)>

×·· ·× K[x]< qn1

1 (x)>.

Proposición 3.1.3. Sea A un anillo y sea a 6= 1 un ideal de A. Entonces, A es unanillo local de maximal a si y solo si los elementos de A que no pertenecen a a soninvertibles.

Demostración. Todo elemento no invertible de un anillo A pertenece a algún ideal ma-ximal. Si a es el único ideal maximal de A, entonces los elementos que no pertenecena a son invertibles.

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Si los elementos de A que no pertenecen a a son invertibles, entonces cada ideal deA, distinto del total, debe estar contenido en a, pues está formado por elementos queno son invertibles. Luego, todos los ideales de A distintos del total, están contenidosen a, y por tanto, A sólo puede tener un ideal maximal, a.

Habitualmente, los anillos locales se denotan por O, y así lo haremos a partir deahora.

Ejercicio 3.1.4. Sea O un anillo. Demuéstrese que si m es un ideal maximal de O talque cada elemento de la forma 1−a con a ∈m es invertible, entonces O es un anillolocal.

3.1.1. Lema de Nakayama.

El Lema de Nakayama proporciona una potente herramienta para trabajar con mó-dulos sobre anillos locales ya que permite reducir cuestiones relativas módulos sobreanillos locales a cuestiones relativas a espacios vectoriales.

Lema de Nakayama (local). Sean O un anillo local y m su único ideal maximal. SiM es un O-módulo finito generado, entonces M =mM si y solo si M = 0.Demostración. Supongamos que M = mM y que M 6= 0 Sea {m1, . . . ,mr} un siste-ma de generadores minimal de M, es decir, un sistema de generadores del que nopodemos eliminar ningún elemento de forma que siga siendo sistema de generado-res. Como M = mM, tenemos que mr ∈ mM, luego existen ai ∈ m, para i = 1, . . . ,rtales que mr = a1m1 + · · ·+ armr, es decir, (1− ar)mr = a1m1 + · · ·+ ar−1mr−1 ∈<m1, . . . ,mr−1 >. Como ar ∈ m, y este es el único ideal maximal de O , tenemos que1− ar es invertible, y concluimos que mr ∈< m1, . . . ,mr−1 >, es decir, que M estágenerado por m1, . . . ,mr−1, en contra de la elección del sistema de generadores. Portanto, M debe ser el módulo cero.

Observación 3.1.5. Sea O un anillo local de maximal m y sea k el cuerpo residualde m, es decir, π : O → O/m= k. Cada O-módulo M define, por cambio de base unk-espacio vectorial:

MmM

= M⊗OO

m.

El Lema de Nakayama afirma que, si M es finito generado, este k-espacio vectorialM/mM es nulo solo cuando M es el módulo cero. Es decir, que M es cero si y solo sial cambiar de base al cuerpo residual k es cero.

Muchas cuestiones sobre módulos pueden reducirse a la anulación de un ciertomódulo. Por ejemplo, que un submódulo N sea todo el módulo M es equivalente adecir que el cociente M/N sea cero.

78


Corolario 3.1.6. Sean O un anillo local, m su único ideal maximal, M un O-módulofinito generado y N un submódulo de M. Si N +mM = M entonces M = N.

Demostración. M/N es un A−módulo finito generado y es fácil comprobar que m(M/N)=

(N +mM)/N. Luego, si N +mM = M, entonces m(M/N) = (mM+N)/N = M/N yaplicando el Lema de Nakayama se concluye que M/N = 0, es decir, M = N.

En términos de cambios de base, podemos enunciar el corolario 3.1.6 de la si-guiente forma (con las mismas hipótesis):

M = N⇐⇒ MN⊗O

O

m=

MN +mM

= 0

Corolario 3.1.7. Sean O un anillo local, m su único ideal maximal y M un O−módulofinito generado. Entonces {m1, . . . ,mr} es un sistema de generadores de M si y sólo si{[m1], . . . , [mr]} es un sistema de generadores de M/mM como O/m−espacio vecto-rial.

Demostración.Sea k= O/m y π : M→M/mM la proyección canónica.Es claro que si {m1, . . . ,mr} genera a M entonces {π(m1) = [m1], . . . ,π(mr) =

[mr]}, es un sistema de generadores de M/mM como k-espacio vectorial.Recíprocamente, si m ∈M, entonces [m] = ∑

ri=1 λi[mi], para ciertos λi ∈ k. Sean

a1, . . . ,ar ∈ O tales que [ai] = λi, i = 1, . . . ,n. Entonces m−∑ri=1 aimi ∈ mM. Por

consiguiente, si N el submódulo de M generado por m1, . . . ,mr, concluimos que mM+

N = M y, por el Corolario 3.1.6, que M = N.

Ejercicio 3.1.8. Sean O un anillo local, m su único ideal maximal y M un O−módulofinito generado. Probar que {m1, . . . ,mr} es un sistema de generadores minimal de Msi y sólo si {[m1], . . . , [mr]} es una base de M/mM como O/m−espacio vectorial.

3.1.2. Anillos de gérmenes

Dado un espacio topológico X , denotamos por C (X) a la R-álgebra de las funcio-nes reales continuas definidas sobre X , es decir:

C (X) = { f : X → R : f es continua}

Fijado un punto x0 ∈ X , sea Ux0 la colección de todos los entornos abiertos dex0. Consideremos el conjunto

⊔U∈Ux0

C (U) formado por todas las funciones realescontinuas definidas en algún entorno abierto de x0.

En este conjunto⊔

U∈Ux0C (U) se define la siguiente relación de equivalencia:

f1 ≡ f2 ⇐⇒ f1 y f2 coinciden en algún entorno de x0 .

79


Al conjunto cociente por la anterior relación de equivalencia se le denotará porOx0 . Dada una función continua f definida en un entorno de x0, su clase de equiva-lencia en Ox0 se llama germen de f en x0, y se denota por fx0 . Según las definicionesdadas, dos funciones definidas en ciertos entornos de x0 tienen el mismo germen en x0

si y sólo si coinciden en algún entorno de x0.El conjunto Ox0 tiene estructura natural de anillo: la suma y el producto se definen

del modo evidente,

fx0 +gx0 = ( f +g)x0 , fx0 ·gx0 = ( f ·g)x0

Así, diremos que Ox0 es el anillo de gérmenes de funciones continuas en x.La aplicaciónR ↪→Ox0 , que manda cada número real α al germen en x0 la función

constante α , es un morfismo de anillos que dota a Ox0 de estructura de R-álgebra.La aplicación natural δx0 : C (X)→ Ox0 , f 7→ fx0 , morfismo de R-álgebras.

Ejercicio 3.1.9. Probar cada una de las siguientes afirmaciones.1. m= { f ∈C (X)| f (x0) = 0} es un ideal maximal de C (X) y mx0 = { fx0 | f (x0) =

0} es un ideal maximal de Ox0 .2. Si fx0 ∈ Ox0 es tal que f (x0) 6= 0, entonces fx0 es invertible en Ox0 . Concluir

que Ox0 es un anillo local de maximal mx0 = { fx0 | f (x0) = 0}.3. Observemos que toda función continua f : X → R puede escribirse como di-

ferencia entre dos funciones mayores o iguales que cero, f = f+− f−, dondef+ =máximo( f ,0) y f− =−mínimo( f ,0).Utilizando la observación anterior probar que el ideal mx0 de Ox0 está generadopor gérmenes de funciones positivas:

mx0 =< fx0 ∈mx0 | f ≥ 0 >

4. Teniendo en cuenta que mx0 =< fx0 ∈mx0 | f ≥ 0 >, probar que

mx0 =m2x0

Concluir que el ideal mx0 no es finito generado y que por tanto, lo mismo ocurrecon el ideal m= { f ∈ C (X)| f (x0) = 0} de C (X), pues mx0 =mOx0 .

3.2. Anillos de fracciones. Localización

Definición 3.2.1. Sea S un subconjunto de un anillo A. Se dice que S es sistemamultiplicativo S de A cuando

(a) 1 ∈ S;(b) S es cerrado para la multiplicación, es decir, si a,b ∈ S, entonces ab ∈ S.

Ejemplos 3.2.2. i) Si A es un anillo íntegro, S = A−{0} es un sistema multipli-cativo.

80


ii) Si p es un ideal primo de A, entonces S = A−p es un sistema multiplicativo.iii) Dado un elemento f ∈ A, sus potencias forman un sistema multiplicativo S =

{ f n}n≥0.

Dado un sistema multiplicativo S de un anillo arbitrario A vamos a construir el ani-llo de fracciones con numerador en A y denominador en S; para lo cual consideramosen A×S la siguiente relación:

(a,s)≡ (a′,s′)⇔ t(as′−a′s) = 0 para algún t ∈ S. (3.1)

Claramente esta relación es reflexiva y simétrica. Para probar que es transitiva, su-pongamos (a,s) ≡ (a′,s′) y (a′,s′) ≡ (a′′,s′′). Entonces, existen t,r ∈ S tales quet(as′−a′s) = 0 y r(a′s′′−a′′s′) = 0. Luego,

0 = rs′′t(as′−a′s)+ tsr(a′s′′−a′′s′) = rts′(as′′−a′′s)

y, como rts′ ∈ S, pues S es cerrado para la multiplicación, concluimos que (a,s) ≡(a′′,s′′). Por consiguiente, ≡ es una relación de equivalencia.

Denotaremos por a/s a la clase de equivalencia de (a,s) y sea AS el conjunto detodas las clases de equivalencia, es decir, AS =(A×S)/≡ . Vamos a dotar de estructurade anillo a AS, definiendo una suma y multiplicación de “fracciones" del mismo modoque se hace en álgebra elemental:

as+

bt=

at +bsst

yas· b

t=

abst.

Obsérvese que las definiciones anteriores son independientes de la elección de losrepresentantes de (a,s) y de (b, t), y AS satisface los axiomas de anillo conmutativocon unidad.

Definición 3.2.3. Con la notación anterior. El anillo AS se llama anillo de fraccionesde A respecto de S, anillo de fracciones con numerador en A y denominador en So localización de A por S.

La aplicación δ : A→ AS; a 7→ a/1 es un morfismo de anillos que se llama mor-fismo de localización.

Ejercicio 3.2.4. Compruébese que en AS se cumple que:

as=

a′

s′⇔∃s1,s2 ∈ S : s1a = s2a′ y s1s = s2s′,

es decir, las fracciones s1as1s y s2a′

s2s′ tienen el mismo numerador y el mismo denominador.

Ejercicio 3.2.5. Compruébense las siguientes afirmaciones:Si s ∈ S, entonces s

1 es invertible en AS y ( s1 )−1 = 1

s .

81


a1 = 0⇔ as = 0 para algún s ∈ S. Por tanto, si el anillo A es íntegro, entoncesδ : A→ AS es inyectivo, para todo sistema multiplicativo S de A tal que 0 6∈ S.AS es el anillo nulo si, y sólo si, 0 ∈ S.

Ejemplos 3.2.6. Sea A un anillo.i) Si A es un anillo íntegro y S = A−{0} entonces AS es un cuerpo, el cuerpo de

fracciones de A.ii) Sean f ∈ A y S = { f n}n≥0. En este caso, AS se suele denotar por A f , y coincide

con el conjunto de fracciones de la forma a/ f n, con a∈ A y n≥ 0. Por ejemplo,dado m∈Z\{0}, se tiene queZm es el conjunto de todos los números racionalescuyo denominador es una potencia de m.

Propiedad universal de la localización . Sean S un sistema multiplicativo de unanillo A y δ : A→ AS el correspondiente morfismo de localización. Si f : A→ B es unmorfismo de anillos tal que f (s) es invertible en B para todo s ∈ S, entonces existe unúnico morfismo de anillos ϕ : AS→ B tal que f = ϕ ◦δ :

A f - B@@@Rδ

��ϕ

AS

Demostración. Si f (s) es invertible en B para todo s ∈ S, entonces la aplicación

ϕ : AS→ B; ϕ(a/s) = f (a) f (s)−1

no depende del representante a/s elegido. En efecto, si a/s = b/t, existe r ∈ S tal quer(at−bs) = 0; luego

f (r)( f (a) f (t)− f (b) f (s)) = 0

y, por ser f (r) invertible en B, tenemos que f (a) f (t)− f (b) f (s) = 0 y concluimosque f (a) f (s)−1 = f (b) f (t)−1.

Se comprueba fácilmente que esta aplicación ϕ es un morfismo de anillos. Ade-más, si a ∈ A, entonces (ϕ ◦δ )(a) = ϕ(a/1) = f (a) f (1)−1 = f (a).

En resumen, el anillo de fracciones AS y el morfismo de localización δ : A→ AS

están unívocamente determinados (salvo isomorfismo) por las siguientes propiedades:Si s ∈ S, entonces δ (s) es invertible en AS.

Si δ (a) = 0, entonces as = 0 para algún s ∈ S.Todo elemento de AS es de la forma δ (a)δ (s)−1 para algunos a ∈ A y s ∈ S.

A partir ahora usaremos la siguiente notación: dado un ideal a de A escribiremosaAS en lugar de 〈δ (a)〉= δ (a)AS y dado un ideal b de AS, escribiremos b∩A, en lugarde δ−1(b).

Proposición 3.2.7. Sean A un anillo, S un sistema multiplicativo de A y δ : A→ AS elcorrespondiente morfismo de localización. Si b es un ideal de AS existe un ideal a deA tal que b= aAS.

82


Demostración. Sea b un ideal de AS. Si a/s ∈ b, entonces a/1 ∈ b, de donde se sigueque a ∈ a= δ−1(b) y por lo tanto que a/s ∈ δ (a) = δ (δ−1(b)). Luego, b está conte-nido en el ideal que δ (a) genera en AS, y como la otra inclusión se da siempre por serδ (a) = δ (δ−1(b)), concluimos que b= aAS.

Según la proposición anterior, se tiene que todo ideal AS coincide con el idealgenerado por la imagen directa, vía δ : A→ AS, de algún ideal de A. De aquí, que enlo sucesivo denotemos aS a los ideales de AS.

Esta notación no es casual ya que el ideal de AS que genera la imagen directa víaδ de a coincide con el ideal de AS generado por las fracciones con numerador en a ydenominador en S.

Teorema 3.2.8. Sean A un anillo y S un sistema multiplicativo de A. Existe una co-rrespondencia biyectiva, que conserva las inclusiones, entre los ideales primos de Aque no cortan a S y los ideales primos de AS. Concretamente,{

Ideales primos de Aque no cortan a S

}←→

{Ideales primos

de AS

}p ←→ pS

(3.2)

Demostración. Si q ∈ Spec(AS), entonces δ−1(q) ∈ Spec(A) (esto es cierto para cual-quier morfismo de anillos, en particular, para δ : A→ AS). Recíprocamente, sea p ∈Spec(A) que no corta a S, veamos que el ideal pS de AS también es primo. Sean a/sy a′/s′ ∈ AS tales que (a/s)(a′/s′) ∈ pS, entonces existen b ∈ p y t ∈ S tales que(a/s)(a′/s′) = (aa′)/(ss′) = b/t, es decir, existe r ∈ S tal que r(aa′t − bss′) = 0.Ahora bien, como 0 ∈ p, obtenemos que r ∈ p ó (aa′t−bss′) ∈ p, pero p∩S = /0, porlo que (aa′t−bss′) ∈ p. De donde se sigue que aa′t ∈ p (pues b ∈ p); usando de nuevoque p es primo y que p∩ S = /0, concluimos que a ∈ p ó a′ ∈ p, y, por consiguiente,que a/s ∈ pS ó a′/s′ ∈ pS. Luego, pS ∈ Spec(AS).

Finalmente, una simple comprobación demuestra que la correspondencias anterio-res son mutuamente inversas y conservan las inclusiones.

Si p es un ideal primo del anillo A entonces S = A\p es un sistema multiplicativode A (de hecho, el complementario de un ideal, A\p, es un sistema multiplicativo deA si, y sólo si, p es un ideal primo); en este caso escribiremos Ap en vez de AS.

El proceso de paso de A a Ap se llama localización de A en p

Ejemplo 3.2.9. Si A=Z y p= pZ con p un número primo, entonces Ap es el conjuntode todos los números racionales n/m tales que m es primo con p.

Corolario 3.2.10. Sea p un ideal primo de un anillo A. Los ideales primos de Ap secorresponden de manera biunívoca con los ideales primos de A contenidos en p,{

Ideales primos de Acontenidos en p

}←→

{Ideales primos

de Ap

}q ←→ qAp

(3.3)

83


En particular, el anillo Ap es local y su ideal maximal es pAp.

Según el corolario anterior, el paso de A a Ap, es decir, la localización de A enp, “suprime” todos los primos excepto aquellos que están contenidos en p. En otradirección, el paso de A a A/p “elimina” todos los ideales primos excepto aquellos quecontienen a p. Por tanto, si p y q son ideales primos de A tales que p ⊃ q, entonceslocalizando respecto de p y tomando cociente módulo q (en cualquier orden, pues másadelante probaremos que ambas operaciones conmutan), centramos nuestra atenciónen aquellos ideales primos que se encuentran entre p y q. En particular, si p = q,

entonces conseguimos un cuerpo llamado cuerpo residual del primo p, que se puedeconstruir o bien como el anillo de fracciones del anillo íntegro A/p o bien como elcuerpo residual del anillo local Ap, y se denota κ(p).

3.3. Espectro primo

Se llama espectro primo (o simplemente, espectro) de un anillo A y se denotaSpec(A) al conjunto de ideales primos de A.

Con esta terminología, el teorema 3.2.8 dice que:

Spec(AS) = {p ∈ Spec(A) : p∩S = /0}

Llamaremos funciones a los elementos del anillo A y puntos a los elementos desu espectro, Spec(A).

Cada punto x ∈ Spec(A) se corresponde con un ideal primo de A que denotaremospx. Diremos que una función f ∈ A se anula en un punto x ∈ Spec(A) cuando fpertenezca al ideal primo px, en cuyo caso pondremos f (x) = 0, de modo que el idealprimo px de un punto x está formado por todas las funciones que se anulan en x

px = { f ∈ A | f (x) = 0}.

El hecho de que el ideal de un punto x sea un ideal primo significa que:La función 0 se anula en todos los puntos.Si dos funciones se anulan en un punto, su suma también.Si una función se anula en un punto, sus múltiplos también.Si un producto de funciones se anula en x, algún factor se anula en x.

Dado de que todo anillo no nulo posee algún ideal maximal, todo anillo no nulotiene espectro no vacío. Además, como la condición necesaria y suficiente para que unelemento de un anillo A sea invertible es que no pertenezca a ningún ideal maximal deA, tenemos que la condición necesaria y suficiente para que una función sea invertiblees que no se anule en ningún punto.

Cabe pensar que si un elemento f de un anillo A se anula en todos los puntosdel espectro primo de A, es decir define la función cero, entonces es cero. Esto no es

84


cierto. Consideremos por ejemplo A = Z/4Z, cuyo único ideal primo es < 2 >; evi-dentemente 2 se anula en todo punto del espectro primo de A, pero no es elemento cerode A. No obstante sí que es cierto que 22 = 0. En la siguiente proposición probaremosque esta es la situación general, es decir, que la condición necesaria y suficiente paraque una función f de A se anule en todos los puntos de Spec(A) es que sea nilpotente,es decir f n = 0, para algún n≥ 1.

Proposición 3.3.1. Sea A un anillo no nulo. El nilradical N = rad(A) es la intersec-ción de todos los ideales primos de A, es decir,

N=⋂

p∈Spec(A)

p

Demostración. Si a ∈R, entonces existe n > 0 tal que an = 0. De donde se sigue quean = 0 ∈ p, para todo ideal primo p de A. Luego, por la definición de ideal primo, sesigue que a ∈ p, para todo ideal primo p de A.

Recíprocamente, supongamos que a∈ A no es nilpotente. Tenemos que probar queexiste un ideal primo p de A con a 6∈ p. Como el sistema multiplicativo S = {an}n≥0

no contiene al cero, el anillo de fracciones AS = Aa no es el nulo y por lo tanto tienealgún ideal primo p que se corresponde con el ideal primo q= δ−1(p) que no corta aS, de donde se deduce que a 6∈ p.

Definición 3.3.2. Sea A un anillo. Si f ∈ A, llamaremos ceros de la función f alsubconjunto ( f )0 del espectro de A formado por todos los puntos donde se anule f .Llamaremos ceros de un ideal a de A al subconjunto de Spec(A) formado por lospuntos donde se anulen todas las funciones de a y lo denotaremos (a)0:

(a)0 =⋂f∈a

( f )0 = {x ∈ Spec(A) | f (x) = 0, ∀ f ∈ a}

= {x ∈ Spec(A) : a⊆ px}

=

[Ideales primos de Aque contienen a a

]Observemos que si S es un subconjunto de A y a es el ideal generado por S entonces⋂

f∈S

( f )0 = (a)0

Ejemplos 3.3.3.(i) (0)0 = Spec(A).

(ii) (A)0 =∅.

Proposición 3.3.4.(a) a⊆ b⇒ (a)0 ⊇ (b)0.

85


(b)(

∑i∈I

ai

)0=⋂i∈I(ai)0, para cualquier familia de ideales {ai}i∈I de A.

(c) (ab)0 = (a∩b)0 = (a)0∪ (b)0.

Demostración. (a) y (b) se proponen como ejercicio al lector. Para demostrar el apar-tado (c) basta tener en cuenta que, si f1 ∈ a1 y f2 ∈ a2 no se anulan en x ∈ Spec(A),entonces, por la definición de ideal primo, f1 f2 ∈ a1∩a2 y no se anula en x.

La condición (c) también es cierta para cualquier familia finita {a1, . . . ,an} deideales de A : ( n⋂

i=1

ai

)0=

n⋃i=1

(ai)0.

Las cuatro igualdades (Ejemplos 3.3.3 i) y ii) y Proposición 3.3.4(b) y (c)) mues-tran que los ceros de los ideales de A son los cerrados de una topología sobre Spec(A),llamada topología de Zariski. De ahora en adelante consideraremos siempre el es-pectro de un anillo como un espacio topológico, con su topología de Zariski.

Llamaremos espectro maximal del anillo A al subespacio del espectro primoSpec(A) formado por los puntos correspondientes a ideales maximales de A, y lo de-notaremos MaxSpec(A) o Specm(A).

Ejemplo 3.3.5. Consideremos un anillo de polinomios k[X1, . . . ,Xn] con coeficientesen un cuerpo k. Si a1, . . . ,an ∈ k, el ideal m= (X1−a1, . . . ,Xn−an) es maximal, luegodefine un punto cerrado del espectro del anillo k[X1, . . . ,Xn] y diremos que es el punto(a1, . . . ,an).

La aplicación i es inyectiva y define un homeomorfismo de kn, con la topología deZariski, con su imagen:

i : kn→ Spec(k[X1, . . . ,Xn])

(a1, . . . ,an) 7→ (X1−a1, . . . ,Xn−an)

Identificaremos el punto de Spec(k[X1, . . . ,Xn]) definido por el maximal mp = (X1−a1, . . . ,Xn−an) con el punto p = (a1, . . . ,an).

Por el Teorema de los ceros de Hilbert (débil), sabemos que si k es algebraica-mente cerrado, la imagen de esta aplicación es MaxSpec(k[X1, . . . ,Xn]). En general,para un cuerpo arbitrario, la imagen de esta aplicación está formada por los puntosracionales, es decir los puntos cerrados x tales que el cuerpo residual del correspon-diente ideal maximal mx es k, es decir, que la extensión k→ k[X1, . . . ,Xn]/mx es degrado uno.

Un polinomio q(X1, . . . ,Xn) se anula en el punto, p = (a1, . . . ,an), es decir q ∈mp cuando q(a1, . . . ,an) = 0. Por tanto, esta nueva noción de “cero de una función”generaliza la estudiada para Conjuntos Algebraicos.

86


Ejemplo 3.3.6. Sea V un subconjunto algebraico de kn. Por definición, el anillo defunciones regulares en V es k[V ] =k[X1, . . . ,Xn]/I (V ). Cada punto p=(a1, . . . ,an)∈V define un punto de MaxSpec(k[V ]), el ideal maximal

mp = (X1−a1, . . . ,Xn−an) = { f ∈ k[V ] | f (p) = 0}

De esta forma, se establece un homeomorfismo que identifica V con los puntos racio-nales de Spec(k[V ]).

Ejemplo 3.3.7. Sea X = [0,1], con la topología usual. Consideremos el anillo de lasfunciones reales continuas en X :

C (X) = { f : X → R | f es continua}

Cada punto x ∈ X define un punto de MaxSpec(C (X)), el ideal maximal

mx = { f ∈ C (X) | f (x) = 0}

Puede probarse que si X es un espacio topológico compacto, entonces todo idealmaximal del anillo C (X) es de la forma mx, para algún punto x ∈ X .

Ejemplo 3.3.8. Sean a1, . . . ,an números complejos y supongamos que algún ai no esreal. En tal caso el correspondiente morfismo de anillos R[X1, . . . ,Xn]→ C es epi-yectivo, así que su núcleo m es un ideal maximal y R[X1, . . . ,Xn]/m = C. Luegom define un punto cerrado del espectro de R[X1, . . . ,xn] que no es de los construi-dos en el ejemplo 3.3.5. Análogamente, m define un punto cerrado del espectro deR[X1, . . . ,Xn]/〈p1, . . . , pr〉 cuando p j(a1, . . . ,an) = 0 para todo 1≤ j ≤ r. Nótese quea1, . . . ,an definen el mismo punto que sus conjugados a1, . . . , an.

Ejemplo 3.3.9. Dados n elementos a1, . . . ,an de una extensión K de un cuerpo k, elnúcleo del morfismo k[X1, . . . ,Xn]→ K; Xi 7→ ai, i = 1, . . . ,n, es un ideal primo p

(no necesariamente maximal, pues el morfismo puede no ser epiyectivo) que defineun punto del espectro de k[X1, . . . ,Xn]. Por definición, un polinomio p(x1, . . . ,xn) seanula en este punto si p(a1, . . . ,an) = 0. Por tanto, p define un punto del espectro deA = k[X1, . . . ,Xn]/〈p1, . . . , pr〉 cuando pi(a1, . . . ,an) = 0 para todo índice 1≤ i≤ r, ydiremos que es el punto de Spec(A) definido por (a1, . . . ,an), o bien que es el puntoX1 = a1, . . . ,Xn = an.

Todos los puntos del espectro de k[X1, . . . ,Xn]/〈p1, . . . , pr〉 son de esta forma, puescada ideal primo p de A es el núcleo del morfismo natural

A→ A/p→ κ(p) = Ap/p.Ap

Es decir, los puntos del espectro de k[X1, . . . ,Xn]/〈p1, . . . , pr〉 vienen definidos porsoluciones, en extensiones de k, del sistema de ecuaciones

p1(X1, . . . ,Xn) = 0...

pr(X1, . . . ,Xn) = 0

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aunque diferentes soluciones puedan definir el mismo punto del espectro de A. Así,cuando k=R, cada solución compleja (a1, . . . ,an) define el mismo punto del espectroque la solución conjugada (a1, . . . ,an).

Corolario 3.3.10. Sea a = 〈 f1, . . . , fr〉 un ideal de un anillo k[X1, . . . ,Xn] de polino-mios con coeficientes en un cuerpo k (no necesariamente algebraicamente cerrado) ysea q ∈ k[X1, . . . ,Xn]. La condición necesaria y suficiente para que alguna potenciade q pertenezca al ideal a es que q(X1, . . . ,Xn) se anule en todas las soluciones (enextensiones de k) del sistema de ecuaciones

f1(X1, . . . ,Xn) = 0...

fr(X1, . . . ,Xn) = 0

En particular, dos sistemas de ecuaciones en n indeterminadas con coeficientes en kadmiten las mismas soluciones justamente cuando los ideales que generan en k[X1, . . . ,

Xn] tienen igual radical.

Demostración. Todo punto del espectro de k[X1, . . . ,Xn] es de la forma (a1, . . . ,an)

para ciertos elementos a1, . . . ,an de alguna extensión K de k. La condición de que a

esté contenido en el ideal primo de (a1, . . . ,an) significa que (a1, . . . ,an) es solucióndel sistema definido por unos generadores de a. Como el radical de a es la intersec-ción de todos los primos que contienen a a, concluimos que

√a está formado por los

polinomios q(X1, . . . ,Xn) que se anulan en todas las soluciones de tal sistema.

A cada anillo A le hemos asociado un espacio topológico, Spec(A). Vamos a ver quetoda relación entre dos anillos (morfismo de anillos) da lugar a una relación entre susespectros (una aplicación continua).

Sea j : A→ B un morfismo de anillos. Si I es un ideal de B, entonces

I∩A = j−1(I) = { f ∈ A | j( f ) ∈ I}

es un ideal. Además, si p es un ideal primo de B entonces p∩A es un ideal primo deA. Obtenemos así una aplicación natural

j∗ : Spec(B)−→ Spec(A) ; j∗(p) = j−1(p) = A∩p

Ejercicio 3.3.11. Comprueba que si j : A→ B y h : B→C son morfismos de anillos,entonces

(h◦ j)∗ = j∗ ◦h∗

Teorema 3.3.12. La aplicación j∗ : Spec(B)→ Spec(A) inducida por un morfismo deanillos j : A→ B es continua: ( j∗)−1(a)0 = (aB)0

88


Demostración. Dado un punto x ∈ Spec(B), por definición:

p j∗(x) = j−1(px).

Luego, si f ∈ A:f ( j∗(x)) = 0⇐⇒ j( f )(x) = 0,

es decir:( j∗)−1(( f )0) = ( j( f ))0 = ( f ·B)0

Ahora, para un ideal a tenemos:

( j∗)−1(a)0 = ( j∗)−1(⋂f∈a

( f )0)=⋂f∈a

( j∗)−1( f )0 =⋂f∈a

( f B)0 = (aB)0.

Ejemplos 3.3.13.1. Consideremos un morfismo de k-álgebras:

h : k[Y ] −→ k[X1, . . . ,Xn]

Y 7→ h(Y ) = h(X1, . . . ,Xn)

Sea h∗ : Spec(k[X1, . . . ,Xn])→ Spec(k[Y ]) la aplicación continua inducida porh.Si identificamos kn y k con sus imágenes en Spec(k[X1, . . . ,Xn]) y Spec(k[Y ])entonces

h∗(a1, . . . ,an) = h1(a1, . . . ,an)

La aplicación h∗ : kn → k es la función polinómica (regular) definida por elpolinomio h.

2. Consideremos un morfismo de k-álgebras:

h : k[Y1, . . . ,Ym] −→ k[X1, . . . ,Xn]

Yi 7→ h(Yi) = hi(X1, . . . ,Xn)

Sea h∗ : Spec(k[X1, . . . ,Xn])→ Spec(k[Y1, . . . ,Ym]) la aplicación continua indu-cida por h.Si identificamos kn y km con sus imágenes en Spec(k[X1, . . . ,Xn]) y Spec(k[Y1, . . . ,Ym])

entoncesh∗(a1, . . . ,an) = (h1(a1, . . . ,an), . . .hm(a1, . . . ,an))

La aplicación h∗ : kn→ km es la aplicación regular definida por los polinomios

h1, . . . ,hn.

89


Teorema 3.3.14. Sea a un ideal de un anillo A. La aplicación continua

π∗ : Spec(A/a)→ Spec(A)

inducida por la proyección canónica π : A→ A/a establece un homeomorfismo deSpec(A/a) con su imagen, que está formada por los ceros del ideal a:

Spec(A/a) = (a)0 =⋂f∈a

( f )0

Demostración. De acuerdo la correspondencia entre los ideales primos del cocienteA/a y los ideales primos de A que contienen a a, la aplicación i establece una biyecciónentre Spec(A/a) y los ceros de a, y es continua en virtud del Teorema 3.3.12. Veamosque es un homeomorfismo con la imagen. Si b es un ideal de A/a y p es un ideal primode A/a, entonces

b⊂ p ⇐⇒ π−1(b)⊂ π

−1(p)

es decir,π∗((b)0) = (π−1(b))0

Ejemplo 3.3.15. Sea V = V (I (V )) un conjunto algebraico de kn. El morfismo ca-nónico π : k[X1, . . . ,Xn] → k[V ] = k[X1, . . . ,Xn]/I (V ) induce una inmersión π∗ :Spec(k[V ])→ Spec(k[X1, . . . ,Xn]) mediante la cual Spec(k[V ])' (I (V ))0.

Identificando V y kn con su imagen en Spec(k[V ]) y Spec(k[X1, . . . ,Xn]) (respec-tivamente), obtenemos que π∗ es la inclusión de V en kn.

Observación 3.3.16. Sea h : A→ B un morfismo de k-álgebras. Sea x ∈ Spec(B) unpunto cerrado racional, es decir, tal que la extensión natural k→ B→ B/mx es degrado uno. Dado que

k→ Amx∩A

↪→ Bmx

= k,

tenemos que k→ A/(mx∩A) es también una extensión de grado uno, es decir, mx∩Aes un ideal maximal de A de cuerpo residual k. Es decir, si h∗ : Spec(B)→ Spec(A) esla aplicación continua inducida por h, entonces h∗(x) es un punto cerrado racional deSpec(A).

Conclusión:Sean W ⊆ k

m y V ⊆ kn dos conjuntos algebraicos. Dado un morfismo de k-

álgebras

h :k[Y1, . . . ,Ym]

I (W )→ k[X1, . . . ,Xn]

I (V )Yi 7→ hi(X1, . . . ,Xn),

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consideremos la aplicación continua

h∗ : Spec(k[X1, . . . ,Xn]

I (V )

)→ Spec

(k[Y1, . . . ,Ym]

I (W )

).

Si identificamos V y W con sus imágenes en Spec(k[W ]) y Spec(k[W ]), respectiva-mente, entonces h∗(V ) ⊆W y la restricción de h∗ a V es precisamente la aplicaciónregular V →W definida por el morfismo de k-álgebras h.

Teorema 3.3.17. Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. La aplicación

j∗ : Spec(AS)→ Spec(A)

inducida por el morfismo de localización j : A→ AS establece un homeomorfismo en-tre Spec(AS) y su imagen, que está formada por los puntos donde no se anula ningunafunción de S.

Demostración. La aplicación j∗ es continua por estar definida a partir del morfismo deanillos j ( Teorema 3.3.12). De acuerdo la correspondencia entre los ideales primosde AS y los ideales primos de A que no cortan a S establecida en el Teorema 3.2.8, laaplicación j∗ establece una biyección entre Spec(AS) y su imagen que consiste en lospuntos de A donde no se anula ninguna función f ∈ S,.

Veamos que que j∗ es un homeomorfismo de Spec(AS) con su imagen. Dados unideal aS = aAS y un ideal primo pS = pAS, tenemos que

aS ⊂ pS←→ a⊂ p,

es decir,j∗((aS)0) = (a)0∩ j∗(Spec(AS))

Recordemos que si p ∈ Spec(A), entonces S = A \ p es un sistema multiplicativode A y escribimos Ap en vez de AS.

Corolario 3.3.18. Sea A un anillo. Si p ∈ Spec(A), el morfismo de localización j :A : → Ap define un homeomorfismo j∗ de Spec(Ap) con el subespacio de Spec(A)formado por los ideales primos de A contenidos en p:

Spec(Ap) = {q ∈ Spec(A) | q⊆ p}

3.4. Localización de módulos

Sean A un anillo y S ⊂ A un sistema multiplicativo de A. Del mismo modo queconstruimos el anillo de fracciones AS = S−1A, podemos construir el módulo de frac-ciones “MS = S−1M”; para ello, definimos la relación ≡ sobre M×S como sigue:

(m,s)≡ (m′,s′)⇔ existe t ∈ S tal que t(sm′− s′m) = 0.

91


Como en el caso de los anillos, se trata de una relación de equivalencia que puededefinirse también de la siguiente forma:

(m,s)≡ (m′,s′)⇔ existen s1,s2 ∈ S tales que s1m = s2m′ y s1s = s2s′.

Denotamos por m/s a la clase de equivalencia del par (m,s), y por MS = (M×S)/≡ al conjunto de tales fracciones.

Es un sencillo ejercicio comprobar que las operaciones

ms+

nt=

tm+ snst

yas· m

t=

amst

, (3.4)

dotan a MS de estructura de AS−módulo.

Definición 3.4.1. Con la notación anterior. Diremos que MS es el módulo de fraccio-nes con numeradores en M y denominadores en S ó localización de M en S.

Nótese que MS tiene una estructura natural de A−módulo, dada por el productoa · (m/s) = (a/1) · (m/s) = (am)/s (compruébese).

En lo que sigue escribiremos Mp en vez de MS cuando S =A\{p} con p∈ Spec(A)y M f cuando S = { f n}n≥0, respectivamente.

La aplicación canónica

γ : M→MS; γ(m)→ m/1

es un morfismo de A−módulos, que llamaremos morfismo de localización. Tambiéndiremos que γ(m) = m/1 es la localización de m ∈M por S.

Se comprueba fácilmente que cada morfismo de A−módulos f : M→N induce demodo natural una aplicación, llamada localización de f por S :

fS : MS→ NS; ( fS)(m/s) = f (m)/s,

que es un morfismo de AS− módulos.Propiedad universal de la localización de módulos. Sean M un A−módulo y S

un sistema multiplicativo de A. Si N es un AS−módulo y f : M→ N es un morfismo deA−módulos, existe un único morfismo de AS−módulos φ : MS→ N tal que f = φ ◦ γ,

es decir,HomA(M,N) = HomAS(MS,N).

Demostración. La unicidad es evidente, pues tal morfismo ha de ser φ(m/s)= f (m)/s.En cuanto a la existencia, veamos que tal igualdad define una aplicación MS en N : sim/s = m/s, entonces existe t ∈ S tal que t(ms− sm) = 0. Luego, t(s f (m)− s f (m)) =

0 y, multiplicando por (tss)−1, concluimos que s−1 f (m) = s−1 f (m). Es inmediatocomprobar que esta aplicación φ es un morfismo de AS−módulos.

92


Nota 3.4.2. Obsérvese que de la Propiedad universal del cambio de base se sigue quef : M→ N induce el homomorfismo de AS−módulos, fS : MS→ NS; m/s 7→ f (m)/s.Además, se cumple que IdS = Id y ( f ◦g)S = ( fS)◦ (gS) (compruébese).

Dado un sistema multiplicativo S de un anillo A, sabemos que AS es un anillo (esmás, el morfismo de localización δ : A→ AS dota a AS de una estructura natural deA−módulo); por lo que la localización de A−módulos por S se puede entender comoun cambio de base.

Corolario 3.4.3. Sean A un anillo, S un sistema multiplicativo de A y M un A−módulo.Existe un isomorfismo natural

AS⊗A M ∼= MS (3.5)

tal que a/s⊗m 7→ am/s.

Demostración. De acuerdo con la Propiedad universal del cambio de base, el morfismode localización M→MS; m 7→ m/1, define un morfismo de AS−módulos

(AS)⊗A M −→MS

tal que (a/s)⊗m 7→ am/s.Recíprocamente, por la Propiedad universal de la localización, el morfismo de

cambio base M→ AS⊗A M; m 7→ 1⊗m, define un morfismo de AS−módulos

MS −→ AS⊗A M;

tal que m/s 7→ (1/s)⊗m.

Es sencillo comprobar que ambos morfismos son mutuamente inversos.

Nótese que el morfismo fS de la nota 3.4.2, no es más que 1⊗ f .

Corolario 3.4.4. Sean A un anillo, S un sistema multiplicativo de A y M y N dosA−módulos. Existe un isomorfismo natural

MS⊗AS NS ∼= (M⊗A N)S (3.6)

tal que (m/s)⊗ (n/t) 7→ (m⊗n)/st. En particular, existe un isomorfismo natural

Mp⊗Ap Np∼= (M⊗A N)p, (3.7)

para cada p ∈ Spec(A).

Demostración. La demostración de la primera parte del corolario es una consecuenciadirecta del Corolario 3.4.3 y de la propiedad universal del cambio de base, ya que

MS⊗AS NS = (AS⊗A M)⊗AS (AS⊗A M)

= AS⊗A (M⊗A N) = (M⊗A N)S.

93


En cuanto a la segunda parte, se obtiene como caso particular de la primera paraS = A\p.

A continuación exploraremos las propiedades de exactitud de la localización.

Proposición 3.4.5. Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. Si M′f−→M

g−→M′′ es una sucesión exacta de morfismos de A−módulos, entonces la sucesión

M′SfS−→MS

gS−→M′′S

también es exacta. Es decir, la operación localizar por S es exacta.

Demostración. En primer lugar, es claro que Im( fS)⊆ ker(gS) porque

(gS)◦ ( fS) = (g◦ f )S = 0S = 0,

pues es un sencillo ejercicio comprobar que la localización de morfismos conservacomposiciones de morfismos de A−módulos.

Recíprocamente, si m/s ∈ ker(gS), entonces g(m)/s = 0. Luego, 0 = tg(m) =

g(tm), para algún t ∈ S y, por hipótesis, existe m′ ∈M′ tal que tm = f (m′). Por tanto,

m/s = tm/ts = f (m′)/ts = fS(m′/ts),

de donde se sigue que ker(gS)⊆ Im( fS), y por lo tanto que Im( fS) = ker(gS).

Una consecuencia de esta proposición es que la localización transforma submó-dulos en submódulos. Con precisión, si N es un submódulo de un A−módulo M yconsideramos la inclusión natural N →M, su localización NS→MS es inyectiva, asíque induce un isomorfismo de NS con su imagen, que es un submódulo de MS quetambién denotaremos por NS :

NS = {n/s ∈MS | n ∈ N}.

En particular, como todo ideal a de un anillo A es un submódulo suyo, se tieneque aS es un submódulo de AS, es decir, aS es un ideal de AS. De hecho, en la segundasección vimos que todos los ideales de AS son de esta forma.

Proposición 3.4.6. Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. La operación lo-calizar por S conmuta con las sumas finitas, intersecciones finitas y cocientes de mó-dulos. Concretamente, si N y N′ son submódulos de un A−módulo M, entonces

(a) (N +N′)S = NS +N′S.(b) (N∩N′)S = NS∩N′S.

Demostración. (a) es una consecuencia directa de las definiciones. En cuanto a (b),si n/s = n′/s′, donde n ∈ N,n′ ∈ N′ y s,s′ ∈ S, entonces ts′n = tsn′ para algún t ∈ S;luego ts′n está en N∩N′ y n/s= (ts′n)/(ts′s)∈ (N∩N′)S. Por consiguiente, NS∩N′S ⊆(N∩N′)S. La inclusión opuesta es obvia y se deja como ejercicio al lector.

94


Proposición 3.4.7. Sean M un A−módulo finito generado y S un sistema multiplica-tivo de A. Entonces (AnnA(M))S = AnnAS(MS).

Demostración. Si el resultado es cierto para dos A−módulos M y N, entonces es ciertopara M+N :

(AnnA(M+N))S = (AnnA(M)∩AnnA(N))S

= (AnnA(M))S∩ (AnnA(N))S

= AnnAS(MS)∩AnnAS(NS)

= AnnAS(MS +NS) = AnnAS((M+N)S)

Por consiguiente, basta demostrar el resultado por un A−módulo M generado porun sólo elemento; es decir, M ∼= A/a (como A−módulos), donde a= Ann(M). Enton-ces, por la Proposición 3.4.6, MS ∼= AS/aS, de donde se sigue que AnnAS(MS) = aS =

(AnnA(M))S.

Corolario 3.4.8. Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. Si N es un submódulode un A−módulo M, entonces los AS−módulos (M/N)S y (MS)/(NS) son isomorfos.

Demostración. El isomorfismo se obtiene localizando la sucesión exacta 0→ N →M→M/N→ 0, y usando la Proposición 3.4.5.

Corolario 3.4.9. Sean a un ideal, S un sistema multiplicativo de un anillo A y M unA-módulo. Existen isomorfismos naturales:(

Aa

)S

∼=AS

aS(MaM

)S

∼=MS

(aM)S

3.5. Propiedades locales

Definición 3.5.1. Una propiedad P de los anillos (o de los A−módulos) es una pro-piedad local cuando un anillo A (o un A−módulo M) tiene la propiedad P si y sólo siAp (ó Mp) tiene la propiedad P para todo p ∈ Spec(A).

En la siguiente proposición se prueba que la anulación de un A-módulo es unapropiedad local.

Proposición 3.5.2. Sea M un A−módulo. Las siguientes afirmaciones son equivalen-tes:

(a) M = 0;

95


(b) Mp = 0 para todo p ∈ Spec(A);(c) Mm = 0 para todo m ∈MaxSpec(A).

Demostración. Obviamente, (a) ⇒ (b) ⇒ (c). Supongamos que se cumple (c) y queM 6= 0. Sean m un elemento no nulo de M y a= AnnA(m);a es un ideal de A distintodel total, luego está contenido en un ideal maximal m de A. Como Mm = 0 tenemosque m/1 = 0, de donde se deduce que m es anulado por algún elemento de A \m; locual es imposible pues a= AnnA(m)⊂m.

El que un morfismo de A-módulos sea inyectivo (o epiyectivo) equivale a la anu-lación de un cierto A-módulo, su núcleo (respectivamente, el cociente por la imagen),por lo tanto esta es también una propiedad local.

Proposición 3.5.3. Sea f : M→ N un morfismo de A−módulos. Las siguientes afir-maciones son equivalentes:

(a) f es inyectiva.(b) fp : Mp→ Np es inyectiva para todo p ∈ Spec(A);(c) fm : Mm→ Nm es inyectiva para todo m ∈MaxSpec(A);

y análogamente, si reemplazamos “inyectiva" por “epiyectiva".

Demostración. (a)⇒ (b). Es consecuencia directa de 3.4.5.

(b)⇒ (c). Basta tener en cuenta que todo ideal maximal es primo.

(c)⇒ (a). Si M′ = ker( f ), entonces la sucesión 0→M′→M→N es exacta, de don-de se sigue que la sucesión 0→M′m→Mm→ Nm es exacta, por la Proposición 3.4.5,y por lo tanto, M′m ∼= ker( fm) = 0 pues fm es inyectiva, para todo m ∈MaxSpec(A).Luego, por la Proposición 3.5.2, M′ = 0, es decir, f es inyectiva.

Ejemplo 3.5.4. Ecuaciones lineales diofánticas La compatibilidad de un sistema deecuaciones lineales diofánticas es una propiedad local. Es decir, la condición necesa-ria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales diofánticas tenga algunasolución entera es que, para cada número primo p, admita alguna solución racionalcon denominadores que no sean múltiplos de p. Expliquemos esta afirmación.

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales diofánticas AX = b, donde A esuna matriz de orden m×n con coeficientes enteros y b es un elemento del Z-módulolibre Zm. El sistema AX = b es compatible si y solo b es combinación lineal de lascolumnas de A, es decir, si y solo si b pertenece al submódulo N de Zm generadopor las columnas de A. La pertenencia de un elemento b a un submódulo N es unapropiedad local, pues b ∈ N ⇐⇒< b >+N = N ⇐⇒ <b>+N

N = 0.

96


Ejemplo 1 Consideremos el sistema diofántico

2 3 5 0 −20 3 10 −7 −54 3 5 21 22 3 10 21 0

xyzuv

=

3265

Para determinar si el sistema es compatible, calculamos el rango de la matriz decoeficientes, A.El menor formado por cuatro primeras columnas es igual a |M1| = 210 = 2×3× 5× 7. Tenemos entonces que para todo primo p distinto de 2, 3, 5 y 7 eldeterminante de la matriz M1 es invertible en Z(p), por lo tanto la matriz M1

tiene inversa módulo p y el sistema AX = b es compatible en Z(p), cuando p esdistinto de 2, 3, 5 y 7.El menor obtenido al eliminar la cuarta columna de A es |M2| = 30 = 2× 3×5. Como este menor es invertible módulo 7, ya sabemos que el sistema tienesolución en Z(p), para todo p es distinto de 2, 3 y 5.El menor obtenido al eliminar la tercera columna de A es |M3|= 42 = 2×3×7,lo que nos permite concluir que el sistema tiene solución en Z(p), para todo pdistinto de 2 y 3.Eliminando la segunda columna de A obtenemos |M4| = −140 = −4×5×7 yconcluimos que el sistema tiene solución en Z(p), cuando p es distinto de 2.Por último, eliminando la primera columna, |M5|=−105 =−3×5×7. Luego,el sistema Ax = b tiene soluciones enteras.Ejemplo 2 Sea el sistema

2 3 5 0 −20 3 10 −4 −64 3 5 12 52 3 10 12 3

xyzuv

=

3198

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes, A.El menor formado por cuatro primeras columnas es igual a |M1| = 120 = 23×3×5. Podemos afirmar que para todo primo p distinto de 2, 3 y 5 el determinan-te de la matriz M1 es invertible en Z(p), por lo tanto la matriz M1, al considerarlacon coeficientes en Z(p), tiene inversa en y el sistema AX = b es compatible enZ(p), cuando p es distinto de 2, 3 y 5.Eliminamos la tercera columna de A (todos sus componentes son múltiplos de5) y obtenemos |M2| = 24 = 2× 3, lo que nos permite concluir que el sistematiene solución en Z(p), para todo p distinto de 2 y 3.

97


Al prescindir de la segunda columna de A obtenemos |M3|=−80 =−23×5 yconcluimos que el sistema tiene solución en Z(p), cuando p es distinto de 2.Todos los componentes de las columnas primera y cuarta son pares, luego porno podemos asegurar que el sistema tenga soluciones en Z2.Para estudiar si el sistema tiene soluciones en Z2, consideramos el sistema en elcuerpo

Z(2)(2)Z(2)

= Z(2) = F2.

Al tomar módulo 2, el sistema que resulta es

y+ z = 1y = 1

y+ z+ v = 1y− v = 0

que claramente es incompatible. Por lo tanto, el sitema Ax = b carece de solu-ciones enteras.Ejemplo 3 Dado el sistema

2 3 5 0 −20 3 10 −4 −44 3 5 12 −12 3 10 12 −3

xyzuv

=

30

1211

para determinar si el sistema es compatible, calculamos el rango de la matriz decoeficientes, A.El menor formado por cuatro primeras columnas es igual a |M1| = 120 = 23×3×5. Luego el sistema AX = b es compatible en Z(p), cuando p es distinto de2, 3 y 5.Si eliminamos la tercera columna obtenemos |M2| = 24 = 23× 3 y al eliminarla segunda columna, |M3| = −80 = −23×5. Podemos asegurar que el sistematiene solución en Z(p), para todo p distinto de 2.Examinemos el sistema en Z

(2) :

y+ z = 1y = 0

z+ v = 0v = 1

Este sistema es compatible. Sin embargo, esta condición no es suficiente paraque el sistema AX = b sea compatible en Z(2). Aplicamos el método de Gausspara determinar si el sistema tiene soluciones en Z(2). El sistema AX = b es

98


equivalente a2x+ 3y+ 5z− 2v = 3

3y+ 10z− 4u− 4v = 05z+ 8u− v = 6

4u = 2

que no es compatible en Z(2), ni en Z.

Lema de Nakayama. Sean A un anillo, a un ideal de A y M un A-módulo finitogenerado. Si a está contenido en todo maximal de A, entonces aM = M si y solo siM = 0.Demostración. Por la Proposición 3.5.2, para probar que M = 0, basta probar queMm = 0, para todo maximal m de A. Luego podemos suponer que A es un anillo localde maximal m. Entonces, como aM =M y a⊆m, tenemos que mM =M y el resultadose sigue de la versión local del Lema de Nakayama 3.1.1.

Sabemos que si A es un dominio de ideales principales y L es un A−módulo librede rango n, entonces cualquier sistema de n generadores de L es una base. Veamosque este resultado es cierto sobre cualquier anillo A.

Corolario 3.5.5. Sean A un anillo. Si {v1, . . . ,vn} es un sistema de generadores de unA−módulo libre de rango n, entonces {v1, . . . ,vn} es una base de L.

Demostración. Sea ϕ : An → L; ei 7→ vi, donde {e1, . . . ,en} la base canónica de An.

Claramente ϕ es epiyectivo, queremos demostrar que se trata de un isomorfismo. Co-mo Lp = L⊗A Ap es un Ap−módulo libre, para todo p ∈ Spec(A), por la Proposición3.5.3, podemos suponer que A es un anillo local de ideal maximal m. Ahora, por serL libre, la sucesión exacta 0→ ker(ϕ)→ An→ L→ 0 escinde y, por lo tanto, la su-cesión 0→ ker(ϕ)⊗A A/m→ An⊗A A/m→ L⊗A A/m→ 0 es exacta. De donde sesigue que ker(ϕ)⊗A A/m = 0, y como 0 = ker(ϕ)⊗A A/m = ker(ϕ)/

(m ker(ϕ)

),

obtenemos que m ker(ϕ) = ker(ϕ). Ahora, por Lema de Nakayama, concluimos queker(ϕ) = 0.

3.6. Localización en anillos de funciones

3.6.1. Funciones en un abierto

Dado un espacio topológico X , denotamos por C (X) a la R-álgebra de las funcio-nes reales continuas definidas sobre X , es decir:

C (X) = { f : X → R : f es continua}

99


Vamos a probar que, bajo las hipótesis necesarias, el álgebra de funciones realescontinuas sobre un abierto U de X es precisamente la localización del álgebra defunciones continuas sobre X por el sistema multiplicativo de las funciones que no seanulan en U . Esto es decir que toda función continua en U puede escribirse como uncociente f/s dos funciones continuas definidas en todo X en el que el denominador sno se anula en ningún punto de U .

Ejercicio 3.6.1. Sea X un espacio topológico y sea U un abierto de X .1. Comprueba que S = {s ∈ C (X) : 0 6∈ f (U)} es un sistema multiplicativo de

C (X).2. Consideremos el morfismo de localización δ : C (X)→ S−1C (U), f 7→ f

1 .Comprueba que si f ∈ Ker(δ ) entonces la función f se anula en todo puntode U . Además, si X es un espacio métrico, se cumple también el recíproco, esdecir:

Ker(δ ) = { f ∈ C (X) : f |U = 0}.

3. Consideremos el morfismo de restricción:

r : C (X)→ C (U), f 7→ f |U

Comprueba que existe un morfismo de anillos ϕ : S−1C (X)→ C (U) tal quer = ϕ ◦δ , es decir, el siguiente diagrama es conmutativo:

C (X) r - C (U)

@@@Rδ

��ϕ

S−1C (X)

Ejercicio 3.6.2. Supongamos que X es un espacio métrico, por ejemplo, X = R, oX = Rn, con la topología usual. Sea U un abierto de y sea d la función distancia alcomplementario de U .

1. Prueba que si g es una función continua en U entonces las funciones g y s soncontinuas en X :

g(x) =

{g(x)

1+g2(x)d(x) si x ∈U

0 si x 6∈U

s(x) =

{1

1+g2(x)d(x) si x ∈U

0 si x 6∈U

2. Utilizando el apartado anterior prueba que toda función continua en U puedeescribirse como la restricción a U del cociente de dos funciones continuas defi-nidas en todo Rn.

Ejercicio 3.6.3. Sean X un espacio métrico y U un abierto de X . Comprueba que elmorfismo de anillos definido en el Ejercicio 3.6.1:

ϕ : S−1C (X)→ C (U)

100


es un isomorfismo. Indicación: Para probar que es epiyectivo, utiliza el Ejercicio 3.6.2.

3.6.2. Anillos de gérmenes de funciones continuas

Como en la sección anterior, sea X un espacio topológico. Fijado un punto x0 ∈ X ,sea Ux0 la colección de todos los entornos abiertos de x0. Consideremos el conjunto⊔

U∈Ux0C (U) formado por todas las funciones reales continuas definidas en algún

entorno abierto de x0.En este conjunto

⊔U∈Ux0

C (U) se define la siguiente relación de equivalencia:

f1 ≡ f2 ⇐⇒ f1 y f2 coinciden en algún entorno de x0 .

Al conjunto cociente por la anterior relación de equivalencia se le denotará porOx0 . Dada una función continua f definida en un entorno de x0, su clase de equiva-lencia en Ox0 se llama germen de f en x0, y se denota por fx0 . Según las definicionesdadas, dos funciones definidas en ciertos entornos de x0 tienen el mismo germen en x0

si y sólo si coinciden en algún entorno de x0.El conjunto Ox0 tiene estructura natural de anillo: la suma y el producto se definen

del modo evidente,

fx0 +gx0 = ( f +g)x0 , fx0 ·gx0 = ( f ·g)x0

Así, diremos que Ox0 es el anillo de gérmenes de funciones continuas en x.La aplicaciónR ↪→Ox0 , que manda cada número real α al germen en x0 la función

constante α , es un morfismo de anillos que dota a Ox0 de estructura de R-álgebra.La aplicación natural δx0 : C (X)→ Ox0 , f 7→ fx0 , morfismo de R-álgebras.

Ejercicio 3.6.4. Probar cada una de las siguientes afirmaciones.1. m= { f ∈C (X)| f (x0) = 0} es un ideal maximal de C (X) y mx0 = { fx0 | f (x0) =

0} es un ideal maximal de Ox0 .2. Si fx0 ∈ Ox0 es tal que f (x0) 6= 0, entonces fx0 es invertible en Ox0 . Concluir

que Ox0 es un anillo local de maximal mx0 = { fx0 | f (x0) = 0}.3. Consideremos el sistema multiplicativo S=C (X)−m= { f ∈C (X)| f (x0) 6= 0}

y el anillo de fracciones C (X)S. Comprueba que para el morfismo natural depaso al germen δx0 : C (X)→ Ox0 existe un único morfismo ϕ : C (X)S → Ox0

tal que δx0 = ϕ ◦δ , es decir, el siguiente diagrama es conmutativo:

C (X)δx0 - Ox0

@@@Rδ

��ϕ

C (X)S

Ejercicio 3.6.5. Sea X un espacio métrico, por ejemplo, X = R, o X = Rn, con latopología usual y fijemos un punto x0 ∈ X . Demuestra que el morfismo definido en el

101


Ejercicio 3.6.4ϕ : C (X)S→ Ox0

es un isomorfismo. Es decir, el anillo de gérmenes de funciones continuas en el puntox0 es la localización del anillo de funciones continuas en el maximal de las funcionesque se anulan en x0. Indicación: Para probar que es epiyectivo, téngase en cuenta elEjercicio 3.6.2

Ejercicio 3.6.6. Observemos que toda función continua f : X → R puede escribirsecomo diferencia entre dos funciones mayores o iguales que cero, f = f+− f−, dondef+ =máximo( f ,0) y f− =−mínimo( f ,0).

1. Utilizando la observación anterior probar que el ideal mx0 de Ox0 está generadopor gérmenes de funciones positivas:

mx0 =< fx0 ∈mx0 | f ≥ 0 >

2. Teniendo en cuenta que mx0 =< fx0 ∈mx0 | f ≥ 0 >, probar que

mx0 =m2x0

Concluir que el ideal mx0 no es finito generado y que por tanto, lo mismo ocurrecon el ideal m= { f ∈ C (X)| f (x0) = 0} de C (X), pues mx0 =mOx0 .

3.6.3. Anillos de gérmenes de funciones diferenciables

Sea X una variedad diferenciable y fijemos un punto x ∈ X .Si Ux es la colección de todos los entornos abiertos de x en X , entonces sobre el

conjunto ⊔U∈Ux

C ∞(U)

de todas las funciones reales diferenciables en algún entorno abierto de x se define lasiguiente relación de equivalencia:

f1 ≡ f2 ⇐⇒ f1 y f2 coinciden en algún entorno de x .

Al conjunto cociente por la anterior relación de equivalencia se le llama anillo degérmenes de funciones diferenciables en x, y se le denotará por OX ,x, o simplementeOx cuando no haya lugar a confusión. Dada una función diferenciable f definida enun entorno de x, su clase de equivalencia en Ox se llama germen de f en x, y se denotapor fx.

Según las definiciones dadas, dos funciones definidas en ciertos entornos de xtienen el mismo germen en x si y sólo si coinciden en algún entorno de x.

El conjunto Ox tiene estructura natural deR-álgebra: la suma y el producto se defi-nen del modo evidente, fx + gx = ( f + g)x , fx · gx = ( f · g)x ;el cuerpo R se inyecta en Ox como los gérmenes de las funciones constantes.

102


La aplicación natural δx : C ∞(X)→Ox que asocia a cada función diferenciable sugermen en el punto x es un morfismo de R-álgebras.

Ejercicio 3.6.7. Sea X una variedad diferenciable y fijemos un punto x ∈ X . Probarlas siguientes afirmaciones.

1. m= { f ∈ C ∞(X)| f (x) = 0} es un ideal maximal de C ∞(X) y mx = { fx| f (x) =0} es un ideal maximal de Ox.

2. Si fx ∈ Ox es tal que f (x) 6= 0, entonces fx es invertible en Ox. Concluir queel anillo de gérmenes de funciones diferenciables en x, Ox es local de maximalmx = { fx| f (x) = 0}.

3. Consideremos en C ∞(X) S = C ∞(X)−m= { f ∈ C ∞(X)| f (x) 6= 0} y el anillode fracciones S−1C ∞(X). Comprueba que para el morfismo natural de paso algermen δx : C ∞(X)→Ox existe un único morfismo ϕ : S−1C ∞(X)→Ox tal queδx = ϕ ◦δ , es decir, el siguiente diagrama es conmutativo:

C ∞(X) δx - Ox

@@@Rδ

��ϕ

S−1C ∞(X)

En Geometría Diferencial II, (Tema: Espacio Tangente) se han probado los si-guientes resultados:

Dados un punto x de una variedad diferenciable X y un entorno abierto U de x,existe una función h∈C ∞(X), tal que h(x) = 1 y h(y) = 0, ∀y∈X−U . Además,puede tomarse 0≤ h≤ 1.Si f es una función diferenciable definida en un entorno abierto U de x, entoncesexiste una función diferenciable F definida en toda la variedad X tal que f = Fen un entorno V de x.

Ejercicio 3.6.8. Utilizando los resultados anteriores, probar que el morfismo ϕ dedefinido en el Ejercicio es un isomorfismo:

ϕ : S−1C ∞(X)→ Ox

Es decir, el anillo de gérmenes de funciones diferenciables en el punto x es la loca-lización del anillo de funciones diferenciables en el maximal de las funciones que seanulan en x.

103


3.7. Ejercicios

Cuestiones

1. Sea A un anillo. Si S1 y S2 son dos sistemas multiplicativos de A, ¿es S1∩S2 unsistema multiplicativo?¿Es S1∪S2 un sistema multiplicativo?¿Cuál es el menor sistema multiplicativo de A que contiene a S1 y S2?.

2. ¿Es Q(x) el cuerpo de fracciones de Z[x]?

3. Si un anillo A es dominio de ideales principales, ¿podemos afirmar que cualquieranillo de fracciones AS es también dominio de ideales principales?

4. ¿Es cierto que (rad(A))S = rad(AS)?5. Sea f : A→ B un mmorfismo de anillos y sea S un sistema multiplicativo de A.

Al considerar en B la estructura de A-módulo inducida por f , podemos construirel A-módulo de fracciones BS. Comprueba que BS tiene estructura natural deanillo y que el morfismo fS : AS → BS es un morfismo de anillos. Compruebaque f (S) es un sistema multiplicativo de B y que existe un isomorfismo naturalde A-álgebras BS ∼= B f (S).

6. Comprueba que si S es un sistema multiplicativo de A, existe un isomorfismonatural de anillos A[x]S ∼= AS[x].

7. Si S y T son sistemas multiplicativos de A entonces

(AT )S ∼= AS·T ) ∼= (AS)T .

Si S⊆ T entonces:

(AS)T ∼= (AT )S ∼= AT .

8. Sean A un anillo, S un sistema multiplicativo de A y M un A-módulo. ¿Es ciertoque todo AS-submódulo de MS es la localización en S de un A-submódulo deM?

9. Si M es un A-módulo finito generado, ¿es MS un AS-módulo finito generado?

10. La anulación de un elemento, ¿es una propiedad local? ¿Y la exactitud de unasucesión?

Ejercicios

Ejercicio 3.7.1. Demostrar que el morfismo de localización A→ AS es isomorfismosi y solo si S está formado por elementos invertibles.

104


Ejercicio 3.7.2. Escribe, en cada caso, un ejemplo de sistema multiplicativo S deC[X ]

tal que1. X ∈ S y el ideal < X+1

1 >=< X +1 >S es primo.2. X ∈ S y X−1

1 es invertible en C[X ]S.3. C[X ]S es un anillo local.4. El anillo C[X ]S tiene dos, y solo dos, ideales maximales.

Ejercicio 3.7.3. En el anillo de los números enteros, Z, consideramos el sistema mul-tiplicativo S = {3k,k ≥ 0}. Demostrar que existe un isomorfismo de Z-álgebras

h : ZS→Z[X ]

< 3X−1 >

es decir un morfismo de anillos h que hace conmutativo el diagrama:

Z - Z[X ]<3X−1>

@@@R �

��h

ZS

y tal que existe el morfismo inverso de h

Z[X ]

< 3X−1 >→ ZS

Ejercicio 3.7.4. Sean a un ideal y S un sistema multiplicativo de un anillo A. Demos-trar que si {a1, . . . ,an} es un sistema de generadores de a, entonces { a1

1 , . . . ,an1 } es un

sistema de generadores del ideal aS de AS. Concluir que si A es un anillo noetheriano,entonces AS también es un anillo noetheriano.

Ejercicio 3.7.5. Demostrar que el conjunto S formado por todos los elementos de unanillo que no son divisores de cero es un sistema multiplicativo de A, que S es el mayorsistema multiplicativo de A para el que el morfismo de localización es inyectivo, y quetodo elemento de AS es divisor de cero o invertible.

Ejercicio 3.7.6. Sea A un anillo y sea a ∈ A. Comprueba que existe un isomorfismonatural:

Aa ∼=A[x]

(ax−1).

Ejercicio 3.7.7. Sea A un subanillo de Q, es decir Z ⊂ A ⊂ Q. Prueba que existe unsistema multiplicativo S de A tal que A' ZS.

Ejercicio 3.7.8. En el anillo de polinomios C[x] consideremos el sistema multiplica-tivo S = R[x]−{0}. Comprueba que C[x]S = C(x).

Ejercicio 3.7.9. Sea p un ideal primo mimimal de un anillo A. Denotemos por Ap

la localización de A por el sistema multiplicativo S = A− p. Determinar los idealesprimos y el radical de Ap. Deducir que todo elemento de p es un divisor de cero en A.

105


Ejercicio 3.7.10. En el anillo A = Z/(24), tomamos el sistema multiplicativo S =

A− (2) y consideramos el morfismo de paso a la localización A→ AS.1. Determinar para qué elementos n de A se cumple que:

a) n1 = 0.

b) n1 es divisor de cero.

c) n1 es invertible.

2. Escribir los ideales primos de A y de AS.

Ejercicio 3.7.11. Sea M un A−módulo finito generado. Prueba que si MS = 0 entoncesexiste un elemento s ∈ S tal que sM = 0.

Ejercicio 3.7.12. Demostrar que si {Mi}i∈I es una familia de A-módulos y S un siste-ma multiplicativo S de A, existe un isomorfismo natural:

(⊕i∈IMi)S '⊕i∈I(Mi)S

Ejercicio 3.7.13. Sea f : M→ N un morfismo de A-módulos. Se llama conúcleo def , y se denota Coker f al cociente

Coker f =N

Im f

Así, la siguiente sucesión es exacta:

0−→ Ker f −→M −→ N −→ Coker f → 0

Consideremos un sistema multiplicativo S de A y el morfismo de AS-módulos fS :MS→ NS. Demostrar que

Ker fS = (Ker f )S, Coker fS = (Coker f )S, Im fS = (Im f )S

Ejercicio 3.7.14. Sean N1 y N2 submódulos de un A-módulo M. Comprueba queN1 ⊆ N2 si y solo si (N1)m ⊆ (N2)m, para todo ideal maximal m de A.

Ejercicio 3.7.15. Sea f : A→ B un morfismo de anillos y sea S un sistema multipli-cativo de A. Comprobar las siguientes afirmaciones:

1. La localización BS de B como A-módulo tiene una estructura natural de anillopara la cual los morfismos B→ BS, b 7→ b

1 y fS : AS → BS son morfismos deanillos.

2. f (S) es un sistema multiplicativo de B y el anillo de fracciones B f (S) es isomorfode manera natural a BS:

BS→ B f (S),bs7→ b

f (s)

3. Si p es un ideal primo de A y q es un ideal primo de B, entonces

p∩S = /0 y q∩A = p⇐⇒ q∩S = /0 y qS∩AS = pS

106


Ejercicio 3.7.16. Demostrar que si un morfismo A→ B es inyectivo, entonces paratodo ideal primo minimal p de A existe un ideal primo q de B tal que p= q∩A.

Ejercicio 3.7.17. Sea p ∈ Z un número primo y p= (p) = pZ. Si M es un Z-módulo,denotaremos por Mp la localización de M en el primo p, es decir, por el sistema mul-tiplicativo S = Z−p. Demostrar las siguientes afirmaciones:

1. Existe un isomorfismo natural de anillos y de Z-módulos:

ZpmZ

∼=(Z

pmZ

)p

2. Si m.c.d.(n, p) = 1 entonces (n)p = Zp y(Z(n)

)p

= 0.

3. Si n = pmk y m.c.d.(k, p) = 1 entonces (n)p = (pm)p y(Z(n)

)p

=

(Z

(pm)

)p

=Z

(pm)

4. Utilizando los isomorfismos definidos en los apartados anteriores, probar elTeorema chino de los restos: Si n y m son primos entre sí, hay un isomorfismonatural:

Z(nm)

∼=Z(n)× Z

(m), a 7→ (a,a)

Indicación: comprobar que al localizar en cada maximal de Z es un isomorfis-mo.

Ejercicio 3.7.18. Se llama soporte de un A-módulo M al conjunto de puntos del es-pectro de A donde M no se anula, es decir:

Supp(M) = {x ∈ SpecA : Mx 6= 0}

1. Probar que si el soporte de un módulo tiene un único punto x entonces el mor-fismo de localización M→Mx es isomorfismo.

2. Si el soporte de un módulo está formado por un número finito de puntos x1, . . . ,xn

tales que los correspondientes ideales primos son maximales, entonces (Mxi)x j =

0, ∀i 6= j y el morfismo natural M→Mx1 ×·· ·×Mxn , m→ (m/1, . . . ,m/1) esun isomorfismo de A-módulos.

3. Aplicando el apartado anterior, demostrar el Teorema chino de los restos.

107


108

Tema 4

Morfismos finitos

ContenidosDescripción del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.1 Morfismos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2 Teorema del ascenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3 Lema de normalización de Noether . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Bibliografía principal:M.F ATIYAH, D.G MACDONALD. Introduction to commutative algebra. Addison-

Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969. Capítulos 5 y11.

J.A. NAVARRO GONZÁLEZ. Algebra Conmutativa Básica. Manuales UEx, no.19. Servicio de Publicaciones, Universidad de Extremadura, 1996. Versión on-lineactualizada disponible en http://matematicas.unex.es/~navarro. Apéndice L(versión on-line).


Dedicaremos este tema al estudio de los morfismos finitos entre anillos A→ Bes decir, tales que B es finito generado como A-módulo. Uno de los motivos paraestudiar este tipo de morfismos con cierta profundidad es el Lema de normalizaciónde Noether, que utilizaremos para demostrar los Teoremas de los ceros de Hilbert yque será fundamental para el desarrollo de la Teoría de la dimensión en el Tema 5.

La primera sección del tema es la continuación natural del estudio de las álgebrasfinitas comenzado en la asignatura Álgebra I. Introduciremos el concepto de álgebrafinita o morfismo finito (página 110), de álgebra o morfismo de tipo finito (Definición4.1.8, página 112) y demostraremos algunas de sus propiedades.

109



En la segunda sección demostraremos el resultado fundamental del tema (y pro-bablemente de toda la asignatura vista en conjunto): el Lema de normalización deNoether (página 118), que afirma que, haciendo un cambio de coordenadas, si esnecesario, el álgebra A de las funciones regulares sobre una variedad algebraicaafín, se puede obtener de este modo: las primeras coordenadas X1, . . . ,Xr son al-gebraicamente independientes y las otras funciones algebraicas de las r primeras,A = k[X1, . . . ,Xr,ar+1, . . . ,an] . Este resultado, de gran utilidad para el estudio de lasvariedades algebraicas, nos permitirá ya demostrar el Teorema de los ceros de Hilbert,que estudiamos en el Tema 2, y cuya demostración, en su forma débil, hemos pos-tergado hasta ahora. El Lema de normalización tendrá una importancia fundamentalpara el desarrollo de la Teoría de la dimensión de las variedades algebraicas afines queestudiaremos en el Tema 5.

Los objetivos/competencias que se persiguen conseguir en este tema son:Conocer y manejar los morfismos finitos y sus propiedades básicas.Comprender el Lema de normalización de Noether y sus implicaciones másinmediatas.

Recurso audiovisual: En http://www.youtube.com/watch?v=LpvLCNl9y3A sepuede ver una presentación informática sobre la vida de Emmy Noether hecha poruna estudiante de Física de la Universidad de Carabobo (Valencia, Venezuela).

4.1. Morfismos finitos

Recordemos que cada morfismo de anillos f : A→ B define una estructura natu-ral de A−módulo en B, a saber: a · b := f (a)b. En este caso, se dice que B es unaA−álgebra y f se llama morfismo estructural de la A−álgebra B.

Se dice que B es una A−álgebra finita, o que f : A→ B es un morfismo fini-to, cuando B es un A−módulo finito generado para la estructura que A define en Bmediante f .

Observemos que si A es noetheriano, entonces B es un A−módulo noetheriano.

Ejemplos 4.1.1.1. Todo morfismo de anillos epiyectivo f : A→ B es finito; basta tener en cuenta

que B está generado por la unidad: 1 ·A = 1 · f (A) = B.2. El morfismo C[X ] ↪→ C[X ,Y ]/(X2 +Y 2− 1), X → X es finito: un sistema de

generadores de C[X ,Y ]/(X2 +Y 2−1) como C[X ]-módulo es {1,Y}

Ejemplo 4.1.2. El morfismo A=C[X ] ↪→B=C[X ,Y ]/(X ·Y−1), X→X no es finito.Veamos por qué:

Si B admite un sistema finito de generadores como A-módulo, admite un sistemade generadores de la forma {1,Y,Y 2, . . .Y n−1}. Entonces, podemos escribir Y n como

110

http://www.youtube.com/watch?v=LpvLCNl9y3A


combinación lineal de 1,Y,Y 2, . . .Y n−1 con coeficientes en A, es decir, existen polino-mios q0(x),q1(X), . . . ,qn−1(X) ∈ A tales que

Y n = q0(x)+q1(X)Y + · · ·+qn−1(X)Y n−1.

Observemos que Y tiene inverso en B, pues XY = 1. Multiplicando por Xn obtenemos:

1 = XnY n = q0(x)Xn +q1(X)Xn−1 + · · ·+qn−1(X)X ,

es decir, X(q0(x)Xn−1 +q1(X)Xn−2 + · · ·+qn−1(X)) = 1 y llegamos a una contradic-ción, pues X no es invertible en A = C[X ]. Por lo tanto, B no admite ningún sistemafinito de generadores como A-módulo.

Proposición 4.1.3. La composición de morfismos finitos es un morfismo finito.

Demostración. Sea f : A→ B y g : B→ C morfismos de anillos finitos. Entonces,B = b1A+ . . .+bnA y C = c1B+ . . .+ cmB. Luego

C = c1(b1A+ . . .+bnA)+ . . .+ cm(b1A+ . . .+bnA) =m

∑i=1

n

∑j=1

cib jA.

En conclusión, g◦ f : A→C es un morfismo finito.

Proposición 4.1.4. Sean A→ B un morfismo finito y A→C un morfismo de anilloscualquiera. El morfismo natural de C−álgebras C = A⊗A C→ B⊗A C es finito, esdecir, los morfismos y álgebras finitos son estables por cambio de base.

Demostración. Basta tener en cuenta que si B = (b1A+ . . .+bnA), entonces B⊗A C =

(b1⊗1)C+ . . .+(bn⊗1)C.

Corolario 4.1.5. Si A→ B es un morfismo finito, entonces(a) A/a→ B/aB es un morfismo finito, para todo ideal a de A.(b) AS→ BS es un morfismo finito, para todo sistema multiplicativo S de A.

Demostración. Tómense los morfismos canónicos: A → A/a, en el primer caso, yA→ AS, en el segundo, y aplíquese la Proposición 4.1.4.

Ejercicio 4.1.6. Demostrar que si A→ B es un morfismo finito y b es un ideal de B,el morfismo A/(b∩A)→ B/b también es finito.

Si un anillo es noetheriano, todo submódulo de un módulo finito generado es finitogenerado. Por lo tanto, en anillos noetherianos, toda subálgebra de un álgebra finita estambién finita. Si el anillo no es noetheriano, este resultado no es cierto.

Ejemplo 4.1.7. Subálgebra de un álgebra finita que no es finita.Para contruir el ejemplo, demuestre el lector, como ejercicio, las siguientes afir-

maciones para un anillo A.

111


1. La aplicación δ : A→ B = A× A, δ (a) = (a, a) es un morfismo de anillos.A×A, con la estructura de A-álgebra inducida, es finita (determinar un sistemade generadores).

2. Si I es un ideal de A, entonces C = {(a, b) ∈ A× A | a− b ∈ I} es una A-subálgebra de A×A.

3. La aplicación ϕ :C→A⊕I, (a, b) 7→ (a,a−b) es un isomorfismo de A-módulos.4. Si el ideal I no es finito generado, entonces la A-álgebra C no es finita.

Definición 4.1.8. Se dice que un morfismo de anillos f : A→ B es de tipo finito, o queB es una A−álgebra de tipo finito, si existen b1, . . . ,bn ∈ B tales que B = A[b1, . . . ,bn];es decir, si el morfismo de anillos

A[X1, . . . ,Xn] −→ B

P(X1, . . . ,Xn) 7−→ P(b1, . . . ,bn)

es sobreyectivo.

La condición necesaria y suficiente para que A→ B sea finito es que B, comoA-módulo, sea cociente de un módulo libre de rango finito. Para que A→ B sea detipo finito, es necesario y suficiente que B sea cociente de un anillo de polinomiosA[X1,X2, . . . ,Xn].

Del Teorema de la base de Hilbert se sigue que si A es un anillo noetheriano, todaA−álgebra de tipo finito es noetheriana.

Claramente, todo morfismo finito es de tipo finito, pero el recíproco no es cierto,basta considerar A→ A[X ].

No toda subálgebra de un álgebra de tipo finito es de tipo finito. Veamos un ejem-plo.

Ejemplo 4.1.9. Subálgebra de un álgebra de tipo finito que no es de tipo finito.Sea A la k-subálgebra de k[X , Y ] generada por los monomios XaY b tales que a > 0

y b <√

2a, es decir:

k ↪→ A = k[XaY b; a > 0, b/a <√

2] ↪→ k[X , Y ].

Veamos que A no puede ser generada por un número finito de monomios.Supongamos que XaY b ∈k[Xa1Y b1 , Xa2Y b2 , . . . ,XanY bn ], es decir, que existen ai1...in ∈

k y αi1 , . . . ,αin ∈ N tales que

XaY b = ∑(i1,...,in)

ai1...in(Xa1Y b1)αi1 (Xa2Y b2)αi2 . . .(XanY bn)αin .

Entonces, alguno de los términos de este polinomio debe ser múltiplo de XaY b, esdecir, existen αi1 , . . . ,αin ∈ N tales que

XaY b = (Xa1Y b1)αi1 (Xa2Y b2)αi2 . . .(XanY bn)αin .

112


Observando los exponentes de X e Y obtenemos que

(a, b) =n

∑j=1

αi j(a j,b j).

Si q = max(b j/a j), entonces q ∈Q y b = ∑ni= j αi j b j ≤ q(∑n

j=1 αi j a j) = a. Así hemosprobado que si XaY b ∈ k[Xa1Y b1 , Xa2Y b2 , . . . ,XanY bn ], entonces b/a≤ q. Puesto quepodemos encontrar un número racional r/s tal que q < r/s <

√2, concluimos que

k[Xa1Y b1 , Xa2Y b2 , . . . ,XanY bn ] 6= A, ya que X sY r 6∈ k[Xa1Y b1 , Xa2Y b2 , . . . ,XanY bn ].

Sea A→ B un morfismo de anillos. Si b es un elemento de B, escribiremos A[b]para denotar al subanillo de B de los polinomios en b con coeficientes en f (A), esdecir elementos de la forma anbn + . . .+a1b+a0, ai ∈ A.

Dado un elemento b ∈ B, vamos a caracterizar cuándo es finito el morfismo A→A[b].

Sabemos que si k es un cuerpo, entonces k→ k[b] es una k-álgebra finita si y solosi b es un elemento algebraico sobre k, es decir si b es raíz de un polinomio con coefi-cientes en k. Cuando el anillo base no es cuerpo esta condición no es suficiente pues,por ejemplo, el morfismo Z→ Z[1/2] no es finito, aunque 1/2 es raíz del polinomio2x−1. Observemos que el coeficiente principal de este polinomio no es invertible enZ.

Proposición 4.1.10. Sean f : A→ B un morfismo de anillos y b ∈ B. Las siguientescondiciones son equivalentes:

(a) b es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en A, es decir, b verifica unarelación de la forma

bn +a1bn−1 + . . .+an = 0 (4.1)

con ai ∈ A, i = 1, . . . ,n.(b) A→ A[b] es finito(c) A[b] está contenido una A-álgebra finita.

Demostración. (a)⇒ (b) Por hipótesis (4.1), tenemos que bn = −(a1bn−1 + . . .+

an), luego bn+r = −(a1bn+r−1 + . . .+ anbr), para todo r ≥ 0. Así obtenemos, porinducción, que todas las potencias positivas de b están en el A−módulo generado por1,b, . . . ,bn−1. Es decir, como A−módulo, A[b] está generado por 1,b, . . . ,bn−1.

(b)⇒ (c) Si f : A→ A[b] es finito, A[b] es una A−álgebra finita.

(c)⇒ (a) Sea C una A−álgebra finita que contiene a A[b]. Fijemos un sistema degeneradores {c1, . . . ,cn} de C como A-módulo: A[b] ⊆ C = Ac1 + Ac2 + · · ·+ Acn.Para cada i = 1, . . . ,n, tenemos que bci ∈C, luego:

bci = ai1c1 + · · ·+aincn, ai j ∈ A

113


Así, A = (ai j) es la matriz del endomorfismo de A−módulos φ : C→C c 7→ b · c , enel sistema de generadores {c1, . . . ,cn}.

Puesto que φ(1) = b, tenemos que b · Id−A = 0, es decir:b−a11 −a12 . . . −a1n

−a21 b−a22 . . . −a2n...

......

...−an1 −an2 . . . b−ann

c1

c2...

cn

=

00...0

El determinante de esta matriz es |b · Id−A|= bn +an−1bn−1 + · · ·+a1b+a0

Multiplicando por la izquierda por la matriz traspuesta de la adjunta de b · Id−A,obtenemos

|b · Id−A| 0 . . . 00 |b · Id−A| . . . 0...

......

...0 0 . . . |b · Id−A|

c1

c2...

cn

=

00...0

Es decir, |b · Id−A| · ci = 0, para i = 1, . . . ,n. Puesto que 1 ∈C es combinación linealde c1, . . . ,cn,

|b · Id−A|= bn +an−1bn−1 + · · ·+a1b+a0 = 0.

Observemos que lo que hemos probado es que para el endomorfismo φ se cumple elTeorema de Cayley-Hamilton (todo endomorfismo φ satisface su polinomio caracte-rístico). Este resultado es cierto para los endomorfismos de A-módulos finito genera-dos, y la prueba es enteramente análoga a la realizada aquí para φ .

Ejemplo 4.1.11. El morfismo Z→Z[ 1+√

52 ] es finito, pues 1+

√5

2 es raíz del polinomiox2− x−1.

Definición 4.1.12. Sea f : A→ B un morfismo de anillos. Se dice que un elementob de B es entero sobre A si cumple una, y por consiguiente todas, de las condicionesdadas en la proposición anterior.

Una relación de la forma

bn +a1bn−1 + . . .+an = 0

con ai ∈ A, i = 1, . . . ,n se llama relación de dependencia entera.

Ejemplo 4.1.13. Los únicos números racionales que son enteros sobre Z son los nú-meros enteros.

Definición 4.1.14. Un morfismo de anillos f : A→ B es entero si todo elemento de Bes entero sobre A.

114


Proposición 4.1.15. Sea A ↪→ B un morfismo finito e inyectivo y sea a ∈ A. Si a esinvertible en B, entonces a es invertible en A.

Demostración. Sea b el inverso de a en B. Por 4.1.10 sabemos que b satisface unarelación de la forma

bn = a1bn−1 + · · ·+an

siendo a1, . . . ,an elementos de A. Multiplicando por an obtenemos:

1 = anbn = a1a+a2a2 + · · ·+anan = a(a1 +a2a+ · · ·+anan−1),

y concluimos que a1 +a2a+ · · ·+anan−1 es el inverso de a en A.

Observemos la similitud de esta demostración con el argumento dado en el Ejem-plo 4.1.2 para probar que el morfismo A = k[X ]→ B = k[X , Y ]/(X ·Y −1), X 7→ X noes finito, por ser X invertible en B y no en A.

Ejercicio 4.1.16. Consideremos la extensión Z→ Z[ 1+√

32 ]. Comprueba que 2 es in-

vertible en Z[ 1+√

32 ] y por tanto que dicha extensión no es finita.

Corolario 4.1.17. Sean A ↪→ B un morfismo finito e inyectivo entre anillos íntegros.Entonces A es un cuerpo si, y sólo si, B es un cuerpo.

Demostración. En Álgebra I se probó que si A es cuerpo entonces B también lo es. SiB es cuerpo, también lo es A por la Proposición 4.1.15

Corolario 4.1.18. Sea f : A→ B un morfismo finito. Sea p un ideal primo de B y seaq= A∩p. Entonces, p es maximal si y solo si q es maximal.

Demostración. El morfismo A/q→ B/p es finito, por el Ejercicio 4.1.6, y concluimospor 4.1.17.

Ejemplo 4.1.19. El morfismo A = k[X ]→ B = k[X , Y ]/(X ·Y ), X 7→ X no es finito:el ideal X ·B es primo no maximal: B/(X) = k[X , Y ]/(X ·Y, X) = k[Y ]; la imageninversa de este ideal es X ·B∩k[X ] = X ·k[X ], que es maximal en k[X ]

Vamos a probar que si una aplicación regular entre conjuntos algebraicos ϕ : V →W está definida por un morfismo finito h : k[W ]→ k[V ], entonces las fibras de ϕ sonfinitas. Utilizaremos para ello el siguiente lema.

Lema 4.1.20. Sea h : A→ B un morfismo de anillos y sean p un ideal primo de B y mun ideal maximal de A. Entonces

m= h−1(p) ⇐⇒ m⊆ h−1(p) ⇐⇒ h(m)B⊆ p

115


Demostración. Como h−1(p) 6=A y m es un ideal maximal, tenemos que m= h−1(p) ⇐⇒m⊆ h−1(p). Por definición de imagen inversa, m⊆ h−1(p) ⇐⇒ h(m)⊆ p y, por serp un ideal, h(m)⊆ p ⇐⇒ h(m)B⊆ p

Proposición 4.1.21. Sea h∗ : V →W una aplicación regular entre dos conjuntos alge-braicos definida por el morfismo de k-álgebras h : k[W ]→ k[V ]. Si h es un morfismofinito, entonces las fibras de h∗ son finitas.

Demostración. Si p∈V y Q∈W , sabemos que Q= h∗(P) si, y solo si, mQ = h−1(mP),es decir si y solo si mQk[V ] ⊆ mP. Esto significa que mP es un ideal del cocientek[V ]/mQk[V ]. Como el morfismo h : k[W ]→ k[V ] es finito, por el Corolario 4.1.5(b),también lo es el morfismo inducido entre los cocientes:

h :k[W ]

mQ= k−→ k[V ]

mQk[V ].

Luego, la k-álgebra k[V ]mQk[V ] es finita. Según se probó en Álgebra I, los ideales primos

de una k-álgebra finita son todos maximales y solo hay un número finito de ellos.

Ejercicio 4.1.22. Sea h∗ : V = V (X2Y −Y )→C la aplicación regular definida por elmorfismo de C-álgebras

h : C[T ]→ C[V ] =C[X , Y ]

< X2Y −Y >T 7→ X

Calcula la fibra por h∗ de los puntos de la rectaC y comprueba que h no es un morfismofinito.

4.2. Teorema del ascenso

En esta sección vamos a estudiar algunas propiedades de la aplicación continuah∗ : Spec(B)→ Spec(A) inducida por un morfismo finito h : A→ B.

En primer lugar vamos a calcular las fibras de la aplicación h∗. Dado un idealprimo p de A queremos calcular (h∗)−1(p), es decir determinar los ideales primos q

de B tales que q∩A = p

En el Lema 4.1.20 calculamos la fibra de los ideales maximales de A. En concreto,probamos que si m es un ideal maximal de A entonces

(h∗)−1(m) = Spec(

BmB

)Veamos que para calcular la fibra de un primo no maximal p basta considerar el

morfismo hp : Ap→ Bp.

116


Si S es un sistema multiplicativo de A, p es un ideal primo de A y q es un idealprimo de B, entonces

p∩S = /0 y q∩A = p⇐⇒ q∩S = /0 y qS∩AS = pS

(Véase el Ejercicio 3.7.15). Así, si p∩ S = /0, es decir, si al localizar p obtenemos unideal primo pS de AS, entonces, la fibra de p por h∗ coincide con la fibra de pS por h∗S.

Por lo tanto, para calcular la fibra de p consideramos el morfismo hp : Ap→ Bp.Puesto que pAp es el ideal maximal de Ap, concluimos que la fibra de p por h∗ es:

(h∗)−1(p) = (h∗p)−1(pp) = Spec

(Bp

pBp

)Hemos probado así la siguiente Proposición.

Proposición 4.2.1 (Fórmula de la fibra). Sea h : A→ B un morfismo de anillos.1. Si m es un ideal maximal de A y q es un ideal primo de B, entonces

h−1(q) =m ⇐⇒ mB⊆ q

Es decir,

(h∗)−1(m) = Spec(

BmB

)2. Si p es un ideal primo de A y q es un ideal primo de B, entonces

h−1(q) = p ⇐⇒ pBp ⊆ qBp

Es decir,

(h∗)−1(p) = Spec(

Bp

pBp

)Proposición 4.2.2. Sea j : A ↪→ B un morfismo finito e inyectivo. Entonces, para cual-quier primo p de A existe algún ideal primo q de B tal que q∩A = p. Es decir, laaplicación j∗ : Spec(B)→ Spec(A) es epiyectiva.

Demostración. ( j∗)−1(p) = Spec(

Bp

pBp

)= /0⇐⇒ Bp

pBp= 0.

Si el morfismo j : A ↪→ B es finito e inyectivo, también lo es el morfismo jp : Ap ↪→Bp, luego Bp es un Ap-módulo no nulo y finito generado. Por el Lema de Nakayama,

3.1.1 tenemos que Bp

pBp6= 0, luego ( j∗)−1(p) = Spec

(Bp

pBp

)6= /0

Ejemplo 4.2.3. El morfismo h : A = k[X ]→ B = k[X , Y ]/(XY − 1), X 7→ X , no esfinito, pues la aplicación Spec(k[X , Y ]/(XY −1))→ Spec(k[X ]) no es epiyectiva, yaque la fibra del ideal primo < X > es vacía:

(h∗)−1(< X >) = Spec(

B< X > B

)117


B< X > B

=k[X , Y ]

< X XY −1 >=k[X , Y ]< 1 >

= 0

Luego,

(h∗)−1(< X >) = Spec(

B< X > B

)= /0

Corolario 4.2.4 (Teorema del ascenso o Going up.). Sea h : A→ B un morfismofinito. Si p es un ideal primo de A y q es un ideal primo de B tal que q∩ A = p,entonces para todo primo p′ ⊃ p de A existe un ideal primo q′ ⊃ q tal que q′∩A = p′.

Demostración. Si p= q∩A, el morfismo

Ap−→ B

q

es inyectivo (pues p= q∩A) y finito (4.1.6). Por la Proposición 4.2.2, tenemos que esepiyectiva la aplicación:

Spec(

Bq

)→ Spec

(Ap

).

4.3. Lema de normalización de Noether

Lema de normalización de Noether. Si k ↪→ A = k[a1, . . . ,an] es una k-álgebrade tipo finito, existe un morfismo finito e inyectivo k[X1, . . . ,Xr] ↪→ A, siendo r ≤ n.Demostración. Aunque el resultado es cierto para cualquier cuerpo, en este curso de-mostraremos solo el caso en que k es infinito.

Procedemos por inducción sobre n. Para n = 0 no hay nada que probar. Suponga-mos n > 0 y que el resultado es cierto hasta n−1.

Si p(a1, . . . ,an) 6= 0 para todo p(X1, . . . ,Xn)∈k[X1, . . . ,Xn], entonces A=k[a1, . . . ,an] =

k[X1, . . . ,Xn], en particular, r = n.Supongamos que existe p(X1, . . . ,Xn) 6= 0 tal que p(a1, . . . ,an) = 0.Si al escribir p(X1, . . . ,Xn) como polinomio en Xn con coeficientes en k[X1, . . . ,Xn−1]

el coeficiente principal es una constante no nula c ∈ k:

p(X1, . . . ,Xn) = cXmn + · · ·+q1(X1, . . . ,Xn−1)Xn +q0(X1, . . . ,Xn−1),

entonces an es raíz del polinomio p(a1, . . . ,an−1,Xn) = cXmn + · · ·+q0(a1, . . . ,an−1) y

por tanto (4.1.10), el morfismo k[a1, . . . ,an−1] ↪→ A = k[a1, . . . ,an−1][an] es finito.Por hipótesis de inducción, existe un morfismo finito e inyectivo k[X1, . . . ,Xr] ↪→

k[a1, . . . ,an−1]. El morfismo finito e inyectivo buscado es la composición k[X1, . . . ,Xr] ↪→k[a1, . . . ,an−1] ↪→ A = k[a1, . . . ,an].

118


Veamos que sustituyendo a1, . . . ,an por otro sistema de generadores b1, . . . ,bn po-demos conseguir que anulen un polinomio q(X1, . . . ,Xn) que, considerado como poli-nomio en Xn con coeficientes en k[X1, . . . ,Xn−1], tiene coeficiente principal una cons-tante.

Sean bi = ai−λian, para i = 1, . . . ,n− 1, bn = an. Entonces A = k[a1, . . . ,an] =

k[b1, . . . ,bn].Hagamos el cambio de variable: Yi = Xi−λiXn, para i = 1, . . . ,n−1, e Yn = Xn.Si q(Y1, . . . ,Xn) = p(Y1 + λ1Xn, . . . ,Yn−1 + λn−1Xn,Xn), entonces q(b1, . . . ,bn) =

p(a1, . . . ,an) = 0.Veamos que, eligiendo convenientemente λ1, . . . ,λn−1 ∈ k, conseguimos que el

coeficiente principal de q(Y1, . . . ,Xn) considerado como polinomio en Xn, sea un ele-mento no nulo de k.

Escribamos p(X1, . . . ,Xn) como suma de polinomios pk(X1, . . . ,Xn) homogéneosde grado k: p(X1, . . . ,Xn) = pd(X1, . . . ,Xn)+ pd−1(X1, . . . ,Xn)+ . . . .

Si pk(X1, . . . ,Xn) es un polinomio homogéneo, entonces pk(Y1 +λ1Xn, . . . ,Yn−1 +

λn−1Xn,Xn) es también un polinomio homogéneo en Y1, . . . ,Yn−1,Xn. El coeficiente deXk

n en este polinomio se obtiene tomando cada Yi igual a 0 y Xn igual a 1, es decir:pk(Y1 +λ1Xn, . . . ,Xn) = pk(λ1, . . . ,1)Xk

n +{términos de grado < k en Xn}Luego q(Y1, . . . ,Xn)= p(Y1+λ1Xn, . . . ,Yn−1+λn−1Xn,Xn)= pd(λ1, . . . ,λn−1,1)Xd

n +

{términos de grado menor que d en Xn}.Si el cuerpo k es infinito, podemos tomar λ1, . . . ,λn−1 tales que pd(λ1, . . . ,λn−1,1) 6=

0 pues el polinomio pd(X1, . . . ,Xn−1,1) no es nulo, ya que pd(X1, . . . ,Xn−1,Xn) es unpolinomio homogéneo no nulo.

Como q(b1, . . . ,bn) = 0, tenemos que bn es raíz del polinomio q(b1, . . . ,Xn) concoeficientes en k[b1, . . . ,bn−1], cuyo coeficiente principal es una constante, y el resul-tado se concluye por hipótesis de inducción.

Nota 4.3.1. El caso general (cuerpo finito o infinito) se puede demostrar de maneraanáloga al caso infinito, tomando como generadores de A los elementos bi = ai−aNi

n ,para i = 1 . . . ,n− 1 y bn = an. Se prueba que, tomando N suficientemente grande,el polinomio p(Y1 +XN

n ,Y2 +XN2n , . . . ,Xn), considerado como polinomio en Xn, tiene

como coeficiente principal una constante.

Lema de Zariski. Sea k ↪→ K una extensión de un cuerpo arbitrario k. Si K esuna k−álgebra de tipo finito, entonces K es una extensión finita de k. En particular,si k es algebraicamente cerrado, entonces K = k.

Demostración. Por el Lema de Normalización, existe un morfismo de finito e inyectivoA = k[X1, . . . ,Xr] ↪→ K. Por el Corolario 4.1.17, A es un cuerpo, luego r = 0 y A =

k ↪→ K es una extensión finita.

119


Ejercicio 4.3.2. Aplicando el Lema de Zariski, prueba que si j : A→B es un morfismode k−álgebras y A y B son k−álgebras de tipo finito entonces la imagen inversa por jde un ideal maximal de B es un ideal maximal de A.

Teorema de los ceros de Hilbert (débil). El cuerpo residual de cualquier idealmaximal de una k-álgebra de tipo finito es una extensión finita de k. En particular, sik es algebraicamente cerrado, dicho cuerpo residual es k.Demostración. Es consecuencia inmediata del Lema de Zariski.

Para cuerpos algebraicamente cerrados tenemos la versión de este Teorema enun-ciada en el Tema 2, 2.2:

(a) Si k es un cuerpo algebraicamente cerrado, y m es un ideal maximal dek[X1, . . . ,Xn] entonces existe un único punto P = (a1, . . . ,an) ∈ kn tal que

m=mP = (X1−a1, . . . ,Xn−an)

Enunciado equivalente:(b) Si k es un cuerpo algebraicamente cerrado, y a es un ideal de k[X1, . . . ,Xn] y

1 6∈ a entonces V (a) 6= /0.

Ejercicio 4.3.3. Comprueba que el morfismo j es finito

j :k[X , Y ](X +Y )

−→ k[X , Y ]/(XY −1), X 7→ X−Y2

;

y que la aplicación continua inducida entre los correspondientes conjuntos algebraicoses la proyección paralela a la recta X −Y = 0 de la curva XY − 1 = 0 sobre la rectaX +Y = 0.

Ejercicio 4.3.4. Determina si los siguientes morfismos son finitos

k[T ]→ k[X , Y ]/(X2 +X ·Y −1), T 7→ X

k[T ]→ k[X , Y ]/(X2 +X ·Y −1), T 7→ Y

Ejercicio 4.3.5. Escribe un morfismo finito k[T ]→ k[X , Y ]/(X ·Y −X−Y ).

Ejercicio 4.3.6. (a) Demostrar que el morfismo k[T ]→ k[X , Y ]/(P(X ,Y )), T 7→ X esfinito si y solo si al considerar P(X ,Y ) como polinomio en Y con coeficientes en k[X ]

es unitario, es decir, el coeficiente principal es una constante.(b) Escribamos P(X ,Y ) como suma de polinomios homogéneos P(X ,Y )=Pd(X ,Y )+

Pd−1(X ,Y )+. . . . Comprueba que una condición suficiente para que el morfismo k[T ]→k[X , Y ]/(P(X ,Y )), T 7→ X sea finito es que Pd(0,1) 6= 0. Esta condición no es nece-saria: el morfismo k[T ]→ k[X , Y ]/(X3 +X2−Y 2)), T 7→ X es finito.

(c) Con la notación del apartado anterior, comprueba que una condición suficientepara que el morfismo T 7→ X−λY sea finito es que Pd(λ ,1) 6= 0.

120


Apéndice

∗Morfismos finitos y cono tangente en curvas planas.Vamos a probar que la condición necesaria y suficiente para que el morfismo

k[T ]→ k[X , Y ]/(P(X ,Y )), T 7→ X sea finito, es decir, para que Y sea raíz de un po-linomio mónico con coeficientes en k[X ] es que la curva plana P(X ,Y ) = 0 no tengaasíntotas verticales. Necesitaremos para ello definir previamente el concepto de conotangente a una curva plana P(X ,Y ) = 0 en un punto, que por comodidad, supondre-mos es el origen.∗ Cono tangente.Sea P(X ,Y ) = 0 una curva plana que pasa por el origen (0,0). Si P(X ,Y ) = a10X +

a01Y + { términos de grado > 1}, con (a10,a01) 6= (0,0), entonces decimos que larecta a10X +a01Y = 0 es la tangente a la curva P(X ,Y ) = 0 en (0,0). Observemos quea10 =

∂P∂X (0,0) y a01 =

∂P∂Y (0,0). Vamos a ampliar el concepto de recta tangente a la

curva P(X ,Y ) = 0 en (0,0) para incluir el caso en que (a10,a01) = (0,0).Dada una recta que pasa por el origen aX − bY = 0, consideramos el cambio de

variable X = bT , Y = aT , es decir el isomorfismo k[X ,Y ](aX−bY )) ' k[T ] X 7→ bT , Y 7→ aT ,

de modo que tenemos parametrizada la curva por T . Dado un polinomio P(X ,Y ) talque P(0,0) = 0, si restrigimos la función polinómica P(X ,Y ) a la recta aX − bY ,obtenemos una función P(bT,aT ) que se anula en T = 0. Veamos cuál es el or-den de este cero. Para ello, escribamos P(X ,Y ) como suma de polinomios homo-géneos P(X ,Y ) = Ps(X ,Y ) +Ps+1(X ,Y ) + · · ·+Pd(X ,Y ), (s > 0) donde cada Pk esun polinomio homogéneo de grado k, es decir Pk(X ,Y ) = ∑i+ j=k ai jX iY j. EntoncesP(bT,aT ) = Ps(b,a)T s+Ps+1(b,a)T s+1+ · · ·+Pd(b,a)T d , y P(bT,aT ) tiene un cerode orden s en T = 0, excepto cuando Ps(b,a) = 0, en cuyo caso el orden del cero esmayor que s. Observemos que Ps(b,a) = 0 precisamente cuando Ps(X ,Y ) es múltiplode aX − bY , de manera que esto solo ocurre en un número finito de casos. Dicho deotro modo, como el polinomio P(X ,Y ) = Ps(X ,Y )+Ps+1(X ,Y )+ · · ·+Pd(X ,Y ) tieneun cero de orden s en (0,0), al restrigir esta función a cualquier recta que pase porel origen, tendrá un cero de orden s en T = 0, salvo cuando esta recta sea uno de losfactores de la componente homogénea de menor grado de P(X ,Y ), o sea, de Ps(X ,Y ).Estas rectas serán tangentes a P(X ,Y ) = 0 en el origen, pues tienen un contacto conP(X ,Y ) = 0 en (0,0) de mayor orden que las demás.

Definición 4.3.7. Dada una curva plana P(X ,Y ) = 0 que pasa por el origen, se llamacono tangente a la curva en (0,0) a la curva definida por la componente homogéneade menor grado de P(X ,Y ), es decir, Ps(X ,Y ) = 0.

Como Ps(X ,Y ) es un polinomio homogéneo, si Ps(a,b) = 0 entonces Ps(λa,λb) =0, ∀λ ∈ k, de ahí el nombre de cono. Si k es algebraicamente cerrado, todo polino-mio homogéneo en dos variables descompone en producto de polinomios de grado 1,Ps(X ,Y ) = ∑i+ j=s ai jX iY j = ∏

sk=1(λiX + µiY ), y el cono Ps(X ,Y ) = 0 está formado

121


por la unión de las rectas λiX + µiY = 0 (cada una de ellas puede aparecer una o va-rias veces). Cuando el cuerpo k no es algebraicamente cerrado, el cono tangente estáformado por la unión de un número finito de rectas en el cierre algebraico de k.

Por ejemplo, el cono tangente a la curva x2−Y 2 +X3 = 0 está formado por lasrectas X −Y = 0 y X +Y = 0. El cono tangente a Y 2 − X3 = 0 está formado porla recta Y = 0, contada dos veces. Si consideramos la curva real X2 +Y 2−X3 = 0,su cono tangente en el origen, X2 +Y 2 = 0 está formado por las rectas complejasconjugadas X− iY = 0, X + iY = 0.

Para calcular el cono tangente a P(X ,Y ) = 0 en cualquier punto (a,b) de la curva,realizamos el cambio de variable U = X − a, V = Y − b, y obtenemos una curva quepasa por el origen, P(U +a,V +b) = 0 calculamos el cono tangente a esta curva en elorigen y deshacemos el cambio de variable. Por ejemplo, para calcular el cono tangen-te a la curva de ecuación X3 +X2−Y 2 +2Y −1 = 0 en el punto (0,1), consideramosU3+U2− (V +1)2+2(V +1)−1 =U3+U2−V 2 = 0 y calculamos su cono tangen-te en (0,0), que está formado por las rectas U −V = 0 y U +V = 0. Deshaciendo elcambio de variables, obtenemos que el cono tangente a X3 +X2−Y 2 +2Y −1 = 0 en(1,0) está formado por las rectas X−Y +1 = 0 y X +Y −1 = 0.

En general, dada una hipersuperficie P(X1, . . . ,Xn) = 0 que pasa por el origen, sedefine su cono tangente en el origen como la hipersuperficie definida por la compo-nente homogénea de menor grado de P.∗ Caracterización de la finitud en términos del cono tangente.Vamos a probar ya que si P(X ,Y ) = 0 es una curva plana que pasa por (0,0),

el morfismo k[X ]→ k[X ,Y ]/(P(X ,Y )) es finito, es decir, Y es raíz de un polinomiomónico con coeficientes en k[X ] si y solo si la curva carece de asíntotas verticales, esdecir, si al considerar la curva en el plano proyectivo, ésta no pasa por el punto delinfinito de las rectas X = cte. o, si pasa, la única recta tangente en este punto es larecta del infinito.

Si escribimos P(X ,Y ) como polinomio en Y con coeficientes en k[X ], es decir,P(X ,Y ) = Q0(X)Y n +Q1(X)Y n−1 + · · ·+Qn(X), sabemos por el Ejercicio 4.3.6 quela condición necesaria y suficiente para que Y sea raíz de un polinomio mónico concoeficientes en k[X ] es que Q0(X) sea una constante. Para expresar esta condición entérminos de las asíntotas (tangentes en puntos del infinito), pasemos al plano proyec-tivo. Consideremos coordenadas homogéneas (x0,x1,x2), de modo que x0 = 0 es larecta del infinito. Homogeneizando P(X ,Y ) obtenemos:

P(x0,x1,x2) = Q0(x0,x1)xn2 +Q1(x0,x1)xn−1

2 + · · ·+Qn(x0,x1)

que es un polinomio homogéneo de grado igual al de P(X ,Y ), es decir, d, de modoque cada polinomio Qk(x0,x1) es homogéneo de grado d− (n− k). Tomemos ahoracoordenadas no homogéneas haciendo x2 = 1, para que el punto del infinito de lasrectas verticales (0,0,1) pase a ser el origen del plano afín x2 = 1 y podamos calcularcómodamente el cono tangente en (0,0) de P(x0,x1,1). Así, deshomogeneizando con

122


x2 = 1, obtenemos

P(x0,x1,1) = Q0(x0,x1)+Q1(x0,x1)+ · · ·+Qn(x0,x1).

La componente homogénea de menor grado de este polinomio es Q0(x0,x1), que tienegrado d− n. Así, tenemos que P(X ,Y ) = λY n +Q1(X)Y n−1 + · · ·+Qn(X) si y solosi, P(x0,x1,1) = λxd−n

0 + {términos de grado > d− n}. Observemos que si n = d,entonces P(x0,x1,1) = λ +{términos de grado > 0}, es decir P(0,0,1) = λ 6= 0 y eneste caso la curva proyectiva P(x0,x1,x2) = 0 no pasa por (0,0,1). Si d > n, entoncesP(x0,x1,1) = λxn−d

0 +{términos de grado > 0} lo que significa que P(x0,x1,x2) = 0pasa por (0,0,1) y el cono tangente en este punto es xd−n

0 = 0, es decir, la recta delinfinito x0 = 0 contada d−n veces.

En resumen hemos probado que k[X ]→ k[X ,Y ]/(P(X ,Y )) es finito si y solo lacurva P(X ,Y ) = 0 no tiene asíntotas verticales. En particular, hemos probado queuna condición suficiente para que este morfismo sea finito es que la curva proyec-tiva P(x0,x1,x2) = 0 no pase por el punto (0,0,1). Esta condición es la misma quela expresada en el ejercicio 4.3.6 (b): si escribimos P(X ,Y ) como suma de poli-nomios homogéneos, P(X ,Y ) = Pd(X ,Y ) + Pd−1(X ,Y ) + . . . , al homogeneizar ob-tenemos P(x0,x1,x2) = Pd(x1,x2)+Pd−1(x1,x2)x0 + . . . , de manera que P(0,0,1) =Pd(0,1).

123


4.4. Ejercicios

Ejercicio 4.4.1. Indica si cada uno de los siguientes morfismos A→ B es finito. Encaso afirmativo, escribe un sistema de generadores finito de B como A-módulo.

1. C→ C[X ](X4+2) α 7→ α

2. Z→ Z[X ](2X+1) z 7→ z

3. Z→ Z[X ](X2+1) z 7→ z

4. C[T ]→ C[X ,Y ](Y−X2)

α 7→ α , T 7→ X

5. C[T ]→ C[X ,Y ](Y−X2)

α 7→ α , T 7→ Y

6. C[T ]→ C[X ,Y ](Y−X2)

α 7→ α , T 7→ X +Y

7. C[T ]→ C[X ,Y ](Y−X2)

α 7→ α , T 7→ X3 +Y 4

8. C[T ]→ C[X ,Y ](X2−Y 3)

α 7→ α , T 7→ Y

9. C[T ]→ C[X ,Y ](X2−Y 3)

α 7→ α , T 7→ X +Y 2

10. C[T ]→ C[X ,Y,Z]<Y−X2,Z2−Y 3>)

α 7→ α , T 7→ X +Y

11. C[T ]→ C[X ,Y,Z]<Y−X2,Z2−Y 3>)

α 7→ α , T 7→ X3 +Y 2

12. C[T ]→ C[X ,Y,Z]<Y−X2,Z2−Y 3>)

α 7→ α , T 7→ X +Y +Z

13. C[X ,Y ](X2−Y 3)

→ C[T ] α 7→ α , X 7→ T 3, Y 7→ T 2

14. C[X ,Y ](X3+X2−Y 3)

→ C[T ] α 7→ α , X 7→ T 2−1, Y 7→ T 3−T

15. i : Z ↪→ Z[1/2] z 7→ z

16. i : Z ↪→ Z[√

2] z 7→ z

17. i : Z ↪→ Z[ 3√5] z 7→ z

18. i : Z ↪→ Z[π] z 7→ z

19. i : Z ↪→ Z[ 1+√

72 ] z 7→ z

20. i :Q ↪→Q[π] q 7→ q

124


21. i :Q ↪→Q[ 3√5] q 7→ q

22. i :Q ↪→Q[2i] q 7→ q

23. i : Z ↪→Q

24. i :Q ↪→ R

25. i : R ↪→ C

26. π : C[X , Y ]→ C[X ,Y ](Y−X2)

α 7→ α , X 7→ X , Y 7→ Y

27. C[Y ]→ C[X ] α 7→ α , Y 7→ X2 +1

28. C[T ]→ C[X , Y ] α 7→ α , T 7→ X

29. C[T ]→ C[X , Y ] α 7→ α , T 7→ X +Y

30. C[T ]→ C[X , Y ] α 7→ α , T 7→ Y −X2

31. C[T ]→ C[X ,Y ](XY−1) α 7→ α , T 7→ X

32. C[X , Y ]→ C[T ] α 7→ α , X 7→ T , Y 7→ 0

33. C[X , Y ]→ C[T ] α 7→ α , X 7→ T , Y 7→ T 2

34. C→ C[X ,Y ]<X+Y 2,Y 3+X2>

α 7→ α .

35. C→ C[X ,Y ]<X3+Y 2,Y 3+X2>

α 7→ α .

36. C[U,V,W ]→ C[X , Y ], α 7→ α , U 7→ X2 +Y , V 7→ X +Y 2, W 7→ X−Y .

Ejercicio 4.4.2. Sea A→C un morfismo de anillos y sean b1,b2 ∈C. Demostrar que siA es noetheriano y los morfismos A→ A[b1] y A→ A[b2] son finitos, entonces tambiénson finitos los morfismos:

A→ A[b1, b2]

A→ A[b1 +b2]

A→ A[b1 ·b2]

Demostrar, por inducción en n, que si b1, . . . ,bn ∈C y A→ A[bi] es finito para todoi = 1, . . . ,n, entonces A→ A[b1, b2, . . . ,bn] es finito.

Ejercicio 4.4.3. Indica si cada uno de los siguientes morfismos A→ B es finito. Encaso afirmativo, escribe un sistema de generadores finito de B como A-módulo.

1. i : Z ↪→ Z[√

2,√

3] z 7→ z

125


2. i :Q ↪→Q[√

2, 3√

3, 5√5] q 7→ q

3. C[T ]→ C[X ,Y,Z](X2−Y 3,Y 2−Z3)

α 7→ α , T 7→ X

4. C[T ]→ C[X ,Y,Z](X2−Y 3,Y 2−Z3)

α 7→ α , T 7→ Y

5. C[T ]→ C[X ,Y,Z](X2−Y 3,Y 2−Z3)

α 7→ α , T 7→ Z

Ejercicio 4.4.4. Para cada uno de los siguientes morfismosC[X , Y ]→C[W ], conside-ra la aplicación regular inducida ϕ∗ : W →C2 y calcula la fibra de los puntos cerrados.Determina si cada uno de los morfismos es finito y, en caso afirmativo, escribe un sis-tema de generadores finito de C[W ] como C[X , Y ]-módulo.

1. C[X , Y ]→ C[U,V ] α 7→ α , X 7→U , Y 7→UV

2. C[X , Y ]→ C[U,V ] α 7→ α , X 7→U +V , Y 7→U−V3. C[X , Y ]→ C[X1,X2,X3]

<X1X2X3−1> α 7→ α , U 7→ X1, V 7→ X2X3

4. C[X , Y ]→ C[X1,X2,X3]<X1X2X3−1> α 7→ α , X 7→ X1 +X3, Y 7→ X2 +X3

Ejercicio 4.4.5. Escribir un morfismo finito e inyectivo de un anillo de polinomios encada una de las siguientes k-álgebras:

1. k[X , Y ]/(Y 2−X3)

2. k[X , Y, Z]/(XZ2−ZX +ZY +1)3. k[X , Y, Z]/(X2−Y 3, Y 2−Z3)

4. k[X , Y ]/(Y 2−X3,Y 3−X2)

Ejercicio 4.4.6. Aplicando el Lema de Zariski, prueba que si j : A→B es un morfismode k−álgebras y A y B son k−álgebras de tipo finito entonces la imagen inversa por jde un ideal maximal de B es un ideal maximal de A.

Ejercicio 4.4.7. Determinar los puntos del conjunto algebraico V tal que C[V ] =

C[X , Y ]/(XY − a, Y − bX2), según los distintos valores de los números complejosa y b. Determinar si C[V ] es una C-álgebra finita cuando (a,b) = (0,0) y cuando(a,b) = (0,1).

Ejercicio 4.4.8. Demostrar que el morfismo k[T ]→ k[X , Y ]/(P(X ,Y )), T 7→ X esfinito si y solo si al considerar P(X ,Y ) como polinomio en Y con coeficientes en k[X ]

es unitario, es decir, el coeficiente principal es una constante.

126

Tema 5

Dimensión de Krull.

ContenidosDescripción del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.1 Dimensión de Krull de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.2 Dimensión y morfismos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.3 Dimensión de los conjuntos algebraicos . . . . . . . . . . . . . 1325.4 Teorema del ideal principal de Krull . . . . . . . . . . . . . . . 1335.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Bibliografía principal:M.F ATIYAH, D.G MACDONALD. Introduction to commutative algebra. Addison-

Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969. Capítulos 5 y11.

J.A. NAVARRO GONZÁLEZ. Algebra Conmutativa Básica. Manuales UEx, no.19. Servicio de Publicaciones, Universidad de Extremadura, 1996. Versión on-lineactualizada disponible en http://matematicas.unex.es/~navarro.

P.J. SANCHO. Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica. http://matematicas.unex.es/~sancho/LibroGeometriaAlgebraica/geometria0.pdf


Este tema está dedicado al estudio de la teoría de la dimensión en los conjuntosalgebraicos. Introducimos la definición de dimensión de Krull de un anillo y su equi-valente topólogico, la dimensión de Krull de un espacio topológico; la dimensión deKrull de un conjunto algebraico coincide con la dimensión de Krull de su álgebra defunciones regulares.

Dedicamos la primera sección al estudio de la dimensión de Krull de un anillo(Definición 5.1.1, página 128). En la segunda sección obtendremos algunas propieda-

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des de los morfismos finitos que nos van permitir demostrar que los morfismos finitosconservan la dimensión (Teorema 5.2.5, página 132). Utilizando este resultado y elLema de normalización de Noether probaremos, ya en la tercera sección, que el anillode polinomios en n variables, k[X1, . . . ,Xn] tiene dimensión n, es decir que la dimen-sión de k

n como conjunto algebraico, es decir, con la topología de Zariski, es n yconcluiremos que todo conjunto algebraico tiene dimensión de Krull finita.

En la cuarta sección estudiamos el Teorema del ideal principal de Krull (página136) sus consecuencias y posibles extensiones. Por su transversalidad en la materia,cabe destacar el Corolario 5.4.11 de la página 140 que proporciona una condiciónnecesaria y suficiente para un anillo noetheriano sea dominio de factorización única.Los objetivos/competencias que se persiguen conseguir en este tema son:

Conocer y comprender la noción de dimensión de Krull.Conocer y comprender las propiedades de los morfismos finitos respecto a ladimensión.Conocer y comprender el Teorema del ideal principal de Krull y sus consecuen-cias.

5.1. Dimensión de Krull de un anillo

Definición 5.1.1. Sea A un anillo. La dimensión de Krull (ó dimensión a secas)de A es el supremo de las longitudes (número de términos menos 1) de las cadenasestrictamente crecientes de ideales primos de A:

p0 ( p1 ( . . .( pn = p

Obsérvese que de la definición de dimensión se sigue quedimA = sup{dimAp | p ∈ Spec(A)}= sup{dimAm | m ∈ Specm(A)}dim(A/

√0) = dim(A), porque el radical de A,

√0, está contenido en todos los

ideales primos de A.

Ejercicio 5.1.2. Es un sencillo ejercicio demostrar que

dimAp+dim(A/p)≤ dim(A)

para todo p ∈ Spec(A).

Ejemplos 5.1.3.(i) Sea A un anillo. Si p es un ideal primo de A entonces dimAp = 0 si y sólo si p

es un primo minimal de A.(ii) Un cuerpo tiene dimensión de Krull 0. Los dominios de ideales principales (que

no son cuerpo) tienen dimensión de Krull 1. En particular, si k es un cuerpo, ladimensión de Krull de k[x] es 1. La dimensión de Z también es 1.

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(iii) Las álgebras finitas sobre un cuerpo tienen dimensión de Krull 0.(iv) Sabemos, por el ejercicio 2.4.2 que los ideales primos de C[X ,Y ] son:

1. El ideal cero, (0).2. Los ideales generados por un polinomio irreducible ( f (X ,Y )).3. Los maximales: (X−a,Y −b), (a,b) ∈ C2.

Luego, la dimensión de Krull de C[X ,Y ] es igual a dos.(v) Si p(X ,Y ) no es nulo ni invertible, la dimensión de C[X ,Y ]/(P(X ,Y )) es 1.

Ejercicio 5.1.4. Comprueba que dim(k[X1, . . . ,Xn]) ≥ n. Más adelante probaremosque, de hecho, se da la igualdad.

Ejercicio 5.1.5. Demostrar que si un anillo A es de dimensión finita, entonces todossus cocientes y localizaciones también son de dimensión finita.

Puede probarse (no lo haremos en este curso) que todo anillo local noetheriano esde dimensión finita. Sin embargo, existen anillos noetherianos de dimensión infinita.

Ejemplo 5.1.6. Anillo noetheriano de dimensión infinitaSea A = k[X1,X2, . . . ,Xn, . . . ] el anillo de polinomios en una cantidad numerable

de variables con coeficientes en un cuerpo. Consideremos en A la familia de idealesprimos p1 = 〈X1〉, p2 = 〈X2,X3〉, p3 = 〈X4,X5,X6〉 y así sucesivamente; es decir simk = 1+2+ · · ·+(k−1) = k(k−1)/2 entonces pk es el ideal primo generado por kelementos pk =< Xmk+1,Xmk+2, . . . ,Xmk+k >. Consideremos el sistema multiplicativoS = A\∪n∈Npn. Veamos que el anillo AS no es de dimensión finita y sí es noetheriano.

En primer lugar, vamos a probar que Specm(AS) = {pn,n ∈ N}. Un ideal primode AS es un ideal primo q de A tal que q∩ S = /0, es decir, q ⊂ ∪n∈Npn. Entoncesq ⊆ pk, para algún k ≥ 1, pues en caso contrario, como q ⊂ ∪n∈Npn ⊂ (∪n≤kpn)∪∑n>k pn tendríamos que q ⊂ ∑n>k pn, ∀k ∈ N (compruébese esta afirmación, comoejercicio) y por tanto, q= 0, lo cual es absurdo. Por tanto, Specm(AS) = {pn,n ∈ N}.Al localizar AS en pn tenemos (AS)pn = Apn , y dim(Apn) ≥ n, pues < Xmn+1 >⊂<Xmn+1,Xmn+2 >⊂ ·· · ⊂< Xmn+1,Xmn+2, . . . ,Xmn+n > es una cadena de ideales primosde Apn de longitud n. Por tanto, AS no es de dimensión finita.

Para probar que el anillo AS es noetheriano se comprueba que cada elemento deAS sólo pertenece a un número finito de ideales maximales, que la localización de AS

en cada uno de sus maximales es noetheriano y que estas dos condiciones implicanque AS es noetheriano.

Recordemos que un conjunto algebraico no vacío V es irreducible si no es uniónde dos subconjuntos algebraicos propios. La topología de Zariski definida en V por elálgebra de sus funciones regulares k[V ], que coincide con la topología de subespacioinducida en V por la topología de Zariski en kn, tiene como cerrados a los subconjun-tos algebraicos de V , de modo que un conjunto algebraico es irreducible si y solo si loes como espacio topológico.

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Según vimos en la Proposición 2.2.16, si el cuerpo k es algebraicamente cerrado,un conjunto algebraico W es irreducible si y sólo si I (W ) es primo. Es decir, laaplicación a→ V (a) define una correspondencia biyectiva:{

Ideales primosde k[V ]

}←→

{Subconjuntos

algebraicos irreducibles de V

}cuya inversa es W 7→I (W ).

A partir de ahora, cuando hablemos de conjuntos algebraicos, supondremosque están definidos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado.

Definición 5.1.7. Se llama dimensión combinatoria o de Krull de un espacio topoló-gico X , y se denota dim(X), al supremo de las longitudes de las cadenas de cerradosirreducibles de X :

V0 )V1 ) . . .)Vn

Proposición 5.1.8. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Si V ⊂ kn es un con-

junto algebraico, entoncesdim(V ) = dim(k[V ])

Demostración. Es consecuencia de la correspondencia biyectiva entre subconjuntosalgebraicos irreducibles de V e ideales primos de k[V ].

Ejemplos 5.1.9.(i) La dimensión de Krull de k[X ] es 1. Luego, la dimensión de Krull de la recta,K, es 1.

(ii) La dimensión de Krull deC[X ,Y ] es igual a dos, es decir, la dimensión del planoC2 con la topología de Zariski es dos.

(iii) Si p(X ,Y ) no es nulo ni invertible, la dimensión de C[X ,Y ]/(P(X ,Y )) es 1,luego la dimensión de Krull de la curva plana V (P(X ,Y )) es 1.

Definición 5.1.10. Se llaman componentes irreducibles de un espacio topológico alos subespacios irreducibles maximales.

Si k es un cuerpo algebraicamente cerrado, las componentes irreducibles de unconjunto algebraico V se corresponden con los ideales primos minimales de k[V ].Cada punto de V se corresponde con un ideal maximal de k[V ]. Como todo idealmaximal contiene a algún ideal primo minimal, cada punto de V pertenece a algunacomponente irreducible y concluimos que V es igual a la unión de sus componentesirreducibles.

Proposición 5.1.11. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, todo conjunto alge-braico es igual a la unión de sus componentes irreducibles.

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Observación 5.1.12. Puede probarse, aunque no lo haremos en este curso, que elnúmero de primos minimales de un anillo noetheriano es finito. Como consecuenciase obtiene que el número de componentes irreducibles de un conjunto algebraico esfinito.

Corolario 5.1.13. Si V es un conjunto algebraico sobre un cuerpo algebraicamentecerrado, entonces: dim(V ) = dim(k[V ]) = máximo{dim(k[V ]/p), p ∈ Speck[V ]} =máximo{dim(k[V ]/p), p primo minimal de k[V ]}

= máximo{dim(W ) : W es una componente irreducible de V}

Ejemplo 5.1.14. Calculemos las componentes irreducibles y la dimensión de V =

V (< (X +Y )(X −Z3), XY +Y 2 >) ⊂ C3. Puesto que I (V ) = rad(< (X +Y )(X −Z3), XY +Y 2 >), un ideal primo p de C[X , Y, Z] contiene a I (V ) si y solo si contie-ne a < (X +Y )(X −Z3), XY +Y 2 >. Calculemos los ideales primos minimales quecontienen a < (X +Y )(X−Z3), XY +Y 2 >:

< (X +Y )(X−Z3), XY +Y 2 >⊂ p⇐⇒ (X +Y )(X−Z3) ∈ p y XY +Y 2 ∈ p;

(X +Y )(X−Z3) ∈ p⇐⇒ X +Y ∈ p o X−Z3 ∈ p

XY +Y 2 = Y (X +Y ) ∈ p⇐⇒ X +Y ∈ p o Y ∈ p

Luego,

< (X +Y )(X−Z3), XY +Y 2 >⊂ p⇐⇒ X +Y ∈ p o < X−Z3, Y >⊂ p

Como < X +Y > y < X −Z3, Y > son ideales primos de C[X , Y, Z], concluimosque p1 =< X +Y > y p2 =< X−Z3, Y > son los ideales primos minimales de k[V ].

Las componentes irreducibles de V son W1 =V (X+Y ) y W2 =V (<X−Z3, Y >):

V = V (< (X +Y )(X−Z3), XY +Y 2 >) = V (X +Y )∪V (< X−Z3, Y >) =W1∪W2

Calculemos las dimensiones:

dim(W1) = dim(C[X , Y, Z](X +Y )

) = dim(C[X , Z]) = 2

dim(W2) = dim(C[X , Y, Z]

< X−Z3, Y >) = dim(

C[X , Z]< X−Z3 >

) = dim(C[Z]) = 1

dim(V ) = máximo{dim(W1), dim(W2)}= 2

5.2. Dimensión y morfismos finitos

Dado un morfismo finito h : A→B queremos determinar la relación entre dim(A) ydim(B). Como consecuencia del Teorema del ascenso tenemos el siguiente corolario.

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Corolario 5.2.1. Sea j : A→B un morfismo finito. Si p0⊂ p1⊂ ·· · ⊂ pn es una cadenade ideales primos de A y q0 es un ideal primo de B tal que q0 ∩A = p0, entoncesexiste una cadena q0 ⊂ q1 ⊂ ·· · ⊂ qn de ideales primos de B tales que qi ∩A = pi,∀i = 1, . . . ,n.

Proposición 5.2.2. Sea j : A ↪→ B un morfismo finito e inyectivo. Entonces, dimA ≤dimB.

Demostración. Consideremos una cadena de ideales primos p1 ( p2 ( . . .( pn de A.Por ser j inyectivo, la aplicación j∗ es epiyectiva (Proposición 4.2.2), luego existe unprimo q1 de B tal que q1∩A = p1 y, por el Teorema del ascenso, existen primos qk enB tales que que qk∩A = pk y forman una cadena q1 ( q2 ( . . .( qn de ideales primosde B. Por tanto dim(A)≤ dim(B).

Proposición 5.2.3. Sea f : A→ B un morfismo finito. Si q1 y q2 son dos ideales primosde B tales que q1 ( q2, entonces q1∩A( q2∩A

Demostración. Sean p1 = q1 ∩A y p2 = q2 ∩A, como q1 ( q2, ambos ideales gene-ran ideales primos q1Bp2 y q2Bp2 de la localización Bp2 tales que q1Bp2 ( q2Bp2 . Elmorfismo Ap2 → Bp2 es finito y p2Ap2 es el único ideal maximal de Ap2 . El Corola-rio 4.1.18 establece que si un morfismo f : A→ B es finito, q un ideal primo de B yp = A∩ q entonces, p es maximal si y solo si q es maximal. Por lo tanto, no puedeocurrir que q1 ∩A sea igual a q2 ∩A = p2 pues q1Bp2 no es maximal en Bp2 , ya queq1Bp2 ( q2Bp2 .

Proposición 5.2.4. Si h : A→ B es un morfismo finito, entonces dimB≤ dimA.

Demostración. Sea q0 ( q1 ( · · ·( qn una cadena de ideales primos de B de longitudn. Por la Proposición 5.2.3, tenemos que q0∩A( q1∩A( · · ·( qn∩A es una cadenade ideales primos de A de longitud n, luego dimA≥ dimB.

Teorema 5.2.5. Si j : A ↪→ B es un morfismo finito, entonces dimB = dimA.

Demostración. Es consecuencia de las Proposiciones 5.2.2 y 5.2.4

5.3. Dimensión de los conjuntos algebraicos

Nuestro objetivo ahora es demostrar que el anillo de polinomios en n indetermina-das sobre un cuerpo arbitrario k tiene dimensión n.

Teorema 5.3.1. Sea k un cuerpo cualquiera. La dimensión de Krull de k[X1, . . . ,Xn]

es n. Es decir, cuando k es algebraicamente cerrado, la dimensión de Krull de kn conla topología de Zariski es n.

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Demostración. Procedemos por inducción sobre n. Si n≤ 1, ya lo sabemos. Suponga-mos que n > 1 y que el resultado es cierto para cualquier anillo de polinomios en n−1indeterminadas con coeficientes en k. Consideremos una cadena 0( p1 ( . . .( pm deideales primos de k[X1, . . . ,Xn]. Vamos a probar que m es menor o igual que n.

Sea p ∈ p1, no nulo y sea B = k[x1, . . . ,xn] = k[X1, . . . ,Xn]/〈p〉, de modo que Btiene dimensión mayor o igual que m− 1. Por el Lema de normalización, existe unmorfismo finito e inyectivo

k[X1, . . . ,Xr] ↪→ B

con r ≤ n−1, (no se da el caso r = n porque p(x1, . . . ,xn) = 0). Por el Teorema 5.2.5,tenemos que dim(B) = dim(k[X1, . . . ,Xr]) que por hipótesis de inducción es r. Luego,

m−1≤ dim(B) = r ≤ n−1,

de donde se sigue que dim(k[X1, . . . ,Xn]) ≤ n. Finalmente, como 0 ( 〈X1〉 ( . . . (〈X1, . . . ,Xn〉, concluimos que dim(k[X1, . . . ,Xn]) = n.

Corolario 5.3.2. Toda k−álgebra de tipo finito tiene dimensión de Krull finita. Esdecir, todo conjunto algebraico es de dimensión finita.

Demostración.No hay más que tener en cuenta que una k−álgebra de tipo finito es un cociente

de un anillo de polinomios.

Observación 5.3.3. Sea A una k−álgebra de tipo finito. Por el Lema de normaliza-ción, existe un morfismo finito e inyectivo k[X1, . . . ,Xr] ↪→ A. Por el Teorema 5.2.5,dim(A) = dim(k[X1, . . . ,Xr]) luego dim(A) = r.

Ejercicio 5.3.4. Calcula la dimensión de X = V (< XZ,Y Z >) ⊂ C3. Determina suscomponentes irreducibles y calcula la dimensión de cada una de ellas.

5.4. Teorema del ideal principal de Krull

Sabemos que si E es un k-espacio vectorial de dimensión n, para cada forma linealno nula f : E → k se cumple que dim(Ker( f )) = n− 1. También ocurre que si X esuna variedad diferenciable de dimensión n y F es una función diferenciable en X ,la dimensión de la subvariedad cerrada Y = F−1(0) es n− 1. El Teorema del idealprincipal de Krull es el análogo a estos resultados para los conjuntos algebraicos. Loprobaremos en primer lugar para X = k

n.

Proposición 5.4.1. Sea f ∈ k[X1, . . . ,Xn]/〈 f 〉 un polinomio irreducible en n indeter-minadas con coeficientes en un cuerpo k, entonces dim(k[X1, . . . ,Xn]/〈 f 〉) = n− 1.Es decir, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, dim(V ( f )) = n−1.

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Demostración. Denotemos A = k[X1, . . . ,Xn]/〈 f 〉 = k[x1, . . . ,xn], donde xi es la ima-gen de Xi en A. Por ser f irreducible, A es una k-álgebra íntegra,

El grado del polinomio f en al menos una de las variables será mayor que cero.Podemos suponer, por ejemplo, que esta variable es Xn. Observemos que entoncesningún polinomio en el resto de las variables, X1, . . . ,Xn−1 es múltiplo de f , es decir,q(x1, . . . ,xn−1) 6= 0 para todo q(X1, . . . ,Xn−1) ∈ k[X1, . . . ,Xn−1].

El Lema de normalización asegura la existencia de un morfismo finito e inyectivo

j : k[Y1, . . . ,Yr] ↪→ A = k[x1, . . . ,xn],

siendo r ≤ n. Como los morfismos finitos e inyectivos conservan la dimensión (Teo-rema 5.2.5), para probar que dimA = n−1, basta probar que r = n−1.

Consideremos ahora el morfismo inducido por j entre los cuerpos de fracciones:

j : k(Y1, . . . ,Yr) ↪→ ΣA = k(x1, . . . ,xn),

Como este morfismo es una extensión finita de cuerpos, x1 es raíz de un polinomiocon coeficientes en k(Y1, . . . ,Yr):

xm1 + f1(Y1, . . . ,Yr)xm−1

1 + · · ·+ fm(Y1, . . . ,Yr) = 0,

con fi(Y1, . . . ,Yr) ∈ k(Y1, . . . ,Yr). Multiplicando por un polinomio adecuado podemoseliminar denominadores en las fi y obtenemos que x1 es raíz de un polinomio concoeficientes en k[Y1, . . . ,Yr]

p0(Y1, . . . ,Yr)xm1 + p1(Y1, . . . ,Yr)xm−1

1 + · · ·+ pm(Y1, . . . ,Yr) = 0,

con pi(Y1, . . . ,Yr) ∈ k[Y1, . . . ,Yr].Observemos que los polinomios pi no pueden ser todos constantes porque q(x1) 6=

0, ∀q ∈ k[X ]. Es decir, el grado en alguna variable Yi del polinomio p(Y1, . . . ,Yr,X) =

p0(Y1, . . . ,Yr)Xm+ p1(Y1, . . . ,Yr)Xm−1+ · · ·+ pm(Y1, . . . ,Yr) es distinto de cero. Pode-mos suponer que esta variable es Y1. Como p(Y1, . . . ,Yr,x1) = 0, tenemos que Y1 esalgebraico sobre k(x1,Y2, . . . ,Yr), es decir, que la extensión

k(x1,Y2, . . . ,Yr) ↪→ k(x1,Y2, . . . ,Yr,Y1)

es finita y, componiendo con k(x1,Y2, . . . ,Yr,Y1) ↪→ ΣA, también finita, obtenemos que

k(x1,Y2, . . . ,Yr) ↪→ ΣA

es finita.Procediendo del mismo modo con x2,x3, . . . ,, obtenemos que, si r < n−1, enton-

ces la extensiónk(x1,x2, . . . ,xr) ↪→ ΣA = k(x1,x2, . . . ,xn)

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es finita y al ser xr+1 raíz de un polinomio con coeficientes en k(x1,x2, . . . ,xr), conclui-ríamos que, siendo r+ 1 < n, existe un polinomio q(X1, . . . ,Xr+1) ∈ k[X1, . . . ,Xr+1],

tal que q(x1, . . . ,xr+1) = 0, en contra de la hipótesis de que el grado de f en Xn esmayor que cero.

Corolario 5.4.2. Si f ∈ k[X1, . . . ,Xn] no es nulo ni constante, entonces

dim(k[X1, . . . ,Xn]/〈 f 〉) = n−1.

Es decir, si k es algebraicamente cerrado,

dimV ( f ) = n−1

Además, para todo factor irreducible pi de f se cumple que

dim(k[X1, . . . ,Xn]/〈pi〉) = n−1.

Es decir, todas las componentes irreducibles de V ( f ) tienen dimensión n−1.

En una variedad algebraica puede ocurrir que la dimensión no sea la misma entodas sus componentes irreducibles (véase el Ejercicio 5.3.4.)

El Teorema del ideal principal de Krull establece que si una k−álgebra de tipofinito A es íntegra y f ∈ A no nulo ni invertible. Entonces

dim(A/〈 f 〉) = dim(A)−1.

Además, para todo primo minimal p de 〈 f 〉 se cumple que

dim(A/p) = dim(A)−1.

Es decir, todas las componentes irreducibles de V ( f ) tienen dimensión n−1. Antes deprobar este Teorema, caracterizaremos la dimensión de una k−álgebra de tipo finito eíntegra en términos de su cuerpo de fracciones.

En Espacios vectoriales, la dimensión de una subvariedad lineal es la cantidadnecesaria y suficiente de coordenadas para identificar un punto. Vamos a ver que lanoción algebraica de dimensión también se basa en el número de coordenadas in-dependientes que encontramos en una variedad. Por ejemplo, en la circunferenciaX2 +Y 2 = 1 podemos encontrar puntos con cualquier valor de X pero, una vez fi-jada X , sólo hay un número finito de valores posibles para Y (a lo sumo dos). Esto sedebe a que las funciones coordenadas sobre la circunferencia (es decir, como elemen-tos de k[V ] son algebraicamente dependientes, pues verifican la relación X2 +Y 2 = 1.La dimensión de una variedad es el número de coordenadas algebraicamente indepen-dientes que podamos encontrar en ella. Para decir esto de modo riguroso establecemosel siguiente Lema.

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Lema 5.4.3. Sean k un cuerpo y A una k−álgebra íntegra de tipo finito. La dimensiónde Krull de A es igual al máximo número de elementos algebraicamente independien-tes de su cuerpo de fracciones.

Demostración. Sea d = dimA y sea k[Y1,Y2, . . . ,Yd ] ↪→ A un morfismo finito e inyec-tivo (Lema de Noether). Consideremos el morfismo finito inducido entre los cuerposde fracciones:

k(Y1,Y2, . . . ,Yd) ↪→ ΣA

Las imágenes por este morfismo de Y1,Y2, . . . ,Yd son elementos de ΣA algebraica-mente independientes.

Sean x1,x2, . . . ,xn elementos de ΣA algebraicamente independientes. Si n > d, ar-gumentando como en la demostración de la Proposición 5.4.1, obtenemos que ΣA esuna extensión finita de k(x1,x2, . . . ,xd), en contra de la hipótesis de que x1,x2, . . . ,xn

son algebraicamente independientes. Por lo tanto, n≤ d.

Observación 5.4.4. Sea V una variedad algebraica de dimensión d, y sea k[V ] elálgebra de sus funciones regulares. El Lema de Noether garantiza la existencia de unmorfismo finito e inyectivo:

h : k[Y1,Y2, . . . ,Yd ] ↪→ k[V ]

Por las propiedades de los morfismos finitos e inyectivos, sabemos que la aplicaciónregular definida por h

ϕ : V → kd

tiene fibras finitas. Además, si el cuerpo k es algebraicamente cerrado, entonces ϕ esepiyectiva. Es decir, cualquier punto (a1,a2, . . . ,ad) ∈ kd determina un número finitode puntos de V , los de su fibra por h. Dicho de otra forma, cada colección arbitrariade d escalares determina un número finito de puntos de V .

Corolario 5.4.5. Sean k un cuerpo y A una k−álgebra íntegra de tipo finito. Si g esun elemento no nilpotente de A, entonces la localización Ag es unaK−álgebra íntegrade tipo finito y dimA = dimAg

Demostración. Basta tener en cuenta que A y Ag tienen el mismo cuerpo de fracciones.

Teorema del ideal principal de Krull. Sean k un cuerpo, A una k−álgebra de tipofinito íntegra y f ∈ A no nulo ni invertible. Entonces

dim(A/〈 f 〉) = dim(A)−1.

Además, para todo primo minimal p de A/〈 f 〉 se cumple que

dim(A/p) = dim(A)−1.

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Es decir, si k es algebraicamente cerrado, todas las componentes irreducibles de V ( f )tienen la misma dimensión.

Demostración. Probaremos en primer lugar que dim(A/〈 f 〉) = dim(A)−1. Conside-remos un morfismo finito e inyectivo i : k[X1, . . . ,Xr] ↪→ A, cuya existencia asegura elLema de normalización de Noether. Sabemos que dim(A) = dim(k[X1, . . . ,Xr]) = r.Sea B la subálgebra de A generada por k[X1, . . . ,Xr] y f , es decir, B = k[X1, . . . ,Xr, f ].Veamos que basta probar el resultado para B.

El morfismo i : B = k[X1, . . . ,Xr, f ] ↪→ A es también finito e inyectivo, por lo tantodim(B) = dim(A) = r. El morfismo inducido B/〈 f 〉 → A/〈 f 〉 es también finito. Aun-que este morfismo puede no ser inyectivo, también conserva la dimensión, debido ala correspondencia biyectiva entre los ideales primos de B/〈 f 〉 (respectivamente, deA/〈 f 〉), y los ideales primos de B (respectivamente, de A), que contienen a f . Es decir:dim(A/〈 f 〉) = dim(B/〈 f 〉).

Por tanto, basta probar que

dim(k[X1, . . . ,Xr, f ]/〈 f 〉) = r−1,

siendo f raíz de un polinomio unitario con coeficientes en k[X1, . . . ,Xr]. Para ello,recurriremos al anillo de polinomios.

Consideremos el morfismo epiyectivo

π : k[X1, . . . ,Xr+1]−→ B = k[X1, . . . ,Xr, f ]; Xr+1→ f .

El Ker(π) es un ideal primo p de k[X1, . . . ,Xr+1] (recordemos que B es íntegro) y no esnulo, pues f es entero sobre k[X1, . . . ,Xr]. Como dim(k[X1, . . . ,Xr+1]/p) = dim(B) =r, en k[X1, . . . ,Xr+1] podemos tomar una cadena de ideales primos de longitud r

p0 = p( p1 ( · · ·( pr.

Si p(X1, . . . ,Xr+1) es un polinomio irreducible de p=Ker(π), es decir, tal que p(X1, . . . ,Xr, f )=0, entonces 〈p(X1, . . . ,Xr+1)〉 = p, pues si 〈p(X1, . . . ,Xr+1)〉 ( p, tendríamos una ca-dena de ideales primos de k[X1, . . . ,Xr+1] de longitud r+2

0( 〈p(X1, . . . ,Xr+1)〉( p0 = p( p1 ( · · ·( pr.

Luego, 〈p(X1, . . . ,Xr+1)〉= p= Ker(π) y

B = k[X1, . . . ,Xr, f ]' k[X1, . . . ,Xr+1]

〈p(X1, . . . ,Xr+1)〉.

Este isomorfismo identifica f con Xr+1, por lo tanto

B〈 f 〉' k[X1, . . . ,Xr+1]

〈Xr+1, p(X1, . . . ,Xr+1)〉' k[X1, . . . ,Xr]

〈p(X1, . . . ,Xr,0)〉

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Como el polinomio p(X1, . . . ,Xr,0) no es nulo ni constante (justifíquese), por elCorolario 5.4.2 dim(k[X1, . . . ,Xr]/〈p(X1, . . . ,Xr,0)〉= r−1. En resumen:

dim(k[X1, . . . ,Xr, f ]/〈 f 〉) = dim(k[X1, . . . ,Xr+1]/〈p(X1, . . . ,Xr,Xr+1),Xr+1〉= dim(k[X1, . . . ,Xr]/〈p(X1, . . . ,Xr,0)〉= r−1,

de donde sigue el resultado buscado.Veamos ahora que para cualquier primo minimal p de A/〈 f 〉 se cumple que

dim(A/p) = dim(A)−1

Por ser A/ < f > un anillo noetheriano, el número de ideales primos minimales deA/ < f > es finito (este resultado, que no probaremos este curso, puede consultarseen el libro de J.A. Navarro, Álgebra Conmutativa Básica, Corolario 5.3, página 182)).Sean p1, . . . ,pm los ideales primos minimales de A/〈 f 〉 (que se corresponden con losideales primos de A que son minimales entre los que contienen a f ) Probemos quedim(A/p1) = dim(A)−1.

Si p1 fuera el único primo minimal de A/〈 f 〉, el resultado sería trivialmente cierto.Veamos que localizando por una función adecuada podemos reducirnos a este caso,pues al localizar podemos eliminar los restantes primos minimales. Como p2 ∩ ·· · ∩pr * p1, podemos tomar g ∈ p2∩·· ·∩pr tal que g /∈ p1. Al localizar por g obtenemosuna k-álgebra Ag íntegra, en la que f no es nulo ni invertible y en la que p1Ag es elúnico primo que es minimal entre los que contienen a f , por lo tanto:

dim(

Ag

p1Ag

)= dim

(Ag

〈 f 〉

).

Por la primera parte de esta proposición, tenemos que

dim(

Ag

p1Ag

)= dim

(Ag

〈 f 〉

)= dim(Ag)−1

Como Ag tiene el mismo cuerpo de fracciones que A, por el Corolario 5.4.5, dim(Ag)=

dim(A) Análogamente, dim(Ag/p1Ag) = dim((A/p0)g) = dim(A/p1), y con esto que-da probado que

dim(

Ap1

)= dim(A)−1

Ejemplo 5.4.6. Si una k-álgebra A no es íntegra, pueden existir funciones f ∈ Atales que dim(A/ < f >) < dim(A)− 1. Por ejemplo, si A = C[X ,Y,Z]/(XZ,Y Z),dim(A) = 2 y si tomamos la función f = Z−1, dim(A/ < f >) = 0.

Corolario 5.4.7. Sean k un cuerpo, A una k−álgebra íntegra de tipo finito y f ∈ Ano nulo ni invertible. Si p es un ideal primo minimal de A/〈 f 〉, entonces dim(Ap) = 1.

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Demostración. Sabemos (Ejercicio 5.1.2) que para todo p ∈ Spec(A) se cumple que

dim(Ap)+dim(A/p)≤ dim(A)

Si p es minimal en A/〈 f 〉 entonces dim(A/p)= dim(A)−1 (5.4) y por tanto, dim(Ap)=

1.

A partir de este resultado vamos a caracterizar los anillos noetherianos que sonDominios de Factorización Única. En primer lugar, probaremos que todo anillo noet-heriano es un anillo de factorización, no necesariamente única.

Lema 5.4.8. En un anillo noetheriano íntegro A, todo elemento de A descompone enproducto de un número finito de elementos irreducibles; es decir, todo anillo noethe-riano es un dominio de factorización.

Demostración. Sea f ∈A. Si f es irreducible, entonces hemos terminado. En otro caso,existen f1 y f2 no nulos ni invertibles, tales que f = f1 f2,. Entonces, 〈 f 〉 ( 〈 fi〉, i =1,2. Si f1 y f2 son irreducibles, hemos terminado. En otro caso, podemos suponer quef1 es no es irreducible y por lo tanto que f1 = f11 f12, con f1i no nulos ni invertibles;en particular, 〈 f1〉 ( 〈 f1i〉, i = 1,2. Como el anillo A es noetheriano, este proceso nopuede continuar de forma indefinida y concluimos que f descompone en producto deun número finito de elementos irreducibles.

Corolario 5.4.9. Sean k un cuerpo y A una k−álgebra de tipo finito íntegra. A esdominio de factorización única si y solo si todo ideal primo p tal que dimAp = 1 esprincipal.

Demostración. La necesidad de la condición es clara. Veamos que es suficiente: Porel Lema 5.4.8, todo elemento de A descompone en producto de un número finito deelementos irreducibles; es decir, A es un dominio de factorización. Para probar launicidad de la factorización, basta ver que 〈p〉 es primo cuando p es irreducible (esdecir, que verifica el Lema de Euclides).

Si p es un primo minimal de A/〈p〉, entonces, por el Corolario 5.4.7, dim(Ap) = 1;luego, por hipótesis, p = 〈q〉 y p = qa. Como p e irreducible, a es invertible y 〈p〉 =〈q〉= p es primo.

Ejemplo 5.4.10. Si A es el anillo de funciones regulares sobre una curva, A es dominiode factorización única si y solo si, todo ideal maximal de A es principal. Así porejemplo, R[X ,Y ]/ < XY −1 > es un dominio de factorización única, pues es isomorfoa una localización de R[X ], en concreto: R[X ,Y ]/ < XY −1 >' R[X ]X . Por lo tanto,todo ideal maximal es principal.

Por otra parte podemos comprobar que en R[X ,Y ]/ < X2 +Y 2− 1 > los idealesmaximales < X − a,Y − b > no son principales: si < X − a,Y − b >=< f > + <

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X2 +Y 2−1 >, entonces ( f )0∩ (X2 +Y 2−1)0 = {(a,b)}, y f (X ,Y ) = 0 no debe sertangente a X2 +Y 2− 1 en el punto (a,b). En el plano real no puede ocurrir que unacurva polinómica corte transversalmente a la circunferencia en un único punto. Comoconsecuencia, obtenemos que R[X ,Y ]/ < X2 +Y 2−1 > no es dominio de factoriza-ción única.

Otra consecuencia del Corolario 5.4.7, y por tanto del Teorema del ideal princi-pal de Krull, es que toda hipersuperficie de kn está definida por la anulación de unaecuación polinómica.

Corolario 5.4.11. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Un cerrado irreducibleF de k

n tiene dimensión n− 1 si y sólo si existe un polinomio irreducible de f ∈k[X1, . . . ,Xn] tal que F = V ( f ).

Demostración. Si f es un polinomio irreducible, entonces 〈 f 〉 es un ideal primo y elcerrado V ( f ) es irreducible. Además, por la Proposición 5.4.1, previa al Teorema delideal principal dimV ( f ) = dim(k[X1, . . . ,Xn]/〈 f 〉) = n−1.

Recíprocamente, si F es un cerrado irreducible de Spec(k[X1, . . . ,Xn]), entoncesF =V (p) para un ideal primo p de k[X1, . . . ,Xn]. Por ser F de dimensión n−1, p es unideal primo de altura 1, es decir dimk[X1, . . . ,Xn]p = 1. Como k[X1, . . . ,Xn] es un do-minio de factorización única, por Corolario 5.4.9, p es principal, luego necesariamenteestá generado por un polinomio irreducible f y F = V ( f ).

La extensión del Teorema del ideal principal a ideales con más de un generador esel siguiente resultado, que no demostraremos este curso.

Proposición 5.4.12. Sean A una k−álgebra íntegra de tipo finito y f1, . . . , fm ∈ A.Entonces

dim(

A< f1, . . . , fr >

)≥ dim(A)−m

En particular, si m= 〈 f1, . . . , fr〉 es un ideal maximal de A, entonces r ≥ dim(A).

El siguiente ejemplo muestra que la desigualdad dim(A/〈 f1, . . . , fm〉)≥ dim(A)−m puede ser estricta. En concreto, mostramos un ideal de altura dos en un anillo depolinomios no puede ser generado por dos elementos.

Ejemplo 5.4.13. Sea V ⊆ k3 la curva definida paramétricamente por X = t3,Y =

t4,Z = t5. El ideal de la curva en C[X ,Y,Z] es p= 〈Y 2−XZ,X2Y −Z2,X3−Y Z〉 quees un ideal primo que no se puede generar con menos de 3 elementos. Es decir, lacurva V no puede ser descrita con menos de 3 ecuaciones.

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5.5. Ejercicios

Ejercicio 5.5.1. Indica razonadamente si cada una de las siguientes afirmaciones escorrecta:

1. Todo anillo de íntegro de dimensión cero es un cuerpo.2. No existen morfismos finitos C[T ]→ C[X , Y ].3. No existen morfismos finitos C[X , Y ]→ C[T ].4. Todos los cerrados irreducibles de Cn tienen la misma dimensión.5. Si f (X1, . . . ,Xn) y g(X1, . . . ,Xn) no tienen factores irreducibles comunes, enton-

ces todas las componentes de V ( f ,g) tienen la misma dimensión de Krull.

Ejercicio 5.5.2. Sea I el ideal de k[X1, . . .Xn] generado por los polinomios de grado1:

f1 =n

∑i=1

a1iXi−b1, f2 =n

∑i=1

a2iXi−b2, . . . fm =n

∑i=1

amiXi−bm

Probar que la dimensión de Krull de k[X1, . . .Xn]/ < f1, . . . , fm > es igual a la dimen-sión del espacio de soluciones del sistema de ecuaciones lineales fi = 0, i = 1, . . . ,m.

Ejercicio 5.5.3. Determina la dimensión de cada uno de los siguientes anillos y encada caso escribe una cadena de ideales primos de longitud igual a la dimensión.

1. Z2. C[X ,Y,Z]3. C[X ]

<X2>

4. C[X ,Y ]<XY>

5. C[X ,Y ]<XY−1, X2+Y 2−1>

6. C[X ,Y ]<XY, Y (X+Y−1)>

7. C[X ,Y,Z]<X2+Y 2+Z2−1>

8. C[X ,Y,Z]<XY Z, X2+Y 2+Z2−1>

Ejercicio 5.5.4. Sea I el ideal I = (X2−XY +X , XY −Y 2 +Y ) de C[X , Y ]. Calculala dimensión y los ideales primos minimales de C[X , Y ]/I.

Ejercicio 5.5.5. Sea V el conjunto algebraico V = V (X2 +Y 2 +Z2− 1, X2 +Y 2−Z)⊂C3. Comprueba que V tiene dos componentes irreducibles disjuntas. Escribe unacadena maximal de cerrados irreducibles para cada una de las componentes. Com-prueba que el ideal de los ceros de V es < X2 +Y 2 +Z2−1, X2 +Y 2−Z >.

Ejercicio 5.5.6. Sea I =< XY, Y Z +XZ >⊂ C[X ,Y,Z]. Determina los ideales pri-mos minimales de C[X ,Y,Z]/I y comprueba que rad(I) =< XY, XZ, Y Z > y queI rad(I).

Sea V = V (I) y sea A = C[V ] = C[X ,Y,Z]/rad(I). Escribe una función f ∈ A talque

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1. dimVVV ( f ) = 12. dimVVV ( f ) = 0

Ejercicio 5.5.7. Aplicando el Teorema del ideal principal de Krull, prueba que sif (X ,Y ), g(X ,Y ) ∈ C[X ,Y ] no tienen factores irreducibles comunes, entonces V <

f ,g > tiene dimensión igual a cero.

Ejercicio 5.5.8. Sea V = V (XW −Y Z) ⊂ C4, y sea A = C[V ] = C[X ,Y,Z,W ]/ <

XW −Y Z >. Consideremos las subvariedades de V :

W1 = {(x,0,z,0) ∈ C4} ⊂V, W2 = {(0,y,0,w) ∈ C4} ⊂V

Calcula, dimW1, dimW2 y dim(W1∩W2). Probar que no existe ninguna función f ∈ Atal que W1 = VV ( f ) = V ( f )∩V .

Calcula VV (X) = V (X)∩V , VV (Y ) = V (Y )∩V y V (X)∩V (Y )∩V .

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Departamento de Matemáticasmatematicas.unex.es/~navarro/algebra2/apuntes2015.pdf · en una indeterminada con coeﬁcientes racionales y complejos: la condición necesaria para que