Gebze Teknik Üniversitesi

Fizik Bölümü

Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri

Doğan Erbahar 2015, Gebze

Bu kitapçık son birkaç yıldır Gebze Teknik Üniversitesi Fizik Bölümü’nde lisans

laboratuarları öğrencilerine dönem başında giriş mahiyetinde yaptığım 2 saatlik dersin

notlarının genişletilip derlenmesi ile oluşmuştur.

Anlatımda bilimsel kesinlik ve teorik kurulumdan ziyade sunum kolaylığı, bağlamsallık,

fikirsel bütünlük ve akış ön planda tutulmuştur. Bu bağlamda konuları soyut ve teorik olarak

işlemekten ziyade seçilen örnekler üzerinden anlatmak tercih edilmiştir. Örnekler özelinde

kaybolması ve atlanması muhtemel detaylar dipnotlar ile vurgulanarak kitapçığa dâhil

edilmeye çalışılmıştır.

Bu ilk sürüm olduğu için başta içerik olmak üzere imlâ, dilbilgisi ve anlatım bakımından

birçok eksiği olduğu muhakkaktır ve zaman içerisinde bütün bu yönlerde iyileştirilmesi

planlanmaktadır. Bu bağlamda her seviyeden okuyucunun görüşlerine önem veriyor ve bu

görüşlerini benimle paylaşmalarını arzu ediyorum.

Böyle bir çalışmanın üniversitemize özgün olarak yapılması gereksinimini vurgulayan ve beni

bu anlamda teşvik eden bölümümüz laboratuar sorumlularından Ali Kaya’ya ve yazım

aşamasında görüş alışverişinde bulunduğum meslektaşlarım Yasin Şale, Mehmet Aras,

Mustafa Öztürk ve Dilek Erbahar’a teşekkür ederim.

Doğan Erbahar

03.10.2015

erbahar@gtu.edu.tr

İÇİNDEKİLER

Fizikte deneyin önemi………………………………………………..1

Ölçüm………………………………………………………………...1

Fiziksel Nicelikler……………………………………………………1

Standart Birimler……………………………………………………..2

Boyut Analizi………………………………………………………...3

Belirsizlik………………………………………………………...…..4

Belirsizliklerin aktarılması…………………………………………...4

Anlamlı rakamlar ve yuvarlama……………………………………...5

Hatalar………………………………………………………………..8

Aritmetik ortalama ve standart sapma………………………………..9

Grafik çizimi………………………………………………………...12

Eğri uydurma (fit bulma)…..………………………………………...15

Kaynaklar……………………………………………………………19

Ek: En küçük kareler yöntemi.............................................................20

1

Fizikte deneyin önemi

Fizik, tabiat kanunlarını en temel seviyeden inceleyen bilim dalıdır. Bu incelemelerden sonuç

çıkarmada ise yegane karar verici mercii kontrollü deney ve gözlemlerdir. Öyle ki bir tabiat

olayını veya gözlemi açıklamada deney veya gözlemlerle en ufak bir anlaşmazlığı olan bir

teorinin geçerliliği kalmaz ve yeni bir teori arayışına girilir. Dolayısı ile fizik bilimine yön

vermede kontrollü deneyler ve gözlemler en ön sırada yer alır.

Ölçüm

Deneyler ve gözlemler ölçüm adı verilen işlemler vasıtası ile gerçekleştirilir. Ölçülen şeylere

fiziksel nicelikler ismi verilir. Ölçmek en basit ifadesi ile bir fiziksel niceliği kendi türünden

ve standart kabul edilen bir birim ile karşılaştırmak ve o birimden kaç tane barındırdığını

sayısal olarak belirlemek demektir. Her ölçüm ölçüm aletinin hassasiyetine bağlı olarak belli

bir miktar belirsizlik içerir ve ölçüm sonucunu rapor ederken bu belirsizliklerin de

gösterilmesi ve işlenmesi gerekir.

Ölçümleri genelde doğrudan ve dolaylı olarak ikiye ayırmak mümkündür. Doğrudan ölçme,

ölçülen niceliği kendi türünden başka bir nicelik ile karşılaştırılarak gerçekleştirilir. Bir

kürenin hacmini dereceli bir silindirde bulunan bir sıvıya batırıp yükselttiği su miktarının

hacmini ölçmek suretiyle belirlemek kürenin hacmini doğrudan ölçmeye bir örnektir.

Doğrudan ölçmeye bir diğer örnek ise belli bir uzunluğu cetvel ile ölçmek olarak verilebilir.

Şekil 1 Bir kürenin hacmini (a) doğrudan ve (b) dolaylı ölçme

Dolaylı ölçme ise genelde ölçülmek istenen nicelikten başka “türde” bir niceliğin ölçümüne

dayanır ve buradan sonuca hesap yolu ile ulaşılır. Bir önceki paragraftaki kürenin hacmi

örneği göz önüne alınacak olursa bir kumpas yardımı ile çapı ölçmek, bunu ikiye bölüp

yarıçapı bulmak ve buradan kürenin hacim formülü olan (4/3)r3 ü kullanarak hacime

ulaşmak dolaylı ölçmenin tipik bir örneğidir.

Şimdi ilk paragrafta italik yazı tipleri ile takdim ettiğimiz kavramları biraz detaylandıralım:

Fiziksel Nicelikler

Fiziksel nicelikler temel ve türetilmiş nicelikler olarak ikiye ayrılır. Uluslararası bilimsel

standartlarda kabul edilmiş temel nicelikler: kütle, mesafe, zaman, sıcaklık, madde miktarı,

elektrik akımı ve ışık şiddetidir. Tabiatta bunlar haricindeki diğer bütün nicelikler bunlardan

türetilebilir. (örnek: hız = uzunluk/zaman, alan = uzunluk2, yoğunluk = kütle/uzunluk3,

kuvvet = kütle x uzunluk/zaman2, vs...)

2

Standart birimler (SI: Système International)

Temel fiziksel niceliklerin uluslararası standartlarca belirlenmiş birimleri ve boyut sembolleri

Tablo 1’de verilmiştir.

Tablo 1 Temel fiziksel nicelikler, birimleri, birim kısaltmaları ve boyut sembolleri

Fiziksel Nicelik SI birimi Kısaltması Boyut sembolü

Kütle kilogram kg M

Zaman saniye s T

Uzunluk metre m L

Sıcaklık Kelvin K

Elektrik akımı Amper A I

Madde miktarı mol mol N

Işık şiddeti kandela cd J

Türetilmiş fiziksel nicelikler de bir önceki bölümün sonunda örnek verilen mantık

çerçevesindeki türetilme şekli ile birimlendirilirler. (örnek: hızın birimi m/s, yoğunluğun

birimi kg/m3, alanın birimi m2, vs...) Bunun haricinde uzun türetimler sonucu elde edilen

nicelikleri kolaylık açısından farklı biçimde isimlendirmek de oldukça yaygındır. Bu tip özel

adlandırılmış niceliklerin en sık kullanılanları Tablo 2’de SI temel birimleri cinsinden

ifadeleri ile birlikte verilmiştir.

Tablo 2 Birimleri özel isimlendirilen türetilmiş fiziksel nicelikler.

Fiziksel Nicelik Birim Kısaltması Diğer birimler

cinsinden

SI birimleri

cinsinden

Açı radyan rad m.m-1

Katı açı steradyan sr m2.m-2

Frekans Hertz Hz s-1

Kuvvet, ağırlık Newton N kg.m.s-2

Basınç, stres Pascal Pa N/m2 kg.m-1.s-2

Enerji, iş, ısı Joule J N.m kg.m2.s-2

Güç, ışıma akısı Watt W J/s kg.m2.s-3

Yük Coulomb C A.s

Potansiyel farkı Volt V W/A kg.m2.s-3.A-1

Kapasitans Farad F C/V kg-1.m-2.s4.A2

Direnç Ohm V/A kg.m2.s-3.A-2

İletkenlik Siemens S A/V kg-1.m-2.s3.A-2

Manyetik akı Weber Wb V.s kg.m2.s-2.A-1

Manyetik alan Tesla T Wb/m2 kg.s-2.A-1

İndüktans Henry H Wb/A kg.m2.s-2.A-2

Radyoaktivite Becquerel Bq s-1

Işık akısı lümen lm cd.sr Cd

Aydınlanma lüx lx lm/m2 m-2.cd

3

Boyut analizi

Boyut analizi temel bilimlerde ve mühendislikte sıklıkla kullanılan çok güçlü bir analiz

yöntemdir. En basit tanımı ile yazılan bir eşitliğin sağ ve sol tarafının boyutlarının birbiri ile

aynı olması gerekliliğini ifade eder. Eğer iki fiziksel nicelik birbirleri ile mukayese edilebilir

büyüklükleri ifade ediyorlarsa bunlar aynı boyuta sahiptir denir. Örnek olarak 2 cm ile 3 inç

farklı birimlerle ifade edilmiş olsalar bile uzunluk [L] boyutuna sahip niceliklerdir. Öte

yandan 3 kg ile 4 s birbirleri ile mukayese edilemez çünkü biri kütle [M] diğeri ise zaman [T]

boyutundadır. (bkz. Tablo 1)

Boyut analizi, verilen veya türetilen bir denklemin tutarlılığını kontrol etmek gibi basit bir

sağlama işlemi olarak kullanılabileceği gibi fiziksel bir niceliğin hangi diğer fiziksel

niceliklere bağlı olduğunu araştırmak gibi sofistike amaçlar için de kullanılabilir. Bunu bir

örnek ile inceleyecek olursak serbest bırakılan bir cismin ne kadar sürede yere düşeceğinin

hangi niceliklere ve nasıl bağlı olduğunu bulmaya çalışalım:

Denklemimizin sol tarafına cismin düşme süresini sağ tarafına da bunun nelere bağlı

olabileceğini yazalım. Bu olası nicelikler genelde kaba gözlemlerle belirlenebilir. Olası

nicelikler olarak cismin kütlesi (m), cismin bırakıldığı yükseklik (h) ve yerçekimi ivmesini (g)

seçersek aşağıdaki gibi bir denklem varsayabiliriz.

𝑡 = 𝐶. 𝑚𝛼. ℎ𝛽 . 𝑔𝛾

Burada C denklemde yer alması muhtemel boyutsuz bir matematiksel sabittir. Bunun değeri

ancak bir deney ile tespit edilebilir ancak diğer bilinmeyenler olan , ve boyut analizi ile

araştırılabilir. Denklemin sol ve sağ taraflarının boyutlarını yerine yazacak olursak aşağıdaki

eşitliği elde ederiz.

[𝑇] = [𝑀]𝛼 . [𝐿]𝛽 .[𝐿]𝛾

[𝑇]2𝛾

Sol ve sağ tarafın boyutlarının birbirine eşit olması gerekliliği bize üsler hakkında bağıntılar

verir. Herşeyden önce eşitlikte ne solda ne de sağda kütle boyutunda başka bir büyüklük

olmadığından 𝛼 = 0 olması gerektiği hemen görülebilir. Öte yandan eşitliğin sol tarafında

uzunluk boyutu olmadığından sağ taraftakilerin de birbirini yok etmesi gerekir. Buradan da

𝛽 + 𝛾 = 0 gerekliliği ortaya çıkar. Son olarak solda zaman boyutunun üssü 1 olduğundan

sağda da 1 olması gerekliliği −2𝛾 = 1 denklemini verir ki buradan 𝛾 = −1/2 ve dolayısı ile

bir önceki denklemden 𝛽 = 1/2 bulunur. Sonuçta cismin düşme zamanı için aşağıdaki

denklemi elde ederiz.

𝑡 = 𝐶. √ℎ

𝑔

Serbest düşen bir cismin düştüğü yükseklik ile düşme zamanı arasındaki ℎ = (1

2) . 𝑔. 𝑡2

bağıntısını liseden hatırlayacak olursak buradaki C sabitinin √2 olması gerektiğini bilmek için

deney yapmamıza da gerek kalmaz. Görüldüğü üzere boyut analizi sayesinde fiziksel bir

bağıntının ana hatlarını hiçbir fiziksel arka plan bilgisine gerek duymadan sadece kaba

4

varsayımlarla dahi çıkarmak mümkündür. Elbette ki boyut analizinin başarısı başta seçilecek

olası değişkenlere bağlıdır.

Örnek problem: Bir gitar telinin titreşim frekansını (f) veren formülü telin üzerindeki gerilme

kuvveti (F), telin boyu (L) ve telin boyca yoğunluğu ( 𝜌𝑏𝑜𝑦) üzerinden boyut analizi yaparak

bulunuz. (Boyca yoğunluk uzunluk başına düşen kütle anlamına gelmektedir.)

Belirsizlik

Herhangi bir ölçüm aleti ne kadar hassas olursa olsun ölçtüğü büyüklüğü sonsuz sayıda rakam

(dolayısı ile sonsuz bir kesinlik) ile rapor etmesi mümkün olamayacağından bütün ölçümler

belli bir kesinlik “aralığı” içerisinde anlaşılıp değerlendirilmek zorundadırlar. Bu aralığa o

ölçümün belirsizliği ismi verilir ve ölçülen değerin yanına “±” işareti koyularak ifade edilir.

Örnek olarak boyu 123,4 ± 0.3 mm olarak rapor edilmiş bir çubuğun boyunun 123,1 mm ve

123,7 mm arasında bir değere sahip olduğu anlaşılır. Elbette ki daha hassas bir alet kullanarak

belirsizliği daha da küçültmek mümkündür ancak belirsizlik hiçbir zaman sıfır olamaz.

Dolayısı ile belirsizlik bilgisini barındırmayan bir ölçüm bilimsel olarak değerlendirilemez.

Bazı karmaşık cihazların okudukları değerlerdeki belirsizlikler açıkça cihazın üzerinde

yazarken çoğu cihaz bu bilgiyi rapor ettikleri rakam sayısı ile belli ederler. Eğer bir cihazda

belirsizlik açıkça verilmiyorsa cihazdan okunan sayının en sağ hanesinin basamağının yarısı

kadar bir belirsizlik olduğunu kabul etmek yerinde olur. Örnek olarak elektronik bir tartıda

32,82 gr olarak ölçülen bir ağırlık 32,82 ± 0,005 gr olarak anlaşılmalıdır. (Son hanenin

basamağı yüzde birler olduğu için belirsizlik bunun yarısı yani 1/200 = 5/1000 = 0,005 olarak

yazılmıştır). Bir örnek daha vermek gerekirse milimetrik çizgileri olan bir cetvelle ölçülen

uzunluk en yakın milimetreye yuvarlanır ve belirsizlik 0,5 mm olarak yazılır.

Belirsizliklerin aktarılması:

Fizikte çoğu zaman ölçülen büyüklüklerin birbirleri ile işleme sokulması gerekmektedir.

Örnek olarak bir levhanın alanını dolaylı bir ölçümle ölçmek istersek enini ve boyunu ayrı

ayrı ölçüp çarpmak gerekecektir. Yine başka bir örnek olarak uzun bir mesafeyi ölçmek

gerektiğinde (ve metremizin boyu tek bir ölçüm için yeterli değilse) birkaç ölçüm yapıp

toplamak gerekecektir. Bu durumda her birinin ayrı belirsizliği olan değerler işleme

sokulduğunda bu belirsizliklerin sonuca nasıl yansıyacağını bilmek gerekir. Dört işlem için

aşağıdaki kurallar geçerlidir.

Toplamada ve çıkarmada belirsizlikler toplanır.

Örnek:

(23,48 ± 0,18) + (12,11 ± 0,33) = 35,59 ± 0,51 (23,48 ± 0,18) − (12,11 ± 0,33) = 11,37 ± 0,51

Çarpmada ve bölmede yüzde belirsizlikler toplanır. Bulunan sonuç işlem sonucundaki

yüzde belirsizliği ifade eder. Bunu aşağıdaki örnek üzerinde inceleyelim:

(23,48 ± 1,80) × (12,11 ± 0,33) = 284,34±?

Normal çarpım yaptıktan sonra belirsizliği hesaplamak için önce sol taraftaki yüzde

belirsizlikler hesaplanır ve toplanır:

5

(23,48 ± %7,66) × (12,11 ± %2,72) = 284,34 ± %10,38

Daha sonra istenirse yüzde belirsizlik 284,34 ± 29,51 olarak değer belirsizliğine

çevrilebilir. Aynı sayılar üzerinden bölme örneği verirsek yüzdeleri ve toplamını zaten

hesapladığımız için aşağıdaki şekilde sonucu bulabiliriz.

(23,48 ± 1,80)

(12,11 ± 0,33)= 1,94 ± %10,38 = 1,94 ± 0,20

Belirsizliklerin aktarımında her fonksiyona ve işleme uygulanabilecek en genel

yöntemlerden biri “üç defa hesaplama” yöntemidir. Bu yöntemde işleme giren

büyüklük (veya büyüklükler) sırasıyla nominal değerleriyle, “en büyük sonucu

verecek şekilde” ve “en küçük sonucu verecek şekilde” hesaplanır ve sonuçtaki

belirsizlik nominal değerin sonucu etrafında bu üç sonucu içerecek rapor edilir.

Örnek: 21,3 ± 0,4 ün sinüsünü almamız gerekiyor.

Nominal değer: sin(21,3) = 0,363251

En büyük değer: sin(21,7) = 0,369746

En küçük değer: sin(19,9) = 0,340379 olarak bulunur. Bu durumda sonuç

sin(21,3 ± 0,4) = 0,3633(+0,0064 − 0,0229) şeklinde asimetrik olarak yazılır.

Anlamlı rakamlar ve yuvarlama

Belirsizliklerin açıkça yazılmadığı ölçüm aletlerini hatırlayacak olursak bu durumda

gözlemcinin, okuduğu sayının en sağındaki rakamın basamağının yarısı kadar bir belirsizlik

olduğunu kabul etmesi gerektiğini söylemiştik. Ölçüm söz konusu olduğunda sayı kavramı

artık bir matematikçi ile bir fizikçi için farklı şeyler ifade etmeye başlar. Bir matematikçi için

1,200 ile 1,2 aynı şeyi ifade ederken bir fizikçi bu sayıları iki farklı ölçüm cihazında

okuduğunda birinci sayıda ±0,0005 kadar ikincide ise ±0,05 kadar bir “gizli” belirsizlik

olduğunu anlar. Dolayısı ile ölçüm sonuçlarını yazarken gereksiz yere basamak veya küsurat

yazmaktan kesinlikle kaçınmak gereklidir çünkü son basamak aynı zamanda sizin

belirsizliğinizi belirler. Başka bir değişle yazılan her basamağın bir anlamı olup olmadığına

dikkat edilmesi gerekir. Bu bağlamda bir ölçümde okunan bir sayıda hangi rakamların anlamlı

kabul edilip edilemeyeceği aşağıdaki kurallarla belirlenir:

Sıfırdan farklı tüm rakamlar anlamlıdır. (123,45 5 anlamlı rakam)

Sıfırdan farklı rakamların arasında yer alan sıfırlar anlamlıdır. (10023,00405 10

anlamlı rakam)

En başta yer alan sıfırlar anlamsızdır. (00123,45 5 anlamlı rakam 0,00123 3

anlamlı rakam)

En sonda yer alan sıfırlar söz konusu olduğunda sayı ondalık sayı ise bu sıfırlar

anlamlıdır. Tam sayı ise anlamsızdır. (12,300 5 anlamlı rakam, 12300 3 anlamlı

rakam)

Burada muhtemelen yegane kafa karıştırıcı olan şey 12300 sayısının 3 anlamlı rakama sahip

olduğu kabûlüdür. Bunun neden böyle olması gerektiği birazdan bir örnek üzerinde

anlatılacaktır. Ancak önce şu istisnâi durumu açıklığa kavuşturalım: Bir gözlemci, aletinin

ekranında tam olarak bu sayıyı okuyorsa ve dolayısıyla illa sondaki sıfırların da anlamlı

6

olduğunu ifade etmek istiyorsa bir karışıklığa mahal vermemek için bilimsel notasyona geçip

bu sayıyı 1,2300 × 104 şeklinde ifade etmesi en doğru olan şeydir.1

Anlamlı rakam kavramı ölçüm sonuçlarını kullanarak işlem yaparken yukarıda anlatılan ve

nispeten çetrefilli olan belirsizliklerin aktarımı meselesini büyük ölçüde kolaylaştırır. Bunun

için aşağıdaki kurallara dikkat edilmesi yeterlidir.

İki sayı çarpılır ve bölünürken çıkan sonuç işleme girenler arasında en az sayıda

anlamlı rakam içerenin anlamlı rakam sayısına sahip olana kadar yuvarlanır.

Örnekler:

8 x 8 = matematiksel olarak 64’dür. Ancak 64 iki anlamlı rakam içerdiğinden ve girenlerin

her biri bir anlamlı rakama sahip olduğundan sonuç bir anlamlı rakama yuvarlanmalıdır yani

60 olarak yazılmalıdır. İlk bakışta yadırganabilecek bu durumu şöyle açalım: 8 olarak ölçülen

bir büyüklüğün ±0,5 gibi bir gizli belirsizlik içerdiğini söylemiştik. Dolayısı ile 7,5 ila 8,5

arasında değişebilen bu sayının karesini aldığımızda sonucu 64 olarak yazar isek 63,5 ile 64,5

arasında kalan sahte bir kesinlik atfetmiş oluruz. Oysa gerçekte olan şey kesinliğin 56 (~7,52)

ile 72 (~8,52) gibi çok daha geniş bir aralıkta olduğudur ve sonucu tek anlamlı rakam olan 60

olarak yazmak bu belirsizliği ±5 gibi çok daha iyi (en azından doğru mertebede) temsil eder.

8 × 8,0 = 60 (İkinci sayı iki anlamlı rakam içermesine rağmen ilk sayı tek anlamlı rakama

sahip dolayısı ile sonucu yine tek anlamlı rakam içerecek şekilde yuvarlıyoruz.)

8,0 × 8,0 = 64 (Artık iki sayı da iki anlamlı rakam içeriyor dolayısı ile sonuç şimdi 64 olarak

yazılabilir.)

8,02 × 8,02 = 64,3 (Girenlerin ikisi de 3 anlamlı rakama sahip, 64,3204 olan sonuç 3 anlamlı

rakam içerecek kadar yuvarlanmış)

8 / 2,0 = 4

8,6 /2,0012 = 4,3

2 × 0.8 = 2

12,250 x 21,3 = 261 (matematiksel olarak 260,925 olan sonucu işleme girenler arasında en az

sayıda anlamlı rakam içerenin anlamlı rakam sayısına yani 3 anlamlı rakama yuvarladık.)

Toplamada ve çıkarmada sonuç, işleme girenler içerisinde son anlamlı rakamı en

yüksek basamak değerine sahip olanın son anlamlı basamağına kadar yuvarlanır.

Örnekler:

1 + 1,1 = 2 (1’in son anlamlı rakamı birler basamağında 1,1’in ise onda birler basamağında.

Sonuç birler basamağına yuvarlanır.)

123 + 60 = 180 (123’ün son anlamlı rakamı birler, 60’ın son anlamlı rakamı onlar

basamağıdır. Dolayısı ile sonuç onlar basamağına yuvarlanır.)

1 Bu karışıklığı gidermek için sayının sonuna fazladan bir virgül koyma veya son anlamlı rakamın üzerine bir

çizgi çekme gibi gösterimler mevcuttur ancak bunların hiçbiri herkes tarafından kabul görmüş şekilde yeteri

kadar yaygın bir biçimde kullanılmamaktadır. Bilimsel gösterim ile göstermek en güvenli yoldur.

7

123,25 + 46,0 + 86,26 = 255,5 (46,0’ın son anlamlı rakamı onda birler basamağında

diğerlerinin yüzde birler basamağında dolayısı ile sonuç onda birler basamağına yuvarlanır.)

5,67 – 3 = 3 (5,67’nin son anlamlı rakamı yüzde birler, 3’ün ise birler basamağında. Sonuç

birler basamağına yuvarlanır.)

Anlamlı rakamlar ile işlem yaparken dikkat edilmesi gereken önemli hususlardan bir tanesi de

matematiksel sabitlerin anlamlı rakam değerlendirmelerinin dışında tutulması gerekliliğidir.

Çünkü matematiksel bir sabit belirsizliği olmayan, TAM bir kesinlik ifade eder. (Dolayısı ile

sonsuz sayıda anlamlı rakam içerir gibi de düşünülebilir.) Örnek olarak kinetik enerji

hesabında 1

2𝑚𝑣2 denklemi kullanılıyorsa anlamlı rakamlar (ve aralarındaki işlemler) fiziksel

nicelikler olan m ve v üzerinden tartışılmalıdır. Baştaki ½ yi 1 anlamlı rakama sahip bir sayı

gibi düşünmek YANLIŞTIR. Ya değerlendirmeye hiç katmamak ya da 0,500000.... gibi

sonsuz sayıda anlamlı rakama sahip olduğunu düşünmek gerekir (ki zaten iki yaklaşım da

aynı sonucu verir). Bunun çarpıcı bir örneği olarak bir sarkacın peryodunu 12,3 s olarak

ölçtüğümüzü varsayalım. Frekans 1/T formülü ile tanımlandığından bu sarkacın frekansını

ifade ederken formüldeki 1 sayısı 1 anlamlı rakama sahip gibi düşünülmez çünkü o

matematiksel bir sabittir. Dolayısı ile sonuç yine 3 anlamlı rakama yuvarlanır ve 0,0813 Hz

gibi ifade edilir.

Anlamlı rakamlarla işlem yaparken bazı özel fonksiyonlar ile karşılaşıldığında ne yapılması

gerektiği aşağıda anlatılmıştır:

Sayının kuvveti veya kökü alınırken sonuçtaki anlamlı rakam sayıdaki anlamlı rakam

kadar olmalıdır.

ln(x) veya log(x) fonksiyonu kullanıldığında sonuç x’in anlamlı rakam sayısı kadar

“ondalık” muhafaza etmelidir. Örnek: ln(8,3) = 2,1162555... diye giderken virgülden

sonra iki anlamlı rakama yuvarlanır: 2,12

10x durumunda sonuç x’in virgülden sonraki kısmındaki anlamlı rakam sayısı kadar

anlamlı rakam içerir. Örnek:104,3 = 2 x 104 olarak tek anlamlı rakama yuvarlanmalıdır.

ex durumunda anlamlı rakam sayısı muhafaza edilir. Örnek: e5,32 = 204

sin(x) durumunda sonuçtaki anlamlı rakam sayısı x’in anlamlı rakam sayısı ile

virgülden sonraki anlamlı rakam sayısının toplamıdır. Örnek: sin(34,21) = 0,562228

gibi 6 anlamlı rakamla yazılabilir. (Sayının kendisi 4 virgülden sonra 2 anlamlı rakama

sahip)

cos(x) ve tan(x) durumlarında anlamlı rakam sayısı muhafaza edilir. Örnek: cos(12,3)

= 0,977

Yuvarlama ile ilgili önemli bir not:

Sayıları yuvarlarken sıkça yapılan hatalardan biri en sağdaki rakamdan başlayarak sola doğru

gelmektir. Bu yaklaşım işlemi gereksiz yere uzatırken bazı durumlarda hataya dahi sebep

olabilir. Doğru olan yöntem sayı kaç anlamlı rakama yuvarlanmak isteniyorsa bir fazla sayıda

anlamlı rakamdan sonrasını baştan tamamen atıp sadece son rakamı yuvarlamaktır.

Örnek: 25,874678 sayısını 4 anlamlı rakama yuvarlamak istiyoruz. En sağdan başlarsam bu

işlem bana 25,88 sonucunu verir. Oysa bu sayı 25,87’ye daha yakındır. Doğru olan yöntem 5.

anlamlı rakamdan sonrasına hiç bakmayıp sayıyı baştan 25,874 olarak görmek dolayısı ile

25,87’ye yuvarlamaktır.

8

Hatalar

Ölçülen bir fiziksel niceliğin ölçülen değeri ile gerçek değeri arasındaki farka hata denir.

Deneylerde veya gözlemlerde karşılaşılabilecek hatalar ikiye ayrılır.

1. Sistematik hata

Her ölçümde sonucu aynı yönde saptıran hatalara sistematik hatalar denir. Bunlar da kendi

içinde üç alt sınıfa ayrılabilir.

a) Aletsel hatalar

b) Yöntemsel hatalar

c) Çevresel etkenler

Aletsel hatalara örnek olarak ayarsız bir saat, sıfır noktası kaymış veya iyi kalibre edilmemiş

bir cihaz örnek gösterilebilir. Gözlemci, bir aletin ibresine tam karşıdan bakmak yerine sürekli

aynı yanlış doğrultudan bakıyorsa yöntemsel bir sistematik hata yapıyor demektir. Çok hassas

deneyler sıcaklık, nem, rüzgar, sarsıntılar vs. gibi çevresel etkilere de dikkat edilmesini

gerektirebilir. Örnek olarak çok sıcak bir ortamda bırakılmış ve genleşmiş metal bir cetvel ile

alınan ölçümler daima gerçekten küçük sonuçlar bulunmasına yol açacaktır.

Sistematik hatalar gözden çok kolay kaçabilmelerine rağmen tesirleri aynı yönde olduğundan

dolayı dikkatli bir sorgulama ile tespitleri ve düzeltilmeleri mümkün olan hatalardır.

2. Rastlantısal hata

Rastlantısal hatalar ölçüm aletlerinin duyarlılığından veya gözlemcinin duyu organlarının

sınırından kaynaklanan, yönü kestirilemeyen ve her ölçümde bulunan hatalardır. Tamamen

rastlantısal olduklarından bu hataların pozitif veya negatif yönlü olma olasılığı eşittir.

Bunların sebepleri bilinse bile giderilmeleri mümkün değildir. Bu hatalar ile baş etmenin en

etkili yolu çok sayıda ölçüm alıp aşağıda bahsedilen istatistiksel metotları kullanmaktır.2

Şekil 2 Bir ölçümde sistematik ve rastlantısal hatalar sonucu ölçülen değerlerin dağılımı. Kırmızı çizgi ölçülen

değerlerin hangi sıklıkta ölçüldüğünü temsil ediyor.

2 Bu istatistiksel metotlar sistematik hatalar ile baş etmede bir işe yaramaz, sadece rastlantısal hataların kontrol

altında tutulmasını sağlar.

9

Aritmetik ortalama ve standart sapma

Rastlantısal hatalar tanımları gereği ölçüm sonuçlarını gerçek değerin üstüne ve altına doğru

eşit olasılıklarla saptırırlar. Dolayısıyla gerçek değeri ararken ölçülen değerlerin aritmetik

ortalamasını almak akla en yatkın olan işlemdir.3 n tane ölçüm sonucunda bulduğumuz

rakamları 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 ile temsil edersek bu topluluğun aritmetik ortalaması 𝑥 sembolü ile

gösterilir ve aşağıdaki formül ile hesaplanır.

𝑥 =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛

Bu formül toplam sembolünü kullanarak daha kısa ve kullanışlı bir biçimde aşağıdaki gibi de

yazılabilir. Bundan sonraki kısımlarda bu sembolü kullanacağız.

𝑥 =∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛

Bir örnek üzerinden devam edelim. Aynı deneyi farklı metotlarla yapan iki gözlemci

rastlantısal hataları azaltmak için 10 tane ölçüm almış ve aşağıda gösterilen sayısal verileri

elde etmiş olsunlar.

Tablo 3 Örnek bir ölçüm tablosu. 2 ayrı gözlemci farklı hassasiyetlerle aynı olayı on defa gözlemlemişlerdir.

Gözlem sayısı 1. gözlemci 2. gözlemci

1 15,08 14,7

2 15,02 15,2

3 14,91 15,1

4 14,86 14,9

5 15,06 15,0

6 14,77 14,2

7 15,22 15,7

8 14,90 15,3

9 15,12 14,8

10 15,06 15,1

ORTALAMA 15,00 15,0

Bu iki gözlemci farklı metotları kullandıklarından muhtemelen cihazlarının hassasiyetinden

dolayı birincisi virgülden sonra iki anlamlı rakam ifade edebilmişken ikincisi ise ancak bir

anlamlı rakam yazabilmiştir. İki veri kümesinin de ortalamasını hesaplarsanız birincisi için

15,00 ikincisi için 15,0 buluruz. İki ölçümün ortalaması sayısal olarak aynı olmasına rağmen

ölçüm belirsizlikleri arasında bariz bir fark vardır ve rastlantısal hataların incelenmesinde bu

farkın da bir şekilde ifade edilmesi için bir ölçüye ihtiyacımız vardır. (Bu ölçü aynı zamanda

Şekil 2’deki kırmızı çizginin “genişliğinin” bir ölçüsüdür.) Bu ölçüye standart sapma ismi

verilir.

3 Sistematik hatayı sıfır kabul edersek ortalama almanın gerçek değer için “en olası” yaklaştırma olduğu

matematiksel olarak da ispatlanabilir ancak bu ispata burada girmiyoruz. İlgilenenler Erhan Gülmez’in Basic

Data Analysis for Experiments in the Physical Sciences kitabına başvurabilir.

10

Standart sapma en basit tanımı ile isminden de hissedilebileceği gibi bir veri kümesindeki

değerlerin ortalamalarından “ortalama” olarak ne kadar saptığının bir göstergesidir. Standart

sapma 𝜎 sembolü ile gösterilir ve aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır.4

𝜎 = √∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)2𝑛

𝑖=1

𝑛

Formülü kullanmak için elbette önce kümenin ortalamasının ( 𝑥 ) hesaplanması

gerekmektedir. Yine örneğimiz üzerinden devam edelim. Birinci gözlemci ortalamasını 15,00

olarak hesaplamıştır. Standart sapmasını hesaplaması için sırasıyla ölçtüğü her değeri bu

ortalamadan çıkartıp karelerini almalı ve bunların toplamını veri sayısına böldükten sonra

karekökünü hesaplamalıdır. Bu işlem Tablo 4 ve altındaki işlemde gösterilmiştir.

Tablo 4 Birinci gözlemcinin ölçtüğü değerler, bunların ortalamadan farkları ve bu farkların kareleri. Farkların ve

karelerinin toplamı son satırda göterilmiştir.

𝑥 𝑥 − 𝑥 (𝑥 − 𝑥)2

15,08 0,08 0,0064

15,02 0,02 0,0004

14,91 -0,09 0,0081

14,86 -0,14 0,0196

15,06 0,06 0,0036

14,77 -0,23 0,0529

15,22 0,22 0,0484

14,90 -0,10 0,01

15,12 0,12 0,0144

15,06 0,06 0,0036

TOPLAM 0,00 0,1674

𝜎 = √0,1674/10 = 0,13

Tablodan da görülebileceği gibi değerlerin ortalamadan farkları tek başına bir sapma ölçütü

olarak kullanılamaz çünkü bunların toplamı daima sıfırı verir. (Bunun her zaman böyle olması

gerektiği matematiksel olarak da kolayca ispatlanabilir.5) Dolayısı ile farkların karelerinin

alınmasının sebebi açığa çıkmış olur.6 Ortalamadan farkların kareleri boyutsal olarak ölçülen

niceliğin boyutunun karesine sahip olacağından sonucun yine değer ile aynı boyuta

gelebilmesi (ve karşılaştırılabilir olması) için elbette en sonda karekökünün alınması

gereklidir.

4 Burada verdiğimiz tanım anakütle standart sapması olarak isimlendirilir. Farklı amaçlar için farklı standart

sapma tanımları mevcuttur. Detaylı bilgi için https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation adresine

başvurulabilir. 5 ∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)𝑛

𝑖=1 = ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 − ∑ 𝑥𝑛

𝑖=1 olur. Buradaki ilk terim değerlerin toplamıdır yani ortalamanın değer sayısı

ile çarpımı olan 𝑛. 𝑥 olarak yazılabilir. İkinci terimdeki ortalama zaten önceden hesaplanmış sabit bir sayı

olduğundan toplamın dışına çıkar ve içeride n tane 1’in toplamından yine 𝑛. 𝑥 elde edilir. Dolayısıyla ikisinin

farkı sıfırdır. 6 Sıfırdan kurtulmak için mutlak değer fonksiyonu kullanmak akla gelebilir ancak mutlak değer fonksiyonunun

türevi kare gibi sürekli değildir, kare almanın bir diğer avantajı da büyük farkları iyice büyüterek

“cezalandırmasıdır”.

11

Yukarıdaki işlemleri ikinci gözlemcinin de sonuçlarına uygularsak7 standart sapmasının 0,38

olarak çıktığını görürüz. Dolayısı ile iki gözlemcinin ham verilerine bakarak sezebildiğimiz

kesinlik farkı kendini standart sapmalarda niceliksel olarak göstermiş olur.

Bu örnekteki gibi çok sayıda ölçüm alındığı durumlarda sonuç genelde 𝑥 ± 𝜎 biçiminde rapor

edilir. Bu durumda birinci gözlemci 15,00 ± 0,13 yazarken ikinci gözlemcinin standart

sapmasını, verilerinde olduğu gibi virgülden sonra bir anlamlı rakama yuvarlayıp 15,0 ± 0,4

gibi yazması gerekir.

7 Bu hesabı kendiniz yapınız ve sonucu doğrulayınız.

12

Grafik Çizimi

Pozitif bilimlerde deneyler bir fiziksel niceliğin kontrollü olarak değiştirilip bir diğer niceliği

nasıl etkilediğini gözlemlemek ve kaydetmek yoluyla gerçekleştirilir. Bu kayıtlar aşağıdaki

örnekte gösterileceği gibi genelde bir tablo biçiminde alınır. Ancak deneyin sonunda bu

tablolardaki sayılara bakıp aralarındaki ilişkiyi keşfetmeye çalışmak insan beyni için uygun

bir işlem değildir. İnsanlar bağıntıları soyut rakam sembollerinden ziyade (beş duyularından

en önemlisine doğrudan hitap eden) görsel yollarla çok daha verimli bir şekilde kavrayabilir.

Bu yüzden verilerin bir şekilde görselleştirilmesi tercih edilir. Bu görselleştirme işlemine

grafik çizimi ismi verilir.

Bir grafik temel olarak birbirine dik olarak seçilmiş iki sayı doğrusu çizilerek kurulur. Bu sayı

doğrularından biri deneyde değiştirilen, diğeri ise ölçülen nicelikleri temsil ederler. Veriler bu

niceliklerin birbirlerine karşılık gelen sayısal değerlerinden sayı doğrularına çıkılan

dikmelerin kesiştirilmeleriyle oluşan noktalar ile temsil edilir. Daha sonra bu noktaların

dağılımını en uygun şekilde temsil edecek bir eğri önerilir. Seçilen eğriyi en uygun hale

getiren parametrelerin hesaplanır ve son olarak eğrinin çizilmesi ile işlem sona erer.

Grafikler grafik kağıdı (veya milimetrik kağıt) ismi verilen özel kağıtlara çizilir. Örnek bir

boş grafik kağıdı aşağıda gösterilmiştir.

Şekil 3 Grafik kâğıdı. Hem yatayda hem dikeyde milimetre aralığında ince, santimetre aralığında kalın çizgilere

ayrılmıştır.

Düzgün bir grafik çizmek için gerekli olan kuralları bir örnek üzerinde aşama aşama

gösterelim. Bir mekanik deneyinde sabit hızla giden bir cismin konumunun (x) zamana (t)

karşı ölçülmüş olduğunu varsayalım. Bu ölçümün sonucu aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

13

Tablo 5 Zamana karşı konumun kaydedildiği örnek bir ölçümün tablosu.

t (s) x (m)

0 0,8

1 1,6

2 3,5

3 6,0

4 7,8

5 11,2

6 12,0

Bu verileri bir grafik üzerinde incelemek ve analizini yapmak istiyoruz. Grafik çizmenin ilk

aşaması eksenleri belirlemektir.

1. Eksenleri belirleme

Grafik kağıdının sol alt köşesine yakın bir yerde orjin seçilerek buradan sağa ve yukarı doğru

iki sayı doğrusu çizilir. Bunlardan birisi t diğeri de x olarak isimlendirilir. İsim açıkca

“zaman” ve “konum” gibi yazılabileceği gibi aşağıda yaptığımız gibi sembol de kullanılabilir.

Her hâlükârda parantez içine bu niceliğin biriminin yazılması gerekir. Eksenleri

isimlendirilmemiş veya birimleri yazılmamış bir grafiğin hiçbir bilimsel değeri yoktur.

Şekil 4 Orijinin ve eksenlerin çizilip belirlenmesi. Eksen sembolleri ve birimler kesinlikle unutulmamalıdır.

14

2. Ölçeklendirme

Eksenleri çizdikten, isimlendirdikten ve birimlerini yazdıktan sonra yapılması gereken iş

bunları uygun şekilde ölçeklendirmektir. Bununla kastedilen şey herşeyden önce eksenin her

santimetresine o eksende temsil edilen nicelikten kaç birim karşılık geldiğinin tespitidir. İyi

ölçeklenmiş bir eksen verilen veri kümesinin tamamını içerecek şekilde, dışarı taşmasına

mahal vermeden ve boyunun büyük kısmını kullanacak şekilde ölçeklenir. Bunu yapmak için

en doğru yol o eksende temsil edilen verilerin hangi aralıkta değiştiğine bakıp bu farkı

eksenin boyu ile kıyaslamaktır.

Örneğimize geri dönersek t değerlerinin 0 ile 6 arasında olduğunu görüyoruz. Öte yandan

grafiğimizde t için belirlediğimiz eksen 18 cm’den biraz uzun olduğundan eksen üzerinde her

3 cm’yi 1 sn gibi almak uygundur. Dikey eksende temsil ettiğimiz x değerleri ise 0 ila 12

aralığında değişmekte ve eksenin boyu da 13-14 cm civarındadır. Dolayısı ile burada da her

cm’ye 1 m yerleştirilmiştir.

Bu analiz yapıldıktan sonra eksenler üzerine çizimde yardımcı olabilecek bazı sayısal değerler

yazılır. Burada dikkat edilmesi gereken husus, çizim kolaylığı sağlayabilecek kadar sık ancak

ekseni kalabalık gösterecek kadar sık olmayan bir aralık seçmektir. Aşağıdaki grafikte her iki

eksende de 3 cm’de bir değerler yazılmıştır. Böyle bir grafik kağıdı için 3 veya 4 cm ideal

aralıktır denilebilir. Burada önemli olan çizim kolaylığı ve lüzumsuz rakam kalabalığı

arasındaki dengeyi gözetmektir.

Şekil 5 İki eksene de o eksende temsil edilen verilere uygun bir ölçek seçilmeli ve çizimi kolaylaştırmak amacı

ile belli aralıklarla sayısal değerler yazılmalıdır.

15

3. Noktaları yerleştirme

Eksenleri ölçeklendirdikten sonra noktalar yerleştirilmeye başlanabilir. Bunu yaparken grafik

kâğıdının çizgilerinden faydalanılır. Dolayısı ile noktaların eksenler üzerinde nerelere karşılık

geldiğini gösteren yardımcı çizgiler çizmeye veya eksenler üzerinde noktaların değerlerini

gösteren sayılar yazmaya gerek yoktur. Grafiği okuyacak olan kişi isterse bu bilgileri kağıdın

çizgileri vasıtası ile zaten bulabilir. Bilimsel bir gösterim eksiksiz ancak sade olmalıdır.

Noktalar için sonradan üzerinden bir eğri geçse bile gözle kolayca seçilebilecek bir büyüklük

seçilmelidir.

Şekil 6 Grafiğe noktalar yardımcı çizgi kullanmadan kâğıdın çizgilerinden yararlanarak yerleştirilmelidir.

Eksenler üzerine veri değerleri yazılmamalıdır.

4. Eğri uydurma (fit bulma)

Noktaları yerleştirmek ile grafik çizme işlemi tamamlanmış olmaz. Esas önemli olan bu

noktaların temsil ettiği bağıntıyı grafik üzerinde sürekli bir eğri ile gösterebilmektir. Bu

işlemi üç alt başlıkta inceleyelim.

16

a) Denklem önerme

Fiziksel nicelikler arasındaki bağıntılar fiziksel teorilerden türetilirler. Bizim örneğimizin

sabit hızlı hareket olduğunu başta söylemiştik. Sabit hızlı harekette konum ile zaman

arasındaki bağıntıyı veren kinematik formülü aşağıdaki gibidir.

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡

Bu ifade t ve x değişkenlerine göre bir doğru denklemidir. x0 ile v0 ise bu doğruyu tanımlayan

parametrelerdir.8

Bir deneyde hangi teori sınanmak isteniyorsa o teoriden türetilen bağıntının temsil ettiği

eğriyi de veri noktaları ile beraber grafiğe çizmek lazımdır. Böylece teorinin (çizginin) deneye

(noktalara) ne kadar uyduğu görselleştirilmiş olur.

Verilerin hangi bağıntı ile temsil edileceğini belirledikten sonraki aşama önerdiğimiz

denklemi bu verilere “en uygun” hale getiren parametrelerini bulmaktır.

b) Uygun hale getirme (Fit yapma)

Seçilen eğrinin (bizim örneğimizde doğru) parametrelerinin belirlenmesi işleminde dünyada

en yaygın kullanılan yöntemlerden biri en küçük kareler yöntemidir. Bu yöntemde “en

uygunluk” kıstası veri noktalarının bağımlı değişkenleri ile eğrinin bağımlı değişkenleri

arasındaki farkların karelerinin toplamının en küçük olması olarak tanımlanmıştır. Bu tanım

matematiksel olarak ifade edildiğinde seçilen eğrinin parametrelerini, veriler (yani noktaların

koordintaları) cinsinden ifade eden denklemler bulmak mümkündür.9

Bu bağlamda eğer bağıntı olarak 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 biçiminde bir doğru seçilmişse bu doğrunun m

ve n parametreleri veri noktaları cinsinden aşağıdaki ifadeler ile hesaplanır.10

𝑚 =𝑘 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑘𝑖=1 − ∑ 𝑥𝑖

𝑘𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖

𝑘𝑖=1

𝑘 ∑ 𝑥𝑖2𝑘

𝑖=1 − (∑ 𝑥𝑖𝑘𝑖=1 )

2

𝑛 =∑ 𝑥𝑖

2𝑘𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖

𝑘𝑖=1 − ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑘𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖

𝑘𝑖=1

𝑘 ∑ 𝑥𝑖2𝑘

𝑖=1 − (∑ 𝑥𝑖𝑘𝑖=1 )

2

8 Bunlar matematiksel olarak sırasıyla doğrunun x eksenini kestiği nokta ve eğimine karşılık gelirken fiziksel

olarak cismin ilk konumuna ve hızına karşılık gelirler. 9 Bu prosedür aşağıdaki adreste bulunabilecek videoda detaylı olarak anlatılmıştır:

https://www.youtube.com/watch?t=1&v=T48F7_e5sfM En küçük kareler yöntemi

10 Burada verdiğimiz m ve n formülleri sadece doğrusal bağıntılar için işe yarıyor gibi görünse de akıllıca

kullanıldığı takdirde çok daha geniş bir bağıntı ailesinin de incelenmesine olanak tanır. x ve y değerleri arasında

𝑦 = 𝐴. 𝑥𝛼 gibi genel bir bağıntı olduğu bir durumda iki tarafın logaritmasını almak bize log(𝑦) = log(𝐴) +

𝛼. log (𝑥) denklemini verir ki bu da bir doğru denkleminden başka bir şey değildir. Dolayısı ile verilerin kendileri

yerine logaritmaları aynı yöntem ile incelenirse doğrusal fit formülleri bize A ve parametrelerini verir.

17

Bu formülde (xi, yi) çiftleri veri noktalarını k ise toplam veri noktası sayısını ifade etmektedir.

Bizim örneğimizde bu formülleri kullanabilmek için değişkenleri ve parametreleri aşağıdaki

gibi yeniden isimlendirelim.

t x

x y

v0 m

x0 n

m ve n formüllerinde kullanılması gereken dört toplamı hesaplayalım

∑ 𝑥𝑖

𝑘

𝑖=1

= 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

∑ 𝑦𝑖

𝑘

𝑖=1

= 0,8 + 1,6 + 3,5 + 6,0 + 7,8 + 11,2 + 12,0 = 42,9

∑ 𝑥𝑖2

𝑘

𝑖=1

= 02 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91

∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑘

𝑖=1

= 0.0,8 + 1.1,6 + 2.3,5 + 3.6,0 + 4.7,8 + 5.11,2 + 6.12,0 = 185,8

Bu toplamları m ve n formülünde yerlerine yazarsak m = 2,02 ve n = 0,01 değerlerini buluruz.

Değişkenlerin ve parametrelerin ilk baştaki adlarına geri dönecek olursak verilerimize en

uygun doğrunun 𝑥 = 0,01 + 2,03𝑡 denklemine sahip olduğunu görürüz.

c) Eğriyi çizme

Son aşama olarak parametreleri tespit edilmiş olan eğri artık grafik kâğıdına çizilebilir. Bizim

örneğimizde olduğu gibi bu eğri bir doğru ise çizim nispeten kolaydır11: Doğrunun üzerinden

geçtiği iki nokta belirlenir ve bu noktalar grafik kâğıdına (veri noktaları ile karışmaması için)

silik bir biçimde işaretlendikten sonra cetvel ile birleştirilip çizilir. Bu doğrunun denklemi

grafik kâğıdında belirtilir.

11 Doğru haricindeki eğrileri çizmek kolay olmayabilir, bu durumda göze yardımcı olmak için eğrinin ana

hatlarını ortaya çıkaran gerektiği kadar sayıda nokta tespit edilip bunların kalem ile birleştirilmesi yoluna

gidilebilir.

18

Şekil 7 Teorik eğrisi çizilerek tamamlanmış bir grafik. Noktalar deneyi, çizgiler ise teoriyi temsil etmektedir.

Bu işlemler günümüzde bilgisayarlar aracılığıyla kolayca yapılabilmektedir. En yaygın olarak

kullanılan veri işleme programlarından biri olan Microsoft Office Excel’de bu işin nasıl

yapılabileceği aşağıdaki videoda gösterilmiştir.

https://www.youtube.com/watch?v=N8WekH6zLRM Excel kullanarak eğri uydurma (fit

bulma)

19

KAYNAKLAR:

Hacettepe Üniversitesi FİÖ 213 Fizik Laboratuarı Deney Föyü

Basic Data Analysis for Experiments in the Physical Sciences, Erhan Gülmez, Bogazici

University Publications, Temmuz, 1997

https://en.wikipedia.org/wiki/Significant_figures

https://en.wikipedia.org/wiki/Significance_arithmetic

http://www.av8n.com/physics/uncertainty.htm#sec-crank3

http://fabice.com/misc/significant_figures.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation

https://www.youtube.com/watch?v=BnYQAJIhTf0 Doğrusal fit bulma

https://www.youtube.com/watch?v=T48F7_e5sfM En küçük kareler yöntemi

https://www.youtube.com/watch?v=N8WekH6zLRM Excel kullanarak eğri uydurma (fit

bulma)

20

EK: En küçük kareler yöntemi

Bir veri kümesine uydurmak için seçilen eğrinin denkleminin 𝑦 = 𝑓(𝑥) gibi genel bir ifadeye

sahip olduğunu varsayalım. 𝑓(𝑥) fonksiyonu içinde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … gibi çeşitli parametreler

barındırıyor olsun.

En küçük kareler yöntemi seçilen bu eğrinin veri kümemize “en uygun” olması şartını şu

şekilde tanımlar: veri noktalarının bağımlı değişkenleri ile eğrinin bağımlı değişkenleri

arasındaki farkların karelerinin toplamı en küçük olmalıdır.

Bu bağlamda elimizde 𝑘 tane veri noktası olsun ve biz bu noktalara 𝑦 = 𝑓(𝑥) eğrisini

uydurmak istiyoruz. Bağımsız değişkenleri x, bağımlı değişkenleri y ile gösterirsek seçilen bir

(xi, yi) veri noktası için tanımda bahsedilen fark 𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖) şeklinde yazılabilir. Bu farkları

bütün veri noktaları için bulup karelerini toplayalım ve bu toplama S ismini verelim.

𝑆 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖))2

𝑘

𝑖=1

xi ve yi’ler deneyden bildiğimiz sayılar olduğundan S’nin bağlı olduğu nicelikler 𝑓(𝑥)

fonksiyonunun içindeki parametrelerdir. Tanımda söylendiği üzere toplamı minimum yapacak

parametreleri bulmak için S’nin her parametreye göre kısmi türevini alıp sıfıra eşitlemek

gereklidir.

𝜕𝑆

𝜕𝑎= 0 ,

𝜕𝑆

𝜕𝑏= 0 ,

𝜕𝑆

𝜕𝑐= 0 , . . . . . ..

Sonuçta elde kaç parametre varsa yukarıda gösterildiği gibi o kadar sayıda denklem üretmek

mümkündür ve bu denklemlerin çözümü bize aranan parametrelerin sayısal değerlerini verir.

En küçük kareler yönteminin teorisi bundan ibarettir. Burdan itibaren bir örnek üzerinden

somutlaştırırsak 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛 şeklinde bir doğru denklemi ifade ettiğini varsayalım. Bu

durmda S toplamını aşağıdaki gibi yazabiliriz.

𝑆 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑚𝑥𝑖 − 𝑛)2

𝑘

𝑖=1

Şimdi değerlerini aradığımız m ve n parametrelerine göre kısmi türevleri alırsak aşağıdaki

ifadeleri buluruz.

𝜕𝑆

𝜕𝑚= ∑ −2(𝑦𝑖 − 𝑚𝑥𝑖 − 𝑛)𝑥𝑖

𝑘

𝑖=1

𝜕𝑆

𝜕𝑛= ∑ −(𝑦𝑖 − 𝑚𝑥𝑖 − 𝑛)

𝑘

𝑖=1

Bu denklemlerin ikisi de sıfıra eşit olacağından sadeleştirmeler ile aşağıdaki gibi

yazılabilirler.

21

∑(𝑦𝑖 − 𝑚𝑥𝑖 − 𝑛)𝑥𝑖

𝑘

𝑖=1

= 0

∑(𝑦𝑖 − 𝑚𝑥𝑖 − 𝑛)

𝑘

𝑖=1

= 0

Parantezleri açıp toplam işaretlerini içeri dağıttığımızda denklemlerimizi aşağıdaki gibi

düzenlemek mümkündür.

𝑚 ∑ 𝑥𝑖2

𝑘

𝑖=1

+ 𝑛 ∑ 𝑥𝑖

𝑘

𝑖=1

− ∑ 𝑥𝑖

𝑘

𝑖=1

𝑦𝑖 = 0

𝑚 ∑ 𝑥𝑖

𝑘

𝑖=1

+ 𝑛 ∑ 1

𝑘

𝑖=1

− ∑ 𝑦𝑖

𝑘

𝑖=1

= 0

Dolayısı ile m ve n bilinmeyenleri için iki denklemden oluşan lineer bir denklem sistemi elde

etmiş olduk. Bu denklem sistemi istenilen bir metotla çözüldüğünde (bu çözümü

tamamlayınız) m ve n için 16. sayfada verilen aşağıdaki denklemler elde edilebilir.

.

𝑚 =𝑘 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑘𝑖=1 − ∑ 𝑥𝑖

𝑘𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖

𝑘𝑖=1

𝑘 ∑ 𝑥𝑖2𝑘

𝑖=1 − (∑ 𝑥𝑖𝑘𝑖=1 )

2

𝑛 =∑ 𝑥𝑖

2𝑘𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖

𝑘𝑖=1 − ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑘𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖

𝑘𝑖=1

𝑘 ∑ 𝑥𝑖2𝑘

𝑖=1 − (∑ 𝑥𝑖𝑘𝑖=1 )

2

Doğru haricindeki eğrilerin parametreleri için formüller türetilmek istenildiğinde S toplamının

yazıldığı adıma gidip 𝑓(𝑥) ifadesini burada yerine yazıp kısmi türevler alınarak denklemler

türetilmeli ve daha sonra bu denklemler cebirsel olarak çözülmelidir.