demostraciones geometricas

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Gua Didctica: Geometra

CorolarioEs la consecuencia de un teorema demostrado.

Razonamiento lgicoCuando una persona se empea en una reflexin clara o en una reflexin rigurosa, est empleando la disciplina del razonamiento lgico.

DemostracionesEs un conjunto de razonamientos que demuestra la verdad de la proposicin junto con axiomas y postulados.

Una demostracin bien elaborada solo puede basarse en proposiciones antes demostradas, la demostracin tambin es necesaria para fundamentar la generalidad de la proposicin que se demuestra.

Por medio de las proposiciones, las verdades geomtricas se reducen a un sistema armonioso de conocimientos cientficos.

Mtodos de demostraciones

Mtodo InductivoEs un razonamiento que parte de conocimientos o verdades particulares para obtener mediante ellos una verdad general.

Mtodo deductivoEs un razonamiento que parte de conocimientos o verdades generales para obtener mediante ellos una verdad particular.

La mayora de los problemas geomtricos se demuestran usando el mtodo deductivo.

Procedimiento de una demostracinLa demostracin formal de un teorema consiste en cinco partes

a) El enunciado del teorema.b) Hacerungrficoqueilustreelteorema.c) Unaafirmacindeloqueeseldato(s)entrminosdelgrfico(hiptesis)d) Unaafirmacindeloquedebeprobarse(tesis)odemostrarse.e) Demostracin: Es una serie de razonamientos lgicos establecidos mediante

definicin,axiomasypostuladosaceptadosyteoremasprobadosconanterioridad.Toda demostracin debe constar de afirmaciones y razones debidamentejustificadas.

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Antes de demostrar algunos ejercicios, es necesario revisar y estudiar las demostraciones resueltas del texto gua de las pginas 76, 77, 78 y 101.

Compruebe lo que aprendi resolviendo los ejercicios propuestos en el texto gua de las pginas 91, 111 y 112, si no le sale alguno de los ejercicios, no se preocupe siga con otro ejercicio luego revise el ejercicio que tubo problemas.

UNIDAD 03: RECTAS Y NGULOS

Al principio todos los pensamientos pertenecen al amor. Despus, todo el amor pertenece a los pensamientos.

Alvert Einstein

Operaciones con segmentos, este tema esta comprendido desde las pginas 122 hasta la pgina 177 del texto gua.

Analice estos ejemplos resueltos que le sern de gran ayuda para las demostraciones.

1. Sobre una recta se toman los puntos A, B, C, D, E, F, consecutivamente, de modo que BE = 5/8 AF. Calcular AF sabiendo que: AC + BD + CE + DF = 39u.

H) BE = 5/8AF AC + BD + CE + DF = 39u AC + BD + CE + DE + EF = 39u

T) AF =

Demostracin:

1. 6AF + BD + DE = 39u 2. AF + BE = 39u3. AF + 5/8AF = 39u 4. 13/8AF = 39u5. AF = 2

AUTOEVALUACIN



Teoremas

1. Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes.

H) 1 y 2 son ngulos opuestos por el vrtice T) 1 2

Demostracin

Afirmaciones Razones

1. m 1 + m 3 = 180 Por ser ngulos suplementarios2. m 2 + m 3 = 180 Por ser ngulos suplementarios3. m 1 + m 3 = m 2 + m 3 Reemplazando 1 en 24. m 1 = m 2 Trminos semejantes5. 1 2 Por tener la misma medida

ngulos adyacentes

Dos ngulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas opuestas.

y b son adyacentes

Propiedades

Los ngulos adyacentes son suplementarios. Son consecutivos y su suma es de 180(o sea un ngulo llano). El seno de cualquiera de estos dos ngulos es igual.

41 2

3

b



Teorema

Las bisectrices de dos ngulos suplementarios son perpendiculares entre si.

H) ACD Y BCD, son ngulos suplementarios CE es bisectriz de ACD CF es bisectriz de BCD

T) CE CF

Demostracin


1. 2m 2 + 2m 1 = 180 Por ser ngulos suplementarios2. m 1 + m2 = 90 Multiplicando por 3. mECF=90 Segnelgrfico4. CE CF Porafirmacin3

Teorema

Las bisectrices de dos ngulos opuestos por en vrtice, son colineales.

H) ÂOC y ^GCH Son ngulos opuestos por el vrtice CE es bisectriz de ÂCB CF es bisectriz de ^GCH m ^3 = m ^4

T) ÊCF es ngulo colineal



Demostracin


1. 2m ^2 + 2m ^1 + m ^3 + m ^4 = 360 Suma de ngulos 2. 2m ^2 + 2m ^1 + ^2m ^4 = 360 Por hiptesis3. m ^2 + m ^1 + m ^4 = 180 Multiplicando por 4. m^ECF=180 Porgrfico

Teorema

Si dos ngulos tienen sus lados respectivamente paralelos, son congruentes (paralelos en el mismo sentido) o suplementarios.

H) L1 L2 y L3 L4 ^1 Y ^2 Tienen sus lados respectivamente paralelos

T) ^1 ^2 m ^1 + m^3 = 180

Demostracin


1. ^1 ^4 Por ser ngulos alternos internos2. ^2 ^4 Por ser ngulos alternos internos3. ^1 ^2 Igualandolasafirmaciones1y24. m ^2 + m ^3 = 180 Por ser ngulos suplementarios5. m^1+m^3=180 Porafirmacin3

Le adjunto algunos ejercicios resueltos para que usted los analice y saque sus propias justificaciones.



Ejercicios:

1.- Uno de los ngulos complementarios, aumentado en /6 rad es igual al otro.Cuanto mide cada ngulo?.

H) ^ y ^b son complementarios T) m ^ = ? m ^b = ?

Demostracin


1. m ^ + m ^b = 90 Por ser ngulos complementarios2. m ^ + 30 = m ^b Por hiptesis3. 2m =60 Sumandoafirmaciones1y24. m ^ = 30 Multiplicando por 5. m ^b=60 Remplazandoafirmacin4en1yoperaciones

2.- Ladiferenciadedosngulossuplementarioses/3rad.Hallarelcomplementodel ngulo menor.

H) m ^b - m ^ = 60 m ^b + m ^ =180

T) m ^



Demostracin:


1. m ^b + m ^ = 180 Por ser ngulos suplementario2. m ^b - m ^ = 60 Por hiptesis3. 2m ^b=240 Sumandoafirmacin1y24. m ^b=120 Simplificando5. m ^=60 Remplazandoafirmacin4en1

3.- Dosngulossoncomplementarios,yunodeelloses/10radmasqueeltripledelotro. Cuanto mide cada ngulo?.

H) ^ y ^b son complementarios m ^ + m ^b = 90

T) m ^ = ? m ^b = ?

Demostracin:


1. m ^ + m ^b = 90 Por ser ngulos complementarios2. m ^ = 18 + 3m ^b Por hiptesis3. 4m ^b=72 Multiplicandopor1afirmacin2ysumando conafirmacin14. m ^b=18 Simplificando5. m ^=72 Remplazandolaafirmacin4en1

4. - Cuanto mide cada uno de los ngulos suplementarios, si quitando el menor de ellos/9radyagregndolealmayor,este resultael triplede loquequedadelmenor.



H) ^ y ^b son suplementarios m ^ + m ^b = 180

T) m ^ = ? m ^b = ?

Demostracin


1. m ^ + m ^b = 180 Por se ngulos suplementarios2. m ^ + 20 = 3( m ^b - 20) Por hiptesis3. m ^ + 20 = 3m ^b - 60 Operaciones4. m ^ - 3m ^b = 80 Trminos semejantes5. 4m ^b=260 Operacionesysumandoafirmaciones1y46. m ^b=65 Simplificando7. m ^=115 Remplazandoafirmacin6en1

5.- Dosngulossonsuplementarios;unodeellosesdisminuidoen/12rad.,paraser agregado a otro, de tal manera que este nuevo ngulo es igual a cuatro veces el resto del primero. Cuanto mide cada ngulo?.

H) m ^ + m ^b Son suplementarios m ^ + m ^b = 180

T) m ^ = ? m ^b = ?



Demostracin


1.- m ^ + m ^b = 180 Por ser ngulos suplementarios2.- m ^b + m ^ -15 = 4(m ^ - 15) Por hiptesis 3.- m ^b + m ^ - 15 = 4m ^ - 60 Operaciones4.- 180 - 15 = 4m ^-60 Remplazandoafirmacin1en35.- m ^ = 56,25 Despejando m ^ y operaciones6.- m ^b=123,75 Remplazandoafirmacin5en1y

operaciones

6. - Calcular el valor de dos ngulos suplementario de modo que, si al quntuplo del menor se le disminuye la mitad del mayor, se obtiene el triple del menor aumentado /18rad.

H) m ^ y m ^b son suplementarios m ^ + m ^b = 180

T) m ^ = ? m ^b = ?

Demostracin


1. m ^ + m ^b = 180 Por ser ngulos suplementarios2. 5m ^ - m ^b = 3m ^ + 10 Por hiptesis3. 2m ^ - m ^b = 10 Trminos semejantes 4. 5/2m ^=100 Resolviendoelsistemaentreafirmaciones

1 y 2, y operaciones5.- m ^=40 Simplificando6.- m ^b=140 Remplazandoafirmacin3en1y

operaciones

7.- Uno de los ngulos suplementarios es los 3/5 del otro ngulo. Cuanto mide cada ngulo?.

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T) m ^ = ? m ^b = ?

Demostracin


1. m ^ + m ^b = 180 Por ser ngulos suplementarios2. m ^ = 3/5m ^b Por hiptesis3. m ^ - 3/5m ^b = 0 Igualando a 04. 8/5m ^b=180 Resolviendoelsistemaentreafirmaciones1y3,y operaciones5. m ^b=112,5 Simplificando6. m ^=67,5 Remplazandoafirmacin5en1yoperaciones

8.- De dos ngulos suplementarios, los 2/3 de uno de ellos ms la sexta parte del otro forman un ngulo recto. Cuanto mide cada ngulo?.


T) m ^ =? m ^b = ?

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Demostracin


1.- m ^ + m ^b = 180 Por ser ngulos suplementarios2.- 2/3m ^ + 1/6m ^b = 90 Por hiptesis3.- m ^=60 Resolviendoelsistemaentreafirmaciones1y2,y operaciones4.- m ^=120 Simplificando5.- m ^b=60 Remplazandoafirmacin4en1

9.- Los 4/7 de un ngulo menos la cuarta parte de su suplemento, dan su suplemento aumentadoen/6rad.Cuantoelngulo?.

H) ^b y ^ son suplementarios m ^ + m ^ = 180

T) m ^ = ?

Demostracin


1.- m ^ + m ^ = 180 Por ser ngulos suplementarios2.- 4/7m ^ - 1/4m ^b = m ^b + 30 Por hiptesis3.- 4/7m ^ - 5/4m ^b = 30 Trminos semejantes4.- 51/28m ^=255 Resolviendoelsistemaentreafirmaciones

1 y 3, y operaciones5.- m ^=140 Simplificando

10.- Cuanto mide un ngulo que es igual a su suplemento?.



H) ^ y ^b son ngulos suplementarios m ^ + m ^b = 180

T) m ^ = ?

Demostracin


1.- m ^ + m ^b = 180 Por hiptesis2.- m ^ = m ^ b Por hiptesis3.- 2m ^=180 Remplazandoafirmacin2en1yoperaciones4.- m ^ = 90 Multiplicando por

11.- La medida de uno de los ngulos de un par de suplementarios, es el doble de la medidadelotromenos3/20.Encontrarlamedidadecadangulo.

Solucin:


1.- b = 2 - 27 Por hiptesis 2.- ^ + ^b = 180 Por ser ngulos suplementarios 3.- ^b = 180 - ^ Despejando b 4.- 180 - = 2-27 Igualandoafirmaciones1y35.- -3 = -207 Trminos semejantes6.- ^ = 69 Transposicin de trminos7.- ^b=181-69 Remplazandoafirmacin6en38.- ^b = 111 Operando

12.- La suma del complemento de un ngulo con el suplemento de su ngulo doble, es igual a3/2 del complemento de un ngulo b . Si m ^ - m^b=3/20rad. Calcular el complemento del ngulo .



Solucin:


1.- (90 - ) + (180- 2) = 3/2(90 - b) Por hiptesis2.- 540 - 6 = 270 - 2b Operaciones3.- b - 2 = -90 Trminos semejantes4.- -b + = 27 Por hiptesis5.- -=-63 Sumandoafirmaciones3y46.- = 63 Multiplicando por -1

Antes de resolver los ejercicios, es necesario revisar y estudiar las demostraciones resueltas del texto gua, el ejemplo 2 de la pgina 126, el ejemplo 1 de la pgina 132 y el ejemplo 2 de la pgina 133.

Compruebe lo que aprendi resolviendo los ejercicios propuestos en el texto gua.

- De las pginas 128 y 129.

- De la pgina 135 el ejercicio 39.

AUTOEVALUACIN



CAPTULO 1I: POLIGONOS Y FIGURAS CIRCULARES

Al principio vienen necesariamente a la mente la fantasa y la fbula. Desfilan despus los clculos matemticos, y solo al final la realizacin corona el pensamiento.

Konstantin Tsiolkovski.

UNIDAD 04: IDENTIFICACIN DE TRINGULOS CONGRUENTES

TRINGULOS

1. Conceptualice los temas:

Denominacin Elementos Relaciones entre ngulos y lados Teoremas Analice, conceptualice los teoremas y realice un formulario.

1. En todo tringulo, un ngulo externo es mayor que cualquiera de los ngulos internos no adyacentes.

2. En todo tringulo a mayor lado se opone mayor ngulo, y recprocamente.

3. Un lado cualquiera de un tringulo es menos que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia.

4. Todo ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de dos ngulos

interiores no adyacentes.

5. Si la mediana de un tringulo es la mitad del lado no adyacente a sta, el tringulo es rectngulo.

6. El ngulo formado por dos bisectrices internas de un tringulo es igual a un ngulo recto ms la mitad del ngulo no bisecado.

Las lneas y puntos notables. Tomando encuenta que las lneas notables son: Mediana, altura, bisectriz y mediatriz y los puntos son : baricentro, ortocentro, incentro y circuncentro.



2. Realice cuadros sinpticos de:

Clasificacindelostringulos Tringulos congruentes

Antes de demostrar algunos teoremas, es necesario revisar y estudiar las demostraciones resueltas del texto gua.

Compruebe lo que aprendi resolviendo los ejercicios propuestos en el texto gua de las pginas 184 los ejercicios 25, 29, 30, 32, 43 y 44 si no le sale alguno de los ejercicios, no se preocupe siga con otro ejercicio luego revise el ejercicio que tubo problemas.

Revise las demostraciones de las pginas 189 y 191 del texto gua.

Resuelva los ejercicios 9 y 12 de la pgina 199 del texto gua.

Resuelva la autoevaluacin de la pgina 203 del texto gua.

UNIDAD 05: APLICACIN DE TRIANGULOS CONGRUENTES.

Cada da sabemos ms y entendemos menos. Albert Einstein

Analice los segmentos trazados en los tringulos y estudie los teoremas comprendidos desde las pginas 238 hasta la pgina 274 del texto gua. Revise el ejemplo 2 de la pgina 240, le ayudaran para resolver las demostraciones y ejercicios propuestos en la evaluacin a distancia.Analiza la demostracin de la pgina 252 y de la pgina 253, y elabore una sntesis.

Analice los teoremas, conceptualice y realice las demostraciones.

Si un tringulo tiene dos lados y el ngulo comprendido congruentes a los correspondientes elementos de otro, entonces los tringulos son congruentes.

Si un tringulo tiene un lado y sus ngulos contiguos congruentes a los correspondientes elementos de otro, entonces los tringulos son congruentes.

AUTOEVALUACIN



Si los tres lados de un tringulo son congruentes a los correspondientes elementos de otro, entonces los tringulos son congruentes.

Antes de resolver los ejercicios revise el teorema y la demostracin de la pgina 274Resuelva el ejercicio 10 de la pgina 281, el ejercicio 15 de la pgina 282 estos ejercicios sern considerados para la evaluacin presencial.

UNIDAD 06: CUADRILATEROS.

Si no amas del todo y siempre, algo destruyes que ya no vuelve.

Fernando Rielo

1. Conceptualice los temas:- Ladefinicindeparalelogramoysusimbologa.- Teoremas- Rectngulos, cuadrados, rombos y trapecios

2. Realiceuncuadrosinpticosobrelaclasificacindeloscuadrilteros.

3. Segn corresponda, marque en la cuadrcula con una V si es verdadero o una F si es falsa.

PROPIEDADES DE LASDIAGONALES ROMBOIDE RECTNGULO ROMBO CUADRADO

Ls diagonales se bisecan mutuamente.

V V

V V

Ls diagonales sonperpendiculares.Ls diagonales sonperpendiculares entre si.Ls diagonales sonbisectrices de los ngulos.Ls diagonales forman 2pares de tringuloscongruentes.Ls diagonales forman 4tringulos congruentes.

AUTOEVALUACIN



4. Tenga encuenta los teoremas que le servirn para las demostraciones:

Teoremas:

Todo paralelogramo tiene iguales sus lados. Si dos lados de un triangulo son iguales y paralelos, los otros dos tambin lo

son, y por tanto el cuadriltero es un paralelogramo.

Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales.

Si dos lados adyacentes de un paralelogramo y el ngulo comprendido son respectivamente iguales a los de otro, los dos paralelogramos son iguales.

Los ngulos de la base de un trapecio issceles son iguales.

Si por el punto medio de uno de los lados de un tringulo se traza la paralela a un segundo lado, esa paralela pasa por el punto medio del tercer lado.

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un tringulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de ste.

De la base media: El segmento que une dos puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las bases de ste e igual a la mitad de su suma.

Resuelva los ejercicios 36 de la pgina 331, el ejercicio 7 de la pgina 334 del texto gua.Recuerde si usted cree que le falta reforzar este tema resuelva la evaluacin de la pgina 330 del texto.

AUTOEVALUACIN



- Demostrar las relaciones mtricas entre los elementos de un tringulo, de polgonos regulares y aplicarlas en la resolucin de problemas.

- Identificarloselementosyclasificacindelosslidos.

- Deducir las frmulas de polgonos, rea y el volumen de los cuerpos geomtricos.

S EGUNDOEGUNDOBIMESTREBIMESTRE

OBJETIVOS ESPECFICOS



CAPITULO III: RELACIONES METRICAS Y AREAS DE LAS FIGURAS

Unidad 07: Proporcin y Semejanza Unidad 08: Tringulos Rectngulos.Unidad 09: Crculos

CAPITULO IV: GEOMETRIA DEL ESPACIO.

Unidad 10: Polgonos Y reas.Unidad 11: rea Lateral Y rea Total De Los CuerposUnidad 12: Volumen De Los Cuerpos Geometricos.

CONTENIDOS



CAPTULO III: RELACIONES METRICAS Y REAS DE LAS

FIGURAS

UNIDAD 07: PROPORCIN Y SEMEJANZA

El arte ms importante del maestro es provocar la alegra en la accin creadora y el conocimiento. Albert Einstein

Esta unidad esta basada en los conocimientos que usted ya estudio en secundaria la proporcin. En geometra se toma como proposiciones generales a los axiomas y postulados.

Proporcin

Es necesario revisar la proporcionalidad que se encuentra en la pgina 338 porque lo utilizara para el estudio de la semejanza de tringulos y resuelva el ejercicio 14 de la pgina 341.

Axiomas

Cosas iguales a una tercera o a cosas iguales, son iguales entre si. Axioma de sustitucin: En toda expresin o ecuacin, una cantidad cualquiera se

puede reemplazar por su igual.

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

A

B

C

B' C'

C'



El todo es igual a la suma de sus partes. Axioma de identidad: Cualquier cantidad es igual a si misma. Axioma de adicin: Si a cantidades iguales se suman cantidades iguales, los totales

son iguales. Axioma de sustraccin. Si a cantidades iguales se sustraen cantidades iguales, las

diferencias son iguales. Axioma de la multiplicacin: Si a cantidades iguales se multiplican por cantidades

iguales, los productos son iguales. Axioma de la divisin: Si a cantidades iguales se dividen por cantidades iguales,

los conocimientos son iguales.

Postulados

Existeninfinitospuntos Por dos puntos diferentes pasa una recta y solamente una. Dos rectas tienen un punto en comn y slo uno. La distancia ms corta entre dos puntos es el segmento que los une. Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno. Si una recta contiene dos puntos distintos de un plano, entonces la recta est

contenida en el plano. Con un punto dado, como centro, y un segmento dado, como radio, solo se puede

trazar una circunferencia. Por un punto fuera de una recta en un plano, pasa una perpendicular a dicha recta

y slo una.

Corolarios Si dos tringulos son iguales, son semejantes. Todos los tringulos equilteros son semejantes.

Propiedades de la semejanza

Propiedadreflexiva,todotringuloessemejanteasmismo.

Propiedad idntica o simtrica, si un tringulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.

Propiedad transitiva, si un tringulo es semejante a otro, y este a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.

Teorema de Tales

En el teorema de Tales, donde los tringulos tienen dos lados comunes: (OA) = (OA) y (OB) = (OB), y los lados restantes son dos catetos paralelos: (AB) // (AB).



Los lados son as paralelos dos a dos y, por lo tanto, definen ngulos iguales ( el ngulo B y el ngulo E y los ngulos iguales A, K en la figura). Por ello, los tringulos OAB y OAB son semejantes (de hecho son homotticos), lo que implica la igualdad de los cocientes: OA' OB' A'B' OA OB AB

Otro teorema de la geometra, el teorema de Pitgoras, es tambin una consecuencia inmediata de la doble caracterizacin de los tringulos semejantes.

Teorema fundamental de la semejanza de tringulos

Toda paralela a un lado de un tringulo que no pase por el vrtice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un tringulo semejante al dado.

H) ABC; r || BC r corta AB en L r corta BC en M T)

Demostracin

Pueden presentarse tres casos

I - r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.Haremos una primera consideracin, referida a los ngulos, y la llamaremos (1):

O

A

B

A'

B'

( ) ( () )= =

( BLM ~ BAC )

A

B

C

MrL

N

A

B

CM

L r

A C

N

LMr

s

b

b

III

I

II

O

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