LV3

Napisat demo program koji generira funkciju prijenosa G(s)=(2s+4)/(s2+4s+3) s=tf('s'); Br=2*s+4;Naz=s^2+4*s+3; G=Br/Naz s=tf('s'); Br=2*(s+2);Naz=(s+1)*(s+3); G=Br/Naz s=tf('s'); Br=[2 4];Naz=[1 4 3]; G=tf(Br,Naz);G Transfer function: 2s + 4 ------------- s^2 + 4 s + 3

MATLAB i algebra strukturnih blok-shema Neka su data dva elementa automatike čije su funkcije prijenosa: G(s) i H(s). Serijska veza se definira naredbom series(G,H); paralelna veza se definira naredbom parallel(G,H); povratni prijenos se definira naredbom feedback(G,H,sign), gde je sign= -1 za sistem s negativnom, i sign=1, za pozitivnu povratnu vezu. Primjer. Neka je G, G(s)=(2s+4)/(s2+4s+3) , a H je H(s)=(s+4)/(s+5). Napisati programe za serijsku, paralelnu i sustav s negativnom povratnom vezom Serijska veza s=tf('s'); Br1=2*s+4; Naz1=s^2+4*s+3; G=tf(Br1/Naz1); Br2=s+4;Naz2=s+5; H=tf(Br2/Naz2); W=series(G,H) p=pole(W) z=zero(W)

Transfer function:

2 s^2 + 12 s + 16

-----------------------

s^3 + 9 s^2 + 23 s + 15

p =

-5

-3

-1

z =

-4

-2

Paralelna veza s=tf('s'); Br1=2*s+4; Naz1=s^2+4*s+3; G=tf(Br1/Naz1); Br2=s+4;Naz2=s+5; H=tf(Br2/Naz2); W=parallel(G,H) p=pole(W) z=zero(W) Povratna veza s=tf('s'); Br1=2*s+4; Naz1=s^2+4*s+3; G=tf(Br1/Naz1); Br2=s+4;Naz2=s+5; H=tf(Br2/Naz2); W=feedback(G,H,-1) p=pole(W) z=zero(W)

Određivanje prijenosne funkcije sustava

Transfer function:

s^3 + 10 s^2 + 33 s + 32

------------------------

s^3 + 9 s^2 + 23 s + 15

p =

-5

-3

-1

z =

-4.1573 + 1.3052i

-4.1573 - 1.3052i

-1.6854

Transfer function:

2 s^2 + 14 s + 20

------------------------

s^3 + 11 s^2 + 35 s + 31

p =

-6.0861

-3.428

-1.4859

z =

-5

-2

Crtanje amplitudno-frekventne i fazno-frekventne karakteristike

sustava

ako želimo naći step ili impulsni odziv našeg sistema koristimo respektivno naredbe step i

impulse. Ovi dijagrami su prikazani na slikama

» step(G)

» impulse(G)

U slučaju da nam je prenosna funkcija data u binomnom obliku:

istu možemo prebaciti u faktorizirani oblik korištenjem naredbe zpk.

Crtanje amplitudno-frekventne i fazno-frekventne karakteristike se izvodi jednostavno sa

naredbom bode. » bode(G)

Ovom naredbom automatski dobijemo obje karakteristike nacrtane u logaritamskom mjerilu i

pojačanje amplitudno-frekventne karakteristike u decibelima (dB).

Rad sa control toolbox-om

Kada smo definirali tf prijenosnu funkciju, korištenjem naredbe step dobiva se odziv sustava na

skokovitu (step) funkciju (odziv na step naziva se prijelazna funkcija):

>> s = tf('s'); % s definiramo kao varijablu tipa tf,

>> G = (s+2)/(s^2+4*s+6); % zato je varijabla G istog tipa

>> step(G);

Frekvencijske karakteristike sistema

Primjer 1: Nacrtati Bodeove dijagrame za sistem opisan funkcijom prenosa:

, , , close all;

clear all;

clc;

br=[1];

naz=[1 0];

sys=tf(br,naz);

bode(sys,{0.01, 100});

grid on;

Primjer: Data je funkcija prijenosa sistema G(s) = 4/ 𝑠+3 Odrediti odziv sustava u stacionarnom stanju ako je ulazni signal x(t) = 2sin (2t – 𝜋/8)

Prikazati na istoj slici ulazni signal i odziv sustava

br=[4];

naz=[1 3];

G=tf(br,naz);

t=[0:0.01:10];

x=2*sin(2*t-pi/8);

[y,t]=lsim(G,x,t);

plot(t,x,'LineWidth', 2), hold on

plot(t,y,'-.', 'LineWidth', 3);

legend('Ulazni signal','Odziv sistema');

title('Ulazni signal i odziv sistema G(s)'),

xlabel('vrijeme [s]'), ylabel('Amplituda'),grid on;

FREKVENCIJSKA ANALIZA: BODE-ovi DIJAGRAMI Bode-ovi dijagrami prikazuju ovisnost amplitude prijenosne funkcije M (u decibelima) i faze

φ (u stupnjevima) o frekvenciji ω, crtano u semilogaritamskom mjerilu.

Graf ovisnosti amplitude M o frekvenciji naziva se amplitudna frekvencijska karakteristika.

Graf ovisnosti faze φ o frekvenciji naziva se fazna frekvencijska karakteristika.

Bode-ove dijagrame obično crtamo za prijenosne funkcije otvorene petlje Wo(s).

MATLAB NAREDBE

Neka je prijenosna funkcija otvorene petlje zadana u obliku razlomka: (Wo= (br, naz)(s )

Za računanje tj. crtanje frekvencijskih odziva koriste se slijedeće naredbe:

Primjer

Nacrtati amplitudni i fazni Bodeov dijagram za sustav sa zadanom prijenosnom funkcijom

otvorene petlje:

a) ručno nacrtati asimptotske dijagrame

b) nacrtati dijagrame pomoću Matlab-a

UTVRĐIVANJE STABILNOSTI SUSTAVA PO BODE-ovom KRITERIJU Stabilnost sustava sa zatvorenom povratnom vezom, opisanog prijenosnom funkcijom W(s),

određuje se na temelju amplitudne i fazne Bodeove karakteristike nacrtane za prijenosnu funkciju

otvorene petlje, Wo(s).

Određivanje ωI, ω

П, AP i FP na temelju Bodeovih dijagrama:

• Frekvencija kritične amplitude, ωI: frekvencija pri kojoj amplitudni Bodeov dijagram

prijenosne funkcije otvorene petlje siječe frekvencijsku os.

Za ωI će vrijediti: |W

o(jω

I)|=1 (tj. 0dB)

• Frekvencija kritične faze, ωП

: frekvencija pri kojoj fazni Bodeov dijagram prijenosne funkcije

otvorene petlje siječe pravac od -180o

.

Za ωП

će vrijediti: Im(Wo(jω

П))=0

• Amplitudna pričuva, AP(dB):

Može se odrediti na temelju Bodeovog amplitudnog dijagrama prijenosne funkcije otvorene

petlje. AP se određuje kao udaljenost od amplitudnog dijagrama do frekvencijske osi, pri

frekvenciji kritične faze.

• Fazna pričuva, FP(o

):

Može se odrediti na temelju Bodeovog faznog dijagrama prijenosne funkcije otvorene petlje.

FP se određuje kao udaljenost od pravca –180o

do faznog dijagrama, pri frekvenciji kritične

amplitude.

Pravilo za utvrđivanje stabilnosti sustava po Bode-ovom kriteriju: Sustav sa zatvorenom povratnom vezom opisan prijenosnom funkcijom W(s) biti će stabilan ako

amplitudni Bodeov dijagram prijenosne funkcije otvorene petlje Wo(s) siječe frekvencijsku os

prije nego fazni Bodeov dijagram siječe pravac –180o

(tj. ako je ωI <

ωП). U tom slučaju AP i FP

imat će pozitivne vrijednosti.

MATLAB NAREDBE Za računanje vrijednosti ω

I, ω

П te AP i FP koristi se slijedeća Matlabova naredba:

Primjer: Odrediti stabilnost sistema ako je funkcija povratnog prijenosa:

Na osnovu Nyquistove krivulje možemo odrediti vrijednosti parametra K za koje je sistem stabilan.

br=[1];

naz=[1 3 2];

sys=tf(br,naz);

nyquist(sys);

Pošto funkcija prijenosa W(s) nema nijedan nestabilan pol, to znaĉi da prirast argumenta

vektora ĉiji je poĉetak u toĉki (-1/K, j0), a vrh se kreće po krivulji W(jw) za w∈ [0,∞) treba

biti 0π, odnosno nula. Drugim rijeĉima, -1/K treba biti izvan Nyquistove krivulje:

-1/K < 0 ˄ -1/K > 0.5

Iz posljednje relacije dobijamo uvjet da je sistem stabilan za K > 0 i K > -2 => K > 0.

primjer: Odrediti stabilnost sistema ako je funkcija povratnog prijenosa:

Sistem je stabilan za vrijednosti: -1/K < -2 ˄ -1/K > 0.5

Sistem je stabilan za vrijednosti: -1/K < -3/11 ˄ -1/K > -4/3