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Démarches d'investigation
en Sciences* et en Mathématiques :
aspects didactiques, historiques, épistémologiques
Jean-Yves Cariou
Université des Antilles, CRREF
Université de Genève, LDES
Agrégé de Sciences naturelles
Maître de conférences en Sciences de l’éducation
Mes domaines de recherche :
Les démarches dans l’enseignement des sciences
Les démarches dans l’histoire des sciences
Le sujet de ma thèse :
Former l’esprit scientifique
en privilégiant l’initiative des élèves,
dans une démarche s’appuyant
sur l’épistémologie et l’histoire des sciences
(2009, direction André Giordan et Jack Guichard)
Les premiers textes scientifiques et philosophiques
sont apparus dans une région ultrapériphérique et multiculturelleLes premiers textes scientifiques sont apparus
dans une région ultrapériphérique et multiculturelle…
…du monde grec
Milet
1. Côte ionienne
v. -600
Olympe
Milet : Thalès (624-548) → ÉCOLE IONIENNE
Samos
Samos puis Crotone : Pythagore (580-500) → ÉCOLE PYTHAGORICIENNE
2. « Grande
Grèce »
v. -550
Crotone
3. Athènes
Les premiers fondateurs d’écoles scientifiques
sont aujourd’hui connus comme mathématiciens
Ce qui les caractérise en Maths : des théorèmes
Ce qui les caractérise en Sciences : des spéculations
Pythagore paraît avoir été le premier à
recourir délibérément à des expériences.
Pythagore nous fournit aussi une trace ancienne de mise à
l’épreuve, d’investigation
...ce qui ne put se faire qu’en suivant une
voie expérimentale.
Une source fiable rapporte qu’il découvrit
que les intervalles musicaux et les
nombres étaient « en interrelation de
quantité à quantité », et « il entreprit de
rechercher dans quelles conditions
apparaissent des intervalles concordants ou
discordants »...
Les spéculations culminent avec Platon puis Aristote
Le monde selon Platon est mathématique : des triangles et des polyèdres
4 d’entre eux constituent les 4 éléments
et sont eux-mêmes constitués de triangles
Il existe 5 solides « parfaits » (réguliers, symétriques, convexes) :
Tétra- (4) Hexa- (6) Octa- (8) Dodéca- (12) Icosaèdre (20)
Le monde selon Platon est mathématique : des triangles et des polyèdres
Aristote : c’est pas du tout ça !...
Spéculation admise quelque 2000 ans...
Avant eux, Socrate nous fournit des exemples
significatifs de démarches
En Sciences (narré par Aristophane) : l’origine de la pluie
En Maths (narré par Platon) : le doublement de l’aire d’un carré
2ème esprit scientifique : esprit de déduction et de contrôle.
Les Nuées, Aristophane, -423 :SOCRATE – Il n’existe même pas, Zeus.
1er esprit scientifique : imagination d’explications possibles (ici, naturelles).
S – Les Nuées, bien sûr !
TOURNEBOULE – Qu’est-ce que tu dis ? Alors, qui c’est qui pleut ? Explique-moiun peu ça !
T – Par Apollon ! Moi qui croyais que c’était Zeus qui pissait dans une passoire !Mais qui c’est qui tonne ?
Et je vais t’en donner une preuve magistrale. As-tu déjà vu Zeus faire pleuvoir,sans nuées ? C’est pourtant ce qu’il devrait faire : pleuvoir par ciel bleu, en leurabsence.
Socrate en Sciences (narré par Aristophane) : l’origine de la pluie, de la foudre...
Ô oracle
d’Apollon,
comment faire
cesser la peste
dans note cité ?
Apollon dit :
double mon
autel !
Le doublement de l’aire d’un carré
Une histoire sûrement connue de Socrate :
Socrate en Maths, avec un élève :
Comment doubler l’aire d’un carré ?
Carré
2xSS ?
(Ménon, Platon)
S
Conception de l’élève : doubler la longueur du côté
Socrate lui fait admettre que ce n’est pas valable
SOCRATE (à Ménon)– Examine donc ce que, en partant de cet embarras, il va bel etbien découvrir en cherchant avec moi, moi qui ne fais que l’interroger pour qu’ilexprime ses opinions.
SOCRATE – (...) N’a-ton pas ici une ligne qui va d’un coin à un autre coin ?
LE JEUNE GARCON – Oui.
SOCRATE – (...) C’est justement la ligne à laquelle les savants donnent le nom de « diagonale ». En sorte que ce serait à partir d’elle que, d’après ce que tu dis, on obtiendrait l’espace double ?
LE JEUNE GARCON – Oui, parfaitement, Socrate.
Socrate nous donne aussi le premier exemple
d’un biais pédagogique :
« - Dis-moi donc, mon garçon, l’expérience que voici ne montre-t-elle pas que desbulles sortent de cette plante aquatique ?
Transposons en biologie, de nos jours :
- C’est vrai, par Zeus.
- Et celle-ci, placée dans les ténèbres, se comporte-t-elle de même ?
- Nullement.
- Ces bulles sont justement emplies de cette substance à laquelle les savantsdonnent le nom d’“oxygène”. En sorte que ce serait sous l’effet de la lumière que,d’après ce que tu dis, jeune élève, serait produit l’oxygène.
- Oui, parfaitement, professeur. »
Exemple de « cryptodomatisme »
S
Tentatives par diverses divisions de la surface jaune en 4 parts égales :
?
Répartir ce qu’il faut ajouter (jaune) sur les 4 côtés du carré initial (rouge)
Aide possible : Gâteau aux 3
chocolats...
Presque !
S’achève par une démonstration
Comment diviser autrement en 4 parts égales ?
Après réfutation des conjectures : côté x2, côté x1,5, côté x1,4...
Approche possible en classe, sans calculs ni équations (mais papier + ciseaux) :
2xS
(pas carré)
APPUI POSSIBLE SUR L’HISTOIRE DES SCIENCES
DÉMARCHES D’INVESTIGATION en MATHÉMATIQUES
Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles, 1638 :
18
« (...) pour évaluer la grandeur des villes, on estime en savoir assez
lorsqu’on connaît la longueur de leur enceinte »
Propositions (conjectures) : c’est comme...
Un rectangle de 10 km sur 7 : aire 70 km2
Un rectangle de 9 km sur 8 : aire 72 km2
Un carré de 8,5 km sur 8,5 : aire 72,25 km2
Paris a un périmètre (sans les bois) de 34 km.
Quelle est son aire ?
Donnée : aire réelle de Paris sans les bois : 87 km2
19
(Estimation du diamètre : 10,4 km)
Aire réelle : 87 km2
20
Conjecture : l’aire d’un disque est supérieure
à celle d’un carré de même périmètre
Regard sur le plan :
presque un disque
Test de la conjecture sur cet exemple et sur d’autres
1
2
Du périmètre au volume :
1
2
- Cela change-t-il la contenance
d’un cylindre de le constituer
selon 1 ou selon 2 ?
- Comment le savoir ?
- Comment l’expliquer ?
Y aura-t-il une différence de contenance ? Comment le savoir ?
22
Galilée 1638 : Discours concernant deux sciences nouvelles
Problème : « como possa essere que... »
Comment est-il possible que...
... qu’avec une même pièce de toile plus longue d’un côté que de l’autre, suivant la
manière de faire un sac pour contenir des graines, la contenance ne sera pas la même ?23
Comment expliquer cette différence de volume ?
Primaire : « Si le grand côté du rectangle participe à la surface, c’est mieux »
Secondaire : ex. France programme de 5ème :
« Une démarche expérimentale permet de vérifier la formule de l’aire du disque. »
Mieux : établissement possible de la formule de l’aire d’un disque, à partir de celle
du périmètre (2pr) et de « Comment faire ? ».
A = pr/2 = 2pr.r/2 = pr2
24
2pr
MAUPASSANT :
Une vente (1884)
Du volume à la mesure du volume :
L’expérience de Césaire-Isidore et Prosper-Napoléon
Extrait n°1 : le marchandage.
Les nommés Brument (Césaire-Isidore) et Cornu (Prosper-Napoléon)
comparaissaient devant la cour d'assises de la Seine-Inférieure sous l'inculpation
de tentative d'assassinat.
"Mon président, j'étions bu. (…) Il me dit : "Il me faut mille francs pour jeudi." Là-
dessus, je deviens froid, vous comprenez. Et il me propose à brûle-tout-le-foin :
"J'te vends ma femme."
J'étais bu, et j'suis veuf. Vous comprenez, ça me remue. Je ne la connaissais point,
sa femme ; mais une femme, c'est une femme, n'est-ce pas ? Je lui demande :
"Combien ça que tu me la vends ?" (…) Quand on est bu, on n'est pas clair, et il me
répond : "Je te la vends au mètre cube."
Moi, ça n' m'étonne pas, vu que j'étais autant bu que lui, et que le mètre cube ça
me connaît dans mon métier. Ça fait mille litres, ça m'allait. Seulement, le prix
restait à débattre. Tout dépend de la qualité. Je lui dis : "Combien ça, le mètre
cube ?" Il me répond : "Deux mille francs." Je fais un saut comme un lapin, et puis
je réfléchis qu'une femme ça ne doit pas mesurer plus de trois cents litres.
J'dis tout de même : "C'est trop cher." (…) "Si elle était neuve, j' dis pas ; mais a t'a
servi, pas vrai, donc c'est du r'tour. J' t'en donne quinze cents francs l'mètre
cube, pas un sou de plus. Ça va-t-il ?" Il répond : "Ça va. Tope là !" J'tope et nous
v'là partis, bras dessus, bras dessous. Faut bien qu'on s'entr'aide dans la vie. Mais
eune peur me vint : "Comment qu' tu vas la litrer ?"
Comment, en effet, nos infâmes lascars peuvent-ils s’y prendre pour
déterminer le volume de l’infortunée Mme Brument ?...
Laissez les élèves proposer des moyens, en discuter… La difficulté vient du
fait que Mme Brument n’a pas une forme géométrique simple : ni cubique, ni
sphérique…
Préciser aux élèves que la solution des deux acolytes n’a pas été obtenue
par le calcul, mais par l’expérience.
Si les élèves savent qu’un kilo d’eau occupe un litre, ils peuvent proposer de
peser Mme Brument : étant faite essentiellement d’eau, comme chacun, un
kilo de Mme Brument doit correspondre à un litre.
Ou encore de passer par un “moule” (on fait prendre un plâtre autour de son
corps, on la fait sortir de cette gangue sans la briser puis on la remplit de
liquide).
Qu’ils avancent ou non un moyen proche de celui de Césaire-Isidore, fournir
successivement aux élèves, en les laissant y réfléchir à chaque fois, les
extraits suivants :
Extrait n°2 : déposition de la victime, Mme Brument.
J'écossais d'z'haricots. V'là qu'ils entrent. Je m'dis "qué qu'ils ont ? Ils
sont pas naturels, ils sont malicieux". “J'avais quasiment une
méfiance..." Le v'là qui s'en va quérir l'grand baril défoncé qu'est sous la
gouttière du coin ; et pi qu'il le renverse, et pi qu'il l'apporte dans ma
cuisine, et pi qu'il le plante droit au milieu, et pi qu'il me dit : "Va quérir
d'l'iau jusqu'à tant qu'il sera plein." Quand l’baril fut empli rasibus, j'dis :
"V'là, c'est fait."
Extrait n°3 : suite de la déposition de la victime, Mme Brument.
Et v'là qu'ils me prennent, Brument par la tête et Cornu par les pieds,
comme on prendrait, comme qui dirait un drap de lessive. Mé, v'là que
j'gueule. Et Brument m' dit : "Tais-té, misère." Et qu'ils me lèvent au-
dessus d'leurs bras, et qu'ils me piquent dans le baril qu'était plein d'iau,
que je n'ai eu une révolution des sangs, une glaçure jusqu'aux boyaux.
Brument dit : "La tête y est point, ça compte. "Cornu dit : "Mets-y la tête."
Et v'là Brument qui m'pousse la tête quasiment pour me néyer, que
l'iau me faufilait dans l'nez. Et v'là qu'il pousse. Et j'disparais. Et pi qu'il
aura eu eune peurance. Il me tire de là et il me dit : "Va vite te sécher,
carcasse."
Extrait n°4 : le stratagème de Césaire-Isidore, révélé par Prosper-
Napoléon.
Alors i m'explique son idée, pas sans peine, vu qu'il était bu. Il me dit :
"J'prends un baril, j'l'emplis d'eau rasibus. Je la mets d'dans. Tout ce qui
sortira d'eau, je l'mesurerons, ça fait l' compte."
Je lui dis : "C'est vu, c'est compris. Mais c't'eau qui sortira, a coulera ;
comment que tu feras pour la reprendre ?"
Un nouveau problème !…
Extrait n°5 : l’opération finale.
…Alors i me traite d'andouille, et il m'explique qu'il n'y aura qu'à remplir le
baril du déficit une fois qu' sa femme en sera partie. Tout ce qu'on remettra
d'eau, ça f'ra la mesure. Je suppose dix seaux : ça donne un mètre cube. Il
n'est pas bête tout de même quand il est bu, c'te rosse-là !
Bref, nous v'là chez lui, et j'contemple la particulière. Pour une belle femme,
c'est pas une belle femme. Tout le monde peut le voir, vu que la v'là. Je me
dis : "J'suis r'fait, n'importe, ça compte ; belle ou laide, ça fait pas moins le
même usage, pas vrai, monsieur le président ? Et pi je constate qu'elle est
maigre comme une gaule. Je me dis : "Y en a pas quatre cents litres."
Je m'y connais, étant dans les liquides.
L'opération, elle vous l'a dite. J' mesurons. Pas quatre seaux. Ah ! ah ! ah !
ah ! Le prévenu se met à rire avec tant de persistance qu'un gendarme est
obligé de lui taper dans le dos. Brument déclare : "Rien de fait, c'est pas
assez." Moi je gueule, il gueule, je surgueule, il tape, je cogne. Ça dure
autant que le jugement dernier, vu que j'étions bu.
Exemple de « problème sans question » (sans énoncé)
Problème implicite : comment passer du nombre de carreaux sur
le côté (n) au nombre de carreaux sur le pourtour ?
Conjectures, tests...
Formule visé : n → 4n-4
20
B- Tu as bien raison, c’est ce qu’il faut faire : on n’a que trop criaillé à leurs oreilles, comme si c’étaient des
entonnoirs à remplir... Maintenant, je les laisse aller seuls de l’avant !
C- Eh, on s’approprie beaucoup mieux une connaissance lorsqu’on l’invente soi-même !
D- S’ils ne se trompent jamais, ils n’apprennent pas si bien. Mettons les questions à leur portée, et laissons-les les
résoudre. Si on les habitue à se laisser conduire, on n’en fera que des machines entre les mains des autres ! La semaine
prochaine, je les perds en forêt au nord du collège : à eux de trouver un moyen d’y revenir...
E- Personnellement, je leur fais suivre un schéma en cinq étapes : un problème à résoudre, ils l’analysent, suggèrent des
hypothèses, en tirent des conséquences, que des observations ou des expériences supplémentaires permettent
d’adopter ou de rejeter. Et chercher à multiplier les hypothèses est un élément important !
F- Cerner un problème, former des hypothèses et les contrôler : voilà les trois opérations capitales de l'intelligence !
G- Il faut qu’ils cherchent comment prouver ou infirmer les hypothèses qu'ils auront pu faire par eux-mêmes. Une
expérience qu'on ne fait pas soi-même avec toute liberté d'initiative n'est, par définition, plus une expérience, mais un
simple dressage sans valeur formatrice !
A- Ah, je suis content de ma séance ! Ils croyaient connaître la solution de mon petit problème, mais ils l’ont découverte
en se trompant, en cherchant : je n’ai fait que les interroger sans rien leur enseigner !
Autour du café, en salle des professeurs...
S’agit-il d’un groupe de professeurs particulièrement révolutionnaires ? Sont-ce les
propos d’enseignants persuadés de la valeur de la « démarche d’investigation » pour
repenser l’enseignement des sciences, comme les y invitent les instructions
officielles les plus récentes ?...
Autour du café, en salle des professeurs...
...Non, il s’agit d’une salle des professeurs au paradis de différents penseurs de
l’enseignement de différentes époques.
...En fait, des échanges au « paradis » !
B- Tu as bien raison, c’est ce qu’il faut faire : on n’a que trop criaillé à leurs oreilles, comme si c’étaient des
entonnoirs à remplir... Maintenant, je les laisse aller seuls de l’avant !
C- Eh, on s’approprie beaucoup mieux une connaissance lorsqu’on l’invente soi-même !
D- S’ils ne se trompent jamais, ils n’apprennent pas si bien. Mettons les questions à leur portée, et laissons-les les
résoudre. Si on les habitue à se laisser conduire, on n’en fera que des machines entre les mains des autres ! La semaine
prochaine, je les perds en forêt au nord du collège : à eux de trouver un moyen d’y revenir...
E- Personnellement, je leur fais suivre un schéma en cinq étapes : un problème à résoudre, ils l’analysent, suggèrent des
hypothèses, en tirent des conséquences, que des observations ou des expériences supplémentaires permettent
d’adopter ou de rejeter. Et chercher à multiplier les hypothèses est un élément important !
F- Cerner un problème, former des hypothèses et les contrôler : voilà les trois opérations capitales de l'intelligence !
G- Il faut qu’ils cherchent comment prouver ou infirmer les hypothèses qu'ils auront pu faire par eux-mêmes. Une
expérience qu'on ne fait pas soi-même avec toute liberté d'initiative n'est, par définition, plus une expérience, mais un
simple dressage sans valeur formatrice !
A- Ah, je suis content de ma séance ! Ils croyaient connaître la solution de mon petit problème, mais ils l’ont découverte
en se trompant, en cherchant : je n’ai fait que les interroger sans rien leur enseigner !
Autour du café, en salle des professeurs...
Socrate/Platon
Vers -400
Montaigne, 1580
Descartes, 1637
Rousseau, 1762
Dewey, 1910
Claparède, 1917
Piaget, 1972
Je défends trois thèses sur l’investigation (Cariou, 2015),
valables pour les Maths (recherche et enseignement) :
- Thèse (1) : L’esprit d’investigation articule
esprit créatif et esprit de contrôle
- Thèse (2) : L’esprit de contrôle est lui-même double
- Thèse (3) : Il y a trois sortes d’investigations à distinguer
Parmi de très nombreux exemples historiques : ceux de Kepler et
Newton, alliant Maths et Physique
- Thèse (1) : L’esprit d’investigation articule
esprit créatif et esprit de contrôle
Kepler et la spéculation 1596 : Le mystère du Monde
« Les erreurs nous montrent le chemin de la vérité ».
« si tout cela ne s’accorde pas, alors sans aucun doute
tout le travail antérieur n’aura été qu’un plaisant
divertissement ».
Il va ensuite comparer son système aux observations de Tycho Brahe :
Robert Hooke, Royal Society 1666Isaac Newton, 1672, 1675, 1680
(de Descartes)
Lettres de Hooke à Newton :
décembre 1679,
janvier 1680
Isaac Newton, 1684, 1687…
1644
« Ces propriétés de la gravitation que j'ai moi-même découvertes en
premier (…), et que récemment M. Newton m'a fait la faveur
d'imprimer et de publier comme ses propres inventions. »
Hooke, 1690.
1679-80
1726 ←1666SYSTÈME DU MONDE
– 1687 –
Hypothèses
« Faits »
1609
Newton : « Je ne fais pas d’hypothèses »
« Je déduis tout à partir des phénomènes » (cf. la pomme)
Les différents éclairages historiques, épistémologiques,
psychologiques et didactiques envisagés permettent d’aboutir
à une vision synthétique :
Le statut des expériences en classe « est encore fort éloigné d’une
éducation de l’esprit d’invention et même d’une formation de
l’esprit de contrôle » (Piaget, 1965).
« L’imagination n’est qu’un élément du jeu. À chaque étape, il lui
faut s’exposer à la critique et à l’expérience » (Fr. Jacob, 1981).
Jean Piaget (psychologue) et François Jacob
(scientifique) résument les vues de nombreux auteurs :
Le jeu des deux esprits scientifiques
Thèse (1) : L’esprit d’investigation articule
esprit créatif et esprit de contrôle
Thèse (2) : L’esprit de contrôle est lui-même double
Une idée peut avoir différents degrés de probabilité :
-la vraisemblance,
- la vraisemblance et l’absence d’élément contradicteur,
- la vraisemblance, l’absence d’élément contradicteur et l’examen minutieux par une
investigation.
Carnéade, dixième scolarque de l’Académie
(v. -214 / v. -129)
« La créativité des élèves, qui traverse [...] tous les cycles, se déploie au cycle 4
à travers une grande diversité de [...] dispositifs ou activités tels que [...] la
résolution de problèmes, [...]... Chaque élève est incité à proposer des
solutions originales ».
Extraits des nouveaux programmes du primaire et du collège (Cycles 2, 3 et 4 (CP à 3e), rentrée
2016), B.O. du 26 novembre 2015
Cycle 3
Sciences et technologie
« La construction des concepts scientifiques s'appuie sur une démarche qui
exige [...] la formulation d'hypothèses et leur mise à l'épreuve par des
expériences, des essais ou des observations »
Extraits des nouveaux programmes du primaire et du collège (Cycles 2, 3 et 4 (CP à 3e), rentrée
2016), B.O. du 26 novembre 2015
Cycle 2 Mathématiques - Compétences travaillées
Chercher
- S'engager dans une démarche de résolution de problèmes en observant, en posant des questions,
en manipulant, en expérimentant, en émettant des hypothèses, si besoin avec l'accompagnement du
professeur après un temps de recherche autonome.
- Tester, essayer plusieurs pistes proposées par soi-même, les autres élèves ou le professeur.
Cycle 3 Mathématiques - Compétences
Chercher
- S'engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des
hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en
élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle.
- Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.
Cycle 4 Mathématiques - Compétences travaillées
Chercher
- S'engager dans une démarche scientifique, observer, questionner, manipuler, expérimenter (sur
une feuille de papier, avec des objets, à l'aide de logiciels), émettre des hypothèses, chercher des
exemples ou des contre-exemples, simplifier ou particulariser une situation, émettre une
conjecture.
- Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.
Extraits des nouveaux programmes du primaire et du collège (Cycles 2, 3 et 4 (CP à 3e), rentrée
2016), B.O. du 26 novembre 2015
Cycle 3 - Sciences et technologie - Compétences travaillées
Pratiquer des démarches scientifiques et technologiques
Proposer, avec l'aide du professeur, une démarche pour résoudre un problème ou répondre à une
question de nature scientifique ou technologique :
- formuler une question ou une problématique scientifique ou technologique simple ;
- proposer une ou des hypothèses pour répondre à une question ou un problème ;
- proposer des expériences simples pour tester une hypothèse »
Cycle 4 - Physique-Chimie - Compétences travaillées
Pratiquer des démarches scientifiques
- Identifier des questions de nature scientifique.
- Proposer une ou des hypothèses pour répondre à une question scientifique. Concevoir une
expérience pour la ou les tester.
Cycle 4 - Sciences de la vie et de la Terre - Compétences travaillées
Pratiquer des démarches scientifiques
- Formuler une question ou un problème scientifique.
- Proposer une ou des hypothèses pour résoudre un problème ou une question. Concevoir des
expériences pour la ou les tester.
- Thèse (3) : Il y a trois sortes d’investigations à distinguer
40
1
2
Du périmètre au volume :
1
2
Cela change-t-il la contenance
d’un cylindre de le constituer
selon 1 ou selon 2 ?
Comment le savoir ?
Comment l’expliquer ?Problème
explicatif
Problème
pragmatique
Question
Dans les veines de vos mains...
Dans quel sens circule le sang ? Simple question
Problème de type « Comment faire ? »
(pragmatique)
Comment savoir
dans quel sens circule le sang ?
→ Propositions d’hypothèses factuelles(H1 vers le coude/ H2 vers les doigts / H3 il y a un va-et-vient)
→ Propositions de moyens possibles(M1... M2... M3...)
Problème de type « Comment expliquer ? »
(explicatif)
Comment expliquer
le flux continu de sang ?
→ Propositions d’hypothèses explicatives(M1... M2... M3...)
Problème de type « Comment faire ? »
(pragmatique)
Comment savoir
dans quel sens circule le sang ?
→ Propositions de moyens(M1... M2... M3...)
INTERROGATIONS ButCe qu’on
recherche :Ce qu’on propose :
Problèmes
explicatifs
Comment s’explique ?
Comment s’effectue ?
Comment ça marche ?
Comprendre
Problèmes
pragmatiques
Comment faire ?
Parvenir à...
Questions
Quel ? Quand ? Quoi ?
Où ? Est-ce que ?
Y a-t-il un lien entre... ?
S’informer
des
explications
des réponses
(informations)
des moyens
des hypothèses
explicatives
des hypothèses
factuelles
des moyens
possibles
DISTINCTIONS DES TYPES D’INTERROGATIONS et DE RECHERCHES
TYPES D’INTERROGATIONS DANS UNE INVESTIGATION (Exemples)
Sciences
de la natureTechnologie Mathématiques
PROBLÈMES
EXPLICATIFS
Comment expliquer
tel phénomène ?
Comment fonctionne...
tel organe ? ...un
volcan ?
Comment fonctionne
tel appareil ?
Comment expliquer que
tel appareil ne
fonctionne pas ?
Comment expliquer ...que les
médiatrices d’un triangle soient
concourantes ? ...que par trois points
non alignés ne passe qu’un
cercle ? ...qu’on ne puisse trouver
trois nombres qui se suivent dont la
somme est égale à 25 ?
(Les solutions à ces problèmes
s’obtiennent par démonstration)
PROBLÈMES
PRAGMATIQUES
Comment savoir... si
telle hypothèse est
valable ?
Comment montrer
si... ?
Comment montrer
que... ?
Comment fabriquer un
objet tel que... ?
Comment améliorer le
fonctionnement de... ?
Comment savoir quel
élément dysfonctionne
?
Comment faire ...pour connaître
l’aire d’un disque ? ...pour
augmenter la taille du puzzle ?
...pour arriver le premier à 20 ?
QUESTIONS
Quel(le) est... la forme
de l’orbite de Mars ?
...le trajet du sang ? ...la
structure de l’ADN ?
...la structure du
globe ?
Quel facteur est en jeu
dans... ?
Quelles dimensions,
particularités... doit
avoir telle pièce ou tel
système pour... ?
Quel impact aurait telle
modification ?
Quel est... le lien entre périmètre et
diamètre d’un disque ? ...le triangle
dont un cercle peut relier les trois
sommets ?
Y a-t-il... une autre solution ?
Catégories de moyens proposables par un élève donné
dans une situation particulière
Types de moyensMoyens
à efficacité non douteuse
Moyens
à efficacité douteuse
(Moyens hypothétiques)
Moyens connus
(restitués)Type 1 Type 3
Moyens imaginés
(ingénieux)Type 2 Type 4
Investigations : des spécificités pour les Mathématiques ?
Extraits des nouveaux programmes du primaire et du collège (Cycles 2, 3 et 4 (CP à 3e), rentrée
2016), B.O. du 26 novembre 2015
Les liens entre ces diverses activités scolaires fondamentales seront mis en évidence
par les professeurs qui souligneront les analogies entre les objets d'étude (par exemple,
résoudre un problème mathématique / mettre en œuvre une démarche
d'investigation en sciences [...] pour mettre en évidence les éléments semblables et les
différences. »
« La démarche d’investigation scientifique présente des analogies entre son application
au domaine des sciences expérimentales et celui des mathématiques.
Une éducation scientifique complète se doit de faire prendre conscience aux élèves à la
fois de la proximité de ces démarches (résolution de problèmes, formulation
respectivement d’hypothèses explicatives et de conjectures) et des particularités de
chacune d’entre elles, notamment en ce qui concerne la validation, par
l’expérimentation d’un côté, par la démonstration de l’autre. »
Programmes des collèges, 2005 : Introduction commune à l’ensemble des disciplines
scientifiques
Dans la didactique des Mathématiques...
« Ces problèmes, choisis de façon à ce que l’élève puisse les accepter doivent le faire
agir, parler, réfléchir, évoluer de son propre mouvement. Entre le moment où l’élève
accepte le problème comme sien et celui où il produit sa réponse, le maître se refuse à
intervenir comme proposeur des connaissances qu’il veut voir apparaître » (1986).
Guy Brousseau développe dans les années 1980 la Théorie des Situations
Didactiques (TSD), dans laquelle les élèves élaborent des stratégies de
résolution de problèmes, dont ils débattent.
Arsac et Mante (2003) :
« [Notre but :] placer les élèves dans la situation la plus typique de l’activité de recherche
mathématique, c’est–à-dire affronter un problème dont l’énoncé les place, toutes
proportions gardées, dans la situation du chercheur en mathématiques. » (1983, Petit
x n°2).
Arsac et Mante (2007) :
Confronté à un problème dont il ne connaît pas la solution, l’élève devra « essayer,
conjecturer, tester, prouver » (p. 12), « passer les conjectures au feu de la critique,
réfuter certaines par des contre-exemples, apporter des preuves convaincantes à l'appui de
celles qui semblent être vraies. » (p. 38).
Il n’est pas grave de se tromper
On peut même proposer des choses
non faisables en classe
Les idées émises subissent un contrôle critique
(débats)
Les idées retenues subissent un contrôle empirique
(confrontation au réel)
Les idées qui franchissent le contrôle critique mais pas le contrôle
empirique étaient tout de même des idées valables
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Parmi les principes d’une investigation authentique :
Qu’un problème soulevépose véritablement problème
Que le problèmesoit réellement posé aux élèves
Que les élèves puissent proposerdes hypothèses différentes
Que les élèvesen discutent la recevabilité
Que les élèvesconçoivent et proposent des tests
Que les élèvesen discutent la pertinence
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Parmi les critères d’une investigation authentique :
Qu’un problème soulevépose véritablement problème
Que le problèmesoit réellement posé aux élèves
Que les élèves puissent proposerdes hypothèses différentes
Que les élèvesen discutent la recevabilité
Que les élèvesconçoivent et proposent des tests
Que les élèvesen discutent la pertinence
Appui sur les
propositions
des élèvesImportance des débats en classe
Que les élèvesen discutent la recevabilité
Que les élèvesen discutent la pertinence
Que les élèves puissent proposer
des hypothèses différentes
Que les élèves
conçoivent et proposent des tests
Problème résolu par leurs propres forces intellectuelles62
Parmi les critères :
Problème
formulé
Données problématiques
Hypothèses
proposées
Hypothèses
retenues
Tests
proposés Résultats
obtenus
Interprétations
proposées
Conclusion
élaboréeTests
retenus
Attitude générale Quo Vadis ? favorisant initiative et débat :
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Qu’en dites-vous ?
À votre avis ?
Qu’en pensez-vous ?
(les autres)
Commentsavoir ?
Qu’en dites-vous ?
Qu’en pensez-vous ?
(les autres)
Interventions du professeur :
Attitude Quo Vadis ? (Où allez-vous ?)
Qu’en pensez-vous ?
(les autres)
Conceptions
Les effets Topaze et Jourdain (Brousseau) ruinent ces objectifs...
Effet Topaze : « Les moutonssss étai-hunt… »
Effet Jourdain : « mais oui c’est ça ! »
Brousseau se moquait ainsi de ceux qui feignaient de voir dans les travaux d’un jeune
élève la découverte d’un groupe de Klein alors qu’il faisait juste des coloriages ou des
manipulations de pots de yaourts.
J’ai proposé en complément l’effet Goofy-Droopy :
Ahem...
Bien !
Réception DROOPYRéception GOOFY
Plutôt : Attitude KEATON (Buster) Vous en
pensez quoi,
les autres ?
UNE DÉMARCHE D’INVESTIGATION
EST UNE DÉMARCHE DANS LAQUELLE LES ÉLÈVES :
(1)sont confrontés à un problème ou une question énigmatique qui défie leur sagacité et
leur perspicacité ;
(2) conçoivent des idées : hypothèses-conjectures, moyens ingénieux, interprétations ;
(3) critiquent ces idées de manière théorique (débats argumentés) ;
(4)proposent un contrôle empirique des idées qui s’y prêtent (tests des hypothèses-
conjectures et des moyens).
Imaginons que nous ayons en classe un futur enquêteur, comme le célèbre
inspecteur Columbo…
Quand on « fait faire »…
Travaille-t-on l’esprit créatif ?
Travaille-t-on l’esprit de contrôle ?
Ne serait-il pas fondé à nous dire, avec son tact habituel :
…Pourrait-il réellement se considérer en investigation si quelqu’un lui disait
quoi faire, comment, où…
Lui mettant sous les yeux des expériences sans qu’il les ait sollicitées, dans les
mains des documents qu’il n’a pas recherchés ?
« On m’dit qu’c’est moi qui mène l’enquête, on m’fait noter des tas d’trucs sur
mon carnet, mais…
…Y’a des p’tits détails qui m’chiffonnent, m’sieur…».
Pour éviter… Le discours :
…Les pratiques :
En espérant avoir suscité chez vous plus d’effet Goofy que Droopy...
