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(付録) 「デルタ関数」 1. ローレンツ関数 2. ガウス関数 3. Sinc関数 4. Sinc2関数 5. 指数関数 6. 量子力学:デルタ関数 7. プレメリの公式 8. 電磁気学:デルタ関数 9. デルタ関数:スケール・微分
暫定版 修正・加筆の可能性あり
デルタ関数(delta function)
703-1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 , 1, 0 0, 0f x x dx f x dx x xδ δ δ δ∞ ∞
−∞ −∞= = ≠ = = = ∞∫ ∫
ローレンツ関数(1)
減衰波のフーリエ変換 参考文献:篠崎、富山、若林「現代工学のための応用フーリエ解析」p.80、現代工学社
( ) ( ) 2 2
2tf t e Fγ γωγ ω
−= ↔ =+
偶関数の場合
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
2 20 0
2 cos
1 1 2
i t i ti t
i t i t
F f t e dt f t tdt e dt e dt
e ei i i i
γ ω γ ωω
γ ω γ ω
ω ω
γγ ω γ ω γ ω γ ω γ ω
∞ ∞ ∞ ∞− + − −−
−∞
∞ ∞− + − −
= = = +
= − + − = + =
+ − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
フーリエ逆変換
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 102 2
1 1
i tf t F e d f F d
d
ωω ω ω ωπ πγ ω
π γ ω
∞ ∞
−∞ −∞
∞
−∞
= → =
=+
∫ ∫
∫703-2
ローレンツ関数(2)
デルタ関数
( ) 2 20
1limγ
γδ ωπ γ ω→
=+
ローレンツ関数
0ω = ω
拡がり ローレンツ関数:半値全幅(FWHM: Full Width at Half Maximum)
2 2 2
22 20
122
ω γ
ω
γ γγ ω γ
γγγγ ω
=
=
+= =
+
( )
2 2
2 20
1 1
1lim
d
d dγ
γ ωπ γ ω
γ ω δ ω ωπ γ ω
∞
−∞
∞ ∞
−∞ −∞→
=+
=+
∫
∫ ∫
2 γ
( ) 2 2
2F γωγ ω
=+
2FWHMωγ
∆=
703-3
ガウス関数(1)
Gaussianのフーリエ変換はGaussian 参考文献:篠崎、富山、若林「現代工学のための応用フーリエ解析」p.81、現代工学社
( ) ( ) ( )2
2exp exp4
f t vt Fv vπ ωω
= − ↔ = −
偶関数の場合:積分公式を利用
( ) ( ) ( )
( )2 2
22
2,2 ,
exp cos exp4
cos 2 exp4
i t
x t ab a vax ab
F f t e dt vt tdtv v
e abx dx ea v v
ω
ω
π ωω ω
π π ω
∞ ∞−
−∞ −∞
∞ = = =− −
−∞
= = − = −
= →= −
∫ ∫
∫
フーリエ逆変換
( ) ( ) ( ) ( )2
1 102 2
1 exp 142
i tf t F e d f F d
dvv
ωω ω ω ωπ π
ω ωπ
∞ ∞
−∞ −∞
∞
−∞
= → =
− =
∫ ∫
∫703-4
デルタ関数
( )2
0
1lim exp42v vvωδ ω
π→
= −
( )
2
2
0
1 exp 142
1lim exp42v
dvv
d dvv
ω ωπ
ω ω δ ω ωπ
∞
−∞
∞ ∞
−∞ −∞→
− =
− =
∫
∫ ∫
ガウス関数(2)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
( )2
exp4
Fv vπ ωω
= −
vπ
4 ln 2FWHM
v
ω∆
=
FWHM: Full Width at Half Maximum ln:自然対数(natural logarithm)
ω0ω =
ガウス関数:半値全幅
FWHM
2 1exp 2 ln 24 2
4 ln 2
vv
v
ω ω
ω
− = → =
∆ =703-5
正規分布:normal distribution(Gaussian distribution)、但し、平均値は零。
( )2
20
1lim exp22σ
ωδ ωσπσ→
= −
ガウス関数(3)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2( ) ( ) ( )2 22 exp 2F ω π σ ω σ= −
vπ
2 2ln 2FWHMω
σ
∆
=
ω0ω =
正規分布:半値全幅
FWHM
2
2
1exp 2ln 22 2
2 2ln 2
ω ω σσ
ω σ
− = → =
∆ =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2 2
2
exp exp4
2exp exp2 2 2
f t vt Fv v
tf t F
π ωω
σ σ π ων ωσ σ
= − ↔ = −
= → = − ↔ = −
分散:variance
703-6
703-7
( )( )( )
1
0
tf t
t
τ
τ
<= ≥
( ) ( ) sin2i t i i
i t i t e e eF f t e dt e dti i
τω ωτ ωττω ω
ττ
ωτωω ω ω
− −∞ − −
−∞ −−
−= = = = = − ∫ ∫
1
0 t2τ
時間領域
フーリエ変換:実数(偶関数)
Sinc関数(1)
孤立方形波のフーリエ変換 参考文献:篠崎、富山、若林「現代工学のための応用フーリエ解析」p.77、現代工学社
フーリエ逆変換
( ) ( ) ( ) ( )1 102 2
1 sin 1
i tf t F e d f F d
d
ωω ω ω ωπ πωτ ω
π ω
∞ ∞
−∞ −∞
∞
−∞
= → =
=
∫ ∫
∫
703-8
デルタ関数
( ) 1 sinlimτ
ωτδ ωπ ω→∞
=
( )
1 sin 1
1 sinlim
d
d dτ
ωτ ωπ ω
ωτ ω δ ω ωπ ω
∞
−∞
∞ ∞
−∞ −∞→∞
=
=
∫
∫ ∫
Sinc関数:零点の位置
2 3, , ,...
2
π π πωτ τ τπωτ
= ± ± ±
∆ =
Sinc関数(2)
-15 -10 -5 0 5 10 15
-0.5
0
0.5
1
1.5
πτ
3πτ
πτ
−3πτ
−
2πτ
−
0ω =
2τ
ω
2πτ
( )F ω
( ) sin2F ωτωω
=
参照:図中赤線
703-9
( )( )( )
2
1
0
t tf t
t
ττ τ
τ
− + <= ≥
( ) ( ) 20
20
12 cos
1 sin2
i t tF f t e dt tdt
t t
τω
τ
ω ωτ τ
ωτ τ ω
∞ −
−∞
= = − +
= − +
∫ ∫
( )
2 20 0
22 2 2 2 2
0
1 sin 22 sin
2 cos 2 41 cos sin2
tdt tdt
t
τ τ
τ
ω ωτ ω ωτ
ω ωτωτωτ ω ω τ ω τ
− − =
= − = − =
∫ ∫
1 τ
0 tτ
時間領域
フーリエ変換:実数(偶関数)
Sinc2関数(1)
三角パルス波のフーリエ変換 参考文献:篠崎、富山、若林「現代工学のための応用フーリエ解析」p.77、現代工学社
フーリエ逆変換
703-10
デルタ関数
( )2
2
1 sinlimτ
ωτδ ωπ ω τ→∞
=
( )
2
2
2
2
1 sin 1
1 sinlim
d
d dτ
ωτ ωπ ω τ
ωτ ω δ ω ωπ ω τ
∞
−∞
∞ ∞
−∞ −∞→∞
=
=
∫
∫ ∫
Sinc2関数(2)
( ) ( ) ( ) ( )
2 222 2 2 2
2
2
1 102 2
1 4 1 1sin sin 12 2
1 sin 1
i tf t F e d f F d
d d
d
ω
τ τ
ω ω ω ωπ π
ωτ τω ωτ ωπ ω τ τ π ω τ
ωτ ωπ ω τ
∞ ∞
−∞ −∞
→∞ ∞
−∞ −∞
∞
−∞
= → =
= → =
→ =
∫ ∫
∫ ∫
∫
703-11
( ) 1f t =
( ) ( ) lim
sin 1 sinlim lim 2 2 lim
i ti t i t
i i
eF f t e dt e dti
e ei
τωω ω
ττ
ωτ ωτ
τ τ τ
ωω
ωτ ωτπω ω π ω
−∞ ∞− −
−∞ −∞ →∞−
−
→∞ →∞ →∞
= = = −
−= = = ×
∫ ∫
孤立方形波のフーリエ変換:参照703-7
デルタ関数:参照703-8
( ) ( )1 sin 1lim2
i te dtω
τ
ωτδ ω δ ωπ ω π
∞ −
−∞→∞= → = ∫
指数関数(1)
定数のフーリエ変換
703-12
指数関数(2)
デルタ関数:位置・波数ベクトル
( ) ( )31 , , , ,
2i
x x xe dV k k k kδπ
∞ −
−∞
= = = ∫
k rkr k k
電磁気学:デルタ関数(703-19)
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
3 3 3
2 2
2 2
14
1 1 12 2 2
i ii
i i i
r x y z
e ee dV dV dVk k
e i e k e
δπ
δπ π π
− −∞ ∞ ∞−
−∞ −∞ −∞
− − −
∂ ∂ ∂ = ∆ − ∆ ≡ + + ∂ ∂ ∂
∆ = = − = ∆ −
∆ = − = −
∫ ∫ ∫k r k r
k rk k k
k r k r k r
r
r
k
3
, ,2 3 2.
1 1 1 2, , 0, 1, 2,...4 2
i i
i x y z i ie edV k n n
r k L k Lπ
π π
− −∞
=−∞
= = = ± ±
∑∫k r k r
kk
参照:砂川重信「量子力学I」p319、岩波書店
703-13
( ) ( ) ( ) ( )22
0 02 2
Ei tEi tF e dt F E e dt Eτ τωωω πτδ ω π τδ== → =∫ ∫
確認作業
例1:指数関数の積分。 但し、積分範囲に注意
量子力学:デルタ関数(1)
( )
2 22 2
00
22
2220
1 2 2 sin2 2
sin4 1 2sin 2 22
2
i ii t i i ii t
i t
e e e ee dt e ei i i i
e dt
ωτ ωττ ωτ ωτω ωττ ω
τ τω
ωτω ω ω ω
ωτωτ πτ πτδ ω
ω τω π
−
→∞
− −= = = =
→ = = →
∫
∫
0τ
デルタ関数の性質:説明省略
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1a Ea
δ ω δ ω δ ω δ ω δ= → = =
デルタ関数の性質:下記も参照
量子力学でお馴染み フェルミの黄金律:Fermi's golden rule 参考文献:砂川「量子力学」p.195、岩波書店など
デルタ関数:参照703-10
( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
, 0
00 00
0 0 00
2 2 2 20
lim lim lim lim
1 1lim lim lim lim lim
1 lim
i i tj i ti
t i t i
eF e dti i
e e e ei i i i i i
ii
τω γ ττ ω γ τω ω γ γ
γ τ γ τ
τγ τ ω τ γτ ωτ
γ τ γ τ γ
γ
ωω γ
ω γ ω γ ω γ
ω γω γ ω γ
− −− −→ − >
→+ →∞ →+ →∞
− − − −
→+ →∞ →+ →∞ →+
→+
→ =
−
−= = =
− − −
= + + +
∫
703-14
量子力学:デルタ関数(2)
例2:指数関数の積分。 但し、このままでは「積分」が で収束しない。
( ) ( ) ( )( )
0 00
1lim lim lim limi t i
i t i t e eF e dt e dti i
τω τ ωττ τω τ ω τ
τ τ τ τω
ω ω
− −− − −
→∞ →∞ →∞ →∞
−= = = =
∫ ∫
1τ
非常に小さい正の数を導入:γ
2 20
2 20 0
lim 0, 0
1 0
1 1 1 1lim lima a
a aP d d d P
γ
ε
εε γ
ω ωω γ
ωω
ωω ω ωω ω ω ω γ ω
→+
−
− −→+ →+
= =+
= ≠
= + → = + ∫ ∫ ∫
703-15
量子力学:デルタ関数(3)
途中経過:実数部と虚数部
( ) ( )2 2 2 2 2 20 0 0 0lim lim lim limj tie dt i i
τ ω τ
τ γ γ γ
γ ω ωπδ ωω γ ω γ ω γ
− −
→∞ →+ →+ →+= − = −
+ + +∫
実数部:参照703-3
虚数部: ω=0のとき「零」 これは便利:コーシーの主値積分 • Cauchy's principal values of integral • ω=0で、虚数部は「零」になるから、ω=0は積分区
間(実軸)から除外する。
P:コーシーの主値(Cauchy‘s principal values)
整理:デルタ関数(実数部)&コーシーの主値(虚数部)
( ) ( )0
lim i t ie dt Pτ ω τ
τπδ ω
ω− −
→∞
= − ∫
量子力学でお馴染みの積分 • Weisskopf-Wigner spontaneous emission • Lamb shift 参考文献:J.J.サクライ「上級量子力学第I巻」p.82、丸善、P.Meystre, M. Sargent III「Elements of Quantum Optics(Third edition)」p.300、Springerなど
703-16
プレメリの公式(1)
前頁:デルタ関数(実数部)&コーシーの主値(虚数部)
( )
( )0 0
1lim limi te dti i
τ ω τ
τ γ ω γ− −
→∞ →+=
−∫
非常に小さい正の数を導入:γ 参照:703-14
( ) ( )0
1lim iPi iγ
πδ ωω γ ω→+
= − −
Sokhotski–Plemelj theorem:実軸
( ) ( )0
1 1 1 1lim '' '
P i P ii iγ
πδ ω πδ ω ωω γ ω ω ω γ ω ω→+
= → = + − ± − − −
( ) ( )0
lim i t ie dt Pτ ω τ
τπδ ω
ω− −
→∞
= − ∫
プレメリの公式 • クラマース・クロニッヒの関係式でお馴染み • Kramers-Kronig relation • 参考文献:飽本「今日から使える複素関数」p.163、講談社
703-17
プレメリの公式(2)
普通に考えれば
( )0
0
1 1 1lim P iiγ
ω
πδ ωω ω γ ω→+
=
= ∞ = ±
コーシーの主値積分:分母が零になる値を跨いで積分する場合、分母が零になる値を避さけよ!
00
1 1 1 1 10 lim lna aa b
b b b
aP P d di bγ
ω ω ωω γ ω ω ω ω
>>→+
≠ → = = → = = ± ∫ ∫
00
1 1 1 1lim , 0a a
a aP d d d P
ε
εεω
ω ω ωω ω ω ω
−
− −→+=
= + = ∫ ∫ ∫
分母が非零の領域:分母が零になる値を跨いで積分しない場合、主値積分を意識する必要はない
分母が零の領域:主値積分は無視できるが、純虚数のデルタ関数になる!
( ) ( )0 0
1 1 10 lim lim 0 0ii iγ γ
ω πδ ω δ ωω γ γ πγ→+ →+
= → = = = → = =± ±
703-18
電磁気学:デルタ関数
点電荷に対するガウスの法則:真空中
( ) ( ) ( ) 30 0
E ,4
r rr E r qr
ρε πε
∇ = =
( ) ( )r rdV q q dV qρ δ= ⇔ =∫ ∫
点電荷に対する電荷密度:位置(原点r=0)
( ) ( )r rqρ δ∴ =
δ関数の一例
ガウスの法則へ代入
δ関数の定義:超関数(distribution function) • Diracのデルタ関数と呼ぶ場合もある。
( ) 3
14
rrr
δπ
= ∇
点電荷に対する静電ポテンシャル(電位):δ関数
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 ,4
rE r r r r
rρ
φ φ δε π
= −∇ ↔ −∆ = ↔ = ∆ − ∆ = ∇ ∇
δ関数の一例
( ) ( )3
1 1,4 4
rr rr r
δ δπ π
= ∇ = ∆ −
Δ:ラプラシアン
( ) ( ) ( )
( )
-
@ 00 @ 0
r r r' r'
rr
r
dV f fδ
δ
=
∞ == ≠
∫
( ) ( ) ( ) ( )- ' ' 'r r' x x y y z zδ δ δ δ= − − −
厳密:体積分 dV dxdydz=
参照:403-5
703-19
デルタ関数:スケール変換
デルタ関数:偶関数
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
1 a
x xa
a a d a da
a d a a d a dδ δ
δ ω δ ω δ ω ω δ ω ω
δ ω ω δ ω ω δ ω ω
>
= −<
= → =
→ − − →− =
∫ ∫
∫ ∫ ∫
変数:スケール変換
( ) ( ) ( ) 2 20
1, limγ
γδ ω δ ω δ ωπ γ ω→
= − ± =+
参照:703-3
発展型:説明省略
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )0
0
0
0
1 , 0g d gdg d
ff g d
dg d
ω ω
ω ω
δ ω ω ωω
ωω δ ω ω
ω
=
=
= =
=
∫
∫
注意:零点が複数個ある場合は加算する。
703-20
デルタ関数:微分(1)
部分積分
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
' ' ' 0
'' ' ' '' '' 0
''' ''' 0
f x x dx f x x f x x dx f
f x x dx f x x dx f x x dx f
f x x dx f
δ δ δ
δ δ δ
δ
∞ ∞∞
−∞−∞ −∞
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
∞
−∞
= − = −
= − = =
= −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
デルタ関数の一次導関数:奇関数
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' '
' ' ' 0
' ' ' 0
x x
f x x dx f x x dx f
f x x d x f x x dx f
δ δ
δ δ
δ δ
∞ ∞
−∞ −∞
∞ ∞
−∞ −∞
= − −
= − = −
− − = − = −
∫ ∫∫ ∫
703-21
デルタ関数:微分(2)
ベクトル解析:部分積分
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
, , , , ,
z
z
z
x x z x z x
x z x z
x z
A x x z x z A x
x z A x A z
x A x x z
dV dx dx dx dV f dV f
dV f f
x z x z x z
x x x z z z
dV dV
dV
dV f
δ δ
δ
δ δ δ δ
δ δ
δ
δ
= → ∇ − = ∇ −
= − − ∇ = −∇ − = − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = ∇ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
×∇ − = − ∇ − ×
= − ∇× = ∇ ×
×∇ − = −
∫ ∫∫
∫ ∫∫
∫
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z
x z x A x
x z x A x
x A z z A z z A z
dV f
dV f
f f f
δ
δ
∇ − ×
= − ∇×
= ∇ × = ∇ × + ∇ ×
∫∫
703-22
デルタ関数:微分(3)
ベクトル解析:続き
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )
z
z z z
A x x z x z A x
x z A x A z
x A x x z
z A z z A z A z z
F x A x x z A x x z F x
x z A x F x x z A x F x
x z A x F x x z A x F x A x
dV dV
dV
dV f
f f f
dV dV
dV dV
dV dV
δ δ
δ
δ
δ δ
δ δ
δ δ
∇ − = ∇ −
= − − ∇ = −∇
∇ −
= −∇ = − ∇ − ∇
∇ − = ∇ −
= ∇ − = ∇ −
= − − ∇ = − − ∇ + ∇
∫ ∫∫
∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z z
F x
x z A x A x F x
A z A z F z F z A z A z F z
dVδ
= − − ∇ + ∇
= − ∇ + ∇ = − ∇ − ∇
∫
注意:ディアド