delos problemi

İSLÂM DÜNYASINDA DELOS PROBLEMİ ÜZERİNDEKİ ÇALIŞMALAR *

(THE WORKS ON THE DUBLICATION OF THE CUBE) IN ISLAMIC WORLD

S E V İ M T E K E L İ

Yunanda "Üç Klasik Problem" adı verilen ve hemen hemen Eski Çağda

bütün matematikçilerin üzerinde uğraştıkları ve çeşitli çözüm şekilleri bul

maya çalıştıkları üç problem vardır. Bunlar,

1) Bir açının üçe bölünmesi,

2) Dairenin dörgenleştirilmesi,

3) Bir küpün iki katına eşit bir küp bulmak veya "Delos Problemi, dir.

Sonuncu problemin çözümüne aid tarihi bilgiyi Eratosthenes'e 1 atfedilen

ve Kral Ptoleme Euergetes'e hitaben yazılmış bir mektupta buluyoruz2.

Bunda problemin hikâyesi şu tarzda anlatılmaktadır. Bir tragedia şairinin

bildirdiğine göre Kral Minos Oğlu Glaucon için bir mezar hazırlatmak istiyor.

Fakat hazırlanan taşın her kenarının 100 ayak uzunluğunda olmasından Kral

memnun olmuyor ve bu oran bozulmamak şartı ile taşın hacminin iki katına çı

karılmasını istiyor. Bu konuda mimar başarısızlığa uğruyor, çünkü gerçekte ke

narlar iki katına çıkarılırsa, o zaman hacim dört katına çıkarılmış oluyordu.

Bu problemi geometriciler ele alıyor ve şekli muhafaza etmek şartı ile hacmi

nin nasıl iki katına çıkartılabileceğini araştırıyorlar. Böylece bu "bir küpün

iki katını bulma''' problemi adını alıyor. Uzun ve başarısız çalışmalardan son-

* Farsça metnin ve çevirisininin hazırlanması hususundaki yardımlarından dolayı sayın

H o c a m Ord. Prof. Dr . Aydın Sayılı 'ya teşekkür ederim.

1 Cyreneli Eratosthenes (M.Ö.284) İskenderiye Çağının önemli matematikçi lerinden biri

dir. Ptoleme Euergetes ' in oğluna hoca olarak İskenderiyeye çağrılmış, sonra İskenderiye K ü t ü p

hanesi m ü d ü r ü olmuştur. Çeşitli eserleri vardır . En önemli çalışması arzın çevresini ölçmesidir.

Bak. H e a t h , A History of Greek Mathematics. Cilt I I , Oxford, 1921, S. 104-109.

2 H e a t h , S. 244; P.Brunet ve A.Mieli, Histoire des Sciences Antiqueté, Paris 1935, S.

112; Molla Lutfi'il Maqtûl, Bibliothécaire du Sultan Mahomet II, La Dublication de l'Autel

(Platon et le Problème de Delos) Arapça met in Şerefeddin Yal tkaya taraf ından hazırlanmış,

Abdullah Adnan ve H.Corbin taraf ından Fransızcaya tercüme edilmiştir. Paris 1940,

88 SEVİM TEKELİ

ra Kios'lu Hippochrates 3 ilk defa olarak ortalama oran bulmak şartı ile mese

leye bir çözüm yolu buluyor.

Bir zaman sonra Delos'lular sunak taşının hacminin iki katına çıkarılma

sına dair rehberlerinden emir alıyorlar. Onlar da ayni zorlukla karşılaşıyorlar.

Bunun üzerine Eflâtun ve Akademideki diğer geometricilere bir çözüm yolu

bulunması için baş vuruyorlar.

Daha sonraları İzmirli Theon 4 'un Eratosthenes'in bu mektubundan ikti

baslar yapmış olduğunu öğreniyoruz. İzmirli Theon bu mektubunda şöyle

demektedir. "Salgın hastalıktan kurtulacak olurlarsa mevcut olanın iki katı

bir sunak taşı yapmaları lâzım geldiğini Tanrı rahibe vasıtası ile Delos'lulara

bildirdiğini Eratosthenes Platonicus adlı yazısında hikaye eder."

"Ehil kişilerin bir hacmin iki katına eşit benzer bir hacmin bulunması

hususunda göstermiş oldukları gayretlerinde şaşkınlığa uğradıklarını, bunun

üzerine Eflâtun'a bu konuyu sormaya gittiklerini ve Eflâtun'un rahibenin

esasında Tanrının hacmi iki katına çıkarılmış bir sunak taşı istemediğini, fa

kat bu problemi ortaya atmaktaki asıl maksadının zamanlarında matematik

ve geometriyi ihmal ettikleri için Yunanlıları utandırmak olduğunu söylemiş

t i r . " 5

Yunan Çağında pek çok kimselerin bir çözüm bulmak için çeşitli yollar

izlediklerini biliyoruz6.

3 ChiosluHippochrates 450-430 (M.Ö.)yılları arasında Atinada yaşamış t ı r .En önemliYunan

matematikçi lerinden biridir. Dörtgenleştirme ve "Küpün iki katını bulma" problemleri üzerinde

gayet dikkatl i araşt ırmalar yapmışt ır . "Bir küpün iki katını bulma" problemini birbirinin iki

k a t ı ve orantı l ı iki uzunluk bulma şekline sokmuştur. G.Sarton, Introduction to the History

of Science, Cilt I. Balt imore 1927.

4 İzmirli Theon 127-132 (M.Ö.) seneleri civarında İzmirde yaşamıştır. Bir P la toncu filozof

tur . Eflatun'u okumak için gerekli olan matematik bilgi adlı bir eseri vardır. Venus ve Mercury'nin

güneş e t fannda dolandığından bahseder. Arz kâ inat ın merkezi fakat güneş onun kalbidir. Sar-

ton, Cilt I, S. 272.

5 H e a t h , Cilt I, S. 245-246.

6 Archytas dördüncü asrın ikinci yarıs ında (M.Ö.) yaşamıştır. Zamanı göz önüne alınırsa

Archytas ' ınki en önemli çözümlerden biridir. Bir düzlemde değil, bir mekândaki çözümdür.

Problemi bir koni, bir silindir ve bir torun kesişmesinden faydalanarak çözmüştür. Eudoxos

(367-408 M.Ö.)'un çözümü bir bak ıma Archytas ' ın çözümünün aynıdır.

Menaechmos dördüncü asrın ikinci yarıs ında (M.Ö.) yaşamıştır . Çok önemli matematikçiler

den biridir. Özellikle koni kesitleri üzerinde çalışmış ve çeşitli koni kesitlerinin kesişmesinden

faydalanarak iki çözüm şekli bulmuştur .

Ef lâtun 'a (428-348 M.Ö.) atfedilen çözümde ise doğruların kesişmesinden faydalanıl-

mıştır. Mekanik bir çözümdür. Eratosthenes ' inki de mekanik bir çözümdür.

İSLÂM DÜNYASINDA DELOS PROBLEMİ 89

İslâm Dünyasına gelince bu konu ile ilgilenilmediğini görüyoruz. Şimdiye

kadar sadece bilinen iki misal vardır. Bunlardan biri İbn al Hüseyin'in misa

lidir.7 Diğeri İslâm Geç-Ortaçağında Osmanlılarda Molla Lütfi'nindir.8 Adnan

Adıvar, Osmanlı Türklerinde İlim adlı eserinde bu konuya değindiğinde "Vel

hasıl bu efsanevî hikâye İzmirli Theon'dan başka Plutarque'm De Genio Socra-

tism de bir diyalog şeklinde geçer. İşte bu hikâyenin araplara geçmemiş oldu

ğunu Julius Lippert Studien auf dem Gebiete der grieshisch-arabischen Litteratur

adlı eserinde söylemekte ise de Zekeriya Kazvinî'nin Asâr-ül-Bilâd (nsr. Wüs

tenfeld, 385)'ınde bir kaç satırla yazılmış olduğu görülmektedir. Fakat Molla

Lutfî'nin risalesi okunursa görülürki, onun me'hazı Asâr-ül-Bilâd olamaz;

belki Molla Lutfi İstanbulda Theon'un yahut Plutarque'ın eserlerini elde et

miş veyahut bir Bizanslı âlimden meseleyi dinlemiş olabilir."9

Yunanda pek çok çözüm yollan bulunmuş ve üzerinde durulmuş olan

bu konunun İslâm Dünyasında bu kadar nadir ele alınmış olması özellikle

dikkati çekecek bir durumdur. Bu yüzden Adnan Adıvar ve Corbin Molla

Lûtfi'nin bu konuyu işlemesinin nedenini Bizans kültürünün İslâm Dünyasına

bir etkisi olarak göstermek isterler.1 0

1966 yazında İstanbul Kütüphanelerinde yapmış olduğumuz araştırma

lar durumun böyle olmadığına dair ip ucu verecek niteliktedir. Süleymaniye

Kütüphanesinde, Hüseyin Hüsnü Paşa Kataloğunda No. 1292 kayıtlı Sahâ-

viye fi ilm al Hisab adlı bir yazma vardır. Yazarı 16 inci asırda yaşamış olan

Abdülkâdir b.Ali as Sâhâvî'1 1dir. Bu cildin sonunda, katalogda da belirtildiği gi-

Nicomedes ikinci asrın birinci yarıs ında yaşamıştır . Problemi conchoid adlı bir eğrinin yar

dımı ile çözmeye çalışmıştır.

Apollonius (262-? M.Ö.), Heron (birinci asrın birinci yarısında) ve Phi lon'un (ikinci asır)

çözümlerine gelince bunlar hemen hemen birbirine benzeyen çözüm şekilleridir.

Diocles ikinci asrın birinci yarısında (M.Ö.) yaşamıştır . Cissoid adını verdiği bir eğri ile

çözümlemek istemiştir.

Spirus ile Pappus (üçüncü asrın ikinci yarısı (M.Ö.) ise bunu Diocles tarz ında ele almışlar

dır. Bak. H e a t h , Cilt I,S. 244-273; Brunet ve Mieli, S. 412-415.

7 İbn al Hüseyin, Abu Cafer, Al Hucendî 'den biraz sonra yaşamıştır . Üçgenler ve bir kü

pün iki katını bulma ile ilgilenmiştir. Sorton, Cilt I, Baltimore, 1927, S. 718.

8 Molla Lütfi veya Sarı Lütfi F a t i h devrinin en önemli matematikçi ler inden biridir. Ali

Kuşçu 'dan ders almış ve F a t i h ' i n K ü t ü p h a n e memurluğunu yapmış matematiğe ait çeşitli eser

ler kaleme almıştır. Bak. Adnan Adıvar, Osmanlı Türklerinde İ l im, İ s tanbul , 1943, S. 44-47.

9 Adnan Adıvar, S. P. 44-72.

10 Molla Lutfi ' l Maqtûl, S. 30.

11 Abdülkâdir b.Ali as Sahâvî 1591 yılı civarında ölmüştür Muhtasar fi İlm al Hisab

adlı bir makale kaleme almıştır. As-Sahâvîye adı ile tanı l ır . Bu eser 1892 yılında Kahirede basıl

mıştır. Bak. Suter, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, Leipzig 1900,

S. 193.

90 SEVİM TEKELİ

bi,başka makaleler de vardır. Bunlardan biri İki hata kaidesi adı verilen tek

niğe dair bir risale dir. Bu makale çeşitli konulara dair çeşitli yazmalardan ya

pılmış derlemelerden meydana gelmiştir. Bu arada bir küpün iki katını bulma

için de iki kaideden söz edilir. Bu kaidelerden biri Mecmuadan diğeri Zeyl-î

Tahrir-î Oklidesden alınmıştır. Bütün çabalarımıza rağmen Mecmuanın kimin

tarafından yazılmış olduğunu bulamadık. Mecmua adı ile başlayan pek çok

yazmanın bulunması bu işi gerçekten zor bir duruma sokmaktadır. Mecmua

dan alınmış olan kaide söz konusu edilirken yazar Zeyl-î Tahrir-î Öklides'i

Nasirüddin-î Tûsî'ye atfetmektedir.

Bu çözümlerden Mecmuadaki Heron'un çözümünün ve Zeyl-î Tahrir-î

Oklidesteki ise bir bakıma Philon'un çözümünün aynıdır.1 2

"İki hata kaidesi adı verilen tekniğe dair bir risale"den iki kısım.

Bir küpün iki katını bulma kaidesi : Bu bir küpün iki katını bulma kaide

sinin gerçeklenmesidir. AB doğrusunu sunağın bir kenarı olarak farz edelim.

AC bunun iki katına eşit olsun. Her ikisi bir dik açı meydana getirsinler. AB

CD dörtgenini tamamlayalım. AD köşegenini çizelim ve onu T noktasında ikiye

bölelim. DB ve CD doğrularını aynı yönde uzatalım. Cetvelin kenarını A nok

tası üzerine koyalım ve cetveli uzatılmış doğrular üzerinde ZT ve HT doğru

ları eşit oluncaya kadar hareket ettirelim. Böylece AB,HB,ZC,AC terimleri

devamlı bir orantı meydana getirirler

yani AB/BH=ZC/AC

12 Bak. Heath, S. 262-264.

D F C z

F

A R

M


Zarurî olarak T noktasından geçen çap BC yi çizelim. T noktasından DC

üzerine TF dikmesini çıkaralım. O,CD nin orta noktasına iner. 1 3 Şu halde

Oklid'in 2'inci kitabının 6'ınci teoremine 1 4 göre

D Z . C Z + F C 2 = F C Z 2

Her iki tarafa FT 2yi ilâve edelim.

D Z . Z F + F C 2 + F T 2 = F C Z 2 + F T 2

Pitagor teoremine göre

F C 2 + F T 2 = C T 2

Gine Pitagor teoremine göre1 5

F C Z 2 + F T 2 = Z T 2

Şöyle diyebiliriz

D H . H B + T B 2 ( = C T 2 ) = H T 2 ( = Z T 2 )

Şu halde DZ . Z C = D H .HB

Şöyle denilebilir

DZ/HD yani AB/BH

kitap 6, teorem 4 1 6 , 1 7 ve kitap 5, teorem 16 göre. 18

13 CTF ve FTD dik açılı üçgenlerinde kenar TD=kenar CT ve TF kenarları ise müşterektir. Şu halde benzerlik teoremine göre

D F = F C Ahmed al Mevlevi

14 Bak. Great Books of the western world, Cilt II , S. 33.

15 Yani TF doğrusu DB doğrusuna dikey olarak çıkarılmıştır ve onun yarısından daha

büyüktür. Şu halde

DH. H B + B F 2 = H F 2

Sözü geçen teorem 6 ya göre FT 2 yi her ikisine ilâve ederiz. Şu halde

DH. H B + B F 2 + T F 2 = H F 2 + F T 2

B F 2 + T F 2 = T B 2

D H . H B + T B 2 = H F 2 + F T 2 Pitagor teoremine göre.

Ahmed al Mevlevi

16 Kitap 6, teorem 4, "Eşit açılı üçgenlerde eşit açılar karşısındaki kenarlar birbirleriyle

orantılıdır. Bak. Great Books, Cilt II , S. 102.

17 HDZ ve ABD üçgenleri eşit açılı üçgenlerdir.

Çünkü D = B = 9 0 °

Geri kalan açılar da eşittir. Şu halde sözü edilmiş teorem 4 de göre iki üçgende karşılıklı ke

narlar orantılıdır, yani

DB/AB=DH/BH

ve DZ/DH=AB/BH kitap 5, teorem 16 göre.

Ahmed al Mevlevi

18 Eğer dört terim birbirleriyle orantılı iseler, devamlı olarak ta birbirleriyle orantılıdır.

Bak. Great Books, Cilt II , S, 92.

92 SEVİM TEKELİ

D Z / D H yani A B / B H = H B / Z C

kitap 6, teorem 16'ya göre.

D Z / D H yani A B / B H = H B / Z C = Z C / C A

yukarda söz konusu edilen teorem 4 ve kitap 5, teorem 16'ya göre.1 9

Hoca Nasirüddin Zeyl-î Tahrir-î öklides'te, kitap 12, teorem 15'in isbatında

bunu değişik bir tarzda ifade etmiştir.

Mademki A B / C A = A B / H B

ve A B / B H = B H / Z C = Z C / C A

ve AB/BH.HB/ZC.ZC/CA

beşinci kitabın girişine20 göre.

böylece A B 3 / H B 3 = A B / C A

teorem 36, kitap 11, 2 1

Bu istenilendir. Ancak Tanrı doğruyu bilir.

Mecmuadan nakledilmiştir.

Diğer bir tarz : Dördünün devamlı bir oran meydana getirmeleri şartıyla,

iki sınırlanmış doğru arasında bulunan iki doğru bulmamız mümkündür.

A dik açısını meydana getiren AB ve AC doğruları olsun (Şekil 2).

ABCD paralel kenarını tamamlayalım. Üzerine AB dairesini ve H merkezin

de kesişen AD ve BC çaplarını çizelim. AB ve AC yi uzatalım. D noktasın

dan BC ye paralel ZDF doğrusunu çizelim BH ve HC doğruları eşit oldu

ğundan ZF doğrusu D noktasında ikiye bölünür. Apollonius Koni kesitleri

adlı eserinin ikinci bölümünün dördüncü teoreminde 2 2 isbat etmiş olduğu tarz

da D noktasından geçen, fakat AB ve AC yi kesmeyen bir hiperbol çizeriz.

Bu DT hiperbolü olsun.

Eğer AB ve AC doğruları eşit olmuş olsalardı AH çapı BC ye hat ta ZF ye

dikey olacaktı. AD, ZF ye dik olduğu için ZF daireye ve kitabının ikinci bölü-

19 Geçen ifadeye göre HDZ ve AZC üçgenleri eşit açılı üçgenlerdir. Şu halde, DZ/CZ=DH/AC

sözü geçmiş teorem 4 göre ve DZ/DH=AB/BH kitap 5, teorem 16 göre.

Ahmed al Mevlevi 20 Bak. Great Books, Cilt II , S. 81 21 Bak. Great Books, Cilt II , S, 334 22 Bir açıyı çevreliyen iki doğru ve açı içerisinde bir nokta verilsin, bu noktadan geçen,

hiperbol adı verilen bu iki doğrunun da asimtotları olduğu bir koni kesitini çizmek.Bak. Apollonius, Conics. Great books of the Western World, Cilt II . S. 685

mündeki sekizinci teoreminde 2 3 isbat edildiği gibi ZD ve DF doğrularının eşit

liğinden dolayı aynı zamanda hiperbole teget olacaktır. AB, CF, BZ ve AC

doğruları eşit olacaktır. ABC, BZD, CDF üçgenlerinin benzerliği ve AB ve

AC kenarlarının eşitliği dolayısı ile CF ve BZ doğruları AB ve AC doğruları

arasında ve dördü arasında oran bulunacaktır.

Farklı olma durumuna gelince, söz gelimi AB doğrusu daha uzun olsun.

ADF açısının dar açı olması dolayısı ile ZF daireyi CD arasında kesecektir.

Bunun gerekçesi olarak hiperbolün daireyi kesmemesi ve hiperbol ile ZF doğ

rusu arasında bulunan daireden TD yayının ona teget olması lâzımdır. O za

man ikisi arasında, D noktası ile DT yayı üzerinde farzedilecek her hangi bir

23 Bir doğru hoperbolü iki noktada keserse, bunun iki yöne doğru uzantısı, asimtotları da

keser ve asimtotların ayırdığı parçalar eşit olur. Bak. great Books, Cilt I I . S. 687

A c

H

E

D B

1

K


F L

94 SEVİM TEKELİ

noktayı birleştiren doğrular bulunması mümkün olacaktır. Kitabının birinci

makalesinin otuz ikinci teoreminde 2 4 isbatlanmış olduğu gibi bu mümkün de

ğildir. Kitabının dördüncü makalesinin otuzuncu teoreminde 2 5 isbatlanmış

olduğu gibi D ve T noktalarında kesişsinler. D ile T yi birleştirdir ve K ve

L ye kadar uzatırız. CL ve BK doğrularının aranılan doğrular olduğunu söy

leriz. Kitabının ikinci makalesinin sekizinci teoreminde isbatlanmış olduğu

gibi bu böyledir. Çünkü asimtotlarla hiperbol arasında bulunan KD ve TL

doğruları eşittir.

ve TK . K D = D L .LT

Fakat T K . K D = A K . K B

Çünkü KT ve KA, K noktasından çıkıp daireyi kesen doğrulardır.

Aynı sebepten dolayı

DL . L T = L C .AK

İki tarafın eşitliğinden dolayı,

AK . K B = A L .CL

AK CL (ikinci) Şu halde

AL KB (üçüncü)

Gine AKL üçgeni benzer CDL üçgenine

AK CD = AB (birinci) Böylece

AL CL (ikinci)

Aynı şekilde AKB üçgeni benzer BKD üçgenine

AK CD = AB (birinci) KB

AL CL B D = A C (dördüncü)

öyle ise AB ve AC doğruları arasında devamlı oran meydana getiren iki

doğru bulmuş olduk. Zeyl-î Oklides'den.

24 Bir hiperbolün tepesinden geçen, ordinat lardan birine paralel ve hiperbole değen bir

doğru ile hiperbol arasında başka doğrular bulunamaz. Bak. Great Books, Cilt I I . S. 638.

25 H e a t h , Cilt 2, S. 158

THE WORKS ON THE DUBLICATION OF THE CUBE IN ISLAMIC WORLD *

SEVİM T E K E L İ

After Hippochrates had discovered that the dublication of the cube

was equivalent to find two mean proportionals in continued proportion

between two given straight lines mathematicians produced many solutions

in Antiquity1.

From the stand point of solving this problem the Islamic World strangly

stands apart from the Antiquity. Up to day, only two examples dealing with

this subject were known. The first attributed to İbn al Husain (Xth century

A.D). He wrote a memoir on determination two mean proportionals between

two lines by a geometrical method. Carra de Vaux prepared its abbreviated

French translation named Proportionelles entre deux droits, Bibliotheca Mathe

matical P. 3-4 2. The other named Dublication de l'Autel (Platon et le Prob

lème de Délos) edited by Şerefeddin Yaltkaya and translated in French by

Adnan Adıvar and H.Corbin attributed to Molla Lutfi, the librarian of Mu

hammad, the Conqueror.3

Although the former belongs to the early period this was not followed up

by the others. In consequence, Adnan Adıvar and Corbin see, in connection

with Molla Lutfî's at tempt on the solution of the dublication of the cube in

such a late period, Byzantium influence on the Islamic World.4 Similarly,

Adnan Adıvar gives the following statement in The Science in Ottoman Turks.

"This mythical story was mentioned by Plutarch in De Genio Socratism as a

dialogue besides Theon of Smyrna. Although Juluis Lippert says that this

* My thanks to Ord. Prof. Dr. Aydın Sayılı for his valuable help in the preparat ion and

the translat ion of the Persian text .

1 T.L. H e a t h , Greek Mathematics, Vol. I, 1921, P. 244-270 P.Brunet and A.Mieli, Histoire

des Sciences Antiquité, Paris 1935, P. 412.

2 G.Sarton, Introduction to the History of Science, Vol. I, Baltimore 1927, P.718.

3 Mollâ Lutfî'l Maqtûl, Bibliothécaire du Sultan Mahomet I I , La Dublication de l'Autel

(Platon et le Problème de Délos) Texte Arabe Publié par Şerefettin Yaltkaya, t raduct ion Fran

çaise et introduction p a r Abdulhak Adnan et Henry Corbin, Paris 1940.

4 Molla Lûtfî, P. 30

9 6 SEVİM TEKELİ

story was not introduced to the Islamic World in Studien auf dem Gebiete der

griechisch-arabischen ,Litteratur, Zakarîyâ Qazwînî mentions it in few lines in

his Athar al Bilâd. If this text is read it is seen that Athar al Bilâd can not be

the origin of this story. Probably Molla Lutfî might have obtained the books

of Theon or Plutarch in Istanbul or he might have heard the story from one

of the scientists of Byzantium." 5

In Süleymaniye Library in Istanbul a manuscript named Fi'Ilm al Hi-

sâb6 registered No. 1292 in the catalogue of Husain Husnî Pasha and written

by Abd al Qâdîr b.Ali al Sakhawi7 lived in 16th century have come to my

attention. As it is pointed out in the catalogue this volume contains other texts

among which A text about the method named the double false position by which

the unknown is extracted is found. In this text two methods on the dublication

of the cube quoted from Majmua' written in persian and Zail-î Tahrir-î Uqlî-

das are presented. We could not find out who is the author of the former but

he refers Zail-î Tahrir-î Uqlîdas to Naşir al Din al Tusî.

The solution quoted from Majmua' and Zail-î Tahrir-î Uqlîdas are really

the same as that of Heron of Smyrna lived in 2th century B.C. and Philon

lived in the same century respectively.8

Extracted from "A text about the method named the double false position

by which the unknown is extracted"

The method on finding the dublication of the cube : This is the verification

of this. Let AB be the side of a given cube and AC be equal 2AB. Let AB and

AC be placed at right angle. The rectangle ABCD is completed and the radius

AD bisected at the point T is drawn. The lines DB and DC are produced. A

ruler is placed so that its edge passes through the point A and moved about

D till ZT and HT become equal. Thus these four lines AB, HB,ZC, and AC form

continued proportion, that is to say,

AB/BH=ZC/AC

Let us draw the diamater BC which passes necessarily through the point

T and erect the perpendicular TF on the line DC at the point T. That line,

of cours, bisects the line CD. 9

5 A.Adıvar, Osmanlı Türklerinde İlim. I s tanbul , 1943 P.44-47.

6 H.Suter, Die Mathematiker und Astronomen del Araber und ihre Werke, Abhandlungen

zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften, Leipzig 1900, P.193.

7 Suter, P. 193.

8 H e a t h , P. 262-264.

9 In right triangles CTF and F T D .

İSLÂM DÜNYASINDA DELOS PROBLEMİ

So D Z . C Z + F C 2 = F C Z 2

according to theorem 6 of book 2 of Euclides.1 0

Add F T 2 to both sides

D Z . Z F + F C 2 + F T 2 = F C Z 2 + F T 2

By applying Pythagoras' theorem

F C 2 + F T 2 = C T 2

Similarly11 F C Z 2 + F T 2 = Z T 2

We can say D H . H B + T B 2 (=CT2)=HT2 ( = Z T 2 )

So DZ . C Z = D H .HB

That is to say

D Z / D H e.i AB/BH

according to theorem 4 of book 61 2,1 3 and theorem 16 of book 5

D Z / D H e.i A B / B H = H B / Z C

according to theorem 16 of book 6

D Z / D H e.i A B / B H = H B / Z C = Z C / C A

T D = C T i s given

and TF i s common

so according to the similarity

D F = F C

Ahmad al Mawlawî.

10 Great Books, Vol. I I , P. 33

11 T h a t is to say, TF is perpendicular to DB

and T F > 1 /2DB

s o D H . H B + B F 2 = H F 2

according to above mentioned theorem 6 we add F T 2 to both sides

D H . H B + B F 2 + F T 2 = H F 2 + F T 2

s o B F 2 + T F 2 = T B 2

according to the theorem of Pythagoras

D H . H B + T B 2 = H F 2 + F T 2

Ahmad al Mawlawî.

12 Great books, Vol. I I , P. 102.

13 The triangles H D Z and A B H are equiangular because

D = B = 9 0 °

the remainings are equal. So according above mentioned theorem 4 in equiangular triangles the

sides about the equal angles are proportional, t h a t is to say,

B D / A B = D H / B H

and D Z / D H = A B / B H according to book 5, theorem 16.

Ahmad al Mawlawî.

14 Great Books, Vol. I I , P. 92.

98 SEVİM TEKELİ

according to above mentioned theorem 4 and theorem 16 of book 5 1 5 .

It has been indicated in a different manner in the Tahrir-î Uqlîdas which

Khwâja Naşîr al Din has written for the purpose of proving theorem 15 of

book 12

As A B / C A = A B / H B

and A B / B H = B H / Z C = Z C / C A

and AB/BH.HB/ZC.ZC/CA

according to the introduction of book 5 1 6 .

So A B 3 / H B 3 = A B / C A

according to theorem 36 of book 11 1 7 .

This is desired. Only God knows the t ruth.

Extracted from Majmua .

An another way. It is possible to find two lines which fall between two

lines in continued proportion.

Let there be the lines AB and AC forming the right angle A. Let the

quadrilateral ABCD be completed. The circle AB and the diameters AD and

BC intersected at the point H be drawn. We produce the lines AB and AC.

The line ZDF, parallel to BC through the point D, is drawn. As BH and HC are

equal so the line ZF is bisected at the point D. We draw a hyperbola passing

through the point D but not cutting the lines AB and AC as Apollonius proved

in proposition 4 18 of the second section of his book named Conies. Let it

be the hyperbola DT.

If the lines AB and AC would have been equal to the diameter, AD would

be perpendicular ZF and ZF will be tangent to the circle and the hyperbola

because of the equality of the lines ZD and DF as proved in proposition

15 H D Z and AZC are equiangular triangles

so D Z / C Z = D H / A C

according to above mentioned theorem 4.

D Z / D H = A B / H B

according to book 5, theorem 16.

Ahmed al Mawlawî.

16 Great Books, Vol. I I , P. 81 .

17 Great Books, vol. I I . P. 334.

18 Creat Books, Vol. I I , P. 685.


8 19 of the second chapter of his book. The lines AB, CF, BZ and AC are equal.

As triangle BZD triangle CDF

and A B = A C

so the lines CF and BZ will be proportional; AB and AC also. There will be an

equivalance between them.

As for not being equal, that is to say, AB being greater. ZF will cut the

circle through CD as the angle ADF is an acute angle. As a result of this the

hyperbola will not cut the circle and the arc ZF between the hyperbola and

the line ZF will be tangent to t h a t . At that time, there will be lines between

them joining the point D and any point supposed on the arc TD. It is not

possible as proved in proposition 32 20 of the first chapter of his book. As it is

proved in the proposition 30 21 of the fourth chapter of his book they intersect

each other at the points D and T.

We join the points D T and produce it in K and L. We say that the lines

CL and BK are desired lines as proved in the proposition 8 of the second

chapter of his book.

KD and TL are equal because, these are the lines between the hyperbola and

its asymptotes.

And TK . K D = D L .LT

but TK . K D = A K .KB

So the lines KT and KA drawn from the point K cut the circle.

D L . L T = L C . A K

DL . L T = L C .AK having the same reason.

A K . K B = A L . C L as two sides are equal.

CL (the second) AK

AL KB (the third) So

At the same time triangle AKL triangle CDL

so

AK C D = A B (the first)

AL CL (the second)

Similarly triangle AKL triangle BKD

19 Great Books, Vol. II , P. 685.

20 Great Books, Vol. II , P. 638.

21 Heath, Cilt 2, S. 158.

AL CL B D = A C (the fourth)

So we find two lines which form continued proportion between the

lines AB and AC. This is what we want. From Zail-i Tahrir-î Uqlidas.

therefore

100 SEVİM TEKELİ

AK CD=AB (the first) KB

102 SEVİM T E K E L İ

105 b

106 a


104 SEVİM TEKELİ

106 b

107 a


Documents

delos problemi