UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

CALCULO EN LA

DEFORMACION DEL

CONCRETO

INTRODUCCION

Los adelantos recientes en los mtodos de anlisis y diseo plstico, y en el desarrollo aceros y concretos de alta resistencia, permiten obtener miembros esbeltos y estructuras flexibles en los cuales son significativas las deflexiones. El clculo de deflexiones tambin es importante para la estimacin de las rigideces de elementos estructurales.

El clculo de deflexiones tiene dos aspectos. Por un lado, es necesario calcular las deflexiones de miembros estructurales bajo cargas y condiciones ambientales conocidas; por otro, deben establecerse criterios sobre lmites aceptables de deflexiones. Ambos aspectos son complejos por las siguientes consideraciones.El comportamiento del concreto es funcin del tiempo y, por consiguiente, en cualquier enfoque riguroso debe tenerse en cuenta la historia de carga del miembro investigado. En la prctica, esto no es posible generalmente, ya que las condiciones de carga son muy variables, tanto en magnitud como en el tiempo de aplicacin.

La determinacin de limites aceptables desde estos dos puntos de vista ha recibido poca atencin por parte de los investigadores, aunque se han establecido algunas reglas empricas que limitan las relaciones deflexin / claro, o bien, los valores absolutos de las deflexiones.Las consideraciones anteriores se refieren a las deflexiones bajo cargas de servicio. Las deflexiones y colapsos de un elemento tambin son de inters para ciertos aspectos del diseo estructural, ya que son una medida de la capacidad de estructuras hiperestticas para absorber energa.

SIGNIFICADO DE LA PRESENCIA DE DEFORMACIONES

El mtodo de anlisis y diseo por esfuerzos de trabajo que se emple antes de la dcada de 1970, limitaba el esfuerzo en el concreto al 45% de su capacidad a compresin y los esfuerzos en el acero a menos del 50% de su resistencia de fluencia. En la actualidad se utilizan en el diseo por resistencia concretos con resistencias ms altas que tienen valores de fc por encima de 12,000 psi (82.74 MPa) ; esto y el aumento del conocimiento de las propiedades de losmateria1es han dado por resu1tado la aplicacin de factores de carga menores y una reserva de resistencia mas reducida.

Las vigas y losas se construyen generalmente como parte monoltica de un sistema integrado y rara vez como miembros aislados. Las deformaciones excesivas de una losa de piso pueden causar dislocaciones en los muros divisores que soporte. Lasa deformaciones excesivas de una viga pueden daar a los muros divisorios del piso inferior y una deformacin demasiado grande de una viga en el marco de una ventana, puede agrietar los cristales de una ventana. En el caso de pisos descubiertos o azoteas, como en los pisos superiores de los estacionamientos, pueden resultar estancamientos de agua.

COMPORTAMIENTO DE VIGAS SUJETAS A DEFORMACIONES

La relacin carga- deflexin de una viga de concreto reforzado es bsicamente trilineal, como se idealiza en la figura 01 se compone de tres regiones previas a la ruptura: 3.unknown

Regin 1: etapa anterior al agrietamiento, en la que un miembro estructural esta libre de grietas. Regin 2: etapa posterior al agrietamiento en la que el miembro estructural desarrolla grietas controladas y aceptables tanto por su distribucin como por su anchoRegin 3: etapa de agrietamiento posterior a las condiciones de servicio donde el esfuerzo del refuerzo de tensin alcanza el estado lmite de fluencia 6.unknown

Etapa anterior al agrietamiento: regin 1

El segmento de la curva carga-deflexin anterior al agrietamiento es esencialmente una lnea recta que define un comportamiento totalmente elstico. 7.unknown

Etapa bajo carga de servicio posterior al agrietamiento: regin 2

La regin anterior al agrietamiento termina con el inicio de la primera grieta y se desplaza a la regin II del diagrama carga-deflexin de la figura 01. La mayora de las vigas se encuentra en esta regin, cuando estn bajo cargas de servicio. Una viga tiene grados diversos de agrietamiento a lo largo de su claro, que corresponden con los niveles de esfuerzo y deflexin en cada seccin; por lo tanto, las grietas son ms anchas y profundas al centro del claro, en tanto que cerca de los apoyos de una viga simple slo se desarrollan grietas estrechas.

En este estado lmite de agrietamiento en cargas de servicio, se desprecia la contribucin a la rigidez de la zona en tensin del concreto. Se puede calcular el momento de inercia de la seccin agrietada que se designa como Icr a partir de los principios bsicos de la mecnica para calcular el momento de inercia se de determinar el valor de la profundidad del eje neutro c, por el equilibrio de fuerzas horizontales.El valor de c se puede obtener resolviendo la ecuacin cuadrtica:

(04)

el momento de inercia Icr se puede obtener de:(05)

Etapa del agrietamiento posterior a las cargas de servicio y estado lmite de deflexiones durante la falla: Region 3

El diagrama carga-deflexin de la figura 01, ,es considerablemente ms plano en la regin 3 que en las regiones precedentes. Esto se debe a la prdida sustancial de la rigidez de la seccin a causa del. extenso agrietamiento y el engrosamiento considerable de las grietas estables en todo el claro.

El diagrama carga-deflexin de la figura 01, ,es considerablemente ms plano en la regin 3 que en las regiones precedentes. Esto se debe a la prdida sustancial de la rigidez de la seccin a causa del. extenso agrietamiento y el engrosamiento considerable de las grietas estables en todo el claro. A medida que la carga contina incrementndose, la deformacin Es de las varillas de acero en el lado de tensin, se sigue incrementando ms all de la deformacin de fluencia y, sin esfuerzos adicionales. Se considera que en esta etapa, la viga ha fallado estructuralmente por la fluencia inicial del acero de tensin.

DEFORMACIONES A LARGO PLAZO

Existen factores que son funcin del tiempo que amplifican la magnitud de las deformaciones; por consecuencia, el ingeniero diseador debe evaluar las deflexiones inmediatas y las de largo plazo, con el objeto de garantizar que sus valores satisfacen los lmites mximos permisibles para una estructura particular y su funcin especfica.

Los efectos dependientes del tiempo son causados por las deformaciones superpuestas del flujo plstico, de contraccin y de temperatura. Estas deformaciones adicionales inducen un cambio en la distribucin de los esfuerzos en el concreto y en el acero, que resultan en un incremento de la curvatura del elemento estructural para la misma carga externa.

PROCEDIMIENTO DE CALCULO PARA LAS DEFORMACIONES Y DIAGRAMA DE FLUJO

Las deformaciones de las estructuras, afectan a su apariencia esttica tanto como a su utilidad de servicio a largo plazo. Despus de que el miembro estructural se disea por flexin, se debe sguir paso a paso el siguiente procedimiento:

1. Comparar el peralte total de diseo del miembro con el valor mnimo permisible de la tabla 01. Si es menor que este valor, se procede con los clculos detallados para las deflexiones a corto y a largo plazo. Sin embargo, siempre es aconsejable realizar estos clculos detallados sin que importe la comparacin con la tabla 01.

2. Como primer paso, los clculos detallados debern establecer:

(a) El momento de inercia bruto 1g.

(b) El momento de agrietamiento Mcr. que es una funcin del mdulo de ruptura del concreto.

Calcular la profundidad e del eje' neutro de la seccin transformada. Encontrar el momento de inercia de la seccin agrietada lcr.

Encontrar el momento de inercia efectivo le, como sigue:

Calcular la deflexin inmediata .con base en le para las tres combinaciones del paso 4, utilizando la expresin para la deflexin elstica. Si la viga es continua en ms de dos apoyos, encontrar el le promedio, como sigue:

Ambos extremos continuos

le promedio = 0.701m +0.15(le1 + le2)

Un extremo continuo:

le promedio = 0.851m + 0.151ec

6. Calcular la deflexin a largo plazo, encontrando primero el factor correctivo dependiente del tiempo

La deflexin a largo plazo es:

DEFLEXIONES BAJO CARGA DE SERVICIO DE CORTA DURACIN

En la figura 03 se muestra esquemticamente los estados de agrietamiento, esfuerzos y deformaciones unitarios en varias secciones transversales de una viga sujeta a flexin. Estos estados corresponden a cargas de servicio.En la regin en que el momento externo es menor que el que produce el agrietamiento del concreto en la zona de tensin, Mag, el elemento no tiene grietas, el concreto trabaja a tencin y contribuye a resistir en momento externo, las deformaciones unitarias son pequeas seccin A- A.

Si se conoce el estado de deformaciones unitarias en una seccin transversal, es posible calcular la curvatura en esa seccin dividiendo la deformacin unitaria en la fibra de concreto mas alejada, c, entre la profundidad del eje neutro, c, siempre que se acepte una distribucin lineal de deformaciones unitarias a lo largo del peralte. En la figura 04 se presenta la distribucin aproximada de curvaturas a lo largo de la viga, correspondiente a los estados de deformaciones de la figura 03.

Las variables principales, segn se deduce de la descripcin del comportamiento, son las siguientes:

a) Resistencia a la tensin del concreto. A mayor resistencia, menores deflexiones, porque es mayor la zona que no tiene grietas y es mayor la contribucin al momento resistente del concreto a tensin.

b) Mdulo de elasticidad del concreto. A mayor mdulo, menores deflexiones, porque las deformaciones unitarias y por consiguiente, las curvaturas, son menores.

c) Porcentaje de refuerzo de tensin. A menor porcentaje, mayores deflexiones, porque los esfuerzos y deformaciones unitarias en el concreto y en el acero son mayores.

d) Agrietamiento del elemento. A mayor agrietamiento, mayores deflexiones, porque los picos de curvatura son mayores.

Mtodos simplificados para el clculo de deflexiones inmediatas

En los mtodos simplificados, las deflexiones se calculan como si se tratase de un elemento de un material homogneo y elstico, para el cual fueran aplicables las siguientes ecuaciones de Mecnica de Materiales:Con esta hiptesis, ya no es necesario calcular la magnitud y distribucin de curvaturas a lo largo del elemento.Las diferencias entre los distintos mtodos consisten bsicamente en los valores del mdulo de elasticidad, E, y del momento inercia, l. Ambas cantidades resultan difciles de determinar para un elemento de concreto reforzado.

Mtodos de Yu y Winter

En el primero, se considera que E es el mdulo de elasticidad del concreto, Ec, y que I es el momento de inercia de la seccin agrietada transformada. En vigas libremente apoyadas se usa el valor de momento de inercia, 1, en el centro del claro, mientras que en vigas continuas, se usa el promedio de los valores de I en !as zonas de momento positivo y negativo El segundo mtodo es un refinamiento del primero que toma en cuenta la contribucin del concreto que trabaja a tensin entre grieta y grieta. Para no pasar por alto esta contribucin, las deflexiones calculadas con el primer mtodo, o sea, con el momento de inercia de la seccin agrietada transformada, se multiplican por el siguiente factor correctivo:

b = ancho del alma en la zona de tensinMmx ,= momento mximo bajo cargas de trabajoM1 = 0.04 (fc)2/3 h (h - c)M1 = 0.018 (f'c)2/3 h(h - c) en sistema SIh= peralte total c= profundidad del eje neutroLos mtodos de Yu y Winter fueron verificados con los resultados de noventa ensayes. Las deflexiones experimentales, en su gran mayora, no difieren de los valores calculados en ms de 20 por ciento. La verificacin indic que el segundo mtodo proporciona mejores resultados que el primero, pero la diferencia entre ambos es pequea

Mtodo del Reglamento ACI 318-89

Este mtodo est basado en los estudios realizados por Branson, segn los cuales el efecto del agrietamiento del concreto puede tomarse en cuenta usando en los clculos un momento de inercia efectivo promedio, le' a lo largo del elemento. El valor de le que se presenta en el Reglamento ACI es el siguienteMag es el momento de agrietamiento de la seccin homognea de concreto. El valor de Mag se obtiene de la frmula de flexin:

Metodo de las NTC

Segn las NTC, las deflexiones inmediatas pueden estimarse con los mtodos tradicionales de la Mecnica de Slidos, tomando como momento de inercia el de la seccin transformada agrietada. En vigas continuas se indica que se utilice un valor promedio del momento de inercia calculado con la expresin

Deflexiones bajo cargas de servicio de larga duracin (deflexiones diferidas)

Descripcin del fenmeno variables principales

Si una viga se deja bajo carga sostenida durante un largo periodo de tiempo, se observa que se forman nuevas grietas, se abren ms las grietas existentes y las deflexiones aumentan hasta duplicar o triplicar su magnitud. La explicacin de todo esto se encuentra en los fenmenos de contraccin y flujo plstico del concreto. A continuacin se describe la forma en que influyen con el tiempo la contraccin y el flujo plstico en el incremento de deflexiones.

Efecto de la contraccin

Este efecto se ilustra en la figura para una viga libremente apoyada con refuerzo de tensin nicamente. Las fibras superiores se acortan libremente, mientras que las fibras al nivel del acero de refuerzo se acortan menos por la restriccin del refuerzo.

Efecto del flujo plstico

Las deformaciones del concreto aumentan con el tiempo, mientras los esfuerzos disminuyen, porque el eje neutro de la seccin se mueve hacia abajo. Las deformaciones al nivel del acero de refuerzo permanecen prcticamente constantes, segn se ha podido comprobar experimentalmente

Mtodos para el clculo de deflexiones bajo cargas de servicio de larga duracin

Mtodos de Yu y Winter

Estos autores presentan dos mtodos. En el primero, el efecto del tiempo se toma en cuenta usando un mdulo de elasticidad reducido, Ect. En la tabla A se presentan los valores recomendados. El momento de inercia se calcula usando la seccin agrietada y transformada, con la relacin modular nl = Es/EctEl segundo mtodo consiste en multiplicar el valor de las deflexiones instantneas por un factor que depende del porcentaje de acero de compresin y de la duracin de la carga aplicada. Este factor se obtuvo estadsticamente a partir de resultados de 68 ensayes. En la tabla A se presentan los factores recomendados

Tabla A

Mtodo del Reglamento ACI 318-89

El Reglamento ACI 31 8-89 propone un procedimiento para calcular la deformacin adicional diferida debida a la carga muerta y a la parte de la carga viva que se considere ser de larga duracin.

El procedimiento consiste en multiplicar la deflexin inmediata debida al total de la carga que acte en forma continua por el factor dado por la siguiente ecuacin

Deflexiones totales de larga duracin

Factor de duracin de carga T

Mtodos de las NTC

Las NTC estipulan un mtodo fundamentalmente igual al del Reglamento ACI, pero distinguen entre concretos clase 1 y clase 2, ya que como se ha visto, los efectos del tiempo son mayores mientras menor sea el mdulo de elasticidad del concreto. As, para concretos clase 1, las deflexiones adicionales se obtienen multiplicando las inmediatas, calculadas como se indic anteriormente, por el factor

Deflexiones permisibles

El valor de las deflexiones permisibles para evitar daos en otros elementos, depende principalmente del tipo de elementos y de construccin empleados.

Control de deflexiones segn el Reglamento ACI 318-89

El Reglamento ACI 318-89 permite prescindir del clculo de deflexiones de vigas y de losas que trabajan en una direccin siempre que se satisfagan los peraltes mnimos dados en la tabla D y que se trate de elementos cuya deformacin no perjudique a elementos no estructurales. Pueden aceptarse peraltes menores si se calculan las deformaciones y stas cumplen con las limitaciones de la tabla E. Las limitaciones de la tabla D no garantizan que en algunas situaciones no lleguen a registrarse deformaciones excesivas, de manera que en elementos estructurales de importancia y en condiciones de carga poco usuales, es recomendable calcular las deflexiones con el fin de compararlas con los valores admisibles, aun cuando se cumplan los requisitos de la tabla D citada. Evidentemente siempre ser necesario hacer clculos de deformaciones cuando existe riesgo de perjudicar elementos no estructurales.

Tabla D: Peraltes totales mnimos de vigas y losas que trabajan en una direccin cuando no se calculan las deflexiones y cuando las deformaciones de elementos no perjudican a elementos no estructurales.

Tabla E

g

ag

mx

ag

g

mx

ag

e

I

I

M

M

I

M

M

I

-

+

=

1

3

`

50

1

r

l

+

=

T

LS

t

D

L

LT

D

+

D

+

D

=

D

l

l

a

EI

M

dx

y

d

=

2

2

dx

dx

EI

M

y

.

=

-

mx

M

M

b

1

1

g

ag

mx

ag

g

mx

ag

e

I

I

M

M

I

M

M

I

-

+

=

1

3

t

g

r

ag

y

l

f

M

=

4

3

2

1

e

e

e

e

I

I

I

I

+

+

=

Tabla A

Resistencia

(kg/cm2)

140 175 210 280 350

Edad al

aplicar

La carga

(das)

7 14 28 7 14 28 7 14 28 7 14 28 7 14 28

30 das

0.

55

0.66 0.79

0.5

8

0.71 0.86 0.60

0.7

5

0.91 0.63 0.79 0.97

0.66

0.83

1.0

4

90 das

0.

41

0.51 0.63 0.43 0.54 0.67 0.45 0.56 0.70 0.46 0.58 0.73 0.47 0.61 0.77

1 ao

0.

28

0.36 0.44 0.29 0.37 0.47 0.30 0.38 0.48 0.30 0.39 0.50 0.31 0.40 0.51

3 aos

0.

23

0.29 0.37 0.24 0.30 0.38 0.24 0.31 0.39 0.24 0.31 0.40 0.25 0.32 0.42

5 aos o ms

0.

22

0.28 0.35 0.22 0.29 0.37 0.23 0.29 0.38 0.23 0.30 0.39 0.24 0.31 0.40

`

50

1

r

l

+

=

T

Duracin T

5 aos o ms

2.

0

12 meses

1.

4

6 meses

1.

2

3 meses

1.

0

`

50

1

2

r

+

Duracin

de

e

Duracin

de

e

la carga A' =A la carga A'

A's = O A's = 1/2 As

s s

A's = O A's = 1/2 As

s

1 mes 1.58 1.42 1.27 2 aos 2.65 2.15 LE

3 meses 1.95 1.77 1.55 21/2 aos 2.72 2.16 LE

6 meses 2.17 1.95 1.69 3 aos 2.7b 2.18 1.8

9 meses 2.31 2.03 1.73 4 aos 2.87 2.20 1.8

1 ao 2.42 2.08 1.78 5 aos 2.95 2.21 1.8

1'/2 aos 2.54 2.12 1.80

Las deflexiones de larga duracin son iguales a las deflexiones instantneas multiplicadas

por los factores e de esta tabla

Las deflexiones que se obtienen con estos factores incluyen las

deflexiones instantneas.

Tipo de miembro

Deflexin a considerar

Deflexin permisible

Azoteas que no soportan o

que no estn ligadas a

elementos no estructurales

que puedan daarse por

deflexiones grandes. *

Deflexin inmediata

debida a la carga viva.

L/1 80

Pisos que no soportan o

que no estn ligados a

elementos no estructurales

que puedan daarse por

deflexiones grandes

Deflexin inmediata

debida a la carga viva.

L/360

Azoteas o pisos que

soportan o que estn

ligados a elementos no

estructurales que puedan

daarse por deflexiones

grandes.

L/480

Azoteas o pisos que

soportan o que estn

ligados a elementos no

estructurales que no

puedan sufrir daos por

deflexiones grandes.

La parte de la deflexin

total que ocurre despus de

que se ligan los elementos

no estructurales (la suma

de la deflexin de larga du-

racin debida a todas las

cargas sostenidas y la

deflexin inmediata debida

a cualquier carga viva

adicional).

L/240

Peralte mnimo, h

Elemento

Libremente

apoyada

Un extremo continuo

Ambos

extremos

continuos

Voladizo

Losas Macisas

L/20 L/24 L/28 L/10

Vigas y losas

Nevuradas

L/16 L/18.5 L/21 L/8