Bab 6Defleksi Elastik Balok6.1.PendahuluanDalam perancangan atau analisis balok, tegangan yang terjadi dapat diteritukandan sifat penampang dan beban-beban luar. Untuk mendapatkan sifat-sifatpenampang dan tegangan yang terjadi telah dibicarakan pada Bab 3 dan 4. Padaprinsipnya tegangan pada balok akibat beban luar dapat direncanakan tidakmelampaui suatu nilai tertentu, misalnya tegangan ijin. Perancangan yang berdasarkanbatasan tegangan ini dinamakan perancangan berdasarkan kekuatan (designforstrength).Namun demikian, pada umumnya lendutan/defleksi balok perlu ditinjau agartitik melampaui nilai tertentu. Dapat terjadi, dari segi kekuatan balok masih mampumenahan beban, namun Iendutannya cukup besar sehingga tidak nyaman lagi.Perancangan yang mempertimbangkan batasan lendutan dinamakan perancanganberdasarkan kekakuan (design for stiffhess).Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa metode untuk menghitunglendutan balok. Dalam kenyataan, lendutan balok diakibatkan oleh momen lentur dangaya geser secara bersamaan. Namun lendutan balok yang diakibatkan oleh lenturlebih dominan dibandingkan oleh geser. Pada uraian di bawah akan dibahas beberapacara perhitungan lendutan balok akibat lentur antara lain:-metode integrasi ganda (double integration)-metode luas momen (momen area)-metode superposisi (superposition)Oleh karena pengaruhnya cukup kecil, perhitungan lendutan akibat gaya geser tidakdiberikan pada buku ini.6.2.Persamaan Diferensial Kurva LendutanUniversitas Gadjah MadaGambar 6.1. Defleksi balok akibat lentur murniPada Gambar 6. diperlihatkan kurva defleksi batang yang menenirna lentur.Sebagaimana telah dibahas pada Bab 4, hubungan antara kelengkungan dan momenlentur murni telah diperoleh. yaitu:Sedangkan kurva suatu garis Iengkung dapat didefinisikan juga sebagai:dengan x dan y adalah koordinat titik pada suatu kurva.Umumnya defleksi balok sangat kecil dibandingkan dengan panjang bentangnya, makadxdxkemiringan dy sangat kecil, sehingga dy2 juga sangat kecil. Persamaan (6.2) dapat disederhanakan menjadi:1 d2 y r dx2 (6.3)Jika Persamaan (6.3) disubstitusikan dalam Persamaan (6.1), dengan memperhatikantanda dan sumbu koordinatnva maka diperoleh:Md22dxy = - El(6.4)6.2.1. Persamaan-persamaan Diferensial Balok Secara UmumPersamaan (6.4) juga dapat digunakan untuk balok secara umuni yangmenerima momen lentur yang tidak konstan atau penampang yang tidak prismatis.Persamaan-persamaan terdiri dari (Iihat juga Gambar 6.2):a. Syarat keseimbanganUniversitas Gadjah Madab. Hubungan geometri dan penggunaan sifat material22dM(x) = -El(x) dxy,(6.7) c. Kombinasi dari ketiga persamaan di atas didapatkan persamaan:Gambar 6.2. Bagian balok yang mengalami momen lentur M(x),geser V(x) dan beban q(x)6.2.2. Syarat-syarat BatasDalam penyelesaian persamaan-persamaan defleksi balok perlu diperhatikansyaratsyarat batas (boundary conditions). Syarat-syarat batas antara lain dapatberupa:a. Tumpuan jepit, terjadi defleksi dan kemiringan kurva lendutan yang sama dengannola adalah absis titik tumpuan yang terjepit.b. Tumpuan sederhana (sendi atau rol) rnempunyai defleksi nol dan tidak dapatmenahan momenUniversitas Gadjah Madac. Ujung bebas yang tidak menahan momen dan gaya lintang6.3.Beberapa Contoh Hitungan Lendutan BalokContoh 6.1 : Lendutan balok terjepit pada ujung yang satu dibebani momen padaujung yang lain.Momen pada setiap titik(sembarang) absis x adalahM(x) = -MEl = konstanGambar 6.3. Balok dengan salah satu ujung terjepit dengan beban momen padaujung lainnyaUntuk mencari C1, dan C2 digunakan syarat-syarat batas:Universitas Gadjah MadaJadi persamaan garis elastic:Lendutan ujung balok sebelah kanan untuk x = / adalahContoh 6.2.: Balok terjepit pada salah satu ujung dengan beban terbagi rata qGambar 6.4. Balok terjepit pada salah satu ujung dengan beban terbagi rata qSyarat batas:Jadi persamaan garis elastik:Universitas Gadjah MadaMaka lendutan ujung balok sebelah kanan untuk x =l adalahContoh 6.3 : Balok terjepit sebelah dengan beban titik pada ujungnyaGambar 6.5. Balok terjepit sebelah dengan beban titik pada ujungnyaSyarat batas:Persamaan garis lentur:Untuk x = lUniversitas Gadjah MadaP3 Lendutanf = ElContoh 6.4 : Balok diatas dua tumpuan sederhana (sendi-rol) dengan beban terbagirata qGambar 6.6 Balok diatas dua tumpuan sederhana (sendi-rol)dengan beban terbagi rata qSyarat batas:Universitas Gadjah MadaAtauLendutan balok maksimum (terjadi di tengah bentang), sebesar:6.4.Metode Luas MomenUntuk mendapatkan lendutan balok dengan metoda integrasi, seringkali dijumpaipersamaan yang rumit yang disebabkan oleh variasi dan diskontinuitas sertapenampang yang bervariasi (non prismatis). Berikut akan dibahas suatu cara lain untukmendapatkan lendutan balok yang dikenal dengan metode luas-momen (momen-area).Metode ini mempunvai pendekatan dan pembatasan yang sama dengan yangdipelajari selama ini, dimana hanya memperhitungkan lenturan balok (geserdiabaikan). Metode ini dapat digunakan untuk menentukan defleksi dan perputaransudut suatu titik tertentu pada balok.Perhatikan balok AR pada Gambar 6.7. Akibat sembarang beban, terjadi lendutanseperti diperlihatkan oleh garis putus-putus. Titik 1 dan 2 terletak pada balok. Jikadibuat garis singgung pada kurva lendutan di kedua titik tersebut, akan didapatkan sudut yang dibentuk oleh kedua garis singgung tersebut sebesar q12 .Universitas Gadjah MadaGambar 6.7. Metode Luas MornenBesarnya kelengkungan pada titik X yang berjarak x dari tumpuan sebelah kiri, sepertitelah dibicarakan pada Bab 4.2, adalah sebagai berikut:Untuk menurunkan persamaan-persamaan metode ini dapat digunakan lagiPersamaan (6.4) yaitu:Jika ditinjau bagian kecil dx akan terjadi perubahan sudut dq Untuk dv yang sangatdydqkecil didapatkan pula dx = dxMSebagai kesepakatan, digunakan tanda negatif jika garis singgung yang disebelah kanan berputar berlawanan dengan arah jarum jam atau:M(x)dxEl adalah luas bagian yang terarsir pada diagram El . Untuk mendapatkansudut q12 dilakukan dengan cara mengintegralkan luasan tersebut dan titik 1 sampai dengan titik 2:Universitas Gadjah MadaTergantung pada macam balok dan titik yang ditinjau, luas diagram MEl adalahbesaran aljabar yang dapat bernilai positif, negatif atau nol. Jika nilainya positif makagaris singgung pada titik disebelah kanannya akan berputar berlawanan arah jarumjam, jika nilainya negatif, gans singgung yang kanan berputar berlawanan arah jarumjam. Apabila nilainya nol, maka kedua garis singgung tersebut sejajar satu sama lain.Selanjutnya metode luas momen cocok dipergunakan untuk menghitung lendutan disuatu titik pada balok. Besarnya lendutan vertikal d21 antara titik 2 dan titik 2 yang terletak pada garis singgung yang melalui titik 1 (lihat Gambar 6.8).Gambar 6.8. Kurva lendutan balokDengan anggapan bahwa sudut dq sangat kecil, maka besarnya dd adalah:Selanjutnya lendutan d21 , didapat dengan mengintegralkan Persamaan (6.13) tersebut, sehingga menjadi:Ruas kanan tidak lain sama dengan momen statis luasan MEl antara titik 1 dan 2terhadap titik 2. Persamaan tersebut dapatjuga dituliskan sebagai berikut:Universitas Gadjah Mada=dS12-2 21Eldengan, (6.15)S12-2 = momen statis luasan M yang dibatasi oleh titik 1 dan 2 terhadap titik 2.6.5.Beberapa Contoh Hitungan Lendutan Balok dengan Metode Luas MomenLendutan ujung sebelah kanan:Gambar 6.9Contoh 6.6 : Mencari q dan d pada balok diatas dua tumpuan dengan beban titik. a) Mencari qa dan qb :Universitas Gadjah MadaGambar 6.10.b : jarak dan resultan beban bidang Mkepada titik BAgar didapatkan rumus yang Iangsung dalam P. a, b dan maka dapat diteruskanmenjadi:Universitas Gadjah Madab) Mencari lendutan disembarang titik x yang berada disebelah kiri dan kanan beban.b. 1) Ditinjau pada potongan x disebelah kiri beban P:Universitas Gadjah MadaDengan cara yang sama dapat dicari lendutan balok di sebelah kanan beban titik P,yaitu :c) Dengan menggunakan rumus di atas, maka besarnya lendutan di bawah bebanterpusat P adalah:d) Letak dan besarnya dmaksUniversitas Gadjah Mada(1Rumus berlaku jika 0