DefinicionesDefiniciones

SetSet Universal SetUniversal Set ElementElement Complete Set Complete Set

CAMPO?CAMPO?

EventEvent Sample Sample

Space, TrialSpace, Trial OutcomeOutcome Event Space o Event Space o

campo de campo de BorelBorel

contínuo

discreto

Dicótomade clasificación

No Dicótoma

bueno

de orden o rango malo

regular....

Promedios

media mediana y la moda

22

Variación

Varianza

x ( ) elementos del arreglo s

n n

x xx

Desviación EstándarDesviación EstándarPoblaciónPoblación MuestraMuestra

Dos Clases de ProblemasDos Clases de Problemas

ModeloKnown

( , )F x

predicción

E x Observaciones

P xxx

Observacionesunknown

( , )F x

estimación

ModelModel Prueba de Hipótesis( )f x

x

( )H i oi

o

III. Presentación de Gráficas de Datos

• Representaciones Gráficas de Tablas de Frecuencia.

Tabla 10. Distribución frecuencial de diez clases.

Figura 4. Polígono frecuencial basado en el histograma de la figura 3..

Figura 3. Histograma basado en la distribución frecuencia de la tabla 10.

Figura 5. Curva de frecuencia acumulativa basada en la columna de frecuencia acumulativa de la tabla 10.

II. Estadística Descriptiva

• Existen tres clases de promedios.

Media. Promedio que se obtiene al dividir al dividir la suma de n número entre n:

Mediana. Es el número que se encuentra a la mitad de n números que son ordenados en un arreglo del más grande al más pequeño o del más pequeño al más grande.

Moda. Número que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Media, mediana y moda también son conocidas como mediciones de tendencia central.

n

x

n

xx

(Media Poblacional)

(Media Muestral)

II. Estadística Descriptiva

• Intervalo. Distancia del número más pequeño al más grande. El conjunto de números debe está organizado en un arreglo.

• La varianza de un conjunto de números es una medida de la dispersión de los números alrededor de la media. Por lo tanto, es una medida de la variación en un conjunto de números.

n

x

2

2

2

2

1

n

xxs

(Varianza Poblacional)

(Varianza Muestral)

nn

xx

2

2

2

1

2

2

2

n

n

xx

s

II. Estadística Descriptiva

• Desviación estándar. Se obtiene al tomar la raíz cuadrada de la varianza.

• Las tablas de frecuencia ayudan a visualizar la distribución de una gran cantidad de números. Desafortunadamente no existe una fórmula para construir una tabla de frecuencia.

2

2ss

(Desviación Estándar Poblacional)

(Desviación Estándar Muestral)

nn

xx

2

2

1

2

2

n

n

xx

s

i

i

Discreto P x P

P 1

x

Recuerde

1

U(x)( )

( )dU x

xdx

1

x x

i

0 0

f ( ) P (x-x )

(x) (x) (0)

(x) (x-x ) ( )

(x) 1

x i

dx x

dx

2

2

2-

- x

- x

2 22

( )2

2

x

-

Ejemplos en el continuo

I) Normal f(x)=Ae 0

Ae A=

Obviamente

=

1 1 Si A=

2 2Si está corrida

1f(x)= e

2

1F(x)= f(y) exp

2

II)Uniforme

x n

dx

x ndy

1 22 1

1 f(x)= para x x x

x -x

0 en otro lado

6

2 b2 b+1

0 0

b+1

V) ama

(b+1)m= f( )=A ( )

c

( 1) A A y

c

( 1)

c A=

( 1)

VI) beta

b cx y

x x e cxU x

bx e dx e dy

c

b

b

b

1b

0

A x (1 ) 0 x 1 f(x)=

0

(b+1) (c+1) x (1 ) dx= = ( 1, 1)

(b+c+2)

(b+c+2)A=

(b+1) (c+1)

c

c

x

x b c

? (b,c)

22

22

-a|x|

2 2

x 2

2

x 2 223

VII) Laplace

f(x) = e2

aVIII) Cauchy f(x)=

IX) Rayleigh f(x)= e u(x) = 2

2X) Maxwell f(x)= e u(x) (2 )

2

x

x

x

2 2 2 2

2 =2

2 8 3 4 (3 )

Condicionales Bayes's

0

Ejemplos discretos

I) Bernoulli

1- , 0

( ) , 1

0,

II) Binomial P

p+q=1

f(x)= (

X

k n k

nk n k

k

p x

P x P X x p x

otro caso

p

nx = k p q

k

np

np q x

k

-a

!

)

II) Poisson

P a>0!

= y k 0

f(x)=e ( )!

xka

U

k

k

k

ax k e

xa

a

ax k

k

1

0

Ejemplos discretos

I) Geometrica

(1- ) , 1, 2...( )

0,

1/

II) Pascal

1 P

1

p+q=1

/

f(x)=

x

X

k n k

nk

k

p p xP x P X x

otro caso

p

nx = k p q

k

k p

np q

k

( )

III) Uniforme discreta

1/ ( 1), , 1,.....,( )

0, en otro caso

( ) / 2

{

n k

X

x k

l k x k k lp x

k l

x

k

valor esperado; dispersión; momentos

( )

x

z=x+jy E z =E x +jE z

Integral de Lebesgue

Si y=g(x) E (x) ( ) ¿Porqué?

( )P x=

Superposición

ejemplo

E ax+b E x

Varianza

n n n nn

kk

E x xf x dx

x P x x p

y g f x dx

g x x

a b

2 2 2

2n

2 2 2 2 2

2 2

2 2

E (x ) ( ) f ( )

(x ) P =x

E x 2x E x 2 E x

E x

E x E x

nn

x x dx

x

x

x

0

1x

22

E ( ) x

Si y=g(x) E ( ) ( ) ( )P x ( )

E ???

E ( ) E

E

E ? significado?

C

n n n nn

k k k kk k

n nn

n

n

n

x xf x dx x P x x p

y g x f x dx g x x g x P

Momentos

x

m x x f x dx x media

x m

M x

Momentos entrales

m

0

?

x 1

22

22 22 1 2

2 22

1

E ( ) ( ) ( )

varianza

n n

a n

a n

m

x x f x dx m

m

asi

m m m

m

momentos generalizados

m

M

iz i i i

El momento angular de un cuerpo rigido es:

concepto equivalente a el del momento lineal mv

y que lleva al concepto equivalente de fuerza llamado torca

=

L =m r v cos( / 2

i i i im

d dI dI I

dt dt dt

L r × v

ω ω Lτ α

2i i i

2z i

2i

2

2 2

) m (r )( ) m

de donde

L m

por lo que

m

en el continuo

y en el eje Z

( )

i i i i

iz ii i

ii

Z

sen R R

L R

I R

I R dV

I x y dV

k

a k

| | | |

y los generalizados

( ) en particular

M | |

k kk x

ka

k k

kk

M E x x f

m E x a

m

E x a am

Funciones de variables aleatorias

2

2

1 2

y

yy

E x E x

x :S

:

( )

y (x)

y :

z (x) (x)

( ) y (x)

( )( )

x

g

g x x

g

g jg

F y P y P g y

dF yf y

dy

h(e(x)) s(y)e(x)

Fe(x)

fe(x)

La media, la varianza

Fs(y)

?

fs(xy

-11 2

xx 1y

1

1

y x

pdf?

( ) , ,...,

( )( )f ( ) ....

| '( ) | | '( ) |

pero ( ) !!

y-by=ax+b x= '( ) a

a1 -

( )| |

y asen(x ) a>0

n

n

n

n

n

x g y con raíces x x x

f xf xy

g x g x

x g y función de y

g x

y bf y f

a a

yx arcsen

a

2 2

y x2 2

| | - ,....,

'( ) cos( )

1( ) ( )

n n

nn

y a n

g x a x a y

f y f xa y

y

x

x

y

#

:S

:

( ( ))

( ) al final es

:

( ) y ( )

( ) y=

( )

como se conoce

( )?

x

g

g x

si y g x

y

F y P y P g x y

f x P y P y

conociendo

f x

f y

y x

y x

( ) '( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

f y g y f g y

o

dxf y f g y

dy

x y

xy

Función de distribución conjunta y Función de densidad conjunta

Sean x & y dos r.v.

x y

x ( ) y ( )

y

x y x , y

La función de distribución acumulativa

( , ) x

x y

P x F x P y F y

x y x y

F x y P

x y

xy

2

, y

( ) ( ) son las marginales

En general F está relacionado a las marginales pero no hay una manera clara de calcularlo.

Función de densidad

( , ) ( , )

x y

F x y F y

F x yf x y

x

x , y ( , )

( , )x , y

( , )x , y

y

P x x dx y y dy f x y dxdy

F x yP x x dx y dx

xF x y

P x y y dy dyy

xy x

Variables Aleatorias independientes

Dos R.V. son estadísticamente independientes si los eventos x & y son independientes

Es decir x , y x y

( , ) (

x y

P x y P x P y

o F x y F x

y

xy x y

y y x x

) ( )

( , ) ( ) ( )

( | ) ( ), ( | ) ( )

Note y=g(x) y&x no son independientes.

F y

f x y f x f y

También f y x f y f x y f x

xyy

x

xyxy

yx

xy

xy 2 xy 1y 1 2

x 2 x 1

2

xy

1y 1 2

x 2 x 1

y

Funciones Condicionadas

( , )F ( |x )

(x)

( , )( , )

f ( | x )( )

( , )

F ( , ) F ( , )F ( | x )

F ( ) F ( )

f ( , )d

f ( | x )F ( ) F ( )

F ( |

x

x

x

x

F x yy x

F

F x yf q y dq

yy x

F xf q y dqdy

x y x yy x x

x x

x y x

y x xx x

y

xy

yx

xy xyy y

xxy

x yy

x

f ( , )

x ) F ( | )( )

f ( , ) f ( )f ( | x ) f ( | )

( )( , )

Teorema de Bayes

( | y ) ( ) ( | x )

( )

y

x p dp

x y xf x

x y xyy x y x

f xf x y dy

f x y f yf y x

f x

x yy

x

( | ) ( ) ( | )

( )

f x y f yf y x

f x

Todose puedeIntercambiarx con y

x y x y x y

x xy xy

y xy xy

( , ) ( , ) 2

(x,y) ( , )

D una región de S ,S D= S S , S S

( , )( , )

( , )( , )

( ) ( , ) ( , )

( ) ( , ) ( ,

y x

D

y

y

x

y

F x y f q p dqdp

P D f x y dxdy

F x yF x P dP

x

F x yF q y dq

y

F x F x f q y dqdy

F y F y f x p

x xy

y xy

)

( ) ( , )

( ) ( , )

dxdp

f x f x y dy

f y f x y dx

( , )f x y z

xy 1( , )f x y

x ( )f x

1x

y

Perfil a corte

x

11

01 10

Momentos

m E x y f( , )dxdy

orden del momento

m E x,y R correlacion?

m , m

E (x- ) (y ) ( - ) (

r r k rkr

xy

x y

k r kkr x y x y

x y x y

k r n

x y

2 220 02

11

x

) (x,y)dxdy

=

Covarianza E (x- ) (y )

Note E (x- ) (y ) E xy E x - E y

E xy E x E y

Coeficiente de corr

r

x y

k rx y

k rx y y x y

f

11

11

2 2x y

2

2 11 1120 02

20 20

elación

(x- ) (y ) r= =

E (x- ) E (y )

m mNote a) m m m y= x porque E x-y 0

m m

b) |r|=1 y=ax+b Rec

k rx y

x y

E

2

uerde

E (x-a) 0 x

con probabilidad 1

i.e s

a

2

2 2

i 0 o

Si E x E x x cte,

x

21 1 2 2

2 2 21 21 2

( 2 ( )( ) ( )1

2(1 r )

2

1 2

1 2 x 1 y 2

Ej. variables normales conjuntas

1f( , )=

2 1 r

E x E y , = , =

r coeficiente de la

x r x y y

x y e

x y

x y

correlación

i) Tienen probabilidades marginales f y f (y) normales

ii)Si r=0 2 R.V. normales son independientes.

( , ) ( ) ( )

¿Cómo se ve? con curvas de nivel elipses pues la forma cuadrática es p

f x y f x f y

2 2

1 2

1 2 21 2

ositiva-semidifinida

0

Las elipses tienen centro en ( , ) y su máximo es por tanto

1f( , )

2 1 r

Si son independientes las elipses estarán con sus ejes paralelos a los ejes coor

ax bxy cy dx dy

denados

pués no habrá términos cruzados

Note: Pero si son marginales normales No son Conjuntas Normales

zw xy

xy 1 1 xyzw

1 1

1 1

z=g(x,y) & w=h(x,y)

( , ) ( , )

( , ) ( , )

Sea el Jacobiano ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ............

| ( , ) | | ( , ) |

Donde ( , ),...,

zwD

n n

n n

F z w f x y dxdy

g x y g x y

x yJ x y

h x y h x y

x y

f x y f x yf z w

J x y J x y

x y

( , ) sean las soluciones reales de

g( )= & ( , ) para , en terminos de n nx y

x, y z h x y w x y z,w

y 1x 1zw

1 1

1 1

Si son independientes & z=g(x) w=h(y)

i) z& w son independientes

( )( )ii) ( , )

| '( ) | '( )

con ( , ) una única solución de g( )= & h( )=

g'( ) 0Porque J( , )= '

0 h'( )

f yf xf z w

g x h y

x y x z y w

xx y g

y

z

1 1 n

2 2 2

( ) '( )

Valor Esperado

z=y(x,y)

E z f ( )d

E (x,y) ( , ) ( , )

E g (x,y) .... (x,y) E g (x,y) .... E g (x,y)

E x+y E x E y

E (x+y) E x E y 2E xy

en general E xy E x E y

n

x h y

z z z

g g x y f x y dxdy

g

00

10 x 01 y

11 xy

11 xy

Momentos

m ?

m =1

m ,

( , ) Correlación

m E ( , )

k+ r = n orden del momento

m E R correlacion

k nkn

r r k rkr

E x y

m

m xyf x y dxdy

x y x y f x y dxdy

xy

01 10

2 220 02

11

m , m

Momentos Centrales

E ( - ) ( ) ( - ) ( ) ( , )

=

E ( - )( ) Covaria

x y

k r k rkr x y x y

x y

x y

x y x y f x y dxdy

x y

11

2 2x y

nza

Note E ( - )( ) E xy E x E y

Coeficiente de correlación

( - )( ) r= =

E ( - ) E( )

x y

x y

x y

x y

x y

x y

correlación es el producto punto de funciones.

Definiciones sobre dos r.v. x & y

1. No correlacionadas

como variables

2. Ortogonales

0 como funciones.

Note:

a) Si son no correlacionadas

x E xy

E xy E x E y

E xy

i) Covarianza e índice de correlación son cero

ii) o que y son ortogonales

i.e. 0, r=0

x y

x y

x y

E x y

2 2 2

y

2 2

b) La varianza de su suma es la suma de varianzas

) si 0 ó 0 son ortogonales también

d)

) independencia

( , ) ( ) ( )

es propiedad punto a punto y más fuerte qu

x y x y

x

2

x y

c

E (x+ y) E x E y

e

f x g f x f y

e la uncorrelated

f) Si son independientes uncorrelated la inversa no es cierto

/ excepto para r.v. normales

00

10 1

01 2

11

12 21

220

202

??

No están correlacionadas

E xy 0 Ortogonales

( ) ( )

1

Covarianza C=

)( )Coef. de correlación =

n knk x y

x y

x

y

x y

x y x y

E xy E x E y

E x y

c c

E (x - y C

recuerde

Multivariables (Normales)

1

2

21 1

n

1 2

211

22

2

2

21 12

221 2

23

x

x

. Normal N( , )

.

.

x

note .....

.

. .=

. .

. .

m

n n

X

x x x

c

c

c

1x

2

.

.

n

Matriz de transformación

es no singular

Co

= + g( )

=

-1 -1

y x

Ty x

y Ax b x

x A y - A b A

μ = Aμ + b

C = AC A

21

2

?

varianza

Caso Especial

.No correlacionados en normales

= . Diagonal Son independientes

.

n

TxSC S

Siempre y cuando sea positiva definida

i.e. 0 positiva distinta

0 positiva semidenifida

o no negativa

x

T

C

xCx

< 0 Negativa Definida

0 o Negativa semidefinida

o No positiva

Ejemplo de normales

-(.......)e