1. Definicin de Ecuacin diferencial de orden (homogneas, no homogneas), citar seis ejemplos: 2 ejemplos de ecuaciones de orden 4, de orden 3 y de orden 2 especificando si es homognea o no. ECUACIONES DIFERENCIALES (DENNIS G. ZILL, MICHAEL R. CULLEN)MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERIA (ERWIN KREY

ECUACION HOMOGENEAUna ecuacin diferencial lineal de n-simo orden de la forma

se dice que es homognea, mientras que una ecuacin

con g(x) no igual a cero, se dice que es no homogneaECUACION HOMOGENEA

(1)

Si no es idntica a cero, la ecuacin se llama no homognea.

EJEMPLOS

1. 2. 3. 4. 5. 6.

2. Defina problema de valor inicial para ecuaciones lineales de orden superior (2 ejemplos de orden dos y tres no requiere resolverlos, slo citar el ejemplo explicando por qu es un problema de valor inicial).

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PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Para una ecuacin diferencial lineal, un problema con valores iniciales de n-simo orden es

Resuelva

Sujeta a ,

Para un problema como ste se busca una funcin definida en algn intervalo I, que contiene a , que satisface la ecuacin diferencial y las n condiciones iniciales que se especifican en: , .PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Un problema de valor inicial para la ecuacin (1) se compone de (2) y n condiciones

,

Donde es algn punto fijo en el intervalo I considerado.

EJEMPLOS

1. 2. 3. 4.

3. Cules son las condiciones que se requieren para garantizar la existencia y unicidad de la solucin a un problema de valor inicial.

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EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCION

Sean continuas en un intervalo I, y sea para toda x en este intervalo. Si es cualquier punto en este intervalo, entonces una solucin del problema con valores iniciales (1) existe en el intervalo y es nica. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCION

Si son funciones continuas en algn intervalo abierto I y est en I, entonces el problema con valor inicial (1), (2) tiene una solucin nica en el intervalo I.

4. Defina problema de valores de frontera para una ecuacin diferencial de orden 2 (citar un ejemplo).

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PROBLEMA VALORES DE FROTERAUn problema tal como

Resuelva

Sujeta

Se llama problema con valores en la frontera (PVF). Los valores prescritos se llaman condiciones en la frontera. Una solucin del problema anterior es una funcin que satisface la ecuacin diferencial en algn intervalo I, que contiene a , cuya grfica pasa por los puntos

5. Citar teorema de dependencia e independencia lineal de funciones (un ejemplo).

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DEPENDENCIA E INDEPENCIA LINEAL

Se dice que un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo I si existe constantes no todas cero, tales que

Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo I si las nicas constantes para las que

Para toda x en el intervalo son

Un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo si por lo menos una funcin se puede expresar como una combinacin lineal de las otras funciones.

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCION

Se dice que n funciones son linealmente independientes en algn intervalo I donde estn definidas si la ecuacin

Implica que todas las son cero. Se dice que estas funciones son linealmente dependientes en I si esta ecuacin tambin es vlida en I para alguna cuando no todas son cero.

Si y solo si son linealmente dependientes en I es posible expresar (al menos) una de estas funciones en I como una combinacin lineal de las n-1 funciones restantes, es decir, como una suma de dichas funciones, cada una de ellas multiplicada por una constante (cero o no).

Ejemplo:

El conjunto de funciones es linealmente dependientes en el intervalo (0,) por que puede escribirse como una combinacin lineal de

Para toda x en el intervalo (0, )

6. Defina el Wronskiano de funciones (citar un ejemplo para una ecuacin diferencial de orden tres, explicar cmo se calcula).

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WROSKIANO DE N FUNCIONESSuponga que cada una de las funciones tiene al menos n-1 derivadas. El determinante

WROSKIANO DE N FUNCIONES

Si todas las races de (2) son reales y distintas, entonces la solucin general de (1) es:

Es un poco difcil resumir los anlogos de los casos II y III porque las races de una ecuacin auxiliar de grado mayor que dos ocurren en muchas combinaciones. Por ejemplo, una ecuacin de quinto grado podra tener cinco races reales distintas, o tres races reales distintas y dos complejas, o una real y cuatro complejas, o cinco races reales pero iguales, o cinco races reales pero dos de ellas iguales, etc. Cuando es una raz de multiplicidad k de una ecuacin auxiliar de n-simo grado (es decir, k races son iguales a ), es posible demostrar que las soluciones linealmente independientes son:

y la solucin general debe contener la combinacin lineal