De Toan Khong Chuyen PTNK - 2010

8/9/2019 De Toan Khong Chuyen PTNK - 2010

http://slidepdf.com/reader/full/de-toan-khong-chuyen-ptnk-2010 1/5

Nguyễn Tăng Vũ– Trường Ph ổ Thông Năng Khiếu 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2010

TRƯỜ NG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN (không chuyên)

Thờ i gian làm bài: 120 phút không k ể thời gian phát đề

Bài 1. (2, 5 đ)

a) Tìm m để phương tr ình 2 2 3 0 x x m có hai nghi ệm phân bi ệt 1 2, x x thỏa

22 21 1 1 2 1 22 7 x x x x x

b) Giải phương tr ình 29 4 6 9 2 5 9 4 x x x x

Bài 2. (2 đ)

a) Giải hệ phương tr ình2 22 0

1

x y xy xy

xy x y

b) Rút gọn biểu thức 1 2 1: 1

11 1

a a a a a A a

aa a

vớ i a > 1.

Bài 3.(1,5 đ)Cho tam giác ABC vuông t ại A, có chu vi b ằng 30cm và di ện tích b ằng 30cm 2.Tính độdài các c ạnh của tam giác.

Bài 4 (1đ) Cho s ốtựnhiên n có hai ch ữsố, chữsốhàng ch ục là x, ch ữsố hàng đơn vịlà y

(ngh ĩa là x 0 và n = 10x + y). G ọi nM

x y.

a) Tìm n đểM = 2. b) Tìm n để M đạt giá tr ị nhỏnhất.

Bài 5 (3đ). Cho hình ch ữnhật ABCD có tâm O, c ạnh AB = 3a và ABD = 30 0. Gọi G làtr ọng tâm c ủa tam giác AOD; AG c ắt CD t ại E.

a) Chứng minh t ứgiác AOED n ội tiế p trong m ột đườ ng tròn. b) Cho DG c ắt AB t ại F. Tính di ện tích t ứgiác AFOE.c) Đườ ng tròn tâm J n ội tiế p tam giác BCD ti ế p vớ i DB, CD t ại I và K. G ọi H là giao điểm

của IK và AC. Tính IOJ và độ dài đoạn HE.

Hết




HƯỚ NG DẪN GIẢI

Đây chỉ là hướ ng dẫn giải không phải đáp án chính thứ c chỉmang giá trị tham khảo.

Bài 1.

a) Điều kiện để phương tr ình có hai nghi ệm phân bi ệt ’ = 1 – (m – 3) > 0 m < 4.

Với điều kiện trên theo định lý Viet ta có:1 2

1 2

2

3

S x x

P x x m

Ta có

22 21 1 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

2

2

2 7

2 9

4 2 3 9 3

2 21 49 0

7

72

x x x x x x

x x x x x x

m m

m m

m l

m n

Vậy giá tr ị m thỏa đềbài là 7/2

b) Điều kiện 29 4 6 9 0 9

49 4 0

x x x x

x

Với điều kiện trên ta có phương tr ình tương đương với phươn tr ình

9 4 3 5 2 9 4

9 4 3 5 2 0

9 4 0 1

3 5 2 2

x x x x

x x x

x

x x

Giải (1) ta đượ c x = 9/4

Giải (2)

83 5 2

33 5 823 2 5 2

l x x x x

x x n

Vậy phương tr ình có hai nghi ệm là 2 và 9/4




Bài 2.Ta có

2 1 0 1

1 2

xy x y

xy x y

0

1 2 1 0 0

2 1 0

x

xy x y y

x y

Vớ i x = 0 th ếvào (2) có y = -1

Vớ i y = 0 th ếvào (2) ta có x = 1

Vớ i x + 2y + 1 = 0 x = - 1 – 2y th ếvào (2) ta có: - 2y 2 – 4y - 2 = 0 y = - 1, suy ra x = 1.

Vậy hệ phương tr ình có 3 nghi ệm (x, y) là (0, - 1), (1, 0) và (1, -1)

b)

2

1 11 2 1 2 1: 1

1 11 1 11 1

2 1 2 11 1

1 2 1

11 1

1 2 1

1

2

a a aa a a a a a a a A a

a aa a aa a

a a a aa a

a a a

aa a

a a a

a

a

Bài 3.Gọi độdài hai c ạnh góc vuông l ần lượ t là x và y, c ạnh huy ền là z.

Ta có theo định lý Pytagore thì 2 2 2 x y (1)

Ta có S = ½ xy = 30 xy = 60 (2)

P = x + y + z = 30 x + y = 30 – z .

Bình ph ương 2 vếta có : x 2 + 2xy + y 2 = 900 – 60z + z 2 120 = 900 – 60z z = 13

Suy ra: x + y = 17, xy = 60. Gi ải ra đượ c x = 5, y = 12 ho ặc x = 12 và y = 5.

Vậy tam giác vuông có ba c ạnh là 5, 12 và 13.

Bài 4.




a) Ta có 102 2 10 2 2 8

x yM x y x y y x

x y

Vì y ≤ 9, < 16 suy ra x < 2 mà x là s ố nguyên dương nên x = 1y = 8. V ậy n = 18.

b) Ta có 10 9 91 1

1

x y xM

y x y x y

.

Vì 1 ≤ x ≤ 9 và 0 ≤ y ≤ 9, suy ra0 9 y , suy ra 1 1 10 y

Do đó 1910

M . Dấu bằng xảy ra khi y = 9, x = 1.

Vậy M nh ỏnhất bằng 19/10 khi n = 19.

Bài 5.

a) Ta có OA = OD do ABCD là hình ch ữ

nhật và ADO = 90 0 - ABD = 60 0.

Suy ra tam giác ADO đều.

Mà G là tr ọng tâm nên c ũng là tâm

đườ ng tròn n ội tiế p, ngo ại tiế p của

tamgiác OAD. Suy ra AG là phân giác

AOD.

Suy ra ADE = AOE (c.g. c), t ừ đó AOE = ADE = 900

Xét tứgiác ADEO có ADE + AOE = 180 0 nên là t ứgiác n ội tiế p.

b) Gọi P là giao điểm của AE và OD.

Tam giác OAD đều nên DG là đườ ng trung tr ực của AO, suy ra FA = FO, tam giác

FAO cân t ại F. Do đó FOA = FAO = 90 0 - DAO = 30 0 = OAE

Suy ra OF //AE, t ứgiác AFOE là hình thang.

Ta có AD = AB.tan ABD = 3a tan30 0 = a√3.Mà a √3 = AD = AE. cos DAE = AE. cos30 0, suy ra AE = 2a.

Và FO = FA = AD tan ADF = a √3 tan300 = a, OP = ½ OD = a √3/2

Vậy

21 1 3 3 3

. . 22 2 2 4 AFOE

a aS OP OF AE a a

c) Ta có OBC = OAD nên OBC c ũng là tam giác đều. Suy ra BO = BC.Suy ra BOJ = BCJ (c. g. c)




Mà BCJ = ½ BCD = 45 0, nên BOJ = 45 0 hay IOJ = 45 0

Ta có t ứgiác JIDK n ội tiế p, suy ra JIK = JDK = ½ IDC = 15 0 Và JOH = BOC - JOI = 60 0 - 45 0 = 15 0

Ta có JIK = JOH nên t ứgiác JIOH n ội tiế p, suy ra JHO = 90 0 Tam giác JOC cân t ại J (BJ là đườ ng trung tr ực của OC) mà JH ⊥ OC, suy ra H là trungđiểm OC, do đó OH = ½ OC = ½ OA = a√3/ 2

Từ đó áp dụng Pytagore cho tam giác EOH tính đượ c EH = a √7/2

Hết

.

Documents

De Toan Khong Chuyen PTNK - 2010