fizica.utm.mdfizica.utm.md/documents_pdf/Probleme de mecanică...Dumitru Țiuleanu Valentina Pîntea 0 CZU 531+539.19+536.7(075.8) Ț 64 Îndrumarul includ probleme pe subiecte de

Dumitru Țiuleanu Valentina Pîntea

0

Probleme de mecanică, fizică moleculară şi termodinamică

(Îndrumar pentru uzul studenţilor)

Chişinău 2017

UNIVERSITATEA TEHNICĂ A MOLDOVEI

Dumitru Ţiuleanu Valentina Pîntea


1

UNIVERSITATEA TEHNICĂ A MOLDOVEI

FACULTATEA ELECTRONICĂ ŞI TELECOMUNICAŢII DEPARTAMENTUL FIZICA



Chişinău Editura ,,Tehnica-UTM”

2017


0

CZU 531+539.19+536.7(075.8)

Ț 64

Îndrumarul includ probleme pe subiecte de mecanică, fizică moleculară și termodinamică ce corespund cursului de fizică generală pentru universități. Fiecare capitol este însoțit de o introducere restrânsă, care conține legile şi formulele de bază utile la rezolvarea problemelor incluse în capitol, precum şi exemple de rezolvare a acestor probleme.

Problemele sunt rezolvate, de regulă, în sistemul internațional de unități. Răspunsurile sunt indicate în paranteze la sfârşitul fiecărei probleme. Pentru rezolvarea problemelor mai complicate, la sfârşitul lucrării sunt date indicații. În anexe sunt întroduse tabele care includ constantele universale, proprietățile mecanice, fizico-chimice și tepmodinamice ale diferitor substanțe.

Autorii mulțumesc anticipat pentru toate sesizările şi sugestiile propuse care inevitabil vor conduce la îmbunătățirea unei eventuale ediții ulterioare. Autori: Prof. univ., dr.hab. în ştiinţe fizico-matematice, Dumitru Ţiuleanu Conf. univ., dr. în ştiinţe fizico-matematice, Valentina Pîntea Recenzent: Conf.univ., dr. în ştiinţe fizico-matematice, Vitalii Chistol

ISBN 978-9975-45-497-1 © UTM, 2017


3

Capitolul 1. PROBLEME DE MECANICĂ

Breviar a) Cinematica

Viteza medie a punctului material se caracterizează prin expresia:

,m

rt

(1.1)

unde: 12 rrr este deplasarea; t - durata deplasării. Viteza instantanee a punctului material se dă prin realaţia:

,dtrd

i

(1.2)

unde r este vectorul de poziţie (raza vectoare). Acceleraţia punctului material:

.2

2

dtrd

dtda

(1.3)

Viteza punctului material în mişcare rectilinie, uniform variată, se caracterizează prin expresia:

,0 ta (1.4)

unde: 0

este viteza iniţială (la momentul iniţial de timp 0t ); a - acceleraţia punctului material.

În cazul mişcării rectilinii uniforme, viteza punctului material este dată prin relaţia:

consttS şi .0a (1.5)

Distanţa parcursă de punctul material în mişcarea uniform variată ( )a const este:

2

0 ;2

atS t

(1.6)

2 2

0 ,2

Sa

(1.7)


4

unde acceleraţia a este pozitivă la mişcarea uniform accelerată şi negativă la mişcarea uniform întârziată.

Mişcarea curbilinie a punctului material este caracterizată de două componente ale acceleraţiei: tangenţială a şi normală sau centripetă :na

;dadt

,2

Ran

(1.8)

unde R este raza de curbură a traiectoriei. Acceleraţia totală este egală cu suma vectorială a componentelor tangenţială şi normală:

.,na a a

(1.9) iar modulul acceleraţiei totale:

22naaa .

La mişcarea de rotaţie a punctului material (mobilului) viteza unghiulară instantanee are aspectul:

,ddt (1.10)

unde d este deplasarea unghiulară infinit mică.

Cunoscând dependenţa de timp a vitezei unghiulare t , unghiul de rotaţie se determină astfel:

0 0 0

0 .t t

t t

d d dt d dt dtdt

Acceleraţia unghiulară instantanee este:

.ddt

Cunoscând acceleraţia unghiulară ε, atunci viteza unghiulară ω se poate determina în felul următor:

0 0 0

0 .t t

t t

d d dt d dt dtdt


5

Atunci obţinem:

2

2 .d ddt dt

(1.11)

Viteza unghiulară a punctului material ce se roteşte uniform este interdependentă de numărul de rotaţii într-o secundă şi numărul de rotaţii într-un minut prin expresiile:

T 22 şi ,

30n (1.12)

unde: ν este frecvenţa de rotaţie; T - perioada de rotaţie. Prin urmare, relaţia de legătură dintre frecvenţa oscilaţiilor şi

perioada de rotaţie a acestora este:

T1

.

Viteza unghiulară este interdependentă de viteza liniară prin relaţia:

. R (1.13) Acceleraţiile tangenţială şi normală ale punctului material în mişcarea de rotaţie sunt interdependente de acceleraţia unghiulară

şi

viteza unghiulară

prin relaţiile:

2

;

.n

a Ra R

(1.14)

Viteza unghiulară în cazul mişcării de rotaţie uniform variată: ,0 t (1.15)

unde: 0 este viteza unghiulară iniţială în momentul 0t ; - acceleraţia unghiulară. Unghiul de rotaţie în mişcarea de rotaţie uniform variată:

2

0 .2tt

(1.16)

Distanţa parcursă de punctul material în mişcarea de rotaţie este legată de unghiul de rotaţie şi distanţa R a punctului de la axa de rotaţie prin relaţia:

.RS (1.17)


6

b) Elemente de teorie a relativităţii restrânse:

Dacă un corp se mişcă cu viteza U' în raport cu un sisten de referinţă mobil X Y Z' ' ' , atunci viteza U a corpului în raport cu un sistem de referinţă imobil XYZ se exprimă prin formula:

,'1

'

2cU

UU

(1.18)

unde: 'U este viteza relativă a corpului în raport cu sistemul mobil ''' ZYX ; - viteza sistemului mobil ''' ZYX relativ celui imobil XYZ

(viteza de transport); U - viteza corpului relativ cu sistemul imobil XYZ (viteza absolută) şi c - viteza luminii în vid.

Lungimea l a unui corp care se mişcă cu viteza relativ cu sistemul de referinţă XYZ este legată de lungimea 0l a corpului imobil relativ sistemuliu de referinţă ''' ZYX (lungimea proprie) prin relaţia:

,1 20 ll (1.19)

unde c , iar c este viteza de propagare a luminii în vid.

Intervalul de timp ' într-un sistem, care se mişcă cu viteza în raport cu observatorul, este interdependent de intervalul de timp 0 într-un sistem fix pentru observator, prin relaţia:

.1

'2

0

(1.20)

Variaţia masei m a unui corp în funcţie de viteza lui de mişcare este dată prin ecuaţia:

,1 2

0

mm (1.21)

unde 0m este masa de repaus a acestui corp. Dependenţa energiei cinetice a unui corp în funcţie de viteză are aspectul:


7

,11

120

EEc (1.22)

unde 200 cmE este energia de repaus.

Variaţia masei unui sistem cu mărimea m corespunde variaţiei energiei acestui sistem cu mărimea:

mcW 2 .

Impulsul relativist al particulei se determină conform formulei:

02

.1mp

(1.23)

Legătura dintre energia totală E, energia de repaus 0E şi impulsul p al particulei este:

).( 220

222 cmpcE (1.24) c) Dinamica

Principiul fundamental al dinamicii sau legea a doua a lui Newton este:

).(

mddtF (1.25) Dacă masa corpului este constantă, atunci:

,amdtdmF

(1.26)

unde: a este acceleraţia corpului; F

- rezultanta tuturor forţelor ce acţionează asupra corpului.

La mişcarea curbilinie, forţa care acţionează asupra unui punct material, poate fi descompusă în două componente: tangenţială şi normală.

Componenta normală sau centripetă este:

2

,nmF

R

(1.27)

şi reprezintă forţa centripetă, unde: este viteza liniară; R - raza de curbură a traiectoriei în punctul considerat.


8

Impulsul rezultant al tuturor corpurilor dintr-un sistem izolat rămâne constant:

,...2211 constmmm nn

(1.28) (legea conservării impulsului). La ciocnirea centrală plastică a două corpuri cu masele 1m şi 2m

viteza comună U

a acestor corpuri după ciocnire poate fi determinată conform formulei:

,21

2211

mmmmU

(1.29)

unde 1

şi 2

sunt vitezele corpurilor până la ciocnire.

După ciocnirea centrală elastică, corpurile se vor mişca cu vitezele: - viteza primului corp după ciocnire:

1 2 1 2 21

1 2

( ) 2 ;m m mUm m

(1.30)

- viteza corpului al doilea după ciocnire:

.2)(

21

112122 mm

mmmU

(1.31)

Lucrul mecanic al forţei F se calculează prin relaţia:

,2

1

r

r

rdFL

(1.32)

unde 1r

şi 2r

sunt vectorii de poziţie ai punctului de plecare şi, respectiv, de sosire.

Lucrul mecanic al unei forţe elastice este dat prin relaţia:

,2

2kxL (1.33)

unde k este constanta elastică a resortului, iar x - deformarea resortului. Puterea este rapiditatea efectuării unui lucru mecanic, care, după definiţie, este egală cu viteza de efectuare a lucrului mecanic:

.dtdLP (1.34)


9

Dacă puterea este o mărime constantă, atunci:

.tLP (1.35)

Dacă asupra corpului acţionează forţa ,F

atunci puterea instantanee:

, FP (1.36)

unde

este viteza instantanee, sau cosP F ,

unde este unghiul dintre F

şi

.

Energia cinetică a corpului de masă m, ce se mişcă cu viteza

este:

.2

2mEc (1.37)

Energia potenţială a corpului ce se află la o înălţimea h de la suprafaţa Pământului este:

.pE mgh (1.38) Legea conservării energiei mecanice: în orice sistem izolat în absenţa forţelor de frecare şi a rezistenţei, suma energiilor cinetice şi potenţiale este o mărime constant:

.constEEE pc (1.39) Lucrul forţelor de frecare şi de rezistenţă este egal cu variaţia energiei mecanice:

EL fr sau ).( 1122 pcpcfr EEEEL (1.40) Când corpul se deplasează fără variaţia energiei potenţiale, lucrul

forţelor externe se va exprima prin diferenţa energiilor cinetice:

.22

21

22

12 mmEEL ccfr (1.41)

Deformaţia relativă la întindere sau comprimare:

,ll

(1.42)


10

unde: este alungirea (comprimarea) relativă; l - alungirea absolută; l - lungimea iniţială a corpului. Tensiunea normală:

,SFn (1.43)

unde nF este componenta normală a forţei de întindere sau comprimare; S - aria secţiunii transversale a corpului.

Tensiunea tangenţială:

,SF (1.44)

unde F este forţa ce acţionează de-a lungul stratului corpului şi S aria suprafeţii acestui strat.

Legea lui Hooke Pentru întindere sau comprimare:

ESF k l ll

(1.45)

sau

,ESFll adică ,E (1.46)

unde: E este modulul de elasticitate (modulul lui Young); lSEk fiind

coeficientul de rigiditate a corpului. Pentru deformaţia de deplasare:

FhSGS

sau , G (1.47)

unde: G este modulul de elasticitate transversală; S - deformaţia absolută a straturilor paralele; h - distanţa dintre straturi şi respectiv este deplasarea relativă. Momentul de răsucire la un unghi al unei bare omogene rotunde este:

,CM (1.48) unde C este constanta de răsucire.


11

Pentru o bară omogenă rotundă (fir), atunci:

,2

4

lRGC (1.49)

unde R este raza barei şi l - lungimea ei.

Energia potenţială a corpului omogen deformat uniform: la deformaţia liniară:

VE

Ep 2

2 sau ,

2

2

VEEp

(1.50)

unde V este volumul corpului; la deformaţia de deplasare:

VG

Ep 2

2 sau

2

;2p

GE V (1.51)

la răsucire:

.2

2CEp (1.52)

Densitatea volumică de energie a corpului deformat: deformaţia liniară:

2

;2

EW (1.53)

deformaţia de deplasare:

.2

2GW (1.54)

d) Dinamica mişcării de rotaţie a corpului rigid Momentul forţei în raport cu un punct de rotaţie se exprimă prin formula:

][ FrM

sau ,sin FdFrM (1.55) unde: d este braţul forţei, definit ca perpendiculara dusă din punctul de rotaţie până la linia de acţiune a forţei; - unghiul dintre direcţia de


12

acţiune a forţei F

şi al razei vectoare r dusă din punctul de rotaţie până la punctul de aplicare a forţei F

.

Momentul de inerţie al punctului material faţă de axa de rotaţie reprezintă produsul dintre masa m a punctului matertial şi pătratul distanţei r a acestui punct până la axa de rotaţie:

.2mrI (1.56) Momentul de inerţie al corpului rigid faţă de axa de rotaţie reprezintă suma produselor maselor elementare im şi a pătratelor distanţelor lor ir de la axa de rotaţie:

,1

2

n

iiirmI (1.57)

în formă integrală, momentul de inerţie al corpului rigid faţă de axa de rotaţie:

,2 dmrI (1.58) unde integrarea trebuie extinsă pe întreg volumul corpului. Momentul de inerţie al unui cilindru (disc) omogen plin în raport cu axa de rotaţie ce trece prin centrul de masă:

,21 2mRI (1.59)

unde m este masa cilindrului, iar R - raza acestuia. Momentul de inerţie al unui cilindru tubular de rază interioară 1R şi exterioară 2R în raport cu axa cilindrului:

.2

)( 22

21 RRmI

(1.60)

Pentru un cilindru tubular cu pereţi subţiri 1 2 :R R R

.2mRI (1.61) Momentul de inerţie al unei bare omogene subţiri de lungime l şi masa m în raport cu o axă perpendiculară barei şi care trece prin central ei de masă:

2

121 mlI (1.61, a)


13

şi

,31 2mlI (1.61, b)

dacă axa trece prin unul din extremităţile barei. Momentul de inerţie al unei bile omogene de rază R şi masa m în raport cu axa, ce trece prin centrul ei:

.52 2mRI (1.62)

Formula lui Steiner: ,2

0 mdII (1.63) unde: m este masa corpului; d - distanţa dintre axe; 0I - momentul de inerţie în raport cu axa ce trece prin centrul de masă. Legea de bază a dinamicii mişcării de rotaţie faţă de o axă de rotaţie are aspectul:

),(

IddtM (1.64)

unde: M

este momentul forţelor aplicate corpului, momentul de inerţie al căruia este egal cu I şi viteza unghiulară

.

Dacă constI , atunci:

, I

dtdIM (1.65)

unde este acceleraţia unghiulară obţinută de corp sub acţiunea momentului de rotaţie M

.

Legea conservării momentului cinetic (momentului cantităţii de mişcare) al unui sistem izolat de corpuri este:

constLn

ii

1

sau

1.

n

i ii

I const

(1.66)

Lucrul forţelor constante ce acţionează asupra corpului în mişcarea de rotaţie:

,ML (1.67)

unde este unghiul de rotaţie al corpului.


14

Puterea dezvoltată la mişcarea de rotaţie sub acţiunea momentului forţei M este dată de relația:

,dP M Mdt

(1.68)

unde - viteza unghiulară momentană. Energia cinetică a corpului ce se roteşte în jurul unei axe fixe:

.2

2IEc (1.69)

Lucrul forţei în mişcarea de rotaţie se exprimă prin variaţia energiei cinetice a corpului:

.22

21

22 IIL (1.70)

Energia cinetică a corpului ce se rostogoleşte fără alunecare pe un plan se determină conform formulei:

,22

22 ImEc (1.71)

unde: este viteza centrului de masă al corpului; - viteza unghiulară a corpului ce se rostogoleşte faţă de axa care trece prin centrul lui de masă. e) Mecanica mediului continuu

Debitul de fluid reprezintă cantitatea de fluid ce trece printr-o secţiune transversală într-o unitate de timp. Debitul poate fi masic şi volumic:

,tmQm ,

tVQV

prin urmare, .Vm QQ (1.72) Ecuaţia continuităţii în cazul unei curgeri staţionare este:

1 1 2 2 ,S S (1.73)

unde: 1S şi 2S sunt secţiunile transversale ale tuburilor în diferite locuri;

1 şi 2 - vitezele curentului de lichid prin secţiunile corespunzătoare 1S şi 2S .


15

La curgerea laminară a unui lichid ideal incomprimabil este valabilă ecuaţia lui Bernoulli:

2

2 2P gh const

sau:

2 2

1 21 1 2 2 ,

2 2p gh p gh

(1.74)

unde: 1p şi 2p sunt presiunile statice ale lichidului în diferite secţiuni;

1 şi 2 - vitezele corespunzătoare în secţiunile 1S şi 2S ; ρ - densitatea

lichidului; 2

21

şi 2

22

- presiunile dinamice ale lichidului în secţiunile

1S şi 2S , iar 1h şi 2h sânt înălţimile la care se află aceste secţiuni.

Dacă ambele secţiuni se găsesc la aceeaşi înălţime, ecuaţia lui Bernoulli, se caracterizează prin următoarea expresie

2 21 2

1 2 .2 2

p p (1.75)

Viteza de scurgere a lichidului printr-un orificiu (formula lui Torricelli) este dată de relaţia:

,2gh (1.76) unde h este înălţimea lichidului deasupra orificiului. Formula lui Stokes la mişcarea unei bile într-un fluid:

,6 rF (1.77) unde: - coeficientul de frecare interioară a lichidului sau a gazului; r - raza bilei; - viteza mişcării ei. La mişcarea laminară volumul lichidului (gazului) ce se scurge în timpul t printr-un tub capilar de raza r şi lungime l se determină prin formula lui Poiseuille:

,8

4

lptrV

(1.78)

unde: este coeficientul de frecare interioară a lichidului (gazului); p - diferenţa de presiune la extremităţile tubului.


16

Numărul lui Reynolds:

,eD DR

(1.79)

unde: D este mărimea ce caracterizează dimensiunile liniare ale corpului; - viteza de curgere; - densitatea; - coeficientul de frecare interioară.

Viscozitatea cinematică .

(1.80)

Tabelul 1.1. Analogia mărimilor şi relaţiile care descriu mişcările de

tanslaţie şi rotaţie

Mişcarea de translaţie Mişcarea de rotaţie

Coordonata sau drumul parcurs x sau s

Unghiul de rotaţie

Viteza dxdt

Viteza unghiulară ddt

Acceleraţia dadt

Acceleraţia unghiulară

ddt

Masa m Momentul de inerţie I

Forţa F ma

Momentul forţei M I

Energia cinetică 2

2cmE

Energia cinetică 2

2cIE

Lucrul mecanic L Fds

Lucrul mecanic L Md

Puterea P F

Puterea P M

Impulsul p m

Momentul impulsului L I


17

2. Exemple de rezolvare a problemelor

Problema 1

Ecuaţia mişcării punctului material în direcţia axei x are forma ,3CtBtAx unde smBmA /1,2 şi 3/5,0 smC . Să se

determine coordonata x , viteza şi acceleraţia a a punctului material la momentul .2st

Rezolvare Coordonata x se va determina, înlocuind în ecuaţia mişcării valorile numerice ale coeficienţilor CBA ,, şi a timpului t :

.0)25,0212( 3 mx Viteza instantanee este prima derivată a coordonatei în raport cu

timpul:

.3 2CtBdtdx

La momentul st 2 , obţinem:

./5/)25,031( 2 smsm Acceleraţia punctului material se va determina din prima derivată a

vitezei în raport cu timpul:

.6Ctdtda

La momentul 2 :t s

./6/25,06 22 smsma

Problema 2 Un corp se roteste în jurul unei axe fixe conform legii:

2CtBtA , unde radA 10 , 2/2,/20 sradCsradB . Să se determine acceleraţia punctului, ce se găseşte la distanţa mr 1,0 faţă de axa de rotaţie, pentru momentul 4 .t s


18

Rezolvare Acceleraţia totală a a punctului ce se mişcă pe o traiectorie curbilinie şi poate fi determinată ca suma vectorială a acceleraţiei tangenţiale a , orientate după tangentă la traiectorie, şi a acceleraţiei normale na , orientate spre centrul de curbură al traiectoriei:

,naaa

deoarece naa , atunci valoarea acceleraţiei va fi:

.22naaa (1.81)

Cunoscând că a r şi ran2 , unde este viteza

unghiulară, iar este acceleraţia unghiulară şi înlocuind aceste relaţii în (1) se obţine:

.422422 rrra (1.82) Viteza unghiulară se va determina din derivata unghiului de rotaţie după timp:

.2; CtBdtd

La momentul 4 ,t s viteza unghiulară este:

[20 2( 2)4] 4 .rad rads s

Acceleraţia unghiulară se va determina din prima derivată a vitezei după timp:

2; 2 4 .d radCdt s

Înlocuind valorile lui şi în (2), se obţine:

2 420,1 ( 4) 4 1,65 .ma

s


19

Problema 3 O particulă, având masa de repaus 0 ,m începe să se deplaseze sub acţiunea unei forţe constante. Să se determine dependenţa vitezei particulei de timp.

Rezolvare Conform principiului fundamental al dinamicii, cunoaştem:

,1

20 F

c

mdtd

de unde rezultă că .

12

0 Fdt

c

md

Pentru 0, 0,t adică:

,

12

0 Ft

c

m

sau .

1

1)(2

0

0

cmFtm

Ftt

Comparând această expresie cu expresia clasică:

0mFacl , adică

t

clcl mFtdta

0 0

,

rezultă:

,

1

)(2

c

tcl

cl

( ) clt viteza reală )(t a unei particule creşte cu timpul mai lent decât cl . Când ct , (fig.1.1).


20

Relaţia

,FdtPd

conduce la p Ft

.

Deci, pentru o particulă relativistă, în timp ce viteza particulei tinde către o limită definită (adică, devine practic constantă), impulsul său continuă să crească.

Problema 4

Un corp de masă kgm 4,01 situat pe un plan înclinat este legat de un fir înfăşurat pe un cilindru plin omogen cu masa kgm 3,02 şi raza

mR 2,0 (fig.1.2). Coeficientul de frecare dintre corp şi planul înclinat

este 2,0 , unghiul planului înclinat o45 . Lăsând corpul să lunece de sine stătător, determinaţi acceleraţia şi viteza unghiulară ale cilindrului peste 3s după începutul mişcării.

Rezolvare Asupra corpului pe planul înclinat acţionează forţa de greutate

gm 1 , reacţiunea normală a

planului înclinat N

, forţa de frecare frF

şi tensiunea firului

T

. Cilindrul se roteşte sub acţiunea forţei de tensiune

/T T

. Fie că corpul alunecă pe planul înclinat cu acceleraţia a . Atunci legea a doua a lui Newton se va scrie:

.11 amTFNgm fr

Proiectând pe axele x şi y ale unui sistem de coordonate cartezian se obţine relaţia:


21

11 1sin cos 0frm g F T m a m g N .

Cunoscând că 1 cos ,frF N m g ecuaţiile de mai sus se vor reduce astfel:

.)cos(sin 11 amTgm (1.83)

Aplicând principiul de bază al dinamicii mişcării de rotaţie: ,IM

unde pentru cilindru

2

22RmI ,

iar Ra

şi / .M RT RT

Înlocuind în principiul de baza al dinamicii, se obţine:

,2

22

RaRmRT de unde .

22amT (1.84)

Din (1.83) şi (1.84), se determină acceleraţia corpului:

21

1

2)cos(sin2

mmgma

;

0 02

2

2 0, 4 9,81 sin 45 0, 2 cos 454 .

2 0, 4 0,3

mkg msakg kg s

Acceleraţia unghiulară Ra

, iar viteza unghiulară:

,Ratt

24 360 .

0,2

m s radsm s

Problema 5 O bilă ce se mişcă orizontal s-a ciocnit cu o altă bilă imobilă, transmiţându-i 64% din energia sa cinetică. Bilele sunt absolut elastice, iar


22

ciocnirea este directă şi centrală. De câte ori masa bilei a doua este mai mare decât masa primei bile?

Rezolvare Energia cinetică a primei bile până la ciocnire este:

2

211

1mEc ,

iar a bilei a doua până la ciocnire este nulă. După ciocnire bila a doua obţine energia:

.2

222

2/ umEc

Conform legilor conservării impulsului şi energiei, se scriu, corespunzător ecuaţiile: 1 1 1 2 2 ;m m u m u (1.85)

,222

222

211

211 umumm

(1.86)

unde: 1 este viteza primei bile până la ciocnire; 1u - viteza primei bile după ciocnire; 2u - viteza bilei a doua după ciocnire (până la ciocnire ea este nulă).

Rezolvând ecuaţiile (1) şi (2) faţă de necunoscutele 1u şi 2u vom avea:

2

11

11112

11

21

21

22

222

111

21

211

)(u

uuuu

uu

umum

umum

Prin urmare: .121 uu (1.87)

Substituind (1.87) în (1.85) vom obţine:

1 1 2 1 1 2 2m m u m m u sau .2

21

112 mm

mu

(1.88)


23

Atunci energia cinetică a bilei a doua după ciocnire este:

.22

2

21

1122

/

mm

mmEc

(1.89)

Deci, pentru a afla de câte ori masa bilei a doua este mai mare decât masa primei bile, vom lua rapotul energiilor cinetice:

/ 2 22 2 1 1 1 2 1 2

2 2 221 1 11 2 1 2 2 2

11

4 4 42 .2

1

c

c

E m m m m m mE mm m m m mm

m

Conform condiţiilor problemei avem:

22

1 2

1

4 10,64 .

1

mm m

m

(1.90)

Considerând în (1.90) ,1

2 xmm

obţinem:

2

22 2

1 2

0,64 1, 28 0,64 4 ;

0,64 2,72 0,64 0; 2,72 4 (0,64) 5,76;

2,72 5,76 2,72 5,764; 0, 25.2 0,64 2 0,64

x x x

x x D

x x

Deci:

.44 121

2 mmmm

Problema 6

Un corp alunecă de la o înălţime h pe un plan înclinat, ce trece într-o buclă cu raza R (fig.1.4). La ce înălţime /h va cădea corpul din buclă? Frecarea se neglijează.

Rezolvare Iniţial, vom clarifica de ce, mişcându-se în interiorul buclei, corpul poate să se desprindă? În orice moment, la mişcarea ascendentă


24

acţionează două forţe: forţa de greutate gm şi reacţia normală a planului

N

din partea buclei orientată spre centrul buclei. Conform legii a doua a lui Newton, avem:

.amNgm (1.91)

Se orientează axele x şi y ale unui sistem de coordonate, legat de corp după vectorii acceleraţiilor na şi a , adică după rază şi tangentă la circumferinţă. Ţinând cont că:

Ran

2 şi

dtda

,

proiectând (1.91) pe axele x şi y , vom obţine:

2

cos ;mmg NR

(1.92)

.sindtdmmg (1.93)

La mişcarea ascendentă mărimea cosmg se măreşte, iar R

m 2

se micşorează. Deci, 2

cosmN mgR

se micşorează.

Pentru 0N , corpul va cădea şi pentru acest moment ecuaţiile (1.92) şi (1.93) se vor scrie astfel:


25

2

cos ;gR

(1.94)

dtdg sin . (1.95)

În sistemul dat nu figurează înălţimea /h , dar ea poate fi exprimată din desen astfel:

R

Rh

'cos , (1.96)

Relaţia (1.96), ar fi suficientă pentru determinarea mărimii unghiului . Dar ea nu poate fi determinată din sistemul format din ecuaţiile (1.94), (1.95), deoarece acesta conţine mai mult de două necunoscute. Se aplică legea conservării energiei: în momentul iniţial:

mghE p 1 ,

iar în momentul desprinderii din buclă 2

/2 .

2pmE mgh

Conform legii conservării energiei: 21 pp EE şi atunci:

2 /2 ( ).g h h (1.97) În final, din relaţiile (1.94), (1.96) şi (1.97) se obţine:

/ 2 .3

h Rh

Problema 7 O platformă rotundă cu raza mR 1 şi momentul de inerţie

2130kgmI se roteşte inerţial în jurul unei axe verticale, efectuând srot /1 . La marginea platformei se găseşte un om a cărui masă este

kgm 70 . Să se determine numărul de rotaţii pe secundă 2 efectuat de platformă, dacă omul va trece în centrul platformei. Momentul de inerţie al omului se consideră identic cu cel al unui punct material.


26

Rezolvare Conform condiţiilor problemei, platforma împreună cu omul se roteşte inerţial. Aceasta înseamnă că momentul rezultant al tuturor forţelor exterioare aplicate sistemului este egal cu zero. Deci, pentru sistemul platformă–om este valabilă legea conservării momentului cinetic (cantităţii de mişcare), care se va scrie: ,21 LL (1.98)

sau ,2211 II unde: 1L este momentul cinetic iniţial (când omul stă la marginea platformei) şi 2L este momentul cinetic final (omul stă în centru). Deci:

,2)( 12

111 mRIIL (1.99)

unde: 2mR este momentul de inerţie al omului, 1 - viteza unghiulară iniţială.

Ţinând cont că momentul de inerţie al omului în centrul platformei este egal cu zero, obţinem:

.2 2222 IIL (1.100) Rezolvând sistemul format din ecuaţiile (1.98), (1.99) şi (1.100), se

obţine: 2

12

( ) 1,5 .I mR rotI s

Problema 8 Capătul superior al unei bare de oţel este fixat, iar de cel inferior

atârnată o greutate cu masa kgm 2000 . Lungimea barei este ml 5 şi

aria secţiunii transversale 24cmS . Să se determine tensiunea a materialului, deformaţia absolută l şi relativă , precum şi energia potenţială a barei întinse. Modulul de elasticitate E al materialului din

care este confecţionată bara are valoarea de 10220 10 N

m .

Rezolvare Tensiunea normală a materialului poate fi determinată din relaţia:


27

,SFn

unde nF este forţa ce acţionează de-a lungul barei. În cazul considerat, forţa mgF , deci:

74 2 2 2

2000 9,814,9 10 49

4 10

Nkgmg N Nkg MS m m m

.

Deformaţia absolută se exprimă prin relaţia:

3

10 4 22

,

2000 9,81 51, 23 10 1, 23 .

20 10 4 10

Fl mgllES ES

Nkg mkgl m mmN m

m

Energia potenţială a barei întinse se determină din relaţia:

.2pE V

Aşa cum volumul barei SlV , atunci .2pE Sl

Înlocuind

valorile numerice, se obţine:

4 72 4 2

2, 46 10 4,9 104 10 5 12,1

2p

NmE m m J

.

Problema 9

Apa ce se găseşte într-un vas mare cu diametrul D (fig.1.5) comunică cu un tub îngust, prevăzut cu un orificiu cu secţiunea 2S din care apa ţâşneşte cu o viteză sm /122 . Să se determine viteza 1 de coborâre a apei în vasul mare, dacă diametrul lui este mD 2 şi


28

diametrul orificiului din tub cmd 2 . Să se calculeze presiunea 1p sub care apa ajunge la orificiu, înălţimea 2h la care se ridică apa, ieşind din orificiu.

Rezolvare: Deoarece secţiunea vasului 1S este cu mult mai mare decât

secţiunea 2S a orificiului, se poate admite că înălţimea 1h a nivelului apei în vas este aceeaşi pentru un interval foarte mic de timp şi ţâşnitura stabilită. În aceste condiţii poate fi scrisă ecuaţia de continuitate:

2211 SS şi 21 VV , adică volumul de apă ce curge în 1s prin secţiunea 1S este egal cu volumul de apă ce curge prin secţiunea 2S , sau

,44 2

2

1

2

ldlD (1.101)

unde 1l şi 2l sunt lungimile coloanelor de apă ce curg prin secţiunea 1 şi 2 în st 1 . Lungimile 1l şi 2l , fiind numeric egale cu vitezele de curgere 1 şi

2 în secţiunile 1 şi 2, ecuaţia (1.101) poate fi scrisă în forma:

,22

12 dD de unde .

2

21

Dd (1.102)

Înlocuind valorile numerice, se obţine: 2

31

0,0212 1,2 10 .2

m m ms m s


29

Presiunea, 1p sub care apa vine la orificiu, poate fi determinată din ecuaţia Bernoulli:

2

22

21

1 22pp

, (1.103)

unde: 1p şi 2p sunt presiunile statice în secţiunile 1 şi 2; 2

21

şi 2

22

sunt presiunile dinamice în aceste secţiuni; este densitatea apei. Ţinând cont că 02 p (prin presiune se subânţelege presiunea suplimentară faţă de cea atmosferică), din (1.103) se obţine:

.22

21

22

1

p (1.104)

Înlocuind valorile numerice în relaţia (1.104), se obţine:

2 23 2 3 3 2

3 2 3 2

1

10 12 10 (1, 2 10 ).

2 2

kg m kg mm s m sp

Termenul al doilea este foarte mic în comparaţie cu primul, de aceea poate fi neglijat, astfel:

23 2

3 24

1

10 127, 2 10

2 a

kg mm sp P

.

Cunoscând presiunea 1p se poate determina înălţimea 1h a nivelului apei în vasul mare:

ghp 11 ,

de unde: 4

11

33

7,2 10 7,3510 9,81

aPph mkg Ngm m

.

Cunoscând viteza 2 , cu care ţâşneşte apa, determinăm înălţimea 2.h

mg

h 35,781,92

122

222

2

.


30

P R O B L E M E

1.1. Dependenţa dintre distanţa S , parcursă de un corp, şi timpul t se exprimă prin ecuaţia 32 CtBtAtS , unde smA /2 , 2/3 smB şi 3/4 smC . Să se determine: a) distanţa parcursă de corp, b) viteza, c) acceleraţia corpului la s2 de la începutul mişcării.

)/42;/38;24:.( 2smsmmR .

1.2. Dependenţa dintre distanţa ,S parcursă de un corp, şi timpul t se

exprimă prin ecuaţia 2CtBtAS , unde mA 6 , smB /3 şi 2/2 smC . Determinaţi viteza medie şi acceleraţia medie a corpului în

intervalul de timp de la s1 până la s4 . 2( . : 7 / ; 4 / ).R m s m s 1.3. Dependenţa dintre distanţa S , parcursă de un corp, şi timpul t se exprimă prin ecuaţia 2CtBtAS , unde mA 3 , smB /2 şi

2/1 smC . Să se determine viteza medie a corpului în prima, a doua şi a treia secundă a mişcării sale. ( .: 3 / ; 5 / ; 7 / ).R m s m s m s 1.4. Dependenţa dintre distanţa ,S parcursă de un corp, şi timpul t se

exprimă prin ecuaţia 32 DtCtBtAS , unde 2/14,0 smC şi 3/01,0 smD . a) Peste cât timp de la începutul mişcării acceleraţia

corpului va fi egală cu 2/1 sm ? b) Care va fi acceleraţia medie a corpului în acest interval de timp? 2( .:12 ; 0,64 / ).R s m s 1.5. O piatră este aruncată orizontal cu viteza s/m150 . Să se determine acceleraţia tangenţială a pietrei la momentul st 1 după începutul mişcării. Rezistenţa aerului se neglijează. 2( . : 5, 4 / ).R m s 1.6. O piatră este aruncată orizontal cu viteza sm /10 . Să se determine raza de curbură a traiectoriei pietrei după s3 de la începutul mişcării. Rezistenţa aerului se neglijează. ( .: 305 ).R m 1.7. Un corp este aruncat cu viteza de sm /7,14 sub un unghi de 30 faţă de orizontală. Determinaţi acceleraţia normală şi tangenţială a


31

corpului peste s25,1 de la începutul mişcării. Rezistenţa aerului se neglijează. 2 2( .:9,15 / ; 3,52 / ).R m s m s 1.8. Să se determine raza unei roţi, dacă se ştie că viteza liniară 1 a punctului situat pe obadă este de 2,5 ori mai mare decât viteza liniară 2 a punctului, situat cu cm5 mai aproape de axul roţii. ( .:8,33 ).R cm 1.9. O roată la frânare se roteşte uniform încetinit şi după un minut îşi micşorează viteza de la 300 la 180rot/min. Să se determine acceleraţia unghiulară a roţii şi numărul de rotaţii efectuate de ea în acest timp.

2( . : 0, 21 / ; 239, 4 ).R rad s rot 1.10. Un ventilator se roteşte cu o viteză ce corespunde frecvenţei de

min/900rot . După deconectare, ventilatorul, rotindu-se uniform încetinit, efectuiază până la oprire 70 de rotaţii. Cât timp a trecut de la deconectarea ventilatorului până la oprirea lui definitivă? ( .:10 ).R s 1.11. O roată de rază cmR 10 se roteşte cu o acceleraţie unghiulară constantă 2/14,3 srad . Să se determine pentru punctele de pe obada roţii, la sfârşitul primei secunde de la începutul mişcării: a) viteza unghiulară, b) viteza liniară, c) acceleraţia tangenţială, d) acceleraţia normală, e) acceleraţia totală, f) unghiul format de vectorul acceleraţiei totale cu raza roţii.

2 2 2( .: 3,14 ; 0,314 ; 0,314 ; 0,986 ; 1,03 ; 17 46 ).rad m m m mRs s s s s

1.12. Mişcarea unui punct material pe o circumferenţă de raza cmR 4 este descrisă de ecuaţia 2CtBtAx , unde

210 , 2 / , 1 /A m B m s C m s . Să se determine valorile acceleraţiilor normală, tangenţială şi totală ale punctului material la momentul de timp .2st 2 2 2( . :1 / ; 2 / ; 2, 24 ).R m s m s m s 1.13. Un punct material se mişcă pe o circumferinţă de raza ,2mR

conform relaţiei 3BtAtx , unde ,/8 smA 3/2,0 smB . Determinaţi valoarea vitezei acceleraţiei tangenţiale a , normale na şi acceleraţia totală a în momentul de timp st 3 .

2 2 2( . :2,6 / ; 3,6 / ; 3,38 ; 4,94m/ s ).R m s m s m s


32

1.14. Un punct material se mişcă pe o circumferinţă astfel, încât dependenţa dintre distanţă şi timp este determinată prin ecuaţia

2CtBtAS , unde smB /2 şi 2/1 smC . Să se determine viteza liniară a punctului material, acceleraţia lui normală, tangenţială şi totală după s3 de la începutul mişcării, dacă se ştie că la 2 ,t s acceleraţia normală a punctului este 2/5,0 sman .

2 2 2( . : 4 / ; 2 / ; 2 / ; 2,83 / ).R m s m s m s m s 1.15. Determinaţi acceleraţia unghiulară a unei roţi, dacă se ştie că la

s2 de la începutul mişcării uniform accelerate, vectorul acceleraţiei totale a unui punct material situat pe obadă formează un unghi de 60 cu direcţia vitezei liniare a acestui punct material. 2( . : 0,43 / ).R rad s

1.16. O roată se roteşte cu o acceleraţie unghiulară 22 / .rad s La s5,0 de la începutul mişcării, acceleraţia totală a obezii este

2/6,13 scma . Să se determine raza roţii. ( .: 6,1 )R m 1.17. O roată se roteşte astfel, încât dependenţa unghiului de rotaţie al razei ei de timp se exprimă prin ecuaţia 32 DtCtBtA , unde

2/1,/1 sradCsradB şi 3/1 sradD . Să se determine raza roţii, dacă se ştie că la sfârşitul secundei a doua de mişcare, acceleraţia normală a punctelor situate pe obada roţii este 22 /1046,3 sman . ( .:1,2 ).R m 1.18. Să se determine de câte ori este mai mare acceleraţia normală a punctului, situat pe obada roţii, ce se roteşte faţă de acceleraţia lui tangenţială pentru momentul în care vectorul acceleraţiei totale a acestui punct formează un unghi de 30 cu vectorul vitezei lui liniare. ( .: 0,58).R 1.19. Un corp de masă kgm 20 este târât pe o suprafaţă orizontală cu o forţă NF 120 . Dacă această forţă este aplicată corpului sub un unghi 601 (faţă de orizont), atunci corpul se mişcă uniform. Cu ce acceleraţie se va mişca corpul, dacă aceeaşi forţă este aplicată sub un unghi 2 30 ? 2( . : 0,86 m/ s ).R


33

1.20. Un tramvai, pornind din loc, se deplasează cu o acceleraţie constantă 2/5,0 sma . Peste 12s de la începutul mişcării motorul se deconectează şi până la oprire se mişcă uniform încetinit. Pe toată distanţa, parcursă coeficientul de frecare este 01,0 . Să se determine: a) viteza maximă de mişcare a tramvaiului, b) durata totală de deplasare, c) acceleraţia tramvaiului, 4) distanţa totală parcursă de tramvai.

2( . : 21, 6 / ; 73, 2 ; 0, 098 / ; 218 ).R km h s m s m

1.21. Un automobil cântăreşte N3108,9 . În timpul mişcării, asupra automobilului acţionează o forţă de frecare egală cu 0,1 din greutatea acestuia. Cu ce va fi egală forţa de tracţiune dezvoltată de motorul automobilului pentru ca el să se mişte: a) cu o acceleraţie de 2/2 sm ; b) uniform? ( . : 2980 ; 980 ).R N N

1.22. Două greutăţi NG 201 şi NG 102 sunt unite printr-un fir trecut peste un scripete, a cărui masă se neglijează. Să se determine: a) acceleraţia cu care se deplasează corpurile; b) tensiunea în firul de legătură. Frecarea în scripete se neglijează.

2( . : 3, 27 / ; 13,34 ).R m s N

1.23. Un automobil cântăreşte N410 . În timpul mişcării asupra automobilului acţionează o forţă de frecare egală cu 0,1 din greutatea lui. Determinaţi forţa de tracţiune dezvoltată de motorul automobilului, dacă acesta se deplasează cu o viteză constantă: a) în sus pe un plan înclinat cu o pantă de 1m la fiecare 25m de drum; b) în jos pe planul înclinat cu aceeaşi pantă. ( . :1400 ; 600 ).R N N 1.24. O platformă cu masa kgM 140 alunecă liber în jos pe un

plan înclinat sub un unghi de 6 faţă de orizont, coeficientul de frecare fiind 1,0 . Pe platformă stă un om cu masa kgm 70 . Cum trebuie să meargă omul pe platformă pentru ca ea să alunece uniform? 2( . : 0,15m/ s ).R 1.25. Un scripete cu greutate


34

neglijabilă este fixat la marginea unei mese (fig.1.6). Corpurile A şi B, având mase egale 1 2 1 ,m m kg sunt unite prin intermediul unui fir trecut peste un scripete. Coeficientul de frecare dintre corpul B şi masă este 1,0 . Să se determine: a) acceleraţia cu care se deplasează corpurile, b) tensiunea firului. Frecarea în scripete se neglijează.

2( .: 4,4 / ; 5,4 ).R m s N 1.26. Un scripete cu greutate neglijabilă este fixat în vârful unui plan înclinat (fig.1.7), ce formează cu orizontala un unghi 30 . Corpurile A şi B, având mase egale 1 2 1 ,m m kg sunt unite cu un fir şi trecute peste un scripete. Determinaţi: a) acceleraţia cu care se deplasează corpurile, b) tensiunea fitului. Frecarea în scripete, precum şi frecarea dintre greutatea B şi planul înclinat se neglijează.

2( .:2,45 / ; 7,35 ).R m s N 1.27. Pe o masă orizontală sunt legate unul de altul printr-un fir două corpuri cu mase kgm 51 şi kgm 32 . De corpul 1m este legat un corp cu masa kgM 2 cu un fir trecut peste un scripete ideal, fixat la marginea mesei, astfel încât corpul cu masa M este suspendat. Coeficientul de frecare la alunecare fiind 2,0 . Să se determine acceleraţia sistemului şi forţele de tensiune din fire. Ce forţă de apăsare se exercită asupra scripetelui? 2( .: 0,4 / ; 12 ; 19,2 ; 27,2 ).R m s N N N 1.28. Ridicând o greutate cu masa 2m kg vertical la înălţimea

mh 1 , forţa constantă F efectuează un lucru mecanic JL 80 . Cu ce acceleraţie se ridică greutatea? 2( . : 39, 2 / ).R m s 1.29. Asupra unui automobil cu masa kgm 310 în timpul mişcării acţionează o forţă de frecare constantă egală cu 1,0 din greutatea sa. Ce cantitate de benzină consumă motorul automobilului pentru ca pe o distanţă de 0,5km să se mărească viteza automobilului de la


35

hkm101 până la hkm401 ? Randamentul motorului 0,2,

iar capacitatea calorică a benzinei de kgMJQ 46 . . : 0,06 .R kg

1.30. Un corp cu masa de kg1 alunecă mai întâi pe un plan înclinat cu înălţimea de m1 şi lungimea de m10 . Să se determine: a) energia cinetică a corpului la baza planului, b) viteza corpului la baza planului, c) distanţa parcursă de corp pe orizontală până la oprire. Coeficientul de frecare pe toată distanţa să se considere constant şi egal cu 0,05. ( . : 4,9 ; 3,1 / ; 9,95 ).R J m s m 1.31. Determinaţi puterea dezvoltată de motorul unui automobil cu masa de kg310 , dacă se ştie că automobilul se deplasează cu o viteză constantă de 36 /km h : a) pe un drum orizontal; b) în sus pe un plan înclinat cu o pantă de 5m la fiecare 100m de drum; c) la vale pe un plan înclinat cu aceeaşi pantă. Coeficientul de frecare este de 0,07. ( .: 6,9 ;11,8 ; 1,98 ).R kW kW kW 1.32. Un ciocan cu masa kgm 5 , mişcându-se cu viteza

sm /4 , loveşte un obiect de fier ce se află pe o nicovală. Masa nicovalei împreună cu corpul este kgM 95 . Considerând lovitura absolut neelastică, să se afle energia consumată la prelucrarea corpului. Care este randamentul procesului de prelucrare (forjare) în aceste condiţii? ( . : 2J; 5%).R 1.33. Un glonte cu masa gm 200 loveşte o bilă de lemn cu masa

kgm 4 şi rămâne în ea. Bila de lemn este suspendată la capătul unui fir de lungimea cml 4,40 (pendul balistic) şi în urma loviturii este deviată

cu un unghi 60 . Ce viteză a avut glonţul? ( . : 400 / ).R m s 1.34. Un patinator cu greutatea de 700 ,N , aflându-se pe gheaţă, aruncă orizontal o piatră cu greutatea de N30 cu o viteză de 8 /m s . Determinaţi la ce distanţă alunecă înapoi patinatorul, dacă se ştie că coeficientul de frecare dintre patine şi ghiaţă este egal cu 02,0 . ( . : 0,3 ).R m


36

1.35. Un om cu greutatea de 600 ,N alergând cu viteza de 8 /km h ajunge o trăsură cu greutatea de N800 , ce se deplasează cu o viteză de 2,9 /km h şi sare în ea. Să se determine: a) cu ce viteză se va deplasa mai departe trăsura; b) cu ce viteză se va deplasa trăsura dacă omul aleargă în întâmpinarea ei. ( .:5,09 / ; 1,77 / ).R km h km h 1.36. Un obuz cu greutatea de N980 ce zboară orizontal de-a lungul căii ferate cu viteza de 500 /m s nimereşte într-un vagon cu nisip, având

o greutate de N510 , şi se opreşte în acesta. Ce viteză capătă vagonul dacă: a) el se află în repaus, b) se deplasează cu viteza de 36 /km h în acelaşi sens cu obuzul, c) se deplasează cu viteza de 36 /km h în sens opus mişcării obuzului? ( .: 17,47 / ; 53,1 / ; 18,2 / ).R km h km h km h 1.37. Un corp cu masa de 1kg , ce se mişcă orizontal cu o viteză de 1 /m s , ajunge un alt corp cu masa de 0,5kg şi se ciocneşte de el neelastic. Ce viteză capătă corpurile dacă al doilea corp: a) se află în repaus; b) se mişcă cu viteza de sm /5,0 în acelaşi sens cu primul; c) se mişcă cu viteza de sm /5,0 în sens opus primului corp. ( . : 0,67 / ; 0,83 / ; 0,5 / ).R m s m s m s 1.38. Două bărci identice cu masele de kg200 fiecare (împreună cu un om şi greutăţile din barcă) se mişcă paralel în sensuri opuse cu viteze de sm /1 . Când bărcile se întâlnesc, din prima barcă în a doua şi din a doua în prima se transmit greutăţi egale cu masele de kg20 . Să se determine vitezele bărcilor după transferul greutăţilor. ( . : 0,8 / ).R m s 1.39. Un corp cu masa 1 2m kg se mişcă în întâmpinarea altui corp cu masa 2 1,5m kg şi se ciocneşte cu acesta neelastic. Viteza corpurilor

înainte de ciocnire era respectiv 1 1 /m s şi 2 2 / .m s Cât timp se vor mişca aceste corpuri după ciocnire, dacă coeficientul de frecare

05,0 ? ( .: 0,58 ).R s 1.40. Un corp cu masa de 3kg se mişcă cu o viteză de sm /4 şi se ciocneşte de un corp imobil cu aceeaşi masă. Considerând că ciocnirea


37

este centrală şi neelastică, să se determine cantitatea de căldură, degajată la ciocnire. ( .:12 ).R J 1.41. Un corp cu masa 5kg se ciocneşte de un corp imobil cu masa de 2,5kg , care după ciocnire începe să se deplaseze cu o energie cinetică egală cu J5 . Considerând că ciocnirea este centrală şi neelastică, să se determine energia cinetică a primului corp înainte şi după ciocnire. ( . : 5,63 ; 0,63 ).R J J 1.42. O bilă, mişcându-se cu viteza sm /21 , se ciocneşte cu altă bilă imobilă cu aceeaşi masă. Ca rezultat, prima bilă şi-s schimbat direcţia mişcării cu unghiul 30 . Considerând ciocnirea elastică, determinaţi: a) viteza bilelor după ciocnire; b) unghiul dintre vectorul vitezei bilei a doua şi direcţia iniţială a mişcării primei bile. ( .: 2,309 / ; 1,431 / ).R m s m s 1.43. O bilă cu masa kgm 21 se mişcă cu viteza sm /41 şi se ciocneşte cu o altă bilă aflată în repaus de masa kgm 51 . Determinaţi vitezele bilelelor după ciocnirea lor. Consideraţi bilele perfect elastice. ( .: 1,715 / ; 2,28 / ).R m s m s 1.44. Două corpuri se mişcă unul în întâmpinarea celuilalt şi se ciocnesc neelastic. Viteza primului corp până la ciocnire este sm /21 , viteza celuilalt sm /42 . Viteza comună a corpurilor după ciocnire este sm /1 şi coincide ca sens cu sensul vitezei 1 . De câte ori este mai mare energia cinetică a primului corp decât energia cinetică a celui de-al doilea? ( .:1,25 ).R ori 1.45. Un glonte zboară orizontal şi nimereşte într-o sferă suspendată de o bară rigidă foarte uşoară şi se opreşte în ea. Masa glontelui este

gm 51 şi masa sferei kgm 5,02 . Viteza glonţului sm /5001 . La ce lungime-limită a barei (distanţa de la punctul de suspensie la centrul sferei), în urma ciocnirii cu glonţul, sfera va atinge punctul superior al traiectoriei circulare? ( .: 0,63 ).R m 1.46. O bilă de oţel cu masa gm 20 cade de la înălţimea 1h m pe o placă de oţel şi sare de pe aceasta la înălţimea 2 81h cm . Să se


38

determine: 1) impulsul forţei F t imprimat plăcii în timpul ciocnitrii; 2) cantitatea de căldură, degajată la ciocnire. 3( .: 0,17 ; 37,2 10 ).R N s J 1.47. Un disc se roteşte în jurul unei axe verticale, efectuând 30 / minrot . La distanţa de cm20 faţă de axă, pe disc este situat un corp. Care trebuie să fie coeficientul de frecare dintre disc şi corp, astfel încât corpul să nu se rostogolească de pe disc? ( .: 0,2).R 1.48. O greutate de N10 , suspendată de un fir, este deviată sub un unghi de 30 faţă de verticală, apoi lasată liber. Să se determine tensiunea firului în momentul în care greutatea trece prin poziţia de echilibru. ( .:12,7 ).R N 1.49. Să se determine lucrul mecanic efectuat pentru a comprima un arc cu cm20 , dacă se ştie că forţa este proporţională cu deformaţia şi sub acţiunea unei forţe de N4,29 arcul se comprimă cu cm1 . ( .:58,8 ).R J 1.50. De capătul unei sârme cu lungimea 5l m şi aria secţiunii

transversale 22mmS este agăţată o greutate cu masa 5,1m kg . Să se determine modulul de elasticitate E al materialului sârmei dacă aceasta s-a alungit cu 0,6l mm . ( .: 208 ).R GPa 1.51. O bară de oţel cu masa 3,9m kg este întinsă cu 001,0 relativ faţă de lungimea sa iniţială. Determinaţi energia potenţială a barei întinse. ( .:54,7 ).R J 1.52. Să se determine energia potenţială a unei sârme din fier cu lungimea 1l m şi diametrul 1D mm , dacă ea se răsuceşte cu un unghi 1 . ( .:1,21 ).R J 1.53. O bilă cu masa 0,1m kg şi raza cmR 20 se roteşte în jurul unei axe ce trece prin centrul ei. Dependenţa unghiului de rotaţie a bilei în funcţie de timp se exprimă prin ecuaţia 32 CtBtA , unde

24B rad s şi 31C rad s . Să se afle legea variaţiei momentului forţelor ce acţionează asupra bilei, precum şi valoarea lui la momentul de timp st 2 . ( 3 3. : 3,2 10 ; 6, 4 10 .R t Nm ) 1.54. O bară omogenă cu lungimea de m1 şi greutatea N5 se roteşte într-un plan vertical în jurul unei axe orizontale, ce trece prin mijlocul


39

barei. Cu ce acceleraţie unghiulară se roteşte bara, dacă momentul de rotaţie este egal cu Nm21081,9 ? 2( . : 2,3 / ).R rad s 1.55. O forţă 100F N se aplică tangent la obada unei roţi care are forma unui disc cu raza de m5,0 şi masa kgm 50 . Să se determine: 1) acceleraţia unghiulară a roţii; 2) peste cât timp de la începutul acţiunii forţei roata va avea viteza corespunzătoare frecvenţei de srot /100 ?

2( . : 8 / ; 78,5 ).R rad s s 1.56. O bară omogenă subţire de lungimea ml 1 este fixată la una din extremităţile sale de o axă orizontală. Bara a fost deviată de la poziţia de echilibru cu un unghi 60 şi lăsată liber. Să se afle viteza liniară a extremităţii inferioare a barei la momentul când ea trece prin poziţia de echilibru. ( .: 1,22 / .R m s ) 1.57. O bară de lungimea cml 15 situată în poziţia verticală cade pe o masă. Ce viteză unghiulară şi viteză liniară va avea spre sfârşitul căderii: a) mijlocul barei; b) extremitatea superioară a barei? Se presupune că frecarea este atât de mare, încât extremitatea inferioară a barei nu alunecă în procesul căderii. 1 2( . : 14 / ; 1,05 / ; 2,10 / .R rad s m s m s 1.58. O forţă constantă egală cu N1,98 se aplică tangent la periferia unui disc omogen de rază mR 2,0 . La rotaţie, asupra discului acţionează momentul forţelor de frecare 5frM N m . Să se determine greutatea discului, dacă se ştie că discul se roteşte cu o acceleraţie unghiulară constantă 2100 /rad s . ( .: 71,6 ).R N 1.59. Pe un cilindru cu raza de mR 5,0 este înfăşurat un fir de capătul căruia este legată o greutate 98G N . Să se determine momentul de inerţie al cilindrului, dacă se ştie că greutatea coboară cu acceleraţia

22,04 /a m s . 2( .: 9,5 ).R kg m 1.60. Un volant, momentul de inerţie al căruia este 263,6 ,I kgm se roteşte cu o viteză unghiulară constantă 31,4 /rad s . Să se determine momentul de frânare ,M sub acţiunea căruia după s20 volantul se opreşte. ( .:99,9 ).R Nm


40

1.61. Peste un scripete fix cu greutatea NG 10 este trecută o coardă de extremităţile căreia sunt suspendate greutăţile NG 201 şi

NG 102 . Să se determine: a) acceleraţia cu care se mişcă greutăţile; b) tensiunile 1T şi 2T în coarda de care sunt suspendate greutăţile. Scripetele se consideră disc omogen. Frecarea se neglijează.

2( . : ) 2,8 / ; )14,3 ; 12,9 )R a m s b N N 1.62. Pe un cilindru cu masa 0 9m kg este înfăşurată o coardă de capătul căreia este legată o greutate cu masa 2m kg . Să se determine acceleraţia greutăţii, considerând cilindrul omogen. Frecarea se neglijează. 2( .: 3 / ).R m s 1.63. Să se determine acceleraţiile liniare ale mişcării centrelor de greutate: a) a unei sfere, b) a unui disc, c) a unui cerc ce se rostogolesc fără alunecare de pe un plan înclinat. Unghiul planului este de 30 , viteza iniţială a tuturor corpurilor este nulă; d) să se compare acceleraţiile obţinute cu acceleraţia unui corp care alunecă de pe acest plan înclinat în lipsa frecării.

2 2 2 2( . : 3,5 / ; 3, 27 / ; 2, 44 / ; 4,9 / ).R m s m s m s m s 1.64. Energia cinetică a unui volant, ce se roteşte cu o viteză unghiulară constantă şi corespunde 1 10 / ,rot s este de 37,85 10 J . Determinaţi în cât timp momentul de rotaţie al forţelor egal cu Nm50 , aplicat acestui volant, va mări de două ori viteza unghiulară a volantului? . : 5 .R s 1.65. Pe marginea unei platforme imobile orizontale de forma unui disc de raza mR 2 stă un om cu masa de kgm 80 . Masa platformei este 200 .M kg Platforma se poate roti în jurul axei verticale ce trece prin centrul ei. Neglijând frecarea în axa platformei, să se afle viteza unghiulară cu care se va roti ea, dacă omul va merge pe margine cu viteza de sm2 în raport cu platforma. 1( . : 0,44 ).R s 1.66. Un om care se află pe o platformă orizontală de forma unui disc, ce se poate roti în jurul axei sale verticale, ţine în mâini o bară de lungimea ml 4,2 şi masa kgm 8 . Bara se află în poziţie verticală de-


41

a lungul axei de rotaţie a platformei. Omul împreună cu platforma se rotesc cu frecvenţa 1

1 1 .s . Determinaţi cu ce frecvenţă 2 se va roti platforma, dacă omul va fixa bara în poziţie orizontală? Momentul de inerţie al platformei şi al omului este 26 .kgm ( .: 0,6 / ).R rad s 1.67. O platformă orizontală cu masa kgm 1001 se roteşte în jurul unei axe verticale, ce trece prin centrul platformei, efectuând

min101 rot . Un om cu greutatea de kgm 602 stă pe marginea platformei. Cu ce viteză va începe să se rotească platforma, dacă omul va trece de la marginea platformei spre centrul ei? Să se considere platforma un disc circular omegen, iar omul o masă punctiformă. ( .: 22 / min).R rot 1.68. Ce lucru efectuează omul atunci când trece de la marginea platformei spre centrul ei, în condiţiile problemei precedente? Raza platformei este 1,5m . ( .:162 ).R J 1.69. O platformă circulară cu raza de m1 are momentul de inerţie

2130 kgmI şi se roteşte după inerţie în jurul unei axe verticale cu frecvenţa srot11 . La marginea platformei stă un om cu masa

kgm 70 . Câte rotaţii pe secundă 2 va efectua platforma dacă omul va trece în centrul ei? Ce lucru mecanic va efectua el în urma trecerii, considerând momentul de inerţie a omului ca pentru un punct material? ( .: 1,54 / ; 2160 ).R rot s J 1.70. Pe marginea unei platforme cu masa kgM 240 , de forma unui disc ce se poate roti liber în jurul axei sale verticale, se află un om, având masa kgm 60 . Cu ce unghi se va roti platforma dacă omul va merge pe marginea platformei, întorcându-se în punctul iniţial, descriind o rotaţie completă? Momentul de inerţie a omului se va considera ca pentru un punct material. ( . : 180 ).R 1.71. Se dau doi cilindri: unul din aluminiu (plin) şi unul din plumb (gol) de aceeaşi rază cmR 6 şi aceeaşi greutate NG 5 . 1) Să se determine momentele de înerţie ale acestor cilindri; 2) în cât timp se rostogoleşte fără alunecare fiecare cilindru de pe planul înclinat?


42

Înălţimea planului înclinat este mh 5,0 , unghiul planului 30 . Viteza iniţială a fiecărui cilindru este nulă.

4 2 4 2( . :9 10 ; 15,9 10 ; 0,78 ; 0,88 ).R kgm kgm s s 1.72. Un volant începe să se rotească cu o acceleraţie unghiulară constantă 2/5,0 srad şi după un timp st 151 de la începutul mişcării are un moment cinetic skgmL /5,73 2 . Să se determine energia cinetică a volantului la 2 20t s de la începutul mişcării. ( .: 490 ).R J 1.73. Să se determine viteza de curgere a bioxidului de carbon printr-o conductă, dacă se cunoaşte, că în timp de jumătate de oră prin secţiunea transversală a conductei trec 0,51 kg de gaz. Densitatea gazului fiind

37,5 /kg m , diametrul conductei cm2 . ( .:0,12 / ).R m s 1.74. În suprafaţa laterală a unui vas se introduce un tub capilar cu raza interioară mmr 1 şi lungimea cml 5,1 . În vas este turnată glicerină cu viscozitatea dinamică 21 /Ns m . Nivelul glicerinei în vas se menţine constant la înălţimea mh 18,0 faţă de poziţia tubului capilar. Cât timp este necesar pentru ca prin tubul capilar să se scurgă

35cm de glicerină. ( .:1,5min).R 1.75. O bilă se ridică cu o viteză constantă spre suprafaţa unui lichid, densitatea căruia este de 4 ori mai mare decât densitatea materialului bilei. De câte ori este mai mare forţa de frecare, care acţionează asupra bilei ce se ridică la suprafaţa lichidului decât greutatea acestei bile? ( . : 3 ).R de ori 1.76. O bilă de oţel, având diametrul 1 ,d mm cade cu o viteză constantă egală cu 0,185 /cm s într-un vas mare umplut cu ulei. Să se

determine viscozitatea dinamică a uleiului. 2. : 2 / .R Ns m 1.77. Determinaţi viscozitatea dinamică a uleiului, dacă o sferă din plută cu raza mmr 5 se ridică la suprafaţă, într-un vas umplut cu ulei cu o viteză constantă de 3,5 / ?cm s 2( . :1,09 / ).R Ns m


43

Capitolul 2. FIZICA MOLECULARĂ ŞI TERMODINAMICĂ

1. Breviar

Gazele ideale se supun ecuaţiei de stare a lui Clapeyron-Mendeleev:

,RTMmpV (2.1)

unde: p este presiunea gazului; m - masa lui; V - volumul gazului;

0 AM m N este masa unui mol de substanţă numită masă molară; T -

temperatura absolută a gazului, iar molKJR 31,8 - constanta universală a gazelor.

,pV RT Numărul de moli al unui gaz poate fi exprimat prin masa lui m:

0

0

.A A

m NN mN m N M

Transformarea generală a unei mase date de gaz ideal este:

).(, constmconstTpV (2.2)

Densitatea gazelor

,0

0 TT

pp

RTMp

o (2.3)

unde o este densitatea gazului în condiţii normale .)1,0( atmC . Conform legii lui Dalton, presiunea unui amestec de gaze este

eaglă cu suma presiunilor parţiale ale gazelor componente:

. VRTv

VRT

Mmpp i

i

ii (2.4)

Ecuaţia fundamentală a teoriei cinetice a gazelor ideale monoatomice este:


44

23

232 2

0mnWnp c , (2.5)

unde: n este concentraţia moleculelor; 0m - masa unei molecule;

cW - enegia cinetică medie de translaţie a unei molecule;

n

iiN 1

22 1 -

valoarea medie a pătratelor vitezelor moleculelor. Concentraţia moleculelor se determină din ecuaţia

kTpn , (2.6)

unde: KJNRk

A

/10380,1 23 este constanta lui Boltzman; R -

constanta universală a gazelor, iar 12310025,6 molNA - numărul lui

Avogadro.

În cazul unui amestec de gaze, concentraţia moleculelor (legea liu Dalton) este:

kTp

kTp

kTp

kTpnnnn n

n ...... 2121 ,

unde ;,...,, 21 nnnnn 1, 2 ,..., np p p sunt concentraţiile şi respectiv presiunile gazelor din amestec; p este presiunea amestecului de gaze.

Aşa cum ,nkTp rezultă că pentru energia cinetică medie de translaţie a unei molecule monoatomice avem:

.23

21 2 kTmWc (2.7)

Formula barometrică ce exprimă dependenţa presiunii aerului de înălţime în câmpul de gravitaţie al Pământului este:

0

0 ,m gh

kTp h p e

(2.8)

unde: p este presiunea gazului la înălţimea ;h 0 0p n kT – presiunea gazului la înălţimea 0h .


45

Legea lui Maxwell de distribuţie a moleculelor gazului ideal după vitezele lor absolute (numărul de molecule viteza cărora este cuprinsă în intervalul ( ; d )) are aspectul:

2

03 220 2( ) 4 ,

2

mkTmdN N e d

kT

(2.9)

unde: N este numărul total de molecule; 0m - masa unei molecule; k - constanta lui Boltzman; T - temperatura absulută a gazului; - viteza absulută a moleculelor.

Legea lui Maxwell de distribuţie a moleculelor după vitezele lor relative:

,4)( 22

duueNudN u

(2.10)

unde p

u

este viteza relativă.

Există trei viteze ce caracterizează starea de echilibru a unui gaz:

1. Viteza cea mai probabilă:

.22

0 MRT

mkT

p (2.11)

2. Viteza medie pătratică sau termică:

2m.p. p

0

3 3 1, 22 .kT RTm M

(2.12)

3. Viteza medie aritmetică:

0

8 8 4 1, 22 .p pkT RTm M

(2.13)


46

În aceste relaţii am utilizat:

0 0

.A

A

N kk Rm N m M

Energia internă a gazului ideal (energia mişcării termice a moleculelor) este:

,2

RTMmiU (2.14)

unde m este masa gazului, iar i – numărul gradelor de libertate ale moleculelor.

Din difiniţiile căldurii specifice şi căldurii molare rezultă:

Qc

mdT

şi Q QC mdT dT

M

.

Relaţia dintre căldura specifică c şi cea molară C este:

McCMCc ; . (2.15)

Căldura specifică Vc la un volum constant şi căldura specifică pc la presiune constantă:

.MR

22ic;

MR

2ic PV

(2.16)

Ecuaţia lui Mayer pentru căldurile specifice:

p VRc cM

,

RCC Vp . (2.17)

Parcursul liber mediu al moleculelor gazului se exprimă, astfel:

,2

12dnz

(2.18)

unde: reprezintă viteza medie aritmetică; z - numărul mediu de ciocniri al unei molecule într-o unitate de timp; d - diametrul efectiv al moleculei.


47

Se observă că se poate exprima prin relaţia: ,

unde 1z

este timpul mediu al parcursului liber al moleculelor.

Numărul mediu de ciocniri al unei molecule de gaz în unitatea de timp este:

22 dnz , (2.19)

unde: d este diametrul efectiv al moleculei; n - concentraţia moleculelor.

Ţinând cont de ecuaţia de stare a gazului ideal ,p nkT pentru parcursul liber al moleculelor vom obţine:

2.

2kTp d

Masa de substanţă M , transportată în intervalul de timp t , în procesul difuziei prin suprafaţa S , se determină prin ecuaţia:

,tSx

DM

(2.20)

unde: x

este gradientul densităţii în direcţia perpendiculară pe

suprafaţa ;S D este coeficientul de difuzie:

1 .3

D (2.21)

Forţa de frecare internă în gaz este:

,Sx

Ffr

(2.22)

unde x

reprezintă gradientul vitezei moleculelor de gaz în direcţia

perpendiculară pe suprafaţa S şi coeficientul de viscozitate dinamică, S este aria suprafeţei stratului asupra căruiea acţionează forţa de frecare frF :


48

1 .3

(2.23)

Cantitatea de căldură Q , transportată în timpul t prin suprafaţa ,S în urma conductibilităţii termice:

tSxTKQ

, (2.24)

unde xT

este gradientul de temperatură, în direcţia perpendiculară pe

suprafaţa S şi K este coeficient de conductibilitate termică:

1 .3 VK c (2.25)

Legea conservării energiei în termodinamică care este principiul (legea) I al termodinamicii este exprimată prin relaţia:

LdUQ , (2.26) unde Q este cantitatea de căldură primită de gaz (mărime de stare), dU - variaţia energiei interne (funcţie de stare), iar pdVL este lucrul mecanic elementar efectuat de gaz (mărime de stare).

Lucrul total efectuat de gaz la variaţia volumului este:

2

1

V

V

pdVL . (2.27)

Lucrul efectuat de gazul ideal într-un proces izoterm are aspectul:

.lnln2

1

1

2

pp

MmRT

VV

MmRTL (2.28)

Ecuaţiile (Poisson) transformării adiabatice (sistemul este termic izolat 0Q , fig.2.8) a gazului ideal, au aspectul:

1

1.; .; .pV const TV const Tp const

, (2.29) unde:


49

2p

V

C iC i

se numeşte coeficient adiabatic.

Lucrul efectuat de gazul ideal într-un proces adiabatic este:

)( 21 TTCMmL V ,

sau 11

1 1 1 1 1 2 1 1 1

2 1 2

1 1 11 1 1

p V V p V T pV pLV T p

(2.30)

unde: 1p şi 1V - presiunea şi volumul gazului la temperatura 1T ; 2p şi

2V - presiunea şi volumul gazului la temperatura 2T ; VC - căldura molară la volum constant:

; .1 1V p

R RC C

(2.31)

Atunci, pentru energia internă a gazului ideal obţinem:

.1 1

m RT pVUM

(2.32)

Ecuaţia procesului politropic are forma: .constpV n ,

sau nn VpVp 2211 , unde n este exponentul politropic n1 . Randamentul maşinii termice se determină prin relaţia:

1

2

1

21

1

1QQ

QQQ

QL

, (2.33)

unde: 1Q este cantitatea de căldură absorbită; 2Q - cantitatea de căldură cedată. Coeficientul frigorific, definit ca raportul dintre căldura cedată de corpul răcit şi lucrul necesar pentru funcţionarea maşinii este:


50

2 2

1 2

.Q QL Q Q

(2.34)

Randamentul ciclului Carnot:

1 2 2 2 2

1 1 1 1

1 ; .T T T Q TT T Q T

(2.35)

Variaţia entropiei la trecerea sistemului din starea iniţială A în starea finală B se determină din relaţia:

B

AAB T

dQSS . (2.36)

Formula lui Boltzman pentru entropia sistemului este:

WkS ln , (2.37)

unde: k este constanta lui Boltzmann; W - probabilitatea termodinamică a stării sistemului. Deci, diferenţa entropiilor poate fi:

2 2 22 1

1 1 1

ln ln Rln ln .AW V VS S k kNW V V

(2.38)

Ecuaţia lui Van-der-Waals pentru un mol de gaz este:

RTbVVap

02

0

, (2.39)

pentru moli, se obţine:

vRTvbVVap

2 , (2.40)

unde: a şi b sunt corecţiile Van-der-Waals (calculate la un mol de gaz);

V - volumul ocupat de gaz; 0V - volumul unui mol de gaz; Mm -

numărul de moli ori cantitatea de substanţă.


51

2. Exemple de rezolvare a problemelor

Problema 1 Să se determine masa molară a aerului, ţinând cont că el reprezintă

un amestic dintr-o parte de oxigen şi trei părţi de azot. Rezolvare Se aplică ecuaţia de stare a gazului ideal:

,RTMmpV

am

(2.41)

sau pentru fiecare gaz în parte, avem:

RTMmVp

1

11 (2.42)

şi RTMmVp

2

22 , (2.43)

unde 1p şi 2p sunt presiunile parţiale ale fiecărui gaz. Pentru un amestic de gaze este valabilă legea lui Dalton

21 ppp . (2.44) Adunând termen cu termen (2.42) şi (2.43) şi ţinând cont de (2.44), obţinem:

RTMm

MmpV

2

2

1

1 . (2.45)

Comparând (2.41) şi (2.45) şi ţinând cont că masa amestecului este 21 mmm , se obţine:

1 2 1 2

1 2

,am

m m m mM M M

(2.46)

de unde:

21

21

1221

2121

1221

2121

34

33

MMMM

mMmMmmMM

mMmMmmMMM am

, (2.47)

înlocuind valorile numerice vom obţine:


52

4 0,039 0,028

0,029 .3 0,032 0,028

am

kg kgkgmol molM kg kg mol

mol mol

(2.48)

Problema 2 Cât timp trebuie pompat un gaz dintr-un vas cu volumul

330 105,1 cmV cu ajutorul unei pompe, astfel încât presiunea în vas să

se micşoreze de la presiunea atmosferică Pap 50 10 până la

Pap 2,13 ? Debitul pompei pentru intervalul de presiuni dat să se

considere constant şi egal cu scmk

3180 . Variaţia temperaturii

gazului în vas în timpul pompării se neglijează.

Rezolvare Debitul pompei k este egal cu volumul gazului care trece în

fiecare secundă din vas în camera pompei, apoi în atmosferă. Dacă în intervalul de timp dt din vas a ieşit volumul de gaz dV , atunci:

dtdVk . (2.49)

Conform condiţiilor problemei, pomparea are loc la constT , adică poate fi aplicată legea lui Boyle-Mariotte.

Acest proces pote fi considerat ca proces al creşterii volumului uneia şi aceleieaşi mase de gaz cu dV , care conduce la variaţia presiunii cu dp .

Ţinând cont că 0dp , se aplică legea lui Boyl-Mariotte: dVVdpppV 00 , deschizând parantezele şi neglijând dpdV (acest produs are o valoare foarte mică), se obţine:

.00 dpVpdV (2.50) Împărţind ambele părţi la dt , relaţia (2.50) ia aspectul:

,00 dtdpV

dtdVp


53

sau ţinând cont că ,dVkdt

se obţine:

.00 dtdpVpk (2.51)

Această ecuaţie diferenţială exprimă dependenţa presiunii p a aerului din vas de timp.

Separând variabilele din această ecuaţie şi considerând că în intervalul de timp de la zero la t presiunea variază de la 0p la ,p se poate scrie:

00 0

; ,pt

o p

k dp k dpdt dtV p V p

de unde:

ppt

Vk 0

0

ln

sau

pp

kVt 00 ln .

Înlocuind valorile numerice, se obţine timpul:

3 3 5

3

1,5 10 10ln 74 .180 13, 2

cm Pat scm s Pa

Problema 3 Densitatea unui amestec de azot şi hidrogen la temperatura

K320T şi presiunea Pap 5102 este ./3,0 3mkg Să se determine concentraţia azotului )( 1n şi a hidrogenului )( 2n în acest amestec. Rezolvare:

Potrivit legii lui Dalton, numărul total n de particule în unitatea de volum este:

kTpnnn 21 . (2.52)


54

Aplicând ecuaţia de stare a gazului ideal, se determină masa molară

a amestecului:

p

RTVp

mRTM am . (2.53)

Pe de altă parte, amM poate fi exprimată prin masele molare ale

azotului 1M şi ale hidrogenului 2M , precum şi prin concentraţiile lor corespunzătoare 1n şi 2n . Cunoaştem că masa m a gazului şi concentraţia lui corelează prin relaţia

AN

nVMnVmm 0 , (2.54)

unde: V este volumul gazului; M - masa molară a lui; 0m - masa unei

molecule; AN - numărul lui Avogadro. Înlocuind mărimile 1m şi 2m din (2.54) în relaţia (2.47)

demonstrată în problema 1, se obţine:

21

2211

nnMnMnM am

. (2.55)

Egalând părţile drepte ale ecuaţiilor (2.53) şi (2.55) se obţine:

pRT

nnMnMn

21

2211 . (2.56)

Rezolvând (2.53) şi (2.56), pentru concentraţiile 1n şi 2 ,n obţinem:

24 321

1 2

2.4 10 ;( )RT pMn m

kT M M

325

12

12 102.4

)(

mMMkT

pMRTn .

Problema 4

A câta parte din numărul de molecule ale unui volum dat de hidrogen, aflate la temperatura T , au viteze ce diferă de viteza cea mai


55

probabilă nu mai mult decât cu sm /5 ? Problema se va rezolva pentru temperaturile KT 4001 şi .9002 KT

Rezolvare Distribuţia moleculelor după viteze se exprimă prin relaţia:

u)U(NfN , (2.57) valabilă pentru uu , unde N este numărul total de molecule al gazului:

2u ue4)u(f2

,

reprezintă legea lui Maxwell pentru distribuţia moleculelor gazului după vitezele lor relative (2.10).

Deorece în problemă este vorba de viteza cea mai probabilă se admite că p , de unde rezultă:

1p

u

şi atunci relaţia (2.57) va obţine o formă mai simplă:

euN4N ,

de unde rezultă că numărul relativ de molecule ale căror viteze relative se află în intervalul u este:

ueN

N

4

. (2.58)

Înainte de a efectua calculele conform relaţiei (2.58), se verifică îndeplinirea condiţiei uu , unde:

,P

u

P

u

. (2.59)

Pentru a determina ,u se calculează vitezele cele mai probabile la temperaturile 1 2400 , 900 ,T K T K folosind (2.11):

31,1

2 2 8,31 400 , 1,82 10 ;0,002P

RT m mM s s


56

32,2

2 2 8,31 900 , 2,73 10 .0,002P

RT m mM s s

Substituind aceste valori în (2.59) şi ţinând cont că sm /10 , deoarece conform condiţiilor problemei vitezele se găsesc în interval de la

sm /5 până la sm /5 , se obţine:

1821

1 u ; 273

1u2 .

Deoarece 1u , se

observă că relaţia uu se verifică pentru ambele temperaturi. Din relaţia (2.58) se determină:

1) 11

4 4 0,0046;3,14 2,7 182

N uN e

2) 22

4 4 0,0030.3,14 2,7 273

N uN e

Deci, la creşterea temperaturii, viteza cea mai probabilă a moleculelor se măreşte, dar numărul moleculelor ale căror viteze se găsesc în acelaşi interval în comparaţie cu viteza cea mai probabilă se micşorează (fig 2.9).

Problema 5 Un avion zboară la înălţimea .8300mh De câte ori masa

volumică a aerului din interiorul avionului este mai mare decât masa volumică a aerului din exterior, dacă temperatura aerului din interiorul avionului şi în exteriorul lui respectiv este Ct o201 şi Ct o302 , iar presiunea în interiorul avionului este Papo

510 .


57

Rezolvare Potrivit formulei barometrice, concentraţia moleculelor de aer la înălţimea h este:

ext

MghRT

on n e

. Înmulţind relaţia dată la masa unei molecule, obţinem relaţia

pentru masa volumică a moleculelor la înălţimea h (în exteriorul avionului):

0ext

MghRT

ext e

,

unde o este masa volumică a aerului la nivelul mării 0h în condiţii normale. Folosind legea lui Clapeyron-Mendeleev pentru 0 şi int , respectiv, vom obţine:

RM

273105

0 şi R

M293105

int

şi atunci:

329 10 10 830058,31 243

5int

10 293 293 0,32273 10 273

ext

MghkText M Re e

R M

.

Problema 6

Într-o maşină centrifugă se află o substanţă în stare gazoasă la temperatura .300 KT Determinaţi raportul dintre concentraţia moleculelor n în vecinătatea pereţilor şi concentraţia lor on în centrul

rotorului, dacă frecvenţa de rotaţie a rotorului este 130 s , raza lui mr 5,0 , iar masa relativă a moleculelor gazului este 1000rM .

Rezolvare Concentraţia moleculelor aerului în câmpul forţelor de gravitaţie la

înalţimea h este (vezi problema precedentă):

kThE

okT

mgh

o

p

enenn)(

,


58

Analogic, pentru concentraţia moleculelor gazului din maşina centrifugă la distanţa r de axa rotorului, putem scrie:

kTrE

o

c

enn)(

, (2.60)

unde:

22)(

220

2 rmmrE oc

este energia cinetică a moleculelor cu masa m0 la distanţa r de axa rotorului.

Din relaţia (2.60) rezultă:

2 2 3 2 2 22 20 10 42 2 2

0

0,16,

016 .

rm r M rM rkT kT kT

o

n e e en

n n

Problema 7 Folosind legea lui Maxwell de disribuţie a moleculelor după

vitezele lor absolute:

dekT

mNdNfdN kTm22

23

0

2

24

, (2.61)

Să se obţină distribuţia lui Maxwell a moleculelor după vitezele lor

relative P

u

, unde este viteza absolută a moleculei, iar P este

viteza cea mai probabilă a ei. Rezolvare Viteza absolută a unei molecule este pu . Derivând această

egalitate, apoi efectuând substituţiile necesare în relaţia (2.61) şi considerând:

0

2mkT

P ,


59

vom obţine:

2

0

0

3 22220

0 0

2 24 ,2

m u kTkTm

pm kT kTdN u Nfu u du N U e du

kT m m

de unde:

duueNudN u 224

.

Problema 8 Viteza cea mai probabilă a moleculelor dintr-un vas este

smP /376 . Determinaţi numărul relativ de molecule, viteza cărora este cuprinsă în intervalul de viteze 100 şi sm /110 , dacă temperatura gazului este Co0 .

Rezolvare

În acestă problemă 027,0

P

u

este mic, de aceea, pentru

numărul relativ de molecule NN

viteza cărora este cuprinsă în intervalul

putem folosi formula (vezi problema precidentă):

uueNN u

224

,

unde:

,027,01212

ppp

uuu

(2.62)

iar

071,0376100 2

21

2

uu . (2.63)

După calculele respective vom obţine:

004,0NN

.


60

Problema 9 Folosind legea lui Maxwell pentru disribuţia moleculelor după

vitezele lor relative, determinaţi numărul de molecule viteza cărora este

P 001,0 , dacă numărul de molecule din volumul considerat este egal cu numărul lui Avogadro.

Rezolvare Numărul de molecule căutat poate fi determinat, integrând relaţia:

2 24( ) ;uANdN u e u du

duueNa4)u(dNN 2u

0

uu

0

max2

max

,

unde:

;10 3maxmax

p

u

;10 62max

u ,1610 oee

de aceea, din ultima relaţie rezultă: 0.001

0.001 32 17

00

4 4 4.53 10 .3

A AN N uN u du

Problema 10 Determinaţi numărul relativ de molecule viteza cărora depăşeşte

viteza cea mai probabilă p .

Rezolvare Notăm prin N numărul de molecule cu viteza mai mare decât p ,

iar prin N numărul de molecule cu viteza mai mică decât p , atunci

1N

NN , unde NNN este numărul total de molecule.

Astfel, în loc de NN se poate calcula ,N

N

folosind formula:


61

duueNN U

u 2max

0

24

, (2.64)

unde:

1max p

pu

, ...24621

18642

2

uuuue u

(este seria lui Macleron).

Substituind ultimele două relaţii în relaţia (2.64) vom obţine:

,43.0...)2741

541

141

51

31(4

...24621

4 1

0

108642

duuuuuu

NN

de unde:

57.043.011

NN

NN

.

Problema 11 Să se determine numărul total de ciocniri Z ce au loc într-o secundă

între toate moleculele ce se găsesc într-un volum 31mmV de hidrogen în condiţii normale de temperatură şi presiune (diametrul efectiv al moleculei de hidrogen m10103,2 ).

Rezolvare Numărul mediu de ciocniri z al unei molecule într-o secundă se determină din relaţia:

nz 22 , (2.65) unde este diametrul efectiv al moleculei; n - concentraţia moleculelor, iar - viteza medie aritmetică.

Pentru a stabili relaţia dintre mărimile z şi numărul real Z de ciocniri dintre numărul total N de molecule din volumul V se consideră că înmulţind numărul de ciocniri al unei molecule într-o secundă z cu


62

numărul total de molecule N , se va obţine un rezultat de două ori mai mare decât numărul real de ciocniri Z . Într-adevăr, într-o ciocnire participă în acelaşi timp două molecule. Astfel, în numărul zN fiecare ciocnire intră de două ori: odată din ciocnirea unei molecule din moleculele date, a două oară din ciocnirea moleculei a doua. Rezultă că expresia reală pentru numărul total de ciocniri Z va fi:

22nVzNzZ , (2.66)

unde V este volumul gazului. Înlocuind în relaţia (2.66) relaţia (2.65), se obţine:

2 22 .2

n VZ (2.67)

Din relaţia nkTp se determină concentraţia n a moleculelor,

iar din relaţia MRT

8 se obţine viteza medie aritmetică.

Ţinând cont de expresiile pentru p şi , relaţia (2.67) devine:

MRT

TkVpZ 8

22

22

22

.

Înlocuind în ultima relaţie valorile numerice, obţinem:

9 3 5

3 10

23

1 10 ; 1 10 ; 273 ;

2 10 ; 2,3 10 ;

1,38 10 ; 8,3

V m p Pa T KkgM m

molJ Jk RK mol K

şi efectuând calculele, se obţine:

126106,1 sZ .


63

Problema 12 Să se calculeze parcursul liber mediu al moleculei de azot

(diametrul efectiv A1,3 ), dacă distanţa medie dintre ele este

md 9101,3 .

Rezolvare Distanţa medie dintre molecule:

31

3

nNVd ,

de aceea:

m1072d

n21 8

2

3

2

.

Problema 13 Dintr-un vas difuzează în vid aer printr-un tub de diametru

cmd 1 şi lungimea cml 5,1 . Care este debitul dtdm

al aerului, dacă

temperatura este 01,7 ,t C iar diametru efectiv al moleculei este

3

?

Rezolvare Potrivit legii lui Fick, masa transportată prin secţiunea transversală

a tubului în unitate de timp este:

SdxdD

dtdm

,

unde dxd

este gradientul densităţii aerului. În condiţii obişnuite d ,

de aceea, gradientul densităţii aerului poate fi caracterizat de raportul l

şi atunci pentru debitul aerului vom obţine:


64

2 2

2

27

2

1 1 83 4 3 42

10 .6 A

dm pM d RT kT pM dD Sdt l RTl M RTlp

MRT d kgsN l

Problema 14 Determinaţi dependenţa coeficientului de difuzie de temperatură

într-un proces: a) izobar; b) izocor.

Rezolvare a) .constp

32

2 2

1 1 8 8 ;3 3 2 2

RT kT RTD const TM Md n d p

b) .constV

.823

823

21

022

TconstMRT

TpdkT

MRT

pdkTD

Problema 15 Să se calculeze viscozitatea gazului md 10103 care umple

spaţiul dintre doi cilindri, de raza cmr 51 , cmr 2,52 şi înălţimea

cmh 25 . Cilindrul exterior se roteşte cu frecvenţa 360 ,minrot iar

cel interior este menţinut fix cu ajutorul unei forţe tangenţiale NF 31038,1 . Se va aproxima cu cazul plan. Să se evolueze

presiunea minimă necesară pentru ca să nu depindă de presiune.

Rezolvare Potrivit legii a doua lui Newton, avem:

,222 112

21

12

1122 hrrrrhr

rrrrS

rtpF


65

deoarece 01 şi se aproximează cu cazul plan. Din ultima relaţie rezultă:

Pentru ca să nu depindă de presiune este necesar ca parcursul

liber mediu:

1222rr

pkT

,

de unde:

Pa

rrkTp 2,5

2 122

.

Problema 16 Un vas având volumul de 32102 m , umplut cu oxigen la

presiunea Pap 61 10 şi temperatura KT 2801 , este încălzit până la

temperatura .3002 KT Ce cantitate de căldură va absorbi gazul la această încălzire?

Rezolvare Deoarece coeficienţii de dilatare termică a corpurilor solide sunt cu

mult mai mici decât ale gazelor ( de 100 ori), se va neglija, dilatarea vasului considerând procesul izocor.

Se aplică principiul I al termodinamicii .LUQ Deoarece la procesul izocor gazul nu efectuează lucrul mecanic, urmează că

0, ,L Q U adică, toată cantitatea de căldură se transmite gazului numai pentru creşterea energiei lui interne.

Ţinând cont de ecuaţia de stare a gazului ideal, din relaţia:

RTiMmU

2 ,

rezultă:

.2

pViU

2 1 5 22

2 1

1,8 10 .4F r r

N s mr r h


66

Atunci pentru variaţia energiei interne U vom obţine:

.1)(2 1

211212

ppVpVppiUUU

Din ultima relaţie şi din legea lui Charles penru procesul izocor:

2

1

2

1

TT

pp

,

atunci:

1

2 1

21 T

TVpiUQ .

Înlocuind valorile numerice, se obţine:

.35105,3 4 kJJQ

Problema 17 Să se calculeze lucrul necesar, pentru ca, comprimând încet un gaz

cu un piston într-un cilindru cu pereţi ce conduc bine căldura, presiunea să se mărească de două ori. Presiunea iniţială a gazului ,105

1 Pap volumul inţial 33

1 105 mV . În timpul compimării, temparatura şi presiunea aerului înconjurător sunt constante. Greutatea pistonului şi frecarea se neglijează.

Rezolvare Deoarece procesul decurge încet, iar pereţii cilindrului conduc bine

căldura, acesta ne permite să admitem că procesul este izoterm. Lucrul efectuat de gaz în procesul izoterm se determină din relaţia:

2

111

1

2 lnlnppVp

VVRT

MmL ,

(dacă 21 pp atunci şi 0).L În cazul problemei date lucrul forţelor exterioare exL este pozitiv,

deoarece gazul este comprimat cu ajutorul pistonului, deci:

11 1

2

ln .ex gpL L p Vp

(2.68)


67

Evident, exL reprezintă suma lucrului efctuat de forţele aplicate pistonului L şi a lucrului forţelor presiunii atmosferice :atmL atmex LLL , de unde: atmex LLL . (2.69)

Lucrul forţelor presiunii atmosferice poate fi determinat astfel: 1 1 2( )atmL p V V

sau .12

111

ppVpLatm (2.70)

Din relaţiile (2.68), (2.69) şi (2.70) rezultă:

2

1

1

211 1ln

pp

ppVpL .

Înlocuind valorile numerice în ultima relaţie, vom obţine 0,1 .L kJ

Problema 18 Într-un cilindru cu pereţi izolaţi, închis cu un piston, care poate

aluneca fără frecare, secţiunea căruia este 220S cm şi masa 2pm kg

se găseşte aer, ocupând volumul 331 10 mV . Pe piston se află un corp cu

masa 8cm kg (fig.2.10). Dacă se înlătură brusc corpul de pe

piston, aerul se va dilata şi va ridica pistonul din poziţia iniţială A în poziţia B. Să se determine lucrul la dilatarea gazului. Presiunea atmosferică

Pap 50 10 .

Rezolvare Procesul decurge fără schimb de

căldură, deci, are loc o transformare adiabatică. Din condiţiile problemei este uşor să se determine presiunea 1p a aerului din cilindru. Într-adevăr, asupra pistonului în poziţia A acţionează


68

forţa de greutate a pistonului gmp

, forţa de greutate a corpului gmc

,

forţa de presiune atmosferică Sp0 şi forţa de presiune a aerului din

cilindrul Sp1 . Primele trei forţe sunt orientate în jos, ultima în sus. Din condiţia de echilibru a pistonului se poate scrie:

SpgmgmSp cp 01 , de unde:

PapS

gmgmp cp 5

01 105,1)(

.

Condiţiile problemei permit, de asemenea, să se determine presiunea 2p a aerului din cilindru în acel moment, când viteza pistonului atinge valoarea maximă (în poziţia B a pistonului):

SpgmSp p 02 ,

deoarece s-a înlăturat greutatea de pe piston. Din ultima relaţie rezultă:

PapS

gmp p 5

02 101,1 .

Lucrul la dilatarea adiabatică a gazului poate fi calculat folosind

relaţia:

1

2

111 11

VVVpL . (2.71)

Raportul necunoscut al volumelor poate fi exprimat prin raportul presiunilor conform ecuaţiei Poisson:

1

2

2

1

pp

VV

sau .

1

1

2

1

2

1

pp

VV

(2.72)

Substituind (2.72) în (2.71) vom obţine:


69

1

1

211 11 p

pVpL . (2.73)

Aerul este un amestic din gaze biatomice, oxigen şi azot 5i , de

aceea raportul V

p

cc

pentru aer 2 7 1, 4.

5p

V

c ic i

Înlocuind valorile numerice în relaţia (2.73) vom obţine:

JL 305,11,11

14,110105,1 4,1

4,035

.

Problema 19 O maşină termică funcţionează conform ciclului Carnot

randamentul căreia este 25,0 . Care va fi eficienţa a maşinii dacă ea va lucra în sens opus? Eficienţa se defineşte prin raportul cantităţi de căldură, primită de la corpul rece, către lucrul motorului, ce pune maşina în mişcare.

Rezolvare Randamentul oricărui ciclu, deci şi al ciclului Carnot, se exprimă

prin relaţia:

1

21

1 QQQ

QL . (2.74)

Pentru condiţiile problemei date lucrul efectuat de corpul de lucru pentru un ciclu va fi negativ (lucrul pozitiv de dilatare este mai mic în modul decât lucrul negativ de comprimare). În cazul dat, pozitiv va fi lucrul motorului L , ce pune maşina în mişcare.

Conform definiţiei, eficienţa maşinei este determinată de relaţia:

L

Q2 (2.75)

Pentru a determina excludem din (2.74) mărimea 1Q egală cu

2QL , atunci din (2.74) rezultă:


70

2QLL

.

Efectuând transformările corespunzătore, vom obţine:

111 22

LQ

LQL

,

de unde:

311

sau %300 .

Problema 20 Pe baza primului principiu al termodinamicii, să se demonstreze

ecuaţia de stare pentru o transformare politropă (transformare în decursul căreia căldura molară a sistemului rămâne constantă). Să se arăte că la limită, transformarea politropă conţine celelalte transformări cunoscute.

Rezolvare Potrivit definiţiei, căldura molară a sistemului:

dTdQC

1 , (2.76)

rămâne constantă în decursul transformării politrope. Ţinând seama de primul principiu al termodinamicii, relaţia (2.76) devine:

VCdT dU dL C dT pdV

sau pdVdTCC V . (2.77)

Prin diferenţierea ecuaţiei lui Clapeyron-Mendeleev, obţinem:

.RdTVdppdV

După introducerea acestei expresii în relaţia (2.77) rezultă:

.0

pdp

VdV

CCCC

V

P (2.78)

Integrând relaţia (2.78), obţinem ecuaţia politropei:

npV const . (2.79)


71

cu .p

V

C Cn

C C

(2.80)

Ecuaţia (2.79) cuprinde la limită toate transformările cunoscute: 1. Dacă ,0n atunci din (2.80) rezultă ,pC C ceea ce corespunde

transformării izobare; 2. Dacă ,1n atunci din (2.80) rezultă ,p VC C ceea ce se verifică la

transformarea izotermă; 3. Dacă ,n atunci din (2.80) rezultă ,VC C ceea ce are loc în

cazul transformării izocore;

4. Dacă V

p

CC

n , atunci din (2.80) rezultă 0,C ceea ce corespunde

transformării adiabatice.

Problema 21 Să se calculeze randamentul unei maşini care lucrează după un ciclu

Carnot generalizat (ciclu format din două izoterme şi două politrope), dacă corpul de lucru este un gaz ideal.

Rezolvare Randamentul ciclului este

1Q

L , (2.81)

unde:

1

211,44,33,22,1 ln

VVRTLLLLL

1

22121

3

4212 lnln

VVTTvRTTvC

VVvRTTTvC , (2.82)

Deoarece:

2

1

3

4

VV

VV

.

Pe de altă parte:

121

213,22,11 ln TTC

VVRTQLQ . (2.83)


72

Substituind relaţiile (2.82) şi (2.83) în relaţia (2.81), vom obţine:

1

2

211

21

lnVVR

TTCT

TT

,

unde: 0C (transformare adiabatică); VCC (transformare izocoră), sau pCC (transformare izobară).

Problema 22 Să se determine variaţia entropiei a kmol1 de gaz ideal biatomic,

care se dilată pe politropa constpV 2 , de la un volum de l1 la un volum de l2 . Care este variaţia entropiei, dacă dilatarea are loc pe o izotermă? Dar pe o adiabată?

Rezolvare Entropia unui mol de gaz ideal, în diverse variabile, se poate

exprima astfel: 0 0

0

ln ln ; ln ln ;

ln ln ,V p V

p

S C p C V S S C T R V SS C T R p S

unde 0S este o constantă de integrare. Dacă dilatarea are loc pe o politropă, atunci variaţia entropiei, va fi:

1

2

1

2 lnlnVVR

TTCS V . (2.84)

Pentru o transformare politropă:

1

2 2

1 1

.n

T VT V

(2.85)

Substituind relaţia (2.85) în relaţia (2.84), vom obţine:

pV CnCVVS

2

1ln . (2.86)

Întroducând datele numerice respective, obţinem:


73

3 3 3 31 5 710 ln 2 8,31 10 8,31 10 8,74 10 .2 2 2

JSgrad

Dacă dilatarea are loc pe o izotermă .pV const şi 1n , atunci:

31

2

ln 5,76 10 .V pV JS C CV grad

Dacă dilatarea are loc pe o adiabată, atunci V

p

CC

n şi din

relaţia (2.86) rezultă:

.0ln2

1 pV CCVVS

Problema 23 Într-un vas de oţel se găseşte apă, ocupând jumătate din volumul

vasului aflat la temperatura camerei. Să se determine presiunea vaporilor de apă, dacă temperatura va creşte până la .400 Co

Rezolvare Din tabelul temperaturilor critice, găsim pentru apă .374 Ct o

c Aşadar, la încălzirea apei în vas până la Co400 ea va avea o temperatură mai mare decât cea critică. Adică, apa se va afla în stare de vapori.

Densitatea vaporilor de apă poate fi determinată, ţinând cont că volumul uneia şi aceleiaşi mase de apă ca rezultat al încălzirii se va mări de două ori.

Rezultă că densitatea a vaporilor, egală cu raportul dintre masă şi volum, va fi de două ori mai mică decât densitatea apei:

./1052

32 mkga

Densitatea vaporilor în vas devinind foarte mare, aceştia pot fi consideraţi ca un gaz real, parametrii căruia sunt exprimaţi prin ecuaţia de stare a lui Van-der-Waals:


74

RTbVVap

02

0

, (2.87)

unde 0V este volumul molar al gazului, a şi b sunt constantele lui Van-der-Waals, având valori diferite pentru diverse gaze (valorile numerice sunt date în anexe).

Din relaţia (2.87) rezultă:

200 Va

bVRTp

. (2.88)

Cunoscând că ,0 MV unde M este masa molară a vaporilor,

obţinem:

2

2 .RT apMM b

Înlocuind valorile constantelor a şi b pentru apă din anexe şi exprimând toate mărimile ce figurează în relaţia (2.88) în SI:

molkgM

molmb

molNmaKT 018,0;103;55,0;673

35

2

4

şi efectuând calculele respective, vom obţine presiunea vaporilor de apă:

.101,5 8 Pap


75

P R O B L E M E

2.1. Să se determine densitatea aerului şi concentraţia moleculelor

de aer într-un vas vidat cu o pompă modernă 11(p 10 mm. )Hg la temperatura 300T K . 14 3 11 3( . :1,55 10 / ;3,2 10 .R kg m m )

2.2. La mijlocul unui tub capilar orizontal, din care este evacuat aerul şi ale cărui capete sunt sudate, se află o coloană de mercur având lungimea cml 20 . Dacă aşezăm tubul capilar vertical, coloana de mercur se deplasează cu cmh 10 . Lungimea capilarului mL 1 . Determinaţi până la ce presiune a fost evacuat aerul din tubul capilar? . : 375 .R mm Hg

2.3. Într-un vas se află g14 de azot şi g9 de hidrogen la temperatura Ct o10 şi presiunea de Pa610 . Determinaţi masa unui kmol de amestec şi volumul vasului.

3 3. : 4,6 / ; 11,7 10 .R kg kmol m

2.4. Într-un vas se află un amestec de g10 de bioxid de carbon şi g15 de azot. Determinaţi densitatea acestui amestec la temperatura

Ct o27 şi presiunea Pap 5105,1 . 3. : 1,98 .R kg m

2.5. Un balon (aerostat) de volum 378V m este prins de sol cu un fir. Cu cât se modifică tensiunea din fir dacă tempertura aerului coboară de la Ct o271 la Ct o32 şi presiunea atmosferică creşte de la Torrp 7401 la Torrp 7742 ? ( . :142.4 ).R N

2.6. Într-un vas de volum lV 15 se găsesc 0,1v moli de oxigen, gm 8,9 de azot şi 22100,3 N molecule din alte gaze la temperatura Ct o27 . Să se determine presiunea amestecului de gaze. ( . : 83 ).R atm

2.7. Un vas de volum 16, 4V l conţine o masă 32m g de amestec de gaze format din heliu şi azot la temperatura KT o300 şi


76

presiunea 3,0p atm . Determinaţi masa de azot din amestec. ( . : 9,7 ).R g

2.8. Într-un vas închis cu capacitatea de 31m se află 0,9 kg de apă şi 1,6 kg de oxigen. Să se afle presiunea în vas la temperatura de 500 C , cunoscând, că la această temperatură toată apa se transformă în vapori. 5 2( . : 6,4 10 N/ m ).R

2.9. Considerând că aerul constituie %6,23 din masa oxigenului şi %4,76 din masa azotului, să se afle densitatea aerului la presiunea 750 mm Hg şi temperatura de Co13 . Determinaţi presiunile parţiale ale oxigenului şi azotului reieşind din condiţiile problemei.

3 5 5. : 1, 2 / ; 0, 21 10 ; 0,79 10 .R kg m Pa Pa 2.10. Să se determine presiunea unui gaz, cunoscând că densitatea

sa este 3/2,1 mkg şi viteza medie pătratică a moleculelor sale este sm /500 . ( . :100 ).R kPa

2.11. Determinaţi viteza medie pătratică, energia cinetică medie a mişcării de translaţie şi energia totală medie a unei molecule de azot şi de heliu la temperatura Ct o27 . De asemenea, să se determine energia totală a tuturor moleculelor din g100 de fiecare gaz.

20 21 3. :1900 / ; 500 / ; 10 ; 6, 2 10 ; 3,1 10 ; 200 .R m s m s J J J J 2.12. Viteza medie pătratică a unui gaz anumit în condiţii normale

este de 461 /m s . Ce cantitate de molecule se conţin în 1g de acest gaz? 22( . :1,88 10 ).R

2.13. Un gaz are densitatea 31,1 /kg m la presiunea 710 p Torr şi temperatura Ct o27 . Să se determine viteza medie

pătratică a moleculelor gazului şi masa molară a gazului. ( . : 0,029 / ; 508 / ).R kg mol m s

2.14. Energia consumată la disocierea tuturor moleculelor unui mol de gaz (energia molară de disociaţie) a hidrogenului este de

molkJ /419 . Determinaţi temperatura, la care energia cinetică a mişcării


77

de translaţie a moleculelor gazului este suficientă pentru disociaţia lui. 3( . : 33,6 10 ).R K

2.15. Energia totală (energia internă molară) a unui gaz ideal biatomic este egală cu 6,02 /kJ mol . Să se determine energia cinetică medie de rotaţie a unei molecule a acestui gaz. 20( . : 0, 4 10 ).R J

2.16. Determinaţi înălţimea h la care densitatea aerului este de două ori mai mică decât densitatea lui la nivelul mării în condiţii normale. Să se rezolve problema pentru aer şi pentru hidrogen

)80,5.5:.( kmkmR . 2.17. Determinaţi forţa cu care acţionează o particulă în câmpul

forţelor de gravitaţie într-un strat de grosimea mZ 1 situat astfel, încât ./ 21 enn Temperatura se va considera peste tot egală cu K300 .

)1014.4:.( 21 NR . 2.18. Barometrul din interiorul unui avion indică presiunea

constantă 80p kPa din care motiv pilotul consideră că înălţimea h de zbor a avionului se menţine constantă. Determinaţi eroarea h comisă de pilot, dacă temperatura aerului s-a schimbat cu .K1T Să se considere că Pap 5

0 10 şi )(hfT . )5,6:.( mhR . 2.19. Rotorul unei maşini centrifuge se roteşte cu viteza unghiulară

. Folosind funcţia de distribuţie a lui Boltzman obţineţi relaţia distribuţiei moleculelor cu masa mo din centrifugă în dependenţa de distanţa lor de la axa rotorului. (

2 20 / (2 )

0. : m R KTR n n e , unde 0n este concentraţia moleculelor în centrul centrifugii).

2.20. Rotorul unei maşini centrifuge umplute cu radon se roteşte cu frecvenţa .s50 1 Raza rotorului este ,m5,0R temperatura gazului peste tot este ,300KT iar presiunea gazului în centrul rotorului

.105 Papo Determinaţi presiunea gazului în vecinătatea pereţilor maşinii. ( . : 304 )R kPa .

2.21. Într-o centrifugă se află un gaz la temperatura .271KT Rotorul centrifugii cu raza mR 4,0 se roteşte cu viteza unghiulară

500 /rad s . Determinaţi masa moleculară relativă rM dacă


78

presiunea gazului în vecinătatea pereţilor maşinii depăşeşte presiunea în centrul ei de 2,1 .ori ( . : 84 ).rR M cripton

2.22. Determinaţi numărul relativ al moleculelor de azot la temperatura CT o150 viteza absolută a cărora este cuprinsă în intervalul 300 /m s şi sm /325 . ( . : / 2,8%)R N N .

2.23. Determinaţi numărul relativ de molecule de hidrogen la temperatura Co0 viteza absolută a cărora este cuprinsă în intervalul 2000 /m s şi sm /2100 ( . : / 4,5%)R N N .

2.24. Folosind legea lui Maxwell pentru distribuţia moleculelor după vitezele lor relative, determinaţi numărul de molecule viteza cărora este inferioară vitezei 0,002 p , dacă numărul de molecule din

volumul considerat este 241,67 10N . )10:.( 16R . 2.25. Folosind legea lui Maxwell pentru distribuţia moleculelor

după vitezele lor relative, determinaţi numărul relativ de molecule de azot viteza cărora este cuprinsă în intervalul . . . .( , ),p m p m unde

sm /20 , dacă temperatura este: 1 21) 400 ; 2) 900T K T K ( . : 1)487 / s; / 3, 4%; 2) 371 / s; / 2,2%).R m N N m N N

2.26. Determinaţi numărul relativ de molecule viteza cărora este mai mare decât viteza P (vezi problema rezolvată 10)

1( . : N / 57%).R N 2.27. Determinaţi numărul relativ de molecule viteza cărora este

mai mică decât viteza P . 2( . : N / N 43%).R 2.28. Câte molecule de azot se află în interiorul unui recipient cu

volumul 1V l , dacă viteza medie pătratică a mişcării lor este de 500 /m s , iar presiunea asupra pereţilor vasului este de 3 210 /N m ?

20( . : 2,58 10 molecule).R 2.29. Determinaţi numărul relativ de molecule energia cărora este

cuprinsă în intervalul de la 01 E până la kJE 01,02 )1053,7:.( 4R .


79

2.30. Folosind legea de distribuţie a moleculelor gazului ideal după viteze, să se obţină formulele pentru viteza cea mai probabilă ( )p , viteza

medie aritmetică ( )m , viteza medie patratică m.p.( ) .

m.p.0 0 0

2 8 3.: ; ;p mkT kT kTRm m m

.

2.31. Să se determine numărul moleculelor de gaz care ating unitatea de suprafaţă a unui perete timp de o secundă, având vitezele cuprinse în intervalul: , .d

232

3. : .om

o kTo

mR dN n ekT

2.32. Un gaz ideal cu masa molară om şi concentraţia on se află la temperatura T . Să se determine numărul dN de molecule ce lovesc unitatea de suprafaţă a unui perete al incintei timp de o secundă şi utilizând acest rezultat, determinaţi presiunea exercită asupra peretelui.

1.: ; .4 o x oR dN n p n kT

2.33. Să se determine valoarea numărului lui Avogadro pe baza funcţiei de distribuţie a lui Boltzman, având la dispoziţie următoarele date experimentale: într-o cuvă de lichid cu densitatea e ce conţine în suspensie particulele coloidale sferice de raza r şi densitatea ,c se

măsoară concentraţiile 1n şi 2n , la distanţele 1,d respectiv 2d (faţă de

baza cuvei). Sistemul are temperatura :T

2

1

2 1

ln. : .A

nRTnR N

d d

2.34. Fie dat un sistem fizic format din molecule de azot în stare gazoasă (considerat gaz ideal). Să se determine la ce temperatură probabilitatea de localizare a modulului vitezelor moleculelor în intervalul sm /1, 11 are aceeaşi valoare cu probabilitatea de localizare a


80

modulului vitezelor moleculelor în intervalul ;/1; 22 sm

12 . 2 2

2 1

2

1

. : .4 ln

omR T

k

2.35. Să se determine funcţia de distribuţie izotropă, proprie unui gaz bidimensional. Utilizând această funcţie, să se obţină expresia vitezei medii, vitezei medii pătratice şi celei mai probabile viteze.

1 12 2

2. .

2.: ; ; .2p p m

o o o

kT kT kTRm m m

2.36. Determinaţi numărul Z de ciocniri ce se produc timp de s1

între toate moleculele hidrogenului cu volumul de 31mm aflat în condiţii

normale. 26 1. :1,09 10R s

2.37. Să se afle numărul mediu de ciocniri efectuate în s1 ale moleculelor de CO2 la temperatura de C100 , dacă lungimea medie a parcursului liber în aceste condiţii este egală cu cm2107,8 .

5 1. :4,9 10 .R s 2.38. Determinaţi parcursul liber mediu al moleculelor de azot

dintr-un recipient cu capacitatea de 5l . Masa gazului este egală cu 0,5 .g

. :0,72 .R m 2.39. Să se determine parcursul liber mediu al moleculelor de azot

şi coeficienţii de transport (de difuzie; viscozitate şi conductivitate termică), dacă gazul se află la presiunea kPap 100 şi temperatura

Ct o17 . Cum se vor modifica aceste mărimi la dublarea volumului gazului: a) la presiune constantă; b) la temperatură constantă?


81

26 62 2

1 1

52 2 2

1 1 1

4 2

1

. : 624 10 ; 2; 2; 9,75 10 ;

8; 2; 1,13 10 ; 2; .; .

2,35 10 ; 2; .

mR m Ds

D D kg constD D m s

KWK K constm K K

2.40. Parcursul liber mediu al unei molecule de hidrogen în anumite condiţii este de 2 nm . Determinaţi care este densitatea

hidrogenului în aceste condiţii? 3. : 4,77 / m .R kg

2.41. Într-un vas cu volumul de l1 se găseşte o masă gm 1 de oxigen. Să se calculeze parcursul liber mediu al moleculelor de oxigen

2,9d

. mR 143,0: .

2.42. Parcursul liber mediu al moleculelor de amoniac în condiţii normale este .m10 7

0 Care va fi parcursul liber mediu şi timpul

mediu dintre două ciocniri succesive la presiunea de Pa410 şi temperatura Ct o100 ? 6. : 1,4 10 ; 2,1 .R m ns

2.43. Să se obţineţină dependenţa parcursului liber mediu al moleculelor unui gaz ideal de presiune în următoarele procese: a) izocor; b) izoterm. Reprezentaţi grafic dependenţele obţinute.

2 2. : a) ; ) .

2 2 a

V k RTR bd R d N p

2.44. Într-un vas cu volumul 1V l se află argon md 10109,2 la temperatura Ct o27 şi presiunea Pap 510 . Să se calculeze numărul de ciocniri dintre toate moleculele într-o unitate de timp. 31 1. : 4,33 10 .R Z zN s

2.45. Parcursul liber mediu al moleculelor de gaz în anumite condiţii este de 71,6 10 m şi viteza medie aritmetică a moleculelor


82

acestui gaz este de 1,95 /km s . Determinaţi numărul mediu de ciocniri ale moleculelor acestuia în 1s , dacă la aceeaşi temperatură presiunea gazului se va micşora de 1, 27ori . 9 1. : 9,6 10 .R s

2.46. Care va fi diametrul moleculelor de hidrogen, dacă parcursul liber mediu al moleculelor de hidrogen în condiţii normale este

nm112 . 10. :8,35 10 .R m

2.47. Cunoscând viteza medie pătratică m.p. 500 /m s şi

parcursul liber mediu m710 , să se calculeze frecvenţa de ciocnire.

31 1. : 4,62 10 .R s 2.48. Determinaţi viteza medie pătratică a moleculelor de bioxid

de carbon md 10103,3 , aflat la presiunea Pap 410 şi având parcursul liber mediu m 1 . Care este temperatura gazului?

. : 448 / ; 17 .oR m s t C 2.49. Care este viteza medie aritmetică şi numărul mediu de

ciocniri ale moleculelor de hidrogen dacă se ştie că parcursul liber mediu al moleculelor acestui gaz în condiţii normale este de cm510 .

9 1. : 425 / ; 4, 25 10 .R m s s 2.50. Să se calculeze: 1) frecvenţa de ciocnire a moleculelor unui

gaz dacă parcursul liber mediu mm3105 şi viteza medie pătratică 500 /m s ; 2) presiunea gazului, cunoscând densitatea

32 /104,2 mkg ; 3) diametrul efectiv al moleculelor, dacă masa molară a acestui gaz este de kmolkg /9,28 . 7 1( . :1) 9,2 10 ;R s

3 102) 2 10 ; 3) 3 10 ).Pa m 2.51. Care va fi concentraţia maximă a moleculelor unui gaz închis

într-un vas sferic de diametrul 10 ,d cm pentru ca moleculele să nu se ciocnească între ele? Determinaţi presiunea maximă şi densitatea maximă corespunzătoare, dacă temperatura este de Co17 (pentru aer


83

28,9 /M kg kmol ), considerând 3,3d Å.

19 3 6 3. : 2,5 10 ; 0,1 ; 1.2 10 / .R m Pa kg m

2.52. Într-un balon sferic cu volumul 1V l se află azot. La ce densitate a acestuia parcursul liber mediu al moleculelor de azot este mai mare decât dimensiunile vasului? 7 3. : 9, 4 10 / .R kg m

2.53. Determinaţi parcursul liber mediu şi coeficientul de difuzie a ionilor din plasma de hidrogen, cunoscând temperatura plasmei

KT 710 , concentraţia ionilor 32110 mn şi secţiunea eficace a

ionului de hidrogen 2

24 24 104d m .

6 2. : 44 ; 4,8 10 / .R m m s 2.54. Determinaţi masa de azot, care trece datorită difuziei, printr-

o suprafaţă de 21dm în timp de s10 , dacă gradientul densităţii în

direcţie perpendiculară pe suprafaţa de mai sus 41,26 /d kg mdx ,

temperatura Ct o27 şi parcursul liber mediu al moleculelor m710 . 6. : 2 10 .R kg

2.55. Stabiliţi dependenţa coeficientului de difuzie D de presiune într-o transformare: a) izotermă; b) izocoră. . : ) 1/ ; ) .R a p b p

2.56. Stabiliţi dependenţa coeficientului de viscozitate al unui gaz ideal de presiune în procesele: a) izoterm; b) izocor.

. : ) ; ) .R a f p b p

2.57. Stabiliţi dependenţa coeficientului de viscozitate al unui gaz ideal de temperatură în procesele: a) izoterm; b) izocor.

. : ) ; ) .R a T b T

2.58. Stabiliţi dependenţa coeficientului de conductibilitate termică K al unui gaz ideal de temperatură în procesele: a) izobar; b) izocor. . : ) ; ) .R a K T b K T


84

2.59. Stabiliţi dependenţa coeficientului de conductibilitate termică K de presiune în procesele: a) izoterm; b) izocor.

1.: ; .R K K pp

2.60. Un cilindru de raza 1 10r cm şi lungimea 30cm este situat în interiorul altui cilindru de rază 2 10,5r cm , astfel încât axele lor coincid. Cilindrul mic se află în repaus, iar cel mare se roteşte în raport cu axa sa cu frecvenţa 115 s . Coeficientul de viscozitate al gazului în care se află cilindrii 8,5 Pa s . Determinaţi: a) forţa tangenţială ce acţionează asupra suprafeţei cu aria de 21m a cilindrului intern; b) momentul de rotaţie ce acţionează asupra acestui cilindru.

4. :16,8 ; 3,17 10 .R mN Nm

2.61. Două discuri orizontale de rază 20r cm sunt situate unul deasupra altuia, astfel încât axele lor coincid. Distanţa dintre planele acestor discuri este 0,5d cm . Discul superior este menţinut în repaus, iar cel inferior se roteşte în jurul axei sale cu frecvenţa 110 s . Determinaţi momentul de rotaţie ce acţionează asupra discului superior. Coeficientul de viscozitate al aerului 17,2 .Pa s

2 4

. : 0,55 .rR M mN md

2.62. Două plăci paralele se mişcă una faţă de alta cu viteza relativă sm /1 într-un gaz rarefiat cu presiunea 310p Pa şi temperatura 300T K . Distanţa dintre plăci este mult mai mică decât

parcursul liber mediu _

. Determinaţi forţa de frecare internă ce acţionează asupra unei unităţi de suprafaţă.

121 2.: 0,89 .

3R F p N

RT


85

2.63. Determinaţi viscozitatea dinamică a oxigenului aflat în condiţii normale. . :18 .R Pa s

2.64. La ce temperatură 2t viscozitatea dinamică a azotului este egală cu viscozitatea hidrogenului la C17t o

1 ?

3,1 ; 2,3N Hd d

. . : 205 .oR C

2.65. Cunoscând viscozitatea azotului în condiţii normale 116108,16 skgm , determinaţi coeficientul de difuzie

;D parcursul liber mediu _

şi diametrul efectiv al moleculelor de azot în aceste condiţii.

6 2 1 7. : 13,5 10 ; 0,89 10 ; 3,3 .R m s m

2.66. Să se afle concentraţia moleculelor de hidrogen în condiţiile în care coeficientul de difuzie 1241042,1 smD şi viscozitatea

dinamică 116 skgm105,8 . 25 3. :1,8 10 .R m 2.67. De câte ori se va micşora numărul de ciocniri ale moleculelor

unui gaz biatomic într-o unitate de timp, dacă volumul se va destinde adiabatic de două ori. . : 2,3 ori .R de

2.68. De câte ori diferă coeficientul de difuzie al hidrogenului de cel al oxigenului, dacă ambele gaze se află în aceleaşi condiţii? . : 6,61 ori .R de

2.69. Determinaţi coeficientul de difuzie D al hidrogenului )m105,2d( 10

H2

în condiţii normale, dacă parcursul liber mediu al

moleculelor în aceste condiţii este m16,0 . 4 2( . : 0,91 10 / ).R m s 2.70. Determinaţi coeficientul de difuzie D al heliului

)m102d( 10He

în condiţii normale de temperatură şi presiune. 5 2( . :8, 4 10 / )R m s .


86

2.71. Să se determine coeficientul de viscozitate al moleculelor de azot aflate în condiţii normale, dacă coeficientul de difuzie este

./1042,1 25 smD ( . :17,8 ).R Pa s 2.72. Determinaţi coeficientul de conductibilitate termică K al

hidrogenului, dacă coeficientul lui de viscozitate este .6,8 sPa ( . : 89, 2 / ).R mW m K

2.73. Determinaţi coeficientul de conductibilitate termică al aerului la presiunea 100p kPa şi temperatura Ct o10 . Diametrul efectiv al moleculelor de aer .nm3,0d ( . :13, 2 / ).R mW m K

2.74. Temperatura aerului între geamurile unei ferestre variază liniar de la KT o2501 la KT o3002 . Determinaţi masa de aer cuprinsă în interiorul ferestrei, dacă presiunea este normală, iar volumul aerului dintre geamuri este 331,8 mV . ./029,0 molkgM ( . :10, 4 ).R kg

2.75. Determinaţi energia internă a unui gaz biatomic, care se află la presiunea 100p kPa cu densitatea 3m/kg2,1 şi masa

gm 10 . )0,2:.( kJR 2.76. Să se determine energia internă a 20g de oxigen, ce se află

la temperatura de 10o C ? Ce parte din această energie îi corespunde mişcării de translaţie şi ce parte îi corespunde mişcării de rotaţie? ( . : 3,7 ; 2, 2 ; 1,5kJ).tr rotR kJ W kJ W

2.77. Determinaţi energia internă a aerului, care se află la temperatura Ct o15 şi are masa gm 1 . Aerul se consideră un gaz omogen a cărui masa molară molkgM /029,0 . ( . : 210 ).R J

2.78. Calculaţi căldura specifică pc şi Vc ale unui amestec ce

conţine 2moli de oxigen şi 4moli de azot. ( . :708, 2J/ kgK; 991,5 / kgK ).R J

2.79. Determinaţi căldura specifică Vc şi pc ale unui gaz ideal biatomic, dacă densitatea acestui gaz în condiţii normale este egală cu

31, 43 /kg m . ( . : 650 / , 910 / ).R J kgK J kgK


87

2.80. Determinaţi căldura specifică Vc şi pc ale unui gaz ideal,

dacă se ştie că masa lui molară 30 /M kg kmol şi raportul 4,1V

p

CC

.

( . : 693 / ; 970 / ).R J kgkK J kgK 2.81. Un balon cu capacitatea de l20 ce conţine oxigen la

presiunea kPa100 şi temperatura de Co7 , se încălzeşte până la Co27 . Ce cantitate de căldură a primit gazul? ( . : 500 ).R J

2.82. Determinaţi ce lucru trebuie efectuat pentru a comprima lent gazul dintr-un cilindru, a cărui pereţi au o bună conductivitate termică? Cu ajutorul unui piston gazul este comprimat până când presiunea lui creşte de 2ori . Presiunea iniţială este de 760 .mm Hg , iar volumul iniţial de 5l . Pe parcursul comprimării, presiunea şi temperatura mediului sunt constante. Frecarea şi greutatea pistonului se neglijează. Câtă căldură cedează gazul? ( . : 345 ; 345 ).R J J

2.83. Un caz biatomic, care la presiunea kPa200 ocupă volumul 6V l , se dilată până la volumul 12 2VV . Procesul de dilatare se

realizează astfel, încât ,constpV unde 1; 2.k Determinaţi variaţia energiei interne a gazului şi lucrul efectuat la dilatarea lui. Calculaţi căldura molară a gazului în acest proces. ( . : 600 ; 831,8 ; 20,78 / ; 12,47 / ).R J J J molK J molK

2.84. Diferenţa dintre valorile căldurii specifice ale unui gaz este 260 / ( )p Vc c J kg K . Determinaţi masa molară a acestui gaz şi

căldura specifică a gazului pc şi Vc .

3. :31,96 10 / ; 908,9 / ;649, 2 / .R kg mol J kg K J kg K

2.85. Încălzind izocor un volum lV 0,2 de azot, presiunea a crescut cu 100 .p kPa Să se calculeze: a) cantitatea de căldura comunicată; b) lucrul mecanic efectuat de gaz; c) variaţia energiei lui interne. ( . : 500 ; 0; 500 ).R J J

2.86. Într-un cilindru cu piston se află kg6,0 de azot ce ocupă un volum 31, 2V m la temperatura de 560 K . Ca rezultat al încâlzirii,


88

gazul se dilată şi ocupă volumul 34, 2V m , în timp ce temperatura rămâne constantă. Determinaţi: a) variaţia energiei interne a gazului; b) lucrul efectuat de gaz; c) cantitatea de căldură comunicată lui. . :0; 125 ; 125 .R kJ kJ

2.87. Într-un vas închis cu volum 1V l se află un gaz biatomic la presiunea 1 100 .p kPa Gazul este încălzit până la presiunea

2 400 .p kPa Calculaţi: a) lucrul efectuat de gaz; b) cantitatea de căldură comunicată; c) variaţia energiei interne a gazului. ( . : 0; 100 ; 100 ).R J J

2.88. Aerul dintr-un cilindru cu piston a efectuat prin destindere izobară un lucru mecanic .200 JL Determinaţi: a) cantitatea de căldură absorbită; b) variaţia energiei interne a gazului. ( . : 700 ; 500 ).R J J

2.89. Aerul cu volumul 31 5,1 mV este încălzit izobar la presiunea

200p kPa de la temperatura Ct o271 până la temperatura Ct o2272 . Să se calculeze: a) cantitatea de căldura comunicată; b)

lucrul efectuat de gaz; c) variaţia energiei interne a gazului. )500;200;700:.( JJR .

2.90. Vaporii de apă se dilată la presiune constantă. Să se determine lucrul de expansiune a vaporilor, dacă li se transmite cantitatea de căldură 8 .Q kJ ( . :2 ).R kJ

2.91. Un gaz ideal cu volumul lV 0,11 se destinde izoterm de la presiunea 1 271,8p kPa până la 2 100 .p kPa Să se calculeze: a) lucrul mecanic efectuat de gaz; b) căldura comunicată; c) variaţia energiei interne a gazului. ( . : ) 271,8 ; )271,8 ; )0.).R a J b J c

2.92. Volumul unei mase de g12 de gaz ideal a fost mărit izoterm de 2 ori , consumând căldura .693JQ Determinaţi viteza medie

pătratică a moleculelor acestui gaz. m.p.3.: 500 / .RTR m sM

2.93. Particulele de praf suspendate în aer pot fi considerate molecule mari. Determinaţi care este viteza medie pătratică a unei


89

particule de praf, dacă masa ei constituie 102 10 g ? Temperatura aerului este 29 C . 5( . :25 10 m/ s).R

2.94. O cantitate de 0,5moli de oxigen ocupă volumul lV 31 , iar mol5,0 de azot ocupă volumul lV 22 , ambele se află la temperatura

300 .oT K Detrminaţi lucrul mecanic maxim efectuat în urma amestecării izoterme a gazelor în volumul 1 2 .V V . :1,8 .R kJ

2.95. La comprimarea adiabatică a g20 de oxigen, energia lui internă a crescut cu kJ8 , iar temperatura a atins valoarea de K900 . Determinaţi cu cât a crescut temperatura oxigenului şi presiunea lui finală, dacă cea iniţială a fost de kPa200 . 5. :616,13 ;113,5 10 .R K Pa

2.96. 1 kmol de gaz ideal este încălzit într-un cilindru sub piston, menţinut în poziţia de echilibru de un resort, care se supune legii lui Hooke. Pereţii cilindrului şi pistonului sunt adiabatici, iar fundul cilindrului un bun conductor termic. Volumul iniţial al gazului 0V pentru

care resortul este nedeformat este ales în aşa fel, încât ,02

0 kVSp unde

0p reprezintă presiunea atmosferică, S este aria pistonului, iar k - coeficientul de rigiditate al resortului. Determinaţi căldura molară a

gazului în acest proces. . : .2VRR C C

2.97. O cantitate de 32 g de oxigen se află la presiunea de Pa510 şi temperatura de .27 Co După destinderea izometrmă a oxigenului, presiunea finală scade de 4 ori . Printr-o transformare adiabatică şi o transformare izobară, oxigenul revine la starea iniţială. Să se determine lucrul mecanic efectuat de gaz în acest ciclu. . : 785 .R J

2.98. O cantitate de 0, 2 kmol de gaz biatomic se încălzeşte politrop de la temperatura de K200 până la temperatura K600 , consumându-se o cantitate de căldură egală cu J5104 . Să se determine indicele politropei n. . :1,53 .R


90

2.99. Comprimând un gaz ideal biatomic pe o politropă cu indicele 5,1n , se consumă o cantitate de căldură egală cu .200J Determinaţi variaţia energiei interne a gazului şi lucrul mecanic consumat din exterior. . : 1000 ; -800 .R J J

2.100. Comprimând kg1 de oxigen pe o politropă cu indicele 2,1n se efectuează un lucru mecanic egal cu J51031,8 . Determinaţi

variaţia energiei interne a gazului şi cantitatea de căldură cedată, dacă căldura specifică la un volum constant al oxigenului este egală cu

)/(14,9 KkgJ . 5 5( . : 2,56 10 ; 5,75 10 ).R J J 2.101. La comprimarea adiabatică a kg10 de oxigen se efectuează

lucrul mecanic .100kJL Determinaţi temperatura finală a gazului, dacă temperatura iniţială a fost KT 3201 . . : 454 .R K

2.102. O masă 40m g de oxigen, aflându-se la temperatura 300 ,K se dilată mai întâi adiabatic, mărindu-şi volumul de 3ori , apoi în urma comprimării izoterme, volumul lui se micşorează de 2 ori . Determinaţi temperatura lui finală şi lucrul total efectuat de gaz. . : 193,3 ; 22 .R K kJ

2.103. Într-un cilindru cu piston se află 0,02 kg de hidrogen la temperatura 300T K . Mai întâi gazul se dilată adiabatic, volumul lui crescând de 5ori . Apoi gazul este comprimat izoterm, astfel încât volumul lui se micşorează de 5ori . Determinaţi temperatura la sfârşitul expansiunii adiabatice şi lucrul total efectuat de către gaz. Construiţi graficul procesului. . : 157,6 ; 8,37 .R K kJ

2.104. Într-un balon se află oxigen la temperatura KT 1451 şi presiunea 1 2 .p MPa Din vas, în mod adiabatic, este evacuat o jumătate din cantitatea de oxigen. Să se determine temperatura şi presiunea la sfârşitul evacuării oxigenului din vas. 5. : 109,9 ; 7,6 10 .R K Pa

2.105. Un cilindru cu piston conţine un volum de aer lV 101 la presiunea 1 3p atm şi temperatura .K300T1 Care va fi volumul şi


91

temperatura gazului dacă presiunea: a) se dublează brusc; b) se dublează lent ?)4,1( . : ) 6,1 ; 366 ; ) 5 ; 300 .R a l K b l K

2.106. O cantitate de 0,2 moli de gaz biatomic aflat la presiunea de kPa100 , ocupă volumul de l10 . Gazul este comprimat, mai întâi izobar

până la volumul de l4 , apoi comprimat adiabatic. După comprimarea adiabatică gazul se dilată izoterm până la volumul şi presiunea iniţială. Construiţi graficul procesului în coordonate pV. Determinaţi: a) lucrul efectuat de gaz în transformarea ciclică; b) temperatura, presiunea şi volumul gazului în punctele caracteristice ale procesului ciclic. 5 3 3. :1100 ; 601,7 ; 240,7 ; 601,7 ; 25 10 ; 0, 4 10 .R J K K K Pa m

2.107. Conform condiţiilor problemei precedente, să se determine cantitatea de căldură primită de gaz de la încălzitor şi cantitatea de căldură cedată răcitorului, precum şi randamentul ciclului. . : 3190 ; 2090 ; 34,5% .R J J

2.108. Volumul unui mol de gaz cu indicile adiabatic variază

după legea ,aVT

unde a este o constantă. Să se determine cantitatea

de căldură schimbată de gaz în acest proces, dacă temperatura gazului se

modifică cu . 2.: Q ; 1 .

1R R mol

2.109. 1mol de gaz biatomic efectuează o transformare ciclică compusă din două izocore şi două izobare. Volumul şi presiunea minimă şi maximă sunt min max10 , 20V l V l şi respectiv,

min max246 , 410p kPa p kPa . Construiţi graficul acestui ciclu. Determinaţi temperatura gazului în punctele sale caracteristice şi randamentul lui. . :296 ; 493, 4 ; 986,8 ; 592,1 ; 8,89% .R K K K K

2.110. O cantitate de 100moli de gaz monoatomic se află la presiunea kPap 1001 şi volumul 3

1 5mV . Gazul a fost comprimat izobar până la volumul 3

2 1mV şi în continuare, comprimat adiabatic. Apoi gazul a fost dilatat izoterm până la volumul şi presiunea iniţială.


92

Construiţi graficul ciclului şi determinaţi: a) temperaturile 1T şi 2T , volumul 3V şi presiunea 3p corespunzătoare punctelor caracteristice ale ciclului; b) căldura 1Q primită de la încălzitor; c) căldura 2Q cedată răcitorului.

3 5. : ) 601,7 ; 120,3 ; 601,7 ; 0,089 ; 55,7 10 ;.

) 1000 ; 2010R a K K K m Pab kJ kJ

2.111. Să se determine lucrul efectueat de gaz în transformarea ciclică, în conformitate cu condiţiile problemei 2.110, precum şi randamentul ciclului. . :1011 ; 50,3% .R kJ

2.112. O maşină termică ideală funcţionează conform ciclului Carnot. Temperatura încălzitorului este 0

1 227t C şi a răcitorului 0

2 27t C . Determinaţi randamentul ciclului, căldura primită de la încălzitor şi căldura cedată răcitorului, dacă pe parcursul unui ciclu s-a efectuat un lucru mecanic 4L kJ . ( . : 40%; 10 ; 6 ).R kJ kJ

2.113. Un gaz ideal efectuează un ciclu Carnot. Temperatura răcitorului 2 280T K . De câte ori va creşte randamentul ciclului, dacă temperatura încălzitorului creşte de la 1 500T K până la 1 700T K ?

. : 1,36 .R ori 2.114. Să se determine randamentul unui ciclu Carnot, dacă pe

parcursul dilatării adiabatice volumul gazului a crescut de 4 ori .

. :37 %R . 2.115. O maşină termică ideală funcţionează după ciclul Carnot.

Temperaturile încălzitorului şi răcitorului sunt 1 500T K şi, respevtiv

2 250T K . Aflaţi randamentul ciclului, precum şi lucrul mecanic 1L al corpului de lucru la expansiunea izotermă, dacă se ştie că la comprimarea izotermă s-a efectuat lucrul .702 JL . : 50%; 140 .R J

2.116. Randamentul unui ciclu Carnot este 4,0 . Determinaţi lucrul mecanic efactuat la comprimarea izotermă dacă lucrul la dilatarea izotermă este egal cu 400 .J . : 240R J .


93

2.117. Un gaz ideal efectuează un ciclu Carnot. Temperaturile sursei calde şi a sursei reci sunt egale cu K500 şi, respectiv K300 . Determinaţi randamentul ciclului, precum şi cantitatea de căldură cedată sursei reci la comprimarea izotermă. Lucrul efectuat la dilatarea izotermă este egală cu kJ2 . kJR 6,0;4,0:. .

2.118. Un gaz poliatomic efectuează un ciclu Carnot. Determinaţi randamentul ciclului, dacă la dilatarea adiabatică, volumul gazului creşte de 4 ori .

1 2

1 21

2

1

. : .

ln

T TRC T T

T VRV

2.119. Într-un ciclu Carnot al cărui randament %20 lucru mecanic efectuat de gazul ideal la destinderea izotermă este JLizot 100 . Să se calculeze lucrul mecanic consumat la comprimarea izotermă.

)80:.( JR .

2.120. Două corpuri cu temperaturile 1 27t C şi 2 28t C sunt puse în contact. După un interval de timp, cantitatea de căldură

71 10Q J trece de la corpul cu temperatura mai mare la corpul cu

temperatura mai mică. Determinaţi de câte ori se modifică probabilitatea de stare a corpurilor create ca urmare a acestei treceri. Cu cât este egală probabilitatea trecerii inverse? Cum se modifică rezultatul în cazul trecerii cantităţii de căldură ?102,1 18

2 JQ . : 2,7 .R 2.121. O maşină termică ideală funcţionează conform ciclului

Carnot cu aer încălzit, luat la presiunea iniţială de 7 atm şi temperatura

127 C . Volumul iniţial al aerului este de 3 32 10 m . După dilatarea izotermă aerul a ocupat volumul de 5 ,l apoi după dilatarea adiabatică volumul a devenit egal cu 8l . Determinaţi: a) coordonatele de intersecţie ale izotermelor şi adiabatelor; b) lucrul efectuat pe fiecare porţiune a


94

ciclului; c) lucrul total efectuat în decursul unui ciclu complet; d) randamentul ciclului; e) cantitatea de căldură primită de la încălzitor şi cantitatea de căldură cedată răcitorului pe parcursul unui ciclu. ( . : a) 2 ,7 ; 5 , 2,8 ; 8 , 1, 44 ; 3,22 , 3,6 ;b) 1,3 ;620 ; 1070 ; 620 ; ) 230 ; )17,5%;) 1300 , 1070 ).

R l atm l atm l atm l atmkJ J J J c J d

e J J

2.122. Se amestecă o masă de apa kgm 51 la temperatura KT 2801 cu o masă de apă kgm 82 la temperatura 2 350 .T K Să

se determine temperatura amestecului şi variaţia entropiei .S ( . : 323,08 ; 5694, 4 / ).R K J K

2.123. Două gaze omogene cu volumele de 2 l şi 5 l se amestecă, dar nu interacţionează chimic. Calculaţi variaţia entropiei sistemului, dacă iniţial gazele aveau aceeaşi temperatură de 350 K şi presiunea 150 .kPa ( . :1,79 / ).R J K

2.124. 200g de gheţă la temperatura 1 10t C au fost încălzite

până la 2 0t C şi topită, apoi apa astfel obţinută, a fost încălzită până la

temperatura 10t C . Determinaţi variaţia entropiei ΔS . ( . :291, 2 / grad).R J

2.125. De câte ori trebuie de mărit volumul a 5 moli de gaz ideal la dilatarea izotermă, dacă variaţia entropiei

gradJS /6,57 . . : 4 .R ori 2.126. Două vase de volume egale sunt unite între ele prin

intermediul unui tub cu robinet. În unul din vase se află 2 moli de azot, iar în celălalt 2 moli de hidrogen. Gazele se află la temperaturi şi presiuni egale. După deschiderea robinetului are loc un proces izoterm de difuzie. Determinaţi variaţia entropiei sistemului. )/04,23:.( KJR

2.127. Determinaţi variaţia entropiei, dacă g10 de gheaţă la

temperatura de 20o C se transformă în aburi la temperatura de 100oC .

. : 88 / .R J grad


95

2.128. Să se calculeze variaţia entropiei, la dilatarea izobară a 4g de azot de la volumul 1 5V l până la 2 9V l . . : 2, 43 / .R J grad

2.129. Să se determinaţi variaţia entropiei a 2 kmol de gaz care au fost încălziţi la presiune constantă, aşa încât volumul lui a crescut de 3ori , după care a fost răcit la volum constant încât presiunea lui a scăzut

de 3ori . 3. : 18,25 10 / K .R J 2.130. Să se calculeze variaţia entropiei, care se produce la

încălzirea a g10 de sodiu de la temperatura Ct o271 la temperatura

2 600 .ot C . : 17,03 / grad .R J


96

INDICAŢII PRIVIND REZOLVAREA PROBLEMELOR

1. Mecanica

1.5. La mişcarea corpului sub un unghi faţă de orizont trebuie să se ţină cont de faptul că acceleraţia totală este determinată de relaţia

aag n

sau 222aag n .

Din figură rezultă:

cos y ag

sau

2 2 2,

x

agtgg t

de unde pentru acceleraţia tangenţială vom obţine:

22

2

2220

2

4,58,9225

18,9s

mtg

tga

.

1.9. Din relaţia t 12 , pentru acceleraţia unghiulară a

roţii obţinem: 22 1 2 12 2 2 12,56(3 5) 2 0, 21 /

60rad s

t t t

Pentru determinarea numărului de rotaţii se va folosi formula lui Balibi:

NN 422221

22 ,

de unde:

4,2394

21

22

N rot.


97

1.52. Energia potenţială înmagazinată în fir (sârmă) la răsucirea lui

este determinată de relaţia 2

21 CEp , unde C este constanta de

răsucire, iar - unghiul de răsucire. Constanta de răsucire depinde de

parametrii sârmei potrivit relaţiei 4

2r

lGC , unde G este modulul de

deplasare pentru substanţa dată, l este lungimea sârmei, iar r este raza secţiunei transversale. Pentru fier 210101,8 mNG . Astfel, pentru energia potenţială înmagazinată în fir vom obţine:

10 2

4 2 12 62

1 3,14 8,1 10 3,1410 1, 21 10 .2 2 4 1 16 180p

GE r Jl

.

2. Fizica moleculară şi termodinamică

2.32. 1 ; .4 o x odN n P n kT

2.33. kTU

eAN

. Asupra particulelor coloidale acţionează însă şi forţa lui Arhimede, astfel încât greutatea unei particule de masă 0m este nu gm0 , dar:

3

3

4 ( )3

4( ) ( )3

( ) ,c e

o p e p C e C e

g dr dkT kT

rmg m g V g V g g

n d A e A e

iar AN

Rk .

Particularizând rezultă:

)(

ln

12

1

2

ddnnRT

N A

.


98

2.34. Probabilitatea de localizare a modulului vitezelor moleculare într-un interval unitar este chiar funcţia densităţii de probabilitate pentru distribuţia izotropă după criteriul ,, ”.

)()( 21 ff , 2 21 2

3 32 2

2 22 21 24 4

2 2

o om mo okT kTm me ekT kT

.

De unde:

1

2

21

22

ln4

)(

k

mT o .

2.35. kTm

o ekTmf 2

2

)(

;

;21

op m

kT ;22

omkT

21

2

omkT .

2.74. AxTT 1 ,

A= 1 2 ;T Td

;MpdV MpSdxdmRT RT

10

10, 4 .( )

d MpSdxm kgR T Ax

2.94. Într-un proces elementar dLdUdQTdS în procesul izoterm 0dU rezultă TdSdL . Prin urmare:

1 2 1 22 1 1 2

1 22

1 2

1 2

( ) ( ln ln )

( )ln 1,8 .

V V V VL T S S RTV V

V VRT kJVV


99

2.96. VdQ C dT pdV ;

0 0; ;kxp p V V xS dV Sdxs

.

Din relaţia

0 0kxp V xS RTS

,

prin diferenţiere se obtine:

0dx p xS RdT ;

002VRdQ C p S kx dT

p S kx

;

.2VRC C

2.105. a) Procesul este adiabatic:

1 1 2 2 2; 6,1pV p V V l , iar din

1 1 2 22

1 2

366pV p V T KT T

.

b) Procesul este izoterm: KTT 30012 , iar din:

1 1 2 2 2 5 .p V p V V l

2.118. 1Q

L ;

41342312 LLLLL ,;

212 1

1

ln ;VL RTV

23 2 1( );1

RL T Tn


100

434 2

3

ln ;VL RTV

)(1 2141 TT

nRL

.

Din ecuaţiile transformărilor izoterme şi adiabate se bţine:

4

3

1

2

VV

VV ,

astfel: 21 2

1

( )VL R T TV

.

21 12 23 1 2 1

1

ln ln( )VQ Q Q RT C T TV

.

Deci:

1

2

211

21

ln

)(

VVR

TTCT

TT

.

2.120. Entropia globală a ambelor corpuri se modifică astfel:

7 7

1110 10 1 10 ,300 301 9

JSK

dar:

1

2lnWWkS ,

unde W1 este probabilitatea stării iniţiale a ambelor corpuri; W2 este probabilitatea stării lor finale:

1210

1038,1910 15

126

11

112 eWeWkSeWW

.

Deci, practic în toate cazurile la contactul termic căldură trece de la corpul mai cald la corpul mai rece. Probabilitatea procesului invers este practic zero. În cazul

181,2 10Q j 2

1

2,7WW

.

Rezultă că cele două probabilităţi sunt de acelaşi ordin.


101

ANEXE

Tabelul 1. Constante universale

Constanta gravitaţională G = 6,67 · 10-11 m3/kg·s2 Constanta universală a gazelor R = 8,31 J/mol K Volumul 1 kmol de gaz ideal în condiţii normale

30 4,22 mV

Constanta lui Avogadro NA = 6,02·1023 mol-1 Unitatea atomică de masă u.a.m. = 1,66·10-27 kg Constanta lui Boltzmann k = 1,38·10-23 J/K Viteza luminii în vid c = 2,99·108 m/s

Tabelul 2. Unele mărimi astronomice

Raza medie a Pamantului 6,37·106 m Densitatea medie a Pamantului 5500 kg/m3

Masa Pamantului 5,96·1024 kg Raza Soarelui 6,95·108 m Masa Soarelui 1,97·1030 kg

Raza Lunii 1,74·106 m Masa Lunii 7,3·1022 kg Distanţa medie dintre centrul Lunii şi centrul Pămantului

3,84·108 m

Distanţa medie dintre centrul Pămantului şi centrul Soarelui

1,5·1011 m

Perioada de revoluţie a Lunii în jurul Pămantului

27 zile 7 ore 43 min

Densitatea medie a Soarelui 1400 kg/m3

Tabelul 3. Densitatea corpurilor solide (kg/m3)

Aluminiu 2600 Fier 7900 Bronz 8400 Arama (Cupru) 8600 Cositor 7200 Gheaţa 900


102

Tabelul 4. Proprietatile unor corpuri solide

Substanta Densitatea kg/m3

Temperatura de topire ºK

Căldura specifică J/kg·K

Caldura specifică de topire J/kg

Coeficientul de dilatare

termică ºK-1 Aluminiu 2600 932 896 3,22·105 2,3·10-5 Fier 7900 1803 500 2,72·105 1,2·10-5 Alamă 8400 1173 386 - 1,9·10-5 Gheaţă 900 273 2100 3,35·105 - Cupru 8600 1373 395 1,76·105 1,6·10-5 Cositor 7200 505 230 5,86·104 2,7·10-5 Platină 21400 2043 117 1,13·105 0,89·10-5 Plută 200 - 2050 - - Plumb 11300 500 126 2,26·104 2,9·10-5 Argint 10500 1233 234 8,8·104 1,9·10-5 Otel 7700 1573 460 - 1,06·10-5 Zinc 7000 693 391 1,77·105 2,9·10-5

Tabelul 5. Proprietatile elastice ale unor corpuri solide

Substanţa Rezistenţa la rupere Modulul lui Young N/m2 N/m2

Aluminiu 1,1·108 6,9·1010 Fier 2,94·108 19,6·1010 Cupru 2,45·108 11,8·1010 Plumb 0,2·108 1,57·1010 Argint 2,9·108 7,4·1010 Oţel 7,85·108 21,6·1010

Tabelul 6. Proprietăţile unor lichide

Lichidul Densitatea kg/m3

Caldura specifică J/kg·ºK

Coeficientul de tensiune

superficială N/m Benzen 880 1720 0,03 Apă 1000 4190 0,073 Glicerină 1200 2430 0,064


103

Ulei de ricin 900 1800 0,035 Petrol lampant 800 2140 0,03 Mercur 13600 138 0,5 Alcool 790 2510 0,02

Tabelul 7. Elasticitatea vaporilor de apă ce saturează spaţiul la diferite temperaturi

t, ºC PS , mmHg t, ºC PS , mmHg -5 3,01 16 13,6 0 4,58 18 15,5 1 4,93 20 17,5 2 5,29 25 23,8 3 5,69 30 31,8 4 6,10 40 55,3 5 6,54 50 92,5 6 7,01 60 149 7 7,71 70 234 8 8,05 80 355 9 8,61 90 526 10 9,21 100 760 12 10,5 150 4,8 atm 14 12,0 200 15,3 atm

Tabelul 8. Constantele critice ale gazelor

Substanţa TC , ºK PC, atm PC, MPa Vapori de apa 647 217 22,0 Bioxid de carbon 304 73 7,4 Oxigen 154 50 5,07 Argon 151 48 4,87 Azot 126 33,6 3,4 Hidrogen 33 12,8 1,3 Heliu 5,2 2,25 0,23


104

Tabelul 9. Diametrele atomilor si moleculelor (m)

Heliu (He) 2·10-10 Hidrogen (H2) 2,3·10-10 Oxigen (O2) 3·10-10 Azot (N2) 3·10-10

Tabelul 10. Conductibilitatea termică a unor corpuri solide (, W/m K)

Aluminiu 210 Fier 58,7 Cupru 390 Argint 460 Ebonită 0,174 Plută 0,050 Nisip uscat 0,325 Cuarţ topit 1,37


105

Bibliografie

1. Ţiuleanu D., Marcu C., Stratan I., Taran G., Golban G., Marian S., Balan S. Probleme de fizică. Chişinau: Editura TEHNICA-INFO, 2007. - 280 p.

2. Wolkenstein V.S.. Problems in General Physics, MIR Publishers, Moscow, 1990. - 350 p.

3. Rusu A., Rusu S. Probleme de fizică. Chişinău. Editura UTM, 2004. - 88 p.

4. Hristev A. Probleme de termodinamică, fizică moleculară şi caldură. Bucureşti: Editura Tehnică, 1968. - 232 p.

5. Взоров Н.H., Замша О.И., Иродов И.Е., Савельев И.В. Сборник задач по общей физике. Наука: Москва, 1968. - 208 с.

6. Савельев И.В.. Сборник вопросов и задач по общей физике. Наука: Москва, 1982. - 280 с.

7. Popescu I.M., Cone G.F., Stanciu Gh.A. Culegere de probleme de fizică. Bucureşti: EDP, 1982.

8. Чертов А.Г., Воробьёв А. А. Задачник по физике. Москва: Высшая школа, 1981.

9. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. Москва: Наука, 1979.


106

Cuprins

1. Capitolul 1. Probleme de mecanică.........................................3

Breviar.............................................................................3

Exemple de rezolvare a problemelor ……………...……….17

Probleme .......................................................................30

2. Capitolul 2. Fizica moleculară şi termodinamica...................43 Breviar..............................................................................43 Exemple de rezolvare a problemelor ...................................51 Probleme ...............................................................................75

3. Indicaţii privind rezolvarea problemelor ...............................96

4. Anexe ...................................................................................101

5. Bibliografie...................................................................105


107



Autori: Dumitru Ţiuleanu Valentina Pîntea

Redactor Eugenia Balan Bun de tipar 22.06.17 Formatul 60x84 1/16 Hârtie ofset. Tipar RISO Tirajul 400 ex. Coli de tipar 6,75 Comanda nr.60 ------------------------------------------------------------------------------------

2004, UTM, bd.Ştefan cel Mare şi Sfânt, 168 Editura ,,Tehnica-UTM”

2045, Chişinău, str.Studenţilor, 9/9

Documents

fizica.utm.mdfizica.utm.md/documents_pdf/Probleme de mecanică...Dumitru Țiuleanu Valentina Pîntea 0 CZU 531+539.19+536.7(075.8) Ț 64 Îndrumarul includ probleme pe subiecte de